автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Идентификация линейных динамических систем в задачах стохастического оптимального квадратичного управления

Введение

1. Критерии и методы идентификации динамических систем

1.1 Методы проведения эксперимента

1.2 Критерии оптимальности динамических моделей и управления

1.3 Методы идентификации динамических систем

1.4 Постановка задачи оптимальной идентификации по критерию квадратичного управления

1.5 Выводы

2. Анализ неточных моделей пространства состояний с позиции критерия и-онтимальности

2.1 Формализация критерия И-оптимальной идентификации и задачи стохастического квадратичного управления по неточным моделям

2.2 Методика анализа моделей пространства состояний

2.3 Выводы

3. Процедура и-оптимальной идентификации

3.1 Алгоритм реализации процедуры и-оптимальной идентификации

3.2 Оценивание неизвестных параметров модели

3.3 Выводы

4. Имитационное моделирование процедур анализа и синтеза моделей пространства состояний по критерию и-оптимальности

4.1 Описание программных модулей

4.2 Результаты имитационного моделирования

4.3 Выводы 84 Заключение 85 Библиографический список 87 Приложения

Актуальность работы.

Повышение уровня современного производства и стремительное развитие средств вычислительной техники приводит к автоматизации все более сложных технологических объектов и целых производственных комплексов, к возможности организации оптимального управления технологическим процессом, позволяющего добиваться более низкого уровня затрат и повышать эффективность.

Оптимальное управление начали применять в последние годы не только в технических системах для повышения эффективности производственных процессов, но и в системах организационного управления для совершенствования деятельности предприятий, организаций, отраслей народного хозяйства.

В организационных системах обычно интересуются конечным, установившимся результатом, не исследуя эффективность во время переходного процесса. Объясняется это тем, что обычно в таких системах потери в переходном процессе достаточно малы и несущественно влияют на общую величину выигрыша в установившемся режиме, поскольку сам установившийся режим более длительный, чем переходный процесс. Но иногда динамика не исследуется из-за математических трудностей. Методы оптимизации конечных состояний в организационных и экономических системах наиболее полно и подробно рассматриваются и изучаются в методах оптимизации и исследования операций.

В управлении динамическими техническими системами оптимизация часто существенна именно для переходных процессов, в которых показатель эффективности зависит не только от текущих значений координат, но и от 5 характера изменения в прошлом, настоящем и будущем, и выражается некоторым функционалом от координат, их производных, времени.

В последнее время особый интерес вызывают проблемы идентификации и управления стохастическими системами, которые занимают значительное место в теории и практике управления. Поведение реального объекта, функционирующего в условиях естественных, промышленных и других шумов, характеризуется некоторой неопределенностью. Кроме того, в автоматизированных системах управления сложными объектами обычно участвуют люди, для которых характерна некоторая неопределенность поведения. Описание таких систем при помощи хорошо известных детерминированных подходов не всегда плодотворно и не отражает действительной картины функционирования объекта. Не приспособлены также к решению задачи оптимального управления этим классом объектов разработанные методы для детерминированных систем. Таким образом, необходимость разработки стохастической теории систем вызвана насущными потребностями практики управления, и эта теория максимально приближает формализованное представление к действительным условиям функционирования. Отличительная особенность любого стохастического объекта заключается в неоднозначном отклике на одни и те же входные воздействия.

Нахождение оптимального управления в подобных динамических задачах требует решения в процессе управления достаточно сложной математической задачи и при этом важное значение имеет вид математической модели системы. Для обеспечения качественного управления динамической системой необходимо, чтобы ее математическая модель была известна с достаточной точностью.

При этом большую роль играет задача идентификации. Применение методов идентификации дает возможность количественной оценки для 6 принятия наилучших решений и позволяет осуществлять оптимизацию и оптимальное управление.

