автореферат диссертации по электронике, 05.27.01, диссертация на тему:Минимум энтропии измерений как вычислимая мера запутанности многочастичных квантовых состояний

604613920

На правах рукописи

Чернявский Андрей Юрьевич

МИНИМУМ ЭНТРОПИИ ИЗМЕРЕНИЙ КАК ВЫЧИСЛИМАЯ МЕРА ЗАПУТАННОСТИ МНОГОЧАСТИЧНЫХ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ

Специальность

05.27,01 - твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и наноэлектроника, приборы на квантовых эффектах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I 3 янв 2011

Москва - 2010

004618920

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии Наук Физико-технологическом институте РАН (ФТИАН).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Ожигов Юрий Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Молотков Сергей Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор

Кулик Сергей Павлович

Ведущая организация:

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Защита состоится «23» декабря 2010 г. в 15 часов на заседании диссертационного сонета Д 002.204-01 в Физико-технологическом институте РАН по адресу. 117218, Москва, Нахимовский проспект, д. 36, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФТИАН.

Автореферат разослан «19 » ноября 2010 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

В. В. Вьюрков

Общая характеристика работы

Работа посвящена построению, вычислению и изучению свойств мер квантовой запутанности чистых многочастичных и многофермионных состояний.

Актуальность работы

Эффект квантовой запутанное™ лежит в основе многих приложений квантовой теории.

Например, известно [1], что использование запутанных квантовых состояний является необходимым условием для работы одного из самых перспективных устройств на квантовых эффектах - квантового компьютера. А именно, квантовые вычисления, величина двухчастичной запутанности в которых (в смысле ранга Шмидта) полиномиально зависит от числа кубитов, могут быть эффективно смоделированы на классическом компьютере. Т.е. для экспоненциального ускорения квантового компьютера необходим, как минимум, экспоненциальный рост двухчастичной квантовой запутанности. Также доказано (2|, что ни одна нетривиальная задача не может быть решена алгоритмом Гровера (квантовым алгоритмом поиска) без использования запутанности. Следует отметить, что вопрос о связи многочастичной запутанности с быстрыми квантовыми вычислениями является открытым.

Кроме того, известные результаты о двухчастичной квантовой запутанности играют важнейшую роль в кодах коррекции квантовых ошибок, необходимых для построения полноценного квантового компьютера, что дает основания говорить о перспективности исследования многочастичной квантовой запутанности и для этого направления.

Важную роль запутанность играет и в квантовой криптографии. Во-первых, существуют экспериментально реализованные протоколы квантовой криптографии, использующие квантовые запутанные состояния, и, во-вторых, наиболее эффективные (из известных на данный момент) атаки на квантовые криптографические протоколы включают в себя запутывание передаваемых квантовых состояний с анцнлламн (вспомогательными состояниями) подслушивателя. Также использование запутанных состояний лежит в основе таких приложений, как квантовая телепортация и квантовое плотное кодирование.

Развитие теоретических аспектов квантовых запутанных состояний, помимо приведенных выше приложений, дает лучшее понимание основных законов квантовой физики [3] и методов моделирования сложных квантовых систем [4].

Впервые понятие запутанности было определено Э. Шредингером еще в 1935 году [5): «Максимальное знание о всей <запутанной> системе не обязательно влечет за собой знание о всех ее подсистемах, даже тогда, когда подсистемы полностью отделены друг от друга, и в данный момент никак

не взаимодействуют.». Однако, несмотря на достаточно большую историю вопроса, окончательной теории квантовых запутанных состояний до сих пор не существует. Одним из актуальных открытых вопросов данной теории является численная оценка степени запутанности. Этот вопрос особенно важен в связи с идеей, неоднократно высказываемой академиком К.А. Валиевым и многими другими учеными: квантовая запутанность является физическим ресурсом, имеющим важное значение для различных приложений, а особенно для квантового компьютера. В связи с этим появляется необходимость в количественной оценке такого ресурса. Такой оценке и посвящена диссертационная работа, основной задачей которой являлось построение точного численного критерия величины (меры) запутанности систем многих квантовых частиц, с учетом их возможной тождественности и фермионной природы.

Полностью изученной в теории квантовой запутанности является область чистых двухчастичных состояний: запутанность таких состояний целиком определяется коэффициентами разложения Шмидта, а мерой является энтропия этих коэффициентов - редуцированная энтропия фон Неймана. Для случая трех кубитов данное разложение уже не существует. Следует отметить, что вопрос о расширении разложения Шмидта на число кубитов больше двух актуален и в области математики: в терминах алгебры разложение Шмидта называется сингулярным матричным разложением, а задача его хорошего расширения на тензоры высших размерностей является открытой и важной. Представляемая в работе мера Ецтт, основанная на минимизации энтропии измерений, является продолжением разложения Шмидта: вычисление меры для двухчастичных состояний приводит к разложению Шмидта, а cairo значение меры на этих состояниях совпадает с редуцированной энтропией фон Неймана.

За последнее время вопрос мер квантовой запутанности выделился в отдельную быстро прогрессирующую теорию. Ключевым моментом развития этой теории является впервые сформулированный Ведралом и Пленио [6] набор обязательных и желательных требований, налагаемых на меры. Однако, хотя бы частичное совмещение необходимых и желательных свойств в одной мере является нетривиальной и важной задачей. Например, мера Шмидта [7], хотя и обладает необходимыми свойствами и свойством аддитивности, принимает лишь дискретное число значений и не имеет универсального способа вычисления (для меры Ентт, построенной в диссертационной работе, разработан и реализован универсальный метод вычисления). Хорошо известная мера З-tangIe определена только для трехкубитных состояний, а ее обобщение n-tangle [8] определено только для 3 и четного числа кубитов. К тому же эти меры равны нулю на состояниях Вернера (W-состояниях), которые в некотором смысле максимально запутаны. Мера Ецтт определена для произвольного числа частиц и их размерностей, а также равна нулю только на

полностью незапутанных состояниях. Подход, основанный на нильпотентных полиномах [9], позволяет построить аддитивный полином ^аг^егс^ег), однозначно определяющий орбиту многочастичной запутанности. Однако, при помощи такого подхода не построено меры, удовлетворяющей необходимым и желательным требованиям. Мера Енты обладает всеми необходимыми свойствами для фиксированных размерностей частиц, в том числе и монотонностью (невозрастанием относительно локальных операций), а также аддитивна относительно добавления частиц.

В связи с тем, что все реальные квантовые частицы обладают свойством тождественности, актуальным является вопрос о квантовой запутанности в терминах идентичных частиц. Данный случай изучен много хуже, нежели случай различимых частиц; в том числе практически не представлены никакие меры такой запутанности. Для случая двух фермионов существует аналог разложения Шмидта - разложение Слэйтера [10]. Мера Ецт{„ распространена на случай многих фермионов. Она равна нулю на состояниях, представляемых детерминантом Слэйтера и только на них, и, как показывают численные эксперименты, для двух фермионов Еитт совпадает с энтропией разложения Слэйтера. Рассматриваемый подход позволяет построить и меру многобозонной запутанности, однако, в отсутствии какой-либо теории таких мер не представляется возможным проверить ее адекватность.

Целью диссертационной работы являлось:

• построение меры квантовой запутанности чистых многокудитных* состояний и исследование свойств этой меры;

• построение меры квантовой запутанности чистых многофермиониых состояний и исследование свойств этой меры;

• разработка метода вычисления построенных мер запутанности;

• вычисление значения предложенных мер запутанности для некоторых важных многочастичных квантовых состояний;

• исследование задачи о существенности многочастичной запутанности (невозможности описания многочастичной запутанности при помощи двухчастичной) и анализ предложенной меры на предмет существенной многочастичности.

* кудит - (¡-уровневяя квантовая система

Научная новизна работы заключается в следующих положениях:

1. Построена мера запутанности чистых многокудитных квантовых состояний, основанная на минимизации энтропии измерений.

Аналитически доказаны следующие ее свойства:

• инвариантна относительно локальных унитарных преобразований;

• равна нулю на полностью незапутанных состояниях и только на них;

• не возрастает в среднем относительно локальных ортогональных измерений;

• аддитивна в смысле добавления кудитов;

• на двухчастичных состояниях совпадает с энтропией фон Неймана.

Численные эксперименты показали, что данная мера обладает следующими свойствами:

• квадраты модулей амплитуд состояния, имеющего минимум энтропии измерений, являются инвариантами локальной унитарной орбиты этого состояния;

• инвариантна относительно добавления к состоянию незапутанной анциллы;

• аддитивна в смысле расширения пространства и, следовательно, в связи с монотонностью относительно ортогональных измерений, монотонна относительно протокола LOCC (локальные операции и классические коммуникации);

• не может быть выражена через коэффициенты Шмидта для числа кудитов больше 2 (является существенно многочастичной).

2. Построена мера запутанности чистых многофермионных квантовых состояний, основанная на минимизации энтропии измерений. Доказано, что данная мера равна нулю на состояниях, являющихся детерминантом Слэйтера в каком-либо одночастичном базисе, и только на них. Численно установлено, что для двухфермионных состояний данная мера совпадает с энтропией разложения Слэйтера.

3. Разработан метод вычисления предложенных мер запутанности.

4. Создан программный комплекс для вычисления значений предложенных мер запутанности, а также решения других оптимизационных задач. связанных с чистыми многочастичными состояниями. Вычисление многокубитной запутанности реализовано с использованием технологии вычислений на графических процессорах nVidia CUDA.

5. При помощи реализованного программного комплекса построен контрпример, показывающий невозможность описания многочастичной запутанности при помощи двухчастичной (решена задача о существенной много частичности).

6. Были вычислены и проанализированы значения меры Ецтт и ее флуктуации для некоторых важных для квантовой теории многочастичных состояний, а именно: для обобщенных С^-состояний; для обобщенных \У-состоя1шй; для состояний квантового алгоритма Гровера (получена зависимость запутанности от числа кубитов); состояний со случайными амплитудами (получепа зависимость среднего значения запутанности от числа кудитов и их размерности).

Теоретическая и практическая значимость

• Построенная мера запутанности, а также численное решение задачи о неэквивалентности двухчастичной и многочастичной запутанности являются теоретическими результатами.

• Вычисление значений предложенных мер запутанности, реализованное в программном комплексе, может быть использовано для оценки успешности экспериментов по генерации запутанных многочастичных квантовых состояний, особенно важных на пути создания квантового компьютера.

• Созданный программный комплекс может быть использован для решения различных оптимизационных задач в области теории квантовой запутанности чистых состояний.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Семинар «Квантовая информатика» на факультете ВМК МГУ; семинар лаборатории квантовой информатики и квантовой оптики кафедры квантовой электроники физического факультета МГУ; семинар «Квантовые компьютеры» в Физико-Технологическом институте РАН; международный симпозиум «Quantum Informatics - 2009», Zvenigorod, Russia; международная конференция «Mathematical Modeling and Computational Physics 2009», Dubna, Russia; научно-практическая конференция «Вычисления с использованием графических процессоров в молекулярной биологии и биоинформатике», 2010,

Москва, Биологический факультет МГУ; научная конференция «Ломоносовские чтения», 2010, Москва, МГУ.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [А1, А2; АЗ, А4], 1 статья в сборнике трудов конференции [А5] и 3 доклада конференций, опубликованных в тезисах [А6, А7, А8|.

