Метод расщепления по физическим факторам в нестационарной задаче туннелирования электронов в квантовых кольцах

Брызгалов, Александр Анатольевич

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод расщепления по физическим факторам в нестационарной задаче туннелирования электронов в квантовых кольцах

кандидата физико-математических наук: Брызгалов, Александр Анатольевич
город: Обнинск
год: 2012
специальность ВАК РФ: 05.13.18
цена: 450 рублей

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Метод расщепления по физическим факторам в нестационарной задаче туннелирования электронов в квантовых кольцах»

Автореферат диссертации по теме "Метод расщепления по физическим факторам в нестационарной задаче туннелирования электронов в квантовых кольцах"

На правах рукописи

БРЫЗГАЛОВ АЛЕКСАНДР АНАТОЛЬЕВИЧ

Метод расщепления по физическим факторам в нестационарной задаче туннелирования электронов в квантовых кольцах

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

2 2 МАР 20(2

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Обнинск 2012

005013473

Работа выполнена в Обнинском институте атомной энергетики - филиале Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования - Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» на кафедре Общей и специальной физики.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент

Карманов Фёдор Иванович

Официальные оппоненты1.

доктор физико-математических наук, профессор

Комаров Вячеслав Викторович

доктор физико-математических наук, Мележик Владимир Степанович

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сургутскии государственный университет Ханты-Мансийского автономного округа - Югры»

Защита состоится « 18» апреля 2012 г. в /£_ часов 00 мин. на заседании диссертационно! о совета Д 212.130.09 при Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ», г. Москва, Каширское шоссе, 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ.

Автореферат разослан «#» марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета >7*«- гт АС

доктор физико-математических наук, профессор г\ // Леонов а.

аЛ-

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке и обоснованию экономичных численных методов решения нестационарного уравнения Шредингера. В работе рассматриваются вопросы построения численно-аналитических алгоритмов на основе принципа расщепления по физическим факторам, предлагается реализация этих алгоритмов в современных системах компьютерной математики, проводится сравнение точности и эффективности расчета при сопоставимых вычислительных ресурсах с существующими методами, применяемыми для решения уравнения Шредингера, приводятся примеры расчета характеристик модельных систем.

Актуальность темы диссертации. В современных условиях практически во всех областях знаний применяется математическое моделирование. Математические модели, которые детально описывают исследуемые реальные процессы, обычно достаточно сложны. Основные проблемы и сложность задач математической физики обусловлена их нелинейностью, многомерностью и наличием нескольких одновременно протекающих процессов, часто требующих разных временных масштабов для их анализа.

Получить точные аналитические решения таких задач удается лишь в некоторых исключительных случаях. В большинстве подобных ситуаций применяются приближенные, например, конечно-разностные методы. Для их эффективного использования копечно-разностные методы должны обладать основополагающими свойствами аппроксимации, устойчивости, сходимости и экономичности.

Эффективным средством приближенного решения многомерных задач математической физики являются методы расщепления. В их основе лежит процедура расщепления исходной многомерной задачи на несколько взаимосвязанных упрощенных задач, существенно облегчающих программирование, допускающих возможности распараллеливания и структурирования вычислений. Важный вклад в развитие методов расщепления начиная с 50-х годов прошлого века был сделан в работах A.A. Самарского, H.H. Янеико, Г.И. Марчука, С.К. Годунова, В.И. Агошкова, О.М. Белоцерковского, Ж.-Л. Лионса, Р. Рихтмайера, К. Мортона и др.

Для методов расщепления одним из основных положений является попятие суммарной аппроксимации многомерного уравнения системой одномерных уравнений, позволяющее производить расщепление не только по пространственным переменным, но и по отдельным физическим факторам, отражающим специфику задачи и выделяющим качественные особенности протекающих процессов.

Особенно интересной является ситуация, в которой расщепленные модельные задачи удается решить аналитически, хотя бы частично, а для оставшейся части получить численное решение. Как показывает опыт, получаемые при этом комбинированные численно-аналитические методы являются более эффективными и экономичными в сравнении с традиционными конечно-разностными схемами.

Примером такой ситуации является процедура решения нестационарного уравнения Шредингера. Подобный подход в задаче о движении свободного электрона в поле электромагнитной волны в сочетании с методом Галеркина для решения получившейся стационарной задачи предлагается, например, в работах Е.А. Волковой, А.М.Попова и А.Т. Рахимова.

В условиях нанотехнологической революции, охватившей в настоящее время многие отрасли науки и техники, огромное внимание уделяется исследованию физических и химических свойств низкоразмерных квантовых систем, глобул и кластеров. Эксперименты показывают зависимость физических свойств наноразмерных и мезоскопических объектов от размеров наночастиц и кластеров, но универсальная зависимость пока не установлена. Перспективы манипуляции с отдельными атомами и их группами при создании и получении новых конструкционных материалов, полупроводниковых приборов, устройств для записи и передачи информации открывают новые возможности и горизонты технологического прогресса. В этих условиях становится особенно актуальной возможность математического моделирования мезоскопических объектов с целью исследования их структуры, предсказания поведения в различных условиях, прогнозирования и оценки перспектив получения материалов с заранее заданными свойствами. Огромное количество научной литературы, посвященной математическому моделированию нанообъектов, указывает на актуальность изучения таких систем.

В диссертации рассматриваются низкоразмерные квантовые системы, такие как квантовые точки, кольца и проволоки, находящиеся в магнитном поле. Такого рода системы интересны как с фундаментальной точки зрения, как объекты, на которых можно проверить особенности макроскопических квантовых эффектов, например, эффект Ааронова-Бома и возможности существования незатухающих токов. Экспериментальные работы последних лет говорят о значительном прогрессе в создании подобных систем. В настоящее время удается получать как отдельные квантовые объекты, так и целые организованные конгломераты низкоразмерных систем. Тем не менее, неослабевающий интерес с точки зрения исследования квантовых явлений представляют именно отдельные «базовые» объекты, такие как квантовые точки и квантовые кольца.

Возможности практического использования такого рода систем связаны, например, с современными тенденциями микроминиатюризации элементной базы и созданием оптоэлектронных приборов, в которых передача сигнала осуществляется прохождением небольшой группы заряженных частиц или даже отдельных электронов. Как известно, процесс проникновения частиц сквозь соответствующие барьеры в нанокластерах - это процесс туннелирования, и исследование закономерностей такого процесса представляет безусловный интерес для разработки и проектирования оптоэлектронных приборов. Одной из модельных систем, рассматриваемых в данной работе, является система концентрических квантовых колец, помещенных во внешнее постоянное или переменное магнитное поле.

Моделирование передачи сигнала в подобных системах невозможно без временного описания процессов тунпелнровапия, что означает необходимость рассмотрения нестационарной задачи. В связи с этим, актуальными становятся исследования временной динамики волновых функций электронов в квантовых точках и квантовых кольцах. Созданию алгоритмов, позволяющих производить расчеты временной динамики с высоким уровнем точности, посвящена данная диссертация.

Предлагаемый подход основан на использовании потенциалов специфического типа, которые воспроизводят такие модельные низкоразмерные системы как квантовые точки и квантовые кольца, а также некоторые другие. Класс подобных потенциалов определяет стационарные задачи, относящиеся к точно-решаемым моделям. Используя этот факт, в некоторых случаях представляется возможным распространить предлагаемый подход на потенциалы с ограниченной областью определения, а также более сложные потенциалы, образованные комбинациями простых потенциалов квантовых колец и точек, с сохранением эффективности используемого метода.

«Двуямные» потенциалы как модельные широко используются в различных областях физики, химии, биологии и других наук, например, для расчета характеристик туннелировання и определения скоростей химических реакций, свойств радиоактивного распада. Наиболее изученными являются случаи, когда потенциалы как функции координат состоят из конечных или бесконечных наборов кусочно-постоянных функций или 5-функцпй Дирака. Аналитическое решение такой стационарной задачи на собственные значения для уровней энергии и волновых функций хорошо известно. Для решения стационарной задачи в остальных случаях (даже, когда потенциал составлен из двух парабол) вычислять собственные значения приходится, используя численные методы. Предлагаемое семейство схем расщепления для метода расщепления по физическим факторам в комбинации с разложением по базисным функциям стационарной задачи, несомненно, может быть использовано для моделирования временной динамики систем на основе «двуямных» потенциалов.

Проведение расчетов в квантовомехапичсских задачах в современных условиях часто проводится с использованием комплексов программ на основе существующих пакетов символьной математики, таких как МаЛСАБ или МаЛета^са. Несмотря на широкие возможности современных пакетов, для решения физически интересных задач туннслирования электронов в наноструктурах использования какого-то одного пакета недостаточно: требуется создание комбинированной системы или написание отдельного комплекса (кода) программ, ориентированного на задачи с указанной спецификой.

Цель работы и задачи исследования:

• Построение решения нестационарного уравнения Шредингера численно-

аналитическим методом расщепления по физическим факторам для

моделирования временной динамики волновых функций электронов квантовых колец.

• Модификация численно-аналитических методов на основе метода расщепления по физическим факторам для задач моделирования временной динамики волновых функций электронов квантовых колец, в том числе для случаев с конечной областью определения.

• Реализация алгоритма для получения наборов базисных функций для использования в методе расщепления по физическим факторам на конечном носителе.

