автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Регуляризация математических моделей критических явлений в статистической физике

1 Задача о вычислении функционального интеграла

1.1 Постановка задачи.

1.2 Другие формулы аппроксимации функционального интеграла, вытекающие из теоремы 1.

1.3 Проблемы метода.

2 Методы вычисления коэффициентов Ва

2.1 Вычисление коэффициентов Ва

2.2 Средне-геометрическая интерполяция.

2.3 Интерполяция сплайном 4-й степени.

2.4 Метод интерполяции, основанный на использовании формулы Тейлора.

2.5 Метод интерполяции, основанный на использовании формулы Тейлора и специальной формулы линейного разложения.

2.5.1 Использование формулы Тейлора при гп = 4.

2.5.2 Формула Тейлора для вычисления Вп,\.

2.5.3 Формула линейного разложения коэффициентов

Вп +1 по коэффициентам Втп Вп+1,

2.5.4 Формулировка метода вычисления Вп+1 и Вп + по известным Вп.

2.5.5 Формулировка алгоритма вычисления Вп+1 и Вп+1 по известным Вп.

1. При построении моделей взаимодействия полей в квантовой теории поля (КТП) и моделировании систем многих частиц в статистической физике (СФ) важную роль играют функциональные интегралы вида [31, 35, 13, 22, 36]:

1(g) = /i^)e-^V(^), (0.1) ф где (р(х) - п-компонентная вектор-функция в Rd, F(ip) и Р((р) -функциональные полиномы, д > 0. В КТП параметр д играет роль константы связи (интенсивности взаимодействия полей), а полином Р((р) - действия взаимодействия. Интеграл /(g) - это интеграл функционала по функциональному пространству и может быть определен как интеграл по гауссовой мере [5]. Различные модели КТП и СФ могут отличаться параметрами n, d, а также видом полинома Р(р). Примером квантово-полевой модели может служить так называемая модель (р4 (модель скалярного поля с четверным взаимодействием): п = 1; d = 4; Р((р) = j (p4(x)d4x.

R4

Более общим примером служат 0(п)-с:имметричные модели ср4: neN; ¿ = 3,4; Р(<р) = J(<p, (p)2d4x, r4 где (.,.) - скалярное произведение в Rn. Структура полинома F(tp) определяется той физической величиной, которую представляет функциональный интеграл.

Не смотря на ту важную роль, которую интегралы (0.1) играют в теоретической физике, проблема их вычисления до сих пор не решена.

Обычно они вычисляются с помощью разложения подынтегральной экспоненты в ряд Тейлора по степеням параметра д с последующим изменением порядка суммирования и интегрирования:

1(9) = / (Е ^Р(<р)Рп(<р)дп] Мф) -ф \»=о п1 I оо С-!)«

1(9) = £ г~Впдп, (0.2) п=0 где

Вп = / ф

-так называемые квази-гауссовы интегралы, которые могут быть вычислены существующими методами. Ряд (0.2) называется рядом теории возмущений. Проблема состоит в том, что этот ряд вообще говоря расходится и может рассматриваться только в качестве асимптотического разложения при малых д. Расходимость ряда приводит к невозможности вычисления физических величин с экспериментальной точностью. Таким образом математическая модель, основанная на интеграле (0.1) оказывается не адекватной. Настоящая работа посвящена развитию нового метода вычисления интегралов (0.1) предложенного недавно группой отечественных ученых В.В.Белокуровым, Ю.П.Соловьевым и Е.Т.Шавгулидзе [3, 4, 5, 6, 7] и основанного на приближении этих интегралов абсолютно-сходящимися рядами вида оо

53 А2п(т,Д)Я»0£, Л > 0,т — 2,3,4,., (0.3) п=0 ' т где , 1 с1к „2т 8т(Дг) ,

Ак(т,Д = - / — е"г —^-'-(1г, 0.4

7г ■> агК г оо

Ва = I (0.5) ф

Ряд (0.3) возникает в результате регуляризации асимптотического ряда традиционной теории возмущений (0.2), Я - параметр регуляризации. Схема регуляризации подобна предложенной А.Н.Тихоновым в задаче синтеза Фурье (см. гл.1).

2. В данной работе решаются две основные проблемы метода вычисления интегралов (0.1): проблема вычисления коэффициентов Ва (0.5) и проблема вычисления параметра регуляризации Л.

