автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Спектральные свойства периодических массивов квантовых точек и колец в магнитном поле

од

К Я

г; , . 1

?т

/ / ФсО

На правах рукописи

ПОПОВ АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ МАССИВОВ КВАНТОВЫХ ТОЧЕК И КОЛЕЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 2000

Работа выполнена в Мордовском государственном университете имени Н.П.Огарева

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент В.А. Гейлер

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Учайкин

кандидат физико-математических наук, Н.П. Тихонова

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

Институт точной механики и оптики (Технический университет)

Защита диссертации состоится "14" декабря 2000 г. в 10 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 053.37.06 в Ульяновском государственном университете по адресу: 432700, Набережная р. Свияги, ауд. 701

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан "-// " ноября 2000 г. Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 432700, г.Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42, УлГУ.

Ученый секретарь диссертационного совета К 053.37.06 кандидат физико-математических наук, доцент

Е.П. Чирко

ВГС^.^Г, 03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес к периодическим системам в магнитных полях резко возрос за последние годы среди специалистов как по математической, так и по теоретической физике. Интерес физиков-теоретиков к таким системам в последние полтора десятилетия обуславливался необычайно важными экспериментальными открытиями, такими как квантовый эффект Холла (Нобелевская премия 1985 г.); квантовый биллиард в периодических массивах квантовых антиточек; экспериментальное обнаружение фрактальной структуры спектра (бабочка Хофштадтера) в периодических массивах квантовых точек и др. Строгое математическое обоснование теоретических построений физиков, связанных с объяснениями этих экспериментов, потребовало привлечения мощных методов алгебраической топологии, спектрального анализа, некоммутативной геометрии и др. При этом немалую роль в построении общей теории для указанных выше экспериментов, и в анализе других свойств периодических систем в магнитных полях играют получаемые в тех или иных приближениях различные явнорешаемые модели. В связи с этим построение явнорешаемых математических моделей периодических квантовых систем при наличии магнитного поля и исследование их энергетического спектра представляется весьма актуальным.

Цель работы.

1. Построение самосопряженных операторов, являющихся модельными гамильтонианами периодических массивов квантовых точек и одномерных квантовых колец с вихрями Ааронова-Бома, находящихся во внешнем однородном магнитном поле.

2. Аналитическое и численное исследование структуры спектра построенных гамильтонианов.

Для достижения основной цели работы потребовалось решить следующие задачи, вспомогательные по отношению к указанным выше, но тем не менее представляющие и самостоятельный интерес.

3. Построение всех самосопряженных расширений одного класса симметрических операторов, выделение из них расширения по Фри-

дрихсу, которое можно считать гамильтонианом двумерного квантового кольца, находящегося в однородном магнитном поле в присутствии соленоида Ааронова-Бома, и исследование его спектра.

4. Разложение построенных гамильтонианов указанных выше периодических систем в прямые интегралы по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций и исследование спектра слоя в полученных разложениях.

Общая методика исследования основана на применении методов теории самосопряженных расширений симметрических операторов в гильбертовых пространствах, теории представлений групп и техники разложения периодического оператора в прямой интеграл по тору квазиимпульсов.

Научная новизна и значимость работы определяются следующими основными результатами.

1. Описаны все самосопряженные расширения одного класса симметрических операторов, из них выделено расширение по Фридрихсу, которое можно считать гамильтонианом двумерного квантового кольца, находящегося в однородном магнитном поле в присутствии соленоида Ааронова-Бома. Проведен анализ спектра этого гамильтониана для всех возможных значений параметров модели.

2. С помощью теории самосопряженных расширений построены операторы энергии двух периодических квантовых систем на плоскости, находящихся в магнитном поле: массивов квантовых точек и квантовых колец, причем впервые для моделей такого типа учитывалась не только однородная составляющая магнитного поля, но и поле, создаваемое периодической системой соленоидов Ааронова-Бома.

3. Проведено аналитическое и численное исследование структуры спектра построенных гамильтонианов. Получены условия, налагаемые на величину магнитного потока, которые определяют зонную или канто-ровскую структуру энергетического спектра. Доказано появление в рассматриваемых системах собственных значений, погруженных в непрерывный спектр, и вырожденных подзон. Построены диаграммы поток-

энергия.

Положения, выносимые на защиту.

1. Найдены все самосопряженные расширения одного класса симметрических операторов, из них выделено расширение по Фридрнхсу, которое можно считать гамильтонианом двумерного квантового кольца, . находящегося в однородном магнитном поле в присутствии соленоида Ааронова-Бома, и исследован спектр этого гамильтониана.

2. Построены операторы энергии двух квантовых систем, находящихся во внешнем однородном магнитном поле: гамильтониан Яагг периодического массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома и гамильтониан Н,\ периодической системы квантовых колец Ааронова-Бома.

3. Для случая, когда поток однородного поля через элементарную ячейку кристаллической решетки системы рационален, получено разложение гамильтониана Нагг в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций, найден спектр слоя этого разложения над произвольной точкой тора квазним-пульсов. Доказана зонная структура спектра оператора Нагт, построены диаграммы поток-энергия.

4. В случае квадратной решетки доказана фрактальная структура спектра оператора Нагг для почти всех иррациональных значений потока. Доказано существование у оператора Натт собственных значений, погруженных в его непрерывный спектр.

5. Для случая рационального потока и квадратной кристаллической решетки получено разложение гамильтониана На в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций, найден спектр слоя этого разложения над произвольной точкой тора квазиимпульсов. Доказана зонная структура спектра оператора На, получена оценка на количество подзон в каждой зоне.

6. Доказано существование при целом потоке у гамильтониана На вырожденных подзон (локализованных состояний).

Практическая значимость. Работа носит теоретический харак-

тер. Полученные результаты могут представлять интерес как для специалистов по квантовой теории твердого тела, так и для специалистов по спектральной теории самосопряженных операторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Материал работы, изложенный на 179 страницах машинописного текста, включает 19 рисунков и список литературы, содержащий 112 наименований.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на четвертой международной конференции по разностным уравнениям и их приложениям (Познань, 1998 г.), на международной конференции "Физика на пороге 21 века" (Санкт-Петербург, 1998 г.), на • научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998, 2000 гг.), на международной конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1998, 2000 гг.), на II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции "Проблемы физико-математического образования в ВУЗах России" (Уфа, 1997 г.), на второй международной научно-технической конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики" (Саранск, 1999 г.), на региональной научно-практической конференции "Критические технологии в регионах с недостатком природных ресурсов" (Саранск, 1999 г.), на конференциях молодых ученых Мордовского госуниверситета (Саранск, 1996-1998 гг.), на Огаревских чтениях (Саранск, 1998-2000 гг.).