• Разработка программного комплекса для расчетов временной динамики волновых функций электронов низкоразмерных квантовых систем.

• Демонстрация возможностей метода расщепления по физическим факторам на примере моделирования процессов туннелирования электронов в системе двух концентрических квантовых колец.

Основные результаты, выносимые на защиту:

• Модель управления туннелированием электронов между кольцами в системе двух концентрических колец с помощью магнитного поля.

• Семейство численно-аналитических схем для решения нестационарного уравнения Шредингера на основе метода расщепления по физическим факторам для задачи о туннелировании электронов в концентрических квантовых кольцах.

• Реализация алгоритма построения набора базисных функций с помощью вариационного метода для вычислений методом расщепления по физическим факторам в области конечного размера.

• Алгоритм и комплекс программ для расчетов временной динамики волновых функций электронов квантовых колец в переменном магнитном поле с использованием компьютерных систем символьной математики.

Практическая ценность результатов работы

• Разработанный подход на основе метода расщепления по физическим факторам является эффективным средством решения нестационарного уравнения Шредингера для модельных потенциалов квантовых точек и квантовых колец.

• Изучение временной динамики волновых функций электронов позволяет планировать и интерпретировать результаты экспериментов для низкоразмерных квантовых систем, находящихся в переменном магнитном поле.

Научная новизна работы

разностными методами, используемыми для решения уравнения Шредингера.

• Получены наборы собственных функций и собственных значений для задачи туннелирования электронов в системе двух концентрических квантовых колец, описываемой «двуямными» потенциалами.

• Впервые предложена модель управления туннелированием электронов в системе двух концентрических колец с помощью переменного магнитного поля.

Достоверность результатов обеспечивается:

• использованием фундаментальных физических законов, описывающих динамику поведения частиц в микромире;

• сопоставлением с известными результатами других авторов и соответствием известным частным решениям и промежуточным результатам;

• тестированием предлагаемого в работе метода на ряде модельных задач;

• аккуратным учетом точности воспроизведения значений имеющих место интегралов движения в процессе моделирования временной динамики волновой функции.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 7 российских и международных конференциях:

1) Региональная Студенческая Конференция «Математическое Моделирование», 18-19 мая 2006 г., г. Обнинск.

2) Международная конференция «Математическая физика и её приложения», 8-13 сентября 2008 г., г. Самара.

3) 2-я Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов «Информационные системы и технологии 2009», 15 мая 2009 г., г. Обнинск.

4) 2-я Всероссийская конференция «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях», 27-29 мая 2009 г., г. Москва.

5) 7-я Национальная конференция «Рентгеновское, Синхротронное излучения, Нейтроны и Электроны для исследования наносистем и материалов. Нано-Био-Инфо-Когнитивпые технологии», 16-21 ноября 2009 г., г. Москва.

6) Вторая международная конференция «Математическая физика и её приложения», 29 августа - 4 сентября 2010 г., г. Самара.

7) V Международная конференция «Математические идеи П. Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания», 14-18 мая 2011 г., г. Обнинск.

Личный вклад соискателя. Все результаты работы, выносимые на защиту, получены лично соискателем или при его непосредственном участии, а именно:

• реализованы расчеты временной динамики волновых функций электронов двумерных и трехмерных квантовых колец в переменном магнитном поле в программных комплексах Mathcad и Mathematica;

• разработан и реализован алгоритм построения базисов в системе Mathematica;

• рассчитаны собственные волновые функции и уровни энергии для систем, описываемых «двуямными» потенциалами, в магнитных полях с различными значениями напряженности с помощью системы Mathematica;

• на основе проведенных расчетов продемонстрирована возможность управления туннелированием электронов в системе двух концентрических квантовых колец с помощью магнитного поля.

Список научных публикаций. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 публикациях (включая 5 статей из списка ВАК) и докладах на российских и международных конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 158 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 117 наименований и 4 приложений.

Содержание работы

Во введении рассматриваются низкоразмерные квантовые системы как основные объекты исследований в области нанотехнологий, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются задачи исследования, связанные с нестационарной динамикой волновых пакетов и туннелированием электронов в процессе передачи сигналов в устройствах оптоэлектроники.

Первая глава посвящена обзору литературы. Рассматриваются как общие вопросы туннелирования, так и конкретные результаты расчетов характеристик туннелирования через низкоразмерные квантовые системы, моделируемых кусочно-постоянными потенциалами. Особое внимание уделяется квантовым кольцам и квантовым точкам.

Кроме вопросов туннелирования и описания моделей, воспроизводящих низкоразмерные квантовые системы, в этой главе описываются возможности вариационного метода для получения волновых функций электронов, двигающихся в потенциалах с компактным носителем, а также приводятся сведения о возможностях управления характеристиками процессов туннелирования в системах квантовых колец, использующих «двуямные» потенциалы.

Во второй главе рассматриваются методы решения смешанной начально-краевой задачи для нестационарного уравнения Шредингера вида (приводится уравнение с учетом выбора безразмерных величин и перехода к

цилиндрической системе координат, а также разделения радиальных и угловых переменных Ч^гДг) = у(г,/)ехр(/лг9) / %/2кг ):

■ Мг,0 [ дА 1 ,-„ А , . ( ^2

дг 4 г

2ап (I)

Ч/(Л„/) = у(Л2,/) = 0;

(1)

у(г,0) = ■ ехр

2а2

описывающего поведение невзаимодействующих электронов, находящихся в однородном переменном магнитном поле в области с потенциалом вида:

У(г) = а]/г1 + а2гг -У0.

(2)

Здесь применяются следующие обозначения: т - квантовое число углового момента, = -у/й/ (еН(1)) - магнитная длина, е - заряд электрона, Н(1) -медленно меняющееся магнитное поле; А0, Л], Лг> ст, а\, аг, Уо - некоторые параметры; Й - постоянная Планка, с - скорость света, / -мнимая единица.

Г(г) = а, / г2 / (й2 / (2ц)) + а2г2 / (й2 / (2ц))- К0 /(й2 / (2ц)) =

(3)

константы)

/ г + <52г~-К0,

где ц - эффективная масса электрона (0,067 це - массы электрона).

Потенциалы вида У(г) (а\, а2, Ко - положительные применяются для описания низкоразмерных квантовых структур различного типа:

• квантовое кольцо;

• квантовая точка;

• квантовая антиточка и др.

Для решения поставленной задачи предлагается несколько вариантов схем расщепления, отличающихся выбором базиса для решения стационарной задачи. Возможные варианты выбора базиса:

(а) базис из собственных функций стационарной задачи без учета

магнитного поля;

(б) набор собственных функций с учетом постоянного магнитного поля;

(в) варьируемый базис, состоящий из предварительно подготовленных

собственных функций с учетом переменного магнитного поля.

В случае (а) метод сводится к тому, что эволюция решения на временном слое М представляется как суперпозиция движения волнового пакета в эффективном потенциале и локального взаимодействия волны-частицы с переменным магнитным полем. В результате такого расщепления вместо одного уравнения получаются две упрощённые задачи:

1 д!

82 (а. -0.25 +/и2) . ,

"ТТ +-5-+ о2г -У0

дг г

8V д1

т г'

ап2(1) 4-ап\/)

где к = 1; 2; 3____На первом шаге, считаем, что:

V Со) = Ло ехР

(г-Я о) 2а2

2^1

(5)

(6)

В практических задачах, как правило, граничные условия задаются на внутреннем и внешнем радиусе квантового кольца (Я\ и Л2)- Однако в рамках данной модели принимаются значения = 0, а Я2 ~ со, что позволяет сохранить возможность получения аналитического решения стационарной задачи на собственные значения и соответствует случаю изолированного квантового кольца.

Решение в окончательном виде представляется в виде разложения по базису собственных функций задачи (4) - в нулевом магнитном поле, умноженному на решение задачи (5):

» оо ✓ ч(Л/0»)+1)/2

I ехр|

хехр(;т0)ехр| -~Е„^тЬл |хехр

'к

' 1 , ■ . ап2(1) 4апл(1)

(7)

где

: = г2/Х2, Д/ = 1к , М{т) = ^т2 +а], \ = со0). Из условия

ограниченности волновых функций следует требование обращения

гипергеометрической функции в полином, откуда получается следующая зависимость для уровней энергии:

£„>ш =(/7 + 1/2 + М{т)/2)Тт0-У0; я = 0;1;2;..., (8)

где со0 = л/8й2 / ц.

Базисные функции для вариантов схемы (б) или (в) получаются решением стационарной задачи Ну = , где гамильтониан Н выбирается согласно задаче (1). Каждому значению напряженности магнитного поля соответствует набор собственных функций вида:

ч(Д/(т|+1)/2

xexp(imO) ■ exp|^—~EnmM j, (9)

где z = r2 /I2, Al = tk -tk.x, M(m) = yjm2+5,, X = Jhc/(\iсо). Как и ранее, из

условия ограниченности волновых функций следует требование обращения

гипергеометрической функции в полином, откуда получается следующая зависимость для уровней энергии:

Ё„= (п +1 / 2 + М(т) / 2) Лео - т • Лсос / 2 - F0; /1 = 0; 1; 2;..., (10)

где od,, = 11-1 • юс=е//(г)/ц, ы =-/«о + cot2.

