автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод нормальных сплайнов для решения сингулярных интегральных и дифференциальных уравнений

На правах рукописи

СВИРИДОВ ВЯЧЕСЛАВ ЮРЬЕВИЧ

МЕТОД НОРМАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Ульяновск - 2005

Работа выполнена на кафедре прикладной математики механико-математического факультета государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Горбунов Владимир Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Воскресенский Евгений Викторович доктор физико-математических наук, профессор Леонтьев Виктор Леонтьевич

Ведущая организация: Московский государственный авиационный институт (технический университет, МАИ)

Защита диссертации состоится "Л" С/ШЛ 2005 г. в и** часов на заседании диссертационного совета К0 Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу г Ульяновск, ул. Набержная р. Свияги, 40, ауд. 703.

Отзывы по данной работе просим направлять но адресу: 432700, г. Ульяновск, ул. Л.Толстого, д.42, УлГУ, научная часть.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета

Автореферат разослан " " ^2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Веревкин А Б.

Л/З^'//

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Дифференциальные и интегральные уравнения являются основой математического моделирования процессов в различных областях техники и естествознания К настоящему времени существует глубокая качественная теория и богатый арсенал численных методов приближенного решения начальных и краевых задач для регулярных уравнений. Однако усложнение проблем, охватываемых математическим моделированием, привело к появлению моделей процессов, представляемых различными классами нерегулярных уравнений, для которых существующие методы решения оказались неэффективными или неприменимыми.

В данной работе в основном рассматриваются системы линейных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ), в частности, интегральные уравнения первого рода, а также квазилинейные дифференциальные уравнения с произвольным вырождением главной части и уравнения на полуоси [О, оо). Общий класс систем охватывает дифференциально-алгебраические системы (ДАС), а также жесткие системы дифференциальных уравнений Специально рассмотрена проблема численного обращения преобразования Лапласа.

Для решения сингулярных задач интегральных и дифференциальных уравнений создаются специализированные методы, и увеличившееся в последнее время количество работ, посвященных созданию таких методов, говорит об актуальности данной проблемы.

Значительное влияние на развитие методов численного решения сингулярных дифференциальных и интегральных уравнений оказали работы Ю.Е. Бояринцева и его школы (М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков), А И. Задорина, В.И. Шалашилина, Е.Б. Кузнецова, B.C. Сизикова, А.Ф. Верлань, В И. Крылова, Н.С. Скобли, Е. Hairer, G. Wanner, C.W. Gear, L.R. Petzold, S. Campbell и др.

Сложность решения сингулярных дифференциальных уравнений определяется принципиальной возможностью их сведения к нормальной форме Коши путем дифференцирования и конечных преобразований Наименьшее число таких дифференцирований называется "индексом дифференцирования "(differentiation index) системы. В наиболее сложных случаях система может не иметь конечного индекса, т.е. не сводиться к нормальной форме.

В зарубежной и отечественной литературе представлены в основном адаптированные классические разностные методы решения ДАС невысоких индексов (до 3-х). Большинстве ^у^ютн структурированным за-

'ОС НАЦИОНАЛЬНАЯ i

БНБЛИАТ»! I

«

дачам высоких индексов основано на понижении индекса системы путем её дифференцирования и конечных преобразований. При чтом в литературе общие методы определения и понижения индекса известны лишь для линейных ДАС (Ю.Е. Бояринцсв и ею школа: В Чистяков, М Булатов и др.). Они основаны на сложной алгебраической технике, итерационном построении полуобратных матриц и ранговых критериях, которые трудно проверять в условиях приближенных данных. Также отметим метод продолжения решения по параметру (В. Шалашилин, Е. Кузнецов и др.), который в сложных случаях также ограничен трудно проверяемыми алгебраическими условиями. Для сингулярных задач с переменным вырождением главной части, несводимых к нормальной форме, упомянутые численные методы, как правило, не применимы.

В работах В К. Горбунова в середине 80-х годов был построен вариационный метод нормальной сплайн-коллокации (нормальных сплайнов, далее НС) для линейных интегральных уравнений первого рода, а также для начальных и краевых задач линейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений

Метод НС является методом коллокации. Он основан на представлении искомого приближённого решения в виде некоторого сплайна, параметры которого определяются при решении некоторой вариационной задачи. Метод заключается в выборе некоторого гильбертово-соболевского пространства, переходе от функциональных уравнений к коллокационной системе и минимизации нормы на множестве её решений. Элемент минимальной нормы называется нормальным сплайном В отличие от традиционных проекционных методов в методе НС координатная система не вводится априорно, а строится автоматически. Она определяется нормой выбранного пространства, а также коэффициентами уравнения

Ключевой проблемой метода является представление точечных функционалов (значений решения и его производных в точках коллокаций) и интегральных функционалов в каноническом виде - скалярном произведении. Для её эффективного решения требуется построение универсального для выбранного пространства воспроизводящего ядра.

Цель работы. Данная работа посвящена дальнейшему развитию метода нормальных сплайнов для линейных интегро-дифференциальных уравнений с произвольным вырождением главной части, а также задач на полу-

1 Горбунов В.К Редукция линейных интегральных уравнений с равномерной погрешностью в правой час!и //Ж вычисл матем и матем физ 1985 Т 25, 2 С. 210-223.

Горбунов В К Метод нормальной сплайн-коллокации // Ж вычисл матем и матем физ 1989 Т 29 № 2 С 212-224

оси, в частности, обращения преобразования Лапласа и краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка, и квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с произвольным вырождением главной части на промежутке интегрирования.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы математического и функционального анализа, теории обобщенных функций, некорректных задач, линейной алгебры, вычислительной математики и программирования.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Научная новизна диссертационной работы заключается в расширении области применимости нового численного метода (нормальных сплайнов) решения дифференциальных и интегральных уравнений, в особенности, вырожденных в различных смыслах, а также в совершенствовании алгоритмов реализации.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Получено воспроизводящее ядро для пространства И^3 [0, оо), что позволяет решать краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка на полубесконечном интервале методом НС без редукции промежутка интегрирования.

2. Получены канонические образы интегральных функционалов преобразования Лапласа, позволяющие применять метод НС для его обращения, в том числе в случае приближенно заданного изображения.

3. Для линейных интегро-дифференциальных уравнений предлагается развитие компактной схемы В.В. Петрищева численной реализации канонического преобразования интегральных функционалов для пространства УУ^а, Ь].

4. Получены формулы дифференцирования квадратичной нормы невязки по узлам сетки, позволяющие строить оптимальные сетки для жестких задач.

Кроме того, предложена схема последовательного построения сплайна на малых промежутках с малым числом узлов и схема метода НС для нелинейных задач на основе линеаризации Ньютона-Канторовича.

Все полученные теоретические и алгоритмические результаты реализованы в разработанном комплексе программ для решения'

1 линейных интегро-дифференциальных уравнений;

2. нелинейных дифференциальных уравнений;

3. дифференциальных уравнений второго порядка, в том числе на полубесконечном промежутке;

4. задачи численного обращения преобразования Лапласа с приближенно заданным образом

5 задач восстановления 1-й и 2-й производных приближенно заданной функции.

