автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теория и математическое моделирование рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума

На правах рукописи

Егоров Александр Алексеевич

ТЕОРИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

РАССЕЯНИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В НЕРЕГУЛЯРНОМ ИНТЕГРАЛЬНО-ОПТИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ ПРИ НАЛИЧИИ ШУМА

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов Министерства образования и науки Российской Федерации

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Лисов АЛ. доктор физико-математических наук, профессор Севастьянов А.А, доктор физико-математических наук, профессор Фокин А.Г.

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт радиоэлектроники и лазерной техники МГТУ им. Н.Э. Баумана

Диссертационного совета Д212.110.08 при Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского (МАТИ) по адресу: Россия 117342, г. Москва, ул. Оршанская, д. 3, ауд.

шл

р.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке MATH

Защита диссертации

Автореферат разослан «С/С»

№

2005 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д212.110.08 кандидат технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы диссертации

Интенсивное развитие интегральной оптики и волноводной оптоэлектронихи за последние 30 лет существенно продвинуло исследования рассеяния светового излучения в нерегулярных интегрально-оптических волноводах. Число различных ^кшяг, ¿журнальных и других публикаций, посвященных данной проблеме, достигло нескольких сотен. Большой вклад в эти исследования внесен работами Каценеленбаума Б.З., Шевченко В.В., Маркузе Д., Дерюгина Л.Н., Прохорова A.M., Гончаренко A.M., Вайнштенна Л-А., Нефедова Е.И., Киселева В.А., Аникина В.И., Жука Н.П., Сотина В.Е., Черемискина И.В., Редько В.П., Третьякова O.A., Ярива А., Котельника Г., Унтера Х.Г., Содхи М.С., Гхатака А.К., Спайдера А., Лава Дж., Холла Д., М. Имая, Суемацу И., Фуруи К., Уолтера Д.Дж., Хухтона Дж., Туана Х.С., Паулуса М., Мартина Оливера Дж.Ф. и ряда других как отечественных, так и зарубежных исследователей. Важнейшие результаты исследований по интегральной оптике были получены в 70-х — 90-х годах прошлого века на кафедре радиофизики Университета дружбы народов, в Физическом институте АН СССР, в Институте радиотехники и электроники АН СССР, в Могилевском отделении Института физики АН БССР и в некоторых других инсппутах и организациях.

Совершенствование и активное развитие теоретических и компьютерных методов исследования и быстрый технологический прогресс стимулировали интерес к разработке векторной теории распространения, а также рассеяния электромагнитного излучения в трехмерных нерегулярных волноводах: интегрально-оптических; фотонных (на основе фотонных сред); металлодиэлектрических и других. Решение этой задачи имеет первостепенное значение для развития нанотехнологий в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике. Трехмерный анализ рассеяния в отличие от двухмерного позволяет точнее рассчитать такой важный параметр как затухание направляемой моды. Кроме того, трехмерное решение электродинамической задачи позволяет намного точнее учесть влияние нерегулярностей на характеристики оптических интегральных схем и предельные характеристики планарньгх лазеров. Учет векторного характера полей, например в ближней зоне, позволяет также рассчитывать трехмерные диаграммы рассеяния в местах расположения субволновых топологических элементов интегрально-оптических структур, на их краях, на элементах связи и т.д. В связи с вышесказанным векторный анализ рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярносгях оптического волновода является

актуальной задачей, имеющей как фундаментальное, так и прикладное знамение.

Важно отметить, что в большинстве публикаций по полноводному рассеянию лазерного излучения практически отсутствует постановка обратной задачи рассеяния и обсуждение связанной с ней проблемы корректности, особенно при наличии шума и изменении радиуса корреляции статистических нерегулярностей в широком диапазоне значений, включая длину волны падающего излучения. Более того, обратная задача волноводного рассеяния, как в отсутствие, так и при наличии шума до сих пор не была решена. Поэтому ее решение — это актуальная задача теории волноводного рассеяния.

Активное развитие нанотехнологий в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике в последние годы требует также разработки высокоточных оптических методов исследования и контроля объектов с трехмерной субмикронной топологией. С этой точки зрения метод волноводного рассеяния света, основанный на теории корректного решения обратной задачи волноводного рассеяния, по нашему мнению, является наиболее адекватным методом метрологического контроля в интыральной оптике и волноводной оптоэлектронике. Важным преимуществом данного метода является использование явления волноводного рассеяния, которое позволяет повысить чувствительность измерений примерно в 100-1000 по сравнению с методами однократного рассеяния света, благодаря многократному синфазному рассеянию лазерного излучения на исследуемом статистическом ансамбле нерегулярностей. Волноводный метол позволяет получить статистическую информацию о шероховатости подложки (или неоднородности волноводного слоя) оптической интегральной схемы за одно измерение с достаточно большой площади поверхности (или объема волноводного слоя). Преимуществом метода является' также возможность исследования нерегулярностей волновода в широком диапазоне изменения их латеральных размеров, включая и размер порядка длины волны зондирующего излучения, как и в теории рассеяния Ми.

Целью диссертационной работы является разработка фундаментальных основ явления волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума и применение математического моделирования для решения актуальной научной проблемы — разработки математической модели явления волноводного рассеяния при наличии шума. Л также для: развития качественных и приближенных аналитических методов исследования математической модели явления волноводного рассеяния при наличии шума; комплексного исследования данной научной проблемы с

применением технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента; разработки новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе математической модели.

Для достижения цели решены следующие задачи:

1. Разработана математическая модель векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях при наличии шума.

2. Получены приближенные аналитические выражения для векторных полей в ближней и в дальней зонах, а также для мощности рассеянного излучения в дальней зоне при наличии шума.

3. На основании полученных трехмерных формул с помощью компьютерного моделирования оценена погрешность двухмерного приближения теории волноводного рассеяния.

4. Разработана математическая модель интегрального и дифференциального волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума.

5. Разработан универсальный комплекс программ, с помощью которых методом численного моделирования рассчитаны диаграммы рассеяния лазерного излучения в дальней зоне для статистических нерегулярностей волноводов в плоскости падения при различных уровнях шума. Проведен анализ полученных диаграмм рассеяния.

6. Разработана теория приближенного решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при зашумленных и не зашумленных входных данных.

7. Разработан высокоэффективный алгоритм нахождения приближенного численного решения обратной задачи волноводного рассеяния, который обладает устойчивостью к малым изменениям во входных данных.

8. Продемонстрированы принципиальные отличия в решениях обратной задачи волноводного рассеяния при использовании классического метода регуляризации и разработанного автором модифицированного метода квазиоптималыюй регуляризации, особенно при радиусах корреляции (латеральных размерах) нерегулярностей сравнимых и меньше длины волны лазерного излучения.

9. Показана возможность достижения сверхразрешения при решении обратной задачи волноводного рассеяния, как при точных, так и неточных входных данных.

Продемонстрировано сверхразрешение по радиусам корреляции нерегулярносгей при уровне шума сравнимом с уровнем сигнала.

10. Получены практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи.

11. Установлены математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие заданной физической модели нерегулярносгей.

12. Продемонстрировано применение разработанного в настоящей диссертации метода волноводного рассеяния света, основанного на корректном решении обратной задачи волноводного рассеяния, для восстановления экспериментальной автокорреляционной функции статистической стационарной шероховатости поверхности по данным рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптическом волноводе.

Методы исследования

Для решения поставленных в диссертации задач применялись в основном метод математического моделирования и теоретический метод исследования (опирающиеся на: математический анализ; приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений; теорию возмущений; метод связанных мод; метод функций Грина и метод Фурье; теорию случайных функций; теорию функций комплексного переменного; методы решения некорректных задач и методы теории целых функций), а также различные методы численного анализа разработанных математических моделей. В экспериментах использовался в основном волноводный метод рассеяния лазерного излучения.

Научная новизна диссертации

В работе разработан комплексный метод математического моделирования в теории рассеяния лазерного излучения в нерегулярных волноводах при наличии и в отсутствие шума. Метод позволяет проверять адекватность математических моделей явления волноводного рассеяния на основе экспериментальных данных, полученных в ближней и дальней зонах излучения. В рамках проведенных исследований впервые получены следующие результаты.

1. Разработана математическая модель векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения в несимметричном интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума.

2. На основании разработанной трехмерной теории с помощью численного моделирования оценена погрешность двухмерного приближения и область его применимости при изменении радиуса корреляции нерегулярностей в широком диапазоне, включая радиус корреляции порядка длины волны излучения.

3. Предложена методология расчета диаграмм волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума. Выполнен расчет диаграмм рассеяния лазерного излучения в плоскости падения для ряда интегрально-оптических волноводов при различных уровнях шума.

4. Разработаны фундаментальные основы обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе 1гри наличии и в отсутствие шума.

5. Разработан высокоэффективный алгоритм нахождения приближенного решения обратной задачи волноводного рассеяния, который обладает устойчивостью к малым изменениям во входных данных при наличии и в отсутствие шума.

6. Показана возможность достижения сверхразрешения при решении обратной задачи волноводного рассеяния, как при точных, так и неточных входных данных. Компьютерным моделированием продемонстрировано достижение сверхразрешения по радиусам корреляции нерегулярностей при уровне шума сравшгмом с уровнем сигнала.

7. Получены некоторые практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума. В частности получены: оценка точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при неточно заданной информации и оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решения обратной задачи при наличии и в отсутствие шума.

8. На основании теории приближенного корректного решения обратной задачи волноводного рассеяния разработана ушгверсальная математическая модель и комплексный алгоритм, позволяющий с помощью квазиоптимальной регуляризации восстановить с высоким разрешением автокорреляционную функцию и определить со сверхразрешением параметры волноводных нерегулярностей.

9. С учетом трехмерного характера рассеяния получена численная оценка предельной пороговой мощности накачки для кольцевого тонкопленочного лазера на красителе и для тонкопленочного лазера на красителе с распределенной обратной связью.

10. Экспериментально обнаружено явление волноводной радуги. На основании качественной модели явления сделаны приближенные численные оценки: добротности сфероидальных колебаний и величины поверхностного натяжения капли, находящейся в жидком волноводном слое.

Практическая значимость

Проведенное аналитическое исследование построенной математической модели явления волноводного рассеяния позволило впервые разработать фундаментальные основы корректного решения обратной задачи волноводного рассеяния. Это имеет важнейшее практическое значение для целого ряда отраслей науки и техники, в которых требуется контролировать как влияние статистических характеристик и параметров нерегулярностей объектов на их диа1раммы рассеяния, так и определять с высокой точность, в том числе со сверхразрешением, характеристики и параметры нерегулярностей объектов по данным рассеяния. Этим в частности определяется практическая значимость полученных в диссертации результатов. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике, как в фундаментальных, так и в прикладных исследованиях явления рассеяния лазерного излучения на нерегулярностях структур" интегрально-оптических волноводов и устройств волноводной оптоэлектроники, создаваемых на их основе. Например, полученные в диссертации результаты могут быть использованы для:

— восстановления с высоким разрешением автокорреляционной функции и определения со сверхразрешением параметров соответствующих нерегулярностей;

— оптимизации параметров нерегулярных интегрально-оптических волноводов и оптических интегральных схем, создаваемых на их основе, в частности по такому критически важному параметру как коэффициент затухания волноводной моды.

Разработанные в диссертации математические модели интегрального и

дифференциального волноводного рассеяния могут быть использованы для разработки

высокоэффективных алгоритмов расчета различных характеристик и параметров рассеяния,

как в известных волноводных структурах, так и в новых перспективных волноводах (на основе

фотонных сред и Др.), а также — синтезировать новые волноводные устройства с заранее

заданными, например, минимизированными параметрами излучения (под данным углом, в

заданную моду, на данной длине волны и др.). Методы исследования и алгоритмы,

разработанные в диссертации, могут быть использованы в фундаментальных и прикладных

8

исследованиях в таких научных областях как физика микронеоднородных сред, физика поверхностных электромагнитных волн, интерферометрия, дифрактометрня, спектрофотометрия, эллипсометрия, микроскопия, волноводная акустика, биомедицнна, физхимия тонких пленок и межфазных поверхностей, экология и в ряде других областей.

Основные научные положения, выносимые за защиту:

1. Аналитическое решение электродинамической задачи рассеяния направляемой волноводной моды в интегрально-оптическом волноводе, содержащем произвольные трехмерные нерегулярности, при наличии шума методом связанных мод с помощью теории возмущений и метода функций Грина.

2. Построение математической модели, позволяющей проводить оценку погрешности двухмерного приближения и области его применимости при изменении радиуса корреляции волноводных нерегулярностей в широком диапазоне.

3. Расчет диаграмм рассеяния в дальней зоне в интегрально-оптических волноводах при изменении параметров нерегулярностей в широком диапазоне значений методом компьютерного моделирования.

4. Разработка теории обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии и в отсутствие шума.

5. Разработка алгоритма нахождения приближенного решения обратной задачи полноводного рассеяния, обладающего устойчивостью к малым изменениям во входных данных.

6. Достижение сверхразрешения при решении обратной задачи волноводного рассеяния, как при тонных, так и неточных входных данных, в том числе при различных уровнях и видах шума.

7. Практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума.

8. Математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие решению обратной задачи в отсутствие шума для заданной модели статистических стационарных нерегулярностей.

9. Разработка метода волноводного рассеяния света, позволяющего восстановить с высоким разрешением автокорреляционную функцию и определись со сверхразрешением параметры соответствующих волноводных нерегулярностей.

10. Демонстрация эффективности разработанных методов и алгоритмов при обработке экспериментальных данных волноводного рассеяния лазерного излучения.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

Достоверность разработанной теории, построенных математических моделей и полученных теоретических результатов обусловлена последовательностью и строгостью применения выбранных физико-математических методов анализа поставленных задач, а также обоснованностью сделанных при их решении физических и математических предположений. Численные результаты, полученные как автором диссертации, так и другими исследователями в соответствии с двухмерной теорией волноводного рассеяния, следуют из результатов настоящей работы как частный случай. ' Сравнение параметров нерегулярностей, определенных в соответствии с разработанным в настоящей диссертации методом волноводного рассеяния, с данными независимых измерений (растровый сканирующий электронный микроскоп и др.) показало, что они находятся в хорошем соответствии.

Апробация результатов работы и публикации

Результаты диссертации доложены на следующих научных симпозиумах, Koinpeccax, конференциях, семинарах и выставках: Всесоюзной научно-технической конференции «.Проектирование радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах» (Тбилиси, 1988 г.); Всесоюзной научно-технической конференции «Оптическийршдиовмтвой и тепловой методы неразрушающего контроля» (Могилев, 1989 г.); Выставке «Достиженияученых высшей школы в НИР в области лазертй техники» (Москва, 1989 г.); Научно-технической конференции «Оптическая комлгутация и оптические сети связи» (Суздаль, 1990 г.); И-й Научно-технической конференции «Оптические сети связи» (Владимир, 1991 г.); V-XII-й Международной научно-технической конференции «Лазеры в науке, технике, медицине.» (Суздаль, 1994 г.; Суздаль, 1995 г.; Сергиев Посад 1996 г.; Пушкинские Горы, 1997 г.; Геленджик, 1998 г.; Сочи, 1999 г.; Сочи, 2000 г.; Сочи, 2001 г.; Сочи, 2002 г.); Международной конференции «Photonic systems for ecological monitoring» (Чешская республика, Прага, 1996 г.); VI и VII-м Международном Симпозиумах по лазерной физике «LPHYS'97», «IJ'HYS'PS» (Чешская республика, Прага, 1997 г.; Германия, Берлин, 1998 г.); I и И-й Международной конференциях по компьютерной физике «Modem trends in computational physics.» (Дубна, 1998 г.; Дубна, 2000 г.); И-й и Ш-й Научно-технической конференции «Электроника, микро- и наноэлектроника» (Суздаль, 2000 г.; Пушкинские Горы, 2001

г.); Международных конференциях по когерентной и нелинейной оптике «ICONO '98», «ICONO 2001» (Москва, 1998 г.; Республика Беларусь, Минск, 2001 г.); XXXVI и XXXVIII-й Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2000 г., 2002 г.); VII-m Международном Симпозиуме «luiser metrology applied to science, industry, and everyday life» (Новосибирск, 2002 г.); 19-м Конгрессе международной комиссия по оптике «19th Congress of the International Commission for Optics» (Italy, Firenze, 25-30 August 2002); Международном Симпозиуме «Photonics West» (25-31 January 2003, San Jose, California USA); Международном Симпозиуме «Photonics Europe» (26-30 April 2004, Strasbourg, France); Постоянно действующем семинаре отдела колебаний ИОФ РАН под рук. академика A.M. Прохорова; Постоянно действующем семинаре Научного Центра Волновых Исследований ИОФ РАН под рук. академика Ф.В. Бункина; Постоянно действующем семинаре Научно-технологического Центра Уникального Приборостроения РАН под рук. члена-корреспондента РАН В.И. Пустовойта; Постоянно действующем семинаре кафедры общей физики Российского университета дружбы народов под рук. профессора А.Н. Гордеева; Постоянно действующем семинаре лаборатории вычислительной физики Российского университета дружбы народов под рук. профессоров Е.П. Жидкова и A.A. Севастьянова.

Результаты работы также неоднократно докладывались на научных семинарах ряда других кафедр и подразделений Российского университета дружбы народов, на конференциях и семинарах других вузов и НИИ, а также на заседаниях секции «Интегральная оптоэлектроника» Московского НТО радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова.

По теме диссертации автором опубликовано 82 печатных работы, из которых: 28 — статьи в рецензируемых научных журналах, включая 25 статей в научных журналах, входящих в установленный ВАК перечень периодических научных и научно-технических изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук; 10 — труды Международных конференций, 15 — статьи в сборниках научных трудов; 4 — авторские свидетельства на изобретения и 1 — проспект экспоната ВДНХ. Основные публикации приведены в конце автореферата.

Личный вклад автора

Автору принадлежит выбор научного направления, постановка задач, организация и выполнение теоретических и экспериментальных исследований, а также — численных

11

расчетов методом компьютерного моделирования, получение всех основных результатов и их физическая интерпретация. Вклад автора настоящей диссертации в работы с соавторами заключается в: полноценном участии в разработке теоретических моделей, развитии математического формализма, создании алгоритмов и комплексов компьютерных программ, проведении численных расчетов и экспериментов, определении места предлагаемых автором моделей в широком спектре современных теорий.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, и списка цитируемой литературы. Диссертация содержит 300 страниц текста, в том числе 52 рисунка и список цитированной литературы из 281 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснован выбор направления исследований, показана актуальность решаемых в диссертации задач, сформулированы цели и задачи исследований, отмечена научная новизна и практическая значимость полученных результатов, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации и приведено краткое содержание работы,

В первой главе дан обзор работ по рассеянию волн в неоднородных средах (не волноводные методы), а также — обзор работ по рассеянию электромагнитных волн в нерегулярных интегрально-оптических волноводах (волноводные методы). Дана краткая классификация оптических методов исследования объектов. Особое внимание уделено сравнению известных моделей рассеяния. Затем рассмотрено достаточно большое число работ, посвященных различным аспектам явления волиоводного рассеяния. При этом особо подчеркнуто, что в большинстве работ по рассеянию света в волноводах вопросы корректности обратной задачи волноводного рассеяния практически не затрагиваются, а те рабо т, где этот вопрос упоминается, не исследуют его с точки зрения решения некорректных задач математической физики.

Во второй главе рассмотрено рассеяние лазерного излучения волноводной моды в интегрально-оптическом волноводе (рис. 1), содержащем произвольные трехмерные нерегулярности, при наличии случайного шума.

