автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Активная идентификация стохастических линейных непрерывно-дискретных систем

На правах рукописи

(0^

Бобылева Диана Игоревна

АКТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05 13 17 - Теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□031В1495

Новосибирск - 2007

003161495

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель

кандидат технических наук, доцент Чубич Владимир Михайлович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Воевода Александр Александрович

кандидат технических наук Щеколдин Владислав Юрьевич

Ведущая организация

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г Новосибирск

Защита состоится 14 ноября 2007 г в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212 173 06 в Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г Новосибирск, пр К Маркса, 20

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан «-/У» октября 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Alt Чубич В М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Математические модели играют важную роль при изучении различных явлений и создании новых технических систем Еще несколько десятилетий назад при проектировании сложных объектов (самолетов, судов, мостов и др ) использовали в основном физические модели - макеты, то есть уменьшенные копии этих объектов На них проводили многочисленные натурные эксперименты, выявляли слабые и сильные стороны проекта, полученные результаты затем использовали при создании этих объектов

В настоящее время благодаря успехам вычислительной техники и наличию разнообразных математических моделей стало возможно вместо натурных проводить вычислительные эксперименты, которые имеют преимущества перед натурными Они существенно удешевляют и ускоряют процесс проектирования и, как правило, позволяют найти не просто хорошие, а оптимальные решения

Идентификацией динамической системы (процесса) называется получение или уточнение по экспериментальным данным математической модели этой системы или процесса, выраженной посредством того или иного математического аппарата Идентификация проводится обычно в целях облегчения предсказания поведения идентифицируемой системы в будущем Очевидно, что модели могут принимать самую разную форму и записываться с разной степенью математической детализации Выбор того уровня сложности, который делает модель полезной, определяется планируемым использованием

Проблема идентификации является одной из основных проблем теории и практики автоматического управления Первоначально методология построения динамических моделей развивалось в рамках пассивного подхода, при котором идентификация проводилась в режиме нормальной эксплуатации исследуемой системы и заключалась в оценивании неизвестных параметров, входящих в модель Современная теория идентификации включает в себя также методы активной идентификации, сочетающие решение задачи параметрического оценивания с идеями теории планирования эксперимента, повышающими эффективность проводимых исследований

Обозначим основные этапы процедуры активной идентификации динамических систем оценивание параметров модели согласно выбранному критерию идентификации по имеющимся экспериментальным данным соответствующим некоторому начального входного сигналу (пассивная идентификация), построение оптимального по заданному критерию входного сигнала отвечающего вычисленным оценкам (планирование), регистрация выходных данных системы с использованием найденного входного сигнала, пересчет оценок неизвестных параметров В случае необходимости этапы 2-4 повторяются

С начала 70-х годов начинает интенсивно развиваться теория идентификации динамических моделей, опирающаяся на теорию оптимального управления и теорию оптимального эксперимента Современный этап развития теории и практики параметрической идентификации характеризуется все более широким распространением идей и методов активной идентификации Этому способствовали, в частности, труды А Ж Абденова, Ю П Адлера, В Г Горского, В И Денисова, Г К Круга, В Н Овчаренко, А А Попова, Ю А Сосулина, А М Талалая, В А Фатуева, В М Чубича в нашей стране и Дж К Гудвина (G С Goodwin), М Б Зейропа (М В Zarrop), Р К Мехры (R К Mehra ), Р JI Пейна (R L Payne) за рубежом

Для непрерывно-дискретных систем наиболее развиты в теоретическом и прикладном отношениях вопросы планирования оптимальных входных сигналов для детерминированного случая

Вопросы активной идентификации стохастических непрерывно-дискретных систем менее изучены По-видимому, причина во многом обусловлена самой сложностью проблемы

На момент написания настоящей диссертационной работы для многомерных стохастических линейных непрерывно-дискретных систем, описываемых стационарными моделями в пространстве состояний, были сформулированы и доказаны основополагающие теоремы о свойствах информационных матиц, об эквивалентности D- и G- оптимального планирования, получены выражения для элементов информационной матрицы одноточечного плана для случая вхождения неизвестных параметров только в матрицы состояния и управления, предложена прямая градиентная процедура синтеза D-оптимальных входных сигналов

В данной диссертационной работе предпринята попытка распространить концепцию активной идентификации на указанные системы, описываемые стационарными моделями в пространстве состояний, для наиболее общего случая, когда неизвестные параметры в различных комбинациях содержались в матрицах состояния, управления, возмущения, измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах помех динамики и ошибок измерений, проанализировать целесообразность ее применения, разработать и реализовать соответствующие алгоритмы активной идентификации и исследовать их эффективность на примерах динамических моделей различной природы

Цель исследования. Целью работы является распространение концепции активной идентификации на математические модели многомерных стохастических линейных непрерывно-дискретных систем, а также развитие теоретических и методологических основ этого вопроса

Методы исследования. Теоретические и прикладные исследования базируются на использовании разделов теории планирования эксперимента, математической статистики, теории случайных процессов, вычислительной математики, теории управления и линейной алгебры

Достоверность и обоснованность научных положений, рекомендаций и выводов обеспечивается корректным применением аналитических методов,

результатами исследования процедур активной идентификации с использованием статистического моделирования, решением прикладных задач

Научная новизна. Получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту

• получено выражение для информационной матрицы одноточечного плана,

• разработан алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана,

• проведен структурный анализ соотношения для информационной матрицы, позволивший оптимизировать процесс нахождения планов экспериментов,

• предложен подход к построению локально-оптимальных входных сигналов, основанный на решении соответствующей задачи нелинейного программирования с ограничениями в классе кусочно-постоянных функций,

• на основе прямого и двойственного подходов к планированию разработаны градиентные алгоритмы синтеза Э- и А- оптимальных входных сигналов, в которых вычисление производных осуществляется в соответствие с полученными аналитическими соотношениями,

• разработана и реализована процедура активной идентификации, позволяющая синтезировать входные сигналы как на основе подхода связанного, с решением задачи нелинейного программирования, так и с помощью методов теории планирования экспериментов,

• численные исследования на примерах моделей систем регулирования температуры в жилом помещении и управления боковым движением автобуса позволили сделать вывод о целесообразности и эффективности применения разработанной процедуры активной идентификации

Личный творческий вклад автора заключается в проведении исследований, обосновывающих основные положения, выносимые на защиту, в разработке программного обеспечения

Практическая полезность и реализация результатов работы. Разработанное программно-математическое обеспечение может использоваться для решения задачи активной идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем Отдельные программные модули могут быть использованы для решения задач параметрической идентификации и синтеза Б- и А- оптимальных входных сигналов, а также сигналов в соответствии с другими критериями оптимальности Отечественные или зарубежные аналоги разработанного программного обеспечения нам не известны

