автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Экстремальныне задачи излучения звука в регулярных волноводах

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ХАБАРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ . ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического нодел1фования и математических методов в научных исследованиях (физико-математические науки)

На правах рукописи •

КОМАРОВ ЕВГЕНИЙ ГЕННАДЬЕВИЧ

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗВУКА В РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДАХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание•ученой степени кандидата физико-математических наук

ХАБАРОВСК - 1994

Работа выполнена в лаборатории вычислительной аэрогидродинамики Института прикладкой математики Дальне во ¿точно го отделения РАН.

Научный руководитель - доктор физихо-математических/раук Г.В. Алексеев

Официальные оппоненты- доктор физико-математических 'наук,

г . ■ / . " .

профессор С,И. Смагин кандидат технических наук, Ю.В;. Мальцев

Ведущая организация - Вычислительный центр Сибирского

Защите состоится " 12 " ¿с а-Я 1994 года в часов на' заседании специализированного совета К 064.62.01 щ

отделения РАН (г. Красноярск)'

/

ком -I государственном техническом университете 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136, ХГТУ

С дисертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета. '

Автореферат разослан ""Д. " -(1994 года.

и

1-

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

К.А.Чехонин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование динамических процессов в океане с целью получения дополнительной информации о его структуре, приводит к необходимости решения обратных задач акустики океана. Важным представителем указанных обратных задач является класс обратных экстремальных задач излучения звука в акустическом волноводе, моделирующем океан. Указанные задачи заключаются в максимизации мощности, излучаемой источником в дальнюю зону волновода при ограничении на подводимую к нему мощность, а также в активном подавлении (минимизации) первичного звукового поля в волноводе с помощью вспомогательной антенной решетки.

Решение волноводных обратных задач излучения звука связано со значительными трудностями из-за необходимости учета ряда эффектов, отсутствующих в "классическом" случай, когда излучатель находится в неограниченном пространстве. К числу таких эффектов следует превде всего отнести эффекты дифракции звуковых волн, вызываемые присутствием отражающих границ, например, дна и свободной поверхности, а также эффекты рефракции. Последние вызываются стратификацией распределения основных параметров среда океана, главным образом, по его глубине.

Исследование указанных проблем акустики1' океана математическими методами приводит к новому классу обратных экстремальных задач для волнового уравнения Гельмгольца с переменными коэффициентами в неограниченных областях. Указанные задачи представляют собой интерес как в теоретическом плане (с точки зрения исследования их корректности), так и в практическом плане в связи с возможными приложениями полученных результатов при исследовании динамических процессов в океане. Поэтому актуальной является разработка таких методов решения указанных обратных задач для волнового уравнения Гельмгольца; ко!орие, с одной стороны, допускают строгое теоретическс" обоснование, а с другой стороны, могут быть эффективно реализованы на ЭВМ.

Цель работы. Цель работы заключается в построении теории обратных экстремальных задач излучения звука в регулярных

акустических волноводах и разработке аффективных, численных алгоритмов их решения. Исходя из поставленной цели, в работе сформулированы следующие задачи исследований:

' I) Разработка экономичного метода решения с гарантированной точностью несамосопряженной (в общем случае) несингулярной спектральной задачи для оператора Гельмгольца с разрывными коэффициентами, отвечающей рассматриваемому слоисто-неоднородному волноводу конечной глубины.

2) Разработка экономичного метода нахождения с гарантированной точностью собственных значений и собственных функций диифетного спектра несамосопрякенной сингулярной спектральной задачи, отвечающей регулярному волноводу бесконечной глубины.

3) Разработка устойчивого численного алгоритма решения экстремальных обратных задач излучения звука дискретными источниками, расположенными в регулярном акустическом волноводе, моделирующем океан.

Метод исследований. При получении результатов настоящей диссертации в гл. I использовались разностные методы дискретизашш несингулярных дифференциальных спектральных задач, современные аффективные численные метода решения сеточных спектральных задач и многосеточные методы повышения точности решений разностных задач. В гл. 2 использовались методы условной квадратичной оптимизации и методы регуляризации некорректных задач.