В подразделе 2.1 методом связанных мод с помощью теории возмущений и метода

функций Грина решена векторная трехмерная электродинамическая задача о рассеянии направляемой фундаментальной волноводной ТЕ моды в интегрально-оптическом волноводе при наличии случайного шума (для ТМ-мод задача решается аналогично). Решение данного неоднородного волнового уравнения получено методом функций Грина в виде свертки некоторой трехмерной функции Грина С(х, у, г; х\уг') с выражением для источника:

Е, (х.^.г) = -(огМ,£0! \\\а£, (х\у\г')С(х, у, г; х', у\2')Е(х\(1)

В уравнении (1): Е, — это вектор напряженности электрического поля рассеянной волны; СО = 2Л"fyf— частота электрического поля Е; = — магнитная проницаемость среды,

/лш — это относительная магнитная проницаемость в /-м слое волновода, — магнитная постоянная; = п{к, — показатель преломления /-го слоя (/" = 1, 2, 3; см. рис. 1, 2),

к = 2тг / Я, Я — длина волны монохроматического света в вакууме; диэлектрическая проницаемость (в общем случае комплексная) может быть представлена в виде Е1 (г) = Еы (г) + Дс,- (г), где е01 (г) описывает регулярные свойства соответствующего слоя волновода, а добавка Ас, (г) описывает произвольные трехмерные нерегулярности структуры волновода (как неровности границ раздела сред, так и неоднородности показателя преломления каждого /-го слоя); полное поле Е в нерегулярном волноводе представлено в виде суммы полей (см. рис. 1) падающей волноводной моды Е^, рассеянной волны Е, и

аддитивного шума (влияние мультипликативного шума рассматривается аналогично):

Е =^Е07 + Е01 +Е0„^ехр£/'(й>/-/?02 — гАе учтена зависимость от времени / (в

дальнейших выкладках опущена) и координат г и у, /¡о* и §оу- постоянные распространения направляемой моды вдоль соответствующих осей х и у, Е„ 10,0ш — амплтуды

соответствующих полей; х, у, ъ и х*, у\ х1 — координаты точки наблюдения (например, в дальней зоне) и координаты точки, где расположена нерегулярность. При такой записи полагается, что все источники шума (независимо от их природы) дают вклад в полное поле Е как один эффективный источник шума, приведенный к плоскости волновода. Анализ уравнения (1) показывает, что в этом случае нельзя пренебречь поляризационными эффектами и рассмотрение задачи волноводного (многократного) рассеяния света на трехмерных нерегулярностях при наличии шума сильно усложняется.

Далее в этом подразделе получено явное аналитическое выражение для искомой функции

Грина Сг^г.г) уравнения (1):

2.Я

? -й—^+

В формуле (2): {$ и ру — продольные составляющие постоянных распространения мод излучения (вдоль осей гну соответственно), формирующих диаграмму рассеяния; Д — продольная составляющая постоянных распространения направляемых мод; —

ноля соответствующих мод волновода. При компьютерных расчетах необходимо уточнять и пределы интегрирования по переменным Д и ру. Диапазон возможных значений

постоянных распространения направляемых мод дискретного спектра Д, определяется неравенством (см. рис. 2): Д3 < |Д.| < Д>- Диапазон возможных значений постоянных распространения мод излучения непрерывного спектра Р определяется неравенством: —ръ < Р < +Д. Этот диапазон включает диапазон покровных (воздушных) мод излучения —Р\<Р<-~*ГР\ и Ава диапазона подложно-покровных мод излучения —Д3 < Р < —Д и +Д<Д<+Д,. Отметим, что диапазон возможных значений Д, для направляемых мод существует для действительных значений коэффициента замедления волновода у: < у < +н2. Диапазон возможных значений Р распространяющихся мод излучения

существует для действительных значений р, где р— {к? я* ~ — поперечная

составляющая постоянной распространения мод рассеяния. При действительных значениях р существует также еще один диапазон возможных значений /?, которые задаются мнимыми значениями Д. : Д„ = —/}/?[. Этот диапазон значений Д определяет затухающие моды

нерегулярного волновода. Эти моды описывают локальные поля вблизи источников излучения (в области нерегулярности). Используя их, можно описать поле излучения в ближней зоне.

В подразделах 2.2 и 2.3 получены выражения для полей излучения, обусловленные потерями направляемой моды на межмодовое преобразование и на рассеяние во все окружающее пространство для распространяющихся и затухающих мод излучения.

В подразделе 2.4 получены векторные выражения для поля излучения вне волновода

14

(распространяющиеся и затухающие моды излучения), рассеянного на трехмерных нерегулярностях, позволяющее проводить исследование поляризацизационных явлений в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума.

В подразделе 2.5 получена формула для полной мощности, переносимой всеми ТЕ-модами нерегулярного несимметричного оптического волновода вдоль оси г (см. рис. 1), с учетом поляризационных эффектов. Эта формула учитывает мощность, переносимую в плоскости волновода во всех направлениях всеми направляемыми модами и мощность, рассеиваемую как в плоскости волновода (УО-м-р1апе-1саКепг1£), так и мощность, рассеиваемую модами излучения во всех направлениях в окружающее волновод пространство (ЪТ>-ои1-о/-р1аяс-¡саМепп£). Последние две составляющие полностью характеризуют потери мощности направляемой моды на излучение.

В подразделе 2.6 показано, что можно упростить трехмерные уравнения, описывающие процесс волноводного рассеяния, если пренебречь рассмотрением возникающих при рассеянии поляризационных эффектов. Для этого необходимо, чтобы относительное изменение диэлектрической проницаемости на расстоянии одной длины волны было много меньше единицы. Отмечено, как обеспечить в экспериментальных исследованиях применимость двухмерного анализа задачи рассеяния.

В подразделе 2.7 дана оценка погрешности двухмерного приближения теории волноводного рассеяния и область его применимости при изменении радиуса корреляции нерегулярностей в широком диапазоне, включая радиус корреляции порядка длины волны излучения. Установлено, что двухмерное приближение, как и ожидалось, справедливо для нерегулярностей изменяющихся плавно в направлении оси у (в масштабе длины волны падающего излучения).

В третьей главе рассмотрены характеристики лазерного излучения, рассеянного в статистически нерегулярном оптическом волноводе в отсутствие и при наличии шума. Даны определения интегральным и дифференциальным характеристикам излучения, рассеянного в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе. Сформулирована и решена прямая задача волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума. Приведены полученные в результате компьютерного моделирования ненормированные диаграммы рассеяния в дальней зоне • в диапазоне наблюдаемых мод излучения для заданных значений коэффициента фазового замедления волновода у (эффективного показателя преломления). При расчетах диаграмм рассеяния для несимметричного пленарного волновода брали: пх — 1.00 (воздух), пг

— 1.59 (полистирол), пъ = 1.46 (кварцевое стекло) для длины волны излучения гелий-

15

неонового лазера А = 0.63 мкм, а в случае симметричного планарного волновода (ПВ), образованного двумя кварцевыми пластинками и расположенным между ними тонким волноводньгм слоем оптически прозрачной жидкости: я, = пъ = 1.46 (кварцевое стекло), пг = 1.59 (жидкость). Дан анализ динамики полученных диаграмм рассеяния лазерного излучения в рассматриваемых волноводах при изменении коэффициента у и уровня и вида шума.

Нерегулярный несимметричный интегрально-оптический волновод и схема регистрации рассеянного лазерного излучения показаны на рис. 1. Диаграмма постоянных распространения, поясняющая процесс рассеяния волноводной моды на статистических нерегулярностях с непрерывным спектром, показана на рис. 2. На рис. 3 — рис. 5 приведены диаграммы рассеяния в дальней зоне (см. ниже формулы (3) и (4)) для гауссовой автокорреляционной функции (АКФ) статистической стационарной шероховатости подложки симметричного ПВ с одной ровной и одной неровной границами (неоднородности показателя преломления, а также взаимная корреляция между неровностями границ отсутствуют). Полагается, что межмодовое переизлучение и переизлучение в моду того же порядка, но распространяющуюся в обратном направлении, отсутствуют. Шум также отсутствует (т.е. отношение сигнал/шум БЫК » 100).

Компьютерное моделирование проводилось в соответствии с формулами для интегрального (3) и дифференциального (4) волноводного рассеяния:

(р) = с0|о(/г,/?)< Ф{Р',г)Р{Р\Г))^Р\ ■ (3)

(Р(М) = Сп( Ф(/?,Г)Р(/?,У)), (4)

где Р — измеряемая мощность рассеяния; С0 — нормировочный множитель; О — передаточная функция фотодетектора; /?, /3' — продольная составляющая постоянной распространения мод рассеяния, формирующих диаграмму рассеяния на нерегулярностях (т.е. оптический образ объекта); у ~ коэффициент фазового замедления, показывающий, во сколько раз фазовая скорость волны, распространяющейся по оси 2, меньше скорости света в вакууме; Ф — волноводный оптический фактор (характерная передаточная функция ПВ); Р — функция спектральной плотности (ФСП) статистического ансамбля нерегулярностей (фактор нерегулярностей); угловые скобки <...> означают усреднение по эргодическому ансамблю статистически идентичных систем. В формуле (4) полагается, что дифференциальная диаграммы рассеяния измеряется в дальней зоне с помощью «точечного» фотодетектора (с малой апертурой), у которого функция 3> является дельта функцией 5(/5'—/?)•

В результате анализа диаграмм рассеяния установлено, что при фиксированном радиусе корреляции г = 0.03 мкм (соответствует «Я/20) и последовательном уменьшении среднеквадратичной высоты шероховатости поверхности сг от 5 им до 0.1 им форма нормированных диаграмм рассеяния изменяется незначительно, однако интенсивность ненормированных диаграмм рассеяния изменяется при этом значительно: уменьшается примерное 5 • 10~7 при сг — 5 им до » 7 • 10"'° при сг =0.1 нм. Аналогичная тенденция имеет место для ТЕ)-моды: интенсивность диаграмм рассеяния также уменьшается почти на три порядка с » 6-Ю"7 при сг = 5 нм до « 2-10_,° при сг = 0.1 нм. Эти изменения интенсивности диаграмм рассеяния проявляются в быстром росте коэффициента затухания волиоводной моды при ее распространении в волноводе с неровностями границ раздела, у которых СУ возрастает от 1 до 50 А. При решении прямой и обратной задач при наличии высокого шума даже небольшие изменения, происходящие в диаграммах рассеяния при вариации параметров нерегулярностей, могут оказать большое влияние на ход .решения задач. В интегрально-оптическом полностью симметричном волноводе с двумя неровными границами, когда взаимная корреляция между неровностями границ отсутствует, потери на рассеяние направляемой волноводной моды возрастут вдвое (а в круглом оптическом волокне потери будут примерно в четыре раза больше). При наличии кросс-корреляции коэффициент затухания направляемой моды а возрастет примерно в четыре раза.

Динамика диаграмм рассеяния лазерного излучения в нерегулярном волноводе при изменении у состоит в следующем. При фиксированном радиусе корреляции и изменении у от 1.475 до 1.58 в симметричном волноводе можно отметить следующие основные закономерности: 1) максимальное значение интенсивности диаграммы рассеяния возрастает примерно в 5-10 раз; 2) сравнительно пологая при у — 1.479 диаграмма становится постепенно все менее пологой и много лепестковой (для ТЕо-моды и ТЕгмоды: 3 и более при у > 1.556 и изменении г от 10 до и 100 нм).

При возрастании г и у диаграммы .¿ рассеяния все более сужаются к «зеркально» отраженному без рассеяния «лучу» (двигающемуся по зигзагообразному пути вдоль оси г и

I.

испытывающему нарушенное полное внутреннее отражение на границах волновода); при уменьшении г и у наблюдается противоположная тенденция изменения диаграмм рассеяния. Асимметрия кривых при г > 10 нм относительно центра Фурье-ллоскосги (при (5 — 0) обусловлена тем, что центральная часть функции спектральной плотности сдвинута вправо относительно оси Р — 0 на вел1гчину Д,.

Сравнение диаграмм рассеяния для первой симметричной и первой асимметричной ТЕ-мод показывает, что они не похожи в диапазоне изменения радиуса корреляции от 10 до 3000 им и только при г ^ 3 мкм диаграммы становятся похожими. Однако и в этом случае при высоком отношении сигнала к шуму есть возможность априорной оценки диаграмм рассеяния, т.к. для ТЕо-моды они имеют на порядок меньшую интенсивность, а их максимумы убывают в порядке 1, 2, 3, 4 при соответствующем изменении коэффициента фазового замедления у. А максимумы диаграмм рассеяния TEt-моды при г ^ 3 мкм убывают в порядке:

2,1, 3, 4.

При возрастании величины г от 10 (Я/60) до « 1000 им (« 16Л) и изменении у от 1.475 до 1.571 диаграммы становятся постепенно все более асимметричными относительно оси /7 = 0: левая их часть становится все более пологой, а правая — все более выпуклой и узкой (с одним лепестком: при у < 1.520 во всем диапазоне изменения г, а также при у ^ 1.571 и Г ¡> 300 им). Это является следствием «обрезающего» действия на диаграммы рассеяния сужающейся по абсциссе р ФСП.

Диаграммы рассеяния для симметричного оптического волновода с одной ровной границей, в которых учтен вклад в рассеяние также первой нечетной ТЕ-моды (т.е. учтен вклад в рассеяние обеих мод ТЕо и TEi) подобны приведенным выше диаграммам.

Нерегулярный 1WCTWI

моды wlny wwn

Im(/?) Направляемые молы (дискретный спектр)

Расярострммюиррся |мдн И1Луч*нм

п'рЩ --Д"—■ —

•Я -1» яда,у)

Рис. 1. Нерегулярный оптический волновод и схема регистрации рассеянного лазерного излучения: 1 — покровный слой (воздух), 2 — волноводный слой; 3 — полложка; 4 — иммерсия; 5 — полусфера; б — линза;

— длина нерегулярной области; А — толщина волновода; П — поляризатор; ФД - фотодетектор. На вставке вверху: вектор напряженности полного поля Е и его составляющие.

Распространяющиеся воздушные моды излучения (непрерывный cnet^rp)

к •

Re(fl)

Распространяющиеся подложко-покровные моды излучения (непрерывный спектр

Направляемые моды (дискретный Спектр)

Затухающие моды излучения (непрерывный спектр)

Рис. 2. Диаграмма постоянных распространения /3 нерегулярного оптического несимметричного волновода, иллюстрирующая процесс рассеяния лазерного излучения на нерсгулярпостях волновода: 0г=кпг, Д, = куу где яа > »з >

я,; Д — комплексная постоянная распространения мод излучения с составляющими /?' и /?" ; © — угол

рассеяния в плоскости падения хг, К — некоторый продольный вектор решетки в спектре шероховатостей.

Исследование динамики всех этих диаграмм, а также динамики аналогичных диаграмм рассеяния при других значениях показателей преломления я. сред симметричных и асимметричных волноводов позволяет сделать выводы о поведении диаграмм при вариации радиуса корреляции и показателей преломления волновода. В этой главе приведены также выражения для относительных потерь мощности фундаментальной четной ТЕ-моды на излучение в плоскости падения несимметричного планарного волновода с одной и двумя неровными границами, полученные в первом приближении теории возмущений.

Далее в третьей главе рассмотрена прямая задача рассеяния при наличии случайного шума. Из формул (3) и (4) получено выражение для зашумленной диаграммы диф<£>еренциального волноводного рассеяния в дальней зоне:

<5>

где (/?,/) — интенсивность статистического (например, не синусоидального) аддитивного

или мультипликативного действительного шума, заданного в области измерения диаграммы рассеяния. Полагается, что диаграмма рассеяния измеряется «мгновенно» в фиксированные дискретные моменты времени t (например, с помощью линейки фотодиодов), а затем используется среднее по ансамблю. Поэтому зависимость шума от t не учитывается. Первое слагаемое в правой части уравнения (5) является диаграммой рассеяния при уровне SNR > 100, использованной при расчете диаграмм на рис. 3 — рис. 5. При необходимости переход от Р к углу рассеяния 0 (см. диаграмму постоянных распространения р, р на рис. 2)

осуществляется в соответствии с равенством Р — kni cos 0, где ni — показатель преломления среды, в которой производится измерение.

На рис. 6 и рис. 7 показаны диаграммы рассеяния суммы мод ТЕо и ТЕ* в дальней зоне в диапазоне наблюдаемых мод излучения подложки и подложко-покровных мод излучения для следующих значений у. кривая 1 — 1.475, кривая 2 — 1.525, кривая 3 — 1.555, кривая 4 — 1.570 (им соответствует толщина волновода: Л = Я/5, Я/2, Я, ЗЯ/2). Уровень отношения сигнала к шуму выбирался с учетом проведенных экспериментов; было взято также отношение <SNR> и 1.

На рис. 8 приведены полученные в этой главе графики реализаций случайного «белого» шумового действительного процесса, заданного в области существования наблюдаемых мод излучения.

1.7»«' 1.«*10' 1.6« 10' 1.4X0' 1.3*10' 1.2« 10* 1.1*10* 1.0110'

• ОНО*

• ОНО* 7.0» >0*

' 0.0X10* 5 0x10* 4.01)0* 3.0*10* 2.0« 10* ю»

О.в -1.0*10*

I

^ б.5«ю* 5.0»< О* . 4.4*10* • | 4.0*10*" I 3.5*10*" ».0*10 | 2.5*10* " Р- 2.0*10* " { 1.5*10*-£ 1.0*10*' £ 5.0*10*"

5 0.0.

р. ыкм*'

р. мш'

(А (А

Рис. 3. Диаграммы рассеяния лазерного излучения в дальней зоне: (а) — для четной ТЕо-моды; (й) — для нечетной ТЕ|-моды. Значения у: кривая 1 — 1.480, кривая 2 — 1.525, кривая 3 — 1.560, кривая 4 — 1.568. Геометрические параметры шероховатости поверхности: среднеквадратичная высота <7 = 1.5 им, радиус корреляции г — 30 нм.

3 1.0X10* I м*ю*

| |.:*ю" •

]( 1.0*10* о.

I 0.0* 10'

1 (.0*10*

* 4.0*10''

| г.о*ю*

* «2.0x10

3

^ 3.5*10"**

| 3.0*10*-

| 2,5*10"*" и

* 2.0*10 *"

| 1.5*10* ^ 1.0« 10 * ■

^ 5.0*10*'

I 0.0

О

р. мкм'1

^ -5.0*10*

р. мш"'

<«) (А

Рис. 4. Диаграммы рассеяния лазерного излучения в дальней зоне при (Т — 1.5 нм и г — 300 нм. Остальные параметры как на рис. 3.

4

3 2.5*10*-

| 2,0*10* и

о. 1.5*10" р. 1.0« 10* £ 5.0*10' * 0.0

ж*

-в в

р. мкм*1

г «,о*1о *-I 7.0*10

■ I 6.0*10"-

5 5.0*10"'-1 4.0*10 * 3.0*10' % 2,0*10"'" 5 1.0*10* 0.0

4 И^Ю*

3 4

о

р. мкм'1

09

Рис. 5. Диаграммы рассеяния лазерного излучения в дальней зоне при <Т — 1.5 нм и Г = 1000 нм. Остальные параметры как на рис. 3.

На рис. 9 даиы графики автокорреляционной функции и функции спектральной плотности для одной из реализаций случайного «белого» шумового действительного процесса, заданного в области существования наблюдаемых мод излучения. Оценка АКФ ДГ^ (е) для реализаций шумового процесса, заданного в области существования наблюдаемых мод излучения р е (—¿я,, ), вычисляется по формуле:

(б)

В формуле (6): Е — интерзал усреднения шумового процесса, — амплитуда шума, е —

радиус корреляции шума, символ «л» означает операцию центрирования для соответствующей функции: я(£) = я(<*)—«"(£)> где — оценка математического

ожидания (среднего арифметического значения) шумового процесса. Оценка ФСП для заданных реализаций случайного шумового процесса вычисляется по формуле стандартного преобразования Фурье. ;

Характеристики рассеянного в волноводе лазерного излучения, изученные в третьей главе диссертации, позволяют получить важную априорную информацию о поведении решения прямой задачи рассеяния при вариации характеристик и параметров, как нерегулярностей, так и исследуемой волноводной структуры, а также уровня и вида шума. Следовательно, можно уже из предварительного анализа диаграммы волноводного рассеяния лазерного излучения сделать определенные выводы, которые позволят, например, правильно сформулировать алгоритм решения обратной задачи волноводного рассеяния.

£ 7.0*10*

1 «.очо*

1 5.0x10"'

Й ,1

& 4,0x10 '

2 з,о«ю" ■

^ 2.0x10*

| 1.0*10' I 0.0

4 3.4x10*

5 ».5*10* I 3.0* 10* ^ 2,8x10* { 2.6*10* £ 2,4x10*

В г.г*ю*

3. 2.0*10*

^ 1.9*10*

« 1.6x10*

Я. 1.4*10*

£ 1.2*10*

а 1.0*10*

4 8.0x10* * в.ОхЮ* I 4,0x10*

5 2,0*10'

I 0.0

Р. мкм

(а) (0)

Рис. 6. (а) — Диаграммы рассеяния лазерного излучения в дальней зоне для значений у, приведенных на рис. 3. Величина <5ЫВ> » 10, Геометрические параметры шероховатости поверхности: сг = 5 им, г = 10 нм. (о) — Аналогично рис. б (а), но при г — 30 нм и <8ЫЮ> » 1.

^ 4.0* 10*

| ».5.10*

| >.0»10*

5 г.5«ю* а.

