автореферат диссертации по электронике, 05.27.01, диссертация на тему:Кольцевые вихри в ограниченных сверхпроводниках

п ( Б V1 •1

Г".":

° - С-«» '

На правах рукописи

САМОХВАЛОВ Алексей Владимирович

КОЛЬЦЕВЫЕ ВИХРИ В ОГРАНИЧЕННЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ

05.27.01 - твердотельная электроника,

микроэлектроника н наноэлектроника 01.04.03 - радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 1998

Работа выполнена в Институте Физики Микроструктур Российской Академии наук, г. Нижний Новгород.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук

Козлов В.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук кандидат физико-математических наук

Семенов В.Е.

Максимов И.Л.

Ведущая организация:

НИЦ ППЭ РАН (г. Москва)

Защита состоится " 28 " сентября 1998 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета К 003.38.01 в Институте Прикладной Физики Российской Академии Наук по адресу 603600, Нижний Новгород, ГСП-120, ул. Ульянова, д. 46

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Прикладной Физики РАН.

Автореферат разослан" августа 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Белянцев А.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Проникновение магнитного потока в сверхпроводник второго рода происходит в форме квантованных вихревых линий или вихрей Абрикосова [1]. Именно наличие таких вихрей и их взаимодействие с неоднородностями и дефектами материала (пиннинг) определяют основные магнитные свойства сверхпроводника второго рода [2] и способность последних пропускать транспортный ток без диссипации [3]. Поэтому изучение вихревого состояния сверхпроводников второго рода представляет несомненный интерес как с фундаментальной точки зрения, так и с точки зрения различных приложений.

Традиционно, основные усилия исследователей сосредоточены на изучении особенностей вихревого состояния, возникающего в сверхпроводниках второго рода под действием внешнего магнитного поля [4-6]. В этом случае вихревая нить (ВН) оказывается незамкнутой, а ее концы топологически разнесены в пространстве (например, расположены на противоположных поверхностях, ограничивающих сверхпроводник). Такие вихри могут проникать в сверхпроводник только с поверхности, или образоваться в паре с вихрем противоположного направления (пара вихрь-антивихрь). Наряду с этим, в последнее время в физике вихревого состояния появился интерес к изучению замкнутых вихрей, у которых вихревые нити имеют вид колец (или в более общем случае - петель). Такие вихри могут существовать в объеме сверхпроводника или создаваться протекающим по сверхпроводнику током.

Кольцевые вихри (вихревые кольца или петли) в сверхпроводниках второго рода являются примером компактных магнитных структур, магнитное поле и сверхток в которых локализованы во всех трех направлениях. Характерный размер области локализации такой структуры является внутренним параметром вихря, не зависит от размеров сверхпроводника и может быть сравним с глубиной проникновения магнитного поля Л . Поскольку ВН замкнута в кольцо, топологические ограничения, запрещающие спонтанное образование такого вихря в объеме сверхпроводника, отсутствуют, и такие вихри можно рассматривать в качестве элементарных возбуждений в сверхпроводниках второго рода [7-9]. Подобные возбуждения описывают внутренние степени свободы сверхпроводящей системы, эбладающие нулевой суммарной завихренностью (несингулярные флуктуации фазы параметра порядка, пары вихрь-антивихрь и т.д.), л не связаны с обычно рассматриваемыми вихрями, которые возникают во внешнем магнитном поле [10].

Другой возможный случай образования кольцевых вихрей имеет место, если магнитное поле создается протекающим по сверхпроводнику током [7,11-14]. При этом, по крайней мере на этапе формирования вихревого кольца, существенное значение имеет кривизна вихревой нити. Образование, движение и аннигиляция таких вихревых колец сопровождается диссипацией и появлением электрического сопротивления, а возникающее при этом электрическое поле переводит сверхпроводник в нестационарное состояние с зависящим от времени параметром порядка. Резистивное состояние является сложным и информативным в физическом отношении состоянием сверхпроводника, однако, несмотря на значительные усилия, механизмы, ограничивающие протекание тока без диссипации, изучены далеко не полностью. Наименее изученным представляется случай, когда размеры сверхпроводника сопоставимы с глубиной проникновения магнитного поля Л. Если пиннинг вихрей в объеме сверхпроводника отсутствует, основным механизмом, определяющим рези-стивные и магнитные свойства такого сверхпроводящего образца в широком диапазоне магнитных полей и температур является пиннинг вихрей на поверхности, связанный с существованием энергетического барьера Бина-Ливингстона [15]. Поверхностный барьер препятствует проникновению магнитного потока в сверхпроводник и определяет условия формирования вихревого зародыша, размеры которого как правило заметно меньше Л, а кривизна вихревой нити велика [16,17].

Резистивное состоянием сверхпроводника, возникающее при движении вихрей в периодическом потенциале пиннинга под действием силы Лоренца, во многом аналогично нестационарному эффекту Джозефсона в системах со слабыми связями [18]. Эта аналогия проявляется в том числе и в существовании собственного электромагнитного излучения от мостиковых структур в режиме течения магнитного потока [19-21]. Несомненный интерес для цели получения генерации электромагнитного излучения представляют системы, в которых можно контролируемым образом изменять величину и пространственный период потенциала пиннинга, что можно обеспечить, используя магнитное взаимодействие между идентичными решетками вихрей в магнитосвязанных (МС) сверхпроводящих пленках [2226]. Переменная составляющая скорости вихрей и, как следствие, переменное электрическое поле и ток, возникают здесь при относительном движении (проскальзовании) решеток вихрей в соседних пленках.

Цели диссертационной работы:

1. теоретическое исследование структуры и свойств кольцевых вихрей в сверхпроводниках второго рода при произвольном радиусе кривизны вихревой нити;

2. изучение влияния поверхности сверхпроводника на поведение и параметры кольцевых вихрей;

3. анализ условий возбуждения и особенностей движения кольцевых вихрей в сверхпроводящих проводниках с характерными размерами порядка глубины проникновения магнитного поля;

4. изучение структуры и роли полей рассеяния, создаваемых локализованными вихревыми объектами в окружающем сверхпроводник пространстве, и влияния таких полей на условия формирования и движение вихрей;

5. изучение возможности коррелированного движения вихрей благодаря наличию "слабой" связи через магнитные поля рассеяния;

6. нахождение условий эффективной генерации электромагнитного излучения при относительном движении решеток вихрей в магни-тосвязанных сверхпроводящих пленках.

