автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование спектральных свойств наноструктур с помощью точечных возмущений гамильтонианов на римановом многообразии

На правах рукописи

Иванов Дмитрий Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВ НАНОСТРУКТУР С ПОМОЩЬЮ ТОЧЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ГАМИЛЬТОНИАНОВ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3 ЯНЗ 2010

Саранск - 2009

003490965

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, И. Ю. Попов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, В. М. Уздин

кандидат физико-математических наук, М. А. Пятаев

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится «4» февраля 2010 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева по адресу: 430005, РМ, Саранск, Большевистская, 68, МордГУ, корп. 1, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МордГУ им. Н. П. Огарева.

Автореферат разослан «30» декабря 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

Л. А. Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия активно изучаются искривленные наноструктуры. Это связано с невозможностью создания таких структур с идеальными прогнозируемыми формами. Кроме того, нано-объекты нетривиальной геометрической формы обладают весьма интересными физическими свойствами. Помимо исследования квантовых свойств искривленных наноструктур, важно исследовать возмущения на таких поверхностях, в частности, короткодействующими потенциалами. Такие системы можно изучать с помощью модели потенциалов нулевого радиуса. При использовании данной модели описание таких объектов сводится к исследованию спектра возмущения оператора Бельтрами-Лапласа (аналога оператора Лапласа для искривленных пространств).

Следует также отметить, что при рассмотрении примесей в искривленных нанообъектах важным вопросом является изучение влияния кривизны и мощности возмущения на электронный энергетический спектр, а при наличии двух центров возмущения - зависимости спектра от расстояния между примесями. Кроме того, при моделировании подобных структур нетривиальной оказывается проблема выбора параметров модельного гамильтониана, обеспечивающих максимальную близость математической модели и реальной системы.

Целью исследования является построение и изучение модели искривленной наноструктуры с короткодействующими потенциалами, позволяющей провести часть расчетов в аналитической форме, что существенно уменьшает вычислительные трудности; изучение зависимости спектральных свойств модельного оператора от кривизны пространства и интенсивности возмущения; проведение численных расчетов и вычисление энергетических уровней; отыскание способов перенормировки параметра интенсивности точечных потенциалов в случае близко расположенных источников возмущения; построение аппроксимации точечных потенциалов гладкими, то есть верификация модели.

Объектом исследования являются математические модели искривленных наноструктур с локализованными примесями, представляющие собой одноцентровые и двуцентровые точечные возмущения гамильтониана свободной заряженной частицы на римановых многообразиях.

Научная задача работы — разработка математического аппарата моделирования искривленных наноструктур на базе спектральной теории операторов в искривленных пространствах.

Методологическую и теоретическую основу исследования составили труды российских и зарубежных исследователей в области математического моделирования физических систем с использованием метода потенциалов нулевого радиуса.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Математическая модель искривленной наноструктуры с малыми пространственно локализованными возмущениями, базирующаяся на рассмотрении потенциалов нулевого радиуса на римановом многообразии.

2. Рассчитанные в рамках модели потенциалов нулевого радиуса в пространстве постоянной кривизны спектральные характеристики электрона в искривленной наноструктуре:

а) методика и программа для численного расчета значений точечных уровней;

б) построенные асимптотики точечных уровней электрона;

в) рассчитанная зависимость точечных уровней от кривизны многообразия и интенсивности рассеивающих центров (примесей) в искривленной наноструктуре.

3. Математическая модель наносистемы в случае близко расположенных центров:

а) описание аномального поведения точечных уровней, возникающего при сближении рассеивающих центров на римановом многообразии;

б) способ устранения аномалии путем перенормировки параметров интенсивности источников возмущения.

4. Обоснование модели потенциалов нулевого радиуса на римановом многообразии путем доказательства теоремы об аппроксимации гамильтониана с сингулярными (точечными) потенциалами последовательностью гамильтонианов с регулярными потенциалами для произвольных многообразий ограниченной геометрии.

Научная новизна исследования. Построенные на основе модели потенциалов нулевого радиуса асимптотики точечных уровней для пространств постоянной кривизны являются новым результатом; описание аномалии, возникающей при малых расстояниях между источниками возмущения, и способ ее устранения является новым результатом для пространств ограниченной геометрии, причем, поскольку ранее рассматривался только случай трехмерного евклидова пространства, то результат является новым и для евклидовой плоскости; построенная аппроксимация сингулярных потенциалов регулярными в пространствах ограниченной геометрии является новой, ранее подобная аппроксимация была построена лишь для евклидовых пространств.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты могут быть использованы для исследования транспортных и спектральных свойств искривленных наноструктур при наличии в них примесей. Указанные в работе перенормировки параметра интенсивности возмущений позволяют получать более точные результаты при использовании модели потенциалов пулевого радиуса в случае малых расстояний между источниками возмущения.

Апробация результатов работы. Результаты работы прошли апробацию на конференциях и семинарах:

5

1. XXXIII Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2004 г.

2. Вторая всероссийская научная конференция «Дифференциальные уравнения и краевые задачи», Самара, июнь 2005 г.

3. Межрегиональная научная школа «Материалы нано-, микро- и опто-электроники: физические свойства и применение», Саранск, октябрь 2005 г.

4. Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, ноябрь 2005.

5. XXXIV Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2005 г.

6. XI научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева, Саранск, май 2006 г.

7. Третья всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, июнь 2006 г.

8. V Всероссийская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2008 г.

9. XXXVII Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2008 г.

10. VI Всероссийская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2009 г.

Основные результаты работы также обсуждались на заседаниях кафедры математического анализа Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева (г. Саранск, 2007 г., 2008 г., 2009 г.) и на семинаре кафедры высшей математики СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2008 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 11 опубликованных статьях [1-11], в том числе, 2 [1,2] из Перечня ВАК, список которых приведен в конце автореферата.

6

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 116 страницах машинописного текста. Содержит 6 глав, в том числе введение, заключение и одно приложение, 22 рисунка, список литературы, содержащий 109 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются физические системы, свойства которых могут быть исследованы с помощью рассматриваемых в работе моделей потенциалов нулевого радиуса в пространствах с неевклидовой геометрией, дается краткая история развития модели потенциалов нулевого радиуса как для евклидовых пространств, так и для пространств с нетривиальной кривизной, анализируется современное состояние проблемы математического моделирования свойств искривленных наноструктур, обосновывается актуальность и научная новизна диссертации. Формулируется цель работы, указывается практическая и теоретическая ценность её результатов. Приводится краткое содержание диссертации и результаты, выносимые на защиту.

В первой главе работы рассматриваются локализованные примеси в искривленных наноструктурах, которые'моделируются точечными возмущениями на пространствах с кривизной. Основным вопросом при описании таких объектов является отыскание электронных состояний (точечных уровней), порожденных данными примесями. Этой задаче в рамках предложенной модели и посвящена данная глава.

