автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы с контролем глобальной ошибки для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1

Введение

1, Математическое моделирование и дифференциально-алгебраические уравнения

1.1. Модели, содержащие процессы с существенно различными характерными временами.

1.1.1. Математические модели в биологии и медицине.

1.1.2. Математические модели в электротехнике.

1.1.3. Корректность представления математических моделей системами дифференциально-алгебраических уравнений.

1.2. Системы дифференциально-алгебраических уравнений.

1.2.1. Системы линейных дифференциально-алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами.

1.2.2. Системы линейных дифференциально-а-игебраических уравнений с переменными коэффициентами.

1.2.3. Дифференциально-алгебраические уравнения общего вида

1.2.4. Задача Коши с алгебраической связью на фазовые переменные

2. Одношаговые численные методы

2.1. Асимптотические оценки погрешности итерационных методов

2.1.1. Метод простых итераций.

2.1.2. Модифицированный метод Ньютона.

2.1.3. Лемма о выпуклости.

2.2. Методы Рунге-Кутты.

2.2.1. Построение итеративных методов Рунге-Кутты.

2.2.2. Сходимость итеративных методов Рунге-Кутты.

2.2.3. Дифференциальные уравнения.

2.3. Одношаговые методы общего вида.

2.3.1. Построение итератнвны.х одношаговых методов.

2.3.2. Сходимость итеративных одношаговых методов.

2.4. Численные примеры.

2.4.1. Простые итерации.

2.4.2. Ньютоновские итерации.

3. Практическая реализация и эффективность итератииных методов

Рунге-Кутты

3.1. Оптимизация простых итераций.

3.1.1. Стандартные методы.

3.1.2. Диагонально оптимальные методы.

3.1.3. Эффективность диагонально оптимальных методов.

3.1.4. Псевдодиагонально оптимальные методы.

3.1.5. Практическая реализация.

3.2. Итеративные методы Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором

3.2.1. Построение методов с нетривиальным предиктором.

3.2.2. Численные примеры.

3.2.3. Сходимость методов с нетривиальным предиктором.

3.2.4. Практическа'1 реализация.

3.3. Оптимизация ньютоновских итераций.•

3.3.1. Способы реализации ньютоновских итераций.

3.3.2. Оптимизация по времени.

3.3.3. Оптимизация по памяти.

3.3.4. Численные примеры.

4. Автоматический контроль точности для одношаговых методов

4.1. Контроль локальной ошибки.

4.1.1. Одношаговые методы с переменным шагом.

4.1.2. Управление размером шага интегрирования.

4.1.3. Численные примеры.

4.2. Разложение глобальной ошибки.

4.2.1. Дифференциально-алгебраические уравнения.

4.2.2. Дифференциальные уравнения.

4.3. Контроль глобальной ошибки.

4.3.1. Неявное локально-глобальное управление шагом интегрирования

4.3.2. Неявные методы.

4.3.3. Жесткие задачи . . I .Л.

4.3.4. Полуявное локально-глобальное управление шагом интегрирования

4.3.5. Дифференциальные уравнения.

5. Одношаговые экстраполяционные методы

5.1. Неявная экстраполяция.

5.1.1. Экстраполяционные методы.

5.1.2. Неявные экстраполяционные методы.

5.2. Квадратичная экстраполяция.

5.2.1. Симметричные одношаговые методы.

5.2Л Симметричные методы Рунге-Кутты.

5.2.3. Неявная квадратичная экстраполяция.

5.3. Минимшьно неявные методы.

5.4. Дифф<=ренциально-алгебраические уравнения.

5.4.1. Неявная экстраполяция.

5.4.2. Симметричные одношаговые методы.

5.4.3. Квадратичная экстраполяция.

5.4.4. Практическая реализация.

6. Многошаговые численные методы

6.1. Линейные многошаговые методы.

6.1.1. Построение итеративных многошаговых методов.

6.1.2. Сходимость итеративных многошаговых методов.

6.1.3. Нетривиальный предиктор.

6.2. Численные примеры.

6.2.1. Формулы дифференцирования назад.

6.2.2. Методы Адамса.

7. Автоматический контроль точности для многошаговых методов

7.1. Управление локальной ошибкой.

7.1.1. Многошаговые методы с переменным шагом.

7.1.2. Вычисление главного члена локальной ошибки.

7.2. Контроль глобальной ошибки.

7.2.1. Локально-глобальное управление размером шага интегрирования

7.2.2. Неявные многошаговые методы.

7.2.3. Численные примеры.

7.3. Многошаговые экстраполяционные методы.

7.3.1. Многошаговая экстраполяция.

7.3.2. Модифицированное локально-глобальное управление шагом интегрирования.

На современном этапе развития общества научный прогресс во многих областях знания определяется степенью внедрения математического моделирования, его использованием в тех или иных научно-технических разработках. Это не только существенным образом удешевляет и ускоряет научные исследования, заменяя натурные эксперименты модельными, но и позволяет избежать трагических ошибок в тех сферах, которые напрямую связаны с критическими состояниями человеческого организма и его окружающей среды, а также с явлениями глобального (планетарного) характера. Однако более или менее адекватные математические модели, а следовательно, и правдоподобные результаты, имеющие научную и прикладную ценность, удается получить только при достаточно глубоком и полном описании исследуемого явления, что приводит к концепции имитационного моделирования, которое наряду с несомненными достоинствами обладает и рядом недостатков.

Во-первых, имитационное моделирование предъявляет к исследователю жесткие требования, так как, с одной стороны, он должен до тонкостей знать предмет изучения, чтобы разработать достаточно полную и обоснованную имитационную модель, а с другой, — обладать серьезным багажом математических знаний, чтобы иметь возможность решить возникающую математическую задачу. Причем, такое решение зачастую невозможно без использования современной вычислительной техники, что предполагает определенную компьютерную подготовку.

Во-вторых, применение имитационного моделирования приводит к уменьшению ошибки на стадии построения модели. Однако полученная при этом математическая задача становится столь сложной, что ёе аналитическое исследование практически невозможно, а ошибки, неизбежные при ее численном решении, могут значительно превышать погрешность математического моделирования, сводя на нет все выгоды от использования имитационных моделей.

Указанные выше препятствия удается устранить (или значительно ослабить) за счет автоматизации исследований с привлечением современного математического аппарата и высокопроизводительной вычислительной техники. В этом случае задачу построения решения математической модели можно возложить на ЭВМ. При этом важно потребовать, чтобы ошибка при замене математической модели ее компьютерным аналогом не влияла на адекватность исходной модели. Это означает, что актуалЙ1ыми будут только такие автоматизированные системы математического моделирования, в которых пользователю предоставлено право самому задавать точность вычислений и эта точность будет обеспечена в процессе моделирования в автоматическом режиме. Поэтому важнейшей составляющей построения автоматизированных систем математического моделирования динамического типа является разработка численных методов с автоматическим контролем погрешности.

Кроме вышеуказанных проблем дополнительно следует выделить тот факт, что постоянное усложнение математических моделей приводит к появлению совершенно новых математических задач, стимулируя тем самым разработку необходимого ин-тематического обеспечения. Поэтому его отсутствие (или несовершенство) может существенным образом отразиться на качестве полученных результатов.

Итак, целью настоящей диссертационной работы является развитие необходимого математического аппарата для численного исследования моделей, описываемых системами дифференциальных или дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. Кроме того, важнейшей задачей в свете сказанного выше будет разработка специальных алгоритмов для автоматического контроля точности численного решения, что позволит находить требуемое решение с любой разумной наперед заданной точностью, повышая тем самым достоверность математического моделирования.

