автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование рассеяния лазерного излучения в трехслойном нерегулярном волноводе

Ставцев Алексей Вячеславович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ТРЕХСЛОЙНОМ НЕРЕГУЛЯРНОМ

ВОЛНОВОДЕ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2011

2 4 ШР ¿011

4841172

Работа выполнена на кафедре систем телекоммуникаций Российского университета дружбы народов

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Севастьянов Леонид Антонович

Научный консультант:

доктор физико-математических наук Егоров Александр Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Рыбаков Юрий Петрович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Стрельцова Оксана Ивановна

Ведущая организация: Национальный исследовательский ядерный

университет «МИФИ»

Защита состоится «25» марта 2011 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 при Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе д. 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6. (Отзывы на автореферат просьба направлять по указанному адресу).

Автореферат разослан « » февраля 2011 г.

Ученый секретарь м лф ^^

диссертационного совета I М.Б. Фомин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Развитие теоретических и компьютерных методов исследования, а также - наукоемких технологий способствовали в последние десятилетия разработке различных вариантов векторной трехмерной (30) теории распространения, трансформации и рассеяния электромагнитного излучения в нерегулярных волноводах интегрально-оптических, диэлектрических, металлодиэлектрических и других.

Решение задач, связанных с моделированием процессов распространения и трансформации электромагнитного излучения в волноводах имеет первостепенное значение для развития нанотехнологий в электродинамике волноводных структур. Действительно, трехмерный анализ рассеяния в отличие от двухмерного позволяет точнее рассчитать такой важный параметр как затухание направляемой волноводной моды. Кроме того, решение ЗБ-электродинамической задачи позволяет намного точнее учесть влияние нерегулярностей на характеристики, например, оптических интегральных схем. Учет векторного характера полей, например в ближней зоне, позволяет также рассчитывать трехмерные диаграммы рассеяния в местах расположения субволновых топологических элементов волноведущих структур.

В последние годы активно разрабатываются различные типы интегрально-оптических химических сенсоров, что обусловлено рядом их преимуществ: высокой чувствительностью, быстрым срабатыванием, простотой мультиплексирования сигнала и применением интегральных технологий. Важно отметить, что рассеяние лазерного излучения в волноводе является одним из важнейших лимитирующих факторов достижения предельной чувствительности интегрально-оптических сенсоров. При этом существует очевидный интерес к разработке и исследованию интегрально-оптических сенсоров на вытекающих модах и модах излучения, поскольку появляется возможность повышения чувствительности соответствующих интегрально-оптических сенсоров.

Основная трудность в теоретическом исследовании волноводов, в которых распространяются вытекающие моды, связана, во-первых, со сложностями численного расчета комплексных дисперсионных соотношений, а во-вторых - с тем, что вытекающие волны - это плоские неоднородные волны, не являющиеся собственными модами регулярного оптического волновода.

Отметим, что при использовании получившего достаточно широкое применение в электродинамике метода FDTD (Finite-difference time-domain) существуют такие проблемы как: «численная дисперсия» (приводящая к ошибкам в определении фазовой скорости), «численная анизотропия», при которой в сеточной модели волновые числа волн, распространяющихся в различных направлениях в изотропной области, различаются. Известно, что решение уравнений Максвелла FDTD-методом или его модификациями позволяет достаточно эффективно вычислять электромагнитное поле внутри некоторой ограниченной области пространства, например, в резонаторе, призме, дифракционной решетке и т.д. Если же необходим расчет электромагнитных полей на расстояниях от исследуемого объекта, излучающего или рассевающего электромагнитное поле, то использование даже модифицированного метода FDTD приводит к необходимости огромных объемов вычислений и, как следствие, к катастрофическому падению эффективности метода.

Для метода FDTD характерны проблемы типа «численная дисперсия» и «численная анизотропия». Кроме того, нет унифицированных эффективных способов вычисления полей в дальней зоне по результатам вычислений ближнего поля методом FDTD. Это же замечание следует отнести и к вытекающим волнам, играющим огромную роль в различных интегрально-оптических устройствах, например, в устройствах связи (призмы, дифракционные решетки).

Численные методы недостаточны еще и потому, что базируются на недостаточно адекватных моделях. Поэтому актуальной задачей является разработка моделей, учитывающих деполяризацию, постановка векторных задач и выбор методов их численного решения с последующей реализацией в виде эффективных устойчивых алгоритмов и соответствующих программных реализаций на компьютере.

Развитие новых эффективных численных методов решения задач, возникающих при векторном трехмерном волноводном распространении, трансформации и рассеянии света в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе, несомненно, является одной из актуальных и перспективных задач современной волноводной электродинамики и в частности - в интегральной оптике.

Целью диссертации является исследование моделей излучательных и вытекающих мод нерегулярных интегрально-оптических волноводов, разработка новых математических методов, алгоритмов и программ интерпретации натурного эксперимента измерения диаграммы рассеяния

излучения вне волновода на основе математических моделей рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях интегрально-оптического волновода.

Методы исследований

В диссертации применялись: методы математического моделирования, методы численного решения комплексных трансцендентных алгебраических уравнений: метод деформируемого многогранника Нелдера-Мида (для нахождения решений дисперсионных соотношений направляемых и вытекающих мод), методы численного интегрирования (метод Симпсона, метод интегрирования быстро осциллирующих функций) для численного исследования модели рассеяния излучения на трехмерных нерегулярностях вне волновода.

Научную новизну работы составляют следующие факты.

1. Впервые проведено численное исследование модели излучательных мод при рассеянии излучения на трехмерных малых нерегулярностях вне волновода при отсутствии шума.

2. Впервые проведено теоретическое и численное исследование модели вытекающих люд в волноводе с малыми потерями.

3. Подобраны методы и алгоритмы решения трансцендентного нелинейного уравнения.

4. Впервые получены результаты численных расчетов для излучательных мод при рассеянии излучения на трехмерных нерегулярностях вне волновода при отсутствии шума.

5. Впервые получены результаты численных расчетов для вытекающих мод в волноводе с потерями.

6. Впервые проведено сравнения поведения полей излучательных и вытекающих мод в областях совпадения (вблизи границы раздела сред пленка/подложка) и несовпадения (в достаточном удалении от границы пленка/подложка).

Практическая значимость результатов

Полученные в диссертации результаты имеют важное практическое значение для контроля влияния параметров нерегулярностей волноведущих структур на их диаграммы рассеяния и определения с высокой точностью параметров нерегулярностей этих структур по данным волноводного рассеяния. Они могут быть использованы для проектирования и оптимизации работы следующих типов устройств: интегрально оптические

сенсоры, элементы оптических интегральных схем, оптические устройства связи (призмы, дифракционные решетки), лазеры на вытекающих модах и т.п. Этим и определяется практическая значимость полученных в диссертации результатов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Обоснованность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения задач использовались строгие и проверенные методы: метод связанных мод, численные методы оптимизации, такие как, метод Нелдера-Мида (для нахождения решений дисперсионных соотношений направляемых и вытекающих мод), методы численного интегрирования (метод Симпсона, метод интегрирования быстро осциллирующих функций).

Достоверность результатов подтверждается не только сравнением с экспериментальными данными, но и сравнением выводов, следующими из результатов нашего численного моделирования с выводами, следующими из независимых теорий волноводного 3 D-рассеяния света.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Выступления на конференциях

■ ХИ-я научная конференция «Математическое моделирование и информатика» («УНЦ Математического Моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН»), 2008 г.

■ 52-я научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», ноябрь 2009, г. Долгопрудный.

- XVII-я Международная конференция «МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕР. ОБРАЗОВАНИЕ», 25 - 30 января 2010 г., Дубна.

■ XLVI-я Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, 19-23 апреля 2010, РУДН, Москва.

Выступления на семинарах

■ Московский научный семинар «Интегральная оптика и волноводная оптоэлектроника» МНТОРЭС им. A.C. Попова март 2008 г., октябрь 2008, июнь 2009 г., ноябрь 2009 г., сентябрь 2010 г.

■ Научный семинар «Математическое моделирование» РУДН, Декабрь 2008 г., октябрь 2009 г., сентябрь 2010 г.

■ Научный семинар по вычислительной физике, ЛИТ, ОИ.ЯИ, декабрь 2010 г.

