автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Обобщенная математическая модель и алгоритмы процесса линейной деформации упругого тела на основе систем сингулярных интегральных уравнений

На правах рукописи

(У

У7

РИМСКАЯ ЛИЛИЯ ПАВЛОВНА

ОБОБЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМЫ ПРОЦЕССА ЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГОГО ТЕЛА НА ОСНОВЕ СИСТЕМ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Специальность 05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2005

Работа выполнена в ФГОУ ВПО «Смоленский сельскохозяйственный институт»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Алексей Витальевич Юденков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Дюис Данилович Ивлев доктор физико-математических наук, профессор Эдуард Михайлович Карташов

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН им. академика В.А.Трапезникова

Защита состоится 29 декабря 2005 года в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.128.02 в Московском государственном горном университете (119991, Москва, Ленинский проспект, д.6).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета

Автореферат разослан « » ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, доцент Адигамов А.Э.

йоо&-Ч

¿0567

поит

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современные тенденции развития строительной, авиационной и космической техники ставят задачи автоматизации расчетов напряжений и деформаций по известным граничным условиям для систем сложной конфигурации.

Одним из методов решения указанных задач является формирование достаточно общей математической модели, объединяющей все возможные варианты процесса линейной деформации как частные случаи.

В работах Г.В.Колосова и Н.И.Мусхелишвили было показано, что математическая модель линейной деформации может быть представлена в виде краевых задач для бианалитических функций вида

где у(г) и ф(г) - аналитические в некоторой заданной области функции (аналитические компоненты), г = х 1 у - неаналитические компоненты.

В дальнейшем Д.И.Шерману удалось свести основные задачи теории упругости к сингулярным интегральным уравнениям (назовем их уравнениями Шермана). Несмотря на то, что краевые задачи для бианалитических функций и системы сингулярных интегральных уравнений Шермана являются математическими моделями одного и того же процесса линейной деформации, между ними существуют значительные различия, на которые указывалось в работах Н.И.Мусхелишвили1, а именно, основным недостатком моделей, основанных на краевых задачах, является то, что численное решение можно получить без применения интегральных уравнений только для областей простейшего вида. Модель, построенную с использованием интмраль-ных уравнений Шермана, можно использовать при решении задач теории упругости для областей сложной формы. К тому же такие вопросы, как установление устойчивости модели, условий нетеровости систем сингулярных уравнений или краевых задач, важные для дальнейшего применения приближенных численных методов, решаются только с использованием интегральных уравнений.

Большой вклад в развитие теории сингулярных интегральных уравне-

1 Мусхелишвили Н.И Некоторые основные задачи математической теории упругости 5 изд - М Наука,

¥(г) = + ъ ф(г),

1966

ний в приложении к задачам теории упругости внесли Д.И.Шерман, Г.Н.Савин, Г.С.Лехницкий, С.Г.Михлин и другие отечественные и зарубежные ученые. Ими были получены важные теоретические результата о единственности и устойчивости решений основных задач теории упругости. В частности, в работах Г.С.Лехницкого было показано, что для математических моделей упругих тел с сильно выраженными анизотропными свойствами характерно появление в качестве неаналитической компоненты функции сдвига. Также было установлено, что для описания обобщенной плоской деформации необходимо помимо двух аналитических компонент рассматривать третью аналитическую функцию.

Надо отметить, что в случае изотропного тела, как и в случае явно выраженной анизотропии, уравнения задачи теории упругости в области линейной деформации относятся к эллиптическому виду. В то же время общего подхода к численному решению задач данного класса долгое время предложено не было. Поэтому в 50-х годах Ф.Д.Гаховым были сформулированы краевые задачи для полианалитических функций, которые являлись обобщенной моделью линейной деформации упругого изотропного тела.

В работах Ф.Д.Гахова, МП.Ганина, В.Дамияновича, В.С.Рогожина, К.М.Расулова был предложен ряд алгоритмов решения коаевых задач для полианалитических функций, приспособленных для достаточно широкого класса областей. В работах С.А.Редкозубова и A.B. Юденкова задачи для поли-атталитических функций были обобщены на случай неаналитического сдвига, который возникает при работе с анизотропными средами. Были рассмотрены численные варианты решения задач со сдвигом с использованием конформных отображений. Это дало возможность выработать единый подход к численному решению задач теории упругости в случае линейной деформации. В то же время аналогичная математическая модель линейной деформации, основанная на системах сингулярных уравнений, не изучалась.