Полученные результаты исследований используются в учебном процессе при проведении лекционных занятий по курсу «Математические методы планирования эксперимента» для магистрантов, а также при выполнении дипломных работ и магистерских диссертаций студентами, обучающимися по направлению подготовки 010500 - прикладная математика и информатика в Новоси-

бирском государственной техническом университете (НГТУ), что подтверждается актом о внедрении

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в ряде статей, докладывались и обсуждались на следующих всероссийских конференциях научной конференции молодых ученых «Наука Технологии Инновации» (Россия, Новосибирск, 2003), научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Россия, Новосибирск, 2007), а также на научных семинарах кафедры прикладной математики НГТУ

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, в том числе 2 - в ведущих научных журналах и изданиях, входящих в перечень, рекомендованный ВАК РФ, 4 - в сборниках научных трудов, 2 - в материалах всероссийских конференций

Диссертационная работа выполнялась при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (код проекта РНП 2 1 2 43)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного содержания, заключения, списка использованных источников из 67 наименований и двух приложений Общий объем диссертации составляет 129 страниц, включая 8 таблиц и 29 рисунков

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертации, приведено краткое содержание работы по главам

В первой главе поставлена задача активной идентификации, обозначены ее этапы, определена структура математической модели, проанализировано современное состояние проблемы активной идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем, сформулированы задачи исследования

Будем считать структуру математической модели исследуемой системы заданной Рассмотрим следующую модель управляемой, наблюдаемой и идентифицируемой стохастической линейной непрерывно-дискретной системы в пространстве состояний

х(0=Рх(1)+Ои(0+Г1у(й 1е[10,т], у(1к)=Нх(0+у(1к), к = 1,2, где х(1:) - п-вектор состояния системы в момент времени ^ и(1:) - г-вектор управления, - р-вектор возмущения, у(1к) - т-вектор измерений в момент - т-вектор ошибок измерений

Будем считать, что Б, Г, О, Н - соответственно матрицы состояния, возмущения, управления и наблюдения системы требуемых размеров, Р устойчива (собственные значения X , матрицы Б удовлетворяют условию ИеЯ ,< 0), пары

(F,G) и (F,Г) управляемы rg|_G|FG| |Fn_1Gj=n и rg[r|Fr| |Fn_1rj=n, пара

(F,H) - наблюдаема rgHT|FTHT| |(fT)P HT = n, случайные процессы

{w(t), t e [t0,T]} и {v(tk), к = 1,2, ,N} являются стационарными белыми гаус-совскими шумами, причем

E[w(t)] = 0, E[w(t)wT (т)]= Q5(t - т), (2)

E[v(tk)]=0, E^K^^RS,,, (3)

E[v(tk)wT(t)]=0, Vtk,t,

где ö(t - т) - дельта-функция Дирака, 5jk - символ Кронекера, Q, R -неотрицательно-определенная и положительно-определенная матрицы интен-сивностей помех размеров рхр и mxm соответственно Начальное состояние x(t0) имеет нормальное распределение с параметрами

E[x(t0)]=xo, E([x(t0)-x0] [x(t0)-xo]T}=P0 (4)

и не коррелирует с w(t) и v(tk) при любых значениях переменных t и tk

Структура модели (1) известна с точностью до неизвестных параметров © = (ö], 02, , ös), которые могут входить в различных комбинациях в матрицы F, G, Г, Н, а так же в ковариационные матрицы Q, R и начальные условия хо, Ро

Необходимо для математической модели (1) с учетом высказанных априорных предположений (2)—(4) разработать процедуру активной идентификации, исследовать ее эффективность и оценить целесообразность применения этой процедуры для стохастических линейных непрерывно-дискретных систем

Во второй главе, посвященной вопросам параметрического оценивания, представлен обзор методов нелинейного программирования, использующихся для решения задачи оптимизации критерия максимального правдоподобия, предложены алгоритмы вычисления значений указанного критерия и его градиента по оцениваемым параметрам, требуемых для численного нахождения оценок неизвестных параметров методами оптимизации нулевого, первого и второго порядков

Оценивание параметров математической модели осуществляется по данным наблюдений в соответствии с выбранным критерием идентификации J При заданном критерии идентификации задача нахождения оценок © неизвестных параметров сводится к решению следующей задачи нелинейного программирования с ограничениями

0 = arg min j(ö) (5)

GeQ©

Выберем в качестве метода оценивания метод максимального правдоподобия, для которого

j(©) = -lnL(Y,N,0)=

=^in27t+A. ¿^(tk.ejB-'Ctk.eMtk.eJ+HBCtk.®)]. (6)

z z k=l

где y,N = {y(l), y(2), , y(N)} - выборка измерений

В соотношении (6) обновляющая последовательность e(tk,9) и ее кова-риации B(tk,0) вычисляются при помощи фильтра Калмана для системы (1) по следующим уравнениям

^(t|tk_1)=Fx(t|tk_1)+Gu(t), tk4<t<tk, x(t0 I t0)=x0, at

¿P(t I tk_,) = FP(t I tk_,)+ P(t I tk_, )F + TQTt, tk_, < t < tk, P(t0 110) = P0, at

s(tk)=y(tk)-Hx(tk|tk_1>, B(tk)=HP(tk|tk_1)HT+R,

K(tk)=P(tk[tk_1)HTB-I(tk>,

x(tk |tk)=x(tk |tk_1)+K(tk)s(tk>,

PÍtkltkMl-KÍtjHMtklt^), k = 1,2, ,N

Задача оптимизации (6) решалась с применением методов оптимизации нулевого (симплексный метод Нелдера-Мида), первого (метод наискорейшего спуска) и второго (матод Ньютона-Гаусса) порядков Для реализации названных методов необходимо было разработать алгоритмы вычисления значений целевой функции (6), ее градиента и матрицы вторых частных производных

Соотношение для градиента логарифмической функции правдоподобия (6) по неизвестным параметрам имеет вид

В третьей главе подробно представлен вывод выражения, позволяющего находить элементы информационной матрицы Фишера при наиболее общем характере вхождения неизвестных параметров в модель, дан алгоритм его вычисления Проведен анализ структуры полученного выражения, позволивший оптимизировать процесс нахождения планов экспериментов Показано совпа-

дение полученного обобщенного выражения для информационной матрицы Фишера с ранее полученными Р К Мехрой и А А Поповым частными результатами

Теорема. Для математической модели (1) с априорными предположениями (2)-(4), когда неизвестные параметры могут входить в различных комбинациях в матрицы Б, в, Г, Н, а так же в ковариационные матрицы С), И и начальные условия хо, Ро, элементы информационной матрицы определяются выражениями

МУ (и,0) = 2 Ыс0 (ЕА (*к I VI)+ XА (1к 1)хХ (хк 11к_, ))ст X

к=1

эн1

в-^к)

ан

+ 8р

ч 5Н

■Ыс.^лОк Ик-О+ХдОк Ик_,)хХ(1к

С о а о С,(Еа(1

+

+ —8р 2

эе,

дв

(8) (9)

