автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерное моделирование полей направляемых мод тонкопленочной обобщенной волноводной линзы Люнеберга



На правах рукописи

Севастьянов Антон Леонидович

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ НАПРАВЛЯЕМЫХ МОД ТОНКОПЛЕНОЧНОЙ ОБОБЩЕННОЙ ВОЛНОВОДНОЙ ЛИНЗЫ ЛЮНЕБЕРГА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 ФЕВ 2010

Москва 2009

003491631

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов

Научный руководитель доктор физико-математических наук

Егоров Александр Алексеевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Пузынин Игорь Викторович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Шигорин Владимир Дмитриевич

Ведущая организация Национальный исследовательский ядерный

университет «МИФИ»

Защита состоится «19» февраля 2010 г. в 15 час.30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 при Российском университете дружбы народов, по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов

Автореферат разослан «13 » января 2010 г.

Ученый секретарь л . ¡. ,

диссертационного совета (// \ (/О Луу^^^ М.Б.Фомин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Развитие векторной трехмерной (3D) теории волноводного распространения света в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе является одной из актуальных задач современной интегральной оптики и волновод-ной оптоэлектроники. Использование 20-теории приближенно справедливо только для слабо направляющих структур и не подходит для описания волноводов, у которых сильно варьируется диэлектрическая проницаемость. Примером плавной «3 D-нерегулярности» является тонкопленочная волно-водная линза Люнеберга.

Линза Люнеберга имеет сферическую или цилиндрическую форму и отличается тем, что коэффициент преломления материала линзы не остаётся постоянным по всей линзе, а зависит от расстояния до её центра или оси. Закон изменения коэффициента преломления подбирается таким образом, чтобы при прохождении линзы параллельные лучи фокусировались в одной точке на поверхности линзы, а испущенные точечным источником на ее поверхности - формировали параллельный пучок за ней. У обобщенной линзы Люнеберга фокальная сфера расположена на расстоянии большем одного радиуса от центра линзы. Тонкопленочная обобщенная волноводная линза (ТОВЛ) Люнеберга - планарный аналог объемной обобщенной линзы Люнеберга (см. Рис. 1). »

Волноводная линза Люнеберга является важнейшим функциональным элементом в таких интегрально-оптических устройствах, как анализатор спектра радиочастот, работающий в реальном масштабе времени. В разнообразных устройствах сопряжения (линзы, призмы, разветвители), связывающих различные элементы единой оптической интегральной схемы, ключевую роль играет согласование электромагнитного поля в сопрягаемых элементах. Эффективность сопряжения существенно зависит от согласования между полями падающей волны и волноводной моды (до и после элемента сопряжения). Следовательно, чем точнее известен вид согласуемых полей, тем успешнее будет решена задача эффективной передачи энергии через устройство сопряжения.

Основные результаты в теории регулярных волноводов были получены для закрытых волноводов А.Н. Тихоновым и A.A. Самарским, а для открытых волноводов А.Г. Свешниковым и В.В. Шевченко. Среди нерегулярных волноводов можно выделить поперечно нерегулярные и продольно нерегулярные волноводы. Для поперечно нерегулярных волноводов, уравнения и решения которых допускают разделение переменных, наибольшее признание получил неполный метод Галеркина, разработанный А.Г. Свешниковым.

Для закрытых продольно нерегулярных волноводов в работах Б.З. Ка-ценеленбаума был разработан метод волноводов сравнения, который был обобщен для открытых продольно нерегулярных волноводов В.В. Шевченко. Перечисленные модели не описывали деполяризацию направляемых мод на

нерегулярных участках волноводов. В работах А.А. Егорова и Л.А. Севастьянова были разработаны основы теории плавно-нерегулярных трехмерных интегральных оптических волноводов. Предложенная ими модель адиабатических мод описывает связь различных направляемых мод на плавно-нерегулярных участках трехмерных интегральных оптических волноводов и позволяет адекватно решить задачу эффективной передачи энергии через устройства сопряжения в интегральных оптических схемах.

Рис.

Цель диссертационной работы Целью диссертации является теоретическое и численное исследование модели адиабатических мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода на примере тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люнеберга. Оно включает в себя:

1. Выбор и разработку устойчивых методов решения системы дифференциальных уравнений и соотношений, описывающих модель адиабатических мод (в нулевом приближении) в продольно-нерегулярных интегрально-оптических волноводах.

2. Реализацию алгоритмов приближенного решения задач анализа и синтеза продольно-нерегулярных интегрально-оптических волноводов.

3. Верификацию алгоритмов, методов и модели в сравнении с результатами других авторов, в том числе и экспериментальных данных, на основе результатов численных экспериментов.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи: 1) Решить систему дифференциальных уравнений для вертикальных распределений электромагнитных полей направляемых мод в плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводах асимптотическим

1. Общий вид интегрально-оптического процессора с ТОВЛ Люнеберга.

Цтошшпро .тошный !5учм ;]учсд

ГОПЛ Люжйсрго

[[-.'ЦК'.НИМЙ (КОСУ*) (и, ■ и*Ю1

да*!14'? жмекшго

методом, получив в результате системы для вкладов разных порядков малости.

2) Решить систему дифференциальных уравнений для вертикальных распределений электромагнитных полей направляемых мод в плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводах нулевого порядка малости матричным методом.

3) Реализовать устойчивые методы приближенного решения однородных систем линейных алгебраических уравнений для амплитудных коэффициентов А, В (ТЕ- и ТМ-мод, а также - квази-ТЕ и квази-ТМ мод ТОВЛ Люнеберга) й)](Д Л)г = (б, б)' , удовлетворяющих условиям: с1еШ[/7(йГ,й)] = 0.

Методы исследований

Асимптотический метод решения граничной задачи для системы дифференциальных соотношений по малому параметру 3 позволяет редуцировать ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений со специальными граничными условиями, метод решения которой известен.

Метод связанных мод. Связь двух уравнений второго порядка для двух поляризаций при решении исходной системы соотношений асимптотическим методом проявляется в первом приближении в качестве слабой (порядка малости 3) связи двух линейных осцилляторов. Она отражает нарушение регулярности структуры, вызванное изменением коэффициента фазового замедления (КФЗ) плавно-нерегулярных интегрально оптических волноводов.

Метод деформируемого многогранника Нелдера-Мида решения нелинейного уравнения для распределения эффективного КФЗ ТОВЛ Люнеберга методом минимизации невязки, интеграл при этом вычисляется с использованием формул Ньютона-Котеса 8-го порядка.

Устойчивый метод Тихоновской регуляризации решения однородной системы линейных алгебраических уравнений для амплитудных коэффициентов электромагнитного поля моды в точке двумерной траектории с помощью стабилизирующего Тихоновского функционала минимизации расстояния от амплитудных коэффициентов в предыдущей точке траектории.

Устойчивый метод приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных (дисперсионного уравнения) нелинейным методом наименьших квадратов с помощью конечной комбинации экспоненциальных функций.

Научную новизну работы составляют следующие факты. Впервые проведено теоретическое и численное исследование математической модели адиабатических мод, описывающей распространение направляемых мод в плавно-нерегулярном многослойном интегрально-оптическом волноводе на примере ТОВЛ Люнеберга.

1. Теоретическое исследование позволило установить следующие факты:

• дисперсионные зависимости адиабатических мод плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводов и волноводных мод совпадают в случае регулярного волновода;

• математическая модель адиабатических мод плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводов описывает гибридизацию направляемых мод, т.е. учитывает их векторный характер.

2. Численное исследование математической модели адиабатических мод ТОВЛ Люнеберга подтвердило теоретические результаты. Кроме того, было установлено:

• совпадение дисперсионной зависимости адиабатической моды в приближении метода волноводов сравнения с результатами Саутвелла для ТОВЛ Люнеберга;

• сохранение профиля стоячей волны при распространении адиабатической моды в плавно-нерегулярном волноводе на примере ТОВЛ Люнеберга.

3. Впервые был реализован алгоритм численного расчета дисперсионной зависимости и вертикального распределения профиля полей £ и Я для регулярных планарных оптических волноводов с переменным числом слоев.

4. Впервые был реализован устойчивый алгоритм численного расчета дисперсионной зависимости и вертикального распределения электромагнитного поля направляемой моды в нулевом приближении модели адиабатических мод для плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода на примере ТОВЛ Люнеберга.

5. Впервые реализовано вычисление волновых фронтов направляемой моды в нулевом приближении модели адиабатических мод. Впервые вычислено распределение полного электромагнитного поля направляемой моды в нулевом приближении модели адиабатических мод ТОВЛ Люнеберга.

Практическая значимость результатов

Получено приближенное решение векторной электродинамической задачи в тонкопленочной обобщенной волноводной линзе Люнеберга. Полученные теоретические результаты можно использовать в проектировании

ряда плавно-нерегулярных интегрально-оптических устройств: линз, призм, ответвителей, мультиплексоров, канальных волноводов, датчиков параметров окружающей среды и т.д.

Предложенный метод применим для анализа интегрально-оптических структур из диэлектрических или магнитных материалов в широком диапазоне электромагнитных длин волн. Полученное решение может быть использовано для синтеза интегрально-оптических тонкопленочных волноводных элементов и устройств и для неразрушающей диагностики многослойных интегрально-оптических структур по экспериментальным данным.

Положения, выносимые на защиту:

1. На основе асимптотического метода по порядку градиента КФЗ проведено исследование математической модели адиабатических мод, описывающей распространение направляемых мод в плавно-нерегулярном многослойном интегрально-оптическом волноводе на примере тонкопленочной обобщенной линзы Люнеберга.

2. Предложен метод численного решения трансцендентного алгебраического уравнения, задающего дисперсионную зависимость КФЗ направляемой моды трехслойного и четырехслойного регулярного планарного волновода от толщин первого и второго волноводных слоев, позволяющий детально отследить характер дисперсионной зависимости при переходе от трехслойного волновода к четырехслойному.

3. Для вычисления амплитуд вертикального распределения электромагнитного поля волноводных мод регулярного планарного волновода, предложен метод численного решения однородной системы линейных алгебраических уравнений, устойчивый к вариациям параметров волновода.

4. Реализован алгоритм вычисления профиля толщины дополнительного волноводного слоя ТОВЛ Люнеберга. Результат в модели адиабатических мод (с тангенциальными граничными условиями) отличается от результата в модели волноводов сравнения.

5. Реализован алгоритм вычисления вертикального распределения полей направляемых мод ТОВЛ Люнеберга.

6. Реализован алгоритм вычисления вертикального распределения полей направляемых мод в первом приближении асимптотического метода для ТОВЛ Люнеберга. Продемонстрирована деполяризация в первом приближении линейно поляризованной на входе в линзу направляемой моды.

7. Реализован алгоритм вычисления полного электромагнитного поля направляемой моды ТОВЛ Люнеберга.