Научная новизна.

• Разработаны методы аналитического решения уравнения Лондо-нов для цилиндрической геометрии, основанные на разложении Фурье-Бесселя.

• Впервые рассмотрены примеры компактных вихревых структур (вихревые кольца и петли), в которых магнитное поле и сверхток самосогласованным образом локализованы во всех трех направлениях, а характерный размер области локализации сравним с глубиной проникновения магнитного поля Я.

» Детально исследована структура полей рассеяния, создаваемых локализованными вихревыми объектами в окружающем сверхпроводник пространстве, и изучено влияние этих полей на условия формирования и движение вихрей в сверхпроводнике.

• Показана близкая аналогия между движением вихрей в МС сверхпроводниках (в геометрии трансформатора постоянного тока) и джозефсоновским переходом, и рассмотрена генерация электромагнитного излучения при относительном движении решеток вихрей в магнитосвязанных сверхпроводящих пленках.

Практическая значимость.

Тенденция, направленная на миниатюризацию электронных уст-

эойств, в том числе и сверхпроводящих, приводит к необходимости

уменьшения размеров приборов до величин, сравнимых с глубиной

проникновения магнитного поля Л (для ВТСП материалов Я к 0.2¡.im ). Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для анализа явлений, присущих протеканию тока в тонких сверхпроводящих проводниках с поперечными размерами порядка глубины проникновения магнитного поля. Широкое применение эффекта Джозефсона на основе ВТСП материалов наталкивается на трудности создания воспроизводимых джозефсоновских элементов. Эти трудности обусловлены тем, что характерные размеры области слабой связи обычного джозефсоновского контакта не должны превышать длину когерентности параметра порядка £ (для ВТСП материалов £ порядка \пт). Поэтому представляет интерес поиск аналогов эффекта Джозефсона в сверхпроводящих системах, где столь сильное ограничение на размеры отсутствует [27,14*]. В диссертации впервые рассмотрены примеры джозефсоновских систем на основе MC сверхпроводящих пленок, выполнено сравнение поведения таких систем с работой обычного джозефсоновского контакта, найдены условия, при которых в MC сверхпроводниках возможна генерация электромагнитного излучения, аналогичная джозефсоновской генерации и приведены оценки частоты и мощности такого излучения.

Публикации и апробация результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1*-17*] Результаты диссертационной работы докладывались на Международных конференциях: "Materials and Mechanisms of Superconductivity and High Temperature Superconductors" (M2S-HTSC-IV, Grenoble France, 1994), (M2S-HTSC-V, Beijing, China, 1997); "19th Internationa Conference on Infrared and Millimeter Waves" (IR&MM Waves, Sendai Japan, 1994); "21st International Conference on Low Temperature Physics" (LT21, Prague, Chech Republic, 1996); на Международной школе "NATO ASI on Physics and Material Science of Vortex States Flux Pinning and Dynamics" (Kusadasi, Turkey, 1998); на Нижегород ских сессиях молодых ученых, на семинарах ИПФ РАН и ИФМ РАН.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списке литературы. Общий объем диссертации составляет 128 страниц включая 31 рисунок. Список литературы содержит 158 наименова ний.

Содержание работы Во Введении выполнен краткий обзор экспериментов и теоретических моделей, касающихся особенностей вихревого состояния в ограниченных сверхпроводниках второго рода (сверхпроводящих проводах и пленках). Внимание сосредоточено на примерах формирования замкнутых вихревых структур, когда вихревые нити имеют вид колец или петель, у которых распределения магнитного поля и сверхтока локализованы во всех трех направлениях. Описаны существующие представления о механизмах возбуждения кольцевых вихрей и влиянии таких вихрей на различные свойства сверхпроводника. Рассмотрены примеры магнитосвязанных сверхпроводящих систем, работа которых основана на специфической роли полей рассеяния, создаваемых вихрями вне сверхпроводника.

В Главе 1 рассматриваются свойства кольцевых (тороидальных) вихрей Абрикосова в изотропных сверхпроводниках второго рода с большим параметром Гинзбурга-Ландау.

В разделе 1.1 получено аналитическое решение уравнения Лон-донов

/ , , ^ ф

(1)

/Г

д-ну /<я/„ -+---+- - -

1 1

п-2 'га- ' &2~ описывающее в цилиндрической системе координат {г,<р,г) распределение азимутальной компоненты магнитного поля в вихре Я„(г,х) в кольцевом вихре произвольного радиуса {Ф0=лЬс/е-квант

магнитного потока) [1*].

ж 7.

, . Рис.1 Магнитное поле Яу и

\ / \ плотность тока в кольцевом

: ! г\ \: вихре Абрикосова.

I , / 'V • I

* т I А А 1 т V

4 / 1 / I

\ / I

► г Ну V /

Зыполнены расчеты величины захваченного в вихре магнитного потока и свободной энергии вихря для произвольного радиуса кривизны вихревой нити. Установлено, что из-за взаимодействия параллельных токов, образующих вихрь Абрикосова, свободная энергия на единицу длины вихревой нити уменьшается с увеличением кривизны ¡ихревой нити, т.е. модуль изгиба вихря Абрикосова в изотропном

лондоновском сверхпроводнике отрицателен, причем влияние кривизны вихревой нити сохраняется и при гу » Л, когда притяжение

противоположных участков вихревой нити пренебрежимо мало. В отсутствии пиннинга тороидальный вихрь всегда неустойчив, стягиваясь к своей оси вплоть до коллапса. Коллапс тороидального вихря сопровождается разрушением сверхпроводимости и возникновением потока нормальных электронов в окрестности оси тора [2*]. Основываясь на точном решении уравнения (1), найдено распределение магнитного поля в кольцевом вихре с центром на оси сверхпроводящего цилиндра произвольного радиуса (в том числе и сравнимого с глубиной проникновения магнитного поля Л) и исследовано влияние поверхности сверхпроводника на параметры и свойства вихревого кольца [3*,14]. Показано, что тороидальный вихрь в цилиндре неустойчив: в зависимости от начального радиуса вихревое кольцо либо стягивается к оси цилиндра, либо выходит на его поверхность. Притяжение ВН к поверхности цилиндра сопровождается формированием энергетического барьера, аналогичного барьеру Бина-Ливингстона [15]. Высота поверхностного барьера, препятствующего образованию концентрического кольцевого вихря, существенно зависит от радиуса цилиндра, оставаясь из-за кривизны вихревой нити всегда меньше барьера Бина-Ливингстона.

