автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Сингулярные интегральные уравнения в моделировании и численном решении задач математической физики и теории упругости

ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н.Е, ЖУКОВСКОГО

На правах рукописи

ХУБЕЖТЫ ШАЛВА СОЛОМОНОВИЧ

УДК 519.642.7

Сингулярные интегральные уравнения в моделировании и численном решении задач математической физики и теории упру! ости

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва. 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа СевероОсетинского государственного университета имени К.Л. Хетагурова и в отделе математического моделирования института прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук.

профессор Д.Г. САНИКИДЗЕ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор А.Ф. МАТВЕЕВ, доктор физико-математических наук, профессор В.М. АЛЕКСАНДРОВ,' доктор физико-математических наук, профессор И.В.БОЙКОВ.

Ведущая организация: Орловский государственный университет.

Защита состоится 29 сентября 2005 года в 14 часов на заседании диссертационного со кет Д 215.001.01 Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского по адресу: 125190, г.Москва, ул. Планетная, д.З.

С диссертацией -можно ознакомиться в библиотеке Военно-воздушной инженерной академии имени профессора Н.Е. Жуковского.

Авюреферат разослан 16 августа 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук У А. С. Ненашев.

В автореферате пронумеровано 32 стр.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время теория сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши находит широкое приложение в математических и технических исследованиях. Широко известным приложениям интеграла тина Коши и сингулярных интегральных уравнений посвящены монографии Н. И. Мусхелишвили, И. Н. Векуа, С. Г. Михлина, Н. П. Векуа. В. Д. Купрадзе, Ф. Д. Гахова, 3. ТТресдорфа, А. И. Каландия и др.

Важность «доведения до числа» решения сингулярных интегральных уравнений не раз подчеркивали известные математики как, например, Н. И. Мусхелишвили, М. А. Лаврентьев, С. Г. Михлин, X. Мультон. В первые десятилетия прошлого века они сами проложили путь таким исследованиям своими известными работами. Несмотря на то, что начиная с 50-х годов появились многочисленные работ ы в области приближенного вычисления сингулярных интегралов и теоретического обоснования численных методов решения сингулярных интегральных уравнений, соответствующая проблематика до сих остается актуальной.

К числу первых публикаций отмеченного периода следовало бы упомянуть работы Г. Н. Пыхтеева и В. В. Иванова и рядом их последователей. С точки зрения дальнейшего развития и важности приложений численных методов решения сингулярных интегральных уравнений особо следует отметить работы С. М. Белоцерковского но аэродинамике, послужившие основой создания существенно нового, хорошо известного в настоящее время метода численного решения сингулярных интегральных уравнений - метода дискретных особенностей. Позже этот метод был существенно развит самим С. М. Белоцерков-ским и И. К. Лифановым, А. Ф. Матвеевым, Ю. В. Ганделем, а также их многочисленными учениками.

Из работ других авторов, посвященных приближенному вычислению сингулярных интегралов и решению интегральных уравнений, содержащих такие интегралы, следует отметить работы И. В. Войкова, Б. Г. Габдулхаева, А. В. Джишкариани, Д. Эллиота, В. А. Золотарев-ского, Б. И. Мусаева, Д. Г. Саникидзе, В. Н. Сейчука, Н. Я. Тихонен-ко, М. А. Шешко и ряда их учеников. Несомненно, этот перечень не являегся полным и его можно было бы продолжить. Подробную библиографию по этим вопросам можно найти в специальных обзорных работах В. В. Иванова, Б. Г. Габдулхаева, а также монографиях В.В. Иванова, Б. Г. Габдулхаева, С. М. Белоцерковского, И. К. Лифанова.

Особо следуст отметать результаты грузинской математичм ¡.ой школы, в частности, А. В. Джишкариани, Д. Г Сапикидзе, М. Д. Куб-лашвили. М. Г. Мирианатпвили, К. Р. Нинидзе и др., которые ж следуют вопросы приближенного вычисления сингулярных инкч ра-лов, интегралов типа Копти и численного решения сингулярных интегральных уравнений в случае произвольных замкнутых и ш мг> «■ мкнутых контуров интегрирования. Кроме того ими построены вычислительные схемы высокой точности по методу, близкому к концепции хорошо известного метода дискретных особенностей. В частности, повышение точности типа классических схем дискретных особенностей осуществляется в случае замкнутых ляпуновских контуров применением и обоснованием квадратурных формул типа трапеций. В этом направлении существенным является фактор асимптот ичсско-го равенства всех коэффициентов таких формул. Более точные формулы замкнутого или открытого типа этим свойством не обладают. Тем самым, вопрос возможности достижения точности ботее вько кий, чем 0(1пп/п2) (осуществляемой применением формул типа трапеций), оставался открытым. В связи с этим впервые в |12 13| был рассмотрен вопрос об использовании квадратурных формул с вщ'ш-ними (равноотстоящий) узлами, на основании чего была обоснована схема типа дискретных особенностей с указанием порядка точности приближения.

Применение метода аппроксимации сингулярных интегралов 1! различных граничных задачах способствует, на наш взгляд, возможности более эффективному моделированию ряда классов прикладных задач, приводящихся к граничным интегральным уравнениям. Дело в том, что приведение такого рода задач к уравнениям, содержащим интегралы с сингулярным ядром Коши, допускает часто значительное ослабление требований к исходным предположениям, что с дру гой стороны, расширяет класс решаемых задач, дает большую свободу в выборе схем моделирования задачи. Во многих случаях исходные данные могут быть заданы в табличном или графическом виде, чго весьма важно в практических инженерных расчетах. К числу примеров эффективного использования методов аппроксимации сингулярных интегралов относится построение пакета прикладных программ ¡3|, где были даны довольно удобные схемы для приближенного определения напряжений и смещений в первой и второй основных задач плоской теории упругости. Однако, значения упомянутых величин но данному в |3| подходу могут быть вычислены с удовлетворите.!ыюй

точностью лишь вдали от границы, а при произвольном приближении рассматриваемых гачек границы точность указанных формул оказывается незначительным. В работах [17, 19] рассматриваются и обосновываются формулы для приближенного вычисления напряжений и смещений, гарантирующие достаточно хорошее приближение равномерно по всей области вплоть до границы. Эти формулы представля-Ю1 .значи тельное уточнение полученных ранее формул Д. Г. Саникид-к'иК. Р. Нинидзе.

Восполнению ряда таких и аналогичных пробелов посвящены отдельные разделы диссертационной работы. К этому, в частност и, следовало бы отнести построение схем высокой точности для сингулярных интегральных уравнений задач теории рассеяния и теории трещин. По-видимому в диссертации проделаны также определенные шаги в направлении эффективной оценки погрешности приближенного решения сингулярных интегральных уравнений в случае достаточно общего класса контуров интегрирования.

На основе вышеуказанного можно сказать, что задачи о построении квадратурных формул высокой точности и их применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений по сей день весьма актуальны. Несмотря на общие результаты по этим проблемам остались нерешенными многие вопросы. Как отметили выше, решению некоторых этих задач и посвящается данная /щссертационная работа.

Цель работы. Разработка и конструирование вычислительных схем для сингулярных интегралов с ядром Коши, нацеленных на возможно более удобное их применение для численного решения интегральных уравнений, в той или иной степени связанных с конкретными приложениями. Рассматриваются произвольные (в основном гладкие) замкнутые или разомкнутые контуры интегрирования. В связи с этим отметим, что при отображении общих контуров на более простые контуры (например на окружность) возникают известные трудности как теоретического, так и практического характера.

Методы исследования. Проводимые исследования можно условно разбить на ряд этапов: постановка задачи, аппроксимация сингулярных интегралов и интегралов типа Коши, в том число с полиномиально-рациональной аппроксимацией плотности и по модифицированной схеме метода дискретных особенностей, построение вычислительных схем для решения рассматриваемых уравнений, создание программного обеспечения для реализации полученных схем на

компьютере, приложения и анализ полученных численных pesy im » тов.

В работе на;; диссертацией использовались теория сит улирных интегральных уравнений в классе Гельдероных функций и меыды их аппроксимации, общая теория приближенных методов и теория функций действительного и комплексного переменного.

Научная новизна. Построены квадратурные формулы для t. регулярных интегралов типа метода дискретных особенностей с наге-ред заданными узлами, а также формулы типа интерполяционных квадратурных формул. При разомкнутых контурах инто рирования исследовано поведение остаточного члена вблизи концов кон ¡ура интегрирования. Получены равномерные оценки для сингулярных one раторов с весами Якоби. Построены вычислительные схемы повышенной точности с обоснованием к численному решению граничных ?адач а также для уравнения типа Лиимана - Швингера. Найдены оцеп;-,и погрешности отклонений в равномерной и ге чьдеровой метриках

Теоретическая и практическая ценность. Полученные квадратурные формулы для сингулярных интегралов могут быть прим<-нены при решении весьма широкого класса прикладных задач математической физики, гидро и аэродинамики.

Некоторые результаты диссертации используются при чтении спецкурсов и выполнении дипломных и курсовых работ на старших курсах Северо-Осетинского государственного университета. Кроме того некоторые из упомянутых результатов были использованы при выполнении диссертационных работ по математике в Институт' вычислительной математики им. Н. И. Мусхелишвили АН Грузии, а также других научных учреждениях. Участием диссертанта но чада нию Государственного комитета но науке и технике СССР бьы создав пакет прикладных программ «НОФИМА» по решению граничных -а-дач и сингулярных интегральных уравнений.

Апробация работы. Результаты работы систематически докладывались на научном семинаре отдела вычислительных методов анализа Института вычислительной математики им. Н. И. Мусхелишвили АН Грузии, доложены на IX, X и XI международных симпозиумах «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» - МДОЗМФ-2000, МД03МФ-2001, МД()ЗМФ-2003, на городском семинаре в г.Одесса, на семинарах Института прикладной матемал ики и информатики Владикавказского научного центра, на иююв'/х на учных конференциях и на семинаре кафедры матемачическо] о аналл-

ул Секеро-Осетинского государственного университета. Ее резулыаты были доложены также на семинарах Военно-воздушной инженерной академии им. Н. Е. Жуковского, Института проблем механики РАН и Орловского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах |1 -21].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. В ней имеются 29 иараграфон. Последний параграф из них посвящается вычислительным программам и результатам расчетов на ЭВМ. Имеются 10 рисунков. Список литератур]л состоит из 222 названий. Объем работы за исключением списка литературы, программ и результатов эксперимента занимает 231 страниц компьютерного текста.

Во введении дано краткое содержание диссертации. Обосновывается актуальность темы, дается перечень авторов известных работ в рассматриваемом направлении, затронуты некоторые аспекты схь стояния проблемы и кратко излагается содержание работы. Вводятся определения основных понятий и список основных утверждений, используемых в дальнейших рассуждениях.

В первой главе, состоящей из 8 параграфов, изложены математические модели известных задач, приводящие к сингулярным, или т. н. обобщенным сингулярным интегральным уравнениям. Здесь, в частности, рассматриваются задачи теории гармонических функций, основные задачи плоской теории упругости, задача рассеяния квантовой теории поля, задачи теории трещин и некоторые родственные с ними задачи.

Вторая глава, состоящая из 7 параграфов, посвящена построению и опенке погрешности конкретных квадратурных формул для сингулярных интегралов (в смысле главного значения) вида

где Ь произвольный замкнутый или разомкнутый гладкий контур, а - заданная на нем функция, удовлетворяющая условию Гель-дера.

Содержание диссертации

(1)

I

В параграфе 2.1 приводятся некоторые основные определения, классы функций, а также некоторые известные результаты, имек игге применение в дальнейшем.

В параграфе 2.2 рассматриваются квадратурные формулы ( наперед заданными узлами. Подобные формулы для регулярных ипгс гралов впервые были построены выдающимся русским маюматиком 19-го столетия А. А. Марковым и в общем случае они имеют вид

^ п m

/ p(x)f(x)dx « Y1 Akf(*k) + Y, *'/(««). Я)

l fc=l 1=1

где ui,«a! • • -,«m заранее заданные узлы, не зависящие от п В диссертационной работе построены такого типа формулы в сл v чае ра ¡-личных весовых функций р{х) для сингулярного интеграла

1

t-x

lï^Ldt, x £ (-1; 1), p,q > -t,

когда заранее заданными узлами являются 0[ = — 1, «2 — 2 (т с-, т 2). Эти формулы имеют вид

где

I

I у (1 _ t)P{1 + trf&dt « x) =-

-1

П t=i

л(х) = i /(1 -W + -1

-î

A,M - i /(1 - «)»(. + <)',, "L'^'t'-T-, .