Известно, что многие математические.модели динамического типа представляют собой системы дифференциально-алгебраических уравнений следующего вида: x'{t) = g{x{t),y{t)), (0.1а) y(t) = /(x(t),y(t)), (0.16) х(0) = х°, у(0) = у°, (0.1в) где t 6 [О,Г], xit) е R'", y{t) € R", у : С R'"+" R", / : L> С R'AA" -4 R", причем начальные условия заданы корректно: у° = 1{х'л,УлУ- Такие задачи возникают при математическом моделировании в области биологии, медицины, механики, электротехники и т. д., и зачастую описывают явления, содержащие одновременно медленно и быстро меняющиеся процессы (см., например, [7], [11], [12], [19], [56], 135], [139], [146], [180]).

Сразу оговоримся, что данная постановка задачи в качестве частного случая включает и обыкновенные дифференциальные уравнения, так как в (0.1) допускается, что размерность переменной у может равняться нулю.

Следует отметить, что исторически исследования в области систем дифференциально-алгебраических уравнений были полностью обусловлены практической необходимостью и первые работы на эту тему появились относительно недавно: в конце шестидесятых-начале семидесятых годов двадцатого столетия (см., например, [9], 78], [88], [114]). Однако большой интерес к данной тематике и интенсивные исследования в этой области привели за короткое время к существенному прогрессу как в изучении самих дифференциально-алгебраических уравнений, так и в разработке способов их решения. Для примера достаточно назвать ряд монографий российских

АЗдесь без ограничения общности мы считаем, что система (0.1) уже приведена к автономному виду. Указанное преобразование очевидным образом достигается введением новой независимой переменной. и зарубежных авторов, вышедших в свет за последние десять лет [И], [12], [76], [83 [91], 1137], [139].

С практической у. теоретической точек зрения важнейшим условием, налагаемым на задачу (0.1), является условие невырожденности якобиана /„ — ду/{х, у), где /„ — единичная матрица размера п, а dyf{x,y) обозначает частную производную отображения / по у, в некоторой окрестности начальной точки (0.1в). Тогда при наличии достаточной гладкости задача (0.1) однозначно разрешима в вышеупомянутой окрестности [29]. Далее будем предполагать, что условие невырожденности выполнено и задача (0.1) имеет единственное решение на всем отрезке интегрирования [0,Т]. В этом случае говорят, что система дифференциально-алгебраических уравнений (0.1) имеет индекс 1 [123].

Остановимся кратко на основных способах численного решения задачи (0.1). Все многообразие известных к настоящему моменту ме годов, которые можно найти в приведенной в диссертационной работе литературе, базируется на четырех основополагающих идеях. Поэтому их условно можно разделить на четыре группы.

I. Первую группу составляют методы, основанные на том, чтобы, применяя теорему о неявной функции к алгебраическому уравнению (0.16), с учетом сделанных выше предположений разрешить его относительно переменной у

0.2)

Тогда, подставляя (0.2) в (0.1а), получаем стандартную задачу Коши, для которой разработан богатый арсенал численных методов (см., например, [3], [5], [6], [51], [54], 60], [62], [63], [71], [76], [79], [83], [94], [138], [139], [170] и т. д.). Основным недостатком этого подхода является неконструктивность теоремы о неявной функции, т. е. для большинства задач, имеющих практическую ценность, такой переход осуществить невозможно.

II. В следуюшую группу входят методы, базирующиеся на дифференцировании уравнения (0.16). Тогда исходная задача заменяется системой дифференциальных уравнений, неразрешенной относительно производной, т. е. (0.16) замещается уравнением - дЛх{1),уту'{гу= дЛх{г),у{Шх{г),уШ (О-З) в результате, к полученной таким образом задаче применимы соответствующие численные методы (см., например, [139]). Однако существенным недостатком этого подхода являются избыточные затраты машинного времени, связанные с вычислением матриц дл/{х{1),у(г)) и ду/{х{1),у{г)).

III. Методы третьей группы также строятся за счет перехода от системы дифференциально-алгебраических уравнений к системе обыкновенных дифференциальных. Но в отличие от ранее рассмотренных подходов здесь (0.1) заменяется не эквивалентной, а "близкой" задачей, т. е. вместо (0.16) используется еу\1) = у{1)-/(х(1),уШ (0.4) где е > О — малый параметр. Тогда, применяя к (0.1а), (0.4) стандартные методы, а затем переходя к пределу при е —> О, получаем еще одну группу численных методов для решения задачи (0.1). Однако здесь следует иметь в виду, что не все численные методы могут быть использованы при этом подходе. Например, не применимы методы Рунге-Кутты с вырожденной матрицей коэффициентов (см. [139]). Кроме того, только при использование методов со специальными свойствами удается получить сходящиеся алгоритмы. Более подробно недостатки численных методов третьей группы будут проанализированы ниже, в главе 1.

IV, Методы четвертой группы отлича1отся от ранее рассмотренных тем, что основная идея при их построении состоит в непосредственном применении конечно-разностных методов к задаче (0.1]. Тогда дифференциальная часть задачи (0.1а) аппроксимируется с помощью конечно-разностного метода, а алгебраическая (0.16) остается неизменной. Например, если мы возьмем произвольный /-стадийный метод Рунге-Кутты, то четвертый подход дает следующий метод для решения задачи (0.1):

ХЫ = Хк+Ткл1 о.ц9{хкз,ущ), (0.5 а)

Уы = !{хы. Уы), г = 1,2,., /, (0.56)

Хк+1 =ХЫ + TkYл кд{хк1, укд, (0.5в) 1

Ук+1 = 1{хк+иУк+1), к = 0,1,.,К-1, (0.5г) где аЛА, 6;, г^ — 1,2,/, — коэффициенты метода Рунге-Кутты, атк — размер шага численного интегрирования, который может изменятся от точки к точке или быть постоянным. Аналогично, если применить произвольный устойчивый /-шаговый метод, то получим аппроксимацию следующего типа:

I I л2щ{к)хк+1-1 = п Jль¿(fc)5(afc+li,yfe+l¿), (0.6а)

0 г=0

Ук+1 = 1{хк+1,Ук+1), к = 1-1,1,.,К-1, (0.66) где коэффициенты а,(А;), 6¿(A;) задают базовый многошаговый метод и могут также изменяться в процессе численного интегрирования.

В диссертационной работе мы будем придерживаться именно методов четвертой группы, так как, с одной стороны, для них отсутствуют указанные выше недостатки, а с другой, — им присущи многие черты и свойства численных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений, что не только позволяет обобщить полученные ранее результаты на случай дифференциально-алгебраических уравнений, но и дает возможность применить новые идеи к обыкновенным дифференциальным. Для этого достаточно исключить из всех формул переменную у и алгебраическое соотношение (0.16).

Однако не следует думать, что дифференциально-алгебраические уравнения являются тривиальным обобщением обыкновенных дифференциальных. Первые в отличие от последних имеют целый ряд специфических свойств, которые значительно затрудняют исследование. В качестве примера рассмотрим простую систему дифференциально-алгебраических уравнений zx{t) = g{t), (0.7а) z[{t)-Z2i,t)=Q, (0.76)

4(0 - = О, (0.7в) с точным решением: Zi{t) = g{t), Z2{t) = g{t), гз{1) = g"{t) [120]. Отсюда видно, что решение (0.7) в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений связано не с интегрированием, а с дифференцированием правой части. Следовательно, для существования непрерывного решения у системы дифференциально-алгебраических уравнений может .потребоваться гораздо большая гладкость правой части, чем требуется для обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того, на этом примере Gear C.W. и Petzold L.R. показали, что конечно-разностные методы с переменным шагом плохо применимы к системам дифференциально-алгебраических уравнений [120].