Лнчный вклад автора. Все представленные в диссертационной работе результаты получены либо лично соискателем, либо при его непосредственном участии и состоят в следующем:

разработаны программные реализации для проведения численных расчетов, позволяющие выполнять компьютерное моделирование рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптических волноводах, содержащих ЗО-нерегулярности;

продемонстрировано влияние координат точек наблюдения и размеров ЗО-неоднородности волноводного слоя на амплитуду и фазу напряженности поля излучения вне волновода;

проведен теоретический анализ распространения вытекающих (несобственных) мод в регулярных многослойных диэлектрических волноводах с потерями и вывод дисперсионных соотношений для таких мод;

проведено сравнение численных решений для моделей излучательных и вытекающих мод в областях их сходства и различия;

проведено численное исследование: вертикального распределения поля излучательных ТЕ-мод подложки для различных коэффициентов фазового замедления ряда интегрально-оптических волноводов; вертикального распределения поля излучения волноводной ТЕ-моды, рассеянной на локальной неоднородности показателя преломления волноводного слоя нерегулярного полистиролового интегрально-оптического волновода; дисперсионных зависимостей для комплексных постоянных распространения направляемых мод; вертикального распределения поля вытекающих мод для различных коэффициентов фазового замедления ряда интегрально-оптических волноводов.

Публикации. По результатам диссертационных исследований опубликованы 11 статей в специализированных журналах, в сборниках трудов всероссийских и международных конференций. Результаты, выносимые на защиту, изложены в шести работах, опубликованных в изданиях из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 104 наименований, приложения и 42 рисунков. Содержание работы изложено на 119 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении перечислен круг вопросов, рассмотренных в диссертации; кратко рассмотрено современное состояние рассматриваемых в диссертационной работе вопросов и обоснована их актуальность, кратко изложено содержание работы, ее цели, научная новизна и практическая значимость результатов, выносимые на защиту положения

В начале первой главы приведено описание способа сведения уравнений Максвелла методом разделения переменных к двум независимым системам дифференциальных уравнений и граничных условий (одна для ТЕ-поляризации (1), другая для ТМ-поляризации (2)).

. ->! / ч У 1 ¿Е,

—)=о,нх = -^,н1=—(1)

ах \ / ■ ц ^

где £=£г£0- диэлектрическая проницаемость среды; ¡л=¡лгцй- магнитная проницаемость среды; е, и ц, - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно (в немагнитной среде полагается Ц, = \)~, е0 и ца - это электрическая и магнитная постоянные соответственно;

= пкй, п - показатель преломления среды (здесь и далее -соответствующего слоя рассматриваемого волновода), к0 = 2л, \ - длина волны электромагнитного поля, а = 2л\>, V - частота электромагнитного поля; Е и Н - вектора напряженностей электрического и магнитного полей.

Уравнения (1), (2) могут быть сведены к двум независимым однородным системам линейных алгебраических уравнений для амплитудных коэффициентов.

На рис. 1. представлен поперечный разрез 3-х слойного интегрально-оптического волновода, образованного 3-мя средами: 1С - обрамляющая среда или покровный слой (воздух) с показателем преломления пс; 1{ -

волноводный слой (регулярная часть интегрально-оптической структуры) с показателем преломления п{\ - подложка с показателем преломления п3;

к - толщина регулярной части волноводной интегрально-оптической структуры.

к 1с "с

и

П.5

->

Рис. 1. Поперечное сечение рассматриваемой интегрально-оптической структуры.

В зависимости от значения коэффициента фазового замедления у (эквивалентный показатель преломления волновода, как среды, в которой распространяется электромагнитная волна, который показывает во сколько раз скорость распространения волны в вакууме больше скорости распространения волны в волноводе) выражения к^е^-у2} принимают

разные значения, в том числе могут иметь и разные знаки, в следствие чего вертикальные профили полей в каждом из слоев могут иметь разный вид.

На рис. 2 и рис. 3 представлены вертикальные профили полей соответственно £у (рис. а - направляемая ТЕ0-мода см. выражение (6), б -излучательная ТЕо-мода (левее х = 0) и Н_ (рис. а - направляемая ТЕ0-мода см. выражение (6), б - излучательная ТЕ0-мода (левее х = 0).

(а) (б)

Рис. 2. Распределение Еу (х) (а) направляемой ТЕ0-моды, (б) излучательной ТЕо-моды подложки для коэффициента фазового замедления у = 1,588 полистиролового волновода, пс = 1.0, л, =1.590, п, = 1.515.

^ 0,0 а?

(а) (б)

Рис. 3. Распределение Нг (х) (а) направляемой ТЕо-моды, (б) излучательной ТЕо-моды подложки для коэффициента фазового замедления у = 1,588 полистиролового волновода, и, = 1.0, п/ =1.590, и, =1.515.

Во второй части первой главы диссертации приведен вывод дисперсионного соотношения для направляемых (собственных) мод трехслойного волновода как из оптико-лучевого приближения, так и методом сшивания полей на границах сред волновода для ТЕ- и ТМ-поляризаций:

у

А

Р/ (а1 ~а[) = агс,ё Р/ (а2 ~ Я1) = агс1Е

+ агс1%

у \ Р,

/ 2

Bi.1l

2

\

Р/ >ь

+ агс1%

\ Р{

£с_

Р/

+ (йг-1)тг,

(3)

+ {т-\)л.

(4)

Приведены граничные условия для трехслойного волновода, записанные в поперечных компонентах в декартовых координатах. Показано соответствие между лучевым и физическим формализмами. На рис. 4 представлен результат численного расчета дисперсионных зависимостей у - у^ первых пяти ТЕ- и ТМ-мод полистиролового волновода.

1,58 1.57 1,66 1.55 1,54 1.53 1,52

Рис. 4. Дисперсионные зависимости полистиролового волновода.

В начале второй главы представлена векторная теория рассеяния монохроматического света в интегрально-оптическом волноводе со статистическими трехмерными нерегулярностями. Решение трехмерной электродинамической задачи о рассеянии лазерного излучения в нерегулярном волноводе получено методом связанных мод в первом приближении теории возмущений. Приведено приближенное решение неоднородного трехмерного волнового уравнения, найденого с помощью метода мод и метода функций Грина.

Выражение для поля излучения Е°"' вне волновода в отсутствии шума имеет вид:

-V» -» - - (5)

где Р0у = куу = кпг$лп(р0у - модуль продольной составляющей вектора распространения куп2 волноводной моды вдоль оси у; у - коэффициента

фазового замедления волновода; * - знак комплексно-сопряженной величины, х,у,г и х',у\:' - координаты точки наблюдения (например, в дальней зоне, где расположен фотоприемник; см. рис. 1) и координаты точки, где расположена нерегулярность; / - мнимая единица; ка =2л/Х(] -модуль волнового вектора к0, А„ - длина волны монохроматического света в вакууме; пт - среднее значение показателя преломления т -го слоя (т = 1,2,3); Ап^(х',у',:') - среднеквадратичное отклонение показателя преломления соответствующего слоя волновода от среднего значения;

= Ру - продольные составляющие постоянных распространения мод излучения (вдоль осей : и у соответственно), формирующих диаграмму рассеяния; Е и - поля направляемых (дискретный спектр) мод и мод излучения (непрерывный спектр) несимметричного (в общем случае и, ф п3, где пт = - показатель преломления сред, образующих трехслойный волновод, ет - диэлектрическая проницаемость соответствующего слоя интегрально-оптического волновода); Е0 - решение однородного невозмущенного трехмерного уравнения, описывающего распространение направляемой моды в волноводе, Е0 = Е0 в случае распространения в

волноводе ТЕо-моды; Ь - протяженность нерегулярного участка в направлении оси у.

На рис. 5 показано схематично рассеяние лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе.

Рис. 5. Геометрия задачи, иллюстрирующая рассеяние лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе: о, - показатель преломления воздуха, «2 - показатель преломления волноводного слоя; гц - показатель преломления подложки; /г - толщина волноводного слоя; х, у, г и х\ у', г' - координаты точки наблюдения и координаты точки, где расположена неоднородность волноводного слоя; г - радиус-вектор точки наблюдения; хщ.х<кт1,1 у:1 _ - задают размеры неоднородной области; /г - толщина волновода.

Во второй части второй главы произведено описание программной реализации алгоритма, реализующего выражение (5), кратко описаны используемые программные средства и численные методы, построены амплитуды полей излучения для наиболее практически важных случаев.