Решаемые дифференциальные и интегральные уравнения в п. 1-3 могут быть произвольно вырожденными.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для решения сингулярных интегральных и дифференциальных уравнений. Полученные результаты позволяют применять метод НС для новых классов задач, в том числе, не решаемых другими известными методами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях- VII конференции посвященной памяти А.Н.Тихонова "Обратные и некорректные задачи (Москва,МГУ, 2001), IV международной научно-технической конференции "Мат. Моделирование физических, экономических, технических систем и процессов"( Ульяновск, УлГУ, 2001), IV и VI Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Саранск, Морд.ГУ, 2002, 2004), Международной конференции по вычислительной пауке 1ССЭ 2003 (С-Пб., 2003).

Личный вклад. Формулировка и доказательство теоретических результатов, разработка алгоритмов и компьютерных программ, а также численные эксперименты выполнены соискателем самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 146 страниц состоит из введения, пяти глав, приложения и списка литературы из 84 наименований. Работа включает 11 рисунков и 16 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава, состоящая из пяти параграфов, носи т вводный характер и содержит обзор известных методов решения задач для интегральных и

дифференциальных уравнений. С целью выявления методологической новизны разрабатываемого метода в первом параграфе рассмотрены классические разностные и проекционные методы для решения регулярных задач. Второй, третий, четвертый и пятый параграфы посвящены сингулярным задачам и методам их решений.

Вторая глава посвящена изложению теории и вычислительной схемы метода НС, а также новых результатов, повышающих его эффективность и область применимости.

В первом параграфе рассмотрены пространства Соболева УУ}гп{а,Ь] и приведены основные факты теории соболевских пространств, которые требует метод НС, для обоснования построения алгоритмов решения вычислительных задач.

Пространством Соболева Н1[а, Ь] называется полное линейное пространство скалярных функций £(1). имеющих обобщенные производные порядка I интегрируемые с квадратом, с заданным скалярным произведением (£, т)) и соответствующей ему нормой ||£|| = (£, 0,|/2-

Для метода НС имеет значение конкретный вид нормы, определяющий систему координатных функций. В работе использовались нормы

6 \ ^

(1)

и=о {

1/2

¿8

(2)

Здесь приведены теоремы о вложении Н1[а, 6] С С'-1 [а, Ь] для норм (1) и (2), играющие ключевую роль для метода НС2. Согласно теореме Ф.Рисса любой линейный непрерывный функционал может быть представлен в виде скалярного произведения, соответствующего норме. Точечные функционалы

Ш)

<ик

е(«)еЯ'[о,Ь], к <1-1.

(3)

не являются скалярными произведениями в Н1[а,Ь]. Их преобразование к такой канонической форме лежит в основе метода НС.

Определим пространство п-векторных функций как декартову п-степень пространств Н1[а, Ь]

_Кк, ь] = (н1[а, 6])" . (4)

3 Данные теоремы доказаны научным руководителем Ъ К Горбуновым

Скалярное произведение в пространстве (4) будет

п

(х, y)i,n = У,)U, х, у £ wl2 n[a, 6] 2 = 1

и норма

и«,»= Eiwiu

1/2

кг=1

Для основной нормы (2) будет использоваться норма

Mi* - {Е

г=1

и)2 + (^w)2*

к=0 *

1/2

(5)

Во втором napaipacjje изложена общая схема метода НС. Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений

ь

A{t)x{t) + B{t)x(t) - J К (t, s) x (s) ds = f (t), a < t < 6, (6)

a

с условиями

Cx(a) + Dx(b) = g. (7)

Здесь x,f,g£ FU1, A(t), B(t), K(t, s),C, D - квадратные матрицы порядка n Функция f(t) и коэффициенты матриц A{t) и B(t) непрерывны, дифференцируемы достаточное число раз для обеспечения свойств решения х{£). уточняемых ниже. Метод НС допускает произвольное вырождение этих матриц. Этим охватывается проблема решения дифференциально-алгебраических систем любого индекса, а также не имеющих конечного индекса.

Система (6), (7) считается разрешимой в гильбертово-соболевском пространстве W2 n[a, 6] при I > 2, и если А = 0, то при I > 1 В случае неединственности (в вырожденных случаях) предположим, что все решения принадлежат также пространству W2n и линейный оператор, определяемый левой частью (б), ограничен в W2п- В этом случае задача имеет единственное нормальное решение в W2n, обозначаемое далее х°.

Метод НС основан на переходе от функциональных уравнений (6) к конечной системе равенств на некоторой сетке

a < h < h < ■■■ < tw < Ь,

(8)

о

А(1к)х(Ь) + ВЦк)х{Ц) - ! К{Ьк,8)х{з)йа = /(«*). к = 1^п. (9)

а

Метод нормальных сплайнов заключается в поиске решения системы (7), (9). доставляющего минимум норме (5). Это решение называется мор-мальиым сплайном и обозначается в дальнейшем ж"'.

Итак, мы перешли от исходной задачи (6), (7) к задаче

хт = Аг^тт^хИ^: (7), (9)}. (10)

Если А = 0, то условия (7) следует опустить. Известно что решение (10) сходится к решению исходной задачи при произвольном сгущении сетки

Левые части системы (7), (9) есть линейные непрерывные функционалы от г 6 И^ п Согласно теореме Ф Рисса такие функционалы могут быть представлены в виде скалярного произведения, соответствующего выбранной норме. Это значит, что существуют вектор-функции /гм(-) (ц = ц (г, к) — пк + г, г = 1, п, к = 0, тп), принадлежащие И^,,, (соответственно /),'' е Яг), позволяющие записать систему (9), (7) состоящую из N = (■01 +■ 1 )п уравнений, в каноническом виде

<Ь"> *>*,„ = /". Р = (П)

где

Ыг,к) _ I /•(**)>

I 5., = 1

к = 1, т; 0.

Согласно обобщенному методу Лагранжа нормальный сплайн представляется в виде

N

хт(з) = ^2и^(з). (12)

Коэффициенты представления нормального сплайна им определяются как решения системы линейных уравнений с матрицей Грама системы функционалов {Л1,..., Л^}

N п

=^ = = & = (13)

¡/=1

Как уже отмечалось, в вырожденных случаях задача (6), (7) может иметь множество решений Такая задача является некорректно поставленной и требует доопределения на основе дополнительной информации

Пусть известна некоторая пробная функция г, представляющая такую информацию. Эта функция может быть получена при упрощенном анализе проблемы или удовлетворять апприорным качественным свойствам (выпуклость, симметричность, и т.д.).

Поставим задачу

хт = Агдтт{\\х-г\\1п: (7), (9)}. (14)

Решение этой задачи называется г-нормальным. Оно обеспечивает аппроксимацию такого решения исходной задачи, которое наиболее близко по норме к пробной функции. При этом нормальный сплайн (12) представляется в виде

N

хт(з) = г + £«„/»" (в), (15)

и правая часть системы (13) будет

МШ _ ( /г (**) - г),к=1,тп, I Яг

(к", г), к = 0.

