автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы приближенного функционального интегрирования для численного исследования моделей в квантовой физике

На правах рукописи

Лобанов Юрий Юрьевич

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2009

003476408

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов, Москва

Научный консультант: доктор физико-математических наук

профессор Жидков Евгений Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Янович Леонид Александрович

доктор физико-математических наук профессор Рыбаков Юрий Петрович

доктор физико-математических наук профессор Смолянов Олег Георгиевич

Ведущая организация: Московский государственный институт электроники и математики

Защита состоится " 25 " сентября 2009 г. в 1530 на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 при Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, дом 3.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198 г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, дом 6.

Автореферат разослан "24 "лёг^ста 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

фомин М.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена разработке методов численного функционального (континуального) интегрирования и их применению для исследования моделей в квантовой и статистической физике. Метод континуального интегрирования является важным аппаратом для решения широкого круга проблем в различных областях физики и математики.

Начало использованию континуальных интегралов и их исследованию было положено еще в 30-е годы в работах А.Н.Колмогорова и Н.Винера в теории случайных процессов. В вышедшей в 1930 году книге П.Дирака "Принципы квантовой механики" на основе принципа суперпозиции и вероятностной трактовки амплитуды перехода между квантовыми состояниями также была высказана идея использования континуального интегрирования. В 50-е годы эта идея получила мощный дополнительный стимул для развития, связанный в первую очередь с работами Р.Фейнмана по квантовой механике и квантовой электродинамике, в которых был введен и использован (правда, еще без надлежащего математического обоснования) знаменитый "фейнмановский интеграл по траекториям" Концепция этого интеграла послужила основой для создания новой альтернативной формулировки квантовой механики. Идеи Фейнмана получили дальнейшее развитие в работах М.Каца по исследованию диффузионных процессов. С другой стороны, в работах Ю.Швингера по квантовой электродинамике были использованы уравнения в функциональных производных, также требовавшие развития методов интегрирования в функциональных пространствах. Источниками уравнений в функциональных производных явились, кроме того, работы Е.Хопфа по статистической гидродинамике и исследования Н.Н.Боголюбова в области статистической физики. Вслед за тем появилось большое количество работ, в которых континуальные интегралы стали широко применяться в различных областях физики и математики, в том числе при решении дифференциальных уравнений в частных производных и стохастических дифференциальных уравнений.

Одной из основных областей использования континуальных интегралов является квантовая физика. Континуальное интегрирование является в настоящее время основным методом численного исследования непертурбативных явлений в квантовой калибровочной теории,

1Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. - М.: Мир, 1968. - 382 С.

континуальные интегралы находят широкое применение в квантовой механике, теории поля, статистической физике, физике атомного ядра, физике твердого тела, квантовой статистике, теории сверхпроводимости, квантовой оптике, статистической радиотехнике, радиационной физике частиц высоких энергий и во многих других областях2. Поскольку в квантовой теории поля во многих случаях отсутствует дифференциальная постановка задачи, основным методом исследования долгое время являлась теория возмущений. Однако, как оказалось, ряд явлений не может быть описан в рамках этого подхода (сильные взаимодействия, а также так называемые непертурбативные эффекты). Существующий также метод квазиклассического приближения не учитывает специфические квантовые эффекты и не дает возможности исследования широкого круга интересных физических явлений. В связи с этим, метод моделирования, основанный на приближенном континуальном интегрировании, являющийся практически единственным способом получения численных результатов в этих случаях приобретает особенно важное значение.

Широкое применение континуальных интегралов стимулировало развитие их теории и методов приближенного вычисления. Поскольку "мера Фейнмана" не удовлетворяет условию счетной аддитивности, т.е. не является мерой в математически строгом смысле, возникли различные подходы к фейнмановским интегралам, обосновывающие их конструкцию и предлагающие способы их приближенного вычисления. Одним из способов определения континуальных интегралов в квантовой теории путем сведения их к обычным (римановым) интегралам высокой кратности является введение пространственно-временной решетки. На этом пути был получен ряд важных численных результатов. При проведении расчетов на решетке возникает проблема исследования существования и единственности континуального предела, зависимость результатов от шага решетки, возникновение эффектов конечного размера и решеточных артефактов, проблемы с топологией на решетке (неоднозначность определения топологического заряда и др.). Основным методом численных расчетов при этом является метод Монте-Карло, обеспечивающий получение результатов с погрешностью, определяемой лишь в вероятностном смысле и требующий чрезвычайно больших затрат счетного времени и оперативной памяти ЭВМ. В связи с этим особую актуальность приобретает создание новых высокоэффективных методов детерминированного вычисления

2Мазманишвили A.C. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач. - Киев: Наукова думка, 1987. - 224 С.

О

континуальных интегралов, что и явилось одной из задач данной диссертации.

Начало математически строгому изучению континуальных интегралов по счетно-аддитивным мерам было положено в работах Н.Винера, которым была введена в пространстве непрерывных на отрезке функций мера континуального интегрирования, носящая теперь его имя. Долгое время наиболее изученными являлись именно винеровские интегралы, однако в последнее время большое внимание уделяется их обобщению, а также исследованию функциональных интегралов по другим мерам в соответствующих пространствах. В последние годы в мире были получены значительные результаты в области теории и использования интегралов по мере Лебега, обобщающие концепцию винеровского интеграла. В то же время, в большинстве работ физического направления, использующих континуальные интегралы, речь идет об интегралах по траекториям, а не о собственно континуальных интегралах. При этом математическому обоснованию используемых методов не всегда уделяется достаточное внимание. Напротив, в чисто математических работах, содержащих строгие формулировки и доказательства, как правило отсутствует применение получаемых результатов к конкретным физическим проблемам. Образовался, таким образом, разрыв между теорией и практическим применением метода континуального интегрирования. Одной из задач данной диссертации является заполнение этого разрыва.

Первые результаты по приближенному вычислению континуальных интегралов по гауссовым мерам связаны с работами Р.Камерона, которым был получен аналог формулы Симпсона для 1винеровских интегралов по пространству непрерывных функций3. Впоследствии рядом авторов были построены приближенные формулы и других типов, в том числе и для интегралов по другим мерам4. Весьма актуальной является разработка методов приближенного вычисления функциональных интегралов применительно к задачам квантовой и статистической физики.

Актуальным является также применение численных методов для исследования моделей в физике с использованием ЭВМ. Одной из важных задач теоретической физики является исследование топологической структуры вакуума в квантовой калибровочной теории. Возможность

3Cameron R.H. A "Simpson rule" for the numerical evaluation of Wiener's integrals in function space. // Duke Math. J. - 1951. - Vol. 18, N1. - Pp. 111-130

4Egorov A.D., Sobolevsky P.I., Yanovich L.A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. - Dordrecht a.o.: Kluwer Ac. Publ., 1993. - 419 P.

переходов между состояниями, обладающими различными значениями топологического заряда, связана с наличием в евклидовой метрике классических решений полевых уравнений, имеющих нетривиальную топологию (инстантоны), что впервые было обнаружено в 1975 году А.М.Поляковым. Поскольку топологические эффекты, связанные с инстантонными решениями, являются непертурбативными, то есть не могут быть исследованы в рамках теории возмущений, основным методом исследования является численное моделирование, основанное на приближенном вычислении интегралов по траекториям (функциональных интегралов), что нашло свое отражение в данной диссертации.

Одной из важных областей использования континуальных интегралов является также исследование открытых квантовых систем (ОКС), т.е. систем, взаимодействующих с окружающей их средой. Задача описания временной эволюции ОКС важна как с практической, так и с методологической точек зрения. В рамках такого подхода естественным образом описываются неравновесные необратимые процессы, сопровождающиеся диссипацией энергии, что находит применение в различных областях квантовой физики и химии. Это обуславливает актуальность проводимых в диссертации исследований по численному моделированию открытых квантовых систем на основе метода приближенного функционального интегрирования.

Актуальным является также проводимое в диссертации применение метода континуального интегрирования для исследования потенциальных моделей ядра в ядерной физике. Континуальные интегралы предоставляют удобный способ изучения широкого круга ядерных систем, недоступных для численного исследования другими методами. Однако, при формулировке задачи для многочастичной ядерной системы на пространственно-временной решетке, нахождение характеристик тяжелых ядер является сложной задачей даже для высокопроизводительных компьютеров. В первую очередь это касается свойств основного состояния систем (энергии связи, массы и т.д.). Соответственно, актуальными являются проведенные в диссертации расчеты энергии связи нуклонов в некоторых ядрах, позволяющие уточнить аналогичные данные, полученные другими авторами методом Монте-Карло и вариационным методом. В диссертации осуществлялись также разработка метода и проведение расчетов матрицы плотности в модели Двойной Ядерной Системы (ДЯС), описывающей процесс слияния ядер при их глубоконеупругих столкновениях в реакциях с участием тяжелых ионов. Данная модель объясняет механизм образования составного ядра и позволяет

оценить вероятность его формирования, что имеет важное значение для подготовки экспериментов по синтезу сверхтяжелых элементов.

Таким образом, актуальность представленных в диссертации исследований по разработке и использованию методов приближенного функционального интегрирования определяется важностью функционально-интегрального формализма для моделирования процессов и явлений в квантовой и статистической физике, особенно в тех случаях, когда другие методы оказываются неприменимыми. В связи с тем, что существующие в настоящее время вероятностные методы вычисления функциональных интегралов являются недостаточно эффективными, особую актуальность имеет проводимая в диссертации разработка новых высокоэффективных детерминированных методов функционального интегрирования, обобщающая и совершенствующая имеющиеся методы приближенного вычисления функциональных интегралов. Разработанные методы использованы в диссертации для численного моделирования с использованием ЭВМ в актуальных задачах квантовой физики.

Цели и задачи диссертации

Фундаментальная проблема, на решение которой направлена диссертация, это разработка, обоснование и тестирование эффективных методов приближенного вычисления наблюдаемых величин и характеристик в моделях статистических и квантовых систем в рамках формализма функционального интегрирования.

Целями диссертации являются:

1. Создание новых методов приближенного вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам для моделирования в квантовой и статистической физике.

2. Разаботка и программная реализация алгоритмов численного нахождения функциональных интегралов, обеспечивающих наперед заданную точность получаемых результатов.

3. Тестирование разработанных численных методов на точно решаемых моделях (модель квантового гармонического осциллятора, многочастичная модель Калоджеро).

4. Построение континуальных моделей в квантовой и статистической физике на основе представления амплитуд перехода и вероятностей в виде функциональных интегралов.

5. Использование разработанных методов приближенного функционального интегрирования для численного исследования моделей в квантовой механике и квантовой теории поля.

Научная новизна

Все выносимые на защиту результаты являются новыми. Новизна проявляется в следующих элементах исследования:

1. В диссертации разработаны новые приближенные методы для вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам в полных сепарабельных линейных пространствах. В отличие от существующих методов приближенного функционального интегрирования, созданные методы обладают большей степенью общности; по сравнению с расчетами на решетке с использованием метода Монте-Карло, разработанные в диссертации методы дают возможность использования детерминированных алгоритмов с гарантированной, а не вероятностной оценкой погрешности и обладают более высокой эффективностью (требуют меньшего времени вычисления и меньшего объема памяти ЭВМ).

2. Для амплитуды перехода между квантовыми состояниями в моделях евклидовой квантовой механики получено новое выражение в виде континуального интеграла по нормированной условной мере Винера. В отличие от известной формулы Фейнмана-Каца, данное выражение содержит интегрирование по пространству непрерывных на отрезке [0,1] функций, принимающих нулевые значения на концах отрезка. Это позволяет применять к данному выражению теорию интеграла Лебега для аналитического исследования и для численных расчетов.

3. На основе полученного соотношения для амплитуды перехода в виде функциональных интегралов построены новые выражения для свободной энергии квантовой системы (энергии Гельмгольца), для энергии основного состояния системы, для корреляционной функции и пропагатора, для разности энергий основного и первого возбужденного состояний в случае дискретного спектра, для квадрата модуля волновой функции основного состояния. Данные выражения позволяют использовать методы статистической физики и функционального интегрирования по вероятностным мерам для расчетов в квантовой механике при конечной температуре и, в отличие от известных

из квантовой механики соотношений, дают возможность исследовать характер стремления этих величин к термодинамическому пределу.

4. Для пропагатора открытых квантовых систем получено новое выражение. В отличие от существующего выражения в виде двойного фейнмановского интеграла, данное соотношение записывается в форме двойного континуального интеграла по условной мере Винера. Это позволяет применять развитые в диссертации методы приближенного вычисления интегралов Винера для численного исследования временной эволюции открытых квантовых систем.

5. Получено выражение для топологического заряда и топологической восприимчивости в квантовых системах с периодическим потенциалом. В отличие от аналогичных выражений на решетке, данный результат не подразумевает дискретизации пространства и времени, а связывает искомые величины с функциональными интегралами в пространстве непрерывных на отрезке функций. Благодаря этому исключается возможность ошибочного изменения топологического заряда при недостаточно малом шаге решетки.

6. Для матричного элемента оператора эволюции квантовой системы, состоящей из взаимодействующих между собой фермионов, получено новое выражение на основе использования полного набора антисимметризованных многочастичных состояний. В отличие от существующего аналогичного выражения для дискретизованного отрезка времени, полученное соотношение не требует дискретизации, а позволяет выразить матричный ' элемент через кратный функциональный интеграл по условной мере Винера в упорядоченном подпространстве прямого произведения пространств непрерывных функций.

7. На основе разработанного метода приближенного функционального интегрирования получены новые численные результаты, которые позволяют исследовать границы применимости теоретического приближения разреженного инстантонного газа, сравнивать предсказания моделей ядра с данными экспериментов и уточнить получаемые в рамках этих моделей величины энергий связи нуклонов.

В отличие от решеточного подхода, данные результаты получены без предварительной дискретизации пространства и времени, т.к.

дискретизация в разработанных в диссертации методах используется лишь на последнем этапе расчетов при вычислении (с требуемой точностью) римановых интегралов и, в отличие от расчетов на решетке, не является способом определения самого функционального интеграла.