(3,i

л

{к — 1.2.....n.p.q > -1). л{х) = (x - ai)(x - a2) П (-т ~ xk)- где

_ *=i

3-k (k = 1. n) — корни многочлена Якоби.

Аналогичные формулы построены и для случая ai — —1 (т — 1) и О] — 1 (ш — 1).

Для различных значений р и q исследуются соответствующие конкретные квадратурные формулы. Показано, что для функций -fit) класса Нг(а) имеющих производные до r-го порядка, причем f(r\t) принадлежи] классу Гельдера Н(а), для погрешности справедлива оценка

¡^^^^-^^H^^i-O^Jl^rrr) (0 <ß<l). (4)

В парах рафе 2.3 продолжается изучение ряда других суем аппроксимаций для ин-тиралов ука ;<ш>1:л о ылж- вида.

Известно, что прир - q — несмотря на неограниченноегь соответствующей весовой функции вблизи концов предельные значе ния lim ? ~ х) существуют и конечны, ее 1И ^ удовлетворяет

х—±1

условию Гельдера с показателем > ^. В этом случае построены квад-

[_ 1 _ i j

ратурные суммы Sn 2 5 {'-f'- х), которые ограничены вблизи концов ±1 и, тем самым, разность S^pq\^:x) - S^'q\^:x) ограничена равномерно относительно т G [-1:1] вплоть до концов. При других неположительных значениях p,q (отличных от — предельные значения 5(р<<?)(^. (при х —> с = ±1) не оказываются конечными, если <р(с) не равно нулю. Тем не менее, если возможно построение аппроксимирующих квадратурных выражений так, что соответствующий остаточный член имеет смысл при любом х € [—1;1]. то может быть поставлен вопрос о равномерной на всем отрезке [—1:1] оценке аппроксимации погрешности, что и осуществляется в диссертационной работе. Справедлива

Теорема 1. Если функция € Нт{а) (г > 1,0 < л < 1), то для остаточного члена

г(р.я)( „х) _ ( S{p'q)(<p--x) - SiP'q\V;x), хп<х< хъ п хе (-LXniUfXbl)

при любых р. q € (—1; 0) справедлива оценка

max \r^,q\ip\x)\ = < К . 2\7 2\ (6)

где ^ = тах(р,д), ¡3 € (—1), хх.х2.....хп — корни соответствующего многочлена Якоби.

При р = я — —\ справедлива

Теорема 2. Если функция ¿{1) е Яг(а) (г > 0. | < а < 1), тогда имеет место оценка

- = (с1+с21пп)пГ+^1/2, (7)

выполняющаяся равномерно относительно х е [— 1:1]. сьсг — некоторые константы, не зависящие отпиг

В параграфе 2.4 рассматривается так называемый модифицированный метод дискретных выхрей приближенного вычисления сингулярных интегралов в случае замкнутых контуров общего вида. В частности для построения таких формул использован метод введения

внешних узлов. Конкретно строится формула вида

п_|

— / --М % + У са{р)——--—-, (В)

тгг 3 г - Т„ ! Ти+2а+1 - ти

где Ь — замкнутый контур Ляпунова, т^ один из узлов { Т'2Р-1}£=!. {Т'2Р}"= 1 разбивающих контур Ь на 2п равные части,

с<т(^) — 1и+2(7-3 4 К , 2сг-1 -4 /¡/4-2(7 ,1 \ I» ь

2сг4-3-

2

/, = Л I ТТ

г-4 2

3

иг I --

к. - —

г: - Г.

2

7П П (т> - Т3 12«)

' 3

л-2 -г -I---5- ГЯ2к+

к/О

((— 1 к^О

т2

+ _2±1--г. ^ Т]+2кТ3 + 2ка - Т3) || Т1+2к

к<ки ] При этом для 1} имеюх место представления

= (п ' ос) ((1 = -1,0,1,2).

где Л„_г2сг-3 — — — 51" Аи+'2сг-\ — >^-|-2сг 1 — М- ^ ~~ 2?

I — длина конт\ ра.

Показана справедливос ть асимптотического равенства

24"

24

2Л .

¿'(■О -г 0(п1+в). к 0.

где - произвольным образом фиксированная точка из

Формула (8). как прослеживается далее, дает схему типа дискретных вихрей, причем данное модифицирование приводит к значительному повышению степени точности, нежели упомянутая выше модифицированная схема, основанная на использовании формул шпа трапеций. А именно, для соогветствующего ооаточного члена Яп(*р-Ла) при надлежащей гладкости ¿(1) имев! место оценка

Заметим, что ранее модифицированная схема точности О бы-

ла построена в одной из работ Д. Г. Саникидзе. При этом важно отметить, что для соответствующих интегральных уравнений такие схемы, как и классические схемы дискретных особенностей поддаются обоснованию (без предварительного приведения исходного замкнутого контура к окружности). Отметим, что обычные квадратурные формулы с внешними узлами для регулярных интегралов по отрезку действительной оси впервые (1943 г.) исследовал Ш. Е. Микелад-зе. Приведенные выше результаты предоставляют распространение и применение идеи введения внешних узлов в теорию квадратур на сингулярный случай для интегралов (с замкнутыми контурами интегрирования). Отметим, что па этом пути могут быть построены аналогичные (типа (8)) формулы имеющие порядок О (^г) точности, что и осуществлено в §2.4 работы.

При решении граничных задач, связанных моделированием ряда прикладных вопросов, приходится рассматривать сингулярные интегралы, распространенные на контуры с угловыми точками. В связи с этим, так как в таких случаях свойства решения задачи вблизи углов обычно имеет особый характер, то при построении соответствующих вычислительных формул следует учитывать соответствующие особенности. Этому вопросу посвящается §2.5 работы. В частности, детально

исследуется случай, когда замкнутый кусочно-гладкий кошур имеет одну угловую точку с (ниже такой контур обозначаем через Lc).

Вводится класс функции H°{LC) следующим образом: будем говорить, что -р € Щ(ЬС), если <p(t) дифференцируема до порядка г > 1 всюду на Lc, кроме точки t = с, в окрестности которой для производных имеют место оценка

Для этого случая строится алгоритм, по которому в окрестности угловой точки после подстановки т = [t — c)li''(p — натуральное число)1 плотность <p(t) переходит в плотность ^>(t) — тр~}ср(гр + с), и, тем самым, приобретает порядок дифференцируемости до порядка р < г — 1, в окрестности точки т = 0. Производная порядка г также будет непрерывной при условии а <

Далее производится аппроксимация сингулярного интеграла при специальном подборе системы точек в окрестности точки О (и при равномерном разбиении остальной части контура). При надлежащих предположениях относительно гладкой части контура Lc и функции ¡fi построенная схема гарантирует аппроксимацию сингулярного интеграла с порядком О (—г ) (0 < "/ < 1). где п0 — min(n,N), N —

\no /

количество разбиения контура в окрестности точки с, а п - на остальной части.

В моделировании определенных прикладных задач, в частности, в задачах плоской теории упругости появ.шхл ся интегралы типа Коши

2тп J t — z '¿та J i - z

L - ¿ <9)

1 f ty(t)dt 1 f t<p[t)dt ' J

U'AZ) (T^' **íz) = ^ j

/, L

где L замкнутый гладкий контур, t) - заданная функция на L. z G D — внутренняя точка области D ограниченной контуром L, обычно называемые комплексными потенциалами. Тем самым возникает надобность разработки определенных специальных схем вычисления таких интегралов. В параграфе 2.6 для интегралов (9) строятся

1 функция г = (I с)1/р отображает контур Lc взаимно однозначно и непрерывно в некоторой контур L0

квадратурные формулы, удобные для вычисления соответствующих интегралов при любой близости параметра 2 к контурам интегрирования. Оценивается погрешность вычисления и указывается применение построенных квадратурных формул, например, для вычисления компонентов напряжений и смешений.

В частности для интеграла и (г) мы полагаем

+ - foMio.ii) + (« - *о)(* - Ь-

п-1

+ 5]М„(ф(гс. ¿0.11 • Ы . ¿0. ¿1- ы +

-+Л<т+2(г)^(гсг (Ю)

и - £0)(* — -

о~0

где

; " 2п ] ь-г '

[ -¿1 )('-ЫМ0

{- г

а^^ = ~ у » ^л.

ио

1

(г - т<н-1)(£ - тст+2)

(То- - Т^+х)^ - Гст+2) '

(^сг+1 - 1"<г)(т<7+1 - Та+2) ^ - Тс)^ - Т„+1)

^ = _ ^ (12)

(Та+2 - 7-<Т)(7'<Т+2 — Т<7+1)' г^ <? £ (<т = 0,1,----п-1),

¿о, ¿1, ¿2 свободные параметры, принадлежащих I. Указанные коэффициенты (А; - 0,1.2) вычисляются точно.

Теорема 3. Если ¿(1) имеет производные вплоть до 6-го порядка, то при надлежащем выборе параметров ¿о, для любого 2 стремящегося к точке контура Ь имеет место оценка

где г) — остаточный член формулы (10).

Аналогичные формулы построены и для остальных интегралов из (9). При этом в потенциалах (9) использован следующий комплексный

аналог известной формулы Микеладзе: 2

^ ^ ^З/О_ ^ ~ Тст + к ^оч

<Й ~ Л , ' - 1 ^

.>=-г к

при £ = Го-.

В параграфе 2.7 рассматриваются криволинейные интегралы специального вида, встречающиеся также в задачах теории упругости Для таких интегралов строятся вычислительные схемы, дающие высокие степени точности. В частности, для интеграла

/

' I - «о

■ •троится квадратурная формула вида

, <7--{) к 0 Ч о

А- 1з£ А

•(74 1

У] Ц ^)(т<7+1 -

Кю

1 -и у/1

(14)

0

- П - 'о) - Ё

о) - ¿сг^о

л-о

Р<ткк„

к0= 0

¿0 - ^стко

Ракко^о)

<<Ь /

7=0

^1

Л.

ц,=о 1=п ,-п к^, ]0=ч

J<^0 7^1 и< ю

¿1'о) = т:-ч Г^ик)-

^ Со - икН'Л^к)

дающую оценку О (^г) (в надлежащих предположениях относительно контура Ь и функции

В третьей главе диссертации все квадратурные формулы, построенные для сингулярных интетралов. применяются для численною решения сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и некоторых граничных задач. Глава ИТ состоит из 5 параграфов 3.1 3.5.

В §3.1 приводятся основные определения и факты из теории сингулярных ите1ральных уравнений.

В параграфе .3.2 рассматриваются некоторые граничные задачи, сводящие к гак на зываемый обобщенным сингулярным интегральным уравнениям, обший вид которых следующий

а<р + Я 1.5'^ + ^ = /, (15)

где а. к. / — заданные на I. функции класса Гельдера,

(в^о) = - [ (А»(< о) = - /к(г

тгг ) I — ¿о 7гг у

г, ь

Их и /?2 некоторые известные операторы. В частности, они могут совпадать с операторами Не и 1т. В общем случае они определяются по условиям конкретной задачи.

К уравнениям вида (15) приводят различные граничные задачи теории аналитических функций, к которым, в свою очередь, сводятся многие важные задачи математической физики и механики.

Так, например, задача Дирихле для уравнения Лапласа, если ее решение и(х, у) в конечной области, ограниченной контуром Ь искать в виде потенциала двойного слоя, приводит к следующему уравнению (в предположении 1т<р — 0) вида (15):

^ + = / (/ = «и).

К уравнениям же вида (15) могут быть приведены задачи плоской теории упругости и т. д.