На сегодняшний момент актуальной научной задачей в дальнейшем развитии математического моделирования процесса линейной деформации упругого тела является построение модели, основанной на системе сингулярных интегральных уравнений, соответствующих краевым задачам для полианалитических функций.

Цель работы. Сформулировать новый класс систем сингулярных интегральных уравнений, моделирующих процесс линейной деформации в упругих телах, как с изотропными, так и с анизотропными свойствами и разработать основы для численного решения этого класса систем.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

!. рассмотреть новый класс систем сингулярных уравнений, построенных на основе интегральных уравнений Шермана, моделирующий процесс линейной деформации упругого тела как с изотропными, так и с анизс гроп-ными свойствами;

2. развить численный метод, позволяющий сводить системы сингулярных уравнений к системам интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода;

3. изучить частные случаи систем сингулярных интегральных уравнений, дающие решения в замкнутой форме;

4. изучить возможность применения конформных отображений при решении систем сингулярных интегральных уравнений в случае односвязных областей произвольной формы для получения эффективных численных решений задач плоской теории упругости;

5. решить многоэлементные задачи для полианалитических фувтсиий, моделирующие процессы линейной деформации в многокомпонентных средах и склеивания жестких поверхностей.

Методика исследования. Системы сингулярных интегральных уравнений и соответствующие им краевые задачи для полианалитических функций рассматривались как нетеровы операторы, к которым они приводились путем формирования из неаналитических компонент ядер Фредгольма. В дальнейшем при решении указанных систем использовались классические краевые задачи для аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения, а также конформные отображения, приближенные значения которых были представлены в виде интерполяционных полиномов Лагранжа.

Основные научные положения, выносимые на защиту, и их новизна.

- Впервые составлена обобщенная математическая модель процесса линейной деформации упругого тела на основе систем сингулярных интегральных уравнений.

- Получен алгоритм сведения систем сингулярных интегральных уравнений к сисгемам уравнений Фредгольма и установлены условия разрешимости систем сингулярных интегральных уравнений;

- На основе полученной математической модели изучены многоэлементные задачи для полианалитических функций, моделирующие процессы жесткого склеивания поверхностей и жесткого соединения упругих тел из различных по прочностным свойствам материалов.

Достоверность результатов обеспечивается точной математической постановкой исследуемых задач, доказательством всех теоретических положений, на которых строятся методы исследования систем сингулярных инте-фальных уравнений, согласованностью полученных результатов в частных случаях с общепризнанными, численным экспериментом, проведенным на задачах теории упругости для изотропного тела.

Практическое значение работы состоит в том, что исследованный в работе класс систем сингулярных интегральных уравнений Шермана позволяет решать практически важные задачи теории упругости сплошных тел, связанных с расчешм напряжений и смещений сложных соединений изотропных и анизотропных тел.

Результаты исследований позволяют разрабатывать эффективные численные методы для решения задач теории упругости в области линейных деформаций в самых разнообразных постановках на основе общей математической модели - систем сингулярных интегральных уравнений Шермана.

Реализация результатов исследования. Результаты работы используются для проведения специальных курсов на кафедрах механизации и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленский сельскохозяйственный институт».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на II Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (г. Пенза), VI Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике» (г. Пенза), XXXIV международной научно-практической конференции «Наука возрождению сельского хозяйства в ХХТ в.» (г. Великие Луки), неоднократно докладывались на кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смо-

ленский сельскохозяйственный институт», кафедре высшей математики МГГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ (одна монография), список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения, включает 2 рисунка и список литературы из 108 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Актуальность задачи, формулировка цели и основных задач диссертационной работы содержатся во введении.

В первой главе диссертации излагается современное состояние проблем математического моделирования процесса линейной деформации упругих тел, а также приводится необходимый математический аппарат, используемый в дальнейших исследованиях.

В § 1 рассматривается математические модели линейной деформации однородного тела в зависимости от его упругих свойств.

а) Изотропное тело.

Известно, что напряженное состояние тела полностью можно охарактеризовать, зная составляющие напряжений, образующие тензор второго рода (см. рис.1).

Т*У

ту*

С Л

Рис. 1.