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Обоснованность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения задач использовались строгие и проверенные методы: асимптотический, связанных мод, Нелдера-Мида, Тихоновской регуляризации, точной штрафной функции, численного интегрирования и т.п.

Достоверность результатов подтверждается сравнением результатов тестовых расчетов для регулярных волноводов на основе матричной модели с результатами, полученными традиционными методами расчета в работах [1*-3*]. Кривые дисперсионных зависимостей полностью совпали для первых волноводных мод нескольких волноводов с различными параметрами.

В диссертации показано, что полученный методом волноводов сравнения профиль толщины дополнительного волноводного слоя тонкопленочной обобщенной волноводной линзы Люнеберга в точности совпадает с профилем толщины тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люнеберга, полученным Саутвеллом [4*, 5*]. Это значит, что результаты, полученные Саутвеллом, следует сравнивать с результатами вычислений по полученным формулам приближения волноводов сравнения. В диссертации продемонстрировано, что практически нет расхождений между нашими данными и данными Саутвелла (см. ниже Табл. и Рис. 2).

Однако наше решение в нулевом приближении метода адиабатических мод обладает существенно более высокой точностью, что особенно важно при синтезе обобщенных линз Люнеберга, требующих учета краевых эффектов, которые оказывают влияние, например, на разрешение синтезируемой тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люнеберга. Еще более точный учет векторного характера направляемых мод дается первым приближением метода адиабатических мод. Выполненная нами в соответствии с методикой работы [6*] оценка потерь энергии моды, распространяющейся в тонкопленочной волноводной обобщенной линзе Люнеберга, показала ее хорошее соответствие экспериментальным данным [7*].

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Выступления на конференциях

■ Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики,

физики и химии 2007 г., 2008 г. и 2009 г.

■ Международная конференция: «ICO Topical Meeting on Optoinformatics / Information Photonics 2008» September 15-18, 2008. St. Petersburg. Russia.

■ Международная конференция «Математическое моделирование и вычислительная физика» июль 2009, г. Дубна.

■ 52 научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», ноябрь 2009, г. Долгопрудный.

Выступления на семинарах

■ Московский научный семинар «Интегральная оптика и волноводная оп-тоэлектроника» МНТОРЭС им. A.C. Попова март 2008 г., октябрь 2008, июнь 2009 г., ноябрь 2009 г.

■ Научный семинар «Математическое моделирование» РУДН, Декабрь 2008 г., октябрь 2009 г.

■ Научный семинар Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований, июнь 2009 г.

Связь с научными программами, планами и темами. Диссертационные исследования выполнялись в рамках индивидуального плана подготовки соискателя по направлению «Математическое моделирование интегрально-оптических структур» в период с 2007 г. по 2009 г. в соответствии с темой № 020612-1-173 «Разработка математических моделей и методов анализа информационно-телекоммуникационных сетей», и с темой № 020614-1-173 «Исследование физических характеристик и компьютерное моделирование многослойных пленочных наноструктур» научно-исследовательских работ кафедры систем телекоммуникаций РУДН, а также в рамках выполнения подпрограммы «Оптика наноструктур» инновационной образовательной программы РУДН.

Личный вклад соискателя. Все представленные в диссертационной работе результаты получены либо лично соискателем, либо при его непосредственном участии.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 7 публикациях: в виде статей (из которых одна в журнале из списка ВАК РФ) в специализированных журналах, в сборниках трудов всероссийских и международных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 163 наименований, 2 таблицы и 17 рисунков. Содержание работы изложено на 135 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены актуальность темы диссертационных исследований, цель работы, методы исследований, научная новизна и практическая значимость результатов, выносимые на защиту положения, обоснованность и достоверность полученных результатов, а также краткое содержание диссертации.

Приведен краткий аналитический обзор результатов по математическому моделированию регулярных и поперечно-нерегулярных волноводов. Обсуждаются результаты по продольно нерегулярным закрытым волноводам и по продольно нерегулярным открытым волноводам.

В первой главе диссертации после короткого обзора известных результатов и методов исследования плавно нерегулярных в продольном направлении интегрально-оптических волноводов приводится обобщающий их метод адиабатических мод, а также формулируется задача исследования математической модели этого метода на примере ТОВЛ Люнеберга. После рассмотрения асимптотического метода его исследования формулируется иерархия матричных моделей, более грубых, чем нулевое приближение асимптотического метода: метода волноводов сравнения и регулярных волноводов. Приведены полученные автором утверждения о предельных переходах между моделями иерархии.

Для полноты анализа моделей приведено последовательное и обоснованное изложение теории регулярных планарных диэлектрических многослойных волноводов в рамках матричной модели. Показано совпадение полученных результатов с результатами, приведенными в публикациях других авторов в случае совпадения геометрических и оптических параметров волноводов [1*-3*].

Проведена редукция уравнений Максвелла к двум независимым системам дифференциальных уравнений и граничных условий (одна для ТЕ-поляризации, другая для ТМ-поляризации), которая в свою очередь редуцируется к двум независимым однородным системам линейных алгебраических уравнений для амплитудных коэффициентов. Каждая однородная СЛАУ и «дисперсионное» условие ее разрешимости и составляют матричную модель для соответствующей поляризации.

Во второй половине первой главы показано, что каждое из приведенных в обширной литературе (см., например [1*-3*, 6*]) по регулярным планар-ным диэлектрическим многослойным волноводам «дисперсионное соотно-

шение» совпадает с одним из вариантов «дисперсионных соотношении», полученных в матричной модели.

Приведенные здесь соотношения матричной модели позволяют вычислить амплитуды направляемых мод. Они позволяют также описать трансформацию направляемой моды методом регулярных волноводов сравнения при переходе из трехслойного волновода в четырехслойный и обратно.

Во второй главе диссертации вначале приводятся сведения об адиабатической модели плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода с четвертым волноводным слоем переменной толщины необходимые

для формулировки цели диссертации и исследования устойчивых методов и алгоритмов численного решения задач адиабатической модели.

Далее формулируются математические задачи исследования математической модели адиабатических мод и формулируются методы и алгоритмы устойчивого приближенного решения возникающих при этом задач. Перейдем непосредственно к описанию математической модели адиабатических мод в плавно-нерегулярном волноводе на примере ТОВЛ Люнеберга.

Поле направляемой моды, распространяющейся вдоль оси г в регулярном волноводе, имеет вид:

Ё(х,у,г,О = Ё(х)ехр{Ца)1-ко0:)}, Н(х,у,:,1) = Н(х)ехр{¡(соI-кф:)}. Поле направляемой моды в плавно-нерегулярном (в горизонтальном направлении распространения моды) интегрально-оптическом волноводе в методе «адиабатических мод» ищется в виде:

Подстановка (1) в уравнения Максвелла приводит к паре уравнений второго порядка для вертикальных (вдоль оси х) распределений продольных компонент поля направляемой моды Ег(х-,у,г),Н!(х-,у,г), параметрически зависящих от горизонтальных координат,

и к следующим дифференциальным выражениям через £г (х,у,:),Нг (х:у,:) для вертикальных распределений поперечных и вертикальных компонент поля:

2„ д2Н, ед2Ет ... , дгЕ ц дгН .... д:ду с о1дх дгдх с д1ду

" агйхг с Ыду к ' ' д2ду с д!дх к Для случаев, рассмотренных в диссертации, нерегулярность волновода удовлетворяет условию малости изменения коэффициента фазового замедления р на горизонтальных расстояниях порядка длины волны излучения Л:

тах Е^Ж = £ «1. Следовательно, можно применить асимптотический по ма-КР

лому параметру 8 метод решения. Получившиеся для (2) - (7) вклады нулевого и первого порядка малости по 8 являются моделями нулевого порядка для плавно-нерегулярного волновода и поправкой первого порядка к модели нулевого порядка.

В нулевом приближении для продольных компонент справедливы уравнения:

= 0,(8) (9)

а для поперечных и вертикальных компонент дифференциальные выражения:

(10)

(12)

К = 1 .иКР^+к'ерА. (13)

Особо обсуждается вид тангенциальных граничных условий для электромагнитного поля направляемых мод с учетом негоризонтальности касательных плоскостей в точках границ раздела слоев. Именно негоризонтальность вносит существенный вклад уравнения для амплитуд общих решений уравнений (8) - (9) в слоях волновода. Этот вклад приводит к тому, что матричные уравнения граничных условий зависят от профиля толщины ТОВЛ Люнеберга: Ъ(у,г),дЩду, ал/& , и от фазы: <р(у,2),д<р/ду, дср/д: . Следовательно, дисперсионные уравнения для направляемых мод перестают быть алгебраическими, как в случае регулярных волноводов, а становятся уравнениями в частных производных первого порядка. Вид выражений (10) - (13), зави-

сящих как от Е.(х\у,:), так и от Нг (х-,у,:), показывает, что даже в нулевом приближении ТЕ- и ТМ- поляризации остаются связанными, и их не удается описать независимыми моделями. С наибольшей очевидностью это следует из уравнений (2), (3), описывающих систему связанных осцилляторов, которая может быть решена в рамках метода связанных волн.

Во второй главе приводится сравнение нулевого приближения с более грубым приближением и показывается его совпадение с методом волноводов сравнения. Далее приводится метод вычисления полей направляемых мод, как в нулевом приближении, так и в приближении, эквивалентном методу волноводов сравнения.

Приведем в качестве иллюстрации сравнение результатов расчета профиля толщины ТОВЛ Люнеберга в модели метода волноводов сравнения с результатами работ Саутвелла [4*, 5*] (см. Таблицу).

Таблица.

г Саутвелл Матричный метод г Саутвелл Матричный метод

0,2191 0,2190925 0,75 0,1472 0,1472494

0,05 0,2187 0,2187388 0,8 0,1374 0,1373618

0,1 0,2177 0,2176908 0,85 0,1262 0,1262288

0,15 0,216 0,2157306 0,9 0,113 0,1130072

0,2 0,2135 0,2135393 0,91 0,1099 0,1099486

0,25 0,2105 0,210465 0,92 0,1067 0,1066803

0,3 0,2068 0,2067517 0,93 0,1031 0,103146

0,35 0,2024 0,2024226 0,94 0,0993 0,0992614

0,4 0,1975 0,1975013 0,95 0,0949 0,0948912

0,45 0,192 0,1920096 0,96 0,0898 0,0897981

0,5 0,186 0,1859653 0,97 0,0835 0,0835078

0,55 0,1794 0,1793785 0,98 0,0749 0,0748699

0,6 0,1722 0,1722483 0,99 0,0597 0,059661

0,65 0,1646 0,1645472 1 0 0

0,7 0,1563 0,1554361

В Таблице дано сравнение результатов расчетов распределения по радиусу профиля толщины нерегулярного волноводного слоя ТОВЛ Люнеберга (в единицах X = 0.9 мкм). В первой колонке - значения радиуса г. Во второй - результаты расчетов Саутвелла. В третьей колонке - результаты расчета автора [1,2]. Расчет производился для ТОВЛ Люнеберга со следующими параметрами: фокусное расстояние s = 2, радиус линзы г = 1, толщина регулярного волноводного слоя d = 1.0665. Коэффициент преломления подложки (S1O2): и, = 1.470, коэффициент преломления первого (регулярного) волноводного слоя (стекло марки Corning 7059): nf = 1.565; коэффициент преломления второго волноводного слоя (ТагОб) - ТОВЛ Люнеберга переменной толщины Ну, г): щ = 2.100; коэффициент преломления покровного слоя (воздух): пс =1.000.