Таким образом, в связи с широкой автоматизацией производственных процессов значительно возрастает интерес к методам построения математических моделей реальных динамических систем, подверженных неконтролируемым случайным воздействиям. Поскольку эти модели являются приближенными, при их синтезе должны быть сформулированы требования (критерии оптимальности), которым они должны удовлетворять. Этими критериями могут быть традиционно применяемые в теории планирования эксперимента критерии оптимальности, либо специальные критерии, учитывающие конечную цель использования синтезируемых моделей в конкретных прикладных задачах, решаемых на их основе. К числу таких задач относятся параметрическая оптимизация динамических систем, оптимальное управление и другие задачи.

Построение математической модели реальной динамической системы возможно на основе результатов либо пассивного, либо активного эксперимента. Методы пассивной идентификации предполагают обработку информации, собранной путем наблюдения за входом и выходом объекта. Активные методы идентификации предполагают подачу на вход исследуемого объекта пробного тестирующего сигнала, синтез которого осуществляется на основе теории оптимального эксперимента, и обработку реализаций "входа-выхода".

Современный уровень развития теории оптимального эксперимента позволяет сформулировать практически все задачи, решаемые методами пассивной регрессионной идентификации. Наиболее эффективным является подход, предполагающий сведение модели динамики исследуемой системы к уравнению регрессии, связывающему значения ее выхода в произвольные моменты времени с наборами значений параметров, определяющими предысторию по входу. Если эти параметры принять в качестве факторов 7 планирования, то полученное уравнение - динамическую регрессионную модель - можно оценить методами теории оптимального эксперимента.

При формализации и решении задачи оптимальной идентификации важное значение имеет выбор структуры динамической регрессионной модели идентифицируемой системы. Модель должна адекватно описывать динамические свойства системы в заданном интервале изменения входного сигнала, определяющем пространство планирования, и обеспечивать решение конкретной прикладной задачи, базирующееся на том или ином способе представления оператора динамической системы, с использованием синтезируемой модели.

Возможны различные способы задания оператора динамической системы: импульсная переходная функция, передаточная функция, дифференциальное или разностное уравнение, частотные характеристики и т.д. Оператор должен быть задан в том классе, в котором наиболее просто формализуется и решается задача оптимальной идентификации. Таким образом, структура динамической регрессионной модели, в число неизвестных параметров которой входят коэффициенты оператора выбранного типа, может быть самой разнообразной.

Многообразие подобных структур динамических регрессионных моделей требует использовать для оценивания их неизвестных коэффициентов современные статистические методы оценивания и регрессионного анализа.

Одним из важных этапов решения задач оптимальной идентификации является выбор критерия оптимальности синтезируемой динамической модели. Широкое распространение получили методы оптимальной идентификации в смысле общепринятых в теории оптимального эксперимента критериев, характеризующих точность оценивания неизвестных параметров модели. Однако необходимо, чтобы динамическая регрессионная модель была оптимальной .и в смысле критерия управления 8 объектом. При этом необходимо использовать для каждого конкретного критерия управления критерий оптимальной идентификации, обеспечивающий минимальное изменение значения соответствующей функции потерь управления, вызванное неточностью модели объекта.

Реализация задач управления идентифицирующими исследованиями действующих динамических систем в реальном масштабе времени требует создания универсального алгоритмического и программного обеспечения.

Чтобы добиться универсальности алгоритмического и программного обеспечения, необходимы единый подход к представлению неизвестных операторов как можно более широкого класса реальных систем динамическими регрессионными моделями и вытекающая из этого подхода единая процедура последовательной идентификации для одного или нескольких критериев оптимальности.

Таким образом, задача анализа и синтеза моделей, ориентированных на оптимальное управление, является актуальной, поскольку традиционные критерии оптимальности не связаны с прикладными задачами, решаемыми на основе удовлетворяющих им моделей.

Целью исследования является анализ и синтез моделей линейных динамических систем по критерию Ц-оптималыюсти, ориентированному на решение задач стохастического управления по квадратичному критерию. Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1. Формализовать критерий 11-оптимальной идентификации.

2. Разработать процедуру последовательной и-оптимальной идентификации в реальном масштабе времени.

3. Разработать методику анализа моделей пространства состояний по критерию и-оптимальности.

4. Проверить работоспособность процедуры синтеза Ц-оптимальных моделей пространства состояний методом имитационного моделирования. 9

Методы исследования.