Достоверность. Обоснованность выносимых на защиту прложений следует из теорем о сходимости предложенных разностных методов решения несингулярных спектральных задач, сопоставления полученных результатов с соответствующими результатами, полученными другими методами, а также из результатов проведенных численных экспериментов.

Научная новизна. Предложен и обоснован надежный высокоэффективный численный алгоритм решения общей несамосопряженной сингулярной спектральной задачи для оператора Гельмгольца и на его основе развит эффективный алгоритм нахождения собственных значений и 1 собственных функций дискретного спектра соответствующей сингулярной спектральной задачи, рассматриваемой на ' полубесконечном интервале. Разработаны устойчивые численные алгоритмы решения

экстремаллнух обратных аадэч излучения звука дискретными источниками, ррсполодашннш s слоисто-кеоднородасм акустическом двухмерном (или трехмерном) волксноде.

Практическая пвкнооть работа. Практическая ценность работе ггрсистокеет из возможих приложений полученных в диссортацик розу ль тЬтов при исследовании динамических процессов а океана. Б частности, разработанный алгоритм решения несауосопряжбньой сингулярной (в общем случае) спектральной задачи для ояэротора Ге.ньмгольцв, шзво'.пгащй находить собственные значения и функции практически с любой столэкыо точности, можно использовать как непосредственно ири расчете звуковых полей в стратифицированном волноводе, так :i при решении спектральных задач, возникающих, например, в квантовой механика. Разработанный чаелэкннй алгоритм речюкия обратных

экстремальных, задач излучзнил звука в регулярных волноводах позволяет рассчитывать антешше гидроакустические комплексы с учьтом реальных характеристик морской среда: наличия BcpJEo.t и штатаэй грьккц, стратификации но глубине и т.д.).

Материалы диссертации аярскс- ислольэоэались з преподавании курса математической физики я спэщшльнкх курсов' .для студентов математического факультета Далькеяооточясго гооу игаерсктета.

Апробация работы. Результата дчосортеций докладывались ни coBSTCico-niioHocoM симпозиуме tro вычислительной аэрогидродинамике в г. Хабаровске (IíílS), на Всесоетнсй конференции по интегралъннм уравнениям и краевым задачам математической физики вс Владивостоке (1990), па Всесоюзной Акустической конференциях в г. Москве (J99I), на советско-корейском симпозиуме по математическому моделированию в г. Ьладлчоотоке v'1907), не советско-японском. сшшсзиуме но обратным задгчам математической физики в г. Новосибирске (1991), ну совотскл-шочксэм симпозиуме по интегральным уравнениям в г- ХаОзровая (19Ю, на научных семинара* (в Вычислительном центре ДЕО I'AH ir. Хабаровск), Хабаровском государственном техютоксм* университете (г. Хабаровск), на городском седанйри , но математической физике при Института прикладной натолмтик/ РАН (г. Владивосток) и других бол&е уакях КБифореицмг, семинарах ~л совещаниях.

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I-II1.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из гсводечия, трех глав и списка литературы из ПО наименований, »курртагг 7Л таблицы, 39 рисунков и изложена на 134 страницах машинописного текста, выполненого текстовым редактором CJil^riter mi персональной ЭВМ.

ОСНОВНОЕ СОДЕГЖАШЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор работ по теме диссертации п попонные результаты, полученные в диссертации.

Глава I содержит четыре параграфа. В 5 J. изучается спектральная задача для одномерного оператора Гельмгольца с раурнвнимн коэффициентами. .Указанная задача, на которую ниже для краткости булям сснлаться как на задачу I.I, описывается

00<ш1рш«и1тями

4 ]'rS{z) - = 0 в (0,Я,)и..и(Нл_(,Н),(1)

■'Pf О) = О, (2)

ViHjßt.np + ф (Я)oosß = О, ß € [0,it/2) (3)

Ч-(П-) - Ф¡7/ ), -1---а= —L-.-^L, J=i.....Tr-1 (4)