Практическая значимость

В диссертации разработаны методы приближенного вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам, моделирующих наблюдаемые величины и характеристики квантовых систем. Данные методы включают в себя построение аппроксимаций, обладающих свойством точности на классе функциональных многочленов заданной степени. Благодаря этому, разработанные методы обладают более высокой эффективностью по сравнению с вероятностными методами и другими аппроксимациями, не учитывающими свойства интегрируемого функционала.

В рамках разработанных численных методов для функциональных интегралов по гауссовым мерам, основанных на аппроксимациях, являющихся точными на классе функциональных многочленов, автором диссертации разработаны алгоритмы и создан комплекс компьютерных программ ПДОШТ, включающий в себя программу для вычисления функциональных интегралов общего назначения для случая условной меры Винера в пространстве непрерывных функций, программу нахождения функциональных интегралов по гауссовой мере для расчетов в квантовой теории поля, программу для расчетов в ядерной физике методом численного функционального интегрирования и программу для вычисления функциональных интегралов при нахождении характеристик открытых квантовых систем.

В результате применения разработанных методов и созданных компьютерных программ для численного моделирования топологических эффектов, связанных с квантовым туннелированием в модели с "двугорбым" потенциалом и в модели квнтового маятника, были вычислены характеристики, лучше согласующиеся с теоретическим приближением инстантонного газа и с меньшими затратами счетного времени и памяти ЭВМ по сравнению с результатами других авторов, полученными методом Монте-Карло. Аналогично, при расчете энергии основного состояния в многомерной модели Калоджеро разработанные в диссертации методы позволили получить более точные результаты с меньшими затратами вычислительных ресурсов

(счетные времена, требуемый объем памяти ЭВМ). Результаты вычисления энергии связи нуклонов в потенциальной ядерной модели, полученные в диссертации, лучше согласуются с экспериментальными данными, чем результаты других авторов. Разработанный в диссертации метод приближенного функционального интегрирования позволяет эффективно вычислять матрицу плотности при численном моделировании открытых квантовых систем.

Результаты и положения, выносимые на защиту

1. Методы приближенного вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам в полных сепарабельных линейных пространствах, в том числе метод вычисления функциональных интегралов с весом, кратных функциональных интегралов, метод приближенного вычисления функциональных интегралов для систем взаимодействующих между собой фермионов, открытых квантовых систем.

2. Доказательство сходимости приближений, получаемых по построенным приближенным формулам, к точному значению интеграла и оценка остаточных членов формул, позволяющая гарантировать точность результатов вычислений.

3. Формулировки квантовых моделей гармонического и ангармонического осциллятора, модели с "двугорбым" потенциалом взаимодействия, многочастичной, модели Калоджеро, потенциальных моделей ядра в терминах функциональных интегралов по Гауссовым мерам в линейных пространствах на основе представления амплитуд переходов между квантовыми состояниями в виде функциональных интегралов.

4. Результаты тестирования эффективности разработанных численных методов на точно решаемых моделях (модель квантового гармонического осциллятора, многочастичная модель Калоджеро).

5. Результаты моделирования с использованием разработанных приближенных методов, алгоритмов и созданных компьютерных программ:

• численное исследование континуальных квантово-механических моделей, указанных в п.З, путем вычисления и анализа наблюдаемых величин и характеристик в рамках этих моделей;

• исследование Р(ф)г модели двумерной евклидовой теории поля с полиномиальными взаимодействиями в континуальном пределе, численный анализ стремления функциональных интегралов в этой модели к термодинамическому пределу;

• исследование непертурбативной топологической структуры основного состояния квантовой системы с периодическим потенциалом (модель квантового маятника), численный анализ топологического заряда и топологической восприимчивости;

• исследование открытых квантовых систем при моделировании неравновесных процессов (квантовое туннелирование с диссипацией сквозь потенциальный барьер, процесс слияния ядер в модели Двойной Ядерной Системы);

• исследование многочастичных ядерных систем в рамках потенциальной модели ядра, расчеты и анализ энергий связи в моделях ядер дейтерия, трития, модели а - частицы.

Достоверность и обоснованность

Полученные в диссертации теоретические результаты обоснованы применением известных методов теории меры и функционального анализа. В частности, доказательство сходимости приближений к точному значению функционального интеграла основывается на применении теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Обоснованность численных результатов обусловлена использованием хорошо зарекомендовавших себя методов Симпсона, Гаусса и Коробова при вычислении обычных (римановых) интегралов, являющихся составной частью метода приближенного вычисления функциональных интегралов.

Достоверность проведенных исследований и справедливость оценок остаточных членов приближенных формул для функциональных интегралов, полученных в диссертации, подтверждается результатами вычисления ряда интегралов, допускающих аналитическое нахождение.

Достоверность полученных выражений для физических величин в виде функциональных интегралов и сделанных выводов о сходимости результатов к континуальному и термодинамическому пределам подтверждаются численным анализом точно решаемых моделей.

Достоверность результатов численных расчетов в моделях квантовой механики, квантовой теории поля, ядерной физики подтверждаются

сравнением с имеющимися данными экспериментов, с теоретическими оценками, с аналитическими и численными результатами других авторов.

Личный вклад автора

Все основные результаты, выносимые на защиту, получены лично автором диссертации.

При этом разработка теоретических соотношений для функциональных интегралов в моделях квантовой и статистической физики выполнена автором полностью; автором диссертации внесен определяющий вклад в выбор программы научных исследований и в создание численных методов для приближенного вычисления функциональных интегралов, а также в анализ результатов моделирования с использованием ЭВМ.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому моделированию и семинаре по теоретической физике РУДН, на семинаре по вычислительной физике Лаборатории информационных технологий ОИЯИ, семинарах кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, кафедры прикладной математики и кафедры кибернетики МИЭМ, а также на следующих конференциях:

1. Всесоюзная конференция "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики", Новосибирск, 1987

2. International IMACS Conference on Math. Modelling and Applied Mathematics, Moscow, 1990

3. International Colloquium on Differential Equations and Applications, Budapest, Hungary, 1991

4. 4-th International Conference on Path Integrals from meV to MeV, Tutzing, Germany, 1992

5. International Conference on Path Integrals in Physics, Bangkok, Thailand,

1993

6. International Conference on Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems, Dubna, Russia, 1993

7. International Conference on Dynamical Systems and Chaos, Tokyo, Japan,

1994

8. 5-th International Conference on Path Integrals from meV to MeV, Dubna, Russia, 1996

9. NATO Advanced Study Institute on Functional Integration: Basics and Applications, Cargese, France, 1996

10. International Conference on Computational Physics, Granada, Spain, 1998

11. International Conference on Path Integrals from peV to TeV (50 Years after Feynman's Paper), Florence, Italy, 1998

12. Workshop on Stochastics and Quantum Physics, Aarhus, Denmark, 1999

13. International Mathematics Conference, Minsk, Belarus, 2000

14. International Conference on Path Integrals from Quarks to Galaxies, Antwerpen, Belgium, 2002.

15. International Conference on Irreversible Quantum Dynamics, Trieste, Italy, 2002

16. International Congress on Mathematical Modelling, Dubna, 2002.

17. International Conference on Computational Methods in Applied Mathematics, Minsk, 2003.

18. International Conference on Mathematical Modelling and Analysis, Trakai, Lithuania, 2005.

19. International Conference on Path Integrals from Quantum Information to Cosmology, Prague, Czech Republic, 2005.

20. International Science Conference "The Modeling of Nonlinear Processes and Systems", Moscow, 2008.

Структура и объем диссертации

Диссертация содержит 216 страниц, в том числе 19 теорем, 4 леммы, И рисунков, 30 таблиц и состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы, включающего в себя 173 наименования.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 63 работы. Основные результаты представлены в 1 монографии [1]; в 10 статьях в российских журналах: Математическое моделирование, ЭЧАЯ, Дифференциальные уравнения, Вестник РУДН Серия Математика, Информатика, Физика [2-11] и в 8 статьях в зарубежных журналах: Computer Physics Communications, Journal of Physics A, Mathematics and Computers in Simulation, Journal of Computational and Applied Mathematics, Physical Review E [12-19], рекомендованных ВАК для представления результатов докторских диссертаций.

Работы [11]-[15] выполнены лично автором. В монографии [1] автором написано введение и главы 7 - 13.

В работах [2], [4], [6], [8]-[10] автором диссертации внесен существенный вклад в разработку программы научных исследований и определяющий вклад в решение поставленных в этих работах задач, в том числе, в выбор метода решения, а также в анализ точности полученных результатов.

В работах [3], [5], [7], [16]-[19] автором настоящей диссертации внесен определяющий вклад в математическую постановку задач и существенный вклад в их решение, а также определяющий вклад в анализ и интерпретацию результатов.

Краткое содержание диссертации

Во введении дана общая характеристика работы, обоснованы ее актуальность и научная новизна, описаны цели диссертации, ее структура и объем, представлено краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе приводятся результаты выполненных автором исследований различных квантовых моделей и их новая формулировка на основе формализма функционального интегрирования, выполненная автором. Общеизвестны несколько моделей квантово-механических систем; одной из них является модель Фейнмана, сформулированная в виде интеграла по путям. Подход Фейнмана был реализован им и его последователями в виде различающихся моделей: основанных на интегралах по траекториям и на интегралах по условной мере Винера. Связь между ними исследуется в диссертации на основании анализа концепции фейнмановского интеграла, его аналога в евклидовой метрике, определения интеграла по мере Винера в пространстве непрерывных на отрезке функций, определения интеграла по мере Лебега в абстрактных линейных пространствах и

представления меры Винера как частного случая гауссовых мер. Полученные автором соотношения позволяют использовать для анализа и приближенного вычисления функциональных интегралов квантовой физики теоретические результаты и численные методы для континуальных интегралов по заданной мере, изложенные в следующих главах.

Для амплитуды перехода в евклидовой квантовой механике в системе единиц Н = с = 1 на основе известной формулы Фейнмана-Каца в диссертации получено выражение в виде интеграла по нормированной условной мере Винера <21У(а;) в пространстве Со непрерывных на отрезке [0,1] функций с нулевыми значениями на концах отрезка:

х/, Р) =< х} | е~0Н | х* >= * ехр{-^(х/ - х*)2} х (1) 1

х Jехр^—рJ К[1//Ь(£)+х* + £(х/-х,)] (Ш{х).

Со о

Выражение (1) представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатой х/ в момент времени £ = /? при условии, что в момент Ь = 0 она имела координату х;.

Для основных величин, характеризующих квантово-механические системы, в диссертации предложена новая модель. А именно, показано, что энергия основного состояния Ео квантовой системы с гамильтонианом Я = \ р2 + V, вычисляемая как Е0 =< 0|Я|0 >, может быть найдена в виде

00 1

Ео = Шащртг/?)-1/» I У ехр{-/?^ У(у/0х(1) + х) dt] х

-00 Со О

х ]^хУХх) + У{х)]<М{х)<1х] (2)

а

или

Е0 = lim /(/3);

ß~>00

где свободная энергия (энергия Гельмгольца) f(ß) = — | In Z (ß),

00

Z(ß) = TV exp{-ßH} = J Z{x,x,ß) dx. (3)

Разность энергий основного и первого возбужденного состояния АЕ = Ei — Е0 может быть найдена следующим образом:

АЕ = - lim 4- In G(t), (4)

т-*оо ат

где пропагатор

G(t) =< 0|х(0) х(т)|0 >= lim Г(т) (5)

ß—too

выражается через корреляционную функцию

Г (г) =< i(0) х(т) >= 00 1

-оо Со о

х [•Jßx(t/ß) + x]dW(x)xdx. (6)

Квадрат модуля волновой функции основного состояния (собственной функции гамильтониана, соответствующей наименьшему собственному значению) равен

|Vo(x)|2 = Иш (ехр{ВД Z(x, X, /3)). (7)

Предлагаемый в диссертации класс моделей предоставляет удобную возможность исследования квантовой механики статистическими методами и демонстрирует взаимосвязь квантовой и статистической механики, где величина Z(ß) трактуется как статистическая сумма, если принять во внимание, что ß = к - постоянная Больцмана, Т - абсолютная

температура.

Формулировка теории в евклидовой метрике обладает следующими особенностями:

• физические характеристики, не зависящие от фазы (в частности, рассмотренные выше значения энергий и квадрат модуля волновой функции) инвариантны относительно викова поворота, т.е. не требуют возврата к метрике Минковского (в противном случае задача может быть решена путем аналитического продолжения);

• инстантонные эффекты могут быть исследованы исключительно в евклидовой метрике;

• евклидова формулировка дает возможность определения траекторий, вносящих основной вклад в амплитуду перехода;

• сама амплитуда перехода допускает вероятностную интерпретацию.

Динамика открытых квантовых систем моделируется с использованием оператора плотности /3((), с помощью которого можно находить средние значения физических величин, характеризующих систему. Матричные элементы этого оператора в координатном представлении для некоторого момента времени £ > 0 могут быть выражены через его матричные элементы в начальный момент I = 0 в соответствии с моделью, предложенной Р.Фейнманом и Ф.Верноном:

(х|р(<)|х') = У^У d^J(x,x\t;x(s,x'o,0)(^ШЮ■ (8)

Здесь пропагатор описывающий переход между начальным и конечным состояниями системы, моделируется двойным интегралом по траекториям:

J= I Их(т) I Ра;'(т)ехр|^(5Иг)]-5[а:'(т)])]^п/г[х(г),а;'(г)],

(9)

где

«

о

- классическое действие для рассматриваемой системы, находящейся в поле с потенциалом У(х); РЫц - некоторый функционал, описывающий взаимодействие этой системы с окружающей ее средой. Фейнман и Верной получили выражение для функционала влияния в предположении среды, состоящей из гармонических осцилляторов, линейно связанных с рассматриваемой квантовой системой. Подход, основанный на явных моделях среды, развивался также в ряде работ других авторов. Найти явное выражение для пропагатора удается лишь в некоторых частных случаях. В более общих случаях используют различного рода приближения.

