автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритм нахождения собственных чисел возмущенных дискретных самосопряженных операторов

На правах рукописи

Кинзина Ирина Ивановна

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ВОЗМУЩЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ

ОПЕРАТОРОВ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

// кл//*'\

Челябинск - 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Магнитогорского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Кадченко Сергей Иванович.

Официальные оппоненты!

доктор физико-математических наук, профессор Свиридюк Георгий Анатольевич;

Защита диссертации состоится 30 ноября 2006 г. в 11— на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 в Челябинском государственном университете по адресу: 454021, г. Челябинск, ул. Бр. Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

кандидат физико-математических наук, доцент Фалалеев Михаил Валентинович.

Ведущая организация;

механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан "

2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

В.И. Ухоботов

/ и '

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. С момента получения формул регуляризованных следов порядка р € R

оо

£ [А* - Ар(к)\ - Вр, (1)

Jt=i

где Ajt — собственные числа дифференциального оператора Л, Ар(к) — известные числа, обеспечивающие сходимость числовых рядов, Вр — явно вычисляемые через характеристики оператора выражения, были предприняты попытки примепить их для приближенного вычисления первых собственных чисел оператора А. В самом деле, формулы (1) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений

m

£A£ = Bp(m), (2)

jt=i

связывающей первые га собственных чисел {Afc оператора А. Правые части уравнений (2) содержат остатки сходящихся числовых рядов.

В 1952 году A.A. Дородницын1 предложил для вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля использовать асимптотические выражения для собственных чисел больших номеров. Для этого он рассмотрел равенства

} °° 1

/ Gp(x,x)dx = (3)

{ к=О Лк

где Gp(x, х) — повторные фуикции Грина оператора. Ряды справа абсолютно сходятся. В равенствах (3) нужно заменить все собственные числа, начиная с некоторого, их асимптотическими значениями, тогда для первых собственных чисел получится система алгебраических уравнений. Следовательно, от равенств

1 Дородницын А.А. Асимптотические заколы распределения собственных значений для некоторых видов дифференциальных уравнений второго порядка // УМН-- 1952.- Т.7, № 6,- С,3-96.

(3) можно перейти к приближенным равенствам, которые содержат справа конечные суммы. Решив полученную систему, можно вычислить первые собственные числа оператора. Но функции Грина лишь в немногих случаях выписываются явно. Поэтому принципиальным недостатком этого метода является то, что в общем случае числа слева в (3) не выражаются в конечном виде через характеристики оператора, и явного алгоритма их вычисления нет. Кроме того, A.A. Дородницыным не было дано теоретическое обоснование метода, и нет оценок, позволяющих судить о точности вычисления первых собственных чисел оператора.

В 1957 году Л.А. Дикий2 предложил способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля, основанный па формулах регуляризованных следов (1). Идея способа состояла в следующем. Пусть {Л*})^ — собственные числа оператора Штурм а-Лиувилля

где р(х) — достаточно гладкая функция. Как известно, собственные числа больших номеров спектральной задачи (4) допускают асимптотическое разложение

Записываются регуляризованные следы оператора Штурма-Лиувилля (4) всех натуральных порядков. Числа Вр, входящие в формулы (1), вычисляются в конечном виде. Под Ар(к) в этом случае понимается начальный отрезок асимптотического разложения (5), обеспечивающий сходимость ряда (1). Коэффициенты асимптотического разложения (5) выражаются в конечном виде через граничные условия (4) и потенциал р{х). И,М. Гельфанд и Л.А. Дикий предположили, что для любого е > 0 найдется такое число По 6 N, что

2 Дикий Л.А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР.- 1957.- Т.116, № 1.- С.12-14.

—u" -i-p(x)u — Au, u(0) = u(7r) = 0,

(4)

(5)

и при этом решения системы «о алгебраических уравнений

пр

£ [Л£ - Ар(к)] — Вр р = ТГ^, (6)

Л=1

приближают первые по собственных чисел спектральной

задачи (4). Преимущества этого способа, по сравнению с методом Дородницына, в том, что числа Лр(к) и Вр в системе (6) выражаются в конечном виде через характеристики оператора. Но Л.А. Дикий не дал теоретическое обоснование этого способа, а лишь привел пример вычисления первых трех собственных чисел уравнения Матье с хорошей точностью. Впоследствии С. А. Шка-рин3 показал, что метод в таком виде применяться не может, так как система (6) имеет бесконечно много решений, причем существуют решения с любым наперед заданным конечным набором Метод будет давать при разном выборе по и отрезка асимптотики А* случайные числа, не связанные с собственными числами исходного оператора.

В.А. Садовничий и В.Е. Подольский4 впервые сделали теоретическое обоснование вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля, основанное на системе, составленной из регуляризованных следов (1) оператора.

В 1994 году В.А. Садовничий и В.В. Дубровский5 получили оценки поправок теории возмущений а^(по) дискретного полуограниченного снизу оператора Т

й»(по)| < К^Л.^нЧ^Г'0- * *

в случай, когда существует такое натуральное число что оператор является ядерным. Это позволило при «¿По >

3Шкарин С.А. О способе Гельфанда-Дикого вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля // Вест. Моск. Ун-та. Сер. математика, механика,- М.: МГУ, 1996,- № 1.- С.39-44.

4Садовничий В.А., Подольский В.Е. О вычислении первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля // ДАН (России).- 1996,- Т.346, № 2.- С.162-164.

, 5СадовничиЙ В.А., Дубровский В.В. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов // Тр. семинара им. И.Г. Петровского.— М,: МГУ.— 1994.— № 17.— С.244-248.

2||Р|| и условии ограниченности линейного оператора Р записать нелинейные уравнения при > «о

Х>? » ЕАг+Е^М+оГГМ^1-'"), Р = Т^, (7)

к=1 к=1 «ПО / '

для нахождения первых п0 собственных чисел {/¿л}]^ оператора Г + Р. Здесь а[р)(п0) = / Л?"1 [рЯл(Г)]^Л -

поправки теории возмущений оператора Т+Р, Тпо — окружность

радиуса рПо = ---с центром в начале координат комм -

плексной плоскости, Я\(Т) — резольвента оператора Г, {Ай}^ — собственные числа оператора Г, занумерованные в порядке возрастания их величии с учетом кратности, с1п — А«+1 — Ап. При этом было показано, что ряды поправок теории возмущений

(по) сходатся, а а^(по) явно вычисляются через характеристики операторов X и Р с помощью теории вычетов.

На основе исследований В.А. Садов ничего и В.В. Дубровского С.И. Кадченко6 теоретически обосновал новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных операторов. Им созданы эффективные алгоритмы вычисления первых поправок теории возмущений а^(по) в случае, когда собственные числа оператора Т однократны, и число-

оо , .

вых рядов Релея-Шредингера (по)- В дальнейшем ука-

к=1

заниый метод будем называть методом регуляризованных следов или методом РС.

Метод РС, к отличие от выше рассмотренных, основывается на формулах, содержащих конечные суммы целых степеней первых собственных чисел операторов X и X + Р. Кроме того, так как поправки теории возмущений а^ (п0) вычисляются для большого класса операторов, область применения этого метода гораздо шире, чем других известных методов. Замечательным

6Кадченко С.И. Новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов: дис... д-ра физ.-мат. наук: 05.13.18,- Магнитогорск: МаГУ, 2003 - 301 с.

обстоятельством является применимость метода для нахождения собственных чисел дифференциальных операторов в частных производных. Метод PC, в отличие от других известных численных методов нахождения собственных чисел несамосопря-жениых операторов, не является итперацио71Нъшу а также не требует положительной определенности оператора Т + Р.

Цель работы. Поскольку для вычисления собственного числа fim оператора Т + Р необходимо решить нелинейную систему. из тп уравнений, то применение метода при больших тп вызывает значительные вычислительные трудности.

Для расширения возможностей метода PC необходимо:

1. Создать эффективный метод вычисления собственных чисел оператора Т + Р с достаточно большими номерами.

2. Получить оценки остатков рядов поправок теории возмущений для случая кратности собственных чисел оператора Т.

3. Найти аналитические формулы поправок (тп) для случая кратности собственных чисел оператора Т*

4. Разработать эффективный алгоритм для численной реализации метода PC.

Научная новизна. Впервые получены результаты:

1. Дано теоретическое обоснование метода PC в случае кратности собственных чисел невозмущенного оператора.

2. Получена система q уравнений для вычисления собственного числа /im оператора Т + Р в случае q-кратности собственного числа Лт оператора Т.

3. Разработан эффективный алгоритм вычисления собственных чисел с большими номерами оператора Т + Р.

