автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Периодические системы вихрей Ааронова-Бома

Введение.

Глава 1. Некоторые вспомогательные сведения и определения

§1. Вспомогательные сведения из геометрии решеток

§2. Вспомогательные сведения из теории целых функций

§3. сг-функция Вейерштрасса и связанные с нею функции

§4. Основные обозначения

Глава 2. Периодический массив квантовых точек в неоднородном магнитном поле.

§1. Описание модели

§2. Представление группы инвариантности гамильтониана и его свойства

§3. Построение гамильтониана Н модели

§4. Гармонический анализ оператора А (случай рационального потока Ф)

§5. Гармонический анализ оператора А (случай иррационального потока Ф )

§6. Спектральный анализ гамильтониана системы (случай квадратной решетки Л)

§7. Спектральный анализ периодических систем колец Ааронова -Бома

Глава 3. Оператор Паули с периодическим магнитным полем

§1. Оператор Паули с сингулярным магнитным полем

§2. Основные примеры

§3. Оператор Паули. Строгое определение самосопряженного оператора

§4. Добавление целого потока в соленоиде Ааронова-Бома

§5. Основное состояние (нулевая мода) оператора Паули

§6. Нулевые моды оператора с потенциалом Ааронова

Бома конечного типа

6.1. Решетки вихрей Ааронова-Бома

6.2. Суперпозиция однородного магнитного поля и поля вихрей Ааронова-Бома

§7. Отсутствие нулевых мод у оператора

Исследование электронных, транспортных и оптических свойств квантовомеханических систем основано на изучении их отклика на воздействие внешними полями. В частности, важная информация получается при исследовании отклика на воздействие стационарного магнитного поля. Это обуславливает интерес, проявляемый в математической физике к изучению спектральных свойств гамильтонианов заряженной частицы в магнитных полях различной конфигурации, среди которых особый интерес представляют однородное магнитное поле (оператор Шредингера с таким магнитным полем называется оператором Ландау) и поле конечной или бесконечной системы вихрей Ааронова-Бома.

Развитие технологии в последние десятилетия сделало возможным экспериментальное изучение различного рода квантовомеханических систем пониженной размерности, среди которых особое место занимают МОП-структуры, гетеропереходы, квантовые точки и их массивы, интересные своими необычными транспортными свойствами. Именно в этих структурах наблюдается квантовый эффект Холла [28,86], теория которого в периодических системах использует структуру диаграммы "поток-энергия". Эта диаграмма, как показывает квазиклассический анализ, проведенный Я.М.Азбелем [2], и численный анализ, проведенный Хофштадтером [84], носит фрактальный характер.

Еще одним интересным эффектом, обусловленным тем обстоятельством, что в гамильтониан квантовой частицы входит векторный потенциал магнитного поля, а не его индукция, является эффект Аа-ронова - Бома, предсказанный Я. Аароновым и Д. Бомом в 1959 году в работе [46] и экспериментально обнаруженный Р. Чамберсом [67]. Математически, эффект Ааронова - Бома связан с тем, что векторный потенциал магнитного поля определен с точностью до калибровочного слагаемого. Добавление этого слагаемого приводит к замене исходного гамильтониана на унитарно эквивалентный, что не сказывается на физических свойствах соответствующей одночастичной системы. Однако волновая функция рассматриваемой частицы приобретает при такой замене нетривиальный фазовый множитель. Этот множитель не изменяет ее модуля, но изменяет модуль линейных комбинаций таких функций, что и приводит к интерференционным эффектам, наблюдающимся в эксперименте [67,94,103]. Таким образом, магнитное поле, сосредоточенное вне области движения квантовомеханической частицы, оказывает влияние на волновую функцию этой частицы. В качестве такого магнитного поля можно взять, к примеру, поле очень тонкого и длинного соленоида (называемого соленоидом Ааронова - Б ома); поле соленоида Ааронова - Бома называют также вихрем Ааронова - Бома. В настоящее время эффектом Ааронова-Бома называют большую группу квантовомеханических явлений, обусловленных калибровочной инвариантностью векторного потенциала магнитного поля и нетривиальностью топологии конфигурационного пространства квантовомеханической заряженной частицы, находящейся в магнитном поле [80]. В частности, представляют большой интерес эффекты, связанные с периодическими системами магнитных вихрей в двумерных системах. Как известно, такие вихри (вихри Абрикосова) возникают в сверхпроводниках второго рода. Системы подобного рода рассмотрены, в частности, в работе К. фон Клитдинга и др. [61], в которой приведены результаты экспериментальных исследований транспортных свойств периодических систем вихрей, образующихся в двумерных пленках сверхпроводников второго рода, напыленных на подложку из полупроводниковых гетероструктур (СаАэ/АЮаАя).

