автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Активная идентификация дискретных ARMAX-моделей

РГБ ОД

з 1 мая да

На правах рукописи

Еланцева Ирина Леонидовна

АКТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ АЯМАХ-МОДЕЛЕЙ

Специальность 05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в области технических наук)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 1999

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный руководитель: д-р техн. наук, проф.

Денисов В.И.

Официальные оппоненты: д-р техн. наук, проф.

Лбов Г .С. канд. техн. наук, доц. Русин Г.Л.

Ведущая организация: Томский университет систем управления и

заседании диссертационного совета Д063.34.03 при Новосибирском государственном техническом университете (630092, Новосибирск-92, пр. К.Маркса, 20).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

радиоэлектроники

Защита состоится

часов на

Автореферат разослан " 3 " деле О-дра. 1999 г.

II

Ученый секретарь диссертационного совета канд. техн. наук, доц.

Чубич В.М.

Ш.б-оиис; о

Общая характеристика работы

При выборе вида математической модели для описания некоторой динамической системы необходимо руководствоваться не только имеющейся информацией о системе, но и целями моделирования. Возможность преобразования модели одного вида к эквивалентной модели другого вида, позволяет шире использовать существующие алгоритмы и методы идентификации. Развитию теории и практики эквивалентного представления динамических систем с помощью моделей разного вида способствовали труды А.Ванечека, Д.Гропа, Л.Льюнга, П.Эйкхоффа и др. Тем не менее не были полностью разработаны вопросы преобразования многомерных стохастических моделей пространства состояний к многомерным авторегрессионным моделям с управляющим сигналом и скользящим средним (АИМАХ-моделям).

Задача идентификации математической модели динамической системы параметрическими методами при известной структуре модели заключается в оценивании неизвестных параметров по последовательностям наблюдений за измеряемыми входами и выходами системы. Применение параметрических методов для идентификации модели рассмотрено в работах Д.Гропа, Е.З.Демиденко, Р.Л.Кашьяпа, Л.Льюнга, Дж.Мелса, Р.Мехры, А.Р.Рао, Э.П.Сейджа, П.Эйкхоффа и др. Авторы, работавшие над вопросами идентификации АКМАХ-моделей, решали задачу оценивания всех параметров модели, не учитывая возможность того, что некоторые параметры модели известны и не требуют оценивания. Возможность сокращения числа оцениваемых параметров для некоторых динамических систем вполне актуальна и позволит значительно уменьшить количество проводимых вычислений.

Современный этап развития теории и практики параметрической идентификации математической модели характеризуется все более широким распространением идей и методов активной идентификации. Стратегия активной идентификации предполагает использование специально синтезированных, наиболее информативных входных сигналов, в результате чего улучшается точность оценивания параметров и повышается эффективность проводимых исследований. Количественной мерой информативности входного сигнала может служить значение некоторого функционала от информационной матрицы модели динамической системы.

Активной идентификации по этому принципу посвящены труды

A.Ж.Абденова, Ю.П.Адлера, В.Г.Горского, В.И.Денисова, Г.К.Круга,

B.В.Налимова, А.А.Попова, Ю.А.Сосулина, А.М.Тапалая, В.М.Чубича, В.А.Фатусва, Дж.Л.Гудвина, М.Б.Зарропа, Р.К.Мехры, Р.Л.Пейна и др. Данная работа посвящена решению задачи активной идентификации дискретных линейных ARMAX-моделей с использованием D-оптимального планирования входных сигналов во временной области.

Цель н задачи исследований. Целью данной работы является разработка математического и программного обеспечения задачи преобразования модели линейной дискретной стационарной стохастической динамической системы, заданной в терминах пространства состояний, к эквивалентному представлению в виде ARMAX-модели, а также разработка математического и программного обеспечения задачи активной идентификации ARMAX-модели. Для достижения поставленной цели решаются задачи:

1. Получение формулы вычисления информационной матрицы одноточечного плана для ARMAX-модели с детерминированным управляющим сигналом с учетом априорной информации о параметрах модели.

2. Разработка алгоритмов и программ синтеза D-оптимальных входных сигналов для ARMAX-модели с детерминированным управляющим сигналом с учетом априорной информации о параметрах модели.

3. Разработка и реализация алгоритмов оценивания параметров и ковариационных матриц возмущений многомерных ARMAX-моделей с детерминированным управляющим сигналом, в которых предусмотрена возможность уменьшения размерности вектора оцениваемых параметров в случае точного задания некоторых параметров.

4. Исследование работы предложенного программного обеспечения задачи активной идентификации на моделях динамических систем.

5. Разработка алгоритма и программы преобразования линейной дискретной стационарной стохастической модели пространства состояний с системными матрицами произвольного вида и с несколькими входами и выходами к виду многомерной ARMAX-модели с детерминированным управляющим сигналом.

Методы исследования. Поставленные задачи решаются с помощью методов современной теории параметрической идентификации, теории

случайных процессов, математической статистики, вычислительной математики, программирования, теории управления и линейной алгебры.

Научная новизна. Разработано и исследовано программно-математическое обеспечение задачи активной идентификации АИМАХ-модели с учетом априорной информации о параметрах модели на основе синтеза О-оптимальных планов входных сигналов. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение задачи преобразования модели линейной дискретной стационарной стохастической динамической системы, заданной в терминах пространства состояний, к эквивалентному представлению в виде АКМАХ-модели.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Формулы и алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана для АКМАХ-модели с детерминированным управляющим сигналом с учетом априорной информации о параметрах модели;

2. Алгоритмы синтеза О-оптимальных входных сигналов для АЯМАХ-модели с детерминированным управляющим сигналом с учетом априорной информации о параметрах модели;

3. Алгоритмы оценивания параметров и ковариационных матриц возмущений многомерных АЯМАХ-моделей с детерминированным управляющим сигналом, в которых предусмотрена возможность уменьшения размерности вектора оцениваемых параметров в случае точного задания некоторых параметров;

4. Программное обеспечение для активной идентификации АКМАХ-моделей.

5. Алгоритм и программа преобразования линейной дискретной стационарной стохастической модели пространства состояний с произвольными системными матрицами и с несколькими входами и выходами к виду многомерной АГШАХ-модели с детерминированным управляющим сигналом;

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается использованием аналитических методов построения алгоритмов, а также подтверждением работоспособности алгоритмов результатами вычислительных экспериментов.