В разделе 1.2 исследованы механизмы разрушения сверхпроводимости второго рода внешним током и возникновения резистив-ного состояния и диссипации в сверхпроводящем цилиндрическом проводе, связанные с образованием и движением вихрей Абрикосова в форме кольца [4*-6*,11-14]. Проникновение концентрического вихревого кольца в цилиндрический сверхпроводник сопровождается преодолением энергетического барьера и обеспечивается процессами двух типов: тороидальный вихрь формируется у поверхности, сжимается и коллапсирует на оси цилиндра; или вихревое кольцо, возникшее вблизи оси цилиндра, расширяется под действием внешнего тока и выходит на поверхность. Показано, что возникновение, движение и исчезновение вихревого кольца приводит к выносу кванта потока из контура, охваченного сверхпроводящим проводом. Для сверхпроводящего цилиндра произвольного радиуса выполнены расчеты критического тока, при котором энергетический барьер для вихрей разрушается полностью и возможно проникновение магнитного потока в сверхпроводник. Если радиус цилиндра порядка глубины проникновения магнитного поля Л, магнитный поток проникает в него в виде расширяющихся вихревых колец, направление магнитного поля в которых противоположно направлению магнитного поля

внешнего тока. Средняя плотность критического тока, при которой происходит спонтанное возбуждение расширяющихся вихревых колец с центром на оси цилиндра, монотонно растет с увеличением радиуса цилиндра, так, что соответствующая плотность мейснеров-

ского тока на оси остается фиксированной и равной у'^/Т? (/'/ = сНап / 4 кЯ , Нст -термодинамическое критическое поле). Если радиус цилиндра заметно превышает Л, магнитный поток проникает в цилиндр через боковую поверхность в виде коллапсирующих тороидальных вихрей Абрикосова с тем же направлением магнитного поля, что и магнитное поле внешнего тока [13,14]. Средняя плотность критического тока в цилиндре соответствующая возбуждению коллапсирующих тороидальных вихрей, монотонно убывает с увеличением радиуса цилиндра. Если радиус цилиндра порядка глубины проникновения магнитного поля, то средняя по сечению плотность критического тока оказывается близка плотности тока распаривания.

В разделе 1.3 изучено взаимодействие кольцевого вихря с цилиндрической поверхностью раздела между двумя сверхпроводниками с различной глубиной проникновения магнитного поля [7*]. Обосновано существование устойчивых вихревых колец (в том числе и с размерами порядка глубины проникновения магнитного поля Я) при наличии внутри сверхпроводника неоднородностей в виде протяженных областей, которые имеют более высокие сверхпроводящие свойства, чем окружающей их материал, и ориентированных вдоль линий тока. Показано, что для формирования устойчивого кольцевого вихря с размерами порядка или меньше характерной глубины проникновения магнитного поля Я достаточно уже 10 % отличия в Я между сердцевиной и окружающей ее оболочкой. Тот факт, что даже слабая цилиндрическая неоднородность обеспечивает стабилизацию тороидального вихря свидетельствует о том, что и другие механизмы пиннинга могут приводить к появлению весьма компактных замкнутых вихревых структур. Существование подобных структур в объеме сверхпроводника после выключения внешнего тока (или иного воздействия, создающего и устраняющего вихри) может привести к гистерезисным явлениям и заметно влиять на свойства образца.

В Главе 2 рассматриваются свойства вихревых полуколец и условия их формирования вблизи поверхности сверхпроводника второго рода под действием внешнего магнитного поля или протекающего по сверхпроводнику транспортного тока.

В разделе 2.1 в лондоновском приближении выполнены расчеты структуры магнитного поля, магнитного потока и энергии вихря Абри-

Косова в форме половины окружности, оканчивающейся на плоской поверхности сверхпроводника второго рода [9*—12*]. Подробно исследована структура полей рассеяния, создаваемых вихревым полукольцом вне сверхпроводника, и изучена роль этих полей в формировании поверхностного энергетического барьера. Показано, что из-за взаимодействия вихря с поверхностью свободная энергия вихревого полукольца практически не меняется по сравнению со свободной энергией половины изолированного кольцевого вихря Абрикосова с тем же радиусом вихревой нити, в то время как распределение магнитного поля в вихревом полукольце изменяется сильно.

В разделе 2.2 изучены условия формирования вихревого полукольца вблизи поверхности сверхпроводника в однородном внешнем магнитном поле И0, параллельном поверхности [9*-12*,16]. Вычислен энергетический барьер, препятствующий расширению вихря вглубь сверхпроводника, и изучены зависимости параметров барьера от величины внешнего магнитного поля. Показано, что поверхностный барьер для вихревого полукольца разрушается приблизительно при тех же значениях магнитного поля на границе что и барьер Бина-Ливингстона: Н5 ~Нст. Плотность мейснеровского тока на поверхности, соответствующая полю Н5 близка к плотности тока распаривания. Рассмотрены механизмы образования равновесной формы вихревой нити, определяемой структурой внешнего магнитного поля, посредством анизотропного расширения вихревой петли вдоль границы или перезамыкания расширяющихся вихревых петель.

В разделе 2.3 изучены условия формирования вихревого полукольца вблизи поверхности цилиндрического сверхпроводящего провода с током [4*-6*,28]. Показано, что этому механизму соответствует минимальное значение внешнего тока, при котором магнитный поток проникает в сверхпроводник и возникает диссипация. Средняя

по сечению проводника плотность критического тока < у'с >, при которой становится возможным образование у поверхности расширяющихся вихревых петель, монотонно растет с уменьшением диаметра провода О . При диаметре й порядка глубины проникновения

магнитного поля Л, плотность тока < )с > становится порядка плотности тока распаривания. Для сверхпроводников второго рода сформулирован простой критерий, в соответствии с которым протекание тока без диссипации по цилиндрическому сверхпроводящему проводу возможно до тех, пока локальная плотность тока не превышает

критического значения ]еп = ./'¿/Т? [28,6*]. Этот критерий аналогичен хорошо известному правилу Лондона [29] и справедлив для произвольного диаметра провода Показано, что разрушение внешним током сверхпроводимости в тонком « О < Я ) проводнике происходит, когда магнитное поле, создаваемое внешним током на поверхности, заметно меньше термодинамического критического поля нст.