Рассматриваемый численный метод решения граничных задач в случае гладких замкнутых границ основывается на замене соответствующего граничного уравнения (15) приближенным

сирп + ЯхвпУп + Я25п<£п + Кп<Рп = /• (16)

где

с „ Л и \ I Ч>п(*ок) ~ Ьу^пЛр)

п—1 т—1

КпРп = Е Е к=0

При этом выбор узлов можно осуществить разбиением Ь по дугам эквивалентной длины В случае многих важных задач доказываются однозначная разрешимость соответствующих приближенных уравнений и сходимость процесса с оценкой скорости сходимости. Кроме того, в большинстве случаев составление соответствующих приближенных уравнений по упомянутому модифицированному методу дискретных особенностей производится стандартным образом по узлам контура Ь независимо от вида Ь. В связи с этим метод обобщенных сингулярных уравнений может быть с удобством применен и в чех случаях, когда 1раница области задается в графическом виде, чго обычно и бывает в практических задачах.

Уравнение '16) более лечьыьно и.иее! вид

Г / п— 1 т — 2 гп-

а{и > + Л, ! ( 1 - V V - V

гп-2

Рик__

[V к^О ^ ''ак ^

п- 1 т- 2

Е г—77— - у Ё, Рак. м^к)-

к-„ Уу 1ик) „_„ к=0 'иу ~ Т-ак

ка**

т 2 т —1

Ри] У ¿»к^и^п^ик)

»=0 1 ^ " ^ *=(>

к*»

" / п—1 т — 2 т — 2 т- 1

»А

Рик

Г-*.

ч-Е £, . • Е ^^ V ™ Ыы

п— 1т-2 т—2 т—1

^ , X --^-¡—Фп^ск7-37~Фп{ик)+РЮ <1ик(из)фп(ик)

„=о к=0 ак *=о

п—1 т—2

+ X] РакЩ^Л^'гп^ак) = /(¿из), <7=0 к=О

{и — 0.1.2.....п-1. .7=0,1.....т - 1), где

_1 Г сН <х = 0,1....,п- 1

Р'*"тг» ] (/-«^К^) ' Л — 0,1— ,т - 1.

Т<г ц

_[ Рай- <г = 0,1,....п-1, Аг = 1.2,...,т-2,

"к [ 1' с = 0,1----, п, — 1. А: = 0.

+

Р-1Л = Рп-1,Ь

т — 1 т—1 т —1

^ло = Пс-<<г*)' = П ^ ~ П ~

/г—О ло=о 10-0

Для ряда частных случаев операторов /?1 и i?2 удается обоснование изложенной вычислительной схемы, т. е. доказательство однозначной разрешимости соответствующей системы линейных алгебраических уравнений и сходимости процесса на различных классах функций в случае замкнутых контуров интегрирования. Теоретические результаты подтверждаются широким объемом и анализом вычислит е. 1ьного эксперимента.

В 3 изучаются сингулярные интегральные уравнения первого рода

/ + - /Що,= /(¿о). («0 е I). (17)

7гг у г - го гп у I I,

где Ь - замкнутый гладкий контур Ляпунова, /с(/о. /), /(^о) — заданные на Ь функции класса Н,{а) (г > 0,0 < а < 1). Дискретизация уравнения (17) происходит с помощью так называемых модифицированных схем метода дискретных особенностей с применением внешних узлов. После использования квадратурной формулы (8) получаем

77-1

^с.И^.г^!);^^.)) -= 1(т„). (18)

ГГ = 0

где г,, е {т2р—] }р=] и {т2р}р=1. Т1.г2.....т2„ — делят контур Ь равномерно на 1п частей, то = т-,п. Справедлива

Теорема 4. Пусть уравнение (17) имеет единственное решение. к^Л). /(/"о) ^ IIг(а). Тогда система уравнений (18) начиная с некоторого п. имеет единственное решение и для погрешности справедлива оценка

В §3.4 рассматриваются сингулярные интегральные уравнения вида

+ 1 Г , т (1

-I ] г - iо тг? ./

где ¿о £ заданные функций па а2{1ь) —

Ь2{Ц) 0. Л - замкнутый гладкий контур.

В случае интегральных уравнений Фредгольма по отрезку действительной оси в известной монографии Канторовича Л. В. и Крылова В. И. указаны определенные эффективные оценки погрешности решения таких уравнений методом квадратур. Диссертантом поставлена аналогичная задача для сингулярных интегральных уравнений. В этом случае существенную роль играет структура выбираемой квадратурной формулы для сингулярных интегралов. Мы с этой целью воспользовались формулами вида

/ п—1т—2 ш—2

А* ~ / т , V* Р°к , V

14 J I \ к=и I-V] ь^к

а^ V

771 — 1 \ 71—] 771 — 2

И Т~Ги Г^ Л Л

7п — 2 т—1

" И / ^ XI «Ы^)*(<•*). (20)

А;—О

где и = 0.1...., п - 1, з = 0.1,.... 7п - 1, ¿„ь = 1{8ак)- $ок = + кхк- Л = {Ь — а дпина дуги), {хк}™~ц —некоторая система точек, заданных на отрезке [0.1].

Доказывается

Теорема 5. Если <р £ Нг{а). Ь — гладкий замкнутый контур, то справедлива оценка

пг+а '

где S„(<p,t) — вышеуказанная сумма (20),

(Ъ-аГ+°нРр

1 тг(г-1)!

(b-a)r+aH(J]

нг+уч . ,2тр2т"г, _1+ Зтр2

min - х/, \m~l min \xk+i -к к

Co -

7Г(Г — 1)!

3 mpm ~1(ir + ln2p2) 6m(m - l)p2T"-12r+a

minlxfc+i -- Xfcj"1-1 min ¡x^+i - xk\2m 2

к к

|si - S2| p — max ---------

t!,i2fcL |i(Sl) - i(s2)!'

Далее. для сингулярного интегрального уравнения в принятых определенных предположениях относительно функций a(t). b(f). /г(/0. t). f(t) выводятся апостериорные оценки погрешностей через известные величины, вычисляемые в самом процессе решения задачи с данными исходного интегрального уравнения.

В §3.5 рассматривается вопрос о численном решении сингулярных интегральных уравнений вида

1 т

- / — dt ) - ( K{x,t)w{t)dt = f(x) (21)

7Г J t - X Ti J -J

на основе определенной аппроксимации входящих в данное уравнение сингулярного и регулярного интегралов. Именно, применяются приближенные формулы типа квадратур, алгебраическая степень точности которых при п узлах равна л — 1. При этом предполагается, что решение рассматриваемого уравнения разыскивается в классе функций, ограниченных на одном из концов отрезка [-1,1] и неограниченных на другом.

Для определенности решение последнего уравнения ищут в виде

/ГТ7

= (22)

1де ¿о (О предполагается достаточно гладкой на отрезке [-1:1]. считается, что А'(хо.£)./(хо) в ЯДо) (г > 1). Тогда д.щ сингулярного интеграла применяется формула

1 ,_

5(1/2,-1/2) = £ [ +

тт ] у 1 - 11 - х

II ' .1 — Л 1 п '

а для регу.исрного интеграла ) ^__

- / 1^Цк(х./Ь-гДОЛ -- I] т, „ ^о'^О-

ТГ У V 1 ? ^

— 1 ^

где

2 2 2сг - 1

Вр п — сое---7Г, (ст = 1.2.....п),

п 4п

Т„(х) — С08(пага:х)$х). = СОБ

После подстановки вместо сингулярного параметра х значений

~ 1-2.....п) получается система линейных алгебраических

уравнений.

Доказываются следующие леммы: Лемма 1. Если е #(7). 76(1 /2,1]. то

||5(-1/2Л/2Чн7~1/2) < М||^||н(7) (Л/ = СОП81).

гДе II' 11я(7) ~ норма в пространстве Гельдера Я{7):

Лемма 2. При условии ф е Яг(а) (г > 1: 0 < а < 1): 7 £ (§, 1] справедливо

И^-А^ - = О (^зг) (п > 1):

Лемма 3. При любом р € (0,1] и п > 1 справедливо

< 2гс1+/3(8+ -1пп) тах Щх3,п)\.

7Г 1<7<п

С применением указанных лемм доказывается

Теорема 6. Пусть уравнение (21) имеет единственное решение вида (22). Тогда соответствующее приближенное уравнение при достаточно большом п имеет единственное решение.

Следует обратить внимание на то, что оценки в данном случае даны в классах Гельдера. Это обстоятельсхво особенно важно с точки зрения различных приложений уравнений вида (21).

Четвертая глава посвящается к граничным задачам теории функций и математической физики, связанных с приложениями. Глава состоит из 9 параграфов.

В §4.1 приводятся предварительные сведения и основные факты, проведен анализ существующих результатов.

В §4.2 исследуются вопросы приближенного вычисления компонентов напряжений Хх, Ху, Уу и и, V смещения в задачах плоской теории упругости па основании формул:

2Я 1 /Жл.Л! /ад

2тгг У а- г)2 2жг ] {г - г)3

г I- т.

I

1_ Г Ф)(Н 1 Г 2ЩЬ)(й тп ./ ,} (* - г)"

1т ]

у>(г)

(Й + Ле

2ш ] (г-г)3

I

¡г? У (1-2)2 2тт» У г)2 ~ 2тгг У (1 -

I

[ Н* Г86/

Ху-1,

2тгг У (1 г)3 ь

Ж.

2т ] (/ -ь

1 Г <р(Ь)М 1_ Г 2Ь£[

2тп У (г г)2 ~ 2ТГ7 У (£ -

?

(23)

] 2тг? ] ^ - г 2тгг / (г - г)-' I. г.

,1 /.-£(0^1 [ ¿1 — /М^Д

' 2тт? / ¡-2 2^viJt-z 2тгг ./ (4 - г)2 Г ь ь '

2ц 1 2тт? / »-г 2ттг У (г г)2 I I

^ [4$-*-+- (24)

2тп У I - г 2т? У * - г 2ттг / (г — г)2 Г к ! ь ь ь }

где г (£) решение сооаветив} юшего сингулярного интегрального урав-нсния (Шермапа -- Лауричелла). эе = 3 — 4сг. (О < а <

В §2 5 даются квадратурные формулы для приближенного вычисления шиегралов типа Коти, входящих в формулы (23). (24). Эти формулы позволяют эффективно вычислять данные интегралы и вблизи границы /,. Доказано, что при надлежащих условиях относительно р порядок приближения (равномерно относительно есть 0(П"3)

В §4.3 рассматривается уравнение Липпмана Швингера (из теории нуклон-нуклонного взаимодействия):

ос

Т(х,х0) + А / КЫЩ^ф, = Щх.хо) (х > 0), (25) 3 У ~ хо о

где К(х.у) суть те или иные заданные функции (потенциалы). Для иллюстрации и обоснования вычислительных схем детально рассматривается частный (однако характерный) случай К(х, у) = 1п , А = 2/тг, ц = 0.7 (случай потенциала Юкавы2), х0 е

(0. ос). Через решение Т(ж. х'о) известным образом определяется искомая физическая фаза нуклон-нуклонного рассеяния по формуле

©0 = (26)

Хо

'Аналогично могут бьггь рассмотрены и некоторые другие известные потенциалы (напр , Потенциал Рида и др )

С целью дальнейших рассмотрений уравнение (25) преобразовывается к виду

Тг(Ш + А /р(10.т)К1{ит)Т1{тЛа)с1т = К^Ло), (27) J т-Ь

О

где К\ и Т1 известным образом выражаются через К и Т соответственно. На этой основе изложены определенные специальные схемы аппроксимации уравнения (25). Именно уравнение (27) сводится к системе линейных алгебраических уравнений следующими тремя методами:

1) применением метода дискретных особенностей:

2) применением метода квадратур, построенного Д. Г. Саникидзе:

3) представлением плотностей по Д. Г. Саникидзе. По отношению ко всем этим схемам доказывается

Теорема 7. При любом фиксированном То > 0 и достаточно большом п имеет место оценка

ос п

У - 4 --—-

о 17=1

■о/Ып

п

выполняющаяся равномерно относительно х > 0 (¿о = £ =

т^-тЬЛ-^}.

Данная опенка является исходом аппроксимации соот встствующе-го уравнения.

В параграфе 4л ж^тедуется задача Дирихле з случае области с углом. Задача эта. как известно, сводится к нахождению потенциал двойного слоя

1 Г

щх, у) — Яе— / -1—-Л. г = х 4 ш € О, 7гг У Ь — г ь,

где ¡р - действительная функция на Ьс. причем граничное условие задачи приводит к уравнению

ф0) + Яе- [ = /(¿о), («о е Ь).