Возмущение свободного гамильтониана Н° заряженной частицы на римановом многообразии X, сосредоточенное в точке 5 6 X, определяется при помощи теории М. Г. Крейна самосопряженных расширений симметрических операторов. А именно, возмущение моделируется однопара-метрическим семейством операторов На, функция Грина (интегральное ядро резольвенты) каждого из которых может быть найдена по формуле

Са(х, у; г) = С°(х, у; г) - (£(*) - а)"1^, у; г)С°(х, д; г), (1)

где у; г) — функция Грина исходного оператора, а (¿(г) — так называемая 2-функция Крейна — регулярная часть функции Грина. Вещественный параметр а характеризует мощность возмущения и связан с длиной рассеяния А следующей формулой

1п А

а ' —— при а = 2, 27Г

а = —т^т- при ¿ = 3, 47гА

где (1 — размерность пространства.

С учетом формулы (1) собственные значения модельного оператора (точечные уровни) можно найти как решения уравнения

<5(г) - а = 0. (2)

В первом параграфе первой главы исследуется возмущение на плоскости Лобачевского, то есть рассматривается случай, когда кривизна пространства X отрицательна Я = —2/а2 (а — радиус кривизны), а его размерность равна двум. Свободный гамильтониан имеет вид

Н\а) = -АЬВ = (¿2 + щ) ~ ¿>

где Диз — оператор Бельтрами-Лапласа.

Показано, что уравнение (2) имеет решение тогда и только тогда, когда

а < — 1п(8а), или, другими словами, тогда и только тогда, когда А < 8а. 2тг

Обозначим это решение через £х(а). Спектр Нх состоит из абсолютно непрерывной части [0,+оо) и, если А < 8а, из простого собственного значения £х(а).

Результаты численного исследования зависимостей £А(а) от а и от А изображены на рисунках 1а и 16 соответственно. Зависимости приведены к безразмерной форме.

Рисунок 1а. А2£ как функция от о/А (А фиксировано).

Доказана

Рисунок 16. а2£ как функция от А/а (а фиксировано).

Теорема 1. Точечный уровень £А(а) возмущенного оператора Нх(а) обладает следующими свойствами

1. £х (а) как функция от А возрастает от — оо до 0 на интервале (0,8а) при фиксированном а.

2. £х(а) как функция от а убывает от 0 до £при изменении а от

— до +оо при фиксированном А, где £Д, — точечный уровень на евклидовой плоскости.

Также исследовано асимптотическое поведение точечных уровней £Л(а). Оно описывается следующей теоремой.

Теорема 2. 1. Если А а, то есть а — фиксировано, А —> 0 или А

— фиксировано, а —> +оо то а2£х(а) —> —оо. Кроме того,

£А(а) = £ + - + 0(А4а~5)

при фиксированном А и а —> оо. В частности, для энергии связи |£А(а)| справедлива оценка |£А(а)| ^ ¡£¿>1 - (12а2)-1 + 0(а-4).

2. Если А ~ 8а, то есть 8а/А —»1 + 0, то

ч 4 , 2 8а , 8а\

= _ X ^ \ X / '

3. Если А ~ 2а, то

когда а — фиксировано и А —» 2а и

£\-2/а2) = -1 - ¿(12 - тг2) (2а - Л) + О ((2а - А)2) , при фиксированном А и а —> А/2.

Во втором параграфе первой главы рассмотрено еще одно пространство постоянной отрицательной кривизны R = —6/а2, размерность которого d = 3, — пространство Лобачевского. В стандартных координатах в полупространстве Н^ = {х = (х1,х2,хз) € R3 : х3 > 0} гамильтониан свободной заряженной частицы имеет вид

Н°(а) = -ДLB - — = - (— + — + — - - —

а2 \а/ \дх\ дх\ дх\ х3 дх3) а2'

В этом случае Q-функция Крейна может быть вычислена по формуле

=

Она совпадает с Q-функцией для евклидова пространства, а, значит, поведение точечных уровней в этих двух пространствах будет одинаково вне зависимости от кривизны пространства Лобачевского.

Таким образом, в трехмерных пространствах отрицательная постоянная кривизна не влияет на существование и поведение энергетических уровней.

Графики безразмерных величин XQ(X2E) и а2£(А/а) изображены на рисунках 2а и 26 соответственно.

0,00

• 0.0« НО ■0.12

'■-'i.

■4,00 ш'е • S.00

00 -i, 00 -3,00^-2,00 -i, 00 0,00

Рисунок 2a. AQ как функция от А2Е (А фиксировано)

' 0,00 1,00 2><">м, 3'0Я 4'00 5,00

Рисунок 26. а7£ как функции от А/а (а фиксировано).

В третьем параграфе первой главы рассматриваются точечные возмущения на двумерной сфере. В этом случае Я = 2/а2 и оператор Бельтрами-Лапласа в стандартных полярных координатах имеет вид:

Я°(а)

1 1 (д1 4 пд -&LB + = ~ñ5 ( Sai + Ctg0M +

1

дв2

д2 \ 1 + ■

дв sin2 в dip2) 4а2'

В работе показано, что для каждого а > 0 и Л 6 (0,+оо) уравнение (2) имеет единственное решение (точечный уровень) на каждом интервале 70 = (-<*>,£0°), h = №8,Я?), ... , /, = (£?_!,где

1 / Л2

= — (I + — J ,1 = 0,1... — точечные уровни невозмущенного оператора Н°. Обозначим это решение через £f(R). Указанные решения найдены численно и их графики изображены на рисунках За и 36.

00 - 6,00 -3,00 ^ 2,00 в,00 10.00

Рисунок 36.

Точечные уровни А2£* как функции от а/А Точечные уровни а2£* как функции от 1п(А/а) ири 2 = 0,..., 19 (А фиксировано) при I = 0,..., 5 (а фиксировано).

Доказана следующая теорема, дающая полное описание спектра оператора и характеризующая поведение точечных уровней.

Теорема 3. Путь Н°(а) — оператор Гамильтона свободной частицы па двумерной сфере, Нх{а) — его одноцентровое возмущение. Тогда,

1. Спектр оператора , А ф 0 дискретный и состоит из двух непересекающихся серий уровней:

а) простые точечные уровни , 1> 0;

б) уровни Е([ , I > 1, каждый из которых имеет кратность 21.

2. При фиксированном а и при изменении X от 0 до +оо функция ¿"о (а) возрастает от —оо до = Х/Аа2, и каждая функция £;А(а), I > 1 возрастает от до .

3. При фиксированном А точечные уровни а), I > 1 убывают относительно а.

Также в работе доказана,теорема, описывающая асимптотическое поведение точечных уровней

Теорема 4. 1. Если А < а, то есть а — фиксировано, Л —> 0 или А — фиксировано, а —> +оо, то а2£д(а) —> —оо и а2£гА(а) —» (/ + 1/2)2 при I > 1. Кроме того, энергия связи — (а) имеет

следующую оценку:

- г0» = + £ + ± (ь *)"- + о (,„ ^ ,

и, значит, она больше, чем энергия связи — в случае нулевой кривизны.