4. Созданы пакеты программ в среде Maple б, позволяющие вычислять собственные числа возмущенного оператора Лапласа, спектральной задачи гидродинамической теории устойчивости Орра-Зоммерфельда.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанного численного алгоритма для эффективного вычисления собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории функций комплексного переменного, функционального анализа, спектрального анализа линей-

ных операторов, теории возмущений и вычислительной математики. Основными методами в работе являются методы, разработанные В.А, Садовничим и его учеником В.В. Дубровским.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2005" (г. Москва, МГУ, 2005 г.), в Воронежской весенней математической школе "Пон-трягииские чтения — XVI" (г, Воронеж, ВГУ, 2005 г.), на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г, Самара, СГТУ, 2005 г.), в 13-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (г. Саратов, СГУ, 2006 г.), на Всероссийской научной конференции, посвященной 30-летию Челябинского государственного университета "Математика. Механика. Информатика" (г. Челябинск, ЧелГУ, 2006 г.), на научных семинарах под руководством проф. С.И. Кадченко, проф. Г.А. Свиридюка, доц. А.И. Седова (г. Магнитогорск).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ совместно с С .И. Кадченко, которому принадлежит постановка задач. Доказательства утверждений, составление пакета программ и численные расчеты выполнены диссертантом. Список опубликованных работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, приложеиий и списка литературы из 96 наименований. Общий объем работы составляет 168 страниц машинописного текста.

Краткое изложение содержания диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе рассмотрены известные факты из спектральной теории линейных операторов, которые используются в диссертации.

Вторая глава посвящена теоретическому обоснованию метода регуляризованных следов.

В пункте 2.1 приведена теорема, позволяющая вычислять первые 771 собственных чисел возмущенного дискретного оператора как решение системы из т нелинейных уравнений.

Эта теорема была впервые приведена в работе В.А. Садов-ничего, В.В. Дубровского [5], впоследствии изучалась в работах С.И. Кадченко. В диссертации она представлена без условия ядерности оператора (Х)^ при некотором натуральном числе 5<ь так как доказательство проходит и в этом случае.

Рассмотрим дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор Т и линейный ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть {Л„}~! — собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а — ортонормированный базис из соответствующих собственных функций. Обозначим через собственные числа операто-

ра Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если существует натуральное число по такое, что для любого п > по при условии

х , 2||Р||

А„ ^ Л„+1 выполняется неравенство — -—"—< 1, то при

Ап+1 — лп

условии Ат ф Ат+1 первые т > по собственных чисел оператора Т + Р являются решениями системы т уравнений

т т

к=1 1

2тг 4 т

гг

Здесь <4р)(го) = * Бр / АРЯЛ(Т)[РЯЛ(Т)]*(£А - к-ая по-

правка теории возмущений оператора Т + Р целого порядка р, е^\тп) — ]Г Тт — окружность с центром в начале

__ |Ат + Ат+11

координат комплексной плоскости радиуса рт —---.

Показано, что формулу для поправки а^ (тп) теории возмущений оператора Т + Р можно привести к виду

Применяя метод РС на практике, заменяем нелинейную систему уравнений (8) ее приближенным аналогом

го т

Е Я = £А* +Х ^ М' е N. Р = Т^, (9)

к=1 к=1 А=1

где — приближенные значения первых т собственных

оо , ^

чисел {1Лк}™=1 оператора Т -I- Р. Ряд щ' (т) сходится, поэтому нелинейная система (9) при ¿1 —> оо, оо,..., £р -> оо все лучше приближает первые ш собственных чисел оператора Т+Р. Погрешности вычисления будут зависеть от того, как точно вычислены правые части системы (8).

В пункте 2.2 получены оценки остатков е^ (т) числовых ря-о° / ) дов £ ак \т)-

Доказало, что оператор РЛа(Г) <1\ не более чем

мерен, где д{ — кратность собственного числа А», 7¿ — окружность с центром в и радиусом настолько маленьким, что отличные по значению от А* собственные числа лежат во внешности

С помощью этого результата при условии Ат ^ Ат+1 для поправок теории возмущений а^ (тп) оператора Т + Р получены оценки

Из оценок поправок вытекает справедливость оценок

1 ~ Чт

В пункте 2.3 получены формулы для вычисления поправок

теории возмущений а^ (т) оператора Т + Р при условии Лт ф Ат+1 для любых к,р € N

оо т к м>—1

4р)(т) = | Е £ (ПМгМ-)•

ЛЛ, '=1 П(А-А^)

г=1,п—1

где Vij = {Рфищ), s = | 1 + j j * ^ £

Эта формула приведена к более удобному для применения се в численных расчетах виду

к 91 92 sb к

4р)(ш) = |ЕЕ Е Е - Е ^„П^..

n=l Pkn il = l 32 = 1 jk = l t~l

у-v-'

RPh»

где Ркп — подмножество из п элементов множества {ji, ,..., jk }, / i+1, t<k, __ Г m, jrtPkn,

1, t = Jfc, r~\oo, jrtPtn, r"x'K> np . / = Aj, e fifeni

1 cP-1 / ^P-1

in. = r-гтт lim

(П-1)!л-Л, ¿А»- ч

¿еп» 11 (А-А

(=1

Последнюю формулу можно непосредственно применять при составлении программы для вычисления поправок. По сравнению с предыдущей, она позволяет производить меньше операций при вычислении. Обозначим

81 82 Ви к

^-ЕЕ-ЕА.П1'«.-

*-V-'

ЛРь

Каждому множеству индексов соответствует перестановка из верхних пределов сумм {я!, вя,..., $*;}. Если я^» • • ■ можно получить из {«1, ^2) • • ■, в результате некоторого числа циклических сдвигов, то Тркп — Тр'кп, так как при циклическом

к

сдвиге индексов значение выражения Аркп Л У^^ не меняется.

Это позволяет упростить вычисления поправок, сгруппировав равные по значению выражения.

Используя результаты пункта, можем записать формулу для вычисления любой поправки а^ (т). Приведены первые пять поправок в явном виде.

Таким образом, при вычислении собственного числа //т оператора Т+Р, используя описанный в главе 2 метод РС, необходимо решить нелинейную систему из т уравнений. Кроме того, что-

00 (»}

бы вычислить частичные суммы рядов поправок 2 (т)> Р —

_ к=1

1,т, с некоторой погрешностью е, чем больше р, тем большее количество первых поправок необходимо вычислить для достижения необходимой точности. Это связано с тем, что при увеличении р при неизменных Лит абсолютная величина поправки увеличивается. Все это приводит к тому, что эффективность метода РС с увеличением номера вычисляемого собственного числа резко снижается.

Третья глава посвящена разработке метода вычисления собственных чисел с большими номерами. Применяются те же методы, что и в главе 2.

В пункте 3.1 получен результат, позволяющий вычислять собственное число 11т возмущенного оператора Т + Р как решение системы из «у уравнений, где ц — кратность собственного числа Лш невозмущенного оператора Г.

Введем последовательность по правилу

__ Г о, Ап_1 — Ап,

\ кратность числа А„, п = 1 или Ап_1 < Ап.

Для натурального числа тп введем числа

ат = тах{ п € N | ф 0, т > п},

Ьт = тт{ п € N | <7„+1 ф- 0, т < п}.

Таким образом, для любого натурального числа т ат < тп < 6Ш, Хйт - ... = Аьт, <?вт = 6т - от +1 — кратность собственного числа Ат.

Пусть существует по € N такое, что для всех п > по выполняется неравенство Т)п — —< 1. Тогда при тп > по собственные

"п

числа {/^п)п=ат оператора Т + Р являются решениями цЛт системы уравнений

Ьт tp

Е А = + Е^р)<т)+е1р}(т)> ь€ р =

Д;—1

Здесь /?<р>(т) = Эр / АрДа(Г) [рЛа(Т)]*с1А, е£>(т) =

оо > ^

2 Ик (т)> 7т — окружность комплексной плоскости с цеи-к=1р+1

тром в Ат и радиусом

^т<шт|---'-2-Г

В случае однократности собственного числа Ат оператора Т с номером т > по собственное число /1т оператора Г + Р вычисляется по формуле

оо

~ Ат + Е^1^771)'

Л=1

В пункте 3.2 доказана справедливость оценок остатков (т) 00 (Ъ^

числовых рядов ^ р^' (т) А=1

р 1 — Ут

В пункте 3.3 получены формулы для вычисления (т) при любом к

#м = £ЕЕ Е Е ••• Е

П—1 Ркп Зк*=вь 4=1

>-„-'

где Ркп — подмножество из « элементов множества {л, ¿2» • ••>.?*:}>

_ f t + 1, t < fc, Í flm, jr € Pfcn,

\ 1, t = fc, r~\ 1, JrtPU,

С _ / jr € _-з r

5r"l CO, p-1'*'

RPkn:\ - , "-»^J™' '

i J<flm ИЛИ 3 >Ьт, J

ePjtn, $Pkn,

-1 \ (n-l)

= (^1)! Ä. ( Д Г . J

П (A-Ai,y

t=l Jt^-Phn.

В пункте 3.4 получена формула, позволяющая вычислять сра-

оо

зу суммы числовых рядов ßf?\m). При этом она содержит

только конечные суммы и не содержит производных.

Если оператор Т+Р положительно определен вЯи существует «о € N такое, что для всех п > по выполняется неравенство

7}п — < 1, то при m > по справедливы формулы Vn

со 6т р—1 bm р

£ ßP w = Е Е W*-' + Е П +

к=1 к=ат t=0 Ji i.-.,ip=l «=1

fl

n=l

3n i„>am p'

причем lim |5,,(m)| - 0. Здесь C\ — -ofci = XkSkt + Vkt,

т-юо * v t\{p — t)l

r _ < 9 + 1, p,

1, s-p.