Личный вклад автора

Все результаты диссертации, включая предложенную меру запутанности многокудитных состояний, получены автором самостоятельно, и полностью опубликованы в журналах. Построение алгоритмов, создание программного комплекса и все численные расчеты проведены автором также полностью самостоятельно. Автор благодарит научного руководителя за постановку задачи и обсуждение работы на разных стадиях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 130 страниц. Работа содержит 16 рисунков и 5 таблиц. Библиография включает 130 наименований.

Содержание работы

Первая глава посвящена описанию формализма и известных фактов о мерах квантовой запутанности, а также определению и свойствам многоку-дитной и многофермионной меры запутанности, основанной на минимизации энтропии измерений.

В начале главы описываются необходимые и желательные свойства мер квантовой запутанности чистых многокудитных состояний.

Рассмотрим чистое многокудитное состояние

Тогда мера запутанности - это функция, определенная на всем множестве состояний и принимающая неотрицательные вещественные значения. Чтобы являться «правильной» мерой квантовой запутанности, такая функция должна удовлетворять некоторым свойствам:

(1)

1.1) Мера должна равняться нулю для полностью незапутанных состояний:

Е(Ш ® Ш ® • • • ® Ш) = 0.

1.2) Мера Е должна быть инвариантна относительно локальных унитарных преобразований: ¿3(|^)) = £([/1 ® и2 ® .. ■ ® ия)ф)).

1.3) Мера должна быть монотонна (не возрастать) относительно локальных ортогональных измерений.

Отдельно можно выделить свойства, связанные с расширением пространства состояний:

2.1) Добавление к состоянию незапутанной анциллы не должно менять запутанность.

2.2) Мера должка быть монотонна (не возрастать) относительно протокола ЬОСС (локальные операции и классические коммуникации).

В свойстве 2.1 добавление анциллы подразумевает расширение пространства одного из кудитов: анцилла добавляется к какому-либо кудиту. Таким образом, число кудитов остается тем же, однако, если выбранный кудит рассматривался в пространстве Щ, то после добавления анциллы его пространство становится Н^ ® На. где На - пространство состояний анциллы.

Также важным считается свойство аддитивности Е(\-ф)® |(у?)) = Е(\ф)) + £(1^)); которое может быть сформулировано в двух вариантах:

1. Аддитивность в смысле добавления кудитов.

Состояния и |у>) находятся в пространствах Й1®.. .®Я„ и Нп+1® .. .®Нп+к, соответственно. Тогда состояние |г/>)®|у?) рассматривается в пространстве Н1®.. .®Яп®#п+1®.. ,®Нп+к и его запутанность рассматривается между подсистемами Ни ..., Нп, Нп+1,..., Н^. Т.е. складывается число кудитов.

2. Аддитивность в смысле расширения пространства.

Состояния \ф) и [95) находятся в пространствах Н\ ® ... ® Нп и Н[ ®... ® Н'п. Тогда состояние \ф) ® |</з) рассматривается в пространстве (#1 ® Н[) ® (Яг ® Щ) ® ... ® (Яп ® Н'п), а запутанность рассматривается между подсистемами Н1 ® Н[, Н2 ® Н'2, ■.., Нп ® Н'п. В данном случае перемножаются размерности соответствующих кудитов, происходит расширение пространства состояний кудитов.

Во втором параграфе первой главы рассказывается о запутанности чистых двухчастичных состояний: описываются разложение Шмидта и его связь

с сингулярЕшм разложением матриц (SVD-разложением), редуцированная энтропия фон Неймана, а также фундаментальные результаты Нильсена, связывающие коэффициенты Шмидта двухчастичного состояния с его преобразованиями при помощи протокола LOCC. Заканчивает параграф обоснование сложности перехода к многочастичному случаю.

В третьем параграфе приводятся некоторые известные меры, определенные для чистых многочастичных состояний, и их особенности, а также рассказывается о классификации трехкубитных состояний относительно SLOCC (стохастический протокол LOGC).

Четвертый параграф полностью посвящен новой мере запутанности ЕцтЬ для многокудитных состояний, основанной на минимизации энтропии измерений.

В первом пункте параграфа изложены краткие сведения об информационной энтропии Шеннона, играющей важную роль в определении Енты, а также приводятся свойства энтропии Шеннона, используемые в дальнейших доказательствах. Далее в работе дается определение меры.

Рассмотрим процесс измерения состояния (1) в вычислительном базисе. Этот процесс можно рассматривать как источник сигнала с вероятностями |aibi2....,!„|2 и базисными состояниями |üi2...i„) в качестве выходов источника. Такой источник имеет фундаментальную характеристику - энтропию Шеннона:

d

НтеаЛ\Ф)) = Hsh(Diag( l^XVD) = - £ k,i2,...,d2 In К А.....d2-

il,!2....,i„ = l

Назовем эту величину энтропией измерений состояний. Энтропию измерений, очевидно, нельзя использовать в качестве меры запутанности, т.к. она не является инвариантной относительно локальных унитарных преобразований, в связи с чем вводится следующий естественный инвариант:

Ентт (IV*)) = min Hrneas(Ui®U2® ...®ип\-ф)), (2)

где минимизация ведется по всем локальным унитарным преобразованиям (т.е. по всем локальным изменениям базиса).

Данный инвариант и будет являться мерой запутанности чистых многокудитных состояний.

Важно отметить, что в отличие от многих других мер, мера Ецты определена для любого количества и размерности кудитов.

Следующий пункт параграфа посвящен первым двум необходимых свойствам меры запутанности.

Свойство 1.1 (инвариантность относительно локальных унитарных преобразований) следует из определения меры Ецты-

Свойство 2.2 сформулировано в усиленном виде: пусть |^)-чистое состояние п кудитов (1), тогда

ЕнгшЛШ =0<*\ф) = Ш ® \фг) ® ■ • • ® |V>«>-Таким образом равенство нулю Ец„ип является критерием запутанности.

В четвертом пункте доказывается необходимое свойство 1.3 (невозрастание в среднем относительно локальных ортогональных измерений), сформулированное в виде теоремы:

Теорема. Пусть |ф) ~ чистое п-кудитное состояние. Состояния- возможные результаты произвольного локального ортогонального измерения с соответствующими вероятностями pj. Тогда

Ентт{\Ф)) > ^PjEHminWj})-i

Далее доказываются два дополнительных свойства меры Ецтт-

1) Аддитивность в смысле добавления кубитов.

2) Равенство меры редуцированной энтропии фон Неймана на двухчастичных состояниях.

Также аналитически вычисляется значение Ецтт для обосценных GHZ-d

состояний (\GHZ) = a¿|i)1 ® |г)2 ® ... ® |г)п): t=i

d

EHmin(\GHZ)) = Hmm,(\GHZ}) = K|2.

í=i

Следующие свойства меры Ентт были получены в результате численных экспериментов и пока требуют аналитического подтверждения:

1) Пусть состояния | ф) и | !р) лежат на одной локальной унитарной орбите (т.е. 3Ui, U2, ...,£/„: Ui ® U-2 ® ... ® ип\ф) = |¡¿?)). Пусть также они имеют минимальное значение энтропии измерений Hmeas на этой орбите. Тогда квадраты модулей их амплитуд совпадают. Т.е. квадраты модулей амплитуд аргумента минимума энтропии измерений являются инвариантами локальной унитарной орбиты.

2) E[¡min аддитивна в смысле расширения пространства. Из этого следует инвариантность относительно добавления анциллы (свойство 2.1). Из свойства 2.1 и свойства 1.3 (монотонности относительно локальных ортогональных измерений) следует и монотонность относительно LOCC (свойство 2.2).

Последний параграф первой главы посвящен мере запутанности много-фермионных состояний, основанной на минимизации энтропии измерений.

Рассмотрим чистое состояние п идентичных фермионов, где пространство одночастичных состояний каждого из них имеет размерность р и базис

/ь /2: • - • ; /п-

I/) = ]Г) (3)

1<.,<«2<...<1„<р

где

1<11<!2<...<г„<р

/;,Ы ••• /<,Ы

/¿„Ы ■■■ /;„(гп)

- детерминанты Слэйтера. Раскрытие детерминантов Слэйтера дает общий вид антисимметричного состояния в терминах кудитов.

Известными фундаментальными фактами в теории фермионной запутанности являются:

1) Критерий незапутанности (известный в алгебре как соотношения Плюк-кера).

2) Аналог разложения Шмидта для двух фермионов - разложение Слэйтера: любое двухфермионное состояние может быть представлено в виде

Ш

|/) = ^ г;|2к — 1,2к), где |г,^-детерминанты Слэйтера.

¡=1

Определение меры Ецгп1п для фермионов вводится аналогично с много-кудитным случаем:

Ентт{|/)) = ПШ1 Нтт8{и о |/)),

где |/') = С/о]/) - состояние после перехода к другому одночастичному базису с унитарной матрицей перехода £/. Коэффициенты состояния )/') будут иметь вид:

\' _ \ \ . . . л(Ыгг-,и

1<«1 <и<...<гп<р

где МЦ-^-р - детерминант матрицы, образованной пересечением^'х,^! ■ ■ ■ ,3п столбцов и 11, ¿2...., гп строк матрицы перехода II.

Из определения видно, что введенная мера запутанности многоферми-онных состояний инвариантна относительно преобразования базиса, а также равна нулю на состояниях, являющихся детерминантами Слэйтера в каком-либо одночастичном базисе и только на них.

\г^2..Лп) =

\/п!

Другое важное свойство многофермионной меры, аналогичное многоку-дитному случаю, было получено численно: на двухфермпонных состояниях данная мера равна энтропии измерений разложения Слэйтера.

Вторая глава посвящена методам вычисления представленных в работе мер запутанности.

В первом параграфе главы дается постановка задачи вычисления Ецтт-Из определений представленных мер видно, что задача их вычисления является задачей глобальной оптимизации, параметрами которой являются одна или несколько унитарных матриц. В связи с этим, первым шагом на пути решения должна быть параметризация унитарных матриц.

Для случая многих кубитов, такая параметризация хорошо известна:

где /3,6,7 - действительные числа. Для покрытия множества всех унитарных матриц необходим еще и общий фазовый множитель (четвертый параметр), однако он не влияет на квантовые состояния. Кроме того, несложно заметить, что параметр ¡3 не влияет на энтропию измерений (т.к. в ее определении участвуют только квадраты модулей амплитуд состояния). Таким образом задача вычисления Енты Для п-кубитного состояния представляет собой задачу глобальной минимизации функции 2п переменных.