р игр az 'p(ffj) az

Дзчеь очнсл всех обозначений указан в § 1 гл. I. В частности, условия (2) п (3) моделируют краевые условия на верхней и штоюй границах z = О и z = И регулярного акустического волновода D, соответственно, условия (4) имеют смысл условий с:оггрчя!рцця на границах раздела среды г = Я , J = 1, 2, ..., I- !. Откятим, что задача I.I является самосопряженной при х = JrJf = О, т.е. в отсутствие поглощения в .рассматриваемом г-ичп'-чол» О, и но самосопряженной в противном случае. В случае Н - v. 'отро-шющем волноводу D бесконечной глубины), условие (3) олелует заменить условием излучения типа Зоммерфельда, которое •Ториадьч'З запишск в виде ■

ф f Ж0,а>) при 2 —♦ со. . (За)

отя : ;:;тпуюшая этому случоо спектральная задача (1)-(За),(4), ¡«1 г > ч;п;э будем ссылаться как на задачу 1.2, относится к

клпггу глнгул'р'Кл спектральных задач.

Предположим, что выполняются условия

р(2) > ро>0, с U) :> со>0 на [О,Я1; р(2), c(z) е V"(0,11). (Б) Хорошо известно , что при выполнении условий (Б) сущ|>стьуй|' счетное множество собственных значений и функций ф

самосопряженной спектральной задачи I.I, причем мокни

занумеровать так, что выполняется условна

эир kz{z) > f > f >...> £ > 0 > d -ч*. (6)

2€[o,H] 12 M an

Здесь ï ^ 0 - некоторое число, зависящее от исходных далии* задачи I.I. Для нахождения и ср в гл.1 развивается быстрый численный алгоритм (Алгоритм 1) позволяющий находить их фактически с любой (в пределах возможностей ЭВМ) заданной степенью точности. Основу его составляют:

I) дискретизация дифференциальной спектральной задачи 1.1 (описанная в § 2 гл.1) на определенной последовательности разностных соток ш(1}, 1 = /, 2,... методом конечных разностей с помощью наилучшей разностной схемы 2-го порядка.

'2) решение сеточной несамосопряженной спектральной задачи на основе QL-алгоритма со сдвигом нахождения комплексны* собственных значений неэрмитовой матрицы и эффективного метода нахождения собственных векторов фактически с машинной точностью (см. § 3 гл.1);

3) уточнение решений сеточных спектральных задач, построенных для указанной последовательности разностных саток, путем применения процедуры экстраполяции по Ричардсону (см. §4 гл.1).

Приводятся две теоремы, которые при определенных условии* на коэффициенты уравнения (I) гарантируют в самосопряженном случае сходимость данного алгоритма с порядком Q(hd3), где а -количество (вложенных) разностных сеток. Последнее позволяй! определять собственные значения и функции самосопряженной спектральной задачи. I.I с достаточно высокой точностью, зависящей от количества а используемых разностных соток. При этом уверенность в правильности их вычисления обеспечивается с одной стороны указанными теоремами, а с другой стороны сравнением найденных значений для нескольких соток. Данный алгоритм приыоннм а в ш ¿пшсоиряжоинс« случаи, когда, в частности, собственные функции ¡иишмген комплексными. Одц,и.о

уверенность в правильности решения спектральной задачи ь етом случае мош? быть оэосшчене лишь лутам (многократного) оразкзния ло^ственных значений а фуькций, вычисленных длй разиы?. разностных сеток.

3 § 15 гл.1 рассматривается сингулярная спектральная задачи 1-2. Для ее решений предварительно осуществляется переход от исходной задачи 1.2 к несингулярной задача X л, р&ссм&трдаеемой ну коночном Ии'гаркьле Ю,Н]. Предположи. что

р(2)? рс>0, 0(2)? Со>0, Ж=С1 НИ 10,со]; р{у.), С (й)с1№(0,») (7)

<х>

ил сг(г) = г/ < ос. [ - < «, ка (8)

г-ко о со

При выполнения условий (7) существует счатлое множество еоветвчданх значений а х* г функций (¡г[ Ебсингулярной задачи-.1.1, прлчем Х*г можно занумеровать так, что

. аир > Х*>.. •> X® » = 4 > '