? г.о»(о*

£ 1,5« ю*

5 1.0»Ю*

I 5.0в 10'*

I 0.0

о

р. мкм"'

2 |.»»1а

I 1.»ЧО* •

| 1.4*10* *

8 1.1мог ¥

» 1.0ШО--

| ».ото* -

I в.ооо*-

* 4.0x10*-

| 2.о«ю* 1 ».о

| -г.о«ю*

р, мкм

(О

Рис. 7. (а) — Аналогично рис. 6 (а), но при Г — 60 нм. (в) — Аналогично рис. 6 (а), но при г = 300 ]

5

6 л

г. о,»

0,4 0,2

-5 0 5

э, мим"'

(«) (9

Рис. 8. Интенсивность «белого» шума, заданная на ограниченном участке Р (на рис. 8 (а) число точек по переменной /? взято меньше, чем на рис. 8 (¿)).

^■««пчмаммя ф>жм "Ояпот о- нч-мж. от и

4}1М1П ст.т|м«|1М1 гомтжкт "Зек»! о" шут. от и

дмиг<

Рис. 9. (а) — Автокорреляционная функция одной из реализаций «белого» шума. (й) — Функция спектральной плотности «белого» итума, заданного на ограниченном участке Р е (— кпх, М»,): 1 — действительная часть, 2 — мнимая часть спектра шумя.

В четвертой главе разработаны основы теории обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии и в отсутствие шума. Во введении проанализированы общие аспекты некорректности обратной задачи рассеяния.

В подразделе 4.1 сформулирована линейная обратная задача векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения в статистически нерегулярном интегрально-оптическом волноводе: по измеренной в ближней, промежуточной или дальней зоне зашумленной амплитудно-фазовой диаграмме рассеяния восстановить ФСП и/или АКФ нерегулярностей и определить соответствующие параметры нерегулярностей. К последним обычно относятся геометрические параметры нерегулярностей: среднеквадратичная высота шероховатостей границ раздела сред волновода, радиус корреляции шероховатостей и радиус корреляции неоднородностей показателя преломления г ж, а также оптико-физические

параметры нерегулярностей: среднеквадратичное отклонение показателя преломления от среднего значения п2 и величина поверхностного натяжения 5 неоднородностей (жидкого) волноводного слоя. В случае одиночной нерегулярности типа ступеньки или канавки к параметрам нерегулярностей относятся как геометрические параметры нерегулярностей (локальная и/или средняя высота ступеньки (глубина канавки), локальная или средняя ширина ступеньки (канавки) и угол наклона, характеризующий величину «размытия» микрообъекта), так и оптические (показатели преломления сред микрообъекта).

В подразделе 4.2 поставлена линейная обратная задача теории волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе в двухмерном случае и подробно проанализированы аспекты некорректности обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума. Затем дано решение линейной обратной задачи в случае интегрального и дифференциального волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума. Последовательность решения задачи проиллюстрирована с помощью схемы, где выделены этапы: 1) на офаниченном участке постоянных распространения /? мод излучения (непрерывного спектра) измеряется точечным фотодетектором зашумленная диаграмма рассеяния Р^, (Д, (на практике это означает измерение при низком отношении БЫЯ и 1—50); 2) на этом ограниченном участке постоянных распространения /? находится оценка ФСП 3) из у) определяются оценки параметров нерегулярностей

<7, г, (Дя,)", г,.л.ж; 4) из находится оценка АКФ нерегулярностей К (*,/); 5) из

R(u,y) определяются оценки &, г, (Ая2 )2, гш.х ж параметров нерегулярностей; 6) в соответствии с классическим методом регуляризации находится АКФ R^ наиболее

близкая к заданной (см. рис. 10 (а)); 7) из R^ определяются улучшенные оценки

параметров нерегулярностей сг, f, (Ал,)", ft.x 8) методом квазиоптимальной регуляризации восстанавливается с высоким разрешением сглаженная АКФ R^ (см. рис. 10 (¿)); 9) из

сглаженной АКФ определяются со сверхразрешением параметры сг, г, (Дя2)2 и г„ Х1. На соответствую1цих этапах решения обратной задачи волноводного рассеяния

(IV) Р» (М F(P.y) г, (А53)2. Ц*.г)Г, Ш,

К (*./) (A«,)", r„v„ (и,у) <r, г, (Д»,)\ г.;л.,с

может быть использована следующая коррекция алгоритма решения: оценка или

R(u,y) (или регуляризованная (и>/) используется для нахождения все более точного вида

ФСП или АКФ (и = z — г', г и z' — координаты в плоскости волновода).

На рис. 10 (а) приведены гауссовы АКФ восстановленные из зашумленных данных измерения углового распределения интенсивности рассеянного излучения в дальней зоне в соответствии с классическим методом регуляризации:

LSyy^i-^-w- стз

В (формуле (7): /л — это параметр регуляризации; простейшие стабилизаторы р-то порядка Му

брались в виде М, = ргр, Мг — (/?0 — и др., p£t 0 — это порядок регуляризации.

Из рис. 10 ('а) видно, что заданная гауссова АКФ восстановлена методом классической регуляризации с большой погрешностью: в метрике Л,2 ошибка не менее 150%. Аналогичные результаты получены и для ряда других известных в физике АКФ (экспоненциальной, типа sinx/x и др.).

В подразделах 4.3-4.5 подробно рассмотрено решение линейной обратной задачи теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума. Особое внимание в подразделах 4.3. и 4.4 обращено на проблемы ширины спектра нерегулярностей, наличия шума, эргодичности и стационарности, оказывающие существенное влияние на решение обратной задачи волноводного рассеяния. В этих подразделах установлено, что применение

24

метода классической регуляризации не позволяет с погрешностью удовлетворительной для экспериментальных потребностей восстановить заданную ЛКФ (гауссову, экспоненциальную, типа sinx/x, типа затухающего косинуса и ряд других известных в статистической оптике и физике АКФ) в широком диапазоне изменения радиуса корреляции и SNR.

Это связано с четырьмя главными проблемами: 1) ширина функции спектральной плотности нерегулярносгей, как правило, шире диапазона наблюдаемых мод рассеяния; 2) проявление эффекта Гиббса, вследствие которого в синтезируемую функцию R^ ) могут

вводиться новые пространственные компоненты (гармоники), отсутствовавшие в исходном спектре нерегулярносгей либо наоборот — некоторые гармоники могут пропасть вследствие приближенного вычисления интегралов Фурье; 3) спектры сигнала и шума перекрываются; и 4) уровень сигнала может быть сравним с уровнем шума, т.е. на выходе линейного фильтра возможно значение SNR < 1. В связи с этим особое внимание уделено описанию разработанного автором модифицированного метода квазиоптималыюй регуляризации, позволяющего найти приближенное корректное решение обратной задачи теории волноводного рассеяния (см. рис. 10 (¿)) при нал!гчии высокого шума, в том числе сравнимого с уровнем сигнала.

Методом квазиоптимальной регуляризации восстанавливается с высоким разрешением сглаженная АКФ наиболее близкая (в определенном смысле) к заданной ЛКФ в

соответствии с формулой:

где E(fl,¿) — сглаживающая функция, которая подбирается, например, из условия минимума среднеквадратичной ошибки решения обратной задачи.

При переходе на дискретное множество сглаженные отсчеты диаграммы рассеяния (íjг в точках Рп определяются как произведение соответствующих зашумленных (не

сглаженных) отсчетов (До^)) на фильтрующую (сглаживающую) функцию Н(/?,/). Последняя при сглаживании на симметричном интервале от -JL/2 до +JL/2 имеет вид Н(/3, /) = sine(JLP/ 2), а при сглаживании на несимметричном интервале от 0 до L имеет вид Е(/?,/) = sinc(JL/?/2)exp(/'/?JL/2), где / = .L/2. Видно, что в обоих случаях оператор усреднения будет сильнее всего подавлять более высокие пространственные частоты р в

зашумлеиной диаграмме рассеяния, сглаживая 6 результате спектр нерегулярное!ей.

Сглаживающая функция Е(/7,/) играет роль весовой функции: значения амплитуд функции Рц/ (/?,?') в точках Р умножаются на значения функции Е (/?,/) в тех же точках, т.е. в конечном итоге вклад соответствующих составляющих спектра нерегулярностей Р {Р,у)

определяется соответствующей величиной ■ весовой функции. Таким образом, синтезированный линейный фильтр «взвешивает» значения зашумленной диаграммы рассеяния в (8) соответствии с зависимостью Л (/?,/).

При решении обратной задачи рассеяния в соответствии с квазиоптимальной регуляризацией параметр I подбирается из условия минимума среднеквадратичной погрешности восстановления заданной АКФ по невязке:

где (л0/г)»1.

м

1.2

1.0

* о.»

1 о.в

3 0.4

-> а: 0.2

3 0.0

£

■0.2

-0,4

-о.в

0.2 и, мыс

(')

0>

Рис. 10. (о) — Заданная гауссова (кривая 5) К(и) и восстановленные (кривые 1-4) автокорреляционные функции (и,У, ) при М. = М2 и $N11 100. Параметр регуляризации Ц = 0.5, порядок регуляризации р = 0.6; без сглаживания. Геометрические параметры шероховатости поверхности: а ~ 5 нм, г — 30 нм. Параметры волновода: я, = я, = 1.46, пг = 1.59 для Л — 0.63 мкм; у равно: 1 — 1.479, 2 - 1.525, 3 — 1.556, 4 — 1.571 (им соответствует толщина волновода Л: Л/5, Л/2, Л, ЗЯ/2). На вставке: то же, что и на рисунке, но при // = 1.6, р = 1.0 и 10.

(<9 — Заданная гауссова (кривая 5) К(л) и восстановленные (кривые 1-4) автокорреляционные, функции &„(*>?',■) при А1; = М2. Параметр регуляризации (Л и порядок регуляризации р равны: 1.2 и 1.0 для 1-й кривой; 4 и 3.5 для кривых 2-4. Параметр сглаживающей функции яте (да*/?) т — 12; (вЫЯ)» 6. Остальные параметры как на рис. 10 (а).

Далее описана модификация стандартного метода сглаживания заданной функции на интервале фиксированной длины. С этой целью рассмотрено усреднение заданной функции на интервале переменной длины ти <, Ь, где т — некоторый параметр.

Повторив вышеприведенные выкладки, в результате получено выражение для сглаженной на интервале переменной длины регуляризованной функции К^ (и, у) в виде:

где функция при сглаживании на симметричном интервале [—/я«/2,+ми/2] имеет

вид зллс[ти{р0 — а при сглаживании на несимметричном интервале [0,Л] —

вте£яю(/?0 —/?)/2^ехр[^/(Д) — Р}ти/2^. Из сравнения модифицированного и стандарпюго

методов сглаживания видно, что при внешней похожести у них есть одно главное отличие: в первом случае оператор сглаживает пространственные составляющие в восстановленном при решении обратной задачи спектре нерегулярносгей на интервале различной длины тР в

зависимости от величины параметра т. Из этих различий в поведении функций Н(/7,/») и £2 (/?,/) следуют принципиальные отличия двух методов сглаживания: стандартного и

модифицированного и, как следствие, двух методов регуляризации: классического и разработанного автором оригинального модифицированного алгоритма сглаживания в спектральной области (в дальней зоне или в эквивалентной ей плоскости Фурье). В диссертации показано, что второй метод более эффективен, чем стандартный особенно при изменении интервала корреляции нерегулярносгей и уровня шума в широких пределах. Действительно, изменяя параметр т, мы можем управлять, по сути, разрешающей способностью метода волноводного рассеяния. При т—Юо сглаживание в формуле (10) производится в узкой спектральной полосе пространственных частот, что дает возможность обнаружить в спектре более мелкие детали и лучше различить, например, однотипные спектры с различными параметрами. При т —> 0, наоборот, сглаживание в (10) производится в широкой спектральной полосе пространственных частот, что не дает возможность обнаружить в спектре мелкие детали, однако здесь сглаживание может быть проведено более эффективно в случае присутствия шума высокого уровня в широкой полосе пространственных частот (типа белого). При использовании формулы (10) можно брать различные сглаживающие функции, например, экспоненциального или гауссового вида:

ехрлмг(Д, —и схр— Д)]2} или ехр£—— соответственно, а также

вида — где произведение безразмерного параметра т на величину и, как

правило, не превышает значения 1_/2 и подбирается в соответствии с формулой (9). .

Очень важно в связи с этим привести установленную нами связь параметра т и численного (безразмерного) значения радиуса корреляции нерегулярностей г^: г^ « (2лт) ' при БЫК >

100 и г^ « (2да) 1 при БЫК < 50. Таким образом, модифицированный алгоритм сглаживания, по сути, дает нам возможность использовать больше степеней' свободы при решении обратной задачи теории волноводного рассеяния и, как следствие, достичь более высокого разрешения.

Сравнение рис. 10 (а) и рис. 10 (6) показывает, что с помощью разработанного модифицированного метода квазиоптимальной регуляризации удалось компенсировать влияние шума и проявление эффекта Гиббса, что привело в частности к существенному сглаживанию у восстановленных АКФ осциллирующих «хвостов» и снижению их амплитуды. Это позволило также достичь определенного сверхразрешения, особенно — по радиусам корреляции: исходный радиус корреляции определен для АКФ на рис. 10 (¿) с ошибкой менее 7%. Для сравнения: ошибка определения заданного г = 0.03 мкм из АКФ на рис. 10 (а) доходит до « 280%. Таким образом, точность восстановления АКФ повышена примерно в 810 раз (с 200-300% до 22—28%), а точность определения соответствующего радиуса корреляции — в 40 раз.

Итак, поставленные выше четыре проблемы в основном были решены. Следовательно, полученная нами формула (10) позволяет найти ■ приближенное корректное решение обратной задачи рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии высокого шума и в достаточно широком диапазоне изменения параметров нерегулярностей, в частности среднеквадратичной высоты и радиуса корреляции шероховатостей поверхности. В заключение этого подраздела показано определенное сходство между представленным в диссертации модифицированным алгоритмом скользящего сглаживания и известным разложением Габора.

При анализе проблемы эргодичности и стационарности в параграфе 4.5.5 получен критерий выбора интервала усреднения позволяющий выполнить условие эргодичности, в виде следующих приближенных неравенств:

[Я « ь « /я.

где а — коэффициент затухания направляемой моды, обусловленный рассеянием. В экспериментах можно положить а'1 « /т, где 1т — расстояние, которое ггримерно «пробегает» направляемая мода в нерегулярном волноводе. Итак, если статистические стационарные нерегулярности волновода удовлетворяют условию (И), то мы можем считать, что рассматриваемый процесс является эргодическим. В этом случае любая его реализация (например, возбуждение соответствующей моды на любом участке волновода II регистрация ее диаграммы рассеяния) представляет свойства всего ансамбля (последовательное возбуждение мод на других участках волновода и регистрация соответствующих диаграмм рассеяния).

Если неравенство (11) выполняются, то исследуемый процесс можно считать эргодическим и использовать вместо статистического среднего (Р) результат усреднения измеренной

диаграммы рассеяния по одной, но достаточно длинной реализации полагая, (Р) = Р1'.

Оценка интервала усреднения Ь. находится из (11). Таким образом, мы пришли к выводу, что выбранная нами- процедура приближенного корректного решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном волноводе является, пожалуй, наиболее естественной но физической сути рассматриваемого явления. С другой стороны, заметим, что описанный выше модифицированный метод квазиоптимальной филмрации зашумленных данных решает двуединую задачу, а именно, позволяет: 1) использовать при решении поставленной обратной задачи вместо статистического среднего но эргодическому ансамблю соответствующее среднее по одной достаточно длинной реализации; 2) найти приближенное корректное решение поставленной обратной задачи. В этом заключается неоспоримое преимущество разработанного нами метода решения обратной задачи волноводного рассеяния в нерехулярном оптическом волноводе. ■ ;.. ■ • •.,.•■

В подразделе 4.6 показано, что полученное в четвертой главе диссертации решение поставленной обратной задачи при наличии шума существует, единственно и устойчиво, т.е. корректно.

Доказательство существования решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума основывается на существовании регуляризирующих операторов для интегральных уравнений первого рода. Применение регуляризирующего оператора позволяет отобрать в качестве приближенного решения обратной задачи наиболее гладкое из всех

29

возможных решений в классе функций интегрируемых по модулю в квадрате Ь^. В качестве возможного способа построения приближенного решения поставленной обратной задачи можно использовать вариационный принцип, когда решается вариационная задача минимизации функционала: АС [Р", Р^, ] = (^Р.Р,.) + /Ю[17], где Рг — измеренная с

некоторой погрешностью диаграмма рассеяния при наличии шума; £1 — стабилизирующий функционал. Получаемая в результате ФСП минимизирует функционал Мм [Р.Р^, ] и является приближенным решением поставленной обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума. При изменении радиуса корреляции в широких пределах и при произвольном виде и уровне шума классический регуляризирующий оператор Л —

необходимо заменить оператором квазиоптимальной регуляризации Лш.

Единственность приближенного решения поставленной обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума основана на использовании регуляризирующего оператора, когда в качестве решения задачи берется решение Гу, наиболее близкое к заданному Т? (в тех случаях, когда решение априорно известно). Если точное решение обратной задачи неизвестно, то минимизируется невязка

Г+А V'2

И . (12)

где Рц, (/?') — измеренная, а Р(Р') — расчетная диаграммы рассеяния (при наличии или в отсутствие шума). Здесь уклонение зашумленной (измеренной) диаграммы рассеяния от «точного» решения оценивается в метрике пространства Ь.2. Тогда уклонение решения от точного Р оценивается, например, в метрике С пространства функций непрерывных на заданном отрезке по формуле: 1С — (Р\у)~ (Р'>7))|•

В отличие от обратной задачи рассеяния при точных входных данных решение, получаемое при наличии шума, находится из условия (Р.Р^.) < <5^, т.е. существенно

зависит от погрешности измерения зашумленной диаграммы рассеяния. При этом шум может меняться от реализации к реализации. Как следствие, получаемые приближенные решения из различных реализаций Р^, будут неотличимы одно от другого в пределах погрешности . Поэтому автор сформулировал единственность решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума как единственности среднего (статистического по

ансамблю или по одной длинной реализации) решения обратной задачи.

Условие устойчивости приближенного решения поставленной двухмерной обратной задачи теории волноводного рассеяния к небольшим изменениям во входных данных можно сформулировать в виде следующего условия: решение обратной задачи будет устойчивым, если для любого £ > О существует > 0, такое, что если выполняется неравенство

\{ЧМ}-{г(Р,г))\<Ъ, (13)

то выполняется неравенство:

(14)

где символом сверху отмечено решение обратной задачи (относительно ФСП) для возмущенной зашумленной диаграммы рассеяния. Считается, что условия (13) и (14) справедливы в некоторой окрестности рассматриваемой точки (/?, у), где решение задачи существует и оно единственно. При этом должно быть обеспечено выполнение предельного соотношения: при —► 0, £->0и возмущенное решение задачи переходит в точное.

Если точное решение не известно, то речь может идти только о приближенном решении, Т.е. об одной из реализаций Р^, из ансамбля возможных решений, неотличимых одно от другого в пределах погрешности <5^. При этом под решением обратной задачи рассеяния следует понимать решение в смысле статистического среднего или решения полученного как результат усреднения по одной, но достаточно длинной реализации. Как правило, без дополнительных предположений о свойствах решения не удастся построить высоко эффективных алгоритмов решения этой задачи. Одним из сложившихся подходов к решению вопроса об устойчивости является следующий: решение обратной задачи становится устойчивым по отношению к изменению входных данных, если наложить на множество допустимых решений (пространство решений) некоторые дополнительные ограничения. Для решения этой проблемы часто используется понятие компактности. В этом случае множество допустимых решений удается выделить достаточно узким (компактным) и в качестве приближенного решения некорректной обратаой задачи теории волноводного рассеяния можно выбирать любой элемент данного компактного множества, сопоставимый по точности с входными данными. Тогда решение становится устойчивым к малым изменениям входных данных. При этом используется информация, носящая количественный характер. Использование такой информации приводит, например, к решению поставленной задачи

методом подбора. При этом в качестве множества решений {Р,} обычно берется множество функций, зависящих от конечного числа параметров и меняющихся в ограниченных пределах так, чтобы множество Р было замкнутым множеством конечномерного пространства. Вопрос об эффективности метода подбора сводится к удовлетворению множества решений обратной задачи волноводного рассеяния Р требованиям компактности. Если Р удовлетворяет этим требованиям и является компактом, то минимизирующая последовательность {р^} сходится к Г^, которое будет стремиться к точному решению при точных ВХОДШ.ГХ данных (точно измеренной диаграмме рассеяния, например, в дальней зоне) при я —> оо, если: 1) точное решение принадлежит Р; 2) множество Р является компактом.

В подразделе 4.7 даны некоторые практически важные оценки для найденного решения обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии шума. В частности получены: оценка точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при неточно заданной информации и оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решения обратной задачи при наличии шума.