В диссертации пропагатор открытых квантовых систем моделируется двойным континуальным интегралом по условной мере Винера:

т т Г.т(х-хо)21 Г ,т(х/- Хл)2 ^

/ ф[\/?1(т) + " +Х°' + х'" + ^ ^^ ^^

С„2

Здесь

Ф[х(т), я/(т)] = ехр{-| I (У[х(т)] - У[х'(т)}) йтЩп}[х (т), о/ (г)].

о

Подстановка в данное соотношение известных из литературы выражений F¿r¡^г позволяет применять развитые нами методы приближенного вычисления интегралов Винера для численного исследования временной эволюции открытых квантовых систем в соответствующих моделях.

В моделях многочастичных ядерных систем, использующих аппарат функционального интегрирования, приходится вычислять матричные элементы фермионного оператора эволюции. В диссертации доказано следующее утверждение:

Теорема. Матричный элемент оператора эволюции системы из А взаимодействующих фермионов с потенциалом У(х) = У(\хг — £¿1), зависящим от расстояния между частицами, может быть представлен в следующем виде

А 1

2(х,х,/?) = (2тгРГА/2 /+*)

<& о

-(У/РЪФ+Ъ)} <**} <№{Х1) ...<Ш{хА), (11)

где Сд представляет собой подпространство прямого произведения С^ пространств Со = {С[0,1], х(0) = 0,ж(1) — 0}. Элементами Сд являются последовательности ..., ха{Ь), Х{ € Со, % = 1,2,..., А такие, что

у^хш(г) + > + [0,1], * = 1,2,.... Л - 1.

Во второй главе приводятся построенные автором приближенные формулы различных типов для континуальных интегралов по гауссовым мерам в полных сепарабельных метрических пространствах. Одним из подходов к приближенному вычислению континуальных интегралов является построение приближенных формул, являющихся точными на классе функциональных многочленов заданной степени, идея которого восходит к работам Р.Камёрона. В диссертации осуществлено построение и исследование приближенных, формул заданного порядка точности для континуальных интегралов по произвольной гауссовой мере. В том числе, построены "элементарная" и "составная" (усложненная) формулы, обладающие свойством точности на классе функциональных многочленов степени 2т+ 1, где т - произвольное (наперед заданное) натуральное число.

Пусть % - гильбертово пространство, плотное почти всюду в полном сепарабельном метрическом пространстве X и порожденное гауссовой мерой и пусть {ек}^ - ортонормированный базис в Для приближенного вычисления континуального интеграла по мере р. от произвольного интегрируемого на X вещественного функционала ^[сс] автором получена приближенная формула, задаваемая следующей теоремой:

Теорема Пусть 5„(аг) = Х)£=1(еь х)ек\ ип(и) = икек,

т

0т(у) = '52ст*рЫ, уев™, иея"; (12)

к=1

[Ст,к}2> к = 1,...,т-корни многочлена С}т{г) = гт~к/к\ ; г е Я

и функция р(г): И н-> X удовлетворяет условиям:

р(т) = -р(-г)

У < р(г) ><77, р{г) > сМг) ~ ту) я

]

П<^,р(г)>еЦя,1У), 1 <¿< 2771 + 1, т^&ех',

1=1

где т?) - корреляционный функционал меры /х. Тогда приближенная формула

I Р{х]с1ф) = (2тг)-"/2у ехр{—^(и, и)} | - +

X ГС" ГС"

+ + (13)

точна для любого функционального многочлена степени < 2тп + 1.

Здесь %п,п(^) ~ остаточный член формулы, 0т,п(и) = 3„(вт(у)) и мера в Ят является декартовым произведением симметричных

вероятностных мер и на К

Функциональным многочленом степени тп называется функционал

вида

771

Рт[А = XI Рк№'

к=О

где р^х] - непрерывная на X однородная форма к-го порядка.

Приближенная формула (13) заменяет нахождение континуального интеграла вычислением п + т - кратного риманова интеграла. Формулы такого типа, содержащие дополнительное интегрирование по и, будем

называть "составными" (усложненными). Как показывают практические расчеты, в ряде случаев для достижения хорошей точности (порядка 0.1% и выше) оказалось достаточным выбрать малые значения п и т в формуле (13), в том числе даже равными единице.

Соответственно, в случае меры Винера приближенная формула (13) имеет следующий вид:

1 1

¡Р[х)Ш[х) = (2тг)-"/^ехр{-1(и,и)}^ |*)-

с я" Г1 -1>

т

- 0т,п(«, *) + ип{и,«)] ¿v йи + %ЩП{Р), (14)

где

771 *

г(М) = Pivi,t), p{vi t) = l Q1

gn(u), 0 < \v\ < t < 1 0 < t < Ы < 1

11 1

n,n(f,í) = 4 y^sin(A; - -)iTÍ ——— r^i sign(u¿) cos(fc - -)t™¿

¿ (¿K í)7r i=i 1

n J

Un(u,t) = 2\/2^sin(fc- -)ttí

«fe

t=1 2 (2fc-l)Tr-

В диссертации доказаны теоремы о сходимости приближений, получаемых по построенным формулам к точному значению интеграла и об оценке остаточных членов формул, позволяющие гарантировать точность результатов вычислений. В частности, на основании этих теорем в диссертации доказаны следующие утверждения:

Следствие 1 Приближенные значения континуального интеграла по мере Винера сходятся к точному значению при п —> оо, если непрерывный функционал F[a;] для почти всех х £ С допускает следующую оценку:

i

\ ^ . а < —.

о

Следствие 2 Пусть интегрируемый по мере Винера функционал F[x] допускает представление

i

|F[z]| < expja Jx2(t)dt},

F[x + Х0] = ffem+lM + Г2т+\{х,Хй),

где P2m+i[x] ~ функциональный многочлен степени < 2т + 1, жо -фиксированный элемент из С (zo может также содержаться в Z^m+l в

качестве параметра), а остаток ггт+1 оценивается выражением

1 1 \r2m+i(x,x0)\ < Jx2(t)dt (Li ехр{ь2 J(х + Хо)2dtj

L

+L3 exp|L2 J i§(t)di}),

о

где Li >0 (t = 1,2,3); Li<\-

Тогда скорость сходимости приближений при п —► оо имеет порядок

Для континуальных интегралов по условной мере Винера, содержащих весовой функционал экспоненциального вида, построены приближенные формулы на основе использования исследованного в диссертации линейного преобразования x(t) ь-> y(t), задаваемого соотношением у = х + Ах, где

t

Ax{t) = (1 - i) JB(s)x(s) ds, 5(s) G C[0,1], (15)

о

взаимно однозначно отображающего само на себя пространство непрерывных

на отрезке функций с нулевыми значениями на концах отрезка.

<

Теорема При выполнении R(t) — ехр{/(1 - s) В (s) ds}, где B(s)

о

удовлетворяет уравнению

(:l-s)B'(s)-(l-s)2B2(s)-3B{s)-2p(s) =0> s €[0,1] (16) с начальным условием В(1) = —|р(1) и

t t s

a(t) = J L(s) ds-^щ J B(s) Я(в)[ J L(u) du] ds, (17)

0 0 0

i 1

L(t) = J[.B(s) R(s) H(s) - q(s)\ ds + c, H(t) = J q(s) ds,

о t

l

константа с определяется из условия f L(s) ds = 0, приближенная формула

о

1

J expj J p(i) x2(t) + q{t) i(i)] di} F[x] dW(x) =

Co 0

J. 1

= ехр{~1 ¡(1~а)в(3)^} ехр{^ JL2(t)dt}

о

1 1

Г"1/"'/ F [ф>, •) + «(•)' -1 -1

dv 1 • ■■dvm + 3lm(F),

где m - произвольное натуральное число, Фт(и, ■) = i ')i

[Cm,fc]2> к = 1,..., m - корни многочлена Qm(r) = XX=0(-l)fc rm~k/k\; г e R,

f sign(r), i < |r| 10,

i > r

min{|r|,i}

f(r, t) = sign(r) щ [1 + f В (s) R(s) ds},

0

точна для любого функционального многочлена степени < 2т + 1.

(19)

(20)

В приложениях часто встречается случай постоянных коэффициентов в весовом функционале.

Следствие. В частном случае p(t) = р = const, q(t) = q = const приближенная формула (18) приобретает вид:

1

J exp j J\px2(t) + qz(t)] di} F[x] dW(x) =

* 1

x2~m J... J ^[фт(г;,-) + а(-)] dvL.-dVra + JiUF),

(21)

где

a(t) = q

P

p cos Л -

sin ( i/-i] sin

С помощью замены переменных, задаваемой рассмотренным нами линейным преобразованием (15), некоторые континуальные интегралы могут

быть найдены в явном виде. В частности, как показано в диссертации, имеет

место равенство

1 _ /ехР{I\р^)+ЧХт Л} = ехР{^

1

Со О

(22)

Примечание. При р < О тригонометрические функции заменяются гиперболическими.

Приближенная формула (18) является "элементарной", т.е. не содержит дополнительного интегрирования по пространству ЯР. Как показано в диссертации, более точные результаты для широкого круга функционалов могут быть получены с использованием "составных" (т.е. содержащих дополнительное интегрирование по Кп) приближенных формул типа (13). Путем комбинирования развитых нами методов построения приближенных формул, в диссертации получены также новые формулы с весом, обладающие достоинствами составных приближенных формул. Получены оценки остаточных членов созданных приближенных формул.

Эффективность разработанных численных методов иллюстрируется практическими примерами.

В третьей главе описывается построение приближенных формул для кратных континуальных интегралов

используемых при исследовании физических систем с несколькими степенями свободы (например, состоящих из большого числа частиц). Это может быть осуществлено, в частности, путем последовательного применения приближенных формул для однократных континуальных интегралов (например, уже рассмотренных нами формул, точных на классе функциональных многочленов степени < 2^ + 1 по переменной к; € X, г = 1,2,... ,то). Однако, более экономичными являются формулы, обладающие заданной суммарной степенью точности 2к + 1, то есть формулы, точные для функциональных многочленов 2к + 1 суммарной степени. Функциональным многочленом к-ой суммарной степени называется функционал вида Р[хи... ,хт] = 1\Т=1Ръ(хг)' кг + к2 + ■.. + кт < к,-, ЛьД^г) ~ однородный функциональный многочлен степени по переменной

х{.

т

В диссертации приведены результаты построения "элементарных" и "составных" приближенных формул с заданной суммарной степенью точности для кратных функциональных интегралов по гауссовым мервм, в том числе приближенных формул с весом для кратных интегралов по условной мере Винера. При этом используется тот факт, что кратный функциональный интеграл может рассматриваться как однократный интеграл по мере, являющейся декартовым произведением исходных мер в прямом произведении исходных метрических пространств.

Теорема. Пусть F[x] - произвольный вещественный интегрируемый по мере /í функционал. Тогда приближенная формула (составная)

J F[x] d/x(m)(x) = (2тг)-^2 J exp{-i ¿(u(!),u«)} х (24)

Xm Л" i=1

-TÍ F{Uni(uV),..., E i(VEp(v, ■), uw), • • • UnMm])\dndv{v) + <RN{F)

m*r-f J ••-„-'

1=1 R i

где u(v) - симметричная вероятностная мера на R,

u«) = Xi- Sn¡(x¡) + Uni(u«),

n¿ rti m

SM = £(e¿, Xj) e¿; Uni(u«) = £ ufey, N = £ щ. ¿=i j=i i—i

точна для функциональных многочленов третьей суммарной степени наХт.

Следствие. В частном случае, когда X является пространством непрерывных функций Со = {С[0,1], ж(0) = з;(1) = 0} с условной мерой Винера, характеризующейся нулевым средним значением и корреляционной функцией B(t,s) = min(t,s) — ts, мера dv = \dv, v € [0,1], составная приближенная формула для m-кратного континуального интеграла по условной мере Винера имеет вид:

J F[x] dW(x) = (2тг)-^21 ехр{-~ f>«, u«)} х (25)

су R" i=1

1 m г

/ F• • ■ ,%(Vñp(v,-),u%... Ünm(uМ)) du dv + RN(F)

. , J V

m . 8=1 д

где

1 Г -ísign(v) , t<H dv = -dv, p(v,t) = < .11 '

2 I (1 - f)sign(v) , í > \v\

Е4(р(М),иЮ) = РЫ) - ЯпХрЫ)) + ищ(и%

~ • 1

ип (и^) = \/2 и'1'— ът^тг^ для всех г = 1,2,... ,т.

Доказаны теоремы о сходимости приближений к точному значению, получена оценка остаточных членов. Результаты иллюстрируются численными примерами.

В четвертой главе рассматриваются модели в квантовой физике, использующие континуальные интегралы. Установлена связь между полученными в диссертации выражениями характеристик квантовых систем в виде функциональных интегралов и, соответственно, характеристик традиционной (шредингеровской) модели квантовой механики и квантовой статистической механики. На точно решаемой модели (гармонический осциллятор) исследована зависимость энергии основного состояния, разности энергий основного и первого возбужденного состояний, а также волновой функции основного состояния от евклидова времени наблюдения за системой t (связанного в статистическом подходе с абсолютной температурой Т соотношением £ = где к - постоянная Больцмана). Показано, что в термодинамическом пределе Т —> 0 (или, что то же самое, £ —»■ оо) полученные величины стремятся к известным из традиционной квантовой механики значениям. Исследована также эффективность созданных приближенных методов для континуальных интегралов при численном решении рассмотренной задачи. Проведены аналогичные расчеты для квантовой системы, не допускающей точного решения (ангармонический осциллятор). Приведено сравнение численных результатов с результатами других авторов, демонстрирующее более высокую эффективность разработанных в диссертации методов.

Рассмотрены модели квантовой теории поля, описывающие характеристики квантовых систем в виде функциональных интегралов. Для вычисления этих характеристик в Р{ф)2 - модели квантовой теории поля в

диссертации построены новые приближенные формулы для континуальных интегралов. С помощью данных формул исследован характер стремления к термодинамическому пределу некоторых функциональных интегралов.