т ] ^ — £о ь,

Согласно указанным в §2.5 преобразованиям последнее уравнение представляется в виде

v(T0) - roñe— | f -^dr - f = F(ro). (28)

"ITo \ J T -T0 Jr + T0

V," ¿° /

где i'(r) = T!^(r2-l-c). F(r) = т/(т2+с). К численному решению уравнения (28) применяется вычислительная схема указанная в §2.5. Эффективность метода иллюстрируется на конкретной задаче о кручении призматического бруса при наличии концентратора напряжений, когда его поперечное сечение представляет нестандартную область с

углом раствора > п. После нахождения значений i¡>(tk) {к — 1,2____п)

находим компоненты напряжения XL, Y- в точках z £ D.

В §4.5 рассматривается первая основная задача теории упругости. Излагается метод подобный методу дискретных особенностей для чис тонного решения систем уравнений вида

( *-ní0) + Не± / 1 - eos20) sin- fi{t0).

1 U2(to) - f {,*(*) sin 20 _ ^2(t)( 1 + eos20)}^ = f2(t„).

(29)

где L — замкнутый контур Ляпунова, охватывающий начало координат. u)\(t).uJ2{t). /i(í), — действительные функции на L. в — 9(t, to) аргумент разности t — ¿o-

Система (29) по методу Шермана — Лауричелла сводится к системе (имеющей единственное решение) вида

2ш1 (to) + Re— I \(u1(t)~uji(to))(l~cos2e)-(u>2(t)-íü2(to))sm2e

тгг J i L

x + Re— (lT-l + %\Re¡^dt = m,

t-to m\to t0 Ц) J t2 ■nw'

L

< 1 f

2a>2(í0) - Re—. / [(wi(i) - oíi(ío)) sin2(9 - (u;2(t) - + eos26»)]

L

dt T 1/1 1 í<A „ fuít) J

t-í0 тгг \ío fo <0/ j t

L

где - ги^Ь) f ш2{1).

Для сингулярных интегралов используются формулы типа схемы дискретных особенностей:

чг } г — Ту Гу-1 - т„

т

ь

Тц+1 - т„

+ 2> О^+а + Р*+<т+1)------7 (31)

<7=1

где - р„+, = 7 = 1,2,...,2п-2,1/ =

1.2,..., 2п, Т-, точки контура Ь равномерно делящаяся его на 2а частей.

На основании форму;! (31) система (30) сводится к системе линейных алгебраических уравнений порядка 4п х 4п. Решением этой системы, получается численное решение значения о;1(г1), ^("п), (т2), ш2{т2),-••, и;1(т2„), Ш2(т"2п) приближенно. Для погрешности справедлива оценка

1М - «п|| НЦЗ) = О (^д) (п оо).

В параграфе 4.6 рассматривается одна конкретная задача из теории трещин, которая в случае двух параллельных трещин сводится к сингулярному интегральному уравнению

I I

I [ А ¿4+1 [ Що,<М«)Л = /(«о), (32)

7Г 7 с — ¿0 тг ./

-г -г

где

, ,, А 4- ¿о + ^соэ/3

^(.со, г; = 77Т1—, , —„ . 2

Здесь /3 — угол между направлением трещин и осью Ох, /(¿о) функция нагрузки на берегах. Ищется решение вида

¥>(0 = \/^¡г^о(г)

двумя методами: методом дискрел1ых особенное и-й и мочифишпхаванным методом дискретных особенностей. Вычислительный жспе-римент для тестовых задач показывает, что применением модифицированной схемы получаются более точные результаты.

В Ц.7 дается описание пакета программы «НОФИМА» для чш ленного решения граничных задач, разработайного с учас гием диссертанта. В основу разрабелки упомянутого пакета были положены разработанные методы аппроксимации сингулярных интегралов. .¡нелогичные вышеизложенным. С помощью пакета решаются' I) сингулярные интегральные уравнения с гладкими замкну [ыми контурами интегрирования; 2) задача Дирихле дчя уравнения Лапласа; 3) пер вая и вторая основные задачи птоской теории упругости. Сосглвиен пакет на языке ФОРТРАН. Основой функционирования пакеja является вычислительная схема, построенная на аппроксимации (вытей !-ложенными методами) уравнения

«oV + (iiReSip + a^ImSf + аз§ф + сцНф J a^Ktp +- ацРсКр - /, |Де

Svs± Í Ж л, Нф = -L Í ФЫ-^ ,

^ 2ttí J t - t0 v 2тгi J t-t()

L L

K{p = hJ k1<p " S

L L

L — гладкий замкнутый контур, ограничивающий конечную иджх вя ;-ную область (содержащую начало координат внутри себя;, а3 (j 0,1,..., 6). f заданные на L функции (параметры)

В соответствии с классом решаемых задач пакет рассчшгш па решение соответствующего уравнения при определенном выборе функциональных параметров (ау.«],..., «б)

В частности:

1) при ао = l,fli = 2,й2 — 0,аз - и,(ц - 0, ад ~ 0, ар, - 0 з<.длча Дирихле;

2) при ао = a(t),ü2 = ¿ai = 2ib(t),a,3 — 0,«4 - О, ar, = l,(i(, — 0 общее сингулярное интегральное уравнение;

3) ао — l,ai = 1,a-j = ?',ft;j = 1,ü4 = 1,<1ч — 0,ue ~ 1 первая основная граничная задача теории упругости;

4) при ao ~ —= —ai.(i2 — = — я1 <ц — 1 , a.<-, — 0. «с О вторая основная граничная задача теории упругости.

В §4.8 посвящается одному классу сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, в частности уравнению

Kip = a(toMa(to)) + —. Í -di = h{t0), 7Гг J t - to L

(де a(t), h(i), a(t) € H. функция сдвига a(t) отображает контур L (в нашем случае |£| - 1) гомеоморфно в себя с сохранением или изменением направления обхода на нем,

a(í)a(«(í))± I7ÉO, teL.

Решение указанного уравнения ищется в виде

" 2тг

4>п = cktk, t, ■= exp(ie}). в, = 2п + 1 з,

fc=—п

С}: - искомые величины. Тогда получается следующая система уравнений

п -1

5>(tj)<»*(*,) +tj]ck + [a(t>fc(í/) - tk3\ck = h(t})

fc=0 к=—п

(j — 0,1,..., 2п), относительно неизвестных с*.

Доказывается существование и единственность полученной системы и оценивается погрешность.

В параграфе 4.9 прилагаются различные программы, осуществляющие практические вычисления определенных величин из вышеупомянутых задач.

Заключение

Сформулируем основные положения работы выносимые на защиту.

I. Впервые построены квадратурные формулы для сингулярных интегралов наперед заданными узлами и даны оценки погрешности. Исследованы соответствующие конкретные квадратурные формулы для различных весовых функций.

II. Получены равномерные оценки погрешности для сингулярных интегралов с весами Якоби на разомкнутых контурах интегрирования. когда параметр сингулярности сколь угодна близок к концам контура.

III. Построены новые квадратурные формулы для сишулярны:, интегралов по методу дискретных особенностей повышенной точности. В частности применением внешних узлов получены достаточно высокого (О(^г)) порядка точности квадратурные формулы Укачано на возможность построения более высоко]фоизводи гетъных вычислительных схем, в частности О (^с?)-

IV. Найдены новые квадратурные форму ты для вычисления ник гралов тина Коши и даны оценки погрешиост и в любой точке области в том числе вблизи контура интегрирования. Они используются дли вычисления компонентов напряжений и смещений в задачлх теории упругости.

V. Дается схема численного решения некоторых граничных задач и сингулярных инте!ральных уравнений в областях с углами. Изучаются вычислительные схемы повышенной точности подобно методу дискретных особенностей. На примере задачи о кручении призма, и-ческого бруса иллюстрируется эффективность метода.

VI. Приводятся разные схемы для численного решения и тестного из физики уравнения Липпмана Швингера. В частное i и, даею; иллюстрация трех различных методов квадратур.

Vir. Строятся алгоритмы для численного решения первой и торой основных задач плоской теории упругости, где д 1Я ре; пен и я используется разбиение, подобное схеме дискретных особенностей. Дано обоснование полученного вычислительного процесса.

VIII. По модифицированному методу дискретных особенностей строятся вычислительные схемы для сишулярных инто рнльны.ч уравнений первого рода. Построенные схемы обосновывают'я в Ге. гь деровом пространстве.

IX. Составлены программы на языках ФОРТРАН и БЕЙСИК, пакет-программа с надлежащими указаниями пользователю при решении задач на ЭВМ, которые активно используются в йпеппуп вычислительной математики им. Н. И. Мусхелишвили АН Гру ¡ии.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Кублашвили М. Д., Хубеджашвили III. С. Приближенное решение некоторых сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутых контуров интегрирования // Численные решения граничных задач. Труды вычислительною центра им. Н. И. Му-схелишвили АН ГССР.-1978.-ХШ: 1,-С. 109 119.

2. Саникидзе Д. Г., Кублашвили М. Д., Хубеджашвили III. С. О численном решении некоторых граничных задач // Сообщ. АН ГССР.—1980.- Т. 100, № 1.-С. 61-64.

3. Саникидзе Д. Г., Хубеджашвили Ш. С., Деметрашвили Н. Г., Абесадзе Л. Н., Мелия М. П. Пакет прикладных программ «НО-ФИМА» для численного решения сингулярных интегральных уравнений и некоторых граничных задач. Инф. бюлл. ГКНТ СССР, М. ,-1982.-№ 1(45).--27 с.

4. Саникидзе Д. Г., Хубеджашвили Ш. С., Деметрашвили Н. Г., Мелия М. П. О построении вычислительных схем высокого порядка точности для сингулярных интегральных уравнений с негладкими решениями и их применении к численному решению некоторых граничных задач для областей с углами // Труды вычислительного центра им. Н.И. Мусхелишвили АН ГССР.-1983.—ХХ1П:1,—С. 90-100.

5. Саникидзе Д. Г., Мирианашвили М. Г., Хубеджашвили Ш. С. О применении прямых схем интерполяционной степени точности к численному решению некоторых классов сингулярных интегральных уравнений // Труды Института вычислительной математики им. Н. И. Мусхелишвили АН ГССР.-1987.-ХХУП:1,--С. 184-194.

6. Санкидзе Д. Г., Хубеджашвили Ш. С., Мирианашвили М. Г., Бмельяненко Г. А., Мачавариани А. И. О численном решении сингулярных интегральных уравнений Липпмана - Швингера // Сообщ. АН ГССР.—1990.—Т. 140, № 2.-С. 261 -264.

7. Арсени В. Ф., Евсеев Е. Г., Хубеджашвили Ш. С. К приближенному решению граничных задач со сдвигом. Тбилиси, издательство Тбилисского университета. 1978.--28 с.

8. Хубеджашвили Ш. С., Арсенн В. Ф., Руда Л. Г. К чие энному решению на ЭВМ сишулярных интегральных уравнений со сдвигом // Труды Вычислительною центра им. Н. И. М\c.\c ш-швили АН ГССР.- 1982. ХХН:1. С. 160-164.

9. Нацвлишвили 3. М., Саникидзе Д. Г., Хубеджашвили Ш С Равномерные оценки погрешности интерполяционных квадратур для сингулярных интегралов с весами Якоби // Труды Института вычислительной математики им.Н. И. Мускечишви ш АН ГССР.—1990. ХХТХ:1. С. 179-188.

10. ХубежтыШ. С. О квадратурных формулах наперед жданными узлами для сингулярных интегралов // Исследовании но математическому анализу, издательство СО ГУ. 1995. С. 53 54.

11. Хубежты Ш. С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов типа А. А. Маркова Н Вестник СОГУ. Естественные науки.-1999. -С. 53-56.

12. Саникидзе Д. Г., Хубежгы Ш. С. К вопросу применения внешних узлов в модифицированных схемах дискретных вихрей // Труды IX международного симпозиума «Методы дш крстных особенностей в задачах математической физики» (МДОЗМФ-2000), 0рел-2000, 29 мая 2 июня. -2000. -С. 395-397.