При этом справедливо представление

М ц (II, ©) = (и, ©) + А у (©)

Выражение (9) используется для оптимизации процесса нахождения планов экспериментов за счет того, что при изменении значения входного сигнала будет пересчитываться только значение матрицы W(U,©)

Основные результаты главы опубликованы в [2]

В четвертой главе приведены некоторые основополагающие понятия и результаты теории планирования оптимального эксперимента Предложены два подхода к проблеме синтеза оптимальных входных сигналов Первый подход предполагает решение соответствующей оптимизационной задачи методами нелинейного программирования, второй основывается на идеях и методах теории планирования экспериментов На примерах стохастических моделей динамических систем, описывающих процессы регулирования температуры в жилом помещении и управления боковым движением автобуса, сравниваются предложенные подходы по времени поиска оптимального решения В связи с тем, что в зависимости от мощности компьютера, на котором производятся вычисления, время работы программ, реализующих сравниваемые методы, может сильно отличаться, абсолютные значения времени поиска оптимальных решений не приводятся, анализируются их относительные соотношения друг с другом

В разделе 4 1 представлен подход к синтезу оптимальных входных сигналов в классе кусочно-постоянных функций с использованием методов нелинейного программирования

Планирование оптимальных экспериментов опирается на критерии оптимальности планов Поскольку в нашем случае структура математической модели динамической системы задана и требуется синтезировать наиболее информативный входной сигнал с тем, что бы повысить точность оценивания неизвестных параметров, можно использовать, например, критерии Б- и А-оптимальности, решая следующую экстремальную задачу

и*(1)=агё шш Им(и(0,©)]}, 1б[10,т], (10)

ЧФ^и

где Ч/[м(и(1),©)]= — 1п с1е1 м(и(1:),@) в случае критерия Б-оптимальности и

для критерия А-оптимальности Заметим, что О-оптимальный входной сигнал минимизирует объем эллипсоида рассеивания оценок неизвестных параметров, А-оптимальный - сумму квадратов длин осей и длину диагонали параллелепипеда, описанного около этого эллипсоида

Поскольку для модели (1) информационная матрица м(и(1:), €>) и сам оптимальный входной сигнал и^) зависят от оценок неизвестных параметров ©, здесь и далее будем вести речь о локально-оптимальном планировании

От задачи поиска оптимального входного сигнала с непрерывным временем (10), перейдем к одной из двух следующих задач с дискретным временем

и*(тк) = агетт ,и(хК_,),©)] (11)

или

и*(т*к)= агвшш ^[м(и(т!), ,и(ты_,),т1, ,©)],(12)

и(т;), ,и(ти_])еПи,т], дм-^оД] при этом будем искать оптимальное управление и(х) в классе кусочно-постоянных функций

и(т)=и(тк), тк <хйхк+], к = 1,2, ,N-1 Это позволит в дальнейшем получить аналитические выражения для градиентов критериев оптимальности планов по компонентам входного сигнала, которые будут использованы при поиске решения методом наискорейшего спуска

Решая задачу (11), мы считаем, что моменты управления совпадают с моментами измерений В задаче (12), в качестве решения мы получаем как оптимальный входной сигнал, так и оптимальные моменты времени, в которые должен подаваться найденный сигнал

Задачи оптимизации (11) и (12) будем решать методами нулевого и первого порядков Для этого нам необходимо уметь вычислять не только значение самой целевой функции, но и ее градиента

;ч>[м(и(0,©)]=

ау[м(и(1),<э)]

1=0, ,N-1, j=l, ,г

(13)

Начнем с критерия Б-оптимальности Для него получаем

54^[м(и(1),<э)] а[-1пёе!м(и(О,0)]

ЭиДО

«Р

М'

,(Н)

1=0, ,N-1, ^1,

Перейдем к критерию А-оптимальности В этом случае

ду[м(и(1),(э)] _ э^рм"1^),©)] _ с ["ам~'(и(0,©)

- ■ - - - — Ьр

5и,(0

Поскольку

ЭиД)

= -8р

ЭиДг,)

М"

ам(ир),©)_

дМ

ар

(и(1),©)

ЭиД)

1 = 0, ,N-1, у.

а,(3 = 1, , б ,

(15) = 1, ,г

(16)

для вычисления значений выражений (14) и (15) необходимо уметь вычислять значение производной от элементов информационной матрицы по компонентам входного сигнала Вывод соответствующего соотношения подробно изложен в [5]

В подразделах 4 1 3 и 4 1 4 дано описание стохастических моделей, описывающих процессы регулирования температуры в жилом помещении и управления боковым движением автобуса Приведены примеры синтезированных Э-оптимальных входных сигналов в соответствие с изложенным в разделе 4 1 подходом

Основные результаты данного раздела опубликованы в [3, 4, 5] В разделе 4 2 рассмотрены алгоритмические вопросы синтеза О- и А-оптимальных входных сигналов с использованием идей и методов теории планирования оптимальных экспериментов Подробно излагаются прямая и двойственная градиентные процедуры Приводятся разработанные алгоритмы вычисления значений функционалов и их градиентов, соответствующих выбранным критериям оптимальности

Предварим рассмотрение алгоритмов синтеза оптимальных входных сигналов изложением некоторых основополагающих понятий и результатов теории планирования эксперимента для нашего случая

В основе этой теории лежит понятие плана эксперимента как дискретной вероятностной меры, а под оптимальным планом понимается план, доставляющий экстремальное значение некоторой выпуклой (или вогнутой) функции, заданной на множестве информационных матриц

Поскольку в нашем случае уравнение состояния в модели динамической системы непрерывно, нормированный непрерывный план можно определить следующим образом

|и'(0 о'(0 «'МЦр,.,, р,г„, „.«.о,,, 1 = 1,2, ,,

[ Р1 Р2 РЧ ] .=1

Здесь точки плана задаются некоторыми управляющими вектор - функциями и'(0 на временном интервале [г0,Т] Множество планирования определяется ограничениями на условия проведения эксперимента

Будем искать оптимальное управление и^) в классе кусочно-постоянных функций, когда

и(0=и(1к), <1<1к+1, к = 0Д, ,N-1 В результате приходим к непрерывному нормированному плану вида

Гих и2 ип] _ч

Р1

Р2

' , ЕР! = 1, р.^О, и,(06пи> 1 = 1,2,

рч; 1=1

вкотором {[а'ЫГ.ИоГ. 'И^-ОГ

Тогда нормированная информационная матрица будет находиться по формуле

м(^)=Хр1м(и1), 1=1

где информационные матрицы одноточечных планов

(17)

м(и,0)=||маР(и,©| =

д21пи

аеа5ер

а,(3 = 1,2,

определяются выражениями (8)

Качество оценивания параметров можно повысить за счет построения плана эксперимента, оптимизирующего некоторый выпуклый функционал ЧК от информационной матрицы М(с,), т е решив экстремальную задачу

= агё шш 4>[м£)]

(18)