Рис. 2. Сравнение результатов расчетов профиля толщины й(г) ТОВЛ Люнеберга для указанных в таблице параметров волноводной структуры (в единицах А). Сплошная линия - результат Саутвелла. Пунктирная линия - результат автора.

В конце второй главы приводятся уравнения, и фундаментальные системы решений для продольных компонент полей направляемых мод в первом по порядку малости приближении. Выражения для четырех оставшихся компонент получаются из формул для вклада первого порядка малости асимптотического метода, приведенного в начале главы.

В начале третьей главы приведены полученные автором утверждения об устойчивой разрешимости неточных однородных СЛАУ на основе поздних результатов А.Н. Тихонова [8*-9*].

Далее приведены алгоритмы численного решения уравнений для базовых характеристик направляемых мод ТОВЛ Люнеберга, полученные в диссертации, а также численные реализации алгоритмов и результаты численных экспериментов.

Для того чтобы получить базовые характеристики адиабатических мод в нулевом приближении необходимо решить несколько вспомогательных задач. Первая задача состоит в определении распределения КФЗ внутри обобщенной линзы Люнеберга. Вторая задача - это трассировка лучей внутри ТОВЛ Люнеберга. Решив эти вспомогательные задачи, мы будем обладать всей необходимой вспомогательной информацией.

Распределение коэффициента фазового замедления /?(г) ТОВЛ Люнеберга равно р вне радиуса Я, а внутри него удовлетворяет интегральному

уравнению: Дг)/^=ехр[й;(р,/')], где Р = гр(.г)/р и = Дан-

ное нелинейное уравнение решается методом деформированного многогранника Нелдера-Мида минимизации невязки

интеграл при этом вычисляется с использованием формул Ньютона-Котеса 8-го порядка.

Вычисленное распределение КФЗ р(г) задает закон эволюции двумерных лучей в плоскости волновода уОг:

В результате вычисления получены сеточные значения для семейства лучей у/гк) и их наклонов Вычисленные значения позволяют восста-

новить сеточное векторное поле (/Ц.у/гДгДДСуДгДг,))'. Данное приближенное векторное поле вместе с распределением /?(>>,г)=/?((>>2 +г2)1'2) формирует вместе со значениями л,, пп я,, пс, ¿1 входные данные для вычисления выходных данных /¡Су,г), д/>/ду(у,г) , оИ/5:(у,1) ИЗ ДИСПерСИОННОГО уравнения.

Тангенциальные граничные условия образуют однородную систему линейных алгебраических уравнений для амплитудных коэффициентов {лгВ^ М(Р)(Л,В)Т =о относительно двенадцатимерного вектора (А,В)Т, которая обладает нетривиальным решением в случае, если определитель матрицы системы равен нулю: йИ{ЩР)) = 0.

И сама матрица Щр), и ее определитель Л<А(М(р)) зависят от вещественного параметра /?е[и,,п,]. Дисперсионное уравнение ае!(Л/) =0 имеет вид РШр(р,ру,р1-,И,дИ/еу,д111ск-,п1,п/,п1,пс,<1) = 0 нелинейного дифференциального уравнения в частных производных относительно и и алгебраического уравнения относительно векторного поля р.

Приближенное решение данного уравнения предлагается искать в виде конечной комбинации экспоненциальных функций вида

Значения РЛу.') и приближенные вычисленные значения И(у,2),дИ/еу,Вк/д2, при которых разрешима система линейных алгебраических уравнений, подставляем в матрицу системы. Полученную конкретную одно-

методом наименьших квадратов по ш параметрам •

родную систему линейных алгебраических уравнений решаем методом Тихоновской регуляризации:

(ЩРт)т ЩРт) + а1)(А,В)г =М(Рт)ЧАЛ)г, что эквивалентно минимизации Тихоновского функционала

|м(/?„хЯв)г|2+а|(ЯёУ-(АА)7! (Да/ >™.

Вычисленные коэффициенты {л^в^ вместе с р(у,г) и вычисленным значением И(у,г) подставляем в формулы для компонент электромагнитного поля, что завершает этап вычисления вертикального распределения электромагнитного поля, приведенного в выражениях для нулевого приближения и в выражениях для первого приближения.

Вычисленные вертикальные распределения полей подставляются в выражения для полных полей адиабатических мод, которые вычисляются вдоль сеточных траекторий двумерных лучей. Вычисленные значения полей адиабатических мод позволяют сформировать профили постоянной фазы мод, а также амплитудно-фазовые распределения мод в окрестности фокуса, вычисленного в приближении скалярного поля.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Проведено теоретическое и численное исследование модели адиабатических мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода на примере тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люнеберга.

2. Модифицирован устойчивый метод и реализован (на основе вычисленных дисперсионных зависимостей) алгоритм вычисления вертикального распределения электромагнитного поля направляемых мод регулярных многослойных волноводов, в том числе с переменным числом слоев.

3. Разработан устойчивый метод и реализован алгоритм решения нелинейного уравнения в частных производных первого порядка (дисперсионного уравнения) для профиля толщины плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода в нулевом приближении модели адиабатических мод.

4. Модифицирован устойчивый метод и реализован алгоритм вычисления вертикального распределения электромагнитного поля направляемых мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода на примере TOBJI Люнеберга в нулевом приближении модели адиабатических мод.

Основные публикации по теме диссертации:

Статьи в научных изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Егоров A.A., Севастьянов А.Л., Ловецкий К.П. Модель интегрально-оптической обобщенной линзы Люнеберга в нулевом приближении // Вестник РУДН, Сер. Математика. Информатика. Физика. - 2009. - № 3. -С. 55-64.

Научные статьи в других изданиях

2. Егоров A.A., Севастьянов Л.А., Севастьянов А.Л. Исследование электродинамических свойств планарной тонкопленочной линзы Люнеберга // Журнал радиоэлектроники. - 2008. - № 6. - С. 1-20.

3. Egorov A.A., Sevastianov L.A., Sevastyanov A.L., Lovetskiy K.P. Propagation of electromagnetic waves in thin-film structures with smoothly irregular sections // ICO Topical Meeting on Optoinformatics/Information Photonics 2008. September 15-18, 2008. St. Petersburg. Russia. - St. Petersburg: ITMO,

2008.-pp.231-234.

4. Айрян ЭЛ., Егоров A.A., Севастьянов А.Л., Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Адиабатические моды плавно-нерегулярного оптического волновода: нулевое приближение векторной теории // Препринт ОИЯИ PI 1-2009-120. - Дубна, 2009. - 19 С.

5. Егоров A.A., Айрян Э.А., Севастьянов А.Л., Севастьянов Л.А. Структура мод плавно-нерегулярного трехмерного интегрально-оптического четырехслойного волновода // Сообщение ОИЯИ PI 1-2009-121. - Дубна,

2009.-15 С.

6. Егоров A.A., Севастьянов А.Л., Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Адиабатические моды плавно-нерегулярного открытого планарного волновода: нулевое приближение // International conference "Mathematical Modeling and Computational Physics", Russia, Dubna, July 7-11, 2009. Book of abstracts. -Dubna, 2009. - p. 74.

7. Севастьянов А.Л. Описание программы расчета полей плавно-нерегулярного четырехслойного волновода // Труды 52-ой научной

конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Том 1. - М.-Долгопрудный: ИЦОП, 2009. -С. 146-148.

Общий объем публикаций автора по теме диссертации составляет около 5 п.л.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1*. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Свойства плоских несимметричных диэлектрических волноводов на подложке из диэлектрика // Изв. Вузов. Радиоэлектроника. - 1967. - Т. 10. - № 2. - С. 134-141.

2*.Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. — М.: Мир, 1984.

3*.Тамир Т. Волноводная оптоэлектроника. -М.: Мир, 1991.

4*.Southwell W.H. Inhomogeneous optical waveguide lens analysis // JOSA. -1977.-V. 67.-pp. 1004-1009.

5*.Southwell W.H. Index profiles for generalized Luneburg lenses and their use in planar optical waveguides // JOSA. - 1977. -V. 67. - No. 8. - pp. 1010-1014.

6*.Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. - М.: Радио и связь, 1987.

7*.Векшин М.М., Никитин А.В., Никитин В.А., Яковенко Н.А. Разработка и исследование многоканального микролинзового интегрально-оптического ответвителя излучения // Автометрия. - 2009. - Т. 45. -№ 1. - С. 102-108.

8*.Тихонов А. Н. О нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 254. - № 3. - С. 549-554.

9*.Тихонов А.Н. О приближенных системах линейных алгебраических уравнений // ЖВМиМФ. - 1980. - Т. 20. -№ 6. - С. 1373-1383.

Севастьянов Антон Леонидович (Россия) Компьютерное моделирование полей направляемых мод тонкопленочной обобщенной волноводной линзы Люнеберга

В работе проведено теоретическое и численное исследование модели адиабатических мод тонкопленочной обобщенной волноводной линзы Люнеберга. Модель адиабатических мод описывает направляемые моды плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода.

Асимптотическим методом получены нулевое и первое приближения модели. Продемонстрирован предельный переход нулевого приближения модели адиабатических мод в модель метода волноводов сравнения. Показано совпадение численных результатов в методе волноводов сравнения с результатами других авторов.

Показано, что в нулевом приближении направляемые моды деформируются, оставаясь поляризованными. При распространении моды, как по регулярному, так и по плавно-нерегулярному участкам волновода сохраняется профиль стоячей волны. В первом приближении адиабатические моды деполяризуются вследствие слабой связанности различных поляризаций. Оценки затухания моды при этом совпадают с оценками экспериментальных данных.

Sevastyanov Anton Leonidovich (Russia) Computer modeling of directed modes' fields of thin-film generalized waveguide Luneburg lens

The theoretical and numerical investigation of the model of adiabatic modes of thin-film generalized waveguide Luneburg lenses is fulfilled in the paper. The model describes directed modes of smoothly irregular integrated-optical waveguide.

Zero and first approximation of the model is received by asymptotic method. The limit transition of zero approximation of adiabatic modes model to the model of equivalent regular waveguide is proved. The coincidence of equivalent regular waveguide numerical results with other authors' results is shown.