Для проверки построенных в соответствии с теоретической моделью численных алгоритмов и программ был выполнен контрольный численный эксперимент. Основной целью этого эксперимента являлось сравнение расчетной (теоретической) диаграммы рассеяния лазерного излучения в плоскости ХУ с экспериментальной диаграммой (Егоров, 1992).

Сравнение этих диаграмм рассеяния показало, что относительная погрешность между расчетной и экспериментальной диаграммами составляет менее 5%.

В третьей главе рассматривается трехслойный волновод с поглощением, с толщиной волноводного слоя чуть меньше критической толщины. В этом случае в волноводе могут возникать так называемые вытекающие моды, теряющие по мере распространения часть своей энергии в окружающее пространство за счет неполного внутреннего отражения на границах раздела сред, образующих волновод.

В этом случае показатель преломления пг волноводного слоя и коэффициент фазового замедления у становятся комплексными: л2 =«,'+/«,", у = у' + /у", где мнимая часть показателя преломления п" задает степень поглощения материала, образующего волноводный слой, а мнимая часть у" - степень затухания волны в волноводе.

Рассмотрим, например, вид решений уравнения (1) для распределений Еу(х) и Н2(х) по отдельности в каждом из слоев:

Е, = А, ехр(р,х), Я, = -т^Л,ехр(р,х),р, = к0^у2-п 2,

Ег=С) со$(р/х + <рг), Н, = -^¡п[ргх + <рг),р{ = к^п/ - у2, (6)

¡к,

Ес =АС ехр(-рс.т), Нс=-^Асехр(-рсх), рс=к„^у2~п; .

Сшивая поля (6) на границах раздела сред получаем дисперсионные соотношения для ТЕ- и ТМ- поляризаций, которые имеют следующий вид:

(Р/ + ¡Р)){аг - д,) = агщ

{ . .. \ Р, + >Р.

Р/+1Р/ (р, + 1рг)п]

+ агс^

( ■ «Л Рс + 'Р<

+

Р/ + 'Р/

{Рс+'Р1) п) (р, + 'Р/) "с

+ тл, (7)

+ м;г.(8)

На рис. 6 приведен пример численного расчета дисперсионного соотношения (7) для вытекающей ТЕо-моды полистиролового волновода (зависимость И(у',у")).

Рис. 6. Дисперсионное соотношение вытекающей ТЕо-моды (зависимость И{у\уп)) полистиролового волновода {п2 =1.59 + /0.0001).

На рис. 7. представлен пример численного расчета для слабо вытекающей ТЕ0-моды. Из рисунка видно, вытекающая мода имеет профиль похожий на профиль направляемой моды, как следствие она затухает достаточно медленно (так называемая волна постепенной утечки).

На рис. 8. представлен пример быстро вытекающей ТЕо-моды с достаточно большой мнимой частью коэффициента фазового замедления.

0.010 0.005 0.000 -0.005 •й -0,010 ^Г -0,015 -0.020 -0,025 •0.030 •0,035

(а) (б)

Рис. 7. Профиль слабо вытекающей ТЕо-моды (действительная составляющая - а, мнимая составляющая - б) с относительно малой мнимой частью коэффициента фазового замедления; у = 1.5345+/0.000217. Л = 0.346099, пг = 1.59+/0.0001

Из рис. 9 видно, что в подложке и в воздухе у моды есть затухающие осциллирующие хвосты. Моды такого вида достаточно быстро затухают, теряя свою оптическую энергию с волнами уходящими, как в воздух, так и подложку. По своему характеру они похожи на излучательные моды.

«.6 4.4 -0.2 0.0 0.2 04 00

Рис. 8. Профиль быстро вытекающей ТЕо-моды (действительная составляющая - а, мнимая составляющая - б) с достаточно большой мнимой частью коэффициента фазового замедления; у = 1.5279+/2.48928, Л = 0.0547, я, = 1.59+/0.0001

В ряде прикладных задач в расчетах исследователи заменяют вытекающие моды излучательными. Для ряда распространенных прикладных задач были взяты наиболее характерные параметры. Численные исследования показали, что, действительно, в некоторых случаях вблизи границы раздела сред, например, пленка/подложка профили полей излучательной и вытекающей мод будут иметь похожий вид, например, рис. 9. Однако по мере отдаления от волноводного слоя такого сходства обнаружить не удается (см. рис. 10.). Поэтому, пользоваться такой заменой нужно предельно аккуратно.

(а) (б)

Рис. 9. Сравнение (а) - действительных и (б) - мнимых частей профилей вытекающей и излучательной мод, на относительно небольшом расстоянии х = -0.5 мкм от границы пленка/подложка, / = 1.515-/2,46Е-6, п2 = 1.59 +¡0.0001.

Рис. 10. Сравнение (а) - действительных и (б) - мнимых частей профилей вытекающей и излучательной мод, на расстоянии х = -80.0 мкм от границы пленка/подложка, у = 1.515-/2.46Е-6, и2 =1.59+10.0001.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в

диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. На основании численного исследования модели излучательных мод при рассеянии излучения на малых трехмерных нерегулярностях вне волновода при отсутствии шума установлена область адекватности модели.

2. На основании теоретического и численного анализа модели вытекающих мод в волноводе с малыми потерями установлена область адекватности модели.

3. На основании сравнения поведения полей излучательных и вытекающих мод установлены области их совпадения (вблизи границы раздела сред пленка/подложка) и несовпадения (в достаточном удалении от границы пленка/подложка), т.е установлены области применимости исследованных моделей для диагностики и проектирования интегрально-оптических устройств.

4. Исследованные в диссертации модели, алгоритмы и численные методы расчета излучательных и вытекающих мод позволяют проектировать и оптимизировать работу целого ряда интегрально-оптических устройств, таких как интегрально оптические сенсоры, элементы оптических интегральных схем, оптические устройства связи (призмы, дифракционные решетки), лазеры на вытекающих модах.

14

Основные публикации по теме диссертации:

Статьи в научных изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Ставцев А.В. Построение классификации многокомпонентных вычислительных систем // Вестник РУДН. Прикладная и компьютерная математика. — 2005. — № 5. — С. 126-134.

2. Egorov А.А., Sevastianov L.A., Sevastyanov A.L., Stavtsev A.V. Propagation of the monochromatic electromagnetic waves in irregular waveguides. A brief introduction to an analysis in the case of smooth or statistic irregularities // Bulletin ofPFUR. — Series Mathematics. Computer science. Physics. — 2010. — №. 1. — pp. 67-76.

3. Egorov A.A., Egorov M.A., Stavtsev A.V., Timakin A.G., Chekhlova Т.К. A fast integrated optical sensor of gaseous substances // Journal of Russian Laser Research. — 2010,— V. 31,— №. 1,— pp. 12-21.

4. Егоров A.A., Ставцев А.В. Разработка методов и алгоритмов расчета основных характеристик трехмерных нерегулярных интегрально-оптических волноводов // Вестник РУДН. — Серия Математика. Информатика. Физика. — 2010 г.,—№2 (2). С. 139-151.

5. Егоров А.А., Ставцев А.В. Особенности разработки алгоритмов и программ для расчета основных характеристик нерегулярных интегрально-оптических волноводов // Вычислительные методы и программирование,—2010,—Т. 11,—С. 184-192.

6. Egorov А.А., Stavtsev A.V., Chekhlova Т.К., Timakin A.G., Grygoruk V.I., Gayday Yu.A., Kovalenko A.V., Kurashov V.N. Analysis of the propagation, transformation and scattering of the monochromatic electromagnetic waves in the irregular waveguides: a case of integrated-optical waveguide with statistic surface roughness and a case of optical nanofibers with random rough surface // Журнал Радиоэлектроники.— 2010.— №. 9.— pp. 1-19.

Научные статьи в других изданиях

7. Егоров А.А., Ставцев А.В. Разработка комплекса программ для расчета основных характеристик трехмерных нерегулярных волноводов в пакете Borland Delphi версии 6.0 // Сб. докл. ХН-й Науч. конфер. МГТУ "СТАНКИН",— 14 - 15 МАЯ 2009 г.— М.: МГТУ "СТАНКИН", С. 4&48.

8. Егоров А.А., Ставцев А.В. Разработка и исследование комплекса программ для расчета основных характеристик интегрально-оптических волноводов в системе визуального программирования Delphi и С++ // Журнал Радиоэлектроники.— 2009.— № 8.— С. 1-20.

