автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оператор Шредингера с однородным магнитным полем, возмущенный периодической цепочкой точечных потенциалов

Обозначения

Введение

Глава 1. Предварительные результаты

§1. Вспомогательные сведения о трехмерном операторе

Шредингера с магнитным полем

1.1. Оператор Шредингера с магнитным полем (оператор Ландау) в пространстве £/2(Е3)

1.2. Спектр и обобщенные собственные функции оператора Ландау.

1.3. Свойства функции Грина оператора Ландау

§2. Группа магнитных трансляций и ее дискретные подгруппы.

2.1. Группа магнитных трансляций

2.2. Дискретные группы магнитных трансляций И^(Г)

§3. Вспомогательные сведения о точечных возмущениях

Глава 2. Возмущение трехмерного оператора Ландау периодической цепочкой потенциалов нулевого радиуса: спектральные свойства.

§1. Возмущение оператора Ландау потенциалом, периодическим относительно одномерной решетки: разложение в прямой интеграл

§2. Построение точечных возмущений оператора Ландау

§3. Функция Грина возмущения оператора Ландау в слое разложения пространства состояний в прямой интеграл

§4. Спектральный анализ возмущенного оператора в слое

4.1. Спектральный анализ оператора На(р) в случае параллельного цепочке потенциалов магнитного поля

4.2. Спектральный анализ оператора На{р) в случае наклонного к цепочке потенциалов магнитного поля

4.3. Свойства симметрии законов дисперсии, связанные с симметрией цепочки

§5. Спектральный анализ возмущенного оператора На

§6. Численное исследование законов дисперсии и плотности состояния углеродных нанотрубок.

Глава 3. Рассеяние на цепочке точечных потенциалов в присутствии однородного магнитного поля

§1. Случай параллельного цепочке магнитного поля.

§2. Рассеяние на цепочке точечных потенциалов в наклонном магнитном поле

Последние два десятилетия исследование периодических систем пониженной размерности в магнитных полях привлекает все большее внимание со стороны специалистов как в области математической, так и в области теоретической физики. Интерес физиков-теоретиков к подобным системам в последние годы вызван такими важными экспериментальными открытиями, как квантовый эффект Холла (Нобелевская премия 1985 г.) [31,32,91], квантовый биллиард в периодических массивах квантовых антиточек [3,22,84,94,95], экспериментальное обнаружение фрактальной структуры спектра (бабочка Хофштадтера) в периодических массивах квантовых точек [77,79], открытие технологии получения фуллеренов, углеродных нанотрубок и создаваемых на их основе более сложных углеродных кристаллических структур, обладающих необычными электромагнитными свойствами (см. [65,67,68,78,81,85,88,89,92], а также книгу [87] и обширную библиографию в ней). Строгое математическое обоснование теоретических построений физиков потребовало привлечения мощных методов алгебраической топологии, спектрального анализа, некоммутативной геометрии и др. [46,58,62,70]. В частности, важную роль в работах по исследованию свойств периодических систем в магнитных полях играют явнорешаемые модели, использующие теорию точечных потенциалов [17,21,52,75,83]. Обширная библиография по указанному кругу вопросов до 1994 г. приведена, например, в обзоре [10].

Одними из наиболее интересных объектов, которые продолжают активно исследоваться физиками-экспериментаторами, являются углеродные нанотрубки - своеобразные цилиндрические молекулы, состоящие из атомов углерода, диаметр которых имеет порядок десятков нанометров, а длина достигает нескольких микрометров. Эти полимерные системы впервые были обнаружены 11 лет назад [81] как побочные продукты синтеза фуллерена С^о- Пристальное внимание ученых к таким 8 системам вызвано уникальными свойствами углеродных нанотрубок, которые в зависимости от характера симметрии кристаллической решетки могут проявлять как металлические, так и полупроводниковые свойства [97]. В частности, особый интерес представляет способность нанотрубок проявлять сверхпроводящие свойства при обычной температуре. В работе [68] показано, что проводимость нанотрубки, в отличие от обычного проводника, не зависит ни от длины нанотрубки, ни от ее толщины и равна кванту проводимости 2е2//г (12,9 кОм-1) - предельному значению проводимости, отвечающему свободному переносу делокализован-ных электронов. Экспериментально наблюдаемое при обычной температуре значение плотности тока (107А-см~2) на два порядка превосходит достигаемую в настоящее время плотность тока в сверхпроводниках.

