автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели для многочастичной задачи на квантовом графе и для туннелирования

005012645

На правах рукописи

Еремин Дмитрий Александрович

Математические модели для много частичной задачи на квантовом графе и для туннелирования

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ид? Ш1

Саранск - 2012

005012645

Работа выполнена на кафедре математического анализа Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится «22» марта 2012 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при Мордовском государственном университете им Н. П. Огарева по адресу: 430005, г. Саранск, пр. Ленина, д. 15, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета им Н. П. Огарева.

Автореферат разослан « »__^Л. 2012 г.

профессор И. Ю. Попов

профессор В. М. Уздин

кандидат физико-математических наук,

доцент М. А. Пятаев

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Н. Д. Кузьмичев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современное развитие наноэлектроники делает необходимой задачу теоретического исследования различных квантовых наносистем. Это связано в первую очередь с практической возможностью создания подобных структур. Квантовые свойства наносистем могут зависеть от различных факторов (от геометрической формы, от вида соединения структур, от направления и напряженности магнитного поля и т.д.), поэтому возникает не только теоретический, но и практический интерес в нахождении и исследовании данных зависимостей.

Следует также отметить, что кроме исследования квантовых свойств наноструктур, важно исследовать возмущения в подобных объектах, в частности короткодействующими потенциалами. Такие системы можно исследовать с помощью модели потенциалов нулевого радиуса. При использовании данной модели описание объектов сводится к построению возмущения оператора Лапласа и исследованию его спектра.

В некоторых случаях адекватной моделью наносистем является квантовый граф. Математическая теория одночастичных задач для квантовых графов достаточно хорошо развита. В то же время, многочастичные задачи рассматривались только для некоторых простых типов систем. Эти задачи являются более сложными, поскольку размерность конфигурационного пространства многократно возрастает в зависимости от числа частиц. С другой стороны, без учета взаимодействия частиц невозможно эффективно моделировать многие наноустройства, в частности, элементы квантового компьютера.

Цслыо исследования является:

1. построение модели липкого квантового графа на сфере и ее верификация;

2. разработка численного метода аппроксимации сингулярного потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами специального вида;

3. построение и изучение модели многочастичного квантового графа;

4. построение и изучение модели наносферы с двумя проводниками в магнитном поле;

5. разработка комплекса программ для вычисления энергетических уровней двухчастичной системы и коэффициента прохождения

для сферы в магнитном поле;

6. изучение влияния интенсивности взаимодействия частиц между собой на энергетические уровни;

7. изучение зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля.

Объектом исследования являются математическая модель липкого квантового графа, модель двухчастичного квантового графа и модель наносферы с двумя проводниками.

Научная новизна и значимость работы определяется следующими результатами исследования.

1. Развит математический аппарат моделирования липких квантовых графов на сфере и многочастичных квантовых графов на базе спектральной теории самосопряженных операторов.

2. Разработан численный метод аппроксимации 6-потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами.

3. Создан комплекс программ для численного исследования энергетических уровней двухчастичной модели и коэффициента прохождения для наносферы с двумя проводниками.

4. Исследована зависимость энергетических уровней двухчастичной модели от интенсивности взаимодействия частиц между собой.

5. Найдена зависимость коэффициента прохождения для наносферы с двумя проводниками от напряженности магнитного поля.

Методологическую и теоретическую основу исследования составили труды российских и зарубежных исследователей в области математического моделирования физических систем с использованием метода потенциалов нулевого радиуса.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Математическая модель липкого квантового графа на сфере.

2. Численный метод аппроксимации 5-потенциала, сосредоточенного на кривой, гладкими потенциалами специального вида.

3. Обоснование предложенного метода путем построения последовательности обычных гамильтонианов, сходящихся к исходному гамильтониану с сингулярным потенциалом.

4. Математическая модель двухчастичной задачи для проводника с квантовым кольцом.

5. Математическая модель наносферы с двумя проводниками в магнитном поле.

6. Программные комплексы для решения поставленных задач:

• программный комплекс, написанный на языке С++, для расчета и построения спектра двухчастичной задачи;

• программа, написанная на языке С++, для численного исследования зависимости коэффициента прохождения для сферы с двумя проводниками от параметров системы и напряженности магнитного поля.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

1. используемые в работе методы и модели могут быть использованы при исследовании особенностей электронного транспорта в других нано структур ах;

2. полученные в работе результаты могут быть использованы для исследования транспортных и спектральных свойств многочастичных наноэлектронных устройств и сферических наноструктур при наличии в них примесей;

3. разработанный численный метод может быть использован при математическом моделировании сферических наноструктур с сингулярным потенциалом (например, содержащих квантовый провод);

4. результаты проведенного численного анализа зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля могут быть использованы при разработке новых наноэлектронных приборов.

Апробация результатов работы. Результаты работы прошли апробацию на конференциях и семинарах:

1. Третья Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, май 2006 г.

2. Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, ноябрь 2007 г.

3. VII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2010 г.

4. Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании, Саранск, июль 2010 г.

5. Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, апрель 2011 г.

6. Пятая международная научная школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" имени Е.В. Воскресенского, Саранск, июль 2011 г.

7. Восьмая Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, сентябрь 2011 г.