Практическая ценность и реализация результатов. Работа над алгоритмическим и программным обеспечением решения задачи активной

идентификации АКМЛХ-моделкй проводилась в рамках госбюджетной НИР по теме "Интегрированная система для исследования многофакторных объектов с использованием линейных моделей с качественными факторами".

Апробации работы. Отдельные положения диссертационной работы и ее некоторые результаты докладывались на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-94" (1994г.), на Российской научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций" (1994 г.), на Третьей Международной Научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-96" (1996г.), на научных семинарах кафедры прикладной математики НГТУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 5 печатных и 2 отчета по НИР. В конце реферата приведен список публикаций, в которых отражены основные результаты.

Личный вклад. В опубликованных работах автору принадлежат результаты, изложенные в тексте диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного содержания, заключения, списка литературы (87 источников) и приложения. Общий объем - 170 страниц, включая 27 рисунков и 12 таблиц.

Основное содержание работы

Введение. Во введении дана общая характеристика диссертации, приведено краткое содержание работы по главам.

Глава 1. Постановка задач исследования

Первая глава носит обзорный характер. В п. 1.1 рассмотрены цели математического моделирования и требования, предъявляемые к математической модели динамической системы.

В п. 1.2 дана краткая классификация существующих параметрических и непараметрических методов идентификации динамических систем. Для стохастической линейной дискретной модели пространства состояний:

[*(/) = Ф(0) • х(/ - 1) + 1Р(0) • и(/ - 1) + Г(0) • е{1 - 1),

у(1) = II • *(/) + у(Г), ' = 1,2,..., N, х(0) = ха.

с независимыми нормально распределенными возмущениями e(t) и шумами v(t), оцениванием вектора параметров 0 занимались Гроп Д., Мехра Р.К.

При формулировании задачи идентификации модели, описывающей авторегрессионый процесс y(t) с детерминированным управляющим сигналом u(t), трендом \y(t) и скользящим средним использовались обозначения, принятые у Лыонга Л., Кашьяпа Р.Л. ARMAX-уравнение имеет вид:

A(D)y{t) = G{D)u{t) + F\>(t-\) +B{D)w{t), w(t)~N( 0,р), (2)

т | т з /и2

A{D) = I-YJAjDi, G(D) = YGjDJ, B{D) = I + Y,BjDJ ,

>=1 j=1 j=l

где D y(t) = у (t-1) - оператор задержки на 1 шаг. Идентификации ARMAX-моделей посвящены труды Д.Гропа, Е.З.Демиденко, Р.Л.Кашьяпа, Л.Лыонга, Дж.Мелса, Р.К.Мехры, А.Р.Рао, Э.П.Сейджа, П.Эйкхоффа.

Кратко рассмотрены некоторые возможности использования эквивалентных математических моделей.

В п. 1.3. рассмотрены методы пассивной и активной идентификации динамических объектов. Понятие дискретного нормированного плана управляющих сигналов е заимствовано у Денисова В.И., Адлера Ю.П.:

(3)

[/, и2 ... ик

Pi Pi — Рк

где U,= {(и '(0))г, {и '(1))г,.., (и '(N-\))T }т, U,- eQf/.

В данной работе рассмотрены только D-оптимальные планы е*:

к

s* = argmaxdetM(E) = argmin(-lndetM(s)), где М(е) = ■ M(Uj),

Е Е /=1

где М(е.) и M(Ui ) - информационные матрицы плана s и одноточечного плана С/,-.

В п.1.4. обоснованы и сформулированы основные результаты данной работы.

Глава 2. Построение эквивалентных моделей

В п.2.1. и 2.2 рассмотрены случай преобразования к ARMAX-модели математической модели вида (1) с невырожденной матрицей наблюдений H и

случай преобразования модели со скалярными входными и выходным сигналами. В п.2.3 приведена методика построения ARMAX-модели, эквивалентной исходной многомерной стохастической дискретной модели пространства состояний с векторными входными и выходным сигналами и матрицей наблюдений полного строчного ранга. Аналогичные задачи для детерминированных систем решали Ванечек А., Грои Д., Лыонг Л.

Вектора исходной модели (1) имели следующие размерности: п -размерность пространства состояний, т - размерность выходного сигнала, г -размерность управляющего сигнала,/? - размерность вектора возмущений.

В качестве промежуточного вспомогательного шага исходная модель (1) преобразуется к виду сопровождающей формы:

x{t) = A-x{t-\) + G-u(t-\) + f-e{t-\), ?(0) = х0,

(4)

X/) = C-?(/) + v(/), / = 1,2,...,JV, Матрицы модели (4) связаны с матрицами модели (1) соотношениями: A = Ny<bNy~\ G = Ny-Ч\ r = NT-r, С = Н-//уч, x = Nyx, где матрица наблюдаемости ¿V, построена по формуле:

- (Н,Фг-1)г НJ - (НтФг-')г]Г,

где Н„ i- 1,...,т, - j'-я строка матрицы Н, rank Ny = п, у = п / т - индекс наблюдаемости (натуральное число).

Для стохастической модели (1) эквивалентное уравнение "вход-выход" содержит сумму компонент двух случайных входных последовательностей, которую в данной работе предлагается описать процессом скользящего среднего для случайного вектора w(t):

w(t) + B\w(t -l)+...+BTw(i-y) =

s Dxe{t - 1 )+...+Dye(t - у) + v(/) - A,v(t - 1)-...-Ayv(t -y). Матрицы авторегрессии Ak = |а*;Л;=1, ...,m k = l,...,y, образованы

1 j = \,...,m

перегруппировкой элементов матрицы состояния в сопровождающей форме A=\Aij /=1.....т

1 J;=i.....ш

0 1 • 0 0 0 0

Л„ = 0 0 1 ■ 4 = 0 0 •• 0

а1,а,-1+2 '

=а;,о,-*+1> к = 1,...,у, г"=1,...,т, / = 1,...,т, а, = / • у - частичные суммы индекса наблюдаемости = 0,...,т. Для построения матриц Вк (Л=1,..., у) сформировали блочную матрицу:

7=1 ,...,/71

и вычислили Г = Н° • Г, Г =

Я;

+2

7,ау_|+4

5„

!/ О

б„

/=!,...,/я '

м.....Р

,(6)

Матрицы А (А: =1,..., у ) образованы перегруппировкой элементов матрицы Г :

Для вычисления характеристик процесса скользящего среднего {к = 1, ..., у ) и ковариационной матрицы возмущений АЯМАХ-процесса р необходимо приравнять ковариации левой и правой частей выражения (5). Обозначим

5,(0 = *(/) + - 1)+...+- у);

$2(/) = £>,е(/ - 1)+...+Оу<?(/ - у) + у(/) - - 1)-...-у4ту(/ - у).