9. Егоров A.A., Ставцев A.B. Разработка методов и алгоритмов расчёта основных характеристик трёхмерных нерегулярных волноводов // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII.— Том 1.— М.: МФТИ.— 2009 г.— С. 133-135.

Ю.Егоров A.A., Ставцев A.B. Компьютерные методы исследования характеристик трехмерных нерегулярных волноводов // Тезисы докладов XVII-й Международной конференции «МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕР. ОБРАЗОВАНИЕ». Дубна, 25 - 30 января 2010 г.— Москва-Ижевск: РХД.— С. 113.

11.Ставцев A.B. Разработка компьютерных методов исследования характеристик трехмерных нерегулярных волноводов // Тез. докл. XLVI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, 19-23 апреля 2010.— РУДН.— С. 94-95.

Общий объем публикаций автора по теме диссертации составляет около 5 п.л.

Ставцев Алексеи Вячеславович (Россия) Математическое моделирование рассеяния лагерного излучения в трехслойном нерегулярном волноводе

В диссертации разработаны численные методы расчета излучательных и вытекающих мод слабонерегулярных трехслойных интегрально-оптических волноводов.

С целью последующей компьютерной реализации приведено описание математической модели рассеяния лазерного излучения на малых трехмерных нерегулярностях интегрально-оптического волновода, а так же модели распространения вытекающих мод в волноводах с малыми потерями. Описаны реализующие их алгоритмы и программы, результаты численного исследования, установлены области адекватности моделей.

На основании сравнения поведения полей излучательных и вытекающих мод установлены области их совпадения и несовпадения, а также области применимости исследованных моделей для диагностики и проектирования интегрально-оптических устройств.

Stavtsev Alexey Vyacheslavovych (Russia) Mathematical modeling of the laser radiation scattering in three-layer irregular waveguide

In this thesis the description of the propagation of the monochromatic electromagnetic radiation in the optical range in a three-layer dielectric integrated-optical waveguide containing various types of irregularities are developed.

For subsequent computer realization mathematical model of laser radiation scattering on three-dimensional small irregularities of integrated optical waveguide, as well as the propagation model of leaky modes in waveguides with low losses are described. Implementation of their algorithms and programs, results of a numerical study and fields of the adequacy of the fitted models are also described.

On the base of comparison of the behavior of the radiative fields and leaky modes the fields of their match and mismatch, as well as the areas of applicability of the investigated models, which can be used for the diagnosis and design of integrated optical devices, are also obtained.

1.1 Описание объекта моделирования.

1.2 Лучевая модель, углы полного внутреннего отражения.

1.3 Оптико-физическая модель распространения монохроматического излучения в регулярном волноводе. Условие поперечного резонанса.

1.4 Вывод дисперсионного соотношения трехслойного диэлектрического волновода.

1.5 Численный эксперимент.

Глава 2. Нерегулярный интегрально-оптический волновод.

2.1 Физическая модель.

2.2 Математическая модель.

2.3 Численное исследование рассеяния основной ТЕ-моды интегрально-оптического волновода.

2.4 Описание параллельной реализации алгоритма.

Глава 3. Анализ вытекающих мод регулярного волновода с поглощением.

3.1 Физическая модель.

3.2 Математическая модель.

3.3 Дисперсионные соотношения.

3.4 Описание численного решения дисперсионного соотношения вытекающих мод.

3.5 Сравнение динамики амплитуд вытекающих и излучательных мод.

Выводы.

Во Введении перечислен круг вопросов, рассмотренных в диссертации [1-19]; кратко приведено современное состояние рассматриваемых в диссертационной работе вопросов и обоснована их актуальность [7, 37, 4042], кратко изложено содержание работы, ее цели, научная новизна и практическая значимость результатов, выносимые на защиту положения

В начале первой главы приведено описание способа сведения уравнений Максвелла методом разделения переменных к двум независимым системам дифференциальных уравнений и граничных условий (одна для ТЕ-поляризации (1.29), другая для ТМ-поляризации (1.30)).

22Е„ , / , \ , ч г 1 <Ж„

У , 1Г 2/^,, \ г гг--Г Г? и 1 У к02 [ец - г2)Еу (х) = 0, Ях = ~^-Еу, Я. = —-—(0.1) сЬс2 0 ^ ' у ' 11 у' 1к0/и сЬс а в— сЬс

1 с1Н у к2 [ец - у2)Ну (х) = 0,Ех = Г-Ну, Е: = (0.2)

4 ' б гк0Б дх где б = бгб0— диэлектрическая проницаемость среды; ц = /лт1лй— магнитная проницаемость среды; бт и /ит — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно (в немагнитной среде полагается ¡лг = 1); б0 и /и0 — это электрическая и магнитная постоянные соответственно; со^б^2 =пк0, п — показатель преломления среды (здесь и далее — соответствующего слоя рассматриваемого волновода), к0 = 2л/, Л0 — длина волны электромагнитного поля, со = 2тгу , V — частота электромагнитного поля; Е и Н — вектора напряженностей электрического и магнитного полей.

Уравнения (1.29), (1.30) могут быть сведены к двум независимым однородным системам линейных алгебраических уравнений для амплитудных коэффициентов [3, 7, 58-61]. з

Во второй части первой главы диссертации приведен вывод дисперсионного соотношения для направляемых (собственных) мод трехслойного волновода как из оптико-лучевого приближения [6], так и методом сшивания полей на границах сред волновода для ТЕ- и ТМ-поляризаций [58-60, 77]:

Р/ {а2 ~ а\) = агс^ё

Г \

А уРи аг^ кР/у

2 > ( 2 \ агс^ П/ 2 + агс^ РсП/\ 2

1Р/ nsJ 1Р/ пс ) {т-\)ж, (т -1 )тг

0.3)

0-4)

Приведены граничные условия для трехслойного волновода, записанные в поперечных компонентах в декартовых координатах. Показано соответствие между лучевым и физическим формализмами, а так же, установлено что полученные дисперсионные соотношения тождественно совпадают по форме. Представлены результаты численного анализа для ряда практически важных случаев.

В начале второй главы представлена векторная теория рассеяния монохроматического света в интегрально-оптическом волноводе со статистическими трехмерными нерегулярностями [20-22, 30, 31, 66]. Описано решение трехмерной электродинамической задачи о рассеянии лазерного излучения в нерегулярном волноводе, полученное методом связанных мод в первом приближении теории возмущений [20-22]. Приближенное решение неоднородного трехмерного волнового уравнения найдено с помощью метода мод и метода функций Грина.

Выражение для поля излучения Е имеет вид: ош вне волновода в отсутствии шума

2 2 +Ьу/2

00 +00 +00

Ь.,!2 —со —оо —со р

Ап2т (х\у\2•)Е0у {.X2■)зт(руу)!(руу)йр где ß0v = куу = кп2 sin (р0у — модуль продольной составляющей ß0> вектора распространения куп2 волноводной моды вдоль оси у; у — коэффициента фазового замедления волновода; * — знак комплексно-сопряженной величины, x,y,z и x',y',z' — координаты точки наблюдения (например, в дальней зоне, где расположен фотоприемник; см. рис. 3.1.) и координаты точки, где расположена нерегулярность; i — мнимая единица; к0 = 2тг/А0 — модуль волнового вектора к0, Я0 — длина волны монохроматического света в вакууме; пт — среднее значение показателя преломления m-го слоя (т =

1,2,3); А n^n[x\y\z{) — среднеквадратичное отклонение показателя преломления соответствующего слоя волновода от среднего значения; ß = ß0, ßy — продольные составляющие постоянных распространения мод излучения (вдоль осей z и у соответственно), формирующих диаграмму рассеяния; Erv и Е^ — поля направляемых (дискретный спектр) мод и мод излучения (непрерывный спектр) несимметричного (в общем случае пхФпъ, где пт = — показатель преломления сред, образующих трехслойный волновод, sm — диэлектрическая проницаемость соответствующего слоя интегрально-оптического волновода); Е0 — решение однородного невозмущенного трехмерного уравнения, описывающего распространение направляемой моды в волноводе, Е0 = Е0;, в случае распространения в волноводе ТЕ0-моды; Lv - протяженность нерегулярного участка в направлении оси у.

Во второй части второй главы произведено описание численного эксперимента, реализующего выражение (0.5), приведены структура и алгоритм программы, кратко описаны используемые программные средства и численные методы, построены амплитуды полей излучения для наиболее практически важных случаев.