Рассмотрено вычисление топологического заряда и топологической восприимчивости в квантовых моделях без предварительной дискретизации пространства и времени. Процесс туннелирования частицы исследован в модели с "двугорбым" потенциалом, где было вычислено расщепление квантовых уровней энергии основного состояния системы, двукратно вырожденных при отсутствии туннелирования. В модели квантового маятника, т.е. системы, описываемой гамильтонианом Н = | А р2 + V, где V(x) = (1 — cos х), и! - частота малых осцилляций, А - константа связи, вычислена топологическая восприимчивость и энергия 0-вакуума как функции параметров модели.

В диссертации топологическая восприимчивость х> определяемая как

Х= lim ^ < Q2 >,

V->co V

где < Q2 > - усредненный по пространственно-временному объему V квадрат топологического заряда, моделируется функциональными интегралами по условной мере Винера:

_2 1 2е—г /Л

< Q1 >=

Щ рЕ сс*) -ß n2} Zn(ß), (26)

су [7 оо ч

z(ß) = J- Y, со<вп) ехр{:-2?г2 я n2> (2?)

V2tt V Р ^ Р

где

Яп(0) = У [/п(х,/?) + /п(-х,/?)]<&; о

2 1 Г~

1п(х,Р) = I ехр{^ I сов[у ^ х(Ь) + 2ттп ¿4-х] <И} й\¥(х). Со о

Результаты вычисления функциональных интегралов, моделирующих топологическую восприимчивость в соответствии с (26) и (27), в зависимости от параметра р = (30 = шр, полученные в диссертации с помощью приближенной формулы для континуального интеграла 1п(х, ¡3) при Ро — 7, $ = О, Л = 1 показаны на рис.1 в логарифмическом масштабе. Сплошной

линией изображены результаты, получаемые в приближении разреженного инстантонного газа (БОА), справедливом при р > 0.5

1 < в- Ц-^---.О. <*>

Пунктирная линия представляет собой известное из литературы высокотемпературное разложение (НТЕ) топологической восприимчивости при ее моделировании интегралами по траекториям на решетке 5 в континуальном пределе е —> 0, N —» оо, еЛГ фиксировано, е = ша (Я - число узлов, а - шаг решетки), справедливое при малых р:

!<«'>. 1

Ро 47Г У

Численные результаты приведенных в диссертации расчетов функциональных интегралов, моделирующих топологическую восприимчивость и энергию в - вакуума хорошо согласуются с моделью квантового маятника в приближении разреженного инстантонного газа, причем проводимые расчеты позволяют исследовать границы применимости этого приближения.

На рис.1 показана также зависимость от р величины < Q2 >, полученная в 5 методом Монте-Карло на решетке с N = 100, е = ша = 1 (N - число узлов, а - шаг решетки). Для количественного анализа результатов

5Bunk В., Wolff U. Computer simulation of topological effects in lattice theories: A model study. // Nucl. Phys. - 1983. - B215, N4. - Pp. 495-507.

моделирования < С}2 > рассмотрена величина

Б = 1 < Я2 > р-'¡2 е8".

Ро

Из (28) следует, что в континуальном пределе (при этом 5 = 8) и при достаточно больших р (полуклассическая область) должно выполняться Б = си 4.51. Путем определения параметров методом наименьших квадратов из соотношения

1п [— < С)2 >] = 1п Б - Бр + р Ьр,

Ро

где ^г < <52 > - численные результаты моделирования топологической восприимчивости для различных значений р, приведенные на рис.1, в работе5 было получено Б = 2.98; р = 0.46. Согласно вычисленным в диссертации значениям ^ < <Э2 >, автором получено Б = 4.25; р = 0.49, что лучше согласуется с теоретическими предсказаниями Б — 4.51, р = 0.5, следующими из (28). В работе5 были проведены также расчеты при е = 0.6 (в точке р = 0.7) и при этом получено Б = 3.3, то есть больше, чем при е = 1, но все равно меньше теоретической оценки. Дальнейшее уменьшение е в работе5 не производилось вследствие возникающих при этом трудностей, связанных с возрастанием размеров инстантонов и замедлением сходимости итераций. Очевидно, что в проводимом в диссертации моделировании подобных проблем не возникает, поскольку расчеты ведутся без дискретизации пространства, е = 0.

В диссертации приводятся также результаты исследования модели открытых квантовых систем (ОКС), использующего континуальные интегралы. С помощью созданных приближенных методов в диссертации проведено численное исследование процесса туннелирования с диссипацией энергии при движении частицы сквозь потенциальный барьер У(х) = —тш2х212. Для распределения с начальным состоянием

вычислены диагональные элементы матрицы плотности. Результаты нахождения временной эволюции матрицы плотности р(х,Ь) показаны на рисунке 2 для различных моментов времени. Для \в\2 = Тти были взяты значения КГ ='1 Мэв, ш = 13.2 х Ю-22 сек-1, т = 53 то, т0 - масса нуклона, и начальной дисперсии сг?5(0) = 0.01 /т2. Время измеряется в единицах 6.6 х Ю-22 сек.

Исследуются модели ядра в задачах ядерной физики с использованием метода континуального интегрирования. Эффективность разработанного

.0.2 -1-'-'--'-1-1-

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

X (Йп)

Рис.2 Туннелирование с диссипацией через потенциальный барьер

в диссертации метода приближенного вычисления функциональных интегралов исследована при вычислении энергии основного состояния в модели Калоджеро, соответствующей системе частиц, взаимодействующих силами линейного притяжения и центробежного отталкивания. Результаты расчетов и их сравнение с данными других авторов для систем с числом частиц от 3 до 11 демонстрируют преимущества разработанного в диссертации метода, использованного нами в формулировке модели и при численных расчетах, над методом Монте-Карло.

Проведены расчеты 9-кратного континуального интеграла, моделирующего энергию связи нуклонов в ядре атома трития в случае 3 пространственных координат, позволяющие уточнить аналогичные данные, полученные другими авторами методом Монте-Карло и вариационным методом.

Для системы взаимодействующих между собой фермионов разработан метод в рамках модели, использующей приближенное вычисление континуальных интегралов на основе численного интегрирования по упорядоченным подпространствам. Выполнены расчеты энергии связи для ядра дейтерия и для а-частицы в рамках модели, в которой потенциал взаимодействия между частицами в ядре имеет следующий вид:

К = 12, У2 = -12, <71 = 0.2, <72 = 0.8, П = т = 1, в единицах длины /0 = 1.89 Рт и энергии Еа — Й2/(тф = 11.6 МеУ.

Для системы, состоящей из двух нуклонов (ядро дейтерия, или дейтрон) результат нашего вычисления энергии связи составил Ed = 2.4 MeV, что можно сравнить с данными эксперимента Еех = 2.2 MeV и с предсказаниями полуэмпирической массовой формулы Ese = 3.5 MeV.

5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5

О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

£

Рис.3 Энергия связи четырехнуклонной системы

Для системы их четырех нуклонов (а - частица) результат нашего вычисления энергии связи составил Ер = 27.6 MeV, что соответствует экспериментальному значению Еех = 28.296 MeV. Предсказание полуэмпирической формулы составляет Ese = 18.8 MeV. Сравнение результатов со значениями, полученными другими авторами в рамках этой же модели методом Монте-Карло на решетке6, приведено на рис 3. Энергия связи нуклонов в безразмерном виде E/Eq, где Eq = h2/(mil) = И-6 MeV показана как функция шага решетки е. Проблема экстраполяции результатов на континуальный предел (е —> 0) обсуждалась в 6 и была расценена как довольно сложная. В то же время в нашем подходе подобных проблем не возникает, т.к. мы не используем решеточной дискретизации. Наш результат Ер/Ео показан на рис. 3 в точке s = 0.

Проведены расчеты функциональных интегралов, моделирующих матрицу плотности в модели двойной ядерной системы, описывающей процесс слияния ядер при их глубоконеупругих взаимодействиях?. Согласно этой модели, на начальной стадии реакции, после полной диссипации кинетической энергии взаимодействующих ядер формируется двойная

6Negele J.W. Tunneling of a many-Fermion system in one dimension. In: Time-Dependent Hartree-Fock and Beyond. - Berlin: Springer, 1982. - Pp.l9S-213.

7Bojlkob B.B. Роль двойной ядерной системы в процессах слияния ядер, квазиделения, деления и формирования кластеров. // ЯФ. - 1999. - Vol. 62, N7. - Pp. 1159-1166.

ядерная система (ДЯС). Слияние ядер рассматривается как эволюционный процесс, в котором нуклоны одного из ядер системы последовательно передаются другому ядру. Данная модель учитывает конкуренцию между процессами полного слияния и квазиделения, что позволяет количественно оценить вероятность формирования составного ядра. Это имеет важное значение для подготовки экспериментов по синтезу сверхтяжелых элементов. Эволюция ДЯС может рассматриваться как процесс туннелирования с диссипацией в открытой квантовой системе. Для моделирования взаимодействия между ядрами могут быть использованы потенциалы полиномиального вида.

8

Р 6 4 2 О -2 -4 -6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 „ ч 1.5

X (пп)

Рис. 4 Матрица плотности в зависимости от времени

На рис.4 показан результат вычисления матрицы плотности р{х, I) в модели двойной ядерной системы с помощью разработанного в диссертации метода приближенного континуального интегрирования для различных моментов времени с использованием потенциала вида У(х) — ах4 + Ьх2. Среднее значение начального распределения с дисперсией ^в«(0) = 0.0016/т2 помещено в один из минимумов потенциала с коэффициентами а = 64.286, Ъ = —46.286. Для наглядности графики матрицы плотности совмещены с графиком потенциала. Из графиков видно, как в процессе эволюции системы в результате туннелирования происходит подбарьерная перекачка энергии из одного минимума потенциала в другой.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

1 1 1 1 г=о — | 0.03 I 0.5 •• • - \ / 1.3 • • ■ / д у(х) ~ -

1 1 1

Публикации по теме диссертации

1. Егоров А.Д., Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования. - М: Физматлит, 2006.

- 400 С.

2. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Метод приближенного континуального интегрирования и некоторые его приложения // Матем. моделирование.

- 1999. - Т.11, №5. - С. 37-83.

3. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Шахбагян P.P. Численное исследование многомерных квантовых систем методом приближенного континуального интегрирования // Матем. моделирование. - 1993. -Т.5, №12. - С. 61-78.

4. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Метод приближенного континуального интегрирования в задачах математической физики // ЭЧАЯ. - 1996.

- Т.27, Вып.1. - С. 173-242.

5. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Шахбагян P.P. Об одном методе вычисления континуальных интегралов без решеточной дискретизации // Матем. моделирование. - 1989. - Т.1, №8. - С. 139-157.

6. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Метод приближенного континуального интегрирования при решении некоторых дифференциальных уравнений в частных производных // Дифф. уравнения. - 1993. - Т.29, №9. -С. 1609-1619.

7. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Шахбагян P.P. Приближенное вычисление кратных континуальных интегралов в многомерных задачах квантовой физики // Матем. моделирование. - 1990. - Т.2, №10. -С. 110-119.

8. Zhidkov Е.Р., Lobanov Y.Y. Computation of functional integrals in some problems of quantum physics // Вестник РУДН, серия прикладная и компьютерная математика. - 2002. - Т.1. - С. 62-78.

9. Lobanov Y.Y., Zhidkov Е.Р. Studying the properties of physical vacuum by the numerical functional integration method // Вестник РУДН, серия прикладная и компьютерная математика. - 2003. - Т.2. - С. 180-198.

10. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Приближенное вычисление интегралов Винера в некоторых задачах ядерной физики // Вестник РУДН, Серия Физика. - 2004. - Т.12. - С. 3-16.

11. Лобанов Ю.Ю. Использование метода функционального интегрирования в некоторых задачах математической физики // Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. - 2008. - Т.4. - С. 75-83.

12. Lobanov Yu.Yu. Computation of functional integrals in the problems of quantum and statistical physics // Сотр. Phys. Comm. - 1999. - Vol.121.

- Pp. 60-63.

13. Lobanov Yu.Yu. Functional integrals for nuclear many-particle systems // J. Phys. A: Math, k Gen. - 1996. - Vol.29. - Pp. 6653-6669.

14. Lobanov Yu. Yu. Deterministic computation of functional integrals // Сотр. Phys. Comm. - 1996. - Vol.99. - Pp. 59-72.

15. Lobanov Yu. Yu. Investigation of the large quantum systems by the numerical integration in functional spaces // Mathematics and Computers in Simulation. - 1995. - Vol.39. - Pp. 239-244.

16. Lobanov Yu.Yu., Shahbagian R.R., Zhidkov E.P. Computation of multiple functional integrals in quantum physics //J. Comput. Appl. Math. - 1996.

- Vol.70. - Pp. 145-160.

17. Lobanov Yu. Yu., Shahbagian R.R., Sidorova О. V., Zhidkov E.P. Computation of conditional Wiener integrals by the composite approximation formulas with weight // J. Comput. Appl. Math. - 1990. - Vol.29. Pp. 51-60.

18. Gregus M., Lobanov Yu.Yu., Sidorova O.V., Zhidkov E.P. On the deterministic computation of functional integrals in application to quantum mechanical problems // J. Comput. Appl. Math. - 1987. - Vol.20. - Pp. 247-256.

19. Rushai V.D., Lobanov Y. Y. Studying open quantum systems by means of a deterministic approach to approximate functional integration // Phys. Rev. E. - 2005. - Vol.71, N6. - Pp. 066708(4).

