автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Планирование D-оптимальных входных сигналов для стохастических линейныхдискретных систем

Государственный комитет Российской федерации по высшему образованию Новосибирский государственный технический университет

Г В ОН

На правах рукописи

: ОЕВ 1338 удк 519.24

ЧУБИЧ

Владимир Михайлович

ПЛАНИРОВАНИЕ Э-ОПТИМАЛЬНЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск-1995

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете'

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Денисов В.И.

Официальные оппоненты

- доктор технических наук, профессор Лбов Г.С.,

- кандидат технических наук, доцент Хицепко В.Е.

Ведущая организация

Сибирский государственный научно-исследоыательский институт метрологии, г.Новосибирск.

Защита состоится 01 \99$

г. в ^¿2 часов на заседании специализированного Совета Д 063.34.03 при Новосибирском государственном техническом университете (630092, Новосибирск-92, проспект К.Маркса, 20 НГТУ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан

"I?" О/ 199§"г.

Ученый секретарь /У -О

специализированного Совета С/С1* Г.П. Чикильдин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При параметрической идентификации динамической системы и заданной структуре математической модели возникает задача оценивания неизвестных параметров по наблюдениям за входами и выходами системы. В настоящее время существуют два подхода к решению данной задачи: пассивный и активный. Пассивная идентификация выполняется в режиме нормальной эксплуатации исследуемой системы. При активной идентификации на вход системы подаются наиболее информативные, специально синтезированные сигналы, в результате чего улучшается точность оценивания параметров и повышается эффективность проводимых исследований. В данной работе мы определяем информативность входного сигнала по значению некоторого функционала от информационной или дисперсионной матрицы вектора оцениваемых параметров при построении математической модели стохастической системы.

Современный этап развития теории и практики параметрической идентификации характеризуется все более широким распространением идей и методов активной идентификации. Этому способствовали, в частности, труды А.Ж.Абденова, Ю.П.Адлера, В.Г.Горского, В.И.Денисова, Г.К.Кру-га, В.В.Круглова, А.А.Попова, В.А.Саванова, Ю.А.Сосулина, А.М.Та-лалая, В.А.Фатуева в нашей стране и Дж.К.Гудвкна, М.Б.Зейропа, Р.К.Мехры, Р.Л.Пейна за рубежом.Тем не менее вопросы, связанные с планированием оптимальных экспериментов для стохастических динамических систем, еще находятся в стадии развития и далеки от своего логического завершения. Данная работа призвана восполнить существующий пробел непосредственно для стохастических линейных дискретных систем.

Научная новизна. Произведен анализ структуры информационной матрицы одноточечного плана. Выявлены и доказаны основные свойства нормированных информационных матриц планов. Доказана теорема эквивалентности непрерывных О-оптимальных и минимаксных планов. Разработан алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана. Предложены эффективные алгоритмы синтеза О-оптимальных входных сигналов. Исследовано влияние статистических характеристик помех динамики системы на результаты планирования. Проанализирована зависимость информативности входных сигналов от их длины и ковариационных матриц помех динамики.

Практическое значение. Разработано программно- .натематическое обеспечение задачи планирования О-оптимальиых входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем. Отдельные программные модули могут быть использованы при синтезе входных сигналов в соответствии с другими критериями оптимальности. Отечественные или зарубежные . аналоги разработанного программного обеспечения нам не известны.

Цель исследования. Распространить концепцию планирования эксперимента на математические модели стохастических линейных дискретных систем. Разнять теорию и методологию этого вопроса.

Задачи исследования. Разработать алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана. Исследовать свойства нормированных информационных матриц планов. Доказать теорему эквивалентности непрерывных Р-оптимальных и минимаксных планов. Разработать алгоритмы и программы синтеза О-оптимальных входных сигналов. Построить непрерывные локально О-оцтимальные планы для некоторых динамических систем. Проанализировать влияние статистических характеристик помех динамики системы на результаты планирования. Исследовать зависимость информативности входных сигналов от их длины и ковариационных матриц помех динамики.