Другим примером может служить система линейных уравнений t л

А е [0,1 /

Несложно вывести, что эта задача имеет решение /

1'С) О О С-Ь о кр) I

Однако на любом подотрезке [б, 1] С [0,1] мы имеем уже другую картину 7 А0 zSt.c) = О О. с + о

О О \ hit) I где с — произвольный вектор. Таким образом, на отрезках, содержащихся в [0,1], могут возникать решения отличные от 2о(А,с), что невозможно для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В связи с этим Бояринцев Ю.Е. с соавт. И] ввели

Определение 0.1, Будем говорить, что система линейнъх дифференциально-алгебраических уравнений

А{1)г\1) + В{ф{г) = т, а€[о,г] имеет на отрезке [О, Г] общее решение типа Коши, если существуют матрица Zd{t) и вектор ф{{) такие, что

1. гл{1),ф[1) G rank(Zd(0) = const = d, i € [0,Г].

2. Любая линейная комбинация z{t,c) = Zd{t) + ф^) является решением на [0,Т], причем на любом, отрезке, содержащемся в [О, Г], не существует решений отличных от вышеприведенных.

Кроме того, Бояринцев Ю.Е. с соавт. [11] привели ряд примеров, когда зависимость семейства решений системы дифференциально-алгебраических уравнений от возмуш1ения входных данных не носит непрерывного характера.

Все это предполагает построение специальных методов для исследования систем дифференциально-алгебраических уравнений, так как многие методы эффективные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений будут неприменимы. К тому же вычислительные схемы, используемые на практике, часто страдают отсутствием какого-либо математического обоснования, что неизбежно приводит к появлению значительных ошибок, возникающих при исследовании математических моделей на ЭВМ. Тем самым полученные результаты могут искажать поведение модели, что не позволит объективно судить об ее адекватности.

Например, при моделировании сердечно-сосудистой системы используют следующий подход к решению задачи (0.1). Проводят дискретизацию по номеру элемента модели и по времени, определяемому дискретным выбросом модели сердца. Задают начальные условия, предполагая, что в начальный момент времени система заполнена некоторым объемом крови и находится под некоторым давлением. Далее, "включая" сердце, которое дискретно осуществляет выброс, по уравнениям для отдельных участков сердечно-сосудистой системы шаг за шагом рассчитывают скорость кровотока, объем и давление в каждой секции. После этого расчеты повторяют для следующего сердечного цикла и т. д. [70]. Очевидно, что применение такого подхода на практике не даст хорошие по точности результаты.

Выше мы отмечали, что в настоящее время уже известно значительное число работ, посвященных исследованию систем дифференциально-алгебраических уравнений (см. библиографию диссертации). Однако задачи, рассматриваемые в этих работах, в основном концентрируются на следующих двух направлениях:

• исследование свойств дифференциально-алгебраических уравнений и их решений;

• построение дискретных аналогов систем дифференциально-алгебраических уравнений на основе конечно-разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

К первому направлению относятся, например, теоремы о существовании и единственности (или неединственности) решений систем дифференциально-алгебраических уравнений, их дифференцируемости (см., например, [И], [91], [98], [129]). Второе направление характеризуют теоремы о сходимости решений дискретных задач, полученных с использованием методов приближенного регпе-ния обыкновенных дифференциальных уравнений, к точному решению системы дифференциально-алгебраических уравнений, о порядке аппроксимации непрерывной задачи дискретным аналогом и т. д. Так, для этой цели применялись многошаговые методы (в частности, методы, основанные на формулах дифференцирования назад), неявные методы. Рунге-Кутты, методы Розенброка, экстраполяционные методы, а также численные методы, основанные на формуле Обрешкова (см. [И], [12], 81], [83], [88], [90], [91], [96], [97], [107], [114], [120], [136], [137], [139], [171], [173], [174], 181], [183] и т. д.).

Однако, несмотря на несомненные достижения в области систем дифференциально-алгебраических уравнений, полученных пока результатов недостаточно, чтобы корректно исследовать математические задачи, возникающие при моделировании тех или иных реальных объектов. Заменяя непрерывную задачу дискретной, построенной на основе какого-либо конечно-разностного метода, получаем систему алгебраических уравнений, точное решение которой, за редким исключением, не может быть найдено. Следовательно, приходится применять итерационные методы, которые вносят дополнительную ошибку, так как в реальной ситуации мы вынуждены ограничиться конечным числом итераций. В итоге такая ошибка не только может ухудшить сходимость, но и вообще привести к расходимости всего комбинированного алгоритма в целом. Учитывая к тому же, что различные итерационные методы решения алгебраических систем уравнений весьма существенно отличаются как условиями и скоростью сходимости, так и сложностью реализации на ЭВМ, приходим к необходимости исследовать различные комбинированные методы решения систем дифференциально-алгебраических уравнений с целью построения наиболее эффективных алгоритмов.

Чтобы подчеркнуть важность результатов такого типа, приведем две современные статьи 147 148], посвященные изучению порядка комбинированных методов Рунге-Кутты. Однако эти работы имеют весьма ограниченную применимость, так как, с одной стороны, они исследуют поведение только локальной ошибки и не учитывают распространение ошибки итерационных методов в процессе численного интегрирования, а с другой, — рассматривают только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Теперь поговорим о контроле точности численного решения. И прежде всего остановимся на методах для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Практически все известные в настоящее время численные методы с автоматическим выбором шага интегрирования основаны на вычислении главного члена локальной ошибки и последующем выборе такого размера для очередного шага, который является максимальным для заданного предела локальной ошибки. Решение первой задачи, т. е. нахождение главного члена локальной ошибки, осуществляется с помощью правила Рунге или численных методов разного порядка. После этого вторая задана, т. е. опредетюние максимального размера шага интегрирования для заданной границы локальной ошибки, решается аналитически (см., например, [3 5], [6], [71], [79], [83], [138], [139]).

Однако такой способ построения "оптимального" по затратам машинного времени разбиения отрезка интегрирования для заданной точности решения задачи имеет ряд недостатков. Во-первых, учет только главного члена локальной ошибки при выборе шага интегрирования не гарантирует малость локальной ошибки для выбранного шага и будет корректным только для разбиений с малым диаметром. Во-вторых, сохранение на приемлемом уровне локальной погрешности не позволяет контролировать глобальную погрешность, которая является более существенной для точности решения задачи. В-третьих, как реализация правила Рунге, так и использование неявных численных методов разных порядков при решении нелинейных задач требуют значительных затрат машинного времени, что существенно усложняет использование неявных численных методов с автоматическим выбором шага интегрирования на практике. В-четвертых, для явных методов (или других методов с ограниченной областью устойчивости) контроль локальной ошибки часто входит в противоречие с устойчивостью численного метода, что не только увеличивает затраты машинного времени, но и вообще может привести к непредсказуемым результатам.