Открытие этих свойств углеродных нанотрубок в перспективе открывает широкие возможности использования их в производстве микрочипов с уникальными характеристиками. Ранее удавалось получить лишь отдельные транзисторы на нанотрубках или группу со случайным размещением, что не давало возможности строить схемы. Но совсем недавно ученым из лаборатории фирмы IBM удалось найти способ точного позиционирования транзисторов. На основе углеродных нанотрубок была создана транзисторная сборка, толщина которой составляет всего несколько молекул, что в 500 раз тоньше существующих транзисторов на кремниевой основе. Ожидается, что в обозримом будущем электронные устройства, собранные из нанотрубок, заменят элементы аналогичного назначения в электронных схемах различных приборов, в том числе и современных компьютеров. Подобная перспектива для наноэлектрони-ки означает достижение теоретического предела плотности записи информации (порядка одного бита на молекулу). Таким образом, весьма актуальной представляется задача построения явнорешаемой математической модели углеродной нанотрубки, находящейся в однородном маг9 нитном поле, которое произвольно ориентировано по отношению к оси нанотрубки.

Для исследования электронного энергетического спектра углеродных нанотрубок применяются различные квантовомеханические методы: широко используемые в физике твердого тела метод сильной связи (см. [51,88,90,92], а также книги [65,87] и библиографии в них) и метод приближения эффективных масс [53,54], а для расчета параметров ки-ральных нанотрубок в параллельном магнитном поле применяется метод линеаризованных присоединенных цилиндрических волн [26,66].

В настоящей диссертационной работе рассматривается явнореша-емая математическая модель углеродной нанотрубки, находящейся в однородном магнитном поле, которое произвольно ориентировано по отношению к оси нанотрубки, при условии, что потенциалы атомов кристаллической решетки нанотрубки считаются короткодействующими и выбираются в виде потенциалов нулевого радиуса (называемых также точечными потенциалами) [9,10,25,27,47,71,76]. Важное отличие такой модели от моделей, использовавшихся ранее, заключается в том, что дисперсионное уравнение для нахождения зонного энергетического спектра выводится в явном виде и не требует при своем выводе дополнительных приближений, за исключением предположения о виде атомного потенциала. В данной работе в рамках модели точечных потенциалов проводится полное исследование спектральных свойств системы. Ранее такая модель атомного потенциала применялась для изучения бесконечных одноатомных цепочек (линейных полимеров) в отсутствии внешнего магнитного поля [1,27,28]. В известной нам литературе для исследования квазиодномерных систем в трехмерном пространстве, помещенных в однородное магнитное поле, метод точечных потенциалов не использовался, за исключением работ [12-14,18,35-42,56,72-74]. В работах [27,28] в явном виде решается задача рассеяния заряженной частицы на атомах одно

10 мерной кристаллической решетки в отсутствии магнитного поля. В связи с этим в данной работе находятся состояния рассеяния в случае одноатомной цепочки точечных потенциалов в произвольно ориентированном внешнем магнитном поле.

Перейдем к систематическому обзору диссертационной работы по главам. Во введении сформулированы цели работы, их актуальность и научная новизна. Первая глава носит вспомогательный характер. Она содержит предварительные результаты, касающиеся трехмерного оператора Шредингера с магнитным полем Щ (оператора Ландау), которые в дальнейшем используются в диссертации. В первом параграфе подробно описаны спектр и обобщенные собственные функции трехмерного оператора Ландау, а также приводятся свойства его функции Грина. Во втором параграфе введена в рассмотрение так называемая группа магнитных трансляций, являющаяся подгруппой группы инвариантности оператора Ландау, и определены представления самой группы магнитных трансляций и ее одномерных дискретных подгрупп, которые необходимы для дальнейшего изложения. В третьем параграфе приведены вспомогательные сведения о точечных возмущениях оператора Ландау, построение которых производится с помощью техники "сужения-расширения" симметрических операторов.