Методологическая основа работы. Теоретические и прикладные исследования базируются на использовании разделов теории случайных процессов, математической статистики, вычислительной математики, программирования, теории управлении и линейной алгебры.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Российской научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций' ([ {овоснбирск, 1994), Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения А[ 1ЭП-94" (Новосибирск, 1994), Международной научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций (Новосибирск, 1995) и научном семинаре кафедры прикладной математики НГГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, в том числе 1 зарегистрированный отче! по НИР.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. СодержиI' 97 страниц, 3 рисунка и 10 таблиц. Список литературы включает 82 шимспошшш!.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертации, приведено крат-кос содержание работы по главам.

В первой главе раскрыта связь задач идентификации с теорией планирования эксперимента, определена структура математической модели, проанализировано современное состояние проблемы планирования входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем, сформулированы задачи исследования.

Выполнение процедуры активной идентификации включает в себя четыре основных этапа: выбор структуры математической модели, планирование идентификационного эксперимента, оценивание параметров и верификацию.

Будем считать структуру математической модели исследуемой системы заданной и, не рассматривая вопросы, связанные с оцениванием параметров и верификацией этой модели, остановимся на теории н методологии планирования оптимального эксперимента для стохастических линейных систем с дискретным временем.

Математическая модель управляемой, наблюдаемой и идентифицируемой линейной дискретной системы определяется в пространстве состояний уравнениями

x(t + I) = ФО 4- î,f )*(/)+ + \,t)u{t) +Г0 + l,r)w(i), (1)

;Я' + 1) = Я(/ + 1)х(* + 1)-»-у(/ + 1), t = 0,\,...,N-l. (2)

Здесь x(t) - п ' вектор состояния; li(t) - г - вектор управления (входа); w{t) - р - вектор возмущения; y(t +1) - m - вектор измерения (выхода); v(f + l) - m - вектор ошибки измерения; Ф(/ + 1,/), ^(i+l,/), T(t + \,t) - переходные матрицы состояния, управления и возмущения соответственно; H{t + 1) - матрица измерения. Случайные векторы w(t) и l'(t +1) образуют белые гауссовские последовательности, причем

£[w(f)] = 0? %(fK(T)] = <2(f)S„;

E[v{t +1)] = 0, £[v(f + 1У (т +1)] = R{t +1)5„; E[v(t)w4*)h0

для любых t,Z = Q,\,...,NНачальное состояние x(0) имеет нормальное распределение с параметрами JC (0), Р(0) и не коррелирует с w(/) н vit 4-1) при любых значениях переменной t. Переходные матрицы со-

стояния Ф(/ + 1,0 и управления 1Р(/ + 1,0 содержат постоянные идентифицируемые параметры 0 = (0Ь©2 ,...,©,), оценки 0 = (©,,©2,...,©,) которых вычисляются по результатам наблюдений за входной и выходной переменными ит = (иг(0),м1 (1),- ', -1)} и УГ = {/(1),...,/(Л0}

При идентификации динамических систем могут использоваться различные способы управления экспериментом. Ограничимся задачей планирования оптимальных входных сигналов.

Будем понимать под непрерывным нормированным планом £ совокупность ьеличин

Е = = ь (3)

I А.Л.- -.Л I "I

Каждая точка I], спектра плана 6 представляет собой последовательность импульсов, "развернутую во времени", т.е.

и! ={[«'(0)]Г)[«'(1)]Г,...,[и'(Л^- 1)]Г. = 1,2

£с: Л"1" определяет область допустимых входных сигналов.

Нормированная информационная матрица М{£) плана (3) определяется соотношением

Ме) = £дл/(с/,). (4)

/»1

где М{и,) - информационные матрицы точек спектра плана.