Чтобы устранить последний недостаток, Новиков В.А. и Новиков Е.А. [57] предложили наряду с локальной ошибкой контролировать и устойчивость численного метода, что послужило плодотворной базой для развития специальных алгоритмов управления размером шага интегрирования для явных методов, а также привело к возможности комбинированного использования явных и неявных вычислительных схем. Hall G. и Higham D.J. пошли другим путем. Они нашли такие методы Рунге-Кутты, для которых локальный контроль точности ведет себя устойчивым образом (см. [140]-[142]). Кроме того, в [111], [144] исследован другой, менее известный способ управления размером шага интегрирования, который основан на вычислении и контроле невязки численного метода. Однако, несмотря на более высокую надежность и устойчивость разработанных алгоритмов, для них также характерны многие из вышеперечисленных недостатков.

Не следует думать, что в вычислительной математике не предпринимались попытки оценивать и контролировать глобальную ошибку численных методов. Например, очень полный и хорошо систематизированный обзор способов вычисления глобальной ошибки дал Skeel R.D. в [188]. Один из возможных подходов к оценке глобальной ошибки Л-устойчивых методов представлен в [58]. Интересная идея минимизации глобальной ошибки описана в [5]. Но все эти результаты весьма далеки от практического использования, так как они отличаются либо большой трудоемкостью, либо малой эффективностью. Кроме того, не было разработано никаких более или менее реалистичных способов автоматического управления глобальной ошибкой. Так, Skeel R.D. в [189] отмечает, что наиболее популярный способ управления глобальной ошибкой состоит в предположении о пропорциональности локальной и глобальной ошибок с тем, чтобы на основе управления локальной ошибкой добиться необходимое малости глобальной. Однако там же указано, что даже если такая пропорциональность и имеет место, то коэффициент этой пропорциональности зависит от многих факторов, весьма специфичных для каждой конкретной задачи, учесть которые на практике не представляется возможным. Другой способ управления шагом интегрирования, предложенный в [58], Роже нельзя признать удовлетворительным, так как он не принимает во внимание противоречие между глобальным' характером контролируемой величины (ошибки численного метода) и локальным характером управления (размера шага интегрирования). По-видимому, по этим причинам в одной из последних и наиболее полных монографий по численным методам для дифференциальных и дифференциальйо-сшгебраических уравнений [138], [139 вообгце отсутствует какое-либо упоминание о способах автоматического контроля глобальной ошибки.

Что касается дифференциально-алгебраических уравнений, то управление как локальной, так и глобальной ошибкой в этом классе методов усугубляется их неявностью, т. е., как мы упоминали ранее, здесь дополнительно приходиться применять итерационные методы. И это обстоятельство необходимо учитывать при разработке тех или иных способов вычисления и контроля ошибки численного решения.

Таким образом, в диссертации решена задача построения и обоснования комбинированных численных методов для дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1, а также способов нахождения и контроля локальной и глобальной ошибок, дающих возможность достичь любую разумную наперед заданную точность вычислений в автоматическом режиме.

Приведем краткое содержание диссертационной работы, состоящей из семи глав.

В первой главе, состоящей из двух параграфов, проанализированы причины, приводящие к появлению систем дифференциально-алгебраических уравнений в практическом математическом моделировании, обоснована правомерность и корректность моделей такого типа. Кроме того, здесь дан обзор литературы, посвященной как самим дифференциально-алгебраическим уравнениям, так и способам их решения.

В параграфе 1.1 на примерах из области математического моделирования в медико-биологических исследованиях, а также при моделировании электрических схем и электронных устройств изучены причины, приводящие к возникновению систем дифференциально-алгебраических уравнений. Показана типичность ситуаций подобного рода и исследована математическая корректность описания реальных явлений, содержащих процессы с существенно различными характерными временами, в виде систем дифференциально-алгебраических уравнений специального вида.

В параграфе 1.2 систематизированы и изложены основные результаты, относящиеся как к самим дифференциально-алгебраическим уравнениям, так и к способам их решения. Особое внимание уделено специфике таких задач и возникающим в связи с этим проблемам численного решения.

Отметим, что первая глава носит вводный, вспомогательный характер и обозначает как источники реальных задач, исследованию которых и посвящена диссертация, так и основные достижения в области систем дифференциально-алгебраичеАих уравнений.

Вторая глава, состоящая из четырех параграфов, занимает одно из центральных мест в диссертационной работе. В ней развита теория комбинированных одношагоЕых методов для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. Такие методы строятся на основе одношаговых методов для дискретизации дифференциальных уравнений и итерационных — для решения нелинейных алгебраических. Таким образом, здесь впервые исследовано влияние итерационных процессов на сходимость комбинированных алгоритмов, доказаны оценки погрешности и выведены достаточные условия, гарантирующие схо,гАимость максимального порядка.

Параграф 2.1 носит вспомогательный характер. В нем рассматриваются наиболее известные и часто используемые на практике представители семейства итерационных методов для решения нелинейных алгебраических уравнений, а именно, — метод простых итераций и модифицированный метод Ньютона. Для этих процессов впервые получены асимптотические оценки погрешности, играющие важнейшую роль в анализе сходимости комбинированных методов.

В параграфе 2.2 рассматриваются наиболее известные и часто используемые на практике представители семейства одношаговых численных методов, а именно, — методы Рунге-Кутты. На базе этих методов построены и проанализированы комбинированные алгоритмы для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1, т. е. методы Рунге-Кутты-простых итераций (РКПИ-методы), методы Рунге-Кутты-Ньютона (РКН-методы) и методы Рунге-Кутты-модифицированного Ньютона (РКМН-методы). Доказаны теоремы о сходимости комбинированных методов и получены оценки глобальной ошибки при шаге сетки, стремящемся к нулю.

В параграфе 2.3 теоретические исследования, проведенные для итеративных методов Рунге-Кутты, обобщаются на случай произвольных одношаговых методов. Показано, что любые сходяпщеся одношаговые методы могут быть использованы для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. При этом теоремы сходимости и оценки точности численного решения Сохраняют свою актуальность.

В параграфе 2.4 приведены результаты вычислительных экспериментов, на практике подтверждающих работоспособность построенных выше комбинированных методов. Показано, что теореьАы «ходимости весьма точно описывают асимптотическое поведение ошибок РКП, РКМН и РКПИ-методов при размере шага интегрирования, стремящемся к нулю, а оценки количества итераций в точке сетки зачастую бывают не только достаточны, но и необходимы для достижения комбинированным методом максимального порядка.

Перечислим основные результаты, полученные во второй главе: доказаны асимптотические оценки ошибки метода простых итераций и модифицированного метода Ньютона; построены комбинированные РКПИ, РКН и РКМН-методы как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для дифференциально-алгебраических систем индекса 1; доказаны теоремы о сходимости РКПИ, РКН и РКМН-мАтодов и выведены оценки глобальной ошибки для указанных методов; теория комбинированных алгоритмов обобщена на произвольные одношаговые методы; для численных методов ньютоновского типа представлены теоретические оценки достаточного количества итераций в точке сетки, гарантируюпдие сходимость максимального порядка.

Из результатов второй главы следует, что метод простых итераций наименее приспособлен для решения дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. Во-первых, сходимость метода простых итераций гарантируется только, если норма якобиана правой части алгебраического соотношения (0.16) строго меньше единицы, что существенно ограничивает примейимость простых итераций. Во-вторых, для этого метода невозможно аналитически определить достаточное количество итераций в точке сетки и требуется привлечение дополнительных процедур для окончания итерационного процесса (стоп-критериев), которые приводят к дополнительным затратам машинного времени. В-третьих, в процессе численного интегрирования необходимое число простых итераций может быть весьма значительным. Более того, теоретические результаты даже не гарантируют его ограниченность при шаге сетки, стремящемся к нулю. Однако простота компьютерной реализации метода простых итераций может перевесить все эти недостатки при численном интегрировании больших дифференциально-алгебраической систем.