8. ХХХХ Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2011 г.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 7 опубликованных статьях, в том числе, 3 из Перечня ВАК.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 115 страницах машинописного текста. Содержит введение, три главы, два приложения, заключение, 17 рисунков, список литературы, содержащий 129 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и научная новизна работы. Сформулирована цель работы, указана теоретическая и практическая значимость полученных результатов. Дано описание существующих результатов по проблематике работы, краткое содержание диссертации и результатов, выносимых на защиту. Приведена краткая история развития модели потенциалов нулевого радиуса.

В первой главе произведено построение возмущения оператора Вельтрами-Лапласа 6 -потенциалом, сосредоточенным на множестве нулевой меры, а именно на кривой. Соответствующую математическую модель называют липким квантовым графом. Корректное описание подобных моделей можно задать при помощи теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Разработан и обоснован численный метод аппроксимации S -потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами специального вида. Данный метод может быть использован при математическом моделировании сферических наноструктур с сингулярным потенциалом и является решением задачи о верификации модели липкого квантового графа, то есть

предложен такой выбор параметров расширения гамильтониана, при котором модель липкого квантового графа соответствует некоторой реальной задаче.

В первом параграфе первой главы произведено описание математической модели липкого квантового графа на единичной сфере 52, то есть рассмотрены область Г2 на единичной сфере с гладкой границей дП и оператор Бельтрами-Лапласа

/а2 a i а2

ADL={W2 + ctgeaö + ^ew

Пусть Ltn — оператор Бельтрами-Лапласа на Г2, a Lex — на области S2 \ S7. Построение модели возмущения самосопряженного оператора L — L"1 ф Lex потенциалом, сосредоточенным вдоль кривой Г2, произведено с помощью метода "сужения-расширения". Для этого рассмотрено сужение оператора L на множество

D = {(fi(x), /2(х)) € C°°(S2) : Д(х) = /2(х) = 0 Уж € АО},

и найдена область определения самосопряженного расширения оператора L. С этой целью выбран элемент из области определения оператора L, удовлетворяющий граничному условию

< Lf(x)\g(x) > - < f(x)\Lg(x) >= 0.

Переходом к полярным координатам (г, tp), показано, что самосопряженные расширения могут быть описаны граничными условиями на ОГ2' (ортогональной проекции дП) для функции и ее производных:

df i df

f\ex f\in) =

or lex or m

где a — некоторая гладкая функция.

Во втором параграфе первой главы в новой системе координат

( sin0

< (l-SÍnfl)P(0)'

{ ifi =z ф,

переводящей границу д£1 в единичную окружность т = 1 на плоскости, введен короткодействующий потенциал Ае

где р{и) — гладкая функция, удовлетворяющая условиям

-foo

р{и) > 0 Vu е к, suppp с [-1,1], J p{u)du = 1.

—оо

Показано, что последовательность потенциалов Ае(т, (р) при е —>■ 0 аппроксимирует сингулярный потенциал, сосредоточенный на кривой ОП. Обозначая через R(X), Ro(X), R£(X) резольвенты операторов La , Lq — оператор Бельтрами-Лапласа и Le = Lo + Л£, соответственно, доказана

Теорема 1 Для достаточно больших |Л| (Л ф 0) резольвенты jR£(A) сходятся к резольвенте R(А) при е —*■ 0 в банаховом пространстве В(Ь2{Ж2),Н1{К2)).

Во второй главе произведено описание и построение двухчастичных задач в проводнике и кольце, на основе которых построена двухчастичная модель для системы "проводник-кольцо". Описана одночастич-ная модель для аналогичной системы. Каждая модель исследована на энергетические уровни, отмечено влияние взаимодействия частиц на основное состояние двухчастичной системы.

В первом параграфе второй главы рассмотрен гамильтониан системы двух невзаимодействующих частиц на прямой, который может быть записан в виде

- ( 92 92 \ Н° ~ ~~2гп + dyV '

с пространством состояний D(H0) = H2(R2). Для удобства использована система единиц, в которой h= 1, т = 1.

Функция Грина оператора Но известна и представима в виде

G0(r, го; г) = 1Ко (у=2£\г - г0|) , г, г0 6 К2, z € €\[0; +оо),

здесь К0 — функция Макдональда.

Оператор Нг, описывающий поведение двух взаимодействующих частиц на прямой (взаимодействие считается точечным), формально может быть записан в виде

Щ = H0 + lö(y-x), где I — интенсивность взаимодействия частиц между собой.

Строгое математическое построение оператора Н\ произведено с помощью теории расширений симметрических операторов. С этой целью рассмотрено сужение Б оператора Но на множество функций, равных нулю на диагонали конфигурационного пространства, то есть

-0(5) = {'ф е £>(Но) : тК®, я) = 0} .

Доказала

Теорема 2 Г -поле и функция пары операторов (Б, Н0) действуют по правилу

V/ £ 0 Г(г)/ = J G0{x,y,x0,x0■,z)f(x0)dx0,

к

— J(<?о(ж, х, х0, Ж0; г) - <30(ж, ж, ж0, жо5 -l))f{xo)dxo.

ж

Гамильтониан системы — две взаимодействующие частицы на прямой — рассмотрен как самосопряженное расширение оператора 5. Обозначим через Д(^), Л а (2) резольвенты Нх и Н0, соответственно. Тогда по формуле Крейна получаем

П{х) = Яо(г) - Г(г) + А]-1 Г*(г),

л 2

где А — — — параметр, характеризующий самосопряженные расширения оператора Б.