В связи с изложенным выше, представляет интерес спектральный анализ гамильтонианов заряженной частицы, находящейся в периодическом электрическом (потенциал кристаллической решетки, потенциал конфаймента периодического массива квантовых точек или антиточек) и магнитном полях. Литература, посвященная этому вопросу чрезвычайно обширна; здесь упомянем только работы, непосредственно связанные с тематикой диссертации [5-7,25,49,58-60,77-79,96,97,102]. В частности, довольно подробно изучена структура спектра блоховского электрона в однородном магнитном поле в работах [36,37,66,81-83,105]. В последнее время большое внимание привлекают исследования, связанные с изучением влияния отклонения магнитного поля от однородного на спектральные свойства электрона в периодических системах, что нашло отражение в работах [54,63,92,93,99]. Сказанное выше обуславливает актуальность темы диссертации.

Наша работа посвящена изучению двух видов явнорешаемых моделей заряженной частицы в неоднородном магнитном поле, с математической точки зрения тесно связанных между собой. В литературе встречаются различные способы моделирования неоднородности. К примеру, в работе [92] неоднородность магнитного поля моделируется при помощи модуляции однородного поля в одном из базисных направлений по закону синуса, а авторы работы [63] для моделирования неоднородности поля используют вихрь Ааронова-Бома. Чтобы сохранить явную решаемость рассматриваемых в диссертации моделей, неоднородность магнитного поля будем моделировать при помощи периодической системы вихрей Ааронова-Бома. Заметим, что изучение бесконечной системы вихрей Ааронова- Бома представляет собой и самостоятельную задачу, интересную как с математической так и с физической точки зрения. В этой связи упомянем результаты работы [71], в которой в рамках подходов математической физики рассматривался оператор Паули с бесконечной системой вихрей, суммарный поток которых конечен. Кроме того, отметим работы [32,89], содержащие результаты экспериментов, в которых изучались транспортные свойства массивов колоннообразных дефектов, содержащих магнитный поток, в кристалле 1ЧЬ8ез (толщиной менее 1 мкм.). Ясно, что математическая модель системы колоннообразных дефектов, содержащих магнитный поток, приводит к оператору Паули, содержащему векторный потенциал бесконечной системы вихрей Ааронова- Бома. Простейшей моделью такого массива является периодическая система вихрей Ааронова-Бома. Более подробно, в диссертации изучаются следующие два класса явнорешаемых моделей: 1) периодическая система квантовых точек, находящихся в неоднородном магнитном поле; 2) периодическая система вихрей Ааронова - Бома.