Тестовые расчеты в рамках метода расщепления по физическим факторам для базиса (а) и (б) дают хорошо согласующиеся результаты с аналитическим решением, получаемым прямым разделением переменных \\i(r,t) = R(r)T(t) в

отсутствии магнитного поля или в постоянном магнитном поле.

В случае переменного магнитного поля разделение переменных из-за наличия слагаемого, содержащего произведение (rH(t)), не удастся провести. В этой ситуации вариант схемы расщепления (в) показывает наилучшие результаты.

Отмстим, что в расчетных примерах, показанных в данной работе, суммирование по квантовому числу п производится по первым (не менее) 15 слагаемым; и анализируется поведение гармоник с фиксированным угловым моментом т.

Для дополнительного контроля получаемых результатов исходная задача (1) решалась численно. В первом варианте предлагалась конечно-разностная симметричная схема со вторым порядком аппроксимации по пространству и по времени. Решение системы конечно-разностных уравнений выполнялось с помощью метода прогонки. Выбранная симметричная схема обеспечивает унитарность выбранной аппроксимации эволюционного оператора с точностью до второго порядка по временному шагу в постоянном магнитном поле. Во втором варианте использовалась конечно-разностная схема с 5 порядком точности по пространству и вторым порядком точности по времени, основанная на использовании метода Нумерова в сочетании методом стрельбы.

Получаемые результаты с помощью использования схем расщеплепия (а), (б), (в), аналитического решения (для случаев нулевого и сильного магнитного поля) и численных методов согласуются между собой.

Предлагаемые схемы расщепления используют аналитическое решение на выбранном временном слое А/, что обеспечивает уровень точности более высокий, чем при использовании стандартных численных схем (см. таблицу 1). Кроме высокой точности расчетов и умеренности использования вычислительных ресурсов, метод расщепления по физическим факторам дает возможность применения выверенных алгоритмов из пакетов символьной математики, позволяет перейти к более широкому классу аналитически

интерпретируемых физически интересных задач, расширить возможности графического представления промежуточных и конечных результатов и сократить затраты времени на программирование, что в конечном счете, позволит повысить производительность труда.

Таблица /. Оценки времени расчёта и используемой памяти при

способ решения время расчёта размер массива данных

Н=0 Н=1 Тл H=H(f) Н =0 Н =1 Тл H=H(i)

симметричная схема 4с 8 с 17 (10) с 1120x200 т. 1400x400 т. 1120x200 т.

метод Нумерова 62 с 74 с 91 (10) с 1120x2000 т. 1400x2000 т. 700x3000 т.

метод расщепления по физ. факторам 20 (10) с 20 (15) с 20 (30) с 350x100 т. 350x100 т. 350x100 т.

Модуль А:

подготовка

вариационных

базисных

функций и

уровней

энергии для

случаев

областей

конечного

размера

Входной модуль: константы: зависимость напряженности магнитного поля от времени Н(г); выражения для волновых функций и уровней энергии(в численном или аналитическом виде)

\—

Расчетный модуль

| Задание разбиений по координате гг и времени f.

Определение .У или y(r, t;)

! Расчет спектральных коэффициентов С„

-j Расчетy\r,,t,.i)

Модуль Б:

подготовка

собственных

волновых

функций и

уровней

энергии для

случаев

двухъямных

потенциалов

Модуль выходных данных: набор , откуда производится расчет плотности вероятности Р\г! |у(/}

01'

Рис. 1. - Программный комплекс TiDyCal, предназначенный для расчетов временной динамики волновых функций.

Численно-аналитический метод расщепления по физическим факторам реализуется в программном комплексе TiDyCal (Time Dynamics Calculator). Общая структура комплекса представлена на рисунке 1. В качестве входных данных используются выражения для собственных волновых функций и уровней энергии, полученные как аналитическими, так и численными методами. Также задается зависимость напряженности магнитного поля от времени. После произведенных расчетов в качестве выходных данных выводится набор волновых функций на координатной сетке и последовательных временных шагах. Модули подготовки входных данных А и

Б были разработаны для случаев потенциалов с ограниченной областью определения и «двуямных» потенциалов, соответственно.

Разработанный подход применяется в расчетах со слабым, сильным и переменным (во времени) магнитным полем (рис. 2), что позволяет детально проанализировать взаимное влияние потенциала и магнитного поля на характеристики волновой функции и оценить достоинства, недостатки и погрешности применения метода в разных условиях.

Рис. 2. - К анализу поведения волновых функций в потенциале У(г) для различных значений Я. Левый столбец рисунков соответствует нулевому магнитному полю, центральный - сильному магнитному полю (104 Гс), правый - нарастающему магнитному полю (от 0 до 104 Гс). Показаны графики плотностей вероятности (карты изолиний и поверхности).

Для контроля погрешности используемых численных методов, а также метода расщепления по физическим факторам рассматриваются следующие величины:

2 Ri -,

= j |ц/(г)|~ dr - квадрат нормы волновой функции;

л,

Г я,

ч1/2

D =

Л^-^оИ-

разность

плотностей

вероятности.

;

характеризующая сохранение положения и формы волнового пакета через период колебаний в эффективном потенциале.

Симметричная схема и метод Нумерова, имеющие второй порядок точности аппроксимации по времени, не воспроизводят детали колебаний центра волнового пакета в магнитном иоле, а дают лишь описание общего характера колебаний в потенциале (рис. 3). В методе расщепления по физическим факторам наряду с колебаниями в потенциале воспроизводится и детальная динамика колебаний в магнитном поле.

380 390 400 410 380 390 400 410 380 390 400 410 г. нм г. нм г, нм

Рис.3. Траектории центра волнового пакета для случая Н= Ю4Гс. Слева: расчет по методу расщепления по физическим факторам; в центре: расчет с использованием симметричной схемы; справа: расчет по методу Нумерова.

В таблице 1 приведены данные о параметрах расчета (расчёты проводились на персональном компьютере с процессором AMD Duron 1300 Гц, ОЗУ 640 Мб в системе Mathcad 13), использованных в каждом из трёх вариантов выбора метода и уровня достижимой точности. Эти данные иллюстрируют возможности использования перечисленных методов с точки зрения затраченного на расчет времени и использованной памяти (размеры массивов). Согласно данным таблицы, затраты времени у всех методик сопоставимы и не представляют существенных ограничений, в то же время требуемый объём памяти существенно возрастает в расчетах с использованием численных схем. При фиксированном и сравнительно небольшом объёме оперативной памяти неоспоримые преимущества имеет метод расщепления по физическим факторам.

Кроме того, в результате проведенного сравнения было выявлено, что квадрат нормы волновой функции сохраняется при расчетах с массивами данных, представленных в таблице 1. Максимальное отклонение от единицы составляет 0,0002. Значения величины D в случае сильного магнитного поля

особенно велики для численных методов (до 0,19), в то время как метод расщепления по физическим факторам демонстрирует высокий уровень

точности 0<1СГ4.

На основе результатов работ В.А. Абилова, Ф.В. Абиловой и М. К. Керимова в диссертации проводится априорная оценка точности суммирования рядов Фурье в (7) и (9) и сопоставляется с апостериорной оценкой точности воспроизведения инвариантов: сохранения нормы волновой функции и воспроизведения профиля плотности вероятности при колебаниях в магнитном поле.

Кроме того, предлагается процедура использования метода для моделирования трехмерных квантовых колец. Приводятся примеры расчетов поведения частиц в исходном потенциале следующего вида:

У{г,2) = а]/г2+а2г2~У0 + а^2/ 2; ге(0;оо); 2 е (-со; со). (11)

Временная динамика волновых функций электронов трехмерных квантовых колец может быть проанализирована на основе расчетов для двумерных случаев. Следует отметить, что особую роль при интерпретации результатов играет взаимное расположение минимума эффективного потенциала, учитывающего влияние магнитного поля, и начальное расположение волнового пакета в потенциале.

В практически интересных задачах туннелирования электронов в наноструктурах для использования метода расщепления по физическим факторам необходимо переходить к потенциалам с ограничением пространственного движения частицы. В таком случае аналитическое решение получить уже не удается.

В третьей главе обсуждается процедура построения базисных функций для использования в методе расщеплепия по физическим факторам, что предполагает замену исходного потенциала потенциалом ограниченного типа:

„ , , \а,/г2+а2г2-Уи, ге[Л„Л2];

^(0= . . (12> [со, гй[Л„Л2].

Потенциалы такого рода описывают квантовые объекты с компактным носителем. С математической точки зрения это означает замену граничных условий в нуле и на бесконечности на условия на конечном интервале с сохранением формы потенциала в рассматриваемой области.

Предлагаемый подход основан на специальном выборе пробной функции

у™(аг) = х(т' схр

ЛХ2

-п,М(т) +1; , 2Х

(13)

для расчетов вариационным методом. При таком выборе пробной функции схема расщепления остается неизменной и сохраняется симметрия системы. Здесь а - вариационный параметр.

Энергия системы определяется согласно общим положениям вариационного метода:

Ятаг = тт|у*агЙутагс/т, (14)

где х - область определения волновой функции, Й - гамильтониан, выбранный согласно (1). Как обычно, в этом случае энергия будет специальным образом зависеть от вариационного параметра а. Вид подобных зависимостей для рассматриваемой задачи представлен на рисунке 4.