Найдено ядро резольвенты Щг), то есть функция Грина Сг(х,у, х0,у0-,г) оператора Нх

С?1(сс, у, х0, Уо\ -г) = (х - ж0)2 + (у - у0)2) -

+ * € СХ[°;+00)-

Во втором параграфе второй главы, аналогично случаю на прямой, рассмотрено поведение двух взаимодействующих частиц в кольце.

Гамильтониан НТ$, описывающий поведение двух невзаимодействующих частиц в кольце, имеет вид

1 / А» в» ч

где р — радиус кольца, с пространством состоянии

Г»(Нг,о)={^ е Н2 (т2): = = }

Здесь Т= [—77, тг], з = 1,2. Функция Грина найдена в виде

2тг2 ^ гд2 + п2 - 2гр2

Оператор НГ| описывающий поведение двух взаимодействующих частиц в кольце, формально записан в виде

НТ = Нг,0 + ¿<5 (р(<р2 - VI)) •

Строгое построение оператора Нт произведено с помощью техники "сужения-расширения" симметрических операторов, доказана

Теорема 3 Г -поле и С} -функция операторов (5, НТа), действуют по правилу

V/ 6 д' г(г)/ = I в0(<Р1, ч>2, ч>', у'; z)f{v')pdv,, т

Q(z)f = I(с0(<р, V' V') -г) - СоС«^) V» У'; -1))/

т

Найдена функция Грина (¿>2> VI) У2> 2) оператора Нг, опи-

сывающего поведение двух взамодействующих частиц в кольце

Сг(¥>1> <Р2, ¥>'ц у>2> 2) =

2772 т2 + п2 — 2гр:

71,77» '

,2

тг5 ^ в2 + 42 - 4гр2 + 2р2

где

р | сЛ (тгл/в2 - р2/, б = 2т, т е

~ у'«2 - 4гР2 1 (тгл/«2 -4гр2/2) , 8=2т + 1,те2,

В третьем параграфе второй главы произведено построение двухчастичной модели квантового кольца с проводником. Введены два вспомогательных оператора

2 + ' °(Н2) = ^ 6 Н* Х Т)} '

1 / д

Щ - ~2 № 1 / 1 д2 д2\ , , , , ,

описывающих поведение одной из частиц в кольце, а другой — в проводнике.

Функции Грина операторов Н2 и имеют вид

^ г егп(х-х')егт(1р-1р')

С2,з(х,<р,х',1р'-,г) = / -——5--—йп.

21Х р ■> ™ п + - 22

В Р

Рассмотрена система, схематически изображенная на рис.1.

Рис. 1

Схематическое изображение системы.

Пока контакт разомкнут, гамильтониан системы представляет собой прямую сумму

Я0 = Я1®Я2®Д3ф Невключение контактов смоделировано с помощью процедуры "сужение - расширение". С этой целью рассмотрено сужение

5 = © 52 © © 5Г,

где

0(51) = {ф€ Г>(Н0

£>(£2) = {V € £>№) £>№) = {</> € Г>(#3) -0(54) = {ф 6 £>(#*)

•

= 0, ф(х, 0) = 0}, <р) = 0,ф(х,0) = 0}, 1>(<р,0) = 0,0(0, х) =0}, 0) = 0,-0(0, у)=0}.

Оператор 5 — симметрический, он описывает две частицы в системе изолированных кольца и канала, имеющих проколы в точках х = О (в канале) и ¡р = 0 (в кольце). Гамильтониан устройства с включенным контактом находится среди самосопряженных расширений полученного оператора, поэтому используется формула Крейна.

Для пары операторов (8,Н) Г-поле и С} -функция Крейна задаются прямыми суммами

Г(г) = ^(г) © Га(г) © Г3(г) © Гг(г), Я{г) = Я1{г) © €}2{г) © С}л{г) © С}г{г).

Здесь отображение

= (г^г) Г?(г)) (|) = + 1*(*)£2,

где

Г\(z)f(x,y) = I С1{х,у,х',0^)}{х')ах',

н

Г 1Ш(х,У) = ! G1{x,y^y'^,z)S{y')dy',

Е

представляет собой Г-функцию Крейна пары операторов ,Н\). Соответствующая этой паре <5-функция Крейна задается оператором

где

к к

Я11(г)/(х) = I G1(0,x,x',0^,z)f(x')dx',

и

<212(г)Г(х) = I G1(0,x,0,x,■,z)f(x')dx'.

ж

Через Гг(г) и С}2(г) обозначены Г-функция и Q-функция Крейна пары операторов (52, Н2):

Га(*)« = (Г^г) Г2(г)) = Г^Ь + Г22(г)6,

здесь

Г5(г)/(в,у>) = I G2(x,^p,x',0■,z)f(x')dx',

к

Г2(-г)Д;г,^) = J Сг(а;, <£>, 0, z)f(lp')pd<p'.

_(«"(*) («л

где

ж

<]?{г)Пх) = I Сх{х, 0,0, z)f(tp')pd^p', т

Q221(z)f(<p) = I Gг(0>íp,x',0■,z)f(x')dx',

Е

/ Сх(0, V?, о, уз'; г)/((р')рй(р'. т

Для пары операторов (¿>3, й"3) соответствующие отображения имеют вид

= (г£(з) Г§(г)) (У = г^(г)€1 + ВДб,

здесь

ГЦг)Пч>, х) = у,), Г»(г)/(¥>, ®) = ВДЯ®, *>).