Оценка минимальной погрешности которая достижима при аппроксимации

исходной неограниченно-протяженной функции спектральной плотности Р{Р,у) 61~>2 (—оо,+оо) с помощью финитных функций (ограниченной протяженности)

Р{(Р,у) 61^2 (—/?,+/?), восстановленных при решении обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в присутствие шума, получена из следующей формулы:

пип(/,.,)= } I (15)

В формуле (15) Д^, определяет граничную пространственную частоту, выше которой волноводный оптический фактор (оптическая передаточная функция) равен 1гулю. В результате расчетов установлено, что величина, ограничивающая сверху, имеет

характерный максимум & 4.7 • 10~5 при уровне БЫЯ — 100) при N=13, после которого она достаточно быстро убывает, стремясь к 0 при N 5: 20. Здесь IV— число коэффициентов в ряде Тейлора (для ФСП), заданных точно при всех я <1 N. а коэффициенты ряда Тейлора после ДГ пропущены (например, утеряны или недоступны для измерений при данных значениях Р ).

В подразделе 4.8 сформулирована линейная обратная задача теории волноводного рассеяния лазерного излучения в отсутствие шума. Рассмотрена проблема корректности

поставленной задачи. Отмечено, что и' в случае отсутствия шума существует проблема корректности обратной задачи волноводного рассеяния. Здесь также требуется некоторая дополнительная информация, которая должна отражать сущность рассматриваемого физического явления — явления волноводного рассеяния лазерного излучения. Такая информация имеет количественный (погрешность измерений и др.) или качественный (например, гладкость, монотонность, не отрицательность решения и др.) характер. Эта дополнительная информация должна быть учтена при построении математической модели решения обратной задачи. В обоих случаях с математической точки зрения фактически появляется возможность сузить класс возможных приближенных решений обратной задачи волноводного рассеяния, например, до компактного множества. Мы воспользовались при решении обратной задачи в отсутствие шума, как и при наличии шума, информацией количественного характера.

В подразделе 4.9 дано решение поставленной обратной задачи в отсутствие шума в случае интегрального и дифференциального волноводного рассеяния. Рассмотрена проблема корректности поставленной задачи. Как и в случае наличия шума, последовательность решения обратной задачи проиллюстрирована с помощью схемы, где выделены девять аналогичных основных этапов (см. подробнее подраздел 4.2).

Оценка АКФ II (»,7") определена на конечном отрезке [-/У2, +1^/2], где расположены нерегулярности, поэтому она является квадратично интегрируемой (по модулю в квадрате), т.е. принадлежит пространству функций интегрируемых по модулю в квадрате Это означает, что конечен интеграл:

+1-/2

\ ие[-Ь/2, + Ь/2]. (16)

-с/2

Таким образом, интервал определения АКФ оказывается ограниченным вполне естественным образом: вне нерегулярного участка волновода 11 (и, у) обращается в нуль

' [о, «е[-1./2. + 1./2].

поскольку там по предположению нет нерегулярностей, т.е. АКФ является финитной функцией; /(г) — функция, описывающая изменение профиля нерегулярностей в направлении х. Между функциями, у до в лство р я ю Щ1 гм и (17), и целыми функциями (целая функция — однозначная аналитическая во всей комплексной плоскости функция

комплексного переменного, представ и м ая всюду сходящимся степенным рядом) существует тесная связь. В соответствии с теоремой Винера-Пэли преобразование Фурье такой функции допускает аналитическое продолжение ФСП на всю комплексную плоскость до целой функции конечной степени не выше Г-/2. Для измерения скорости роста целых функций вводится шкала роста и, как следствие, вводятся понятия порядка и типа (степени) целой функции. По порядку роста целые функции сравнивают с функциями, растущими быстрее

любой степени вида ехр(Вг* где £ > 0. Здесь £ соответствует порядку целой функции, а В

— ее типу.

Если при >оо функция Ё.(и,у) ¿>0|*|), то комплексная функция Р(Р'— //?",?')

будет аналитической в полосе \Р"\ < Ьи. Теорема Винера-Пэли позволяет использовать в качестве конструктивной процедуры построения аналитического продолжения ФСП за пределы области ее определения комплексный ряд Тейлора, где берется комплексное значение /? = /?'— /уЗ", /?' — это вещественная часть комплексного т.е. то р, которое обычно рассматривается при решении задачи рассеяния в дальней зоне, а Р" — это мнимая часть Р, шрающая важную роль при решении задачи рассеяния в ближней зоне. В основе построенной таким образом ФСП будут лежать ее значения, определенные на некотором отрезке действительной оси постоянных распространения р. Затем в расчетах может быть использована только действительная (мнимая) часть экстраполированного спектра.

Комплексная ФСП позволяет оценить фазу у/, характеризующую, например, весь

ансамбль нерегулярностей 'Р">уУ)у а не какую-либо его отдельную реализацию, или

фазу <//(/?'— характеризующую отдельную (уединенную) нерегулярность типа

ступеньки (или канавки). Полная фаза определяется в следующем виде:

где <//0 — это некоторая начальная фаза комплексного спектра нерегулярностей. Используя физическую обоснованность перехода на комплексную плоскость постоянных распространения Р, можно воспользоваться развитым аппаратом теории аналитических (и в частности — целых) функций, преобразования Фурье и теорем Винера-Хинчина и Винера-Пэли.

На рис. 11 (а) для примера приведены заданная гауссова ФСП статистических

нерегулярностей (с параметрами «У = 50 А и г = 0.03 мкм) симметричного интегрально-оптического ПВ (я, = я3 — 1.457, пг — 1.590 для Л = 0.63 мкм) и ФСП восстановленная в виде аналитически продолженного комплексного ряда Тейлора. На рис. 11 (6) показана фаза восстановленной комплексной ФСП при разном числе коэффициентов разложения в ряде Тейлора. Как видно из рис. 11 (а) действительная часть ФСП восстанавливается при наличии незначительного аддитивного белого шума, заданного в ограниченной полосе постоянных распространения /?, намного точнее, чем мнимая часть ФСП. Это связано в первую очередь с тем, что область аналитичности мнимой части экстраполированной комплексной функции

»'/?",у) ограничена полосой |/3"| < Ьп, которая здесь составляет полосу примерно: (-20,

+20) мкм-'. Среднеквадратичное отклонение дейспиггельной части восстановленной экстраполированной ФСП от заданной функции уменьшается примерно с 265% (ДГ ~ 4, БКИ. » 106) до « 20-30% (24 > 4, SNR ~ 106). Такое существенное снижение погрешности восстановления ФСП статистических нерегулярностей открывает дополнительный путь решения обратной задачи волноводного рассеяния: использование метода регуляризации с помощью аддитивного белого шума. Важно отметить, что при этом область аналитическою продолжения в два с лишним раза больше, чем область наблюдаемых мод излучения.

(а) Щ

Рис. 11. (а) — Заданная (кривая 1) Гауссова ФСП и комплексная аналитически продолженная ФСП статистических нерегулярностей волновода для двух разных (см. также вставку) реализаций незначительного шума (БЫй. »10®). Точно заданы только первые шесть коэффициентов (Ы = 6) ряда Тейлора. На рис. 11 (<;): 2 — действительная часть комплексной аналитически продолженной ФСП, 3 — мшгмая часть комплексной аналитически продолженной ФСП.

(6) — Фаза восстановленной комплексной аналитически продолженной 4,» 10') гауссовой ФСП статистических нерегулярностей волновода: 1 - без регуляризации, 2 — после регуляризации, 3-е учетом вычислительных артефактов. На вставке справа вверху: фаза той же ФСП 1гри N — б (см. рис. 11 («)).

Таким образом, установлено, что при отсутствии шума высокого уровня возможно существенное повышение разрешения при решении обратной задачи волноводного рассеяния с применением метода аналитического продолжения.

В подразделе 4.10 подробно рассмотрена проблема корректности поставленной обратной задачи волноводного рассеяния в отсутствие шума. Дано доказательство существования решения обратной задачи волноводного рассеяния в отсутствие шума. С этой целью рассмотрен случай регистрации диаграммы рассеяния в дальней зоне точечным фотоприемником, использовано разложение ФСП в ряд Тейлора, а также использованы аналитические свойства ряда. При этом попутно установлено очень важное свойство, определяющее способность некоторой функции быть диаграммой рассеяния при точных входных данных. А именно, — функция -Р является диаграммой рассеяния, если она

является аналитической функцией, т.е. представима некоторым сходящимся степенным рядом.

Затем доказано, что в классе целых функций поставленная обратная задача теории волноводного рассеяния имеет единственное решение. При доказательстве использованы физические свойства реального нерегулярного волновода и свойства целых функций, в частности использована теорема единственности для аналитических функций.

Условие устойчивости приближенного решения поставленной автором двухмерной обратной задачи волноводного рассеяния в отсутствие шума к небольшим изменениям во входных данных формулируется также как и при наличии шума (см. подробнее выше подраздел 4.6). Основное отличие заключается в возможности построить решение в классе аналитических (и в частности — целых функций), поскольку в отсутствие шума погрешность задания входных данных может быть сделана незначительной.

Таким образом, в подразделе 4.10 доказано, что решение поставленной двухмерной задачи Теории волноводного рассеяния лазерного излучения в статистически нерегулярном волноводе в классе целых функций корректно, т.е. удовлетворяет всем трем требованиям корректности: существование, единственность и устойчивость.

В подразделе 4.11 даны некоторые практически важные оценки для найденного решения обратной задачи теории волноводного рассеяния в отсутствие шума в классе целых функций: оценка минимальной погрешности, достижимой при аппроксимации исходной нео!раниченно-протяженной ФСП с помощью функций ограниченной протяженности; оценка точности в случае использования диаграммы рассеяния с неточно заданной информацией; оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решения обратной задачи; оценка максимально допустимого среднеквадратичного

36

отклонения нерегулярностей от среднего значения.

Например, установлено, что минимальная погрешность (15), достижимая при аппроксимации исходной неограниченно-протяженной ФСП с помощью финитных функций (ограниченной протяженности), восстановленных при решении обратной задачи волноводного рассеяния в отсутствие шума, теоретически может быть менее 1% при точных входных данных и представлении искомой ФСП в виде ряда Тейлора с числом коэффициентов разложения N не менее 15.

Оценка точности решения в случае использования не зашумленной диаграммы рассеяния с неточно заданной информацией, когда коэффициенты в ряде Тейлора заданы точно при всех и ^ М, но значения после N пропущены, например, были утеряны при измерениях диаграммы рассеяния, сделана тремя способами. Показано, что ошибка восстановления заданной АКФ может быть менее 15%. Полученные оценки проиллюстрированы графиками.

Оценка максимально допустимого среднеквадратичного отклонения нерегулярностей от среднего значения получена различными способами. В частности, с помощью полученного автором соотношения неопределенностей для волноводного рассеяния и условия компактности, ограничивающего допустимое пространство решений. Установлено, что в диапазоне значений радиуса корреляции нерегулярностей г < Л среднеквадратичная высота неровностей границ раздела (например, шероховатостей подложки) ограничена сверху значением: а < 1000 А.

В подразделе 4.12 установлены математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие заданной физической модели статистических стационарных нерегулярностей. Нерегулярности заданы на конечном отрезке, статистический процесс эргодичен. Действительная ФСП таких нерегулярностей обладает следующими математичесюгми свойствами: 1) непрерывность в силу непрерывности определяющих се функций; 2) ограниченность (существуют некоторые максимум и минимум ФСП на заданном отрезке оси р в силу непрерывности ФСП); 3) расположение целиком выше оси действительных постоянных распространения р в силу положительной определенности величин определяющих ФСП; 4) симметричность (осевая) распределения Г(Р относительно оси ординат с абсциссой Р = Р0 (латеральный вектор решетки в непрерывном спектре нерегулярностей К = 0) в силу случайности и стационарности процесса; 5) четность в силу стационарности процесса; 6) асимптотическое убывание от максимального значения распределения при Р = Р0 с ростом Р (или К) в силу чисто случайного характера

нерегулярностей (т.к. в таком спекпгре существуют гармонические решетки с различными К, то среди них всегда есть решетки с К -»0 и К —> со, т.е. решетки с периодами Л^ —> со и

Л, —> 0 соответственно; из этого следует, что при \р —> ао статистическая зависимость

между и и и + г будет ослабевать, так что Я(0)<^о шах, а 0); 7) усредненный

характер распределения (в силу свойств интегрального преобразования Фурье); 8) отсутствие в распределении дельта подобных выбросов, обусловленных бесконечно протяженными регулярными решетками (следствие ограниченности области нерегулярности и чисто случайного характера нерегулярностей); 9) однозначность (дает однозначное отображение области определения на область значений); 10) аналитичность ФСП, представленной в виде ряда Тейлора.

В подразделе 4.13 рассмотрена с широких теоретических позиций проблема сверхразрешения в оптике при наличии шума. Отмечены некоторые пули дальнейшего повышения точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии высокого случайного шума.

В пятой главе: описан метод волноводного рассеяния света; сделана оценка влияния нерегулярностей планарного оптического волновода на пороговые характеристики тонкопленочного лазера; рассмотрена волноводная оптическая микроскопия; проведен анализ бифуркационных явлений в нерегулярном оптическом волноводе; описано явление волноводной радуги в жидкостном оптическом волноводе.

В подразделе 5.1 подробно изложены: комплексный метод восстановления автокорреляционной функции нерегулярностей при наличии шума и метод восстановления автокорреляционной функции с использованием канонического ансамбля гауссовых функций; приведено выражение, позволяющее восстанавливать автокорреляционную функцию и определять параметры нерегулярностей со сверхразрешением:

К{и,у\я = С,,"' [£р;"^^ехр[/(Д,-/0]^ (19)

где регуляризованные коэффициенты разложения ФСП в ряд Тейлора имеют вид — + /^Л/^ | ; верхний индекс т означает т-к> производную.

Метод волноводного рассеяния света заключается в регистрации диаграммы рассеяния точечным фогоприемпиком в дальней (ближней или промежуточной) зоне, последующей обработке оцифрованных значений интенсивности рассеянного в волноводе излучения в

38

соответствии с описанным в диссертации способом нахождения приближенного корректного решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума. В результате можно восстановить статистические характеристики второго порядка (ФСП и АКФ) нерегулярностсй и определить их параметры (сг, г, среднеквадратичный тангенс угла наклона неровностей, средний шаг неровностей поверхности и др.) с высоким разрешением. Физическая сущность явления волноводного рассеяния состоит в том, что свет, введенный в волноводный слой толщиной порядка длины волны, распространяется в нем при возбуждении заданной моды путем многократных отражений от границ раздела сред, образующих волновод. В данном оптико-лучевом приближении свет, распространяющийся вдоль волновода, рассматривается как состоящий из плоских (Бриллюэновых) волн, двигающихся по зигзагообразному пути и испытывающих нарушенное полное внутреннее отражение на границах волновода.

Результаты одного из экспериментов приведены на рис. 12. Сравнение определенных волноводным методом параметров с параметрами, полученными независимыми методами исследования (оптическая и растровая электронная микроскопия, контактная профилометрня, дифференциальная гетеродинная лазерная микроскопия), показало, что они находятся в хорошем соответствии. Затем дано краткое описание макета прибора, предназначенною для измерения волноводным методом статистических характеристик и параметров шероховатости иодированной оптической поверхности (ФСП, сг, г и др.).

(*) т

Рис. 12. (а) — Фотография участка исследуемой поверхности кварцевой пластинки размером примерно 5x5 мкм, полученная с помощью растрового сканирующего электронного микроскопа.

(6) — Экспериментальная (кривая 8) и теоретические (кривые 1-7) восстановленные АКФ из диирамм рассеяния, рассчитанных для следующих параметров шероховатости: <7 = 5 нм, радиус корреляции Г изменяется от 0.05 до 0.35 мкм с шагом 0.05 мкм. Цифрой 9 обозначена теоретическая гауссова АКФ с параметрами; <7—5 нм и г = 0.15 мкм. Вертикальными стрелками указана величина отклонения в процентах от экспериментальной АКФ.

Новизна полученных решений, разработанного на их основе волноводного метода измерения и устройств для его реализации подтверждена четырьмя авторскими свидетельствами на изобретение. Макет прибора демонстрировался на тематической выставке «Достиженияученых высшей школы в НИР в области лазерной техники» (г. Москва, 1989 г.), а автор диссертации как соавтор разработки был награжден серебряной медалью.

В подразделе 5.2 выполнен учет влияния нерегулярностей планарнозго оптического волновода на пороговые характеристики тонкопленочного лазера. Оценена предельная пороговая мощность накачки для кольцевого тонкопленочного лазера на красителе и для тонкопленочного лазера на красителе с распределенной обратной связью с учетом трехмерного характера волноводного рассеяния. Показано, что учет трехмерного характера волноводного рассеяния позволяет снизить погрешность теоретической оценит предельной пороговой мощности накачки примерно в 3 раза.

В подразделе 5.3 описан метод когерентной волноводной оптической микроскопии, который основан на использовании явления волноводного «освещения» исследуемого объекта, находящегося в волноводном слое, лазерным излучением направляемой волноводной моды. Метод волноводной оптической микроскопии объединяет возможности метода волноводного рассеяния света, микроскопии нарушенного полного внутреннего отражения и Фурье-оптики.

Теоретически доказано, что в волноводном оптическом микроскопе латеральное разрешение лучше, чем предсказывает критерий Аббе-Рэлея. Получена оценка типа известной классической формулы предельного латерального разрешения Аббе-Рэлея (при уровне сигнал/шум я* 1) для волноводной оптической микроскопии:

^0.7 «ОЛЛ/ЫА. (20)

где МА — п1 вт (р — я, соэ0 = я,/? /, 0 — угол рассеяния в среде с показателем преломления п., <р — апертурный угол (определяется диапазоном регистрируемых мод излучения волновода). С помощью полученного автором статистического критерия разрешения (20) для волноводной оптической микроскопии установлена связь двух классических формул — соотношения неопределенностей Гейзенберга и критерия разрешения Аббе-Рэлея — в виде Лт1П « 0.6Л / ЫА, где Л « 2тгг — период соответствующей характерной решетки в спектре нерегулярностей. Получены следующие диапазоны разрешимых значений г и с для длины волны излучения X - 0.63 мкм: ге(10-1, 102) мкм, сге(10-4, 10') А.

Изучены основные характеристики волноводного оптического микроскопа. Динамика их

40

изменения охарактеризована с помощью полученных графиков. Отмечено, что оптимизация характеристик сводится к синтезу передаточной функции максимально близкой в среднеквадратичном смысле к некоторой идеальной функции, обеспечивающей прохождение сигнала через оптическую систему с минимальными искажениями.

В подразделе 5.4 проведен анализ бифуркационных явлений в нерегулярном оптическом волноводе. Процесс рассеяния направляемой моды рассмотрен как процесс постепенного перехода динамической диссипативной (открытой) системы из состояния упорядоченности в состояние хаоса. В качестве управляющего параметра задачи использован естественный физический параметр системы — коэффициент фазового замедления многомодового волновода у, при изменении которого во времени меняется эффективная толщина волновода. Используя методы теории катастроф, с помощью рисунков и графиков пояснен характер поведения рассматриваемой системы в зависимости от управляющего параметра.

В подразделе 5.5 описано обнаруженное экспериментально явление волноводной монохроматической радуги, заключающееся в резком возрастании интенсивности рассеянного света, наблюдаемого под углами радуги (первого, второго и т.д. порядков).

Сделаны оценки: добротности сфероидальных колебаний и величины поверхностного натяжения капли, находящейся в жидком волноводном слое. Добротность сфероидальных колебаний капли в поле модулированной волноводной моды равна <2г 17. При этом средняя

величина поверхностного натяжения капли ¿> = 30 • Ю-1 11/м (на 30% меньше справочной величины).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ

1. Методом связанных мод с помощью теории возмущений и метода функций Грина впервые аналитически решена электродинамическая задача о рассеянии направляемой волноводной моды в интегрально-оптическом волноводе, содержащем произвольные трехмерные нерегулярности при наличии случайного шума.

2. Разработана математическая модель интегрального и дифференциального волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума.

3. С использованием разработанного комплекса программ впервые выполнен расчет на компьютере диаграмм рассеяния лазерного излучения, рассеянного в статистически нерегулярном двухмерном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума различного уровня, включая уровень шума сравнимый с уровнем сигнала.

4. Выполнен теоретический анализ динамики диаграмм рассеяния лазерного излучения в нерегулярном оптическом волноводе при изменении эффективного показателя преломления и уровня шума.

5. Впервые поставлена и решена обратная линейная двухмерная задача теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии и в отсутствие шума.

6. Введено понятие приближенного решения сформулированной в диссертации некорректной обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии шума.

7. Впервые получены практически важные в теории волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума аналитические и численные оценки: оценка минимальной погрешности решения обратной задачи волноводного рассеяния в классе финитных функций; оценка точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при неточно заданной информации; оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решения обратной задачи и оценка максимально допустимого среднеквадратичного отклонения нерегулярностей от среднего значения.