Личное участие автора. Исходные теоретические положения разработаны совместно с В.А. Гейлером. Доказательство основных теорем, численные расчеты и анализ результов проведены автором'самостоятельно.

Публикации. Основные результаты работы отражены в двадцати публикациях.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности теми диссертации, дается краткий обзор работ по ее тематике, формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер, в ней описывается используемый нами в дальнейшем метод построения и спектрального исследования явноре-шаемых решеточных моделей "с внутренней структурой", который был предложен U.C.Павловым. Гамильтониан периодической системы, находящейся в однородном магнитном поле, строится с помощью формулы М.Г.Крейна для резольвент теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Для анализа спектра построенного гамильтониа используется гармонический анализ на так называемой дискретной группе магнитных трансляций, которая является группой инвариантности этого оператора.

Во второй главе рассматривается симметрический оператор И° = g

m€Z

/'„*', где /if' - тождественный оператор в натянутом на функцию е'т" одномерном пространстве Lm, а действующий в /.2(R+,pdp) оператор llm с областью определения C,f (R+) имеет следующий вид:

Нш = ---¡ГРтг +--2-+ "Р + —("» + Ф),

р ар Ор р' 2

где параметры Ф. 0Oi а и ыс могуз быть любыми действительными неотрицательными

числами. Нетривиальные самосопряженные расширения имеют лишь парциальные

операторы //т, для которых 0 ^ (т + Ф)2 + /?0 < 1. Эти расширения описываются

теоремой 2.6.

Теорема 2.6. Пусть цт = у/{т + Ф)2. + fl0. П = Ау/â. При 0 ^ /im < 1 заданный r> l^(R+,pdp) оператор Нт с областью определения является положитель-

ным симметрическим оператором с индексами дефекта п+ = n_ = 1; дефектное пространство Л',{!!„) порождено функцией

гд>

-и>с(т + Ф)/2

П

При лпом справедливы следующие утверждения.

1. Граничная тройка оператора Н^ может быть определена а виде {С, Г1, Г2 где операторы 1'ьГ2 : L7(R+,pdp) С, заданы следующими формулами:

/у i д г и v о ■ ' i i l и \ i i L^

I,

Pío

Г^ = если 0 < fim < 1,

;сли 0 < /лт <1,

îm (V1п tf - ^ (^f)) , если „т = О,

r2v =

lim2/iтр"тЧ> (I • если О < um < 1, oio \ 4 J

,■ 2 - (üf> \

lim p <p —— I, если цт = О; pío \ 4 /

. 2. Соответствующая функция Вейля Mm(z) бычис-иста по формуле (?)

Л/„(г) =

Г((1+^п)/2-5) 1

-----h — при 0 < /jm < 1,

2Г(Рт + 1) Г((1 — /ím)/2 - г) ^ (v>(l/2 - ?) + ln j + 2Се) при /im = 0.

3. При фиксированном г функция Мт(г) непрерывна по параметру /1т, 0 ^ /;т < 1;

4. Всякое самосопряженное расширение Ят>« оператора Нт характеризуется условиями: ф 6 Х>(//т,() тогда и только тогда, когда у € и

Г,¥> = в 6 М;

при в — оо граничное условие приобретает вид Г= 0, то есть

Нтр"шч> = 0 при 0 < < 1,

limpV ( —— ) = 0 при цт = 0;

flO 1/11

5. Расширение Нт ао является расширением по Фридрихсу.

Здесь Ф(а,с; х) - вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми, Г(х) Г-функцня Эйлера, ф(х) - логарифмическая производная функции Г(х), С/; - постоянная Эйлера. Теорема 2.8 определяет в пространстве ¿2(Ш2) самосопряженный оператор который можно считать гамильтонианом находящегося в однородном магнитном поле-одиночного квантового кольца с вихрем Ааронова-Бома Ф.

Теорема 2.8. Обозначим через Нт действующий в пространстве 1,7(К±,р<1р) самосопряженный оператор, определенный следующим выражением:

fj _ í //m.«,, если 0 < Рга I //т. б остальных <

где операторы //т оо определены в теореме 2.6. Тогда оператор IId,

:0<рт = (т + Ф)2 + Л,<1,

: случаях,

1Ъ = 52ант®&\

будет самосопряженным оператором в Ь2(М.2).

Спектр оператора Нл описывают теоремы 2.9 и 2.10.

!)

Теорема 2.9. Числа

т = 0, ±1, ±2,...; п = 0,1,2,...,

образуют полный набор собственных чисел оператора Нд. Соответствующие им нормированные собственные функции /т„ в поларной системе координат имеют следующий вид:

где ¿'""'(х)

- полином Лагерра-Сонина степени п. Теорема 2.10. Справедливы следующие утверждения.

1. Пусть во =■ 0, с^'о = 0. Если Ф $ Z, то спектр Н* -чисто точечный и состоит из собственных чисел Етп, которые бесконечно вырождены, если гп < — Ф, и имеют конечную кратность ь противном случае. Если Ф € 2, то все Етп бесконечно вырождены.

2. Если ¿¿о ф 0. то спектр Пд дискретный и состоит из собственных чисел Ет„ конгчной кратности.

Если а?о = 0. но /?0 ф 0. то спектр ¡{д состоит из собственных чиал конечной кратности и из точек вида и:с(п + 1/2), каждая из которых явлмтся предельной точкой спектра ¡{¿. Таким образом, в этом случа1

1/2) : п = 0,1,...}.

^„(/Л,) = : т 6 г.п = 0.1----} \<т„5(/?й).

1! первом параграфе третьей главы строится гамильтониан //згг периоднческо-ю массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома, который находится во внешнем однородном магнитном поле. Заметим, что квантовая точка является предельным случаем рассмотренного во втором главе квантового кольца при нулевом внутреннем радиусе. В нашем случае

¡г" = г /<г>) е »/<Г>) Ф( £ ® £е"т к цА ,

ч-у6г / \-»£г / \т/т,.т2 ->€г /

где т, = — [Ф], т2 = — [Ф] —1. Отметим, что мы рассматривали только случай нецелого потока Ааронова-Бома Ф, так как гамильтониан Я0" при Ф 6 2 унитарно эквивалентен изученному в работах Б.С.Павлова, В.А.Гейлера и И.Ю.Попова оператору II"" с нулевым потоком Ф.

