автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы и программное обеспечение решения систем линейных алгебраических уравнений интерпретации экспериментальных данных

Введение.

Глава 1. Глобальные регуляризующие алгоритмы решения СЛАУ.

1.1 Сингулярное разложение и его свойства.

1.2 Регуляризирующие алгоритмы решения СЛАУ.

1.2.1 Алгоритм вычисления нормального псевдорешения на основе сингулярного разложения.

1.2.2 Алгоритм вычисления регуляризированного решения на основе сингулярного разложения.

1.2.3 Связь алгоритмов построения регуляризированного решения.

1.3 Алгоритмы выбора параметра регуляризации.

1.3.1 Выбор параметра регуляризации на основе принципа невязки.

1.3.2 Выбор параметра регуляризации из условия оптимальности.

1.3.3 Выбор параметра регуляризации по методу перекрестной значимости.

1.3.4 Выбор параметра регуляризации по методу Ь-кривой.

1.3.5 Вычислительный эксперимент по сравнению различных методов выбора параметра регуляризации.

1.4 Точностные характеристики регуляризирующих алгоритмов.

1.5 Синтез регуляризующих алгоритмов по заданным точностным характеристикам.

1.6. Оценка дисперсии шума на основе «высокочастотных» компонент правой части

Результаты главы 1.

Глава 2. Локальный регуляризирующий алгоритм с итерационным уточнением отношений «шум/сигнал».

2.1 Оптимальный локальный регуляризирующий алгоритм.

2.2 Итерационное уточнение отношений «шум/сигнал».

2.3 Сходимость локально регуляризированных решений.

2.4 Результаты вычислительного эксперимента.

Результаты главы 2.

Глава 3. Локальный регуляризирующий алгоритм с векторным параметром регуляризации.

3.1 Построение локального регуляризирующего алгоритма с векторным параметром регуляризации.

3.2 Выбор параметров локального регуляризирующего алгоритма.

3.3 Алгоритм локальной фильтрации.

3.4 Результаты вычислительного эксперимента.

Результаты главы 3.

Глава 4. Дескриптивный локальный регуляризирующий алгоритм.

4.1 Дескриптивные регуляризирующие алгоритмы.

4.1.1 Построение дескриптивного регуляризованного решения методом проецирования на допустимые множества.

4.1.2 Построение дескриптивного регуляризованного решения методами квадратичного программирования

4.1.3 Сравнение методов дескриптивной регуляризации.

4.2 Алгоритм дескриптивной локальной регуляризации

4.3 Результаты вычислительного эксперимента

Результаты главы

Глава 5. Решение обратной задачи лазерного газоанализа многокомпонентных смесей.

5.1 Постановка задачи.

5.2 Вычислительный эксперимент по восстановлению концентрации газов алгоритмами локальной регуляризации.

5.3 Решение обратной задачи газоанализа по данным натурного эксперимента.

Результаты главы 5.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида кп<Р1 + к1Я>2 + - + кш(Рм = /;> к21<Р1 + к22Ф2 + ••■ + к2М<Рм = /2 , кМ1(р1 + кЫ2(р2 + ■ ■ ■ + кым(Рм = /ы и введем следующие обозначения: числа к^ назовем коэффициентами системы, - неизвестными значениями, правыми частями СЛАУ. В терминах матричных операций систему линейных алгебраических уравнений запишем следующим образом:

К9 = /.

Здесь К - матрица действительных чисел размером Мх//, ср и/-вектора соответствующей размерности.

К решению систем линейных алгебраических уравнений приводят многие задачи из различных областей математической физики: электродинамики, геофизики, физики плазмы, дифракционной оптики и т.д. Решение СЛАУ является одним из основных этапов в различных задачах параметрической и непараметрической идентификации динамических систем, обработки экспериментальных данных и численного анализа.

На практике вектор / определяется с некоторой случайной ошибкой, т.е. фиксируется величина

7 = /+л где г] - вектор случайной ошибки, обусловленный погрешностями измерительной аппаратуры, средств регистрации, шумами каналов связи и т.д., который можно назвать шумом измерений. Поэтому приходится решать систему уравнений

К<Р = 7.

