автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Спектральные свойства трехмерных операторовЛандау, возмущенных периодическимипотенциалами нулевого радиуса

Мордовский государственный университет имени Н.ГГ.Огарева

Г и ь 2 4 МАР

На правах рукописи

Демидов Валерий Валерьевич

Спектральные свойства трехмерных операторов Ландау, возмущенных периодическими потенциалами нулевого радиуса

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа Мор-. довского государственного университета имени Н.П.Огарева

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент В. А. Гейлер

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е. И. Гордон

кандидат физико-математических наук, доцент Г. А. Смолкин

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (Технический Университет)

Защита диссертации состоится */(э "_1997 г.

в /У ч¡00 мин. на заседании диссертационного'совета К 063.72.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Мордовском государственном университете имени Н. П. Огарева по адресу: 430000', г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан "/V " МСП^ч 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.72.04 кандидат

физико-математических наук, доцент С. М. Мурюмин

ОБШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес, к периодическим системам в магнитных полях резко возрос за последние голы среди специалистов как по математической, так и но теоретической физике. Интерес физиков-теоретиков к таким системам в последние полтора десятилетия обуславливался необычайно важными экспериментальными открытиями, такими кале квантовый эффект Холла (Нобелевская премия 1985 г.); квантовый биллиард в периодических массивах квантовых антиточек; экспериментальное обнаружение фрактальной структуры спектра (бабочка Хофштадтера) в периодических массивах квантовых точек и др. Строгое математическое обоснование теоретических построений физиков, связанных с обяснепиями этих экспериментов, потребовало привлечения мощных методов алгебраической топологии, спектрального анализа, некоммутативной геометрии и др. При этом немалую роль в теоретическом обосновании указанных выше экспериментов и в анализе других свойств периодических систем в магнитных полях играют явнорешаемые модели, использующие теорию точечных потенциалов (потенциалов нулевого радиуса).. В связи с этим построение и исследование методами теории потенциалов нулевого радиуса явнорешасмых моделей трехмерных периодических систем при наличии магнитного поля представляется весьма актуальным.

Цель работы. 1. Построение точечного периодического возмущения трехмерного оператора Шредингера с. однородным магнитным полем (другими словами, оператора Ландау) с помощью теории самосопряженных расширений симметричных операторов.

2. Анализ зонной структуры спектра возмущенного оператора. .

Лля достижения основной цели работы потребовалось решить следующие задачи, вспомогательные по отношению к указанньм выше, но тем не менее представляющие и самостоятельный инте- ' рес.

3. Исследование функции Грина трехмерного оператора Лан-

Дау.

4. Разложение периодического оператора Ландау в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений группы магнитных трансляций.

5. Исследование спектра слоя в указанном выше разложении для случая периодического точечпого возмущения оператора Ландау.

Общая методика исследования основана на применении методов теории самосопряженных расширений симметрических операторов'в гильбертовых пространствах, теории представлений групп и техники разложения периодического оператора в прямой интеграл по тору квазиимпульсов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.

1. Приведен вывод явных формул для функции Грина трехмерного оператора Ландау. На основе этих формул получены экспоненциальные оценки функции Грина на бесконечности.

2. Дана- конструкция периодического точечного возмущения трехмерного оператора Ландау.

3. Выведены явные формулы для разложепия периодического возмущения оператора Ландау в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений группы магнитных трансляций и с их помощью получено разложение периодического точечного возмущения оператора Ландау в прямой интеграл операторов с дискретным спектром.

4. Проведен исчерпывающий анализ спектра слоя периодического точечного возмущения оператора Ландау над произвольной фиксированной точкой тора квазиимпульсов.

5. Полностью исследована зонная структура спектра периодического точечного возмущения оператора Ландау. В частности, доказало, что спектр возмущенного оператора имеет не более одной лакуны и не содержит сингулярно непрерывной компоненты, но может содержать собственные значения. При естественных ограничениях на параметры возмущения спектр не содержит и собственных значений. Указан способ построения возмущения-

\

оператора Ландау со спектром, имеющим лакупу любой наперед задалной длины. "

6. Показало существование особеииостей Bau Хова для законов дисперсии периодического оператора Ландау. Доказано, что точки магнитной зоны Бриллюэна, в которых возникают особенности Ван Хова, образуют всюду плотное в торе квазиимпулъоов множество. . .