В Главе 3 теоретически рассмотрена генерация электромагнитного излучения при относительном движении решеток вихрей в Ми^-нитосвязанных сверхпроводящих пленках в изображенной на рис.2 геометрии трансформатора постоянного тока [22-26]. Использование магнитной связи между идентичными решетками вихрей обеспечивает дополнительный периодический потенциал пиннинга, а самосогласование периодов решеток вихрей и потенциала пиннинга - оптимальное взаимодействие между ними [13*—17*].

О ч «

£5 а а ж». Рис.2 Магнитосвязан-

В разделе 3.1 в лондоновском приближении выполнены расчеты структуры магнитного поля для квадратной решетки вихрей Абрикосова, формируемой внешним магнитным полем в МС сверхпроводящих пленках и изучено взаимодействие между решетками вихрей в соседних пленках. Выполнены расчеты потенциала взаимного пиннинга решеток вихрей в МС сверхпроводниках. Показано, что сравнительно большое число легко контролируемых параметров: толщина сверхпроводящих пленок, толщина изолирующего слоя, зависящая от температуры глубина проникновения магнитного поля, позволяют в широком диапазоне параметров реализовать режим, при котором сила взаимного пиннинга решеток вихрей /р изменяется по

ные сверхпроводящие пленки во внешнем магнитном поле В. Схематично показана структура силовых линий магнитного поля при произвольном относительном смещении решеток вихрей в пленках х{1.

гармоническому закону от относительного смещения вихрей в пленках х^.

В разделе 3.2 получено уравнение вязкого движения решеток вихрей в МС сверхпроводниках под действием силы Лоренца Д со стороны внешнего тока у в периодическом потенциале пиннинга.

Показано, что для гармонической зависимости силы взаимного пиннинга решеток вихрей в соседних пленках (см. раздел 3.1) уравнение, описывающее вязкое относительное движение этих решеток, совпадает с уравнением резистивно-шунтированной модели джо-зефсоновского перехода

(1(0

а— + )с Ь1гир = ),

в котором роль фазы <р играет относительное смещение вихрей в пленках: (р = 2тас1 /а , а параметр а = сац/2кФ0 описывает диссипацию и зависит от коэффициента вязкости //. Здесь а = ^Ф0/В -постоянная вихревой решетки. Критическая плотность тока ус, при превышении которой начинается относительное движение решеток вихрей, определяется максимальным значением силы взаимного пиннинга /р и монотонно уменьшается с увеличением индукции В.

Изучена аналогия между относительным движением решеток вихрей в МС сверхпроводниках и поведением обычного джозефсоновского перехода. Показано, что в МС сверхпроводниках имеют место эффекты аналогичные стационарному и нестационарному эффектам Джозефсона, без каких-либо определяемых длиной когерентности 4 ограничений на геометрические размеры МС системы.

В разделе 3.3 изучен высокочастотный отклик, возникающий при относительном движении МС вихревых решеток. Частота собственного электромагнитного излучения / зависит от пространственного

периода а вихревых решеток и скорости относительного движения вихрей, что означает возможность перестройки частоты излучения внешним магнитным полем В и током у :

/ « ^г2- ]4в/фо Для } » }с,

"с 2

где рп -удельное сопротивление пленок в нормальном состоянии, а Нс2 -верхнее критическое поле. Получено соотношение между частотой / и напряжением У0 на мостике, изготовленном из МС сверхпроводников

/ = 2——, У И N

которое отличается от фундаментального соотношения Джозефсона / = (2е/И)У0 [30] дополнительным множителем 2/Ы, где целое число N равно количеству вихрей, укладывающихся на длине мостика. Рассмотрены примеры джозефсоновских систем на основе магнитосвязанных сверхпроводящих пленок и выполнено сравнение поведения таких систем с работой обычного джозефсоновского контакта. Показано, что при относительном движении решеток вихрей в магнитосвязанных сверхпроводящих пленках возможна эффективная генерация электромагнитного излучения и приведены оценки частоты и мощности такого излучения.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, которые одновременно являются положениями, выносимыми на защиту.

На защиту выносятся:

1. Впервые получено точное решение уравнения Лондонов, описывающее самосогласованный тороидальный вихрь Абрикосова (вихревое кольцо) в сверхпроводниках второго рода и подробно изучены свойства таких вихрей.

2. Изучены условия стабилизации кольцевых вихрей в неоднородном сверхпроводнике и обоснована возможность существования устойчивых вихревых колец с размерами порядка глубины проникновения магнитного поля.

3. Исследованы механизмы разрушения сверхпроводимости второго рода внешним током в цилиндрическом проводнике произвольного радиуса, связанные с образованием и движением вихрей Абрикосова в форме кольца или петли. Выполнены расчеты критического тока и сформулирован простой критерий возникновения ре-зистивного состояния и диссипации в сверхпроводящем проводе, применимый и к системам с размерами сравнимыми с глубиной проникновения магнитного поля.

4. В лондоновском приближении рассчитана структура полей и токов, создаваемых вихревым полукольцом, расположенным у плоской поверхности сверхпроводника второго рода. Детально исследована структура полей рассеяния, и изучена их роль в формировании поверхностного энергетического барьера.

5. Изучена аналогия между относительным движением решеток вихрей в магнитосвязанных сверхпроводниках и поведением обычного джозефсоновского перехода. Показано, что в МС сверхпровод-

никах имеют место эффекты аналогичные стационарному и нестационарному эффектам Джозефсона, без каких-либо определяемых длиной когерентности 4 ограничений на геометрические

размеры системы.

6. Показано, что при относительном движении решеток вихрей в магнитосвязанных сверхпроводящих пленках возможна эффективная генерация электромагнитного излучения. Частота собственного электромагнитного излучения из МС сверхпроводников зависит от пространственного периода вихревых решеток и скорости относительного движения вихрей, что означает возможность перестройки частоты излучения внешним магнитным полем и током.

Цитированная литература

1. А.А.Абрикосов. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы //ЖЭТФ, 1957, T.32, вып.6, с.1442-1452.

2. H.UIlmaier. Irreversible properties of type-ll superconductors. Springer-Verlag, Berlin, 1975. 165c.

3. А.Кемпбел, Дж.Иветс. Критические токи в сверхпроводниках. М.: Мир, 1975. 332с.