Вторая и третья главы являются центральными в диссертации и содержат ее основные результаты. Во второй главе производится строгое математическое построение квазиодномерных периодических точечных возмущений На оператора Ландау, затем проводится полное исследование спектральных свойств возмущенного гамильтониана. В первом параграфе второй главы рассмотрен общий случай возмущения исследуемого трехмерного оператора Ландау потенциалом, периодическим сдвигов на векторы некоторой подгруппы ранга 1 пространства М3. Для данного возмущения в теореме 2.3 найдено преобразование пространства состо

11 яний заряженной частицы, разлагающее возмущенный гамильтониан в прямой интеграл операторов умножения, которые действуют послойно и имеют более удобный вид для дальнейшего исследования. Доказано, что найденное преобразование одновременно с этим разлагает введенное в первой главе представление группы магнитных трансляций на неприводимые.

Второй параграф главы посвящен построению основного объекта диссертационного исследования - возмущения оператора Ландау периодической суммой потенциалов нулевого радиуса (точечных потенциалов), которые сосредоточены в узлах одномерной цепочки, моделирующей кристаллическую структуру углеродной нанотрубки. Пространство состояний заряженной частицы в цепочке точечных потенциалов, находящейся в однородном магнитном поле, разложено в прямой интеграл по неприводимым представлениям дискретной подгруппы группы магнитных трансляций (точнее говоря, по группе окружности или по одномерному тору квазиимпульсов). В теореме 2.5 получен критерий инвариантности возмущенного гамильтониана относительно операторов магнитных трансляций.

В третьем параграфе в явном виде найдена функция Грина возмущенного оператора, этот результат описывает теорема 2.7. С помощью полученной формулы для функции Грина в четвертом параграфе проведен исчерпывающий анализ спектра исследуемого гамильтониана при фиксированном квазиимпульсе (то есть анализ спектра гамильтониана в слое разложения). Доказано, что в зависимости от направления магнитного поля по отношению к цепочке спектр гамильтониана в слое имеет различную структуру. В теореме 2.9 доказано, что если поле параллельно цепочке, то спектр слоя гамильтониана Нл(р) является чисто точечным и состоит из двух бесконечных частей. Первая часть представляет собой дискретный спектр, появление которого вызвано наложени

12 ем точечного возмущения, а вторая часть представляет собой сдвинутые уровни Ландау, изменение которых обусловлено наложением квазипериодических краевых условий вдоль цепочки. В теореме 2.10 доказано, что если магнитное поле наклонено к цепочке, то спектр слоя гамильтониана НА(р) также состоит из двух частей. Непрерывная часть заполняет луч, началом которого является нижний уровень Ландау. Дискретная часть представляет собой конечное число уровней, лежащих ниже края непрерывного спектра. В теореме 2.11 исследованы свойства симметрии законов дисперсии 6п (р) как функции от р Е ТГ.

В пятом параграфе проведено полное исследование структуры спектра возмущенного гамильтониана На- Результаты этого исследования изложены в теореме 2.13. Доказано, что спектр имеет зонную структуру с конечным числом зон, причем в спектр входит луч, началом которого является нижний уровень Ландау. Ниже этого уровня лежит конечное число зон, возникающих при наложении точечного возмущения. Эти зоны могут перекрываться и налагаться на вышеуказанный луч. В шестом параграфе полученные теоретические результаты были применены для исследования нижней зоны законов дисперсии электрона в цепочке потенциалов нулевого радиуса. С помощью численного решения найденного в явном виде дисперсионного уравнения были построены графики дисперсионных кривых и плотности состояний для цепочек с симметриями типа "кресло" (4, 4), "зигзаг" (6, 0) и для цепочки с "киральной" симметрией (4, 1). Численно исследована зависимость их от величины напряженности магнитного поля и его направления по отношению к цепочке точечных потенциалов. Полученные графические результаты позволили обнаружить особенности Ван Хова. Итак, основными новыми результатами второй главы и одними из центральных результатов диссертации являются теоремы 2.3, 2.5, 2.7, 2.9, 2.10, 2.11 и 2.13.