2. Если А > а, то есть если а — фиксировано, X —► +со или Л — фиксировано, а —> 0,то энергия связи £у(а) — £д(а) имеет оценку:

2 + [ 1п

2а

-1

+ 011Ш.Х

3. Если а = 8Л, то £о(а) = 0. Кроме того, если

АI = 8аехр

(-И

+ ...+

1

2/- 1

то £*'(а) = /2/а2 и поведение £;А(а) = £;(а>а) 6 окрестности точки а/ при фиксированном а задается выражением:

I2

£,(а; а) = -5 + Д((а - оц) + 0((а - а;)2),

гсЗе константа В1 зависит от а и I. Более того, поведение ¿"¡л(2/а2). в окрестности щ,

Л /„ 2 2

аг = -ехр^2 + - + ... + —

описывается выражением

£?(2/а2) = ^ + С£(а - аг) + 0((а - а,)2),

где константа С1 зависит от а и I.

4. Если а и X фиксированы, то при I —► оо имеем

еКю = ^ (V+ \)2 - ± (/+ [(1п 1)-х + о((ь /)-2)].

В последнем параграфе первой главы рассматривается случай трехмерного пространства постоянной положительной кривизны Я = 6/а2, то есть рассматриваются возмущения на трехмерной сфере. В четырехмерных сферических координатах свободнр.гй гамильтониан имеет вид

Я0 = -Аьв +

1

1

д2 дХ2 13

д

1

ах вт^х .

1

П*

где В2 — оператор Бельтрами-Лапласа на двумерной единичной сфере.

В работе показано, что при каждом а > 0 и А > 0 уравнение (2) имеет единственное решение (точечный уровень) на каждом из интервалов /о =

(-00, , Л = (Ей, £?), ... , I, = Е?), ..., где Я? = £°(а) = \(1 +

2 ^ 1) ; / — 0,1,... — точечные уровни исходного оператора Н°. Обозначим

это решение через £гА(а). Графики £,А(а) представлены на рисунках 4а и

Рисунок 4а. Рисунок 46.

Точечные уровни А2£* как функции от а/А Точечные уровни а2£* как функции от А/а при I = 0,..., 19 (А фиксировано) при I = 0,..., 5 (а фиксировано).

В работе доказаны следующие теоремы, дающие описание спектра и его асимптотик

Теорема 5. Путь Н°(а) — оператор Гамильтона свободной частицы на трехмерной сфере, Н*(а) — его одноцентровое возмущение. Тогда,

1. Спектр Нх(а) чисто дискретный и состоит из двух непересекающихся серий уровней:

а) простые точечные уровни

б) кратные точечные уровни Е°, I > 1. Каждый уровень Щ имеет в спектре Нх(а), А Ф 0, кратность I2 + 21.

2. При фиксированном а, £$(а) как функция от А возрастает от —оо до ЕЦ = 1/а2 и каждая функция £гЛ(а), / > 1 возрастает от

Щ-1 до .

3. При фиксированном X, £А(а) — убывающая функция от а.

Теорема 6. 1. Если X ~ а, то £д(а) = 0, тогда и только тогда,

когда Л = 7га. В окрестности а о > — ,

4л-га

12

£0(а; а) = —(а - а0) + 0((а - а0)2).

2. Если |Л| » а, то

а) если а фиксировано, Л = оо, то есть а = 0, то

= + , I > 0;

б) если а фиксировано, X —* оо, то

в) если а —» 0, А ф 0 — фиксировано, то

3. Если |А| -С а, то

а) если а фиксировано, Л —» +0, то £q (а) —> —со и

£0\R) = £0А(0)-4£>0л(0)ехр(-27гах/-£0л(0))+0(ехр(-47га^-^(0)) = -Л-2 + 4Л"2 ехр(-27гаА"1) + 0(ехр(-4тгаЛ-1)).

При I > 1

\ я- а к* а* \аЛ ) }

б) Если а фиксировано, А —► —0, то

а* \ ■к а -к1 а1 \а / /

для всех I > 0.

в) Если а —> оо, А ф 0 фиксировано, то а\/—Щ{а) —> оо и

Если а и X фиксированы, I —> оо, то каждый уровень £л(а) ведет себя также, как и уровень £°° с поправкой на константу:

Во второй главе описана аномалия, возникающая при рассмотрении двуцентровых точечных возмущений в случае малых расстояний между потенциалам. Суть этой аномалии, впервые изученной Т. К. Ребане и Р. И. Шарибджановым для случая трехмерного евклидова пространства, заключается в следующем. Рассмотрим возмущения свободного гамильтониана двумя точечными потенциалами, расположенными соответственно в точках а и Ь пространства К3 и характеризуемыми длиной рассеяния Л. Тогда, при Ь —» а основное состояние этого возмущения при Л > О стремится к —оо, то есть происходит падение на центр. Такая аномалия отсутствует в одномерном случае. А именно, в этом случае основное состояние стремится к возмущению свободного гамильтониана точечным потенциалом, сосредоточенным в точке а и характеризуемым длиной рассеяния Л/2. В связи с этим для использования метода потенциалов нулевого радиуса при малых расстояниях между а и 6 необходимо перенормировать параметр а интенсивности потенциалов, учитывая при этом его зависимость от расстояния между рассеивающими центрами.

В настоящей работе доказана теорема, показывающая, что описанная аномалия имеет место и в более общем случае, а именно, при исследовании модели короткодействующих потенциалов на произвольном многообразии ограниченной геометрии.

Теорема 7. Пусть X — многообразие ограниченной геометрии размерности <1 — 2,3, Н° — невозмущенный гамильтониан на X (оператор Бельтрами-Лапласа), р — геодезическое расстояние между центрами возмущения. Обозначим через £о нижнюю грань спектра оператора Н°, через £\ — нижнюю грань спектра возмущения оператора Н°, сосредоточенного в точке . Пусть Е\ < £о. Тогда,

1. Возмущение НА имеет не более двух и не менее одного собственных чисел, лежащих ниже £о. Обозначим через е_ меньшее из них, а если таких чисел два, то через е+ наибольшее из них. Тогда, е_ < £1, а если е+ существует, то > Е\.

2. Если р достаточно велико, то собственное число е+ существует.

3. £~{р) —> —оо при р —» 0.

4. Если £+ существует при всех достаточно малых р > 0, то е+(р) ->• £0 при р—> 0.

Также в диссертации доказана теорема, указывающая способ устранения возникающей аномалии для многообразий ограниченной геометрии.