Здесь произведение (/г*1, г) можно вычислить с помощью некоторой квадратурной формулы.

Третий параграф посвящен каноническому преобразованию линейных непрерывных функционалов в Н1(а,Ь), т.е. нахождению функций позволяющих записать коллокационную систему в виде (11). Канонические образы этих функционалов определяются с помощью воспроизводящего ядра пространства, т.е. функции С(.в, £), которое в свою очередь определяется выбранной нормой. Для задачи (6) компоненты вектор функций № имеют вид

где

+ Ъг} (и) с (8, и) - Ц[1'к\з),

к = 1, т;

СуС^.О)+ 1), к = О, ]=Т~п,

о

кр*)(з) = I к11{1к,т)С{з,г)йт.

(16)

(17)

В соответствии с (16) и с учетом свойств воспроизводящего ядра, ком-

поненты элементов матрицы Грама в (13) имеют вид

1 < к < г < тп,

~ \ Ръ 0 = к <г Р2, 0 — к — Г,

где

Э^Сг^к í ) ро = а„^к)ад1{и)—г +

+ ар}\?к)Ьд1{и)——— + аЯ](гт)ЬР](гк)-

дь

ь

дв(8, ^ т

/дс(8 ^ \ р ^«(^г)5) ^ I кру^к, в)

а а

Ь Ъ

-ЪрА1к) J J крз{1к,8)С{з,и)<1з, (19)

/>1 = с.

То

(¿г)

дС{а,и)

дь

та

т

о

+ ЬЧ](гг)С(а, гг) - У в)С(а, в)^

а

ь

+ яэ

+

, (20)

Р2 = Ср}счзС{а, а) + + сЧ1<1Р])С(Ъ, а) + йрз<1ч:1С(Ь, 6), (21)

ь

а

Ь Ь

= У Jк9]{и,т)С{8,т)<1т<18. (22)

а а

В этом параграфе приведены воспроизводящие ядра пространств Я'[0,1], Я'[0, оо) для / = 1,2, полученные В.К. Горбуновым3, и для про-

3Горбунов В К Редукция линейных интегральных уравнений с равномерной погрешностью в правой части //Ж вычисл матем и матом физ 1985 Т 25, № 2 С 210-223

страпств Н1[0,1] с произвольным целым значением показателя дифференцирования I > 1, полученные В.В Пе1рищевым4, а также новое воспроизводящее ядро пространства Н1[0, оо) для I = 3.

Теорема 1. Воспроизводящее ядро пространства Я3[ 0, оо) с нормой (1) имеет вид

6

= 8<г, (23)

1—1

где с, определяются соотношениями -1

С1 (О

6еа;р(—£)'

1 . , - 2

с2(0 = ^егр ^л/Зяп ^^ - соз ^^

<*(() = ехр (-0 ^«п ^^ - \соз ^^ - \expi-t), ф) = ехр ^гп + ^со* ^^ +

-1 ( А-1Д к /-1Л (у/ъ.

у/Зехр I -

О>(0 = ^ехр сов ~ ^Зехр *J згп * уг соотношениями

(«) = ехр(в), у2(з) = егр(-8),

у3(в) = ехр со5 '

(в) = ехр мп '

2/5(в) = ехр сов >

2/6(я) = ехр ^^ зт | ■

4Горбунов В К Пп ритсн В В Рягтитие метола нормальной (плайн-коллокации для линейных дифференциальных уравнений // Ж вычисл матем и матем физ 2003 Т 43 № 8 С 1161 1170

Построение данного ядра позволяет решать дифференциальные уравнения второго порядка без сведения к системам первого порядка

Рассмотрена краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка на полубесконечном интервале

A(t)x(t) f B(t)x(t) + C(t)x(t) = f(t), 0<t<oo, (24)

при условиях

*(0) = 9, (25)

lim z(i) = 0. (26)

t-л 00

Здесь x, /, g € Rn, A(t), B(t), C(t) квадратные матрицы порядка п. которые могут произвольно вырождаться на промежутке интегрирования. Задача (24), (25), (26) считается разрешимой в пространстве WfjO, оо). Компоненты вектор-функций 1 <г < п, 0 <к < т определяются

следующим образом

hfhk\s) = <

d2G(s,tk) dG(s,tk) ,s

ач (**) —<^2-+ W-Qt— + W G (s< tk> ■

к = 1,т\ С(«,0), А; = 0.

(27)

В третьем параграфе также построены канонические образы инте1раль-пых функционалов преобразования Лапласа

оо

^(р) = I е-р1а(28) о

При этом преобразование представляется в виде пары вещественных интегральных уравнений 1-го рода 00

! е~аг С05{и)1)х(1)<и = РК(а,ш), (29)

о

00

J е^втММОЛ = -Р'{(Т,Ш). (30)

о

Интегралы уравнений (29) и (30) при некоторых фиксированных числах

а = ач > 0(9 = 1, п) и и> = и>}{] = 1, т)

00

J е~<7"* с.а$(и}{)х(Ь)<И, о

00

У е-"'4

(32)

являются линейными непрерывными функционалами в Н1[0, оо) от вещественной функции х(-).

Теорема 2. Канонические образы интегральных функционалов (31), (32) соответствующие точкам ач + (<тя > 0), в пространстве Я'[0, оо) имеют вид

= 7

= {а2 + ш2)2_21(0|_и?) + 1 М"? + 0я, - 1)е-Ч

+ [(1 -ог'1 + ш]) совЦв) 2ачш] ипЦ^] е~а"а] , (33)

КМ

1

({Г2 + ы2)2_2(<Т2_ш2) + 1

+ [(1 - ст2 + ш2) вш(ш3з) - 2сгчш] сов(ш7-в)] е-"«*] , (34) соответственно, и коэффициенты матрицы Грама, состоящей ш блоков

Г =

А ИЗ —

¡91 92

щ — ^ у , , этой системы функций определяются формулами

~ад{ар+\){а2ч+Ш2-\)

\Я2 93,

9\3 = КЮ =

1

+

| (ы]-** + !) [(<гр + <тч)3 + (ар + стч)(ш? + ш1)} | [(ар + <тя)2 + (ш, - [(а-р + ст9)2 + (ы, + а;,)2]

+

2 ф,[(ар + <тч)*+ы$-и}]

[{ар + <тя)2 + (щ, - ш})2] [{ар + <тд)2 + (ы, + ш3)2}

(35)

-2 =<л£Х> =

(<72+c2)2-2(a2-W2) + l

(ap+l)(al+^ + 1)

(ар + 1)2+ w?

+

(luj — <т2 + 1) ((ар + дяу + иf - и,?) [{ар + <т9)2 + (и>, - ujj)2] [((ТР + сг9)2 + (w, + и3)2} 2oq{ap + с7в)((сгр + а,)2 + w* + ы?)