В третьей главе диссертационной работы приведены результаты,

13 касающиеся исследования свойств обобщенных собственных функций возмущенного гамильтониана. В работах Ю.Е. Карпешиной [27,28] изучена задача рассеяния плоской волны ехр(г(к, г)) на одномерной периодической цепочке потенциалов нулевого радиуса, лежащей в трехмерном пространстве, в отсутствии магнитного поля. В работе [28] были найдены обобщенные собственные функции двух типов: 1) собственные функции типа блоховской волны, бегущей вдоль цепочки, и экспоненциально убывающие при удалении от цепочки; 2) собственные функции, представляющие собой результат рассеяния плоской волны на цепочке.

Наличие внешнего магнитного поля, произвольно направленного по отношению к цепочке, приводит к квантованию движения заряженной частицы в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Следовательно, если магнитное поле и цепочка параллельны, то свободное движение частицы возможно только вдоль цепочки, и поэтому собственные функции второго типа исчезают. В первом параграфе главы в теореме 3.1 с помощью разложения пространства состояний по угловому моменту М Е Ъ найдены два типа обобщенных собственных функций возмущенного гамильтониана Н&. Первые описывают свободное движение частицы вдоль цепочки и экспоненциально убывают при удалении от нее. Они соответствуют функциям второго типа, полученным в [28]. Функции второго типа представляют собой блоховские волны, локализованные в направлении, ортогональном магнитному полю (или вектору периодов цепочки) и описывающие движение частицы вдоль цепочки. Они соответствуют функциям первого типа, полученным в [28]. Во втором параграфе в теореме 3.2 в случае наклонного магнитного поля и одноатомной цепочки найдены обобщенные собственные функции непрерывного спектра слоя возмущенного оператора На- Каждая собственная функция представляет собой рассеяную волну, которая является результатом суперпозиции волн, рассеянных от каждого узла цепочки. Ампли

14 туда рассеянной волны экспоненциально убывает при удалении от цепочки и волна удовлетворяет условию Блоха при сдвиге на вектор цепочки. Итак, основными новыми результатами третьей главы и одними из центральных результатов диссертации являются теоремы 3.1 и 3.3.

В заключении кратко повторяются основные полученные результаты, делаются выводы из этих результатов и приводятся сведения об апробации работы на научных конференциях.

15

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12-14, 18,35-42,56,72-74], а также докладывались на международных и межвузовских конференциях

1. III Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева, 1998 г.

2. 2 Международная конференция "Химия высокоорганизованных

127 веществ и научные основы нанотехнологии". Санкт-Петербург, 1998 г.

3. Международная конференция "Физика на пороге XXI века". Санкт-Петербург, Физико-технический институт имени А.Ф. Иоффе РАН, 1998 г.

4. II Международная конференция "Проблемы и прикладные вопросы физики". Саранск, Мордовский госпединститут имени М.Е. Евсе-вьева, 1999 г.

5. XXII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2000 г.

6. IV Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева, 2000 г.

7. Десятая межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, Самарский государственный технический университет, 2000 г.

8. Одиннадцатая межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, Самарский государственный технический университет, 2001 г.

9. Пятый международный симпозиум в России "Фуллерены и атомные кластеры" (Г\¥РАС '2001). Санкт-Петербург, 2002 г.

10. Международный семинар "Дни Дифракции '2002". Санкт-Петербург, 2002 г.

128

Заключение

В работе с помощью теории самосопряженных расширений симметрических операторов построено возмущение трехмерного оператора Ландау периодической цепочкой потенциалов нулевого радиуса, которое можно рассматривать в качестве гамильтониана модели углеродной нанотрубки, находящейся в произвольно ориентированном однородном магнитном поле. С помощью разложения возмущенного оператора в прямой интеграл операторов умножения аналитически и численно исследована структура спектра гамильтониана модели. Доказано, что спектр имеет зонную структуру.

Построены графики законов дисперсии, описывающих послойное изменение зонного спектра. Показано, что: 1) при увеличении напряженности магнитного поля законы дисперсии поднимаются вверх по энергетической оси и происходит сгущение уровней, причем число особенностей Ван Хова второго рода уменьшается, а число особенностей Ван Хова первого рода - увеличивается; 2) при увеличении угла наклона магнитного поля к оси нанотрубки количество зон в спектре На{р) увеличивается.