Во втором параграфе мы исследуем спектр построенного гамильтониана. Дал«' везде символом Г] будем обозначать поток внешнего однородного магнитного поля через элементарную ячейку векторов трансляции системы. Если 1) = Л/Л/, где Л" н Л/ взаимно простые числа, то через Т^ будем обозначать двумерный тор, полученный склеиванием прямоугольника [0, Л/"1) х [0,1). В случае рационального потока г; для анализа спектра операторов } = 1,2, мы разлагаем унитарно эквивалентные им

операторы в прямые интегралы операторов над тором Т^,

"К) =

т;

Пусть Г = Л + К, где К = {«1,..., кд }. Спектр оператора Н^'^(р) над произвольной точкой р 6 Т^ описывает теорема 3.2.

Теорема 3.2. Пусть точка р, р £ Т^, фиксирована. Если поток г) внешнего однородного магнитного поля через элементарную ячейку решетки Л рационален, г) = Л/Л/, то спектр оператора ] — 1,2, дискретный и состоит из собственных зна-

чений р), п 3: 0. Собственное подпространство оператора //^¡(р), соответ-

ствующее собственному значению е1Г'\р), есть образ подпространства Л^т''(р),

*<-'>(р) = Кег р(га,,(£^>(р)) - ЖР)] , , под действием инъективного отображения

(Р; £1т,,(р)) : См ® См ® /2(К) -> См 0 См ® 1\К) ® ¿2(К+,М>);

сл<довательно, каждое собственное значение Епт'\р) вырождено с кратностью ¿„"''(р). где &т'

ЧР) ~ размерность по дпространства р) в См ® Си ® /2(К).

Сгруппируем собственные числа £^т,'(р), п ^ 0, в серии £>'1™}\р) С = 0,1,...; к 6 К;» = 1,..., Л/) таким образом, чтобы выполнялись неравенства:

-ос < £&!,(Р) <... < Д,(Р) < Ет„„ < Ет,л < ¿I™;!,(Р) < ^ ¿1™«;!М(Р) < ■ • -00 < £&>» < • < Е££м(р) < Ет„о < Ет„, < Р) < ^ М(Р) < ...

Одним из главных результатов второго параграфа и всей работы является теорема 3.4, описывающая спектр оператора Н"Т в случае рационального потока г) однородной составляющей магнитного поля.

Теорема 3.4. Пусть решетка Г векторов трансляций имеет вид Г — Л+К, [К| = А'. Обозначим т, = т3 + 1 = — [Ф]. Если поток ч внешнего однородного магнитного поля через элементарную ячейку решетки Л рационален, г) — N/M, то спектр оператора Н"г является существенным и не имеет сингулярно непрерывной компоненты. При этом а(Н°") распадается на две (возможно, пересекающиеся) части:

*(//"■••) = Е, и £2-'

1. Часть состоит из бесконечно вырожденных собственных значений Етп операторов //»„,, = £®/?т,

76Г

„ п |т + Ф| + 1 + 2п й

¿тп = П'---+ —(т + Ф),

где п ^ 0, т ^ т1,тг.

2. Зонная часть спектра состоит из зон = и /¡т'\ причем С

(£т,,(-1, Ет>,{) для всех 1^0. Каждая зона /'т'' разбивается на К подзон

(атомных подзон): = У Каждая подзона ¡¡™'\ в свою очередь,

кек '

(т ) М (т

разбивается на М дополнительных подзон (магнитных подзон): /( ™ = и ,

= {Е}%'(р) : р € Т?}, а совокупность чисел {^'(р) : к 6 К,1 = 1,... ,Л/| является множеством всех решений дисперсионного уравнения

^^ [<?(»,)(С) - Жр)] =0- -

лежащих на отрезке (Ет,,1-11 Ет,,1). Подзоны одной зоны т^ могут перекрываться: некоторые из них могут вырождаться в точку.

Зонная часть спектра оператора ЯаГГ во втором параграфе нами исследована численно; в качестве иллюстрации к теореме 3.-1 построены диаграммы "поток-энергия" зависимости спектра исследуемого гамильтониана от величины потока однородного поля.

В случае иррационального потока I/ спектр гамильтониана //"" описывается в теореме 3.5; если решетка векторов трансляции является квадратной, то для почти всех г] спектр имеет фрактальную структуру.

Теорема 3.5. Пусть решетка Г векторов трансляций системы является квадратной, Г = Л, и матрица (Л(А, А'))х,у£д оператора взаимодействия Л : /'(Л) /2(Л), А = й + Т, задается следующими соотношениями:

0(Л,Л') = а'<5хл.,

если Л = ±а!,±а2;

Г(А,0):

' " остальных случаях.

Га. «

\ 0, е

Обозначим ТП1 =т2 +1 = — [Ф]. Если поток г) внешнего однородного магнитного поля через элементарную ячейку решетки Л является иррациональным числом, то спектр оператора Н°" с константами связи а' и а является существенным и распадается на три (возможно, пересекающиеся) компоненты: а(Н"') = Е] У £3.

1. Часть Е) состоит из бесконечно вырожденнглх собственных значений Етп,

П|т + Ф|2+1+2"+|(т + Ф),

где п ^ 0, т ф т\,тг.

2. Чисть спектра состоит из множеств V,!™''. Е2 = (J К,'™'', гд(

„>0 1-1Л

образ множества а' + аЕ"1 под действием аналитической ветви л«™1' многозначной вещественно-аналитической функции = (Qo"'') • Каждое множество V„(mj) лежит внутри интервала (ßmji„_i, Emi,n); для почти всех иррациональных ij все множества vi"1'' являются канторовскими.

3. Часть Ез состоит из бесконечно вырожденных собственных значений Е„:„. j = 1,2, п ^ 0. Множество может быть пустым.

Здесь через Е" обощачен спектр хорошо известного дискретною оператора Хар-пера Для случая, когда кристаллическая решетка является квадратной, в теореме 3.6 доказано существование у оператора Н"Т собственных значений, погруженных в его непрерывный спектр.