[{ар + aqf + Ц - ljj)2] [(стр + а,,)2 + Ц +

+

, (36)

¿ = J

(а2 + с2)2-2(а2-а,2) + 1

<т2 + w2 + 1 (ар+1)2 + а;2 +

+2_(uj-a^ + l )(ор + <г,)

[(ffp + + Ц - ^)2] [(ар + <т?)2 + (а;, + а^)2] а, [(а-р + а,)2 + ш2 - а>2]

-2

[К + а,)2 + (ы, - w;)2] [(стр + а9)2 + Ц + w,)2]

(37)

Третья глава посвящена изложению алгоритмов, повышающих эффективность методов НС, а также распространению его на нелинейные задачи путем линеаризации.

В первом параграфе излагается компактная схема канонического преобразования интегральных функционалов. Из формул (16) (22) следует, что при отсутствии интегрального члена в (6) канонические образы (16) строятся точно. При наличии интеграла в общем случае требуется вычислять интегралы (17) и другие, в час1ности повторные интегралы в (22). Последняя операция является для метода НС наиболее трудоемкой

В работах В.В. Петрищева 5 была предложена экономичная схема канонического преобразования интегральных функционалов в W\x. Этого достаточно для интегральных уравнений. Здесь эта схема модифицируется для случая I — 2, что, необходимо для интегро-дифференциальных уравнений.

Во втором параграфе строятся неравномерные адаптивные сетки, позволяющие решать жесткие задачи Введем невязку уравнения (6) на функции хт:

1

<p(t) = A(t)xm{t) + B(t)xm{t) - J K(t, s)xm{s)ds - f(t). (38)

о

5 Петрищев В В Экономичная схема вычисления канонических образов интральных функциона лов меюда нормальных сплайнов // Уч Записки УлГУ Фундаментальные проблемы математики и механики Вып 2(7) 1999. С 37-43.

Имеет место следующая оценка (В.К. Горбупоп, 1990)

И1™ - *°|||,„ < С|И|((_1)1П. (39)

Оценка (39) открывает путь для построения оптимальных неравномерных сеток. Сходимость в норме влече'х равномерную сходимость, следовательно, в процессе реализации метода для повышения точности следует переходить к новым сеткам, минимизируя величину ||у||(;_1)п-

В узлах коллокации выполняются равенства = 0. В силу этого

минимизации нормы невязки можно добиваться простым и достаточно надежным эвристическим способом, добавляя узлы в области наибольших промежуточных (между узлами) значений </?(£). Сетку полученную по этому алгоритму будем называть сгущающейся с двумя параметрами: начальное количество узлов и количество узлов добавляемых на каждом гпаге

Другая стратегия оптимизации сеток с фиксированным числом узлов основана на минимизации величины Н^Ц;/-!) п, рассматриваемой как функция узлов при ох'раничениях (8). Обозначим

Ф1-1 (¿1, • • • , = ||<Р{8, Ь, ■ ■ - , «„,) ЦЬ • (40)

Индекс нормы 1—1 здесь означает, что нормальный сплайн хт € И/2' п[0,1].

Введем следующее

Определение 1. Сетка 1 < к < т., при условиях

0 < «1 < ... < < 1}, доставляющая минимум функции У'г-х (¿1,..., называется оптимальной.

В случае, когда система (б),(7) регулярна, гладкость функции ф;-1 определяется индексом производной I в норме и свойствами воспроизводящего ядра С(й, Последнее имеет непрерывные производные порядка до 21 — 2 Следовательно справедлива следующая

Теорема 3. Функция "¡/Ч-Х^Х) • • • > ¿т) дифференцируема, если

1 > 3.

Построены формулы дифференцирования квадрата нормы невязки по узлам сетки д-ф1-\/д1к. Здесь они опущены ввиду х-ромоздкости выражений.

При увеличение индекса I нахождение производных функции ф по становится трудоемким, поэтому целесообразно брать минимально возможный индекс, т.е. I = 3. Для упрощения поиска сетки близкой к оптимальной можно воспользоваться эвристическим методом минимизации нормы

невязки в ¿2, т.е. минимизировать функцию

1

О

где из (38). Сетку доставляющую минимум функции назовем квазиоптимальной.

В вырожденных случаях вопрос дифференциируемости функции гр по узлам остается открытым. Здесь можно использовать прямой метод (без вычисления производных) минимизации, например Хука-Дживса, снимая ограничения (8) методом штрафных функций

В третьем параграфе рассматриваются задачи Коши для дифференциального уравнения (6) (К = 0) при условии (7) (С = 1. Ю = 0) В этом случае, наиболее эффективным и простым методом построения сплайна является следующий метод последовательного построения на небольших подынтервалах с малым числом узлов (минимум два) сплайна. Эффективность достигается за счет уменьшения размера матрицы Грама, так как вычисление ее элементов и решение системы линейных уравнений наиболее трудоемкая часть алгоритма. Если интервал достаточно мал, то мы можем построить сплайн по двум крайним точкам на каждом шаге. Начальное значение на втором и последующих интервалах определяется как значение сплайна в конечной точке, построенного на предыдущем интервале. Правый узел ^ построенной последовательности на каждом шаге выбирается так, чтобы обеспечить необходимую точность решения. Если изменением узла 1к не удастся достичь заданной точности то будем добавлять коллокационные узлы внутри интервала [Ьк-хЛк] Д° достижения необходимой точности. Пусть бо допустимое значение некоторой локальной меры уклонения последовательно построенного сплайна от точного решения х°. Так как интегральная оценка (определенная так же как в (40)) уменьшается при Ьк —> то соответствующая локальная мера должна быть определена как среднеквадратическое значение невязки (38) на интервале [¿¡.-г,£*;]:

и) = ^JфUtk-ьtk)/(tk-tk-^). (41)

Это значение может быть получено с помощью некоторой квадратурной формулы.

В четвертом параграфе метод НС распространяется на нелинейные за-

дачи вида

A(t)x(t) = f(t,x(t)), 0 < i < 1, (42)

Сх{ 0) + Dx{ 1) = д. (43)

Напомним, что матрица A(t) может быть произвольно вырожденной. Задачу считаем разрешимой в пространстве W^JO, 1] с нормой (5)

Воспользуемся схемой Ньютона-Канторовича для линеаризации данной задачи. Пусть известно некоторое приближение xn(t) к решению. Будем искать следующее приближение хп+\(t) к решению как решение линейной задачи

A(t)x{t) - [t, xn{t)) x{t) = f(t, xn{t)) - У- (t, xn{t)) xn(t) (44)

при условиях (43).

Задачу (44), (43) на каждом шаге будем решать методом НС. Коллока-ционная система на сетке 0 < t\ < ti < ... < tm < 1, примет вид

Л / Г\ Г

A(tk)x{tk) - — {tk,xn(tk))x{tk) = f(tk,xn{tk)) - — [tk,xn{tk))xn(tk).

В качестве начального приближения xq(t) можно брать пробную функцию z(t).

В четвертой главе рассматриваются интегральные уравнения первого рода с погрешностью в правой части, в частности, задача аппроксимации производных таблично заданной функции и задача обращения преобразования Лапласа.

В первом параграфе рассмотрено общее интегральное уравнение первого рода

ь

J K{t, s)x(s)ds = f(t), с <t < d. (45)

a

Будем считать задачу разрешимой в Н1[а, Ь]. Обозначим нормальное решение этого уравнения х°.