13. Саникидзе Д. Г., Хубежты Ш. С. К вопросу применения внешних узлов в модифицированных системах дискретных них рей // Владикавказский математический журнал. 2000. Т 2, вып. 3,- С. 37-41.

14. Хубежты Ш. С. О квадратурных формулах для сингу тарных интегралов // Владикавказский математический журнал. 2001.-Т. 3, вып. 1.--С. 49 57.

15. Хубежты Ш. С. О квадратурных формулах для сишулярных интегралов содержащих наперед заданные узлы ,/ Дифференциальные уравнениям) 2001. Т. 37, № 12. -С. 1708-1710.

16. Хубежты Ш. С. К вопросу численного решения уравнения Лип-пмана Швингера // Труды X международного симпоппма «Методы дискретных особенностей в задачах мате мал и ческой физики» (МДОМФ-2001). Хе1>сон, 29 мая - 5 июня. 2001. С. 373-376.

17. Хубежты Ш. С. Вычисление интегралов типа Коши в задачах плоской теории упругости /, В1СНИК Харювского нашональ-ного утверситету, сер]я «Математичне моделювания...» Хартв. вып. 1, № 590.-2003.-С. 235-240.

18. Хубежты Ш. С. К численному решению задачи Дирихле методом локально- канонической разбиений , Владикавказский математический журнал.—2003.—Т. 5. вып. 2.—С. 53-59.

19. Хубежты Ш. С. О приближенных вычислениях интегралов типа Коши '/ Владикавказский математический журнал.—2003.— Т. 5, вып. З.-С. 56-67.

20. Хубежты Ш. С. Численное решение некоторых классов сингулярных интегральных уравнений , Исследование по комплексному анализ}', теории операторов и математического моделирования. Владикавказ. Изд-во ВНЦ РАН.-2004.-С. 375-407.

21. Khubezhty Sh.S. On the Numerical Solution of Lippmann — Schwinger Equation ' Differentions Equations.—2001—Vol. 40. .V« l.-P. 111-119.

P f 4 В ^

РНБ Русский фонд

2006-4 10425

Подписано в печать 25.10.2004. Усл.п.л. 1,86 Формат бумаги 60x84Vi6- Тираж 100 экз.

Издательство Владикавказского научного центра РАН 362008, г. Владикавказ, пр. Коста, 93.

Введение.

Глава I. Моделирование некоторых граничных задач применением обобщенных сингулярных интегральных уравнений

§1.1. О компонентах напряжений и смещений.

§1.2. Задача электростатики.

§1.3. Задача о кручении призматических тел

§1.4. О задачах рассеяния в квантовой теории поля

§1.5. О задачах теории трещин

§1.6. Первая и вторая основные задачи плоскосй теории упругости

§1.7. Основная плоская смешанная задача

§1.8. Задача Дирихле, задача Пуанкаре.

Глава II. О некоторых квадратурных формулах для сингулярных интегралов.

§2.1. Предварительные сведения и основные факты. Обзор некоторых известных результатов.

§2.2. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов с наперед заданными узлами.

§2.3. Равномерные оценки погрешности для сингулярных интегралов с весами Якоби.

§2.4. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов с применением внешних узлов

§2.5. О квадратурных формулах для некоторых сингулярных интегралов с негладкими плотностями в отдельных точках.

§2.6. Приближенное вычисление интегралов типа Коши.

§2.7. О приближенном вычислении некоторых криволинейных интегралов с ядром Коши.

Глава III. О численном решении некоторых уравнений с сингулярным интегралом типа Коши.

§3.1. Предварительные сведения и основные факты. Обзор некоторых существующих результатов.

§3.2. О численном решении некоторых граничных задач методом обобщенных сингулярных уравнений.

§3.3. Обоснование модифицированного метода дискретных особенностей с применением внешних узлов к решению сингулярных интегральных уравнений 1-го рода.

§3.4. К вопросу эффективной оценки погрешности численного решения сингулярных интегральных уравнений методом квадратур.

§3.5. Применение некоторых прямых схем интерполяционной степени точности к численному решению некоторых классов сингулярных интегральных уравнений.

Глава IV. Приложения к граничным задачам теории функций и математической физики и теории упругости.

§4.1. Предварительные сведения и основные факты. Обзор некоторых известных результатов

§4.2. О приближенном вычислении компонентов напряжений и смешений в задачах плоской теории упругости.

§4.3. К численному решению уравнения Липпмана-Швингера.

§4.4. Замечание о численном решении задачи Дирихле в случае областей с углами применением обобщенных сингулярных уравнений. Задача о кручении призматического бруса.

§4.5. О применении схемы локально-канонического разбиения к численному решению основных задач плоской теории упругости

§4.6. О численном решении некоторых задач о трещинах методом дискретных особенностей.

§4.7. О пакет параграмме "Нофима" для численного решения сингулярных интегральных уравнений и некоторых граничных задач.

§4.8. К численному решению одного класса сингулярных интегральных уравнений со сдвигом.

Предлагаемая работа посвящается разработке методов приближенного вычисления сингулярных интегралов в смысле главного значения по Коши. В дальнейшем на их основе строятся вычислительные схемы решения одномерных линейных интегральных уравнений, содержащих такие интегралы. Полученные приближенные формулы применяются к численному решению некоторых граничных задач математической физики, математической теории упругости, механики, теории рассеяния и теории трещин. В основой данной работы лежат результаты публикуемые диссертантом в различных периодических изданиях СССР и РФ в течении более 20 лет и докладываемых на научных семинарах а также на конференциях и симпозиумах в ряде научных центров РФ и за рубежом (см. [2],[3],[64],[159-162],[164-166],[173-174],[198-211]. В работе, кроме того, нашли отражение некоторые результаты исследований по плану постановления по науке и технике от 26 ноября 1976г. №430 "О создании и введении в эксплуатацию пакетов прикладных программ для решения уравнений математической физики, используемых в прикладных задачах механики сплошной среды, гидродинамики, аэродинамики, физики плазмы, теории упругости и пластичности" (АН СССР, МГУ им. Ломоносова, СО АН СССР, АН ГССР). Соответствующие результаты, в частности, были положены в основу разработки пакета прикладных программ "НОФИМА'\ созданного в отделе вычислительных методов анализа Института вычислительной математики им. Н.И. Мусхелишвили АН ГССР.

Сингулярные интегралы и соответствующие уравнения с ядром Коши находят все более широкие применения в различных областях математики, механики и физики. К этим уравнениям сводятся граничные задачи теории функций, к которым, в свою очередь, приводятся многие важные задачи математической физики и механики, в частности, теории упругости и гидро-аэродинамики. Многочисленным приложениям сингулярных интегралов типа Коши и сингулярных интегральных уравнений посвящены, например, монографии [21-22],[40],[66],[102],[ИЗ]. В монографии [54] указывается применение сингулярных интегральных уравнений к решению задач анализа и синтеза систем автоматического управления и некоторых задач теоретической физики. Широкие возможности сингулярных интегральных уравнений применительно к решению различных важных задач прикладного характера отчетливо проявляются в монографиях [120-121].

Возможность понизить на единицу размерность задачи сведением ее к граничному интегральному уравнению и некоторые другие достоинства метода интегральных уравнений позволяют при имеющихся вычислительных средствах рассматривать иногда более сложные классы задач, чем те, которые можно решать иными методами. При этом, численное решение соответствующих задач с привлечением аппарата сингулярных интегральных уравнений с разработкой надлежащих методов аппроксимации входящих в эти уравнения сингулярных интегралов оказывается очень эффективным.

Указанные обстоятельства обусловили то большое внимание, которое ряд известных математиков стали уделять вопросу численного решения интегральных уравнений с сингулярными интегралами в смысле главного значения. В 1932 году М.А. Лаврентьев получил в этом направлении ряд существенных результатов в работе [67], в которой одна практическая задача гидродинамики сводится к сингулярному интегральному уравнению определенного типа и обосновываются определенные численные методы решения таких уравнений. К сравнительно раннему периоду относятся также работы [55-56],[102-103], [222], в которых предлагаются определенные приближенные схемы для решения сингулярных интегральных уравнений различных видов.

Дальнейшее развитие общей теории сингулярных интегральных уравнений и численных методов анализа, а также расширение круга задач, связанных с приложением аналогичных уравнений оказали большое влияние на развитие теории приближенных методов решения таких уравнений. Разработке и обоснованию таких методов в 50-ые 60-ые годы прошлого века посвящено значительное число работ. Следует особо отметить упомянутую выше монографию [54], а также обзорную статью [28], отражающую достижения российских и зарубежных авторов в области теории аппроксимации сингулярных интегралов и численного решения сингулярных интегральных уравнений.

Начиная с 70-ых годов появляются многочисленные работы, посвященные приближенному вычислению сингулярных интегралов и разработке и теоретическому обоснованию численных методов решения сингулярных интегральных уравнений. Особо следует отметить работы С.М. Белоцерковского [12-15] по аэродинамике, послужившие основой создания существенно нового, хорошо известного в настоящее время метода численного решения сингулярных интегральных уравнений - метода дискретных вихрей. Позже этот метод был существенно развит учениками С.М. Белоцерковского во главе И.К. Лифановым [15],[32-37],[70-87],[89-100]. Метод до сих пор является одним из актуальных методов в этом направлении.

Особо следует отметить результаты грузинской математической школы под руководством Д.Г. Саникидзе [136-176], а также статьи [29],[30],[64],[116],[117], где сингулярные интегральные уравнения решаются без применения регуляризации и построенные вычислительные схемы пригодны и в случаях, когда уравнения кривых не задаются аналитически а это немало важна на практике.

Из работ других авторов, посвященных приближенному вычислению сингулярных интегралов и решению интегральных уравнений, содержащих такие интегралы, следует отметить работы [18-19], [43-44], [46-48],[107-111],[179-180],[182-184], [190-197],[215-218].

В подавляющем большинстве случаев .фактическое построение практически осуществимых вычислительных схем для численного решения сингулярных интегральных уравнений сводится в той или иной мере к удачной аппроксимации входящих в эти уравнения сингулярных интегралов. С другой стороны, последний вопрос сам по себе представляет значительный теоретический и практический интерес. В связи с этим в настоящей диссертации наряду с вопросами чисто вычислительного характера достаточное внимание уделяется также некоторым общетеоретическим вопросам приближения сингулярных интегралов с ядром Коши различными аппроксимирующими средствами.

Формально к численному решению сингулярных интегральных уравнений могут быть применены те же методы, которые обычно применяются в случае интегральных уравнений Фредгольма второго рода (см. [54])» тем не менее, обоснование их применительно к сингулярным интегральным уравнения часто представляет значительные трудности. В частности, это относится к методу механических квадратур, основанном на кусочно-полиномиальном приближении искомого решения. Между тем этот метод считается одним из наиболее удобных для численного решения интегральных уравнений Фредгольма, благодаря тому, что он для таких уравнений достаточно прост и может быть эффективно применен к решению таких уравнений с достаточно общими контурами интегрирования без какого-либо предварительного преобразования последних.

В настоящей работе для численного решения достаточно общих классов сингулярных интегральных уравнений предлагаются некоторые новые подходы, основанные на изложенных в работе схемах аппроксимации сингулярных интегралов. Схемы эти приводят к аппроксимирующим уравнениям значительно удобной вычислительной структуры и применимы к достаточно общим классам уравнений. При общепринятых предположениях относительно разрешимости соответствующих аппроксимирующих уравнений с указанием оценки скорости сходимости их решений к исходному. Дано приложение к численному решению ряда задач математической физики и механики.

Упомянем теперь об основных результатах диссертации, которая состоит из введения и четырех глав, по отдельным главам.

Заключение

Сформулируем основные положения работы.

I. Впервые построены квадратурные формулы для сингулярных интегралов наперед заданными узлами и даны оценки погрешности. Исследованы соотвествующие конкретные квадратурные формулы для различных весовых функций.

Получены равномерные оценки погрешности для сингулярных интегралов с весами Якоби на разомкнутых контурах интегрирования, когда параметр сингулярности сколь угодна близок к концам контура.

Построены новые квадратурные формулы для сингулярных интегралов по методу дискретных особенностей повышенной точности. В частности применением внешних узлов получены достаточно высокого (О (-^г)) порядка точности квадратурные формулы. Указано на возможность построения более высокопроизводительных вычислительных схем, в частности О (^г).