Зная составляющие напряжений в точке на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через какую-либо точку тела, можно определить напряжение на любой площадке, проходящей через эту точку. Обозначая через Х„, Y„, Zn проекции напряжения, действующего на площадку, получим:

Хп = стх cos(n, х) + cos(n, у) + cos(n, z),'

Yn = тку cos(n,x)+ay cos(n,y) + t^ cos(n,z), ^

Zn=*xz cos(n, x) + cos(n, y) + az cos(n, z).

Для характеристики деформации вводится следующий симметричный тензор 2-го ранга:

^Yxy У2У 1

/2'ху

72 Yx

е„

'2'У*

'V е,

где 8, (1 = х, у, ъ) - относительное удлинение отрезка первоначально параллельного 1, у,, 0 = х,у,г,] = х, - изменение угла между отрезками, первоначальные направления которых 1 и 3.

Система уравнений статики упругого тела задается следующим образом:

дк ду дг

дхт дау dz„ хг

-J2L + —L+_2L + Y = 0,

Эх ду dz

dz„ . дх.

+ Z = О,

(2)

дх ду дг

ох = Хв-ь 2цех, ау=А,9 + 2цеу, а2=Л.9 + 2це2

Туг=2^ Туг' *я=2МГхг. Тух=2ИТУх-где 0 = ех + еу + ег; Я, = Ап; ц = Ап - Аи - коэффициенты Ламэ.

Если ввести функцию напряжений и(х, у) (функция Эри), связанную с напряженными соотношениями:

о» =-

32Ц

9у2 1

"С™ =

а2и

дудх'°у

а2и ах2'

(3)

то систему уравнений статики можно свести к бигармоническому уравнению

Д2и(х,у) = 0. (4)

В работах Н.И.Мусхелишвили, Г.Т.Колосова показано, что решение уравнения (4) в случае отсутствия объемных сил является бигармоническая функция вида:

и(х,у) = Ыс[г ф1(2) + ф0(2)], (5)

где ф0(/) - аналитические функции в области, занятой телом, г = у -[у.

Непосредственное решение бигармонического уравнения (4) сопряжено со значительными трудностями. Поэтому для определения неизвестных компонент смещения и напряжения используются различные граничные условия. Обычно их разделяют на три типа.

Первая основная задача. Па всей поверхности задаются внешние усилия (X пз

Вторая основная задача. На всей поверхности задаются проекции смещения на три несовпадающие направления.

Смешанная задача. На части поверхности задаются усилия, на другой части - смещения, или же задаются две компоненты усилий и одна напряжений и т.д.

В зависимости от цели исследования, формы тела, распределения усилий выбирают наиболее удобную систему условий.

Несмотря на различные формулировки, математические модели первой, второй и смешанной задач теории упругости достаточно похожи. Так в случае отсутствия объемных сил граничные условия для первой основной задачи примут вид:

Хп = стх сой(п, х) + тху со5(п, у), Уп = соз(п, х) + сту соэ(п, у).

Математическая модель первой основной задачи теории упру-ости изотропного тела с использованием бигармонической функции и(х, у) имеет вид:

— =|Ха<Ь + с1 - = -^„<18 + ^ (7)

Зу о а* о

или

фДО+кр/ф+ср^ь-

Фо

(о]+§2(о, \ (8)

Фо '(1)+1ф, '(*) - Ф1 (О = [фо'(0+Щ '(О - ф,

9 3

где В,0) = -2 |Упёз + с1, = -И¡Хпй& + Ис2.

о о

Математическая модель второй основной задачи, т.е. когда на контуре заданы компоненты вектора смещения, имеет вид:

«рДО + Лр, '(О + хср, (0 - '(0 + хф, ©]+£,({),'

ф0'© + 1ф1'(1)-Хф1(1)+§2а),

(9)

1 де = -4ци; §2(1) = -4цу, х - известный коэффициент.

В случае анизотропного тела основные уравнения плоской задачи описываются следующей системой:

йх Эу Зх ду

£х = СП°х + С12СТу + с.з<*7 + с16тху, еу = с12стх + систу + с23аг + с^, О = с13стх + с^ст, + с33а2 + с^,

Уху +с2б°у +сзбОг +с66тху,

ду2 дх2 дхду '

Если объемные силы отсутствуют, то удобно составить математическую модель, используя функцию Эри 11(х, у), являющуюся решением уравнения

(10)

а ^-2а 22 дх'

34и ч д4и Л

дх'ду

дх2ду2

а4и э4и Л -^ + (Н)

дхду

ду

В случае неравных корней соответствующего характеристического уравнения общий интеграл уравнения (11) имеет вид: и(х,у) = 2Яе[Р1(21) + Р2(22)],

где

Цк - корни характеристического уравнения. Введем обозначения:

Ф,(г,) = Р,'(г,), Ф2(22) = ¥2'Ш. Математическая модель первой основной задачи будет иметь вид:

\х1Ф^1) + 1х1Ф1(х1) + р.2Ф2(г2) + ^2Ф,(22) = {2+с

Ф1(21) + Ф1(21) + Ф2(22) + Ф2(22) = ^+С„

(12)

где ^ ^/х,*.