гею.ю с2(?) '

СФ

Ьдаеь А' - некоторое целое число, аазисаце^ от Я. Если к тому ке

выполняются услошя (а), то, начиная с некоторого Я, число а

врастает вьвисетъ ог И, ггричим парше ¥ собственных значений

несингулярной задачи 1.1 (при любом р € СО, тс/2]) стремятся

ггои И — со к соответспгуш.ям собственным значениям Хп

дискретного стактрз исходной сингулярной задачи 1.2, для

которых выполнеч'Т'Оп условие £

__У___>, л •• X > ГТГИ

оНи) '..... * сг • (1С)

» ч

Аналогичный факт (¡праведлдв и для собственных фушнрй ф^(г) ьадачи 1.2.

Основываясь на приведенном свойстве дадареткого спектра задачи 1.2, £ § 5 предложен следующий алгоритм (Алгоритм 2) его яахоздв.чпя. Сзпчала о цомадь» Алгоритма 1 вычисляются а достаточно ецоокой точностья первые 1? собственных значений X® и собственных функций (^'.з) несингулярной аьдачи 1.1 для различных глубин И и разшк типов крчьгого условия при г » Я, ОТа£ЛЗ№Уи_, тшпршор, кэсгкой (6 - 0), либо мягкой (Р — 11/2) янк<е! стеяке г • Н. Д=лее ¡троизводатоя сравнение найденных пнгчонкП х". Еслл разность ервы-шваешх змичьнкй Х^ при каждом пИИ (ы.очвээ'-'о': к.и.ьш«й задагисгк» уровня погрешности в, то их етиаодгало ¡тафгы к знсйиргол-ся ь .кзчеотвэ ьорякх цифр

- э -

аостгзетствулцих ообэтадиэдх саечелий >.„ исходной сингулярной . задача I.*. В противно« случае выдаете* шзЗормзцда з невозможности нбхоагокия ообственпыс значений Я о заданной точностью £. По аналогичной схеме еычезлявсся вернке цифш зяачекий соостьеигах Функций <р (г) н узлах грубой сэтки <оц1.

В глазе 2 расшвтриваются обратные дкгтрчмЕЛЬНыо задачи излучваии аг.ука в дг.умеркых (ллсстмх тбо ососишотричныя) и грахмерных регулярных волноводах, Указаязко задачи ¡заключается в активной минимизации в дальней зоне нолгавода звукового псля, создаваемого шумящим объектом, лиОс я какзимизящеи ъюецюат, из.пучаемой дискретной антенной. Мзождуятся вопросы, счязапнно как с разрешимостью указданвх задач. юк и с разработкой эффективных методов кс решения.

В параграфах I и 2 главы 2 приводятся формул« для звукового поля, и&лучаемсго дискретной антенной з плоском лл-Зо осесимметри'ыом волноводе и зыводлтся формулы дач мощности звукового шля переносимой в дальнею зону волноводе. Пргеэдэк здесь соотиэтствущиа формулы для пллского волновода. Пусть

й « { х - (г,^); 0 < г < Я, - №< х < «) -регулярный вдоскд эолноаод о параметрами р(2) и с (г), удовлетворяющими условию (б). Вгчдэн 2 « А" - матрицу (решетку)

4 обозначь через я - (д , • • • е С отве-танцую

реае^со 2 даожрвгную антенну, состоящую .V монополий с.

Я

/№«) 2 - г - г ). 1/2)

Полодам . ' *

Г+ - г) ( 5: г« т+ з , J

- С'г,2) ч I): х > х*).

Известно, что поле, создаваемое чарой .'¿,4), ушат вьд ,<# а

\ 2 ^г- Ф (г)жр(Ц х), (13

_ я«; ъп ''

где к Ф (з>, г - 1,2, • • • - ■юЯотпвпкнб ¡значенья а собственные функьда спектральной зэдьчк ТЛ,

* - г , -

«п = 2 9.Ф •('"• !? !,), V; - Кгя- <141

г? Т ¿-и ' " ^

' Ть 'п

В соответствии с физическим смыслом назовем мощностью, переносимой произвольной звуковой волной р через Г+, число

(15)

tP(x)

г ?