В пункте 3.5 на основе результатов глав 2 и 3 разработан алгоритм вычисления собственных чисел возмущенных дискретных операторов.

Четвертая глава посвящена вычислительным экспериментам по нахождению собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда и возмущенного оператора Лапласа. Проведен анализ численных расчетов.

Основные результаты и выводы

• Создан вычислительно эффективный метод нахождения собственных чисел с большими номерами возмущенного дискретного оператора.

• Получены оценки остатков радов поправок теории возмущений и аналитические формулы поправок для случая кратных собственных чисел невозмущенного оператора.

• Разработан алгоритм для численной реализации метода PC.

• На основе алгоритма создана программа в среде Maple 6 для вычисления собственных чисел возмущенных дискретных операторов.

Анализ проведенных численных расчетов показывает высокую вычислительную эффективность алгоритма, разработанного в диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат паук, проф. С.И. Кадченко.

Список публикаций по теме диссертации

1. Кадченко С.II., Кинзина И.И. Вычисление сумм Рслея-Шрёдингера дискретных операторов // Межд, школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, fill сентября 2004.- Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004.-C.25G-257.

2. Кинзина И.И. Нахождение собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов // Материалы Межд, конф, студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2005", секция "Вычислительная математика и кибернетика" М.: Издательский отдел факультета ВМиК, 2005,- С.28-29.

3. Кадченко С.И., Кинзина И.И. Новый метод вычисления собственных чисел несамосопряженных операторов по линейным формулам // Совр. методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней мат. школы "Понтрягинские чтения — XVIм,- Воронеж: ВГУ, 2005,- С.72,

4. Кадченко С.И., Кинзина И.И. Линейные уравнения для вычисления собственных чисел несамосопряжениых операторов //

Мат. моделирование и краевые задачи: тр. второй всерос. науч. конф. 1-3 июня 2005 г. Часть 3. Секция "Дифференц. уравнения и краевые задачи".- Самара: СГТУ, 2005.- С.117-120.

5. Кадченко С.И., Кинзина И.И. Линейные уравнения для приближенного вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов // Электромагнитные волны и электронные системы.- 2005 - Т.10, № 6 - С.4-12.

6. Kadchenko S.I., Kinzina I.I. Linear equations for calculation of eigenvalues of nonself-adjoint operators // Book of Abstracts. International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations1'. Alushta, Ukraine, September 17-23, 2005 - Donetsk, 2005.- P.48.

7. Кадченко С.И., Кинзина И.И. Вычисление собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов по линейным формулам // Вестник МаГУ. Математика.- Магнитогорск: МаГУ, 2005.- Вып.8.- С.87-95.

8. Кинзина И.И. Новый метод вычисления собственных чисел дискретных операторов // Совр. проблемы науки и образования: тез. докл. XLIII внутри вузовской науч. конф. преподавателей МаГУ. - Магнитогорск: МаГУ, 2005.- С.286-287.

9. Кинзина И.И. Поправки теории возмущений дискретного оператора // Совр. проблемы теории функций и их приложения: тез. докл. 13-й Саратовской зимней школы. - Саратов: ООО Издательство "Научная школа", 2006.- С.86-87.

10. Кинзина И.И. Вычисление собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов.- М.: ВНТИЦ, 2006.- № 50200600 295.

11. Кадченко С.И., Кинзина И.И. Вычисление собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов // ЖВМиМФ.- 2006.- Т.46, № 7.- С.1265-1272.

Регистрационный №1348 от 09.03.2004 г. Подписано в печать 24.10.2006 г. Формат 60x84 1/16. Бумага тип № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 556.

Бесплатно.

Издательство Магнитогорского государственного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Типография МаГУ

Введение.

Глава 1. Основные понятия.

1.1. Спектр и резольвента оператора.

1.2. Вполне непрерывные операторы.

1.3. Самосопряженные операторы.

1.4. Корневые векторы и корневые подпространства оператора.

1.5. Теоремы о следах оператора в конечномерном пространстве и ядерного оператора.

1.6. Неограниченные операторы.

1.7. Следы дискретных операторов.

Глава 2. Теоретическое обоснование нового метода нахождения первых собственных чисел возмущенных дискретных полуограниченных операторов

2.1. Система уравнений для нахождения первых собственных чисел.

2.2. Оценки остатков рядов поправок £ ак(т).

2.3. Вычисление поправок теории возмущений оператора Т+Р.

2.4. Вычисление сумм рядов поправок £ (ц {ш).

Глава 3. Теоретическое обоснование нового метода нахождения первых собственных чисел с большими номерами возмущенных дискретных полуограниченных операторов.

3.1. Система уравнений для нахождения собственных чисел с большими номерами.

3.2. Оценки остатков числовых рядов £ Pk \m).

3.3. Вычисление членов ряда £ Pk \m).^

3.4. Вычисление сумм числовых рядов £ Рк Лт).^

3.5. Алгоритм вычисления собственных чисел возмущенных дискретных полуограниченных операторов.

Глава 4. Численные эксперименты.

4.1. Спектральная задача Орра-Зоммерфельда.

4.2. Возмущенный оператор Лапласа.

Постановка задачи. Рассмотрим дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор Т и линейный ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Пусть {Ад}^ — собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности, а 1 ~ ортонормированный базис из собственных функций, соответствующих этим собственным числам. Обозначим через собственные числа оператора

Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если существует п0 € N такое, что для любого п>щ / л 2||Р|| при условии Ап ф А„+1 выполняется неравенство qn = т-—-—- < 1, то при

An+i — А„| условии Ато ф Am+i первые тп>щ собственных чисел {AJn=i оператора Т + Р являются решениями системы га уравнений m m tp

Е ^ = Е А2 + Е ^V) + eSV), tp е N, р = TjL (0.1) к=1 к=1 к=1

Здесь а^\тп) = / Ap1 |РД\(Т)| d\ — поправки теории возмущений оператора Т + Р, £^\тп) = ^ Тт — окружность радиуса рт = р k=tp+l

Am + Am+i| ^ ц6НТр0М в начале координат комплексной плоскости, R\(T) — резольвента оператора Т.

Правые части уравнений (0.1) явно выражаются через собственные числа и собственные функции невозмущенной задачи и возмущающий оператор.

В.А. Садовничий и В.В. Дубровский впервые в работе [69] высказали идею нового метода вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных операторов с помощью системы (0.1). Она состоит в следующем. Используя теорию симметрических многочленов и формулы Ньютона, нахождение корней системы (0.1) сводится к нахождению корней многочлена степени га, коэффициенты которого могут быть найдены со сколь угодно большой точностью. Поэтому погрешности вычисления первых га собственных чисел {/xn}n=i оператора Т + Р зависят от того, как точно вычислены правые части системы (0.1).

На основе исследований В.А. Садовничего и В.В. Дубровского С.И. Кадчен-ко теоретически обосновал новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных операторов. Им созданы эффективные алгоритмы вычисления первых поправок теории возмущений в случае, когда собственные числа оператора Т однократны, и числовых рядов Релея-00 . .

Шредингера £ Щ Л171) ■ к=1

Поскольку для вычисления собственного числа цт оператора Т+Р необходимо решить нелинейную систему из тп уравнений, то применение метода при больших тп вызывает значительные вычислительные трудности.

Для расширения возможностей нового метода необходимо:

1. Создать эффективный метод вычисления собственных чисел оператора Т+Р с достаточно большими номерами.

2. Получить оценки остатков рядов поправок теории возмущений для случая кратности собственных чисел оператора Т.

3. Найти аналитические формулы поправок о|(т) для случая кратности собственных чисел оператора Т.

4. Разработать эффективный алгоритм вычисления собственных чисел оператора Т + Р.

Обоснование интереса к проблеме. Классическим регуляризованным следом порядка р € R оператора А называется соотношение вида

00 И"Ар{к)]= Вр' (0-2)

Ь= 1 где Ajt — собственные числа дифференциального оператора А, Ар(к) — числа, обеспечивающие сходимость числовых рядов, Вр — явно вычисляемые через характеристики оператора выражения.

Первая формула такого вида была получена в работе [12] 1953 года И.М. Гель-фандом и Б.М. Левитаном, где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиувилля на конечном отрезке.

Формулы (0.2) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений тп

Y^XPk = BW(tp), tpZN, (0.3) jt=i где {Afc}^! — приближенные значения первых тп собственных чисел оператора A. Bpm\tp) содержат tp частичные суммы сходящихся числовых рядов. Из этой системы в некоторых случаях были найдены приближенные значения первых собственных чисел дифференциальных операторов, и точность оказалась удовлетворительной, но этот факт нельзя принимать за обоснование такого метода вычисления первых собственных чисел, поскольку остатки сходящихся числовых рядов отбрасывались, а их оценки не проводились. Кроме того, универсального алгоритма вычисления правых частей (0.3) для широкого класса операторов не существовало. Известные методы нахождения Bpm' (tp) применялись либо только к спектральным задачам Штурма-Лиувилля и требовали знание асимптотики собственных чисел ([74]), либо требовали знание повторных функций Грина спектральных задач для операторов с ядерными резольвентами, нахождение которых часто представляет сложные математические задачи ([18]).