При этом возникает ряд трудностей, связанных с нарушением требований корректности по Адамару [85]. Во-первых, система может быть несовместной, и в этом случае решение не существует. Во-вторых, матрица К может быть вырожденной (тогда решение системы будет неединственным) или прямоугольной (И >М) (в этом случае не определена обратная матрица КГ1 и решение не существует). В-третьих, решение может быть неустойчиво к шуму исходных данных, и тогда малые погрешности правой части приводят к большим ошибкам в решении.

Задачи, в которых не выполняются одно или более из требований корректности по Адамару, называются некорректными. К ним относятся многие задачи линейной алгебры, теории оптимального управления, задача минимизации функционалов и др. Теория и методы решения некорректных задач получили широкое развитие после выхода в свет основополагающих работ [59-61]. Важнейшим было введение в [59] понятие регуляризированного решения некорректной задачи.

Разработка теории решения некорректных задач позволила ответить на вопрос: как для вырожденной системы из множества решений отобрать единственное? Для этого необходимо ввести некоторое правило или критерий отбора. Таким критерием может служить требование минимальной длины вектора решения. Нормальным решением вырожденной системы называется вектор <рн, имеющий минимальную норму ||<р|| среди всех решений системы.

При решении несовместных задач, когда для заданной правой части не существует вектора ср, обращающего СЛАУ в тожество, возникает вопрос: как определить решение? Аналогичный вопрос возникает для СЛАУ с прямоугольными матрицами. Причиной несовместности может быть неточность задания правой части из-за наличия шума измерений или неточность задания элементов матрицы системы, полученной из моделей физических процессов. Во всех этих ситуациях обращаются к методу наименьших квадратов (МНК). Псевдорешением (или решением МНК) называется вектор доставляющий минимум следующему функционалу невязки [65]: нк (Р) = 17 - щ2 = (7- К(р)Т (7 - Кср) среди всех векторов евклидова пространства Ем. Используя правила векторного дифференцирования, перейдем к системе (называемой системой нормальных уравнений) вида

КТКсрш = КТ/ .

В отличие от исходной, данная система всегда разрешима, т.е. для любой правой части существует псевдорешение. Если система нормальных уравнений вырождена и множество псевдорешений состоит не из единственного элемента, то за решение принимается вектор <р+, называемый нормальным псевдорешением, имеющий минимальную норму среди всех решений <рнк.

К сожалению, алгоритм построения нормального псевдорешения является неустойчивым к возмущениям правой части, что является следствием плохой обусловленности решаемых СЛАУ. Для анализа обусловленности и вырожденности решаемой СЛАУ используется такое мощное вычислительное средство, как сингулярное разложение [72,82].

Устойчивые нормальные псевдорешения можно получить, используя теорию и методы регуляризации, которые по форме задания априорной информации подразделяются на детерминированные и статистические.

В статистических регуляризирующих алгоритмах (РА) построение регуляризированных решений СЛАУ основано на статистической модели измерений и статистических способах задания априорной информации об искомом решении. К ним относятся байесовский регуляризирующий алгоритм [27,42,67] и оптимальные решающие процедуры [1,28,32,33,42,69-71].

Детерминизм регуляризирующих алгоритмов проявляется в постановке задачи, в алгоритме построения или отбора устойчивых решений и обусловлен способом задания априорной информации, а также выбором метрик пространств правой части и решения операторных уравнений. К детерминированным относятся методы квазирешений, невязки, регуляризации А.Н.Тихонова [17,24,29,59,60,62,64,90].

Для «компенсации» априорной неопределенности о характеристиках искомого решения многие регуляризирующие алгоритмы решения СЛАУ имеют параметр регуляризации, меняя который, можно получить приемлемую точность регуляризированных решений. Такие алгоритмы с одним «управляющим» параметром получили название «глобальных» РА.

Несмотря на хорошо разработанную теорию решения линейных некорректно поставленных задач (частным случаем таких задач является решение СЛАУ) и глобальных регуляризирующих алгоритмов, использованы не все возможности для повышения точности РА.

Очевидно, что повысить точность регуляризированных решений можно, перейдя к методам «локальной» регуляризации. В связи с этим все большее распространение получают локальные регуляризирующие алгоритмы. Термин «локальные» указывает на то, что скалярный параметр регуляризации в таких алгоритмах заменен некоторой функцией, зависящей от отношений «шум/сигнал» либо от аргумента искомого решения. К сожалению, в литературе не описаны локальные регуляризирующие алгоритмы, предназначенные для восстановления контрастных решений, в которых величина параметра регуляризации увеличивалась бы на «гладких» областях решения, позволяя лучше сгладить шум, и уменьшалась в областях резкого изменения амплитуды, не приводя, таким образом, к снижению контрастности.