Отметим, что при получении результатов нп. .3-6 использовалось обычное в теории периодических операторв Шредингера с магнитным полем условие целочисленности потока магнитного поля через грани элементарной ячейки периодов. Доказательства результатов п. 5 проведены, для простоты, лишь для случая ортогональной решетки.

Научная и практическая ценность. Работа , носит теоретический характер. Полученные результаты могут представлять интерес как для специалистов по квантовой теории твердого тела, так и для специалистов по спектральной теории самосопряженных операторов. *

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па Международных конференциях по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Саранск, 1994, 1996 гг.), на шестой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1996 г.), на Огаревских чтениях (Мордовский г.осуниверситет, Саранск 1993, 1994, 1995, 1996 гг.), на конференции Молодых ученых (Саранск, 1996 г.), на научном семинаре профессора Е.В.Воскресенского но прикладной математике при Мордовском государственном университете им. Н.П.Огарева (Саранск, 1996 г.).

Публикации. Основные результаты работы отражены в девяти публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка основных обозначений, трех глав, разбитых па параграфы, и списка литературы. Общий объем диссертации 145 страниц. Список литературы содержит 94 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, дается краткий обзор работ ио ее тематике, формулируются основные результаты, получепные в диссертации.

Первая глава посит, по Преимуществу, вспомогательный характер. В первом параграфе этой главы напоминается определение трехмерного оператора Шредиагора с магнитным полем (оце--ратора Ландау) II и; приводятся необходимые для дальнейшего изложения сведения из спектральной теории этого оператора. Оператор #0 представляет собой замыкание симметричного оператора, определенного на пространстве Шварна 5Ш3) дифференциальным выражением

Здесь $ - плотность потока магнитного поля через плоскость {х,у)-, для простоты в дальнейшем всегда считаем £ > 0. Хорошо известно, что спектр оператора Но абсолютно непрерывный, бесконечно вырожденный и целиком заполняет луч [ 2тг(, +оо).

Оператор Но, в отличие от гамильтониана свободной частицы (оператора — Д), не инвариантен относительно трансляций на векторы пространства К3. Тем не менее описываемая этим оператором физическая система инвариантна относительно указанных трансляций; это приводит к тому, что оператор Н0 инвариантен относительно операторов некоторого проективного представления аддитивной группы К3. Линеаризация этого представления приводит к так называемой группе магнитных траннсляций И^(^). Возмущения оператора #о потенциалом с решеткой периодов Л инвариантны лишь относительно некоторой дискретной подгруппы группы именно, группы магнитных трансляций на

векторы, принадлежащие Л.. В параграфе 2 дается подробное описание этой группы и ее неприводимых представлений.

В параграфе 3 излагается основная техника, используемая при спектральном анализе точечных периодических возмущений

оператора Лаплау. П этом параграфе мы предполагаем, что решетка Л имеет образующие ал , «2) аз, такие что (оси Ог), а число N = £(<ц х ¿?2)к - натуральное. Эш условие, так начинаемое условие целочисленности потока, является стандартным и теории периодических операторов Лаплау; к нему сводится случай, когда потоки магнитного поля через грани элементарной ячейки решетки Л - рациональные числа (с точки зрения физических измерений можно считать, что последнее предположение выполнено всегда). Здесь дастся подробный вывод формул для так называемого преобразования Ландау - Зака £, являющегося гильбертовым изоморфизмом пространства Ь2(К3) на пространство Ь2(Т3)0

® /2(1Ч) ® ¿2(2), где Т3 - трехмерный тод квазиимпульсов, разверткой которого является куб [0,)) х [0,1) х [0,1). Это преобразование реализует разложение исходного гильбертова пространства Ь2(К3) в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений группы магнитных трансляций, в слоях которого потенциальные периодические возмущения оператора Ландау имеют дискретный спектр, а операторы представления дискретной группы магнитных •трансляций действуют умножением на ее характеры. В частности, оператор //о разлагается преобразованием Ландау - Зака в прямой иптеграл операторов Н0(р) над тором Т3, каждый из которых действует умножением на последовательность