В теории планирования оптимальных экспериментов принято оценивать качество плана 6 по значению некоторого функционала от информационной матрицы М(б) или соответствующей ей дисперсионной матрицы Л/"'(Е). Остановимся на критерии О-оптимальности. Планы £", оптимальные по этому критерию, удовлетворяют условию

е* = агётахйегМ(Е) или £' = аxgmmdetM'l(S). (5)

О-оптимальный план минимизирует объем эллипсоида рассеяния оценок параметров.

Применение методов планирования оптимальных экспериментов при решении задач параметрической идентификации математических моделей динамических систем повышает точность оценивания неизвестных параметров и, следовательно, эффективность проводимых исследований.

Поскольку для модели (1), (2) нормированная информационная матрица М(£) плана, информационные матрицы М(1/,) точек плана и сам

оптимальный план зависят от неизвестных параметров 0, здесь и далее будем вести речь о локально D-оптнмальном планировании.

Во второй главе выведена и проанализирована формула для информационной матрицы одноточечного плана, исследованы основные свойства нормированных информационных матриц планов, доказана эквивалентность непрерывного D-оптимального и минимаксного планирования. Результаты представлены в виде теорем.

Теорема 1. Для математической модели (1), (2) элементы информационной матрицы M[U) - Л/(£/;0) плана, сосредоточенного в одной точке UT = {?/(0),fir(l),...,Nr(jV-1)}, определяются выражениями

+Sp

Е

ееj ~ v ' г®,

-t-Sp

,oL2

(6)

е&, " v' ' '' dQj где I(f + 1) = [Hit +1 )P(t +1 \t)HT{t +1) + R(t +1)]'Z; P{t + l|f) = E\[x{t +1) - *(/ +l|f)][x(/ +1) - i(f + 1|0]Г } -

ковариационная матрица ошибок одношагового прогнозирования; x(t + = E\x(t + - оценка одношагопого предсказания состояния

x(t + 1) по измерениям

При этом справедливо представление

M(U;e) = JV(U;&)+A(&), (7)

в котором элементы матрицы JV в случае х(0) = 0 квадратичны по U, т.е.

Wt(U-,0) = UWtUi /J = 1,2,..., J. (в)

Следствие. Если п математической модели (1), (2) w(t) = 0 для / = 0,1,...,TV— 1, элементы информационной матрицы одноточечного плана определяются выражениями

Mv(U)=t

H{t +1)

dx{t + \)

д©,.

(9)

т.е. (6) совпадает с известным выражением для детерминированной модели неявного вида и обобщает ранее полученные результаты.

Теорема 2.

1. Для любого непрерывного нормированного плана 6 информационная матрица M(S) - вещественная, симметричная, положительно полуопределенная матрица порядка S.

2. Множество матриц Л/(Е), соответствующее всем возможным нормированным планам (3), выпукло. Если область допустимых входных сигналов £2(/ замкнута, то и множество информационных матриц замкнуто.

3. Для любого непрерывного нормированного плана С всегда найдется

г í(i + l) .

план о, спектр которого содержит не более чем —^--^' точек и информационная матрица которого совпадает с информационной матрицей М{ 8) плана 8.

При переходе от статических систем к стохастическим линейным дискретным системам основные свойства нормированных информационных матриц планов не меняются. Остается справедливой и теорема эквивалентности непрерывных D-оптимальных и минимаксных планов.

Теорема 3. Следующие утверждения:

1. план Б* максимизирует det М(6);

2. план 8* минимизирует

fnsxSp [Л/-'(£)М(1У)];

3. ¡njW-Sp [A/"'(E*)M((7)] = í - эквивалентны.

Информационные матрицы всех планов, удовлетворяющие условиям 13, совпадают. Любая линейная комбинация планов, удовлетворяющих 1-3, также удовлетворяет 1-3.

Следствие. В точках D-оптимального плана

8' Sp[M~l(E')M(U)]

достигает своего максимального значения S.

Таким образом, оптимальное планирование экспериментов для стохастических линейных дискретных систем обобщает и развивает теорию активной идентификации в задачах статики.

В третьей главе приведены прямая и двойственная процедуры синтеза D-огггимальных планов, предложен алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана, рассмотрены вопросы вычисления градиентов в процедурах синтеза D-оптимальных планов.