8. Изложены теоретические основы разработанного автором диссертации комплексного метода решения обратной задачи волноводного рассеяния света при высоком уровне шума, в том числе при переходе на дискретное множество с использованием теоремы отсчетов Котельникова-Шеннона.

9. Определены фундаментальные ограничения метода волноводного рассеяния.

10. Разработанный метод волноводного рассеяния лазерного излучения успешно применен для корректного восстановления экспериментальной АКФ статистической шероховатости поверхности интегрально-оптического волновода.

Наиболее важные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Андлер Г., Егоров А А., Черемискин И.В. Определение параметров шероховатости оптической поверхности по рассеянию в диэлектрическом волноводе // Оптика и спектроскопия. -1984. - Т. 56. - № 4. - С. 731-735.

2. Егоров A.A. Математические методы решения задачи волноводного рассеяния света в планарных волноводах // Моделирование систем и информатика. — М.: УДН. — 1989. — С. 81-84.

3. Способ определения потерь, обусловленных рассеянием света на объемных неоднородиостях в планарных оптических волноводах. A.c. 1539713, МКИ5 G02 В 6/10/ Егоров A.A., Черемискин И.В. // Опубл. 30.01.1990. - Бюл. № 4. - С. 184.

42

4. Устройство для контроля шероховатости оптической поверхности. А .с. 1610259, МКИ5 G01 В 11/30/ Егоров А.А., Черемискин И.В. // Опубл. 30.11.90. - Бюл. № 44. - С. 169.

5. Сиро Ф. Васкес С. де Ф., Егоров А.А., Черемискин И.В. К вопросу об определении статисшчесхих характеристик нерегулярностей тонкопленочных волноводов // Автометрия. -1991. - № 2. - С. 51-55.

6. Егоров А А. Вопросы симметричности, регулярности, стационарности и эргодичности применительно к волноводам интегральной оптики // Модели информационно-вычислительных систем. — М.: УДН. — 1992. — С. 89-95.

7. Егоров АА.. К вопросу об оптимальном значении коэффициента фазового замедления нерегулярного волновода // Методы массового обслуживания в информатике. — М.: УДН. - 1992. - С. 92-95.

8. Егоров А.А. Рассеяние на трехмерных нерегулярностях в планариых диэлектрических волноводах (метод функций Грина) // Моделирование систем и информатика. — М.: УДН. - 1992. - С. 96-100.

9. Егоров А.А. Характеристики излучения, рассеянного на шероховатостях поверхности подложки планарного волновода // Поверхность. Физика, химия, механика. — 1994. — № 5. - С. 72-76.

Ю.Егоров А.А. Обратная задача рассеяния в планарных волноводах // Модели информационно-вычислительных систем. — М.: УДН. — 1994. — С. 67-69.

11. Egorov А.А. Theory of waveguide optical microscopy // Laser Physics. — 1998. — V. 8. — No. 2. - P. 536-540.

12. Egorov A.A. Computer modeling of solution of direct and inverse problems in waveguide optical microscope // Book of Abstracts of First Intern. Confer. ''Modern Trends in Computational Physics". — June 15-20 1998. -- Russia. — Dubna: Joint Institute for Nuclcar Research. -1998. - P. 64.

13. Егоров A.A. Определение параметров статистического ансамбля микрообъектов в волноводном оптическом микроскопе // Изв. РАН. Серия Физическая. —1999. — Т. 63. — №6.-С. 1125-1131.

14. Egorov A .A. Inverse light scattering problem in a planar waveguide with statistical subwavelength irregularities (theory and computer simulation) // Book of Abstracts of Second Intern. Conference "Modem Trends in Computational Physics". — July 24-29 2000. - Russia. -Dubna: Joint Institute for Nuclear Research. — 2000. - P. 163.

15. Егоров А.А. Восстановление характеристик и определение параметров статистической нанометровой шероховатости поверхности по данным рассеяния в пленарном оптическом волноводе // Изв. Вузов. Радиофизика. — 2000. — Т. 43. — № 12. — С. 10901099.

16. Егоров А.А. Методы контроля субмикроннъгх структур и качества поверхности // Сб. науч. трудов 2-й 'Науч.-техн. конфер. «Электроника, микро- и наноэлектроника». — М.: МИФИ. - 2000. - С. 57-65.

17. Егоров А.А. Восстановление характеристик и определение параметров статистической шероховатости поверхности по зашумленным данным рассеяния света в планарном оптическом волноводе // Тез. докл. XII-й Межд. науч.-техн. конфер. «Лазеры в науке, технике, медицине». 17-22 сентября 2001 г. Сочи. — М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2001. — С. 136-138.

18. Егоров А. А. Использование волноводного рассеяния лазерного излучения для определения автокорреляционной функции статистической шероховатости поверхности в широком диапазоне изменения интервала корреляции шероховатостей // Квантовая электроника. - 2002. - Т. 32. - № 4. - С. 357-361.

19. Egorov А.А. Restoration of the autocorrelation function of a statistic sutface roughness on the light scattering in a planar optical waveguide in the presence of the additive stochastic noise // Proc. SPIE. - 2002. - V. 4750. - P. 192-201.

20. Egorov A.A. Waveguide light scattering: correct restoration of the statistic characteristics of the thin films and optical surface irregularities // Proc. SPIE. - 2002. - V. 4829. - P. 591-592.

21. Егоров A.A. Восстановление характеристик и определение параметров статистической нанометровой шероховатости поверхности по данным рассеяния света в планарном оптическом волноводе при наличии случайного аддитивного шума // Изв. Вузов. Радиофизика. - 2002. - Т. 45. - № 7. - С. 577-584.

22.Yegorov А.А. Inverse light scattering problem in a planar waveguide with statistical subwavelength irregularities: theory and computer simulation // J. Comput. Methods in Sciences and Engineering. - 2002. - V. 2. - No. 1 s-2s - P. - 277-285.

23. Yegorov A.A. A new algorithm of restoring the autocorrelation function of subwavelength statistic surface roughness by light scattering in integrated optical waveguide in the presence of a high additive stochastic noise // Proc. SPIE. - 2002. - V. 4900. - P. 792-801.

24. Егоров А. А. Восстановление экспериментальной автокорреляционной функции и определение параметров статистической неровности поверхности по данным рассеяния

лазерного излучения в интегрально-оптическом волноводе // Квантовая электроника. — 2003. - Т. 33. - № 4. - С. 335-341.

25. Егоров Л-А. Восстановление характеристик и определение параметров статистической шероховатости поверхности по данным рассеяния света в интегральном волноводе при наличии шума // Оптика и спектроскопия. — 2003. — Т. 95. — № 2. — С. 294-304.

26. Yegorov А.А. Inverse laser irradiation scattering problem in a planar waveguide with statistical irregularities. Computer modelling for a case of large additive "white" noise // Laser Physics. — 2003. - V. 13. - No. 9. - P. 1143-1148.

27. Егоров A.A. Векторная теория рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума // Квантовая электроника. - 2004. - Т. 34. - № 8. - С. 744-754.

28. Egorov А.А. Correct investigation of the statistic irregularities of integrated optical waveguides using waveguide light scattering // leaser Physics. - 2004. — V. 14. - No. 7. — P. 987-995.

29. Egorov A.A. Vector theory of the waveguide scattering of laser radiation in the presence of noise (method of modes and method of Green's function) // Laser Physics. — 2004. — V. 14. — No. 8. -P. 1072-1080.

30. Egorov A.A. Inverse problem of laser light scattering in an integrated optical waveguide: 2D solution with accurate input data // Laser Physics. - 2004. - V. 14. - No. 10. — P. 1296-1309.

31. Egorov A.A. Theory of laser radiation scattering in integrated optical waveguide with 3D-irregularities in presence of noise: vector consideration // Laser Physics Letters. — 2004. — V. 1. -No. 12.-P. 579-585.

32. Egorov AA. Use of waveguide light scattering for precision measurements of the statistic parameters of irregularities of integrated optical waveguide materials // Optical Engineering. — 2005. - V. 44. - No. 1. - P. 014601-1-014601-10.

33. Egorov А.Л. Inverse problem of theory of the laser irradiation scattering in two-dimensional irregular integrated optical waveguide in the presence of statistic noise // Laser Physics Letters. - 2005. - V. 2. - No. 2. - P. 77-83.

34. Егоров А.А. Теория волноводного рассеяния света в интегрально-огггичсском волноводе при наличии шума // Изв. Вузов. Радиофизика. — 2005. — Т. 48. — № 1. — С. 63-75.

35. Egorov А.А. Inverse problem of the theory of the laser radiation scattering in a 2D irregular integrated-optical waveguide in the presence of noise // Laser Physics. — 2005. — V. 15. — No. 5. - P. 686-699.

ЕГОРОВ Александр Алексеевич

Теория и математическое моделирование

рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 21.10.2005 г. Формат 60 х 84/16. Усл. печ. л. 2,75. Уч.-изд. л. 2,4. Тираж 100 экз. Заказ № Q3Q 117923, Москва, Типография ИПК РУДН

ВВЕДЕНИЕ.2

Глава 1. ОБЗОР.20

1.1. Обзор работ по рассеянию волн (не волноводные методы).20

1.2. Обзор работ по рассеянию электромагнитных волн в нерегулярных волноводах (волноводные методы).26

Глава 2. ВЕКТОРНАЯ ТЕОРИЯ ТРЕХМЕРНОГО РАССЕЯНИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В НЕРЕГУЛЯРНОМ ИНТЕГРАЛЬНО-ОПТИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ ПРИ НАЛИЧИИ ШУМА.51

2.1. Электродинамическая задача рассеяния направляемой волноводной моды в интегральном оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума (ЗБ-рассеяние).51

2.2. Распространяющиеся моды излучения.65

2.3. Затухающие моды излучения.69

2.4. Поляризационные явления при векторном волноводном рассеянии лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях.75

2.5. Потери мощности направляемой моды при векторном волноводном рассеянии.77

2.6. Двухмерное приближение теории волноводного рассеяния при наличии шума (2Б-рассеяние).79

2.7. Погрешность двухмерного приближения теории волноводного рассеяния при наличии шума.81

Глава 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ, РАССЕЯННОГО В СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОМ ИНТЕГРАЛЬНО-ОПТИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ВОЛНОВОДНОГО РАССЕЯНИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ОТСУТСТВИЕ И ПРИ НАЛИЧИИ ШУМА .91

3.1. Характеристики лазерного излучения, рассеянного в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе. Постановка и решение прямой задачи рассеяния. Точные (не зашумленные) входные данные.91

3.2. Решение прямой задачи рассеяния при наличии случайного аддитивного шума (зашумленные входные данные).120

Глава 4. ОБРАТНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ВОЛНОВОДНОГО РАССЕЯНИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ И В ОТСУТСТВИЕ ШУМА.131

4.1. Линейная обратная задача векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума (общий случай).133

4.2. Линейная обратная задача теории рассеяния лазерного излучения в двухмерном нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии случайного шума. Общие вопросы.134

297

4.3. Решение линейной обратной задачи теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума.136

4.3.1. Интегральное и дифференциальное волноводное рассеяние.137

4.3.2. Восстановление функции спектральной плотности.140

4.3.3. Нахождение оценок параметров нерегулярностей.141

4.3.4. Нахождение оценки автокорреляционной функции.141

4.3.5. Уточнение оценок параметров нерегулярностей.142

4.3.6. Восстановление АКФ нерегулярностей методом классической регуляризации.143

4.3.7. Улучшение оценок параметров нерегулярностей.143

4.3.8. Восстановление АКФ нерегулярностей методом квазиоптимальной регуляризации.143

4.3.9. Определение параметров нерегулярностей с высоким разрешением.144

4.4. Решение обратной задачи в случае интегрального волноводного рассеяния при наличии шума (зашумленные входные данные).144

4.5. Решение обратной задачи в случае дифференциального волноводного рассеяния при наличии шума.147

4.5.1. Применение классического метода регуляризации при решении обратной задачи в случае дифференциального волноводного рассеяния при наличии шума .148

4.5.2. Проблема ширины спектра нерегулярностей при решении обратной задачи (общий случай: входные данные при наличии или в отсутствие шума).151

4.5.3. Проблема наличия шума при решении обратной задачи. Методы фильтрации (сглаживания) шума при решении обратных задач.152

4.5.4. Выбор метода сглаживания (фильтрации) шума при решении обратной задачи волноводного рассеяния. Построение алгоритма квазиоптимальной регуляризации.155

4.5.5. Проблемы эргодичности и стационарности при решении обратной задачи волноводного рассеяния.170

4.6. Проблема корректности решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума.174

4.6.1. Существование решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума.174

4.6.2. Единственность решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума.175

4.6.3. Устойчивость решения обратной задачи волноводного рассеяния при наличии шума.177

4.7. Некоторые оценки, следующие из решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума.180

4.7.1. Оценка минимальной погрешности решения обратной задачи волноводного рассеяния в классе финитных функций (зашумленные входные данные).180

4.7.2. Оценка точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при неточно заданной информации (зашумленные данные).181

4.7.3. Оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решение обратной задачи (зашумленные данные).183

4.8. Обратная линейная задача теории волноводного рассеяния в отсутствие шума. Постановка линейной обратной задачи теории волноводного рассеяния в отсутствие шума. Проблема корректности решения обратной задачи в отсутствие шума.184

4.9. Решение обратной задачи теории волноводного рассеяния лазерного излучения при не зашумленных входных данных .186

4.9.1. Интегральное и дифференциальное волноводное рассеяние в отсутствие шума.188

4.9.2. Восстановление функции спектральной плотности (не зашумленные данные).189

4.9.3. Нахождение оценок параметров нерегулярностей (не зашумленные данные).190

4.9.4. Нахождение оценки автокорреляционной функции (не зашумленные данные).190

4.9.5. Уточнение оценок параметров нерегулярностей (не зашумленные данные) .202

4.9.6. Восстановление автокорреляционной функции нерегулярностей методом классической регуляризации (не зашумленные данные).202

4.9.7. Улучшение оценок параметров нерегулярностей (не зашумленные данные) .202

4.9.8. Восстановление автокорреляционной функции нерегулярностей методом квазиоптимальной регуляризации (не зашумленные данные).203

4.9.9. Определение параметров нерегулярностей с высоким разрешением (не зашумленные данные).203

4.10. Проблема корректности решения обратной задачи теории волноводного рассеяния при не зашумленных входных данных.203

4.10.1. Доказательство существования решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в отсутствие шума.204

4.10.2. Доказательство единственности решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в отсутствие шума.206

4.10.3. Проблема устойчивости решения обратной задачи волноводного рассеяния в отсутствие шума.207

4.11. Оценки, следующие из решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в отсутствие шума в классе целых функций.210

4.11.1. Оценка точности решения обратной задачи в классе финитных функций (не зашумленные входные данные).211

4.11.2. Оценка точности решения обратной задачи при неточно заданной информации (не зашумленные входные данные).212

4.11.3. Оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решения обратной задачи (не зашумленные данные).216

4.11.4. Оценка максимально допустимого среднеквадратичного отклонения нерегулярностей от среднего значения в обратной задаче волноводного рассеяния лазерного излучения (не зашумленные данные).217

4.12. Математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие физической модели статистических стационарных нерегулярностей.217

4.13. Проблема сверхразрешения в теории волноводного рассеяния света при наличии высокого шума.221

Глава 5. МЕТОД ВОЛНОВОДНОГО РАССЕЯНИЯ СВЕТА. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ВОЛНОВОДНОГО РАССЕЯНИЯ.224

5.1. Метод волноводного рассеяния света.224

5.1.1. Алгоритм восстановления АКФ шероховатости поверхности при наличии шума.225

5.1.2. Алгоритм восстановления ФСП шероховатости в присутствии шума . .226

5.1.3. Комплексный алгоритм восстановления АКФ шероховатости поверхности .227

5.1.4. Экспериментальная реализация метода волноводного рассеяния света. Результаты измерений.228

5.1.5. Применение комплексного алгоритма для восстановления экспериментальной АКФ шероховатости подложки волновода.230

5.1.6. Восстановление АКФ шероховатости подложки волновода с использованием канонического ансамбля гауссовых функций.235

5.1.7. Определение геометрических параметров шероховатости поверхности кварцевой пластинки.237

5.1.8. Макет прибора для измерения статистических характеристик шероховатости оптической поверхности.239

5.1.9. Обсуждение результатов измерений.241

5.2. Оценка влияния нерегулярностей интегрально-оптического волновода на пороговые характеристики тонкопленочного лазера.244

5.3. Волноводная сверхразрешающая оптическая микроскопия.247

5.4. Бифуркационные явления в оптическом волноводе со статистическими нерегулярностями.261

5.5. Явление радуги в жидкостном оптическом волноводе со статистическими нерегулярностями.270

5.6. Выводы и заключение.274

Интенсивное развитие интегральной оптики и волноводной оптоэлектроники за последние 30 лет существенно продвинуло исследования рассеяния светового излучения в нерегулярных интегрально-оптических планарных волноводах (ПВ). Число различных книг, журнальных и других публикаций посвященных данной проблеме достаточно велико (по нашей оценке - несколько сотен).

Совершенствование и активное развитие теоретических и компьютерных методов исследования, быстрый технологический прогресс стимулировали интерес к разработке полной векторной теории волноводного рассеяния в нерегулярном волноводе. Решение этой задачи имеет первостепенное значение для развития нанотехнологий в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике. Трехмерный анализ рассеяния, в отличие от двухмерного, позволяет точнее определить среднеквадратичные параметры нерегулярностей и правильно рассчитать такой важный для устройств интегральной оптики параметр как затухание направляемой моды из-за рассеяния. Кроме того, трехмерное решение электродинамической задачи позволяет намного точнее учесть влияние нерегулярностей на предельные характеристики планарных лазеров. Учет векторного характера полей в ближней зоне позволит рассчитывать трехмерные диаграммы рассеяния в местах расположения субволновых топологических элементов интегрально-оптических структур, на их краях, на элементах связи и т.д. В связи с вышесказанным исследование векторного рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях интегрального планарного волновода является актуальной задачей, имеющей как фундаментальное, так и прикладное значение т.к. полная векторная теория трехмерного волноводного рассеяния в интегрально-оптическом волноводе с произвольными нерегулярностями при наличии шума еще находится в стадии разработки.

Важно отметить, что в большинстве публикаций, как по однократному, так и по волноводному рассеянию света практически отсутствует постановка обратной задачи рассеяния (ОЗР) и обсуждение связанной с ней проблемы корректности, особенно при наличии шума. Исключение составляют некоторые публикации по классическим проблемам рассеяния, например, на телах различной формы, в которых определяется эффективное сечение рассеяния, поверхностный импеданс или профиль показателя преломления слабо неоднородной среды. А рассмотрение ОЗР, как правило, ограничено аддитивным шумом небольшой величины. Более того - обратная задача волноводного рассеяния, как при наличии, так и в отсутствие шума до сих пор не была решена.

В последние годы повысился интерес к разработке новых высокоточных оптических методов неразрушающего контроля и идентификации микрообъектов в лазерной и интегральной оптике, микро- и наноэлектронике, биологии, медицине, экологии, биофизике, биохимии и других наукоемких областях исследования. Это связано в первую очередь с высокой чувствительностью оптических методов, а также с возможностью оперативного неинвазивного исследования микроструктуры поверхности объектов различной природы. В связи с этим особую важность и актуальность приобрело решение задачи восстановления характеристик и определения геометрических размеров микрообъектов с превышением разрешения Аббе-Рэлея, т.е. со сверхразрешением. В более широком смысле под этой задачей следует понимать задачу существенного повышения разрешения. Эта проблема является фундаментальной как для интегральной оптики, волноводной оптоэлектроники, лазерной оптики, наноэлектроники и др., так и для медицины, биофизики, и других жизненно важных естественных наук. С этой точки зрения метод волноводного рассеяния, позволяющий решить задачу преодоления дифракционного предела, является, несомненно, актуальным и перспективным.

Актуальность темы диссертации определяется:

• активной разработкой в последнее десятилетие фундаментальной математической модели распространения электромагнитного излучения в различных трехмерных волноводах, а также - рассеяния электромагнитного излучения на трехмерных нерегулярностях различных типов волноводов: интегрально-оптических; диэлектрических; фотонных (например, волноводов на основе фотонных кристаллов); металлодиэлектрических и т.д.;

• разработкой векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях при наличии шума высокого уровня;

• необходимостью компьютерного моделирования и последующего сравнительного анализа рассчитанных диаграмм рассеяния при различном отношении сигнал/шум и в том числе при уровне сигнал/шум ~ 1;

• необходимостью исследования и решения проблемы корректности обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума;

• потребностью в разработке высокоточного оптического метода исследования, контроля и идентификации объектов с трехмерной субмикронной топологией в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике;

• практической значимостью полученных в диссертации математических и физических результатов для создания новых методов исследования и контроля микрообъектов, а также неоднородных сред и структур в лазерной и интегральной оптике, микро- и наноэлектронике, биомедицине, материаловедении, физхимии и в ряде других наукоемких областей исследования.