Через Гг(г) и С}т{г) обозначены отображения

ГР(г)€ - (тЦг) = ГЗДб + Т2г(г)Ь,

где

Tl(z)f(^Pl,^P2) = I Сг(ч>1,<р2,(р',0-,г)/((р')р(1(р', т

гг (z)f(^Pu^P2) = I Сг((р1,(р2,0,<р'-,г)/(<р')рс1<р'.

т

где

<?"(*)/(*>) = I Сг{<р,0,<р\0-,х)Нч>')р*р'л

т

Q?{z)f{ч>)^ I Gr(<p,0,0,<p'^,z)f(^p')pd<p',

т т

• <?г/(*>) = I Сг(0, V, О, V'; г)1(ч>')р<1<р'-т

Гамильтониан системы — кольцо с присоединенным проводником — рассмотрен как самосопряженное расширение оператора Б. Это расширение обозначено через Н. Его резольвента Л(г) найдена по формуле Крейна

Я(г) = Ло(г) - ВД [д(г) + А]"1 Г*(г),

здесь А — эрмитов оператор, параметризующий самосопряженные расширения оператора 5. Он описывает характеристики контакта, а

его вид определяется условиями Кирхгофа:

Л Ст ГА — ГУ _ 0/1(х,0)\ ,я( ОЫх, О) _ ЭЫх,0)\

и; — Ц| 9у+ 0у_ дч>+ ¿V- /'

Л СП и\ - _ °М°>У)\ + в (М21 _ ШО,У)\

у; — а I дх+ 0х_ I -|-р I I ,

ГУ! 0) а/.(х,0)\ . /э/3(е,0) О/а(х,0)\

МО, = „ - + ч (»1 - ,

/з(0,у) ~ +7 - ,

МП = * И?1 - + - ("Щ? ~ '

У СП - гГ /2ММ1 _ 4- | _ 2ММ)

^ у; — Т] ^ вх+ 0х_ у -г V ^ 0ч)1+ а<р1_ } ,

поэтому матрица А выбрана в виде

О 0 0 0 0 \ 0 0 /3 0 0 0 0 0 0 0 ц О О О г/ О ¡л 0 17 0 ' О 0 7 О О О г) 0 и О »7 0 0 0 1/ !

где внедиагональные элементы характеризуют "идеальность" контакта, а диагональные элементы — степень отклонения контакта от идеального. Например, при а > 0 движущаяся в проводнике заряженная частица испытывает отталкивание от контакта, а при а < 0 — притяжение.

В последнем параграфе второй главы с помощью написанной на языке С++ программы (Приложение А) исследована двухчастичная модель квантового кольца с проводником на дополнительные энергетические уровни, найден основной энергетический уровень соответствующей одночастичной модели, он может быть определен из уравнения

—- сШ (тгрч/3!) - /З2 = 0.

Произведено сравнение численно полученного значения основного энергетического уровня двухчастичной задачи с основным энергетическим уровнем одночастичной задачи в зависимости от различных

а 0 /3

0 а 0

¡3 0 7

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

значений параметра /3. Сделан вывод, что при уменьшении (увеличении) значения параметра /3, основной энергетический уровень двухчастичной задачи уменьшается (увеличивается), при этом аналогичное поведение наблюдается и у основного энергетического уровня одноча-стичной модели. Более того, отмечено, что основные энергетические уровни двухчастичной и одночастичной моделей отличается в два раза, что объясняется увеличением количества частиц.

В предположении, что (3 = 0.1, р — 1, найдены энергетические уровни двухчастичных моделей с взаимодействием частиц и без, графики которых представлены на рисунках 2 и 3.

- 95

■ 96

■ 97

■ 98

- 99 - 100 - 101

Рис. 2

Энергетические уровни двухчастичной модели без взаимодействия частиц.

в

Рис. 3

Энергетические уровни двухчастичной модели с взаимодействием частиц.

Из данных графиков видно, что взаимодействие частиц приводит к снятию вырождения энергетических уровней системы.

В последней главе диссертации описана математическая модель наносферы с двумя проводниками в постоянном магнитном поле. Найден коэффициент прохождения, исследована его зависимость от энергии, магнитного поля и от расположения точек контакта проводников.

Рассмотрена единичная сфера S С К3 с двумя присоединенными проводниками R^2 . Полагается, что проводники и центр сферы располагаются на одной плоскости L, и магнитное поле В перпендикулярно этой плоскости.

d2

Введены обозначения Ну 2 =---гамильтониан свободной ча-

d.г2

d

стицы в проводнике, здесь г— — оператор импульса для проводника

dx

(далее используется система единиц, в которой m = 1/2, h = 1), Hs — гамильтониан свободной частицы на сфере

Hs — {р — А(г})2,

где р — оператор импульса для сферы, А — векторный потенциал электромагнитного поля. Выбрана симметрическая калибровка, то

есть А = -В X г. 2

Для "включения" соединения проводник-сфера использована процедура "сужения-расширения". То есть, сужается оператор iZiffifls©Н2 на множество функций, равных нулю в точках соединения, и строится самосопряженное расширение данного симметрического оператора, которое дает требуемую модель задачи. Полученное расширение не единственно, оно параметризуется несколькими числами, которые зависят от характеристик контакта.