Другой способ повышения точности приближенных решений заключается в использовании априорной качественной и количественной информации о характеристиках искомого решения, в частности, о его геометрических свойствах.

В диссертационной работе предлагаются новые подходы к построению:

• локальных регуляризирующих алгоритмов, в которых вместо одного параметра регуляризации вводится набор параметров, позволяющих производить более «тонкую» настройку РА;

• дескриптивных локальных регуляризирующих алгоритмов, позволяющих учитывать дополнительную качественную и количественную априорную информацию об искомом решении.

Цель работы заключается в разработке и исследовании локальных регуляризирующих алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений. В соответствии с указанной целью в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи :

1) разработка локального регуляризирующего алгоритма решения СЛАУ с уточнением отношений шум/сигнал;

2) создание нового класса регуляризирующих алгоритмов с векторным параметром регуляризации, предназначенных для восстановления контрастных сигналов и изображений;

3) разработка локального регуляризирующего алгоритма решения СЛАУ, учитывающего априорную информацию о характеристиках искомого решения;

4) создание программного обеспечения и решение на его основе задачи определения концентрации газов в атмосфере по данным лазерного газоанализа многокомпонентных смесей.

Методы исследований основаны на аппарате линейной алгебры, теории некорректных задач, теории вероятностей и математической статистики, нелинейного программирования и цифрового моделирования.

Научная новизна заключается в следующем:

1) предложен новый класс локальных регуляризирующих алгоритмов, предназначенных для восстановления контрастных решений, в которых скалярный параметр регуляризации заменен векторным параметром;

2) введен обобщенный сглаживающий функционал с векторным параметром регуляризации и построена итерационная процедура вычисления его минимума, который принимается в качестве локального регуляризированного решения;

3) разработан алгоритм локальной регуляризации, в котором для каждого сингулярного числа системы вычисляется свой регуляризирующий множитель как предельная точка итерационной процедуры уточнения отношений шум/сигнал;

4) разработан дескриптивный локальный регуляризирующий алгоритм, учитывающий априорные ограничения на . решение, задаваемые системой линейных неравенств.

Практическая значимость состоит в том, что:

1) полученные теоретические результаты являются основой для численной реализации построения локальных регуляризированных решений при различном объеме априорной информации;

2) на основе разработанных алгоритмов решена практическая задача - задача определения концентрации газов в атмосфере по данным лазерного газоанализа многокомпонентных смесей;

3) разработан пакет прикладных программ, предназначенных для решения СЛАУ методами глобальной и локальной регуляризации, который может быть использован в составе математического обеспечения в различных системах обработки экспериментальных данных.

Таким образом, на защиту выносятся:

1) новый класс локальных регуляризирующих алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений с векторным параметром регуляризации;

2) численный алгоритм локальной регуляризации с векторным параметром;

3) алгоритм локальной регуляризации с вычислением отношений шум/сигнал;

4) алгоритм нелинейной локальной регуляризации, учитывающий априорные характеристики решения.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:

- всероссийская конференция «Алгоритмический анализ некорректных задач» памяти В.К.Иванова (ИММ УО РАН, Екатеринбург, 2001 г.);

- XI Международная Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, 1998 г.);

- XII Международная Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, 2001 г.);

- IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике «ИНПРИМ-2000» (Новосибирск, 2000 г.);

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1] - [15].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, двух приложений, заключения и списка литературы из 103 наименований. Объем диссертации составляет 155 страниц.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Выполнено исследование особенностей существующих алгоритмов выбора глобального параметра регуляризации. Введены величины, характеризующие систематическую и случайную ошибки, а также СКО глобального решения, важным свойством которых является возможность их вычисления до выполнения самого регуляризирующего алгоритма. Это позволило разработать алгоритмы выбора параметра регуляризации, исходя из требуемых значений точностных характеристик, т.е. провести синтез регуляризирующего алгоритма.