В основу исследования были положены методы теории планирования эксперимента, идентификации динамических систем, регрессионного анализа, нелинейного оценивания, теории оптимального стохастического управления.

Для проверки работоспособности и сходимости процедур синтеза и анализа моделей динамических систем использовалось имитационное моделирование.

Научная новизна работы заключается в разработке и исследовании методов и алгоритмов синтеза и анализа моделей пространства состояний, ориентированных на решение задачи стохастического оптимального управления по квадратичному критерию и определяется следующим: формализован критерий Ц-оптимальности и разработана процедура последовательной и-оптимальной идентификации; разработана методика анализа пригодности моделей пространства состояний по критерию 11-оптимальности; разработано алгоритмическое и программное обеспечение, реализующее процедуру синтеза Ц-оптимальных моделей пространства состояний и задачу анализа моделей по критерию и-оптимальности.

Практическая полезность работы.

Разработанные в диссертации методология, алгоритмическое и программное обеспечение и-оптимальной идентификации позволяют синтезировать в реальном масштабе времени модели пространства состояний, использование которых при оптимальном стохастическом управлении по квадратичному критерию минимизирует увеличение функции потерь, вызванное неточностью модели. Такое управление может использоваться в различных реально функционирующих динамических системах, подверженных действию случайных возмущений и помех. Методика анализа моделей, полученных по результатам произвольных экспериментов, по критерию и-оптимальности позволяет проверить

10 пригодность подобных моделей для решения на их основе задач стохастического оптимального квадратичного управления.

Реализация работы.

Разработанное в настоящей диссертации программное обеспечение зарегистрировано в фонде алгоритмов и программ ТулГУ per. № 248 и внедрено в учебный процесс кафедры "Автоматизированные информационные и управляющие системы" (г.Тула, ТулГУ).

Апробация результатов исследований.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах (г. Тула, 1994-1999 гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава (г. Тула, 1996-1999 гг.) кафедры "Автоматизированные информационные и управляющие системы" ТулГУ, на XI Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г.Владимир, 1998 г.), ХП Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Новгород, 1999 г.).

Основные результаты научных исследований и возможные области применения были рассмотрены и опубликованы в 5 работах [84-88].

11

4.3 Выводы

1 .Разработанные программные модули позволяют реализовать процедуры последовательной и-оптимальной идентификации и построения доверительной области для анализа модели пространства состояний по критерию и-оптимальности.

2. Приведенные результаты моделирования для нескольких моделей, при различных дисперсиях внешнего шума позволяют сделать вывод о сходимости предложенной процедуры и-оптимальной идентификации.

3.Неразличимость полученных значений критерия для множества оценок неизвестных параметров и-оптимальной модели на границе доверительной области подтверждает работоспособность предложенной процедуры анализа оценочных моделей пространства состояний по критерию и-оптимальности.

85

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В последнее время оптимальная идентификация реальных динамических процессов и систем, подверженных неконтролируемым случайным воздействиям, является одной из актуальных задач.

Основным направлением научного исследования, представленного в диссертации, является разработка методологии, алгоритмического и программного обеспечения оптимальной идентификации линейных динамических систем, подверженных действию случайных помех и возмущений. В качестве объекта исследования рассматривается система, описываемая дискретной моделью пространства состояний.

При разработке и исследовании методов и алгоритмов оптимальной идентификации используются подходы теории планирования эксперимента применительно к задачам идентификации динамических систем.

При формализации задачи оптимальной идентификации используется критерий, ориентированный на решение задач стохастического оптимального управления по неточным моделям динамики - И-критерий.

Решение задачи и-оптимальной идентификации для моделей пространства состояний позволило получить следующие результаты.

1. Получено аналитическое выражение минимального значения функции потерь управления для одномерных линейных динамических систем, описываемых оценочными моделями пространства состояний, позволившее формализовать процедуру последовательной и-оптимальной идентификации.

2. Разработан алгоритм реализации процедуры и-оптимальной идентификации в реальном масштабе времени.

3. Разработана методика анализа оценочных дискретных моделей пространства состояний по критерию и-оптимальности, основанная на

86 построении доверительных областей для неизвестных коэффициентов л моделей и исследовании неразличимости значений критерия min ./(с) на и(0 границах этих областей.