Для поиска вариационного параметра обычно применяется условие вида

8Е

= 0. Кроме того, волновая функция должна обращаться в нуль на

границах интервала. Такое поведение обусловлено запретом попадания частицы в недоступную область. Поэтому на рисунке 4 дополнительно отмечены интервалы значений а, использование которых сохраняет функцию утаг внутри допустимой области. Соответственно, минимальное значение а из отмеченной области будет являться искомым значением.

Рис. 4. - Зависимость энергии от вариационного параметра а для разных п для области с границами от 280 до 600 нм. Отдельно выделены интервалы, удовлетворяющие граничным условиям для волновой функции.

Важной характеристикой формируемого базиса является ортогональность волновых функций. Этого можно достичь, зафиксировав а для всех зависимостей ETiX{n,a). С ростом п пространственная область, занимаемая функцией vvar, существенно возрастает, так, что для некоторого (пта+1) граничные условия не будут удовлетворены ни при каких а. Поэтому необходимо установить значение nmax, а затем определить а из рассчитанной зависимости £var(wmax,а). Для зависимостей, показанных на рисунке 4, такими оптимальными значениями являются итах= 8, а = 0.956.

При использовании потенциала Уто(1 изменяется структура энергетических уровней. Она может быть согласована с применением вариационного базиса иа основе оптимального выбора вариационного параметра а. Возникающие изменения в структуре энергетических уровней иллюстрирует таблица 2. Наблюдаемые изменения в положениях уровней находятся в согласии с общей идеологией управления характеристиками квантовых систем, предлагаемой в работах Б. Н. Захарьева.

Таблица 2. Уровни энергии, полученные для разных размеров компактных систем. Для случая с граничными условиями в области от 280 до 600 нм может быть получено только 9 уровней энергии с помощью вариационного метода.

Н = 0 Гс //= 10J Гс

Гр. условия [0;») 200-1400 им [0;») 50-750 нм 230-550 нм 280-600 нм

п Е„.„ Е„г

0 0.2248 0.2248 85.4664 85.4664 86.6646 85.9357

1 0.6745 0.6745 87.2530 87.2530 88.4699 87.7296

2 1.1241 1.1241 89.0396 89.0396 90.2753 89.2536

3 1.5737 1.5737 90.8262 90.8262 92.0807 91.3175

4 2.0233 2.0233 92.6127 92.6128 93.8861 93.1115

5 2.4730 2.4729 94.3993 94.3993 95.6914 94.9054

6 2.9226 2.9226 96.1859 96.1859 97.4968 96.6994

7 3.3722 3.3722 97.9725 97.9725 99.3022 98.4933

8 3.8219 3.8219 99.7591 99.7591 101.1076 100.2872

9 4.2715 4.2715 101.5456 101.5457 102.9129 -

10 4.7211 4.7211 103.3322 103.3223 104.7183 -

И 5.1708 5.1708 105.1188 105.1190 106.5236 -

12 5.6204 5.6204 106.9054 106.9054 108.3292 -

Алгоритм расчета базисных функций (реализованный в модуле А,

показанном на рисунке 1):

1) Выбор пробной функции yvar(/?,ar).

2) Проверка граничных условий.

3) Поиск максимального значения п.

4) Для найденного ятах построение зависимости

£var Ках. а) = min Jv*v„rflVvar^ "

5) Нахождение а из уравнения

6) Расчет \|/var и Етт для п < итах-

Таким образом, используя полученные значения уровней энергии и соответствующие собственные функции, можно рассчитать временную эволюцию компактной системы.

В четвертой главе на примере «двуямного» потенциала демонстрируется работа квантового устройства, состоящего из двух концентрических квантовых колец и управляемого магнитным полем.

Если рассматривать «двуямный» потенциал в цилиндрической геометрии, то такая модель в определенной степени будет воспроизводить систему двух коаксиально расположенных квантовых колец.

Первый этап расчетов состоит в получении собственных волновых функций и собственных значений энергии для «двуямных» потенциалов вида:

ЩГ):

^+а2г2-У0, г<х0; г

(15)

где х0 - точка сшивки. Решение стационарного уравнения Шредингера производится согласно процедуре, описанной во второй главе. Значения уровней энергии для области, состоящей из двух потенциальных ям, находятся в результате численного решения нелинейных уравнений, получаемых из комплекса стандартных условий, накладываемых на волновую функцию. Для моделирования туннелирования электронов в таком потенциале в магнитном поле было подготовлено 22 набора по 36 собственных функций и значений энергии.

Рис. 5. - Избранные волновые функции электронов для слабого магнитного поля (слева) и сильного магнитного поля (справа).

Рис. 6. - Эффективный потенциал Щг) в слабом и сильном магнитном поле. Горизонтальными штриховыми линиями отмечены уровни энергии.

В процессе проведения вычислительных экспериментов в различных условиях были выполнены оценки качества полученных наборов базисных функций, их полноты и погрешностей, связанных с обрыванием рядов в разложениях по базисным функциям. Данный этап работы является наиболее трудоемким. Основные проблемы связаны с вычислением значений вырожденных гипергеометрических функций, входящих в состав базисных функций с высокими значениями квантовых чисел, в интегрированных математических пакетах. Рассчитанные волновые функции и уровни энергии представлены на рисунках 5 и 6.

Таким образом, чтобы воспроизвести временную динамику волновых функций электронов в «двуямном» потенциале и продемонстрировать возможности управления положением волнового пакета в подобной системе с помощью магнитного поля, необходимо решить задачу на собственные значения для представительного набора значений магнитного поля как параметров. Полученная таким образом совокупность наборов собственных значений энергии и базисных собственных функций может быть затем использована в методе расщепления по физическим факторам для решения нестационарного уравнения Шредингера.

Рис. 7. - Управление локализаций волновых функций электронов с помощью магнитного поля в потенциале (2).

На основе расчетов временной динамики можно сформулировать особенности процессов туннелирования в такой системе. Во-первых, система изначально предрасположена к туннелированию из внешнего во внутреннее кольцо, и с включением магнитного поля эта тенденция усиливается. Во-вторых, туннелирование волнового пакета более вероятно при наличии осцилляций в системе; чем больше амплитуда осцилляций, тем выше

вероятность туннелирования через барьер, разделяющий систему. В-третьих, вероятность туннелирования определяется формой эффективного потенциала и в значительной степени зависит от начальной точки движения волнового пакета.

Управление положением волнового пакета в пространстве можно продемонстрировать на примере стандартного «одноямного» потенциала квантового кольца вида V(r) с помощью переключения магнитного поля (рис. 7). В зависимости от желаемого результата, можно либо выводить волновой пакет из равновесного состояния, либо «гасить» колебания в системе, как с помощью включения, гак и выключения магнитного поля.

Таким образом, согласуя сведения о локализации волнового пакета в «одноямном» потенциале и данные о туннелировании в «двуямной» системе, моделируется управляемый перевод волнового пакета из внутреннего кольца во внешнее (рис. 8) и обратно. Полученные результаты свидетельствуют о достаточно хороших итоговых характеристиках: основная часть волнового пакета сосредотачивается в необходимой области пространства.

1 /| л <VWflb

Рис. 8. - Управляемое туннелирование электрона из левой части области действия «двуямного» потенциала в правую. Показаны слева: изменение напряженности магнитного поля во времени, плотностей вероятности нахождения в левой и правой части потенциала во времени, средней координаты центра волнового пакета во времени. Справа: плотность вероятности (трехмерный график); и карта изолиний.

В заключении сформулированы основные результаты работы, выносимые на защиту.

Основные результаты

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1) Смоделирована работа возможного квантового устройства, состоящего из двух концентрических квантовых колец и управляемого магнитным полем.

2) Предложено семейство специальных схем для метода расщепления по физическим факторам для решения нестационарной задачи туннелирования электронов в концентрических квантовых кольцах.

3) Для расчетов временной динамики волновых функций электронов низкоразмерных систем разработан программный комплекс ТЮуСа1.

4) На основе анализа полученных зависимостей энергии от вариационного параметра реализован алгоритм построения базиса для использования в методе расщепления по физическим факторам.

5) Разработан программный модуль для расчета собственных волновых функций и значений уровней энергии для «двуямного» потенциала при различных значениях напряженности магнитного поля.

Основные результаты диссертации опубликованы:

в журналах из Перечня ВАК'.

1. Брызгалов А. А. Метод расщепления по физическим факторам в задаче о временной динамике волновых функций электронов двумерного квантового кольца / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. // Математическое моделирование. -2010,- т.22, №6. - С. 15-26.

2. Брызгалов А. А. Построение базисных функций для вычислений методом расщепления по физическим факторам в области конечного размера / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. // Вычислительные методы и программирование. - 2010. - т.11. - С. 289-298.

3. Брызгалов А. А. Двумерное квантовое кольцо: влияние магнитного поля на временную динамику волновых функций электронов / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2010. - №3/2 -С. 31-36.

4. Брызгалов А. А. Временная динамика волновых функций электронов трехмерного квантового кольца в переменном магнитном поле / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. // Вест. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2011. -№1 (22).-С. 291-296.

5. Брызгалов А. А. Управление туннелированием в системе двух концентрических квантовых колец с помощью магнитного поля / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. // Вычислительные методы и программирование. - 2011,- т. 12. - С. 262-274.

в трудах российских и международных конференций:

1. Брызгалов А. А. Временная динамика волновых функций электронов двумерного квантового кольца при включении магнитного поля / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. // Тезисы докладов Региональной Студенческой Конференции «Математическое Моделирование», г. Обнинск ,18-19 мая 2006. -С. 4.