2. Разработан алгоритм локальной регуляризации, в котором для каждого сингулярного числа матрицы системы вычисляется свой регуляризирующий множитель. Для этого предложена итерационная процедура уточнения отношений шум/сигнал, входящих в регуляризирующие множители, и получены явные выражения для предельных точек этой процедуры.

3. Предложен новый класс локальных регуляризирующих алгоритмов, предназначенных для восстановления контрастных и импульсных решений, в которых скалярный параметр регуляризации заменен векторным параметром. Для этого введен обобщенный сглаживающий функционал и построена итерационная процедура вычисления его минимума, который принимается в качестве локального регуляризированного решения.

4. Разработаны алгоритмы дескриптивной глобальной и локальной регуляризации, в которых учитывается дополнительная априорная информация о характеристиках искомого решения, заданная системой линейных неравенств.

5. По заказу Института оптики атмосферы СО РАН (г.Томск) решена обратная задача лазерного газоанализа многокомпонентных смесей алгоритмами локальной и дескриптивной локальной регуляризации. По результатам

145 исследований сделан вывод о возможности одновременного восстановления вектора концентраций газов и коэффициента сплошного ослабления среды, вызванного наличием в воздухе аэрозолей. Доказана эффективность применения локальных алгоритмов к решению обратной задачи газоанализа независимо от количества и состава исследуемых газов.

6. Предложен подход к построению нового класса локальных фильтров и на его основе разработан алгоритм, обладающий высокой точностью при фильтрации контрастных сигналов, а также сигналов с «тонкими» деталями.

7. Разработан пакет прикладных программ ЬосЯе§, предназначенный:

- для решения СЛАУ алгоритмами глобальной и локальной регуляризации с уточнением отношений шум/сигнал и с векторным параметром регуляризации;

- для проведения вычислительных экспериментов по решению СЛАУ алгоритмами глобальной и локальной регуляризации;

- для выполнения лабораторных работ по курсам "Численные методы" и "Вычислительная математика".

1. Арефьева М.В. Некоторые асимптотические оценки оптимальной погрешности для уравнений типа свертки // ЖВМиМФ. 1975. - т.15, №5. - с. 1310-1317.

2. Арсенин В.Я., Загонов В.П., Трахониотовская P.A. О численном решении интегральных уравнений I рода типа свертки на неравномерных сетках. Препринт №141. М.: Изд-во Института прикладной математики АН СССР, 1978. - 31 с.

3. Арсенин В.Я., Криксин Ю.А., Тимонов A.A. Метод локальной регуляризации линейных операторных уравнений I рода и его приложения // ЖВМиМФ. 1988. -т.28, №6. - с.793-802.

4. Арсенин В.Я., Тимонов A.A. О построении регуляризирующих операторов, близких к оптимальному, для одномерных и многомерных интегральных уравнений I рода типа свертки // Докл. АН СССР. 1985. -т.284, №6. - с.1289-1293.

5. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы / Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 584 с.

6. Батчер С., Чарльсон Р. Введение в химию атмосферы / Пер.с англ. -М.: Мир, 1977.-269 с.

7. Бронников A.B., Воскобойников Ю.Е. Комбинированные алгоритмы нелинейной фильтрации зашумленных сигналов и изображений // Автометрия. 1990. - №1. - с.21-26.

8. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке / Под ред. Т.С. Ху-анга. М.: Радио и связь, 1984.

9. Васильченко Г.И., Тараторин А.М. Восстановление изображений. М.: Радио и связь, 1986. - 304 с.

10. Васин В.В. Методы решения неустойчивых задач. Екатеринбург: Наука, 1989.

11. Васин В.В. Методы решения операторных уравнений с априорной информацией / В кн. «Численные методы и оптимизация». -Таллин, 1988. -с.70-80.

12. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. - 264 с

13. Воскобойников Ю.Е. Методы решения некорректных задач параметрической идентификации: Учеб пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1996.-90 с.

14. Воскобойников Ю.Е. Оценивание оптимального параметра регуляризующего алгоритма восстановления изображений // Автометрия. 1995. - №3. - с.64-72

15. Воскобойников Ю.Е. Регуляризующий алгоритм обращения уравнения Абеля // ИФЖ. 1980. - т.34, №2. - с.270-274.

16. Воскобойников Ю.Е. Эффективный алгоритм решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений при интерпретации экспериментальных данных // Автометрия. 1988. -№5. - с. 104-110.

17. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Асимптотическая локальная регуляризация плохо обусловленных систем алгебраических уравнений // Труды XI Байкальской между нар. школы-семинара. Иркутск: Изд-во ИСЭМ СО РАН, 1998. - т.4. - с.86-89.

18. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Локальные регуляризи-рующие алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений. Препринт №1(1). Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2001. -36 с.

19. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Локальный регуляри-зующий алгоритм восстановления контрастных сигналов и изображений // Автометрия. 2000. - №3. - с.45-53

20. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Регуляризующий алгоритм восстановления изображений с уточнением локальных отношений шум/сигнал // Автометрия. 1999. - №4. - с. 71-83.

21. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Эффективный регуляризующий алгоритм с векторным параметром регуляризации // Тезисы докл. IV Сибирск. конгресса ИНПРИМ-2000. Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 2000. - ч. II. - с.79-80.

22. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г. Построение дескриптивного решения обратной задачи теплопроводности в базисе В-сплайнов // ИФЖ. 1983. - т.45, №5. - с.760-765.

23. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников

24. А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск: Наука, 1984. - 238 с.

25. Гончарский A.B., Леонов A.C. и др. О регуляризации некорректных задач с приближенно заданным оператором // ЖВМиМФ. 1974. - т.14, №4. - с.1022-1027.

26. Гончарский A.B., Леонов A.C. и др. Обобщенный принцип невязки // ЖВМиМФ. 1973. - т.13, №2. - с.294-302.

27. Жуковский Е.Л. Статистическая регуляризация алгебраических систем уравнений//ЖВМиМФ. 1972. - т. 12, №1. - с. 185-191.

28. Жуковский Е.Л., Морозов В.А. О последовательной байесовской регуляризации алгебраических систем уравнений // ЖВМиМФ. 1972. - т.12, №2. - с.464-465.

29. Иванов В.К., Васин В.В., Таиаиа В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

30. Катаев М.Ю., Мицель A.A. Обнаружение газов с помощью ОА-газоанализатора // Оптика атмосферы. 1991. - т.4, №7, - с.705-712.

31. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика / Пер. с англ. М.: Мир, 1978.

32. Куке Я.П., Ольман В. Минимаксная линейная оценка коэффициентов регресии // Известия АН ЭССР. 1972. - т.21, №1. - с.66-72.

33. Лавреньев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. - 331 с.

34. Лазерный контроль атмосферы / Под ред. Э.Д.Хинкли. М.: Мир, 1976.-416 с.

35. Леонов A.C. О критериях выбора параметра регуляризации при решении некорректных задач / Сб. под ред. А.Н.Тихонова. -Новосибирск: Наука, 1982.

36. Макушкин Ю.С., Мицель A.A., Хмельницкий Г.С. Лазерная абсорбционная диагностика атмосферных газов // Журнал прикладной спектроскопии. 1981. -т.35, №5. - с.785-790.

37. Мицель A.A., Катаев М.Ю., Тинчурина Э.Г. Анализ многокомпонентных газовых смесей по спектрам поглощения // Деп. Изв. АН СССР. Физика. 1985, №10. - рег.№4063-85. - 31 с.

38. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // ЖВМиМФ. 1968. - т.8, №2. - с.295-309.

39. Морозов В.А. Об оптимальной регуляризации операторных уравнений//ЖВМиМФ. 1979. - т.Ю, №4. - с.818-829.

40. Морозов В.А., Гольдман Н.Л. Об алгоритмах дескриптивной регуляризации решений интегральных уравнений Фредгольма I рода. М.: Изд-во МГУ, 1976. - с.52-72.

41. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во МГУ, 1992. - 319 с.

42. Муравьев М.В. Об оптимальных и предельных свойствах байесовского решения системы линейных алгебраических уравнений//ЖВМиМФ. 1973. -т.13, №4. - с.819-828.

43. Мухина И.Н. Дескриптивный регуляризующий алгоритм решения плохо обусловленных систем уравнений // Труды НГАСУ. -Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 1999. т.2, №1(4). - с. 11-16.

44. Мухина И.Н. Локальный алгоритм фильтрации контрастных сигналов // Тезисы докл. IV Сибирск. конгресса ИНПРИМ-2000. -Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 2000. ч. IV. - с.36.