о о

Можно рассматривать функции Ф^гО, Ф2(^2) как функции обычной комплексной переменной, но на различных областях О! и 02, находящихся в аффинном соответствии. При отображении областей и Э2 на одну область у (например, окружность) уравнения (12) примут вид:

0,1(0), а2(а) - функции сдвига.

Как видно из систем уравнений (8) и (12), математические модели напряженного состояния достаточно похожи. Основная трудность в решении задач одна и та же - наличие бианалитической функции. Однако традиционно для решения подобных задач применялись методы, рассматривающие только частные случаи. Более того, большинство из данных методов работают только в том случае, когда неизвестных аналитических функций две. В то же время возникают задачи теории упругости, в которых для описания напряженного состояния используются три аналитические компоненты. Так в случае анизотропии общего вида модель первой основной задачи, основанная на комплексном представлении напряжений и смещений, имеет вид:

ЧЛ (а, (а)) + ^(аДо)) + \|/2(сх2(а)) + у2(а2(сг)) = Г, (а),

Ш ЧЛ (о)) + Ц, V1 («1 И) + Ц2у2 (а2 (сг)) + ц2 (а2 (а)) = (а),

(13)

где

Ч/1(§) = Ф1(ш1й)), Ч/2(5)=Ф2(©2(§)),

(14)

2]1е[Ф1+Ф1+А,3Ф3] = &(0, гЯе^Ф, + ц2Ф2 + Ц3Я3Ф3 ] = ё2 (О, 2Ке[Х1Ф1+\2Ф2+Ф3] = ез(г),

где £1(1), £2(1), - известные функции.

Для таких задач традиционные методы решения не подходят.

Один из возможных вариантов разработки общего метода решения задач статической теории упруг ости в областях линейной деформации является построение обобщенной математической модели, основанной на интегральных сингулярных уравнениях, соответствующих задачам (9), (12), (15) и др.

С конца 50-х годов быстрое развитие получила теория многоэлементных задач для аналитических функций и их обобщений. В работах И.Н.Векуа было показано, что задачи подобного рода моделируют процессы, происходящие в системах, состоящих из жестко закрепленных соединений.

Например, если и - куски овалоидов, склеенных друг с другом вдоль некоторой линии Ь, то вопрос о том, допускает ли бесконечно малые изгибания полученная в результате этого склеивания кусочно регулярная поверхность Б = 8+ и Я-, сводится к вопросу о существовании нетривиальных решений однородной задачи вида

Здесь (Ф+(г), Ф~(г)} - кусочно аналитическая функция, Ск(1) (к = 1,2) — заданные на Ь функции.

При гомеоморфном отображении поверхностей 8+ и Б" на некоторые плоские области и О", имеющие общую границу Г, возможно получение многоэлементных краевых задач со сдвигом.

При жестком соединении двух тел с различными упругими свойствами краевое условие для первой основной задачи теории упругости можно записать следующим образом:

Ф+0) = о,Ф-(0 + о2Ф-а), геЬ.

дБ+ ЗГ ЭГ аг

—+

Эх Эх Эх Эх

д¥+ дГ дР д¥~

dxdx.dx.dx.

где ^(г) - кусочно бианалитическая функция.

Исследование подобного рода задач возможно только на основе соответствующей теории систем сингулярных интегральных уравнений.

В следующих параграфах кратко излагается необходимый математический аппарат, традиционно использованный при решении краевых задач и систем сингулярных интегральных уравнений.

В § 2 приводятся основные обозначения и определения, которые используются в дальнейшем; излагаются основные свойства нетеровых операторов (теоремы Нетера); рассматриваются операторы комплексного сопряжения, сдвига, сингулярного интегрирования и их основные свойства.

В этом параграфе дается решение основной задачи теории краевых задач для аналитических функций - задачи Римана. В данной задаче требуется определить неизвестную кусочно аналитическую функцию Ф*(г) в областях D+ и D" по граничным значениям на гладком контуре L

<r(t) = G(t) Ф"(1) + g(t), (16)

где G(t), g(t) - известные функции.