= + + (г ем, пег), (1)_

где е/ = 4г((1 + 1/2), в = 47г2/озг (здесь а3г - г-координата вектора

В параграфе 4 приводятся необходимые сведения из теории М.Г.Крейна самосопряженных расширений симметричных операторов, включая формулу Крейла для резольвент. В связи с применением этой формулы к точечным возмущениям самосопряженных операторов, для которых известен явный вид функции Грина, возникает следующий вопрос. Пусть С : К" х К" й непрерывная функция, являющаяся ядром ограниченного бикарлемановско-го положительного симметричного интегрального онератора; лежит ли образ -«того оператора в пространстве непрерывных функ-

ций на R"? В параграфе 5 дается отрицательный ответ на зтот вопрос. Результаты этого параграфа являются новыми.

В главе 2 изучается функция Грина Go трехмерного оператора Ландау Но, то есть интегральное ядро его резольвенты R{() = • = (//о — С)-1. Для функции Грипа G0 можно получить следующие' явные формулы

Go(r,f ;<) = г';С) = Ф(г,г')F2(r - г";С), (2)

где

ф(г,г-') = (^j ' ехр [-»*«?х Г'')£ - r((rl - г1)3/2] ,

РГП ехр[-(4тгд/ +1/2) -С)1/3Inil] г , ,

il(r;C) =g-(1 + 1/2-фжОФ ' (3)

* У exp[(l/2-C/4xi)i](l-e-') VT W о

Здесь L; - полиномы Лагерра, fj. составляющая вектора г перпендикулярная плоскости (г,у), а г]| составляющая вектора г вдоль оси Oz.

Эти формулы довольно давно использовались, в физической литературе и были получены в ней путем формальных вычислений, без какого-либо обоснования сходимости используемых интегралов и рядов. В первом параграфе главы 2 доказывается теорема, утверя^дающая, что ряд (3) сходится локально равномерно в области. (R?\ {0}) х p{Ih) и его сумма совпадает с функцией Грина оператора На. При этом справедливы следующие утверждения. 1) Бели Со 6 <К#о) н ^ е' С = 0,1,...), то для любой точки (г*,г") € Кд = {(г*,г') € R3 х R3 : f -ф. f'} существуют пределы

lira , Ga{r,r'-X)~Gt{r,r';t0), lim Ga(f,r'-,() =

(-•(oJmC>0 > i—<o^m<<0

являющиеся непрерывными функциями по

(г,г') е I&. 2) Для любого Со € РШо) функция dG0(r,f';(a)/d( продолжается до непрерывной по (f,г') функции во всем пространстве R3 х R3. Доказано

также, что интеграл (<1) сходится локально равномерно в области , х /;(//, ), где = {г £ М3 : г± ф 0}.

Второй параграф главы 2 посвящен получению экспоненциальных оценок функции Грина £?0 на бесконечности. С использованием явного вида функции (70 доказана следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть Со е р(Ли)- Тогда для любого с > 0 найдутся такие константы 6, С\, С2 > 0, что при |г*— г'| > с и |С0 — С| < £ имеем

|<?о(г-,г-';С)| < ехр(-с2|г- г'¡). (5)

Аналогичная теорема доказана для производной щСо{г,г'\С).

В этом же параграфе найден явный вид £2-функции точечного возмущения оператора Н0; она имеет вид:

где ((я, у) ~ обобщенная С-фупкция Римапа. На физическом уровне строгости этот вид <2-функции был получен ранее в работах Ю.Н.Лемкова ,и Г.Ф.Друкарева (с математической точки зрения их вывод содержал пробел, поскольку не была доказала сходимость ряда (3)).

При построении точечных возмущений оператора Лалдау ключевую роль играет следующее свойство его функции Грина.

Лля любой функции / из 1/2(Н3) и любого ( £р(#о) функция

Ж'

непрерывна на И3. В заключении второй главы показывается, что указанное свойство является следствием некоторых более общих свойств функции Грина Со. - " '

Основные .результаты этой главы являются новыми.