Граничные условия для волновой функции в точках контакта задают линейное соотношение между ipj(0), ^(0) и Uj(ipj), Uj(ipj). Они выбраны в следующей форме

Vjtys) = NjUj(ips) — Mjipj(0), ^•(0) = M*Uj(Tps) - ЪЩ0).

Коэффициенты Mj, JVj, Pj зависят от свойств контакта в точке qj . Через Q(E) обозначена Q-матрица Крейна.

( Gs(qi,qj-,E), ъфз

Qij(E) = ] lim (Gsiqj, qi; + In p(qj, Qi)) , i = j.

I 4\ Z7T /

Используя граничные условия, найден коэффициент прохождения в виде

2гкМ1М2021(Е) «»(23) =--^-,

где <5 = д - ТУ, N = а5ав(ЛГ1, ЛГ2) и

А(Е) = -к2\М2\2 ((Р! + Р2) с!е1 <3 + |Мг|2(1 + <522) + РхЗп)) + гк}М2\2 (<?га + (1 - &2Р[Р2)(с^ <5 — ^Рг^х!2^)) •

С помощью разработанной на языке С++ программы (Приложение В) вычислен коэффициент прохождения для фиксированных параметров модели. Графики функций Т = |412(.Е)| показаны на рисунках 4-6 для некоторых значений магнитного поля В и проводников, присоединенных к противоположным точкам сферы (</! = (0,7Г/2),92= (тг,7Г/2)).

Замечено, что при некоторых значениях энергии Е наблюдаются резонансы Фано и Брейта-Вингера, в отличии от случая отсутствия магнитного поля, в котором резонансы Фано не наблюдаются, если проводники присоединены к противоположным точкам сферы (коллапс резонансов Фано).

Рис. 4

Зависимость коэффициента прохождения Т от энергии Е для проводников, присоединенных к противоположным точкам сферы; значения параметров: В = 0,9! = (0, 7г/2), д2 = (тг,тг/2),М| = 1.ЛГ, = -0.1, Р, = 0.1 (з = 1,2).

т

Рис. 5

Зависимость коэффициента прохождения Т от энергии Е для проводников, присоединенных к противоположным точкам сферы; значения параметров: В = 0.15,9! = (0, тг/2), 92 = (тг, тг/2), М,- = 1, Щ = -0.1, Р., = 0.1 (у = 1,2).

т

Рис. 6

Зависимость коэффициента прохождения Т от энергии Е для проводников, присоединенных к противоположным точкам сферы; значения параметров: В = 0.3, д, = (0, тг/2), <72 = {п,п/2= 1,ЛГ,- = -0.1, Р; = 0.1 = 1,2).

Графики функций Т = |412(-Е)| для случая расположения контактов в точках ql = (0, 7г/2), д2 = (7г/2,7г/2) приведены на рисунках 7-10.

Рис. 7

Зависимость коэффициента прохождения Т от энергии Е ; значения параметров: В = 01(?1 = (0,тг/2),д2 = (7г/2,7г/2),М,- = 1,ЛГ,- = —0.1, Я,- = 0.1 У = 1,2).

Рис. 8

Зависимость коэффициента прохождения Т от энергии Е ; значения параметров: В = 0.1,51 = (0,7г/2), д2 = (7Г/2,7Г/2),М, = 1.ЛГ,- = -0.1, Р, = 0.1 (з = 1,2).

Рис. 9

Зависимость коэффициента прохождения Т от энергии Е; значения параметров: В = 0.3,9] = (0,7г/2),д2 = (тг/2, тг/2), М3- = 1, АЛ, = -0.1, Р,- = 0.1 {] = 1,2).

г

Рис. 10

Зависимость коэффициента прохождения X от энергии Е; значения параметров: В = 0.5,д1 = (0, 7г/2), д2 = (тг/2, тг/2), М3- = 1,ЛГ3- = -0.1, Р,- = 0.1 у = 1,2).

Основные результаты диссертационной работы.

1. Построена математическая модель липкого квантового графа на сфере. С помощью построения последовательности регулярных потенциалов, аппроксимирующих сингулярный потенциал, решена задача о верификации модели липкого квантового графа;

2. Разработан численный метод аппроксимации 5-потенциала, сосредоточенного на кривой, гладкими потенциалами специального вида, позволяющий моделировать сферические наноструктуры с сингулярным потенциалом, сосредоточенным на кривой;

3. Построена двухчастичная модель квантового кольца с проводником. Установлено, что взаимодействие частиц приводит к снятию вырождения энергетических уровней двухчастичной системы;

4. Найден коэффициент прохождения для наносферы с двумя проводниками в магнитном поле. Установлено, что при наличии магнитного поля наблюдаются резонансы Фано даже в случае противоположного присоединения проводников, в отличии от случая отсутствия магнитного поля.

Список опубликованных работ по теме диссертации: Статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертационных исследований:

1. Еремин Д. А. Двухчастичная модель проводника с квантовым кольцом // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. — СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. - Вып. 5. - С. 58-62.

2. Еремин Д. А. Квантовое кольцо с проводником: модель двухчастичной задачи / Д. А. Еремин, И. Ю. Попов // Наносистемы: физика, химия, математика. — 2011. — Т. 2. — № 2. — С. 15-31.