Предложенный В.А. Садовничим, В.В. Дубровским и обоснованный С.И. Ка-дченко метод вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных операторов решает эти проблемы для широкого класса операторов. Развитию этого метода, который был назван методом регуляризованных следов, и посвящена данная диссертация.

Историография вопроса. Сумма диагональных элементов матрицы линейного преобразования в конечномерном пространстве (т.е. матричный след) равна сумме собственных значений с учетом их кратности (т.е. спектральному следу). По теореме Лидского это утверждение справедливо и для ядерных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Под спектральным следом понимают 00

Ajfc, где {Afc}^ — собственные значения ядерного оператора А, под матричным к=1 оо следом — YKA<Ph<Pk)i гДе ~~ ортонормированный базис. к=1

Матричный и спектральный следы неограниченных операторов, вообще говоря, не существуют. Поэтому возникает понятие так называемых "регуляризованных следов".

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля

-У" + 9{х)у = Ху, 0 < х < 7Г, ^ ^ у{0) = у{п) = 0, где д(х) — достаточно гладкая функция. Известно, что асимптотическое разложение собственных значений при большом спектральном параметре этой задачи имеет представление

А*~А2 + сь + |г + £ + ., (°-5)

1 " где со = - / ^ о

00 00 Видно, что ряд Ajt расходится, а ряд (^fc ~ к2 ~ Со) сходится. Сумма пок=1 Jfc=l следнего ряда называется регуляризованным следом задачи Штурма-Лиувилля. В работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана [12] показано, что

BA^-c^-M+iM. к=1 & 4

Л.А. Дикий ([14], [17]) и И.М. Гельфанд ([11]) для оператора Штурма-Лиувилля вычислили регуляризованные следы всех порядков.

Регуляризованные следы неограниченных операторов играют важную роль в различных вопросах спектрального анализа: в вопросах приближенного вычисления первых собственных значений, в обратных задачах. Они применяются для изучения асимптотического поведения спектральной функции операторов. И так далее. Их изучение представляет и самостоятельный интерес.

Вслед за работой [12] появилось много результатов по теории регуляризован-ных следов. Разными авторами были предложены различные способы вычисления регуляризованных следов операторов ([13], [15], [16], [44], [45] и др.). Наиболее общие результаты, в том числе и для дифференциальных операторов высших порядков, получены в работе [45] В.Б. Лидского и В.А. Садовничего. Обнаружено, что получение формул следов для краевой задачи на конечном отрезке сводится к исследованию нулей целых функций, названных авторами функциями класса К.

В статьях [3], [10], [23], [24], [67], [93], [95] можно наблюдать развитие абстрактного направления. Сильный результат для конечномерных возмущений получен в [64], где были охвачены некоторые классы неограниченных возмущений. Наиболее интенсивно в этом направлении работают В.А. Садовничий и его ученики ([1[, [4]-[6], [19]-[22], [30], [32] [34], [48], [49], [55]-[60], [63], [64], [66], [68], [72], [75], [76], [82]), Х.Х Муртазин ([2], [51], [52], [85]), А.В. Хасанов ([90]). Заслуживает внимания работа П. Лакса [96], в которой, правда, без строгих доказательств, предложен оригинальный метод вычисления следов, основанный на известном по его работам в теории обратных задач методе дифференцирования семейства операторов по внешнему параметру. В работе [92] получен регуляризованный след для неядерного интегрального оператора.

Л.Д. Фаддеевым и B.C. Буслаевым ([7], [8], [84]) получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром. С. Хальберг, В. Крамер,

00

Р. Гильберт ([93]—[95]) для случая, когда ряд £ (Btpn, <рп) сходится, получили фор

П=1 мулу оо оо

П=1 П=1

Здесь ~~ собственные числа самосопряженных ограниченных снизу операторов А и С соответственно, действующих в гильбертовом пространстве Я, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а {</>n}£L 1 — соответствующие ортонормированные собственные функции.

Причем А и С имеют одинаковую область определения Da и В = С — А.

Различные результаты в теории следов были получены методами теории возмущений дискретных операторов, отраженные в работах М.Г. Крейна, В.А. Са-довничего, В.А. Любишкина, В.В. Дубровского [25], [43], [69], [71]—[73].

В работах [31], [59] В.В. Дубровского и В.В. Распопова построен эффективный алгоритм вычисления регуляризованного следа произвольного полуцелого порядка (к = р е N) для абстрактных возмущенных дискретных полуограниченных операторов. Они опирались на результаты исследований С.И. Кадченко [37], [39].

В работе В.В. Дубровского и О.А. Порецкова [58] разработаны алгоритмы вычисления первых регуляризованных следов оператора Лапласа-Бельтрами на единичной двумерной сфере с негладким потенциалом. Рассмотрены два случая негладкого потенциала: дважды непрерывно дифференцируемая функция и потенциал, удовлетворяющий неравенству Липшица по двум переменным.

В области построения фундаментальных оператор-функций сингулярных дифференциальных операторов интенсивно работает М.В. Фалалеев ([86], [87]). Оценкам первого собственного значения в задачах Штурма-Лиувилля посвящена работа Ю.В. Егорова, В.А. Кондратьева [36]. В работах В.В. Дубровского и Л.В. Смирновой [35], [83] изучаются математические модели восстановления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа.

Актуальность темы диссертации. С момента появления формул регуляризованных следов стали предприниматься попытки применить их для приближенного вычисления первых собственных чисел операторов.

В 1952 году А.А. Дородницын в статье [18] предложил для вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля использовать асимптотические выражения для собственных чисел больших номеров. Для этого он рассмотрел равенства где Gp(x, х) — повторные функции Грина оператора. Ряды справа абсолютно сходятся. В равенствах (0.6) нужно заменить все собственные числа, начиная с некоторого, их асимптотическими значениями, тогда для первых собственных чисел получится система алгебраических уравнений. Следовательно, от равенств (0.6) можно перейти к приближенным равенствам, которые содержат справа конечные суммы. Решив полученную систему, можно вычислить первые собственные числа оператора. Но функции Грина лишь в немногих случаях выписываются явно. Поэтому принципиальным недостатком этого метода является то, что в общем случае числа слева в (0.6) не выражаются в конечном виде через характеристики оператора и явного алгоритма их вычисления нет. Кроме того, А.А. Дородницыным не было дано теоретическое обоснование метода, и нет оценок, позволяющих судить о точности вычисления первых собственных чисел оператора.

Впоследствии В.А. Садовничий, В.В. Дубровский и Е.М. Малеко в работах [29], [49], [70] обосновали метод вычисления первых собственных чисел дифференциальных операторов с ядерной резольвентой, предложенный А.А. Дородницыным, и построили алгоритм вычисления первых характеристических чисел симметричных интегральных уравнений. Однако, их исследования относятся к так называемому "одномерному" случаю. "Многомерный" случай (в частности, приложение к дифференциальным операторам в частных производных) нуждается в дальнейших исследованиях.

В 1957 году Л.А. Дикий в статье [16] предложил способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля. Идея способа состояла в следующем. Пусть {Ап}^ — собственные числа оператора Штурма-Лиувилля (0.4). Записываются регуляризованные следы оператора Штурма-Лиувилля (0.4)

0.6) всех натуральных порядков. Числа Вр, входящие в формулы (0.2), вычисляются в конечном виде. Под Ар(к) в этом случае понимается начальный отрезок асимптотического разложения (0.5), обеспечивающий сходимость ряда (0.2). Коэффициенты асимптотического разложения (0.5) выражаются в конечном виде через граничные условия (0.4) и потенциал q(x). И.М. Гельфанд и J1.A. Дикий предположили, что для любого е > 0 найдется такое число щ Е N, что к=1 и при этом решения системы щ алгебраических уравнений

По [аI - Ар(к)] -Вр = 0,р = Т^Го, (0.7) к= 1 приближают % первые собственные числа {Afc}£°: спектральной задачи (0.4). Преимущества этого способа, по сравнению с методом Дородницына, в том, что числа Ар(к) и Вр в системе (0.7) выражаются в конечном виде через характеристики оператора. Но JI.A. Дикий не дал теоретическое обоснование этого способа, а лишь привел пример вычисления первых трех собственных чисел уравнения Матье с хорошей точностью. Впоследствии С.А. Шкарин в статье [91] показал, что этот метод в таком виде применяться не может, так как система (0.7) имеет бесконечно много решений, причем существуют решения с любым наперед заданным конечным набором {Ajt}^. Метод будет давать при разном выборе щ и отрезка асимптотики А к случайные числа, не связанные с собственными числами исходного оператора. Этот вопрос также рассматривается в работе [77].