Третья глава, состоящая из трех параграфов, посвящена такой важной в прикладном аспекте проблеме, как оптимизация вычислительного процесса при решении задач большой размерности, так как применение /-стадийного неявного метода Рунге-Кутты для дискретизации систем дифференциально-алгебраических уравнений приводит к увеличению размерности решаемой задачи в / -Ь 1 раз. Однако, несмотря на вообщем-то практическую направленность этой главы, в ней получены и совершенно новые теоретические результаты. К ним относятся теория диагонально оптимальных РКПИ-методов для дифференциально-алгебраических уравнений, теория итеративных методов Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором, различные способы реализации метода Ньютона для дифференциально-алгебраических систем индекса 1.

В параграфе 3.1 предложен подход, позволяющий строить в некотором смысле оптимальные РКПИ-методы. Таким методам в полной мере присуща простота компьютерной реализации, но, с другой стороны, они выгодно отличаются областью применимости и достаточно небольшим числом итераций. Для псевдодиагонально оптимальных РКПИ-мётодов доказаны теоремы существования и единственности, а также предложены практические алгоритмы для компьютерной реализации. Эффективность нового класса методов показана теоретически и на ряде численных примеров.

В параграфе 3.2 построены три класса комбинированных численных методов с нетривиальным предиктором как для решения систем дифференциальных уравнений, так и для интегрирования систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. Для таких комбинированных методов доказаны теоремы сходимости и получены оценки точности численного решения. Показано, что, выбирая в качестве базовь|х методы Рунге-Кутты достаточно высокого стадийного порядка и применяя ньютоновские итерации для решения соответствующей алгебраической задачи, можно получить комбинированные алгоритмы произвольного порядка сходимости, в которых требуется только одна итерация в точке сетки при численном интегрировании дифференциальных уравнений и две итерации — при решении дифференциально-алгебраических.

В параграфе 3.3 изучаются особенности применения итераций Ньютона для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 большой размерности неявными методами Рунге-Кутты. Численное интегрирование в этом случае на практике сводится к многократному решению систем линейных алгебраических уравнений с большими матрицами коэффициентов, что приводит к огромнуАм затратам машинного времени и требует значительного объема оперативной памяти ЭВМ. Поэтому с учетом структуры таких матриц разработана специальная модификация гауссовского исключения неизвестных, позволяюп];ая существенным образом сократить затраты машинного времени и памяти. Кроме того, здесь рассматривается один подход к реализации ньютоновских итераций, основанный на негауссовском обращении матриц, что может быть весьма благоприятно для использования параллельных или векторных ЭВМ.

Перечислим основные результаты, полученные в третьей главе: развита теория диагонально и псевдодиагонально оптимальных РКПИ-методов для дифференциально-алгебраических уравнений, доказаны теоремы о существовании и единственности таких методов, указан способ их практического построения; разработаны и строго теоретически обоснованы итеративные методы Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором, получены асимптотические оценки глобальной ошибки и выведены условия, гарантирующие сходимость максимального порядка; построена специальная модификация метода Гаусса, позволяющая существенно сократить затраты машинного времени и оперативной памяти ЭВМ при использовании ньютоновских итераций для решения дифференциально-алгебраических систем индекса 1; предложена реализация метода Ньютона, основанная на итерационном обращении матриц по методу Хотеллинга, получены оценки достаточного количества итераций, гарантирующие сходимость максимального порядка.

Из результатов третьей главы следует, что РКН и РКМН-методы могут быть программно реализованы очень эффективно, даже несмотря на увеличение размерности исходной задачи, обусловленное необходимостью вычисления стадийных величин. Применение же итераций Ньютона для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений, в свою очередь, наиболее оправдано с точки зрения практических приложений, так как, с одной стороны, любые системы индекса 1 могут быть в этом случае успешно решены (в отличие от простых итераций), а с другой стороны, высокая скорость сходимости метода Ньютона дает возможность априорно оценить достаточное количество итераций для обеспечения сходимости максимального порядка комбинированного метода в целом. Более того, за счет введения подходящего предиктора и использования методов Рунге-Кутты гауссовского типа можно ограничиться одной итерацией в точке сетки при вычислении стадийных величий, на которые и падают основные затраты машинного времени. Дальнейшее увеличение эффективности РКН и РКМН-методов связано с оптимизацией метода Гаусса для решения линейных систем, возникающих в результате применения ньютоновских итерации, а также возможно на основе привлечения современных суперЭВМ.

В четвертой главе, состоящей из трех параграфов, решена важнейшая задача, поставленная в диссертационной работе, а именно, — проблема контроля точности численного решения на основе автоматического управления размером шага интегрирования одношаговых методов:- Во-первых, стандартное управление локальной ошибкой обобщено на случай дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1, показано, что такое управление шагом интегрирования работает корректно для итеративных одношаговых методов только при достаточном количестве итераций в точке сетки. Во-вторых, на основе уравнений для главных членов глобальной ошибки предложен локально-глобальный контроль точности численного решения, который наряду с локальной способен управлять и глобальной ошибкой. В результате получен асимптотически верный способ автоматического решения систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 с любой наперед заданной точностью (в отсутствии ошибок округления).

В параграфе 4.1 классический способ контроля локальной ошибки распространен на комбинированные численные методы для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. Выведены ограничения на достаточное число итераций ньютоновского типа, позволяющие гарантировать корректность автоматического управления шагом интегрирования для итеративных одношаговых методов. Работоспособность указанных алгоритмов проиллюстрирована практическими расчетами.

В параграфе 4.2 доказан основной теоретический результат главы 4. Развивая идеи Грэгга [127], [128], получено асимптотическое разложение глобальной ошибки неявных одношаговых методов для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 при размере шага, стремящемся к нулю. Кроме того, выведены уравнения для коэффициентов этого разложения, которые в дальнейшем положены в основу локально-глобального управления точностью численного решения.

В параграфе 4.3 предложена новая процедура автоматического управления размером шага интегрирования одношаговых методов. В отличие от стандартного подхода новый способ контроля точности численного решения основан на вычислении и контроле главных членов локальной и глобальной ошибок. В результате, одношаговые методы с таким локально-глобальным управлением размером шага интегрирования позволяют решать системы дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 с любой наперед заданной точностью (до ошибок округления). Для неявных одношаговых методов указано достаточное количество итераций метода Ньютона (или модифицированного метода Ньютона), позволяющее корректно использовать итерационные приближения в процедуре локально-глобального управления размером шага интегрирования. Кроме того, здесь предложен устойчивый вариант локально-глобального механизма контроля точности численного решения, приемлемый для жестких задач. Все теоретические результаты параграфа 4.3 подтверждены численными примерами.

Церечислим основные резу.гьтаты, полученные в четвертой главе: разработана методика оценки локальней оп1ибки комбинированных численных методов для дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1; доказана теорема об асимптотическом разложении глобальной огпибки неявных од-ношаговых методов, выведены уравнения для коэффициентов этого разложения; предложен и обоснован аскмптотически верный способ вычисления главного члена глобальной ошибки одношаговых числейных методов для дифференциальных и дифференциально-алгебраических систем; развит новый локально-глобальный контроль точности численного решения, позволяюш;ий достичь разумную, наперед заданную точность вычислений в автоматическом режиме; разработаны устойчивые варианты неявного и полуявного локально-глобального контроля точности, применимые к жестким задачам.