Коэффициенты Ва с целыми индексами совпадают с соответствующими коэффициентами традиционной теории возмущений; их значения известны. Проблему составляет только вычисление коэффициентов Ва с дробными индексами. Существует множество различных методов приближенного вычисления этих коэффициентов (см. напр. [5, 3, 7]). Наиболее точный метод построен для случая т = 4 и основан на решении приближенной системы нелинейных алгебраических уравнений вида [2] 1пкВь - В~\ВЬВ1\,В~Л = 0, (0.6) к—0 4 4 4 4 4 4 4 2 п = 1, 2; 4, 5, 6; 8, 9,10;.; Ш - 4, Ш - 3, Ш - 2,

1 (-1)* а^к-2п-\ где пк — сп (2к)\ 2к - 2п - 1'

Сц, — причем

-1)и+1 7Г (2п + 1)! 2'

ЧЙН*

В настоящей работе показано, что система (0.6) практически-неустойчива [17]: малой погрешности правых частей уравнений отвечает сравнительно большая погрешность решения. С целью повышения точности вычисления искомых коэффициентов Ва. проводится регуляризация системы. Регуляризация основана на принципе диагонального преобладания матрицы (линеаризованной) системы. Регуляризированная система имеет вид: аы—П 19 9 1 ¿пкВк+п 1 - В'^ВЯВ^.гВ^Ъ = 0, (0.7

4 4 4 4 4 4 4 4 4+ 2 п — П1,П2, .,пр; 1 > щ < 47У — 2, где 12(-1Уа^ пк~ тт (2к)\ 2к-3 [

Значения П2,., пр (номера уравнений, входящих в систему) выбираются по принципу диагонального преобладания в каждой конкретной задаче на основе анализа структуры матрицы (линеаризованной) системы. Параметры ап определяются из условия минимума вклада погрешности вычисления коэффициентов Ва в погрешность вычисления интеграла (0.1) р р

А(а) = £ аг(п){В) Е Апк(,а)£к(а): п=1 к=1 где аг^(В) = А2г(га)(Я,4)(/?, п = 1,.,4]У, А - матрица (линеаризованной) системы (0.7), - оценка погрешности (правой части) к-го уравнения этой системы.

В численном эксперименте показано, что система (0.7) существенно более устойчива, чем система (0.6) и позволяет вычислить существенно более точно искомые коэффициенты Ва.

Перейдем к проблеме вычисления параметра регуляризации В. Погрешность ит(д,В) приближения интеграла (0.1) рядом (0.3) при фиксированном д осциллируя стремится к нулю с ростом В: игп(д,В)\ -4 0 при Л оо.

В то же время погрешность ^^'(д, В) приближения интеграла (0.1) /шУ-ой частичной суммой ряда (0.3) при фиксированном д осциллирует около нуля в некотором интервале В Е (Вт{п, Втах) и крайне-неустойчиво зависит от В за пределами этого интервала. Назовем интервал (ЛТОт, Втах) интервалом устойчивости (функции и^\д,В)). Понятно, что при приближении интеграла (0.1) т1У-ой частичной суммой ./;у(//. В) ряда (0.3) значение В следует выбирать из интервала устойчивости, причем так, чтобы величина |Л)|, была как можно меньше. В идеале нас интересуют значения В1 при которых погрешность ш^(д,В) обращается в нуль. Таким образом, задача вычисления В, состоит в определении значений В, удовлетворяющих следующим условиям: д,В) = 1{д), (0.9)

R E (Rmini Rmax). (0.10)

Поскольку, как было сказано, погрешность cu^\g,R) внутри интервала устойчивости осциллирует около нуля, при каждом фиксированном д существует множество значений R, удовлетворяющих условиям (0.9-0.10), т.е. задача (0.9)-(0.10) имеет множество решений R,(g). Различные решения соотвествуют различным начальным условиям R(0) = Rq.

Поскольку интеграл 1(g) нам не известен, а напротив - подлежит вычислению, нельзя решать уравнение (0.9) в явном виде.

Известно, что при малых д (д < дт) интеграл 1(g) хорошо приближается частичными суммами 1*(д) ряда традиционной теории возмущений (0.2). Поэтому при д < дт решения уравнения (0.9) будут хорошо приближаться решениями уравнения

JN(g,R) = P(g). (0.11)

Если бы по поведению функции R(g), удовлетворяющей уравнению (0.9), при д < дт мы смогли бы восстановить ее поведение при д > дт, то задача вычисления R была бы решена.