Теорема 3.6. Пусть решетка Г векторов трансляции системы является квадратной, Г = А, и матрица (.4(А. А'))л,л'сл оператора взаимодействия А : /2(Л) -» /2(Л), А = D + Т, задастся следующими соотношениями:

D(A,A') = a'ixv,

T(A,0) = (Ö' е""Л = ±аь±а2;

( 0, в остальных случаях. Еели собственное значение Ет„ оператора №" не равно ни одному из собственных чисел Ет,,п, j = 1,2, п ^ 1, оператора //mj, то для любого числа о € R существует константа связи а' € R такая, что собственное число Ет„ погружено в непрерывный спектр оператора НаГГ.

В первом параграфе четвертой главы строится гамильтониан Пл помещенного в однородное магнитное поле периодического массива одномерных квантовых колец Ааронова-Бома. Эти одномерные кольца являются другим предельным случаем рассмотренного во второй главе квантового кольца при одинаковых внутреннем и внешнем радиусах.

Мы рассматриваем случай, когда решетка векторов трансляций.системы является квадратной, а поток щ внешнего однородного магнитного поля через элементарную ячейку пой решетки рационален. Тогда гамильтониан На унитарно эквивалентен опера юру На, который разлагается в прямой интеграл операторов по спектру неприводимых представления дискретной группы магнитных трансляций, На = J® Нл(р)<1р

Ti

Спектр оператора Ял(р) полностью описывает теорема 4.1, являющаяся основным результатом второго параграфа четвертой главы.

Теорема 4.1. Пусть р, р € Т2, зафиксировано. Если поток г} внешнего однородного магнитного поля через элемешпарную .ячейку решетки Л рационален, rj = N/M. то спектр оператора На(р) дискретный и состоит из двух непересекающихся частей.

1. Первую часть <7](р) составляет строго возрастающая последовательность {:s(р) ; s 0} всех решений А'„(р), n ^ 0, приведенного дисперсионного уравнения

det [<5о(0 -Do- f„(p)] = 0.

Если Г,(р) £ о(П°), то кратность числа ?,(р) в спектре оператора На(р) равна ,Um,(p), где т,(р) кратность точки £*(р) в последовательности (Еп(p))njo- Если -.(р) = для некоторого л ^ 0, то кратность числа £,(р) в спектре оператора П.а(р) равна Л/(гп,(р) + М) в случае, когда Ф 6 Z, п ф 0 и е„ является четким числом, и равна Mnta(p) в противном случае.

2. Если Ф - целое число, то вторая часть 0"2(р) состоит из тех собственных значений с„, п ф 0, оператора //°, которые не попадают в <Ti(p) и являются четными числами (напомним, что<сп = (т + Ф)2 для некоторого т € Z). Кратность точки £„. £„ 6 в спектре оператора Нл(р) равна Л/2. Если Ф то <т2(р) = 0.

Собственное подпространство Ь(Е) оператора На(р), соответствующее соб-ств( нному числу Е, можно описать следующим образом.

1. Если Е £ 1г(Н°), то L(E) является образом множества

Кег [q(E) - Ъ - Г(р)| с См ® См ® С4,

под действием отображения Г(Е) : См ® См ® С4 См ® См ® ¿2([0,2тг]).

2. Если Е = €п, то L{E) — Li 6> Л2. Здесь Lj - ортогональное дополнение векторов (¡^ g cit, ® I ^ А-1,Аг2 € Л/, I ^ / ^ 4, в собственном подпространстве L0(En) оператора Н°, соответствующем собственному значению £„. Еслиеп £ oi(p), то ¿2 = {0}. Иначе, пусть еп = е,(р) для некоторого s ^ 0. Тогда L2 является Мт,-мерным подпространством, принадлежащим ортогональному дополнению к подпространству 1°{еп) в пространстве Сл' $СМ ® L2([0,2rr]) (точное, описание L2 дано в доказательстве теоремы).

Структура спектра оператора ИА описывается теоремой 4.2. Эта теорема является основным результатом четвертой главы.

Теорема 4.2. Пусть решетка Л векторов трансляций является квадратной. Если поток rj внешнего однородного магнитного поля через элементарную ячейку решетки Л рационален, щ = .\/М, то спектр о(На) оператора На является сущсстынным и не имеет сингулярно непрерывной компоненты. При этом <т(На) состоит из двух частей: о(На) = Ei U "J-

1. Если общий поток Ф магнитного поля через кольцо является целым числом, то Е! состоит из тех и только тех бесконечно вырожденных собственных значений Ет = (m + Ф)2 оператора На, которые являются строго положительными четными числами. Если Ф Z, то Si = 0.

2. 'Зонная часть спектра состоит из зон Уц. У-\,... . /i...., лежащих ь интер.

валах (-оо,е3], [г0, е4], [е,,е5],... ,[£|,£j+4],... (зона Zq может быть пустой):

Z, = U 2'(р)-

per;

Каждая зона Zi, I ^ 1, разбивается на ft[, Л/ ^ ni ^ ЮЛ/, дополнительных "I в. / \

магнитных подзон: Zi = |J Zi., = 1J I (J Zi,,(p) I, где Zi,,(p) - множество всех i=i ,=i \p£Tj; ' /

лежащих в интервале решений приведенного дисперсионного уравнения

del [Qo(C) ~ А. - 7Ь(р)] = О,

^'.¡(р) = {£i,i(p) Р € Т2}. Для фиксированного значения р G Tjj каждая точка

из &2 вырождена с кратностью Л/.

Теорема 4.3 показывает, что в спектре о(На) могут также появляться собственные значения, не являющиеся точками спектра оператора 7/дв- Такие собственные значения возникают как постоянные решения (не зависящие от р € Т2) дисперсионно го уравнения, т.е. как вырожденные подзоны.

Теорема 4.3. Если г] является целым числом: г/ = N, то элементы подгоночной матрицы Do могут быть выбраны таким образом, что дисперсионное уравнение -<let[Qi](/v) — D0 — 7о(р)] = 0 имеет решение, не зависящее от р S TJ « параметра туннелирования Т.