Задача хорошей параметризации унитарных матриц размерностей больше 2 является открытой. В данной работе были реализованы и протестированы четыре варианта такой параметризации: параметризация при помощи обобщенных углов Эйлера, параметризация при помощи 8\Т)-разложения, параметризация экспонентой эрмитовой матрицы и параметризация при помощи ортогонализации Грамма-Шмидта. Оптимальной для работы оказалась параметризация экспонентой эрмитовой матрицы, она и была использована в большинстве дальнейших вычислений. Опишем данную параметризацию для унитарных матриц размера (1 х й:

Сформируем эрмитову матрицу Н = {Лу} размера <1 х ё: она задается комплексными элементами над диагональю и вещественными элементами на диагонали (всего сР вещественных параметров). В качестве унитарной матрицы мы берем и = е'я. Таким образом задача вычисления п-кудитного состояния сводится к минимизации функции сР ■ п вещественных переменных. А вычисление запутанности п-фермионного состояния с р-мерным одночастич-ным пространством к минимизации функции р2 вещественных переменных.

В следующем параграфе рассматриваются методы глобальной оптимизации и их применение для вычисления Ецтт-

Как известно, не существует универсального метода решения задач глобальной оптимизации. Однако, современные вычислительные ресурсы позволяют эффективно использовать для таких задач некоторые методы, требующие множественные вычисления значений оптимизируемой функции.

Для вычислений мер Egmi„ были реализованы следующие три метода глобальной оптимизации: генетические алгоритмы, роевая оптимизация и метод случайных мутаций.

Генетические алгоритмы основаны на эвристике естественного отбора. Набор параметров задачи представляется хромосомой, а сами параметры обычно являются отдельными генами. Итерационно производится процесс эволюции, на каждом шаге которого отбираются наиболее приспособленные особи, среди них производится скрещивание, а над потомками производятся случайные мутации.

Роевой метод, являющийся достаточно новым подходом к оптимизации, был предложен Кеннеди и Эберхартом в 1995 году [11]. Данный метод основан на моделировании поведения роя. Каждый экземпляр роя - точка в многомерном пространстве, соответствующая фиксированному набору параметров оптимизируемой функции. В простейшем случае движения экземпляра роя определяется несколькими факторами: инертностью - стремлением сохранить предыдущее направление скорости, обучаемостью - стремлением к своему лучшему за время положению и социальностью - стремлением к лучшему положению во всем рое.

Метод случайных мутаций является специальным упрощенным видом генетических алгоритмом. Как в этом методе, так и в генетических алгоритмах в работе был использован нестандартный вид мутаций:

Выбирается случайное целое число nmut € [0, nmaxmuf}} где nmaxmut - параметр алгоритма. После этого выбираются случайным образом nmut генов хромосомы и над ними производится следующая операция: д = g+(10)ordeT-shift, где order - целочисленная случайная величина, равномерно распределенная на [ordermin. ordermax]. shift - вещественная случайная величина, равномерно распределенная на [—1,1]. Для каждого изменяемого гена эти случайные величины независимы. Параметры ordermi,L и ordermax выбираются в зависимости от задачи. Такой вид мутаций позволяет силе мутации адаптироваться к текущей точности работы алгоритма в зависимости от итерации.

В работе описывается тестирование данных алгоритмов, как на стандартных тестовых функциях (для проверки реализации алгоритмов), так и на задачах вычисления Ецтт- На тех задачах, на которых был возможен полноценный анализ качества сходимости (что требует большого числа расчетов), наилучшим оказался метод случайных мутаций.

Следующий параграф посвящен созданному в ходе работы программному комплексу.

Для решения задачи вычисления Ецт{п и решения других задач оптимизации, связанных с чистыми квантовыми состояниями, был создан программный комплекс. Комплекс состоит из следующих основных библиотек: библиотека работы с матрицами и параметризации унитарных матриц, библиотека работы с квантовыми состояниями, библиотека алгоритмов оптимизации, библиотека решения задач оптимизации для квантовых состояний. Опишем основные задачи, которые можно решать при помощи последней библиотеки:

1. задача минимизации произвольной функцин на множестве многокудит-ных состояний (с фиксированным числом кудитов и заданными размерностями каждого кудита);

2. задача минимизации произвольной функции на локальной унитарной орбите фиксированного состояния;

3. задача минимизации произвольной функции на множестве многофер-мионных состояний (с фиксированным числом частиц и фиксированной размерностью одночастичного пространства);

4. задача минимизации произвольной функции по всевозможным изменениям одночастичного базиса фиксированного многофермионного состояния.

Задачи вычисления меры Е^ты Для многокудитных и многофермионных состояний относятся ко второму и четвертому пункту соответственно.

В параграфе описаны библиотеки комплекса и их функциональность, а в конце разбираются приемы, использованные для оптимизации времени вычислений.

В заключительном параграфе главы описывается реализация вычисления Еиты для многокубитных состояний с использованием технологии nVidia CUDA. Научные вычисления на графических адаптерах являются актуальной и очень быстро развивающейся темой. Современные графические адаптеры при невысокой цене имеют много большую производительность, нежели центральные процессоры, что к настоящему времени активно используется в различных областях науки, в том числе и в квантовой физике и информатике.

Алгоритм вычисления меры Ентт реализован в программном комплексе с использованием технологии вычислений на графических процессорах nVidia CUDA. В результате данной реализации было получено 14-кратное ускорение на графическом адаптере nVidia Geforce GTX 275 относительно четырехядер-ного процессора Intel Core2Quad QGG00. Данная реализация позволяет вычислять значение Ец„а„ для состояний до 17 кубитов включительно.

В третьей главе приводятся результаты вычислений меры запутанности Еиты Для различных состояний.

Первый параграф посвящен обобщенным ^-состояниям:

|И0 = «х|0... 01) + а2|0 ■ ■ • 10) + ... + ап\1... 00).

Вычисления показали, что такие состояния несут минимум энтропии измерений на локальной унитарной орбите, т.е. Ецтт(\Ш)) = Нтеан(Ш) —

ЕЫ21п|сц|2. 1

Рис. 1. Динамика запутанности алгоритмов Гровера с числом кубитов п = 11,12,13,14,15. По оси абсцисс - шаг алгоритма, по оси ординат - значение Ентт• Более «широкие» графики соответствуют большему п.

Рис. 2. Зависимость максимального значения меры запутанности Ентт в алгоритме Гровера от числа кубитов.

Во втором параграфе рассматривается динамика многочастичной запутанности в квантовом алгоритме Гровера. В работе приведены графики зависимости значения меры Ецты от шага алгоритма для числа кубитов от 6

Рис. 3. Динамика меры Ентт (сплошная линия) и ее флуктуации (разрывная линия) в 12-кубитном алгоритме Гровера

до 15 включительно (на Рис. 1 автореферата приведены графики такой зависимости для случая от 11 до 15 кубитов). Проанализирована зависимость максимального значения запутанности от числа кубитов (рассмотрены случаи от 6 до 17 кубитов включительно). График этой зависимости приведен на Рпс. 2. Как видно из графика,, при 5 < п < 15 зависимость максимального значения Ецт^„ от числа кубитов близка к линейной. При п = 16.17 заметно отклонение от линейной функции в сторону уменьшения. К сожалению, вычисления для большего числа кубитов из-за невозможности полноценного использования графических адаптеров является очень медленными, в связи с этим задача аналитического вычисления зависимости запутанности в алгоритме Гровера от числа кубитов является приоритетной, но пока не решена.

Третий параграф посвящен флуктуации меры Ецтт- Флуктуация двухчастичной запутанности была определена в работе [12|. По аналогии с ней вводится и флуктуация меры Ецт^п:

где А; - коэффициенты состояния, имеющего минимум энтропии измерений на локальной унитарной орбите состояния (г/)} (как показывают численные результаты первой главы, эти коэффициенты являются инвариантами орбиты).

В работе приводятся значения флуктуации меры Ецтт обобщенных вЩ и состояний, а также графики зависимости значения меры Ецт¿п и ее флуктуации от коэффициента а о обобщенного СВД-соетояния и от коэффициентов ао и а1 обобщенного состояния трех кубитов. Также приводятся

и анализируются графики динамики флуктуации меры Eamin в алгоритме Гровера с различным числом кубнтов. Характер динамики запутанности и ее флуктуации в алгоритме Гровера для различного числа кубитов сохраняется. Следует отметить, что в точках максимальной запутанности, в отличие от других шагов алгоритма, значение флуктуации сильно зависит от параметров алгоритмов оптимизации, т.е. является неустойчивой. На Рис. 3 автореферата в качестве примера приводится график динамики меры Ецт{п и ее флуктуации для 12-кубитного алгоритма Гровера.

Четвертый параграф посвящен динамике двухчастичной запутанности (редуцированной энтропии фон Неймана) многокудитных состояний под действием случайных преобразований. В работе приводятся и анализируются графики такой динамики для различных размерностей кудитов и числа куди-тов, задействованных в преобразованиях. Основными результатами параграфа являются следующие факты: динамика запутанности под действием случайных преобразований имеет общий характер для различных параметров; среднеквадратичное отклонение такой динамики достаточно мало и заметно убывает при увеличении числа кудитов, задействованных в преобразованиях.

Пятый параграф посвящен значению меры Ецтт и ее флуктуации для многокубитных состояний со случайными амплитудами. В данной части исследовалась как флуктуация запутанности, описанная выше, так и отклонение от среднего значения Ецтт 11 флуктуации в смысле случайных состояний. Для первого случая используется термин флуктуация, для второго -отклонение.

Результатами параграфа являются следующие факты:

• среднее значение меры Ецтт возрастает линейно с ростом числа кубитов щ

• среднеквадратичное отклонение меры Ецтт экспоненциально убывает относительно числа кубитов. Уже для п — 14 среднеквадратичное отклонение составляет примерно 0.0009 и сопоставимо с точностью вычислений.

• флуктуация меры Ецтт возрастает пока п < 6, начиная с п = 6 флуктуация начинает убывать и, судя по графику, стремится к некоторому предельному значению близкому к 0.8, однако, для подтверждения этого факта желательно аналитическое доказательство.

• среднеквадратичное отклонение флуктуации экспоненциально убывает относительно числа кубитов. Уже для п = 14 среднеквадратичное отклонение составляет примерно 0.002 и сопоставимо с точностью вычислений.

Четвертая глава посвящена проверке гипотез о квантовой запутанности при помощи методов оптимизации.

Нередко некоторые математические предположения можно представить в виде задач глобальной оптимизации. Соответственно; удобно перед попыткой аналитического доказательства или опровержения гипотезы проверить ее численно с использованием современных методов оптимизации. Конечно, проверки при помощи методов оптимизации не могут служить строгим доказательством, однако, они помогают быстро и с очень большой вероятностью указать на правильность предположения или построить контрпример. В первом параграфе главы приводятся несколько примеров таких проверок, проделанных при работе над диссертацией. Все примеры относятся к проверке лемм и теорем первой главы.