Рассматривая здесь для конкретности случай, . когда Imk = О, введем п-ю нормальную моду

Р„ = Р — CP„(Z)- exp(ltx). (16)

И С. tr 1t Ii,

'n

Пусть в дошление к (6)

tl >0. (17)

Тогда имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. При выполнении, условий (6), (17) справедлива формула •

г'а |г, / i п i U,

Mlv ) ' Г»19"1 '

п > М.

Теорема 2. В условиях таорежи I ряд (13) абсолютно и ¡'лЛвНОЛИЭрИО вЛЮСЯЮ С прОИЗиОиНОи па X СХОииЛЮЯ о 25* и справедлива формула

Л(р) = 2/(Рп> = В5 2 Т^|ап|г. (18)

Введем в рассмотрение комплексные пространства С и Иг со скалярными произведениями и нормами (р,ц), |р[ и ((Ь,с)), |ГЫ| соответственно. Обозначим через А : —• с" прямоугольную И » ((' - матрицу с компонентами

(13)

уп

и учетом обозначений (14), (1Э) формулу (18) можно переписать в виде

Л(Р) = аг Е |ич)п|г = ш (20)

п=1

Если в правой зоне О, кроме поля (13) .излучаемого антешюй (г,ц), присутствует также поле

рь(х,г) = - | Е Р„ <рп(2)еар(1£ г), (21)

создаваемое некоторым шумящим объектом, то мощность Л = Л(р + ¡/ь) суммарного ноля (р 4 рь) равна

* Рь) = к ! КгР«!2-*» = аг,!^ - Ь]|а. (22)

П- I

Здесь b = (bf.....bM)eCM - заданный вектор с компонентами Ъ

Iß- 4

'пг п

Аналогичные формулы для мощности выводятся в § 2 для осесимметричного волновода.

Считая фиксированной решетку Z, перепишем соотношения (20) и (22) в виде

М (р) = CJQ(q), М(р + рь) = CJ(q). С - g-j, (Z3)

где

Jo(q) = |Mq]|a = ((4*/4q,q)), J(q) - |Mq-b]|3. (24). Обозначим через S шар. в Си, состоящий из векторов q, удовлетворяющих условию .

|q|2 « Е 1<7,1Е « Ф0. (2Б)

В § 3 гл. 2 рассматриваются следующие две экстремальные задачи.

Задача 2.1. Для заданных решетки Z и поля р найти решение задачи минимизации

J(q) Inf, q f В. Задача 2.2. Для заданной решетки Z найти решение задачи максимизяции

JQ(q) - таг, q е В. Для решения задач 2.1 и 2.2 предлагается численный метод, основанный на методах условной квадратичной оптимизации и методах регуляризации некорректных задач. Дадим краткое описание этого метода. . '

Пусть г = rank А i mini*,ff). (^n.qn.bn) - сингулярная система матрицы А а нормировкой

Iqj - 0о, п = 1.2.,.,.ff; |Ibn)| - «j0, rt - 1.2.....*.

С учетом свойств сингулярной системы (A,n,qn,bn) в 5 3 показывается, в частности, что

■ iiajji*- мХ-Чп» ■ f26)

и

эир J (q) = Vre}2.

qiB ° ' °

Далее с использованием аппарата сингулярного разложения прямоугольной матрицы проводится теоретическое исслег.зззииэ

- гг -

гадачи 2.1, бклйчэя . игу<шше ча разрешимости, ■¡•.е.

Суп15СТЕО)5£Н1)Я, 6ДКШТВВ11КМТ;1 И НЭЭда35'Л,?,вШ1СОТК р-ЭШЭНИй.

Последнее связано с челвчизм коизлучавдих (ь дальнюю зону) дкскретавг. зятоел. Локазызэе'л'са, чтс решали© задачи 2.1 определяется формулой

т* !' Л-

1и-1 /\ ч'-А.