2. Брызгалов А. А. Временная динамика волновых функций электронов 2D квантового кольца в переменном магнитном поле / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. // Тезисы докладов «Международной конференции по математической физике и её приложениям», Самара, 8-13 сентября, 2008. -С. 41.

3. Брызгалов А. А. Влияние переменного магнитного поля на эволюцию волновых функций электронов двумерного квантового кольца / Брызгалов А. А. //Тезисы докладов 2-й Научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов «Информационные системы и технологии 2009», Обнинск, 15 мая 2009. - С. 48.

4. Брызгалов А. А. Двумерное квантовое кольцо: влияние магнитного поля па временную динамику волновых функций электронов / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. // Тезисы докладов 2-й Всероссийской конференции «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях». Москва, 27-29 мая, 2009. - С. 321-322.

5. Брызгалов А. А. Временная динамика волновых функций электронов трехмерного квантового кольца при воздействии магнитного поля / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. // Тезисы докладов 7-й национальной конференции «Рентгеновское, Синхротронное излучения, Нейтроны и Электроны для исследования наносистем и материалов. Нано-Био-Инфо-Когнитивные технологии», Москва, 16-21 ноября 2009. - С. 473.

6. Брызгалов А. А. Разработка и использование вариационного базиса в задачах с ограниченным движением частиц / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. И Материалы конференции «Математическая физика и её приложения». Вторая международная конференция (Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г.), Самара: Издательство "Книга", 2010. - С. 66.

7. Брызгалов А. А. Моделирование процессов туннелирования электронов в потенциале двух квантовых колец, находящихся в магнитном поле / Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. //Тезисы докладов. «Математические идеи П. JI. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания». V Международная конференция (Обнинск, 14-18 мая 2011 г.), Обнинск: ИАТЭ НИЯУ МИФИ, 2011.-С.17.

Заказ 561 Тираж 100 Объём 1 п.л. Формат 60x841/16 Печать офсетная

Отпечатано в МП «Обнинская типография» 249035 Калужская обл., г. Обнинск, ул. Комарова, 6

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Брызгалов, Александр Анатольевич

Введение

1. Туннелирование в низкоразмерных квантовых системах

1.1. Общие сведения о квантовом транспорте и туннелировании

1.2. Общие вопросы квантового моделирования.

1.3. Простейшая модель для описания процессов переноса заряда в квантовом кольце.

1.4. Интерференция резонансных состояний в квантовых кольцах

1.5. Результаты исследования моделей туннелирования.

1.6. Постановка задачи о временной динамике волновых функций электронов двумерного квантового кольца в переменном магнитном поле.

1.7. Вариационный метод как инструмент получения собственных функций для метода расщепления по физическим факторам

1.8. Управление локализацией волнового пакета в пространстве

2. Метод расщепления в задаче о динамике волновой функции электронов в квантовых кольцах

2.1. Стационарные состояния электронов в квантовых кольцах в постоянном магнитном поле.

2.2. Метод расщепления в задаче о движении волнового пакета в поле электромагнитной волны

2.3. Алгоритм метода расщепления по физическим факторам в задаче о временной динамике волновой функции.

2.4. Конечно-разностные схемы для решения нестационарного уравнения Шредингера.

2.5. Программный комплекс Time Dynamics Calculator (TiDyCal) для расчетов динамики волновых пакетов.

2.6. Расчеты временной динамики волновых функций и сопоставление результатов.

2.7. Оценки погрешности при использовании схем расщепления

2.8. Оценка сравнительной эффективности методов.

2.9. Временная динамика волновых функций электронов трехмерного квантового кольца в переменном магнитном поле.

3. Построение базисных функций для расчетов в областях конечного размера в методе расщепления по физическим факторам

3.1. Вариационный метод.

3.2. Алгоритм применения вариационного метода для расчетов собственных волновых функций.

3.3. Примеры расчета вариационного набора для метода расщепления по физическим факторам.

3.4. Решение нестационарного уравнения Шредингера для квантовой ямы с бесконечно высокими стенками в цилиндрической геометрии в магнитном поле.

4. Управление туннелированием электронов в концентрических квантовых кольцах

4.1. Решение задачи на собственные значения.

4.2. Некоторые особенности энергетической структуры в «двуямном» потенциале

4.3. Туннелирование волнового пакета в «двуямном» потенциале

4.4. Оценка количества собственных функций и собственных значений для расчетов туннелирования волнового пакета.

4.5. Управление положением волнового пакета в потенциале квантового кольца с помощью магнитного поля

4.6. Управление туннелированием в «двуямном» потенциале с помощью магнитного поля.

Введение 2012 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Брызгалов, Александр Анатольевич

Получить точные аналитические решения таких задач удается лишь в некоторых исключительных случаях. В большинстве подобных ситуаций применяются приближенные, например, конечно-разностные методы. Для их эффективного использования конечно-разностные методы должны обладать основополагающими свойствами аппроксимации, устойчивости, сходимости и экономичности.

Эффективным средством приближенного решения многомерных задач математической физики являются методы расщепления. В их основе лежит процедура расщепления исходной многомерной задачи на несколько взаимосвязанных упрощенных задач, существенно облегчающих программирование, допускающих возможности распараллеливания и структурирования вычислений. Важный вклад в развитие методов расщепления начиная с 50-х годов прошлого века был сделан в работах A.A. Самарского, H.H. Яненко, Г.И. Марчука, С.К. Годунова, В.И. Агошкова, О.М. Белоцерковского, Ж.-Л. Ли-онса, Р. Рихтмайера, К. Мортона и др.

Для методов расщепления одним из основных положений является понятие суммарной аппроксимации многомерного уравнения системой одномерных уравнений, позволяющее производить расщепление не только по пространственным переменным, но и по отдельным физическим факторам, отражающим специфику задачи и выделяющим качественные особенности протекающих процессов.

В условиях нанотехнологической революции, охватившей в настоящее время многие отрасли науки и техники, огромное внимание уделяется исследованию физических и химических свойств низкоразмерных квантовых систем, глобул и кластеров. Эксперименты показывают зависимость физических свойств наноразмерных и мезоскопических объектов от размеров на-ночастиц и кластеров, но универсальная зависимость пока пе установлена. Перспективы манипуляции с отдельными атомами и их группами при создании и получении новых конструкционных материалов, полупроводниковых приборов, устройств для записи и передачи информации открывают новые возможности и горизонты технологического прогресса. В этих условиях становится особенно актуальной возможность математического моделирования мезоскопических объектов с целыо исследования их структуры, предсказания поведения в различных условиях, прогнозирования и оценки перспектив получения материалов с заранее заданными свойствами. Огромное количество научной литературы, посвященной математическому моделированию нано-объектов, указывает на актуальность изучения таких систем.

В диссертации рассматриваются низкоразмерные квантовые системы, такие как квантовые точки, кольца и проволоки, находящиеся в магнитном поле. Такого рода системы интересны как с фундаментальной точки зрения, как объекты, на которых можно проверить особенности макроскопических квантовых эффектов, например, эффект Аароиова-Бома и возможности существования незатухающих токов. Экспериментальные работы последних лет говорят о значительном прогрессе в создании подобных систем. В настоящее время удается получать как отдельные квантовые объекты, так и целые организованные конгломераты низкоразмериых систем. Тем не менее, неослабевающий интерес с точки зрения исследования квантовых явлений представляют именно отдельные "базовые"объекты, такие как квантовые точки и квантовые кольца.

Возможности практического использования такого рода систем связаны, например, с современными тенденциями микроминиатюризации элементной базы и созданием оптоэлектронных приборов, в которых передача сигнала осуществляется прохождением небольшой группы заряженных частиц или даже отдельных электронов. Как известно, процесс проникновения частиц сквозь соответствующие барьеры в нанокластерах - это процесс туннелирова,-ния и исследование закономерностей такого процесса представляет безусловный интерес для разработки и проектирования оптоэлектронных приборов. Одной из модельных систем, рассматриваемых в данной работе, является система концентрических квантовых колец, помещенных во внешнее постоянное или переменное магнитное поле.

Моделирование передачи сигнала в подобных системах невозможно без временного описания процессов туипелироваиия, что означает необходимость рассмотрения нестационарной задачи. В связи с этим, актуальными становятся исследования временной динамики волновых функций электронов в квантовых точках и квантовых кольцах. Созданию алгоритмов, позволяющих производить расчеты временной динамики с высоким уровнем точности, посвящена данная диссертация.

Двуямные» потенциалы как модельные широко используются в различных областях физики, химии, биологии и других наук, например, для расчета характеристик туннелирования и определения скоростей химических реакций, свойств радиоактивного распада. Наиболее изученными являются случаи, когда потенциалы как функции координат состоят из конечных или бесконечных наборов кусочно-постоянных функций или ¿-функций Дирака. Аналитическое решение такой стационарной задачи на собственные значения для уровней энергии и волновых функций хорошо известно. Для решения стационарной задачи в остальных случаях (даже, когда потенциал составлен из двух парабол), вычислять собственные значения приходится, используя численные методы. Предлагаемое семейство схем для метода расщепления по физическим факторам в комбинации с разложением по базисным функциям стационарной задачи, несомненно, может быть использован для моделирования временной динамики систем на основе «двуямных» потенциалов.