В третьей главе рассматривался трехслойный волновод с поглощением, с толщиной волноводного слоя чуть меньше критической толщины. В этом случае в волноводе могут возникать так называемые вытекающие моды, рассеивающие по мере распространения часть своей энергии в окружающее пространство.

В этом случае показатель преломления пг волноводного слоя и коэффициент фазового замедления у становятся комплексными: пг=Щ+^п2 ' 7 = У' + 1У"> гДе мнимая часть показателя преломления задает степень поглощения материала, образующего волноводный слой, а мнимая часть у" — степень затухания волны в волноводе [7, 43]. Для таких вытекающих мод было получено дисперсионное соотношения для ТЕ- и ТМполяризации, которые имеют следующий вид: р^. + ¿Ру) (я2 - ах) = аг (р/ + ¿Р/){аг агс^ г • , . -Л Р, + Ф, р/+гр/ агсЩ с ■,• -А

Рс+1Рс V

Г ' . -Р, + Ф, П1

Р/+*Р/ аг^ (т-1) л

0.6)

Г ' . " 2 л Рс+1Рс П/ V р/ + 1р/ {т-\)п. (0.7)

Р/ + 1Р/

Получены выражения для полей вытекающих мод. Для некоторых практически важных случаев произведено сравнения профилей излучательных и вытекающих мод.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Краткий обзор современного состояния исследований рассеяния лазерного излучения в нерегулярных интегрально-оптических волноводах и полученных результатов

Развитие теоретических и не в последнюю очередь компьютерных методов исследования, а также быстрый технологический прогресс стимулировали в последние 30 лет интерес к разработке векторной трехмерной (ЗБ) теории распространения, трансформации, а также рассеяния электромагнитного излучения в нерегулярных волноводах (интегрально-оптических, диэлектрических, металлодиэлектрических и других).

Решение этой задачи имеет первостепенное значение для развития нанотехнологий в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике.

Трехмерный анализ рассеяния в отличие от двухмерного позволяет точнее рассчитать такой важный параметр как затухание направляемой моды.

Кроме того, трехмерное решение электродинамической задачи позволяет намного точнее учесть влияние нерегулярностей на характеристики оптических интегральных схем и предельные характеристики планарных лазеров.

Учет векторного характера полей, например в ближней зоне, позволяет также рассчитывать трехмерные диаграммы рассеяния в местах расположения субволновых топологических элементов интегрально-оптических структур, на их краях, на элементах связи и т.д.

Сейчас в научной литературе хорошо известен ряд методов решения различных волноводных электродинамических задач (см., например, [1-14]). В теории регулярных волноводов основные результаты были получены: для закрытых волноводов А.Н. Тихоновым и A.A. Самарским, а для открытых волноводов — А.Г. Свешниковым и В.В. Шевченко [2, 13]. Среди нерегулярных волноводов можно выделить поперечно-нерегулярные и продольно-нерегулярные волноводы.

Для поперечно-нерегулярных волноводов, уравнения и решения допускают разделение переменных; здесь наибольшее признание получил неполный метод Галеркина, разработанный А.Г. Свешниковым (см., например, [14]). Для закрытых продольно-нерегулярных волноводов в работах Б.З. Каценеленбаума (см., например, [1]) был разработан метод волноводов сравнения, который был обобщен для открытых продольно-нерегулярных волноводов В.В. Шевченко [2]. В научной литературе последний метод известен также как «метод поперечных сечений». Перечисленные модели не описывали деполяризацию и связь направляемых мод на нерегулярных участках двумерных (2D) волноводов, а также — не учитывали влияние шума.

В работах A.A. Егорова и JI.A. Севастьянова были разработаны основы теории плавно-нерегулярных трехмерных интегрально-оптических волноводов (см., например, [15-19]). Предложенная в этих работах модель адиабатических мод описывает связь различных направляемых мод на плавно-нерегулярных участках трехмерных (3D) интегрально-оптических волноводов и позволяет, например, адекватно решить задачу эффективной передачи энергии через устройства сопряжения в интегральных оптических схемах.

Отметим другие известные методы описания нерегулярных волноводов: метод «идеальных мод» (Маркузе, Содха, Гхатак, Петров, Черемискин, Егоров и др.); метод сшивания полей на границе раздела (Дерюгин, Сотин, Холл и др.); метод функций Грина (Содха, Гхатак, Холл, Снайдер, Лав, Жук, Третьяков, Унгер, Паулус, Богатов, Егоров и др.) и др.

Эти методы подробно описаны в доступных научных изданиях (см., например, [1-7, 14]), поэтому мы рассмотрим кратко только интересующий нас метод Маркузе.

В теории Маркузе рассеяние на поверхностных неровностях границ раздела сред продольно нерегулярных волноводов рассматривается как вид потерь на излучение, при котором нерегулярности волновода приводят к «перекачке» энергии распространяющихся мод в , излучательные моды. Решение основано на методе связанных мод. Произвольное распределение поля нерегулярного волновода представляется в виде разложения по ортогональной системе мод регулярного (идеального плоского) волновода, в котором суммирование проводится по направляемым (дискретным) модам, а интегрирование - по излучательным (непрерывным) модам.

Метод Маркузе развит в работах М.С. Содхи, А.К. Гхатака [5] и A.A. Егорова [20-27] для случая случайных трехмерных нерегулярностей. Содха и Гхатак применили метод функций Грина для изучения преобразования мод в 8 оптическом волноводе, распределение диэлектрической проницаемости в котором можно представить в виде суммы двух составляющих: первая соответствует идеальному волноводу, а вторая — учитывает отклонения от идеальности, обусловленные различными трехмерными нерегулярностями. Анализ проведен в предположении, что вклад от второй составляющей мал по сравнению с вкладом первой. Они использовали для решения поставленной задачи скалярное волновое трехмерное уравнение справедливое для любой декартовой компоненты электрического или магнитного полей, т.е. пренебрегли векторным характером полей и не рассматривали соответствующие поляризационные явления. Они также не учитывали влияния шума.

Егоров предложил обобщение метода Маркузе для случая статистических трехмерных волноводных нерегулярностей, включающее как распространяющиеся (вне волноводного слоя), так и затухающие моды излучения (в ближней зоне). Электродинамическая задача о рассеянии направляемой волноводной моды в интегрально-оптическом волноводе с ЗО-нерегулярностями решена методом связанных мод с помощью теории возмущений, метода функций Грина и метода Фурье (разделения переменных) при наличии шума. В результате получены аналитические выражения для трехмерных векторных полей излучения, в том числе с учетом поляризационных явлений в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе, а также выражение для потерь мощности направляемой моды на трехмерное векторное рассеяние.

Основу большинства перечисленных выше работ (см., например, [22-27, 34]) составляет метод связанных мод, а для решения векторных задач ЗР-рассеяния электромагнитных волн применяются различные приближенные методы, позволяющие расширить двумерные теории на трехмерные случаи. В результате удается, например, определить величину соответствующих потерь на излучение из нерегулярного волновода.

Как известно, скалярное волновое уравнение используется, если можно игнорировать векторный характер электромагнитной волны. Это позволяет не учитывать поляризацию волны при отражении, преломлении и дифракции. Особенно это верно, если линейные размеры объекта или «нерегулярности» много больше длины волны. Если же в волноведущей структуре возникает связь между модами, то требуется учет векторных свойств полей. Этот подход отображает возникновение в волноводе с трёхмерными плавными нерегулярностями гибридных мод, имеющих шесть компонент поля, а не три, как ТЕ- и ТМ-моды. Использование же скалярного волнового уравнения означает отбрасывание слагаемых, пропорциональных градиенту диэлектрической проницаемости, что приводит также к игнорированию поляризационных эффектов, играющих важную роль в процессе распространения волн в нерегулярных волноводах.

В связи с интенсивным развитием в последние годы компьютерных методов исследования особо отметим получивший достаточно широкое применение в электродинамике метод FDTD («Finite-Difference TimeDomain» method - метод конечных разностей во временной области).

Известно, что решение уравнений Максвелла FDTD-методом или его модификациями позволяет достаточно эффективно вычислять электромагнитное поле внутри некоторой ограниченной области пространства, например, в резонаторе, призме, дифракционной решетке и т.д. Если же необходим расчет электромагнитных полей на расстояниях от исследуемого объекта, излучающего или рассевающего электромагнитное поле, то использование даже модифицированного метода FDTD приводит к необходимости огромных объемов вычислений и, как следствие, к катастрофическому падению эффективности метода (см., например, [40-42]).