Одновременное решение уравнений (0^1 ('_ _/)] = £[^2(0^2 ('_ ./)] ПРИ у = 0,...,у позволит вычислить характеристики процесса скользящего среднего. Полученная многомерная АИМАХ-модель, эквивалентная исходной модели пространства состояний (1), имеет вид:

+ и>(/) + 5, • и</ - 1)+...+Ву ■ - у).

(7)

где t -y,y+l,...,N, w(t) - m-всктор возмущений, w(r) ~ N (0, p).

Матрицы управления С7А = у]/=1,...,<я в уравнении (7) сформированы использованием матрицы (6) и матрицы управления модели (4): ¿7 = Н" • С\

G =

а,

' ¿кг, -кл 1,7 '

к = 1,...,у, ( = \,...,т,

1 ,...,г.

В п.2.5 использование предложенной методики построения эквивалентных моделей динамических стохастических систем проиллюстрировано на примерах моделей с невырожденной матрицей наблюдений и с вырожденной матрицей наблюдений для случаев скалярных и векторных входных и выходных сигналов.

Глава 3. Оценивание параметров АИМАХ-моделн

В данной главе определены условия идентифицируемости АКМАХ-модели (2) с детерминированным управляющим сигналом, описаны алгоритмы оценивания параметров условного максимального правдоподобия и на основе ограниченной информации с учетом априорной информации о значениях параметров. Работа данных алгоритмов, их достоинства и недостатки исследованы на примерах.

В п.3.1 кратко рассмотрены этапы идентификации АЯМАХ-модели. С использованием обозначений, принятых у Кашьяпа Р.Л., процесс (2) представлен в матричном виде:

ХО = - 00 + 40. (8)

где t = птах, птах+1,..., N; птах = шах (/пь т2, т}), 0 - я-вектор параметров.

-1) 0

Z{t-1) =

о

1)

где 2Т(1-\) = [уЦ1-1),...,ути-т1),иГ((-\).....1<г({-т}), уф-!),

- —т 2)]- вектор размерности пг~ т т|+ 1\-гП}+ ¡х+ т т2.

Чтобы учесть возможность точного задания некоторых компонент вектора параметров 0 модели (8), введен в рассмотрение вектор 0(/, содержащий неизвестных компонент вектора параметров 0 с номерами ¡2,..., ¡с!; 1 < с1 < п . Идентификация модели (8) заключалась в нахождении оценок вектора 0^. Вектор 0 содержал значения (п-с1) известных параметров и оценки с1 неизвестных компонент вектора 0.

Оценки возмущений АЯМАХ-процесса (8) вычислялись по формуле:

Н'{/,0) = >•(/)--1)0 , /=юиах, (9)

где матрица 2(г.-1) формируется аналогично матрице У.(! -1) из строк гг(/ - 1) = \уТЦ - 1),...,уг0 - т - 1),...,Иг(* - щ ¿.утц _ 1),

Начальные данные: 0)= ™(1,0)= ...= п(птах-\ ,0) = 0. Производные г-й компоненты вектора \у(г,0) по неизвестнойу'-й компоненте вектора параметров (/'=1 ,...,т ; _/'= ¿¡, ¡2,..., ¡а) вычислялись рекуррентно по формуле:

д>у,(г,е)

иа>у,(г-А,9) г , ■г,(/-!)- 2 X-тк->если У7"; ='•

(10)

_ V а

¿Г, дв; ^¡-Ъ+к-м+Ъ ■

где Аг2=т /Л] +/] -ту+к, I =У - / • п 2 .

В п.3.2 доказана необходимость и достаточность линейной независимости компонент вектора ?(/ - 1) для идентифицируемости модели (8).

В п.3.3 рассмотрен алгоритм вычисления оценок условного максимального правдоподобия (УМП) параметров ср = {0</, р} по последовательностям входного и выходного сигналов (У (ЛГ)={и {N-1),..., и (0)}, У (М)={у(№), ...,у(0)}. Функция условного правдоподобия имеет вид:

7|(ф) = 1пр[у(/\0, ...,у(птах) \у(птах-\\ ...,>'(0), ф]. Оценки УМП вектора ср вычислены по формуле:

(0/,Р*) = ат-иир У2(0,р)к

К.р

и

где функционал Л(ф) = —'- при Nt=N +1- птах. Оценки неизвестных

компонент модели вычисляются в результате итерационной двухшаговой процедуры при ¿=0,1,...:

(I) = arg|sup-/2(e,pA )|;

* * 1 /=пшах

В данной работе реализованы алгоритмы решения оптимизационной задачи (I) с использованием метода Ныотона-Рафсона и метода Дэвидона-Флетчера-Пауэла. Градиент и якобиан функционала вычислялись по формулам:

ve/2(0</>р) = 4- 2 I (Vo<,wf(i,0))(p-') Wj{t,Q),

/v 1 /=nmax ;',/=1 , N m ' f=nmax /,; = !

Проведенный сравнительный анализ работы данных методов для нескольких моделей не выявил явного превосходства какого-либо из методов и позволил рекомендовать оба алгоритма к применению.

В п.3.4 рассмотрен алгоритм вычисления оценок вектора параметров 0</ на основе ограниченной информации. Данный метод применим в том случае, когда матрицы Bj , j = 1,..., от 2, и р диагональны. Использовав разложение вектора 0 на подвекторы 0 = (0 i г, 6 2 Т0 /)т, где 0 ,■ - вектор размерности п (i= m-mi+lrm3+l2+m2, i=l,2,...,m, и представив ARMAX-процесс (8) в виде m скалярных процессов:

>'i(0 = ß1r(f-l)- 0, +vv,(i), (П)

где ß,(i-l) = [/(М),...,/(r-m,), uT{t-1),..., u\t-m}), y/1'(t-\), w,(t-l),..., w ,(i-m2)]', определили задачу идентификации модели (И) как решение m независимых задач

N ?