В.вось а ((Ь,Ь '))/<?£, а параметр (регуляризации) определяется иг условия

(28)

При ЭТ01'

'пГ Л<\) у = V |ц |г<г= + Б ^ Я,': (2У)

г «чч»' - л ¡»ч.'2'*"

Основываясь яа яркв&даших формулах, к 5 4 главы 2 развивается численный алгоритм (Алгоритм .3) решения задач 2.1 й 2.2 и приводится его -теоретическое обоснование. Он включает ь себя четкре отапа.

I. Вычисление ообствэннкх значений ' 1г к собстввнких функций ф (г) ешктральней задачи 1.1 с помощью Алгоритма I (либо сингулярной задачи I.?. с помощь» Алгоритма 2, если иодаоюд 0 - 1> имоеу бесконечную глуйту).

'Г-ор;жрсвз1И8 прямоугольной й-«V -матрицы А = ((а ..)> с компонентами а . {я вег.тора 5з - <.Ь. .. ,'о„)) о помочь) фох^мул.

Л» ^ т с. № . *

С19) для плоского и соотгетствукщж. формул в случиэ осеоиммвгричного волясводь. Кахоздэние окнгулярвой системы ',\п,с^,ъг) матрица Л.

Оиигулзрнкэ ЧЕОяз X , п - 1,___,г аффкжтивнего ранга г

мр.трмцн л отаокика.глсь иутом принижения не с помощью преобразований отрсакккй Хпусхолдера к даухдаагенбльпей #*№-мйтркце Л : Л * [В (У: крк Х<Р. ЛПбО Л « В При К = Л\ либо Л = Щ при ЧЖ. Зде.-'ь В - ккчдротная я^я-дэухдяегоиельная матрица вида : :!. '•„ О

I

ь -■ \, (

. - А . Ъ 1

I А-1 а !

I а ]

а 1

где з т тИз вида матрицы Л вытекает, что ее первые а сингулярных чисел совпадают с первыми а сингулярными числами матрицы В. Для нахождения последних применялся метод бисекции, а соответствующие сингулярные векторы отыскивались с помощью алгоритма сингулярного исчерпывания двухдиагональных матриц.

3. Нахождение параметра регуляризации X. Последний выбирается либо как положительный корень нелинейного уравнения

г I2

2 -^г^Тг ' 1 <30)

гг=> (АЛ+А. )

либо полагается равным нулю в отсутствие вещественных корней уравнения (30).

4. Нахождение решения задачи 2.2 по формулам

4=4,. - 86 - В55 <31>

и решения задачи 2.1 по формулам (27), (29).

Далее, в § 5 главы 2 развивается численный алгоритм (Алгоритм 4) решения обратных экстремальных задач излучения звука в трехмерном регулярном волноводе. Алгоритм 4 по своему содержанию аналогичен Алгоритму 3 и имеет сходные с ним этапы. Имеющиеся в Алгоритме 4 отличия обусловлены только тем, что рассматриваемый волновод является трехмерным, а не плоским, как в Алгоритме 3.

Глава 3 посвящена обсуждению результатов проведенных численных расчетов. Она состоит из трех параграфов. В § I приводятся результаты численных экспериментов по нахождению собственных значений и собственных фугкций спектральной задачи 1.1 (либо 1.2) для некоторых профилей скорости звука с (г) и плотности р(2), взятых из акустики океана. Анализ этих экспериментов наглядно подтверждает широкие возможности ■разработанных Алгоритмов I и 2 с точки зрения их быстродействия, точности и универсальности.

В § 2 главы 3 приводятся и обсуждаются результаты некоторых вычислительных экспериментов но минимизации звуковых полей в плоских и осесимметричных регулярных волноводах. Наконец, в § 3 приводятся результаты вычислительных экспериментов по минимизации звуковых полей в трехмерных регулярных волноводах. Число излучателей N во всех экспериментах менялось от I ди 30 и выше, а целью проводимых

вычислительных экспериментов являлось, с одной стороны, изучение зависимости от N как сингулярных чисел \п lt*N матрицы Л, так и решения задач 2.1 и 2.2, а с другой стороны -исследование влияния на точность решений возмущений (либо погрешностей исходных данных). Последние моделировались как погрешности, вызываемые неточностью вычисления с помощью Алгоритмов I и 2 собственных значений и собственных функций фп(г) спектральной задачи I.I, входящих как в коэффициенты матрицы А, так и в вектор Ь в правой части (22).