Данная задача, как и все остальные, рассматриваются на пространстве функций, удовлетворяющих условию Гельдера.

В § 2 рассматривается также сингулярное интегральное уравнение вида

K(p)(t) = A(t)p(t) + ^ + T)PWdT = f(t>, tel, (17) m 1%-t l

где A(t), B(t), f(t) - заданные на контуре L функции, K(t, x) - известное ядро Фредгольма.

Характерисшческая часть данного уравнения соответствует задаче Римана (16).

В § 3 и § 4 приводится теория краевых задач со сдвигом для аналитических функций. Традиционно рассматриваются четыре основные задачи.

1. Задача Газемана. Найти кусочно аналитическую функцию Ф*(г) по краевому условию:

®+[oc(t)] = G(t) ®"(t) + g(t), t е L, (18)

где a(t) - гомеоморфизм контура L, не изменяющий направление обхода (прямой сдвиг).

2. Задача Карлемана. Найти аналитическую функцию Ф+(г) по краевому условию:

Ф>(0] = G(t)Ф+(1) + g(t), teL, (19)

где a(t) - гомеоморфизм контура L, изменяющий направление обхода (обратный сдвиг), причем a[a(t)] s t (сдвиг Карлемана).

3. Задача типа Газемана. Найти кусочно аналитическую функцию Ф±(г) по краевому условию:

0+[a(t)]=G(t)®-(t)+g(t), teL, (20)

где a(t) - обратный сдвиг.

4. Задача типа Карлемана. Найти аналитическую функцию Ф+(г) по краевому условию:

Ф>«] = G(t) ®4t) + g(t), t е L, (21)

здесь a(t) - прямой сдвиг, удовлетворяющий условию Карлемана.

Заметим, что задачи Газемана и Карлемана при помощи специально подобранного конформного отображения переходят в задачу Римана (теорема о конформном склеивании). Поэтому данные задачи Газемана и Карлемана считаются эквивалентными задаче Римана. Задачи же типа Газемана и типа Карлемана могут быть сведены к задаче Римана только с использованием аналитического продолжения по симметрии, что в практических задачах, как правило, приводит к достаточно громоздким преобразованиям.

Из четырех задач со сдвигом задача типа Газемана достаточно редко встречается в литературе. Поэтому в работе проводится полное исследование данной задачи.

В § 5 приводится решение сингулярного интегрального уравнения со сдвигом Карлемана

K(p)(t),a(t)p(t) + b(t)p[a(t)] + pÉU

ni 'т-t m I -c-a(t)

r (22) + jK(t,T)p(T)dT = g(t)

L

и сингулярного интегрального уравнения с комплексно сопряженными значениями неизвестной функции

K(p)(t) = a(t)p(t) + b(t)p[a(t)] + fp(^ + ^ [-Щ

ni 1%-t 7ii • т — a(t)

+

+ |K(t, i)p(t)dT + jK(t,T)p(T)dT = g(t). (23)

L L

Здесь интегральные ядра являются фредгольмовыми, a(t) - удовлетворяет условию Карлемана.

Для данных интегральных уравнений, а также для их систем, устанавливаются условия нетеровости и рассчитываются индексы.

Во второй главе кратко излагается теория двухэлементных задач со сдвигом для полианалитических функций, моделирующих первую основную задачу теории упругости для упругого тела в области линейной деформации.

Напомним, что полианалитической функцией порядка п называется функция вида:

п-1

F(z) = £z"cpk(z), (24)

k-0

где cpk(z) - аналитические функции (аналитические компоненты).

В работе сформулированы четыре задачи для полианалитических функций.

1. Задача Газемана для полианалитических функций порядка п. Требуется найти кусочно полианалитическую функцию порядка п по краевому условию на контуре L е С(2п~

^ kgyt. = GkO) ^ kgyVi + §k(t), (k=l,...,n), (25)

где G]((t) и gk(t) - заданные функции на контуре (Gk(t) * 0), принадлежащие классам H*2" ~ 2)(L) и H(n ~ 1}(L) соответственно, a(t) - прямой сдвиг, a'(t) * 0, a(t) е rf2"-1^).