Поскольку оптимальные планы для функционалов det М{8) и lndet М(Б) совпадают, перейдем от экстремальной задачи (5) к эквивалентной задаче

4'[il/(S)] = —ludet j\/(8) —> (10)

которую можно решать непосредственно методами условной оптимизации (такой подход мы будем называть прямым). Построим следующую итерационную процедуру, модифицирующую первую часть алгоритма Денисова - Лаптева.

1. Зададим начальный невырожденный план = '^о'

X А .А'-чА

Вычислим информационные матрицы одноточечных планов

М(С/[°),Л/((/2°).....M{U°) и, по формуле (4), информационную матрицу

М{60) всего плана Е0. Положим / = 0.

2. Считая веса р[,р[ фиксированными, для задачи

^[Mie^-lndetMte,)-» min; U' ei^; # = 1,2.....Jt (11)'

сделаем одну итерацию методом проекции градиента:

tf'^n^ji/'-a^fMCe,)]}, (12)

где ÜT ={U{,U{,...,Ul) - вектор размерности k-N-r; ПП(?(а) -проекция точки а на множество П0; а, - длина шага.

Составим план Е, — 1 i и вычислим M(Ul']),

[ Pi> Pi> ■••> Рк I

M(Ufl),...,M{Ul+[).

3. Зафиксируем точки Ul*l,Ui+l,...,U't+l и для задачи

¥[M(6,)] = -lndetM(e,)-> min , £pl = l, p> Z0, 1 = 1,2,...,* (13) сделаем одну итерацию методом проекций градиента Розена:

¿i+1=p'--ß,PV?*F[A/(e,)], (14)

где рт = {Pi,P2, --,Pi, ); ß/ - длина шага; Р - матрица оператора проектирования.

r р fur,ur,...,ur\

L-оставим план Ь,., = < г., ,,, },

4. Если выполнится неравенство

¿[Iur-uif+W-p!)1]^, .

где у - малое положительное число, перейдем на шаг 5; в противном случае для / = I + 1 повторим шаги 2 и 3

5. Вычислим

н если окажется, что для каждого 1

|бОГ,е;+1Н<у,

закончим процесс; иначе повторим все сначала.

Другой, альтернативный рассмотренному, подход (его мы будем называть двойственным) к решению задачи (10) основан на теореме эквивалентности непрерывных О-оптимальных и минимаксных планов. Учитывая специфику нашей задачи, предложим следующую модификацию алгоритма Федорова.

1. Зададим некоторый невырожденный план Е0 и вычислим по формуле (4) нормированную информационную матрицу М{80) плана. Положим 1-0.

2. Найдем локальный максимум

Г/<'»=аг8щах8(ад) = агВ}р^хф[Л/-1(е/)А/(1/)] (15)

методом проектирования градиента. Если окажется, что

|5([/М, £,)-■*!<;-у.

Закончим процесс. Если

перейдем к шагу 3; в противном случае будем искать новый локальный максимум.

3. Вычислим аг 1

а,:

, если / нечетное; / + 1

где

аге тах 1п с!е1 М\ Е?,, I, если /- ч(

=(1 - + а.е(г/(;)).

(16)

4- Составим план

6/+1 =(1-а,)£/ +а1£(С/1'>), (17)

произведем его округление и, полагая / = I + 1, перейдем на шаг 2.

Мы рассмотрели две принципиально разные итерационные процедуры синтеза О-оптимальных планов для стохастических линейных дискретных систем. Эффективность применения рассмотренных алгоритмов существенным образом зависит от специфики решаемой задачи. В общем случае не представляется возможным отдать предпочтение тому или иному

алгоритму планирования. Предлагаем для уточнения начального плана использовать прямой алгоритм, а затем обращаться к двойственной процедуре синтеза входных сигналов (прямой двойственный подход).

Для реализации разработанных процедур численного построения непрерывных О-оптимальных планов обязательно нужно иметь алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана. Приведем этот алгоритм.