Теорема 8. Пусть параметр интенсивности потенциалов а зависит от р следующим образом

а = а(р) = ^ + в(р) (¿ = 2),

а = а(р) = ^ + в(р) (¿ = 3),

где © = в(р) — некоторая функция, ограниченная на всем интервале изменения р от 0 до +оо. Тогда при р —> 0 один из точечных уровней

17

будет стремиться к точечному уровню возмущения, сосредоточенного в Qi, а другой будет либо отсутствовать, либо стремиться к основному состоянию невозмущенного оператора. • ■

В третьей главе работы исследуется вопрос аппроксимации модельных гамильтонианов с сингулярными (точечными) потенциалами вида Я .== —Aig + eS(x) гамильтонианами с регулярными (обычными) потенциалами Я ■ —Alb + У(х).

Следует отметить, что корректное математическое описание модели потенциалов нулевого радиуса впервые было дано в 1961 году Ф. А. Бе-резиным и Л. Д. Фаддеевым в рамках теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Однако, подход теории расширений, давая строгий анализ, в то же время, ставит вопрос о верификации модели, то есть о выборе параметров расширений, обеспечивающих необходимое соответствие модели и реальной задачи. Это обоснование модели возможно путем аппроксимации точечных потенциалов гладкими. В диссертации указан способ построения такой аппроксимации для многообразий ограниченной геометрии.

Рассмотрим возмущение гамильтониана Я0 = —Alb в точке q е X. Формально такое возмущение задается оператором вида

Я, = -Alb .+ е6я(-).

Далее введем оператор

Hq(e) = -ALB + ^-V(Q-\e;.)),

где ©?(е, •) — гомотетия на X, ©"'(е, •) — отображение, обратное к Qq(e, •), А(е) — некоторая вещественно-аналитическая в окрестности О функция, причем А(0) = 1, А'(0) ф 0, V{x) — непрерывная функция на X с компактным носителем. Предположим также, что V{x) неотрицательна при каждом х б X.

Обозначим v{x) = (V(x))1/2, BQ(x,y;z) = -—--г,, где p{x,y) -

47Гp(x, у)

геодезическое расстояние между точками х и у; через Во будем обозначать интегральный оператор с ядром Bo(x,y;z).

В работе доказана следующая

Теорема 9. 1. Пусть < и|<р >= 0 для всех (р 6 L2{X) таких, что Во<Р — ~'-Р (в частности, —1 не является собственным значением оператора Bo(z)). Тогда, Hq(e) —► Н° при е [ 0 в смысле равномерной резольвентной сходимости.

2. Пусть < /и|ip >ф 0 и —1 — простое собственное значение Bo(z), <р — соответствующая —1 нормированная собственная функция. Тогда Hq(e) —► Нц при е | 0 в смысле равномерной резольвентной сходимости, где а = —А'(0)| < v\<p > |~2.

В приложении приведен листинг программы для численного расчета значений точечных уровней при различных величинах параметров потенциалов и кривизны пространства.

Заключение. В работе построена и исследована модель искривленных наноструктур с короткодействующим возмущением на базе спектральной теории операторов в неевклидовых пространствах. Модель позволяет получать аналитические решения и дисперсионное уравнение в явном виде для модельного оператора, что резко уменьшает вычислительные трудности. Получение явных асимптотик точечных уровней позволяет описывать поведение энергетического спектра реальной системы.

Основную трудность составляет выбор параметров модельного оператора, обеспечивающий соответствие модельной и реальной задачи. Для решения этой проблемы в работе предложен способ построения аппроксимации сингулярных точечных потенциалов гладкими, гарантирующий близость резольвент модельного и реального операторов с заданной точностью.

Список опубликованных работ по теме диссертации:

Публикации в изданиях, рекомендованных экспертным советом ВАК по управлению, информатике и вычислительной технике

1. Иванов, Д. А. К вопросу обоснования модели потенциалов нулевого радиуса [Текст] / Д. А. Иванов, В. Ю. Лоторейчик. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО - 2008. - Вып. 49 - С. 213-220.

Публикации в других изданиях, рекомендованных ВАК

2. Гейлер, В. А. Аппроксимация точечных возмущений на римановом многообразии [Текст] / В. А. Гейлер, Д. А. Иванов, И. Ю. Попов. // Теоретическая и математическая физика. — 2009. — Том 158. — № 1. - С. 49-57.

Публикации в прочих изданиях

3. Иванов, Д. А. Точечное возмущение оператора Вельтрами-Лапла-са на многообразии постоянной отрицательной кривизны [Текст] / Д. А. Иванов. // XXXIII Огаревские чтения: материалы науч. конф.: в 2 ч. Ч. 2. Естественные и технические науки. — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2005. - С. 49-51.

4. Иванов, Д. А. Двуцентровые точечные взаимодействия в пространстве Лобачевского [Текст] / Д. А. Иванов. // Матем. моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всероссийской науч. конф. — Самара, 2005. - С. 110-114.

5. Иванов, Д. А. Поведение точечных уровней двуцентровой задачи в пространстве Лобачевского при бесконечно малом расстоянии между центрами [Электронный документ] / Д. А. Иванов. // Материалы конф. молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ — Саранск, 2005. — 3 с. (http://svmo.mrsu.ru/lib/cmu05/ivanov.pdf). Проверено 28.12.2009.

6. Гейлер, В. А. Поправки к точечным потенциалам, устраняющие аномалию в двумерном случае [Текст] / В. А. Гейлер, Д. А. Иванов. // Материалы нано-, микро- и оптоэлектроники: физические свойства и применение. Сборник трудов четвертой межрегиональной молодежной научной гггколы. — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2005. — С. 31.

7. Иванов, Д. А. Поправки к точечным потенциалам в пространстве Лобачевского [Текст] / Д. А. Иванов. // XXXIV Огаревские чтения: материалы науч. конф.: в 2 ч. Ч. 2. Естественные и технические науки. — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2006. — С. 24-25.

8. Иванов, Д. А. Аномалия, возникающая при сближении рассеивающих центров, и способы ее устранения [Текст] / Д. А. Иванов. // Материалы XI науч. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов Морд, гос. ун-та им. Н. П. Огарева: в 3 ч. Ч. 2: Естественные науки — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2006. — С. 165-166.

9. Гейлер, В. А. К задаче о двух точечных рассеивающих центрах на римановой поверхности [Текст] / В. А. Гейлер, Д. А. Иванов. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Второй Всероссийской науч. конф. Ч. 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара, 2006. - С. 87-89.

10. Иванов, Д. А. Спектральные свойства одноцентрового точечного возмущения на трехмерной сфере [Текст] / Д. А. Иванов. // Труды СВ-МО. - 2008. - Т. 10. - № 2. - С. 96-105.

11. Иванов, Д. А. К задаче рассеяния на плоскости Лобачевского / Д. А. Иванов. // Сборник трудов VI конф. молодых ученых. Выпуск 3. Оптоинформатика, наносистемы и теплотехника. — Санкт-Петербург: СПбГУ ИТМО, 2009. - С. 59-63.