Из результатов четвертой главы следует, что при использовании метода простых итераций для численного интегрирования дифференциально-алгебраических уравнений автоматическое управление размером шага одношаговых методов невозможно, потому что в силу теорем главы 2 этот метод не способен обеспечить необходимую асимптотику для локальной и глобальной ошибок. Кроме всего прочего, необходимо отметить высокую эффективность новой процедуры контроля точности численного решения, так как она позволяет за один проход, т. е. без пересчетов с начальной точки отрезка интегрирования, получить приближенное решение дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 с высокой точностью.

В пятой главе, состояш;ей из четырех параграфов, впервые разработана обш;ая теория одношаговых экстраполяционных методов как для дифференциальных уравнений, так и для дифференциально-алгебраических систем индекса 1. Особое внимание уделено неявным методам, потому что для практической реализации таких методов существенную роль играют оценки достаточного числа итераций того или иного итерационного процесса, используемого для решения системы алгебраических уравнений, полученной в результате дискретизации исходной задачи. В диссертационной работе рассматриваются три наиболее известных итерационных процесса: метод простых итераций, полный к модифицированный методы Ньютона, для которых доказаны оценки достаточного количества итераций при осуществлении экстраполяции численного решения.

Естественно, неявные экстраполяционные методы требуют повьппенной трудоемкости. Однако, базируясь на неявных методах Рунге-Кутты с хорошими свойствами устойчивости, они применимы для решения более широкого класса задач. Кроме того, в главе 5 разработана теория минимально неявных одношаговых методов, экстраполяционный процесс для которых требует наименьших (в классе неявных методов) затрат машинного времени. Здесь также впервые показано, что упомянутые выше оценки достаточного количества итераций позволяют корректно реализовать недвную квадратичную экстраполяцию на практике. Работоспособность нового класса методов и значение достаточных оценок числа итераций для неявных экстраполяционных методов продемонстрированы на ряде численных примеров. в параграфе 5.1 представлена классическая теория одношаговых экстраполяци-онных методов, которые в настоящее время можно отнести к наиболее эффективными для численногю решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Они позволяют автоматически выбирать наилучшие шаг интегрирования и порядок метода в процессе решения задачи. Кроме того, экстраполяционные методы достаточно экономичны. Вычм:слительные затраты при их использовании эквивалентны затратам на реализацию диагонально неявйых методов Рунге-Кутты.

Однако существенным недостатком явного характера существующих экстрапо-ляционных методов является их слабая устойчивость. Уже Штеттер в [79, с. 441 указывал, что применение экстраполяционных процессов для жестких дифференциальных уравнений будет эффективным, только если они основаны на неявных одношаговых методах. Поэтому были предприняты попытки улучшить устойчивость экстраполяционных алгоритмов введением сглаживания и некоторой неявности. В результате появился линейно неявный экстраполяционный метод Эйлера [106], [139, с. 138-141]. Фактически этот метод представляют собой одну итерацию метода Ньютона, примененного для решения системы алгебраических уравнений, полученной дискретизацией исходной задачи неявным методом Эйлера. Однако, как показано в параграфе 5.1, в некоторых случаях одна итерация может оказаться недостаточной при построении экстраполяционных методов высокого порядка сходимости.

Таким образом, в этом параграфе развивается теория неявных экстраполяци-онных процессов для дифференциальных уравнений на базе комбинированных методов из главы 2. Теоретически обоснованы и подтверждены практически оценки достаточного количества итераций в зависимости от порядка экстраполяционного процесса.

В параграфе 5.2 представлена теория симметричных одношаговых методов, которая позволяет на практике находить численные методы, чья глобальная ошибка имеет квадратичное асимптотическое разложение. Однако, как показывают полученные ранее результаты [71], [161], [190], [192], большинство таких методов имеет неявный вид. Более того, среди явных формул Рунге-Кутты, на которых в основном и базируются экстраполяционные алгоритмы, вообще нет симметричных методов 49], [161]. По этой причине в настоящее время известен только один численный метод, основанный на квадратичной экстраполяции, — ГБШ-алгоритм [71, с. 239-243], 79], [190]. При этом ГБШ-алгоритм является двухшаговым методом и имеет квадратичное разложение глобальной погрешности только для точек сетки с четными номерами. Опять же в силу своей явности он обладает весьма неудовлетворительной устойчивостью, что обусловило развитие линейно неявного аналога ГБШ-алгоритма 84].

В настоящем параграфе построена теория экстраполяции численного решения для неявных одношаговых методов, обладающих квадратичным разложением глобальной ош?дбки. Показано, что квадратичная экстраполяция имеет место только при обеспечении достаточной малости итерационной погрешности. Выведены условия, гарантирующие корректность неявной квадратичной экстраполяции. в параграфе 5.3 впервые разработана общая теория минимально неявных одно-шаговых методов, экстраполяционный процесс для которых требует наименьших (в классе неявных методов) затрат мгицинного времени. Кроме того, доказана важнейшая теорема о несуществовании симметричных явных одношаговых методов, следствием которой является невозможность осуществления квадратичной экстраполяции в классе явных одношаговых методов.

В параграфе 5.4 результаты, касающиеся неявных экстраполяционных методов, обобщены на случай дифференциально-алгебраических систем индекса 1. Для развития квадратичной экстраполяции в классе дифференциально-алгебраических уравнений разработана теория симметричных одношаговых методов. Показано, как найти такие методы на практике. Здесь также выведены оценки достаточного количества итераций ньютоновского типа для корректной реализации экстраполяци-онного процесса и предложен улучшенный локально-глобальный контроль точности численного решения.

Перечислим основные результаты, полученные в пятой главе: разработана теория неявных одношаговых экстраполяционных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических систем индекса 1; существенно улучшена теория симметричных одношаговых методов для дифференциальных уравнений, что позволило определить понятия присоединенности и симметрии в явном виде, а также сформулировать и доказать необходимые и достаточные условия наличия квадратичного асимптотического разложения глобальной ошибки у одношагового метода; выделен класс алгебраически устойчивых симметричных методов Рунге-Кутты; построена теория симметричных одношаговых методов для дифференциально-алгебраических систем индекса 1; разработана теория минимально неявных одношаговых методов; доказана невозможность квадратичной экстраполяции в классе явных одношаговых численных методов; предложен и обоснован улучшенный вариант локально-глобального контроля точности численного решения, базирующийся на вычислении нескольких первых членов в разложении глобальной ошибки одношагового метода.

Из результатов пятой главы следует, что встроенное в экстраполяционный процесс улучшенное локально-глобальное управление размером шага интегрирования позволяет находить и контролировать сразу несколько первых членов асимптотического разложения глобальной ошибки. В этом смысле в отсутствии ошибок округления можно говорить о численном решении дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 с гарантированной точностью.

В шестой главе, состоящей из двух параграфов, решена одна из важнейших задач диссертационной работы. В ней представлена теория комбинированных многошаговых методов для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. Такие методы строятся на основе устойчивых линейных многошаговых методов для дискретизации дифференциальных уравнений и итерационных процессов для решения нелинейных алгебраических уравнений. Полученные таким образом алгоритмы исследованы на сходимость. Для них доказаны оценки погрешности и выведены достаточные условия, гарантирующие сходимость максимального порядка. в параграфе 6.1 рассматриваются наиболее известные и часто используемые на практике представители семейства многошаговых численных методов, а именно, — устойчивые линейные многошаговые методы. На базе этих методов строятся и анализируются комбинированные алгоритмы с тривиальным и нетривиальным предикторами для решения систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. Для метода простых итераций, а также полного и модифицированного методов Ньютона полученные оценки достаточного количества итераций в точке сетки.