Модели первого класса описывают движение заряженной кван-товомеханической бесспиновой частицы на плоскости в периодической системе квантовых точек, находящейся в неоднородном магнитном поле, предствляющем собой суперпозицию однородного магнитного поля (которое, в частности, может отсутствовать) и поля периодической системы вихрей Ааронова-Бома с той же решеткой периодов. Кроме того, методы изучения этой модели позволили нам рассмотреть родственную с точки зрения математического аппарата модель периодической системы квантовых колец в магнитном поле, представляющем собой суперпозицию однородного магнитного поля и поля периодической системы вихрей Ааронова-Бома. Заметим, что близкая модель была рассмотрена в работах [41,74-76]. Однако в цитированных работах, в отличие от изучаемых нами моделей, вихри Ааронова-Бома рассматривались как элементы внутренней структуры объектов, образующих решетку, а в качестве внешнего магнитного поля рассматривалось однородное. Это различие приводит к необходимости анализировать другую группу инвариантности оператора модели.

Модели второго класса описывают движение заряженной кванто-вомеханической частицы со спином 1/2 в плоскости, находящейся в периодическом магнитном поле, являющемся суперпозицией однородного магнитного поля и поля вихрей Ааронова - Бома (здесь однородная компонента поля также может отсутствовать). Данная модель позволила нам подробно изучить свойства основного состояния заряженной частицы в зависимости от потока компонент магнитного поля. Следует особо подчеркнуть, что до нашей работы [11] результаты спектрального анализа массивов вихрей Ааронова-Бома по причине технических трудностей ограничивались случаем конченого числа вихрей [51,52,54,65,85,91,92].

Одновременно со статьей [11] вышла работа [71], в которой рассматривался бесконечный массив вихрей, но с конечным суммарным потоком. Ясно, что такой массив не может быть периодическим (за исключением тривиального случая нулевого потока).

Перейдем к обзору диссертации по главам. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Первая глава носит вспомогательный характер, в ней введены определения и обозначения, используемые на протяжении всей диссертации, а также приведены вспомогательные сведения из геометрии решеток и теории целых функций. Вторая и третья главы содержат основные результаты диссертации. Здесь рассматриваются явнорешаемые модели периодической системы квантовых точек, находящейся в периодическом магнитном поле, являющимся суперпозицией однородного магнитного поля и поля периодической системы вихрей Ааронова - Бома, а также модель квантовомеханической заряженной частицы со спином 1/2, находящейся в периодической системе вихрей Ааронова - Бома (в том числе и в случае присутствия однородного магнитного поля).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9,11, 14-19,21,24,68] а также докладывались на международных и межвузовских конференциях

1. "Физика на пороге XXI века", С.-Петербург, Физико-технический институт им. Иоффе РАН, 1998 г.

2. "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, Мордовский государственный университет им Н.П. Огарева, 2000 г.

3. "Дифференциальные уравнения и краевые задачи". Самара, Самарский государственный технический университет, 2000 г.

4. XXII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2000 г.

5. "Критические технологии в регионах с недостатком природных ресурсов", Саранск, 2000 г.

6. "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, Самарский государственный технический университет, 2001 г.

7. "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, Мордовский государственный университет им Н.П. Огарева, 2002 г.

Заключение

В заключении сформулируем основные положения, которые выносятся на защиту.

1. Построена модель периодического массива квантовых точек в периодическом магнитном поле, являющемся суперпозицией однородного магнитного поля и периодического массива вихрей Ааронова -Бома, включающая в себя конструкцию пространства состояний системы, ее гамильтониана Н и выявление группы его инвариантности.

2. В построенной модели проведен магнито-блоховский анализ гамильтониана Н в случае рационального потока магнитного поля через элементарную ячейку решетки Браве системы, т.е. получено разложение гамильтониана Я в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений группы инвариантности гамильтониана Н .

3. Для случая рационального потока с использованием результатов магнито-блоховского анализа проведен спектральный анализ гамильтониана модели Н и доказана зонная структура его спектра, построены диаграммы "поток -энергия".

4. Для случая квадратной решетки вихрей получены как аналитическое, так и численное доказательства фрактальности структуры спектра оператора Н для почти всех иррациональных значений суммарного потока.

5. Для случая, когда поток однородной компоненты магнитного поля через элементарную ячейку решетки Браве системы иррационален, доказана возможность нарушения канторовской структуры спектра гамильтониана Н путем изменения потока вихря Ааронова -Бома.