The directed modes are shown to be deformed still continue to be linearly polarized in zero approximation. The profile of a standing wave is conserved when propagating both along regular and along irregular pieces of the waveguide. In the first approximation adiabatic modes are depolarized because different polarizations are weakly coupled. The numerical estimation of mode decrement coincides with experimental data estimation.

Подписано в печать: 19.01.10

Объем: 1,5 усл. печ. л. Тираж: 120 экз. Заказ № 205 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Введение.

Глава 1. Математическое моделирование интегрально-оптических планарных регулярных) волноводов.

1. 1 Моды тонкопленочных диэлектрических многослойных волноводов в декартовых координатах, выраженные через поперечные компоненты.

1. 2 Моды тонкопленочных диэлектрических многослойных волноводов в декартовых координатах через продольные компоненты.

1. 3 Граничные условия для мод многослойных диэлектрических волноводов в декартовых координатах через продольные компоненты.

1. 4 Граничные условия для мод многослойных диэлектрических волноводов через продольные компоненты в вещественном представлении.

1. 5 Граничные условия для мод многослойных диэлектрических волноводов в декартовых координатах через поперечные компоненты.

1. б Тригонометрическая форма дисперсионных соотношений для трехслойных и четырехслойных волноводов через поперечные компоненты.:.

1. 7 Тригонометрическая форма дисперсионных соотношений для трехслойных и четырехслойных волноводов через продольные компоненты.

1. 8 Задача отыскания устойчивого решения приближенной системы линейных алгебраических уравнений.

Глава 2. Математическая модель плавно-нерегулярного интегрально-оптического трехмерного волновода.

2. 1 Концепция; адиабатических мод для плавно-нерегулярного интегральнооптического волновода.:.

2. 2 Вывод уравнений и выражений для вертикальных распределений направляемых

2. 3 Асимптотический метод исследования математической модели.

2. 4 Системы уравнений и граничные условия в нулевом приближении.

2. 5 Решения для вертикальных распределений направляемых мод в нулевом векторном приближении.

2. 6 Граничные условия в нулевом векторном приближении.:.

2. 7 Приближение метода регулярных волноводов сравнения.

2. 8 Вычисление полей направляемых мод плавно-нерегулярного волновода методом волноводов сравнения.

2. 9 Первое приближение для вертикального распределения электромагнитного поля направляемых мод.

Глава 3. Устойчивые методы решения задач, возникающих в матричных моделях интегрально-оптических волноводов.

3. 1 Решение дисперсионных соотношений регулярного трехслойного волновода в матричной модели в продольных и поперечных компонентах, сравнение с решением тригонометрических дисперсионных соотношений.

3. 2 Решение дисперсионных соотношений регулярного четырехслойного волновода. Дисперсионная зависимость при переходе от трехслойного волновода к четырехслойному.

3. 3 Устойчивый метод вычисления полей направляемых мод регулярных волноводов.

3. 4 Вычисление полей направляемых мод регулярных волноводов в комплексном представлении.

3. 5 Вычисление эффективного показателя преломления обобщенной линзы

Люнеберга.

3. 6 Решение дисперсионного уравнения ТОВЛ Люнеберга в нулевом приближении

3. 7 Синтез профиля толщины ТОВЛ Люнеберга методом волноводов сравнения.

Сравнение с результатами Саутвелла.

3. 8 Устойчивое вычисление полей направляемых мод плавно-нерегулярных волноводов методом волноводов сравнения.

3. 9 Вычисление вертикального распределения поля направляемых мод в нулевом приближении.

3. 10 Вычисление вертикального распределения поля направляемых мод в первом приближении.

3.11 Вычисление полного поля направляемых мод в нулевом и первом приближениях.

Выводы.

Основное содержание работы

Во введении приведены актуальность темы диссертационных исследований, цель работы, методы исследований, научная новизна и практическая значимость результатов, выносимые на защиту положения, обоснованность и достоверность полученных результатов, а также краткое содержание диссертации.

Приведен краткий аналитический обзор результатов по математическому моделированию регулярных и поперечно-нерегулярных волноводов. Обсуждаются результаты по продольно нерегулярным закрытым волноводам и по продольно нерегулярным открытым волноводам.

В первой главе диссертации после короткого обзора известных результатов и методов исследования плавно-нерегулярных в продольном направлении интегрально-оптических волноводов приводится обобщающий их метод адиабатических мод, а также формулируется задача исследования математической модели этого метода на примере (тонкопленочной обобщенной волноводной линзы) ТОВЛ Люнеберга. После рассмотрения асимптотического метода его исследования формулируется иерархия матричных моделей, более грубых, чем нулевое приближение асимптотического метода: метода волноводов сравнения и регулярных волноводов. Приведены полученные автором утверждения о предельных переходах между моделями иерархии.

Для полноты анализа моделей приведено последовательное й обоснованное изложение теории регулярных планарных диэлектрических многослойных волноводов в рамках матричной модели. Показано совпадение полученных результатов с результатами, приведенными в публикациях других авторов в случае совпадения геометрических и оптических параметров волноводов [1, 2, 3].

Проведена редукция уравнений Максвелла к двум независимым системам дифференциальных уравнений и граничных условий (одна для ТЕ-поляризации, другая для ТМ-поляризации), которая в свою очередь редуцируется к двум независимым однородным системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для амплитудных коэффициентов. Каждая однородная СЛАУ и «дисперсионное» условие ее разрешимости и составляют матричную модель для соответствующей поляризации.

Во второй половине первой главы показано, что каждое из приведенных в обширной литературе (см., например [1-4]) по регулярным планарным диэлектрическим многослойным волноводам «дисперсионное соотношение» совпадает с одним из вариантов «дисперсионных соотношений», полученных в матричной модели.

Приведенные здесь соотношения матричной модели позволяют вычислить амплитуды направляемых мод. Они позволяют также описать трансформацию направляемой моды методом регулярных волноводов сравнения при переходе из трехслойного волновода в четырехслойный и обратно.

Во второй главе диссертации вначале приводятся сведения об адиабатической модели плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода с четвертым волноводным слоем переменной толщины ¡г(у,г), необходимые для формулировки цели диссертации и исследования устойчивых методов и алгоритмов численного решения задач адиабатической модели.

Далее формулируются математические задачи исследования математической модели адиабатических мод и формулируются методы и алгоритмы устойчивого приближенного решения возникающих при этом задач. Перейдем непосредственно к описанию математической модели адиабатических мод в плавно-нерегулярном волноводе на примере ТОВЛ Люнеберга.

Поле направляемой моды, распространяющейся вдоль оси г в регулярном волноводе, имеет вид: х, у, z, 0 = Ё(х)ехр{/(т - ка/3 г)}, Н(х,у,г,0 = Н(х)ехр{|'{т - к0Р z)}.

Поле направляемой моды в плавно-нерегулярном (в горизонтальном направлении распространения моды) интегрально-оптическом волноводе в методе «адиабатических мод» ищется в виде: х,у,г,1)} = ехр{/[ю-р(у,г)]}

Н(х,у,1,Щ -Щу^)

0.1) где 0(y,z) = 1 dy э

Подстановка (1) в уравнения Максвелла приводит к паре уравнений второго порядка для вертикальных (вдоль оси х) распределений продольных компонент поля направляемой моды Ег (л; у,г),Н,(х;у,г), параметрически зависящих от горизонтальных координат, д2Е. дх2 д2Н дх2 y"z ду 1 л z J \ е.—

1Сй£

Zz Pz ду 1

JJ дН. дх

Я +■

ICOJ1

2 Э ( 1 ХгРг^Л —

0.2)

0.3) и к следующим дифференциальным выражениям через Е,(х\у^),Нг(х\у,£) для вертикальных распределении поперечных и вертикальных компонент поля: dzdy

12, с dtdx }2, z2Exd% jud2HT^ z х dzdx с dtdy

2г. Э H, £ d2E, ,ч + (0.6) dzdx с dtdy

Zz2E, дгЕ, и Э гН7 =-- + —-s. dzdy с dtdx

0.5) (0.7)

Для случаев, рассмотренных в диссертации, нерегулярность волновода удовлетворяет условию малости изменения коэффициента фазового замедления /? на горизонтальных расстояниях порядка длины волны излучения X:

1(^)1 шах——— 3 «I. Следовательно, можно применить асимптотический по малому параметру 5 метод решения. Получившиеся для (0.2)-(0.7) вклады нулевого и первого порядка малости по 8 являются моделями нулевого порядка для плавно-нерегулярного волновода и поправкой первого порядка к модели нулевого порядка.

В нулевом приближении для продольных компонент справедливы уравнения: + О, (0.8) ^ + (0.9) а для поперечных и вертикальных компонент дифференциальные выражения: 1 1

Ш^^ + к^/ЗвЕ: 1 с1х

0.10)

0.11)

0.12)

0.13)

Особо обсуждается вид тангенциальных граничных условий для электромагнитного поля направляемых мод с учетом негоризонтальности касательных плоскостей в точках границ раздела слоев. Именно негоризонтальность вносит существенный вклад уравнения для амплитуд общих решений уравнений (0.8)-(0.9) в слоях волновода. Этот вклад приводит к тому, что матричные уравнения граничных условий зависят от профиля толщины ТОВЛ Люнеберга: 1г(у,г),дИ/Эу, Э/г/Эг , и от фазы: Э^о/Эг . Следовательно, дисперсионные уравнения для направляемых мод перестают быть алгебраическими, как в случае регулярных волноводов, а становятся уравнениями в частных производных первого порядка. Вид выражений (0.10)-(0.13), зависящих как от Е, (х;у,г), так и от Н,(х',у,г), показывает, что даже в нулевом приближении ТЕ- и ТМ- поляризации остаются связанными, и их не удается описать независимыми моделями. С наибольшей очевидностью это следует из уравнений (0.2), (0.3), описывающих систему связанных осцилляторов, которая может быть решена в рамках метода связанных волн.

Во второй главе приводится сравнение нулевого приближения с более грубым приближением и показывается его совпадение с методом волноводов сравнения. Далее приводится метод вычисления полей направляемых мод, как в нулевом приближении, так и в приближении, эквивалентном методу волноводов сравнения.

В конце второй главы приводятся уравнения, и фундаментальные системы решений для продольных компонент полей направляемых мод в первом по порядку малости приближении. Выражения для четырех оставшихся компонент получаются из формул для вклада первого порядка малости асимптотического метода, приведенного в начале главы.

В начале третьей главы приведены полученные автором утверждения об устойчивой разрешимости неточных однородных СЛАУ на основе поздних результатов А.Н. Тихонова [5, 6].

Далее приведены алгоритмы численного решения уравнений для базовых характеристик направляемых мод TOB Л Люнеберга, полученные в диссертации, а также численные реализации алгоритмов и результаты численных экспериментов.