Лобанов Юрий Юрьевич Методы приближенного функционального интегрирования для численного исследования моделей в квантовой физике

Разработаны новые методы численного анализа моделей в квантовой и статистической физике на основе разработанных автором методов приближенного вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам в полных сепарабельных линейных пространствах. Построены приближенные формулы, являющиеся точными на классе функциональных многочленов заданной степени. Доказана сходимость приближений, получаемых по построенным формулам, к точному значению интеграла и получены оценки остаточных членов формул, позволяющие гарантировать точность результатов. Разработаны алгоритмы и созданы компьютерные программы для вычисления функциональных интегралов. Проведено тестирование численных методов на точно решаемых моделях. Методы использованы для исследования континуальных моделей в квантовой механике и квантовой теории поля, исследования инстантонных эффектов и топологического заряда, потенциальных моделей атомного ядра и открытых квантовых систем.

Lobanov Yuri Yurievich Methods of approximate functional integration for numerical investigation of models in quantum physics

The new methods of numerical analysis of the models in the quantum and statistical physics are elaborated on a basis of creation of the methods of approximate evaluation of functional integrals with Gaussian measures in complete separable linear spaces. The approximation formulas, which are exact on a class of polynomial functionals of the given degree are constructed. The convergence of approximations, calculated using the created formulas, to the exact value of the integral is proven, the estimates of the remainder terms of the formulas guaranteeing the accuracy of results are obtained. The computational algorithms are elaborated and the computer programs for evaluation of the functional integrals are created. The testing of numerical methods on the exactly solvable models is performed. The methods are used for investigation of the continuum models in quantum mechanics and quantum field theory, for the study of instanton effects and topological charge, for analysis of the potential nuclear models and of the open quantum systems.

Подписано в печать: 18.08.2009

Заказ № 2363 Тираж -150 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

1 Функциональные интегралы в математических моделях физики

1.1 Фейнмановские интегралы в квантовой механике.

1.2 Формулировка теории в евклидовой метрике.

1.3 Интегралы по мере Винера в пространстве непрерывных функций.

1.4 Функциональные интегралы в абстрактных линейных пространствах

1.5 Функциональные интегралы по гауссовым мерам.

1.6 Связь между фейнмановскими и винеровскими интегралами

1.7 Получение выражений для основных квантово-механических величин в виде функциональных интегралов по нормированной условной мере Винера.

1.8 Связь с решением уравнения Шредингера в случае наличия дискретного спектра.

1.9 Функциональные интегралы в квантовой теории поля

2 Приближенное вычисление функциональных интегралов по гауссовым мерам

2.1 Составная приближенная формула заданного порядка точности для интегралов по гауссовым мерам.

2.2 Сходимость приближений к точному значению.

2.3 Приближенные формулы для интегралов по мере Винера

2.4 Численные примеры: вычисление винеровских интегралов

2.5 Построение одной линейной замены переменных в функциональном интеграле.

2.6 Приближенная формула с весом для интегралов по условной мере Винера.

2.7 Остаточный член приближенной формулы с весом.

2.8 Примеры использования формулы с весом

2.9 Составная приближенная формула с весом для интегралов по условной мере Винера и ее остаточный член.

2.10 Численные примеры использования составной приближенной формулы с весом.

3 Приближенное вычисление кратных функциональных интегралов

3.1 Приближенные формулы заданного суммарного порядка точности на произведении пространств

3.2 Приближенная формула с весом для кратных интегралов по условной мере Винера

3.3 Сходимость приближений к точному значению.

3.4 Оценка остаточных членов приближенных формул.

3.5 Численные примеры вычисления кратных функциональных интегралов.

3.6 Алгоритмы и программные коды.

4 Применение функциональных интегралов для исследования моделей квантовой физики

4.1 Функциональные интегралы в квантовой механике.

4.1.1 Численный пример 1: Гармонический осциллятор

4.1.2 Численный пример 2: Ангармонический осциллятор

4.2 Двумерная евклидова теория поля с полиномиальными взаимодействиями.

4.2.1 Построение приближенных формул для континуальных интегралов.

4.2.2 Примеры использования приближенных формул

4.3 Расчет топологических эффектов с использованием функциональных интегралов.

4.3.1 Структура вакуума в квантовой калибровочной теории. Инстантоны.

4.3.2 Топологический заряд и топологическая восприимчивость.

4.3.3 Туннелирование частицы в двугорбом потенциале

4.3.4 Модель квантового маятника: вычисление топологической восприимчивости и энергии в -вакуума.

4.4 Использование функциональных интегралов для исследования открытых квантовых систем.

4.4.1 Описание динамики открытых квантовых систем на основе вычисления матрицы плотности.

4.4.2 Выражение пропагатора в виде двойного винеровского интеграла.

4.4.3 Численный пример: нахождение пропагатора открытой системы с квадратичным потенциалом

4.4.4 Туннелирование с диссипацией энергии при движении частицы сквозь потенциальный барьер

4.5 Функциональные интегралы в моделях ядерной физики

4.5.1 Численное исследование моделей многочастичных ядерных систем путем вычисления кратных функциональных интегралов.

4.5.2 Пример расчета энергии связи: модель Калоджеро

4.5.3 Модель ядра атома трития.

4.5.4 Модель взаимодействующих между собой фермионов: метод интегрирования по упорядоченному подпространству

4.5.5 Анализ потенциальной ядерной модели.

Дейтрон, а - частица.

4.5.6 Расчет матрицы плотности в модели двойной ядерной системы.

Метод функционального интегрирования является важным аппаратом исследования широкого круга проблем в различных областях физики и математики [1],[2],[3]. Начало использованию функциональных интегралов и их исследованию было положено еще в 30-е годы в работах А.Н.Колмогорова и Н.Винера в теории случайных процессов. В вышедшей в 1930 году книге П.Дирака "Принципы квантовой^ механики" на основе принципа суперпозиции и вероятностной трактовки амплитуды перехода между квантовыми состояниями также была высказана идея использования функционального интегрирования. В 50-е годы эта идея получила мощный дополнительный стимул для развития, связанный в первую очередь с работами Р.Фейнмана по квантовой механике и квантовой электродинамике, в которых был введен и использован (правда, еще без надлежащего математического обоснования) знаменитый "фейнмановский интеграл по траекториям "[4]. Концепция этого интеграла послужила основой для создания ( новой альтернативной формулировки квантовой механики [5]. Идеи-Фейнмана получили дальнейшее развитие в работах М.Каца по исследованию диффузионных процессов [6], [7]. С другой стороны, в работах Ю.Швингера по квантовой электродинамике были использованы уравнения в функциональных производных, также требовавшие развития методов интегрирования в функциональных пространствах. Источниками уравнений в функциональных производных явились, кроме того, работы Е.Хопфа по статистической гидродинамике и исследования Н.Н.Боголюбова в области статистической физики. Вслед за тем появилось большое количество работ, в которых функциональные интегралы стали= широко применяться в различных областях физики и математики, в том числе при решении дифференциальных уравнений в частных производных [8], [9], [10] и стохастических дифференциальных уравнений [11], [12], [13]. Одной из основных областей использования функциональных интегралов является квантовая физика [14],[15],[16]. функциональное интегрирование является в настоящее время основным методом численного исследования непертурбативных явлений в квантовой калибровочной теорий [17], функциональные интегралы находят широкое применение в квантовой механике [18], теории поля [19]-[22], статистической физике, физике атомного ядра, физике твердого тела, квантовой статистике, теории сверхпроводимости, квантовой оптике, статистической радиотехнике, радиационной физике частиц высоких энергий и во многих других областях [23]-[28]. Поскольку в квантовой теории поля во многих случаях отсутствует дифференциальная постановка задачи, основным методом исследования долгое время являлась теория возмущений. Однако, как оказалось, ряд явлений не может быть описан в рамках этого подхода (сильные взаимодействия, а также так называемые непертурбативные эффекты). Существующий также метод квазиклассического приближения не учитывает специфические квантовые эффекты и не дает возможности исследования широкого круга интересных физических явлений. В связи с этим, метод приближенного функционального интегрирования, являющийся практически единственным способом получения численных результатов в этих случаях приобретает особенно важное значение.

Широкое'применение функциональных интегралов стимулировало развитие их теории и методов приближенного вычисления. Поскольку "мера Фейнмана"не удовлетворяет условию счетной аддитивности, т.е. не является мерой в математически строгом смысле, возникло множество различных подходов к фейнмановским интегралам, обосновывавших их конструкцию и предлагавших соответствующие* способы их приближенного вычисления. Среди основных подходов можно выделить подходы Нельсона, Ито, Де Вит-Моретт, Альбеверио и Хэг-Крона, Тру мена. Более подробно об этих и других подходах см. работы [29]-[33], а также цитированную там литературу.

Одним из способов определения функциональных интегралов в квантовой теории путем сведения их к обычным (римановым) интегралам высокой кратности является введение пространственно-временной решетки [34]. На этом пути был получен ряд важных численных результатов. При проведении расчетов на решетке возникает проблема исследования существования и единственности континуального предела, зависимость результатов от шага решетки, возникновение эффектов конечного размера и решеточных артефактов, проблемы с топологией на решетке (неоднозначность определения топологического заряда и др.). Основным методом численных расчетов при этом является метод Монте-Карло, обеспечивающий получение результатов с погрешностью, определяемой лишь в вероятностном смысле и требующий чрезвычайно больших затрат счетного времени и оперативной памяти ЭВМ. В связи с этим особую актуальность, приобретает создание новых высокоэффективных методов вычисления функциональных интегралов, что и явилось основной целью данной диссертации.

Начало математически строгому изучению функциональных интегралов по счетно-аддитивным мерам было положено в работах Н.Винера [35],[36], которым была введена в пространстве непрерывных на отрезке функций мера функционального интегрирования, носящая теперь его имя. Следует отметить, что сам термин функциональный или континуальный интеграл ("functional integral") следует применять именно к интегралам по определенной мере в заданном пространстве, хотя в русском языке он часто используется как синоним понятия интеграла по траекториям ("path integral"), при определенных условиях являющегося физической интерпретацией континуального интеграла в частном случае квантовой физики. За последние годы в мире были получены значительные результаты в области теории и использования функциональных интегралов по мере Лебега в абстрактных метрических и топологических пространствах [37]-[39]. В то же время, в большинстве работ физического направления, использующих функциональные интегралы, речь идет как раз об интегралах по траекториям, а не о собственно функциональных интегралах. При этом математическому обоснованию используемых методов не всегда уделяется достаточное внимание. Напротив, в чисто математических работах, содержащих строгие формулировки и доказательства, обычно отсутствует применение получаемых результатов к конкретным физическим проблемам. Образовался, таким образом, разрыв между теорией и практическим применением метода функционального интегрирования. Одной из целей данной диссертации как раз и является заполнение этого разрыва.

Диссертация состоит из четырех глав, а также введения и заключения. Во введении приводится обзор некоторых основных фактов из истории развития континуального интегрирования, содержится общая характеристика работы, обоснованы ее актуальность и научная новизна, описаны цели диссертации, ее структура и краткое содержание. Дается характеристика созданных ее автором численных методов, их отличие от уже существующих, новизна теоретических результатов, а также приводится список конференций, на которых докладывались положенные в основу диссертации результаты.

В первой главе на основании анализа концепции фейнмановского интеграла, его аналога в евклидовой метрике, определения интеграла по мере Винера в пространстве непрерывных на отрезке функций, определения интеграла по мере Лебега в абстрактных линейных пространствах и представления меры Винера как частного случая гауссовых мер исследуется связь между фейнмановскими интегралами и континуальными интегралами по условной мере Винера. Полученное нами соотношение для вероятности перехода между квантовыми состояниями позволяет использовать для анализа и приближенного вычисления функциональных интегралов квантовой физики теоретические результаты и численные методы для континуальных интегралов по заданной мере, изложенные в следующих главах.

Для основных величин, характеризующих квантово-механические системы, получены выражения в виде интегралов по нормированной условной мере Винера в пространстве непрерывных на отрезке [0,1] функций с нулевыми значениями на концах отрезка. Для этого потребовалось произвести замену переменных в континуальном интеграле, связанную с определенным преобразованием времени. Показано, что для сохранения нормировки необходимо также провести соответствующее масштабное преобразование координаты. Установлена связь между полученными выражениями и традиционной (шредингеровской) квантовой механикой и квантовой статистической механикой.

Одной из областей теории поля, где имеются достаточно строгие формулировки, связанные с вопросами меры континуального интегрирования, является двумерная евклидова теория поля с полиномиальными взаимодействиями бозонных полей [40]-[41]. В рамках Р(р)2 - модели могут быть исследованы, в частности, такие процессы, как фазовые переходы, критические явления, взаимодействие частиц, рассеяние и связанные состояния.

Одной из важных областей применения континуальных интегралов является исследование топологической структуры вакуума в квантовой калибровочной теории. Волновая функция вакуума здесь является суперпозицией вакуумов, принадлежащих различным гомотопическим классам с определенным целочисленным топологическим инвариантом (топологическим зарядом). Возможность переходов между состояниями вакуума, обладающими различными значениями топологического заряда связана с наличием в неабелевых калибровочных теориях (Янга-Миллса) в евклидовой метрике классических решений полевых уравнений, имеющих нетривиальную топологию (инстантоны), что впервые было обнаружено в 1975 году А.М.Поляковым. Инстантон (квазичастица) -это объект, которому приписывается значение топологического заряда, равное единице. Соответственно, антиинстантон имеет топологический заряд, равный минус единице. Поскольку топологические эффекты, связанные с инстантонными решениями, являются непертурбативными, то есть не могут быть исследованы в рамках теории возмущений, основным методом является численный эксперимент, основанный на приближенном вычислении интегралов по траекториям (континуальных интегралов). При этом значения топологической восприимчивости (усредненного топологического заряда), вычисляемые различными авторами с помощью метода Монте-Карло на решетке существенно отличаются друг от друга и от феноменологических оценок. Причина такого отличия может заключаться как в различии определений топологического заряда на решетке, так и в наличии специфической систематической' погрешности, связанной с конечностью ' шага решеточной дискретизации. В диссертации получено выражение в виде функциональных интегралов по условной мере Винера- для топологической восприимчивости, определяемой как усредненный по пространственно-временному объему квадрат топологического заряда, позволяющее проводить вычисления без предварительной дискретизации пространства и времени.'