6. Доказано существование нулевых мод для оператора Паули с вихрями Ааронова - Бома для случая, когда вихри образуют решетку, а также найден явный вид этих нулевых мод.

7. Найдены условия существования нулевых мод для оператора Паули с решеткой вихрей Ааронова - Бома при наличии в магнитном поле однородной компоненты, а также найден явный вид этих нулевых мод.

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. -М.: Наука, 1979. 832 с.

2. Азбель М. Я. Энергетический спектр электрона проводимости в магнитном поле // ЖЭТФ. 1964. - Т. 46, N. 3. - С. 929 - 946.

3. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон, Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.:Мир, 1991. - 568 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1. -М.: Наука, 1973, т. 2. М.: Наука, 1974. , т. 3. - М.: Наука, 1967. (296 е., 296 е., 300 с.)

5. Бирман М. Ш., СуслинаТ. А. Двумерный периодический магнитный гамильтониан абсолютно непрерывен // Алгебра и анализ. 1997. -Т. 9, N 1. - С. 32-48.

6. Бирман М. Ш., СуслинаТ. А. Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом // Алгебра и анализ. 1998. - Т. 10, N 4.-С. 1-36.

7. Бирман М. Ш., Суслина Т. А., Штернберг Р. Г. Абсолютная непрерывность двумерного оператора Шредингера с дельта-потенциалом, сосредоточенным на периодической системе кривых // Алгебра и анализ. 2000. - Т. 12, N 6. - С. 140-177.

8. Гейлер В. А. Двумерный оператор Шредингера с однородным магнитным полем и его возмущения периодически потенциалом нулевого радиуса // Алгебра и Анализ. 1991. - Т. 3, N 3. - С. 1-48.

9. Гейлер В.А. Гришанов E.H. Спектральные свойства периодической системы колец Ааронова Бома // Мат. моделир. и краевые задачи. Труды IX научн. межв. конф. ч. 3. - Самара:СамГТУ, 1999.-С.35-38.

10. Гейлер В.А., Гришанов E.H. Оператор с периодической системой вихрей Ааронова Бома: теоретико-групповой анализ // Мат. мо-делир. и краевые задачи. Труды XI научн. межв. конф. - Самара: СамГТУ, 2001. - С. 42-44.

11. Гейлер В.А., Гришанов E.H. Нулевые моды периодической системы вихрей Ааронова Бома // Письма в ЖЭТФ. - 2002. - Т. 75, N 7. -С. 425- 427.

12. Гейлер В.А., Маргулис В.А., Чучаев И.И. Потенциалы нулевого радиуса и операторы Карлемана // Сиб. мат. журнал. 1995. - Т. 36. -С. 828 - 841.

13. Горбачук В.И., Горбачук M.JT. Граничные задачи для дифференциально операторных уравнений. - Киев: Наук, думка, 1984. - 234 с.

14. Гришанов E.H. Численный анализ спектра периодической системы колец Ааронова Бома, помещенной во внешнее магнитное поле (случай квадратной решетки) // XXVII Огаревские чтения. Матер, научн. конф. ч. V. - Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1998. - С. 117-120.

15. Гришанов E.H. Расчет спектра для периодического массива колец Ааронова Бома с внешним магнитным полем (случай плотной упаковки колец) // Труды IV научн. конф. мол. учёных Морд.ГУ. ч. II. -Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1999. - С.175-177.

16. Гришанов E.H. О некоторых спектральных свойствах периодического массива колец Ааронова Бома: случай плотной упаковки // XXVIII Огаревские чтения. Матер, научн. конф. - Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1999. - С. 49.

17. Гришанов E.H. Гексагональная решетка колец Ааронова Бома: спектральные свойства // Мат. моделирование. - 2000. - Т. 12, N 3. -С. 15.