В численных экспериментах, проводимых на модельном интеграле, мы обнаружили, что отдельные решения R(g) уравнения (0.9) представляют собой функции (более точно - неоднозначные отображения, которые можно изобразить в виде непрерывных кривых на плоскости (g, Rj) быстро меняющиеся при малых д и асимтотически стремящиеся к некоторому пределу с ростом д:

R(g) ->• Rm при д оо, причем для некоторых из этих решений предел Rm с большой точностью достигается при д —> дт. Таким образом, решая уравнение (0.11) при д < дт мы можем приближенно найти функцию R(g) при этих д и, в частности, - значение Rm. Затем положим R(g) - Rm при д > дт.

Численный эксперимент, выполненный при N — 5, показал, что этот метод позволяет достаточно точно вычислять значения R. Однако обнаружилось, что пределы Rm, достигаемые с достаточной точностью при д < дт не попадают в интервал устойчивости, т.е. не удовлетворяют поставленной задаче (0.9)-(0.10). Для решения этой проблемы был проведен численный эксперимент, в котором для модельного интеграла вместо (0.9) решалось уравнение

J(g,R) = I(g), (0.12) где J(g,R) - ряд (0.3), т.е. J(g,R) = ]imN^00JN(g,R). При этом обнаружилось, что существуют решения R(g) уравнения (0.2), которые с достаточной точностью достигают предела Rm при д < дт. Поскольку погрешность ujm(g,R) = Ит^-^оо R) устойчиво зависит от R при R Е [0,оо), т.е. в пределе N —»■ оо интервал устойчивости растягивается на всю положительную полуось, то эти значения Rm попадут внутрь интервала устойчивости. Таким образом рост N приводит к естественной регуляризации рассматриваемого метода вычисления R и при достаточно больших N метод дает решения задачи (0.9)-(0.10).

Развиваемый метод вычисления функциональных интегралов мы применяли для вычисления критических индексов в теории критических явлений [30, 16, 23]. Пусть состояние системы многих частиц зависит от некоторого параметра г (например -температуры). При некотором значении г — тс система приобретает качественно новое свойство. В этом случае значение гс называется критическим значением (критической точкой). В окрестности критической точки физические величины Ф, характеризующие систему подчиняются степенному закону: т ф{ = const] 1--|а\

Гс

Показатели а>{ называются критическими показателями или критическими индексами. Примером критической точки может служить А-точка - температура (Т\ « 2.17К) ниже которой жидкий гелий (4iic) находится в сверхтекучем состоянии (может протекать через очень узкие щели).

Задача вычисления критических индексов является основной проблемой теории критических явлений. В рамках традиционной схемы критические индексы вычисляются в 0(п)-симметричной квантово-полевой модели (р4 и представляются в виде асимптотических рядов

25, 1, 40, 37]. Используя асимптотические ряды традиционной схемы в качестве исходной информации и применяя к ним описанную выше схему регуляризации мы выполнили расчет критических индексов для Л-точки (п = 2, (I = 4).

3. Основной особенностью настоящей работы является особая роль математического моделирования и численного эксперимента. Для сравнительной оценки эффективности различных методов вычисления коэффициентов Ва (а также параметра Я) необходим численный эксперимент. В идеале при проведении численного эксперимента с целью тестирования того или иного метода, результат, полученный с помощью этого метода следует сравнивать с точным, истинным значением вычисляемой величины или, по-крайней мере, - со значением, вычисленным с помощью более точного метода. Однако поскольку математическая теория функционального интеграла находится пока на раннем этапе развития и каких-либо эталонных методов вычисления не существует, в данном случае такое сравнение невозможно. Для решения этой проблемы используется подход, предложенный и используемый основоположниками развиваемого метода с первого дня его появления [5, 3]. Различные методы вычисления промежуточных величин тестируются не на самом функциональном интеграле, а на некотором римановом интеграле, являющимся упрощенной моделью функционального. Этот модельный интеграл имеет вид: д > 0). Очевидно, что он достаточно хорошо отражает структуру вычисляемого функционального интеграла (0.1). Однако, если интеграл (0.1), является интегралом от функционала по гильбертову пространству, то интеграл (0.13) - интеграл от функции по Я. После выбора и отладки методов вычисления на модельном интеграле (0.13), проводится расчет значений критических индексов, которые предположительно являются уже функциями от функциональных интегралов. Результаты этих вычислений сравниваются с экспериментальными значениями критических индексов. Последнее сравнение рассматривается не только в качестве верификации физической теории, но и в качестве проверки эффективности