Пусть задана поточечная оценка погрешности

\m-m\<s(t), (46)

где S(t) известная функция.

В работах В К. Горбунова показано, что устойчивая аппроксимация решения (45) в условиях (46) обеспечивается переходом к задаче минимизации функционала

1>(x) = \\x-z\\2, (47)

на множестве решений неравенства

ь

I кц,8)х(8)Л8-/(г)

Рассмотрим метод НС для полученной регуляризирующей задачи (47), (48). Перейдем от континуального неравенства (48) к конечной системе неравенств на некоторой сетке

а < к < ¿2 < ••• < <т < Ь,

о

I К(и, з)х{з)(1з - /(4*)

<6{Ь), к =--!,...,

(49)

(50)

В результате получим аппроксимирующую задачу, заключающуюся в минимизации функционала (47) на множестве решений системы неравенств (50).

ь

Канонические образы интегралов / з)х(з)с1з, стоящих в левой ча-

а

сти неравенств (50), обозначим Нк £ Н1. Тогда аппроксимирующая задача в канонической форме есть задача поиска точки минимума функционала (47) при условиях

(/гь я) - /к

< 6к, 1 < к < т.

(51)

Здесь /к = /(<*), 6к = ¿(и).

После раскрытия модулей система (51) переходит в систему линейных неравенств и данная задача становится задачей квадратичного программирования в гильбертовом пространстве. Ее решение представляется в виде

т

= г + ^<0, 1<з<т. (52)

«=1

Эта задача может быть решена с помощью алгоритма, построенного в работах В.К. Горбунова (1984).

Во втором параграфе рассматриваются задачи восстановления первой и второй производных таблично заданной функции. Данные задачи сводятся

к решению интегральных уравнений

т = т+1 гшз,

и

/(г) = /(*!) + (*+1 ГШз

ч

и к ним применяется метод НС.

В третьем параграфе приведена схема метода НС для численного обращения преобразования Лапласа (28) скалярной функции записанной в виде (29),(30), при точно заданном изображении и в условиях приближенно заданного изображения Ё(р) = Рк{а,ш) + 1Р1 (<7, и) с поточечной оценкой погрешности

где 5Й(а,ш),6г(а,ш) - известные функции.

В пятой главе приводятся результаты численного решения задач методом НС. При этом рассмотрены как тестовые (при точно известном решении), так и реальные задачи моделирования различных процессов в физике и химии.

Результаты решения жестких и дифференциально-алгебраических систем уравнений показывают применимость метода НС в универсальной форме к этим классам задач. Также здесь приведены результаты решения задач с переменным вырождением коэффициента при старшей производной и задач не имеющих конечного индекса дифференцирования, к которым неприменимы другие известные численные методы. Для задач с неединственным решением приведены аппроксимации различных решений. Кроме того, в этой главе представлены результаты решения некоторых интегральных уравнений, а именно, задач аппроксимации производных и обращения преобразования Лапласа, при приближенно заданной правой части.

В приложении приведено описание комплекса программ.

Выводы. Полученные в диссертации результаты расширяют область применимости метода нормальных сплайнов для решения дифференциальных и интегральных уравнений, в особенности, вырожденных в различных

смыслах, а также совершенствуют алгоритмы реализации и состоят в следующем.

1 В работе получено воспроизводящее ядро для пространства W23[0, оо), что позволяет решать краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка на полубесконсчном интервале методом НС без редукции промежутка интегрирования

2. Получены канонические образы интегральных функционалов преобразования Лапласа, позволяющие применять метод НС для его обращения, в том числе в случае приближенно заданного изображения.

3. Для линейных интегро-дифференциальных уравнений предлагается развитие компактной схемы Петрищева численной реализации канонического преобразования интегральных функционалов для пространства WlJa, Ь].

4. Получены формулы дифференцирования квадратичной нормы невязки по узлам сетки, позволяющие строить оптимальные сетки для жестких задач.

Кроме того, предложена схема последовательного построения сплайна на малых промежутках с малым числом узлов и схема метода НС для нелинейных задач на основе линеаризации Ньютона-Кангоровича.

Все полученные теоретические и алгоритмические результаты реализованы в разработанном комплексе iipoipaMM

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Свиридов В.Ю. Каноническое преобразование интегральных функционалов метода нормальных сплайнов в пространстве W\[0,1] // Ученые записки УлГУ. Сер. Фунд проблемы математики и механики Выпуск 1(10), Ульяновск. 2001. с.95-103.

2. Свиридов В.Ю. Оптимизация сеток нормальных сплайнов для интегро-дифференциальных уравнений // Труды СВМО Т.3-4. Саранск. 2002. с.236-245.

3. Gorbunov V.K., Petrischev V.V , Sviridov V Yu Development of the normal spline method for linear integro-differential equations P.Slot et al. (Eds.)- ICCS 2003, LNCS 2658, Springer-Veilag Berlin. 2003 pp. 492499.

4. B.K. Горбуном, В Ю. Свиридов. Метод нормальных сплайнов для численного обращения преобразования Лапласа // Труды СВМО, Саранск, Т.6. JV» 1. 2004. с.105-112.

5. V К Gorbunov, A.S. Gorobetz, V.Yu Sviridov The normal spline method for in singular linear ODEs of second order // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004, Новосибирск 2004. с. 164-170.

6. Свиридов В.Ю. Оптимизация сеток метода НС в задачах интегро-дифференциальных уравнений // Труды IV международной научно-технической конференции. Мат. Моделирование физических, экономических, технических систем и процессов. Ульяновск: УлГУ, 2001. с. 135.

7 Петрищев В.В., Свиридов В Ю Метод НС в вырожденных задачах интегро-дифференциальных уравнений // VII конференция посвященная памяти А.Н.Тихонова. Обратные и некорректные задачи М.: МГУ, 2001. с 67.

8. Горобец A.C., Петрищев В.В., Свиридов В.Ю. Опыт развития и реализации метода нормальных сплайнов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т8. Вып.2. Москва: ТВП, 2001. с. 576.

9. Горобец А С , Петрищев В В, Свиридов В Ю. Развитие метода нормальных сплайнов // Тезисы докладов международной научной конференции- Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели. Челябинск: Челябинский гос. Университет. 2002. с. 32.

10. Свиридов В Ю. Оптимизация сеток метода нормальных сплайнов // Труды все российской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", Екатеринбург, 2004. с. 63-64.

11. Горбунов В.К., Свиридов В.Ю. Метод нормальных сплайнов для обратного преобразования Лапласа // Труды всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", Екатеринбург, 2004. с 40.

Подписано в печать 3 05 05 Формат 60x84/16. Усл. печ л 1,0. Тираж 100 экз Заказ №41/2^2,

Отпечатано с оригинал-макета в лаборатории оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432970, г Ульяновск, ул Л Толстого, 42

PH Б Русский фонд

2006^4 4980

Введение

1 Сингулярные задачи дифференциальных и интегральных уравнений и методы их решений

1.1 Регулярные задачи и основные методы их решения.