При использовании метода FDTD существуют и такие проблемы как: «численная дисперсия» (приводящая к ошибкам в определении фазовой скорости), «численная анизотропия», при которой в сеточной модели волновые числа волн, распространяющихся в различных направлениях в изотропной области, различаются [40, 41].

Лишь ограниченный класс задач, представляющих в нашей области практический интерес, может быть эффективно решен РОТБ-методом, причем на больших ЭВМ с объемом ОЗУ в сотни мегабайт и высокопроизводительными процессорами. Кроме того, здесь требуется использование многопроцессорных параллельных вычислительных систем, что является пока препятствием для широкого использования.

Важно подчеркнуть, что развитый нами численный метод решения электродинамических задач волноводного рассеяния свободен от проблем типа «численная дисперсия» и «численная анизотропия».

Кроме того, особо отметим, что нет унифицированных эффективных способов вычисления полей в дальней зоне по результатам вычислений ближнего поля методом БОТБ (см., например, [37, 40-42]). Это же замечание следует отнести и к вытекающим волнам, играющим огромную роль в различных интегрально-оптических устройствах, например, в устройствах связи (призмы, дифракционные решетки).

В этой связи возникает насущная необходимость разработки других методов и алгоритмов вычисления ЗБ-полей (как излучательных, так и вытекающих) в дальней зоне, превосходящих по скорости счета РБТО-метод и не уступающих ему по точности.

В последние годы активно разрабатываются различные типы интегрально-оптических химических сенсоров, что обусловлено рядом их преимуществ: высокой чувствительностью, быстрым срабатыванием, простотой мультиплексирования сигнала и применением интегральных технологий. Важно отметить, что рассеяние лазерного излучения в волноводе является одним из важнейших лимитирующих факторов достижения предельной чувствительности интегрально-оптических сенсоров. При этом существует очевидный интерес к разработке и исследованию интегрально-оптических сенсоров именно на вытекающих модах и модах излучения, поскольку появляется возможность повышения чувствительности соответствующих интегрально-оптических сенсоров.

Основная трудность в теоретическом исследовании волноводов, в которых распространяются вытекающие моды, связана, во-первых, со сложностями численного расчета комплексных дисперсионных соотношений, а во-вторых — с тем, что вытекающие волны — это плоские неоднородные волны, не являющиеся собственными модами регулярного оптического волновода.

Эти волны возникают при толщине волноводного слоя меньше критической, ниже которой не могут иметь места волноводные свойства. У вытекающих мод амплитуда возрастает по мере удаления от волновода вдоль вертикально оси х (при фиксированном продольном расстоянии г и в отсутствие потерь в средах, образующих волновод), но по мере распространения вдоль оси г эта мода затухает из-за непрерывных потерь энергии из волноводного слоя в окружающую среду. Вытекающие моды являются, как известно, несобственными модами планарного волновода. Подчеркнем, что в обоих случаях (среды образующие волновод без/с поглощением) существует проблема ортогональности вытекающих мод.

В связи с этим развитие новых эффективных численных методов решения задач, возникающих при векторном трехмерном волноводном распространении, трансформации и рассеянии света в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе, несомненно, является одной из актуальных и перспективных задач современной интегральной оптики, и интегральной нано-оптики.

Действительно, 2В-анализ соответствующих электродинамических задач применим с рядом оговорок, например, для таких интегрально-оптических устройств как канальные волноводы, анализаторы спектра радиочастот, интерферометры, мультиплексоры, демультиплексоры, датчики параметров окружающей среды, линзы, призмы, разветвители и т.д.

При переходе в субмикронный и тем более в нанометровый диапазон линейных размеров элементов интегральных оптических устройств 20-анализ ограничивает возможности исследователей. Использование 20-теории приближенно справедливо только для слабо направляющих структур и не подходит для описания оптических волноводов, у которых сильно варьируется диэлектрическая проницаемость.

Заметим, что разработанные нами алгоритмы и программы позволяют с заданной наперед точностью получить численное решение задачи ЗО-рассеяния, учитывающее векторный характер полей, т.е. позволяет адекватно, в отличие от скалярного рассмотрения, описать реальные интегрально-оптические волноводы с 20- и ЗО-нерегулярностями.

Выводы

В ходе работы над диссертацией был изучен и освоен весь доступный материал, относительно распространения монохроматического излучения в диэлектрических регулярных волноводах: были получены выкладки, повторяющие результаты, полученные ранее другими авторами [6, 7, 48], что дало нам основу для развития теории в случае нерегулярных волноводов, а так же позволило проверить работу разработанных в диссертации алгоритмов и программ, расчета характеристик волноводов с разными видами нерегулярностями.

В частности, проведенные нами тестовые численные расчеты дисперсионных соотношений для регулярных волноводов, полностью совпали с расчетами полученными другими авторами. Используя их, были рассчитаны вертикальные распределения полей для нескольких часто встречающихся видов волноводов (полистироловый, танталовый, желатиновый). Также правильность расчета дисперсионных соотношений подтверждается, тем, что поля гладко сшиваются на границах раздела сред.

Во второй главе диссертации произведено численное исследование математической модели рассеяния монохроматического излучения на трехмерных нерегулярностях, разработанной в работах [22, 30, 31, 66, 67].Основная ценность результатов, полученных во второй главе, заключается в том, что в настоящий момент в литературе практически не представлено методов описания полей рассеяния, возникающих в волноводах с трехмерными нерегулярностями.

В процессе исследования удалось подобрать оптимальную форму представления выражений, для проведения численного моделирования, подобрать численные методы (в том числе самые современные см., например, [103]), создать алгоритм, реализующий математическую модель, и его программную реализацию. Были проведены тестовые расчета, которые совпали с результатами натурного эксперимента.

В третьей главе диссертации произведено описание математической модели волноводов с плавными нерегулярностями, с толщиной волновода меньше критической толщины, и статистическими нерегулярностями, у которых размер отдельного элемента нерегулярности сравним с размером молекулы образующего материал волновода. Основная ценность результатов, полученных в третьей главе, заключается в том, что в настоящий момент дисперсионные соотношения для вытекающих мод (возникающих в таких волноводах) крайне мало исследованы. В некоторых работах проводились попытки расчета дисперсионных соотношений, например [43, 44, 104], однако ни в одной из работ не приводится ни профилей полей вытекающих мод, ни способа расчета, полученных в работах дисперсионных соотношений.

В ходе исследования было произведено численное исследование математической модели распространения вытекающих мод, были подобраны методы решения комплексного дисперсионного соотношения, представляющего собой трансцендентное уравнение от трех аргументов, получены результаты численных расчетов, совпавшие с результатами полученными ранее [43], построены вертикальные профили полей и произведено сравнение асимптотик вытекающих и излучательных мод по мере удаления от границы раздела сред.

Итак, в диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны программные реализации для проведения численных расчетов, позволяющие выполнять компьютерное моделирование рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптических волноводах, содержащих ЗБ-нерегулярности. Продемонстрировано влияние координат точек наблюдения и размеров ЗО-неоднородности волноводного слоя на амплитуду и фазу напряженности поля излучения вне волновода.

2. Проведен теоретический анализ распространения вытекающих (несобственных) мод в регулярных многослойных диэлектрических волноводах с потерями и вывод дисперсионных соотношений для таких мод. Приведено сравнение численных решений для моделей излучательных и вытекающих мод в областях их сходства и различия.

3. Проведено численное исследование:

• вертикальное распределение амплитуды напряженности Е поля излучательных ТЕ-мод подложки для различных коэффициентов фазового замедления ряда интегрально-оптических волноводов;

• вертикальное распределение амплитуды напряженности Е поля излучения волноводной ТЕ-моды, рассеянной на локальной неоднородности показателя преломления волноводного слоя нерегулярного полистиролового интегрально-оптического волновода;

• дисперсионных зависимостей для комплексных постоянных распространения направляемых мод ряда регулярных интегрально-оптических волноводов;

• вертикальное распределение амплитуды напряженности Е поля вытекающих мод для различных коэффициентов фазового замедления ряда интегрально-оптических волноводов.

1. Кацеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. — М.: Наука, 1961.

2. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. — М.: Наука, 1969.

3. Маркузе Д. Оптические волноводы. — М.: Мир. 1974.

4. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. — М.: Мир, 1980.