Проведение расчетов в квантовомеханических задачах в современных условиях часто проводится с использованием комплексов программ на основе существующих пакетов символьной математики, таких как МаЬЬСАБ или Ма^ета^са. Несмотря на широкие возможности современных пакетов, для решения физически интересных задач туннелирования электронов в наноструктурах использования какого-то одного пакета недостаточно: требуется создание комбинированной системы или написание отдельного комплекса (кода) программ, ориентированного на задачи с указанной спецификой.

Цель работы и задачи исследования.

• Построение решения нестационарного уравнения Шредингера численно-аналитическим методом расщепления по физическим факторам для моделирования временной динамики волновых функций электронов квантовых колец.

Основные результаты, выносимые на защиту.

• Семейство численно-аналитических схем для решения нестационарного уравнения Шредингера на основе метода расщепления по физическим факторам для задачи о туинелировапии электронов в концентрических квантовых кольцах.

Практическая ценность результатов работы.

Научная новизна работы

• Предлагаемый набор численно-аналитических схем для метода расщепления по физическим факторам обладает более высокой эффективностью для рассматриваемого класса задач при сопоставимых вычислительных ресурсах по сравнению с традиционными конечно-разностными методами, используемыми для решения уравнения Шредингера. в Получены наборы собственных функций и собственных значений для задачи туннелирования электронов в системе двух концентрических квантовых колец, описываемой «двуямными» потенциалами.

• Впервые предложена модель управления туннелированием электронов в системе двух концентрических колец с помощью магнитного поля.

Достоверность результатов обеспечивается:

• использованием фундаментальных физических законов, описывающих динамику поведения частиц в микромире;

• тестированием предлагаемого в работе метода на ряде модельных задач;

• аккуратным учетом точности воспроизведения значений имеющих место интегралов движения в процессе моделирования динамики волновой функции.

Апробация работы, основные результаты работы докладывались на 7 российских и международных конференциях:

1. Региональная Студенческая Конференция «Математическое Моделирование», 18 - 19 мая 2006 г., г. Обнинск.

2. Международная конференция «Математическая физика и ее приложения», 8-13 сентября 2008 г., г. Самара.

3. 2-я Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов «Информационные системы и технологии 2009», 15 мая 2009 г., г. Обнинск.

4. 2-я Всероссийская конференция «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях», 27-29 ' мая 2009 г., г. Москва.

5. 7-я Национальная конференция «Рентгеновское, Синхротронное излучения, Нейтроны и Электроны для исследования паносистем и материалов. Нано-Био-Инфо-Когнитивные технологии», 16-21 ноября 2009 г., г. Москва.

6. Вторая международная конференция «Математическая физика и ее приложения», 29 августа - 4 сентября 2010 г., г. Самара.

7. V Международная конференция «Математические идеи П. Л. Чебыше-ва и их приложение к современным проблемам естествознания», 14-18 мая 2011 г., г. Обнинск.

• разработан и реализован алгоритм построения вариационного и комбинированного базисов в системе Mathematica;

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах (включая 5 статей из списка ВАК) и докладах на российских и международных конференциях.

Диссертационная работа изложена на 158 странице машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 117 наименований и 4 приложений.

Заключение диссертация на тему "Метод расщепления по физическим факторам в нестационарной задаче туннелирования электронов в квантовых кольцах"

Основные результаты, выносимые на защиту:

• Модель управления туннелированием электронов между кольцами в системе двух концентрических колец с помощью магнитного поля. в Семейство численно-аналитических схем для решения нестационарного уравнения Шредингера на основе метода расщепления по физическим факторам для задачи о туннелировании электронов в концентрических квантовых кольцах.

Заключение

Кратко подведем итоги и выделим основные результаты.

Среди результатов, полученных во второй главе, необходимо отметить: применение семейства специальных схем расщепления для решения задачи о временной динамики волновых пакетов в двумерном квантовом кольце в переменном магнитном поле; сравнение эффективности предложенного метода при сопоставимых вычислительных ресурсах с традиционными конечно-разностными методами, применяемыми для решения нестационарного уравнения Шредингера; разработку программного комплекса ТлОуСа1; расчет и анализ временной динамики волновых функций электронов дву- и трехмерных квантовых колец.

К основным результатам третьей главы необходимо отнести: построение алгоритма расчета собственных функций и собственных значений для стационарного уравнения Шредингера с конечными граничными условиями, что соответствует более реалистичному описанию низкоразмерных квантовых систем; непосредственный расчет базисов для ограниченных областей определения потенциала при воздействии магнитного поля; использование полученных наборов собственных функций и собственных значений энергии для описания временной динамики волновых пакетов.

Для моделирования туннелирования электронов в «двуямном» потенциале в магнитном поле было подготовлено 22 набора по 36 собственных функций и значений энергии.

На основе расчетов временной динамики, представленных в 4 главе, можно сформулировать особенности процессов туннелирования в такой системе. Во-первых, система изначально расположена к туннелированию из внешнего кольца во внутреннее, и с включением магнитного поля эта особенность усиливается. Во-вторых, туннелированис волнового пакета более вероятно при наличии осцилляций в системе; чем больше амплитуда осцилляций, тем выше вероятность тупнелирования через барьер, разделяющий систему. В-третьих, вероятность туннелирования определяется формой эффективного потенциала и начальной точкой движения волнового пакета.

Согласуя сведения о локализации волнового пакета в «одноямном» потенциале и данные о туннелировании в «двуямной» системе, был смоделирован управляемый перевод волнового пакета из внутреннего кольца во внешнее и обратно. Полученные результаты свидетельствуют о достаточно хороших итоговых характеристиках: основная часть волнового пакета сосредотачивается в необходимой области пространства.

Библиография Брызгалов, Александр Анатольевич, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Sun J. P., Haddad G. 1. , Mazumber P. and Schulman J. N. Resonant tunneling diodes: models and properties //Proceedings of the IEEE. 86, №4. 1998.641 - 661.

2. Smith S. G. Low-dimensional quantum devices //Rep. Prog. Phvs. 59. 1996. 235 282.

3. Датта С. Квантовый транспорт: от атома к транзистору. -М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". Институт компьютерных исследований, 2009.

4. Драгупов В. П., Неизвест,иый И. Г., Гридчин В. А. Основы наноэлектроники: учебное пособие. -М.: Логос. 2006.

5. Имри Й. Мезоскопическая физика: Перевод с английского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

6. Демиховский В. Я., Вугалътер Г. А. Физика квантовых низкоразмерных структур. М.: Логос, 2000.

7. Логосов В. В. Введение в физику зарядовых и размерных эффектов. Поверхность. Кластеры. Низкоразмерные системы. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

8. Шик А. Я., Бакуева Л. Г., Мусихин С. Ф. Рыков С. А. Физика низкоразмерных систем /Под ред. А. Я. Шика. Спб.: Наука, 2001.

9. Замараев К. И., Хайрутдинов Р. Ф., Жданов В. П. Туннелирование электрона в химии. Химические реакции на больших расстояниях. Новосибирск: Наука, 1985.

10. Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982.

11. Гольдаиский В. И., Трахтенберг Л. И., Флеров В. Н. Туннельные явления в химической физике. М.: Наука, 1986.

12. Razavy М., Quantum Theory of Tunneling. World Scientific: Singapore, 2003.13. de Aquino V. M., Aguilera-Navarro V. C., Goto M. and Iwamoto H. Tunneling time through a rectangular barrier// Phvs. Rev. A. 58, №6. 1998. 4359 4367.

13. Dodonov V. V., Klimov A. B. and Man'ko V.I. Low energy wave packet tunneling from a parabolic potential well through a high potential barrier //Physics Letters A. 220. 1996. 41 48.

14. Orellana P. , Claro F., Anda E. and Makler S. Self-consistent calculation of resonant tunneling in asymmetric double barriers in a magnetic field //Phys. Rev. B. 53, .№19. 1996. 12967 12972.

15. Goodvin G. L. and Shegelski M. R. A. Tunneling of a diatomic molecule incident upon a potential barrier //Phys. Rev. A 71. 2005. 032719.

16. Lee Y. J. Multichannel Resonant Tunneling of a Diatomic Molecule //Journal of the Korean Physical Society. 49, №. 2006. 103 110.

17. Voskoboynikov A., Liu S. S. and Lee C. P. Spin-depenclent tunneling in double-barrier semiconductor heterostructures //Phys. Rev. B. 59, 19. 1999. 12514 12520.

18. Mahadevan S., Prema P., Agarwalla S. K., Sahu B. and Shastry C. S. Resonance-like tunneling across a barrier with adjacent wells //Pramana -J. Phys. 67, №3. 2006. 401 -413.

19. Hatano N., Kawamoto T. and Feinberg J. Probabilistic interpretation of resonant states //Pramana J. Phys. 73, №3. 2009. 553 - 564.

20. Palomares-Baez J. P., Ivlev B. and Rodriguez-Lopez J. L. Enhanced tunneling through nonstationary barriers //Phys. Rev. A. 76. 2007. 052103.

21. Garcia-Calderon G. and Villavicencio J. Full-time nonexponential decay in double-barrier quantum structures //Phys. Rev. A. 73. 2006. 062115.

22. Штыгашев А. А. Распад стационарного состояния в решетке дельта-барьеров //Математическое моделирование. 2009. 21, №5. 67 76.