1.2 Жесткие задачи дифференциальных уравнений.

1.3 Сингулярные задачи на [0, оо)

1.4 Дифференциально-алгебраические системы уравнений

1.4.1 Линейные задачи.

1.4.2 Нелинейные задачи.

1.5 Численное обращение преобразования Лапласа.

2 Метод нормальных сплайнов. Теоретические аспекты

2.1 Пространства Соболева [а, Ь].

2.2 Общая схема метода.

2.2.1 Задача о нормальном сплайне. Теоремы сходимости

2.2.2 Структура нормального сплайна.

2.3 Каноническое представление линейных непрерывных функционалов в Н1(а, Ь).

2.3.1 Воспроизводящее ядро оператора канонического преобразования

2.3.2 Воспроизводящие ядра пространств Н1[0,1].

2.3.3 Воспроизводящие ядра пространств Н1 [0, оо).

2.3.4 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка на полубесконечном промежутке.

2.3.5 Интегральные функционалы преобразования Лапласа

3 Метод нормальных сплайнов. Алгоритмические аспекты

3.1 Компактная схема канонического преобразования интегральных функционалов

3.2 Построение неравномерных адаптивных сеток.

3.3 Последовательный сплайн в задачах Коши.

3.4 Нелинейные вырожденные дифференциальные уравнения

4 Интегральные уравнения первого рода с погрешностью в правой части

4.1 Схема метода для регуляризирующей задачи.

4.2 Аппроксимация производных таблично заданной функции

4.3 Обращение преобразования Лапласа.

5 Вычислительный эксперимент

5.1 Жесткие линейные задачи.

5.2 Линейные уравнения второго порядка.

5.3 Тестовая задача HIRES.

5.4 Нелинейные ДАС.

5.5 Обращение преобразования Лапласа некоторых тестовых функций.

5.6 Аппроксимация производных некоторых физических характеристик

А Описание комплекса программ

Дифференциальные и интегральные уравнения являются основой математического моделирования процессов в различных областях техники и естествознания. К настоящему времени существует глубокая качественная теория таких уравнений [41, 55] и богатый арсенал численных методов приближенного решения начальных и краевых задач для регулярных уравнений [6, 60, 69]. К таковым относятся дифференциальные уравнения в нормальной форме Коши, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения второго рода.

Усложнение проблем, охватываемых математическим моделированием в последние десятилетия, привело к усложнению используемого математического аппарата. В различных областях появились модели процессов, представляемых различными классами нерегулярных уравнений, для которых существующие методы решения оказались неэффективными или неприменимыми. Это механические системы с голономными связями, электрические цепи и др. [70, 73].

В данной работе в основном рассматриваются системы линейных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) вида г

A{t)x'(t) + B{t)x(t) + J K(t, s)x(s)ds = f(t), (1) о где x,f,g G Rn, A(t), B(t), K(t,s) - квадратные n x n матрицы, верхний предел может быть бесконечным (Т = оо), а также квазилинейные дифференциальные уравнения

A(t)x'(t) = f(x,t). (2)

Отметим, что уравнение (1) включает в себя при A(t) = B(t) = 0 интегральные уравнения первого рода.

Известно, что сложность дифференциальных и интегральных уравнений определяется свойствами их "главных частей". В общем случае это матрица A(t), и если в (1) A(t) отсутствует (A(t) = 0), то главной частью является матрица B(t). Случай невырожденной (в алгебраическом смысле) главной части является регулярным. Здесь существует обратная матрица A-1(t) (или В-1(i)) и соответствующее дифференциальное или интегро-дифференциальное уравнение сводится к нормальной форме Ко-ши (разрешенной относительно производных x'(t)), и если A(t) = 0, то (1) является интегральным уравнением второго рода.

Уравнения (1) и (2) с вырожденной главной частью или уравнения с Т = оо называются сингулярными. Под вырожденными задачами понимаются системы с произвольным вырождением матрицы A(t) на всем промежутке интегрирования. В случае, когда матрица A(t) имеет нулевые строки, система (2) представляется в виде подсистемы дифференциальных уравнений и подсистемы конечных связей, называемых обычно алгебраическими уравнениями. Такие системы называют дифференциально-алгебраическими (ДАС).

Вырожденность в прикладных задачах может возникать при описании какого-то сложного явления. При использовании множества данных одни условия могут оказаться следствиями других. Однако, в сложных моделях иногда не удается выявить эти следствия, что ведет к вырождению задачи. Иногда при решении задач вырожденность вводят сознательно. Описывая параметры какой-либо системы, исследователи пользуются, как правило, экспериментальными данными. Избыточность этих данных используется для устранения погрешностей измерений, а наличие избыточности приводит к функциональной зависимости и вырождению.

Отдельный класс задач составляют жесткие системы уравнений [57, 70]. Характерным для всех жестких систем является поведение, при котором часть компонент изменяется медленно, а другая часть претерпевает либо быстрые начальные изменения, либо значительные изменения на некотором участке наблюдения (пограничном слое).

Другой достаточно сложной задачей является задача решения интегрального уравнения первого рода ъ

J K(t, s)x(s)ds = f(t) a в условиях приближенно заданной правой части /. Данная задача является некорректно поставленной [67] и классические методы для ее решения, как правило, неприменимы. В этом случае задача требует регуляризации. К этому классу относится, в частности, задача обращения преобразования Лапласа оо

F(p) = J e-pix{t)dt о в условиях приближенного задания изображения F(p).

Существует множество методов численного решения линейных интегральных и дифференциальных уравнений. Однако, большинство методов предназначены для решения регулярных (корректно поставленных задач) [6, 19, 60, 69].

Современное состояние проблемы численного решения сингулярных дифференциальных и интегральных уравнений достаточно полно отражено в монографии Э.Хайрера и Г.Ваннера [70], в докторских диссертациях М.В.Булатова [16], Г.Ю.Куликова [50], В.Ф.Чистякова[72], защищенных в 2002 году, а также в работах [12, 13, 15, 34, 36, 57, 73, 70, 76]. Увеличившиеся в последнее время количество работ [5, 14, 15, 49, 58], посвященных данной проблеме, говорит об ее актуальности.

Сложность решения сингулярных дифференциальных уравнений определяется принципиальной возможностью их сведения к нормальной форме Коши путем дифференцирования и конечных преобразований. Наименьшее число таких дифференцирований называется "индексом дифференцирования" (differentiation index) системы. В наиболее сложных случаях система может не иметь конечного индекса, т.е. не сводиться к нормальной форме. Простейший пример - уравнение tx'(t)-\-x(t) = f(t) на промежутке, содержащем t = 0. Действительно, при любом количестве к дифференцирований этого уравнения будет оставаться терм tx^k\t).