5. Содха М.С., Гхатак А.К. Неоднородные оптические волноводы. — М.: Связь, 1980.

6. Хансперджер Р. Интегральная оптика: Теория и технология. — М.: Мир, 1985.

7. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. — М.: Радио и связь, 1987.

8. Петров Д.В. Сравнение методов описания процесса рассеяния направляемой моды на неоднородном участке диэлектрического волновода // Квантовая электроника. — 1982. —Т. 9. —№9. —С. 1884-1887.

9. Андлер Г., Егоров A.A., Черемискин И.В. Определение параметров шероховатости оптической поверхности по рассеянию в диэлектрическом волноводе // Оптика и спектроскопия. — 1984. — Т. 56. — № 4. — С. 731-735.

10. Жук Н.П., Третьяков O.A. Эквивалентные параметры оптического волновода со случайными объемными возмущениями // Радиотехника и электроника. — 1986, —Т. 31. —Вып. 2, —С. 264-270.

11. Сиро Ф. Васкес С. де Ф., Егоров A.A., Черемискин И.В. К вопросу об определении статистических характеристик нерегулярностей тонкопленочных волноводов // Автометрия. — 1991. — № 2. — С. 51-55.

12. Богатов А.П., Бурмистров И.С. Затухание оптической волны, распространяющейся в волноводе, образованном слоями полупроводниковой гетероструктуры, из-за рассеяния на неоднородностях // Квантовая электроника. — 1999. — Т. 27. — № 3. — С. 223-227.

13. Paulus M., Martin Oliver J.F. Light propagation and scattering in stratified media: a Green's tensor approach // J. Opt. Soc. Am. A. — 2001. — V. 18. — No. 4. — pp. 854-861.

14. Ильинский A.C., Кравцов B.B., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. — М.: Высшая школа, 1991.

15. Севастьянов Л.А., Егоров A.A. Теоретический анализ волноводного распространения электромагнитных волн в диэлектрических плавно-нерегулярных интегральных структурах // Оптика и Спектроскопия. — 2008. — Т. 105. — № 4. — С. 632-640.

16. Егоров A.A., Севастьянов Л.А. Структура мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического четырехслойного трехмерного волновода // Квантовая Электроника. — 2009. — Т. 39. — № 6. — С. 566-574.

17. Егоров А.А., Севастьянов А.Л., Ловецкий К.П. Модель интегрально-оптической обобщенной линзы Люнеберга в нулевом приближении // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. — 2009. — № 3. — С. 55-64.

18. Айрян Э.А., Егоров А.А., Севастьянов А.Л., Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Адиабатические моды плавно-нерегулярного оптического волновода: нулевое приближение векторной теории // Препринт ОИЯИ Р11-2009-120.

19. Егоров А.А., Севастьянов А.Л., Айрян Э.А., Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Адиабатические моды плавно-нерегулярного оптического волновода: нулевое приближение векторной теории // Математическое моделирование. — 2010. — Т. 22. —№8. —С. 42-56.

20. Егоров А.А. Векторная теория рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума // Квантовая Электроника. — 2004. — Т. 34. — № 8. — С. 744-754.

21. Egorov А.А. Theory of laser radiation scattering in integrated optical waveguide with 3D-irregularities in presence of noise: vector consideration // Laser Physics Letters.2004.—V. 1.—No. 12. —P. 579-585.

22. Егоров А.А. Теория волноводного рассеяния света в интегрально-оптическом волноводе при наличии шума // Изв. Вузов. Радиофизика. — 2005. — Т. 48. — № 1, —С. 63-75.

23. Egorov А.А. Use of waveguide light scattering for precision measurements of the statistic parameters of irregularities of integrated optical waveguide materials // Opt. Engineering. — 2005. — V. 44. — No. 1. — P. 014601-1-014601-10.

24. Egorov A.A. 3D Waveguide light scattering. Rigorous and approximate analysis // ICO Topical Meeting on Optoinformatics/Information Photonics 2006, September 47 2006. — St. Petersburg. — Russia. — St. Petersburg: ITMO. — P. 371-372.

25. Егоров А.А., Ставцев A.B. Особенности разработки алгоритмов и программ для расчета основных характеристик нерегулярных интегрально-оптических волноводов // Вычислительные методы и программирование. — 2010. — Т. 11.1. С. 184-192.

26. Egorov А.А. Waveguide light scattering method as a best way for research of the statistic irregularities of integrated-optical waveguides // Журнал Радиоэлектроники. — 2010. —N. 7. — С. 1-19.

27. Noro H., Nakayama T. Unusual molecular-dynamical method for vector-wave analysis of optical waveguides // J. Opt. Soc. Am. Ser. A. — 1997. — V. 14. — No. 7.—pp. 1451-1459.

28. Paulus M., Martin Oliver J.F. A fully vectorial technique for scattering and propagation in three-dimensional stratified photonic structures // Optical and QE, 2001, —V. 33.—pp. 315-325.

29. Yegorov A.A. //Laser Physics. 2003. V. 13, No. 9. P. 1143.

30. Сотский А.Б., Сотская Л.И. Метод интегральных уравнений в теории микроструктурных оптических волокон // ЖТФ. — 2004. — Т. 74. — Вып. 2. — С. 32-40.

31. Barwicz Т., Haus А.Н. Three-dimensional analysis of scattering losses due to sidewall roughness in microphotonic waveguides // J. of Lightwave Technology. — 2005. —V. 23.—No. 9.—pp. 2719-2732.

32. Egorov A.A. 3D Waveguide light scattering. Rigorous and approximate analysis // Proc. of ICO Topical Meeting on Optoinformatics/Information Photonics 2006, September 4-7 2006, St. Petersburg. Russia, St. Petersburg: ITMO. —pp. 371-372.

33. Guofang Fan, Jiping Ning, Qun Han, Lianju Shang, Zhiqiang Chen, Dan Luo, Jin Liu. An improved ray approximation method to design the single-mode 3-D optical waveguide // Optics Communications. — 2007. — V. 271. — pp. 421-423.

34. Севастьянов JI.A., Егоров A.A. Теоретический анализ волноводного распространения электромагнитных волн в диэлектрических плавно-нерегулярных интегральных структурах // Оптика и спектроскопия. — 2008. — Т. 105. — № 4. с. 632-640.

35. Егоров А.А., Севастьянов JI.A. Структура мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического четырехслойного трехмерного волновода // Квантовая Электроника. — 2009. — Т. 39. — № 6. — С. 566-574.

36. Papakonstantinou I., James R., Selviah D.R. Radiation- and bound-mode propagation in rectangular, multimode dielectric, channel waveguides with sidewall roughness // J. of Lightwave Technology. —2009 V. 27. — No. 18. — pp. 4151-4163.

37. Егоров A.A., Ставцев A.B. Разработка методов и алгоритмов расчета основных характеристик трехмерных нерегулярных интегрально-оптических волноводов // Вестник РУДН. — Серия Математика. Информатика. Физика. — 2010 г.,— №2(2). С. 139-151.

38. Taflove A., Hagness S.C. Computational electrodynamics: the finite difference time domain method, 2nd ed. — London: Artech House. — 2000.

39. Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. —М.: Наука, 1979.

40. Романенко А.А., Сотский А.Б. Решение дисперсионных уравнений для планарных волноводов в случае комплексных корней // ЖТФ, 1998. — Т. 68. — №. 4, —С. 88-95.

41. Маненков А.Б. Условия ортогональности вытекающих мод // Изв. вузов. Радиофизика. — 2005. — Т. 48. — № 5. — С. 388-401.

42. Егоров А.А., Севастьянов JI.A. Структура мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического четырехслойного трехмерного волновода, Квантовая Электроника. — 2009. — Т. 39. — № 6. — С. 566-574.

43. Boyd J.T., Anderson D.B. Effect of waveguide optical scattering on the integrated optical spectrum analyser dynamic range // IEEE J. of QE. — 1978. — V. 14. — No. 6, —P. 437-443.

44. Маркузе Д. Оптические волноводы. — М.: Мир, 1974.

45. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. — М.:Мир, 1980.

46. Содха М.С., Гхатак А.К. Неоднородные оптические волноводы. — М.: Связь, 1980.

47. Сиро Ф. Васкес С. де Ф., Егоров А.А., Черемискин И.В. К вопросу об определении статистических характеристик нерегулярностей тонкопленочных волноводов // Автометрия. — 1991. — № 2. — С. 51-55.