45. Мухина И.Н. Локальный алгоритм фильтрации контрастных сигналов и изображений // Сб. тр. молод, ученых НГАСУ. Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 1999. - №2. - с.5-14.

46. Мухина И.Н. Нелинейный регуляризующий алгоритм решения плохо обусловленных систем алгебраических уравнений // Труды XI Байкальской междунар. школы-семинара. Иркутск: Изд-во ИСЭМ СО РАН, 1998. - т.4. - с.143-146.

47. Мухина И.Н. Нелинейный регуляризующий алгоритм решения плохо обусловленных систем алгебраических уравнений // Труды НГАСУ. Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 1998. - т.1, №1(1). - с. 119-122.

48. Мухина И.Н. Синтез регуляризующих алгоритмов параметрической идентификации // Тезисы докл. Всероссийской научн. конф. ААНЗ-2001. Екатеринбург: Изд-во Урал, 2001. - с.296-297.

49. Мухина И.Н. Точностные характеристики алгоритма решения систем линейных уравнений // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - №5(22). - с. 39-44.

50. Папу лис А. Теория систем и преобразований в оптике / Пер. с англ. М.: Мир, 1971. - 495 с.

51. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. и др. Статистическая регуляризация и некоторые новые методы решения условно-корректных задач / В кн. «Некорректные обратные задачи атомнойфизики». Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР, 1976. - с.17-33.

52. Преображенский Н.Г., Толпина С.П. Восстановление характеристик полидисперсных сред методами спектроскопии оптического смешения // Оптика и спектроскопия. 1982. - т.52, №4. -с.696-705.

53. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / Пер. с англ. -М.: Мир, 1982.-312 с.

54. Пытьев Ю.П. Задачи реставрации изображений // Докл. АН СССР.- 1979.-т.245,№1.

55. Рабинер Р., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Пер. с англ. -М.: Мир, 1978. 848 с.

56. Сизиков B.C. Анализ методов локальной регуляризации и формулировка методов субоптимальной фильтрации решения уравнений I рода // ЖВМиМФ. 1999. - т.39, №5. - с.718-733.

57. Тамбовцев Б.З., Дробышевич В.И. О восстановлении истинного контура спектральной линии из реальных измерений // Журнал прикладной спектроскопии. 1976. - т.24, №2. - с.310-315.

58. Танана В.П. Регуляризация некорректных задач с приближенно заданным оператором / Сб. под ред. А.Н.Тихонова. Новосибирск: Наука. - 1982.

59. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. - т. 153, №1. - с.49-52.

60. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. - т. 151, №3. -с.501-504.

61. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. - т.39, №5. - с.195-198.

62. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1979. - 278 с.

63. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. - 285 с.

64. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В. и др. Регу-ляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1988.

65. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В. и др. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

66. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. -495 с.

67. Турчин В.Ф., Козлов В.П. и др. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач // Усп. физ. наук. 1970. -т.102, №3. - с.345-386.

68. Турчин В.Ф., Туровцева JI.C. Восстановление оптических спектров и других неотрицательных функций по методу статистической регуляризации // Оптика и спектроскопия. 1974. - т.36, №2. - с.280-287.

69. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982. - 189 с.

70. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990. - 279 с.

71. Федотов A.M. Оптимальные линейные решающие процедуры для линейных операторных уравнений со случайными данными // ЖВМиМФ. -1981. т.21, №5. - с.66-72.

72. Форсайт Дж., Макольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений / Пер. с англ. М.: Мир, 1980. - 278 с.

73. Ягола А.Г. Некорректно поставленные задачи с приближенно заданным оператором / Сб. под ред. А.Н.Тихонова. Новосибирск: Наука. - 1982.

74. Akaike H. Statistical predictor identification // Ann.Inst. Statist.Math. 1970. - v.22, №2. - p.203-217.

75. Allen D.M. Mean square error of prediction as an criterion for selecting variables // Technometrics. v. 13, №3. - p.469-475.

76. Allen D.M. The relationship between variable selection and data augmentation and method for prediction // Technometrics. 1974. - v. 16, №1. - p.125-127.

77. Bertero M., Dovi V. Regularized and positive-constrained inverse methods in the problem of object restoration // Opt.Act. 1981. -- v.28, №12. - p.1635-1649.