В заключении кратко повторяются основные полученные результаты и дела к> ггя выводы из этих результатов

ВЫ1ЮДЫ

13 работе построены и исследованы самосопряженные операторы, которые можно считать молельными гамильтонианами периодических массивов квантовых точек и квантовых колец, находящихся во внешнем магнитном поле. В этих моделях впервые учитывается не 'только однородная компонеша магнитного ноля, в котором находи 1ся система, но и поле, создаваемое периодической системой соленоидов Ааронова-Бома

Основными результатами диссертации являются теоремы 3.4 и 4.2, описывающие зонную структуру спектра рассматриваемых операторов при рациональном потоке однородного магнитного поля, и теорема 3.5, доказывающая канторовскую структуру спектра массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома для почти всех иррациональных значениях потока в случае квадратной решетки.

Дополнительное численное исследование, проведенное для случаев квадратной и гексагональной решеток, позволяет сделать следующие выводы относительно структуры спектра массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома: 1) зоны спектра имеют наклон по направлению роста поля; 2) в случае гексагональной решетки и при

ненулевом потоке Ааронова-Бома происходит сгущение магнитных подзон; 3) для гексагональной решетки соответствующие атомные подзоны внутри одной зоны не перекрываются.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Geyler V.A., Popov A.V. Hofstadter butterfly for a periodic array оГ quantum dots // Integral methods in science and ingineering. Volume one: analytic methods. (Pitman Research Notes in Mathematics Series, 374). 1997. P. 74-78.

2. Geyler V.A., Popov A.V. Localization in a periodic system of the Aharonov-Bohm rings // Reports on Mathematical Physics. 1997. V. 42, N. 3. P. 74-78.

3. Гейлер В.А., Попов А.В. Спектр периодического массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, N. 12. С. 32.

4. Попов И.Ю. Гейлер В.А., Попов А.В. Локализация в системе связанные колец Ааронова-Пома // Физика твердого тела. 1999. Т. 40. N 5. С. 910-913.

5. Geyler V.A., Popov I.Yu., Popov A.V., Ovechkina A.A. Fractal spectrum of periodic quantum systems in a magnetic field // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. V. 11, N. 1-3. P. 281-288.

6. Попов А.В. Собственные значения, погруженные в зонный спектр для периодического массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома // Математическое моделирование. 2000. Т. 12, N. 3. С. 41-42.

7. Попов А.В. Спектральные свойства некоторых периодических систем в магнитном поле // Депонировано в ВИНИТИ от 30.03.1998. N 903-В98, 16 с.

8. Geyler V.A., Popov A.V. An explicitly solvable mode! with a periodic system of the Aharonov-Bohm vortices //IV International Conference of Difference Equations and Applications, abstracts - Poznan: Poznan University of Technology. 1998. P. 39.

9. Geyler V.A., Popov A.V. An explicitly solvable model with a periodic system of the Aharonov-Bohm vortices //IV International Conference of Difference Equations and Applications, extended abstracts - Poznan: Poznan University of Technology. 1998. P. 115-118.

10. Demidov V.V., Geyler V.A., Popov A.V., Grishanov E.N. Fractal structure for the periodic array of quantum dots // International Conference "Physics at the Turn on 21" Century", summaries - Санкт-Петербург. 1998. С. 50.

11. Гейлер В.Л., Попов A.B. Оператор Ландау, возмущенный гексагональной решеткой точечных потенциалов // Труды VIII научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" - Самара. 1998. С. 32-31.

12. Гейлер В.А., Попов A.B. Спектр периодического массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома // Труды III международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" - Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1998, С. 228-229;

13. Попов A.B. Спектр массива квантовых точек // Материалы II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции "Проблемы физико-математического образования". Часть II - Уфа: Изд-во Баш. ГПИ, 1997. С. 6061.

14. Попов A.B. Спектральные свойства периодических квантовых систем с.вихрями Ааронова-Бома в однородном магнитном поле // Тезисы докладов 1 конференции молодых ученых МордГУ. Часть II - Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1996. С. 25.

15. Попов A.B. Фрактальная структура спектра периодического массива квантовых точек в магнитном поле // Тезисы докладов II конференции молодых ученых МордГУ - Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1997. С. 7.

16. Попов A.B. Спектр периодического массива квантовых точек: рациональный поток // Труды III конференции молодых ученых МордГУ - Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1998. С. 12.

17. Попов A.B. Спектр кольца Ааронова-Бома // XXVII Огаревские чтения. Материалы научной конференции - Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 1998. С. 107- 10S.

18. Попов A.B. Спектр периодического массива квантовых колец в магнитном поле // Тезисы докладов И международной научно-технической конференции "'Проблемы и прикладные вопросы физики" - Саранск: Изд-во Морд. ГПИ, 1999. С. 133.

19. Демидов В.В., Гейлер В.А., Попов A.B., Гришанов E.H. Фрактальная структура спектра для периодического массива квантовых точек // Труды региональной научно;практической конференции "Критические технологии в регионах с недостатком природных ресурсов" - Саранск, 2000. С. 86-89.

20. Попов A.B. Собственные значения, погруженные в зонный спектр для периодической системы в магнитном поле // Труды X научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" - Самара: Изд-во Самарского ГТУ, 2000. С. 130-131.

Введение.

Обозначения.

Глава 1. Метод построения и исследования решеточных гамильтонианов с магнитным полем

§1. Построение решеточно-инвариантного гамильтониана

§2. Гармонический анализ решеточно-инвариантного оператора

2.1. Прямые интегралы гильбертовых пространств и операторов

2.2. Гармонический анализ D-инвариантных операторов (г] - рациональное число)

2.3. Гармонический анализ D-инвариантных операторов (rj - иррациональное число)

Глава 2. Двумерное квантовое кольцо в однородном магнитном поле с вихрем Ааронова—Бома

§1. Построение симметрического оператора Hd

§2. Индексы дефекта оператора Hd

§3. Построение самосопряженного оператора Hd

§4. Спектр и собственные функции гамильтониана Hd

Глава 3. Периодический массив квантовых точек с вихрями Ааронова—Бома в однородном магнитном поле

§1. Построение гамильтониана Нагг модели

§2. Спектральный анализ гамильтониана Нагг

2.1. Спектральный анализ оператора Р) ПРИ фиксированном р (рациональный поток г,)

2.2. Спектр гамильтониана Нагг при рациональном потоке rj

2.3. Спектр гамильтониана Нагг при иррациональном потоке rj.