4. G.Blatter, M.V.Feigel'man, V.B.Gershkenbein, A.I.Larkin, V.M.Vinokur. Vortices in high-temperature superconductors // Rev. Mod. Phys., 1994, v.66, №4, pp.1125-1388.

5. E.H.Brandt. The flux-line lattice in superconductors // Rep. Prog. Phys., 1995, v.58, pp.1465-1594.

6. Y.Yeshurun, A.P.Malozemoff, A.Shaulov. Magnetic relaxation in high-temperature superconductors // Rev. Mod. Phys., 1996, v.68, №3, pp.911-949.

7. D.S.Fisher, M.P.A.Fisher, D.Huse. Thermal fluctuations, quenched disorder, phase transitions, and transport in type-ll superconductors // Phys. Rev. B, 1991 v.43, №1, pp.130-159.

8. J.Friedel. J.Phys.:Condens.Matter, 1989, v.1, p.7757.

9. G.F.Williams. Roton excitations in high-Tc superconductors // Physica B, 1994, v.194-196, pp.1415-1416.

10-Z.Tesanovic. Low-magnetic-field critical behavior in strongly type-ll superconductors// Phys. Rev. B, 1995, v.51, №22, pp.16204-16210.

И.М.Тинкхам. Введение в сверхпроводимость. М.: Атомиздат, 1980. 310с.

12.Е.Б.Коломейский. Вихревые кольца и диссипация в сверхпроводниках второго рода II ЖЭТФ, 1991, v.100, вып.1<7), рр.301-306.

13.И.М.Гордион. Проникновение вихрей в цилиндрический SNS-проводник с током // СФХТ, 1992, т.5, №11, с.1993-1998.

14.Yu.A.Genenko. Magnetic self-field entry into a current-carrying type-ll superconductor'// Phys. Rev. B, 1994, v.49, №10, pp.6950-6957.

15.C.P.Bean and J.D.Livingston. Surface barrier in type-ll superconductors // Phys. Rev. Lett., 1964, v.12, №1, pp.14-16.

16.В.П.Галайко. Образование вихревых зародышей в сверхпроводниках второго рода // ЖЭТФ, 1966, v.50, вып.5, с.1322-1326.

17.Б.В.Петухов, В.Р.Чечеткин. Скорость проникновения магнитного потока в сверхпроводники второго рода // ЖЭТФ, 1973, т.65, вып.4(10), с.1653-1657.

18.B.B.Schwartz. Dissipation in type-ll superconductors via the a.c. Jo-sephson effect// Phys. Lett., 1966, v.20, №4, pp.350-351.

19.Л.Э.Аматуни, А.А.Ахумян, К.И.Константинян и др. Собственное электромагнитное излучение ВТСП тонкопленочных мостиковых структур // Письма в ЖЭТФ, 1989, т.50, вып.8, с.355-358.

20.L.E.Amatuni, K.Y.Constantinian, R.B.Hayrapetian, G.A.Ovsyannikov, V.N.Laptev, V.I.Makhov. Self-radiation phenomena in LTSC and HTSC bridges II IEEE Trans, on Magnetics, 1991, v. 27, №2, pp.27242727.

21.J.Konopka and G.Jung. Emission of microwaves from d.c.-biased YBaCuO thin films// Europhys. Lett., 1989, v.8, №6, pp.549-553.

22.I.Giaever. Magnetic coupling between two adjacent type-ll superconductors II Phys. Rev. Lett., 1965, v.15, №21, pp.825-827; I.Giaever. Flux pinning and flux-flow resistivity in magnetically coupled superconducting films// Phys. Rev. Lett., 1966, v.16, №11, pp.460-462.

23.P.E.CIadis, R.D.Parks, J.M.Daniels. Phase incoherence in the dc superconducting transformer II Phys. Rev. Lett., 1968, v.21, №22, pp.1521-1524.

24.J.R.Clem. Theory of magnetically coupled type-ll superconducting films// Phys. Rev. B, 1974, v.9, №3, pp.898-911.; J.R.Clem. Theory of the coupling force in magnetically coupled type-ll superconducting films // Phys. Rev. B, 1975, v. 12, №5, pp. 1742-1752.

25.J.W.Ekin, B.Serin , J.R.Clem. Magnetic coupling in superposed type-ll superconducting films II Phys. Rev. B, 1974, v.9, №3, pp.912-917.

26.J.W.Ekin, J.R.Clem. Magnetic coupling force of the superconducting dc transformer// Phys. Rev. B, 1975, v. 12, №5, pp. 1753-1765.

27.A.Gilabert, I.K.Schuller, V.V.Moshchalkov and Y.Bruynseraede. New Josephson-like effect in a superconducting transformer // Appl. Phys. Lett., 1994, v.64, №21, pp.2885-2887.

28.Yu.A.Genenko, A.V.Snezhko, P.Troche, and J.Hoffmann, H.C.Freyhardt. Magnetic self-field entry Into a current-carrying type-ll superconductor. III. General criterion of penetration for an external

field of arbitrary direction II Phys. Rev. B, 1998, v.57, №2, pp.11641172.

29.H.London, Proc. Roy. Soc. (London), 1935, v. A152, p.650.

30.А.Бароне, Дж.Патерно. Эффект Джозефсона: физика и применение. М.: Мир, 1984. 640с.

Список публикаций по теме диссертации

1*. ВАКозлов, А.В.Самохвалов. Замкнутые вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода II Письма в ЖЭТФ, 1991, т.53, вып.З, с. 150-153.

2*. V.A.Kozlov, A.V.Samokhvalov. Closed Abrikosov vortices: structure, excitation and collapse // Abstract & Program of 4th International Conference Materials & Mechanisms of Superconductivity; High-Temperature Superconductors: M2S-HTSC IV, Grenoble, 1994, p.90.

3*. V.A.Kozlov, A.V.Samokhvalov. Closed Abrikosov vortices in a superconducting cylinder // Physica C, 1993, v.213, №1&2, pp.103108.

4*. A.V.Samokhvalov. The Onsager-Feynman mechanism of vortex creation in a current-carrying superconducting cylinder // Conference Handbook of XXI International Conference on Low Temperature Physics, August 8-14 1996, Prague, p.97.

5*. A.V.Samokhvalov. The Onsager-Feynman mechanism of vortex creation in a current-carrying superconducting cylinder // Czechoslovak Journal of Physics, 1996, v.46, Suppl.S2, pp.903-904.