Задачу оптимизации (18) будем решать методами численного поиска экстремума При этом возможны два подхода Первый из них (прямой) предполагает поиск минимума функционала Ч^М^)] в пространстве элементов информационной матрицы Характерной его особенностью является большая размерность экстремальной задачи Поскольку - выпуклый функционал, здесь мы имеем задачу выпуклого программирования

Прямая градиентная процедура синтеза оптимальных планов предполагает выполнение следующих шагов

Шаг 1 Задать начальный невырожденный план

[и? и!? и°1 о 1

£о=1 о о оГ>и1е^и> Р1 =-> 1 = 1>2> >Ч> [р? Р2 Рч] Я

в котором ^ _ 2 Вычислить информационные матрицы М^и®) одно-

точечных планов для 1 = 1,2, и по формуле (17) информационную матрицу всего плана Положить 1 = О

Шаг 2 Считая веса р{, , ,Рц фиксированными, для задачи

гшп и^Оц, 1 = 1,2, ,я выполнить одну итерацию метода проекции градиента

где иТ = (и^ и^ и^) - вектор размерности ц№, Яд- (г) - проекция

точки геЯ^1 на множество О д , р | > 0 - длина шага Составить план

Р2 р{ У

где и{+1 - точки, найденные на шаге 2 Вычислить м(и|+| 1 = 1,2, , я Шаг 3 Зафиксировать точки спектра полученного плана и для задачи

^[м^,)]-» шш , 1Р!=1, Р!>0, 1 = 1,2, ,Ч Рр .Рч 1=1

выполнить одну итерацию метода проекции градиента Розена

р1+1 =р' -р|АУрЧ'[м(||)],

где р = (р], р2, , рч ), Р| > 0 - длина шага, А - матрица оператора проектирования Составить план

(и1+1 иы тт1н-1

5м

Шаг 4 Если выполняется неравенство

ч

I

1=1

||и!+1-и!||2 +

(р!+,-Р!Г

где 8 - малое положительное число, перейти на шаг 5 В противном случае для 1 = 1 + 1 повторить шаги 2 и 3

Шаг 5 Поверить необходимое условие оптимальности плана

1 = 1,2, ,Ч (19)

Если оно выполняется, закончить процесс В противном случае повторить все сначала, скорректировав начальное приближение с,0

Соответствие значений параметров г) прямой процеду-

ры критериям Б- и А-оптимальности представлено в табл 1

Таблица 1

Соответствие значений параметров прямой процедуры

_критериям оптимальности_

Критерий Параметры

Л

Б-критерий 8рМ~Ч0м(и)

А-критерий врм-ЧО. 8р М-2 (^)м(и)] врм-ЧО.

Приведенный алгоритм требует вычисления ранее полученных градиентов критериев оптимальности по компонентам входного сигнала (13)-(15), а так же градиентов по весам

¿Имрр]

^N0] =

Для критерия Б-оптимальности _ б[- 1пс1егм0;)] _ £р

Ф, Ф,

Ф,

м-ЧО

, 1=1, ,ч

(20)

М1) ф, _

= —8р[м-1 (^)м(и,)].

1 = 1,2,

В случае критерия А-оптимальности

Ф, Ф,

= -8р

м-Ч^м-ЧЮ

др,

ф,

= —8р|м-1 (|)м(и, )М'] £)]= -8р[м-2 (^)м(и,)], ! = 1,2, ,я

Другой подход (его называют двойственным) к решению оптимизационной задачи (18) основан на соответствующей критерию теореме эквивалентности и заключается в минимизации по набору аргументов {и,,р,}1ч=1

ч

при ограничениях II, еПц, р, > 0, = 1 В этом случае рассматриваемая

1=1

задача уже не является задачей выпуклого программирования, но размерность вектора варьируемых параметров может оказаться значительно меньше, чем при прямом подходе

Двойственная градиентная процедура синтеза оптимальных планов предполагает выполнение следующих шагов

Шаг 1 Задать начальный невырожденный план q0 и по формуле (17) вычислить нормированную информационную матрицу М(^0) плана Положить 1 = 0

Шаг 2 Найти локальный максимум

U1 = arg шах Uefi(j

методом проектирования градиента Если окажется, что т]| < 5, за-

кончить процесс Если |Диг|, перейти на шаг 3 В противном случае искать новый локальный максимум

Шаг 3 Вычислить tj по формуле

т1 = arg mm )J = (l - т)^ + т i;(u!),

где ^(u1) - одноточечный план, размещенный в точке U1 Шаг 4 Составить план

Sl+i^l-Tlfet + T, Ф1),

произвести его «очистку», положить 1 = 1 + 1 и перейти на шаг 2

Соответствие значений параметров Ч^М^)], (i(u,q), г| двойственной процедуры критериям D- и А-оптимальности такое же, как в табл 1 Приведенный алгоритм требует вычисления градиента

Sn(lU)

Получаем

ац(и, е) _ asP[M~' fe)M(u)] _ 5uj(t,) 3uj(t.)

3uj(t,)

Sp

M-'fe)

— Sp

M-2(0

ам(и)

Sujit,) 5M(U)

i=0, ,N-1, j=l, ,r

i=0, ,N-1, j=l, ,r,

1=0, ,N-1, j=l, ,r,

для критерия Б-оптимальности, и

8ц(и,0 = а5р[м-2(0м(и)]_,

для критерия А-оптимальности

В подразделах 4 2 4 и 4 2 5 приведены примеры синтезированных Б- и А-оптимальных входных сигналов в соответствие с изложенным в разделе 4 2 подходом для моделей, описывающих процессы регулирования температуры в жилом помещении и управления боковым движением автобуса Основные результаты данного раздела опубликованы в [5, 8] В пятой главе отражены и проиллюстрированы результаты применения процедуры активной идентификации для динамических систем различной природы, показана ее эффективность

Рассмотрим, например, стохастическую модель, описывающую процесс управления боковым движением автобуса Будем считать, что параметры авто-

буса таковы расстояние от переднего датчика до центра масс -6 м, расстояние от переднего вала до центра масс — 3,67 м, расстояние от заднего вала до центра масс - 1,93 м, скорость движения автобуса - 20 м/с, коэффициент трения равен единице (для сухой дороги), .Г/т = 10,86 м2, где I - момент инерции автобуса по отношению к вертикальной оси, проходящей через центр масс, ш = 16 т — масса автобуса Тогда

*(t) =

1 0 0 0 0 0" " 0 "

-h 0 i 0 0 0 0 0

-h 0 0 1 0 0 0 §3

-и 0 0 0 1 0 0 x(t)+ g4

-f5 0 0 0 0 1 0 S5

-ч 0 0 0 0 0 1 86

-f7 0 0 0 0 0 0 -S7_

i(t)+w(t), te [0,14],

y(tk)=[l, 0, 0, 0, 0, 0, 0] x(tk)+v(tk),

к = 1,2, ,15,

-4

где

f, =40 + 0 015 9j +0 008 92, f2 = 400 + о 54 е,+ 0 36 е2 + пб ю-4 е,е2+з47 ю

f3 =41 97 9!+425-е2 +00046 9^2 + 139 10 f4 =134 5 6j — 0 02 92 +0 37 olD2 f5 = 151 4 91-2 08-9192 +0027 9?, f, =4 5 9,9, +0 024 9?, f7 =3 2 9,9,+0 002

,-6

3?,

+ 3 2 10

-6

el.