Для того чтобы получить базовые характеристики адиабатических мод в нулевом приближении необходимо решить несколько вспомогательных задач. Первая задача состоит в определении распределения (коэффициента фазового замедления) КФЗ внутри обобщенной линзы Люнеберга. Вторая задача - это трассировка лучей внутри ТОВЛ Люнеберга. Решив эти вспомогательные задачи, мы будем обладать всей необходимой вспомогательной информацией.

Распределение коэффициента фазового замедления ß(r) ТОВЛ Люнеберга равно ß вне радиуса R, а внутри него удовлетворяет интегральному уравнению: нелинейное уравнение решается методом деформированного многогранника Нелдера-Мида минимизации невязки интеграл при этом вычисляется с использованием формул Ньютона-Котеса 8-го порядка.

Вычисленное распределение КФЗ /3{г) задает закон эволюции двумерных лучей в плоскости волновода уОг :

В результате вычисления получены сеточные значения для семейства лучей у](гк) и их наклонов У}(гк). Вычисленные значения позволяют восстановить сеточное векторное поле . Данное приближенное векторное поле вместе с распределением /?(у,г) = /3((у2 + г2)^2) формирует вместе r)/ß = exp[aKp,F)], где p = rß(r)/ß и

Данное 2 со значениями п5, пг, п,, пс, с1 входные данные для вычисления выходных данных к(у,г), дк/ду (у, г), Эй/Эг(у,г) из дисперсионного уравнения.

Тангенциальные граничные условия образуют однородную систему линейных алгебраических уравнений для амплитудных коэффициентов {А ,5 ]

М(/3)(А,В)Т = 0 относительно двенадцатимерного вектора (А,В)Т, которая обладает нетривиальным решением в случае, если определитель матрицы системы равен нулю: с1е1 (М (/3)) = 0.

А Л

И сама матрица М(р), и ее определитель &еХ(М{/3)) зависят от вещественного параметра /?е [п^п,]. Дисперсионное уравнение с!е1(М)=0 имеет вид (Д Д, Д; к, дк/ду, дк/дг ;п,,п/,п1,пс,с1) = 0 нелинейного дифференциального уравнения в частных производных относительно к и алгебраического уравнения относительно векторного поля /3.

Приближенное решение данного уравнения предлагается искать в виде конечной комбинации экспоненциальных функций вида методом наименьших квадратов по 4ЛГ параметрам У,^,,^.}.^:

Значения Д(у,г) и приближенные вычисленные значения к(у, г),дк/ду,дк/дг, при которых разрешима система линейных алгебраических уравнений, подставляем в матрицу системы. Полученную конкретную однородную систему линейных алгебраических уравнений решаем методом Тихоновской регуляризации:

М (Д )т М (Д) + а1)(А, В)Т = М (Д )Т(А0,В0У, что эквивалентно минимизации Тихоновского функционала

М (Д)(А, В)т||2 + а\{А, В)т - (Д,, В0)т |2 > шш .

Вычисленные коэффициенты {Л^Ц.} вместе с /3(у,г) и вычисленным значением к(у,г) подставляем в формулы для компонент электромагнитного поля, что завершает этап вычисления вертикального распределения электромагнитного поля, приведенного в выражениях для нулевого приближения и в выражениях для первого приближения.

Вычисленные вертикальные распределения полей подставляются в выражения для полных полей адиабатических мод, которые вычисляются вдоль сеточных траекторий двумерных лучей. Вычисленные значения полей адиабатических мод позволяют сформировать профили постоянной фазы мод, а также амплитудно-фазовые распределения мод в окрестности фокуса, вычисленного в приближении скалярного поля.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Обзор результатов по математическому моделированию (теории) регулярных и нерегулярных волноводов

Задачи изучения и проектирования волноведущих структур в акустике и электромагнетизме изучались на протяжении многих лет, как специалистами по прикладной акустике и прикладному электромагнетизму, в том числе и прикладной оптике, так и специалистами по прикладной математике. В области полых волноводов с металлическими стенками задача распространения электромагнитных волн была полностью решена в серии работ А.Н.Тихонова и А.А.Самарского [610]. В это же время по теории регулярных волноводов были опубликованы с работы [11-13]. Математическое исследование закрытых и открытых волноводов электромагнитного излучения было продолжено в работах А.Г.Свешникова с соавторами [14-21], и в работах физиков [1, 22-24, 26]. По теории и применениям открытых планарных волноводов опубликован ряд монографий, содержащих большие разделы по теории регулярных вдоль оси распространения оптического излучения волноводов [2, 3, 4, 27-32].

Начало строгой математической теории волноведущих систем было положено в 1947-1948 годах классическими работами А.Н. Тихонова и A.A. Самарского, опубликованными в "Журнале технической физики" и в "Журнале экспериментальной и теоретической физики". В работе "О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ" было строго доказано, что любое электромагнитное поле в регулярном волноводе в области, свободной от внешних зарядов и токов, может быть представлено в виде суперпозиции поперечно-магнитных и поперечно-электрических волн. При решении задач о возбуждении открытых волноводов возникла необходимость адекватной формулировки условий на бесконечности, обеспечивающих однозначность решения. Эта задача решалась в работах А.Н. Тихонова, А.Г. Свешникова и др.

Наряду с теорией регулярных волноведущих систем в конце сороковых -начале пятидесятых годов появился ряд работ, посвященных развитию методов расчета влияния поперечных нерегулярностей в волноводе на распространяющуюся в нем основную волну. Расчет данного класса нерегулярных волноводов потребовал разработки специальных математических методов. Одним из весьма эффективных оказался предложенный в 1958 году профессором А.Г. Свешниковым неполный метод Галеркина.

Основой алгоритма построения приближенного решения задачи расчета поперечно нерегулярного волновода является переход от краевой задачи для уравнения в частных производных к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Причем в отличие от большинства работ в методе

A.Г. Свешникова переход осуществляется не к бесконечной, а к конечной системе уравнений. Существенным является также то, что специальный выбор проекционных соотношений метода Галеркина позволяет, в отличие от большинства известных методов, провести строгое математическое доказательство сходимости метода при условиях гораздо более общих, чем это удается сделать в случае сведения задачи к бесконечной системе.

Во второй половине прошлого века были заложены основы нерегулярных вдоль оси распространения оптического излучения волноводов. Эти работы можно разделить на следующие большие группы: волноводы с уединенными резкими нерегулярностями, волноводы со статистическими нерегулярностями и волноводы с плавными нерегулярностями. В последнем направлении наибольший вклад внесли работы Б.З. Каценеленбаума, обобщенные в работах [33-35] по плавно-нерегулярным закрытым волноводам и работы В.В. Шевченко по плавным переходам в открытых волноводах, опубликованные в работах [36, 37]. К ним примыкают работы [38-46].

Характерной особенностью волноводов с продольной нерегулярностью является то, что при прохождении волн через неоднородности происходит излучение в открытое пространство. Плавным переходом Б.З. Каценеленбаум и

B.В. Шевченко называют такой переход между продольно регулярными участками волновода с различными параметрами, который осуществляется путем непрерывного (без скачков) изменения этих параметров. Плавный переход в волоконном волноводе, представляет, таким образом, неоднородный вдоль оси участок волновода. Задачу описания трансформации электромагнитного поля в таких переходах Б.З. Каценеленбаум [34] решил с помощью построенного им метода волноводов сравнения. Плавный переход в планарном волноводе может представлять неоднородный вдоль горизонтальной плоскости участок волновода. В.В. Шевченко [36] ограничился в своей книге рассмотрением неоднородных вдоль оси участков волновода и в случае планарного волновода.

В книге [36] построен метод, позволяющий применить метод волноводов сравнения к классу открытых линий, свойства которых медленно меняются вдоль линии. Авторы работ [47-56] рассматривают частный случай открытых линий — многослойный тонкопленочный плавно нерегулярный интегрально-оптический волновод. Но плавные нерегулярности, рассмотренные ими, не ограничиваются частным случаем изменения «вдоль линии», рассмотренным авторами работ [34] и [36], а включают в себя произвольные плавные изменения вертикальных параметров многослойного интегрально-оптического волновода «вдоль горизонтальной плоскости».

Такое расширение класса нерегулярностей переводит задачу из класса обыкновенных дифференциальных уравнений в класс дифференциальных уравнений в частных производных. В частном случае изменения вертикальных параметров многослойного интегрально-оптического волновода «вдоль линии» результаты [36] являются так называемым «горизонтальным приближением» метода «адиабатических мод», изложенного в работах [47-56]. Таким образом, метод «адиабатических мод» обобщает метод Шевченко для класса тонкопленочных плавно нерегулярных многослойных интегрально-оптических волноводов.

Одним из достоинств разработанного метода оказывается отсутствие необходимости представлять искомое поле в виде интеграл и суммы полей волноводов сравнения. Оценки же, найденные Шевченко, оказались необходимыми для описания и обоснования метода и алгоритмов решения задачи описания трансформации электромагнитного поля при прохождении через нерегулярные участки интегрально-оптического волновода.

Заметим, что описанные приближения оказываются применимыми и приводят к удовлетворительным результатам вычислений для широкого класса плавно нерегулярных волноводов. Именно таким методом Саутвелл [56, 57] вычислил переменную толщину дополнительного волноводного слоя на несимметричном регулярном трехслойном волноводе, обеспечивающую в «горизонтальном приближении» фокусировку падающей ТЕ0 моды на заданном фокусном расстоянии от центра тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люнеберга [58].

В своих исследованиях авторы работ [47-55] использовали сочетание асимптотического метода коротковолновых асимптотик [59, 60] и модифицированного метода осреднения [61].

Обзор современного состояния исследований интегрально-оптических открытых волноводов.и полученных результатов.

Ранее в работах Каценеленбаума и др., Войтовича и др., Кинбера и др. и т.д. был разработан метод волноводов сравнения для описания распространения возмущенных волноводных мод в нерегулярных участках закрытого волновода. В данном методе разделение переменных производилось по поперечным волновым функциям невозмущенного волновода сравнения. Данный подход эквивалентен нулевому приближению метода адиабатических мод, огрубленному во всех пунктах его использования заменой тангенциальных граничных условий их горизонтальными проекциями. В дальнейшем мы будем для такого огрубления использовать название «матричная модель метода волноводов сравнения».

Разработанный В.В. Шевченко метод анализа распространения электромагнитных волн в плавно-нерегулярных открытых волноводах является обобщением метода волноводов сравнения и также эквивалентен матричной модели метода волноводов сравнения.

В настоящее время описание распространения возмущенных волноводных мод в нерегулярных участках трехмерного многослойного "интегрально-оптического волновода производится методами теории возмущения без предварительного разделения переменных [66, 95, 101, 108, 109, 111, 112, 136] (см. Н.П. Жук, Е.И. Голант и K.M. Голант, А. Снайдер и Дж. Лав, А.Б. Сотский и Л.И. Сотская, и т.п.), что приводит к необходимости анализировать сложные многократные интегралы, описывающие характеристики возмущенных волноводных мод.