6*. A.V.Samokhvalov, Expanding vortex rings in a current-carrying superconducting cylinder II Physica С, направлена в печать.

7*. V.A.Kozlov, A.V.Samokhvalov. Stabilization of toroidal Abrikosov vortex in a nonuniform superconductor // J. of Superconductivity, 1993, v.6, №2, pp.63-68.

8*. А.В.Самохвалов. Тороидальные вихри Абрикосова в сверхпроводниках второго рода // Вторая Нижегородская сессия молодых ученых, Тезисы докладов, 1997, Нижний Новгород, с.44.

9*. А.В.Самохвалов. Поверхностный барьер для вихревой петли в сверхпроводниках второго рода //ЖЭТФ, 1995, т.108, вып.3(9), с.1091-1104.

10*. A.V.Samokhvalov. Vortex loops entry into type-ll superconductors // Physica C, 1996, v.259, №3&4, pp.337-348.

11*. A.V.Samokhvalov. Abrikosov vortex loop near the surface of superconductor // Abstract book of 5th International Conference Materials & Mechanisms of Superconductivity; High-Temperature Superconductors: M2S-HTSC V, Feb.28-Mar.4 1997, Beijing, p.111.

12*. A.V.Samokhvalov. Abrikosov vortex loop near the surface of superconductor// Physica C, 1997, v.282-287, p.2163-2164.

13*. VAKozlov, A.V.Samokhvalov. The simulation of the high frequency response of the magnetically coupled type-ll superconducting films II Abstracts & Program of 4* International Conference Materials & Mechanisms of Superconductivity; High-Temperature Superconductors: M2S-HTSC IV, Grenoble, 1994, p.75.

14*. V.A.Kozlov, A.V.Samokhvalov. The simulation of the high frequency response of the magnetically coupled type-ll superconducting films // Physica C, 1994, v.235-240, pp.2011-2012.

15*. V.A.Kozlov, A.V.Samokhvalov. The generation of millimeter waves by the flux motion in the magnetically coupled type-ll superconducting films // Conference Digest of the 19th International conference on Infrared and Miillimeter Waves: 94 IR&MM Waves, October 1720 1994, pp.27-28.

16*. В.А.Козлов, А.В.Самохвалов. Электромагнитное излучение при движении вихрей в магнитно-связанных сверхпроводящих пленках// ЖЭТФ, 1998, т. 113, вып.4, с. 1319-1338.

17*. V.A.Kozlov, A.V.Samokhvalov. Emission of radiation by vortex arrays motion in DC transformer // Program of NATO ASI on Physics and Material Science of Vortex States, Flux Pinning and Dynamics, July 26 - August 7 1998, Kusadasi, p.54.

1(115-6

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ФИЗИКИ МИКРОСТРУКТУР

На правах рукописи

САМОХВАЛОВ Алексей Владимирович

КОЛЬЦЕВЫЕ ВИХРИ В ОГРАНИЧЕННЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ

05.27.01 — твердотельная электроника,

микроэлектроника и наноэлектроника 01.04.03 — радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научный руководитель: старший научный сотрудник, кандидат физико-математических наук В.А.Козлов

Нижний Новгород — 1998

Содержание

Введение 3

1 Тороидальные вихри Абрикосова в изотропных сверхпроводниках 19

1.1 Структура тороидального вихря Абрикосова............... 19

1.2 Тороидальный вихрь Абрикосова в сверхпроводящем цилиндре с током 37

1.3 Стабилизация тороидального вихря Абрикосова в неоднородном сверхпроводнике ................................... 51

1.4 Заключение к главе 1............................. 60

2 Проникновение вихревой петли в сверхпроводник 62 '2.1 Вихревое полукольцо вблизи плоской поверхности сверхпроводника

второго рода.................................. 62

2.2 Вихревое полукольцо во внешнем магнитном поле............ 74

2.3 Вихревое полукольцо в сверхпроводящем цилиндре с током....... 80

2.4 Заключение к главе 2............................. 83

3 Электромагнитное излучение при движении вихрей в магнитосвя-занных сверхпроводящих пленках 85

3.1 Взаимный пиннинг вихрей в магнитосвязанных сверхпроводниках ... 87

3.2 Уравнение движения вихрей в магнитосвязанных сверхпроводниках . . 96

3.3 Высокочастотный отклик магнитосвязанных сверхпроводников .... 103

3.4 Заключение к главе 3.............................109

Заключение 110

Приложения

А 111

В 113

С 115

Список литературы 116

Введение

Важная особенность смешанного состояния сверхпрововодников второго рода состоит в том, что магнитный поток частично проникает в объем сверхпроводника в виде квантованных вихревых нитей или вихрей Абрикосова [1] (см. также [2, 3]). Присутствие вихрей в сверхпроводнике и взаимодействие вихрей с неоднородностями и дефектами материала (пиннинг) определяют как магнитные свойства сверхпроводников второго рода [4, 5], так и способность последних пропускать транспортный ток без диссипации [6]. Поэтому изучение вихревого состояния сверхпроводников второго рода представляет несомненный интерес как с фундаментальной точки зрения, так и с точки зрения различных приложений.

В настоящей диссертационной работе теоретически изучены свойства кольцевых вихрей (вихревых колец и вихревых петель) в сверхпроводниках второго рода. Особое внимание уделено исследованию влияния поверхности сверхпроводника на поведение и параметры таких вихрей, выяснению условий их возбуждения в сверхпроводящих (СП) стержнях и пленках с характерными размерами порядка глубины проникновения магнитного поля. Выполнен анализ механизмов диссипации и развития вихревой неустойчивости при протекании тока в тонких сверхпроводящих проводах, найдены критические параметры таких сверхпроводящих систем. Подробно изучена структура полей рассеяния, создаваемых локализованными вихревыми объектами в окружающем сверхпроводник пространстве и влияния таких полей на условия формирования вихрей вблизи поверхности сверхпроводника. На примере магнитосвязанных СП пленок рассмотрена возможность коррелированного движения вихрей благодаря наличию взаимодействия через магнитные поля рассеяния. Показано, что подобная дополнительная "слабая" связь между вихрями качественно изменяет условия протекания тока, и может обеспечить бездиссипативное протекание тока даже при полном отсутствии внутреннего пиннинга вихрей в пленках (т.е. в мягких СП материалах). Рассмотрено возникновение узкополосной генерации электромагнитного излучения при относительном движении вихрей в тонких магнитосвязанных СП пленках, что является одним из проявлений нестационарного эффекта Джозефсона [7] в сверхпроводящих системах со слабыми связями. Показано, что поведение магнитосвязанных (МС) сверхпроводников во многом аналогично поведению джозефсоновского элемента, без каких-либо определяемых длиной коге-

ограничений на, геометрические размеры МС системы.