9* = arg min 7Д6,), где У/(0/)= 1>,- (/,9, ), / =1,...,ю .

9 /=птах

Проведенный в п.3.5 сравнительный анализ работы алгоритмов вычисления оценок условного максимального правдоподобия и оценок на основе ограниченной информации выявил преимущества второго метода для моделей, заданных с диагональными матрицами скользящего среднего. 11о специальное предварительное приведение моделей к этому виду не рекомендуется в силу увеличения числа параметров модели и их зависимости.

Глава 4. Постановка задачи планирования управляющих сигналов

В п.4.1 получена формула для вычисления информационной матрицы одноточечного плана при неизвестной матрице ковариаций р. С использованием предположения о нормальном распределении выходных сигналов, усреднением функции условного правдоподобия и подстановкой вместо неизвестной ковариационной матрицы р ее оценки условного максимального правдоподобия р был получен функционал:

л ЛГ (9rf) = f 1п(2я) +1 lnjdet р| + - j- £ Wr (t ,9)(р)-' w(/,0).

^ z-'vl i=nmax

По теореме Хочвалда-Негоры

= Medod . где Мвл = £ф

d2J2 d&ddQdT _

— i л m л

(12)

+ (V0 W/(i,0))(V0 w7(i,0))r(p)-i]_

При вычислении выражения (12) используются оценки 9. В работе показано, что первое слагаемое в выражении (12) стремится к нулю с вероятностью 1 при N ->°о и оценках 9 близких к истинным значениям параметров. Таким образом, выражение для вычисления информационной матрицы имеет вид:

M{U) = -±- I I [Ve,vv^,0)j[ve/vy(/,0)] -(Р-1),;

''\ i=nmax i'J=l

0=0 р=р

Аналогичная формула получена для случая известной матрицы р. Показано, что при ТУ —> со и оценках 0, близких к истинным значениям параметров, матрица, вычисленная по формуле (13), сходится с вероятностью 1 к матрице

, N т Т

J" I I[Vo>v,(r,0°)][Vowy(r,eO)]7 .(рО)-.

1 /=nmax i,j=I

(14)

В работе показано, что вычисление но формуле (14) даже для простейших моделей чрезвычайно громоздко. В то же время проведенные исследования показали, что формула (13) может быть использована для оценивания информативности управляющего сигнала.

В п.4.3 доказано, что необходимыми и достаточными условиями положительной определенности информационной матрицы (13) является линейная независимость компонент вектора z(t— 1) и достаточное число моментов наблюдений: m ■ N¡ > d. Передоказаны свойства информационной матрицы М(г) и справедливость теоремы эквивалентности для планов управляющих сигналов ARMAX-модели.

В п.4.4 описаны прямой и двойственный алгоритмы синтеза D-оптимальных управляющих сигналов для ARMAX-модели. Приведенное в п.4.5 сравнение планов, построенных с использованием данных алгоритмов для модельного примера, показало их работоспособность.

В п.4.6 приведены результаты активной идентификации для скалярных и многомерной ARMAX-моделей. Активная идентификация была проведена по следующей схеме:

(1) Идентификация модели при произвольном управляющем сигнале;

(2) Построение локально D-оптимального плана управляющих сигналов с использованием оценок параметров, полученных на шаге 1;

(3) Идентификация модели при оптимальном управляющем сигнале, полученном на шаге 2.

Результаты, приведенные в данном пункте, позволяют сделать вывод о достоверности и работоспособности разработанного алгоритмического н программного обеспечения решения задачи активной идентификации ARMAX-моделей.

В п.4.7 исследовано изменение средней ошибки оценивания параметров и матрицы р с использованием произвольных и оптимальных управляющих

сигналов при различном числе наблюдений N и различной ковариации возмущений н(/).

Для скалярной модели с т-1 и т\-тт=тъ=2 проводилось оценивание параметров при 100 произвольных управляющих сигналах и 100 оптимальных управляющих сигналах, вычисленных при различных последовательностях возмущений Некоторые результаты приведены на рис.1.

а) N-22 б)р=0.01

—♦—произвольный сигнал -«-оптимальный сигнал

Рис. 1. Средняя ошибка оценивания параметров

Анализ результатов, приведенных в п.4.7, позволяет сделать выводы, что средняя точность оценивания параметров с использованием оптимального управляющего сигнала выше, чем средняя точность оценивания с использованием произвольного управляющего сигнала; с ростом числа наблюдений преимущество использования оптимального сигнала уменьшается.

Глава 5. Описание программного обеспечения

Пятая глава содержит описание разработанного программного обеспечения, которое состоит из программы построения эквивалентной ARMAX-модели TRANS, комплекса программ оценивания параметров, комплекса программ синтеза D-оптимальных планов управляющих сигналов. Для оценивания параметров реализованы алгоритм условного максимального правдоподобия с использованием методов Ньютона-Рафсона и Дэвидоиа-Флетчера-Пауэла и алгоритм оценивания на основе ограниченной информации. Планирование управляющих сигналов осуществляется с использованием прямого и двойственного алгоритмов. Комплекс программ организован по модульному принципу, обмен информацией между программами осуществляется через файлы.

Заключение. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Приложение. В приложении содержатся акты о внедрении результатов исследований.

Заключение

Эффективность применения математических методов планирования эксперимента для решения задачи идентификации статических и динамических систем не вызывает сомнения. Вопрос о возможности и целесообразности использования Б-оптимальных управляющих сигналов для повышения точности оценок вектора неизвестных параметров АЛМАХ-модели до сих пор не исследовался. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть сформулированы в виде следующих положений.

1. Получены формулы для вычисления информационной матрицы одноточечного плана для АКМАХ-модели в случае известной и оцениваемой матрицы ковариаций возмущений, получены условия невырожденности информационной матрицы.

2. Разработаны алгоритмы и программы синтеза О-оптимальных входных сигналов для АЛМАХ-модели, проведен их сравнительный анализ на модельных примерах.