Подписано в печать 28.12.2009. Объем 1,25 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1859.

Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24

Введение

§1. Общая характеристика работы.

§2. Физическая постановка задачи.

§3. Модель потенциалов нулевого радиуса.

1 Моделирование примесей в искривленных наноструктурах точечными возмущениями на пространствах постоянной кривизны

§1. Плоскость Лобачевского.

§2. Пространство Лобачевского.

§3. Двумерная сфера.

§4. Трехмерная сфера.

2 Аномалия, возникающая при сближении рассеивающих центров

§1. Аномалия в трехмерном евклидовом пространстве.

§2. Аномалия в пространствах ограниченной геометрии.

3 Аппроксимация точечных возмущений на римановых многообразиях

§1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия активно изучаются искривленные наноструктуры. Это связано с невозможностью создания таких структур с идеальными прогнозируемыми формами. Кроме того, нано-объекты нетривиальной геометрической формы обладают весьма интересными физическими свойствами. Помимо исследования квантовых свойств искривленных наноструктур, важно исследовать возмущения на таких поверхностях, в частности, короткодействующими потенциалами. Такие системы можно изучать с помощью модели потенциалов нулевого радиуса. При использовании данной модели описание таких объектов сводится к исследованию спектра возмущения оператора Бельтрами-Лапласа (аналога оператора Лапласа для искривленных пространств).

Следует также отметить, что при рассмотрении примесей в искривленных нанообъектах важным вопросом является изучение влияния кривизны и мощности возмущения на электронный энергетический спектр, а при наличии двух центров возмущения - зависимости спектра от расстояния между примесями. Кроме того, при моделировании подобных структур нетривиальной оказывается проблема выбора, параметров модельного гамильтониана, обеспечивающих максимальную близость математической модели и реальной системы.

Целью исследования является построение и изучение модели искривленной наноструктуры с короткодействующими потенциалами, позволяющей провести часть расчетов в аналитической форме, что существенно уменьшает вычислительные трудности; изучение зависимости спектральных свойств модельного оператора от кривизны пространства и интенсивности возмущения; проведение численных расчетов и вычисление энергетических уровней; отыскание способов перенормировки параметра интенсивности точечных потенциалов в случае близко расположенных источников возмущения; построение аппроксимации точечных потенциалов гладкими, то есть верификация модели.

Объектом исследования являются математические модели искривленных наноструктур с локализованными примесями, представляющие собой одноцентровые и двуцентровые точечные возмущения гамильтониана свободной заряженной частицы на римановых многообразиях.

Научная задача работы — разработка математического аппарата моделирования искривленных наноструктур на базе спектральной теории операторов в искривленных пространствах.

Методологическую и теоретическую основу исследования составили труды российских и зарубежных исследователей в области математического моделирования физических систем с использованием метода потенциалов нулевого радиуса.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Математическая модель искривленной наноструктуры с малыми пространственно локализованными возмущениями, базирующаяся на рассмотрении потенциалов нулевого радиуса на римановом многообразии.

2. Рассчитанные в рамках модели потенциалов нулевого'радиуса в пространстве постоянной кривизны спектральные характеристики электрона в искривленной наноструктуре: а) методика и программа для численного расчета значений точечных уровней; б) построенные асимптотики точечных уровней электрона; в) рассчитанная зависимость точечных уровней от кривизны многообразия и интенсивности рассеивающих центров (примесей) в искривленной наноструктуре.

3. Математическая модель наносистемы в случае близко расположенных центров: а) описание аномального поведения точечных уровней, возникающего при сближении рассеивающих центров на римановом многообразии; б) способ устранения аномалии путем перенормировки параметров интенсивности источников возмущения.

4. Обоснование модели потенциалов нулевого радиуса на римановом многообразии путем доказательства теоремы об аппроксимации гамильтониана с сингулярными (точечными) потенциалами последовательностью гамильтонианов с регулярными потенциалами для произвольных многообразий ограниченной геометрии.

Научная новизна исследования. Построенные на основе модели потенциалов нулевого радиуса асимптотики точечных уровней для пространств постоянной кривизны являются новым результатом; описание аномалии, возникающей при малых расстояниях между источниками возмущения, и способ ее устранения является новым результатом для пространств ограниченной геометрии, причем, поскольку ранее рассматривался только случай трехмерного евклидова пространства, то результат является новым и для евклидовой плоскости; построенная аппроксимация сингулярных потенциалов регулярными в пространствах ограниченной геометрии является новой, ранее подобная аппроксимация была построена лишь для евклидовых пространств.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты могут быть использованы для исследования транспортных и спектральных свойств искривленных наноструктур при наличии в них примесей. Указанные в работе перенормировки параметра интенсивности возмущений позволяют получать более точные результаты при использовании модели потенциалов нулевого радиуса в случае малых расстояний между источниками возмущения.

Апробация результатов работы. Результаты работы прошли апробацию на конференциях и семинарах:

1. XXXIII Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2004 г.

2. Вторая всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи Самара, июнь 2005 г.

3. Межрегиональная научная школа "Материалы нано-, микро- и опто-электроники: физические свойства и применение Саранск, 5-7 октября 2005 г.

4. Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, ноябрь 2005.

5. XXXIV Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2005 г.

6. XI научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева., Саранск, май 2006 г.

7. Третья всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи Самара, июнь 2006 г.

8. V Всероссийская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2008 г.

9. XXXVII Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2008 г.

10. VI Всероссийская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2009 г.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 11 опубликованных статьях [12, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26], в том числе, 2 [14, 24] из Перечня ВАК.

Заключение

В диссертационной работе построена математическая модель искривленных наноструктур с помощью точечных возмущений гамильтонианов на римановом многообразии.

При помощи модели короткодействующих потенциалов исследована зависимость спектральных свойств примесей в искривленных наноструктурах от кривизны поверхности и мощности примеси.

Следует отметить, что построенная в работе модель позволяет получать аналитические решения и дисперсионное уравнение в явном виде для модельного оператора, что резко уменьшает вычислительные трудности. Получение явных асимптотик энергетических уровней позволяет описывать поведение энергетического спектра реальной системы.

Основную трудность при использовании модели потенциалов нулевого радиуса составляет выбор параметров модельного оператора, обеспечивающий соответствие модельной и реальной задачи. Для решения этой проблемы в работе предложен способ построения аппроксимации сингулярных точечных потенциалов гладкими.

В работе также исследовано аномальное поведение энергетических уровней возмущения оператора Бельтрами-Лапласа двумя точечными потенциалами, расположенными в пространстве ограниченной геометрии. Предложен способ устранения данной аномалии, заключающийся в перенормировке параметра интенсивности потенциалов, учитывающей расстояние между рассеивающими центрами. Применение данных поправок обеспечивает близость математической модели и реальной физической задачи.

1. Абрамович, М. Справочник по специальным функциям / М. Абрамович, И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 830 с.