0.13) используемого метода вычисления функциональных интегралов. Следует также заметить, что структурное сходство промежуточных результатов вычислений (имеется в виду, например, сходство структур матриц и т.п.), получаемых для модельного интеграла и для критических индексов, может служить основанием для использования интеграла (0.13) в качестве модели функционального интеграла (0.1) при проведении численных экспериментов.

Опишем теперь в общих чертах краткое содержание работы.

В 1-ой главе диссертации демонстрируется процедура, с помощью которой функциональный интеграл (0.1) может быть приближен абсолютно сходящимся рядом (0.3).

Во 2-ой и 3-ей главах решается проблема вычисления коэффициентов Ва этого ряда. Все методы вычисления представляют собой численные методы интерполяции. Во 2-ой главе рассматривается несколько различных методов с описанием результатов их применения для вычисления модельного интеграла, в частности метод, используемый в качестве начального приближения в 3-ей главе. В 3-ей главе подробно излагается последний и наиболее точный метод вычисления Ва? основанный на решении системы нелинейных алгебраических уравнений. В частности, решается проблема практической неустойчивости этой системы.

4-ая глава диссертации посвящена проблеме вычисления вспомогательного параметра Я определенного в 1-й главе при построении ряда (0.3).

Наконец, в 5-ой главе с помощью развиваемого метода вычисления функциональных интегралов проводится расчет значений критических индексов.

Общие выводы таковы: для вычисления параметров ап можно минимизировать оценку

3.31), погрешность вычисления коэффициентов Ва, как показывает численный эксперимент, снижается. Однако более целесообразно минимизировать Д'2.

3.14 Заключение о применении системы нелинейных алгебраических уравнений для интерполяции коэффициентов Ва.

В таблице 9 приведены сводки вычислений семи коэффициентов Ва разложения модельного интеграла с помощью решения различных систем нелинейных алгебраических уравнений. В первых 7-ми строках этой таблицы указаны относительные погрешности вычисления различных коэффициентов Ва (в процентах), в 8-ой строке - евклидова норма совокупной относительной погрешности: ^T.aisa61'1)2/7, в 9-ой строке - показатель неустойчивости системы уравнений С.

1. S.A.Antonenko and A.I. Sokolov. Critical exponents for a three-dimentional О(n)-symmetric model with n > 3. Phys.Rev. E, v.51, N3 (1995).

2. И.П.Базаров. Термодинамика. M., "Высшая школа", 1991.

3. V.V.Belokurov, V.V.Kamchatny, E.T.Sliavgulidze and Yu.P.Solovyov. Approximative independence on the regularization parameter as a key to calculation of functional integrals with any accuracy. Moscow, 1996 (препринт - 96-31/438, НИИ ЯФ МГУ).

4. V.V.Belokurov, E.T.Sliavgulidze and Yu.P.Solovyov. Mod.Phys.Lett. A. v.10, N39, (1995) 3033.

5. В.В.Белокуров, Е.Т.Шавгулидзе, Ю.П.Соловьев. Теор. мат. физ., т.109, N1, 1996.

6. В.В.Белокуров, Е.Т.Шавгулидзе, Ю.П.Соловьев. Фунд. и прикл. мат., т.2, N4, 1996.

7. V.V.Belokurov, V.V.Kamchatny, E.T.Shavgulidze, Yu.P.Solovyov. -Mod.Phys.Lett. A, v.12, N10, p.661-672 (1997).

8. В.В.Белокуров, Ю.П.Соловьев, Е.Т.Шавгулидзе. Общий подход к вычислению функциональных интегралов и суммированию расходящихся рядов. Фунд. и прикл. матем. т.5, N2, с.363-383 (1999).

9. В.В.Белокуров, Ю.П.Соловьев, Е.Т.Шавгулидзе. Теория возмущений со сходящимися рядами для вычисления величин, заданных конечным числом членов расходящегося ряда традиционной теории возмущений. Теор. мат. физ. т.123, N3, с.452-461 (2000).