Нами установлено, что в нулевом приближении описания волноводные моды, линейно поляризованные в регулярном участке волновода, при прохождении через нерегулярный участок волновода деформируются таким образом, что их исходная поляризация сохраняется. Напротив, в первом приближении наряду с возмущениями нулевого приближения появляется эффект деполяризации исходных мод, превращающий их в слабо (адиабатически) гибридные моды.

Предлагаемый нами подход учитывает векторный характер полей, т.е. позволяет вполне адекватно в отличие от традиционного скалярного рассмотрения описать реальные плавно-нерегулярные многослойные трехмерные волноведущие структуры. Важно отметить, что разрабатываемая нами теория и методы исследования применимы для анализа аналогичных структур из диэлектрических, магнитных и мета- материалов (в том числе состоящих из N слоев) в достаточно широком диапазоне электромагнитных длин волн, что является их несомненным преимуществом и отличает от ранее разработанных методов исследования подобных волноведущих структур [113-115].

Направляемые моды при распространении вдоль регулярного участка интегрально-оптического волновода являются независимыми, они не обмениваются энергией между собой и с окружающей волновод средой [1, 27]. На участке волновода с плавными нерегулярностями показателей преломления слоев или их толщин направляемая волноводная мода испытывает возмущение[155-161]. Эту слабо возмущенную моду можно рассматривать как «квазиволноводную» моду. Эта мода характеризуется тем, что в поперечном сечении волновода волна является стоячей, и количество узлов (нулей) напряженности электромагнитного поля остается неизменным при волноводном распространении моды. Квазиволноводные моды могут обмениваться энергией между собой и с окружающей средой [2, 4, 24, 26-29, 31, 32, 34, 36, 44, 48, 56, 57, 59, 62, 63]. Эта энергия составляет малую часть мощности, переносимой отдельными модами, что позволяет использовать для исследования плавно-нерегулярных волноводов приближенные методы (см., например, [4, 28, 32, 34, 36, 44, 56, 57, 59]).

Для успешного решения задачи эффективной передачи энергии через различные элементы сопряжения (линзы, разветвители, призмы, мультиплексоры) необходимо учесть векторный характер полей на всех этапах решения электродинамической задачи распространения плоской монохроматической световой волны в планарной многослойной интегральной оптической структуре. Эффективность сопряжения, как известно, сильно зависит от согласования между полями до и после элемента сопряжения [2, 4, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 36,48, 116, 117].

Как показывает анализ таких процессов [2, 4, 26-29, 31, 32, 34, 36, 44, 48, 56, 57, 59, 62-66] моды плавно-нерегулярного участка волновода являются слабо гибридными квази-ТЕ и квази-ТМ модами [2, 31, 32, 48, 66]. Удержание в граничных условиях и в решении квазиволновых уравнений слагаемых, пропорциональных градиенту диэлектрической проницаемости, позволяет учесть векторный характер распространения монохроматического электромагнитного поля вдоль плавно-нерегулярных участков многослойного многомодового интегрально-оптического волновода [4, 27, 28, 31, 32, 64-66, 140-143]. Заметим, что векторное рассеяние волноводной моды в статистически нерегулярном волноводе рассмотрено достаточно подробно в работах [4, 28, 31, 32, 66, 118-122, 136], в том числе и при наличии шума [63].

Отметим, что развитие векторной трехмерной (ЗБ) теории волноводного распространения и рассеяния света является одной из актуальных задач современной интегральной оптики и волноводной оптоэлектроники [2, 4, 24, 28, 29, 31, 32, 48, 62-66, 123-135]. Действительно, применение скалярного двухмерного (2Б) волнового уравнения [1,4, 27, 34, 44, 56, 57] при переходе в субмикронный и тем более в нанометровый диапазон линейных размеров ограничивает возможности для решения задач анализа и синтеза элементов интегральных оптических устройств [48].

Интересные результаты получены в работах [67-70]. Они примыкают к методу адиабатических мод, но используют безкоординатный подход к записи основных соотношений.

Выводы

Если бы после прохождения участка нерегулярности ТОВЛ Люнеберга волновые фронты стали представлять из себя сегменты концентрических окружностей, сходящихся в точку фокуса, мы моли бы вычислить поле направляемой моды в фокусе, просуммировав все вклады поля, пришедшие вдоль всех траекторий из семейства лучей, которые прошли через область ТОВЛ Люнеберга на своем пути.

В действительности такого фокусирования не произошло, так как модель обобщенной линзы Люнеберга, использованная для вычисления распределения эффективного показателя преломления, была построена Люнебергом и Морганом в рамках модели геометрической оптики, т.е. скалярного рассмотрения распространения света.

Об этом же свидетельствует и различие в вычисленных значениях толщины волноводного слоя ТОВЛ Люнеберга в приближении метода волноводов сравнения и в нулевом приближении модели адиабатических мод, учитывающем векторный характер электромагнитного поля направляемой моды ТОВЛ Люнеберга в о гличие от более грубых моделей скалярного описания.

Если в дискретный аналог выражения (3.15) подставить вертикальное распределение в более грубом приближении метода волноводов сравнения, то фокусировка направляемой моды после прохождения через ТОВЛ Люнеберга будет наблюдаться. Это еще раз говорит о необходимости проектировать плавно-нерегулярные интегрально-оптические тонкопленочные волноводные элементы и устройства на основе векторных моделей электромагнитного поля направляемых мод. Модель адиабатических мод в ходе вычислительного эксперимента продемонстрировала свой векторных характер и свою состоятельность для адекватного проектирования указанных элементов и устройств.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Проведено теоретическое и численное исследование модели адиабатических мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода на примере тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люнеберга.

2. Модифицирован устойчивый метод и реализован (на основе вычисленных дисперсионных зависимостей) алгоритм вычисления вертикального распределения электромагнитного поля направляемых мод регулярных многослойных волноводов, в том числе с переменным числом слоев.

3. Разработан устойчивый метод и реализован алгоритм решения нелинейного уравнения в частных производных первого порядка (дисперсионного уравнения) для профиля толщины плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода в нулевом приближении модели адиабатических мод.

4. Модифицирован устойчивый метод и реализован алгоритм вычисления вертикального распределения электромагнитного поля направляемых мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода на примере ТОВЛ Люнеберга в нулевом приближении модели адиабатических мод.

1. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Свойства плоских несимметричных диэлектрических волноводов на подложке из диэлектрика // Изв. Вузов. Радиоэлектроника. - 1967. - Т. 10. - № 2. - С. 134-141.

2. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984.

3. Тамир Т. Волноводная оптоэлектроника. М.: Мир, 1991.

4. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь, 1987.

5. Тихонов А.Н. О нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 254. - № 3. - С. 549554.

6. Тихонов А.Н. О приближенных системах линейных алгебраических уравнений // ЖВМиМФ. 1980. - Т. 20. - № 6. - С. 1373-1383.

7. Самарский A.A., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. I // ЖТФ. -1947-Т. 17.-Вып. 11.-С. 1283-1296.

8. Самарский A.A., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. II // ЖТФ.1947.-Т. 17.-Вып. 12.-С. 1431-1440.

9. Самарский A.A., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. III // ЖТФ.1948. Т. 18. - Вып. 7. - С. 971-983.

10. Самарский A.A., Тихонов А.Н. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ // ЖТФ. 1948. - Т. 18. - Вып. 7. - С. 959-970.

11. Кисунько Г.В. К теории возбуждения радиоволноводов // ЖТФ. 1946. - Т. 16. - Вып. 5. - С. 565-575.

12. Краснушкин П.Е. О волноводных свойствах неоднородных сред // ЖТФ. -1948. Т. 18. - Вып. 4. - С. 431-446.

13. Краснушкин П.Е. Метод нормальных волн в применении к проблеме дальних радиосвязей. М.: Изд. МГУ, 1947, 52 с.

14. Свешников А.Г Принцип излучения // ДАН СССР. 1950. - Т. 73. - № 5. -С. 917-920.

15. Свешников А.Г.Принцип предельного поглощения для волновода // ДАН СССР. 1951.-Т. 110.-№2.-С. 197.

16. Свешников А.Г. Приближенный метод расчета слабо нерегулярного волновода // ДАН СССР. 1956. - Т. 80. - № 3. - С. 345-347.

17. Свешников А.Г. О распространении радиоволн в слабоизогнутых волноводах // Радиотехника и электроника. 1956. - Т. 1. - № 9. - С. 1222.

18. Свешников А.Г. Волны в изогнутых трубах // Радиотехника и электроника. -1958.-т. 3. № 5. - С. 641.

19. Свешников А.Г. Нерегулярные волноводы // Изв. Вузов. Радиофизика. 1959. -Т. 2.-№5.-С. 720.

20. Свешников А.Г. К обоснованию методов расчета нерегулярных волноводов // ЖВМиМФ. 1963. - Т. 3. - № 1. - С. 170-179.

21. Свешников А.Г. К обоснованию методов расчета распространения электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах // ЖВМиМФ. 1963. -Т. 3.-№2.-С. 314-326.

22. Краснушкин П.Е. О представлении разложений по нормальным волнам контурными интегралами // ДАН СССР. 1969. - Т. 185. - № 5. - С. 1014-1017.

23. Шатров А.Д. Дискретные представления поля в задаче возбуждения диэлектрической пластины // Радиотехника и электроника. 1970. - Т. 15. - № 9.-С. 1806-1815.

24. Шатров А.Д. О возможных разложениях полей в открытых волноводах и резонаторах // Радиотехника и электроника. 1972. - Т. 17. - № 6. - С. 11531160.

25. Летов Д.М., Половинкин А.Н. Планарный призменный разделитель ТЕ ТМ мод в оптических волноводах // Письма в ЖТФ. 1977. - Т. 3. - С. 295.

26. Золотов Е.М., Киселев В.А., Сычугов В.А. Оптические явления в тонкопленочных волноводах // УФН. 1974. - Т. 112. - Вып. 2. - С. 231-273.

27. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир, 1974.

28. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир, 1980.

29. Хансперджер Р. Интегральная оптика. М.: Мир, 1985.

30. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1978.

31. Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. М.: Наука, 1979.

32. Содха М.С., Гхатак А.К. Неоднородные оптические волноводы. М.: Связь, 1980.

33. Каценеленбаум Б.З. Нерегулярные волноводы с медленно меняющимися параметрами // ДАН СССР. 1955. - Т. 102. - № 4. - С. 711-714.

34. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно изменяющимися параметрами. М.: Изд. АН СССР, 1961.

35. Каценеленбаум Б.З. Нерегулярные линии передачи (I Всесоюзн. Школа-семинар по дифракции и распространению волн). Л.: Изд. АН СССР, 1972.

36. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах (Введение в теорию). М.: Наука, 1969.

37. Шевченко В.В. О спектральном разложении по собственным и присоединенным функциям одной несамосопряженной задачи типа Штурма-Лиувилля на всей оси // Диф. Уравнения. 1979. - Т. 15. - С. 2004-2020.