Во второй главе для континуальных интегралов по гауссовым мерам в полных сепарабельных метрических пространствах приводятся I построенные нами приближенные формулы различных типов. В том числе, построены "элементарная "и "составная" (усложненная) формулы, обладающие свойством точности на классе функциональных многочленов степени 2т + 1, где т - произвольное (наперед заданное) натуральное число. Для континуальных интегралов по условной мере Винера, содержащих весовой функционал экспоненциального вида, построены приближенные формулы на основе использования найденного нами линейного преобразования специального типа, взаимно однозначно отображающего само на себя пространство непрерывных на отрезке функций с нулевыми значениями на концах отрезка. Доказана сходимость приближений, получаемых по построенным формулам к точному значению интеграла и получена оценка остаточных членов формул, позволяющая гарантировать точность результатов вычислений. Эффективность разработанных приближенных формул иллюстрируется численными примерами.

В третьей главе описывается построение приближенных формул для кратных континуальных интегралов, используемых при исследовании физических систем с несколькими степенями свободы (например, состоящих из большого числа частиц). При этом используется тот факт, что кратный континуальный интеграл может рассматриваться как однократный интеграл по мере, являющейся декартовым произведением исходных мер в прямом произведении исходных метрических пространств. В диссертации приведены результаты построения "элементарных"и "составных"приближенных формул, в том числе приближенных формул с весом для кратных континуальных интегралов по условной мере Винера. Доказаны теоремы о сходимости приближений к точному значению, получена оценка остаточных членов. Результаты иллюстрируются численными примерами.

Построенные нами приближенные формулы не требуют предварительной дискретизации пространства и времени типа решеточной. Это означает, что аргумент подинтегрального функционала остается элементом исходного метрического пространства (например, непрерывной функцией). Дискретизация осуществляется лишь на этапе численных расчетов, включающих в себя вычисление обычных" (римановых) интегралов, содержащихся в построенных нами приближенных формулах, и является, таким образом, средством вычислений (с контролируемой точностью), а не способом определения континуального интеграла. В данном подходе отсутствуют многие серьезные проблемы, которые не всегда решаются до конца при использовании решеточного подхода, в частности, проблема существования и единственности континуального предела, проблема неоднозначности результатов при различных дискретизациях, отсутствуют проблемы, связанные с возникновением метастабильности и замедлением сходимости итераций при стремлении к нулю шага решетки, отсутствуют т.н. решеточные артефакты, приводящие в ряде случаев расчеты на решетке к неверным результатам. Развиваемый нами в рамках этого подхода метод приближенного вычисления континуальных интегралов дает возможность получения математически строго обоснованных физических результатов с заранее предсказываемой (на основании теорем) погрешностью вычислений. Он наиболее полезен в случаях, когда существует сильная чувствительность задачи к шагу дискретизации, например, при исследовании сингулярпостей типа фазовых переходов, при возможности нарушения исходной топологии пространства с введением решетки, при исследовании систем высокой размерности (в том числе с многочастичным взаимодействием, поскольку в данном подходе не возникает проблемы обращения заполненных матриц высокого порядка). Как показывает сравнение численных результатов, кратность римановых интегралов, возникающих при использовании построенных нами приближенных формул как минимум на 2 порядка меньше, чем в методе Монте-Карло на решетке (в рассмотренных нами задачах квантовой механики 2-3 вместо 100-300), что дает возможность s использования более предпочтительных детерминированных методов, дающих гарантированную, а не вероятностную оценку погрешности.

Счетное время при этом также оказывалось на порядок меньше, чем в методе Монте-Карло.

В четвертой главе рассматривается применение созданных численных методов для исследования некоторых моделей квантовой физики методом приближенного континуального интегрирования. В квантовой механике на точно решаемой модели (гармонический осциллятор) исследована зависимость энергии основного состояния, разности энергий основного и первого возбужденного состояний, а также волновой функции основного состояния от евклидова времени наблюдения за системой t (связанного в статистическом подходе с абсолютной температурой Т соотношением t = где к - постоянная Больцмана). Показано, что в термодинамическом пределе Т —> О (или, что то же самое, t —> оо) полученные величины стремятся к известным из традиционной квантовой механики значениям. Исследована также эффективность созданных приближенных методов для континуальных интегралов при численном решении рассмотренной задачи. Проведены аналогичные расчеты для квантовой системы, не допускающей точного решения (ангармонический осциллятор). Приведено сравнение численных результатов с результатами других авторов, демонстрирующее более высокую эффективность разработанных нами методов.

Для расчета физических характеристик в Р(ф)2 - квантовой теории поля нами построены новые приближенные формулы для континуальных интегралов. Использование формул иллюстрируется численными примерами. С помощью данных формул исследован характер стремления к термодинамическому пределу некоторых функциональных интегралов.

Рассматривается нахождение топологического заряда и топологической восприимчивости без предварительной дискретизации пространства и времени. Нами исследованы вопросы, связанные с туннелированием частицы в двугорбом потенциале и в модели квантового маятника. Выполнены расчеты топологической восприимчивости и энергии в - вакуума. Полученные численные результаты хорошо согласуются с приближением разреженного инстантонного газа, причем данный метод позволяет исследовать границы применимости этого приближения.

Приводятся результаты использования континуальных интегралов для исследования открытых квантовых систем. Задача описания временной эволюции открытых квантовых систем (ОКС), т.е. систем, взаимодействующих с окружающей их средой, важна как с практической, так и с методологической точки зрения поскольку, строго говоря, все реальные системы являются открытыми. В рамках такого подхода естественным образом описываются неравновесные необратимые процессы, сопровождающиеся диссипацией энергии, что находит применение в различных областях квантовой физики и химии. Для описания динамики ОКС используется оператор плотности /?(£), с помощью которого можно находить средние значения физических величин, характеризующих квантовую систему. Матричные элементы этого оператора в координатном представлении для некоторого момента времени t > 0 могут быть выражены через его матричные элементы в начальный момент t = 0 посредством нахождения двойного интеграла по траекториям в соответствии с моделью, предложенной Р.Фейнманом и Ф.Верноном. Нами получено выражение пропагатора для открытых квантовых систем в форме двойного континуального интеграла по условной мере Винера. Это позволяет применять развитые нами ранее методы приближенного вычисления интегралов Винера для численного исследования временной эволюции открытых квантовых систем. С помощью этих методов нами проведено численное исследование процесса туннелирования с диссипацией энергии при движении частицы сквозь потенциальный барьер.

Рассматривается применение метода континуального интегрирования в задачах ядерной физики. Континуальные интегралы предоставляют удобный способ изучения широкого круга ядерных систем, недоступных для численного исследования другими методами. Однако, при формулировке задачи для многочастичной ядерной системы на пространственно-временной решетке, нахождение характеристик тяжелых ядер является сложной задачей даже для высокопроизводительных компьютеров. В первую очередь это касается свойств основного состояния систем (энергии связи, массы и т.д.). Результаты вычисления энергии связи даже для легких ядер методом Монте-Карло, вариационным, методом связанных кластеров и другими методами могут отличаться друг от друга и от экспериментальных данных более, чем на величину указанных погрешностей [42] ,[43]. Весьма перспективным является в этом смысле разработанный нами детерминированный метод вычисления континуальных интегралов, не требующий решеточной дискретизации. Эффективность метода исследована нами при вычислении энергии основного состояния в модели Калоджеро, соответствующей системе частиц, взаимодействующих силами линейного притяжения и центробежного отталкивания. Результаты расчетов и их сравнение с данными других авторов для систем с числом частиц от 3' до 11 демонстрируют преимущества разработанного нами метода над методом Монте-Карло. Проведены расчеты энергии связи нуклонов в ядре атома трития (путем вычисления 9-кратного континуального интеграла), позволяющие уточнить аналогичные данные, полученные другими авторами методом Монте-Карло и вариационным методом. Для системы взаимодействующих между собой фермионов разработан метод приближенного* вычисления континуальных интегралов на основе численного интегрирования по упорядоченным подпространствам. Выполнены расчеты энергии связи для ядра дейтерия и для ск-частицы. Разработан метод и проведены расчеты матрицы плотности в модели двойной ядерной системы, описывающей процесс слияния ядер при их глубоконеупругих столкновениях. Данная модель объясняет механизм образования составного ядра и позволяет оценить вероятность его формирования, что имеет важное значение для подготовки экспериментов по синтезу сверхтяжелых элементов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации. Результаты доложены автором на ряде всероссийских и международных конференций, в том числе:

1. Всесоюзная конференция "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики", Новосибирск, 1987

2. International JINR-GERN School on High Energy Physics, Varna, Bulgaria, 1987

3. Всесоюзная конференция "Вычислительная физика и математическое моделирование", Волгоград, 1988

4. International Symposium on Selected Topics in Statistical Mechanics, Dubna, Russia, 1989

5. Всесоюзная школа по вычислительным методам и математическому моделированию, Шушенское, 1986

6. II Всесоюзная конференция "Вычислительная физика и математическое моделирование", Волгоград, 1989

7. International IMACS Conference on Math. Modelling and Applied Mathematics, Moscow, 1990

8. International Colloquium on Differential Equations and Applications, Budapest, Hungary, 1991

9. 4-th International Conference on Path Integrals from meV to MeV, Tutzing, Germany, 1992

10. International Conference on Path Integrals in Physics, Bangkok, Thailand, 1993

11. International Conference on Programming and Mathematical Methods for Solving Physical Problems, Dubna, Russia, 1993

12. International Conference on Dynamical Systems and Chaos, Tokyo, Japan,1994

13. International Conference on Computational Modelling and Computing in Physics, Dubna, 1996

14. QMATHIC International Workshop, Dera Ismail Khan, Pakistan, 1996

15. 5-th International Conference on Path Integrals from meV to MeV, Dubna, Russia, 1996

16. NATO Advanced Study Institute on Functional Integration: Basics and Applications, Cargese, France, 1996

17. International Symposium "Frontiers of Fundamental Physics", Hyderabad, India, 1997

18. International Conference on Computational Physics, Granada, Spain,

1998

19. International Conference on Path Integrals from peV to TeV (50 Years after Feynman's Paper), Florence, Italy, 1998

20. Workshop on Stochastics and Quantum Physics, Aarhus, Denmark,

1999

21. XXXVI Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, 2000

22. International Mathematics Conference, Minsk, Belarus, 2000

23. International Conference on Path Integrals from Quarks to Galaxies, Antwerpen, Belgium, 2002.

24. XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, 2002.

25. International Conference on Irreversible Quantum Dynamics, Trieste, Italy, 2002

26. International Congress on Mathematical Modelling, Dubna, 2002.

27. International Conference on Computational Methods in Applied Mathematics, Minsk, 2003.

28. XL Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, 2005.

29. International Conference on Mathematical Modelling and Analysis, Trakai, Lithuania, 2005.

30. International Conference on Path Integrals from Quantum Information to Cosmology, Prague, Czech Republic, 2005.

31. XLI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, 2006.

32. International Science Conference "The Modeling of Nonlinear Processes and Systems", Moscow, 2008.

В диссертации получены новые результаты в рамках формализма функционального интегрирования в физике:

1. Разработаны новые приближенные методы для вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам в полных сепарабельных линейных пространствах. В отличие от существующих методов приближенного функционального интегрирования, созданные методы обладают большей степенью общности; по сравнению с расчетами на решетке с использованием метода Монте-Карло, разработанные в диссертации методы дают возможность использования детерминированных алгоритмов с гарантированной, а не вероятностной оценкой погрешности и обладают более высокой эффективностью (требуют меньшего времени вычисления и меньшего объема памяти ЭВМ).

2. Для амплитуды перехода между квантовыми состояниями в моделях евклидовой квантовой механики получено новое выражение в виде континуального интеграла по нормированной условной мере Винера. В отличие от известной формулы Фейнмана-Каца, данное выражение содержит интегрирование по пространству непрерывных на отрезке [0,1] функций, принимающих нулевые значения на концах отрезка. Это позволяет применять к данному выражению теорию интеграла Лебега для аналитического исследования и для численных расчетов.

3. На основе полученного соотношения для амплитуды перехода в виде функциональных интегралов построены новые выражения для свободной энергии квантовой системы (энергии Гельмгольца), для энергии основного состояния системы, для корреляционной функции и пропагатора, для разности энергий основного и первого возбужденного состояний в случае дискретного спектра, для квадрата модуля волновой функции основного состояния. Данные выражения позволяют использовать методы статистической физики и функционального интегрирования по вероятностным мерам для расчетов в квантовой механике при конечной температуре и, в отличие от известных из квантовой механики соотношений, дают возможность исследовать характер стремления этих величин к термодинамическому пределу.

4. Для пропагатора открытых квантовых систем получено новое выражение. В отличие от существующего выражения в виде двойного фейнмановского интеграла, данное соотношение записывается в форме двойного континуального интеграла по условной мере Винера. Это позволяет применять развитые в диссертации методы приближенного вычисления интегралов Винера для численного исследования временной эволюции открытых квантовых систем.

5. Получено выражение для топологического заряда и топологической восприимчивости в квантовых системах с периодическим потенциалом. В отличие от аналогичных выражений на решетке, данный результат не подразумевает дискретизации пространства и времени, а связывает искомые величины с функциональными интегралами в пространстве непрерывных на отрезке функций. Благодаря этому исключается возможность ошибочного изменения-топологического заряда при недостаточно малом шаге решетки.

6. Для матричного элемента оператора эволюции квантовой системы, состоящей из взаимодействующих между собой фермионов, получено новое выражение на основе использования полного набора антисимметризованных многочастичных состояний. В отличие от существующего аналогичного выражения для дискретизованного отрезка времени, полученное автором диссертации соотношение не требует дискретизации, а позволяет выразить матричный элемент через кратный функциональный интеграл по условной мере Винера в упорядоченном подпространстве прямого произведения пространств непрерывных функций.

7. Получены новые численные результаты, которые позволяют исследовать границы применимости теоретического приближения разреженного инстантонного газа, сравнивать предсказания моделей ядра с данными экспериментов и уточнить получаемые в рамках этих моделей величины энергий связи нуклонов.