1. Положим М(и)~ 0; р(ф) = р(0); Г , изменяющегося от 0 до N — 1, выполним:

2. Сформируем матрицы

ар(о|о) д®, ''

0, 1 = 1,2,...,5. ДЛЯ

Ч'Ч'+и),

дФт{1 +1,0 дФг({ +1,0' атг(/ + 1,0

50,

ОЭ,

50.

Если I — 0, перейдем на шаг 5.

а п п \ дКМ

). вычислим К2 (¡) и —— по формулам

зк,Ь) 5Ф(г+1,0

дЩ ■ 80,

Ф0 + 1.0

50,

Здесь значения матриц К^) и

дискретному моменту времени. 4. Сформируем А",, (/):

50, сВД еэ,

АГ,(0; / = 1,2,...,5.

(18) (19)

(20) (21)

соответствуют предыдущему

50,

501

дЩ 60,

■^(ОЕ-'О)

(22)

Значения матриц и ' = 1,2,...,.?, отвечают предыдущему I ■

5. Вычислим + и +

Фл(1,0)*(0) + Ч'Л110)и(0), если / = 0;

+ если 1>0-

V I 1П -1®' если '=

если / > 0, (24)

где-

Ф(/+М) дФ(( + 1,0

ЯЭ,

аоо+и)

о

д&,

О

о

(25)

6. Вычислим +

7. Сформируем матрицы Г(/ +1,(), £)(/), Н(* -И), Л(г + 1).

8. Вычислим формулам

?(г+1И = Ф0+1,/ИгИФт0+1,0+г(г+1,/)е(0гги+1,0; (26)

+1) = Н(( + 1) + 1|/)#г (/ +1) + Я(/ +1); (27)

= (28)

Г1(/ + 1)=?(/ + 1|/)Яг(/ + 1)Е-,(< + 1); (29)

.Р(Г+1|Г+1)=[/-А:1^+1)2-1(Г+0Н(/ + 1)]Р(/+1|/). (30)

9. Используя соотношения'

(31)

(32)

а&;0 + 1) = д®,

5Р(/41|?-Н) 30,

2-'(/+1);(33)

=[/-*,(/+1)2-'(/+1)я(/-и)]

010+1) дК,{1 +1)'

0©,

д®,

+ + + 1|0. (34)

йР(* + 1|*) ЭЕ(/ + 1) 5ЛГ,(/ + 1) йР(/ + 1|/ + 1)

найдем -57т-, ----——, ----для нсех

50, ' 50 I - 1,2,...,5.

10. По формулам (6),

"аг0+1|0а*г(/+1|/)~

ев,

50,

Е

д0,

50,

= С,[1Л'-И|/) +(/ + 1|/)х1 (/ + 1|г)]С,г, (35)

0,0,...,0,7,0,...,0

(36)

получим приращение ДА/(£/) информационной матрицы, отвечающее теку • щему значению /.

11. Положим

М(и) = М{и) + АМ(и).

12. Увеличим I на единицу. Если окажется, что / > N — 1 - закончим процесс. В противном случае перейдем на шаг 2.

Вычислив информационные матрицы Л/(Г/,) одноточечных планов, по формуле (4) можно найти нормированную информационную матрицу Л/(б) плана (3).

Прямая процедура построения непрерывных локально О-оптимальных планов требует вычисления градиентов |5¥[Л/(£)]

у0¥[м(е)]=

ф

Остановимся на первом градиенте:

-М-'(е)

; 7 = 1 х =0,1,...,N-1; 1 = 1,...Д (37)

гч'(Ме)] е

; / = 1 ам(г/,)"

где

дМ(Ц)

сЪф) :

5м, (т)

; а,р =1,2,...,5

(38)

(39)

(40)

+ ди,[х) +

+ dUj( t)

+

Дадим алгоритм вычисления

dM(U)

(41)

dUj(т) '

. 1. Положим 0; p(0j0)= Р(о)

Для t, изменяющегося от 0 до N — 1, выполним:

2. По формулам (18) и (19) сформируем матрицы ФА(/ + 1,() и x¥i(t + l,i). Если t = 0, перейдем на шаг 4.