Целью диссертационной работы является разработка фундаментальных основ явления волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума и применение математического моделирования для решения актуальной научной проблемы -разработки математической модели явления волноводного рассеяния при наличии шума. А также для: развития качественных и приближенных аналитических методов исследования математической модели явления волноводного рассеяния при наличии шума; комплексного исследования данной научной проблемы с применением технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента; разработки новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе математической модели. Для достижения цели решены следующие задачи.

1. Разработана математическая модель векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях при наличии шума.

2. Получены приближенные аналитические выражения для векторных полей в ближней и в дальней зонах, а также для мощности рассеянного излучения в дальней зоне при наличии шума.

3. На основании полученных трехмерных формул с помощью компьютерного моделирования оценена погрешность двухмерного приближения теории волноводного рассеяния.

4. Разработана математическая модель интегрального и дифференциального волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума.

5. Разработан универсальный комплекс программ, с помощью которых методом численного моделирования рассчитаны диаграммы рассеяния лазерного излучения в дальней зоне для статистических нерегулярностей волноводов в плоскости падения при различных уровнях шума. Проведен анализ полученных диаграмм рассеяния.

6. Разработана теория приближенного решения обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при зашумленных и не зашумленных входных данных.

7. Разработан высокоэффективный алгоритм нахождения приближенного численного решения обратной задачи волноводного рассеяния, который обладает устойчивостью к малым изменениям во входных данных.

8. Продемонстрированы принципиальные отличия в решениях обратной задачи волноводного рассеяния при использовании классического метода регуляризации и разработанного автором модифицированного метода квазиоптимальной регуляризации, особенно при радиусах корреляции (латеральных размерах) нерегулярностей сравнимых и меньше длины волны лазерного излучения.

9. Показана возможность достижения сверхразрешения при решении обратной задачи волноводного рассеяния, как при точных, так и неточных входных данных. Продемонстрировано сверхразрешение по радиусам корреляции нерегулярностей при уровне шума сравнимом с уровнем сигнала.

10. Получены практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи.

11. Установлены математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие заданной физической модели нерегулярностей.

12. Продемонстрировано применение разработанного в настоящей диссертации метода волноводного рассеяния света, основанного на корректном решении обратной задачи волноводного рассеяния, для восстановления экспериментальной автокорреляционной функции статистической стационарной шероховатости поверхности по данным рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптическом волноводе.

Методы исследования

Для решения поставленных в диссертации задач применялись в основном метод математического моделирования и теоретический метод исследования (опирающиеся на: математический анализ; приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений; теорию возмущений; метод связанных мод; метод функций Грина и метод Фурье; теорию случайных функций; теорию функций комплексного переменного; методы решения некорректных задач и методы теории целых функций), а также различные методы численного анализа разработанных математических моделей. В экспериментах использовался в основном волноводный метод рассеяния лазерного излучения.

Научная новизна диссертации

В работе разработан комплексный метод математического моделирования в теории рассеяния лазерного излучения в нерегулярных волноводах при наличии и в отсутствие шума. Метод позволяет проверять адекватность математических моделей явления волноводного рассеяния на основе экспериментальных данных, полученных в ближней и дальней зонах излучения. В рамках проведенных исследований впервые получены следующие результаты.

1. Разработана математическая модель векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения в несимметричном интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума.

2. На основании разработанной трехмерной теории с помощью численного моделирования оценена погрешность двухмерного приближения и область его применимости при изменении радиуса корреляции нерегулярностей в широком диапазоне, включая радиус корреляции порядка длины волны излучения.

3. Предложена методология расчета диаграмм волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии шума. Выполнен расчет диаграмм рассеяния лазерного излучения в плоскости падения для ряда интегрально-оптических волноводов при различных уровнях шума.

4. Разработаны фундаментальные основы обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии и в отсутствие шума.

5. Разработан высокоэффективный алгоритм нахождения приближенного решения обратной задачи волноводного рассеяния, который обладает устойчивостью к малым изменениям во входных данных при наличии и в отсутствие шума.

6. Показана возможность достижения сверхразрешения при решении обратной задачи волноводного рассеяния, как при точных, так и неточных входных данных. Компьютерным моделированием продемонстрировано достижение сверхразрешения по радиусам корреляции нерегулярностей при уровне шума сравнимом с уровнем сигнала.

7. Получены некоторые практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума. В частности получены: оценка точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при неточно заданной информации и оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решения обратной задачи при наличии и в отсутствие шума.

8. На основании теории приближенного корректного решения обратной задачи волноводного рассеяния разработана универсальная математическая модель и комплексный алгоритм, позволяющий с помощью квазиоптимальной регуляризации восстановить с высоким разрешением автокорреляционную функцию и определить со сверхразрешением параметры волноводных нерегулярностей.

9. С учетом трехмерного характера рассеяния получена численная оценка предельной пороговой мощности накачки для кольцевого тонкопленочного лазера на красителе и для тонкопленочного лазера на красителе с распределенной обратной связью.

10. Экспериментально обнаружено явление волноводной радуги. На основании качественной модели явления сделаны приближенные численные оценки: добротности сфероидальных колебаний и величины поверхностного натяжения капли, находящейся в жидком волноводном слое.

Практическая значимость

Проведенное аналитическое исследование построенной математической модели явления волноводного рассеяния позволило впервые разработать фундаментальные основы корректного решения обратной задачи волноводного рассеяния. Это имеет важнейшее практическое значение для целого ряда отраслей науки и техники, в которых требуется контролировать как влияние статистических характеристик и параметров нерегулярностей объектов на их диаграммы рассеяния, так и определять с высокой точность, в том числе со сверхразрешением, характеристики и параметры нерегулярностей объектов по данным рассеяния. Этим в частности определяется практическая значимость полученных в диссертации результатов.

Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике, как в фундаментальных, так и в прикладных исследованиях явления рассеяния лазерного излучения на нерегулярностях структуры интегрально-оптических волноводов и устройств волноводной оптоэлектроники, создаваемых на их основе. Например, полученные в диссертации результаты могут быть использованы для:

- восстановления с высоким разрешением автокорреляционной функции и определения со сверхразрешением параметров соответствующих нерегулярностей;

- оптимизации параметров нерегулярных интегрально-оптических волноводов и оптических интегральных схем, создаваемых на их основе, в частности по такому критически важному параметру как коэффициент затухания волноводной моды.

Разработанные в диссертации математические модели интегрального и дифференциального волноводного рассеяния могут быть использованы для разработки высокоэффективных алгоритмов расчета различных характеристик и параметров рассеяния, как в известных волноводных структурах, так и в новых перспективных волноводах (на основе фотонных сред и др.), а также -синтезировать новые волноводные устройства с заранее заданными, например, минимизированными параметрами излучения (под данным углом, в заданную моду, на данной длине волны и др.).

Методы исследования и алгоритмы, разработанные в диссертации, могут быть использованы в фундаментальных и прикладных исследованиях в таких научных областях как физика микронеоднородных сред, физика поверхностных электромагнитных волн, интерферометрия, дифрактометрия, спектрофотометрия, эллипсометрия, микроскопия, волноводная акустика, биомедицина, физхимия тонких пленок и межфазных поверхностей, экология и в ряде других областей.

Представленные в диссертации результаты были частично использованы в ряде НИР выполнявшихся Российским университетом дружбы народов и ИОФ им. A.M. Прохорова РАН.

Основные научные положения, выносимые за защиту:

1. Аналитическое решение электродинамической задачи рассеяния направляемой волноводной моды в интегрально-оптическом волноводе, содержащем произвольные трехмерные нерегулярности, при наличии шума методом связанных мод с помощью теории возмущений и метода функций Грина.

2. Построение математической модели, позволяющей проводить оценку погрешности двухмерного приближения и области его применимости при изменении радиуса корреляции волноводных нерегулярностей в широком диапазоне.

3. Расчет диаграмм рассеяния в дальней зоне в интегрально-оптических волноводах при изменении параметров нерегулярностей в широком диапазоне значений методом компьютерного моделирования.

4. Разработка теории обратной задачи волноводного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе при наличии и в отсутствие шума.

5. Разработка алгоритма нахождения приближенного решения обратной задачи волноводного рассеяния, обладающего устойчивостью к малым изменениям во входных данных.

6. Достижение сверхразрешения при решении обратной задачи волноводного рассеяния, как при точных, так и неточных входных данных, в том числе при различных уровнях и видах шума.

7. Практически важные аналитические и численные оценки для найденного решения обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума.

8. Математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие решению обратной задачи в отсутствие шума для заданной модели статистических стационарных нерегулярностей.

9. Разработка метода волноводного рассеяния света, позволяющего восстановить с высоким разрешением автокорреляционную функцию и определить со сверхразрешением параметры соответствующих волноводных нерегулярностей.

10. Демонстрация эффективности разработанных методов и алгоритмов при обработке экспериментальных данных волноводного рассеяния лазерного излучения.

Достоверность полученных результатов

Достоверность разработанной теории, построенных математических моделей и полученных теоретических результатов обусловлена последовательностью и строгостью применения выбранных физико-математических методов анализа поставленных задач, а также обоснованностью сделанных при их решении физических и математических предположений. Численные результаты, полученные как автором диссертации, так и другими исследователями в соответствии с двухмерной теорией волноводного рассеяния, следуют из результатов настоящей работы как частный случай. Сравнение параметров нерегулярностей, определенных в соответствии с разработанным в настоящей диссертации методом волноводного рассеяния, с данными независимых измерений (растровый сканирующий электронный микроскоп и др.) показало, что они находятся в хорошем соответствии.

Личный вклад автора

Автору принадлежит выбор научного направления, постановка задач, организация и выполнение теоретических и экспериментальных исследований, а также - численных расчетов методом компьютерного моделирования, получение всех основных результатов и их физическая интерпретация. Вклад автора настоящей диссертации в работы с соавторами заключается в: полноценном участии в разработке теоретических моделей, развитии математического формализма, создании алгоритмов и комплексов компьютерных программ, проведении численных расчетов и экспериментов, определении места предлагаемых автором моделей в спектре современных теорий.

Апробация работы и публикации

Результаты диссертации доложены на следующих научных симпозиумах, конгрессах, конференциях, семинарах и выставках:

Всесоюзной научно-технической конференции «Проектирование радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах» (Тбилиси, 1988 г.);

Всесоюзной научно-технической конференции «Оптический, радиоволновой и тепловой методы неразрушающего контроля» (Могилев, 1989 г.);

Выставке «Достижения ученых высшей школы в НИР в области лазерной техники» (Москва, 1989 г.); щ — Научно-технической конференции «Оптическая коммутация и оптические сети связи» (Суздаль, 1990 г.);

П-й Научно-технической конференции «Оптические сети связи» (Владимир, 1991 г.);

V-XII-й Международной научно-технической конференции «Лазеры в науке, технике, медицине» (Суздаль, 1994 г.; Суздаль, 1995 г.; Сергиев Посад 1996 г.; Пушкинские Горы, 1997 г.; Геленджик, 1998 г.; Сочи, 1999 г.; Сочи, 2000 г.; Сочи, 2001 г.; Сочи, 2002 г.);

Международной конференции «Photonic systems for ecological monitoring» (Чешская республика, Прага, 1996 г.);

VI и VII-m Международном Симпозиумах по лазерной физике «LPHYS'97», «LPHYS'98» (Чешская республика, Прага, 1997 г.; Германия, Берлин, 1998 г.);

I и П-й Международной конференциях по компьютерной физике «Modern

Щ trends in computational physics» (Дубна, 1998 г.; Дубна, 2000 г.);

П-й и Ш-й Научно-технической конференции «Электроника, микро- и наноэлектроника» (Суздаль, 2000 г.; Пушкинские Горы, 2001 г.);

Международных конференциях по когерентной и нелинейной оптике «ICONО 'PS», «ICONO 2001» (Москва, 1998 г.; Республика Беларусь, Минск, 2001 г.);

XXXVI и XXXVIII-й Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2000 г., 2002 г.);

VII-м Международном Симпозиуме «Laser metrology applied to science, industry, and everyday life)) (Новосибирск, 2002 г.);

19-м Конгрессе международной комиссии по оптике «19th Congress of the International Commission for Optics)) (Italy, Firenze, 25-30 August 2002); ф —Международном Симпозиуме «Photonics West» (25-31 January 2003, San

Jose, California USA);

Международном Симпозиуме «Photonics Europe» (26-30 April 2004, Strasbourg, France);

Постоянно действующем семинаре отдела колебаний ИОФ РАН под рук. академика A.M. Прохорова;

Постоянно действующем семинаре Научного Центра Волновых Исследований ИОФ РАН под рук. академика Ф.В. Бункина;

Постоянно действующем семинаре Научно-технологического Центра Уникального Приборостроения РАН под рук. члена-корреспондента РАН В.И. Пустовойта;

Постоянно действующем семинаре кафедры общей физики Российского университета дружбы народов под рук. профессора А.П. Гордеева;

Постоянно действующем семинаре лаборатории вычислительной физики Российского университета дружбы народов под рук. профессоров Е.П. Жидкова и JI.A. Севастьянова.

Результаты работы также докладывались: на научных семинарах ряда других кафедр и подразделений Российского университета дружбы народов (РУДН), на ряде конференций Научно-учебного центра физико-химических методов исследований РУДН, на научном семинаре НПО «Оптика», а также на заседаниях секции «Интегральная оптоэлектроника» Московского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова.

По теме диссертации автором опубликовано 82 печатных работы, из которых: 28 - статьи в рецензируемых научных журналах, включая 25 статей в научных журналах, входящих в установленный ВАК перечень периодических научных и научно-технических изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук; 10 - труды Международных конференций, 15 -статьи в сборниках научных трудов; 4 - авторские свидетельства на изобретения и 1 - проспект экспоната ВДНХ. Основные публикации приведены в списке литературы в конце диссертации.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, и списка цитируемой литературы. Диссертация содержит 300 страниц текста, в том числе 52 рисунка и список литературы из 281 наименования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ

В ДИССЕРТАЦИИ

1. Методом связанных мод с помощью теории возмущений и метода функций Грина впервые аналитически решена электродинамическая задача о рассеянии направляемой волноводной моды в интегрально-оптическом волноводе, содержащем произвольные трехмерные нерегулярности при наличии случайного шума.

2. Разработана математическая модель интегрального и дифференциального волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума.

3. С использованием разработанного комплекса программ впервые выполнен расчет на компьютере диаграмм рассеяния лазерного излучения, рассеянного в статистически нерегулярном двухмерном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума различного уровня, включая уровень шума сравнимый с уровнем сигнала.

4. Выполнен теоретический анализ динамики диаграмм рассеяния лазерного излучения в нерегулярном оптическом волноводе при изменении эффективного показателя преломления и уровня шума.

5. Впервые поставлена и решена обратная линейная двухмерная задача теории волноводного рассеяния лазерного излучения при наличии и в отсутствие шума.

6. Введено понятие приближенного решения сформулированной в диссертации некорректной обратной задачи теории волноводного рассеяния при наличии шума.

7. Впервые получены практически важные в теории волноводного рассеяния при наличии и в отсутствие шума аналитические и численные оценки: оценка минимальной погрешности решения обратной задачи волноводного рассеяния в классе финитных функций; оценка точности решения обратной задачи волноводного рассеяния при неточно заданной информации; оценка влияния погрешности измерения диаграммы рассеяния на погрешность решения обратной задачи и оценка максимально допустимого среднеквадратичного отклонения нерегулярностей от среднего значения.

8. Изложены теоретические основы разработанного автором диссертации комплексного метода решения обратной задачи волноводного рассеяния света при высоком уровне шума, в том числе при переходе на дискретное множество с использованием теоремы отсчетов Котельникова-Шеннона.

9. Определены фундаментальные ограничения метода волноводного рассеяния.

10. Разработанный метод волноводного рассеяния лазерного излучения успешно применен для корректного восстановления экспериментальной АКФ статистической шероховатости поверхности интегрально-оптического волновода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации построена математическая модель интегрального и дифференциального волноводного рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях при наличии и в отсутствие шума. Получено приближенное аналитическое решение векторной теории волноводного рассеяния при наличии шума. Разработана теория приближенного решения обратной задачи волноводного рассеяния при зашумленных и не зашумленных входных данных. Разработан высокоэффективный алгоритм нахождения приближенного численного решения обратной задачи волноводного рассеяния, обладающий устойчивостью к малым изменениям во входных данных. Разработанный комплексный алгоритм решения обратной задачи может быть эффективно использован при высоком уровне шума, в том числе при переходе на дискретное множество. Определены математические свойства функции спектральной плотности, удовлетворяющие заданной физической модели нерегулярностей. Определены фундаментальные ограничения метода волноводного рассеяния. Продемонстрировано применение разработанного автором настоящей диссертации метода волноводного рассеяния, основанного на корректном решении обратной задачи, для восстановления экспериментальной автокорреляционной функции.

Важным преимуществом рассматриваемого метода является использование явления волноводного рассеяния, которое позволяет повысить чувствительность измерений примерно в 100-1000 по сравнению с методами однократного рассеяния света, благодаря многократному синфазному рассеянию света на исследуемом статистическом ансамбле нерегулярностей. Волноводный метод позволяет получить статистическую информацию о шероховатости подложки (или неоднородности волноводного слоя) оптической интегральной схемы за одно измерение с достаточно большой площади поверхности (или объема волноводного слоя). Преимуществом метода является также возможность исследования нерегулярностей волновода в широком диапазоне изменения их латеральных размеров, включая и размер порядка длины волны зондирующего излучения, как и в теории рассеяния Ми. Представленный в настоящей работе метод применим к достаточно широкому классу исследуемых нерегулярностей.

1. Beckmann P., Spizzichino A. The scattering of electromagnetic waves from rough surfaces. Oxford: Pergamon Press. 1963. 492 p.

2. Рытов C.M. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука. 1966. 404 с.

3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука. 1970. 856 с.

4. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. М.: Наука. 1972. 424 с.

5. Чернов JI.A. Волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука. 1975. 172 с.

6. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука. 1979. 384 с.

7. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука. 1981. 640 с.

8. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь. 1988.440 с.

9. Goodman, J.W. Statistical Optics. New York: Wiley. 1985. (Перевод: Гудмен Дж. Статистическая оптика. М.: Мир. 1988. 528 е.).

10. Топорец А.С. Оптика шероховатой поверхности. Л.: Машиностроение. 1988.191 с.

11. Colton D., Kress R. Integral equation methods in scattering theory. New York: John Wiley & Sons. 1983. (Перевод: Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир. 1987. 311 с.)

12. Дерюгин JI.H. Уравнения для коэффициентов отражения волн от периодически неровной поверхности // ДАН СССР. 1952. Т.87. С. 913-916.

13. Davies Н. The reflection of electromagnetic waves from a rough surface // Proc. IEE. 1954. Vol. 101. P. 209-218.

14. Beckman P. Scattering by composite rough surfaces // Proc. of IEEE. 1965. V.53.No. 8. P. 1012-1015.

15. Elson J.M. Theory of light scattering from a rough surface with an inhomogeneous dielectric permittivity // Physical Review B. 1984. V. 30. No. 10. P. 5460-5480.

16. Elson J.M., Bennet J.M. Relation between the angular dependence of scattering and the statistical properties of optical surfaces // J. Opt. Soc. Am. 1979. V. 69. No. 1. P. 31-47.

17. Church E.L., Jenkinson H.A., Zavada J.M. Relationship between surface scattering and microtopographic features // Opt. Engineering. 1979. V.18. No. 2. P. 125-136.

18. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Рассеяние электромагнитных волн в неоднородных средах с пространственной дисперсией // Изв. Вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32. №2. С. 176-182.

19. Шермергор Т.Д., Фокин А.Г., Дикарев A.B. Стохастический резонанс при распространении волн в полностью разупорядоченных трехмерных средах //ДАН СССР. Механика. 1991. Т. 320. № 5. С. 1063-1068.

20. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Влияние ближнего порядка на среднее поле в случайно-неоднородной среде//ЖЭТФ. 1995. Т. 107. Вып. 1. С. 111-118.

21. Фокин А.Г. О расчете средней интенсивности скалярных волн в случайно-неоднородной среде//ЖЭТФ. 1995. Т. 107. Вып. 4. С. 1122-1134.

22. Мазуренко М.М., Скрелин A.JL, Топорец A.C. Фотометрический метод определений шероховатости непрозрачной поверхности // ОМП. 1979. № 11. С. 1-3.