2. Задача Карлемана для полианалитических функций порядка п. Требуется найти полианалитическую функцию порядка п по краевому условию на контуре L:

défait)] „ an'lF+(t) ,f4

fr-tgyM = ^n-kgyk-, +gk(0, (k=l,...,n), (26) где a(t) - обратный сдвиг Карлемана.

3. Задача типа Карлемана для полианалитических функций порядка п Требуется найти полианалитическую функцию порядка п по краевому условию на контуре L:

Ôn4F>(t)] _ , . an"'F+(t)

gx"'kgyk" 5xn"kgy <k= 1.....n), (27)

где a(t) - прямой сдвиг Карлемана.

4. Задача типа Газемана для полианалитических функций порядка п. Требуется найти полианалитическую функцию порядка n по краевому условию на контуре L:

<9n_1F+[a(t)] _ .. an4F4t)

+êk(t)' Ck=l.-,n), (28)

где a(t) - обратный сдвиг.

Условия, накладываемые на коэффициенты краевых задач для полианалитических функций, а также на контур и на функцию сдвига, необходимы и достаточны для того, чтобы искомая полианалитическая функция находилась в пространстве функций Гельдера.

Из сформулированных четырех задач для полианалитических функций до последнего времени оставалась нерешенной задача типа Газемана (28). В работе на решении задачи в дальнейшем будет базироваться исследование многоэлементных задач для полианалитических функций.

В § 8 и § 9 второй главы приводится решение задачи шла Газемана для полианалитических функций по традиционной схеме, разработанной для краевых задач со сдвигом для полианалитических функций в работах С.А.Редкозубова, А.В.Юденкова.

Сформулируем основные результаты работы.

Теорема 9.1. решение задачи типа Газемана для полианалитических функций порядка n сводится к последовательному решению (n - 1) задач типа Газемана для полианалитических функций Ф*_,(г), Ф*_?(г), ..., Ф,(г), содержащих интегральные члены, и одной задачи типа Газемана относительно функции ®î(2), где ®î(z) = [(p^z)]"^.

Из теоремы 9.1 непосредственно следует, что задача типа Газемара для полианалитических функций порядка n является нетеровой. Индекс данной

задачи определяется формулой:

ТшШ^ШО.Ю-Ц^ (29)

1=1 1

Для остальных задач (Газемана, типа Карлемана и Карлемана для полианалитических функций) приведены основные теоремы об их разрешимости.

Основные результаты работы приводятся в главе 3. В ней строится теория систем сингулярных уравнений Шермана, являющихся обобщенной математической моделью процесса линейной деформации упругого тела. Под решением систем сингулярных интегральных уравнений будем понимать метод равносильного сведения их к системам уравнений Фредгольма 2-го рода и выяснения числа и вида условий разрешимости. Для этого необходимо установить нетеровость системы и подсчитать ее индекс.

Чтобы избежать громоздких выкладок, основные методы решения систем сингулярных интегральных уравнений излагаются для случая, когда неизвестная векторная функция W на классе функций Гельдера содержит две компоненты, т.е. = ЭД^со^), <а2(1)). В дальнейшем основные результаты обобщаются на п-мерный случай.

Приведем постановку задачи. Пусть Ь - простой замкнутый контур класса С® ограничивающий конечную область Б. Необходимо определить на контуре функции со [(О и ю20) из системы:

(^ю^ХО - а^Жф + Ь2'(0 + й20)] + + р(т) + ЬВ>Чт) + о2(т)<|т+ Г^ ( (<Мт + га I х-г I

ь

(*2ю, ©2)(0 = а2(0[ш,(1) + Ь2'(0 -®2(*)] + (30)

+ р(т) + 1аа'(т)-ш2(т)с1т+ Г* (1>т)ш (т)йт + га I т-1 I

+ \кг1(Х.,х)щ(х)&х =

ь

где К^Х, х) € Н^Ь х Ь); ф) е Н*3"^); е Н^СЬ) (/, п - 1, 2).

Дополнительно будем полагать, что система (30) является нормирован-

ной, т.е. (О - (0 = 1.

Как видно из постановки задачи (30), при решении системы возникают сложности аналогичные тем, что возникают при решении краевых задач для полианалитических функций. В первую очередь они связаны с наличием неаналитической компоненты 1.

При решении системы (30) в работе рассматриваются два подхода.

Первый состоит в том, чтобы регуляризировать (свести к уравнению Фредгольма 2-го рода) каждое сингулярное интегральное уравнение относительно только одной неизвестной компоненты. Этот метод аналогичен тому, который применялся для решения двухэлементных задач для полианалитических функций.