3. Вычислим К2 (i) по формуле (20). Значение матрицы Kt(() в (20) соответствует предыдущему дискретному моменту времени.

4. Вычислим xA{t+l\t) по формуле (23) и —^—т—г—

по формулам

d^A(t+l\t) diij{x)

8uj{i)

0, если i = 0 и т^О;

} — му столбцу 4^(1,0), если г = 0 и т = 0;

+ f > 0;

(42)

ш

ди/т)

duj{x)

0, если t ^ т; . г

биДт)'

, если t = т..

(43)

5. Вычислим xA(t + l\t) сЧ(т)

6. Сформируем матрицы r(i + l,i), #(/ +1), Л(г + 1).

7. По формулам (26) - (30) вычислим + B(t + l), I(f+1), -A',(/ + l), -bl|i +l).

дМ(И)

8. Используя (41), получим приращение производной - .

дМ(и)

отвечающее текущему значению t, сложим его с ——

9. Увеличим / на единицу. Если окажется, что 1> N — 1 - закончим процесс. В противном случае перейдем на шаг 2.

Вернемся к градиенту (38). Его вычисление облегчается, поскольку

2М = -8р[„-ЧЕ (44)

В двойственной процедуре построения непрерывных локально ГЭ <ш тимальных планов используется градиент

= / = 1,2,..„г; т = 0,1...../V-!. (45)

Поскольку

ss(t/;e) _

(46)

вычисление градиента (45) сводится к уже рассмотренной нами задаче

Г4ПЧ -

(40) нахождения производном ——/-г-.

dUj(x)

Таким образом, методология планирования экспериментов для стохастических линейных дискретных систем гораздо сложнее соответствующих методологий для статических и детерминированных динамических систем.-

В четвертой главе описаны программы DIRECT и DUAL, реализующие, соответственно, прямой и двойственный алгоритмы планирования D-оптимальных входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем. Предполагается, что входные сигналы ограничены по амплитуде. Программное обеспечение разработано на языке программирования Фортран-77, построено по модульному принципу и ориентировано на ПЭВМ типа IBM PC с соответствующей перифериен и операционную систему MS DOS версии 3.30 и выше.

В пятой главе дано описание математических моделей смесительного бака и системы управления космическим кораблем, построены их дискретные аналоги и приведены примеры синтезированных D-оптнмальных входных сигналов.

Смесительный бак наполняется с помощью двух потоков, имеющих переменные мгновенные расходы F^(t) и (/). Входные потоки содержат растворимое вещество с постоянными величинами концентрации Су и С2. Выходной поток имеет массовую скорость истечения Р^). Содержимое бака перемешивается так, что концентрация выходного потока равна концентрации С(/) в баке.

Запишем уравнения баланса масс для бака и после некоторых элементарных преобразований получим:

„/^.„/^ , Яо

dt

(47)

(48)

dt V(t) 1W V(t)

где F(/) - объем жидкости в баке; £ - экспериментальная константа; 5 -площадь поперечного сечения бака.

Предположив малыми отклонения Hi(0> ш(') от уста-

новившихся значений V0, С0, F10, F10 соответственно, проведем линеаризацию (47), (48) и перейдем к уравнениям

аШ- к гШ+цЛО+МО:

dt

¿ш к

dt V^S

Введем параметр

2

к

M.2(f)-

(49)

(50)

0 =

к к^'

называемый временем заполнения бака, векторы х(() = [^(О^гО)] > м(/) =[ц.,(;),Ц2(')]Г и на основании (49), (50) запишем матричное уравнение состояния смесительного бака:

dx{t) dt

"2© 0 -

0

1 0.

x(t) +

1

Q - С* Vo

1

Cr ~~ Cr\

Vo

u(t).