18. Гришанов E.H. Периодическая система колец Ааронова Бома: локализация в спектре // Мат. моделир. и краевые задачи. Труды X научн. межв. конф. - Самара: СамГТУ, 2000. - С. 42-45.

19. Гришанов E.H. Численный анализ спектра гексагональной периодической системы колец Ааронова Бома // Труды XXII конф. молодых ученых мех.-мат. факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Матем. и числ. методы в матем. и мех. ч. I. - М.:МГУ, 2001. - С. 5356.

20. Гришанов E.H. Численный анализ спектра гамильтониана модели периодической системы вихрей Ааронова Бома // Труды СВМО. -2002. - Т. 3-4, N 1. - С. 291-301.

21. Гришанов E.H. Возмущение фрактальной структуры спектра гамильтониана с периодическим магнитным полем // Мат. моделир. и краевые задачи. Труды XII научн. межв. конф. Самара: СамГТУ, 2002. - С. 36-38.

22. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. - 648 с.

23. Данфорд Н., Шварц д. Линейные операторы, т. 1. М.: Мир, 1962, т. 2. - М.: Мир, 1966, т. 3. - М.: Мир, 1974. (895 е., 1063 е., 661 с.)

24. Демидов В.В., Гейлер В.А., Попов A.B., Гришанов E.H. Фрактальная структура спектра для периодического массива квантовых точек // Труды per. науч.-практ. конф. "Критич. технологии в регионах с недостатком природ, ресурсов" Саранск, 2000. - С. 86-89.

25. Демиховский В.Я, Перов A.A. Электронные состояния в решетках квантовых точек и антиточек, помещенных в сильное магнитное поле // Физ. тв. тела. 1998. - Т. 40. N 6. - С. 1134-1139.

26. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Основные состояния двумерного электрона // ЖЭТФ. 1980. - Т. 79, N 3. - С. 1006-1016.

27. Като Т. Теория возмущений линейных операторов, т. 1. М.: Мир, 1972, т. 2. - М.: Мир, 1961. (740 е., 535 с.)

28. Квантовый эффект Холла// Р. Прендж, С. Гирвин ред. М.:Мир, 1972. - 740 с.

29. Кирилов А. А. Элементы теории представлений, 2-е изд. М.: Наука, 1978. - 343 с.

30. Крейн М. Г., Об эрмитовых операторах с дефект-индексами, равными единице // Докл. АН СССР. 1944. - Т. ХЫ1, N. 8. - С. 57-63.

31. Крейн М. Г., Лангер Т.К. О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в пространстве Пх { Функц. анализ и его прил. 1971. - Т. 5, вып. 2. - С. 59 - 71.

32. Латышев Ю. И. Квантовая интерференция движущейся волны зарядовой плотности на колоннообразных дефектах, содержащих магнитный поток // УФН. 1999. - Т. 169, N8.-0. 924 - 926.

33. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П., Статистическая физика. Теория конденсированного состояния, т. 9. ч. 2. М.-"Наука", 1978. - 488 с.

34. Маркушевич А.И., Теория аналитических функций, т. 1. М.:Наука, 1967, т. 2. - М.:Наука, 1968. (488 е., 624 с.)

35. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. - 526 с.

36. Новиков С. П., Двумерные операторы Шредингера в периодических полях // Итоги науки и техн.: Совр. пробл. матем. ВИНИТИ, 1983. - Т. 23. - С. 3-32.

37. Новиков С.П., Дынников И.А. Дискретные спектральные симметрии маломерных дифференциальных операторов на правильных решетках и двумерных многообразиях // Успехи мат. наук. 1997. -Т. 52, N 5.- 0. 147 - 175.

38. Павлов Б. С. Модель потенциала нулевого радиуса с внутренней структурой // ТМФ. 1984. - Т. 59. - С. 345-354.