2. Алферов, Ж. Двойные гетероструктуры: концепция и применения в физике, электронике и технологии. / Ж. Алферов. // УФН. — 2002. — Т. 172. С. 1067-1086.

3. Альбеверио, С. Связанные состояния в искривленной наноструктуре. / С. Альбеверио, В. А. Гейлер, В. А. Маргулис. // Письма в ЖТФ. — 2000. Т. 26. - С. 18-22.

4. Альбеверио, С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крон, X. Хольден. — М.: Мир, 1991. — 568 с.

5. Альбеверио, С. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике / С. Альбеверио, И. Фенстад, Р. Хеэг-Крон, Т. Линдстрем. — М.: Мир, 1990. — 616 с.

6. Базь, А. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я. В. Зельдович, А. М. Переломов. — М.: Наука, 1971. 544 с.

7. Баскин, Э. М. Стохастическая динамика двумерных электронов в периодической решетке антиточек / Э. М. Баскин, Г. М. Гусев, 3. Д. Квон и др. // Письма в ЖТЭФ. 1992. - Т. 55. - С. 649-652.

8. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М.: Наука, 1973. — 296 с.

9. Березин, Ф. А. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом / Ф. А. Березин, JL Д. Фаддеев. // ДАН СССР. — 1961.- Т. 137. № 5. - С. 1011-1014.

10. Брюнинг, Й. Непрерывность и асимптотическое поведение интегральных ядер, связанных с операторами Шрёдингера на многообразиях / Й. Брюнинг, В. А. Гейлер, К. В. Панкрашкин. // Матем. заметки. — 2005. Т. 78. - № 2. - С. 314-316.

11. Гейлер, В. А. Двумерный оператор Шредингера с однородным магнитным полем и его возмущения периодическими потенциалами нулевого радиуса / В. А. Гейлер. // Алгебра и Анализ. — 1991. — Т. 3. — № 3.- С. 1-48.

12. Гейлер, В. А. Аппроксимация точечных возмущений на римановом многообразии / В. А. Гейлер, Д. А. Иванов, И. Ю. Попов. // Теоретическая и математическая физика. — 2009. — Том 158. — № 1. — С. 49-57.

13. Гейлер, В. А. Резонансное туннелирование через двумерную наноструктуру с присоединенными проводниками. / В. А. Гейлер,

14. B. А. Маргулис, М. А. Пятаев. // ЖЭТФ. 2003. - Том 10. - № 4. - С. 851-861.

15. Гусев, Г. М. Магнетоосциляции в двумерной электронной системе с периодическим потенциалом антиточек / Г. М. Гусев, В. Т. Долгополов, 3. Д. Квон. и др. // Письма в ЖТЭФ. 1991. - Т. 54. - С. 369-372.

16. Демков, Ю. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике / Ю. Н. Демков, В. Н. Островский. Л.: ЛГУ, 1975. - 240 с.

17. Зельдович, Я. Б. Уровни энергии в искаженном кулоновом поле / Я. Б. Зельдович. // Физ. тверд, тела. — Т 1. — С*. 1638-1645.

18. Иванов, Д. А. Поведение точечных уровней двуцентровой задачи в пространстве Лобачевского при бесконечно малом расстоянии между центрами Электронный документ] / Д. А. Иванов. // Материалы конференции молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ —

19. Саранск, 2005. — 3 с. (http://svmo.mrsu.ru/lib/cmu05/ivanov.pdf). Проверено 23.06.2009.

20. Иванов, Д. А. Поправки к точечным потенциалам в пространстве Лобачевского / Д. А. Иванов. // XXXIV Огаревские чтения: материалы науч. конф.: в 2 ч. Ч. 2. Естественные и технические науки. — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2006. — С. 24-25.

21. Иванов, Д. А. К вопросу обоснования модели потенциалов нулевого радиуса / Д. А. Иванов, В. Ю. Лоторейчик. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО 2008. - Вып. 49 - С. 213-220.

22. Иванов, Д. А. Спектральные свойства одноцентрового точечного возмущения на трехмерной сфере / Д. А. Иванов. // Труды СВМО. — 2008. Т. 10. - № 2. - С. 96-105.

23. Иванов, Д. А. К задаче рассеяния на плоскости Лобачевского / Д. А. Иванов. // Сборник трудов VI конференции молодых ученых. Выпуск 3. Оптоинформатика, наносистемы и теплотехника. — Санкт-Петербург: СПбГУ ИТМО, 2009. С. 59-63.

24. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. — М.: Мир, 1972. 740 с.

25. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. В 2 т. Т. 2. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука, 1988. — 509 с.

26. Новиков, С. П. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях С. П. Новиков. // Современные проблемы математики. — 1983.- Т. 23. С. 3-32.

27. Нижник, Л. П. О точечном взаимодействии в квантовой механике / Л. П. Нижник. // Украинский матем. журнал. — 1997. — Т. 49 — С. 1557-1560.

28. Павлов, Б. С. Теория расширений и явнорешаемые модели / Б. С. Павлов. // Успехи математических наук. — 1987. — Т. 42. — № 6. — С. 99131.

29. Ребане, Т. К. Магнитные свойства простейших систем в модели потенциалов нулевого радиуса / Т. К. Ребане, Р. И. Шарибджанов. // Теор. и экспер. химия. — 1974. — Вып. 4. — N 10. — С. 444-449.

30. Рид, М. Методы современной математической физики. В 4 т. Т 2. Гармонический анализ. Самосопряженность / М. Рид, Б. Саймон. — М.: Мир, 1978. 395 с.

31. Светлов, А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа-Бельтрами на квазимодельных многообразиях / А. В. Светлов. // Сибирский математический журнал. — 2002. — Т. 43. — С. 1362-1371.

32. Смирнов, Б. М. Механизмы излучательных переходов в металлических кластерах / Б. М. Смирнов, X. Вайделе. // ЖЭТФ. 1999. - Т. 116.- С. 1903-1912.

33. Ферми, Э. О движении нейтронов в гидрированном веществе / Э. Ферми // Научные труды. Т. I М.: Наука, 1971. — С. 741-781.

34. Шубин, М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. / М. А. Шубин. — М.: Добросвет, 2005. — 312 с.

35. Aharonov, Y. Significance of electromagnetic potentials in quantum theory. / Y. Aharonov, D. Bohm. // Phys. Rev. 1959. - V. 115. - P. 485-491.

36. Albe V., Jouanin C., Bertho D. Confinement and shape effects on the optical spectra of small CdSe nanocrystals / V. Albe, C. Jouanin, D. Bertho. // Phys. Rev. B. 1998. - V. 58. - P. 4713-4720.

37. Albeverio, S. Geometric phase realated to point-interaction transport on a magnetic Lobachevsky plane / S. Albeverio, P. Exner, V. A. Geyler. // Lett. Math. Phys.- 2001. V. 55. - P. 9-16.