В.А. Садовничий и В.Е. Подольский в работе [74] впервые сделали теоретическое обоснование вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля, основанное на системе, составленной из регуляризованных следов (0.2) оператора. Введен следующий класс операторов Штурма-Лиувилля: оператор называется принадлежащим классу S, если решение ср(х, А) задачи Коши

-У" + Я(х)у = А У, у'(0) - hy(0) = 0, у\тг) + Ну(тг) = 0,

Ч>{0,А) = 1, у/(0, X) = h имеет при |А| —► оо асимптотическое разложение . f гт v . , .sin(\/A:r) , , .cos(\/A:e) <р(х, Л) ~ cos(vAx) + ki(x)—+ к2(х)—^—+. v а а , .sm(^/\x) , , .cosfv^Ax) такое, что лишь конечное число коэффициентов к0(х) отлично от тождественного нуля на отрезке [0,7г]. Класс S плотен среди операторов с потенциалом из

Произвольный оператор Штурма-Лиувилля приближается (в операторной норме) с заданной точностью оператором из класса S. Для любого оператора Штурма-Лиувилля приближающий его оператор класса S эффективно строится. Из принципа минимакса следует, что если норма разности операторов меньше е, то модуль разности собственных чисел этих операторов с одинаковыми номерами не превосходит е. Показано, что система регуляризованных следов оператора из класса S однозначно определяет спектр. И далее уже для оператора класса S собственные числа находятся из системы регуляризованных следов с любой заданной наперед точностью.

В 1994 году В.А. Садовничий и В.В. Дубровский в работе [69] получили оценки поправок теории возмущений а^(по) дискретного полуограниченного снизу оператора Т

I^'mi < * > в случае, когда существует такое натуральное число so, что оператор ^Яд(Т)^ является ядерным. Это позволило при dno > 2\\Р\\ и условии ограниченности линейного оператора Р записать нелинейные уравнения при tp > sq р-ъ* с-8) fc=i fc=i fc=i для нахождения первых по собственных чисел {Hk}kLi оператора Т + Р. Здесь ак р) по) = f Ар 1 ^РЯл(^)] d\ — поправки теории возмущений опера

Тпй тора Т + Р, Тпо — окружность радиуса р„0 = с центром в начале а координат комплексной плоскости, R\(T) — резольвента оператора Т, {А*}^ — собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, dn = An+i — Ап. При этом было показано, что ряды поправок теории возмущений Y1 а^(по) сходятся, а а^ (п0) явно вычисляются fe=i через характеристики операторов Т и Р с помощью теории вычетов.

Метод регуляризованных следов, в отличие от выше рассмотренных, основывается на формулах, содержащих конечные суммы целых степеней первых собственных чисел операторов Т и Т + Р. Кроме того, так как поправки теории возмущений о) вычисляются для большого класса операторов, область применимость этого метода гораздо шире, чем других известных методов. Замечательным обстоятельством является применимость этого метода для нахождения собственных чисел дифференциальных операторов в частных производных. Этот метод в отличие от других известных численных методов нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов не является итерационным, а также не требует положительной определенности оператора Т + Р.

С.И. Кадченко теоретически обосновал метод и разработал методику его применения к некоторым задачам гидродинамической теории устойчивости ([9], [26]-[28], [37] [40], [54]).

Для вычисления правых частей (0.8) необходимо найти сумму первых tp поправок теории возмущений Но по мере возрастания к вычислительная эффективность нахождения поправок резко уменьшается. С.И. Кадченко разработал схз новый метод вычисления сумм числовых рядов поправок £ о|(п0). Это позволило к=1 избежать вычисления каждой поправки в отдельности. Создана методика оценок сходимости метода и нахождения предельных абсолютных погрешностей вычисления первых собственных чисел оператора Т + Р. Метод проверялся на многих спектральных задачах, в том числе на классических задачах гидродинамической теории устойчивости Орра-Зоммерфельда, Пуазейля и Куэтта, и показал хорошие результаты.

Следует отметить, что с краевыми задачами теории гидродинамики вязкоупру-гих сред тесно связаны работы Г.А. Свиридюка и его учеников [78]-[81].

Научная новизна. Впервые получены следующие результаты:

1. Получены оценки остатков рядов поправок теории возмущений и аналитические формулы поправок в случае кратности собственных чисел невозмущенного оператора.

2. Получена система q уравнений для вычисления собственного числа цт оператора Т + Р в случае g-кратности собственного числа Ат оператора Т.

3. Разработан эффективный алгоритм вычисления собственных чисел с большими номерами оператора Т + Р.

4. Созданы пакеты программ в среде Maple 6, позволяющие вычислять собственные числа возмущенного оператора Лапласа, спектральной задачи гидродинамической теории устойчивости Орра-Зоммерфельда.

Теоретическая и практическая значимость. Новый метод вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных операторов имеет большой научный интерес, так как с его помощью расширяются возможности в решении спектральных и краевых задач. Метод регуляризованных следов позволяет быстро и эффективно находить собственные числа несамосопряженных операторов.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, в математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, в математическом институте им. С.Л. Соболева, в Институте динамики систем и теории управления СО РАН (г. Иркутск), во Владимирском государственном педагогическом университете, в Воронежском государственном университете, в Челябинском государственном университете, в Башкирском государственном университете, в Магнитогорском государственном университете. Кроме того, результаты диссертации можно использовать в вычислительной математике при составлении пакетов программ, вычисляющих собственные числа задач, порожденных линейными дифференциальными и интегральными операторами.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы теории функций комплексного переменного, функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов, теории возмущений и вычислительной математики. Основными методами в работе являются методы, разработанные В.А. Садовничим и его учеником В.В. Дубровским.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 11 работ ([97]-[107]) совместно с С.И. Кадченко, которому принадлежит постановка задач. Доказательство лемм, теорем, составление пакета программ и численные расчеты выполнены диссертантом.

Результаты, полученные в диссертации, докладывались:

• на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2005" (г. Москва, МГУ, 2005 г.), где автор награжден дипломом "За один из лучших докладов";

• в Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения — XVI", посвященной 100-летию академика Сергея Михайловича Никольского (г. Воронеж, ВГУ, 2005 г.);

• на Второй Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, СГТУ, 2005 г.);

• в 13-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (г. Саратов, СГУ, 2006 г.);

• на Всероссийской научной конференции, посвященной 30-летию Челябинского государственного университета "Математика. Механика. Информатика" (г. Челябинск, ЧелГУ, 2006 г.);

• на научных семинарах под руководством проф. С.И. Кадченко, проф. Г.А. Свиридюка, доц. А.И. Седова (г. Магнитогорск).

Краткое содержание диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе рассмотрены известные факты из спектральной теории линейных операторов, которые используются в диссертации.

Вторая глава посвящена теоретическому обоснованию метода регуляризован-ных следов.

В пункте 2.1 приведена теорема, позволяющая вычислять первые т собственных чисел возмущенного дискретного самосопряженного оператора как решение системы из т нелинейных уравнений.

Эта теорема была впервые приведена в работе В.А. Садовничего, В.В. Дубровского [69], впоследствии изучалась в работах С.И. Кадченко. В диссертации она представлена без условия ядерности оператора ^R\(T)j при некотором натуральном числе s0, так как доказательство проходит и в этом случае.

Рассмотрим дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор Т и линейный ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Пусть {Ап}^=1 — собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, a {<£n}£Li ~~ ортонор-мированный базис из соответствующих собственных функций. Обозначим через {Мп}5£=1 собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если существует натуральное число п0 такое, что для любого п>щ при условии Ап ф An+i

2||р|| выполняется неравенство qn = т-г—■—г < 1, то при условии Ат ф Xm+i первые

A«+i — Ап| т>п0 собственных чисел {^n}™=i оператора Т+Р являются решениями системы ш уравнений

ТП 771 tp

Е я=Е %+Е +4V), tpeN, р=Tjn. fc= 1 fc=l к=1

Здесь о^\тп) = ^—Sp f XPR\(T) jpPA(T)j dX — А>ая поправка теории возму

Tm щений оператора Т+Р целого порядка р, е^ (т) = £ а^ (т), Тт — окружность

Р k=tp+1

Am + Am+i| радиуса рт = '---1 с центром в начале координат комплексной плоскости,

R\(T) — резольвента оператора Т.

Показано, что формулу дня поправки теории возмущений о^\т) оператора Т + Р можно привести к виду

Тт

В пункте 2.2 получены оценки остатков £^\тп) числовых рядов - Р к=1

Доказано, что оператор / Ар1 [рДл(Г)1 dX не более чем дг&-мерен, где q% — ъ кратность собственного числа А„ % — окружность с центром в А, и радиусом настолько маленьким, что отличные по значению от Аг собственные числа лежат во внешности 7,.

С помощью этого результата при условии Хт Ф Лт+1 для поправок теории возмущений оператора Т + Р получены оценки ai\m)\<pmqkmf?m.

Из оценок поправок при условии Ат ф Am+i вытекает справедливость оценок для £р-тых остатков £^\тп) числовых рядов (m) поправок теории возмущер к=1 ний оператора Т + Р

Й+1

Чт

В пункте 2.3 получены формулы для вычисления поправок теории возмущений аР(т).

Поправки теории возмущений af\m) оператора Т+Р при условии Ат Ф \ т+1 для любых к, р € N вычисляются по формуле к оо т к w— 1

J1.J2, Л=1 n=l t=i Г=1,П—1

П(А-АЛ) где VtJ = (Pipi, s = < t +1, t<fc, 1, * = fc.