23. Андлер Г., Егоров A.A., Черемискин И.В. Определение параметров шероховатости оптической поверхности по рассеянию в диэлектрическом волноводе // Оптика и спектроскопия. 1984. Т. 56. № 4. С. 731-735.

24. Егоров A.A. Математические методы решения задачи волноводного рассеяния света в планарных волноводах // Моделирование систем и информатика. М.: УДН. 1989. С. 81-84.

25. Егоров A.A., Черемискин И.В. Прибор для измерения статистических характеристик шероховатости оптической поверхности // Проспект. М.: УДН, 1989.4 с.

26. Способ определения потерь, обусловленных рассеянием света на объемных неоднородностях в планарных оптических волноводах. A.c. 1539713, МКИ5 G02 В 6/10/ Егоров A.A., Черемискин И.В. // Опубл. 30.01.1990. Бюл. № 4. С. 184.

27. Способ определения параметров шероховатости оптической поверхности. A.c. 1620831, МКИ5 G01 В 11/30/Егоров A.A., Черемискин И.В. // Опубл. 15.01.91. Бюл. №2. С. 118.

28. Устройство для контроля шероховатости оптической поверхности. A.c. 1610259, МКИ5 G01 В 11/30/ Егоров A.A., Черемискин И.В. // Опубл. 30.11.90. Бюл. №44. С. 169.

29. Способ определения параметров шероховатости поверхности изделия и устройство для его осуществления. A.c. 1700358, МКИ5 G01 В 11/30/ Егоров A.A. // Опубл. 23.12.91. Бюл. № 47. 5 с.

30. Сиро Ф. Васкес С. де Ф., Егоров A.A., Черемискин И.В. К вопросу об определении статистических характеристик нерегулярностей тонкопленочных волноводов // Автометрия. 1991. № 2. С. 51-55.

31. Егоров A.A. Вопросы симметричности, регулярности, стационарности и эргодичности применительно к волноводам интегральной оптики // Модели информационно-вычислительных систем. М.: УДН. 1992. С. 89-95.

32. Егоров A.A. Рассеяние на трехмерных нерегулярностях в планарных диэлектрических волноводах (метод функций Грина) // Моделирование систем и информатика. М.: УДН. 1992. С. 96-100.

33. Егоров A.A. К вопросу об оптимальном значении коэффициента фазового замедления нерегулярного волновода // Методы массового обслуживания в информатике. М.: УДН. 1992. С. 92-95.

34. Егоров A.A. Исследование рассеяния света и определение статистических характеристик нерегулярностей планарных оптических волноводов: Дисс. канд. физ.-мат. наук, М.: УДН. 1992. 201 с.

35. Егоров A.A. Исследование рассеяния света и определение статистических характеристик нерегулярностей планарных оптических волноводов: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: УДН. 1992. 13 с.

36. Егоров A.A. Характеристики излучения, рассеянного на шероховатостях поверхности подложки планарного волновода // Поверхность. Физика, химия, механика. 1994. № 5. С. 72-76.

37. Егоров A.A. Методы контроля структуры и качества поверхности в оптике и электронике // Тез. докл. V-й Межд. науч.-техн. конфер. «Лазеры в науке, технике, медицине». 20-22 сентября 1994 г. Суздаль. М.: ИРЭ РАН. 1994. С. 21.

38. Егоров А.А. Волноводная микроскопия субмикронных шероховатостей оптической поверхности // Тез. докл. VI-й Межд. науч.-техн. конфер. «Лазеры в науке, технике, медицине». 19-21 сентября 1995 г. Суздаль. М.: ИРЭ РАН. 1995. С. 70-72.

39. Егоров А.А. Механизмы потерь в интегрально-оптических волноводах // Тез. докл. VII-й Межд. науч.-техн. конфер. «Лазеры в науке, технике, медицине». 24-26 сентября 1996 г. Сергиев Посад. М.: ИРЭ РАН. 1996. С. 94-97.

40. Egorov A.A. Waveguide optical microscopy // Proc. SPIE. 1997. V. 3200. P. 114-120.

41. Egorov A.A. Theory of waveguide optical microscopy // Laser Physics. 1998. V. 8. No. 2. P. 536-540.

42. Egorov А.А. Computer modeling of solution of direct and inverse problems in waveguide optical microscope // Book of Abstracts of First Intern. Confer. "Modern Trends in Computational Physics". June 15-20.1998. Russia. Dubna: ЛNR. 1998. P. 64.

43. Egorov A.A. Optimization of characteristics and parameters of waveguide optical microscope // Laser Physics. 1999. V. 9. No. 2. P. 542-547.

44. Егоров A.A. Определение параметров статистического ансамбля микрообъектов в волноводном оптическом микроскопе // Изв. РАН. Серия Физическая. 1999. Т. 63. №6. С. 1125-1131.

45. Егоров А.А. Определение характеристик и параметров статистической неровности поверхности в волноводном оптическом микроскопе (компьютерное моделирование) // Вестник РУДН. Серия Физика. № 7. Вып. 1. 1999. С. 35-40.

46. Egorov А.А. Determination of the parameters of a statistical ensemble of microobjects in a waveguide optical microscope // Proc. SPIE. 1999. V. 3736. P. 375-384.

47. Егоров А.А. Методы контроля субмикронных структур и качества поверхности // Сб. науч. Трудов 2-й Науч.-техн. конфер. «Электроника, микро-и наноэлектроника». М.: МИФИ. 2000. С. 57-65.

48. Егоров А.А. Восстановление характеристик и определение параметров статистической нанометровой шероховатости поверхности по данным рассеяния в планарном оптическом волноводе // Изв. Вузов. Радиофизика. 2000. Т. 43. № 12. С. 1090-1099.

49. Егоров А.А. Методы исследования субмикронных объектов // Сб. научн. трудов РУДН. М.: РУДН. 2000. С. 366-371.

50. Егоров А.А. Лазерные методы исследования микрообъектов с субволновым разрешением // Сб. науч. трудов РУДН. М.: РУДН. 2001. С. 378-384.

51. Егоров А.А. Волноводное рассеяние лазерного излучения. Применение в интегральной оптике и оптоэлектронике: возможности и ограничения метода // Сб. науч. Трудов 3-й Науч.-техн. конфер. «Электроника, микро- и наноэлектроника». М.: МИФИ. 2001. С. 129-137.

52. Egorov A.A. Restoration of the autocorrelation function of a statistic surface roughness on the light scattering in a planar optical waveguide in the presence of the additive stochastic noise // Proc. SPIE. 2002. V. 4750. P. 192-201.

53. Yegorov А.А. Inverse light scattering problem in a planar waveguide with statistical subwavelength irregularities: theory and computer simulation // J. Comput. Methods in Sciences and Engineering. 2002. V. 2. P. 277-285.

54. Егоров А.А. Волноводная оптическая микроскопия новый лазерный метод исследования и контроля // Контроль. Диагностика. 2002. № 4. С. 25-30.

55. Egorov А.А. Waveguide light scattering: correct restoration of the statistic characteristics of the thin films and optical surface irregularities // Proc. SPIE. 2002. V. 4829. P. 591-592.

56. Егоров А.А. Волноводная оптическая микроскопия новый метод исследования // Сб. науч. трудов РУДН. М.: РУДН. 2003. С. 215-221.

57. Yegorov А.А. Using of the waveguide light scattering for precision measurements of the statistic parameters of irregularities of integrated optical waveguide's materials // Proc. SPIE. 2003. V. 4987. P. 299-309.

58. Егоров А.А. Восстановление характеристик и определение параметров статистической шероховатости поверхности по данным рассеяния света в интегральном волноводе при наличии шума // Оптика и спектроскопия. 2003. Т. 95. №2. С. 294-304.

59. Yegorov A.A. Inverse laser irradiation scattering problem in a planar waveguide with statistical irregularities. Computer modelling for a case of large additive "white" noise // Laser Physics. 2003. V. 13. No. 9. P. 1143-1148.

60. Егоров А.А. Векторная теория рассеяния лазерного излучения в интегрально-оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума // Квантовая электроника. 2004. Т. 34. № 8. С. 744-754.

61. Egorov A.A. Correct investigation of the statistic irregularities of integrated optical waveguides using waveguide light scattering // Laser Physics. 2004. V. 14. No. 7. P. 987-995.

62. Egorov A.A. Vector theory of the waveguide scattering of laser radiation in the presence of noise (method of modes and method of Green's function) // Laser Physics. 2004. V. 14. No. 8. P. 1072-1080.

63. Egorov A.A. Inverse problem of laser light scattering in an integrated optical waveguide: 2D solution with accurate input data // Laser Physics. 2004. V. 14. No. 10. P. 1296-1309.

64. Egorov A.A. Correct investigation of the statistic irregularities of integrated optical waveguides with the use of the waveguide light scattering // Laser Physics Letters. 2004. V. 1. No. 8. P. 421-428.

65. Egorov A.A. Theory of laser radiation scattering in integrated optical waveguide with 3D-irregularities in presence of noise: vector consideration // Laser Physics Letters. 2004. V. 1. No. 12. P. 579-585.

66. Egorov A.A. Inverse problem of theory of the laser irradiation scattering in two-dimensional irregular integrated optical waveguide in the presence of statistic noise // Laser Physics Letters. 2005. V. 2. No. 2. P. 77-83.

67. Egorov A.A. Use of waveguide light scattering for precision measurements of the statistic parameters of irregularities of integrated optical waveguide materials // Opt. Engineering. 2005. V. 44. No. 1. P. 014601-1-014601-10.

68. Каце^кнбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Наука. 1961. 216 с.

69. Шевченко В.В. Плавные переходы в открытых волноводах. М.: Наука. 1969. 192 с.

70. Marcuse D. Light transmission optics. New York: Van Nostrand Reinhold. 1972. 444 p. (Перевод: Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир. 1974.576 е.).

71. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Свойства плоских несимметричных диэлектрических волноводов на подложке из диэлектрика // Изв. Вузов. Радиоэлектроника. 1967. Т. 10. № 2. С. 134-142.

72. Золотов Е.М., Киселев В.А., Сычугов В.А. Оптические явления в тонкопленочных волноводах // УФН. 1974. Т. 112. Вып. 2. С. 231-273.

73. Гончаренко A.M., Дерюгин Л.Н., Прохоров A.M., Шипуло Г.П. О развитии интегральной оптики в СССР // Журнал прикладной спектроскопии. 1978. Т. XXIX. Вып. 6. С. 987-997.

74. Гончаренко A.M., Редько В.П. Введение в интегральную оптику. Минск: Наука и техника. 1975. 152 с.

75. Introduction to Integrated Optics / Ed. By Michael K. Barnoski. New York and London.: Plenum Press. 1974. (Перевод: Введение в интегральную оптику / Под. ред. Барноски М. М.: Мир. 1977. 368 е.).

76. Integrated Optics / Ed. By Tamir Т. New York.: Springer-Verlag. 1975. (Перевод: Интегральная оптика / Под. ред. Тамира Т. М.: Мир. 1978. 344 е.).

77. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир. 1980.656 с.

78. Дерюгин Л.Н., Комоцкий В.А. Оптические волноводы. М.: УДН. 1981.64 с. Юб.Курушин Е.П., Нефедов Е.И. Электродинамика анизотропныхволноведущих структур. М.: Наука. 1983. 224 с.

79. Snyder A.V., Love J.D. Optical waveguide theory. New York: Chapman and Hall. 1983. (Перевод: Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь. 1987. 656 е.).

80. Robert G. Hunsperger. Integrated Optics. Theory and Technology. New York.: Springer-Verlag. 1984. (Перевод: Хансперджер P. Интегральная оптика. M.: Мир. 1985.384 е.).

81. Марчук А.Н., Сотин В.Е. Потери в слоистых диэлектрических волноводах // Труды УДН. 1967. Т. 2. Вып. 3. С. 129-135.

82. Дерюгин Л.Н., Марчук А.Н., Сотин В.Е. Излучение с плоского диэлектрического волновода // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1970. Т. 13. № 3. С. 309-315.

83. Дерюгин Л.Н., Чехлова Т.К. Исследование оптических микроволноводов на желатиновых пленках // Оптика и спектроскопия. 1973. Т. 35. Вып. 2. С. 362-365.

84. Аникин В.И., Горобец А.П. Исследование плоских волноводов для интегральной оптики, изготовленных методом твердотельной диффузии // Квантовая электроника. 1975. Т. 2. № 7. С. 1465-1470.

85. Горобец А.П., Дерюгин Л.Н., Сотин В.Е. К анализу прямоугольного диэлектрического волновода // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20. № 1. С. 86-94.

86. Гудзенко А.И. Резонансное отражение в плоских волноводах с периодической модуляцией толщины диэлектрика // Радиотехника и электроника. 1976. Т. 21. № 3. С. 451-457.

87. Гудзенко А.И. Брэгговское отражение в планарных диэлектрических волноводах с периодической модуляцией толщины // Радиотехника и электроника. 1976. Т. 21. № 8. С. 1609-1615.

88. Аникин В.И., Горобец А.П., Половинкин А.Н. Характеристики плоских оптических волноводов, изготовленных методом твердотельной диффузии//Квантовая электроника. 1978. Т. 5. № 1. С. 181-183.

89. Аникин В.И., Дерюгин Л.Н., Летов Д.А., Половинкин А.Н., Сотин В.Е. Экспериментальное исследование пассивных планарных оптических элементов //ЖТФ. 1978. Т. 48. №5. С. 1005-1009.

90. Дерюгин Л.Н., Комоцкий В.А. Явления при дифракции оптической волны с пространственной фазовой модуляцией на периодической амплитудной решетке // Оптика и спектроскопия. 1979. Т. 46. Вып. 1. С. 146-152.

91. Гудзенко А.И., Половинкин А.Н. Собственные волны плоскослоистого несимметричного диэлектрического волновода // Изв. Вузов. Радиоэлектроника. 1979. Т. 22. № 5. С. 59-65.

92. Атая Б.А., Осовицкий А.Н. Излучение света из металлодиэлектрического волновода с гофрированной границей // Оптика и спектроскопия. 1987. Т. 62. Вып. 5. С. 1141-1146.

93. Шевченко В.В. Наглядная классификация волн, направляемых регулярными открытыми волноводами // Радиотехника и электроника. 1969. Т. 14. № 10. С. 1768-1775.

94. Шевченко В.В. Квазиволноводные (вытекающие) волны в слоисто-неоднородных волноводах // Изв. Вузов. Радиофизика. 1969. Т. 12. № 9. С. 1389-1392.

95. Шевченко В.В. О разложении полей открытых волноводов по собственным и несобственным волнам // Изв. Вузов. Радиофизика. 1971. Т. 14. №8. С. 1243-1249.

96. Шевченко В.В. Метод спектрального разложения полей в теории открытых волноводов: Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. М.: ИРЭ АН СССР. 1977. 34 с.

97. Киселев В.А. Резонансное преобразование и отражение поверхностных волн в тонкопленочном волноводе с синусоидально гофрированной поверхностью // Квантовая электроника. 1974. Т. 1. № 2. С. 329333.

98. Киселев В.А. О распространении, преобразовании и генерации поверхностных световых волн в тонких пленках с гармоническипромодулированным показателем преломления // Квантовая электроника. 1974. Т. 1. №4. С. 899-907.

99. Зленко А.А., Киселев В.А., Прохоров A.M., Спихальский А.А., Сычугов В.А. Излучение поверхностных световых волн на гофрированном участке тонкопленочного волновода // Квантовая электроника. 1974. Т. 1. № 7. С. 1519-1526.

100. Зленко А.А., Киселев В.А., Прохоров A.M., Спихальский А.А., Сычугов В.А. Излучение и отражение света на гофрированном участке волновода// Квантовая электроника. 1974. Т. 2. № 11. С. 2433-2438.

101. Прохоров A.M., Спихальский А.А., Сычугов В.А., Шипуло Г.П. Отражение и излучение Н- и Е-волн на гофрированном участке диффузионного волновода//Квантовая электроника. 1976. Т. 3. № 9. С. 1941-1947.

102. Marcuse D. Radiation losses of dielectric waveguides in terms of the power spectrum or the wall distortion function // Bell System Tech. J. 1969. V. 48. No. 10. P. 3233-3242.

103. Marcuse D. Mode conversion caused by surface imperfections of a dielectric slab waveguide // Bell. System Tech. J. 1969. V. 48. No. 10. P. 3187-3215.

104. Marcuse D. Power distribution and radiation losses in multimode dielectric slab waveguide // Bell System Tech. J. 1972. V. 51. No. 2. P.429-454.

105. Tuan H.S. The radiation and reflection of surface waves at a discontinuity // IEEE Trans, on Ant. and Prop. 1973. V. 21. No. 3. P. 351-356.

106. Tsai T.L., Tuan H.S. Reflection and scattering by a single groove in integrated optics // IEEE J. of QE. 1974. V. 10. No. 3. P. 326-332.

107. Imai M., Asakura T. Mode conversion in a slab optical waveguide with refractive index inhomogeneities // Trans. IEE Japan. 1974. V. 58-C. No. 12. P.708-713.

108. Imai M., Miyanaga S., Asakura T. Mode conversion and radiation loss caused by refractive-index fluctuations in an asymmetric slab waveguide // IEEE J. of QE. 1977. V. 13. No. 4. P.255-262.

109. Miyanaga S., Imai M., Asakura T. Radiation pattern of light scattering from the core region of dielectric-slab-optical waveguides // IEEE J. of QE. 1978. V. 14. No. l.P. 30-37.

110. Miyanaga S., Asakura Т., Imai M. Scattering characteristics of a beam mode in dielectric-slab optical waveguide // Optical and QE. 1979. V. 11. P. 205-215.

111. Miyanaga S., Asakura Т., Imai M. Scattering characteristics of a beam mode in a dielectric-slab optical waveguide // Part II. Optical and QE. 1980. V. 11. P. 23-33.

112. Imai M., Koseki M., Ohtsuka Y. Light scattering from a glass thin-film optical waveguide//J. Appl. Physics. 1981. V. 52. No. 11. P. 6506-6508.

113. Imai M., Ohtsuka Y., Koseki M. Scattering pattern measurement and analysis of sputtered-glass optical waveguides for integrated optics // IEEE Trans, on MTT. 1982. V. 30. P. 635-641.

114. Imai M., Asakura T. Log-amplitude and phase fluctuations of a guided beam mode in asymmetric slab waveguides // J. Opt. Soc. Am. 1976. V. 66. P. 668-673.

115. Imai M., Ohtsuka Y., Haneda N. Out-of-plane scattering from ion exchanged optical waveguides // J. of Appl. Physics. 1985. V. 57. No. 11. P. 4879-4882.

116. Андлер Г., Черемискин И.В. Потери на рассеяние в нерегулярном несимметричном диэлектрическом волноводе // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1980. Т. XXIII. №9. С. 38-42.

117. Андлер Г., Черемискин И.В. Рассеяние в диэлектрическом волноводе со случайными искажениями стенок // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1981. Т. ХХ1У. № 9. С. 68-70.

118. Андлер Г., Гебрезгиабахер Б., Черемискин И.В. Рассеяние в тонкопленочном диэлектрическом волноводе с синусоидальными гофрами // Автометрия. 1982. № 6. С. 87-89.

119. Андлер Г. Исследование рассеяния в оптических тонкопленочных волноводах: Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: УДН. 1982. 199с.

120. Сиро Ф. Васкес де Ф. Рассеяние света на случайных неоднородностях в тонкопленочных волноводах: Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: УДН. 1988.211 с.

121. Сотин В.Е., Осовицкий А.Н., Цеснек JI.C., Челяев А.Ф. Использование волноводного рассеяния света для определения статистических характеристик шероховатых поверхностей // ОМП. 1981. № 7. С. 1-4.

122. Устройство для контроля шероховатости поверхности. А.с. 1033863, МКИ4 G01B 11/30/ Дерюгин Л.Н., Осовицкий А.Н., Сотин В.Е., Тищенко А.А., Цеснек Л.С. и Челяев А.Ф.//Опубл. 07.08.1983. Бюл. № 29. С. 151.

123. Сотин В.Е. Волновые явления в волноводах планарной (интегральной) оптики: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. М.: УДН. 1985. 307 с.

124. Дерюгин Л.Н., Цеснек Л.С.,. Осовицкий А.Н., Сотин В.Е., Челяев А.Ф. Прибор для определения микроструктуры шероховатости поверхности // Проспект. М.: УДН. 1989. 4 с.

125. Муранова Г.А., Терпугов B.C. Исследование механизмов потерь в тонкопленочных волноводах // Изв. АН СССР. Серия Физическая. 1981. Т. 45. №2. С. 392-395.

126. Suematsu Y., Furuya К., Hakuta М., Chiba К. Far-field radiation pattern caused by random wall distortion of dielectric waveguides and determination of correlation length // IECE Japan. Paper of Tech. Group on QE. 1972. Paper 71-55.