10. И.С.Березин и Н.П.Жидков. Методы вычислений, т.1. М. Наука, 1966.

11. И.С.Березин и Н.П.Жидков. Методы вычислений, т.2. М. Государственное изд-во физико-математической литературы, 1960.

12. Н.Н.Боголюбов, Н.Н.Боголюбов(мл.). Введение в квантовую статистическую механику. М. Наука, 1984.

13. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М. "Наука" 1984.

14. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Квантовые поля. М. Наука, 1993.15. 11. Н.Г. де Брейн. Асимптотические методы в анализе. Пер. с англ. М.: ИЛ 1961.

15. К.Вильсон, Дж.Когут. Ренормализационная группа и е-разложение. Пер. с англ. М. Мир, 1975.

16. В.Б.Гласко. Обратные задачи математической физики. М. МГУ, 1984.

17. А.В.Гласко. О вычислении коэффициентов абсолютно сходящегося ряда, приближающего функциональный интеграл. ЖВМ и МФ, т.39, с.1945 (N12, 1999).

18. А.В.Гласко. Повышение устойчивости метода вычисления коэффициентов абсолютно сходящегося ряда, приближающего функциональный интеграл. ЖВМ и МФ, т.40, с.30 (N1, 2000).

19. A.B. Гласко. Вычисление критических индексов в рамках теории возмущений со сходящимися рядами. Тезисы научно-технической конференции, посвященной 170-летию МГТУ им.Н.Э.Баумана (МГТУ, 21-23 ноября 2000).

20. А.В.Гласко. Вычисление коэффициентов сходящихся рядов для приближения функциональных интегралов. Тезисы международной научной конференции " Ломоносов-99" (секция "Физика"), МГУ, 1999.

21. Дж.Глимм, А.Джаффе. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. Пер. с англ. - М. Мир, 1984.

22. J.Zinn-Justin. Quantum-Filed Theory and Critical Phenomena. -Oxford Claredon Press, 1989.

23. Н.Н.Калиткин, Л.В.Кузьмина. Естественные интерполяционные сплайны высоких степеней. Матем.модел. т.9, N12 (1997).

24. H.Kleinert, J.Neu, V.Schulte-Frohlinde and K.G.Chetyrkin, S.A.Larin. Five-loop renormalization group functions of 0(n)-symmetric (/^-theory and ^-expansions ofacritical exponents up eb. Phys.Lett. B. v.272. (1991) p.39.

25. М.М.Лаврентьев, В.Г.Романов, С.П.Шишатский. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. "Наука", 1980.

26. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. т.З: Нерелятивистская квантовая механика. М. Наука, 1988.

27. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика. т.1: Механика. М. Наука, 1965.

28. Lipa at al. Phys.Rev.Lett. v.76, 944 (1996).

29. III.Ma. Современная теория критических явлений. Пер. с англ. М. Мир, 1980.

30. В.Н.Попов. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М. Атомиздат, 1976.

31. В.Г.Потемкин. Система MATLAB (справочное пособие). М. "Диалог-МИФИ", 1997.

32. В.Г.Потемкин. MATLAB5 М. "Диалог-МИФИ", 1998.

33. В.И.Приклонский. Численные методы. М. физ.фак. МГУ, 1999.

34. А.А.Славнов, Л.Д.Фадеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М. Наука, 1988.

35. О.Г.Смолянов, Е.Т.Шавгулидзе. Континуальные интегралы. -М. Изд. МГУ, 1990.

36. А.И.Соколов. Универсальные эффективные константы связи для обобщенной модели Гейзенберга. ФТТ т.40, N7, с.1284-1290 (1998).

37. А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин. Методы решения некорректных задач. М. "Наука", 1979.

38. Э.Т.Уитекер, Дж.Н.Ватсон. Курс современного анализа ч.1. М. ГИФМЛ, 1963.

39. B.N.Shalaev, S.A.Antonenko, A.I.Sokolov. Five-loop ^/ë-expansions for random Ising model and marginal spin dimensionality for cubic systems. Phys.Lett. A. v.230, p.105-110 (1997).

40. А.Эрдейи. Асимптотические разложения. Пер. с англ. М. ГИФМЛ, 1962.is. о4:о .он1. H1. О .0151. О .ОЗО