4. Разработано программное обеспечение, позволяющее реализовать процедуры анализа и синтеза моделей пространства состояний по критерию U-оптимальности. Методами имитационного моделирования проверена работоспособность и сходимость реализованных процедур.

Разработанные в диссертации методология, алгоритмическое и программное обеспечение U-опггимальной идентификации позволяют синтезировать в реальном масштабе времени модели пространства состояний, использование которых при оптимальном стохастическом управлении по квадратичному критерию минимизирует увеличение функции потерь, вызванное неточностью модели. Такое управление может использоваться в различных реально функционирующих динамических системах, подверженных действию случайных возмущений и помех. Методика анализа моделей, полученных по результатам произвольных экспериментов, по критерию U-оптимальности позволяет проверить пригодность подобных моделей для решения на их основе задач стохастического оптимального квадратичного управления.

87

1. Круг Г.К., Сосулия Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. - 208 с.

2. Фатуев В.А. Идентификация объектов управления: Учеб. пособие.-Тула: ТулПИ, 1977. 74 с.

3. Фатуев В.А. Оптимальная идентификация динамической системы по критерию управления //Автомат, с-мы оптим. управл. технологич. процессами: Сб. ТулПИ / ТулПИ. Тула, 1982. С.32-36.

4. Фатуев В.А. Построение оптимальных моделей динамики по экспериментальным данным: Учеб. пособие,- Тула: Тул. гос. техн. ун-т, 1993. 104 с.

5. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. Изд-во МЭИ (СССР); "Техника"(НРБ), 1989. - 224с.: ил.

6. Финни Д. Введение в теорию планирования экспериментов,- М.: Наука, 1970. 288 с.

7. Теория автоматического управления : Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телемеханика". В 2-х ч. Под. ред. А.А.Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986. - 504 е.: ил.

8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. - 576 е.: ил.

9. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.-322 с.

10. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.-312 с.

11. Сильвестров А.Н., Чинаев П.И. Идентификация и оптимизация автоматических систем. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 200 е.: ил.

12. Хартман К. И др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. М.: Мир, 1977. - 552 с.88

13. Сборник алгоритмов и программ для анализа и синтеза систем автоматического управления / Гетманец В.М., Говоров A.A., Карпов B.C., Мазуров В.М., Фатуев В.А. Тула.: ТЛИ, 1980. - 84 с.

14. Сборник научных программ на Фортране. Вып.2. Матричная алгебра и линейная алгебра. Нью-Йорк, 1960-1971, Пер. с англ. М.: Статистика, 1974. - 224 с.

15. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979. - 240 е.: ил.

16. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ : В 2-х кн.:Пер. с англ. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика. 1987. -351 е.: ил. - (Математико-статистические методы за рубежом).

17. Планирование эксперимента в задачах нелинейного оценивания и распознавания образов/ Г.К.Круг, В.А.Кабанов, Г.А.Фомин, Е.С.Фомина М.: Наука, 1981.- 172 с.

18. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975. - 432 е.: ил.

19. Аоки М. Введение в методы оптимизации : Пер. с англ. М.: Наука, 1977. -344 е.: ил.

20. Аоки М. Оптимизация стохастических систем : Пер. с англ. М.: Наука, 1971. -424 с.: ил.

21. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления. Идентификация и оптимальное управление : Пер. с англ. М.: Мир, 1973. -248 е.: ил.

22. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления : Пер. с англ. -М.: Мир, 1975.-688 с.

23. Современные методы идентификации систем : Пер. с англ. /Под ред. П.Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. - 400 е.: ил.

24. Воронов A.A., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления : Учеб. для вузов по спец.89

25. Автоматизированные системы управления" М.: Высш. шк., 1977. - 519 е.: ил.

26. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : Учеб. пособие для вузов. 6-е изд., стер. - М.: Высш. школа, 1998. - 479 е.: ил.

27. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика : Учеб. пособие для втузов. М.: Наука, 1979. - 496 е.: ил.