3. Разработаны программы оценивания параметров и ковариационных матриц возмущений АЯМАХ-моделей методом условного максимального правдоподобия и методом на основе ограниченной информации с учетом точного задания некоторых параметров. Проведен сравнительный анализ работоспособности этих методов и программ на модельных примерах.

4. Исследована работа программно-математического обеспечения задачи активной идентификации с использованием О-оптимальных управляющих сигналов на примерах скалярных и многомерной динамических систем. Исследовано влияние возмущений на качество получаемых оценок параметров.

5. Разработан алгоритм и программа преобразования линейной дискретной стационарной стохастической модели пространства состояний с произвольными системными матрицами к многомерной АЛМАХ-модели.

Результаты исследований показывают целесообразность применения

активной стратегии для идентификации Л R М Л X - м о д с л е й с

детерминированным управляющим сигналом.

Список публикаций

1. Полетаева И.Л., Чубич В.М. Планирование D-оптимальных сигналов для стохастических линейных дискретных систем / Тезисы докладов Российской научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций". - Новосибирск, 1994. - С. 135-136.

2. Денисов В.И., Полетаева И.Л., Чубич В.М. Программно-математическое обеспечение задачи планирования D-оптимальных управляющих сигналов для стохастических линейных дискретных систем / Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭГ1-94", т.2. - Новосибирск, 1994.-С.56-64.

3. Еланцева И.Л. Оценивание параметров и состояний дискретных линейных динамических систем // Труды третьей Международной Научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения" АПЭП-96-Новосибирск, 1996. -Т.6, ч.1. - С.34-36 .

4. Денисов В.И., Еланцева И.Л., Чубич В.М. Сравнение алгоритмов планирования D-оптимальных входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем // Сб. Научных трудов Hl ТУ. -Новосибирск, 1997. - № 3 (8). - С.31 -40.

5. Интегрированная система для исследования многофакторных объектов с использованием линейных моделей с качественными факторами. Отчет по НИР/ НГТУ; Полетаева И.А., Еланцева И.Л., Тимофеев B.C., Фаддеенков A.B. - №ГР 01.970000 786. - Новосибирск. - 1998. - 58 с.

6. Оценивание параметров и планирование экспериментов для стохастических динамических систем. Отчет по НИР/ НГТУ; Денисов В.И., Еланцева И.Л., Чубич В.М. - Новосибирск. - 1999. - 65 с.

7. Еланцева И.Л. Планирование управляющих сигналов для ARMAX-модели // Сб. Научных трудов НГТУ. - Новосибирск, 1999. - № 3 (16). - С.16-24.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Цели математического моделирования.

1.2. Постановка задачи идентификации динамических систем.

1.2.1. Методы идентификации.

1.2.2. Идентификация модели в пространстве состояний.

1.2.3. Идентификация ARMAX-модели.

1.2.4. Эквивалентность моделей динамических систем.

1.3. Связь задач идентификации с теорией планирования эксперимента

1.3.1. Активная идентификация.

1.3.2. Постановка задачи планирования управляющих сигналов.

1.4. Выводы.

Глава 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ К ARMAX-МОДЕЛИ.

2.1. Цели преобразования к эквивалентным моделям.

2.2. Преобразование при невырожденной матрице наблюдений.

2.3. Преобразование модели со скалярными входом и выходом.

2.4. Преобразование модели с несколькими выходами.

2.5. Примеры построения эквивалентных моделей.

2.5.1. Пример преобразования модели с невырожденной матрицей наблюдений.

2.5.2. Пример преобразования модели со скалярным входом и выходом.

2.5.3. Пример преобразования модели с несколькими входами и выходами.

2.6. Выводы.

Глава 3. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ARM AX-МО ДЕЛИ.

3.1. Этапы идентификации ARMAX-модели.

3.2. Идентифицируемость ARMAX-модели.

3.3. Оценки максимального правдоподобия.

3.4. Оценки на основе ограниченной информации.

3.5. Сравнительный анализ методов оценивания параметров ARMAX-процессов на модельных примерах.

3.6. Выводы.

Глава 4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ СИГНАЛОВ.

4.1. Вычисление матрицы Фишера для ARMAX-модели.

4.1.1. Вычисление информационной матрицы в случае неизвестной матрицы ковариаций возмущений.

4.1.2. Вычисление информационной матрицы в случае известной матрицы ковариаций возмущений.

4.2. Вычисление градиентов оценок возмущений.

4.3. Свойства информационной матрицы.

4.3.1. Условия невырожденности информационной матрицы одноточечного плана.

4.3.2. Свойства информационной матрицы дискретного плана.

4.3.3. Теорема эквивалентности.

4.4. Алгоритмы планирования.

4.4.1. Прямой подход.

4.4.2. Двойственный подход.

4.5. Сравнительный анализ алгоритмов синтеза D-оптимальных сигналов на модельном примере.

4.6. Примеры активной идентификации динамических систем.

4.6.1. Скалярные модели.

4.6.2. Многомерная модель

4.7. Исследование точности оценивания параметров.

4.8. Выводы.

Глава 5. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ.

5.1. Программа построения эквивалентных моделей TRANS.

5.2. Комплекс программ активной идентификации ARMAX-модели

5.2.1. Программа генерации последовательностей входных и выходных сигналов GENM.

5.2.2. Программы оценивания параметров ARMAX-модели.

5.2.3. Программы синтеза D-оптимальных управляющих сигналов.

5.3. Выводы.

Современное состояние и анализ темы. При выборе вида математической модели для описания некоторой динамической системы необходимо руководствоваться не только имеющейся информацией о системе, но и целями моделирования. Возможность преобразования модели одного вида к эквивалентной модели другого вида, позволяет шире использовать существующие алгоритмы и методы идентификации. Необходимость преобразования исходной модели к некоторой эквивалентной модели может возникнуть также в случае невозможности идентифицировать исходную модель по причине большого количества неизвестных параметров. Развитию теории и практики эквивалентного представления динамических систем с помощью моделей разного вида способствовали труды А.Ванечека, Д.Гропа, Л.Льюнга, П.Эйкхоффа. Тем не менее не были полностью разработаны вопросы преобразования многомерных стохастических моделей пространства состояния к многомерным авторегрессионным моделям с управляющим сигналом и скользящим средним.