3. Eremin D. A. Regular Potential Approximation for ¿-Perturbation Supported by Curve of the Laplace-Beltrami Operator on the Sphere / D. A. Eremin, D. A. Ivanov, I. Yu. Popov // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen (Journal for Analysis and its Applications). — 2012. - V. 31. - №2. - P. 125-137.

Публикации в других изданиях:

4. Еремин Д. А. Двумерная аномалия в случае нескольких сближающихся точечных потенциалов в однородном магнитном поле /

Д. А. Еремин, О. Г. Костров // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды второй всероссийской научной конференции. Секция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи". Часть 3 / Отв. Редактор В. П. Радченко. — Самара: СамГТУ, 2007. - С. 83-86.

5. Еремин Д. А. Зависимость аномалии от числа сближающихся точечных потенциалов в однородном магнитном поле / Д. А. Еремин, О. Г. Костров // Материалы XII научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордов. гос. ун-та им. Н. П. Огарева: в 2 ч. Ч. 2: Естественные науки / Сост. О. В. Бояркина; отв. за вып. В. Д. Черкасов. — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2007. — С. 143-145.

6. Еремин Д. А. Двухчастичная модель проводника с квантовым кольцом / Д. А. Еремин, О. Г. Костров // Сборник тезисов докладов конференции молодых ученых. Выпуск 3. Труды молодых ученых / Главный редактор Д.т.н., проф. В. О. Никифоров. — СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. - С. 87-88.

7. Еремин Д. А. К вопросу обоснования модели возмущения оператора Бельтрами-Лапласа на сфере / Д. А. Еремин, Д. А. Иванов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды второй всероссийской научной конференции. Секция "Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами". Часть 2 / Отв. Редактор В. П. Радченко. — Самара: СамГТУ, 2011. - С. 55-57.

Подписано в печать 17.02.12. Объем 1,25 п. л. Тираж 120 экз. Заказ № 222. Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24

61 12-1/539

ФГБОУ ВПО "Мордовский государственный университет

им. Н.П.Огарева"

Математический факультет Кафедра математического анализа

На правах рукописи

Еремин Дмитрий Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ МНОГОЧАСТИЧНОЙ ЗАДАЧИ

НА КВАНТОВОМ ГРАФЕ И ДЛЯ ТУННЕЛИРОВАНИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор И. Ю. Попов

Саранск - 2012

Оглавление

Введение 3

§1. Общая характеристика работы..................................3

§2. Физическая постановка задачи..................................7

§3. Метод потенциалов нулевого радиуса..........................16

1 Модель липкого квантового графа для оператора

Бельтрами-Лапласа на сфере 20

§1. Описание модели..................................................22

§2. Метод аппроксимации сингулярного потенциала..............24

2 Двухчастичная модель проводника с квантовым кольцом 36

§1. Поведение двух взаимодействующих частиц на прямой ... 37 §2. Поведение двух взаимодействующих частиц в кольце .... 46 §3. Двухчастичная модель квантового кольца с проводником . . 50 §4. Численное исследование модели на дополнительные энергетические уровни..................................................57

3 Модель туннелирования через наносферу в магнитном поле 60

§1. Функция Грина для сферы......................................61

§2. Модель туннелирования......... ..........................63

§3. Результаты........................................................65

Заключение 74

Приложение А 76

Приложение В 90

Литература 99

Введение

§1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современное развитие наноэлектроники делает необходимой задачу теоретического исследования различных квантовых наносистем. Это связано в первую очередь с практической возможностью создания подобных структур. Квантовые свойства наносистем могут зависеть от различных факторов (от геометрической формы, от вида соединения структур, от направления и напряженности магнитного поля и т.д.), поэтому возникает не только теоретический, но и практический интерес в нахождении и исследовании данных зависимостей.

Следует также отметить, что кроме исследования квантовых свойств наноструктур, важно исследовать возмущения в подобных объектах, в частности короткодействующими потенциалами. Такие системы можно исследовать с помощью модели потенциалов нулевого радиуса. При использовании данной модели описание объектов сводится к построению возмущения оператора Лапласа и исследованию его спектра.

В некоторых случаях адекватной моделью наносистем является квантовый граф. Математическая теория одночастичных задач для квантовых графов достаточно хорошо развита. В то же время, многочастичные задачи рассматривались только для некоторых простых типов систем. Эти задачи являются более сложными, поскольку размерность конфигурационного пространства многократно возрастает в зависимости от числа частиц. С другой стороны, без учета взаимодействия частиц невозможно эффективно моделировать многие наноустройства, в частности, элементы квантового компьютера.

Целью исследования является:

1. построение модели липкого квантового графа на сфере и ее верификация;

2. разработка численного метода аппроксимации сингулярного потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами специального вида;

3. построение и изучение модели многочастичного квантового графа;

4. построение и изучение модели наносферы с двумя проводниками в магнитном поле;

5. разработка комплекса программ для вычисления энергетических уровней двухчастичной системы и коэффициента прохождения для сферы в магнитном поле;

6. изучение влияния интенсивности взаимодействия частиц между собой на энергетические уровни;

7. изучение зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля.

Объектом исследования являются математическая модель липкого квантового графа, модель двухчастичного квантового графа и модель наносферы с двумя проводниками.

Научная новизна и значимость работы определяется следующими результатами исследования.