9, +0 008 Qf +3 2 10-5 92,

з,о2

i?.

g3 = 37 75 9[, g4 =151 38 9, + 0 32 9^2 + 0 007 9f,

g5 =151 38 ei-208-9^2 +003 Q¡, g6=-45 QXQ2 + 0 02 9?,

g7 =3 22 9^2 -0 002 9?

Необходимо оценить неизвестные параметры, которые нелинейно входят в элементы матриц F и G модели состояния и имеют следующий физический смысл 9г, 92 — коэффициенты боковых сил сноса, действующих на передние и задние колеса автобуса соответственно

Условия комфортности для пассажиров автобуса и технические требования приводят к следующим ограничениям

u(t) < 23 град/с

Для

Q = diag[0 1, 0 1, 0 1, 0 1, 0 1], R = 025, хо=[0, 0, 0 15, 0, 0]т, P0=diag[0 1, 0 1, 0 1, 0 1, 0 l],

при выбранном пробном входном сигнале смоделируем выборку измерений

#

V]1 , считая истинными значения параметров 9, =99, — 235.

Найдем оценки максимального правдоподобия, производя пять независимых запусков системы и усредняя полученные результаты (это позволяет ослабить зависимость от выборочных данных). Используя полученные усредненные значения оценок, осуществим поиск IV-опт и м ал ънот о входного сигнала, применяя двойственную процедуру синтеза входных сигналов и А-опгнмалыкно сигнала, применяя прямую процедуру. Полученные результаты представим на рис. 1^2 соответственно.

О 1 3 3 1 5 6 7 В Э 10 11 12 13 11 [

1'но. 1.1)- оптимальный входной сигнал И| (I). найденный с использованием двойственной градиентной процедуры

од 20

I

9 10 II 12 13 14

Рис. 2. Л оптимальный входной Сигнал н? (1). найденный с использованием прямой градиентной процедуры

Таким образом, синтезированы различных входных сигнала. Оба они удовлетворяют необходимым условиям оптимальности (14).

Значения критериев оптимальности для найденных сигналов:

аег м(и|(г),©)= 1.5118; М-^"^}•

Одним из наиболее часто используемых при идентификации моделей динамических систем тестирующих сигналов является двоичный псевдослучайный входной сигнал. Смоделируем такой сигнал и запишем значения определителя информационной матрицы и следа дисперсионной матрицы для полученного входного сш нала пЫп (¡к):

¿*м(иЫп(1кХё)= 0.7067 , 5рМ-,(иЫп(1к),б)= 10.3185.

Вычислим и сравним оценки неизвестных параметров, найденные с использованием трех различных управляющих сигналов двух синтезированных Б- и А- оптимальных сигналов и^) и и2(0, а так же двоичного сигнала иЫп(0 Результаты представим в табл 2

Таблица 2

Оценки неизвестных параметров, полученные

при различных управляющих сигналах _

Номер запуска системы Усредненные значения

Сигнал 1 2 3 4 5

Значения оценок

01 bin 99 18 98 81 97 64 98 31 99 60 98 7091

UbinO) 02 bin 235 27 235 87 237 60 234 16 235 14 235 6070

||®bin — ®ист| 0 3190 0 8865 2 9361 1 0884 0 6194 0.6731

Ö; 100 41 97 80 98 31 98 53 99 41 98 8915

»reo 02 235 20 236 01 234 86 234 85 235 16 235 4163

©*-©иот 1 4208 1 5673 0 7082 0 4961 0 4423 0.2420

8p 99 84 98 90 99 74 99 97 98 89 99 4687

"2(0 ёГ 235 77 235 67 234 91 235 02 234 92 235 2737

II " ** II © -©ист| 1 1395 0 6774 0 7455 0 9702 0 1360 0.5344

Сравнивая по табл 2 усредненные евклидовы нормы разностей истинных значений параметров и оценок, соответствующих указанным управляющим сигналам, заметим, что наиболее точные оценки получены при Б-оптимальном входном сигнале и^), найденном с помощью двойственной градиентной процедуры Наименее точные оценки получены при двоичном псевдослучайном входном сигнале иЬш (1) При этом применение процедуры планирования эксперимента позволило улучшить качество оценивания неизвестных параметров, в смысле отклонения полученных оценок от истинных значений, в

Н>Ып-®„

¡2 78

ист

раза для u(t)=u'(t)nB

I^bin ®ист|| ,

1 26

<зг-в„

'ист

раза для u(t) = u2 (t)

Убедившись в эффективности применения процедуры активной идентификации в пространстве параметров, посмотрим, что происходит в пространстве откликов

Смоделируем выборку наблюдений Y = {y,(tk), i = l, ,m, k = l, ,N} и спрогнозируем отклики Y = {у, (tk+1| tk), i = l, ,m, k = 0, ,N -1} при истинных значениях неизвестных параметров и двух различных входных сигналах ubin(t) и u*(t) Обозначим через Ybm и Ybm - наблюдения и их оценки для u(t)=ubm(t), Y* и Y* - наблюдения и их оценки для u(t)=u^(t) Вычислив евклидовы нормы разностей ||Ybm - Ybln|| и ||y — Y*jj, получим

||Ybm-Ybl„|| = 3 23 Ю3,

It Л * *!l 1

Y -Y || = 2 61 103

Л *

Мы видим, что отклик Y лучше согласуется с соответствующим вектором измерений, по сравнению с откликом Ybln

Таким образом, применяя процедуру активной идентификации, нам удалось повысить точность оценок неизвестных параметров в 2 78 раза в сравнение со случаем использования двоичного псевдослучайного входного сигнала Кроме того, мы смогли эффективнее спрогнозировать отклики системы Использование синтезированных оптимальных входных сигналов, позволило получить прогнозируемые отклики более близкие к вектору измерений, чем прогнозируемые отклики, вычисленные при двоичном псевдослучайном сигнале Соответствующие нормы разностей уменьшились в

V — V I 1 bin 1 bin

>1 23

Y - Y

раза для и^) = и^^), что позволяет сделать вывод о целесообразности применения процедуры активной идентификации для повышения качества оценивания как в пространстве параметров, так и в пространстве откликов

В диссертационной работе также приведены результаты применения процедуры активной идентификации для стохастической модели, описывающей процесс регулирования температуры в жилом помещении для случая, когда не-

известные параметры 81 и 92, функционально входят в элементы матрицы Р и

Г модели состояния

Основные результаты главы опубликованы в [4, 7]