В случае одноатомной цепочки точечных потенциалов найдены обобщенные собственные функции модельного гамильтониана, появление которых обусловлено наложением точечного возмущения. В случае параллельного цепочке магнитного поля эти собственные функции описывают движение заряженной частицы вдоль цепочки. В случае наклонного к цепочке магнитного поля каждая из указанных собственных функций представляет собой рассеянную волну, которая является результатом суперпозиции волн, рассеянных от каждого узла цепочки. Амплитуда рассеянной волны экспоненциально убывает при удалении от цепочки и волна удовлетворяет условию Блоха при сдвиге на вектор цепочки.

В заключении сформулируем основные положения, которые выносятся на защиту.

126

1. Конструкция возмущения трехмерного оператора Ландау периодической цепочкой точечных потенциалов в рамках теории самосопряженных расширений симметрических операторов.

2. Явные формулы для разложения пространства состояний заряженной частицы в цепочке точечных потенциалов, находящейся в однородном магнитном поле, по неприводимым представлениям группы инвариантности гамильтониана частицы.

3. Полный анализ спектра построенного гамильтониана при фиксированном квазиимпульсе (то есть анализ спектра гамильтониана в слое разложения).

4. Структура спектра возмущенного оператора, рассматриваемого в качестве гамильтониана модели углеродной нанотрубки. Доказано, что спектр имеет зонную структуру с конечным числом зон.

5. Обобщенные собственные функции построенного гамильтониана, появление которых обусловлено наложением возмущения одноатомной цепочкой точечных потенциалов.

6. Численный анализ спектра возмущенного оператора для цепочек, моделирующих нанотрубки различных типов симметрии: "кресло" (4, 4), "зигзаг" (б, 0), а также для структуры с "киральной" симметрией (4, 1). Во всех перечисленных случаях получен вид законов дисперсии, рассмотрена их зависимость от величины и направления магнитного поля. Построены графики плотности состояний и численно найдены особенности Ван Хова.

1. Альбеверио С., Гестези Ф., Хоеэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. - 568 с.

2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

3. Баскин Э.М., Гусев Г.М., Квон З.Д., Погосов А.Г., Энтин М.В. Стохастическая динамика двумерных электронов в периодической решетке антиточек // Письма в ЖЭТФ. 1992. Т. 55, № 11. С. 649 -652.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1. -М.: Наука, 1973, т. 2. М.: Наука, 1974. (296 е., 296 с.)

5. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, Ш 5. С. 1011 1014.

6. Бухвалов A.B. Приложения методов порядково ограниченных операторов в пространствах LP // Успехи мат. наук. 1983. Т. 38, № 6. С. 37 83.

7. Векторные решетки и интегральные операторы / Бухвалов A.B., Коротков В.Б., Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С., Макаров Б.М. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. 215 с.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

9. Гейлер В.А. Квантовая механика заряженной частицы в магнитном поле и теория самосопряженных расширений // Материалы Междунар. конференции "Диф. уравнен, и их прилож." / Е.В. Воскресенский отв. ред. Саранск: Морд, ун-т, 1995. С. 32 - 55.

10. Гейлер В.А., Демидов В.В. Спектр трехмерного оператора Ландау, возмущенного периодическим точечным потенциалом // Теорет. и мат. физика. 1995. Т. 103, № 2. С. 283 294.

11. Гейлер В.А., Костров О.Г. Возмущение трехмерного оператора Ландау одномерной цепочкой точечных рассеивателей // Труды III Межд. конф. "Дифф. уравн. и их прилож." / Саранск: Средне-волжское мат. общ., 1998. С. 206 207.

12. Гейлер В.А., Костров О.Г., Маргулис В.А. Плотность состояний для углеродных нанотрубок в однородном магнитном поле // Физика твердого тела. 2002. Т. 44, вып. 3. С. 449 451.

13. Гейлер В.А., Маргулис В.А. Андерсоновская локализация в недискретной мэрилендской модели // Теорет. и мат. физика. 1987. Т. 70, № 2. С. 192 201.

14. Гейлер В.А., Маргулис В.А., Томилин О.Б. Магнитный момент квазиодномерной наноструктуры в наклонном магнитном поле // Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 63, № 7. С. 549 552.154решаемых моделях // Журн. экспер. и теор. физики. 1989. Т. 95, № 3. С. 1134 1145.