Кольцевые вихри в сверхпроводниках.

Как известно, в сердцевине (керне) вихря, где магнитное поле достигает своего максимума, сверхпроводимость разрушается, и комплексный параметр порядка ф, описывающий сверхпроводящее состояние, оказывается подавленным на расстоянии, определяемом длиной когерентности Центр вихря, где \ф\ = 0, задает в пространстве линию - вихревую нить (ВН), причем фаза ф изменяется на число кратное 2-к при обходе вдоль произвольного контура, охватывающего эту нить. Последнее условие приводит к квантованию магнитного потока в вихре, так что одиночный вихрь с прямолинейной ВН, расположенный далеко от границ сверхпроводника, содержит один квант потока Ф0 = -кКс/е [8].

Основные усилия исследователей (как в теории, так и в эксперименте) сосредоточены на изучении структуры и свойств линейных вихрей, возникающих в сверхпроводниках второго рода под действием внешнего магнитного поля (см. последние обзоры [5, 9, 10], в которых подробно изложены различные вопросы физики вихревого состояния). Поскольку равновесная форма ВН в целом повторяет структуру силовых линий магнитного поля, существенная особенность таких вихрей состоит в том, что вихревая нить имеет свои "начало" и "конец", которые топологически разнесены в пространстве (например, находятся на противоположных поверхностях, ограничивающих объем, заполненный сверхпроводником). Такие вихри могут проникнуть в сверхпроводник только с поверхности, или образоваться в паре с вихрем противоположного направления (пара вихрь-антивихрь) [11].

В последнее время в физике вихревого состояния в сверхпроводниках второго рода появился интерес к изучению более сложных замкнутых вихревых структур, для которых вихревые нити имеют вид колец (или в более общем случае — петель). Кольцевые вихри (вихревые кольца или петли) в сверхпроводниках являются примером компактных магнитных структур, в которых магнитное поле и сверхток локализованы во всех трех направлениях. Характерный размер области локализации такой структуры является внутренним параметром вихря (не зависит от размеров СП системы) и может быть сравним (и даже быть меньше) глубины проникновения магнитного поля Л. Поскольку вихревая нить замкнута в кольцо, топологические ограничения, запрещающие спонтанное образование такого вихря в объеме сверхпроводника, отсутствуют

1Подобные 3.0 локализованные вихревые структуры встречаются в различных неравновесных физических системах [12], а вихревые кольца являются лишь простейшим элементом широкого класса таких структур. Поражает удивительное многообразие топологически различных способов того, как вихревая нить может образовать в пространстве замкнутую структуру [13], превращающуюся в процессе эволюции в устойчивый и компактный частице-подобный узел [14].

Замкнутые вихревые структуры часто рассматриваются в качестве элементарных тепловых возбуждений в высокотемпературных сверхпроводниках в слабых магнитных полях при температуре Т вблизи критической Тс [15]. Удлиненные (эллиптические) вихревые петли, вытянутые преимущественно вдоль СП слоев, и состоящие из перпендикулярных (квазидвумерные вихри) и параллельных слоям (джо-зефсоновские вихри) сегментов (подробнее о вихрях в ВТСП см. обзор [5]) впервые были рассмотрены в работе [16]. Минимальный размер вихря определяется длиной когерентности в СП слое и расстоянием между слоями. Подобные низкоэнергетические флуктуации описывают внутренние степени свободы сверхпроводящей системы, обладающие нулевой суммарной завихренностью (несингулярные флуктуации фазы параметра порядка, пары вихрь-антивихрь и т.д.), и не связаны с традиционно рассматриваемыми линейными вихрями, которые формируются в сверхпроводнике внешним магнитным полем [17]. В работе [18] сделано предположение, что фазовый переход в нормальное состояние сильно анизотропных ВТСП материалов в нулевом магнитном поле связан с тепловым возбуждением вихревых петель (колец). В слабых магнитных полях можно ожидать, что эти дополнительные степени свободы дают важный вклад в термодинамические параметры сверхпроводника вблизи температуры перехода Тс [17]. Выполненные в [19] детальные Монте-Карло расчеты в рамках 31? ХУ-модели показали, что Б —N фазовый переход в нулевом внешнем магнитном поле сопровождается эффективной генерацией кольцевых вихрей. Вблизи фазового перехода натяжение вихревой нити исчезает, а функция распределения вихрей по размеру спадает степенным образом: ~ г~а, где г„ — характерный радиус петли. Отметим, что вблизи перехода анизотропия становится слабой, и эллиптические вихревые петли трансформируются в кольца [14, 19]. Существование при Т ~ Тс тепловых возбуждений в виде кольцевых вихрей может объяснить по мнению автора [18] результаты экспериментов [20, 21], где обнаружены существенные отличия температурной зависимости проводимости аш (и) ~ 500 ст~1) от предсказываемой теорией БКШ. Влияние вихревых петель на упругие свойства вихревой решетки, равновесные термодинамические и магнитные параметры слоистых сверхпроводников теоретически изучено в [22, 23]. Для объяснения аномально большого скачка энтропии, наблюдавшегося в [24] при плавлении вихревой решетки в ВБССО кристалле вблизи Тс, авторы работ [17, 25] предположили, что увеличение внутренней энергии вызвано "взрывным" возбуждением дополнительных степеней свободы в виде кольцевых вихрей. Заметим однако, что подобные флуктуационные механизмы возбуждения кольцевых вихрей вряд ли могут быть существенными в традиционных низкотемпературных сверхпроводниках второго рода.

Другой возможный случай формирования кольцевых вихрей, имеет место, если магнитное поле создается протекающим по сверхпроводнику внешним током, а внеш-

нее магнитное отсутствует. В этом случае вихревые нити охватывают линии тока и имеют вид колец, плоскость которых перпендикулярна линиям тока [6, 26].