Приложения содержат описание разработанного программного обеспечения и акты внедрения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с целями исследований получены следующие новые результаты

1 Для многомерных стохастических линейных непрерывно-дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний, получено выражение, позволяющее находить элементы информационной матрицы Фишера одноточечного плана для наиболее общего случая, когда неизвестные параметры в различных комбинациях содержатся в матрицах состояния, управления, возмущения, измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах помех динамики и ошибок измерений

2 Проведен анализ структуры соотношения для информационной матрицы Фишера, позволивший оптимизировать процесс нахождения планов экспериментов

3 Разработан и реализован алгоритм вычисления значения информационной матрицы одноточечного плана

4 Предложен подход к построению Б- и А- локально-оптимальных входных сигналов, основанный на решении соответствующей задачи нелинейного программирования с ограничениями в классе кусочно-постоянных функций

5 Получены аналитические выражения для производной информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала, позволившие использовать метод наискорейшего спуска и, тем самым, сократить время поиска оптимального плана эксперимента

6 На основе прямого и двойственного подходов разработаны градиентные процедуры синтеза Б- и А-оптимальных входных сигналов, для многомерных стохастических линейных непрерывно-дискретных систем

7 Разработана и реализована процедура активной идентификации, позволяющая синтезировать входные сигналы как на основе подхода, связанного с решением оптимизационной задачи, так и с помощью методов теории планирования экспериментов

8 Проведенные численные исследования на примерах моделей динамических систем, описывающих процессы регулирования температуры в жилом помещении и управления боковым движением автобуса показали, что в зависимости от используемого подхода к решению задачи синтеза входных сигналов, выбранных модельных структур, критериев оптимальности и вида первоначального входного сигнала, качество оценивания удалось

улучшить от 1 26 до 20 раз в пространстве параметров и от 1 23 до 1 3 раз в пространстве откликов, что позволяет говорить об эффективность и целесообразность применения разработанной процедуры активной идентификации

Основные научные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах

1 Бобылева Д И Активная идентификация стохастических линейных непрерывно-дискретных систем / Д И Бобылева // Наука Технологии Инновации НТИ-2003 Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых в 6-ти частях - Новосибирск Изд-во НГТУ, 2003 -Ч 1 -С 9-10

2 Денисов В И Особенности вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем / В И Денисов, В М Чубич, Д И Бобылева // Научный вестник НГТУ - Новосибирск Изд-во НГТУ, 2004 -№2(17) -С 45-57

3 Денисов В И Активная идентификация стохастических линейных непрерывно-дискретных систем I Теоретические аспекты / В И Денисов, В М Чубич, Д И Бобылева // Сборник научных трудов НГТУ - Новосибирск Изд-во НГТУ, 2005-№3(41) - С 3-10

4 Денисов В И Активная идентификация стохастических линейных непрерывно-дискретных систем II Практические аспекты / В И Денисов, В М Чубич, Д И Бобылева // Сборник научных трудов НГТУ - Новосибирск Изд-во НГТУ, 2005-№4(42) - С 3-10

5 Денисов В И Построение оптимальных планов экспериментов в задачах идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем / В И Денисов, В М Чубич, Д И Бобылева // Научный вестник НГТУ -Новосибирск Изд-во НГТУ, 2006 - №4 (25) - С 25-43

6 Бобылева Д И Активная идентификация стохастических линейных непрерывно-дискретных систем / Д И Бобылева // Материалы российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» - Новосибирск, 2007 -Т1 -С 106-109

7 Бобылева Д И Активная идентификация стохастических линейных непрерывно* дискретных систем с применением идей и методов теории планирования экспериментов / Д И Бобылева // Сборник научных трудов НГТУ -Новосибирск Изд-во НГТУ, 2007 - №2(48) - С 3-10

8 Бобылева Д И Сравнение двух подходов к решению задачи синтеза оптимальных входных сигналов / ДИ Бобылева // Сборник научных трудов НГТУ -Новосибирск Изд-во НГТУ, 2007 - №2(48) - С 143-146

Подписано в печать 0<Ь,1С> $г Формат 60x84x1/16 Бумага офсетная Тираж //£?экз Печ л 1 5 Заказ №

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630092, г Новосибирск, пр К Маркса, 20

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Задача активной идентификации.

1.2. Структура математической модели.

1.3. Современное состояние проблемы активной идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем.

1.4. Выводы.

2. ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ.

2.1. Вычислительные аспекты задачи оценивания неизвестных параметров.

2.2. Алгоритм нахождения значения функции правдоподобия.

2.3. Алгоритм нахождения значения градиента функции правдоподобия.

2.4. Выводы.

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ ОДНОТОЧЕЧНОГО ПЛАНА.

3.1. Вывод соотношения для информационной матрицы одноточечного плана.

3.2. Алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана.

3.3. Выводы.

4. ПЛАНИРОВАНИЕ D- И А- ОПТИМАЛЬНЫХ ВХОДНЫХ

СИГНАЛОВ.

4.1. Синтез входных сигналов с использованием методов нелинейного программирования.

4.1.1. Запись экстремальной задачи.

4.1.2. Вычисление градиентов критериев оптимальности.

• 4.1.3. Синтез оптимальных входных сигналов для системы регулирования температуры в жилом помещении.

4.1.4. Синтез оптимальных входных сигналов для системы управления боковым движением автобуса.

4.2. Синтез входных сигналов с использованием методов теории планирования экспериментов.

4.2.1. Теоретические основы.

4.2.2. Прямая градиентная процедура построения непрерывных оптимальных планов.•.

4.2.3. Двойственная градиентная процедура построения непрерывных оптимальных планов.

4.2.4. Синтез оптимальных входных сигналов для системы регулирования температуры в жилом помещении.

4.2.5. Синтез оптимальных входных сигналов для системы управления боковым движением автобуса.

4.3. Выводы.

5. АКТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НА ПРИМЕРАХ

ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАЗЛИЧНОЙ ПРИРОДЫ.

5.1. Система регулирования температуры в жилом помещении.

5.2. Система управления боковым движением автобуса.

5.3. Выводы.

Математические модели играют важную роль при изучении различных явлений и создании новых технических систем. Еще несколько десятилетий назад при проектировании сложных объектов (самолетов, судов, мостов и др.) использовали в основном физические модели - макеты, то есть уменьшенные копии этих объектов. На них проводили многочисленные натурные эксперименты, выявляли слабые и сильные стороны проекта, полученные результаты затем использовали при создании этих объектов.

В настоящее время благодаря успехам вычислительной техники и Ф наличию разнообразных математических моделей стало возможно вместо натурных проводить вычислительные эксперименты, которые имеют преимущества перед натурными. Они существенно удешевляют и ускоряют процесс проектирования и, как правило, позволяют найти не просто хорошие, а оптимальные решения.