II. Найдены новые квадратурные формулы для вычисления интегралов типа Коши и даны оценки погрешности в любой точке области, в том числе вблизи контура интегрирования. Они используются для вычисления компонентов напряжений и смещений в задачах теории упругости.

Дается схема численного решения некоторых граничных задач и сингулярных интегральных уравнений в областях с углами. Изучаются вычислительные схемы повышенной точности подобно методу дискретных особенностей. На примере задачи о кручении призматического бруса иллюстрируется эффективность метода.

III. Приводятся разные схемы для численного решения известного из физики уравнения Липпмана-Швингера. В частности, дается иллюстрация трех различных методов квадратур.

Строятся алгоритмы для численного решения первой и второй основных задач плоской теории упругости, где для решения используется разбиение, подобное схеме дискретных особенностей. Дано обоснование полученного вычислительного процесса.

По модифицированному методу дискретных особенностей строятся вычислительные схемы для сингулярных интегральных уравнений первого рода. Построенные схемы обосновываются в Гельдеровом пространстве.

IV. Составлены программы на языках ФОРТРАН и БЕИСИК, пакет-программа "НОФИМА" с надлежащими указаниями пользователю при решении задач на ЭВМ.

Программы из параграфа 4.9 и "НОФИМА" успешно используются в Институте вычислительной математики АН Грузии.

Теперь сформулируем ряд проблем которые на наш взгляд, представляют интерес как с точки зрения математики, так. и с точки зрения приложений.

1. При обосновании вычислительных схем предположение о принадлежности контура классу Ляпунова используется существенным образом. Для произвольных гладких контуров вопрос о справедливости аналогичного утверждения остается открытым.

2. Обоснование вычислительных схем для общего сингулярного интегрального уравнения, даже при ляпуновских контурах, остается невыясненным. Таким образом, вопрос о справедливости теорем существования и единственности для произвольных гладких контуров не исследован.

3. При оценке погрешностей в квадратурных формулах для сингулярных интегралов в основном требуется от плотностей принадлежность классу дифференцируемых функций до некоторого порядка. Ставится вопрос, какие будут аналогичные оценки, если указанные функции не имеют дифференцируемость требуемого порядка.

4. Должен еще отметить, что теория и приложения сингулярных интегральных уравнений развивается бурно, построены квадратурные формулы для кратных и многомерных сингулярных интегралов (см. [87]), а также для гиперсингулярных интегралов [211]. Соотвественно, развиваются методы решения сингулярных интегральных уравнений с указанными интегралами.

1. Абрамов А.А. об ошибке округлений при решении систем линейных уравнений // ДАН СССР, -1954, -т.97, № -с.189-191.

2. Арсени В.Ф., Хубеджашвили Ш.С. К приближенному решению сингулярного интегрального уравнения со сдвигом Карлемана // Труды вычислительного центра АН ГССР, -1977, -т. 17: 1, -с. 19-25.

3. Арсени В.Ф., Евсеев Е.Г., Хубеджашвили Ш.С. К приближенному решению граничных задач со сдвигом. Издательство института прикладной математики Тбилисского государственного университета, -1978, -26 с.

4. Арсенин В.Я., Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. Об одном способе регуляризации сингулярных интегральных уравнений первого рода // Дифференциальные уравнения. -1985, -т.21, -3, -С.455- 464.

5. Афендикова Н.Г., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. К численному ре-шеию сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта. Препринт/ ИТЭФ-М. -1986, -№73, -21 с.

6. Афендикова Н.Г., Лифанов И.К. О сингулярном интегральном уравнении второго рода с кратными интегралами типа Коши // Известия вузов, сер. Математика, -1986, -№8, -с.3-9.

7. Афендикова Н.Г., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения, -1987, -т.23, -№8, -с.1392-1402.

8. Афендикова Н.Г. Численное решение сингулярного интегрального уравнения первого рода с кратным интегралом с ядрами Гильберта // Известия вузов, Математика, -1988, -№3, -с.3-8.

9. Ахиезер Н.И. О некоторых Формулах обращения сингулярных интегралов // ДАН СССР, -1974, -т.214, -с.743-746.

10. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М. "Наука", -1973, -630с.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. "Физматлит", Москва-Санкт-Петербург, -2000, -622 с.

12. Белоцерковскии С.М., Лифанов И.К., Ништ М.И. Метод дискретных вихрей в задачах аэродинамики и теория многомерных сингулярных уравнений. //VI международная конференция по численным методам в гидродинамике. Сборник докладов. Тбилиси, -1978, -с.30-34.

13. Белоцерковскии С.М., Лифанов И.К. Некоторые сингулярные интегральные уравнения аэродинамики. // Дифференциальные уравнения, -1981, -T.XVII, -№9, -с.1539-1547.

14. Белоцерковскии С.М., Лифанов И.К. О регуляризации численного решения сингулярных интегральных уравнений и нелинейных задач аэродинамики // Теория приложения, Новосибирск, -1978, -с.173-179.

15. Белоцерковскии С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М. "Наука", -1985, -252 с.

16. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1. М."Наука", -1966, -630 с, -т.2, -1960, -620 с.

17. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных, М. "Наука" -1981, -448 с.

18. Бойков И.В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных уравнений // Журнал вычислительной математики и мат. физики, -1972, -т.12, -Ж, -с.1381-1390.

19. Бойков И.В. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений //Матем. заметки, -1972, -т.12, -вып.2, -с.177-186.

20. Баун Дж.Е., Джексон Э.Д. Нуклон-нуклонное взаимодействие. М. "Атомиздат", -1975, -248с.

21. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.-Л. "физматгиз", -1948: -296с.

22. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М. "Наука", -1970, -380с.

23. Габдулхаев Г.Б. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // Известия вузов, матем. -1965, -№5, -с.43-51.

24. Габдулхаев Г.Б. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и их некоторые применения // сб. "Функциональный анализ и теория функции", Казань, -1966, -№3, -с.7-17.

25. Габдулхаев Г.Б. Об аппроксимации тригонометрическими полиномами и погрешности квадратурных формул для сингулярных интегралов // сб. "Функциональный анализ и теория функции", Казань, -1967, -№3, -с.54-74.

26. Габдулхаев Г.Б. Об одном общем квадратурном процессе для сингулярных интегралов //сб. "Функциональный анализ и теория функции", Казань, -1967, -№3, -с.75-90.

27. Габдулхаев Г.Б. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // ДАН СССР, -1968, -179, -№2, -с.260-263.

28. Габдулхаев Г.Б. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники, мат. анализ, -1980, -т.18, -с.251-303.

29. ГабедаваТ.В. Приближенное решение уравнения теории крыла методом Бубнова-Галеркина // Труды мат. Института АН ГССР, -1974, -т.44, -с.52-56.

30. Гагуа М.Б. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений // Труды вычислительного центра АН ГССР, -1972, -XI, -№1, -с.20-33.

31. Гегелия Т.Г. О некоторых сингулярных интегральных уравнениях частного вида // Сообщ. АН ГССР, -1952, -т.13, -№10, -с.518-586.

32. Гандель Ю.В. О парных интегральных уравнениях, приводящих к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков // ТФФА и их приложения, Харьков, -1983, -№40, -с.33-36.

33. Гандель Ю.В., Полянская Т.Е. Обоснование метода дискретных особенностей для систем сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся смешанные краевые задачи мат. физики //Харьковский университет, Деп. Укр. НИИНТИ. -1984, -№720, -Ук-84, 34с.

34. Гандель Ю.В., Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. Численное решение смешанных краевых задач мат.физики, сводящихся к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков. Препринт / ИТЭФ, М, -1984, -№174, -55с.

35. Гандель Ю.В., Лифанов И.К. О решении сингулярных интегральных уравнений задачи Робена // ТФФА и их приложения, Харьков, Вшца школа. -1986, -вып. 46, -с.18-21.

36. Гандель Ю.В. Прямой численный метод решения сингулярных интегральных уравнений на всей оси // Тезисы докладов II всесоюзного симпозиума "Метод дискретных особенностей в задачах мат.физики", Харьков, -1987, -с.49-51.

37. Гандель Ю.В. Численные решения сингулярных интегральных уравнений некоторых краевых задач мат. физики // Тезисы докладов Респ.науч.конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения", Одесса, -1987, -с.59-60.

38. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных операторов, Кишинев: Штиинца, -1973, -426с.

39. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М. "Наука", -1980, -416с.

40. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М. "Наука", -1963, -638с.

41. Гончаров В.Л. Тория интерполирования и приближения функции, М. Изд.тех.-теор.лит, -1954, -326с.

42. Джишкариани А.В. К приближенному решению интегральных уравнений с сингулярным оператором // Труды Тбилисского мат. института. им. A.M. Размадзе, -1974, -т.44, -с.67-71.

43. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений приближенными проекционными методами // Журнал выч.мат. и мат.физики. -1979, -т.19, -№5, -с.1149-1161.

44. Джишкариани А.В. К решению сингулярных интегральных уравнений коллокационными методами // Журнал выч.мат. и мат.физики. -1981, т.21, -№2, -с.355-362.

45. Зверович Э.Н., Литвинчук Г.С. Краевые задачи со сдвигом для аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения / / УМН, -1968, -T.XXVII, -вып. 3(141),-с.67-121.

46. Золотаревский В.А. Конечномерные методы решения сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. Кишинев: Штиинца, -1991, -136с.

47. Золотаревский В.А., Сейчук В.Н. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений со сдвигом / / Исследование операции и программирование, Кишинев: Штиинца, -1982, -с.55-59.

48. Золотаревский В. А., Сейчук В.Н. Ко л локационный метод решения сингулярных интегральных уравнений вдоль Ляпуновского контура // Дифференциальные уравнения, -1983, -т.19, -№6, -с.1056-1064.

49. Иванов В.В. Приближенное решение особых интегральных уравнений //ДАН СССР, -1956, -т.110, -№1, -с.15-18.

50. Иванов В.В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутых контуров интегрирования / / ДАН СССР, -1956, -т.З, -№5, -с.933-936.

51. Иванов В.В. О применении метода моментов и смешанного метода к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений / / ДАН СССР, -1957, -т.114, -№5, -с.945-948.

52. Иванов В.В. Приближенное решение особых интегральных уравнений // Сб. исслед. по совр.пробл.теории функций комплексного переменного, М., -1961, -с.439-450.

53. Иванов В.В. метод приближенного решения сингулярных интегральных уравнений // Мат.анализ, 1963, "итоги науки", М., -1965, -с.125-177.

54. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений, Киев "На-укова думка", -1968, -288 с.

55. Каландия А.И. Об одном прямом методе решения уравнения теории крыла и его применение в теории упругости // Мат.сборник, -1957,-т.42, -в.2, -с.249-272.

56. Каландия А.И. О приближенном решении одного класса сингулярных интегральных уравнений // ДАН СССР, -1959, -т.125, -№9, -с.715-718.

57. Кантрович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., "Наука", -1977, -720с.

58. Кантрович J1.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JI. "Физматгиз", -1962, -562с.

59. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теоретических функций //Труды Тбилисского мат. института, -1948, -т.XVI, -с.39-80.

60. Кондратьев В.А. Оценки производных решений эллиптических уравнений вблизи границы // ДАН СССР, -1962, -т. 146, -с.22-25.

61. КорнечукА.А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов // сб. "Численные методы решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы", М., -1964, -т.4, -№4, -с.64-74.

62. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М., "Наука", -1967, -500с.

63. Крылов В.И., Шульгина JI.T. Справочная книга по численному интегрированию. М., "Наука", -1966, -370с.

64. Кублашвили М.Д., Хубеджашвили Ш.С. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутых контуров интегрирования // Тр. ВЦ им. Н.И.Мусхелишвили АН ГССР, -1978, -XVIILl, -с.109-120.

65. Купрадзе В.Д. К теории интегральных уравнений с интегралом в смысле главного значения // Сообщ. АН ГССР, -1941, -т.2, -№7, -с.587- 596.

66. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения, M.-JL, -1950, -312с.

67. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Тр. ЦАГИ, -1932, -в.118, -с.3-56.

68. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексногопеременного. М., "Наука", -1973, -736с.

69. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М., "Наука", -1977, -448с.

70. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // ПММ, -1975, -т.39, -№4, -с.742-746.

71. Лифанов И.К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и кратными интегралами топа Коши // ДАН СССР, -1978, -т.239, -№2, -с.265-268.

72. Лифанов И.К. Формулы Пуанкаре-Бертрана и сингулярные интегральные уравнения с кратными интегралами типа Каши // ДАН СССР. -1978, -т.243, -№1, -с.22-25.

73. Лифанов И.К. О формулах обращения многомерных сингулярных интегралов // ДАН СССР, -1979, -т.249, -№6, -с.1306-1309.

74. Лифанов И.К. Топология кривых и численное решение СИУ-ий первого рода //IV Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям, -1979, -с.82-85.

75. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей // ПММ, -1979, -т.43, -№1, -с.184-188.

76. Лифанов И.К. О методе дискретных вихрей для крыла бесконечного размаха // Изв. вузов, математика, -1980, -3466, -с.44-51.

77. Лифанов И.К. О некорректности и регуляризации численного решения сингулярных интегральных уравнений первого порядка // ДАН СССР, -1980, -т.255, -№5, -с.1046-1050.

78. Лифанов И.К. Квадратурные формулы и формула Пуанкаре-Бертрана для сингулярных интегралов // Сиб.мат.журнал, -1980, -т.XXI, -№6, -с.46-60.

79. Лифанов И.К. О численном решении сингулярных интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения, -1981, -t.XVIII, -№12.

80. Лифанов И.К. О приближенном вычислении многомерных сингулярных интегралов // Семинар института прикладной математики им.

81. И.Н. Векуа, доклады, -1981, -№15, -с.13-16.

82. Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на отрезке с переменными коэффициентами. Препринт // ИТЭФ-185, М., -1983, -17с.

83. Лифанов И.К., Матвеев А.Ф. О сингулярном интегральном уравнении на системе отрезков // Теория функции, функциональный анализ и их прил. -1983, -вып.40, -с.104-110.

84. Лифанов И.К. Численное решение одномерных сингулярных интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения,-1984.-Т.XX,-№1,-с.68-73.

85. Лифанов И.К. Численное решение сингулярных интегральных уравнений Гильберта с сильной особенностью // Оптимальные методы вычислений и их применения, Пенза, -1985, -с.38-44.

86. Лифанов И.К. Моляков Н.М. О численном решении сингулярного интегрального уравнения второго рода // Труды ВВИА им. Н.Е. Жуковского, -1986, -вып. 1313, -с 465-475.

87. Лифанов И.К. Сингулярное интегральное уравнение первого рода задачи Неймана // Дифференциальные уравнения, -1988, -т. XXIV, -№2,-с.110-115

88. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент, Москва, ТОО "Янус", -1995. -520с.

89. Манджавидзе Г.Ф. О приближенном решении граничных задач теории функций комплексного переменного // Сообщ. АН ГССР, -1953, -т.14,-№10, -с.577-582.

90. Матвеев А.Ф. Приближенное решение некоторых сингулярных интегральных уравнений. Препринт/НТЭФ-87, Москва, -1992, -32с.

91. Матвеев А.Ф. О саморегуляризации задачи вычисления сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта в метрике С.-Препринт/НТЭФ-165, Москва, -1982, -37с.

92. Матвеев А.Ф. Об устойчивом в метрике С приближенном решении сингулярных уравнений, разрешимых в замкнутой форме.

93. Преприн/НТЭФ- 13, Москва, -1983, -27с.

94. Матвеев А.Ф. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с развернутой правой частью. Препринт/НТЭФ-92, Москва, -1984, -27с.

95. Матвеев А.Ф. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений прямым методом с произвольным выбором точек коллока-ции. Препринт/НТЭФ-181, Москва,-1985, -19с.

96. Матвеев А.Ф. О прямом методе механических квадратур приближенного решения сингулярных интегральных уравнений с комплекс-нозначными коэффициентами на отрезке. Препринт/НТЭФ-35, Москва, -1986, -17с.

97. Матвеев А.Ф. О построении решения сингулярного интегрального уравнения с заданным порядком на бесконечности. Препринт/НТЭФ-86-94, Москва, -1986, -12с.

98. Матвеев А.Ф. О построении решений сингулярных интегральных уравнений второго порядка. Препринт/МТЭФ-88-35, Москва, -1988, -11с.

99. Матвеев А.Ф. Прямые методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений с произвольным выбором коллокационных точек. Препринт/НТЭФ-42, Москва, -1986, -13с.

100. Матвеев А.Ф. Моляков Н.М. Применение прямого метода механических квадратур для решения сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши. Препринт/НТЭФ-103, Москва, -1988, -37с.

101. Матвеев А.Ф. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения на отрезке // ДАН СССР, -1988, -т.298, -№3, -с.281-285.

102. Матвеев А.Ф. О построении приближенного решения сингулярного интегрального уравнения второго рода // ДАН СССР, -1989, -т.307, -с.1045-1050.

103. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. М. "Гостехиздат", -1953, -526с.

104. Михлин С.Г. Сингулярное интегральное уравнения //УМН, -1948,-т.З, -вып.З, -с.29-112.

105. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. M.-JL, -1949, -380с.

106. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений (справочник). Москва, "факториал", -1999, -272с.

107. Михлин С.Г., Радева Р.К. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений//Изв. вузов, матем. -1974, -№5, -с. 158-162.

108. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М. "физматгиз", -1962, -256с.

109. Мусаев Б.И. Приближенное решение полного сингулярного интегрального уравнения на отрезке //Инст. кибернетики АН Аз. ССР, Баку, -1985, -34с. Деп. в ВИНИТИ, 23.10.85, -№7377-85.

110. Мусаев Б.И. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений / Препринт Ин-та физики АН Аз. ССР, Баку, -1986, -№17, -48с.

111. Мусаев Б.И. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений // В сб.: Сингулярные интегральные операторы. Азерб. гос. ун-т, Баку, -1986, -с.33-61.

112. Мусаев Б.И. О приближенном решении сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // В сб. сингулярные интегральные операторы. Азерб. гос. ун-т, Баку, -1987, -с.77-90.

113. Мусаев Б.И. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений при отрицательном индексе методом механических квадратур // ДАН СССР, -1988, -т.298, -№2, -с.286-290.

114. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М, "Наука", -1966, -720с.

115. ИЗ. Мусхелишвили Н.И. Сингулярное интегральные уравнения. М, "Наука", -1966,-512с.

116. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. M.-JL, "физ.мат.гиз". -1949,-688с.

117. Никольский С.М. Квадратурные формулы, М, "Наука", -1974, -224с.

118. НинидзеК.Р. О локальном каноническом разбиении в схемах численного решения задач плоской теории упругости //Труды IX Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (МДОЗ МФ-2000) Орел, -2000, -с.329-332.

119. Нинидзе К.Р., Хомасуридзе Н.Г. Решение некотороых граничных задач теории упругости в биполярных координатах // сб. Труды Вычисл. Центра АН Гр. ССР, -1981, -т.ХХ1;1, -с.121-126.

120. Онегов JI.A. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта //Изв. вузов, Математика, -1978, -№1, -с.81-87.

121. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракций, Киев, "На-укова Думка", -1984, -344с.

122. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев, "Наукова Думка", -1976, -443с.

123. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М., "Наука", -1977, -312с.

124. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М., "Наука", -1981, -688с.

125. Полянская Т.С. К решению сингулярного интегрального уравнения на системе отрезков //Теория функций, функциональный анализ и их приложения, -1985, -вып.44, -с.84-87.

126. Полянская Т.С. О сингулярном интегральном уравнении с кратными интегралами типа Коши //Всесоюзный симпозиум "Метод дискретных особенностей:" Тезисы докладов, Харьков, -1985, -с.98-99.

127. Полянская Т.С. Численное решение сингулярных интегральных уравнений с кратными интегралами типа Коши и Гильберта методом дискретных особенностей: Тезисы докладов. Харьков, -1987, -с.150-151.

128. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М, Наука", -1979, -494с.

129. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения //В кн. Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики. -1988, -т.27, -с.5-130.

130. Привалов И.И. Интегральные уравнения. М.-Л., ОНТИ, -1935, -248с.

131. Пихтеев Г.Н. О вычислении некоторых сингулярных интегралов с ядром типа Коши // ПММ, -1959, -т.23, -вып.б, -с.1074-1082.

132. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши по разомкнутому контуру // Appl. М., -1965, -10, -№4, -с.351-373.

133. Пыхтеев Г.Н. О квадратурных формулах для интегралов типа Коши по прямолинейному разомкнутому контуру и методе оценки их погрешностей // Изв. АН БССР. Сер.физ.-мат. наук, -1969, -№5, -с.55-63.

134. Пыхтеев Г.Н. О построении квадратурных формул для интегралов тира Коши по прямоугольному разомкнутому контуру // Изв. АН БССР, -1970, -Ш, -с.61-69.

135. Пыхтеев Г.Н. Шокомалов И.Н. Об интерполяционных квадратурных формулах, содержащих производные для некоторых интегралов типа Коши и их главных значений // Ж. Вычисл. матем. и матем. физ, -1970, -т.10, -№2, -с.438-447.

136. Пыхтеев Г.Н. О вычислении коэффициентов и оценке погрешности интерполяционных квадратурных формул для простейших интегралов типа Коши и сингулярных интегралов по разомкнутому контуру // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., -1972, -т.12, -№3, -с.746-756.

137. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала //УМН, -1946, -т.1, -в.3-4, -с.96-124.

138. Саникидзе Д.Г. О приближенном вычислении сингулярных интегралов // Сообщ. АН ГССР, -1965, -т.40, -№3, -с. 513-520.

139. Саникидзе Д.Г. О некоторых квадратурных формулах для несобственных интегралов // Труды Тбилисского госуниверситета, -1965, -т.110, -с.255-261.

140. Саникидзе Д.Г. О точных оценках приближения квадратурных формул при интегрировании неограниченных функций // Сообщ. АН ГССР, -1967, -т.45, -JV62, -с.297-304.

141. Саникидзе Д.Г. К вопросу оценки погрешности квадратурных формул для некоторых сингулярных интегралов // Сообщ. АН ГССР, -1968, -т.50, -№3, -с.525-530.

142. Саникидзе Д.Г. Об усложненных формулах квадратур для особых интегралов // Сообщ. АН ГССР, -1969, -т.53, -№1, -с.33-36.

143. Саникидзе Д.Г. О сходимости квадратурного процесса для некоторых сингулярных интегралов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., -1970, -т.10, -№1, -с.281-284.

144. Саникидзе Д.Г. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с суммируемой точностью методом механических квадратур // Укр. матем. журн., -1970, -№1, -с.106-114.

145. Саникидзе Д.Г. О некоторых локальных признаках сходимости приближенных процессов при аппроксимации сингулярных интегралов типа Коши // Сообщ. АН ГССР, -1970, -т.60, -№2, -с.277-280.

146. Саникидзе Д.Г. О приближенном вычислении криволинейных сингулярных интегралов // Аннотации докл. семинара Ин-та прикл. матем. Тбилисского гос. университета, -1970, -№3, -с.12-17.

147. Саникидзе Д.Г. О порядке приближения некоторых сингулярных операторов квадратурными суммами // Изв. АН Арм. ССР, матем., -1970, -т.5, -Ж, -с.371-384.

148. Саникидзе Д.Г. О некоторых локальных оценках остатка квадратур для сингулярных интегралов типа Коши // Аннотации докл. семинара Ин-та прикл. матем. Тбилисского гос. ун-та, -1971, -JNM, -с.35-38.

149. Саникидзе Д.Г. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений в случае замкнутых контуров интегрирования // Аннотация докладов семинара Института прикладной математики Тбилисского гос.университета, -1971, -№5, -с.31-35.

150. Саникидзе Д.Г. О некоторых линейных процессах аппроксимациисингулярных интегралов в смысле главного значения // Тезисы докл. Третьей научн. сессии Ин-та прикл. матем. Тбилисского гос. ун-та, Тбилиси. -1971, -с.50.

151. Саникидзе Д.Г. О приближенном дифференцирование сингулярных интегралов // Тезисы докл. третьей респ. конференции математиков Белоруссии. Минск, -1971, -ч.1, -с.113-114.