15. Гейлер В.А., Маргулис В,А., Чучаев И.И. О структуре спектра трехмерных периодических операторов Ландау // Алгебра и анализ. 1996. Т. 8, № 3. С. 104 124.

16. Гейлер В.А., Маргулис В.А., Чучаев И.И. Потенциалы нулевого радиуса и операторы Карлемана // Сибир. матем. журн. 1995. Т. 36, № 4. С. 828 841.

17. Гейлер В.А., Попов И.Ю. Баллистический транспорт в наноструктурах: явнорешаемые модели // Теорет. и мат. физика. 1996. Т. 107, № 1. С. 12 20.

18. Гусев Г.М., Долгополов В.Т., Квон З.Д., Шашкин A.A., Кудря-шов В.М., Литвин Л.В., Настаушев Ю.В. Магнетоосцилляции в двумерной электронной системе с периодическим потенциалом антиточек // Письма в ЖЭТФ. 1991. Т. 54, № 7. С. 369 372.

19. Данфорд Н., Шварц Д. Линейные операторы, т. 1 М.: Мир, 1962, т. 2 - М.: Мир, 1966, т. 3 - М.: Мир, 1974. (895 е., 1063 е., 661 с.)

20. Демидов В.В. Спектральные свойства трехмерных операторов Ландау, возмущенных периодическими потенциалами нулевого радиуса // Дисс. на соиск. степ. канд. физ.-мат. наук. Саранск: Морд, госуниверситет, 1997. - 132 с.155

21. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. - 240 с.

22. Дьячков П.Н. Углеродные нанотрубки материал для компьютеров XXI века // Природа. 2000. И. С. 23 Ч- 32.

23. Карпешина Ю.Е. Спектр и собственные функции оператора Шредингера с точечным потенциалом типа однородной решетки в трехмерном пространстве // Теорет. и мат. физика. 1983. Т. 57, № 2. С. 304 313.

24. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

25. Кацнельсон A.A. Введение в физику твердого тела. М.: Изд-во Москю ун-та, 1984. - 293 с.

26. Квантовый эффект Холла / Р. Прендж, С. Гирвин ред. М.: Мир, 1989. - 408 с.

27. Квантовый эффект Холла. Сб. статей / Сост. А.Я. Шик, Ю.В. Шмарцев. М.: Мир, 1986. - 232 с.

28. Кириллов A.A. Элементы теории представлений, 2-е изд. М.: Наука, 1978. - 343 с.156

29. Костров О.Г. Спектр одномерной цепочки в параллельном магнитном поле // Тезисы докл. I конф. мол. ученых Морд. ГУ / Отв. за выпуск Г.В. Гришаков. Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1997. Ч. 1. С. 127.

30. Костров О.Г. Цепочка точечных рассеивателей в магнитном поле // Тезисы докл. II конф. мол. ученых Морд. ГУ / Отв. за выпуск Г.В. Гришаков. Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1997. С. 14.

31. Костров О.Г. Спектр электрона в подкрученной углеродной нано-трубке // Научн. труды III конф. мол. ученых Морд. ГУ / Отв. за выпуск Г.В. Гришаков. Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1998. Ч. 2. С. 17.

32. Костров О.Г. Волноводные состояния цепочки точечных рассеивателей, помещенной в магнитное поле // XXVII Огаревские чтения. Матер, научн. конф. Морд. ГУ / Отв. за выпуск Г.В. Гришаков. -Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1998. С. 139 140.

33. Костров О.Г. Одномерная цепочка фуллеренов в продольном магнитном поле // Научн. труды IV конф. мол. ученых Морд. ГУ / Отв. за выпуск Г.В. Гришаков. Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1999. Ч. 2. С. 162.

34. Крейн М.Г., Лангер Г.К. О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в пространстве UK j j Функ-цион. анализ и его прил. 1971. Т. 5, вып. 2. С. 59 71.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц-Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Наука, 1989. - 768 с.

36. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике / Альбеверио С., Фенстад Й., Хёэг-Крон Р., Линдстрём Т. -М.: Мир, 1990. 616 с.