38. Alimohammadi, M. Laughlin states on the Poincare half-plane and their quantum group symmetry / M. Alimohammadi, H. M. Sadjadi. //J. Phys. A. 1996. - V. 29. - P. 5551-5558.

39. Alimohammadi, M. Coulomb gas representation of quantum Hall effect on Riemann surfaces / M. Alimohammadi, H. M. Sadjadi. //J. Phys. A. — 1999. V. 32. - P. 4433-4440.

40. Averitt, R. D. Plasmon Resonance Shifts of Au-Coated Au2S Nanoshells: Insight into Multicomponent Nanoparticle Growth / R. D. Averitt, D. Sarkar, N. J. Halas. // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 78. - P. 42174220.

41. Batista, C. L. S. Analytic calculations of trial wave functions of the fractional quantum Hall effect on the sphere / C. L. S. Batista, D. Li // Phys. Rev. B. 1997. - V. 55. - P. 1582-1595.

42. Bellissard, J. The noncommutative geometry and quantum Hall effect / J. Bellissard, A. van Eist., H. Schulz-Baldes. // J. Math. Phys. 1994. — V. 35. - P. 5373-5451.

43. Berger, M. A Panoramic View of Riemennian Geometry / M. Berger. — Berlin: Springer, 2002. 850 p.

44. Bethe, H. Quantum theory of the diplon / H. Bethe, R. Peierls // Proc. Roy. Soc. (London) 1935. - V. 148A. - P. 146-156.

45. Breit G. The scattering of slow neutrons by bound protons I. Method of calculations / G. Breit. // Phys. Rev. 1947. - V. 71. - P. 215-231.

46. Brüning, J. Ballistic conductance of a quantum sphere. / J. Brüning, V. A. Geyler, V. A. Margulis, M. A. Pyataev // J. of Phys. A: Math, and Theor. 2002. - V. 35. - P. 4239-4247.

47. Brüning, J. On-diagonal singularities of the Green functions for Schrodinger operators / J. Brüning, V. A. Geyler, K. V. Pankrashkin. // J. Math. Phys. 2005. - V. 46 - P. 113508.1-113508.16.

48. Brüning, J. Continuity properties of integral kernels associated with Schrodinger operators on manifolds / J. Brüning, V. A. Geyler, K. V. Pankrashkin. // Ann. Henri Poincare. — 2007. V. 8. - P. 781-816.

49. Bulaev, D. V. Magnetic moment of an electron gas on the surface of constant negative curvature. / D. V. Bulaev, V. A. Margulis. // European Phys. J. B 2003. - V. 36. - P. 183-186.

50. Büttiker, M. Four-Terminal Phase-Coherent Conductance. / M. Büttiker. // Phys. Rev. Lett. 1986. - V. 57. - P. 1761-1764.

51. Carey, A. L. Quantum Hall Effect on the Hyperbolic Plane in the Presence of Disorder / A. L. Carey, K. Hannabuss, V. Mathai. // Lett. Math. Phys.- 1999. V. 47. - P. 215-236.

52. Carey, A. L. Quantum Hall Effect on the Hyperbolic Plane A. L. Carey, K. C. Hannabuss, V. Mathai and others. // Commun. Math. Phys. — 1998.- V. 190. P. 629-673.

53. Chaplik, A. V. Effect of curvature of a 2D electron sheet on the ballistic conductance and spin-orbit interaction / A. V. Chaplik, L. I. Magarill, D. A. Romanov. // Physica B. 1998. - V. 249. - P. 377-382.

54. Colin De Verdi'ere, Y. Pseudo-Laplaciens I / Y. Colin De Verdi'ere. // Annales de l'institut Fourier 32. — 1982. — V. 3. — P. 275-286.

55. Companö, R. Trends in nanoelectronics. / R. Companö. // Nanotechnology. — 2001. V. 12. - P. 85-88.

56. Comtet, A. On the landau levels on the hyperbolic plane / A. Comtet. // Ann. Phys. 1987. - V. 173. - P. 185-209.

57. Donnelly, H. The differential form spectrum of hyperbolic space / H. Donnelly. // Manuscripta mathematica. — 1981. — V. 33. — P. 365-385.

58. Fakhri, H. Landau levels on the hyperbolic plane / H. Fakhri, M. Shariati. // J. Phys. A: Math. Gen. 2004. - V. 37. - P. L539-L545.

59. Foden, C. L. Quantum magnetic confinement in a curved two-dimensional electron gas / C. L. Foden, M. L. Leadbeater, J. H. Burroughes and others. //J. Phys.: Cond. Matter. 1994. - V. 6. - L127-L134.

60. Ford, C. J. B. Influence of geometry on the Hall effect in ballistic wires / C. J. B. Ford, S. Washburn, M. Büttiker and others. // Phys. Rev. Lett.- 1989. V 62. - P. 2724-2727.

61. Frölich, J. The fractional quantum Hall effect, Chern-Simons theory, and integral lattices / J. Frölich. // Proc. Jnt. Congress of Mathem. Zürich. — 1994. V. 1. - P. 75-105.

62. Fu, L. Nonlinear response of composite materials containing coated spheres: Giant enhancement due to the particle structure and distribution / L. Fu, L. Resca. // Phys. Rev. B. 1997. - V. 56. - P. 10963-10969.

63. Goldbereger, M. L. Theory of the refractions and the diffraction of neutrons by cristals / M. L. Goldbereger, F. Seltz. // Phys. Rev. 1947. - V. 71.- P. 294-310.

64. Grigor'yan, A. Heat kernel on a non-compact Riemannian manifold / A. Grigor'yan. // Proc. Symp. Pure Math. 1995. - V. 57. - P. 239-263,

65. Gritsev, V. V. Model of exitations in quantum dots based on quantum mechanics in spaces of constant curvature / V. V. Gritsev, Yu. A. Kurochkin. // Phys. Rev. B. 2001. - V. 64 - P 135308-135316.

66. Grosche, C. Energy-level statistics of an integrable billiard system in a rectangle in the hypcrbolic plane / C. Grosche. //J. Phys. A. — 1992. — V. 25. P. 4573-4594.

67. Grosche, C. On the Path Integral Treatment for an Aharonov-Bohm Field on the Hyperbolic Plane / Grosche C. // Int. J. Theor. Phys. — 1999. — V. 38. P. 955-969.

68. Grosche, Ch. Handbook of Feynman path integrals / Ch. Grosche, F. Steiner. — Berlin: Springer-Verlag, 1998. — 458 p.

69. Guillement, J. P. Walk inside Hofstadter's butterfly / J. P. Guillement, B. Helffer, P. Treton. // J. Phys. France. 1989. - V. 50. - P. 20192058.

70. Gutzwiller, M. C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics / M. C. Gutzwiller. — New York: Springer, 1990. — 451 p.