Получен следующий результат.

Теорема 11.1. Система сингулярных интегральных уравнений (30) равносильна системе обычных сингулярных уравнений. Причем только одно уравнение относительно неизвестной функции является независимым, другое уравнение помимо неизвестной функции со^) содержит в свободном члене значение функции со2(0 и ее производной.

Теорема 11.2. Система (30) является нетеровой. Индекс системы равен

— Т Л ^к ^к

XI +12, где Хк - ЛЮ а +(1 •

Теоретически данный метод можно распространить на системы сшлу-лярных интегральных уравнений более общего вида, однако на практике он является настолько громоздким, что крайне затруднительно определить индекс системы и условия нетерововсти, а следовательно, установить сводимость системы сингулярных интегральных уравнений к уравнениям Фредгольма 2-го рода. Поэтому в главе 3 предлагается иной метод решения системы (30). Основная идея данного метода состоит в том, что только из компонент, содержащих неаналитический множитель I, формируются ядра Фредгольма. Изложим основные моменты сведения системы (30) к уравнениям Фредгольма 2-го рода.

1. Решаются два независимых характеристических уравнения

Данным методом получены результаты аналогичные утверждениям теорем 11.1 и 11.2.

Поскольку характеристическая часть уравнения (30) соответствует задаче Римана для бианалитических функций, то вполне естественно, что разработанный метод решения систем сингулярных интегральных уравнений

(30) применим для решения всех двухэлементных краевых задач для поли-аналигаческих функций, в том числе и для задач теории упругости для однородного изотропного тела в самых общих постановках.

В качестве примера в § 11 третьей главы исследуется задача Римана для бианалитических функций. В данной задаче неизвестная бианалитиче-ская функция F±(z) = ср*(z) + zcp^z) ищется по краевому условию:

^o.eÄs.M.

дх дх

ду ду

где Gk(t) и gk(t) (k = 1, 2) - заданные на контуре L функции. Получен следующий результат.

Теорема 11.4. Решение задачи Римана для бианалитических функций

(31) сводится к решению двух независимых задач Римана для аналитических функций и уравнения Фредгольма 2-го рода.

Теорема 11.5. Индекс задачи Римана вычисляется по формуле Jnd R2 = Xi + Хг,

где Xk = jnd Gic(t) - 1.

В главе 3 рассматривается так же система сингулярных интегральных уравнений для n-мерного вектора W((Di(t),..., co„(t)):

(KfflXt^ggí-l/CbCL g -J*—»

bit) ftp-a~p [со (t)]Cn_a^ ' dr a ,

+ °U f-LeÜÍ- +XÍKkm(t)T)fflm(t)dt = fk(t), (k = l,2,...,n).

™ 1 т-t J tt¿

Получен следующий результат.

Теорема 12.1. Система (32) является нетеровой. Индекс рассчитывается по формуле

а, (t) + b, (t)

Разработанный метод, распространяется на класс более сложных систем сингулярных интегральных уравнений и многоэлементных задач для полианалитических функций, моделирующих задачи теории упругости и процессы деформации системы жестко закрепленных изотропных и анизотропных тел с различными упругими характеристиками.

В § 13 рассматривается следующая система сингулярных интегральных уравнений:

(NjCOjOjXt) = а, (t)[û>, (t) + to2 ' (t) + a>2 (t)] + b, (t){a>, [a(t)] +

+ a(f)co2'[a(t)] + co2[a(t)]} + bm +

7ti l T - t

, d|(0 г«>1(т) + 0(0я)2'(т) + ю2(т)Дт t

xci ¿ t - a(t)

+ JüTn(t, t)®!(T)d-C + (t, т)ш2(x)dt - g,(t), (33)

L L

(N2co,®2)(t) = a2(t)[œj(t) + to2'(t) - a>2(t)] + b^tX©, [<*(*)] +

+ ^rK'Kt)]-œ2[a(t)]} + ^ №W + b2'(T)-jDaÇ0dt +

ni LJ t -1

+ d20) f<»l(T) + g(t>P2'Ct)-g>2(T) d-r + ni ¿ t - a(t)

+ [i:2I(t,T)co1(T)dT+ (t, т)<в 2 (î)dx = g2 (t),

L L

где a(t) - сдвиг Карлемана (a[a(t)] = t) класса H'3) (L).

Сформулируем полученный результат.