1. Развит математический аппарат моделирования липких квантовых графов на сфере и многочастичных квантовых графов на базе спектральной теории самосопряженных операторов.

2. Разработан численный метод аппроксимации с)-потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами.

3. Создан комплекс программ для численного исследования энергетических уровней двухчастичной модели и коэффициента прохождения для наносферы с двумя проводниками.

4. Исследована зависимость энергетический уровней двухчастичной модели от интенсивности взаимодействия частиц между собой.

5. Найдена зависимость коэффициента прохождения для наносферы с двумя проводниками от напряженности магнитного поля.

Методологическую и теоретическую основу исследования составили труды российских и зарубежных исследователей в области математического моделирования физических систем с использованием метода потенциалов нулевого радиуса.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Математическая модель липкого квантового графа на сфере.

2. Численный метод аппроксимации (^-потенциала, сосредоточенного на кривой, гладкими потенциалами специального вида.

3. Обоснование предложенного метода путем построения последовательности обычных гамильтонианов, сходящихся к исходному гамильтониану с сингулярным потенциалом.

4. Математическая модель двухчастичной задачи для проводника с квантовым кольцом.

5. Математическая модель наносферы с двумя проводниками в магнитном поле.

6. Программные комплексы для решения поставленных задач:

• программный комплекс, написанный на языке С++, для расчета и построения спектра двухчастичной задачи;

• программа, написанная на языке С++, для численного исследования зависимости коэффициента прохождения для сферы с двумя проводниками от параметров системы и напряженности магнитного поля.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

1. используемые в работе методы и модели могут быть использованы при исследовании особенностей электронного транспорта в других наноструктурах;

2. полученные в работе результаты могут быть использованы для исследования транспортных и спектральных свойств многочастичных на-ноэлектронных устройств и сферических наноструктур при наличии в них примесей;

3. разработанный численный метод может быть использован при математическом моделировании сферических наноструктур с сингулярным потенциалом (например, содержащих квантовый провод);

4. результаты проведенного численного анализа зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля могут быть использованы при разработке новых наноэлектронных приборов.

Апробация результатов работы. Результаты работы прошли апробацию на конференциях и семинарах:

1. Третья Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, май 2006 г.

2. Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, ноябрь 2007 г.

3. VII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2010 г.

4. Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании, Саранск, 2010 г.

5. Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, апрель 2011 г.

6. Пятая международная научная школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" имени Е.В. Воскресенского, 2011 г.

7. Восьмая Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, сентябрь 2011 г.

8. ХХХХ Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2011 г.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 7 опубликованных статьях [15, 16, 17, 18, 19, 20, 57], в том числе, 3 [15, 20, 57] из Перечня ВАК.

§2. Физическая постановка задачи

Последняя треть XX и начало XXI веков проходят под возрастающим влиянием микро- и наноэлектроники на мировое общество. Достижения

вычислительной техники, информатики, радиоэлектроники и других направлений техники практически всегда базируются на достижениях электроники. И не только потому, что она формирует элементарную базу всех современных средств приема, передачи и обработки информации, автоматизированных систем управления и т.д., но главным образом из-за революционизирующего воздействия ее технологических принципов, достижений в области синтеза и применения новых материалов для создания приборных структур.

С начала 60-х годов, когда появились первые интегральные микросхемы, размеры, например, транзистора уменьшились от 1 мм до нескольких десятых долей микрона. Причем в конце XX - начале XXI веков каждые два года число транзисторов на одной микросхеме увеличивалось вдвое. При такой скорости увеличения количества транзисторов в начале нашего столетия мы должны были перейти к эре гигамасштабных схем (более 109 транзисторов на одну микросхему). Однако исследования ведущих специалистов показали, что реализация подобных схем требует принципиально новых решений, так как, например, если увеличить количество транзисторов на микросхеме до 106, то какая-то часть их будет иметь количество примесных атомов, столь сильно отличающееся от среднего значения, что микросхема будет дефектной.

Опыт разработки МДП-транзисторов (полевых транзисторов с изолированным затвором) с длиной канала 0,1-0,25 мкм показал, что в приборах такого размера лавинообразно нарастает количество новых физических явлений, что, естественно, отражается на проектировании и технологии их изготовления. Здесь принцип пропорциональной миниатюризации перестает работать. И если диапазон 0,1-1,0 мкм представляет собой сложный тех-

нологический барьер, поскольку требует смены парка технологической аппаратуры, то диапазон 0,05-0,1 мкм — это фундаментальный физический барьер, за которым все свойства твердого тела, включая электропроводимость, резко меняются, а наглядные образы и привычные теоретические модели теряют силу. Начинают проявляться в полной мере квантовые эффекты, а физика проводимости определяется квантово-механической интерференцией электронных волн.

Характеристические размеры полупроводниковых структур 10-100 нм являются определяющими для современной микроэлектроники. Именно с ними связывают дальнейшие перспективы развития. Следует обратить внимание на то, что наноструктуры размером 20 нм содержат примерно 100 атомов по диаметру и, хотя их внутренняя часть сохраняет кристаллическую симметрию, все свойства наноструктуры сильно зависят от состояния ее поверхности.