Результаты численных экспериментов позволяют сделать вывод о том, что точность решения задачи 2.1 существенным образом зависит от точности решения дифференциальной спектральной задачи, отвечающей рассматриваемому волноводу. Это связано о тем, что при решении задачи 2.1 используется информация о всех ненулевых сингулярных числах эффективного ранга матрицы А, в том1числе и близких к нулю, которые очень чувствительны к малым возмущениям данных, вызываемым погрешностями при вычислении собственных значений и функций волновода. Следовательно, для получения надежного решения задачи 2.1 необходимо использовать высокоточные алгоритмы нахождения собственных значений и собственных функций соответствующей спектральной задачи и, в частности, те алгоритмы, разработанные в первой главе диссертации, которые позволяют вычислять их фактически с машинной точностью.

Публикации по теме диссертации

1. Finite element method for ocean.waveguides. Proc. of Soviet-Japan Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics. Khabarovsk. 1988. Comput. Center. Moscow. 1989. (Co-authors Alekaeev G.V., Shaidurov V.V.).

2. Быстрое вычисление звуковых полей в многослойных поглощающих волноводах. Владивосток. 1990. 45с. ( Препринт / ИПМ ДВО АН СССР). (Соавтор Алексеев Г.В.).

3. Быстрый алгоритм вычисления собственных значений для многослойного поглощающего волновода // Акуст. ж. 1990. Т.36. Вып.б. С. 965-972. (Соавтор Алексеев Г.В.).

4. Модифицированный метод Гауссова исключения для решения

системы сэтрчных уравнений с ленточной матрицей. Тезисы докл. Всесоюзн. конф. "Интегральные уравнения и краевые задачи матемзтичвокой физики". Владивосток. 1990. G. 104. б. Об одной модификации Гауссова исключения решения системы сеточных уравнений для двумерного уравнения Гельмгольца // Математическая физика и математическое моделирование • в : экологии. Владивосток. Изд-во ДВО АН СССР; 1990. с. 85-9Í.

6. Быстрое вычисление нормальных волч в многослойных поглощающих волноводах. Тезисы 11-ой Всесоюзн. Акуст. Конф. Москва. 1991. Ак. ЛН АН СССР. 1991J Т.1. С.44-47. (Соавтор Алексиев Г.В.).

7. Численное исследование экстремальных задач теории излучения звука в плоском волноводе // Математическое моделирование.

1991. Т.З. JS 12. С. 52-63. (Соавтор Алексеев Г.В.).

8. Несамосопряшнная сингулярная спектральная задача для оператора Гельмгольца с разрывным}! коэффициентами !// ¡Kj вычисл. матем. и матем. физ. 19921 Т.32. Ч 4. С.587-697. (Соавтор Алексеев Г.В.).

9. Численное исследование задач теории iianywrma звука в регулярных волноводах: Препринт. Владивосток. ШМ ДВО РАН.

1992. 40с. (Соавтор Алексеев Г.В.).

10. Об активном гашэнии звуковых полей в слоисто-неоднородных волноводах // Акуст. ж. 1993. Т.39. Вып.1. С. 5-12. (Соавтор Алексеев Г.В.).

11. Perturbatlve inversion method for obtaining bottom geo-acouatic parameters in shallow sea // Abstracta of Intern. Symposium on Computeriaéd Tomography. Novosibirsk. August

1993. P. 77.

Евгешй Геннадьевич КСШРОВ

ЙКСТРШЛЛЫШ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗВУКА В РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДАХ

Автореферат

Лицензия ЛР й 040118 от 15.10.91 г. Подписано к печати 30.03.54 г. Формат 60x84/16. Почать офсетлря. Усл.п.л. 0,70. Уч.-ззд.л. 0,66. Тирах ЮП экз. Заказ 62.

Отпечатано участком оперативной долигташи издательства 'Хзльнаука11

65004", Владивосток, Радко, 7