В параграфе 6.2 приведены результаты вычислительных экспериментов, на практике подтверждающих работоспособность построенных выше методов. Показано, что теоретические результаты весьма точно описывают асимптотическое поведение глобальных ошибок комбинированных многошаговых методов как с тривиальным, так и с нетривиальным предиктором при размере шага интегрирования, стремящемся к нулю, а оценки числа итераций в точке сетки зачастую бывают не только достаточны, но и необходимы для достижения комбинированным методом максимального порядка.

Перечислим основные результаты, полученные в шестой главе: разработана теория комбинированных многошаговых методов как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для дифференциально-алгебраических систем индекса 1; доказаны теоремы о сходимости устойчивых многошаговых методов и выведены оценки глобальной ошибки; для методов ньютоновского типа представлены теоретические оценки достаточного количества итераций в точке сетки, гарантирующие сходимость максимального порядка.

Из результатов шестой главы следует, что если идея подключения нетривиального предиктора для одношаговых методов выглядит достаточно искусственно и приводит к необязательным затратам оперативной памяти ЭВМ, то для многошаговых методов нетривиальный предиктор строится по тем же самым значениям приближенного решения, что и сам метод. Таким образом, дополнительная оперативная память при этом не расходуется. Кроме того, для большинства устойчивых многошаговых методов одной итераций метода Ньютона в точке сетки оказывается достаточно для обеспечения сходимости максимального порядка.

Седьмая глава, состоящей из трех параграфов, занимает одно из центральных мест в диссертации, так как в ней решена задача контроля точности численного решения на основе автоматического управления размером шага интегрирования для многошаговых методов. Во-первых, здесь разработан новый способ оценки главного члена локальной опшбки многошагового метода, позволяющий значительно сократить затраты машинного времени. Во-вторых, предложен асимптотически верный способ вычисления главного члена реальной ошибки многошагового метода в точках сетки, а на его базе разработано локально-глобальное управление размером шага численного интегрирования, которое наряду с локальной способно контролировать и глобальн)«о ошибку. В результате мы получаем процедуру автоматического решения систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 с любой наперед заданной точностью (в отсутствии ошибок округления). В-третьих, идеи, положенные в основ\- локально-глобального контроля точности, обобщены до концепции многошаговой экстраполяции численного решения, а также послужили отправной точкой для развития улучшенной версии локально-глобального управления шагом численного интегрирования. Теоретические результаты главы подтверждены экспериментальными данными.

В параграфе 7.1 разработан и строго теоретически обоснован новый способ вычисления главного члена локальной ошибки многошаговых методов, предназначенных как для интегрирования дифференциальных уравнений, так и для решения дифференциально-алгебраических систем индекса 1.

В параграфе 7.2 предложена новая процедура автоматического управления размером шага интегрирования многошаговых методов. В отличие от классического подхода новый способ контроля точности численного решения основан на вычислении и контроле главных членов локальной и глобальной ошибок. В результате, многошаговые методы с таким локально-глобальным управлением шагом интегрирования позволяют решать системы дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 с любой наперед заданной точностью (до ошибок округления). Для неявных методов указано достаточное количество итераций метода Ньютона (полного или модифицированного), позволяющее корректно использовать итерационные приближения в процедуре локально-глобального управления размером шага интегрирования.

В параграфе 7.3 впервые разработан общий подход для построения экстраполя-ционного процесса в классе многошаговых методов. Новый способ повышения порядка базового многошагового метода основан на коррекции численного решения с помощью ошибки метода, найденной с высокой точностью. При этом в отличие от ранее построенной теории одношаговой экстраполяции здесь уже не требуются повторные интегрирования с более мелким шагом, что существенно экономит машинное время. Другим достоинством многошаговых экстраполяционных методов является преодоление первого барьера Далквиста, который накладывает серьезное ограничение на порядок устойчивых многошаговых методов (см. теорему 3.5 в [71, с. 351] или [102]). Новая методика, например, позволяет повысить точность формул дифференцирования назад до 10-го'порядка включительно, сохраняя при этом их устойчивость. Кроме того, на основе теории многошаговой экстраполяции предложена улучшенная версия локально-глобального управления шагом многошаговых методов, которая позволяет значительно сократить затраты машинного времени на решение дифференциальных или дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 с заданной точностью.

Перечислим основные результаты, полученные в седьмой главе: предложен новый, эффективный способ оценки локальной ошибки многошаговых методов; обоснован асимптотически верный способ оценки глобальной ошибки многошаговых методов; разработан локально-глобальный контроль точности численного решения, позволяющш интегрирования системы дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 с любой разумной наперед заданной точностью; выведены условия, гарантирующие применимость нового способа управления размером шага интегрирования для неявных многошаговых методов; развита теория многошаговой экстраполяции численного решения; преодолен первый барьер Далквиста; разработана модифицированная версия локально-глобального контроля точности, позволяющая существенно сократить затраты машинного времени.

Из результатов седьмой главы следует, что способы оценки глобальной ошибки для одношаговых и многошаговых методов совершенно различны. Более того, отличаются даже понятия глобальной ошибки, положенные в основу этих способов. В случае одношаговых методов под глобальной ошибкой понимается асимптотическое поведение ошибки численного метоАца в конечной точке отрезка интегрирования при шаге сетки, стремящемся к нулю. Таким образом, в каждой точке сетки вычисляется некоторая абстрактная величина, характеризующая наихудшее поведение ошибки рассматриваемого одношагового метода. В классе же многошаговых формул в каждой точке сетки оценивается реальная опшбка численного метода, с помощью которого ведется интегрирование. Именно это свойство дает толчек к развитию теоА рии многошаговой экстраполяции. Однако негативной чертой локально-глобального контроля точности для многошаговых методов является наличие пересчетов численного решения, начиная с начальной точки отрезка интегрирования. По этой причине была разработана модифицированная версия локально-глобального управления размером шага многошаговых методов, значительно сокращающая общее количество таких пересчетов.

Итак, основные результаты диссертации составляют:

1) Теория комбинированных одношаговых методов с тривиальным и нетривиальным предикторами для систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1.

2) Теория псевдодиагонально оптимальных РКПИ-методов для дифференциально-алгебраических систем индекса 1.

3) Способы оценки и контроля локальной и глобальной ошибок комбинированных одношаговых методов с тривиальным и нетривиальным предикторами для систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1.

4) Теория неявных одношаговых экстраполяционных методов для систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. о) Теория симметричных одношаговых методов для дифференциальных и дифференциально-алгебраических систем индекса 1.

6) Теория квадратичной экстраполяции численного решения для одношаговых методов, обладающих квадратичным асимптотическим разложением глобальной ошибки.

7) Теория минимально неявных одношаговых методов для дифференциальных уравнений.

8) Способ автоматического интегрирования дифференциальных и дифференциально-алгебраических систем индекса 1 одношаговыми методами с гарантированной точностью.

9) Теория комбинированных многошаговых методов с тривиальным и нетривиальным предикторами для дифференциальных и дифференциально-алгебраических систем индекса 1.

10) Способы оценки и контроля локальной и глобальной ошибок комбинированных многошаговых методов с тривиальным и нетривиальным предикторами для систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1.

11) Теория многошаговых экстраполяционных методов для систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1.

12) Способ автоматического интегрирования дифференциальных и дифференциально-алгебраических систем индекса 1 многошаговыми методами с гарантированной точностью.