71. Haldane, F. D. M. Periodic Laughlin-Jastrow wave functions for the fractional quantized Hall effect / F. D. M. Haldane, E. H. Rezayi. // Phys. Rev. Lett. 1985. - V. 31. - P. 2529-2531.

72. Helffer, B. Le pappilon de Hofstadter revisits / B. Helffer, P. Kerdelhue, J. Sjostrand. // Mem. Soc. Math. France. 1990. — V. 43. — P. 1-87.

73. Iengo, R. Quantum mechanics and quantum Hall effect on Reimann surfaces / R. Iengo, D. Li. // Nucl. Phys. B. 1994. — V. 413. - P. 735753.

74. Krive, I. V. Scattering by an ultralocal potential in a non-trivial topology / I. V. Krive, S. Naftulin, A. S. Rozhavsky. // Ann. Phys. 1994. - V. 232. - P. 225-242.

75. Kronig, R. de L. Quantum mechanics of electrons in crystal lattices / R. de L. Kronig, W. G. Penney. // Proc. Roy. Soc.(London) — 1931. — V. 130A. P. 499-513.

76. Leadbeater M. L. Electron transport in a non-uniform magnetic field / M. L. Leadbeater, C. L. Forden, T. M. Burke and others. // J. Phys.: Condens. Matter. 1995. - V. 7. - P. L307-L316.

77. Lorke, A. Magnetotransport in two-dimensional lateral superlattices / A. Lorke, J. P. Kotthaus, K. Ploog. // Phys. Rev. B. 1991. - V. 44. -P. 3447-3450.

78. Martinos, S. S. Optical absorption spectra for silver spherical particles / S. S. Martinos. // Phys. Rev. B. 1989. - V. 39. - P. 1363-1364.

79. Melik-Alaverdian, V. Fixed-phase diffusion Monte Carlo study of the quantum-Hall effect on the Haldane sphere / V. Melik-Alaverdian, N. E. Bonesteel, G. Ortiz. // Physica E. 1997. - V. 1. - P. 138-144.

80. Mie, G. Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen / G. Mie. // Ann. Phys. (Leipzig). — 1908. — V. 25. — P. 377-445.

81. Miguez, H. Bragg diffraction from indium phosphide infilled fee silica colloidal crystals / H. Miguez, A. Blanco, F. Meseguer and others. // Phys. Rev. B. 1999. - V. 59. - P. 1563-1566.

82. Murray, C. B. Synthesis and Characterization of Nearly Monodisperse CdE (E = S, Se, Te) Semiconductor Nanocrystallites / C. B. Murray,

83. D. J. Norris, M. G. Bawendi. // J. Am. Chem. Soc. 1993. - V. 115. -P. 8706-8715.

84. Nelson, E. Internal set theory: A new approach to nonstandard analysis /

85. E. Nelson. // Bull. Amer. Math. Soc. 1977. - V. 83. - P. 1165-1198.

86. Ohtaka, K. Photonic band effects in a two-dimensional array of dielectric spheres in the millimeter-wave region / K. Ohtaka, Y. Suda, S. Nagano and others. // Phys. Rev. B. 2000. - V. 61. - P. 5267-5279.

87. Popov, I. Yu. The operator extension theory, semitransparent surface and short range potential / I. Yu. Popov. // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1995. - V. 118 - P. 555-563.

88. Prinz, V. Y. / V. Y. Prinz, D. Grützmacher, A. Beyer and others. // Proceedings of 9th Internetional Symposium "Nanostructures: Physics and Technology". — St. Petersburg, Russia: June 18-22 2001. — P. 13.

89. Prinz, V. Y. Novel technique for fabrication of one- and two-dimensional systems / V. Y. Prinz, V. A. Seleznev, A. K. Gutarovsky. // Surf. Sei. — 1996. V. 361-362. - P. 886-889.

90. Prinz, V. Y. Free-standing and overgrown InGaAs/GaAs nanotubes, nanohelices and their arrays / V. Y. Prinz, V. A. Seleznev, A. K. Gutarovsky and others. // Physica E. — 2000. —V. 6. P. 828-831.

91. Prinz, V. Y. Nanoscale engineering using controllable formation of ultra-thin cracks in heterostructures / V. Y. Prinz, V. A. Seleznev, V. A. Samoylov and others. // Microelectronics Engineering. — 1996. — V. 30. P. 439-442.

92. Rojas, R. Nonlocal response of a small coated sphere / R. Rojas, F. Claro, R. Fuchs. // Phys. Rev. B. 1988. - V. 37. - P. 6799-6807.

93. Ruppin R. Optical absorption by a small sphere above a substrate with inclusion of nonlocal effects / R. Ruppin. // Phys. Rev. B. — 1992. — V. 45. P. 11209-11215.

94. Salvarezza, R. C. Edward-Wilkinson Behavior of Crystal Surfaces Grown By Sedimentation of S1O2 Nanospheres / R. C. Salvarezza, L. Vazquez, H. Miguez and others. // Phys. Rev. Lett. — 1996. V. 77. — P. 45724575.

95. Shubin, M. A. Spectral theory of elliptic operators on non-compact manifolds / M. A. Shubin. // Astrerisque 1992. — V. 207. - P. 35108.

96. Simon, B. Schrodinger semigroups / B. Simon. // Bull. Amer. Math. Soc.- 1982. V. 7. - P. 447-526.

97. Stockmann, H. J. Quantum chaos: An introduction / H. J. Stockmann.

98. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1999. — 368 p.

99. Thomas, L. H. The interaction between a neiycron and a proton and the structure of H3 / L. H. Thomas. // Phys. Rev. 1935. - V. 47. -P. 903-909.

100. Tsui, D. Two-Dimensional Magnetotransport in the Extreme Quantum Limit. / D. Tsui, H. Stormer, A. Gossard. // Phys. Rev. Lett. 1982. — V. 48. - P. 1559-1562.

101. Vlasov, Y. A. Existence of a photonic pseudogap for visible light in synthetic opals / Y. A. Vlasov, V. N. Astratov, O. Z. Karimov and others. // Phys. Rev. B. 1997. - V. 55. - P. R13357-R13360.

102. Weiss, D. Quantized periodic orbits in large antidot arrays / D. Weiss, K. Richter, A. Menschig and others. // Phys. Rev. Lett. — 1993. — V. 70. P. 4118-4121.

103. Xia, J. B. Electronic structure of quantum spheres with wurtzite structure / J. B. Xia, J. Li // Phys. Rev. B. 1999. - V. 60. - P. 11540-11544.

104. Yannopapas, V. Optical properties of metallodielectric photonic crystals / V. Yannopapas, A. Modinos, N. Stefanou. // Phys. Rev. B. — 1999. — V. 60. P. 5359-5365.

105. Zhou, H. S. Controlled synthesis and quantum-size effect in gold-coated nanoparticles / H. S. Zhou, I. Honma, H. Komiyama and others. // Phys. Rev. B. 1994. - V. 50. - P. 12052-12056.