Задача идентификации математической модели динамической системы параметрическими методами при известной структуре модели эквивалентна задаче оценивания неизвестных параметров по последовательности наблюдений за измеряемыми входами и выходами системы. Применение параметрических методов для идентификации модели рассмотрено в работах Л.Льюнга, Р.Л.Кашьяпа, А.Р.Рао, Э.П.Сейджа, Дж. Мелса, Е.З. Демиденко, Д.Гропа, П.Эйкхоффа. Но авторы, работавшие над вопросами идентификации АЯМАХ-моделей, решали задачу оценивания всех параметров модели, не учитывая возможность того, что некоторые параметры модели известны и не 6 требуют оценивания. Возможность сокращения числа оцениваемых параметров для некоторых динамических систем вполне актуальна и позволит значительно уменьшить количество проводимых вычислений.

В настоящее время существует две стратегии идентификации: активная и пассивная. Пассивная идентификация выполняется в режиме нормального функционирования системы. При активной идентификации на вход системы подаются наиболее информативные, специально синтезированные сигналы, в результате чего улучшается точность оценивания параметров и повышается эффективность проводимых исследований. Под информативностью сигнала в качественном смысле понимают возможность идентификации динамической системы на основе данного сигнала. Количественной мерой информативности входного сигнала служит значение некоторого функционала от информационной матрицы вектора неизвестных параметров при построении математической модели динамической системы.

Современный этап развития теории и практики параметрической идентификации характеризуется все более широким распространением идей и методов активной идентификации. Этому посвящены труды

A.Ж.Абденова, Ю.П.Адлера, В.Г.Горского, В.И.Денисова, Г.К.Круга,

B.В.Налимова, А.А.Попова, Ю.А.Сосулина, А.М.Талалая, В.М.Чубича, В.А. Фатуева, Дж.Л.Гудвина, М.Б.Зарропа, Р.К.Мехры, Р.Л.Пейна. Однако не все вопросы, связанные с планированием оптимальных входных сигналов для АИМАХ-моделей, решены. Данная работа позволяет восполнить этот пробел для дискретных стационарных линейных АИМАХ-моделей во временной области.

Цель диссертационного исследования. Целью данной работы является разработка математического и программного обеспечения задачи преобразования модели линейной дискретной стационарной 7 стохастической динамической системы, заданной в терминах пространства состояний, к эквивалентному представлению в виде сопровождающей формы и в виде А1ШАХ-модели, а также разработка математического и программного обеспечения задачи активной идентификации АБШАХ-модели. Для достижения этой цели в диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. Разработан алгоритм и программа преобразования линейной дискретной стационарной стохастической модели пространства состояний с произвольными системными матрицами и с несколькими входами и выходами к виду многомерной АЛМАХ-модели с детерминированным управляющим сигналом;

2. Получены формулы вычисления информационной матрицы одноточечного плана для АЕШАХ-модели с детерминированным управляющим сигналом с учетом априорной информации о параметрах модели;

3. Разработаны алгоритмы и программы синтеза Э-оптимальных входных сигналов для АЯМАХ-модели с детерминированным управляющим сигналом с учетом априорной информации о параметрах модели;

4. Разработаны программы оценивания параметров и ковариационных матриц возмущений многомерных АЯМАХ-моделей с детерминированным управляющим сигналом, в которых предусмотрена возможность уменьшения размерности вектора оцениваемых параметров в случае точного задания некоторых параметров; 5. Исследована работа предложенного программного обеспечения задачи активной идентификации на моделях динамических систем.

Методы исследования. Поставленные задачи решаются с помощью методов современной теории параметрической идентификации, теории 8 случайных процессов, математической статистики, вычислительной математики, программирования, теории управления и линейной алгебры.

Научная новизна. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение задачи преобразования модели линейной дискретной стационарной стохастической динамической системы, заданной в терминах пространства состояний, к эквивалентному представлению в виде АКМАХ-модели. Разработано и исследовано программно-математическое обеспечение задачи активной идентификации АЯМАХ-модели с учетом априорной информации о параметрах модели на основе синтеза Б-оптимальных планов входных сигналов.

Цель исследования. Распространить концепцию планирования эксперимента и активной идентификации на АЯМАХ-модели с детерминированными входными сигналами. Развить теорию и методологию этого вопроса.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованной литературы из 87 наименований и приложения. Общий объем диссертации 170 страниц машинописного текста, работа иллюстрирована 27 рисунками и 12 таблицами.

5.3. Выводы

В данной главе описано программное обеспечение для решения задачи построения эквивалентных моделей и задачи активной идентификации ARMAX-модели. Комплекс программ организован по модульному принципу, связь между программами осуществляется через файлы. Такая организация программного комплекса открывает возможности для дальнейшего его расширения за счет добавления новых программ. Кроме того, обеспечивается автономная работа каждой программы для решения отдельных задач.

I Синтез О-оптимального

Идентификация методом ] | плана управляющих

УМП с использованием ] | сигналов двойственным метода Ньютона- | | алгоритмом

Рафсона (иМР) | | (ОУОКТУ)

Идентификация методом офаниченной информации (ARMA)

Синтез О-оптимального управляющего сигнала (СЖЕРОПЧТ)

Идентификация при исходной управляющей последовательности

Синтез оптимальной управляющей последовательности

Рис. 5.1. Схема программного комплекса решения задачи активной идентификации АЯМАХ-модели (начало схемы)

Идентификация при оптимальной управляющей последовательности

Рис. 5.2. Схема программного комплекса решения задачи активной идентификации А11МАХ-модели (окончание схемы)

158

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Эффективность применения математических методов планирования эксперимента для решения задачи идентификации статических и динамических систем не вызывает сомнения. Вопрос о возможности использования специально синтезированных управляющих сигналов для повышения точности оценок вектора неизвестных параметров ARMAX-модели до сих пор не исследовался. В соответствии с поставленными задачами в данной диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Разработан алгоритм и программа преобразования линейной дискретной стационарной стохастической модели пространства состояний с произвольными системными матрицами к модели с матрицами в сопровождающей форме в случае скалярных и векторных входных и выходных сигналов;

2. Разработан алгоритм и программа преобразования линейной дискретной стационарной стохастической модели пространства состояний с матрицами в сопровождающей форме к многомерной ARMAX-модели;