37. Новиков С.П. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях // Современные проблемы математики. Т. 23, ВИНИТИ, М., 1983. С. 3 32.

38. Павлов B.C. Теория расширений и явнорешаемые модели // Успехи мат. наук. 1987. Т. 42, № 6. С. 99 131.

39. Попов A.B. Спектральные свойств периодических массивов квантовых точек и колец в магнитном поле // диссертация на соискание ученой степени к. ф-м. н. Саранск: Морд, госуниверситет, 1997. -197 с.

40. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т. 1. М.: Мир, 1977, т. 2. - М.: Мир, 1978, т. 4. - М.: Мир, 1982. (357 е., 395 е., 428 с.)158ды матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. Т. 171. JL: Наука, 1985. - 122 с.

41. Хохряков Н.В., Савинский С.С., Моллина Дг.М. Фононный спектры углеродных нанотрубок // Письма в Журн. экспер. и теор. физики. 1995. Т. 62, вып. 7. С. 595 598.

42. Azbel M.Ya. Quantum particle in a random potential: implication of an exact solution // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67, № 13. P. 2435 1790.

43. Ajiki H., Ando T. Electronic states of carbon nanotubes // J. Phys. Soc. of Japan. 1993. V. 62, № 4. P. 1255 1266.

44. Ajiki H., Ando T. Magnetic properties of carbon nanotubes //J. Phys. Soc. of Japan. 1993. V. 62, № 7. P. 2470 2480.

45. Albeverio S., Geyler V.A. The band structure of the general periodic Schrodinger operator with point interactions // Communications in Mathematical Physics. 2000. V. 210, № 1. P. 29 48.

46. Albeverio S., Geyler V.A., Kostrov O.G. Quasi-one-dimensional nanosystems in a uniform magnetic field: Explicitly solvable model // Rep. on Math. Phys. 1999. V. 44. № 1/2. P. 13-20.

47. Beenakker C.W.J., van Houten H. Quantum transport in semiconductor nanostructures // Solid State Phis. Advances in Res. and Appl. (Ehrenreich H., Turnbull D. Boston etc. Acad. Press.) 1991. V. 44. P. 1 228.

48. Bellissard J., van Elst A., Schulz Baldes H. The noncommutative geometry and quantum Hall effect //J. Math. Phys. 1994. V. 35, № 10. P. 5373 - 5451.159

49. Chernozatonskii L.A., Kozakovskaja Z.Ja., Fedorov E.A., Panov V.I. New carbon tubelite order film structure of multiplayer nanotubes // Phis. Lett. A. 1995. T. 197. P. 40 - 46.

50. Colin de Verdier Y. Sur les singularities de van Hove génériques // Mem. Soc. Math. France. 1991. № 46. P. 99 109.

51. Connes A. Noncommutative geometry. Academic Press: New York ect., 1994. - 648 p.

52. Damnjanovic M., Milosevic I., Vulkovic T., Sredanovic R. Symmetry and lattices of single-wall nanotubes //J. Phys. Math. Gen. 1999. V. 32. P. 4097 4104.

53. Derkach V.A., Malamud M.M. Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators with gaps // J. Funct. Anal. 1991. V. 95. P. 1 95.

54. Dresselhaus G., Dresselhaus M.S., Eklund P.C. Science of fullerenes and carbon nanotubes. San Diego: Academic Press, 1996. 259 p.

55. D'yachkov P.N., Nikolaev A.V. Bar linearized augmented plane wave method: carbyne // Mol. Mat. 1996. V. 8. P. 135 - 140.

56. Ebbesen T.W., Ajayan P.M. Large-scale synthesis of carbon nanotubes // Nature. 1992. V. 358. P. 220 222.

57. Frank S., Poncharal P., Wang Z.L., Heer W.A. Carbon nanotube quantum resistors // Science. 1998. V. 280. P. 1744 1746.

58. Friedman C.N. Perturbations on the Schrôdinger equation by potentials with small support // J. Funct. Anal. 1972. V. 10. P. 346 360.160

59. Geyler V.A., Demidov V.Y. On the Green Function, of the Landau Operator and its Properties related to Point Interactions // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 1996. V. 15, № 4. P. 851 863.