Основным результатом четвертой главы является решение задачи о существенности многочастичной запутанности: можно ли описать многочастичную запутанность лишь при помощи двухчастичной запутанности различных разбиений состояния? С учетом того, что двухчастичная запутанность полностью определяется коэффициентами Шмидта, вопрос состоит в том, полностью ли эти коэффициенты для различных разбиений на две подсистемы определяют и многочастичную запутанность. Приведем точную формулировку задачи на примере многокубитных состояний.

Пусть

1

\Фа) ~ 2---г'п>

И

1

I фр)= X] Р^г-Лп\чг2...гп)

!1,12,-,г„=0

- два чистых тг-кубитных состояния.

Рассмотрим два утверждения:

(I) Эквивалентность состояний в смысле двухчастичной запутанности.

Состояния \фа) и |фд) эквивалентны в смысле двухчастичной запутанности, если для любого разбиения исходного ге-кубитного пространства состояний на два подпространства А — {¿1, к2,..., кт} и В = {кт+1,.... кп}, где 6 1 , п, существуют унитарные преобразования ид и 1)в, действующие на подпространствах А и В соответственно, и

\Фа) = (иА®ив)Ш. (5)

Данное условие эквивалентно равенству коэффициентов Шмидта состояний |фа) и \ф$) для всевозможных разбиений п-кубитного пространства состояний на два подпространства.

(II) Эквивалентность состояний относительно многокубитной запутанности.

Состояния 11ра) и \трр) эквивалентны в смысле многокубитной запутанности, если существует унитарное незапутывающее преобразование С/; = 11\ <8> и2 (8 ... ® 1/п (£/;, г 6 1,п - однокубитные и действуют на г-й кубит соответственно), такое, что

т = щфр). (с)

Очевидно, что (II) (/). Соответственно, нас интсрссуст. обратное: следует ли из эквивалентности состояний относительно двухчастичной запутанности их эквивалентность относительно многочастичной запутанности,

(/) 4 (II). (7)

В работе описывается численный способ проверки такого утверждения. В результате проверки был построен контрпример, а именно два состояния, имеющие одинаковые коэффициенты Шмидта для всех разбиений, но сильно различающиеся значения меры Ец,тп■ Данный контрпример показывает невозможность описания многочастичной запутанности при помощи двухчастичной, а также, что мера Ецпип не выражается через коэффициенты Шмидта, т.е. является существенно-многочастичной.

В заключении приводятся результаты работы.

Основными результатами, выносимыми на защиту, являются:

1. Построена мера запутанности многочастичных квантовых состояний, опирающаяся па статистику локальных измерений квантовой системы. Доказано, что данная мера обладает всеми необходимыми свойствами меры запутанности для фиксированных размерностей пространства частиц, а также является продолжением редуцированной энтропии фон Неймана и аддитивна в смысле добавления частиц. Данная мера распространена на случай многих идентичных фермионов. Показано, что для двух фермионов мера совпадает с энтропией разложения Слэйтера.

2. Построен и реализован в виде программного комплекса метод вычисления представленной меры. Вычисление меры для многокубитных состояний реализовано с использованием технологии вычислений на графических адаптерах.

3. В результате вычисления представленной меры для различных состояний показано, что среднее значение меры для случайных состояний

линейно возрастает с увеличением числа частиц, а ее среднеквадратичное отклонение экспоненциально убывает. Также показано, что вид динамики меры в алгоритме Гровера сохраняется для различного числа кубитов.

4. Построен контрпример, доказывающий тот факт, что многочастичная запутанность не может быть описана при помощи двухчастичной на основе коэффициентов Шмидта для любых разбиений состояния на две подсистемы.

Список публикаций

Al. Valiev К., Akulin V., Chernyavskyi A. et al. Ion trap quantum computations: control and success criterion // Quantum computers and computing. 2006. Vol. 6, no. 1. Pp. 107-124.

A2. Chernyavskiy A. Multiparticle analogue of Schmidt coefficients // Quantum Computers and Computing. 2008. Vol. 8, no. 1. Pp. 141-148.

A3. Чернявский А. Вычислимая мера квантовой запутанности многокубит-ных состояний // Микроэлектроника. 2009. Т. 38, № 3. С. 217-223.

А4. Чернявский А. Неэквивалентность двухчастичной и многочастичной квантовой запутанности // Микроэлектроника. 2009. Т. 38, № 6. С. 449-451.

А5. Burkov A., Chernyavskiy A., Ozhigov Y. Algorithmic approach to quantum theory 3: bipartite entanglement dynamics in systems with random unitary transformations // Proceedings of SPIE. Vol. 6264. 2006. P. 62640B.

A6. Chernyavskiy A. Entanglement Measure for Pure Multiparticle States and Its Numerical Calculation // Тезисы докладов международной конференции «Математическое моделирование и вычислительная физика (ММСР!2009)». 2009. С. 184.

А7. Chernyavskiy A. Entanglement Measure for Multiparticle States and Its Numerical Calculation // ICMNE-2009, Book of Abstracts. 2009. C. q3-07.

A8. Чернявский А. Использование технологии nVidia CUDA для вычисления меры многочастичной квантовой запутанности // Научно-практическая конференция «Вычисления с использованием графических процессоров в молекулярной биологии и бноинформатике». Тезисы докладов. 2010. С. 6-7.

Цитированная литература

1. Vidal G. Efficient classical simulation of slightly entangled quantum computations // Physical Review Letters. 2003. Vol. 91, no. 14. P. 147902.

2. Kenigsberg D., Мог Т., Ratsaby G. Quantum advantage without entanglement // Quantum Information and Computation. 2006. Vol. 6, no. 7. Pp. 606-615.

3. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. РХД, 2001.

4. Ozhigov Y. Constructive approach to quantum computer // Quantum computers and computing. 2008. Vol. 7, no. 1. Pp. 133-140.

5. Schrödinger E. Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik // Naturwissenschaften. 1935. Vol. 23, no. 49. Pp. 823-828.

6. Vedral V., Plenio M. Entanglement measures and purification procedures // Physical Review A. 1998. Vol. 57, no. 3. Pp. 1619-1633.

7. Eisert J., Briegel H. Schmidt measure as a tool for quantifying multiparticle entanglement // Physical Review A. 2001. Vol. 64, no. 2. P. 22306.

8. Wong A., Christensen N. Potential multiparticle entanglement measure // Physical Review A. 2001. Vol. 63, no. 4. P. 44301.

9. Mandilara A., Akulin V.. Smilga A., Viola L. Quantum entanglement via nilpotent polynomials // Physical Review A. 2006. Vol. 74, no. 2. P. 22331.

10. Schliemann J., Cirac J., Kus M. et al. Quantum correlations in two-fermion systems // Physical Review A. 2001. Vol. 64, no. 2. P. 22303.

11. Kennedy J., Eberhart R. Particle swarm optimization // IEEE International Conference on Neural Networks, 1995. Proceedings. Vol. 4. 1995.

12. Фельдман Э. Б., Юрищев M. А. Флуктуации квантовой запутанности // Письма в ЖЭТФ. 2009. Т. 90-1. С. 75-79.

Подписано в печать 19.11.2010 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 110 экз. Заказ № 1051 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Меры многочастичной квантовой запутанности

1.1 Формализм квантовой запутанности.

1.1.1 Локальные квантовые преобразования.

1.1.2 Необходимые свойства мер квантовой запутанности чистых состояний.

1.2 Запутанность двухчастичных состояний.

1.2.1 Разложение Шмидта и энтропия фон Неймана

1.2.2 Матричное SVD (Singular Value Decomposition) разложение

1.2.3 Изменение двухчастичных состояний под действием LOCC.

1.2.4 Сложность перехода к многочастичным состояниям

1.3 Многочастичная запутанность.

1.3.1 Формализм SLOCC (Stochastic LOCC).

1.3.2 Известные меры многочастичной запутанности чистых состояний.

1.4 Мера запутанности чистых квантовых состояний Енпип ■ •

1.4.1 Энтропия Шеннона и ее свойства.

1.4.2 Определение Ентт.

1.4.3 Effmin как мера запутанности чистых квантовых состояний

1.4.4 Монотонность относительно локальных ортогональных измерений.

1.4.5 Прочие свойства меры EHmin.

1.4.6 Свойства, связанные с расширением пространства состояний кудитов.

1.5 Мера запутанности многофермионных состояний.

1.5.1 Введение.

1.5.2 Определение запутанности многофермионных состояний

1.5.3 Критерий незапутанности многофермионных состояний

1.5.4 Разложение Слэйтера.

1.5.5 Мера Ецтгп для многофермионных состояний и ее свойства.

2 Вычисление меры запутанности, основанной на минимизации энтропии измерений

2.1 Постановка задачи.

2.1.1 Параметризация унитарных матриц.

2.2 Выбор метода оптимизации.

2.2.1 Генетические алгоритмы.

2.2.2 Реализация ГА для вычисления Ецт1п.

2.2.3 Островной ГА.

2.2.4 Оптимизация роем частиц.

2.2.5 Случайные мутации.

2.2.6 Тестирование на стандартных функциях

2.2.7 Тестирование на задачах вычисления Ентт • • ■ ■

2.3 Программный комплекс.

2.3.1 Структура программного комплекса.

2.3.2 Библиотека работы с комплексными матрицами и параметризации унитарных матриц.

2.3.3 Библиотека работы с квантовыми состояниями

2.3.4 Библиотека алгоритмов оптимизации.

2.3.5 Библиотека для решения различных задач оптимизации для квантовых состояний

2.3.6 Оптимизация вычислений.

2.3.7 Оптимизация локальных унитарных преобразований

2.4 Вычисление на графических адаптерах.

2.4.1 Введение.

2.4.2 Технология nVidia CUDA.

2.4.3 Вычисление меры запутанности для многокубит-ных состояний с использованием технологии nVidia CUDA.

2.4.4 Результаты.

3 Результаты вычислений

3.1 Запутанность обобщенных W-состояний.

3.2 Запутанность в алгоритме Гровера.

3.2.1 Введение.

3.2.2 Динамика Ентт в алгоритме Гровера.

3.2.3 Зависимость запутанности от числа кубитов

3.3 Флуктуация многочастичной квантовой запутанности

3.3.1 Введение.

3.3.2 Флуктуация многочастичной запутанности обобщенных GHZ и W состояний.

3.3.3 Флуктуация многочастичной запутанности в алгоритме Гровера.

3.4 Запутанность двучастичных состояний, эволюционирующих под действием случайных преобразований.

3.4.1 Зависимость двухчастичной запутанности от числа кудитов.

3.4.2 Зависимость двухчастичной запутанности от размерности кудитов.

3.4.3 Зависимость запутанности от размерностей подсистем

3.4.4 Зависимость динамики запутанности от числа кудитов, задействованных в преобразованиях.

3.4.5 Общая картина динамики запутанности при случайных преобразованиях

3.5 Запутанность и флуктуация запутанности чистых многокудитных состояний со случайными амплитудами.

3.5.1 Зависимость меры Ентш и ее флуктуации от числа кубитов.