3. Получены формулы вычисления информационной матрицы одноточечного плана для ARMAX-модели для случаев известной и оцениваемой матриц ковариаций возмущений, получены условия невырожденности информационной матрицы;

4. Разработаны алгоритмы и программы синтеза D-оптимальных входных сигналов для ARMAX-модели, проведен их сравнительный анализ на модельных примерах;

5. Разработаны программы оценивания параметров и ковариационных матриц возмущений ARMAX-моделей методом условного максимального правдоподобия и методом на основе ограниченной информации. В работе

159 программ предусмотрена возможность уменьшения размерности вектора оцениваемых параметров при условии точного задания некоторых параметров. Проведен сравнительный анализ работоспособности этих методов и программ на примерах двух динамических систем;

6. Исследована эффективность разработанного программно-математического обеспечения задачи активной идентификации с использованием синтезированных Б-оптимальных планов управляющих сигналов на примерах скалярных и многомерной динамических систем. Исследовано влияние уровня помех на качество получаемых оценок параметров.

Результаты исследований позволяют рекомендовать применение активной стратегии для идентификации АИМАХ-моделей с детерминированным управляющим сигналом.

160

1. Абденов А.Ж. , Попов A.A. Планирование D-оптимальных входных воздействий при идентификации линейных систем. Новосибирск, 1981. - Новосиб. электротехн. ин-т. - Деп. в ВИНИТИ №771.82 - 12с.

2. Абденов А.Ж., Денисов В.И., Чубич В.М. Введение в оценивание и планирование экспериментов для стохастических динамических систем: Учебное пособие. Новосибирск, 1993.- 45 с.

3. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.- 279с.

4. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.- 756 с.

5. Анисимов A.C. Идентификация объектов управления: Учеб. пособие -Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1985. 80 с.

6. Анисимов A.C., Чикильдин Г.П. Алгоритмы преобразования линейных математических моделей: Учеб. пособие Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996. - 100 с.

7. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. Пер. с англ./ Под ред. Ю.И.Топчеева. М.: Машиностроение, - 1968.- 764 с.

8. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Современный подход с использованием ЭВМ. М.: Мир, 1982. - 488 с.

9. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979. -349с.

10. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.- 408с.

11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач: Учебное пособие. М.: Наука, 1981. - 400 с.

12. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. -М.: Наука, 1979.-447 с.

13. Верулава Ю.Ш., Поляк Б.Т. Выбор порядка регрессионной модели // Автоматика и телемеханика. 1988. - №11. - С. 113-129.

14. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 320 с.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 512 с.

16. Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов (модели статики). М.: Металлургия, 1974. - 264с.

17. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай А.М. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики). М.: Металлургия, 1978. - 112с.

18. Гроп Д. Методы идентификации систем: Пер. С англ./ Под ред. Е.И.Кринецкого. -М.: Мир,-1979.- 302 с.

19. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

20. Денисов В.И. Математическое обеспечение системы ЭВМ -экспериментатор. М.: Наука, 1977. - 251 с.

21. Денисов В.И., Еланцева И.Л., Чубич В.М. Сравнение алгоритмов162планирования D-оптимальных входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем // Сб. Научных трудов НГТУ. -Новосибирск, 1997. № 3(8). - С.31-40.

22. Денисов В.И., Попов A.A. Пакет программ оптимального планирования эксперимента. М.: Финансы и статистика, 1986.- 156с.

23. Денисов В.И., Чубич В.М. Алгоритмы синтеза планов эксперимента для стохастических динамических систем: Учебное пособие. -Новосибирск: НГТУ, 1996. 36 с.

24. Денисов М.С. Оптимальные функции потерь для идентификации параметров авторегрессии модели сейсмической записи // Нефт. и газ. пром-сть.- 1992.- №10.- С. 17-24.

25. Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980. -450с.

26. Димитренко A.A., Конев В.В. О гарантированном оценивании параметров авторегрессии при неизвестной дисперсии помех //Автоматика и телемеханика. 1994.- №2.- С. 87-99.

27. Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах. СПб.: Петербург, 1992. - 240 с.

28. Евдокимов В.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента при ускоренной идентификации динамических систем // Элементы и системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами / Тул. гос. техн. ун-т,- Тула, 1993.- С.5-10.163

29. Еланцева И.Л. Планирование управляющих сигналов для ARMAX-модели // Сб. Научных трудов НГТУ. Новосибирск, 1999. - № 3 (16). -С. 16-24.

30. Еланцева И.Л. Оценивание параметров и состояний дискретных линейных динамических систем.//Труды третьей Международной Научно-техн. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения" АПЭП-96. Новосибирск, 1996. - Т.6, 4.1. -С. 34-36 .

31. Енюков И.С. Методы, алгоритмы, программы многомерного статистического анализа: Пакет 1111С А. М.: Финансы и статистика, 1986. -232с.

32. Закс Ш. Теория статистических выводов: Пер. с англ./ Под ред. Ю.К. Беляева. М.: Наука, 1975. - 776 с.

33. Зедгинидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. М.: Наука, 1976. - 390 с.

34. Иванов В.А., Чемоданов Б.К., Медведев B.C. Математические основы теории автоматического регулирования / Под ред. Б.К.Чемоданова. -М.: Высшая школа, 1971. 808 с.

35. Интегрированная система для исследования многофакторных объектов с использованием линейных моделей с качественными факторами / Отчет по НИР, НГТУ, Полетаева И.А., Еланцева И.Л., Тимофеев B.C., Фадденков A.B. №ГР 01.970000 786. - Новосибирск. - 58 с.

36. Каминскас В.А. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. Вильнюс: Мослас, 1982. - 4.1. - 245 с.

37. Калашников В.В., Немчинов Б.В., Симонов В.М. Нить Ариадны в лабиринте моделирования. М.: Наука, 1993.- 189с.

38. Карманов В.Г. Математическое программирование.- 2-е изд., перераб. -М.: Наука, 1980.-256 с.

39. Каширин Б.Л. Построение оптимальной модели по результатам наблюдений функций многих переменных // Прикладной многомерный статистический анализ. М.: Наука, 1978. - С. 368-374.