Дополним (51) уравнением выходной переменной

ГО. 01 0]

>(0 =

0 1

x(t).

(51)

(52)

Предположим теперь, что процессом управляет ЭВМ. В резулыи.. клапанная регулировка изменяется только в дискретные моменты времени и остается неизменной на интервале Т между ними. Считая период квантования T — tм—tl постоянным, построим дискретный аналог непрерывной системы (51), (52) и перейдем к стохастической системе (1), (2) с

ф:

20

У =

( г 1 ( т )

20 1-е~2® 20 1-е 2®

к 1 /

©(С,-С0)

т \ 1-е"®

©(С,-С0)

тЛ

Г:

"1 0" , н= "0.01 0"

0 1 0 1

(50

(54)

Структурная схема непрерывной системы управления космическим кораблем приведена на рис. 1.

>

Рис. 1. Структурная схема системы управления космическим кораблем

Здесь Кр - коэффициент усиления датчика положения; Кг - коэффициент усиления датчика скорости; ,/„ - момент инерции корабля.

Система позволяет осуществлять управление положением космического корабля по одной координате. Для построения системы управления по трем пространственным координатам необходимо добавить две аналогичные системы (предполагается, что в динамике управление координатами может осуществляться независимо).

Введем фазовые переменные и запишем уравнения системы и пространстве состояний

где 0, =

L.

Л

<fci(0 dt dx2(t)

L dt J

°2 " J. '

МО-[|.в£й]

(56)

В силу стационарности системы (55), (56) переходная матрица состояний Ф((,х) определяется равенством

®(i,x)=eF('-'), где F

-К Ô]'

(57)

При 0? =7.580, ©2 = 39.453, что соответствует Кр = 1.65-106, Кг = 3.17-105, Jv =4.1822-10' (единицы измерения приведены в соответствие), матрица F имеет два комплексно сопряженных собственных числа Я®, =-3.794-/5.009 и Я® = -3.79-/5.009. В достаточно малой окрестности точки А/= (Я°,Ц) матрица F имеет также два комплексно сопряженных собственных значения

Я, = (-0.501 - Ю. 379)0, 4- 0.Ш2 4- 0.008 4- ¡3.937 ; Я2 = (-0.5014- /0.379)0, - O.l/Oj 4- 0.008 -/3.937

и, следовательно, основная формула для матричной экспоненты (57) имеет вид

где компоненты Zw и Z20 матрицы F определяются равенствами

^10 — » Л.}

я.

Полагая Я1 = <Т4-/Ш; Я2 = СГ образований получим

0,+Я2 -1 02

/со

1

— Xj

-0,-Я, -02

1

-Я,

после некоторых элементарных пре-

Ф(/,т)-= еа{'~х) х

cosco (t - X ) 4-—sin о (t - т) ю

-0

1

J— sin С) (с-т) ш

— sinco(/-t) С)

COSGÛ0-T)- — sino^-T)

со

(58)

чти позволяет построить дискретный аналог непрерывной системы (55), (56) с шагом дискретизации Г и перейти к стохастической системе (1),(21 с

Ф = е°

созюГ+—этсоГ — этсоГ о со

-02 — этюГ соэюГ-—этаГ со <а

Г =

1 О О 1

(59)

о* 4* со

е"^зтю7'-созй)Г] + 1 г"т ^2сг собсо Т + ^оз - ] бш <о Г

2сг

, Я = [1,0]. (60)

В диссертационной работе синтезированы локально Э-оптимальные планы для одномерной стационарной модели, модели смесительного бака н модели системы управления космическим кораблем. При этом информативность входных сигналов возрастала по сравнению с начальными приближениями от 1,1960 до 1,7011-107 раз.

Анализ построенных планов позволил сделать вывод, что при х(0) = О и амплитудных ограничениях на управляющие сигналы для стохастических линейных дискретных систем точки оптимальных сигналов принимают свои Граничные значения. Также было установлено, что статистические характеристики помехи динамики влияют на результаты планирования: изменение ковариационной матрицы может привести не только к перераспределению весов по точкам плана, но и скорректировать весь спектр плана. Информативность входных сигналов тем выше, чем больше их длина и меньше норма ковариационной матрицы помехи динамики.