4 Проверка гипотез о мере запутанности при помощи методов оптимизации

4.1 Численная проверка утверждений.

4.1.1 Численная проверка теоремы об эквивалентности меры Ентт редуцированной энтропии фон Неймана

4.1.2 Численная проверка Леммы 1.4.11.

4.1.3 Численная проверка Леммы 1.4.10.

4.2 Неэквивалентность двухчастичной и многочастичной запутанпости.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Численный метод подбора контрпримера.

4.2.3 Результаты численных экспериментов.

Работа посвящена построению, вычислению и изучению свойств меры квантовой запутанности чистых многочастичных состояний. Квантовая запутанность является, пожалуй, самым важным и необычным квантовым эффектом, нашедшим свое применение во множестве теоретических и практических приложений. Запутанность лежит в основе квантовой телепортации, квантового плотного кодирования, некоторых протоколов квантовой криптографии, а также является необходимым фактором для эффективной работы одного из наиболее перспективных приборов, основанных на квантовых эффектах, - квантового компьютера. Но несмотря на важность и достаточно долгую историю данной области, законченной теории многочастичной квантовой запутанности до сих пор не существует.

Основополагающими работами по квантовой запутанности можно считать статью Э. Шредингера [104] (перевод на англ. представлен в [105]) и статью Эйнштейна, Подольского и Розена [53], опубликованные в 1935 году.

В своей работе Э. Шредингер впервые представил сам термин «запутанность» (в немецком оригинале «Verschrankung», в переводе на английский «entanglement»). В качестве терминологической справки следует отметить, что правильность перевода слова «Verschrankung» на английский язык до сих пор вызывает споры, и, в связи с этим, в русском переводе существует несколько эквивалентов термина квантовая запутанность: квантовая сцепленность, квантовая перепутанность. Также в работе было дано первое и до сих пор актуальное определение запутанности: «Максимальное знание о всей системе не обязательно влечет за собой знание о всех ее подсистемах, даже тогда, когда подсистемы полностью отделены друг от друга, и в данный момент никак не взаимодействуют.» Это определение означает, что знания об отдельной подсистеме могут быть неполны, т.к. ее состояние может быть нелокально связано с остальными подсистемами.

Статья А. Эйнштейна, Б. Подольского и Н. Розена «Сап quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?» («Может ли квантово-механическое описание физической реальности рассматриваться как полное?») была опубликована до статьи Э. Шредингера и являлась предпосылкой для его работы. В статье [53] был представлен, названный позже в честь авторов, ЭПР-парадокс, современная формулировка которого принадлежит Бому [32]. Приведем краткую формулировку парадокса (более подробное описание и объяснения можно найти, например, в [9, 101, 11]).

Пусть два участника (Алиса и Боб) разделяют между собой запутанное антисимметричное состояние:

101) - [10) у/2 ' причем Алиса и Боб находятся на большом расстоянии друг от друга.

Алиса измеряет величину проекции спина на какую-либо ось . Как несложно показать [9], при получении Алисой результата +1, результат измерения Боба будет —1, и наоборот. Возможны два объяснения такого эффекта:

• Результаты измерения Алисы влияют на результаты Боба (что нарушает локальность).

• Т.к. после измерения Алисы результат измерения Боба однозначен, частица, принадлежащая Бобу, имеет фиксированные характеристики, не описываемые квантовой механикой.

Основным результатом работы [53] являлось заключение, что квантовая механика не может правильно описывать физическую реальность.

Неравенство Белла

Дальнейшее и очень важное развитие ЭПР-парадокс получил в работе Дж. Белла [28] в виде теории скрытых параметров (LHVM - local hidden variable model, модель локальных скрытых переменных). Данная теория основана на трех предположениях:

• Реализм: результаты измерений определяются некоторыми собственными параметрами частиц и не зависят от самих измерений.

• Локальность: результаты измерений, получаемые в определенном месте пространства, не зависят от каких-либо действий, производимых удаленно.

• Свобода воли: параметры измерительного прибора не зависят от переменных, определяющих результаты измерений.

Дж. Белл показал, что эти предположения приводят к ограничениям на статистику результатов измерений двухчастичной системы, причем результаты, получаемые при измерении определенной запутанной квантовой системы, нарушают эти ограничения. Подобные ограничения в виде неравенств стали называть неравенствами Белла.

Наиболее популярным и наглядным из них является CHSH-неравенство, предложенное Клаузером (Clauser), Хорном (Horn), Ши-мани (Shimany) и Холтом (Holt) (название неравенства - аббревиатура фамилий авторов) [41]. Нередко это неравенство называют неравенством Белла.

Пусть Алиса и Боб получают копии одного и того же двухчастичного состояния. Алиса может производить измерения неких величин Pq и Р/?, а Боб - Ps и Рт\ Q, Я, S и Т - результаты измерения соответствующих величин, принимающие значения ±1. Алиса и Боб находятся на большом расстоянии и делают измерения одновременно. Причем случайный выбор величины (из двух возможных), которую нужно измерять, происходит за столь короткое время до самого измерения, что влияние выбора на другого участника становится невозможным (в силу невозможности передачи информации быстрее скорости света). Такими измерениями мы обеспечиваем локальность и свободу выбора. Реализм означает, что Q и R являются объективными характеристиками частицы Алисы, a S и Т -частицы Боба. Обозначим за Е математическое ожидание. Тогда, используя элементарные свойства математического ожидания и алгебраические вычисления, можно получить:

Е(QS) + Е(RS) + Е(ЯГ) - Е(QT) < 2.

Данное неравенство и называется CSHS-неравенством.

Несложно вычислить, что для запутанного двухчастичного состояния (ЭПР-пары)

01) — |10> л/2 и измерений Q = Z,R = = Т = где

Х = = (оЛ)' выРажение ЕС^5) + Е^) +

Е(КГ) — Е((5Т") принимает значение 2 у/2, и СНЗН-неравенство нарушается.

Важным является тот факт, что нарушения неравенств Белла были получены экспериментально. Впервые эксперименты с запутанными состояниями были проведены Клаузером и Шимани в 1978 году [42], а нарушения неравенств Белла были получены Аспеком в 1981-82 годах [23, 22]. В последующем было проведено множество других экспериментов, нарушающих неравенства Белла.

Данные эксперименты опровергли теорию скрытых переменных (а значит, и аргументацию Эйнштейна, Подольского и Розена) и показали существование квантовых нелокальных корреляций и, соответственно, запутанности.

Другим важным следствием нарушений неравенств Белла является то, что квантовая запутанность является сугубо квантовым эффектом и не может быть получена классически.

Исследование различных видов неравенств Белла (например, многочастичных) , а также их природы и связи с квантовой запутанностью является открытым и приоритетным вопросом (см., например, [78, 59, 60]). Также следует отметить, что экспериментально полученная запутанность ЭПР-пар, рассматриваемая в неравенствах Белла, имеет потенциал использования в реальных приложениях: в работе [99] рассматриваются модельные задачи, использование ЭПР-запутанности при решении которых дает улучшения относительно классических корреляций.

Квантовый компьютер.

Как хорошо известно, в связи с экспоненциальным ростом размерности пространства состояний при увеличении числа частиц, эффективное моделирование многочастичной квантовой механики на классическом компьютере невозможно. Исходя из этого, в 1982 году Ричард Фей-нман выдвинул идею «квантового компьютера» - компьютера, использующего в своей основе квантовые эффекты, такие, как суперпозиция и, главное, запутанность. В связи с квантовой природой, такой компьютер может быть естественным образом использован для моделирования многочастичных квантовых систем. Строгие обоснования этого факта в виде квантовых алгоритмов были построены Д. Абрамсом и С. Ллойдом [17], К. Залкой [129], С. Визнером [124] и некоторыми другими учеными.

Впервые формальная модель универсального квантового компьютера (квантовая машина Тьюринга) была предложена П. Бениоффом в 1980 году и развита Д. Дойтчем [46]. Более наглядная модель квантовых вычислений (эквивалентная квантовой машине Тыоринга) - квантовые схемы, была предложена Д. Дойчем [47].

Основным элементом квантового компьютера (в противопоставлении биту классического компьютера) является кубит (qubit, от q-bit -quantum bit). Кубит представляет собой двухуровневую квантовую систему, и его состояние описывается нормированным вектором в пространстве С2: д) =о|0)+Ь|1>, где \а\2 + \b\2 = 1.

Соответственно, состояние системы из п кубитов описывается нормированным вектором 2п-мерного комплексного пространства: 1

Ф) = alll2.ln\iii2--.in).

Базис \i\i2 . in), ij £ {0,1} называется вычислительным.

Для универсальных квантовых вычислений необходимо:

• Иметь возможность приготавливать состояния из вычислительного баз Pica.

• Иметь возможность применять квантовые элементы (унитарные операции) из определенного универсального набора к произвольным кубитам.

• Производить измерения в вычислительном базисе.

Универсальным набором операций является набор, при помощи которого можно получить любую n-кубитную операцию. Например, таким набором являются все однокубитные операции и двухкубитный оператор CNOT: 1 0 0 0 \ 0 10 0 0 0 0 1 ' у 0 0 1 О у

Теория универсальных аппроксимаций унитарных операций рассмотрена в [9].

Помимо квантовой части, у квантового компьютера присутствует классическая часть, которая задает последовательность применения унитарных операций, получает результаты измерения, а также может производить вспомогательные расчеты (в некоторых случаях, например, при квантовой коррекции ошибок вспомогательные расчеты могут упростить схему вычислений, хотя эквивалентные расчеты могут быть проведены и в квантовой части).

Основными достижениями в теории квантовых вычислений являются алгоритм Гровера и алгоритм Шора.

Алгоритм Шора [107] позволяет раскладывать числа па простые множители за время 0(п3), в то время, как наилучшие классические алгоритмы позволяют делать это лишь за 0(еп1/3^09^"/3), где п - длина записи числа. Однако, невозможность полиномиального решения на классическом компьютере не доказана.

Алгоритм Гровера [61] позволяет решать переборные задачи за время порядка О (у/Л), в то время, как классический компьютер, очевидно, может делать это лишь за время О(Л^), где N - число необходимых к перебору вариантов.

Алгоритмы Шора и Гровера, а также алгоритмы моделирования многочастичной квантовой механики делают квантовый компьютер одним из наиболее перспективных приборов, использующих квантовые эффекты.

Роль квантовой запутанности в квантовых вычислениях.

Квантовая запутанность является необходимым условием для экспоненциального ускорения в квантовых вычислениях. Джозса и Липден [72] показали, что если максимальный ранг Шмидта (дискретная мера двухчастичной запутанности) при квантовых вычислениях является константой (не зависит от числа кубит), то такое вычисление можно за полиномиальное время смоделировать на квантовом компьютере. Более сильный результат был получен Ж. Видалом [119]. Результат состоит в том, что эффективное (за полиномиальное время) классическое моделирование возможно, даже если максимальное число Шмидта полиномиально зависит от числа кубит.