40. Кашьяп Р.Л., Pao А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. Пер. с англ. М., Наука. -1983.-384 с.

41. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ. М.: Мир, 1977. - 467 с.

42. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. Пер. с англ./ Под ред. Ю.К. Беляева. М.: Мир, 1978. - 560 с.

43. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. -208 с.

44. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ./ Под ред. Я.З.Цыпкина.- М.: Наука, -1991.-432 с.

45. Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. С.М.Ермакова . М.: Наука, 1983. - 391 с.

46. Медич Дж. Статистически оптимальные линейный оценки и управление. М.: Энергия, 1973. - 363 с.

47. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971. - 208 с.

48. Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента. М.: Металлургия, 1976. - 128 с.165

49. Нургес Ю. С. Сравнительный анализ канонических форм многомерных систем // Известия ЭССР. Физика и математика. 1980. -Т.23, №3, С.272-281.

50. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления : Пер. с англ./ Под ред. Н.С. Райбмана. М.: Мир, 1973. - 320 с.

51. Острем К.Ю. Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ: Пер. с англ./ Под ред. С.П. Чеботарева. М.: Мир, 1987. - 480 с.

52. Оценивание параметров и планирование экспериментов для стохастических динамических систем / Отчет по НИР, НГТУ, Денисов В.И., Еланцева И.Л., Чубич В.М.- Новосибирск. 1999. - 43с.

53. Перельман И.И. Методология выбора структуры модели для идентификации объектов управления // Автоматика и телемеханика. -1983. №11. - С.5-29.

54. Планирование и организация эксперимента в научных исследованиях / Под ред. Г.К.Круга. М.: Советское радио, 1974. - 318 с.

55. Полетаева И.Л., Чубич В.М. Планирование D-оптимальных сигналов для стохастических линейных дискретных систем. Тез. докл. Российской научно-технической конференции "Информатика и проблемы телекоммуникаций". - Новосибирск, 1994. - С. 135-136.

56. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука, 1968. - 548 с.

57. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления/Пер. с англ. Под. ред. Н.С.Райбмана М.: Наука, 1974.- 248 с.

58. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами /Пер. с англ. Под. ред. Б.Р. Левина М.: Радио и связь, 1982.- 392 с.

59. Справочник по теории автоматического управления / Александров А.Г. и др. М.:Наука, 1987. - 710 с.

60. Страуструпп Б. Язык программирования С++. М.: 1991. - 348 с.166

61. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. -Наука, 1980. 518 с.

62. Современные методы идентификации систем /Под ред. Эйкхоффа П./Пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 398 с.

63. Трой Д. Программирование на языке Си для персонального компьютера IBM PC: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1991. - 432 с.

64. Уилкс С. Математическая статистика / Пер. с англ. М.: Наука, 1967. -632с.

65. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента (планирование регрессионных экспериментов). М.: Наука, 1971. - 312 с.

66. Хикс Ч. Основные принципы планирования эксперимента. М.: Мир, 1980. - 406 с.

67. Цыпкин ЯЗ. Информационная теория идентификации. М.: Физматлит, 1995. - 336 с.

68. Чубич В.М. Планирование D-оптимальных входных сигналов для стохастических линейных дискретных систем: Дисс. на соиск. учен, степ. канд. техн. наук (05.13.16) / Новосиб. гос. техн. ун-т. -Новосибирск, 1995. 98 с.

69. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.-683с.

70. Akaike Н., Ishiguro М. DALL Davidon's algorithm for log likelihood maximization - a FORTRAN subroutine for statistical model builders. -Tokyo, 1989.-29 c.

71. Chen Han-Fu, Zhang Ji-Fend. Stochastic adaptive control for ARMAX-system with unknown orders, time-delay and coefficients // 11th IF AC World Congr. "Autom. Contr. Serv. Mancing", Tallin, Aug. 13-17, 1990: Prepr. Vol.3 Tallin, 1990. - C.262-268.

72. Custafsson F., Hjalmarsson H. Twenty-one ML estimation for model167selection.//Automatica. 1995.- 31,M10. - C.1377-1392

73. Duong Hoal Nghia, Landau loan Dore. An IV based criterion for model order selection // Automatica. 1996. - 32,N6.- C.909-914.

74. Goodwin G.C. Experiment design for system identification. Oxford, 1987.

75. Goodwin G.C. , Payne R.L. Dynamic system identification: Experiment design and data analisis. New York, 1977.

76. Hochwald Bertrand, Nehorai Arye. Concentrated Cramer-Rao bound expressions // IEEE Trans. Inf. Theory. 1994.- 40,N2 - C. 363-371.

77. Mehra R.K. Optimal input signals for parameter estimation in dynamic systems survey and new results // IEEE Trans. Automat. Control, 1974.-Vol. 19,16.- C.753-568.

78. Pillai S. Unnikrishna, Shim Theodore I., Youla Dante C. A new technique for ARMA- system identification and rational approximation // IEEE Trans. Signal Process. 1993. - 41,M3. - C.1281-1304.

79. Rao N. Sudarshan, Moharir P.S. Estimation of the order of an autoregressive model // Sadhana. 1995. - 20,N5. - C. 749-758.

80. Tsakalis Kostas S. Performance limitation of adaptive parameter estimatio: and system identification algorithms in the absence of excitation./ Automatica. 1996.- 32,N4. - C.549-560.

81. Uosaki Katsuji, Hatanaka Toshiharu. Optimal input design for model discrimination frequency domain approach //11th IF AC World Congr. "Autom. Contr. Serv. Mancing", Tallin, Aug. 13-17, 1990: Prepr. Vol.3 -Tallin, 1990.-C.251-256.

82. Xiao Chaung-Bai, Zhang Xian-Da. A new method for AR order determination of an ARMA process // IEEE Trans. Signal Process. 1996. -44,N11,- C.2900-2903.

83. Zarrop M.B. Optimal experimental design for dynamic system identification. New York, 1979.1. ЗАО "ИНТЕРФЕЙС630092, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 Тел. (3832) 4604 I 1, факс (3832) 460209 ИНН 5404104847

84. Исх. №991 125/1 от 25 ноября 1999 г. Акт о внедрении результатов НИР.

85. Декан ФПМИ НГТУ, д.т.н., профессоргмл^си а^и/'ут,- , , , , .1. В . И