Процесс разрушения сверхпроводимости электрическим током в цилиндрическом сверхпроводнике первого рода впервые был теоретически исследован в [27] (см. также [28]). Если созданное током магнитное поле превышает на поверхности критическое значение Нст, в проводе возникает статическое промежуточное состояние, которое представляет собой систему чередующихся неподвижных слоев нормальной и сверхпроводящей фаз, ориентированных перпендикулярно току 2. Динамическая модель резистивного токового состояния предложена в [31]. В этой модели электрическое сопротивление обусловлено течением потока, которое происходит в виде непрерывного схлопывания коаксиальных цилиндрических трубок магнитного потока. Очевидно, что такое периодическое движение магнитного потока генерирует переменную составляющую напряжения на образце. Семейство периодических доменных структур, движущихся как целое с постоянной скоростью в направлении тока, в цилиндрической проволоке было рассмотрено в [32]. Доменная структура созданного током резистивного состояния связала со сложным характером распределения токов в образце. Поскольку и магнитное поле, и нормальные домены создаются самим внешним током, структура промежуточного состояния может быть неустойчивой. Электрические и магнитные неустойчивости токового резистивного состояния в проволоках проявляются в резких перепадах сопротивления при незначительных изменениях величины тока [28].

Протекание тока и диссипация в сверхпроводниках второго рода, как известно, связана с образованием и движением в них вихрей Абрикосова [33, 34, 35, 36]. Рези-стивное состояние является сложным и информативным в физическом отношении состоянием сверхпроводника и поэтому представляет большой физический интерес. Возникающее в этом случае электрическое поле переводит сверхпроводник в нестационарное состояние с зависящим от времени параметром порядка. Несмотря на значительные усилия, механизмы, ограничивающие бездиссипативное протекание тока, изучены далеко не полностью. Особенно много вопросов остаются неясными для ВТСП материалов, где сильные флуктуации, чувствительность к составу и ани-

2Тот факт, что разрушение сверхпроводимости током происходит, когда созданное этим током магнитное поле достигает значения Нст, часто называют правилом Сильсби [29]. Правило Сильсби устанавливает простую связь между максимально допустимым током в сверхпроводнике первого рода и термодинамическим критическим полем Нст: бездиссипативное протекание тока возможно до тех пор, пока создаваемое током магнитное поле на поверхности сверхпроводника не превышает Нст- Более универсальной является модификация этого правила, предположенная Лондоном [30]: сопротивление появляется, если локальная плотность тока на поверхности достигает критического значения ]1 — сНст/Аж\. Заметим, что плотность тока по порядку величины близка плотности тока распаривания в модели Гинзбурга-Ландау ^ == сЯст/3\/бтгА: ^ ~ 1.84^.

зотропия усложняют описание диссипации в этих материалах. Одна из центральных проблем при этом состоит в ответе на вопрос: являются ли преобладающие механизмы диссипации внутренними (т.е. присущими идеально однородному, совершенному сверхпроводнику), или причина диссипации кроется в неоднородности материала [37].

При наличии внешнего магнитного поля, простейшая модель резистивного состояния в сверхпроводниках второго рода предполагает движение решетки вихрей под действием силы Лоренца со стороны внешнего тока [28, 35]. Если внешнее магнитное поле отсутствует, обычно предполагают, что магнитный поток проникает в сверхпроводник под действием тока в виде вихрей двух противоположных направлений: вихрей и антивихрей. Подобные модели достаточно подробно изучены для пленочных структур, когда один из размеров сверхпроводника (толщина пленки ¿) существенно меньше двух других: <1 <С где и Ь соответственно ширина

и длина СП мостика [38, 39]. В этом случае из-за большого размагничивающего фактора, магнитный поток проникает в сверхпроводник под действием тока преимущественно с краев пленки в виде вихрей, "пронизывающих" пленку. Движение вихрей противоположного направления навстречу друг другу и аннигиляция таких вихрей вблизи центра пленки и вызывает диссипацию [40, 41, 42]. Флуктуацион-ное рождение пар вихрь-антивихрь и последующее движение образованных вихрей под действием протекающего по пленке тока существенно, лишь для очень тонких пленок с шириной \¥ < А а = А2/в которых при температуре Тт^т существует характерный для квазидвумерных (21)) систем резистивный переход [4-3, 44].

Если поперечное сечение сверхпроводящего мостика таково, что с1 ~ Ж, в качестве простейшей модели СП проводника уместно использовать сверхпроводящий цилиндр произвольного радиуса гс. В этом случае, опираясь на очевидную аналогию со сверхпроводниками первого рода, можно предположить, что роль движущихся вихревых структур с захваченным магнитным потоком будут играть коаксиальные вихревые кольца. Принято считать, что при протекании тока 3 > ЗсХ = сНсхгс/2 по изолированному проводу (стержню) с радиусом гс из сверхпроводника второго рода, на его поверхности зарождаются, стягиваются и аннигилируют в центре круговые вихревые кольца, приводя к появлению электрического сопротивления [26]. Здесь Нс\— нижнее критическое поле в сверхпроводниках второго рода, при котором становится энергетически выгодным образование вихрей в объеме сверхпроводника [2]. Решение уравнения Лондонов, описывающее кольцевой вихрь Абрикосова с вихревой нитью в форме окружности произвольного радиуса г,„ (тороидальный вихрь Абрикосова) в изотропных сверхпроводниках второго рода с большим параметром Гинзбурга-Ландау к. = А/£ >> 1, впервые было получено в работе [45]. Взаимодействие тороидального вихря Абрикосова с центром на оси произвольного СП цилиндра с по-

верхностью цилиндра рассмотрено в лондоновском приближении в работах [46, 47]. Некоторые универсальные особенности поведения вихревого кольца в толстом сверхпроводящем цилиндре (гс А) установлены в [47] при решении модельного нелинейного уравнения, описывающего вязкое движение такого вихря под действием натяжения собственной вихревой нити и внешнего тока. Динамика зарождения и движения круговых колец из джозефсоновских вихрей в стержне из ВТСП керамики В^.бРЬсмЭггСагСизОу, по которому протекает внешний ток </, изучалась экспериментально в [48] по изменению во времени действительной части х' комплексной динамической магнитной восприимчивости уас = х' + х" • Промежуток времени, в течении которого сигнал х' остается неизменным при выключении тока «/, определяет время жизни колец в цилиндре и составляет в экспериментах десятки секунд для стержня диаметром О.-Зсм. Численное модели