Третья глава является основной в диссертации. Конечная цель главы - дать полное описание спектра периодического точечного возмущения трехмерного оператора Ландау при некоторых ограничениях на решетку периодов Л.

Пусть Л - решетки в R3 с образующими а,и п-г пл. Периодическое точечное возмущение оператора с решеткой периодов Л формально задается следующим выражением

Н = Нй + £Х <НГ~ Л )• (7)

Дел

Лля корректного определения оператора // мы используем теорию самосопряженных расширений симметричных операторов, опирающуюся на формулу М.Г.Крейиа для резольвент. С этой целью введем следующие обозначения. Лля произвольного С 6 р{Н\з) обозначим через Г( оператор, действующий из /2(Д) в Г,2(К3) следующим путем

Г{*=-£*(Х)<7„(г,А;<), V>6/2(A). (8)

А ел

Можно показать, что функции вида г >-> 6'о(г*, А;С) образуют базис Рисса в замыкании своей линейной оболочки, поэтому формула (8) корректно задает линейный непрерывный оператор. Через Q(()> С £ р(Я0), обозначим линейный непрерывный оператор в /2(Л), матрица которого в стандартном базисе имеет вид:

{G0{X,X';z),' если Л/Л';

(Xy'Vi.i.^-), если А = А'. (9>

V167T/ 42 2 4тг£/

(вторая строчка определяется формулой (G)).

. Для любого самосопряженного оператора А в пространстве /2(Л) следующая формула определяет функцию Грина некоторого самосопряженного оператора Яд:

GA(r,r'; С) = Go(r, г'; ( )— £ [Q(C)+A]^Go(r*, А ;( )<?„(£, >;(). (10)

А.ДеЛ

Оператор Яд мы рассматриваем как строгое определение оператора вида (7). В дальнейшем рассматриваются только ограниченные операторы Л, матрицы котрорых.в стандартном базисе пространства /2(Л), при некоторых фиксированных Ci,C2 > 0, удовлетворяют условию: " -

<С,ехр(-С2|А-Д() VA, Д 6 Л. (11)

Заметим, что с фишческой точки трети! особый интерес представляют операторы Л с диагональными матрицами, которые очевидно, удовлетворяют усложни (.11;.

В первом параграфе главы 3 мы находим условие инвариантности оператора IIл относительно дискретной группы магнитных трансляций. С этой целью плодится некоторое унитарное представление группы и проетранс.1 не (2(Л), и доказывается, что инвариантность оператора II,\ относительно 1У(Л,£) равносильна инвариантности оператора А относительно введетюго представления.

В дальнейшем мы ограничиваемся стандартным предположением, что ноток магнитного ноля через грани элементарной ячейки решетки Л является целым числом (см. выше).

Основной результат второго параграфа - теорема 3.3, которая дает, явный вид разложения оператора На в прямой интеграл по тору квазиимпулъсов Т3:

Теорема 3.3. Преобразованием Ландау - За па оператор На разлагается в прямой интеграл

' . На,— На(р) Ар,

где для почти всех р€ Т3 оператор На(р) ~ самосопряженный оператор в слое. <Х> ¿2(ГЧ) ф ¿2(2), реэолъаемта которого Яа(С) имеет следующее ядро С а'-

СА(р)к,[, п; к', /', п'; С ) = (¿?п(р) - (У^кк'бп'йпп—

- [Я(р,а + Л(р)] . (12)

Здесь (¿(р;С) и А(р) получаются по формуле

дел

где х((А,1);р) ~ характеры группы ^(Л,^); функция 6(р;к,1,п) есть ¿-функция в представлении Ландау - Зака; величина £Ц(р) определена в (1).

Пусть (£?(Ю);>0 ~ перестановка члспов двойной последовательности в порядке возрастания; {Е'к(р))к>0 - строго возрастающая последовательность всех чисел последовательности (¿'Др)), являющихся полюсами функции Е С}{р;Е). Уравнение

С№С) + А(Я = 0, (13)

называемое дисперсионным уравнением, при почти всех р 6 Т3 имеет единственное решение на каждом отрезке (Щ(р), )), а также па луче (—оо,Е'0(р)). Решения дисперсионного уравнения обозначим через КДр). Зафиксируем индекс ] > 0, и обозначим через 1{}) множество всех пар (I, п) 6 ГЧ х 2, для которых выполнено равенство £"„(р) = £°(р).