Эта формула приведена к более удобному для применения ее в численных расчетах виду

V) = !EEEE-E^IK.

81 82 Sk к

П=1 Ркп Jl=l J2=l Зк=1

V-V-'

ПРкп t=1 где Ркп — подмножество из п элементов множества {jj, ., i+1, £ < A;, 1, t = k, t m, Jr e Pkn, —p r = l,fc,

00, Jr Pkn,

Aj = Aj, г, j G Pfcn,

Аг t^ Aj, г € PknJ (/■ Pkn, s =

Sr =

RPkn <

Л* = 1 lim n-l

Xp

-i

F<- (n - 1)! ^ dA-1 V Л a X v

3€Pkn 11 (л-AjJ t=l htPkn

Последнюю формулу можно непосредственно применять при составлении программы для вычисления поправок. По сравнению с предыдущей формулой, она позволяет производить меньше операций при вычислении. Обозначим

1 «2 Sk к

31=1 32=1 Зк=1 «=1

4-у-

RPkn

Каждому множеству индексов Ркп соответствует перестановка из верхних пределов CyMM {Si, S2, • • • > Sk}- ЕСЛИ {s'j, s'2, •••,s'k} МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ИЗ {Si, S2,. . , Sfc} в результате некоторого числа циклических сдвигов, то

Тр. = Тр' , к так как при циклическом сдвиге индексов значение выражения АкР J"] VM) не t=1 меняется. Это позволяет упростить вычисления поправок, сгруппировав равные по значению выражения.

Используя результаты пункта, можем записать формулу для вычисления любой поправки а^\тп). В диссертации записаны формулы первых пяти поправок.

В случае однократности собственных чисел оператора Т формула для поправки записывается в виде оо m к \р—1 ял, П(А - AJt) t= 1

В пункте 2.4 приведен разработанный С.И. Кадченко метод вычисления сумм 00 . . числовых рядов (Ц Лт) поправок теории возмущений дискретных операторов, к=1 позволяющий строить эффективные численные алгоритмы.

Пусть оператор Т + Р положительно определен в Я и существует щ G N такое, что для любого п > по при условии Ап ф An+i выполняется неравенство 2 lipil

1. Тогда при условии Ат Ф Am+i для т>щ

An+i — А„| оо т р-1 т р = ££сЖГ+ £ к=1 к= 1 t=О л, ,зР=1 з=1

П Ъ»}=0

П=1

Д1(т)|<"41 mpm-^—, ti GN, 1 - 9m fc=2 tp m / p-2

ДРН1 < |£а«(т) - £ ЕФЖ+ fc=2 J1=1 4 t=o m p

ЧЫг £ ГЬ

J2, ,Jp=l S=1 п on}=0 n=l -. P = 2,m, tp G N. 1 p' I s + 1) s Ф P)

Здесь C{ = -J7--ту, akt = XkSkt + Vkt, Vkt = (Jfyft. <pt), r = <

-*)« [ 1, s = p.

Таким образом, при вычислении собственного числа Ат оператора Т, используя описанный в главе 2 метод PC, необходимо решить нелинейную систему из тп уравнений.

00 . .

Кроме того, чтобы вычислить частичные суммы рядов поправок ]Г) ак(т), р = к=1

1, ш, с некоторой погрешностью е, чем больше р, тем большее количество первых поправок необходимо вычислить для достижения необходимой точности. Это связано с тем, что при увеличении р при неизменных /гит абсолютная величина поправки ajf'(т) увеличивается.

Все это приводит к тому, что эффективность метода регуляризованных следов с увеличением номера вычисляемого собственного числа резко снижается.

Третья глава посвящена разработке метода вычисления собственных чисел с большими номерами. Применяются те же методы, что и в главе 2.

В пункте 3.1 получен результат, позволяющий вычислять собственное число цт возмущенного оператора Т+ Р как решение системы из q уравнений, где q — кратность собственного числа Ат невозмущенного оператора Т.

Введем последовательность {qn}%Li по правилу

О, Ani = А„, кратность числа А„, п = 1 или Ani < Ап.

Для натурального числа тп введем числа am = тах{ п G N | qn ^ 0, тп > п}, bm = min{ n G N | gn+i ф 0, m < n}.

Таким образом, для любого натурального числа тп ат < тп < Ьт, Хат = . =

Яат=Ьт — ат + 1 — кратность собственного числа \т. Пусть существует no G N такое, что для всех п>щ выполняется неравенство 1. Тогда при т > по собственные числа {/^n}n=am оператора Т + Р fn являются решениями q^ системы уравнений

Ьт Ь ** = + + е%\т), tp е N, к—ат к—1

Здесь $\т) = ^^Sp / А*ЭД[РЯЛ(Г)]*А е«(т) = ^ £ /^(m). 7тп -окружность комплексной плоскости с центром в \т и радиусом f^am - Аа Аьт+1 - Аьт \

Vm = П11П |---,---).

В случае однократности собственного числа Ат оператора Т с номером m > п0 собственное число цт оператора Т + Р вычисляется по формуле

00 т = Am + J^/^M

Jb 1

Формулу для теории возмущений оператора Т + Р можно привести к виду

7т

В пункте 3.2 получены оценки остатков числовых рядов J2 р Jt=i

Доказана справедливость оценок

Pk\rn)\ < pqam(\m + иту-1итг,кт, с помощью которых получены оценки e^{rn)\<pqam{\m + vmr'um^-.

J- Чт

В пункте 3.3 получены формулы

00 к лр-1

М = § £ (МгМ—; . зш, л=1 t=i m П(Л-Ал) t=i где VtJ = {Р<рг, (Pj), S = < t + 1, t < к,

1, t = к. V

Эта формула приведена к более удобному для применения ее в численных расчетах виду к Si S2 Sk к wH = f£££ £■■•£ А„П

1=1 Ркп Я=«1 J2=S2 3k=Sk 4-V-'

RPkn

КП где Ркп — подмножество из п элементов множества {ji,j2, ■ ■ ■ ,Jk}, t+1, t <к,

1, t = k,

Q"mi 3r ^ Pkm I bm, Jr £ Pkm -—-5r=< r = l,k,

1, Jr £ Pkn, [ 00, Jr £Pkn, am<J<bm, J € Pkn, j < am или j > bm, j $ Pkn, xp-l \ (n-l) lim s = < sr = <

RPkn' ' дк ЛРкп ~ 1

П (A-A,,)' t=1 jt iPkn

Последнюю формулу можно непосредственно применять при составлении программы для вычисления поправок. Она изначально не содержит нулевых членов бесконечного А;-мерного ряда предыдущей формулы, что позволяет производить меньше операций при вычислении.

Обозначим

Si S2

Sk

J1=S1J2=S2 3k=Sk 4-*-'

RPkn t=l

ЛТ»

Каждому множеству индексов соответствует перестановка из верхних пределов сумм {Si, S2,., Sk}. Если S'2,., S^} можно получить из {Si, 62,., Sk} в результате некоторого числа циклических сдвигов, то тРкп = TPL > так как при циклическом сдвиге индексов значение выражения АкР П Vnu не ме t=i няется. Это позволяет упростить вычисления, сгруппировав равные по значению выражения.

Используя результаты пункта, можно записать формулу для вычисления при любом к. В диссертации записаны формулы при к = 1,5.

В пункте 3.4 получена формула, позволяющая вычислять сразу суммы число-00 . . вых рядов ^ 0£'(т). При этом формула содержит только конечные суммы и не jt=i содержит производных, что значительно повышает вычислительную эффективность.

Если оператор Т + Р положительно определен в Я и существует По G N такое, э для всех п > щ в справедливы формулы что для всех п > щ выполняется неравенство rjn = < 1, то при m > щ оо bm Р-1 Ьш Р

Е4Ь)И=ЕЕсЖГ+ Е Ib^+w. fc=1 k=Om t=0 л, Jp=l S=1 n M=e> n=l

3n jn>am

P} причем ^lim^ |5p(m)| = 0. Здесь = akt = \k6kt+Vkt, r = s + 1, s^p,

1, s = p.

В пункте 3.5 разработан алгоритм вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов, опираясь на результаты глав 2 и 3.

Четвертая глава посвящена вычислительным экспериментам по нахождению собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда и возмущенного оператора Лапласа. Проведен анализ численных расчетов, который показал высокую эффективность разработанного в диссертации нового алгоритма вычисления собственных чисел возмущенных дискретных самосопряженных операторов.

Благодарности. Выражаю глубокую благодарность научному руководителю Кадченко Сергею Ивановичу за внимание и чуткое руководство. Благодарю ректорат, коллективы кафедр математического анализа и прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за поддержку в годы написания диссертации. Признательна Седову Андрею Ивановичу за ценные замечания, которые позволили мне улучшить работу.

Основные результаты и выводы

1. Создан эффективный метод вычисления собственных чисел с большими номерами возмущенного дискретного оператора.

2. Получены оценки остатков рядов поправок теории возмущений и аналитические формулы поправок для случая кратности собственных чисел невозмущенного оператора.