В зарубежной и отечественной литературе представлены в основном адаптированные классические разностные и эквивалентные им коллокаци-онные методы решения ДАС невысоких индексов (до 3-х) [70]. Большинство подходов к структурированным задачам высоких индексов основано на понижении индекса системы путем её дифференцирования и конечных преобразований. При этом в литературе общие методы определения и понижения индекса известны лишь для линейных ДАС (Ю.Е. Бояринцев и его школа: В. Чистяков, М. Булатов и др.). Они основаны на сложной алгебраической технике и ранговых критериях, которые трудно проверять в условиях приближенных данных. Также отметим метод продолжения решения по параметру (В. Шалашилин, Е. Кузнецов и др.) [73], который в сложных случаях также ограничен трудно проверяемыми алгебраическими условиями.

Для неструктурированных нелинейных систем высоких индексов в зарубежной литературе (S.Campbell) [74] предлагается переходить к продолженным системам и применять к ним метод наименьших квадратов для разрешения относительно производных искомых функций. Применение этого метода в сложных случаях затруднительно из-за отсутствия универсальных способов определения индекса и численной неустойчивости операции дифференцирования.

Для сингулярных задач с переменным вырождением главной части, несводимых к нормальной форме, упомянутые численные методы, как правило, не применимы. Соответствующие задачи являются существенно некорректными и требуют неклассической (тихоновской) регуляризации, т.е. переформулировки исходной задачи на основе дополнительной информации о решении и, возможно, о погрешности исходных данных.

В работах Горбунова В.К. [24, 25, 26] в середине 80-х годов был построен вариационный метод нормальной сплайн-коллокации (нормальных сплайнов, далее НС) для линейных интегральных уравнений первого рода, а также для начальных и краевых задач линейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений.

Новизна этого вариационного метода в том, что он направлен на подавление невязки решаемой системы и, в отличие от традиционных разностных и проекционных методов, он применим в универсальной схеме к системам ОДУ и ИДУ с произвольным вырождением главной части. Также он не накладывает специальных условий на выбор коллокационных узлов, кроме их сгущения. Другим преимуществом метода НС является то, что он легко адаптируется для решения регуляризующих задач в случае некорректности исходной задачи (неединственности и/или неустойчивости решения). В этом случае задача должна быть регуляризована, т.е. доопределена до корректной аппроксимирующей задачи на основе дополнительной информации об искомом решении.

Метод НС относится к численным методам проекционного класса. Он заключается в выборе подходящего гильбертово-соболевского пространства W^Ja, 6], переходе от функциональных уравнений к конечной коллокаци-онной системе и минимизации нормы на множестве решений конечной системы. Элемент минимальной нормы называется нормальным сплайном. В отличие от традиционных проекционных методов, в частности, известного метода сплайн-коллокации [35], в методе НС координатная система не вводится априорно, а строится автоматически. Она определяется нормой выбранного пространства, а также коэффициентами уравнения.

Выбор подходящего пространства означает, что значения координатных компонент решения в точках коллокационной сетки можно считать в данном пространстве линейными непрерывными функционалами. Эти функционалы в соответствии с теоремой Ф. Рисса [68] могут быть приведены к каноническому виду. Такое преобразование выполняется с помощью воспроизводящего ядра интегрального преобразования функций в соответствующем функциональном пространстве [4]. Таким образом, ключевой проблемой метода является, построение универсального для выбранного пространства воспроизводящего ядра.

В работах [24, 25, 26, 27] были рассмотрены задачи ИУ и ИДУ в пространствах W^a, 6) и И7!(а, 6), в частности, на неограниченных промежутках [0, оо) и (—оо, оо). Далее метод НС развивался под руководством В.К. Горбунова В.В. Петрищевым. Им был получен общий вид воспроизводящего ядра пространств функций на конечном промежутке Wl[a,b], позволяющий решать задачи в пространствах с произвольным показателем дифференцирования I [31], а также ряд алгоритмов, ускоряющих процесс решения методом НС для некоторых классов задач, в частности, им была предложена компактная схема численной реализации канонического преобразования интегрального функционала в пространстве b] для интегральных уравнений [56].

Диссертация посвящена дальнейшему развитию метода НС. В первой главе изложено современное состояние относительно численных методов решения рассматриваемых классов задач.

Вторая, третья, четвертая и пятая главы посвящены изложению метода НС и содержат, наряду с полученными ранее В.К. Горбуновым и В.В. Петрищевым, следующие новые результаты.

• Получено воспроизводящее ядро для пространства И^О, оо), что позволяет решать краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка на полубесконечном интервале методом НС без редукции промежутка интегрирования.

• Получены канонические образы интегральных функционалов, позволяющие применять метод НС для решения задачи обращения преобразования Лапласа, в том числе в случае приближенно заданного изображения.

• Для линейных интегро-дифференциальных уравнений предлагается развитие компактной схемы численной реализации канонического преобразования интегральных функционалов для пространства W^Ja,

• Получены формулы дифференцирования квадратичной нормы невязки по узлам сетки и достаточные условия их применимости.

Кроме того, предложена схема последовательного построения сплайна на малых промежутках с малым числом узлов и схема метода НС для нелинейных задач на основе линеаризации Ньютона-Канторовича.

Все полученные теоретические и алгоритмические результаты реализованы в разработанном комплексе программ для решения:

• линейных интегро-дифференциальных уравнений (NSLinearlDE);

• нелинейных дифференциальных уравнений (NSNonLinearDE);

• дифференциальных уравнений второго порядка, в том числе на полубесконечном промежутке (NSLinearDE2);

• задачи численного обращения преобразования Лапласа с приближенно заданным образом (NSInvLaplace);

• задач восстановления 1-й и 2-й производных приближенно заданной функции (NSDerivatives).

Выносимые на защиту результаты опубликованы в работах [32, 62, 63, 78, 81]. Ф

1. Абрамов А.А. О граничных условиях в особой точке для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. № 1. С.275-278.

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1973.

3. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 7. С.1030-1044.

4. Ароншайн Н. Теория воспроизводящих ядер // Сб."Математика". 1963. Т.7. Вып.2. С.67-130.

5. Балакина Е.А., Кузнецов Е.Б. Решение систем дифференциально-алгебраических уравнений высоких индексов. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. № 2 С.199-206.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.К., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Мир, 1988.

7. Белман Р., Кал аба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.

8. Берман JI.C. Емкостные методы исследования полупроводников. М.: Наука, 1972.

9. Берман JI.С., Лебедев А. А. Емкостная спектроскопия глубоких центров в полупроводниках. Л.: Наука, 1981.

10. Биргер Е.С. Об оценке погрешности замены условия ограниченности решения линейного дифференциального уравнения на бесконечном интервале // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. № 3. С.674-678.

11. Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Ред. Бояринцев Ю.Е. Новосибирск: Наука, 1982.

12. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

13. Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А., Логинов А.А., Чистяков В.Ф. Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, 1989.

14. Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы. Новосибирск: Наука, 2000.

15. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 4. С.459-470.

16. Булатов М.В. Методы решения дифференциально-алгебраических и вырожденных интегральных систем. Дисс. д.ф.-м.н. Иркутск, 2002.

17. Булярский С.В., Грушко Н.С. Генерационно-рекомбинационные процессы в активных элементах. М.: изд-во Московского ун-та, 1995.

18. Василенко В.А. Сплайн-функции: Теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, 1983.

19. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986.

20. Вершинин В.В., Павлов Н.Н. Сплайны в выпуклом множестве и проблема численного дифференцирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 4. С.621-625.

21. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

22. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

23. Горбунов В.К. Метод параметризации задач оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т.19. № 2. С.292-303.

24. Горбунов В.К. Методы редукции неустойчивых вычислительных задач. Фрунзе: Илим, 1984.

25. Горбунов В.К. Редукция линейных интегральных уравнений с равномерной погрешностью в правой части // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25, № 2. С. 210-223.

26. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. № 2. С.212-224.

27. Горбунов В.К. Экстремальные задачи обработки результатов измерений. Фрунзе: Илим, 1990.

28. Горбунов В.К., Кохановский И.И. Итеративная регуляризация на основе сингулярного анализа // Вестник Моск. ун-та. Сер.15. (ВМК). 1995. № 1. С.17-20.

29. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Развитие и опыт применения метода параметризации в вырожденных задачах динамической оптимизации // Известия РАН: теория и системы управления. 2004. № 5 С. 67-84.

30. Горбунов В.К., Петрищев В.В. Метод нормальных сплайнов в вырожденных системах дифференциальных уравнений // Учёные записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механи-ки"Вып. 3. Ульяновск, 1997. С. 125-132.

31. Горбунов В.К. Петрищев В.В. Развитие метода нормальной сплайн-коллокации для линейных дифференциальных уравнений. // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 8. С.1161-1170.

32. Горбунов В.К., Свиридов В.Ю. Метод нормальных сплайнов для численного обращения преобразования Лапласа // Труды СВМО, Саранск, Т.б. № 1. 2004. С. 105-112.

33. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

34. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

35. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

36. Задорин А.И. Численное решение уравнения с малым параметром на бесконечном интервале // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 10. С.1671-1682.

37. Иванов Н.М., Музыченко В.П. Экономичный вариант численного обратного преобразования Лапласа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1983. Т. 23. № 4. С.992-994.

38. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

39. Канторович JI.В. Об одном новом методе приближенного решения уравнений в частных производных // ДАН СССР. 1934. Т.2. № 8-9. С. 532-536.

40. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

41. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

42. Конюхова Н.Б. К решению краевых задач на бесконечном интервале для некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особеностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т.10. № 5. С.1151-1163.

43. Конюхова Н.Б. Об итеративном решении нелинейных краевых задач, выделяющих малые решения некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особеностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14. № 5 С.1221-1231.

44. Кохановский И.И. Нормальные сплайны в вычислительной томографии // Автометрия. 1995. К0- 2. С.84-89.

45. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974.

46. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Решения дифференциально-алгебраических уравнений с выбором наилучшего аргумента // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т.37. № 6 С.711-722.

47. Куликов Г.Ю. О численном решении автономной задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переменные // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т.ЗЗ. № 4 С. 522-540.

48. Куликов Г.Ю. Численное решение задачи Коши для систем дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Ругне-Кутты с нетривиальным предиктором // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 1998.Т.38. № 1. С.68-84.

49. Куликов Г.Ю. Об использовании итерационных методов ньютоновского типа для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. №.8. С.1180-1189.

50. Куликов Г.Ю. Численные методы с контролем глобальной ошибки для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. Дисс. . д.ф.-м.н. Ульяновск, 2002.

51. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975.

52. Лутошкин И.В. Метод параметризации и его использование в вырожденных задачах. Дисс. кан. физ.- мат.наук, (Ульяновск, УлГУ, 2000).

53. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

54. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления неограниченных операторов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. ДО 3. С.545-556.

55. Понтрягин Л.С. Обыкновенный дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1983.

56. Петрищев В.В. Экономичная схема вычисления канонических образов интегральных функционалов метода нормальных сплайнов // Уч. Записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып. 2(7). 1999. С.37-43.

57. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

58. Рафатов И.Р., Скляр С.Н. Разностные схемы для сингулярно возмущенных краевых задач, возникающих при решении эллиптических уравнений со свойством сферической симметрии Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т.42. № 9 С. 1383-1393.

59. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

60. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

61. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной М.: Наука, 1979.

62. Свиридов В.Ю. Каноническое преобразование интегральных функционалов метода нормальных сплайнов в пространстве 0,1] // Ученые записки УлГУ. Сер. Фунд проблемы математики и механики. Выпуск 1(10). Ульяновск, 2001. С.95-103.

63. Свиридов В.Ю. Оптимизация сеток нормальных сплайнов для интегро-дифференциальных уравнений // Труды СВМО, Саранск, Т.3-4. 2002. С.236-245.

64. Соболев C.J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

65. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.:Наука, 1976.

66. Тарасов Р.П. Вычисление функций в алгебре треугольных теплицевых матриц и численное обращение преобразования Лапласа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.30. № 12 С. 1827-1833.

67. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

68. Треиогин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

69. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1999.

70. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений II. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.

71. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

72. Чистяков В.Ф. Системы интегро-дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной главной частью. Дисс. . д.ф.-м.н. Иркутск, 2002.

73. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

74. Campbell S. Numerical methods for unstructured higher index DAEs// Annals of Numerical Mathematics. 1994. № 1. P. 265-277.

75. Gear C.W. Differential-algebraic equations index transformations // SIAM.J.Sci.Stat. Comput. 1988. V. 9. № 1. P. 39-47.

76. Gear C.W., Petzold L.R. ODE methods for the solution of differential/algebraic systems // SIAM. J.Numer. Anal. 1984. V. 21. № 4. P.716-728.

77. Gorbunov V.K. Regularization of degenerate equations and inequalities under explicit data parameterization // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2001. V.9. № 6. P. 575-594.

78. Gorbunov V.K., Gorobetz A.S., Sviridov V.Yu. The normal spline method in singular linear ODEs of second order // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Новосибирск. 2004. С.164-170.

79. Gorbunov V.K., Kohanovsky I.I., Makedonsky K.S. Normal splines in reconstruction of multi-dimensional dependencies // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Новосибирск. 2004. С.170-176.

80. Gorbunov V, Lutoshkin I. The parameterization method in singular differential-algebraic equations // Computational Science- ICCS 2003 / P. Slot et al. (Eds.). LNCS 2658. Springer, 2003. P. 483-491.

81. Gorbunov V.K., Petrischev V.V., Sviridov V.Yu. Development of the normal spline method for linear integro-differential equations. P.Slot et al. (Eds.): ICCS 2003, LNCS 2658, Springer-Verlag, Berlin, 2003. P. 492-499.

82. Jiang Y.-L, Wing O. A note on convergence condition of waveform relaxation algorithm for nonlinear differential-algebraic equations // Applied Numerical Mathematics. 2001. V.36. P.281-297.

83. J.J.B. de Swart and W.M. Lioen. Collecting real-life problems to test solvers for implicit differential equations // CWI Quarterly. № 11. Vol.1. 1998. P. 83-100.

84. Marz R. On correctness and numerical treatment of boundary values problems in differential-algebraic equations // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1986. Т. 26. № 1. С.50-64.