28. Казаков И.Е., Мальчиков C.B. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. М.: Наука, 1983. - 384 с.

29. Казаков И.Е., Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. М.: Наука, 1987. - 303 е.: ил.

30. Райбман Н.С. Что такое идентификация. М.: Наука, 1970. - 120 с.

31. Брайсон А.Е., Хо Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оценка и управление : Пер.с англ./Под ред. Летова A.M. M.: Мир, 1972. - 544 с.

32. Бессонов A.A., Загашвили Ю.В., Маркелов A.C. Методы и средства идентификации динамических объектов. Л.: Энергоатомиздат, 1989. - 279 с.

33. Гроп Д. Методы идентификации систем : Пер. с англ. / Под ред. Е.И.Криницкого. М.: Мир, 1979. - 302 е.: ил.

34. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер с англ. / Под ред. Я.З.Цыпкина. М.: Наука, 1991. - 432 с.

35. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления: Пер с англ./Под ред. М.В.Меерова. М.: Наука, 1970. - 620 е.: ил.

36. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. - 764 с.

37. Сейдж Э.П., Мелса Дж.Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. -248 с.90

38. Сейдж Э.П., Уайт И.С. Оптимальное управление системами: Пер с англ./Под ред. Б.Р.Левина. М.: Радио и связь, 1982. - 393 с.

39. Адлер Ю. П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1976.-278 е.: ил.

40. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик, управление. -М.: Наука, 1966. -176 с.

41. Малютов М.Б., Заиграев А.Ю. Современные задачи оптимального планирования регрессионных экспериментов. Киев.: Выща шк., 1989. - 64 с.

42. Красовский A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974. - 232 с.

43. Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.П. Динамические модели теории управления. М.: Наука, 1985. - 400 с.

44. Зимницкий В.А., Устинов С.М. Методы анализа математических моделей динамических систем : Учеб. пособие/ Ленингр. гос. техн. ун-т. Л.: ЛГТУ, 1991. -78 с.

45. Пупков К.А., Костюк Г.А. Оценка и планирование эксперимента. -М.: Машиностроение, 1977. 118 с.

46. Вучков И.Н., Круг Г.К. Оптимальное планирование экспериментальных исследований//'Автоматика и телемеханика. 1969. -№11. -С.171-177.

47. Вучков И.Н., Круг Г.К. Применение метода непрерывного планирования экспериментов для получения D-оптимальных планов//Сб.: Проблемы планирования эксперимента. М.: Наука, 1969. - С.69-79.

48. Круг Г.К., Фатуев В.А. Синтез D-оптимального тестирующего сигнала для одного класса динамических объектов//Автоматика и телемеханика. 1974. -№8. - С.73-77.91

49. Фатуев В.А., Маркович И.Ю. Построение тестирующего сигнала на основе оптимального плана// Автомат, с-мы оптим. управл. технологич. процессами,- Тула: ТулПИ, 1978. С.31-34.

50. Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. -Минск: Изд-во БГУ им.В.И.Ленина, 1982. 302 е.: ил.

51. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента: Учеб. пособие М.: Наука, 1987. - 320 с.

52. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке: Методы обработки данных : Пер. с англ. под. ред. Э.К.Лецкого. М.: Мир, 1980. - 610 е.: ил.

53. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971. - 208 с.

54. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985. - 295 с.

55. Пальшин А.Н., Фатуев В.А. Об оптимальной идентификации линейных динамических систем в пространстве состояний // Прикладная математика,- Тула: ТулПИ, 1979. С.88-93.

56. Пальшин А.Н., Фатуев В.А. Каноническая форма линейных многомерных систем для оптимальной идентификации динамических объектов // Алгоритмы и структуры специализированных вычислительных устройств,- Тула: ТулПИ, 1979. С. 115-118.

57. Фатуев В.А. К вопросу о выборе критерия оптимальной идентификации динамических систем // Автомат, с-мы оптим. управл. технологич. процессами. Тула: ТулПИ, 1981. - С.12-16.92

58. Фатуев В.А. О связи задач оптимальной идентификации и управления // Автомат, с-мы оптом, управл. технологич. процессами. Тула: ТулПИ, 1980. - С.25-28.

59. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К.Т.Леондеса. М.: Мир, 1980. - 407 е.: ил.

60. Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных. М.: Наука, 1985. - 336 с.

61. Кузовков Н.Т., Карабанов C.B., Салычев О.С. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации. М.: Машиностроение, 1978. - 222 с.

62. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем/Ю.С.Попков, С.Н.Киселев, Н.П.Петров, Б.Л.Шмульян. М.: Энергия, 1976.-438 с.

63. Пугачев B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974. - 400 с.

64. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Адаптивные модели в системах управления. М.: Наука, 1980. - 416 с.

65. Типовые линейные модели объектов управления / С.А.Анисимов, И.С.Заецева, Н.С.Райбман, А.А.Яралов; Под ред. Н.С.Райбмана. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 264 с.

66. Растригин Л.А., Маджаров Н.Е. Введение в идентификацию объектов управления. М.: Энергия, 1977. - 216 с.

67. Тихонов А.Н., Арсенин В .Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. - 286 с.

68. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. -М.: Наука, 1984. 320 с.

69. Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента. -М.: Наука, 1976. 245 с.93

70. Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов (модели статики). М.: Металлургия, 1974. - 264 с.

71. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай A.M. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики). М.: Металлургия, 1978. - 112 с.

72. Горский В.Г. Планирование кинетических экспериментов. М.: Наука, 1984. - 241 с.

73. Математическая теория планирования эксперимента/ Под ред. С.М.Ермакова. М.: Наука, 1983. - 392 с.

74. Бримкулов У.Н., Круг Г.К., Саванов B.JT. Планирование экспериментов при исследовании случайных полей и процессов. М.: Наука, 1986.- 152 с.

75. Проблемы планирования эксперимента //Под ред. Г.К.Круга. М.: Наука, 1969. - 396 е.: ил.

76. Лецкий Э.К. Планирование эксперимента в задачах испытаний технических объектов // Статистические методы в задачах испытания и контроля. М.: Знание, 1979. - С.3-45.

77. Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Планирование эксперимента в условиях неоднородностей. М.: Наука, 1973. - 217 с.

78. Налимов В.В., Голикова Т.Н. Логические основания планирования эксперимента. М.: Металлургия, 1976. - 128 с.

79. Налимов В.В., Чернова H.A. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965. - 340 с.

80. Федоров В.В. Активные регрессионные эксперименты // Математические методы планирования эксперимента. М.: Наука, 1981. -С.19-73.

81. Адаптивные системы идентификации/ Под ред. В.И.Костюка. -Киев: Техника, 1975. 284 е.: ил.94

82. Фатуев В.А., Маркова Т.Н., Яблочкин Л.Б. Исследование сходимости процедуры и-оптимальной идентификации линейных динамических систем // 11 Международная науч. конф.: Тез. докл. -Владимир: Владимир, гос. ун-т, 1998. С.270-272.

83. Фатуев В.А., Маркова Т.Н., Яблочкин Л.Б. Оценка качества моделей пространства состояний по критерию и-оптимальности // 12 Международная науч. конф.: Тез. докл. Новгород: Новгород, гос. ун-т, 1999. - С.183-184.

84. Фатуев В.А., Маркова Т.Н., Яблочкин Л.Б. Анализ моделей пространства состояний по критерию Ц-оптимальности // Известия ТулГУ, Вып.5, Серия Вычислительная техника. Информатика. Тула 1999. С.35-40.

85. Фатуев В.А., Яблочкин Л.Б., Маркова Т.Н. Имитационное моделирование процедуры и-оптимальной идентификации линейных динамических систем // Известия ТулГУ, Вып.5, Серия Вычислительная техника. Информатика. Тула 1999. С. 10-14.

86. Фатуев В.А., Маркова Т.Н. Применение моделей пространства состояний для оптимального управления безопасностью химико-технологических объектов // Науч.-техн. конф. "Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций": Тез. докл. С.-Пб., 1999,- С.91-92.

87. Рис.17. Схема алгоритма процедуры формирования реализаций "вход-выход"98