Кенигсбергом [74] было доказано, что ни одна нетривиальная задача не может быть решена алгоритмом Гровера без использования запутанности.

Однако, полная связь между быстрыми квантовыми алгоритмами и квантовой запутанностью не установлена [67]. В Главе 3 приводятся и анализируются значения меры многочастичной запутанности в алгоритме Гровера.

Вторым важным моментом является тот факт, что многочастичная запутанность, будучи необходимым условием квантового ускорения, является и главным останавливающим фактором на пути к созданию квантового компьютера. Для эффективных вычислений необходимо не только управлять, но и сохранять квантовую запутанность, чему мешает процесс декогерентности. В современной трактовке декогерснтность - разрушение квантового состояния (и, главное, его запутанности) под действием внешней среды. В настоящий момент не существует полного понимания и описания данного процесса, в связи с чем более тщательное изучение многочастичной квантовой запутанности может дать ключ к решению этой проблемы.

Также следует отметить, что известные результаты о двухчастичной квантовой запутанности играют важнейшую роль в кодах коррекции квантовых ошибок, необходимых для построения полноценного квантового компьютера [9].

Квантовая запутанность и защищенная связь.

Можно выделить два «противоположных» направления использования эффекта квантовой запутанности в квантовой криптографии:

• квантовые алгоритмы распределения секретного ключа, основанные на эффекте квантовой запутанности

• основанные на запутанности атаки на квантовые криптографические протоколы.

Первый протокол распределения ключа с использованием квантовой запутанности Е91 был представлен Экертом в работе [55]. Данный протокол основывается на нарушении неравенства Белла для ЭПР-пар. При измерениях в одинаковом базисе Алиса и Боб получают полностью противоположные результаты, что дает возможность получить ключ. Секретность может быть проверена неравенствами Белла на части результатов измерений: если Ева (подслушиватель) знает результаты ртзмерений

Боба и Алисы, то значения этих результатов были известны до самого измерения, а следовательно, неравенства Белла нарушаться уже не будут. Протокол Е91 неоднократно был реализован экспериментально [91, 114].

Даже при анализе протоколов, не использующих квантовую запутанность, считается, что подслушиватель может использовать все средства, не нарушающие законы природы. Таким образом появляется возможность использовать более эффективные атаки, основанные на квантовой запутанности. Например, в работе [57] рассматривается оптимальная атака с индивидуальными измерениями на протокол ВВ84 (сам протокол запутанность не использует). При такой атаке Ева запутывает свои ан-циллы (вспомогательные квантовые состояния) с состояниями, передаваемыми от Алисы к Бобу, и сохраняет эти анциллы в квантовой памяти. Ева производит индивидуальные измерения над состояниями из своей памяти уже после измерений Боба и согласования базисов. Такая атака приводит к величине критической ошибки (ошибки в канале, при которой возможна безопасная передача данных) 15% . В работе [8] строится атака, где Ева производит не индивидуальные измерения своих состояний, а коллективные, что снижает величину критической ошибки до ее теоретического минимума - 11%.

Квантовая телепортация.

Как известно, неизвестное квантовое состояние не может быть скопировано [128, 48]. Однако с использованием квантовой запутанности имеется возможность передать квантовое состояние на расстояние, не передавая непосредственно физическое представление данного состояния. Такой процесс называется квантовой телепортацией (теоретические основы квантовой телепортации впервые были представлены в работе [29]). Рассмотрим телепортацию одного кубита.

Пусть между Алисой и Бобом разделено запутанное состояние ^(|00) + |11)) и Алиса хочет передать Бобу неизвестное состояние \ф) — а|0) +Ь|1). Соответственно, начальным состоянием всей системы из трех кубитов является ^(а|000) + 6|100) + а|011) + Ь|111>).

Алиса применяет к неизвестному кубиту преобразование Адамара, а после этого к имеющимся у нее двум кубитам преобразование СГТОТ, в результате система перейдет в

00)(с|0) +Ь|1» + |01>(а|1) +Ь|0» + |10)(а|0) - Ь|1» + |11>(а|1> - Ь|0))).

После этого Алиса измеряет имеющиеся у нее два кубита и сообщает результат Бобу по классическому каналу. Боб, зная результат измерения, применяет, соответственно, одно из четырех преобразований: I - тождеполучая нужное состояние |ф) — а|0) + Ь\1).

Важно отметить, что было проведено множество успешных экспериментов по квантовой телепортации (например, [33, 113, 26]).

Квантовое плотное кодирование.

С использованием эффекта квантовой запутанности имеется возможность передать 2 классических бита информации при помощи одного ку-бита [30]. Такой эффект называют квантовым плотным кодированием.

Пусть Алиса и Боб разделяют запутанную пару кубит ^(|00) + |11)). Алиса, используя преобразования I, NOT, Z и NOT ■ Z, может привести общее состояние к одному из 4 взаимно ортогональных состояний

Данный набор состояний называется базисом Белла. В связи с взаимной ортогональностью Боб может отличать друг от друга эти состояния посредством ортогональных измерений обоих кубитов.

Экспериментальное описание плотного кодирования дано в [86].

Следует отметить, что развитие теоретических аспектов квантовых запутанных состояний, помимо приведенных выше приложений, дает лучшее понимание основных законов квантовой физики [1] и методов моделирования сложных квантовых систем [99].

Открытые вопросы теории квантовой запутанности. Меры запутанности.

Как говорилось выше, на данный момент не существует полной теории многочастичной квантовой запутанности даже для чистых систем. Семья Городецки выделяет в своей работе [67] несколько важных открытых задач:

• Как наилучшим образом детектировать запутанность теоретически и экспериментально?

• Как сохранять запутанность?

• Как классифицировать запутанность и определять ее количество? или NOT ■ Z,

00> + |11)), -У100) - |П)), -Ы101) + |Ю», -Ы|01) - |Ю».

Именно вопрос измерения количества запутанности и исследовался в диссертационной работе. Этот вопрос особенно важен в связи с идеей, неоднократно высказываемой академиком К.А. Валиевым и многими другими учеными: квантовая запутанность является физическим ресурсом, имеющим важное значение для различных приложений, а особенно для квантового компьютера. В связи с этим появляется необходимость в количественной оценке такого ресурса. Даже для краткого изложения основ и результатов в области классификации и мер квантовой многочастичной запутанности необходимо для начала изложить некоторый теоретический аппарат. Поэтому обзор формализма, постановки задач и известные результаты будут даны не во введении работы, а в Главе 1 после краткой теоретической справки. Все же приведем несколько важных фактов.

Существенным шагом в развитии теории мер квантовой запутанности является формулировка необходимых свойств таких мер, впервые четко описанная Ведралом и Пленио [115]. Важным и, обычно, самым трудным для доказательства свойством является монотонность - невозможность гарантированно увеличить запутанность, не приводя подсистемы к непосредственному локальному взаимодействию. Данное требование придает всем «правильным» мерам квантовой запутанности полезное практическое свойство: если Е - монотонная мера запутанности, Е(\ф)^) > Е(\ф)2), а подсистемы состояния \ф)2 разнесены в пространстве и не могут быть приведены в непосредственное взаимодействие, то без дополнительного источника запутанности преобразовать состояние \ф)2 в |ф)х невозможно.

Благодаря определенным требованиям к мерам запутанности сформировался так называемый аксиоматический подход к построению мер. Именно такой подход и будет использован в работе. С другой стороны, из-за основополагающей важности квантовой запутанности в различных приложениях (например, упомянутых выше квантовых вычислениях, квантовой криптографии, квантовой телепортации и т.д.) существует другой, не менее важный подход, основанный как раз-таки на конкретных приложениях. Т.е. «количество» запутанности состояния оценивается по его «полезности» в определенном приложении или протоколе. Конечно, правильная теория запутанности должна совмещать в себе оба подхода, однако, такой результат получен только для случая чистых двухчастичных состояний. Для этого случая запутанность состояний целиком определяется коэффициентами Шмидта (подробнее об этом будет рассказано в Главе 1), которые, в свою очередь, целиком определяют возможность преобразований состояния без взаимодействия подсистем. А разложение Шмидта, из которого и получаются коэффициенты Шмидта, играет важнейшую роль практически во всех приложениях, где важна запутанность между двумя подсистемами [9].

Цель работы.

Целью диссертационной работы является:

• построение меры квантовой запутанности чистых многокудитных состояний и исследование свойств этой меры;

• построение меры квантовой запутанности чистых многофермион-ных состояний и исследование свойств этой меры;

• разработка метода вычисления построенных мер запутанности;

• вычисление значения предложенных мер запутанности для некоторых важных многочастичных квантовых состояний;

• исследование задачи о существенности многочастичной запутанности (невозможности описания многочастичной запутанности при помощи двухчастичной) и анализ предложенной меры на предмет существенной многочастичности.

Теоретическая и практическая значимость.

• Построенная мера запутанности, а также численное решение задачи о неэквивалентности двухчастичной и многочастичной запутанности являются теоретическими результатами.

• Вычисление значений предложенных мер запутанности, реализованное в программном комплексе, может быть использовано для оценки успешности экспериментов по генерации запутанных многочастичных квантовых состояний, особенно важных на пути создания квантового компьютера.

• Созданный программный комплекс может быть использован для решения различных оптимизационных задач в области теории квантовой запутанности чистых состояний.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы в 8 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [19, 14, 38, 15], 1 статья в сборнике трудов конференции [35] и 3 докладов конференций, опубликованных в тезисах [40, 16, 39].

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Семинар «Квантовая информатика» па факультете ВМК МГУ, семинар лаборатории квантовой информатики и квантовой оптики кафедры квантовой электроники физического факультета МГУ, семинар «Квантовые компьютеры» в Физико-Технологическом институте РАН, международный симпозиум «Quantum Informatics - 2009», Zvenigorod, Russia, международная конференция «Mathematical Modeling and Computational Physics 2009», Dubna, Russia, научно-практическая конференция «Вычисления с использованием графических процессоров в молекулярной биологии и биоинформатике», 2010, Москва, Биологический факультет МГУ, научная конференция «Ломоносовские чтения», 2010, Москва, МГУ.

Работа выполнена под руководством профессора Юрия Игоревича Ожигова, которому автор выражает искреннюю признательность.

Заключение

Приведем в заключении основные результаты работы.

I. Построена мера запутанности чистых многокудитных: квантовых состояний, основанная на минимизации энтропии: измерений.

Аналитически доказано, что данная мера удовлетворят следующим: необходимым свойствам:

• инвариантна относительно локальных унитарных преобразований;

• равна нулю на незапутанных состояниях;

• не возрастает в среднем относительно локальных ортогональны^^ измерений.

Помимо необходимых свойств, представленная мера обладает следу- ющими важными особенностями:

• аддитивность в смысле добавления кудитов;

• мера равна нулю только на полностью незапутанных состояниях;

• на двухчастичных состояниях мера совпадает с энтропией фо^ Неймана;

• мера Ент?т? не может быть выражена через коэффициенты Шми^ та для числа кудит больше 2 (является существенно многочастц-^ ной);

• имеется возможность вычисления представленной меры.