38. Вайнштейн Л.А. Метод приближенного разделения переменных и его применения к граничным задачам электродинамики и акустики //ЖТФ. 1957. -Т. 27.-Вып. 9.-С. 2109.

39. Покровский В.Л., Улинич Ф.Р., Савиных С.К. Локальное отражение в волноводах переменного сечения // ДАН СССР. 1958. - Т. 120. - № 3. - С. 504.

40. Покровский В.Л., Улинич Ф.Р., Савиных С.К. Нелокальное отражение в волноводах переменного сечения // ДАН СССР. 1959. - Т. 124. - № 2. - С. 304.

41. Покровский В. JI., Улинич Ф.Р., Савиных С.К. К теории волноводов переменного сечения // Радиотехника и электроника. 1959. - Т. 4. - № 2. - С. 161-171.

42. Кинбер Б.Е. К теории плоских рупоров с закругленными кромками // Радиотехника и электроника. 1963. - Т. 8. - № 12. - С. 2078-2082.

43. Кинбер Б.Е., Мальцев Н.Е., Токатлы А.И. Асимптотическая теория нерегулярных волноводов // Радиотехника и электроника. 1970. - Т. 15. -№ 12.-С. 2512-2521.

44. Кинбер Б.Е., Кравцов Ю.А. Лучевая теория преобразования волн в многомодовых нерегулярных волноводах // Радиотехника и электроника. -1977. Т. 22. - С. 2470-2483.

45. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. О границах применимости метода геометрической оптики // В сб. Современные проблемы распространения и рассеяния волн. -М.: Изд. ИРЭ АН СССР, 1979.

46. Боровиков В.А., Попов B.A. Распространение волн в плавнонерегулярных многомодовых волноводах // В сб. «Прямые и обратные задачи теории дифракции». -М.: Изд. ИРЭ АН СССР, 1979, с. 167-266.

47. Севастьянов Л.А. Математическая модель экранируемого напыления. Дисс. . докт. физ.-мат. наук. М.: РУДН, 1999.

48. Севастьянов Л.А., Егоров A.A. Теоретический анализ волноводного распространения электромагнитных волн в диэлектрических плавно-нерегулярных интегральных структурах // Оптика и спектроскопия. 2008. -Т. 105. - № 4. - С. 650-658.

49. Егоров A.A., Севастьянов Л.А., Севастьянов А.Л. Исследование электродинамических свойств планарной тонкопленочной линзы Люнеберга // Журнал радиоэлектроники. 2008. - № 6. - С. 1-20

50. Егоров A.A., Севастьянов Л. А. Структура мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического четырехслойного трехмерного волновода // Квантовая Электроника. 2009. - Т. 39. - № 6. - С. 566-574.

51. Севастьянов А.Л. Численная реализация модели интегрально-оптической линзы Люнеберга в нулевом приближении (подано в труды ММСР 2009).

52. Егоров A.A., Айрян Э.А., Севастьянов А.Л., Севастьянов Л.А. Структура мод плавно-нерегулярного трехмерного интегрально-оптического четырехслойного волновода// Сообщение ОИЯИ PI 1-2009-121.

53. Айрян Э.А., Егоров A.A., Севастьянов А.Л., Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Адиабатические моды плавно-нерегулярного оптического волновода: нулевое приближение векторной теории. Препринт ОИЯИ PI 1-2009-120, Дубна, 2009, 19 с.

54. Егоров A.A., Севастьянов А.Л., Айрян Э.А., Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Адиабатические моды плавно-нерегулярного оптического волновода: нулевоеприближение векторной теории (подано в журнал «Математическое моделирование»).

55. Southwell W.H. Inhomogeneous optical waveguide lens analysis // JOSA. 1977. -V. 67.-pp. 1004-1009.

56. Southwell W.H. Index profiles for generalized Luneburg lenses and their use in planar optical waveguides // JOSA. 1977. - V. 67. - No. 8. - pp. 1010-1014.

57. Morgan S.P. General solution of the Luneburg lens problem//J. Appl. Phys. 1958. -V. 29,-№9.-p. 1358-1368.

58. Бабич B.M., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

59. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения (М.: Мир, 1989).

60. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах (М.: Наука, 1984).

61. Egorov A.A. Correct investigation of the statistic irregularities of integrated optical waveguides with the use of the waveguide light scattering // Laser Physics Letters. -2004. V. 1. - No. 8. - p. 421-428.

62. Егоров А.А. Векторная теория рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума // Квантовая электроника. 2004. - Т. 34. - № 8. - С. 744-754.

63. Маненков А.Б. Условия ортогональности вытекающих мод // Изв. вузов. Радиофизика. 2005. - Т. 48. - № 5. - С. 388-401.

64. Голант Е.И., Голант К.М. Новый метод расчета спектра и радиационных потерь вытекающих мод многослойных оптических волноводов // ЖТФ. 2006. - Т. 76.-Вып. 8.-С. 99-106.

65. Жук Н.П. Собственные волны среднего поля в статистически нерегулярном планарном волноводе // ЖТФ. 1986. Т. 56, вып. 5. - С.825-830.

66. Горелышев II.В., Нейштадт А.И. О смене режима распространения лучей в плавно нерегулярном волноводе // Мат. Заметки. 2008. - Т. 84. - № 3. - С. 348-364.

67. Нейштадт А.И. Распространение лучей в плавно нерегулярных волноводах и теория возмущений гамильтоновых систем // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. -Т. 25. -№ 2. -С. 218-226.

68. Горелышев И.В., Нейштадт А.И. Об адиабатической теории возмущений для систем с упругими отражениями // Прикладная математика и механика. 2006. -Т. 70.-№ 1.-С. 6-19.

69. Горелышев И.В., Нейштадт А.И. Об изменении адиабатического инварианта при смене режима движения в системах с упругими отражениями // Nonlinearity. 2008.- Vol. 21. - P. 661-676.

70. Горелик В. А. Матричная коррекция задачи линейного программирования с несовместной системой ограничений // Журн. вычисл. Математики и мат. физики. -2001. -Т. 41. -№> 11. -С. 1697-1705.

71. Горелик В.А., Ерохин В.И., Печенкин Р.В. Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений с блочнымиматрицами коэффициентов // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2005. -Сер. 2. - Т. 12. - № 2. - С. 3-23.

72. Горелик В.А., Ерохин В.И., Печенкин Р.В. Минимаксная матричная коррекция несовместимых систем линейных алгебраических уравнений с блочными матрицами коэффициентов // Известия РАН. Теория и системы управления. -2006.-№5.-С. 52-62.

73. Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // ДАН СССР. 1965. - Т. 163. - № 3. - С. 591-594.

74. Ильинский A.C., Кравцов B.B., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

75. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Иностранная литература, 1962,442 с.

76. Севастьянов Л.А. Полная система мод открытого планарного волновода. // Тезисы докладов VI Международной научно-технической конференции "Лазеры в науке, технике, медицине". 1995. Суздаль. М.: Изд. ИРЭ РАН, 1995, С. 72-76.

77. Семенов H.A. Техническая электродинамика. М., Связь, 1973

78. Тихонов А.Н. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений // ЖВМ иМФ. 1965. - Т. 5. - № 4. -С. 718-722.

79. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // ЖВМиМФ. 1968. - Т. 8. - № 2. - С. 295-309.

80. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Некоторое обобщение принципа невязки для случая оператора, заданного с ошибкой // ДАН СССР. 1972. -Т. 203. - № 6. - С. 1238-1239.

81. Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач // Мат. Заметки. 1970. - Т. 7. - № 3. - С. 265-272.

82. Тихонов А. Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

83. Буша Я. Об одном методе регуляризации систем линейных алгебраических уравнений // ДАН СССР. 1987. - Т. 295. - № 1. - С. 11-14.

84. Буша Я. Об одном методе регуляризации систем линейных алгебраических уравнений // Applikace Matematiky. 1990. - V. 35. - № 2. - P. 129-139.

85. Жданов А.И. Об одном численно устойчивом алгоритме решения систем линейных алгебраических уравнений неполного ранга // Вестн. Сам. Гос. Техн. Ун-та. Сер. Физ.-мат. Науки. 2008. - № 1. - С. 149-153.

86. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии (3-е изд.). M.-JL: ГИТТЛ, 1950.

87. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970, 279 с.

88. Севастьянов Л.А., Ловецкий К.П., Ланеев Е.Б., Бикеев О.Н. Алгоритмы вычислительного эксперимента для проектирования оптических наноструктур. М.: ИПК РУДН, 2008.

89. Коняев Ю.А. Асимптотические и аналитические методы решения некоторых классов прикладных модельных задач. М.: РУДН, 2005.

90. Сотская Л.И., Сотский А.Б. Метод интегрального уравнения в теории слабонаправляющих неоднородных оптических волноводов // ЖТФ. 2003. -Т.-72.-В. 12.-С. 1-8.

91. Санников Д.Г., Семенцов Д.И., Шутый A.M., Казакевич A.B. Лучевая модель волноводных режимов в многослойном градиентном волноводе // Письма в ЖТФ. 1999. - Т. 25. - В. 24. - С. 18-23.

92. Шутый A.M., Семенцов Д.И., Казакевич A.B., Санников Д.Г. Волноводные режимы градиентного планарного волновода с покровным слоем // ЖТФ. -1999. Т. 69. - В. 11. - С. 74-79.

93. Санников Д.Г., Семенцов Д.И. Режимы отсечки в планарных волноводах с усилением (поглощением) // Письма в ЖТФ. 2002. - Т. 28. - В. 20. - С. 42-48.

94. Маненков А.Б. Условия ортогональности для вытекающих мод // Изв. Вузов. Радиофизика. 2005. - Т. 48. - № 5. - С. 388-401.

95. Рожнев А.Г. Устойчивый метод расчета слоистых диэлектрических и металлодиэлектрических структур с круглым поперечным сечением // Письма в ЖТФ. 2009. - Т. 35. - В. 6. - С. 63-71.

96. Колосовский Е.А., Царев A.B. Применение теории связанных волн для анализа наклонных отражателей в оптических волноводах // Квантовая электроника 2008. - Т. 38. - № 9. - С. 877-883.

97. Векшин М.М., Никитин В.А., Яковенко H.A. Поляризационные свойства четырехслойного диэлектрического волновода // Письма в ЖТФ. 1998. -Т. 24. - № 6. - С. 35-39.

98. Пузынин И.В. и др. О методах вычислительной физики для исследования моделей сложных физических процессов // Физика ЭЧАЯ. -2007. Т. 38. -С. 144-232.

99. Пузынин И.В. и др. Обобщенный непрерывный аналог метода ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей // Физика ЭЧАЯ. 1999. - V. 30 - № 1. - р. 87-110.

100. Жанлав Т., Пузынин И.В. О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона // ЖВМиМФ. 1992. - Т. 32. - № 6. - С. 846.