Идентификацией динамической системы (процесса) называется получение или уточнение по экспериментальным данным математической модели этой системы или процесса, выраженной посредством того или иного математического аппарата. Идентификация проводится обычно в целях облегчения предсказания поведения идентифицируемой системы в будущем. Очевидно, что модели могут принимать самую разную форму и записываться с разной степенью математической детализации. Выбор того уровня сложности, который делает модель полезной, определяется планируемым использованием.

Задачу идентификации характеристик системы можно рассматривать как сопряженную по отношению к задаче управление системой. Нельзя управлять системой, если она не идентифицирована либо заранее, либо в процессе управления.

Цель исследования. Распространить концепцию активной идентификации на математические модели многомерных стохастических линейных непрерывно-дискретных систем. Развить теоретические и методологические основы этого вопроса.

Научная новизна. В работе впервые рассмотрены теоретические и прикладные аспекты задачи активной идентификации многомерных стохастических линейных непрерывно-дискретных систем, описываемых стационарными моделями в пространстве состояний и соответствующих наиболее общему случаю, когда неизвестные параметры в различных комбинациях содержатся в матрицах состояния, управления, возмущения, измерения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах помех динамики и ошибок измерении. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1. получено выражение для информационной матрицы одноточечного плана;

2. разработан алгоритм вычисления информационной матрицы одноточечного плана;

3. проведен структурный анализ соотношения для информационной матрицы, позволивший оптимизировать процесс нахождения планов экспериментов;

4. предложен подход к построению локально-оптимальных входных сигналов, основанный на решении соответствующей оптимизационной задачи с ограничениями в классе кусочно-постоянных функций;

5. на основе прямого и двойственного подходов к планированию разработаны градиентные алгоритмы синтеза D- и А- оптимальных входных сигналов, в которых вычисление производных осуществляется в соответствие с полученными аналитическими соотношениями;

6. разработана и реализована процедура активной идентификации, позволяющая синтезировать входные сигналы как на основе подхода, связанного с решением оптимизационной задачи, так и с помощью методов теории планирования экспериментов; 7. численные исследования на примерах моделей систем регулирования температуры в жилом помещении и управления боковым движением автобуса позволили сделать вывод о целесообразности и эффективности применения процедуры активной идентификации.

Практическое значение. Разработанное программно-математическое обеспечение может использоваться для решения задачи активной идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем. Отдельные программные модули могут быть использованы для решения задач параметрической идентификации и синтеза D- и А- оптимальных входных сигналов, а также сигналов в соответствии с другими критериями оптимальности. Отечественные или зарубежные аналоги разработанного программного обеспечения нам не известны.

Полученные результаты исследований используются в учебном процессе при проведении лекционных занятий по курсу «Математические методы планирования эксперимента» для магистрантов, а также при выполнении дипломных работ и магистерских диссертаций студентами, обучающимися по направлению подготовки 010500 - прикладная математика и информатика в Новосибирском государственной техническом университете (НГТУ), что подтверждается актом о внедрении.

Методологическая основа работы. Теоретические и прикладные исследования базируются на использовании разделов теории планирования эксперимента, математической статистики, математического анализа, теории случайных процессов, вычислительной математики, теории управления и линейной алгебры.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в ряде статей, докладывались и обсуждались на следующих всероссийских конференциях: научная конференция молодых ученых

Наука. Технологии. Инновации» (Россия, Новосибирск, 2003); научно-техническая конференция «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Россия, Новосибирск, 2007), а также на научных семинарах кафедры прикладной математики НГТУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, в том числе: 2 - в ведущих научных журналах и изданиях, входящих в перечень, рекомендованный ВАК РФ, 4 - в сборниках научных трудов, 2 - в материалах всероссийских конференций.

Диссертационная работа выполнялась при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (код проекта РНП.2.1.2.43).

Структура диссертации. Представленная работа состоит из введения, пяти глав основного содержания, заключения, списка использованных источников из 67 наименований и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 129 страниц, включая 8 таблиц и 29 рисунков.

104 5.3 Выводы

1. Рассмотрены практические аспекты решения задачи активной идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний. На примерах систем регулирования температуры в жилом помещении и управления боковым движением автобуса показана эффективность разработанной процедуры активной идентификации и целесообразность ее применения.

2. Проведенные численные исследования показали, что в зависимости от используемого подхода к решению задачи синтеза входных сигналов, выбранных модельных структур, критериев оптимальности и вида первоначального входного сигнала, качество оценивания удалось улучшить от 1.26 (см. (5.9)) до 20 (см. (5.2)) раз в пространстве параметров и от 1.23 (см. (5.10)) до 1.3 (см. (5.5)) раз в пространстве откликов, что позволяет говорить об эффективность и целесообразность применения процедуры активной идентификации.

3. Для одних модельных структур предпочтительнее, в смысле качества получаемых оценок и времени требуемого для их нахождения, оказался подход, предполагающий решение соответствующей оптимизационной задачи методами нелинейного программирования, для других - подход, основывающийся на идеях и методах теории планирования экспериментов, в связи с этим, экспериментатору можно порекомендовать использовать оба предложенных подхода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дано систематическое изложение наиболее существенных для практики вопросов теории и техники активной параметрической идентификации многомерных стохастических линейных непрерывно-дискретных систем, описываемых стационарными моделями в пространстве состояний.

Впервые рассмотрена и решена задача активной идентификации указанных систем в наиболее общей постановке, когда подлежащие оцениванию параметры входили в матрицы состояния, управления, возмущения, измерения, в начальные условия и ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений в различных комбинациях.

Получено аналитическое выражение для информационной матрицы Фишера, использующейся при синтезе оптимальных входных сигналов. Проведен анализ его структуры, позволивший оптимизировать процесс нахождения планов экспериментов. Разработан и реализован алгоритм вычисления значения информационной матрицы одноточечного плана.

Предложен подход к построению D- и А- локально-оптимальных входных сигналов, основанный на решении соответствующей оптимизационной задачи с ограничениями в классе кусочно-постоянных функций.

Получены аналитические выражения для производной информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала, позволившие использовать метод наискорейшего спуска и, тем самым, сократить время поиска оптимального плана эксперимента.

Разработаны алгоритмы синтеза D- и А-оптимальных входных сигналов на основе прямой и двойственной градиентных процедур, для стохастических линейных непрерывно-дискретных систем.

Разработана и реализована процедура активной идентификации, позволяющая синтезировать входные сигналы как на основе подхода, связанного с решением оптимизационной задачи, так и с помощью методов теории планирования экспериментов.

Проведенные численные исследования на примерах моделей динамических систем, описывающих процессы регулирования температуры в жилом помещении и управления боковым движением автобуса показали, что в зависимости от используемого подхода к решению задачи синтеза входных сигналов, выбранных модельных структур, критериев оптимальности и вида первоначального входного сигнала, качество оценивания удалось улучшить от 1.26 до 20 раз в пространстве параметров и от 1.23 до 1.3 раз в пространстве откликов, что позволяет говорить об эффективность и целесообразность применения процедуры активной идентификации. Для одних модельных структур предпочтительнее оказался подход, предполагающий решение соответствующей оптимизационной задачи методами нелинейного программирования, для других - подход, основывающийся на идеях и методах теории планирования экспериментов, в связи с этим, экспериментатору можно порекомендовать использовать оба предложенных подхода.

1. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления: идентификация и оптимальное управление. М.: Наука, 1973. - 248 с.

2. Сейдж Э. П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974.-246 с.

3. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния. М.: Мир, 1975. - 683 с.

4. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. - 302 с.

5. Кашьап Р.Л., Рао А.Р. Построение динамических стохастических Ф моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983. - 384 с.

6. Льюнг Л. Идентификация систем: теория для пользователей. М.: Наука, 1991.-431 с.

7. Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума правдоподобия. -М.: Физматгиз, 1964. 184 с.

8. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента (планирование регрессионных экспериментов). М.: Наука, 1971. - 312 с.

9. Денисов В.И. Математическое обеспечение системы ЭВМ -экспериментатор. М.: Наука, 1977. - 250 с.

10. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в * задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. - 207 с.

11. Горский В.П., Адлер Ю.П., Талалай A.M. Планирование промышленного эксперимента (модели динамики). М.: Металлургия, 1978.-112 с.

12. Денисов В.И., Попов А.А. Пакет программ оптимального планирования эксперимента. М.: Финансы и статистика, 1986. -159 с.

13. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. - 320 с.

14. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. -М.: Наука, 1970. 620 с.

15. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975. - 432 с.

16. Заде JL, Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. М: - Наука, 1970. - 204 с.

17. Рао С. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968.-547 с.

18. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. -648 с.

19. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, Издательство института математики, 1997. - 772 с.

20. Брандт 3. Анализ данных. Статистические и вычислительные методы для научных работников и инженеров. -М.: Мир, ООО «Издательство ACT», 2003.-686 с.

21. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико -статистической теории обработки наблюдений. -М.: Физматгиз, 1958. -334 с.

22. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985. -487 с.

23. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х книгах. Книга 1. М.: Финансы и статистика, 1986. - 366 с.

24. Справочник по прикладной статистике: в 2 томах. Т.1 / Под. Ред. Ллойд Э., Ледерман У. М.: Финансы и статистика, 1989. - 510 с.

25. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач методом наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. - 232 с.

26. Федорова Г.С. В кн. Статистические методы планирования и анализа медико-биологических экспериментов. - Киев: Знание, 1975. -С. 189-194.

27. Дубова И.С., Федорова Г.С., Федоров В.В. Системы оптимальных опорных траекторий в регрессионных задачах с временной зависимостью. // Заводская лаборатория. М.: Изд-во «Металлургия», 1978.-Т. 44, № 1.-С. 71-76.

28. Овчаренко В.Н. Выбор входных сигналов при идентификации линейных непрерывных динамических систем по дискретным наблюдениям. // АиТ. 1987. - №4. - С. 87-95.

29. Gupta N.K., Mehra R.K. Computational aspects of maximum likelihood estimation and reduction in sensitivity function calculations // IEEE transactions on automatic control. 1974. - v.19 - №6. - P. 774 - 783.

30. Astrom KJ. Maximum likelihood and prediction errors methods // Automatica. 1980. - V.16. -P.551-574.

31. Абденов А.Ж., Попов А.А. Планирование D оптимальных входных воздействий при идентификации линейных систем / А.Ж. Абденов, А.А. Попов; Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск, 1981. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.02.82, №771 - 82.

32. Mehra R.K. Optimal Input Signals for Parameter Estimation in Dynamic Systems Survey and New Results // IEEE Trans. Automat. Control. -1974.-v. AC-19.- No. 6.-P. 753 -768.

33. Попов А.А. Вычисление информационной матрицы Фишера в задаче планирования входного сигнала для динамических систем // Сб. науч.тр. НПУ.- 1998.-№2(11).-С. 8-16.

34. Абденов А.Ж. Активная идентификация для стохастических динамических систем, описываемых моделями в пространстве состояний: Дис.д-ра техн. наук: Спец. 05.13.01 / А.Ж. Абденов; Новосиб. гос. техн. ун-т. Новосибирск, 1999. - 377 с.

35. Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. М.: ИЛ, 1960. -435 с.

36. Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Избранные труды. -М.: Наука, 1970.-290 с.

37. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. -М.: Наука, 1982.-255 с.

38. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984. - 248 с.

39. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. -М.: Наука, 1989. 320 с.

40. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высшая школа, 2004. 479 с.

41. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975. - 367 с.

42. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.:Мир, 1975.-534 с.

43. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1980.-351 с.

44. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982.-583 с.

45. Васильев В.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.:Мир, 1982.-372 с.

46. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. - 384 с.

47. Сухарев А.Г., Тимохов В.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986. - 328 с.

48. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.- 128 с.

49. Трифонов А.Г. Optimization Toolbox 2.2 Руководство пользователя. -Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/optimiz/bookl/index.php.

50. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.:Энергоатомиздат, 1980. - 206 с.

51. Денисов В.И. Активная идентификация стохастических линейных непрерывно-дискретных систем. I. Теоретические аспекты / В.И. Денисов, В.М. Чубич, Д.И. Бобылева // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005 - №3 (41). - С. 3-10.

52. Денисов В.И. Построение оптимальных планов экспериментов в задачах идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем / В.И. Денисов, В.М. Чубич, Д.И. Бобылева // Научный вестник НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006 - №4 (25).-С. 25-43.

53. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998.-574 с.

54. Денисов В.И. Активная идентификация стохастических линейных непрерывно-дискретных систем. II. Практические аспекты / В.И. Денисов, В.М. Чубич, Д.И. Бобылева // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005 - №4 (42). - С. 3-10.

55. Математические методы анализа и планирования эксперимента: Метод, разработка / Новосиб. гос. техн. ун-т; Сост. А.Ж. Абденов, Т.В. Авдеенко, В.И. Денисов. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1995. -4.1.-53 с.

56. Бобылева Д.И. Сравнение двух подходов к решению задачи синтеза ф оптимальных входных сигналов / Д.И. Бобылева // Сборник научныхтрудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007 - №2(48). -С. 143-146.

57. Бекарева Н.Д. Моделирование случайного процесса, заданного • стохастическим дифференциальным уравнением / Н.Д. Бекарева,

58. А.В. Парлюк // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1999.-№1(14).-С. 13-18.

59. Бобылева Д.И. Активная идентификация стохастических линейных непрерывно-дискретных систем с применением идей и методов теории планирования экспериментов / Д.И. Бобылева // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007 - №2(48). -С. 3-10.

60. Бобылева Д.И. Активная идентификация стохастических линейных непрерывно-дискретных систем / Д.И. Бобылева // Материалы российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций». Новосибирск, 2007. - Т.1. -С. 106-109.