2.4. Собственные значения, погруженные в непрерывный спектр гамильтониана Нагг

Глава 4. Периодический массив квантовых колец Ааронова-Бома в однородном магнитном поле

§1. Построение гамильтониана На модели

Задача описания поведения электрона под действием двумерного периодического потенциала (такой электрон называется блоховским) и внешнего магнитного поля в течение многих лет неизменно привлекает внимание как физиков (знание структуры спектра блоховского электрона необходимо для объяснения ряда важных эффектов в физике твердого тела, в частности, знаменитого квантового эффекта Холла [26]), так и математиков. Спектральный анализ возникающих при исследовании таких систем периодических возмущений операторов Шредингера с магнитным полем (операторов Ландау) является очень сложной математической задачей, которая полностью не решена до сих пор, хотя в этой области имеются фундаментальные результаты, среди которых упомянем работы С.П.Новикова [35], [36], Ж.Беллисарда [60], Б.Эльфера и Ж.Шостранда [91]—[93]. Для нетривиальных периодических потенциалов спектр оператора Ландау аналитически найти не удается, поэтому большой интерес представляют исследования явнорешаемых моделей периодических систем в магнитных полях. Изучение таких систем потребовало привлечения ряда современных математических теорий, включая методы алгебраической топологии, некоммутативной геометрии, геометрии фракталов, и, в свою очередь, привело к развитию этих методов [35], [53], [62], [67], [74], [95], [101]. Представляет интерес также аналитическое и численное исследование различных приближенных дискретных моделей периодических систем в магнитных полях (см. обзор [106] и ссылки в нем).

Основные черты сложной зависимости энергетического спектра заря-женнной частицы от потока магнитного поля были предсказаны М.Я.Аз-белем [3] и Я.Заком [112] в рамках квазиклассического приближения. В приближении сильной связи эта зависимость была численно получена Д.Р.Хофштадтером в [94] в виде знаменитой "бабочки Хофштадте-ра" - диаграммы "поток-энергия" для разностного оператора Харпе-ра, который является частным случаем "почти Матье" оператора [54]. Строгие математические результаты [58], [60], [62], [64], [91]—[93], [100],

108], доказывающие, при некоторых ограничениях, "канторовость" этой диаграммы, частично подтверждают гипотезу, что диаграммы поток-энергия для гамильтонианов периодических систем в магнитном поле имеют фрактальную структуру. Тем не менее, до настоящего времени не найдено доказательства этой гипотезы в общем случае. Поэтому для спектрального анализа как приближенных ([20], [57], [59], [63], [72], [88], [89], [90], [97], [102], [105], [111]), так и реалистических ([86], [99], [104]) гамильтонианов таких систем постоянно используются численные методы. Отметим, что при исследовании возмущения двумерного оператора Ландау периодическими потенциалами, использование даже таких простых потенциалов как Vo(cos(7nc/a) -f cos(iry/b)) или Vq cosu(ttx/a) cosn(тсу/Ь) ([99], [104]) не дает возможности контролировать точность приближения расчетных параметров к их истинным значениям.

Таким образом, весьма актуальной представляется задача построения математических моделей периодических квантовых систем, учитывающих как можно больше параметров, связанных с характером магнитного поля и с геометрией самой системы, с одной стороны, и допускающих строгое аналитическое описание структуры энергетического спектра и численный анализ с контролируемой точностью этого спектра с другой стороны.

Для экспериментального обнаружения фрактальной структуры спектра в обычном кристалле с линейными размерами элементарной ячейки решетки периодов порядка 0.1 нм необходимо создать магнитное поле около 105 Т, что технически недостижимо. Успехи микро- и нано-технологий последних десятилетий привели к созданию искусственных суперрешеток, в которых группой под руководством К. фон Клицинга впервые были получены экспериментальные подтверждения гипотезы о фрактальности спектра периодических систем в магнитном поле [109] (см. также [75], [87], [98]). Отметим, что подобную структуру спектра в настоящее время принято рассматривать как проявление квантового хаоса в электронных наноструктурах [110].

Целью настоящей работы является построение и спектральный анализ моделей двух типов таких искусственных суперрешеток: периодических массивов квантовых точек и одномерных квантовых колец с вихрями Ааронова-Бома, которые находятся во внешнем однородном магнитном поле. В предлагаемых нами моделях таких систем, в отличие от моделей в [20], [57], [72], [89], [97], [102], уравнение для спектра исследуемого гамильтониана при фиксированном значении квазиимпульса получено в аналитическом виде (другими словами, получены аналитические законы дисперсии), что позволяет строго математически описать качественную структуру спектра периодической системы и произвести с контролируемой точностью численный расчет зависимости спектра построенного оператора энергии от потока магнитного поля. Кроме этого, достоинством наших моделей является то, что с помощью теоретико-группового анализа получаемых гамильтонианов можно четко разделить влияние на структуру диаграммы поток-энергия характера магнитного поля и геометрии кристаллической решетки. Так как мы учитываем не только однородную компонента магнитного поля, но и поле, создаваемое периодической системой соленоидов Ааронова-Бома, то предлагаемые модели можно рассматривать, как обобщение моделей массивов квантовых точек и антиточек, исследованных в [76], [78], [79].

Перейдем теперь к систематическому обзору диссертации по главам.

Первая глава диссертации является вспомогательной, в ней описывается используемый нами в дальнейшем метод построения и спектрального исследования явнорешаемых решеточных моделей "с внутренней структурой", который был предложен Б.С. Павловым в [37], [38] и развит в [80]. Гамильтониан периодической системы, находящейся в однородном магнитном поле, строится с помощью формулы М.Г.Крейна для резольвент теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Для анализа спектра построенного гамильтониана используется гармонический анализ на так называемой дискретной группе магнитных трансляций, которая является группой инвариантности этого оператора.