Практическая реализация идей создания структур субмикронных размеров является одним из самых блестящих технических достижений конца XX - начала XXI века. Причем подобные структуры могут проявлять различные свойства: металлические, полупроводниковые и диэлектрические. К настоящему моменту уже созданы наноструктуры с одномерным газом (например, квантовые проволоки и нанокристаллы размером несколько нанометров, которые получили название квантовые точки).

Все это открыло принципиальную возможность наблюдения явлений, обусловленных квантовой природой электрона, и привело к интенсивному исследованию интерференции и резонансного туннелирования носителей заряда в полупроводниковых структурах. Появилась возможность проверить ряд принципиальных положений квантовой механики на новых объ-

ектах исследований.

В системах малой размерности можно наблюдать некоторые замечательные физические явления, которые имеют фундаментальное значение. Например, квантовый эффект Холла (целый [88] и дробный [122]), в квантовых кольцах можно наблюдать квантовый эффект Ааронова-Бома [30], в квантовых проволоках — квантование кондактанса [50], в периодических массивах квантовых антиточек — квантовый бильярд [6, 12, 93, 125], а в периодических массивах квантовых точек — фрактальную структуру спектра (бабочка Хофштадтера) [79, 83]. Изучение подобных квантовых эффектов в сверхтонких полупроводниковых структурах дало толчок к появлению новых классов полупроводниковых приборов — резонансных туннельных диодов и транзисторов, обладающих высоким быстродействием (предельные частоты 1012 Гц) и широким спектром возможностей. Помимо чисто академического интереса, подобные системы представляют значительный практический интерес. Совершенно очевидно, что такие структуры обладают неоспоримыми преимуществами перед современными электронными устройствами: компактность, энергосбережение, быстродействие и т.д. Одним из наиболее интересных приложений мезоскопических структур являются квантовые вычисления и квантовые компьютеры, разработки альтернативных концепций которого активно ведутся [56, 112, 117], а также подобные структуры имеют принципиальные преимущества в применении для лазеров [1].

Достаточно сложным является вопрос математического обоснования теоретически построенных физических моделей. Для решения данной проблемы приходится использовать мощный математический аппарат: методы алгебраической топологии и спектрального анализа, теории представления

групп и расширений симметрических операторов и др. [5, 22, 23, 40, 74]. Стоит также отметить модели потенциалов нулевого радиуса, которые играют важнейшую роль в объяснении и выявлении новых свойств наноструктур.

Для того, чтобы создавать квантовые приборы электроники будущего необходимо не только научиться создавать элементы с нанометровыми размерами, но и добиться атомной гладкости поверхности элементов. В природе можно наблюдать пример выполнения этих требований при самоформировании молекул и молекулоподобных объектов типа углеродных трубок. В твердотельной технологии известен ряд способов получения структур с наперед заданными свойствами. В последнее время, благодаря прогрессу в технологии, стало возможным получение искривленных двумерных слоев [108, 109, 110] и нанообъектов различной формы [111]. Суть предложенного в этих работах метода заключается в следующем. При помощи молекулярно-лучевой эпитаксии выращивается однородная по площади ге-тероструктура, толщина слоев которой задается с точностью до атомного монослоя. При отсоединении ультратонких напряженных слоев от подложки пленка приобретает в зависимости от граничных условий новую равновесную форму с минимумом упругой энергии пленки. Эта технология позволяет получать нанотрубки, квантовые наносвитки, кольца и спирали с контролируемыми формами и размерами.

В последнее время резко возрос как экспериментальный [73, 91], так и теоретический [9, 36, 37, 39, 51, 52, 53, 78, 80, 85, 96] интерес к искривленным наноструктурам, в частности к сферическим. В первую очередь это связано с тем, что искривленные нанообъекты имеют необычные спектральные, магнитные, оптические и транспортные свойства. Таким обра-

зом, предполагается использование подобных структур в электронных и оптических устройствах нового поколения. Например, сферические нанообъ-екты могут применяться для получения фотонных кристаллов [99, 102, 128] (то есть периодических ансамблей наночастиц, в которых показатель преломления изменяется периодически). Подобные кристаллы можно использовать для управления потоком света и управления излучательной рекомбинацией (для ее усиления или подавления).

Современное развитие нанотехнологий позволяет создавать сферические нанообъекты с размерами от нескольких до сотен нанометров [101, 115, 123]. Подобные структуры имеют интересные спектральные [45, 126] и оптические свойства [28, 95, 114]. На основе классической теории разработана теоретическая модель для описания оптических свойств сферических нанооболочек [98]. Показано, что пик поглощения является плазменным резонансом электронов в системе, а положение и интенсивность пика поглощения зависят от толщины металлической оболочки и диаметра диэлектрического ядра [38, 129]. Исследования оптического поглощения наноструктур позволили понять кинетику роста наноструктуры [38] и найти значения таких параметров, как время релаксации электрона и константы электрон-фононной связи [129]. Изучение нелинейного оптического отклика нанооболочечных сферических и сфероидальных систем [75, 87, 113] показало, что оболочка структуры может значительно усиливать нелинейный оптический отклик системы. Отметим, что в случае тонкой металлической или полупроводниковой оболочки (порядка нескольких атомных слоев) в свойствах системы становится важным проявление квантовых эффектов, и использование классической модели для описания оптического поглощения нанооболочкой является неприменимым [129].

Следует также отметить, что в последнее время все больше внимания уделяется исследованиям возмущений оператора Лапласа потенциалом, сосредоточенным на множестве нулевой меры (т