3. Разработан эффективный алгоритм для численной реализации метода регуляризованных следов.

4. На основе алгоритма создана программа в среде Maple 6 для вычисления собственных чисел возмущенных дискретных операторов.

Анализ проведенных численных расчетов показывает высокую вычислительную эффективность алгоритма, разработанного в диссертации.

1. Александрова, Е.В. Формулы следов в задачах колебаний стержней и труб, а также некоторых классов сингулярных операторов: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Е.В. Александрова; МГУ- Москва, 1997 99 с.

2. Ахмерова, Э.Ф. Спектральная асимптотика для негладких возмущений дифференциальных операторов и формулы следов / Э.Ф. Ахмерова, Х.Х. Мур-тазин // ДАН (России).- 2003.- Т.388, № 6.- С.731-733.

3. Баскаков, А.Г. Метод подобных операторов и формулы регуляризованных следов / А.Г. Баскаков // Изв. вузов. Математика.- 1984.- № 3.- С.3-12.

4. Белаббаси, Ю. О следах обыкновенных дифференциальных операторов, порожденных многоточечными задачами: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Ю. Белаббаси; МГУ Москва, 1980 - 91 с.

5. Бобров, А.Н. Формулы следов псевдодифференциальных операторов с периодическим гамильтоновым потоком: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / А.Н. Бобров; МГУ- Москва, 2000 108 с.

6. Бобров, А.Н. Сходимость регуляризованных следов степени оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере Sn / А.Н. Бобров, В.Е. Подольский // Мат. сборник 1999 - Т.190, № 10 - С.3-16.

7. Буслаев, B.C. Формулы следов для оператора Шредингера в трехмерном пространстве / B.C. Буслаев // ДАН СССР- 1962 Т.143, № 5 - С.1067-1070.

8. Буслаев, B.C. О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма-Лиувилля / B.C. Буслаев, Л.Д. Фаддеев // ДАН СССР.-1960 Т.132, № 1- С.13-16.

9. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Дифференц. уравнения-1998.- № 1.- С.50-53.

10. Гасымов, М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов / М.Г. Гасымов // ДАН СССР- 1963 Т.150, № 6-С.1202-1205.

11. Гельфанд, И.М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора 2-го порядка / И.М. Гельфанд // УМН- 1956 Т.11, № 1(67).-С.191-198.

12. Гельфанд, И.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан // ДАН СССР.- 1953.- Т.88, № 4.- С.593-596.

13. Гусейнов, Г.Ш. О формулах следов для операторов Штурма-Лиувилля / Г.Ш. Гусейнов, Б.М. Левитан // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. математика, механика М.: МГУ, 1978.- № 1.- С.40-49.

14. Дикий, Л.А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана / Л.А. Дикий // УМН.- 1953 T.VIII, вып.2.- С.119-123.

15. Дикий, Л.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального оператора на конечном отрезке / Л.А. Дикий // Изв. АН СССР, сер. матем.- 1955.- № 19.- С.187-200.

16. Дикий, Л.А. Новый способ приближенного вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля / Л.А. Дикий // ДАН СССР- 1957 Т.116, JV° 1.- С.12-14.

17. Дикий, Л.А. Формулы для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля / Л.А. Дикий // УМН.- 1958.- Т.13, № 3 С.111-143.

18. Дородницын, А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых видов дифференциальных уравнений второго порядка / А.А. Дородницын // УМН 1952 - Т.7, № 6.- С.3-96.

19. Дубровский, В.В. Асимптотика собственных чисел дискретных операторов / В.В. Дубровский // Тр. семинара им. И.П. Петровского М.: МГУ, 1978-№ 4.- С.627-631.

20. Дубровский, В.В. Регуляризованный след оператора Штурма-Лиувилля /

21. B.В. Дубровский // Дифференц. уравнения 1980 - Т.16, № 7 - С.1127-1129.

22. Дубровский, В.В. О регуляризованных следах дифференциальных операторов в частных производных / В.В. Дубровский // Тр. семинара им. И.П. Петровского М.: МГУ, 1983 - № 9 - С.40-44.

23. Дубровский, В.В. Формулы регуляризованных следов операторов с компактной резольвентой / В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения.- 1990- Т.26, № 12,- С.2046-2051.

24. Дубровский, В.В. К абстрактной формуле Гельфанда-Левитана / В.В. Дубровский // УМН.- 1991.- Т.46, № 3.- С.187-188.

25. Дубровский, В.В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях / В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения 1991.- Т.27, № 12- С.2164-2166.

26. Дубровский, В.В. Теория возмущений и следы операторов: дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / В.В. Дубровский; МГУ Москва, 1992 - 145 с.

27. Дубровский, В.В. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // Электромагнитные волны и электронные системы.- 1998 Т.З, № 2 - С.6-8.

28. Дубровский, В.В. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда / В.В. Дубровский,

29. C.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // ДАН (России).- 2001-Т.378, № 4 С.443-446.

30. Дубровский, В.В. О сходимости формально собственных чисел / В.В. Дубровский, Е.М. Малеко // Вестник Челяб. гос. университета.- Челябинск: ЧелГУ, 1999.- С.56-72.

31. Дубровский, В.В. К асимптотике спектральной функции самосопряженных псевдодифференциальных операторов / В.В. Дубровский, А.С. Печенцов // Дифференц. уравнения 1993 - Т.29, № 5- С.852-858.

32. Дубровский, В.В. Формула регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка / В.В. Дубровский, В.В. Распопов // Дифференц. уравнения 2002 - Т.38, № 7- С.979-981.

33. Дубровский, В.В. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром / В.В. Дубровский, В.А. Садовничий // Дифференц. уравнения.- 1979-Т.15, № 7 С.1206-1211.

34. Дубровский, В.В. Асимптотика спектральной функции дискретного оператора / В.В. Дубровский, В.А. Садовничий, А.В. Нагорный // Дифференц. уравнения 1989 - Т.25, № 8 - С.1340-1344.

35. Дубровский, В.В. К обоснованию метода вычислений собственных чисел дискретного оператора с помощью регуляризованных следов / В.В. Дубровский, В.А. Садовничий // УМН 1990 - Т.45, № 4 - С. 120.

36. Дубровский, В.В. К единственности решения обратных задач спектрального анализа для уравнений математической физики / В.В. Дубровский, J1.B. Смирнова // Фундаментальная и прикладная математика.- 1999.- Т.5, № 2.- С.411-416.

37. Егоров, Ю.В. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма-Лиувилля / Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев // УМН.- 1996-Т.51, вып. 3(309).- С.73-144.

38. Кадченко, С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда / С.И. Кадченко // Электромагнитные волны и электронные системы.- 2000.- Т.5, № 6 С.4-10.

39. Кадченко, С.И. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел задач гидродинамической теории устойчивости / С.И. Кадченко // Вестник МаГУ- Магнитогорск: МаГУ, 2001-2002 С.199-207.

40. Кадченко, С.И. Новый метод вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов / С.И. Кадченко // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ- Челябинск: ЧелГУ, 2002 С.42-59.

41. Кадченко, С.И. Новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов: дис. д-ра физ.-мат. наук: 05.13.18 / С.И. Кадченко; МаГУ- Магнитогорск, 2003 301 с.

42. Канторович, JI.B. Функциональный анализ / JI.B. Канторович, Г.П. Акилов М.: Наука, 1977 - 744 с.

43. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като- М.: Мир, 1972 740 с.

44. Крейн, М.Г. О формуле следов в теории возмущений / М.Г. Крейн // Мат. сборник 1953 - Т.ЗЗ, вып.З - С.597-626.

45. Левитан, Б.М. Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма-Лиувилля / Б.М. Левитан // УМН- 1964- Т.19, вып. 1(115).-С.161-165.

46. Лидский, В.Б. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций / В.Б. Лидский, В.А. Садовничий // Функ. анализ и его прилож -1967-Т.1, № 2.- С.52-59.

47. Линь Цая-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости / Линь Цая-цзяо-М.: ИЛ, 1958.

48. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский.- М.: Наука, 1973.

49. Любишкин, В.А. О некоторых вопросах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов: дис. канд. физ.-мат. наук / В.А. Любишкин; МГУ- Москва, 1981.

50. Малеко, Е.М. О вычислении первых собственных чисел некоторых линейных операторов: дис. канд. физ.-мат. наук / Е.М. Малеко; МаГУ- Магнитогорск, 2000.

51. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин- М.: ТТЛ, 1957.

52. Муртазин, Х.Х. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредин-гера / Х.Х. Муртазин, В.А. Садовничий М.: МГУ, 1988.

53. Муртазин, Х.Х. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора / Х.Х. Муртазин, З.Ю. Фазуллин // Мат. сборник 2001- Т.192, № 5.- С.87-134.

54. Ортега, Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Дж. Ортега, У. Пул М.: Наука, 1986.

55. Первые собственные числа задачи Орра-Зоммерфельда из теории гидродинамической устойчивости / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, С.И. Кад-ченко, В.Ф. Кравченко // УМН- 1998.- Т.53, вып.4(322).- С.138.