78. Dierckx P. An algorithm for cubic spline fitting with convexity constraints // Computing. 1980. - v.34, №4. - p.349-371.

79. Engl H.W., Gfrerer H. A posteriori parameter choice methods for general methods for solving linear ill-posed problems // Appl. Numer. Math. 1988. - №4. - p.395-417.

80. Engl H.W., Gfrerer H. Using the L-curve for determining optimal regularization parameter // Appl. Numer. Math. 1994. - №69. -p.25-31.

81. Golub G.H., Heath M., Wahba G. Generalized cross validation as a method for choosing a good ridge parameter // Technometrics. -1979. v.21, - p.215-222.

82. Golub G.H., Reinsch C. Singular value decomposition and least squares solution. Heidelberg: Springer, 1971. - v.2. - p.138-147.

83. Graven C., Wahba G. Smoothing noisy data with spline functions: estimating the correct degree of smoothing by the method of generalized cross validation // Numer. Math. 1979. - v.31, №3. - p.377-403.

84. Gubin L.G., Polyak B.T., Raik E.V. The method of projection for finding the common point of convex sets // Comput.Math. & Math.Phis. 1967. -v.7, №6. - p.1-24.

85. Hadamard J.Le probleme de Cauchy et les eguations aux derives particlee lineaires hyperbolique. Paris: Hermann, 1932.

86. Hansen P.C. Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve // SIAM Review. 1999. - v.34. - p.561-580.

87. Hemmerle W.J. An explicit solution for generalized ridge regression // Tecnometrics. 1975. - v. 17, №3. - p.309.

88. Herman G.T., Lent A. and Lutz P. Relaxation methods for image reconstruction// Commun. ACM-21. 1978. - p.152-158.

89. Inverse and ill-posed problems. Boston: Acad. Press, 1987.

90. Karajiannis N.B., Venetsanopoulos A.N. Regularization theory in image restoration the stabilizing functional approach // IEEE Trans, on Acoust. Speech and Sign. Proces. - 1990. - v.38, №7. - p.1155.

91. Mayer A., Camera J., Chanpentier H. Absorption coefficients of various pollutant gases at C02 laser wavelength // Journal of Applied Optics. 1978. - v.17, №3. - p.391-393.

92. McClatchey K.A., Benedict W.S., Clough S.A. Atmospheric absorption line parameters compilation. AFCRL-TR-0096, 1973. -№433. - p.80.

93. Measures R.M. Laser remote sensing. N.Y.: John Willey & Sons, 1984. - 550 p.

94. Mukhina I.N. A descriptive local regularizing algirithm for the linear algebraic equations sets solving // Proc. of 12-th Baikal International Conference. Irkutsk: IES SB RAS, 2001. - v.4. - p. 148151.

95. Podilchuk C.I., Mammone R.J. Image recovery by convex projections using a least square constraint // Journal of Optical Society of American Academy. 1990. - v.7, №3. -p.517-521.

96. Sullivan B.J., Katsaggelos A.K. New termination rule for linear iterative image restoration algorithms // Optical Engineering. 1990. -v.29, №5. - p.471-477.155

97. Voscoboinikov Yu.E. Estimating the optimal parameter of regularizing algorithms for image restoration // Optoelectronics, Instrumentations and Data Processing. 1995. - №3. - p. 64.

98. Voscoboinikov Yu.E., Mukhina I.N. Local regularizing algorithm for high-contrast image and signal restoration // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2000. - №3. - p. 41-48.

99. Voskoboinikov Yu.E., Mukhina I.N. Regularizing algorithm of signals and images restoration with specification of the local relations noise/signal // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. -1999. №4. - p. 71-82.

100. Wahba G., Wold S. A completely automatic trench curve: fitting spline functions by cross validation // Comm. Statist. 1975. - v.4, №1. -p.1-17.

101. Wiener N. Cybernetics. Cambridge: MIT Press, 1948.

102. Youla D.C. Generalized image restoration by the method of alternating orthogonal projections // IEEE Trans. Circuits Syst. CS-25. -1978. -p.694-702.

103. Youla D.C., Webb H. Image restoration by the method of convex projections // IEEE Trans. Medical Imaging. 1982. - v. MI- 1, №2. -p.81-103.