23. Lin Y.-M., Sun X., and Dresselhaus M. S. Theoretical investigation of thermoelectric transport properties of cylindrical Bi nanowires //Phys. Rev. B. 62, 7. 2000. 4610 4623.

24. Nardelli M. B. Electronic transport in extended systems: Application to carbon nanotubes //Phys. Rev. B. 60, 11. 1999. 7828 7833.

25. Benjamin I., Evans D. and Nitzan A. Asymmetric tunneling through ordered molecular layers //J. Chem. Phys. 106. 1997. 1291 1293.

26. Bondar D. I., Liu W.-K. and Ivanov M. Yu. Enhancement and suppression of tunneling by controlling symmetries of a potential barrier //arXiv:1006.0905v2. 2010. 1-10.

27. Popov A. M., Tikhonova О. V. and Volkova E. A. Strong-field atomic stabilization: numerical simulation and analytical modelling //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 36. 2003. 125 Ц 165.

28. Волкова E. А., Гридчин В. В., Попов, А. М., Тихонова О. В. Туннельная ионизация атома водорода в лазерном импульсе короткой и ультракороткой длительности //ЖЭТФ. 129, 1. 2006. 48 62.

29. Zhu J.-L., Wang Y. and Yang N. Two-electron states and their entanglement in a double-barrier nanoring //Phys. Rev. B. 73. 2006. 245303.

30. Saiga Y. and Hirashima D. S. Ground-state properties of quantum rings with a few electrons: magnetization, persistent current, and spin chirality //Phys. Rev. B. 75. 2007. 045343.

31. Li Y., Yannouleas C. and Landman U. From a few to many electrons in quantum dots under strong magnetic fields: properties of rotating electron molecules with multiple rings //Phys. Rev. B. 73. 2006. 075301.

32. Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Борисов А. В. Квантовая механика и макроскопические эффекты. М: Изд-во Моск. Ун-та, 1993.

33. Bayer М., Korkusinski М., Hawrylak P., Gutbrod Т., Michel М. and Forchel A. Optical detection of the Aharonov-Bohm effect on a charged particle in a nanoscale quantum ring //Phys. Lett. 90, 18. 2003. 186801.

34. Jiang Z., Han Q.-Z. Quantum coherent transport through a quadruple quantum-dot structure with one continuous channel and two concrete channels //Phys. Rev. B. 78. 2008. 035307.

35. Ivlev B. Tunneling in a magnetic field //Phys. Rev. A 73. 2006. 052106.

36. Wu J., Gu B.-L., Chen H., Duan W. and Kawazoe Y. Resonant tunneling in an Aharonov-Bohm ring with a quantum dot //Phys. Rev. Lett. 80, Ш. 1998. 1952 1955.

37. Solenov D. and Mozyrsky D. Metastable states and macroscopic quantum tunneling in a cold-atom josephson ring //Phys. Rev. Lett. 104. 2010. 150405.

38. Maiti S. K. Quantum transport in a mesoscopic ring: Evidence of an OR gate // Solid State Communications. 149. 2009. 1 5.

39. Citro R. and Romeo F. Aharonov-Bohm-Casher ring dot as a flux-tunable resonant tunneling diode //Phys. Rev. B. 77. 2008. 193309.

40. Manninen M., Reimann S-M. Electronic structure of quantum dots //Rev. Mod. Phys. 74, m. 2002. 1283 1336.

41. Овидъко И. А., Шейнерман А. Г. Наномеханика квантовых точек и проволок. -Спб.: "Янус", 2004.

42. Кашин С.М., Сатанин A.M. Динамическое туннелирование электронов через квантовую точку в условиях кулоновской блокады //Физика и техника полупроводников. 44, №11. 2010. 1563 1567.

43. Planelles J., Climente J.I., Rajadell F. Quantum rings in tilted magnetic fields //Physica E. 33. 2006. 370 375.

44. Fuhrer A., Luscher S., Ihn Т., Heinzel Т., Ensslin K., Wegscheider W. and Bichler M. Energy spectra of quantum rings //Nature. 413. 2001. 822 825.

45. Magarill L. I., Romanov D. A. and Chaplik A. V. Electron energy spectrum and persistent current in an elliptical quantum ring //JETP 83. 1996. 361 367.

46. Gridin D., Adamou А. Т. I. and Craster R. V. Electronic eigenstates in quantum rings: Asymptotics and numerics //Phvs. Rev. B. 69. 2004. 155317.

47. Chaves A., Costa e Silva J., Freire J. A. K., Farias G. A. The role of surface roughness on the electron confinement in semiconductor quantum rings //Microelectronics Journal. 39. 2008. 455 458.

48. Chwiej T. and Szafran B. Few-electron artificial molecules formed by laterally coupled quantum rings //Phys. Rev. B. 78. 2008. 245306.

49. Szafran B. Charged coplanar semiconductor quantum rings: Magnetization and inter-ring electron-electron correlation //Phys. Rev. B. 77. 2008. 205313.

50. Szafran B. Correlated persistent currents in a stack of semiconductor quantum rings //Phys. Rev. B. 77. 2008. 235314.

51. Szafran B. and Peelers F. M. Few-electron eigenstates of concentric double quantum rings //Phys. Rev. B. 72. 2005. 155316.

52. Xia J.-B. Quantum waveguide theory for mesoscopic structures //Phys. Rev. B. 45, №7. 1992. 3593 3599.

53. Voskoboynikov A., Liu S. S. and Lee C. P. Spin-dependent electronic tunneling at zero magnetic field // Phys. Rev. B. 58, No 23. 1998. 15397 15400.

54. Shen S.-Q., Li Z.-G., and Ma Z. Controllable quantum spin precession by Aharonov -Casher phase in a conducting ring // Appl. Phys. Lett. 84, .№6. 2004. 996 998.

55. Foldi P., Molnar B., Benedict M. G. and Peeters F. M. Spintronic single-qubit gate based on a quantum ring with spin-orbit interaction // Phys. Rev. B. 71. 2005. 033309.

56. Tang C. S., Mal'shukov A. G. and Chao K. A. Generation of spin current and polarization under dynamic gate control of spin-orbit interaction in low-dimensional semiconductor systems // Phys. Rev. B. 71. 2005. 195314.

57. Bellucci S. and Onorato P. Crossover from the ballistic to the resonant tunneling transport for an ideal one-dimensional quantum ring with spin-orbit interaction //Phys. Rev. B. 78. 2008. 235312.

58. Stefanucci G., Perfetto E., Bellucci S. and Cini M. Generalized waveguide approach to tight-binding wires: Understanding large vortex currents in quantum rings //Phys. Rev. B. 79. 2009. 073406.

59. Bellucci S., Onorato P. Quantum rings with tunnel barriers in threding magnetic field: spectra, persistent current and ballistic conductance //Physica E. 41. 2009. 1393 1402.

60. Okunishi T., Ohtsuka Y., Muraguchi M. and Takeda K. Interstate interference of electron wave packet tunneling through a quantum ring // Phys. Rev. B. 75. 2007. 245314.

61. Sugiyama K., Okunishi T., Muraguchi M. and Takeda K. Electron resonant tunneling through a circle-ring multicomponent quantum system // Phys. Rev. B. 81. 2010. 115309.

62. Watanabe N. and Tsukada M. Fast and stable method for simulating quantum electron dynamics // Phys. Rev. E. 62, №2. 2000. 2914 2923.

63. Koiso T., Muraguchi M., Takeda K. and Watanabe N. Time-Dependent Ballistic Phenomena of Electron Injected into Half-Ellipse Confined Room // Japanese Journal of Applied Physics. 44, №6A. 2005. 4252 4268.

64. Muraguchi M. and Takeda K. First-Principles Study of Time-Dependent Phenomena in Photon-Assisted Tunneling:I. An Electron Injected into Two-Dimensional Lozenge Quantum Dot //Japanese Journal of Applied Physics. 46, A*3A. 2007. 1224 1235.

65. Лозовик Ю. Е., Филинов А. В., Архипов А. С. Туннелирование взаимодействующих частиц через потенциальные барьеры: компьютерное моделирование методом молекулярной динамики //Матем. моделирование. 15, №7. 18 36.

66. Kuroda Т., Мапо Т., Ochiai Т., Sanguinetti S., Sakoda К., Kido G. and Koguchi N. Optical transitions in quantum ring complexes //Phys. Rev. B. 2005. 72. 205301.

67. Timm R., Eisele H., Lenz A., Ivanova L., Balakrishnan G., Huffaker D.L., Dahne M. Self-Organized Formation of GaSb/GaAs Quantum Rings // Phys. Rev. Letters. 101. 2008. 256101.

68. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, т. 3 Квантовая механика. М: Наука, 1989.

69. Tan W-C. and Inkson J. С. Landau quantization and the Aharonov-Bohm effect in a two-dimensional ring // Phys. Rev. B. 53, №11. 6947 6950.

70. Tan W-C. and Inkson J. C. Magnetization, persistent currents, and their relation in quantum rings and dots // Phys. Rev. B. 60, №8. 5626 5635.

71. Ковепя В. M., Япепко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. -Новосибирск: Наука, 1981.

72. Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. Метод расщепления по физическим факторам в задаче о временной динамике волновых функций электронов двумерного квантового кольца //Математическое моделирование. 22, №6. 2010. 15-26.