101. Жидков Е.П., Макаренко Г.И., Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах физики // Физика ЭЧАЯ. 1973. - Т. 4. - № 1. -С. 127-166.

102. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для ученых и инженеров. -М.: Наука, 1974.

103. Luneburg R.K. Mathematical theory of optics. University of California Press, 1966,448 p.

104. Сотский А.Б., Сотская JI.H. Метод интегрального уравнения в теории микроструктурных оптических волокон // ЖТФ. 2004. — Т. 74. - В. 2. - С. 3240.

105. Романенко А.А., Сотский А.Б. Решение дисперсионных уравнений для планарных волноводов в случае комплексных корней // ЖТФ. 1998. - Т. 68. -В. 4. - С. 88-95.

106. Калиничев В.И., Калошин В.А., Скородумова Е.А. Исследование дисперсионных характеристик однополосковой линии на однослойной диэлектрической подложке // Журнал радиоэлектроники. 2009. - № 1. - С. 17.

107. Семенцов Д.И., Шутый A.M., Санников Д.Г. Волноводные свойства четырехслойной резонансной планарной структуры // Письма в ЖТФ. 1999. -Т. 25.-В. 21.-С. 8-14.

108. Голант Е.И. Новый подход к расчету вытекающих мод многослойных волноводных структур, основанный на точном методе конечных разностей // Письма в ЖТФ. 2005. - Т. 31. - В. 24. - С. 81-87.

109. Shevchenko V.V. Quasi-waveguide (leaky) waves in nonuniform stratified waveguides // Izvestiya VUZ. Radiofizika. 1969. - V. 12. - No. 9. - p. 1389-1392.

110. Nikolaev N., Shevchenko V.V. Inverse method for the reconstruction of refractive index profile and power management in gradient index optical waveguides // Opt Quant. Electron. 2007. - V. 39. - p. 891-902.

111. Шевченко B.B. Прямые и обратные волны: три определения, их взаимосвязь и условия применимости И УФН. 2007. - Т. 177. - № 3. - С. 301-306.

112. Векшин М.М., Никитин А.В., Никитин В.А., Яковенко Н.А. Разработка и исследование многоканального микролинзового интегрально-оптического ответвителя излучения // Автометрия. 2009. - Т. 45. - № 1. - С. 102-108.

113. Аникин В.И., Дерюгин Л.Н., Летов Д.А., Половинкин А.Н., Сотин В.Е. Экспериментальные исследования планарных оптических элементов // ЖТФ. -1978. Т. 48. - № 5. - С. 1005-1009.

114. Egorov А.А. Theory of laser radiation scattering in integrated optical waveguide with 3D-irregularities in presence of noise: vector consideration // Laser Physics Letters. 2004. - V. 1. - № 12. - p. 579-585.

115. Егоров А.А. Теория волноводного рассеяния света в интегрально-оптическом волноводе при наличии шума // Изв. Вузов. Радиофизика. 2005. -Т. 48.-№ 1.С. 63-75.

116. Egorov A.A. Use of waveguide light scattering for precision measurements of the statistic parameters of irregularities of integrated optical waveguide materials // Optical Engineering. 2005. - V. 44. - № 1. - p. 014601-1-014601-10.

117. Egorov A.A. 3D Waveguide light scattering. Rigorous and approximate analysis // ICO Topical Meeting on Optoinformatics/Information Photonics 2006. September 47 2006. St. Petersburg. Russia. St. Petersburg: ITMO. p. 371-372.

118. Егоров А.А. Обратная задача рассеяния монохроматического света в статистически нерегулярном волноводе: теория и численное моделирование // Опт. и Спектр. 2007. - Т. 103. - № 4. - С. 638-645.

119. Paulus М., Martin Oliver J.F. A fully vectorial technique for scattering and propagation in three-dimensional stratified photonic structures // Optical and QE. -2001.-V. 33.-P. 315-325.

120. Noro H., Nakayama T. Unusual molecular-dynamical method for vector-wave analysis of optical waveguides // J. Opt. Soc. Am. Ser. A. 1997. -V. 14. - № 7. -P. 1451-1459.

121. Barwicz Т., Haus A.H. Three-dimensional analysis of scattering losses due to sidewall roughness in microphotonic waveguides // J. of Lightwave Technology. -2005. V. 23. - № 9. - P. 2719-2732.

122. Сотский А.Б., Сотская Л.И. Круговой фурье-анализ мод оптических волноводов при критических и закритических условиях // ЖТФ. 2008. - Т. 78. - В. 1,-С. 90-97.

123. Xu Y., Lee R.K., Yariv A. Adiabatic coupling between conventional dielectric waveguides and waveguides with discrete translational symmetry // Optics Letters. -2000. V. 25. - № 10. - P. 755-757.

124. Hochberg M., Baehr-Jones Т., Walker C., Scherer A. Integrated plasmon and dielectric waveguides // Optics Express. 2004. - V. 12. - № 22. - P. 5481-5486.

125. Loncar M., Vuckovic J., Scherer A. Methods for controlling positions of guided modes of photonic-crystal waveguides // J. Opt. Soc. Am. B. 2001. - V. 18. - № 9. -P. 1362-1368.

126. Alexandrova S., Maslyanitsyn I.A., Pamukchieva V., Shigorin V.D. Thickness homogeneity of GexSb40-xS60 chalcogenide thin films // Journal of Optoelectronics and Advanced Materials. 2007. - V. 9. - № 2. - p. 330.

127. Alexandrova S., Maslyanitsyn I.A., Shigorin V.D. Second harmonic generation in a-Si:H thin films: thickness dependence // Physics of Wave Phenomena. 2008. -V. 16.-№2.-p. 103.

128. Боголюбов A.H., Минаев Д.В., Свешников А.Г. К расчету открытого согласующегося волноводного перехода с использованием эффективных нелокальных граничных условий // ЖВМиМФ. 2002. - Т. 42. - № 4. - С. 514521.

129. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Математическое проектирование трехмерных волноводных переходов // Журнал радиоэлектроники. 2003. - № 12.-С. 1-9.

130. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. Синтез трехмерного волноводного перехода // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. - № 2. - С. 3-5.

131. Жук Н.П., Третьяков. Эквивалентные параметры оптического волновода со случайными объемными возмущениями // Радиотехника и электроника. 1986. - В. 2. - С. 264-270.

132. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир, 1980, 277 с.

133. Moreau J-P. http://pagesperso-oxange.fr/jean-pierre.moreau/

134. Lovetsky К.P., Sevastianov L.A., Tretiakov N.P. An Exact Penalty Function Method for Solving the Full Eigenvalue and Eigenvector Problem // J. Comput. Methods Sci. Eng. 2002. - V. 2. - № 1-2. - p. 189-194.

135. Егоров А.А. Векторная теория рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума// Квантовая электроника. 2004. - Т. 34. - № 8. - С. 744-754.

136. Egorov A.A. Vector theory of the waveguide scattering of laser radiation in the presence of noise (method of modes and method of Green's function) // Laser Physics. 2004. - V. 14. - № 8. - P. 1072-1080.

137. Egorov A.A. Inverse problem of laser light scattering in an integrated optical waveguide: 2D solution with accurate input data // Laser Physics. 2004. - V. 14. -№ 10.-P. 1296-1309.

138. Голубятников А.Б., Каценеленбаум Б.З. Линза Люнеберга из кубиков. Геометрооптический расчет // Письма в ЖТФ. 1998. - Т. 24. - В. 15. - С. 6972.

139. Горобец А.П., Половинкин А.Н., Равин А.Р. Дифракция собственных волн планарных оптических волноводов на плавных цилиндрических неоднородностях // МКО. 2005. - Ч. 2. - С. 667 - 671.

140. Венецкий А.С., Калошин В.А. Восстановление коэффициента преломления среды с центральной симметрией по фазовому распределению прошедшей волны на основе слоистой модели // Журнал радиоэлектроники. 2008. - № 5. -С. 12.

141. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 1973 - Т. 11. - С. 129-178.

142. Маслов В.П. Существование решения некорректной задачи эквивалентно сходимости регуляризационного процесса // УМН. 1968 - Т. 23. -№ 3(141). С. 183-184.

143. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сб. 1963 -Т. 61. - № 2(103). - С. 211-223.

144. Танана В.П. О сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений в теории нелинейных задач // Изв. вузов. Матем. -1998. -№ 10.-С. 66-70.

145. Леонов A.C. О некоторых алгоритмах решения некорректных экстремальных задач// Матем. сб. 1986. - Т. 129. -№ (171):2. - С. 218-231.

146. Страхов В.Н. Метод нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными векторами правых частей // Вычислительные технологии. 2007.- Т. 12, № 6. -С. 109-123.

147. Страхов В.Н., Страхов A.B. Методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданными векторами правых частей // Выч. Методы и программирование.2001.-Т. 2.-С. 34-55.

148. Севастьянов Л.А., Кокотчикова М.Г., Кулябов Д.С. Обработка данных методом преобразования значений производных функций на сетке в коэффициенты Фурье // Вестник РУДН, сер. «Математика, информатика, физика». 2009. - № 1. - С. 62-70.

149. Кузнецова Т.И., Лебедев B.C. Структура световых волн в волноводе, сужающемся до субволновых поперечных размеров // Квантовая электроника2002. Т. 32. - № 8. - С. 727-737.

150. Кузнецова Т.И., Лебедев B.C. Концентрация световой энергии в конусе с металлическим покрытием // Квантовая электроника 2003. - Т. 33. - № 10. -С. 931-937.

151. Кузнецова Т.И., Лебедев B.C. Пространственное распределение световых полей в коническом кремниевом волноводе // Квантовая электроника 2004. -Т. 34.-№4.-С. 361-370.

152. Gomez-Reino С., Perez M.V., Bao С., Flores-Arias М.Т. Design of GRIN optical components for coupling and interconnects // Laser&Photon. Rev. 2008. - V. 2. -№ 3. - p. 203-215.

153. Gomez Tornero J.L., Alvarez Melcon A. Nonorthogonality Relations Between Complex Hybrid Modes: An Application for the Leaky-Wave Analysis of Laterally Shielded Top-Open Planar Transmission Lines // TMTT. 2004. - 823526.

154. Венецкий A.C., Калошин В.А. Синтез неоднородной диэлектрической линзы с осевой симметрией // Письма в ЖТФ. 2006. - Т. 32. - В. 7. - С.74-79.

155. Безух Е.А., Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Сойфер В.А. и др. Расчет дифракционных структур для фокусировки поверхностных электромагнитных волн // Компьютерная оптика. 2009. - Т. 33. - № 2. - С. 185-192.

156. Шутый A.M., Семенцов Д.И. Преобразование оптических мод в поглощающем магнитооптическом волноводе // ЖТФ. 1998. Т. 68. - В. 6. -С. 9-104.

157. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980.