Центральный результат третьего параграфа - теорема 3.4, описывающая структуру спектра слоя оператора На над произвольной точкой тора квазиимпульсов: ,

Теорема 3.4. Преть точка р, р € Т3, фиксирована. Тогда спектр оператора Нд(р) дискретный и состоит из четырех непересекающихся частей.

■ (1) Числа последовательности ие входящие а по-

следовательность (^/(р))у>0/ то есть не являющиеся собственными числами оператора Но(р). Каждое такое число есть простое собственное значение оператора На{р).

(2) Числа £°{р), пе являющиеся полюсами функции Е (}(р;Е) и не являющиеся корнями дисперсионного уравнения (13). Каждое такое число есть собственное значение оператора Но{р), кратность которого_ в спектре На(р) совпадает с его кратностью в спектре

Но{?)■: _ -

(3) Числа £°{р), не являющиеся полюсами функции Е >—> (¿(р;Е) и являющиеся корнями дисперсионного уравнения. Каждое такое число есть собственное значение оператора На{Р)1 кратность которого в спектре Цл(р) на единицу больше кратности числа Е°{р) в спектре Нц{р).

(4) Числа Е';(р), кратность которых в спектре Н0(р) больше 1. Каждое такое число ест¡> собственное значение оператора На{р), ■

кратность которого в спектре Нд(р) на единицу меньше кратности числа £у(;7) в спектре На(р).

Собственные, подпространства, соответствующие собственным числам вида (1) - (4) описываются следующим образом.

(1') Нормированный собственный вектор ф](р), соответствующий собственному числу Е^(р) имеет вид:

п) =

(2') Собственное подпространство собственного числа £^{р) в спектре Ла(р) совпадает с его собственным подпространством в спектре Нй(р). Если {(^.Гс]),..., (/,,«,)} - множество всех пар из '!{]), тогда это подпространство представляет собой прямую сумму

Ь = (С" ® е/, ® еЛ1) ® ... ф (С* ® еь ® е„у).

(3') В обозначениях предыдущего пункта собственное подпространство, соответствующее числу £®(р) в спектре На(р), совпадает с прямой суммой Ь и одномерного пространства, натянутого на единичный вектор ф°(р),

ф](р-,к,1,п) =

(встречающиеся в (14) выражения вида | считаем равными нулю).

(4') Пусть {(Ь,П1),...,(/„п,)} - множество всех пар из /(У),, в пусть Ь - подпространство ® ¿2(ГЧ) ® /2(2), являющееся прямой суммой пространств С" ® е;, ® еп; (» = 1,... ,з). Тогда собственное подпространство, соответствующее собственному числу Щ(р), представляет собой ортогональное дополнение в Ь вектора

Ф'}(р',к,1,п) = 6(р;к,1,п)8к1^к111Л1 + ... + 6(р-,к,1,п)8кы М и 15*

Основной параграф третьей главы - параграф 4, посвящен исследованию спектра оператора IIл при условии а\,а\±к. Вначале заметим, что дисперсионное уравнение (13) определяет Е^р) как

Ь(р\к,1,п)

эд - ад'

щ

дг

6(р-к,1,п)

ад-ад

(14)

и

вещественно анали тическую функцию па некотором'открытом множестве полной лебеговой моры. Мы доказываем, что Е;(р) продолжается до непрерывной функции па всем торе Т3; продолженную функцию снова обозначаем Е,(р).

Спектр На представляет собой объединение отрезков /„ = = {Еп{р) : р € Т3} и, в случае N > 1, кроме того, отрезков Jn = = {£%(р ) : р € Т3}. Таким образом спектр На имеет зонную структуру. Точнее эту структуру описывает теорема 3.7:

Теорема 3.7. 1. Спектр оператора На представляет собой обдединение луча [2зг^, -|-оо) и (возможно, вырожденного) отрезка /о = {Ео(р) : р 6 6 Т3}, не содержащегося в этом луче. Таким образом, в спектре На имеется не более одной лакуны,.