Кроме того, в прикладном аспекте важными являются:

• Специальная модификация метода Гаусса, ориентированная на эффективное решение линейных систем, возникающих в результате применения метода Ньютона к дифференциально-алгебраическим уравнениям индекса 1.

• Реализация метода Ньютона для систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1, основанная на итерационном методе Хотеллинга для обращения якобиана дискретной задачи.

Основные результаты диссертации докладывались: на Х1Х-ХХП конференциях М0.30ДЫХ ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 1997-2000), на symposium on differential-algebraic equations: algebraic and numerical aspects (Grenoble, France, 1997), на третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), посвященный памяти СЛ. Соболева (1908-1989) (Новосибирск, 1998), на seventh international colloquium on numerical analysis and computer science with applications (Plovdiv, Bulgaria, 1998), на international congress of mathematicians (Berlin, Germany, 1998), на международной научной конференции "Оптимизация численных методов", посвященная 90-летию со дня рождения СЛ. Соболева (1908-1989) (Уфа, 1998), на third international conference on mathematical modelling and analysis (MMA-98) (Riga, Latvia, 1998), на third european conference on numerical mathematics and advanced applications (ENUMATH-99) (Tyväskyiä, Finland, 1999), на GAMM-IMACS international symposium on scientific computing, computer arithmetic, and validated numerics

SCAN-2000) (Karlsruhe, Germany, 2000), на international conference on computational science (ICCS-2001) (San Francisco, USA, 2001), на fourth european conference on numerical mathematics and advanced applications (ENUMATHT200 1) (Ischia, Italy, 2001), на научно-исследовательских семинарах Вычислительного центра РАН, Института вычислительной математики РАН, механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, филиала МГУ в г. Ульяновске (преобразованном в УлГУ), Датского технического университета (г. Лингби), Норвежского университета науки и технологии (г. Трондхейм), университета Герхарда Меркатора (г. Дуйсбург).

По теме диссертации опубликованы 44 работы, в том числе [1], [2], [27]-[50], [152 -[169]. При этом результаты из работ, подготовленных в соавторстве, либо использованы частично, в соответствии с личным вкладом каждого автора ([35], [36], [44 152], [168]), либо приведены в переработанном виде ([1], [2], [34], [46]-[48], [164 166]).

Автор считает приятным долгом выразить искреннюю благодарность научному консультанту академику РАН Бахвалову Н.С. за постоянное внимание и помощь в работе, а также профессорам Кобелькову Г.М., Лебедеву В.И., Семушину И.В., Шмыглевскому Ю. Д., Corliss G.F., Kv8ern0 А., Luther W., N0rsett S.P., Thomsen P. G. и многим другим за плодотворное обсуждение научных результатов, полученных на различных этапах подготовки диссертации.

Кроме того, необходимо отметить, что развитие данной тематики в России было бы невозможно без финансовой поддержки со стороны: Датской ректорской конференции (1997), Российской академии наук (государственная научная стипендия для молодых ученых (раздел: математика), 1997-2000), Министерства общего и профессионального образования России (грант для молодых ученых на проведение научной работы за рубежом, 1997; научная программа "Университеты России — фундаментальные исследования", проект № 230, 1998-1999), Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 98-01-00006, 1998-2000; проект № 0101-00066, 2001-н. вр.) и других организаций и университетов, в той или иной форме способствовавших успешному завершению диссертационной работы.

1. БОЯРИНЦЕВ Ю . Е . , КОРСУКОВ В.М. Применение разностных методов к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Вопросы прикладной математики. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975. С. 140-152.

2. БоЯРИНЦЕВ Ю . Е . Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980.

3. БояринцЕВ Ю.Е., Данилов В.А., Логинов A.A., Чистяков В.Ф. Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, 1989.12. бояринцев Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1996.

4. ВАСИЛЬЕВА А.Б., бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмупдений. М.: Высшая школа, 1990.

5. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 2000.

6. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра// Матем. сб. 1948. Т. 22(64). JVS 2. С. 193-204.

7. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры// Матем. сб. 1950. Т. 27(69). № 1. С. 147-156.

8. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержапще малые параметры.// Матем. сб. 1952. Т. 31(73). № 3. С. 575-586.

9. Тихонов А.Н., васильева А.В., Свешников а.г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.69. фаддев Д.К., фаддева в.н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.; Физматгиз, 1963.

10. Campbell S.L. Singular systems of differential equations. Pitman. London. 1980.

11. Campbell S.L. Singular systems of differential equations IL Pitman. London. 1982.

12. Campbell S.L., petzold L .R. Canonical forms and solvable singular systems of differential equations// SIAM. J. Alg. Disc. Meth. 1983. V. 4. P. 517-521.

13. EBERS J.J., MOLL J.L. Large-signal behavior ofjunction transistors// Proceedings IRE. 1954. V. 42. P. 1761-1772.

14. FENG A., HOLLAND CD., gallun S.E. Development and comparison of a generalized semi-implicit Runge-Kutta method with Gear's method for systems of coupled differential and algebraic equations// Comp, and Chem. Eng. 1984. V. 8. P. 51-59.

15. FUNG Y . C Mathematical representation of the mechanical properties of the heart muscle// J. Biomech. 1970. V. 3. P. 381-404.

16. GEAR C W . The simultaneus numerical solution of differential-algebraic equations// IEEE. Trans. Circuit Theory, TC-18. 1971. P. 89-95.

17. GEAR C . W . , Tu K.W. The effects of variable mesh size on the stability of multistep methods// SIAM J. Numer. Analys. 1974. V. 11. P. 1025-1043.

18. GEAR C.W., WATANABE D.S. Stabihty and convergence of variable order multistep methods// SIAM J. Numer. Analys. 1974. V. 11. P. 1044-1058.

19. GEAR C.W., Hsu H.H. PETZOLD L.R. Differential/algebraic equations revisited// Proc. Numerical Methods for Solving Stiff Initial Value Problems. Oberwolfach. W. Germany. June 28 July 4. 1981.

20. GEAR C W . , PETZOLD L.R. Differential/algebraic equations and matrix pencil// Proc. Conference on Matrix Pencil. Pitea. Sweden. March 1982; also. Dept. Rpt. UIUCDCS-R-82-1086. 1982. "

21. GEAR C.W., PETZOLD L.R. ODE methods for the solution of differential/algebraic systems. Dept. Rpt. UIUCDCS-R-82-1103. 1982.

22. GEAR C.W., PETZOLD L.R. ODE methods for the solution of differential/algebraic systems// SIAM. J. Numer. Anal. 1984. V. 21. № 4. P. 716-728.

23. GEAR C.W., WALLS D.E. Multirate Unear multistep methods// BIT. 1984. V. 24. P. 484-502.

24. GUMMEL H.K., POON H.C. An integral charge control model of bipolar transistors// Bell Syst. Techn. Journal. 1970. V. 49. P. 827-852.

25. GUYTON A.c. Textbook of medical physiology. 4th ed. Phyladelphia et al.: Saunders Publ., 1971.

26. GuYTON A.c., coleman T.G., grander H.J. Circulation: Overall regulation// Ann. Rev. Physiol. 1972. V. 34. P. 13-46.

27. Hairer E., lubich ch., roche M. The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods. Report CH-1211, Dept. de Mathématiques, Universite de Geneve, Geneve, Switzerland, 1988.

28. Hairer E., lubich ch., roche M. The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods. Lecture Note in Math. 1409. Berlin: Springer, 1989.

29. Hairer E., N0RSETT S.P., wanner G. Solving ordinary differential equations I: • Nonstiff problems. Berlin: Springer-Verlag, 1987, 1993.