Во второй главе рассматривается симметрический оператор Н^ — iffl, где iffl - тождественный оператор в одномерном проmeZ странстве, натянутом на функцию егт(р, а действующий в L2(R+, pdp) оператор Нт с областью определения Со°(М+) имеет следующий вид: 1 д д (т + Ф)2 + Д) 2 шс,

Нт =--7ГР1Г+ -9-— + m + Ф , pop др р2 2 где параметры Ф, а и а;с могут быть любыми действительными неотрицательными числами. В теореме 2.6 в терминах пространств граничных значений описаны все нетривиальные расширения парциальных операторов Нт, среди них выделено расширение по Фридрихсу. Теорема 2.8 определяет в пространстве Ь2(Ш2) самосопряженное расширение Hd оператора которое можно считать гамильтонианом находящегося в однородном магнитном поле одиночного квантового кольца с вихрем Ааронова-Бома Ф. Структуру спектра оператора Hj описывают теоремы 2.9 и 2.10. Отметим, что на физическом уровне строгости гамильтониан Hd рассматривался в [65], где найден его спектр; в частном случае ($0 = а = шс = 0) строгое математическое исследование оператора Hd проводилось в [68], [96] (см. также [71]). Основными новыми результаты второй главы являются теоремы 2.6, 2.8 и 2.10.

Главы 3 и 4 являются центральными в диссертации и содержат ее основные результаты. Здесь рассматриваются математические модели периодических систем, состоящих из объектов, представляющих собой два различных предельных случая описанного во второй главе двумерного квантового кольца: квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома (внутренний радиус двумерного кольца равен нулю) и одномерных квантовых колец Ааронова-Бома (внутренний радиус двумерного кольца равен его внешнему радиусу).

В третьей главе мы строим и исследуем гамильтониан периодического массива квантовых точек, который находится во внешнем однородном магнитном поле В, причем внутри каждой квантовой точки сосредоточено дополнительное магнитное поле, являющееся суперпозицией однородной составляющей Во и поля, создаваемого проходящим через центр этой точки соленоидом Ааронова-Бома. В первом параграфе мы получаем решеточно-инвариантный самосопряженный оператор Яагг, который можно считать оператором энергии нашей модели. Во втором параграфе исследуется спектр построенного гамильтониана. В случае рационального потока г/ внешнего однородного магнитного поля через элементарную ячейку решетки Браве кристаллической решетки оператор Нагг разлагается в прямой интеграл операторов по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций. Теорема 3.2 описывает структуру спектра слоя Я"агг(р) этого разложения над произвольной точкой р тора квазиимпульсов. Теоремы 3.4 и 3.5 описывают спектр рассматриваемого гамильтониана при, соответственно, рациональном и иррациональном потоках г]. Нами показано, что в случае рационального г) спектр оператора является зонным (состоит из зон, разделенных на магнитные и атомные подзоны), а для почти всех иррациональных г] - имеет фрактальную структуру (содержит объединение канторовских множеств). В теореме 3.6 доказано существование у оператора Нагг собственных значений, погруженных в его непрерывный спектр. Также во втором параграфе представлены результаты численного анализа спектра оператора Нагг для случаев квадратной и гексагональных кристаллических решеток. Итак, основными новыми результатами третьей главы и одними из центральных результатов диссертации являются теоремы 3.2, 3.4, 3.5 и 3.6.

В четвертой главе рассматривается модель периодического массива одномерных квантовых колец, помещенных во внешнее однородное магнитное поле В, для случая, когда решетка векторов трансляций системы является квадратной. Как и в третьей главе, мы считаем, что внутри каждого кольца сосредоточено дополнительное магнитное поле, являющееся суперпозицией однородной составляющей Во и поля, создаваемого проходящим через центр этого кольца соленоидом Ааронова-Бома В первом параграфе строится гамильтониан На исследуемой системы, во втором параграфе исследуется его спектр, для чего, как и в третьей главе, оператор На разлагается в прямой интеграл операторов по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций (для этой модели мы рассматриваем только случай рационального потока г]). Спектр слоя оператора На(р) над произвольной точкой тора квазиимпульсов описывается в теореме 4.1. В теореме 4.2 показано, что спектр гамильтониана На имеет зонную структуру (состоит из зон, разделенных на магнитные подзоны). Также в теореме 4.2 показано, что если общий магнитный поток через кольцо является целым числом, то в спектре оператора На сохраняются некоторые энергетические уровни одиночного кольца Ааронова Бома. В случае целого потока ту, согласно теореме 4.3, в спектре гамильтониана На могут присутствовать вырожденные подзоны (локализованные состояния). Заметим, что изученную модель периодической системы одномерных колец можно рассматривать как предельный случай периодического массива квантовых антиточек; гамильтониан этого массива был построен и изучен Б.С.Павловым, В.А.Гейлером и И.Ю.Поповым в [79]. В этой работе была предложена интерпретация структуры полученного энергетического спектра; эту интерпретацию можно применить и для нашей модели. Уровням одиночного кольца соответствуют состояния, локализованные в отдельном кольце (т.е. классически им соответствуют траектории движения, полностью лежащие в данном кольце). Точкам непрерывного зонного спектра соответствуют пропагаторные состояния, делокализованные в периодическом массиве колец. Наконец, вырожденным зонам соответствуют "блуждающие" замкнутые траектории, охватывающие несколько колец массива. Итак, основными новыми результатами четвертой главы и одними из центральных результатов диссертации являются теоремы 4.1, 4.2 и 4.3.

В заключении кратко повторяются основные полученные результаты, делаются выводы из этих результатов и приводятся сведения об апробации работы.

Таким образом, на защиту выносятся следующие положения.

1. Найдены все самосопряженные расширения одного класса симметрических операторов, из них выделено расширение по Фридрих-су, которое можно считать гамильтонианом двумерного квантового кольца, находящегося в однородном магнитном поле в присутствии соленоида Ааронова-Бома, и исследован спектр этого гамильтониана.

2. Построены операторы энергии двух квантовых систем, находящихся во внешнем однородном магнитном поле: гамильтониан Нагг периодического массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома и гамильтониан Нд периодической системы квантовых колец Ааронова-Бома.

3. Для случая, когда поток однородного поля через элементарную ячейку кристаллической решетки системы рационален, получено разложение гамильтониана Нагг в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций, найден спектр слоя этого разложения над произвольной точкой тора квазиимпульсов. Доказана зонная структура спектра оператора НаГ1\ построены диаграммы поток-энергия.

4. В случае квадратной решетки доказана фрактальная структура спектра оператора Нагг для почти всех иррациональных значений потока. Доказано существование у оператора Нагг собственных значений, погруженных в его непрерывный спектр.

5. Для случая рационального потока и квадратной кристаллической решетки получено разложение гамильтониана На в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций, найден спектр слоя этого разложения над произвольной точкой тора квазиимпульсов. Доказана зонная структура спектра оператора Я^, получена оценка на количество подзон в каждой зоне.