Численные эксперименты показали, что данная мера обладает следующими свойствами:

• квадраты модулей амплитуд состояния, имеющего минимум энтропии измерений, являются инвариантами локальной унитарной орбиты этого состояния;

• инвариантна относительно добавления к состоянию незапутанной анциллы;

• аддитивна в смысле расширения пространства;

• монотонна относительно LOCC.

II. На основе минимизации энтропии измерений, по аналогии с многокудитным случаем, построена мера запутанности многофермионных состояний.

Данная мера обладает следующими важными свойствами:

• равна нулю на состояниях, являющихся детерминантом Слэйтера в каком-либо одпочастичном базисе, и только на них;

• для двухфермионных состояний совпадает с энтропией разложения Слэйтера;

• как и в случае различимых частиц, имеется способ вычисления рассматриваемой меры.

III. Реализован программный комплекс, позволяющий вычислять построенные меры запутанности.

Помимо вычисления Ентт, программный комплекс позволяет решать и другие оптимизационные задачи, в том числе:

• задача минимизации произвольной функции на множестве много-кудитных состояний (с фиксированным числом кудит и заданными размерностями каждого кудита);

• задача минимизации произвольной функции на локальной унитарной орбите фиксированного состояния;

• задача минимизации произвольной функции на множестве много-фермионных состояний (с фиксированным числом частиц и фиксированной размерностью одночастичного пространства);

• задача минимизации произвольной функции по всевозможным изменениям одночастичного базиса фиксированного многофермион-ного состояния.

Разработана и использована методика тестирования алгоритмов глобальной оптимизации для решения задачи вычисления меры Ентт

IV. Вычисление меры запутанности Ентгп Для многокубит-ных состояний было реализовано с использованием технологии вычислений на графических адаптерах nVidia CUD А.

Использование технологии nVidia CUDA позволило получить 14-ти кратное ускорение при вычислениях на домашнем графическом адаптере nVidia GeForce GTX275 относительно четырехядерного процессора Intel Q6600.

V. С использованием разработанного программного комплекса была решена задача о неэквивалентности многочастичной и двухчастичной запутанности.

А именно, построен пример двух состояний полностью эквивалентных в терминах двухчастичной запутанности, но неэквивалентных в терминах многочастичной запутанности.

VI. Были вычислены и проанализированы значения меры Е и rain Для некоторых важных для квантовой теории многочастичных состояний.

А именно:

• Вычислены значения Ентгп и ее флуктуации для обобщенных GHZ-состояний.

• Вычислены значения Ентт и ее флуктуации для обобщенных W-состояний.

• Вычислены значения Ентгп и ее флуктуации для состояний алгоритма Гровера. Проанализирована зависимость запутанности от числа кубитов.

• Вычислены значения Ентт и ее флуктуации для состояний со случайными амплитудами. Проанализирована зависимость среднего значения запутанности от числа кудитов и их размерности.

1. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. РХД, 2001.

2. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

3. Винберг Э. Б. Курс алгебры. Факториал Пресс, 2002.

4. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных: Пер. с англ. 2-е, испр. изд. Невский Диалект, 2001. 352 с.

5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. 5-е изд. М.: Физматлит, 2001. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). 808 с.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. 5-е изд. М.: Физматлит, 2003. Т. V. Статистическая физика. Часть 1. 616 с.

7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. 4-е, исправленное изд. М.: Физматлит, 2002. Т. IV. Квантовая электродинамика. 808 с.

8. Молотков С., Тимофеев А. Явная атака на ключ в квантовой криптографии (протокол ВВ84), достигающая теоретического предела ошибки Qr. и 11% // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 85, № 10. С. 632637.

9. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информа-ция:Пер с англ. МИР, 2006.

10. Ожигов Ю. И. Квантовые вычисления. Учебно-методическое пособие. 2003.

11. Стин Э. Квантовые вычисления:Пер с англ. РХД, 2000.

12. Фельдман Э. Б., Юрищев М. А. Флуктуации квантовой запутанности // Письма в ЖЭТФ. 2009. Т. 90-1. С. 75-79.

13. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. 2-е изд. Издательский дом «Вильяме», 2006.

14. Чернявский А. Вычислимая мера квантовой запутанности многоку-битных состояний // Микроэлектроника. 2009. Т. 38, № 3. С. 217— 223.

15. Чернявский А. Неэквивалентность двухчастичной и многочастичной квантовой запутанности // Микроэлектроника. 2009. Т. 38, № 6. С. 449-451.

16. Abrams D., Lloyd S. Simulation of many-body Fermi systems on a universal quantum computer // Physical review letters. 1997. Vol. 79, no. 13. Pp. 2586-2589.

17. Akhtarshenas S. Concurrence vectors in arbitrary multipartite quantum systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2005. Vol. 38. Pp. 6777-6784.

18. Akulin V., Burkov A., Damir A. et al. Ion trap quantum computations: control and success criterion // Quantum computers and computing. 2006. Vol. 6, no. 1. Pp. 107-124.

19. Anderson A., Goddard W., Schroder P. Quantum Monte Carlo on graphical processing units // Computer Physics Communications. 2007. Vol. 177, no. 3. Pp. 298-306.

20. Apolloni В., Carvalho C., De Falco D. Quantum stochastic optimization. // STOCHASTIC PROCESS. APPLIC. 1989. Vol. 33, no. 2. Pp. 233-244.

21. Aspect A., Dalibard J., Roger G. Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers // Physical Review Letters. 1982. Vol. 49, no. 25. Pp. 1804-1807.

22. Aspect A., Grangier P., Roger G. Experimental tests of realistic local theories via Bell's theorem // Physical Review Letters. 1981. Vol. 47, no. 7. Pp. 460-463.

23. Assion A., Baumert T., Bergt M. et al. Control of chemical reactions by feedback-optimized phase-shaped femtosecond laser pulses // Science. 1998. Vol. 282, no. 5390. P. 919.

24. Barnum H., Linden N. Monotones and invariants for multi-particle quantum states // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2001. Vol. 34. Pp. 6787-6805.

25. Barrett M., Chiaverini J., Schaetz T. et al. Deterministic quantum tele-portation of atomic qubits // Nature. 2004. Vol. 429, no. 6993. Pp. 737739.

26. Barricelli N. Symbiogenetic evolution processes realized by artificial methods // Methodos. 1957. Vol. 9, no. 35-36. Pp. 143-182.

27. Bell J. et al. On the einstein-podolsky-rosen paradox // Physics. 1964. Vol. 1, no. 3. Pp. 195-200.

28. Bennett C., Brassard G., Crepeau C. et al. Telcporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels // Physical Review Letters. 1993. Vol. 70, no. 13. Pp. 1895-1899.

29. Bennett C., Wiesner S. Communication via one-and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states // Physical review letters. 1992. Vol. 69, no. 20. Pp. 2881-2884.

30. Bhatia R. Matrix analysis. Springer, 1997.

31. Böhm D. Quantum theory // New York: Princeton-Hall. 1951. Pp. 604608.

32. Bouwmeester D., Pan J., Mattle K. et al. Experimental quantum texportation // Nature. 1997. Vol. 390, no. 6660. Pp. 575-579.

33. Bravyi S., Kitaev A. Fermionic quantum computation // Arxiv preprint quant-ph/0003137. 2000.

34. Burkov A., Chernyavskiy A., Ozhigov Y. Algorithmic approach to quantum theory 3: bipartite entanglement dynamics in systems with random unitary transformations // Proceedings of SPIE. Vol. 6264. 2006. P. 62640B.

35. Buscemi F., Bordone P., Bertoni A. Linear entropy as an entanglement measure in two-fermion systems // Physical Review A. 2007. Vol. 75, no. 3. P. 32301.

36. Carteret H., Higuchi A., Sudbery A. Multipartite generalization of the Schmidt decomposition // Journal of Mathematical Physics. 2000. Vol. 41. Pp. 7932-7939.

37. Chernyavskiy A. Multiparticle analogue of Schmidt coefficients // Quantum Computers and Computing. 2008. Vol. 8, no. 1. Pp. 141-148.

38. Chernyavskiy A. Entanglement Measure for Multiparticle States and Its Numerical Calculation // ICMNE-2009, Book of Abstracts. 2009. C. q3-07.

39. Chernyavskiy A. Entanglement Measure for Pure Multiparticle States and Its Numerical Calculation // Тезисы докладов международной конференции «Математическое моделирование и вычислительная физика (ММСР'2009)». 2009. С. 184.

40. Clauser J., Home М., Shimony A., Holt R. Proposed experiment to test local hidden-variable theories // Physical Review Letters. 1969. Vol. 23, no. 15. Pp. 880-884.

41. Clauser J., Shimony A. Bell's theorem. Experimental tests and implications // Reports on Progress in Physics. 1978. Vol. 41. Pp. 1881-1927.

42. Coffman V., Kundu J., Wootters W. Distributed entanglement // Physical Review A. 2000. Vol. 61, no. 5. P. 52306.

43. Davidor Y. Genetic Algorithms and Robotics: A heuristic strategy for optimization. World Scientific, 1991.

44. Deerwester S., Dumais S., Furnas G. et al. Indexing by latent semantic analysis // Journal of the American society for information science. 1990. Vol. 41, no. 6. Pp. 391-407.

45. Deutsch D. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1985. Pp. 97-117.

46. Deutsch D. Quantum computational networks // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1989. Pp. 73-90.

47. Dieks D. Communication by EPR devices // Physics Letters A. 1982. Vol. 92, no. 6. Pp. 271-272.

48. Dorigo M. Optimization, learning and natural algorithms // Milano: Politécnico di Italy, doktorska disertacija. 1992.

49. Dur W., Vidal G., Cirac J. Three qubits can be entangled in two in-equivalent ways // Arxiv preprint quant-ph/0005115. 2000.

50. Eberhart R., Kennedy J. A new optimizer using particle swarm theory // Proceedings Sixth Symposium on Micro Machine and Human Science. 1995. Pp. 39-43.

51. Eckart C., Young G. The approximation of one matrix by another of lower rank // Psychometrika. 1936. Vol. 1, no. 3. Pp. 211-218.

52. Einstein A., Podolsky B., Rosen N. et, al. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Physical review. 1935. Vol. 47, no. 10. Pp. 777-780.

53. Eisert J., Briegel H. Schmidt measure as a tool for quantifying mul-tiparticle entanglement // Physical Review A. 2001. Vol. 64, no. 2. P. 22306.

54. Ekert A. Quantum cryptography based on Bell's theorem // Physical Review Letters. 1991. Vol. 67, no. 6. Pp. 661-663.

55. Fraser A. Simulation of genetic systems by automatic digital computers. I. Introduction // Australian J. Biological Sciences. 1957. Vol. 10. P. 484-491.

56. Fuchs C., Gisin N., Griffiths R. et al. Optimal eavesdropping in quantum cryptography. I. Information bound and optimal strategy // Physical Review A. 1997. Vol. 56, no. 2. Pp. 1163-1172.