152. Саникидзе Д.Г. О численном решении сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // Симпозиум по механике сплошной среды и родст. проб, анализа, Аннотации докл., Тбилиси. -1971, -с.40-41.

153. Саникидзе Д.Г. Квадратурные процессы для интегралов типа Коши // Математические заметки, -1972, -II выр.5, -с.517-526.

154. Саникидзе Д.Г. О порядке приближения сингулярных интегралов для одного класса плотностей суммами усложненного типа //Сообщ. АН ГССР, -1972, -т.68, -№3, -с.533-536.

155. Саникидзе Д.Г. Замечание о квадратурных формулах для сингулярных интегралов // Тр. Вычисл. центра АН ГССР, -1972, -XI, -№1, -с.110-120.

156. Саникидзе Д.Г. О поведении одного приближенного процесса для сингулярных интегралов вблизи концов отрезка интегрирования // Сообщ. АН ГССР, -1973, -т.69, -№1, -с.29-32.

157. Саникидзе Д.Г. ОБ аппроксимации сингулярных интегралов Коши и их предельных значений на концах линии интегрирования // Матем. заметки, -1974, -вып.4, -с.533-542.

158. Саникидзе Д.Г. О равномерной оценке приближения сингулярных интегралов с Чебышевской весовой функцией суммами интерполяционного типа // Сообщ. АН ГССР, -1974, -т.7, -№1, -с.53-55.

159. Саникидзе Д.Г. Замечание к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений при разомкнутых контурах интегрирования // Сб. "Приближенные методы решения задач математической физики". I, изд. Тбилисского гос. ун-та, -1975, -с.99-103.

160. Саникидзе Д.Г. Хубеджашвили Ш.С. Замечание об оценке точности одного процесса аппроксимации сингулярных интегралов для функций, имеющих абсолютно непрерывную производную заданного порядка // Сообщ. АН ГССР, -1975, -т.78, -№3, -с.561-564.

161. Саникидзе Д.Г., Кублашвили М.Д., Хубеджашвили Ш.С. О численном решении некоторых граничных задач методом обобщенных сингулярных уравнений // Сообщ. АН ГССР, -1980, -т.ЮО, -№1, -с.61-64.

162. Саникидзе Д.Г., Хубеджашвили Ш.С., Деметрашвили Н.Г., Абеса-дзе Л.И., Meлия М.П. Пакет прикладных программ "Нофима" для численного решения сингулярных интегральных уравнений и некоторых граничных задач. Инф. бюлл. ГКНТСССР, М, -1982, -№1(45)6, -27с.

163. Саникидзе Д.Г. Вычислительные процессы для сингулярных интегралов с ядром Коши и их некоторые применения, докторская диссертация, Тбилиси, -1984г, -300с.

164. Саникидзе Д.Г., Хубеджашвили Ш.С., Мирианашвили М.Г., Еме-льяненко Г.А., Мачавариани А.Н. О численном решении уравнений Липпмана-Швингера // Сообщ. АН ГССР, -1990, -140, -с.261-264.

165. Саникидзе Д.Г. К численному решению граничных задач методом аппроксимации сингулярных интегралов // Дифференциальные уравнения, -1993, -т.29, -№9, -с.1-13.

166. Саникидзе Д.Г. К вопросу о квадратурной аппроксимации одного сингулярного интегрального оператора // Computational methods in appied mathematics, Minsk, Volume 1 2001), Namber 2, -p.199-210.

167. Саникидзе Д.Г. К вопросу обоснования метода граничных интегральных уравнений в случае областей с негладкими границами //Дифференциальные уравнения, -1996, -т.32, -№9, -с.1153-1159.

168. Саникидзе Д.Г. О методе дискретных вихрей повышенной точности для численного решения одного класса сингулярных интегральных уравнений //Дифференциальные уравнения, -1998, -т.34, -№9, -с.1-7.

169. Саникидзе Д.Г., Нинидзе К.Р. О модифицированных схемах дискретных вихрей в численном решении сингулярных интегральных уравнений //Дифференциальные уравнения, -2000, -т.36, -№9, -с.1270-1277.

170. Саникидзе Д.Г., Мирианашвили М.Г. К вопросу уменьшения размерности систем в модифицированной схеме дискретных вихрей //Труды IX международного симпозиума. Орел 2000, -с.398-401.

171. Саникидзе Д.Г., Хубежты Ш.С. К вопросу применения внешних узлов в модифицированных схемах дискретных вихрей // Труды IX международного симпозиума. Орел 2000, 29 мая -2 июня, -2000, -с.395-397.

172. Саникидзе Д.Г., Хубежты Ш.С. К вопросу применения внешних узлов в модифицированных системах дискретных вихрей // Владикавказский математический журнал 2000, -том 2, -выпуск 3, -с. 37-41.

173. Саникидзе Д.Г., Нинидзе К.Р. Метод свободных параметров в приближенном вычислении интегралов типа Коши / / Труды X международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". Херсон 29 мая -5 июня, -2001, -с.299-302.

174. Саникидзе Д.Г., Мирианашвили М.Г. Сингулярные интегральные уравнений в численных конформных отображениях // В1СНИК Хар-ювського нащонального ушверситету, Харюв 2003, -№590, -с.213-218.

175. Сафронов Н.Д. К приближенному решению сингулярных уравнений //ДАН СССР, -1956, -т.III, -№1, -с.37-39.

176. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М. физматгиз, -1962, -500с.

177. Снижко Н.В., Тихоненко Н.Я. Прямые методы решения бисингуляр-ных интегральных уравнений первого рода в обобщенных пространствах Гельдера на остовах Ляпунова // Херсон, 29 мая-5 июня, -2001, -с.327-328.

178. Тихоненко Н.Я. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений и краевых задач со сдвигом // ДАН СССР, -1976, -т.230, -№2, -с.291-294.

179. Тихоненко Н.Я. К приближенному решению некоторых сингулярных интегральных уравнений со сдвигом // Дифференциальные уравнений, -1978, -т.14, -№3, -с.522-526.

180. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М, "Наука", -1966, -724с.

181. Фан Ван Хап. Об одном методе приближенного решения сингулярных интегральных уравнений //Ж. вычисл. матем. иматем. физ, -1965, -т.5, -№2, -с.171-184.

182. Фан Ван Хап. О применение метода замены интеграла конечной суммой к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений // Вестник МГУ, Сер 1. Математика, механика, -1969, -№3, -с.59-64.

183. Фуфаева В.В. К задаче Дирихле для областей с углами // ДАН СССР, -1960, -№1, -с.37-39.

184. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функции, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. // Труды Тбилисского математического института АН ГССР, -1957, -т.ХХШ, -с.3-158.

185. Шешко М.А. К оценке погрешности интерполяционных квадратурных формул для интегралов типа Коши // Изв. АН БССР, сер. физмат. наук, -1972, -№3, -с. 101-105.

186. Шешко М.А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла // Изв. вузов. Математика, -1976, -№12, -с.108-118.

187. Шешко М.А. О методах приближенного решения сингулярных интегральных уравнений // ДАН БССР, -1977, -t.XXI, -№12, -с.1067-069.

188. Шешко М.А. Двумерные сингулярные интегральные уравнений первого рода с ядром Коши // Дифференциальные уравнений, -1981, -т.17, -№8, -с.1518-1521.

189. Шешко М.А. интегральные уравнений, содержащие кратные интегралы с ядрами Коши // Дифференциальные уравнений, -1986, -т.22, -№3, -с.523-238.

190. Шешко М.А. Прямой метод решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // ДАН БССР, -1987, -t.XXXI, -№12, -с. 1077-1080.

191. Шешко М.А. Сингулярные интегральные уравнения с ядрами Коши и Гильберта и их приближенное решения, Люблин, Научное общество Католического Университета в Люблине, -2003, -288с.

192. Хубеджашвили Ш.С. Замечание об оценке точности приближения сингулярных интегралов суммами усложненного типа // Сообщ. АН ГССР -1976, -т.88, -№1, -с.21-23.

193. Хубеджашвили Ш.С. Некоторые вопросы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Кандидатская диссертация, Тбилиси, -1979, -96с.

194. Хубеджашвили Ш.С., Арсени В.Ф., Руда Л.Г. К численному решению на ЭВМ сингулярных интегральных уравнений со сдвигом // Труды вычислительного центра им. Н.И. Мусхелишвили АН ГССР, -1982, -XXII: 1, -с. 160-164.

195. Хубежты Ш.С. О квадратурных формулах с наперед заданными узлами для сингулярных интегралов // Исследования по мат. анализу. Владикавказ: Изд-во СОГУ, -1994, -с.53-55.

196. Хубежты Ш.С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов типа А.А. Маркова // Вестник СОГУ, Естественные науки, -1999, -№1, -с.53-56.

197. Хубежты Ш.С. Практикум по методам вычислений. Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН -1999, -78с.

198. Хубежты Ш.С. О квадратурных формулах для сингулярных интегралов // Владикавказский математический журнал, -2003, -т.З, -вып. 1, -с.49-57.

199. Хубежты Ш.С. О квадратурных формулах для сингулярных интегралов, содержащих наперед заданные узлы // Дифференциальные уравнений, -2001, -№12, -с.1708-1710.

200. Хубежты Ш.С. К вопросу численного решения уравнения Липпмана-Швингера // Труды X международного симпозиума, Украина, Херсон, 29 мая 5 июня, -2001, -с.373-376.

201. Хубежты Ш.С. К численному решению задачи Дирихле методом локально-канонического разбиения // Владикавказский математический журнал, -2003, -т.5, -вып.2, -с.52-59.

202. Хубежты Ш.С. Вычисление интегралов типа Коши в задачах плоской теории упругости // Вктник Харювского ушверситету -2003, -№590, -вып. 1, -с.235-239.

203. Хубежты Ш.С. Приближенное вычисление интегралов типа Коши //Владикавказский математический журнал, -2003, -т.5, -вып.4, -с.56-67.

204. Хубежты Ш.С. О численном решении уравнений Липпмана- Швин-гера // Дифференциальные уравнения, -2004, -т.40, -№1, -с.1-8.

205. Хубежты Ш.С. Численное решение некоторых классов сингулярных интегральных уравнений // Исследование по комплексному анализу, теории операторов и математического моделирования, Владикавказ, Изд-во ВНЦ РАН, -2004, -с.375-407.

206. Anfigenov A. Yu. and Lifanov I.K., On numerical solution of integral equations of planar and spatial diffraction. Russian J. Numer, Anal. Math. Modelling (1992) 7, -p.387-404.

207. Belotserkovsky S.M., and Lifanov I.K., Method of Discrete Vortices. CRC Press, -1993, -452p.

208. Carleman Т. Sur la Theorue des equations integrals et ses applications. Verhandl des Internat. mathem. kongr. Zurich, B.T. -1932.

209. Elliott D. Orthogonal polynomials associated with singular equations. STAM J. Numer. Anal. -1982, -№9. -v9. -p.41-54.

210. Elliott D., Orthogonal polynomials associated wihh singular equations having a Caychy kernel. SIAM J. Numer. Anal, -1982, -v. 13, -№6, -p.1041-1052.

211. Elliott D. Rates of convergence for the method of classical collocation for singular integral equations. SIAM J.Numer. anal. -1984, -v21, -Nsl.

212. Elliott D. A comprehensive approach to the approximate solution of singular integral equations over the arc(-1,1). J. of Integral Equations and Applications, -1989, -v.2, -№1, -p.59-94.

213. Gaidaenko V.l. and Lifanov I.K. On the mathematical model for nonlinear stationary aerodynamic problems. Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling, -1993, -v.8, 4, -p.285-296.

214. Ioakimidis N.I. and Theocaris P.S. On the numerical evaluation of Caychy principal volue integrals. Rev. roum. sci. techn. Ser. mec, appl, -1977, -v.22, -№6, -p.803-818.

215. Lifanov I.K., Matveev A. F. and Molyakov N.M. Flow around permeable and thick airfoils and numerical solution of singular integral equations. Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling, -1992, -v.7, -N°2, -p. 109-144.

216. Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebsverteilung von Tragflugeln. Luftfahrtforschung -1938, -v.15, -№4, -p.153-169.