73. Брызгалов А. А., Карманов Ф.И. Двумерное квантовое кольцо: влияние магнитного поля на временную динамику волновых функций электронов //Известия высших учебных заведений. Физика. 2010, №3/2. 31-36.

74. Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. Построение базисных функций для вычислений методом расщепления по физическим факторам в области конечного размера. //Вы- ' числительные методы и программирование. 2010. 11. 289 298.

75. Брызгалов А. А., Карманов Ф. И. Управление туннелированием в системе двух кон-цетрических квантовых колец с помощью магнитного поля // Вычислительные методы и программирование. 2011. 12. 262 274.

76. Волкова Е. А., Попов А. М., Рахимов А. Т. Квантовая механика на персональном компьютере. М.: URSS, 1995.

77. Marin J. L., Cruz S. A. On the use of direct variational methods to study confined quantum systems// Am. J. Phys. 59, №10. 1991. 931-935.

78. Бурилов А. А., Костомаров Д. П., Кукулин В. И. Стохастический метод оптимизации неминимального вариационного базиса //Математическое моделирование. 12, №1. 2000. 104 113.

79. Балык В. М., Костомаров Д. П., Кукулин В. И., Шишаев К. А. Самоорганизованный подход к построению вариационного базиса //Математическое моделирование. 14, №10. 2002. 43 58.

80. Fernandez F. М., Castro Е. A. Variational approximation to the spectra of systems with confining potentials //Am. J. Phys. 50(10). 1982. 921 924.

81. Fernandez F. M., Castro E. A. Approximate energy levels of bound quantum systems //Am. J. Phys. 52(5). 1984. 453 455.

82. Захарьев Б. H. Уроки квантовой интуиции. Дубна: ОИЯИ. 1996.

83. Захарьев Б. Н., Костов Н. А., Плеханов Е. Б. Точно решаемые одно- и многоканальные модели (Уроки квантовой интуиции) //Физика элементарных частиц и атомного ядра 21, вып. 4. 1990. 914-962.

84. Захарьев Б. Н. Дискретная и непрерывная квантовая механика, точно решаемые модели (Уроки квантовой интуиции 2) // Физика элементарных частиц и атомного ядра 23, вып. 5. 1992. 1387-1468.

85. Захарьев Б. Н., Чабанов В. М. Послушная квантовая механика. Новый статус теории в подходе обратной задачи. Москва: Институт компьютерных исследований, 2002.

86. Olkhovsky V. S. and Maydanyuk S. P. About evolution of particle transitions from one well to another in double-well potential //arXiv:quant-ph/0311128v3. 2004.

87. Горбацевич А. А., Капаев В. В., Копаев Ю. В. Управляемая эволюция электронных состояний в наноструктурах //Журн. экспер. и теор. физ. 1995. 7, №4. 1320-1349.

88. Dias da Silva L. G. G. V., Villas-Boas J. M. and Ulloa S. E. Tunneling and optical control in quantum ring molecules // Phys. Rev. B. 76. 2007. 155306.

89. Castelano L. K. Hai G.-Q., Partoens B. and Peeters F. M. Control of the persistent currents in two interacting quantum rings through the Coulomb interaction and interring tunneling //Phys. Rev. B. 78. 2008. 195315.

90. Sanguinetti S., Abbarchi M., Vinattieri A., Z am fires си M., Gurioli M. Mano T. Kuroda T. and Koguchi N. Carrier dynamics in individual concentric quantum rings: photoluminescence measurements// Phys. Rev. B. 2008. 77. 125404.

91. Garraway B. M., Suominen K.-A. Wave-packet dynamics: new physics and chemistry in femto-time //Rep. Prog. Phys. 58. 1995. 365419.

92. Ильин В. А. О приведении в произвольно заданное состояние колебаний первоначально покоящегося стержня, состоящего из двух разнородных участков //Доклады Академии наук. 435, №6. 732 735.

93. Avishai Y., Hatsugai Y and Kohomoto M. Pexsistent currents and edge states in magnetic fields //Phys. Rev. B. 1993. 47. 9501 9512.

94. Абрамовиц M., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

95. Поршнев С. В. Компьютерное моделирование физических систем с использованием пакета MathCAD. M: Горяч. Линия-Телеком, 2004.

96. Moyer Curt A. Numerov extension of transparent boundary conditions for the Schrodinger équation in one dimension. //Ain. J. Phys. 2004. 72(3). 351 358.

97. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

98. Айдагулов Г. Р. Метод подвижной сетки для решения нестационарного уравнения Шредингера //Вычислительные методы и программирование. 5. 2004.

99. Калиткин H. Н. Численные методы. М.: Наука, 1980.

100. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. М: Наука, 1979.

101. Viefers S., Koskinen P., Singha Deo P., Manninen M. Quantum rings for beginners: energy spectra and persistent currents //Physica E. 21. 2004. 1 35.

102. Абилов В. A., Авилова Ф. В., Керимов M. К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам в пространстве Ь2((а,Ь),р(х)) //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 49, №6. 2009. 966 980.

103. Абилов В. А., Абилова Ф. В., Керимов М. К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье функций комплексной переменной в пространстве Lî(D,p(z)) //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 50, №6. 2010. 999 1004.

104. Li Y., Voskoboynikov О., Lee С.P. Computer simulation of electron energy states for three-dimentional InAs/GaAs semiconductor quantum rings //Nanotech. 2. 2002. 431 -434.

105. Брызгалов A. A., Карманов Ф. И. Временная динамика волновых функций электронов трехмерного квантового кольца в переменном магнитном поле //Вест. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. №1 (22). 291 296.

106. Мессиа А. Квантовая механика. М: "Наука" Главная редакция физико-математической литературы, 1978.

107. Балашов В. В., Долипов В. К. Курс квантовой механики. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

108. Вареицова С. А., Пономарева Е. В., Трофимов В. А. О расчете собственных значений и собственных функций одномерного уравнения Шредингера на адаптивных сетках//Вест. Моск. Ун-та. Сер. 15, Вычисл. Матем. и Киберн. №3. 2000. 23 28.

109. Гавурин М. К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итерационных методов // Изв. ВУЗов, Математика. 5(6). 1958. 18-31.

110. Жидков Е. П., Козлова О. В. Непрерывный аналог метода Ньютона в обратной задаче теории рассеяния при наличии собственных функций и значений //М птсм атн-ческое моделирование. 18, №2. 120 128.

111. Жанлав Т., Чулуунбаатар О. Сходимость непрерывного аналога метода Ньютона для решения нелинейных уравнений //Вычислительные методы и программирование. 10. 2009. 402 407.

112. ФЦ1.] *RrT[l]] *r[[l]] + <ШЛ]] *RrT[[Jl]] *r[[Jl]] + 2*Sum[^[[2* j]] * RrT [ [2 * j ] ] *e[[2* j]] ,j, 2, (Jl 2) /2}. + 4 * Sum ф[[2 * j +1]] * RrT [ [2 * j + l]]*c[[2*j+l]]r {3,1, (Jl - 2) /2}]) ; Clear [zl] ; Clear [^0] ;

113. Cfinal = LinearSolveCoeffl, Cf , Method-» "Krylov". ;1. i > 0 , Csum [ 1. . = Table [Abs [Cf [ 1. ] ] A2 , {1 , 1, N + 1>] ] ;1. H+l

114. П = ^ Cfinal [1 . ] * Rr [ [1 ] ] *Ef [1.];1=1s = ((R2 Rl) / (3 * Jl)) *

115. Рис. 4.18. Основной элемент программы расчетного модуля TiDyCal для расчета динамики волновых пакетов с использованием комплекса Mathematica.

116. Внутри общего цикла For по времени (индекс г) задаются значения функции ф в момент времени, соответствующий i — 1. Причем, для г = О принимаются значения функции ^0, умноженные на решение задачи (2.32), рассчитанные предварительно.

117. Операции Clear «очищают» текущие значения переменных, a Print выводят необходимые данные на экран в процессе расчета для текущего контроля.

118. Рис. 4.19. Основной элемент программы, использующей симметричную численную схему для расчета динамики волновых пакетов с использованием комплекса МаЛсас!.

119. На рисунке 4.19 предложен вариант (основной элемент) для расчета сиспользованием симметричной, конечно-разностной схемы. Показанная часть включает несколько блоков:

120. Задается цикл по всем координатам с индексом у. Для расчетов волновых функций используется массив Су. На нулевом временном шаге присваивается начальное значение волновой функции 'фOj в соответствии с формулой (2.64).

121. Задается цикл по времени (по г), внутри которого сначала присваиваются нулевые значения для коэффициентов прогонки а на правой границе {у = ЛГ, где N число точек по координате), а затем задается цикл по у в обратном направлении (от N до 1).

122. Коэффициенты прогонки (3 полагаются равными нулю в начальный момент времени на правой границе. После этого в обратном цикле по у рассчитываются все ¡5 в начальный момент времени (при г = 0).

123. Рассмотрим программу для расчета по методу Нумерова в комбинации с методом стрельбы (рис. 4.20):

124. Вводится цикл по координате (индекс .). Искомому массиву волновых функций С на нулевом шаге присваивается начальное значение волновой функции (ф0;) в соответствии с формулой (2.64).

125. Описание метода, воспроизводимого программой, изложено в параграфе 2.4.аИ :=ох j € 0. N1. П€ 0. N1 йг \ е 0. NГь21. П,0йк з е 0. N 14*1-

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00