60. Geyler V.A., Kostrov O.G. Point scattering on a periodic chain in the presence of a uniform magnetic field / / Day on Difraction 2002. International Seminar. Abstracts / Russia, Saint Petersburg. P. 32.

61. Geyler V.A., Margulis V.A., Kostrov O.G. Spectrum of carbon nanotubes in the presence of a uniform magnetic field // Physics at the Turn of the 21 Century. Intern. Conf. Summaries / Saint Petersburg, 1998. P. 53.

62. Geyler V.A., Pavlov B.S., Popov I.Yu. Spectral properties of a charged particle in antidot array: A limiting case of quantum billiard //J. Math. Phys. 1996. V. 37, № 10. P. 5171 5194.

63. Grossman A., H0egh-Krohn R., Mebkhout M. The one-particle theory of periodic point interactions // Commun. Math. Phys. 1980. V. 77, №1. P. 87-110.

64. Guillement J.P., Helffer B., Treton P. Walk inside Hofstadter's butterfly // J. Phys. France. 1989. V. 50. P. 2019 2058.161

65. Helffer B., Kerdelhue P., Sjostrand J. Le pappilon cle Hofstadter revisite // Mem. Soc. Math. France. 1990. V. 43. P. 1 87.

66. Hunziker W. Schrodinger operators with electric and magnetic fields // Lect. Notes Phys. 1980. № 116. P. 25 44.

67. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. 1991. V. 354. P. 56 58.

68. Janssen A.J.E.M. Bargmann transform, Zak transform, and coherent states // J. Math. Phys. 1982. V. 23. P. 720 731.

69. Levinson Y.B., Lubin M.I., Sukhorukov E.V. Short-range impurity in a saddle-point potential: Conductance of a microjunction // Pl^s. Rev. B. 1992. V. 45, 20. P. 11936 11943.

70. Lorke A., Kotthaus J.P., Ploog K. Magnetotransport in two-dimensional lateral superlattices // Phys. Rev. B. 1991. V. 44, № 7. P. 3447 3450.

71. Mintmire J.W., Dunlap B.I., White C.T. Are fullerene tubules metallic // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 631 634.

72. Opechowski W., Tam W.G. Invariance groups of the Schrodinger equation for the case of uniform magnetic field // Physica. 1969. V. 42. P. 529 556.

73. Saito R., Dresselhaus G., Dresselhaus M.S. Physical Properties of carbon nanotubes London: Imperial College Press, 1998. 259 p.

74. Saito R., Fujita M., Dresselhaus G., Dresselhaus M.S. Electronic structure of chiral graphene tubules // Appl. Phys. Lett. 1991. V. 60. P. 2204 2206.

75. Tang А.С., Huang F.Q. Theoretical studies on carbon tubules // Chem. Phys. Lett. 1995. V. 243. P. 387 392.

76. Von Klitzing K., Dorda G., Pepper M. New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45, № 6. P. 494 497.

77. Wakabayashi K., FujitaM., Ajiki H., Sigrist M. Electronic and magnetic properties of nanographite ribbons // Phys. rev. B. 1999. V. 59, № 12. P. 8271 8282.

78. Wannier G.H. Quantum numbers for Bloch electrons in a magnetic field // Phys. status solidi (b). 1980. V. 100. P. 163 170.

79. Weiss D., Richter K., Menschig A., Bergmann В., Schweizer H., von Klitzing K., Weinmann G. Quantized periodic orbits in large antidot arrays // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70, № 26. P. 4118 4121.

80. Weiss D., Roukes M.L., Menschig A., Grambow P., von Klitzing K., Weinmann G. Electron pinball and commensurate orbits in a periodic array of scatters // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66, № 21. P. 2790 2793.

81. Van Hove L. The occurence of singularities in the elastic frequency distribution of a crystal // Phys. Rev. 1953. V. 89. P. 1189 1193.

82. Wildoer J.W.G., Venema L.C., Rinzler A.G. et al. Electronic structure of atomically resolved carbon nanotubes // Nature. 1998. V. 391. P. 59 -62.

83. Zak J. Magnetic translation groups // Phys. Rev. A. 1964. V. 134, № 6. P. 1602 1611.