6. Доказано существование при целом потоке у гамильтониана На вырожденных подзон (локализованных состояний).

Обозначения

На протяжении всей работы мы придерживаемся следующих обозначений: a¡, а2 некоторый (не обязательно ортонормальный) базис в IR2. Для векторов V, V Е 1R2, будем обозначать: vx, vy - координаты в стандартном базисе ех = (1,0), еу = (0,1); г>] , V2 - координаты в базисе ai, а2.

Стандартный базис в полярной системе координат (р,(р) мы будем обозначать через ер, ер = cos (рех + sin (реу, е^ = — sin срех + cos <реу. Если u,v G M2, то u A v обозначает стандартное симплектическое произведение векторов и и v: u A v = uxvy — vxuy.

Произвольная кососимметричная форма /3 в М2 имеет тем самым следующий вид:

3(х,у) = £х А у, где ( G I; если £ ф 0, то (3 - симплектическая форма. В физических приложениях £ будет числом квантов магнитного потока через единичную площадку в плоскости М2.

Пусть х и у - векторы из гильбертова пространства И, тогда их скалярное произведение, которое мы считаем линейным по второму аргументу, будем обозначать его через < х\у >.

При фиксированном базисе {ai,a2} в R2 символом А будем обозначать решетку, натянутую на векторы ai, а2:

А = {Aiai + А2а2 : АЬА2 6 Z}.

Через F\ будем обозначать базисную ячейку решетки Л:

Fa = {tiSLi + í2a2 : 0 < tut2 < 1}.

Символ N/M всегда будет обозначать некоторую несократимую дробь (ÍV>0,M>0).

Символом TT2 будем обозначать двумерный тор:

Т2 = S1 х §\ где S1 - единичная окружность. Чаще всего мы будем рассматривать Т2 как развертку квадрата Т2 = [0,1) х [0,1).

Если Tj = N/M, то символом Т2 будем обозначать двумерный тор, полученный склеиванием прямоугольника [О, М-1) х [0,1); таким образом, точки р тора Т2 - это пары чисел (pi,p2), где 0 ^ р\ < М^1, 0 ^ р2 < 1.

Если X - некоторое множество, то \Х\ будет означать мощность этого множества.

Через Lin {/i,., /„} будем обозначать линейное пространство, натянутое на функции /ь ., fn.

Если ж - действительное число, то через [ж] будем обозначать целую часть числа ж, а через {ж} - дробную часть числа ж, {ж} = ж — [ж]. Символом diag А мы будем обозначать диагональную матрицу А. Мы также будем придерживаться следующих стандартных в теории линейных операторов обозначений [5].

Для некоторого симметрического оператора А символ р(А) обозначает множество регулярных точек этого оператора; тогда сг(А) = С \ р(А) - спектр А и для всякого 2 G р(А) Ra(z) = (А — z)~l - резольвента оператора А. В случаях, когда из контекста будет ясно о каком операторе идет речь, мы будем писать просто R(z).

V(A) - область определения оператора А. jVz(A) - дефектное пространство оператора А: если z G р{А)1 то NZ{A) = Ker(A* -z). n+(A),n(A) - дефектные числа оператора А: если z G р(А), Im г > О, то п+(А) = áimMz(A), n(A) = dimAÇ(A). В случае, когда верхний и нижний индексы совпадают, п+(А) = п(А), будем обозначать их через п(А). В случаях, когда из контекста будет ясно о каком операторе идет речь, мы будем писать просто n+,n,n.

Если А = (aij)fj=1 - некоторая комплексная матрица, то А* будет

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13]-[15], [43]—[50], [69], [81]—[85], а также докладывались на четвертой международной конференции по разностным уравнениям и их приложениям (Познань, 1998 г.), на международной конференции "Физика на пороге 21 века" (Санкт-Петербург, 1998 г.), на восьмой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998 г.), на третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1998 г.), на II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции "Проблемы физико-математического образования в ВУЗах России" (Уфа, 1997 г.), на второй международной научно-технической конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики" (Саранск, 1999 г.), на региональной научно-практической конференции "Критические технологии в регионах с недостатком природных ресурсов" (Саранск, 1999 г.), на конференциях молодых ученых Мордовского госуниверситета (Саранск, 1996-1998 гг.), на Огаревских чтениях (Саранск, 1998,1999 гг.).

Заключение

В работе построены и исследованы самосопряженные операторы, которые можно считать модельными гамильтонианами двумерных массивов квантовых точек и квантовых колец, находящихся во внешнем магнитном поле. В этих моделях впервые учитывается не только однородная компонента магнитного поля, в котором находится система, но и поле, создаваемое периодической системой соленоидов Ааронова-Бома (это поле рассматривается как "внутренний" параметр системы квантовых объектов).

Операторы энергии рассматриваемых периодических систем строились как гамильтонианы решеточных моделей "с внутренней структурой" с использованием методов теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Для анализа спектра гамильтонианов моделей применялся гармонический анализ на дискретной группе магнитных трансляций.

Основными результатами диссертации являются теоремы 3.4 и 4.2, качественно описывающие зонную структуру спектра рассматриваемых операторов энергии при рациональном потоке однородного магнитного поля через элементарную ячейку векторов трансляций, и теорема 3.5, доказывающая канторовскую структуру спектра массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома для почти всех иррациональных значениях потока в случае квадратной решетки.

Также в работе доказано наличие у гамильтониана массива квантовых точек собственных значений, погруженных в его непрерывный спектр, а у гамильтониана системы квантовых колец - существование вырожденных подзон (локализованных состояний).

Дополнительное численное исследование, проведенное для случаев квадратной и гексагональной решеток, позволяет сделать следующие выводы относительно структуры спектра массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома:

1) зоны спектра имеют наклон по направлению роста поля;

2) в случае гексагональной решетки и при ненулевом потоке Ааронова-Бома происходит сгущение магнитных подзон;

3) для гексагональной решетки соответствующие атомные подзоны внутри одной зоны не перекрываются.

Все полученные в диссертационной работе результаты хорошо согласуются с принятыми в теоретической физике представлениями о формировании зон спектра периодической системы как результата расплыва-ния уровней атомов, лежащих в ячейке Вигнера-Зейца [28] и с недавними экспериментальными данными, касающимися исследования периодических систем в магнитных полях [75], [87], [98], [109].