2. Для любого числа Еа, Ео < 2п( существует ограниченный оператор А, такой, что /0 — {¿и}- Таким образом, в этом случае, спектр На содержит по крайней мере одно собственное число.

В случае, когда оператор А, параметризующий расширения, - скалярный, теорема 3.8 дает более детальную картину спектра НА.

Теорема 3.8.

Пусть оператор А скалярный: А = а/, а € К. Тогда Справедливы следующие утверждения:

^ 1. Спектр оператор На чисто абсолютно непрерывный и содержит не более двух зон.

2. Существует такое а£й, что в спектре оператора На пет лакун.

3. Для любого числа в., в. > 0, существует такое а 6 К, что. единственная лакуна в спектре IIа имеет длину <1.

В завершение третьей главы, в параграфе 5, исследуется вопрос о существовании так называемых особенностей Ван Хова в спектре На- Точка ;70, р0 6 Т3, называется особеннос тью Ван Хова второго рода для оператора IIа, если в ней пересекаются две различные ветви Е^{р) и Е^{р) законов дисперсии этого оператора. При N > 1 особенности Ван Хова второго рода в спектре

J5

II л, как показывает теорема 3.4, возникают всегда. Для случая N = 1 требуется специальное исследование. Теорема 3.4 показывает, что особенности Dan Хова второго рода в спектре IIа возникают по крайней мере в тех точках ро, в которых пересекаются три ветви законов дисперсии £j(p} певозмущетшого оператора Н0. Справедлива теорема.

Теорема 3.9. Пусть N = 1. Для того чтобы в магнитной зоне Бриллюзна Т3 существовала точка ро, о которой пересекаются по крайней мере три ветви законов дисперсии £°(р), необходимо и достаточно, чтобы отношение Ап^/в было рациональным. Если это условие выполнено, то множество всех таких точек ро всюду плотно в Т3.

Все основные результаты этой главы являются новыми.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ НО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Демидов В.В. Периодические точечные возмущения трехмерного оператора Ландау // XXII Огаревские чтения. Тезисы, паучн. конференции. - Саранск: Мордовский ун-т., 1994. С. 77 -78.

2. Демидов В.В.,,Сенаторов М.М., Чучаев И.И. О некоторых свойствах карлемановских операторов // Тезисы докл. Между нар. конференции "Дифференциальные уравнепия и их приложения". Саранск, 1994. С. 57.

3. Демидов В.В., Сенаторов М.М., Чучаев И.И. О некоторых свойствах карлемановских операторов // Мат. моделирование. 1995. Т. 7, N 5. С. 49.

4. Демидов В-В., Сенаторов М.М., Чучаев И.И. Некоторые свойства карлемановских операторов // Материалы Междунар. конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" / Е.В.Воскресенский отв. ред. - Саранск: Мордовский ун-т, 1995. С. 164 - 172.

5. Гейлер В.А., Демидов В.В. Спектр трехмерного оператора Ландау, возмущенного периодическим точечным потенциалом // Теор. иматем. физика. 1995. Т. 103, N 2. С. 283,- 294.

6. Демидов В.В. Свойства функции Грина трехмерного оператора Лапдау // XXIV Огаревские чтения. Тезисы докл. паучн. конференции. - Саранск: Мордовский ун-т, 1995. С. 10.

7. Демидов В.В. Об особенностях Ван Хова в магнитной зоне Бриллюэна // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тестой научной межвузовской конференции. 29 - 31 мая / Ю.II.Самарии отв. ред. - Самара: СамГТУ, 1996. С. 26 - 28.

8. Демидов В.В. Асимптотика функции Грина трехмерного оператора Шредингера с магнитным полем // Тез. докладов II международной конференции "Дифференциальные уравнения и их

приложения". - Саранск: НИИ Региопологии при МГУ, 1996. С. 134.

д. Geiler V.A., Domidov V.V. Green Function of the Lambu Operator and its Properties related to Point Interactions // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 1996. V. 15, N 4. P. 851 - 863. .