В отличие от решеточного подхода, данные результаты получены без предварительной дискретизации пространства и времени, т.к. дискретизация в разработанных в диссертации методах используется лишь на последнем этапе расчетов при вычислении (с требуемой точностью) римановых интегралов и, в отличие от расчетов на решетке, не является способом определения самого функционального интеграла.

В результате применения разработанных методов и созданных компьютерных программ для численного моделирования топологических эффектов, связанных с квантовым туннелированием в модели с "двугорбым" потенциалом и в модели квнтового маятника были вычислены характеристики, лучше согласующиеся с теоретическим приближением инстантониого газа и с меньшими затратами счетного времени и памяти ЭВМ по сравнению с результатами других авторов, полученными методом Монте-Карло. Аналогично, при расчете энергии основного состояния в многомерной модели Калоджеро разработанные в диссертации методы позволили получить более точные результаты с меньшими затратами вычислительных ресурсов (счетные времена, требуемый объем памяти ЭВМ). Результаты вычисления энергии связи нуклонов в потенциальной ядерной модели, полученные в диссертации, лучше согласуются с экспериментальными данными, чем результаты других авторов. Разработанный в диссертации метод приближенного функционального интегрирования позволяет эффективно вычислять матрицу плотности при численном моделировании открытых квантовых систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44]

Основные результаты диссертции:

1. Методы приближенного вычисления функциональных интегралов по гауссовым мерам в полных сепарабельных линейных пространствах, в том числе метод вычисления функциональных интегралов с весом, кратных функциональных интегралов, метод приближенного вычисления функциональных интегралов для систем взаимодействующих между собой фермионов, открытых квантовых систем.

2. Доказательство сходимости приближений, получаемых по построенным приближенным формулам, к точному значению интеграла и оценка остаточных членов формул, позволяющая* гарантировать точность результатов вычислений.

3. Формулировка квантовых моделей гармонического и ангармонического осциллятора, модели с "двугорбым" потенциалом взаимодействия, многочастичной модели Калоджеро, потенциальных моделей ядра в терминах функциональных интегралов по гауссовым мерам в линейных пространствах на основе представления амплитуд переходов между квантовыми состояниями в виде функциональных интегралов.

4. Результаты. тестирования эффективности разработанных численных методов на точно решаемых моделях (модель квантового гармонического осциллятора, многочастичная модель Калоджеро), демонстрирующие меньшие времена вычисления и требуемый объем оперативной памяти по сравнению с результатами, полученными другими авторами методом Монте-Карло.

5. Результаты моделирования с использованием разработанных приближенных методов, алгоритмов и созданных компьютерных программ:

• численное исследование континуальных квантово-механических моделей, указанных в п.З, путем вычисления и анализа наблюдаемых величин и характеристик в рамках этих моделей

• исследование Р{ф)2 модели двумерной евклидовой теории поля с полиномиальными взаимодействиями в континуальном пределе, численный анализ стремления функциональных интегралов в этой модели к термодинамическому пределу

• исследование непертурбативной топологической структуры основного состояния квантовой системы с периодическим потенциалом (модель квантового маятника), численный анализ топологического заряда и топологической восприимчивости

• исследование открытых квантовых систем при моделировании неравновесных процессов (квантовое туннелирование с диссипацией сквозь потенциальный барьер, процесс слияния ядер в модели Двойной Ядерной Системы)

• исследование многочастичных ядерных систем в рамках потенциальной модели ядра, расчеты и анализ энергий связи в моделях ядер дейтерия, трития, модели а - частицы.

Заключение

1. Schulman L.S. Techniques and Applications of Path Integration. New York: Wiley, 1981. - 359 P.

2. Kashiwa Т., Ohnuki Y., Suzuki M. Path Integral Methods. Oxford: Clarendon Press, 1997. - 216 P.

3. Khandecar D.C., Lawande S.V., Bhagwat K.V. Path-Integral Methods and Their Applications. Singapore: World Scientific, 1998. - 343 P.

4. Feynman R.P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. - Vol. 20, N 2. - Pp. 367-387.

5. Фейнман P., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968. - 382 С.

6. Кас М. On the distribution of certain Wiener functionals // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. - Vol. 65. - Pp. 1-13.

7. Кац M. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965.- 408 С.

8. Далецкий Ю.Л. // ДАН СССР. 1960. - Т. 134, N 5. - С. 1013-1016; // ДАН СССР. - 1961. - Т. 137, N 2. - С. 268-271; // УМН. - 1962.- Т. 17, №. С. 3-115.

9. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М: Наука, 1983. - 383 С.

10. Freidlin М. Functional Integration and Partial Differential Equations. -Princeton: Princeton University Press, 1985. 545 P.

11. Ito K. On stochastic differential equations. Mem. Amer. Math. Soc. -1951. - Vol. 4. - Pp.1-51.

12. Ито К. Вероятностные процессы. М.: Мир, 1960. - 133 С.

13. Ikeda H., Watanabe S. Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. North-Holland, 1981. - 478 P.

14. Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View. New York: Springer-Verlag, 1987. - 535 P.

15. Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. New York: Acad. Press, 1979. - 296 P.

16. Roepstorff G. Path Integral Approach to Quantum Physics: an Introduction. Berlin: Springer, 1994. - 399 P.

17. Славнов А.А., Фаддеев JI.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1988. - 272 С.

18. Kleinert Н. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics and Financial Markets. Singapore: World Scientific, 2003. -622 P.

19. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М: Наука, 1984. - 597 С.

20. Rivers R.J. Path Integral Methods in Quantum Field Theory. Cambridge a.o.: Cambridge Univ. Press, 1988. - 352 P.

21. Das A. Field Theory: a Path Integral Approach. Singapore: World Scientific, 1993. - 399 P.

22. Попов B.H. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М.: Атомиздат, 1976. - 256 С.

23. Мазмаиишвили А.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач. Киев: Наукова думка, 1987. - 224 С.

24. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 614 С.

25. Афанасьев В.Н. Оптимальные системы управления. Аналитическое конструирование. М.: РУДН, 2007. 259 С.

26. Makhan'kov V.G., Rybakov Y.P., Sanyuk V.I. The Skyrme Model. Fundamentals, Methods, Applications. Berlin: Springer-Verlag, 2003. -265 P.

27. Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Многомерные солитоны. Введение в теорию и приложения. М.: РУДН, 2001. 481 С.

28. Rybakov Yu.P. Chiral Self-Gravitating Cosmic Vertices. // Physics of Atomic Nuclei. 2005. - Vol. 68, N6. - Pp. 1942-1045.

29. Exner P. Open Quantum Systems and Feynman Integrals. Dordrecht: Reidel, 1985. - 367 P.

30. Маслов В.П. К методу стационарной фазы для континуального интеграла Фейнмана. // Теорет. и мат. физика. 1970. - Т.2, JV1.- С.30-35.

31. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. М.: Наука, 1976. 191 С.

32. Маслов В.П., Чеботарев A.M. Скачкообразные процессы и их применения в квантовой механике. // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Мат.стат. и теорет. кибернетика. 1978. - Т. 15.- С.5-78.

33. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. М.: Изд. МГУ, 1990. - 150 С.

34. Кройц М. Кварки, глюоны и решетки. М: Мир, 1987. - 190 С.

35. Wiener N. Differential Space. // J. Math, and Phys. 1923. - Vol. 2. -Pp. 131-174.

36. Wiener N. The average value of a functional. // Proc. London Math. Soc. 1924. - Vol. 22. - Pp. 454-467.

37. Смолянов О.Г. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. М.: МГУ, 1979. - 234 С.

38. Авербух В.И., Смолянов О.Г. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах. // УМН. 1967. - Т.22, N6. - С.201-260.

39. Egorov A.D., Sobolevsky P.I., Yanovich L.A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. Dordrecht a.o.: Kluwer Ac. Publ., 1993. - 419 P.

40. Саймон Б. Модель Р(ф)2 эвклидовой квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. - 358 С.

41. Dimock J., Glimm J. Measures on Schwartz distribution space and applications to P((p)2 field theories. // Adv. Math. 1974. - Vol.12. -Pp.58-83.

42. Wiringa R.B. in: Recent Progress in Many-Body Theories. New York: Plenum Press, 1992. - Pp.39-45.

43. Carlson J. Green's function Monte Carlo study of light nuclei // Phys. Rev. C. 1987. - Vol. 36, N5. - Pp.2026-2033.

44. Егоров А.Д., Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования. М: Физматлит, 2006. 400 С.

45. Lobanov Yu.Yu. Computation of functional integrals in the problems of quantum and statistical physics // Сотр. Phys. Comm. 1999. -Vol.121. - Pp. 60-63.

46. Lobanov Yu.Yu. Functional integrals for nuclear many-particle systems // J. Phys. A: Math. & Gen. 1996. - Vol.29. - Pp. 6653-6669.

47. Lobanov Yu.Yu. Deterministic computation of functional integrals // Сотр. Phys. Comm. 1996. - Vol.99. - Pp. 59-72.

48. Lobanov Yu.Yu. Investigation of the large quantum systems by the numerical integration in functional spaces // Mathematics and Computers in Simulation. 1995. - Vol.39. - Pp. 239-244.

49. Lobanov Yu.Yu., Shahbagian R.R., Zhidkov E.P. Computation of multiple functional integrals in quantum physics // J. Comput. Appl. Math. 1996. - Vol.70. - Pp. 145-160.

50. Lobanov Yu.Yu. New approximation formulas for functional integrals with Gaussian measures. // Path Integrals from meV to MeV: Tutz-ing'92. World Scientific, 1993. - Pp.26-33.

51. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Метод приближенного континуального интегрирования и некоторые его ' приложения // Матем. моделирование. 1999. - Т.11, №5. - С. 37-83.

52. Lobanov Yu.Yu. Stochastic calculations in quantum physics via numerical integration in metric spaces. // Proc. of the Workshop on Stochas-tics and Quantum Physics, Aarhus, Denmark, 1999. Aarhus University Press, 1999. - Pp. 50-55.

53. Lobanov Yu.Yu. Functional approach to path integrals: Numerical aspects and applications. // Path Integrals in Physics. World Scientific, 1994. - Pp. 301-308.t

54. Lobanov Yu.Yu., Shahbagian R.R., Sidorova O.V., Zhidkov E.P. Computation of conditional Wiener integrals by the composite approximation formulas with weight // J. Comput. Appl. Math. 1990. - Vol.29. Pp. 51-60.

55. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Метод приближенного континуального интегрирования в задачах математической физики // ЭЧАЯ. 1996. - Т.27, Вып.1. - С. 173-242.

56. Lobanov Yu.Yu. A new method of computation of functional integrals. // Functional Integration: Basics and Applications. New York: Plenum Press, 1997. - P. 417.

57. Lobanov Yu.Yu., Rushai V.D. Numerical functional integration method in some many-particle problems of nuclear physics. // Path Integrals from peV to TeV: 50 Years After Feynman's Paper. World Scientific, 1999. - Pp. 581-584.

58. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Шахбагян P.P. Об- одном методе вычисления континуальных интегралов без решеточной дискретизации // Матем. моделирование. 1989. - Т.1, №8. -С. 139-157.

59. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Метод приближенного континуального интегрирования при решении некоторых дифференциальных уравнений в частных производных // Дифф. уравнения. 1993. - Т.29, №9. - С. 1609-1619.

60. Lobanov Yu.Yu., Selin A.V., Zhidkov E.P. Modelling complex quantum systems via functional integration. // Dynamical Systems and Chaos. -World Scientific, 1995. Pp. 538-541.

61. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Шахбагян P.P. Приближенное вычисление кратных континуальных интегралов в многомерных задачах квантовой физики // Матем. моделирование. 1990. - Т.2, то. - С. 110-119.

62. Gregus М., Lobanov Yu.Yu., Sidorova O.V., Zhidkov E.P. On the deterministic computation of functional integrals in application to quantummechanical problems // J. Comput. Appl. Math. 1987. - Vol.20. -Pp. 247-256.

63. Lobanov Yu.Yu., Zhidkov E.P., Shahbagian R.R. Modelling multidimensional quantum systems by the numerical functional integration. // Mathematical Modelling and Applied Mathematics. Elsevier (North-Holland), 1992. - Pp. 273-278.

64. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Шахбагян P.P. Численное исследование многомерных квантовых систем методом приближенного континуального интегрирования. / / Матем. моделирование. 1993. - Т.5, №12. - С. 61-78.

65. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Сидорова О.В. Об одной линейной замене переменной интегрирования в континуальном интеграле по условной мере Винера // Краткие Сообщ. ОИЯИ. 1984. - Т.4. -С. 28-32.

66. Lobanov Yu.Yu., Shahbagian R.R., Zeinaliva O.V., Zhidkov E.P. On some algorithms for computer evaluation of functional integrals. // Algorithms and Programs for Solution of Some Problems in Physics. -1989. Vol.6. - Budapest, KFKI-1989-62/M. - Pp.1-28.

67. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Расчет топологических эффектов в калибровочных теориях на основе приближенного вычисления винеровских интегралов. // ОИЯИ, Р2-86-433, Дубна, 1986.

68. Lobanov Yu.Yu., Zhidkov Е.Р. Evaluation of quantum mechanics path integrals by the approximations exact on a class of polynomial functional (Contribution to the Intern. JINR-CERN School of Physics, Varna, Bulgaria, 1987). // JINR, E2-87-507, 1987.

69. Lobanov Yu.Yu., Zhidkov E.P. Covariance operator of functional measure in P(ip)2 quantum field theory. JINR, E5-88-659, Dubna, 1988.

70. Lobanov Yu.Yu., Shahbagian R.R. and Zhidkov E.P. Method of approximate path integration in the problems of Euclidean quantum physics. // Programming and Mathematical Techniques in Physics. World Scientific, 1994. - Pp. 25-29.

71. Lobanov Yu.Yu. Numerical functional integration method for studying the properties of the physical vacuum // IC/97/108, Trieste, 1997.

72. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Сидорова О.В. • Составная приближенная формула произвольного порядка точности для континуальных интегралов по гауссовой мере. // ОИЯИ, Р11-83-867, Дубна, 1983.

73. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Сидорова О.В. Приближенные формулы с весом для континуальных интегралов по условной мере Винера. // ОИЯИ, Р11-84-775, Дубна, 1983.

74. Lobanov Yu.Yu., Zeinaliva O.V., Zhidkov E.P. Approximation formulas for functional integrals in P(^)2-quantum field theory. JINR, El 1-91352, Dubna, 1991.

75. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Сидорова О.В. Приближенное интегрирование по условной мере Винера в задачах квантовой механики. Гармонический осциллятор. // ОИЯИ, Р11-85-764, Дубна, 1985.

76. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Сидорова О.В. Приближенное интегрирование по условной мере Винера в задачах квантовой механики. // Ангармонический осциллятор. ОИЯИ, Р11-85-765, Дубна, 1985.

77. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Зейналова О.В., Шахбагян P.P. Метод приближенного вычисления континуальных интегралов в задачах математической физики. // Краткие Сообщ. ОИЯИ. 1993. -Т.1(58). - Рр.43-55.

78. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Рушай В.Д. Численное исследование открытых квантовых систем методом приближенного континуального интегрирования. / / "Тезисы докладов Международной математической конференции, Минск, 2000". Минск: изд. ИМ НАНБ, 2000. - С. 17.

79. Lobanov Yu.Yu. Numerical study of open quantum systems in the problems of nuclear physics. // "Conference on Path Integrals from Quarks to Galaxies", Antwerpen University Press, 2002. P. 60.

80. Lobanov Yu.Yu., Rushai V.D., Zhidkov E.P. Numerical study olopen quantum systems in application to the dinuclear system model. // V International Congress on Mathematical Modelling, Dubna, 2002. M., JANUS-K, 2002. - Pp. 164.

81. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Приближенное вычисление винеровских интегралов в задачах исследования открытыхквантовых систем. // Труды Института Математики НАНБ. -2002.-Т.Н.-С. 68-78.

82. Zhidkov Е.Р., Lobanov Y.Y. Computation of functional integrals in some problems of quantum physics // Вестник РУДН, серия прикладная и компьютерная математика. 2002. - Т.1. - С. 62-78.

83. Lobanov Yu.Yu., Zhidkov E.P. Solution of some differential equations of quantum physics by the numerical functional integration method // Comput. Methods in Appl. Math. 2003. - Vol.3. - Pp. 560-578.

84. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю., Рушай В.Д. Численное исследование открытых квантовых систем методом приближенного функционального интегрирования по условной мере Винера. // ОИЯИ, Р11-2003-114, Дубна, 2003.

85. Lobanov Y.Y., Zhidkov E.P. Studying the properties of physical vacuum by the numerical functional integration method // Вестник РУДН, серия прикладная и компьютерная математика. 2003. - Т.2. -С. 180-198.

86. Жидков Е.П., Лобанов Ю.Ю. Приближенное вычисление интегралов Винера в некоторых задачах ядерной физики // Вестник РУДН, Серия Физика. 2004. - Т.12. - С. 3-16.

87. Лобанов Ю.Ю. Использование метода функционального интегрирования в некоторых задачах математической физики. // Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. -2008. Т.4. - С. 75-83.

88. Rushai V.D., Lobanov Y.Y. Studying open quantum systems by means of a deterministic approach to approximate functional integration. // Phys. Rev. E. 2005. - Vol.71, N6. - Pp. 066708(4).

89. Lobanova V.A., Lobanov Y.Y. Numerical evaluation of Wiener integrals in the problems of quantum physics. // Math. Modelling and'Anal-ysis. Proc. of the International Conference, Trakai, 2005. Technika,2005. Pp.461-466.

90. Lobanov Yu.Yu. Modelling complex quantum systems using the numerical functional integration method. // Международная научная конференция "Моделирование нелинейных процессов и систем", Москва, 2008. Тезисы докладов. М.: МГУП, 2008. - С.136-137.

91. Dittrich W., Reuter М. Classical and Quantum Dynamics: from Classical Paths to Path Integrals. Springer, Berlin, 2001. - 385 P.

92. Jersak J. In: Path Integral Method, Lattice Gauge theory and critical phenomena. Singapore: World Scientific, 1989. - Pp. 1-67.

93. Гельфанд И.М., Яглом A.M. Интегрирование в функциональных пространствах и его применения в квантовой физике. //УМЫ. -1956. Т.11, N1. - С. 77-114.

94. Cameron R.H. A family of integrals serving to connect the Wiener and Feynman integrals // J. Math, and Phys. 1960. - Vol.39. -Pp.126-140.

95. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Физматлит, 1997. - 352 С.

96. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического аналза. Оснащенные гильбертовы пространства. -М.: Физматгиз, 1961. 472 С.

97. Березанский Ю.М., Кондратьев Ю.Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. Киев: Наукова думка, 1988. - 680 С.

98. Cameron R.H. A "Simpson rule"for the numerical evaluation of Wiener's integrals in function space. // Duke Math. J. 1951. - Vol.18, N1. - Pp.111-130.

99. Гельфанд И.М., Ченцов H.H. О численном вычислении континуальных интегралов. // ЖЭТФ. 1956. - Т.31, вып.6. - С.1106-1107.

100. Гельфанд И.М., Фролов А.С., Ченцов Н.Н. Вычисление континуальных интегралов методом Монте-Карло. // Изв.вузов. Сер. мат. 1958. - N5(6). - С.32-45.

101. Владимиров B.C. О приближенном вычислении винеровских интегралов. // УМН. 1960. - Т.15, вып.4. - С.129-135.

102. Konheim A.G., Miranker W.L. Numerical evaluation of Wiener integrals. // Math. Comput. 1967. - Vol.21, N97. - Pp.49-65.

103. Fosdick L.D., Jordan H.F. Approximation of a conditional Wiener integral. // J. Comput. Phys. 1968. - Vol.3, N1. - Pp.1-16.

104. Kuelbs J. Some results for probability measures on linear topological vector spaces. // J. Functional Analysis. 1973. - Vol.14. - Pp.28-43

105. Татарский В.И. О приближенном вычислении винеровских континуальных интегралов. В кн.: Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Новосибирск: ВЦ СО СССР, 1976. С.60-74.

106. Тобиас Т.О приближенном вычислении интеграла Винера. // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.- мат. и техн. наук. 1965. - N2. - С.214-222.

107. Finlayson Н.С. Approximations of Wiener integrals of functionals continuous in the uniform topology. // Pacific J. Math. 1970. - Vol.34, N1. - Pp.61-71.

108. Янович Jl.А. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам. Минск: Наука и техника, 1976. - 383 С.

109. Егоров А.Д. О вычислении континуальных интегралов в некоторых линейных топологических пространствах. // Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук. 1981. - Т.6. - С.9-15.

110. Ковальчик И.М., Янович Л.А. Обобщенный винеровский интеграл и некоторые его приложения. Минск: Наука и техника, 1989. 221 С.

111. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973. - 228 С.

112. Creutz М., Freedman В. A statistical approach to quantum mechanics. // Ann. of Phys. 1981. - Vol.132. -Pp.427-462.

113. Шифф Л. Квантовая механика. М.: ИЛ, 1959. - 480 С.

114. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1989.- 767 С.

115. Cahill К., Reeder R. Path integrals without lattices // Phys. Lett. -1984. Vol.l36B, N1/2. - Pp.77-79.

116. Biswas S.N. et al. Eigenvalues of A x2m anharmonic oscillators // J. Math. Phys. 1973. - Vol.14. - Pp.1190-1195.

117. Ginibre J. In: Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, ed. C. De Witt and R. Stora. New York: Gordon & Breach, 1971.

118. Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- M.: Наука, 1999. 799 С.

119. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1961. - 936 С.

120. Callan C.G., Dashen R.F., Gross D.J. Toward a Theory of the Strong Interactions. // Phys. Rev. D. 1978. - Vol.17. - Pp.2717-2740.

121. Соколов A.A., Тернов И.М., Жуковский Б.Ч., Борисов А.В. Калибровочные поля. М.: Изд. Моск. ун-та, 1986. - 260 С.

122. Хуанг К. Кварки, лептоны и калибровочные поля. М.: Мир, 1985.- 384 С.

123. Belavin А.А., Polyakov A.M., Schwartz A.S., Tyupkin Yu.S. Pseu-doparticle solutions of the Yang-Mills equations // Phys. Lett. B. -1975. Vol.59. - Pp.85-87.

124. Раджараман P. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля.- М.: Мир, 1985. 414 С.

125. Вайнштейн А.И. и др. Инстантонная азбука // УФН. 1982. - Т.136, вып.4. - С.553-591.

126. Chan H.S. Continuum Regularization Of Gauge Theory With Fermions // LBL-23148, Berkeley, 1987. 85 P.

127. Shuryak E.V., Zhirov O.V. Testing Monte Carlo methods for path integrals in some quantum mechanical problems // Nucl. Phys. 1984. -Vol.B242. - Pp.393-406.

128. Blankenbecler R. et al. Moment method for eigenvalues and expectation values // Phys. Rev. D. 1980. - Vol.21. - Pp.1055-1061.

129. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. -472 С.

130. Bunk В., Wolff U. Computer Simulation Of Topological Effects In Lattice Theories: A Model Study. // Nucl. Phys. 1983. - Vol.B215, N4. -Pp.495-507.

131. Lindblad G. On the Generators of Quantum Dynamical Semigroups // Commun. Math. Phys. 1976. - Vol.48. - Pp.119-130.

132. Strunz W.T. Path integral, semiclassical and stochastic propagators for Markovian open systems // J. Phys. A. -1997. Vol.30. - Pp.4053-4064.

133. Caldeira A.O., Laggett A.J. Path Integral Approach To Quantum Brownian Motion // Physica A. 1983. - Vol.121. - Pp.587-616.

134. Grabert H. et al. Quantum Brownian Motion: The Functional Inegral Approach // Phys. Rep. 1988. - Vol.168. - Pp.115-207.

135. Weiss U. Quantum Dissipative Systems. Singapore: World Scientific, 2008. - 528 P.I

136. Haba Z. Semiclassical stochastic representation of the Feynman integral // J. Phys. A. 1994. - Vol.27. - Pp.6457-6477.

137. Adamian G.G., Antonenko N.V., Scheid W. Tunneling with dissipation in open quantum systems // Phys. Lett. A. 1998. - Vol.244. - Pp.482488.

138. Calogero F. Ground state of a one-dimensional N-body system // J. Math. Phys. 1969. - Vol.10. - Pp.2197-2200.

139. Camiz P. et al. Exact solution of a time-dependent quantal harmonic oscillator with a singular perturbation // J. Math. Phys. 1971. -Vol.12. - Pp.2040-2043.

140. Goovaerts M.J. Path-integral evaluation of nonstationary Calogero model // J. Math. Phys. 1975. - Vol.16, N3. - Pp.720-723.

141. Grimm R.C., Storer R.G. Monte Carlo solution of Schrodinger's equation // J. Сотр. Phys. 1971. - Vol.7, N1. Pp.134-156.

142. Turbiner A. Hidden algebra of the N body Calogero problem // Phys. Lett. B. 1994. - Vol.320, N3/4. - Pp.281-286.

143. Gorsky A., Nekrasov N. Hamiltonian systems of Calogero type and two dimensional Yang-Mills theory // Nucl. Phys. B. 1994. - Vol.414, N1/2. - Pp.213-238.

144. Negele J.W. Monte Carlo studies of nuclear many-particle systems // J. Stat. Phys. 1986. - Vol.43, N5/6. - Pp.991-1015.

145. Baker R.A. et al. Exact Numerical Solution of a Three-Body Ground-State Problem // Phys. Rev. 1962. - Vol.125. - Pp.1754-1758.

146. Herndon R.C., Tang Y.C. Upper and lower bounds of the eigenvalue of a four-body system // Nucl. Phys. A. 1967. - Vol.93. - Pp.692-698.

147. Rosati S., Barbi M. Direct Numerical Solution of the Three-Body Problem // Phys. Rev. 1966. - Vol.147. - Pp.730-734.

148. Banville M., Kunz P.D. A complete variational wave function for the ground state of 3H and 3He // Can. J. Phys. 1966. - Vol.44. - Pp.20952110.

149. Homan D.H., Kok L.P., van Wageningen R. Triton variational calculations with trial functions which are not of the product type // Nucl. Phys. A. 1968. - Vol.117. - Pp.231-237.

150. Kalos M.H. Monte Carlo Calculations of the Ground State of Three-and Four-Body Nuclei // Phys. Rev. 1962. - Vol.128. - Pp.1791-1795.

151. Negele J.W. Tunneling of a many-Fermion system in one dimension. In: Time-Dependent Hartree-Fock and Beyond. Berlin: Springer, 1982.- Pp.198-213.

152. Alexandrou C., Negele J.W. Stochastic calculation of tunneling in systems with many degrees of freedom // Phys. Rev. C. 1988. - Vol.37.- Pp.1513-1526.

153. Puddu G. Positive-definite functional integrals for interacting fermions // Phys. Lett. A. 1991. - Vol.158. - Pp.445-448.

154. Bop О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра, т.1. М.: Мир, 1971. - 456 С.

155. Tilley D.R., Weller H.R., Hale G.M. Energy levels of light nuclei A=4 // Nucl. Phys. A. 1992. - Vol.541. - Pp.1-104.

156. Волков В.В. Роль двойной ядерной системы в процессах слияния ядер, квазиделения, деления и формирования кластеров. // ЯФ. -1999. Т.62, N7. - С.1159-1166.

157. Adamian G.G., Antonenko N.V., Scheid W., Volkov V.V. Fusion Cross Sections for Superheavy Nuclei in the Dinuclear System Concept // Nucl. Phys. A. 1998. - Vol.633, N3. - Pp.409-420.

158. Особая благодарность и признательность моей жене Валентине за ее долготерпение и моральную поддержку.