48. Богатов А.П., Бурмистров И.С. Затухание оптической волны, распространяющейся в волноводе, образованном слоями полупроводниковой гетероструктуры, из-за рассеяния на неоднородностях // Квантовая электроника. — 1999. — Т. 27. — № 3. — С. 223-227.

49. Felici Т., Heinz Е. On shape optimisation of optical waveguides using inverse problem techniques // Inverse Problem. — 2001. — V. 17. — pp. 1141-1162.

50. Сотский А.Б., Сотская Л.И. Метод интегральных уравнений в теории микроструктурных оптических волокон // ЖТФ. — 2004. — Т. 74, Вып. 2. — С. 32-40.

51. Севастьянов JI.A., Егоров А.А. Теоретический анализ волноводного распространения электромагнитных волн в диэлектрических плавно-нерегулярных интегральных структурах // Оптика и спектроскопия. — 2008. — Т. 105. — № 4. — С. 632-640.

52. Егоров А А., Севастьянов JI.A. Структура мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического четырехслойного трехмерного волновода // Квантовая Электроника. — 2009. — Т. 39. — № 6. — С. 566-574.

53. Papakonstantinou I., James R., Selviah D.R. Radiation- and bound-mode propagation in rectangular, multimode dielectric, channel waveguides with sidewall roughness // J. of Lightwave Technology. — 2009. — V. 27. —No. 18. — pp. 4151-4163.

54. Тамир Т. Волноводная оптоэлектроника. — М.: Мир, 1991.

55. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. — М.: Мир, 1984.

56. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1974.

57. Обратные задачи в оптике / Под. ред. Болтса Г.П. — М.: Машиностроение, 1984

58. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. —М.: Наука, 1978.

59. HallD.G.// Optics Letters. — 1981. — V. 6,—No. 12,—P. 601.

60. Егоров A.A. // Квантовая электроника. — 2002. — Т. 32. — № 4. — С. 357.

61. Егоров A.A. // Оптика и спектроскопия. — 2003. — Т. 95. — № 2. — С. 294.

62. Гофман В.Э., Хомоненко А.Д. Delphi. Быстрый старт. — СПб.: БХВ-Петербург. — 2003.

63. Дарахвелидзе П.Г., Марков Е.П. Программирование в Delphi 7. — СПб.: БХВ-Петербург. — 2003.

64. Егоров A.A. Исследование рассеяния света и определение статистических характеристик нерегулярностей планарных оптических волноводов // Диссертация на соискание степени кандидата физ.-мат. наук. — М.: УДН. — 1992.—201 с.

65. Егоров A.A., Ставцев A.B. Разработка и исследование комплекса программ для расчета основных характеристик интегрально-оптических волноводов в системе визуального программирования Delphi и С++ //Журнал Радиоэлектроники. — 2009. — № 8. — С. 1-20.

66. Egorov A.A. Correct investigation of the statistic irregularities of integrated optical waveguides with the use of thewaveguide light scattering // Laser Physics Letters. — 2004. — 1, N 8. — 421^128.

67. Воеводин B.B., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. — 608 с.

68. Антонов A.C. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. — М.: Изд-во Московского университета, 2004.

69. Ставцев A.B. Построение классификации многокомпонентных вычислительных систем // Вестник РУДН. Прикладная и компьютерная математика. — 2005. — №5, —С. 126-134.

70. Страуструп Б. Язык программирования С++ // Специальное издание. — М.: Бином, 2004. — 1104 с.

71. Дерюгин JI.H., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Излучение с плоского диэлектрического волновода // Изв. Вузов. Радиоэлектроника. — 1970. — 13, № 3, —С. 309-315.

72. Гончаренко A.M., Дерюгин JI.H., Прохоров A.M., Шипуло Г.П. О развитии интегральной оптики в СССР // Журнал прикладной спектроскопии. — 1978. XXIX, № 6. — 987-997.

73. Интегральная оптика / Под ред. Т. Тамира. М.: Мир, 1978.

74. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения. // М.: Мир, 1989.

75. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митра. М.: Мир, 1977.

76. Tsang L., Kong J.A., Ding К.Н., Ао С.О. Scattering of electromagnetic waves: numerical simulations. —New York: Wiley, 2001.

77. Егоров А. А. Восстановление характеристик и определение параметров статистической нанометровой шероховатости поверхности по данным рассеяния в планарном оптическом волноводе // Изв. Вузов. Радиофизика. — 2000. —43, № 12.- 1090-1099.

78. Paulus М., Oliver J.F.M. Green's tensor technique for scattering in two-dimensional stratified media // Physical Review E. — 2001. — 63, N 6. — 066615-1-066615-8.

79. Егоров А. А. Обратная задача рассеяния монохроматического света в статистически нерегулярном волноводе: теория и численное моделирование // Оптика и спектроскопия. 2007. 103, № 4. 638-645.

80. Egorov А.А. Influence of light scattering by 3D-irregularities on the characteristics of the integrated optical devices using for optical signal processing // Opt. Engineering. — 2008. — 2. — pp. 1-8.

81. Егоров A.A., Егоров M.A., Чехлова Т.К., Тимакин А.Г. Исследование компьютеризированного интегрально-оптического датчика концентрации газообразных веществ // Квантовая электроника. — 2008. — 38. — № 8. — pp. 787-790.

82. Egorov A.A., Egorov М.А., Chekhlova Т.К., Timakin A.G. Low-loss inexpensive integrated-optical waveguides as a sensitive gas sensor // ICO Topical Meeting on Optoinformatics/Information Photonics 2008. — 2008. — pp. 208-211.

83. Егоров А. А., Егоров M.A., Чехлова Т.К., Тимакин А.Г. Применение интегрально-оптических контроля опасных газообразных веществ // Датчики и системы. — 2008. — 1. — pp. 25—28.

84. Chen С.Н., Pang L., Tsai C.H., Levy U., Fainman Y. Compact and integrated TM-pass waveguide polarizer // Optics Express. — 2005. — 13. — № 14. — pp. 53475352.

85. Cardenas J., Poitras C.B., Robinson J.T., Preston K., Chen L., Lipson M. Low-loss etchless silicon photonic waveguides // Optics Express. — 2009. — 17, № 6. — pp. 4752-4757.

86. Kuttge M., Garcia de Abajo F.J., Polman A. How grooves reflect and confine surface plasmon polaritons // Optics Express. — 2009. — 17. — № 12. —pp. 10385-10392.

87. Dintinger J., Olivier J.F.M. Channel and wedge plasmon modes of metallic V-grooves with finite metal thickness // Optics Express. -—■ 2009. — 17. — № 4. — pp. 2364-2374.

88. Li J., Fattal D.A., Beausoleil R.G. Crosstalk-free design for the intersection of two dielectric waveguides // Optics Express. — 2009. — 17. — № 9. — pp. 7717-7724.

89. Magnin V., Zegaoui M., Harari J., Franzois M., Decoster D. Design, optimization and fabrication of an optical mode filter for integrated optics // Optics Express. —2009. — 17. — № 9. — pp. 7383-7391.

90. Егоров A.A., Ставцев A.B. Разработка и исследование комплекса программ для расчета основных характеристик интегрально-оптических волноводов в системе визуального программирования Delphi и С++ //Журнал Радиоэлектроники. — 2009. — 8. С. 1-20.

91. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков Численные методы. — М.:Наука, 1987.

92. А.А.Самарский Введение в численные методы. — М.:Наука, 1987.

93. Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А., Паукшто М. В., Бикеев. О.Н. Математический синтез оптических наноструктур : Учебное пособие. — М.: ИПКРУДН .— 2008.

94. Levin, D. Procedures for computing one and two-dimensional integrals of functions with rapid irregular oscillations // Math. Comp 38. — 1982 .— № 158 pp. 531-538.

95. Iserles, A. On the numerical quadrature of highly-oscillatory integrals I: Fourier transforms // IMA J. Num. Anal. 24. — 2004. — 1110.

96. К.П. Ловецкий, В.В. Петров Интегрирование быстро осциллирующих функций // Вестник РУДН (Серия Математика. Информатика. Физика). — 2011 г.,— № 2 (в печати).

97. Е.И. Голант, К.М. Голант Новый метод расчета спектра и радиоционных потерь вытекающих мод многослойных оптических волноводов // ЖТФ. — 2006. — Т. 76. — Вып. 8. — С. 99-106.