56. Печенцов, А.С. Регуляризованные суммы собственных значений для некоторых краевых задач / А.С. Печенцов // Функциональные методы в задачах мат. физики М.: Энергоатомиздат, 1985.- С.34-42.

57. Печенцов, А.С. Регуляризованные следы и спектральные асимптотики обыкновенных дифференциальных операторов: дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / А.С. Печенцов; МГУ- Москва, 2000- 213 с.

58. Подольский, В.Е. Ядерные оценки возмущенной операторной полугруппы / В.Е. Подольский // ДАН (России).- 2002 Т.387, № 4.- С.452-453.

59. Порецков, О.А. Алгоритмы и методы вычисления первого регуляризованно-го следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на единичной двумерной сфере: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / О.А. Порецков; МаГУ Магнитогорск, 2003 - 107 с.

60. Распопов, В.В. Алгоритмы вычисления полуцелых регуляризованных следов дискретных полуограниченных операторов: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / В.В. Распопов; МаГУ- Магнитогорск, 2002 114 с.

61. Расторгуев, В.А. Формулы регуляризованных следов некоторого класса дифференциальных операторов с особенностью: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / В.А. Расторгуев; МГУ- Москва, 1991 107 с.

62. Рид, М. Методы современной математической физики / М. Рид, Б. Саймон.-М.: Мир, 1982.- Т.4.- С.433.

63. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Секифальви-Надь М.: Мир, 1979.

64. Садовничий, В.А. Аналитические методы в спектральной теории дифференциальных операторов / В.А. Садовничий М.: МГУ, 1973.

65. Садовничий, В.А. Дзета-функция и собственные числа дифференциальных операторов / В.А. Садовничий // Дифференц. уравнения.- 1974 Т. 10, № 7.- С.1276-1285.

66. Садовничий, В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий.- М.: Высшая школа, 1999 368 с.

67. Садовничий, В.А. Свойства спектра дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Вестн. Моск. ун-та. Сер. математика, механикаМ.: МГУ, 1977.- № 5,- С.37-44.

68. Садовничий, В.А. Об одной абстрактной теореме теории функций, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функции операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения.- 1977.- Т.13, N°. 7.-С.1264-1271.

69. Садовничий, В.А. О некоторых свойствах оператора с дискретным спектром / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения.- 1979.-Т.15, № 7 С.1206-1211.

70. Садовничий, В.А. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Тр. семинара им. И.Г. Петровского М.: МГУ.-1994 - № 17 - С.244-248.

71. Садовничий, В.А. Об одном способе приближенного нахождения собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.М. Малеко // ДАН (России).- 1999 Т.369, № 1- С.16-18.

72. Садовничий, В.А. Регуляризованные следы дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.А. Любишкин // ДАН СССР- 1981- Т.261, № 2 С.290-293.

73. Садовничий, В.А. О некоторых вопросах возмущений линейных операторов / В.А. Садовничий, В.А. Любишкин // Дифференц. уравнения.- 1981.- Т.17, № 10 С.1910-1914.

74. Садовничий, В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов / В.А. Садовничий, В.А. Любишкин // Функцион. анализ и его прил 1986 - Т.20, вып.З - С.55-65.

75. Садовничий, В.А. О вычислении первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля / В.А. Садовничий, В.Е. Подольский // ДАН (России).-1996 Т.346, № 2,- С.162-164.

76. Садовничий, В.А. Следы операторов с относительно ядерным возмущением / В.А. Садовничий, В.Е. Подольский // ДАН (России).- 2001-Т.378, № 3-С.1-2.

77. Садовничий, В.А. Следы операторов с относительно компактным возмущением / В.А. Садовничий, В.Е. Подольский // Мат. сборник 2002 - Т.193, № 2 - С.129-151.

78. Садовничий, В.А. О неединственности решения системы регуляризованных следов / В.А. Садовничий, В.Е. Подольский // ДАН (России).- 2005 Т.402, № 4.- С.455-456.

79. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости // Изв. вузов. Математика.- 1990.- № 12- С.65-70.

80. Свиридюк, Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости // Изв. вузов. Математика.- 1994 № 1- С.62-70.

81. Свиридюк, Г.А. Быстро-медленная динамика вязкоупругих сред / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // ДАН СССР 1989 - Т.308. ДО 4.- С.593-596.

82. Свиридюк, Г.А. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Мат. заметки 1998 - Т.бЗ, ДО 3 - С.442-450.

83. Сидоренко, С.В. Регуляризованные следы возмущенных самосопряженных операторов: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / С.В. Сидоренко; МГУ-Москва, 2000 96 с.

84. Смирнова, JI В. Математическая модель восстановления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / JI.B. Смирнова; МаГУ- Магнитогорск, 2002 111 с.

85. Фаддеев, Л.Д. О выражении для следа разности двух сингулярных дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля / Л.Д. Фаддеев // ДАН СССР 1957.- Т. 115, ДО 5.- С.878.

86. Фазуллин, З.Ю. Регулярный след двумерного гармонического оператора / З.Ю. Фазуллин, Х.Х. Муртазин // Мат. сборник.- 2001- Т.192, ДО 5 С.87-124.

87. Фалалеев, М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // СМЖ.- 2000.- Т.41, ДО 5.- С.1167-1182.

88. Фалалеев, М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях спектральной ограниченности / М.В. Фалалеев, Б.Ю. Гражданцева// Дифференц. уравнения.- 2006.-Т.42, ДО 6-С.769-774.

89. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей / К. Флетчер-М.: Мир, 1991.- Т.1.

90. Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер.- М.: Мир, 1980.

91. Хасанов, А.Б. Вычисление регуляризованного следа оператора Штурма-Лиувилля с особенностью в потенциале / А.Б Хасанов, А.Б. Яхшимуратов // ДАН (России).- 2002 Т.382, № 2.- С.170-172.

92. Шкарин, С. А. О способе Гельфанда-Дикого вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля / С.А. Шкарин // Вест. Моск. Ун-та. Сер. математика, механика М.: МГУ, 1996 - № 1- С.39-44.

93. Dostanic, М. Spectral properties of the operator of Riesz potential / M. Dostanic // Proc. Amer. Math. Soc.- 1998.- Vol.126, № 8.- P.2291-2297.

94. Gilbert, R.C. Trace formulas perturbed operator / R.C. Gilbert, V.A. Kramer // Duke Math. J 1963.- Vol.30, № 2.- P.275-296.

95. Gilbert, R.C. Trace formulas for powers a Sturm-Liouville operator / R.C. Gilbert, V.A. Kramer // Can. J. Math 1964.- Vol.16, № 2.- P.412-422.

96. Halberg, J.A. A generalization of the trace concept / J.A. Halberg, Jr.V.A. Kramer // Duke Math. J I960 - Vol.27, № 4 - P.607-617.

97. Lax, P.D. Trace formulas for the Schroedinger operator / P.D. Lax // Comm. Pure Appl. Math 1994.- Vol.47.- P.503-512.

98. Публикации автора по теме диссертации

99. Кадченко, С.И. Вычисление сумм Релея-Шрёдингера дискретных операторов / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина // Межд. школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2004 Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004.- С.256-257.

100. Кадченко, С.И. Вычисление собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов по линейным формулам / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина // Вестник МаГУ. Математика Магнитогорск: МаГУ, 2005 - Вып.8 - С.87-95.

101. Кадченко, С.И. Линейные уравнения для приближенного вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина // Электромагнитные волны и электронные системы.-2005 Т.10, № б.- С.4-12.

102. Кадченко, С.И. Вычисление собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина // ЖВМиМФ- 2006.- Т.46, № 7 С.1265-1272.

103. Кинзина, И.И. Новый метод вычисления собственных чисел дискретных операторов / И.И. Кинзина // Совр. проблемы науки и образования: тез. докл. XLIII внутривузовской науч. конф. преподавателей МаГУ- Магнитогорск: МаГУ, 2005.- С.286-287.

104. Кинзина, И.И. Поправки теории возмущений дискретного оператора / И.И. Кинзина // Совр. проблемы теории функций и их приложения: тез. докл. 13-й Саратовской зимней школы Саратов: ООО Издательство "Научная школа", 2006 - С.86-87.

105. Кинзина, И.И. Вычисление собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов / И.И. Кинзина.- М.: ВНТИЦ, 2006.- № 50200600295.

106. ГОСУДАРСТеРННЫЙ КШРДИНАЦДОЙНЬШ ЦИЩГР ИНФОР1адИОННЬте?ТЕХНОЛдаЙ . « ■ . ••••• « « > • . • • • ■ ' * • , " •• • •t $•.V, * i • # t <5.779•»• ** 4 # 41 • *• • м •у»♦ • • • » » • ♦ # •• • • • г • • # • • •i | • • « • » г « • •

107. Дата-фегистращш: 2б февраля 2006'года « • ♦ • ••••• « • • ••• -•• ТА'втор: Кийзина Й-И.• • • «• • • •• • • *V

108. Руководитель ОФАП • * * • •

109. Е.ЕКалинкёвич А.И;ГалкинаХ1. Датав^ачи ,