39. Панкрашкин К. В. Локальность квадратичных форм для точечных возмущений операторов Шрёдингера // Матем. заметки. 2001. -Т. 70, N 3. - С. 425-433.

40. Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука, 1987. - 272 с.

41. Попов А. В. Спектральные свойств периодических массивов квантовых точек и колец в магнитном поле: Диссертация к. ф-м. н. -Саранск, 2000. 179 с.

42. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т. 1. М.: Мир, 1977, т. 2. - М.: Мир, 1978, т. 4. - М.: Мир, 1982. (357 е., 395 е., 428 с.)

43. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т. 1. М.: ИЛ, I960, т. 2. - М.: ИЛ, 1961. (278 е., 535 с.)

44. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. -М.:Мир, 1990. 408 с.

45. Шондин Ю. Г. Полуограниченные локальные гамильтонианы для возмущений лапласиана на кривых с угловыми точками в R4 // ТМФ. 1996. - Т. 106, N 2. - С. 179-199.

46. Aharonov Y., Böhm D. Significans of electromagnetic potentials in the quantum theory // Phys. Rev. 1959. - V. 115. - P. 485-491.

47. Aharonov Y., Casher A. Ground state of a spin-1/2 charged particle in a two-dimensional magnetic field // Phys. Rev. A. 1979. - V. 19, N 6. -P. 19-20.

48. Alhassid Y. The statistical theory of quantum dots // Rew. of Modern Phys. 2002. - V. 72, N 4. - P. 895 - 968.

49. Andrade Neto M.A., Schulz P.A., Hofstadter spectra in two-dimensional superlattice potentials with arbitrary modulation strength // Phys. Rev. B. 1995. - V. 52. - P. 14093-14097.

50. Arai A. Momentum operators with gauge potentials, local quantization of magnetic flux, and representation of canonical commutation relation // J. Math. Phys. 1992. - V. 33. - P. 3374-3378.

51. Arai A. Properties of the Dirac-Weyl operator with a strongly singular gauge potential // J. Math. Phys. 1993. - V. 34. - P. 915-935.

52. Arai A. Representation of canonical commutation relation in gauge theory, the Aharonov-Bohm effect, and the Dirac-Weyl operator // J. Nonlinear Math. 1995. - V. 2. - P. 247-262.

53. Arai A. Canonical commutation relation, the Weierstrass Zeta function, and infinite dimensional Hilbert space representation of the quantum group Uq{sl2) // J. Math. Phys. 1996. - Y. 37. - P. 4203-4218.

54. Arai A. Representation-theoretic aspects of two-dimensional quantum systems in a singular vector potentials: Canonical commutation relations, quantum algebras, and reduction to lattice quantum systems // J. of Math. Phys. 1998. - V. 39. - P. 2476-2498.

55. Balinsky A.A., Evans W.D. On the zero modes of Pauli operators //J. Funct. Anal. 2001. - V. 179, N 1. - P. 120-135.

56. Balinsky A.A., Evans W.D., Lewis R.T. On the number of negative eigenvalues of Schrodinger operators with an Aharonov-Bohm magnetic field // Proc. R. Soc. Lond., Ser. A, Math. Phys. Eng. Sci. 2001. -V. 457, N 2014. - P. 2481-2489.

57. Balinsky A.A., Evans W.D., Lewis R.T. Sobolev, Hardy and CLR inequalities associated with Pauli operators in R3 // J. Phys. A, Math. Gen. 2001. - V. 34, N 5. - P. L19-L23.

58. Barelli A., Bellisard J., Jacquod P., Shepelyansky D.L. Two interacting Hofstadter butterflies // Phys. Rev. B. 1997. - V. 55. - P. 9524-9533.

59. Bellisard J. К-theory of C% -algebras in solid state physics // Lect. Notes Phys. 1986. - V. 257. - P. 99-156.

60. Bellisard J., Kreft C., Seiler R. Analysis of the spectrum of a particle on a triangular lattice with two magnetic fluxes by algebraic and numerical methods // J. Phys. A. 1991. - V. 24. - P. 2329-2353.