В заключение сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Известно, что математические методы планирования экспериментов повышают эффективность и корректность проводимых исследований, воздействуя на точность оценивания параметров статических и детерминированных динамических систем. Вопрос о целесообразности применения оптимального планирования при параметрической идентификации стохастических динамических систем до недавнего времени во многом оставался от-цыгым. Результаты, полученные в настоящей диссертационной работе, позволили утвердительно ответить на этот вопрос и закрыть имевшиеся

проблемы в области теории и методологии планирования экспериментов для стохастических линейных систем с дискретным временем.

В диссертационной работе впервые в России при заданных ограничениях на область планирования были построены непрерывные локально D-оптимальные планы, отвечающие стохастическим линейным дискретным системам различной природы. Численные расчеты показали, что по сравнению с начальными приближениями мера информативности синтезировак-ных входных сигналов возрастала ог 1.1960 до 1.701 ЫО7 раз, и подчеркнули существенность учета статистических характеристик помех динамики при планировании.

Значительную роль при получении данных результатов сыграл проведенный анализ структуры информационной матрицы одноточечного плана, который позволил преодолеть проблему вычисления математического ожидания, аналитическими преобразованиями привести соответствующее выражение к виду, удобному для машинной реализации, вообще сделал возможным практическое применение идей алгоритмов Денисова-Лаптева и Федорова. Вместе с тем было доказано, что при переходе от статических и детерминированных динамических систем к стохастическим линейным дискретным системам основные свойства нормированных информационных матриц планов не меняются. Остается справедливой теорема эквивалентности D-оптимального и минимаксного планирования.

Разработанная автором программная система позволила решить сложную задачу планирования D-оптимальных входных сигналов.

Основные положения диссертации отражены в работах:

1. Абденов А.Ж., Денисов В.И., Чубич В.М. Оптимальная идентификация параметров стохастических систем // Электронная техника. Сер. 7. Технология, организация производства и оборудование. Вып. 3

(172), 1992. - с. 44-48.

2. Абденов А:Ж., Денисов В.И., -Чубич В.М. Введение в оценивание и планирование экспериментов для стохастических динамических систем: Учеб.пособие / Новосиб.гос.техн.ун-т. - Новосибирск, 1993. - 45 с.

3. Полетаева И.Л., Чубич В.М. Планирование D-оптимальных входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем. - Тез.докл. Российской научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций". - Новосибирск, 1994. - с.135-136.

4. Разработка интегрированных систем планирования эксперимента и uóji.i ■ ботка данных для ПЭВМ: Заключительный отчет. / НПУ, научи, ру-ковод. Денисов В.И., № ГР 01.920005973; Ига. № 02.9.50 002131. - Новосибирск, 1994. - 94 с. - На тит. л. исп.: Денисов В.И., Чубич В.М., Деггерев A.C.

5. Денисов В.И., Полетаева И.Л., Чубич В.М. Программно-математическое обеспечение задачи планирования D-оптимальных управляющих сигналов для стохастических линейных дискретных систем. - Тез. докл. Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-94", т.2. - Новосибирск, 1994. - с.56-64.

6. Денисов В.И., Чубич В.М. Основные свойства информационных матриц в задачах планирования оптимальных входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем. - Тез. докл. Международной научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций", т.1. - Новосибирск, 1995. - с.65-68.

7. Денисов В.И., Чубич В.М. - Исследование информативности входного сигнала по его длине и корреляционной матрице помехи динамики на примере одной дискретной системы, - Тез. докл. Международной научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций", т.1. - Новосибирск, 1995. - С.35.-37

8. Денисов В.И., Чубич В.М. Планирование D-оптимальных управляющих сигналов для стохастических линейных дискретных систем / / Научный вестник НГТУ, 1995. - Nal. - с.17-31.