127. Suematsu Y., Furuya K. Propagation mode and scattering loss of a two dimensional dielectric waveguide with gradual distribution of refractive index // IEEE Trans, on MTT. 1972. V. 20. No. 7. P. 524-531.

128. Suematsu Y., Furuya K., Hakuta M., Chiba K. Properties of irregular boundary of RF sputtered glass film for light guide // Proc. of the IEEE (Lett.). 1972. V. 60. No. 6. P. 744-745.

129. Suematsu Y., Furuya K. Characteristic modes and scattering loss of asymmetric slab optical waveguides // Trans, of the IECE Japan. 1973. V. 56. No. 5. P. 277-284.

130. Nayyer J., Suematsu Y., Tokiwa N. Mode coupling and radiation loss of clad-type optical waveguides due to the index inhomogeneities of the core material // Optical and QE. 1975. V. 7. P. 481-482.

131. Walter D.J., Houghton J. Attenuation in thin film optical waveguides due to roughness-induced mode coupling // Thin Solid Film. 1978. V. 52. P. 461-476.

132. Gottlieb M., Brandt G.B., Conroy J.J. Out-of-plane scattering in optical waveguides // IEEE Trans. On Circuit and Systems. 1979. V. 26. No. 12. P. 10291035.

133. Hall D.G. Comparison of two approaches to the waveguide scattering problem//Appl. Optics. 1980. V. 19.No. 11. P. 1732-1734.

134. Hall D.G. Scattering of optical guide waves by waveguide surface roughness: a three-dimensional treatment//Optics Letters. 1981. V. 6. No. 12. P. 601-603.

135. Bradley E., Hall D.G. Out-of-plane scattering from glass waveguides: comparison of theory and experiment // Optics Letters. 1982. V. 7. No. 5. P. 235-237.

136. Hall D.G. Surface-roughness-induced scattering in planar optical waveguides // J. Opt. Soc. Am. 1982. V. 72. No. 12. P. 1821.

137. Ames G.H., Hall D.G., Braundmeier A.J. (Jr.). Surface roughness measurements on CaF2 thin-film//Optics Communications. 1982 V. 43. No. 4. P. 247-250.

138. Ames G.H., Hall D.C. Attenuation in planar optical waveguides: comparison of theory and experiment // IEEE J. of QE. 1983. V. 19. No. 5. P. 845-853.

139. Modavis R.A., Hall D.G. In-plane scattering in planar optical waveguides // Optics Letters. 1984. V. 9. No. 2. P. 96-99.

140. Gruhlke R.W., Hall D.G. Comparison of two approaches to the waveguide scattering problem: TM polarization // Appl. Optics. 1984. V. 23. No. 1. P.127-133.

141. Hall D.G. In-plane scattering in planar optical waveguides: refractive-index fluctuations and surface roughness // J. Opt. Soc. Am. A. 1985. V. 2. No. 5. P. 747-752.

142. Boyd J.Т., Anderson D.B. Effect of waveguide optical scattering on the integrated optical spectrum analyser dynamic range // IEEE J. of QE. 1978. V. 14. No. 6. P. 437-443.

143. Hopkins F.K., Jackson H.E., Boyd J.T. In-plane scattering measurements in a planar optical waveguide by an integrated technique // Appl. Optics. 1981. V. 20. No. 16. P. 2761-2763.

144. Vahey D.W. In-plane scattering in LiNbO waveguides // Proc. SPIE. 1979. V. 176. P.62-69.

145. Brand G.B. In-plane scattering in glass and niobium oxide waveguides // Proc. SPIE. 1979. V. 176. P. 70-74.

146. Brand G.B., Schruben J.S., Gottlieb M. In-plane scattering in optical waveguides // J. Opt. Soc. Am. 1978. V. 68. No. 12. P. 1372.

147. Brandt G.B. In-plane scattering in glass and niobium oxide waveguides // Opt. Engineering. 1981. V. 20. No. 1. P. 150-154.

148. Singh J., Richard M. de La Rue. An experimental study of in-plane light scattering in titanium diffused Y-cut LiNbO optical waveguides // J. of Lightwave Technology. 1985. V. 3. No. 1. P. 67-76.

149. Жук Н.П. Собственные волны среднего поля в статистически нерегулярном планарном волноводе // ЖТФ. 1986. Т. 56. Вып. 5. С. 825-830.

150. Жук Н.П., Третьяков О. А. Эквивалентные параметры оптического волновода со случайными объемными возмущениями // Радиотехника и электроника. 1986. Т. 31. Вып. 2. С. 264-270.

151. Петров Д.В. Сравнение методов описания процесса рассеяния направляемой моды на неоднородном участке диэлектрического волновода // Квантовая электроника. 1982. Т. 9. № 9. С. 1884-1887.

152. Yariv A., Nakamaru М. Periodic structures for integrated optics // IEEE J. of QE. 1977. V. 13. No. 4. P. 233-253.

153. Дерюгин JI.H., Летов Д.А., Сотин B.E. Волноводный оптический коллиматор // Проспект. М.: УДН. 1978. 3 с.

154. Гудзенко А.И., Дерюгин Л.Н., Осадчев Л.А., Пресленев Л.Н., Тищенко А.А., Чернышев Н.И. Операция свертки на основе акустооптических взаимодействий в оптическом волноводе // Проспект. М.: УДН. 1978. 3 с.

155. Дерюгин Л.Н., Летов Д.А., Сотин В.Е. Планарный призменный разделитель ТЕ0 и ТМ0 мод в оптических волноводах // Проспект. М.: УДН. 1978. 3 с.

156. Бикеев О.Н., Гудзенко А.И., Дерюгин Л.Н., Осадчев Л.А., Сотин В.Е., Чернышев Н.И. Особенности планарного акустооптического модулятора-дефлектора с ограниченным пучком света // Оптика и спектроскопия. 1978. Т. 45. Вып. 1.С. 156-158.

157. Furuya К., Suematsu Y., Sugou S. Integrated optical branching filter consisting of three-dimensional waveguide and its nonradiative condition // IEEE Trans. On Circuit and Systems. 1979. V. 26. No. 12. P. 1049-1054.

158. Sottini S., Russo V., Righini G.S. General solution of the perfect geodesic lens for integrated optics // J. Opt. Soc. Am. 1979. V. 69. No. 9. P. 1248-1254.

159. Righini G.S., Russo V., Toraldo di Fransia G. A family of perfect aspherical geodesic lens for integrated optical circuits // J. of QE. 1979. V. 15. P. 1-4.

160. Воронко А.И., Немова Г.А., Шкердин Г.Н. Дифракция волноводной моды на резонансной ступеньке // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36. Вып. 2. С. 183-186.

161. Wojcik G., Mould J. Jr., West L.C. Time-domain finite element modeling of 3D integrated optical devices // Optical Society of America. 1993. Technical Digest Series. V. 10. Integrated Photonics Research. P. 112-115.

162. Lau D.S., Donnelly J.P, Wang C.A., Rediker R.H. Integrated AlGaAs waveguide components for optical phase difference measurements and correction // IEEE J. of QE. 1994. V. 30. No. 6. P. 1417-1426.

163. Lin C.C., Deppe D.G., Lei C. Role of waveguide light emission in planar microcavities // IEEE J. of QE. 1994. V. 30. No. 10. P. 2304-2313.

164. Weber J.-P. Device design using Gaussian beams and ray matrice in planar optics // IEEE J. of QE. 1994. V. 30. No. 10. P. 2407-2416.

165. Ding H., Garard P., Benech P. Radiation modes of lossless multilayer dielectric waveguides//IEEE J. ofQE. 1995. V. 31. No. 2. P. 411-416.

166. Janz C.F., McMullin J.N. Spontaneous emission coupling to radiation a guided modes of planar waveguides structures // IEEE J. of QE. 1995. V. 31. No. 7. P. 1344-1353.

167. Erdmann A., Hertel P. Beam-propagation in magnetooptic waveguides // IEEE J. of QE. 1995. V. 31. No. 8. P. 1510-1516.

168. Noro H., Nakayama T. Unusual molecular-dynamical method for vector-wave analysis of optical waveguides // J. Opt. Soc. Am. Ser. A. 1997. V. 14. No. 7. P. 1451-1459.

169. Богатов А.П., Бурмистров И.С. Затухание оптической волны, распространяющейся в волноводе, образованном слоями полупроводниковой гетероструктуры, из-за рассеяния на неоднородностях // Квантовая электроника. 1999. Т. 27. № 3. С. 223-227.

170. Sodha M.S., Ghatak А.К. Inhomogeneous optical waveguides. London.: Plenum Press. 1977. 269 p. (Перевод: Содха M.C., Гхатак А.К. Неоднородные оптические волноводы. М.: Связь. 1980. 265 е.).

171. Paulus М., Martin Oliver J.F. Light propagation and scattering in stratified media: a Green's tensor approach // J. Opt. Soc. Am. A. 2001. V. 18. No. 4. P. 854-861.

172. Paulus M., Martin Oliver J.F. A fully vectorial technique for scattering and propagation in three-dimensional stratified photonic structures // Optical and QE. 2001. V. 33. P. 315-325.

173. Paulus M., Gay-Balmaz P., Martin Oliver J.F. Accurate and efficient computation of the Green's tensor for stratified media // Physical Review E. 2001. V. 62. No. 4. P. 5797-5807.

174. Paulus M., Martin Oliver J.F. Green's tensor technique for scattering in two-dimensional stratified media // Physical Review E. 2001. V. 63. No. 6. P. 066615-1-066615-8.

175. Johnson S.G., Joannopoulos J.D. В lock-iterative frequency-domain methods for Maxwell's equations in planewave basis // Optics Express. 2001. V. 8. No. 3. P. 173-190.

176. Paddon P., Young J. F. Two-dimensional vector-coupled-mode theory for textured planar waveguides //Physical Review B. 2000. V. 61. No. 3. P. 2090-2101.

177. Smith C.J.M., Benisty H., Olivier S., Rattier M., Weisbuch C., Krauss T. F., De La Rue R. M., Houdre R., Oesterle U. Low-loss channel waveguides with two-dimensional photonic crystal boundaries // Appl. Phys. Lett. 2000. V. 77. No. 18. P. 2813-2815.

178. Cowan A.R., Paddon P., Pacradouni V., Young J.F. Resonant scattering and mode coupling in twodimensional textured planar waveguides // J. Opt. Soc. Am. A. 2001. V. 18. No. 5. P. 2090-2101.

179. Felici Т., Heinz E. On shape optimisation of optical waveguides using inverse problem techniques // Inverse Problem. 2001. V. 17. P. 1141-1162.

180. Hadley G.R. Out-of-plane losses of line-defect photonic crystal waveguides // IEEE Phot. Tech. Lett. 2002. V. 14. P. 642-644.

181. Lalanne Ph. Electromagnetic analysis of photonic crystal waveguides operating above the light cone // IEEE J. Quantum Elect. 2002. V. 38. P. 800-804.

182. Kafesaki M., Agio M., Soukoulis C.M. Waveguides in finite-height two-dimensional photonic crystals // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. No. 9. P. 2232-2240.

183. Limeres J., Calvo M.L., J.M. Enoch, Lakshminarayanan V. Light scattering by an array of birefringent optical waveguides: theoretical foundations // J. Opt. Soc. Am. B. 2003. V. 20. No. 7. P. 1542-1549.

184. Сотский А.Б., Сотская Л.И. Метод интегральных уравнений в теории микроструктурных оптических волокон // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 2. С. 32-40.

185. Van de Hulst Н.С. Light scattering by small particles. New York.: Wiley. 1957. 470 p. (Перевод: Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М.: Изд-во иностр. литературы. 1961. 536 е.).

186. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М.: Наука. 1986. 623 с.

187. Шифрин К.С. Рассеяние света в мутной среде. М., Л.: ГИТТЛ. 1951. 288 с.

188. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука. 1967. 548 с.

189. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука. 1987.544 с.

190. Wang Y., Wolfe W.L. Use of BRDF data in determining surface roughness //Proc. SPIE. 1983. V. 384. P. 27-31.

191. Черемискин И.В., Чехлова Т.К. Сверхплотное мультеплексирование на основе волоконных матриц // Квантовая электроника. 2001. Т. 31. № 5. С. 467-469.

192. Черемискин И.В., Чехлова Т.К. Волноводные датчики концентрации веществ в газовых смесях и жидкостях // ПТЭ. 2002. № 2. С. 145-148.

193. Буров В.А., Румянцева О.Д. Линеаризованная обратная задача рассеяния в монохроматическом и импульсном режимах // Акустический журнал. 1994. Т. 40. № 1. С. 41-49.

194. Кузькин В.М. О сечении рассеяния тела в многомодовом волноводе с плавно меняющимися параметрами // Акустический журнал. 1991. Т. 37. № 2. С. 347-352.

195. Кузькин В.М. Излучение и рассеяние низкочастотных звуковых волн в мелководных океанических волноводах: Дисс. д-ра физ.-мат. наук. М.: ИОФ РАН. 2001.288 с.

196. Бухгейм АЛ. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение. 1988. 184 с.

197. Ланеев Е.Б. Устойчивое решение некорректных задач продолжения гармонических функций и их приложения в термографии и геофизике: Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. Дубна: ОИЯИ. 2004. 26 с.

198. Гончарский A.B., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука. 1985. 352 с.

199. Теребиж В.Ю. Восстановление изображений при минимальной априорной информации//УФН. 1995. Т. 165. №2. С. 143-176.

200. Севастьянов JI.A. Математическая модель экранируемого напыления: вычислительный эксперимент, использующий результаты натурных экспериментов: Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. Дубна: ОИЯИ. 1998. 26 с.

201. Пискарев Ю.В. Восстановление параметров плавнонере1улярного участка тонкопленочного диэлектрического волновода: Автореф. дисс. канд. физ.- мат. наук. М.: РУДН. 2001. 14 с.

202. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1981.288 с.

203. Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. М.: Мир. 1965. 296 с.

204. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука. 1981. 374 с.

205. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука. 1978.416 с.

206. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука. 1964. 772 с.

207. Zibulski М., Yehoshua Zeevi Y. Oversampling in the Gabor scheme // IEEE Trans. On Signal Processing. 1993. V. 41. No. 8. P. 2679-2687.

208. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1.М.: Сов. Радио. 1969. 752 с.

209. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1989.608 с.

210. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука. 1974. 432 с.

211. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. М.: Гос. издат. Физ.-мат. литературы. 1962.220 с.

212. Inverse Source Problems in Optics, Baltes H.P., Ed. Berlin: SpringerVerlag. 1978. (Перевод: Обратные задачи в оптике / Под ред. Болтса Г.П. М.: Машиностроение. 1984. 200 е.).

213. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике / Перевод и научная обработка Размахнина М.К. и Яковлева В.П. М.: Сов. Радио. 1971.256 с.

214. Васильев В., Гуров И. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометрическим системам. СПб.: БХВ Санкт-Петербург. 1998.240 с.

215. Baranov D.V., Egorov A.A., Zolotov E.M. Optical profile reconstruction in a differential heterodyne microscope with additive statistic noise // Laser Physics. 2003. V. 13. No. 11. P. 1381-1384.

216. Аблеков B.K., Колядин C.A., Фролов A.B. Высокоразрешающие оптические системы. М.: Машиностроение. 1985. 176 с.

217. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука. 1964. 267 с.

218. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть I. М.: Наука. 1982. 616 с.

219. Toraldi di Francia G. Degrees of freedom of an image // J. Opt. Soc. Am. 1969. V. 59. P. 799-804.

220. Тычинский В.П. Микроскопия субволновых структур // УФН. 1996. Т. 166. №11. С. 1219-1229.

221. Баранов Д.В., Егоров А.А., Золотов Е.М., Свидзинский К.К. Формирование отображения микроступенчатого профиля в гетеродинном дифференциально-фазовом микроскопе// Квантовая электроника. 1996. Т. 23. № 4. С. 368-372.

222. Баранов Д.В., Егоров А.А., Золотов Е.М., Свидзинский К.К. Отклик гетеродинного дифференциально-фазового микроскопа на субмикронную канавку // Оптика и спектроскопия. 1996. Т. 80. № 6. С. 1026-1030.

223. Baranov D.V., Egorov А.А., Zolotov Е.М., Svidzinsky К.К. Influence of phase distortions on the response of an optical heterodyne microscope // Laser Physics. 1996. V. 6. No. 4. P. 753-758.

224. Баранов Д.В., Егоров A.A., Золотов E.M., Свидзинский К.К. Усиление отклика дифференциально-фазового гетеродинного микроскопа при пространственной фильтрации сигнала//Квантовая электроника. 1996. Т. 23. № 9. С. 854-856.

225. Баранов Д.В., Егоров А.А., Золотов Е.М., Свидзинский К.К. Восстановление профиля микрообъекта в гетеродинном дифференциальном микроскопе // Оптика и спектроскопия. 1997. Т. 83. № 3. С. 516-527.

226. Баранов Д.В., Егоров А.А., Золотов Е.М., Свидзинский К.К. Определение параметров микрообъекга по комплексному отклику дифференциального микроскопа// Квантовая электроника. 1998. Т. 25. № 9. С. 838-842.

227. Баранов Д.В., Егоров А.А., Золотов Е.М., Свидзинский К.К. Анализ комплексного отклика гетеродинного дифференциального интерферометра на микроступенчатый профиль //Квантовая электроника. 1999. Т. 26. № 1. С. 69-72.

228. Zolotov Е.М., Baranov D.V., Yegorov А.А. Differential heterodyne microscope for high resolving surface profiling: control over parameters and optimization//Laser Physics. 2001. V. 10. No. 10. P. 1120-1123.

229. Баранов Д.В., Егоров A.A., Золотов E.M., Свидзинский К.К. Оптимизация и контроль параметров оптической схемы гетеродинного микроскопа// Оптика и спектроскопия. 2003. Т. 94. № 1. С. 143-150.

230. Применение методов Фурье-оптики / Под. ред. Старка Г. М.: Радио и связь. 1988.536 с.

231. Хусу А.П., Витенберг Ю.Г., Пальмов В.А. Шероховатость поверхностей. Теоретико-вероятностный подход. М.: Наука, 1975. 344 с.

232. Рогов В.В. Финишная обработка неметаллических деталей. Киев: Наукова Думка. 1985. 264 с.

233. ГОСТ 2789-73. Шероховатость поверхности. Параметры, характеристики и обозначения. М.: ГК СССР по стандартам. 1981.

234. Дунин-Барковский И.В., Карташова А.Н. Измерения и анализ шероховатости, волнистости и округлости поверхности. М.: Машиностроение. 1978. 230 с.

235. Гилермо А., Колбин И.И., Черемискин И.В. Тонкопленочные лазеры на красителе РОРОР//Изв. Вузов. Радиоэлектроника. 1978. Т. 21. № Ю. С. 133-134.

236. Иваницкий Г.Р., Куниский А.С., Исследование микроструктуры объектов методами когерентной оптики. М.: Энергия. 1981. 168 с.

237. Рассеяние света вблизи точек фазовых переходов / Под ред. Камминза Г.З., Леванюка А.П. М.: Наука. 1990. 414 с.

238. Baranov D.V., Egorov А.А., Zolotov Е.М., Svidzinsky K.K. Response of differential phase-sensitive microscope to microstrip object // Proc. SPIE. 1996. V. 2799. P. 439-448.

239. Гилмор P. Прикладная теория катастроф: В двух книгах. Кн. 1. М.: Мир. 1984. 350 с.

240. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Ч. 1. М. Сов. Радио. 1968.440 с.

241. Гиббс X. Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью света. М.: Мир. 1988. 520 с.

242. Компьютеры и нелинейные явления: Информатика и современное естествознание // Авт. предисл. Самарский А.А. М.: Наука. 1988. 192 с.

243. Marston Ph.L. Shape oscillation and static deformation of drops and bubbles driven by modulated radiation stresses. Theory // J. Acoust. Soc. Am. 1980. V. 67. No. l.P. 15-26.

244. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. Т. VI. M.: Наука. 1986.736 с.

245. Белоногов А.Ю., Старцев А.В., Стойлов Ю.Ю., Сан-Дзю Чо. Жидкие лазерные резонаторы и волноводы. I. Капли и кольца // Квантовая электроника. 1997. Т. 24. № 8. С. 727-730.

246. Нелинейные оптические свойства органических молекул и кристаллов: в 2-х томах. Т. 1. Пер. с англ. / Под ред. Шемлы Д., Зисса Ж. М.: Мир. 1989. 528 с.

247. Егоров А.А. Теория волноводного рассеяния света в интегрально-оптическом волноводе при наличии шума // Изв. Вузов. Радиофизика. 2005. Т. 48. № i.e. 63-75.

248. Egorov А.А. Inverse problem of the theory of the laser radiation scattering in a 2D irregular integrated-optical waveguide in the presence of noise // Laser Physics. 2005. V. 15. No. 5. P. 686-699.