61. Bending S.J., von Klitzing K., Ploog K. Weak Localization in a Distribution of Magnetic Flux Tubes // Phys. Rev. Lett. 1990. -V. 65, N 8. - P. 1060-1063.

62. Boas R. P. Entire functions. New York: Academic Press, 1979. - 277 p.

63. Bogachek E.N., Landman U. Edge states, Aharonov- Bohm oscillations, and thermodinamic and spectral properties in a two-dimensional electron gas with antidot // Phys. Rev. B. 1995. V. 52, N 19. -P. 14067 - 14077.

64. Boon M. N. Representations of the invariance group for a Bloch electron in a magnetic field // J. Math. Phys. 1972. - V. 13. - P. 1268-1285

65. Brower P.W., Racine E., Furusaki A. et al. Zero-modes in the random hopping model // Prepr. cond-mat/0201580. P. 1 - 12.

66. Brown E. Bloch electrons in a uniform magnetic field // Phys. Rev. -1964. V. 133, N. 4a. - P. A1038-A1044.

67. Chambers R.G. Shift of an electron interference pattern by enclosed magnetic flux // Phys. rev. Lett. 1960. - V. 5, N 1. - P. 3 - 5.

68. Demidov V.V., Geyler V.A., Popov A.V., Grishanov E.N. Fractal spectrum structure for the periodic array of quantum dots // International Conference "Physics at the Turn of the 21st Century": Summaries. St.Petersburg, 1998. - P.50.

69. Derkach V. A., Malamud M. M. Generalised resolvents and the boundary value problem // J. Funct. Anal. 1991. - V. 95. - P. 1-95.

70. Ehrenberg W., Siday R.E. The refractive index in electron optics and the principles of dynamics// Proc. Physical Society (London). 1949. -V. B62. - P. 8-21.

71. Erdos L., Vougalter V. Pauli operator and Aharonov-Casher theorem for measure valued magnetic fields. // Commun. Math. Phys. 2002. -V. 225. - P. 399-421.

72. Exner P., St'ovicek P., Vytras P. Generalised boundary conditions for the Aharonov Bohm effect combined with homogenous magnetic field // Prepr. quant-ph/0111050vl. 8 Nov. 2001. - P. 1 - 29.

73. Geyler V. A., Pavlov B. S., Popov I. Yu. One-Particle Spectral Problem for Superlattice with a Constant Magnetic Field // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. 1998. - V. XLVI. - P. 79-124.

74. Geyler V. A., Popov A. V. Localization in a periodic system of Aharonov-Bohm rings // Rep. on Math. Phys. 1998. - V. 42, N. 3. -P. 347-358.

75. Geyler V. A., Popov I. Yu. The spectrum of magneto-Bloch electron in a periodical array of quantum dots: explicity solvable model// Z. Phys. -1994. V. B93. - P. 437-450.

76. Geyler V. A., Popov I. Yu. Periodic array of quantum dots in a magnetic field: irrational flux, honeycomb lattice// Z. Phys. 1996. - V. B98. -P. 473-477.

77. Gredeskul S., Avishai Y., Azbel M. Ya. Two-dimensional electron gas in a magnetical field, and point potentials // Low-Temp. Phys. 1997. -V. 23. - P. 21-33.

78. Gumbs G., Miessein D. Effect of magnetic modulation on Bloch electrons on a two-dimensional square lattice //Phys. Rev. B. 1995. - V. 52. -P. 14755-14760.

79. Gumbs G., Fekete P. Hofstadter butterfly for the hexagonal lattice // Phys. Rev. B. 1997. - V. 56. - P. 3787-3791.

80. Hamilton J. Aharonov Bohm and other Cyclic Phenomena. - Springer, 1997. - 183 p.

81. Heifer B., Sjostrand J. Analyse semi-classique pour l'equation de Harper (avec application a l'equation de Schrodinger avec champs magnetique) // Bull.Soc.Math.France. 1988. - V. 34. - P. 1-113.