57. Ghirardi G., Marinatto L. General criterion for the entanglement of two indistinguishable particles // Physical Review A. 2004. Vol. 70, no. 1. P. 12109.

58. Gisin N. Bell's inequality holds for all non-product states // Physics Letters A. 1991. Vol. 154. Pp. 201-202.

59. Greenberger D., Home M., Zeilinger A. Going beyond Bell's theorem // Bell's theorem, quantum theory, and conceptions of the universe. 1989. Pp. 73-6.

60. Grover L. A fast quantum mechanical algorithm for database search // Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing / ACM. 1996. P. 219.

61. Gutierrez E., Romero S., Trenas M., Zapata E. Parallel Quantum Computer Simulation on the CUDA Architecture // Lecture Notes in Computer Science. 2008. Vol. 5101. Pp. 700-709.

62. Hammarling S. The singular value decomposition in multivariate statistics // ACM Signum Newsletter. 1985. Vol. 20, no. 3. Pp. 2-25.

63. Haupt R., Haupt S. Practical genetic algorithms. Wiley-Interscience, 2004.

64. Hodge W., Pedoe D. Methods of algebraic geometry. Vol. II, Reprint of the 1952 original. 1994.

65. Holland J. Adaptation in natural and artificial system: an introduction with application to biology, control and artificial intelligence // Ann Arbor, University of Michigan Press. 1975.

66. Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M., Horodecki K. Quantum entanglement // Arxiv preprint quant-ph/0702225. 2007.

67. Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M., Horodecki K. Quantum entanglement // Reviews of Modern Physics. 2009. Vol. 81, no. 2. Pp. 865942.

68. ILNumerics.Net the .NET library for numerical computations, http://ilnumerics.net/.

69. Janson S., Middendorf M. A hierarchical particle swarm optimizer and its adaptive variant // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B. 2005. Vol. 35, no. 6. Pp. 1272-1282.

70. Jian Cui H. F. Correlations in Grover search // Arxiv preprint arX-iv:0904.2703. 2009.

71. Jozsa R., Linden N. On the role of entanglement in quantum-computational speed-up // Proceedings: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2003. Vol. 459, no. 2036. Pp. 2011-2032.

72. Juang C. A hybrid of genetic algorithm and particle swarm optimization for recurrent network design // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B. 2004. Vol. 34, no. 2. Pp. 997-1006.

73. Kenigsberg D., Mor T., Ratsaby G. Quantum advantage without entanglement // Quantum Information and Computation. 2006. Vol. 6, no. 7. Pp. 606-615.

74. Kennedy J. Swarm intelligence. Springer.

75. Kennedy J., Eberhart R. Particle swarm optimization // IEEE International Conference on Neural Networks, 1995. Proceedings. Vol. 4. 1995.

76. Khinchin A. Mathematical foundations of information theory. Courier Dover Publications, 1957.

77. Khrennikov A. Frequency analysis of the EPR-Bell argumentation // Foundations of Physics. 2002. Vol. 32, no. 7. Pp. 1159-1174.

78. Kirkpatrick S, Optimization by simulated annealing: Quantitative studies // Journal of Statistical Physics. 1984. Vol. 34, no. 5. Pp. 975-986.

79. Kolda T. A counterexample to the possibility of an extension of the Eckart-Young low-rank approximation theorem for the orthogonal rank tensor decomposition // Anal. Appl. 2001. Vol. 23. Pp. 243-355.

80. Lathauwer L., Moor B., Vandewalle J. A multilinear singular value decomposition // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1995.

81. Levay P., Vrana P. Three fermions with six single particle states can be entangled in two inequivalent ways // Physical Review A. 2008. Vol. 78. P. 022329. URL: doi : 10.1103/PhysRevA. 78.022329.

82. Linden N., Popescu S., Schumacher B., Westmoreland M. Reversibility of local transformations of multiparticle entanglement // Quantum Information Processing. 2005. Vol. 4, no. 3. Pp. 241-250.

83. Lohmayer R., Osterloh A., Siewert J., Uhlmann A. Entangled three-qubit states without concurrence and three-tangle // Physical review letters. 2006. Vol. 97, no. 26. P. 260502.

84. Mandilara A., Akulin V., Smilga A., Viola L. Quantum entanglement via nilpotent polynomials // Physical Review A. 2006. Vol. 74, no. 2. P. 22331.

85. Mattle K., Weinfurter H., Kwiat P., Zeilinger A. Dense coding in experimental quantum communication // Physical Review Letters. 1996. Vol. 76, no. 25. Pp. 4656-4659.

86. Meyer D., Wallach N. Global entanglement in multiparticle systems // Journal of Mathematical Physics. 2002. Vol. 43. P. 4273.

87. Montana D., Davis L. Training feedforward neural networks using genetic algorithms // Proceedings of the eleventh international joint conference on artificial Intelligence. Vol. 123. 1989.

88. Mora C., Briegel H., Kraus B. Quantum Kolmogorov complexity and its applications // Arxiv preprint quant-ph/0610109. 2006.

89. Munshi A. OpenCL Specification VI: Tech. rep.: 0. Technical report, Khronos OpenCL Working Group, 2008.

90. Naik D., Peterson C., White A. et al. Entangled state quantum cryptography: Eavesdropping on the Ekert protocol // Physical review letters. 2000. Vol. 84, no. 20. Pp. 4733-4736.

91. Nielsen M. Majorization and its applications to quantum information theory // Available a t http://www. qinfo. org/talks/1999/06-maj/maj. pdf. 1999.

92. Ozhigov Y. Easy Control over Fermionic Computations // Decoher-ence, Entanglement and Information Protection in Complex Quantum Systems. Pp. 27-32.

93. Ozhigov Y. Quantum computers speed up classical with probability zero // Arxiv preprint quant-ph/9803064. 1998.

94. Ozhigov Y. Constructive approach to quantum computer // Quantum computers and computing. 2008. Vol. 7, no. 1. Pp. 133-140.

95. Panait L., Luke S. A comparative study of two competitive fitness functions // Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO 2002) / Citeseer. 2002.

96. Preskill J. Lecture notes for physics 229: Quantum information and computation // California Institute of Technology. 1998.

97. Robinson J., Sinton S., Rahmat-Samii Y. Particle swarm, genetic algorithm, and their hybrids: optimization of a profiled corrugated horn antenna // IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, 2002. Vol. 1. 2002.

98. Schliemann J., Cirac J., Kus M. et al. Quantum correlations in two-fermion systems // Arxiv preprint quant-ph/0012094. 2000.

99. Schrödinger E. Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik // Naturwissenschaften. 1935. Vol. 23, no. 49. Pp. 823-828.

100. Schrödinger E. The Present Situation in Quantum Mechanics: A Translation of Schrödinger's 'Cat Paradox'Paper // Proceedings of the American Philosophical Society. 1980. Vol. 124. Pp. 323-38.

101. Shannon C. A mathematical theory of communication // ACM SIGMO-BILE Mobile Computing and Communications Review. 2001. Vol. 5, no. 1. Pp. 3-55.

102. Shor P. Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring // ANNUAL SYMPOSIUM ON FOUNDATIONS OF COMPUTER SCIENCE / Citeseer. Vol. 35. 1994. Pp. 124-124.

103. Siddique M., Tokhi M. Training neural networks: backpropagation vs. genetic algorithms // Neural Networks, 2001. Proceedings. IJCNN'01. International Joint Conference on. Vol. 4. 2001.

104. Stacey A., Jancic M., Grundy I. Particle swarm optimization with mutation // Evolutionary Computation, 2003. CEC'03. The 2003 Congress on. Vol. 2. 2003.

105. Tilma T., Sudarshan E. Generalized Euler angle parametrization for SU (N) // Journal of Physics A-Mathematical and General. 2002. Vol. 35, no. 48. P. 10467.

106. Tilma T., Sudarshan E. Generalized Euler angle parameterization for U (N) with applications to SU (N) coset volume measures // Journal of Geometry and Physics. 2004. Vol. 52, no. 3. Pp. 263-283.

107. Ufimtsev I., Martinez T. Quantum chemistry on graphical processing units. 1. strategies for two-electron integral evaluation // Journal of Chemical Theory and Computation. 2008. Vol. 4, no. 2. Pp. 222-231.

108. Ursin R., Jennewein T., Aspelmeyer M. et al. Communications: Quantum teleportation across the Danube // Nature. 2004. Vol. 430, no. 7002. P. 849.

109. Ursin R., Tiefenbacher F., Schmitt-Manderbach T. et al. Entanglement-based quantum communication over 144 km // Nature Physics. 2007. Vol. 3, no. 7. Pp. 481-486.

110. Vedral V., Plenio M. Entanglement measures and purification procedures // Physical Review A. 1998. Vol. 57, no. 3. Pp. 1619-1633.

111. Verstraete F., Dehaene J., De Moor B. Normal forms and entanglement measures for multipartite quantum states // Physical Review A. 2003. Vol. 68, no. 1. P. 12103.

112. Verstraete F., Dehaene J., De Moor B., Verschelde H. Four qubits can be entangled in nine different ways // Physical Review A. 2002. Vol. 65, no. 5. P. 52112.

113. Vidal G. Entanglement monotones // Journal of Modern Optics. 2000. Vol. 47, no. 2. Pp. 355-376.

114. Vidal G. Efficient classical simulation of slightly entangled quantum computations // Physical Review Letters. 2003. Vol. 91, no. 14. P. 147902.

115. Waldemar P., Ramstad T. Hybrid KLT-SVD image compression // 1997 IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1997. ICASSP-97. Vol. 4. 1997.

116. Wei T., Goldbart P. Geometric measure of entanglement and applications to bipartite and multipartite quantum states // Physical Review A. 2003. Vol. 68, no. 4. P. 42307.

117. Whitley D. Genetic algorithms and neural networks // Genetic Algorithms in Engineering and Computer Science. 1995. Pp. 203-216.

118. Wiegand R., Liles W., De Jong K. An empirical analysis of collaboration methods in cooperative coevolutionary algorithms // Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO). 2001. Pp. 1235-1242.

119. Wiesner S. Simulations of many-body quantum systems by a quantum computer // Arxiv preprint quant-ph/9603028. 1996.

120. Wiseman H., Vaccaro J. Entanglement of indistinguishable particles shared between two parties // Physical review letters. 2003. Vol. 91, no. 9. P. 97902.

121. Wong A., Christensen N. Potential multiparticle entanglement measure // Physical Review A. 2001. Vol. 63, no. 4. P. 44301.

122. Wootters W. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, no. 10. Pp. 22452248.

123. Wootters W., Zurek W. A single quantum cannot be cloned // Nature. 1982. Vol. 299. P. 802.

124. Zalka C. Efficient simulation of quantum systems by quantum computers // Arxiv preprint quant-ph/9603026. 1996.

125. Zanardi P. Quantum entanglement in fermionic lattices // Physical Review A. 2002. Vol. 65, no. 4. P. 42101.