82. Helffer B., Sjostrand J. Semi-classical analysis for Harper's equation -III. Cantor structure of the spectrum //Bull. Soc. Math. France. -1989. V. 117, Suppl. 39. - P. 1-124.

83. Helffer B., Sjostrand J. Equation de Schrodinger avec champs magnetique et equation de Harper // Lect. Notes Phys. 1988. -V. 345. - P. 118-197.

84. Hofstadter D. R. Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields // Phys. Rev. B. 1976. -V. 14. - P. 2239-2249.

85. Kuchment P., Levendorskii S. On absolute continuity of spectra of periodic elliptic operators // Math. Res. in Quantum Mechanics, Operator Theory Adv. and Appl. V. 108 Birkhäser Verlag: Basel, 1999. - P. 291-297.

86. Latyshev Yu.I., Laborde O., Monceau P. et al. Aharonov -Böhm Effect on a Cahrge Density Wave (CDW) Moving through Columnar Defects in NbSe3 // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 78, N 5. - P. 919 -922.

87. Morame A. Absence of singular spectrum for a perturbation of a two-dimensional Laplace-Beltrami with periodic electromegnetic potential // J. Phys. A. 1998. - V. 31. - P. 7593- 7601.

88. Ogurisu O. Anticommutativity and spin 1/2 schroedinger operators with magnetic fields // J. Oper. Theor. 1997. - V. 37. - P. 183-194.

89. Oh G. Effects of field modulation on Aharonov-Bohm cages in a two-dimensional bipartite periodic lattice // Phys. Rev. B. 2000. - V. 62, N. 7. - P. 4567-4572.

90. Pogosov A.G., Budantsev M.V., Pouydebasqe A. et al. Electron magnetotransport in a honeycomb lattice of antidots // Phys. E. -2000. N. 6 - P. 499-502.

91. Parnovski L., Sobolev A.V. On the Bethe-Sommerfeld conjecture // J. Eq. der. part. 2000. - N 5-9. - P. XVII-1 - XVII-13.

92. Petschel G., GGDR 1151 (CNRS)eisel T. Bloch electron in magnetic fields: Classical chaos and Hofstadter's butterfly // Phys. Rev. Lett.1993. V. 71. - P. 239-242.

93. Popov I. Yu., Popova S. L. Zero-width slit model and resonances in mesoscopic systems // Europhys. Lett. 1993. - V. 24, N. 5. - P. 373377.

94. Shi Q.W., Szeto K.Y. Energy spectrum of Bloch electrons with two-dimensional magnetic flux modulation // Phys. Rev. B. 1997. - V. 56. -P. 9251-9254.

95. Sobolev A. Absolute continuity of the periodic magnetic Schrodinger operator // Inv. math. 1999. - V. 137. - P. 85-112.

96. St 'ovicek P. Scattering on a finite chain of vortices // Duke Math. J.1994. V. 76, N. 1. - P. 303-332.

97. Suslina T. Absolute continuity of the spectrum of periodic operators of mathematical physics // J. Eq. der. part. 2000. - N 5-9. - P. XVIII-1 -XVIII-13.

98. Tonomura A., Matsuda T., Suzuki R. at al. Observation of Aharonov-Bohm Effect by Electron Holography // Phys. Rev. Lett. 1982. - V. 47, N 21. - P. 1443-1446.

99. Vavassori P., Metlushko V., Grimsditch M., Ilic B., Neuzil P., Kumar R. Magneto-optical studies of superlattice dot arrays // Phys. Rev. B. -2001. Y. 61. - P. 5895-5898.

100. Zak J. Magnetic translation group. Irreducible representation // Phys. Rev. 1964. - V. 134, N. 6A. - P. A1607 - A1611.