Теорема 13.1. Для того чтобы система (33) была нетеровой, достаточно выполнения условий:

1) \к (t) = (Ск (t) - ак (t))(ck[a(t)] - ак[a(t)]) - (dk (t) - bk(t)) x

x(dk[a(t)]-bk[<x(t)])*0,

Au (t) = (ck (t) + ak (t»(ck[a(t)] + ak [a(t)]) - (dk (t) + bk (t)) x x(dk[a(t)] + bk[a(t)])*0 (k = 1,2) при сохраняющем ориентацию сдвиге a(t);

2) Ak(t) = -(bk(t) + dk(t))(dk[a(t)] -bja(t)]) + (ck(t)-ak(t))x x(ak[a(t)] + ck[cx(t)])*0

при изменяющем ориентацию сдвиге a(t).

В § 14 рассматривается многоэлементная задача со сдвигом Карлемана для полианалитических функций. Требуется найти неизвестную кусочно полианалитическую функцию F*(z) по краевым условиям:

ak(t)-, У, +bk(t)— c-r + ck(t)-v /,+

k w axn"kay"w дк"-кду]ы k v} Эх dy

5n4F~ra(tYI (34)

+dk(t axnkV' k(t)' teL' (k = 1'2.....n)

где ak(t), bk(t), ck(t), dk(t) и fk(t) - заданные на L функции классов H0"-11- ,}(L) и ^"""(L) соответственно, a(t) сдвиг Карлемана, a(t) e H*2"-1^).

Поскольку задача (34) соответствует характеристической части уравнений (33), то условия нетеровости для них совпадают.

При исследовании вырожденных случаев многоэлементных задач Карлемана для полианалитических функций получены следующие результаты.

Теорема 14.1. Многоэлементная задача (34) при дополнительных условиях:

Ak(t) = bk(t) dk[a(t)] - ak[a(t)] ck(t) * 0,

A,,k(t) = ck(t) ck[a(t)] - dk[a(t)] dk(t) ш 0,

Au(t) = 3,(1) ak[a(t)l - bk[a(t)] bk(t) ^ 0, равносильна системе из внутренней и внешней задач Карлемана для полианалитических функций порядка п, причем задачи являются независимыми.

Теорема 14.3. Пусть ЛгДО = 0. В этом случае многоэлементная задача Карлемана равносильна системе из внутренней и внешней задач Карлемана для полианалитических функций, из которых только внешняя задача является независимой.

Теорема 14.4.

т * о,

^¿(0*0, (к= 1,2,..., п) А2,к(1) = 0.

В этом случае многоэлементная задача Карлемана для полианалитических функций равносильна задаче Газемана для полианалитических функций. Теорема 14.5. Пусть на контуре Ь выполняется условие

Ук(1) = Ьк(1) ск[ос(0] - ак[а(1)] 4(1) = 0 (к = 1, 2,..п), считая, что

получим, что многоэлементная задача Карлемана для полианалитических функций равносильна задаче Римана для полианалитических функций.

В § 15 третьей главы рассматривается система сингулярных интегральных уравнений типа уравнений Шермана со сдвигом Карлемана и комплекс-носопряженными значениями неизвестной функции.

(АГ.^со, )(1) - а, (1)[<в, (1) + гт?'(0+со,а)1_+Ь1а){ш,[а(01 +

Т^: г /ли м 1 ГЮ,(Т) + Ь),'(Т) + 0),(Т) ,

+ аф>2 (I) + ю2[а(1)1} + с, (I)— -^-— с!т +

____7С1I 1-Х

т I т-а(1) * I (35)

+ \к'п 0, т)со2 (т)с(т + ¡к;2 а, т)ю2 (т)<1т = 8, (I),

(£2ю, ю2 )(1) 3 а2а)[ю, (1) + 1соД1) - со, (1)1 + Ь, 0){<й, [ар)] +

+ а(1)ш2'(X) - ш2[ос(1)]> + с2(Х)- -^-^ат +

__та I х -1

711 I т ь ь

\К'г1 (Ь т)ю2 (т)с!т + |К'п (X, т)ю2 (т)с1т = §2(0-

+

Заметим, что данная система является обобщенной моделью первой основной задачи для однородного изотропного тела в случае конечной области, а также в случае бесконечной плоскости, ослабленной отверстием.

Получен следующий результат.

Теорема 15.1. Система сингулярных интегральных уравнений (35) не-терова тогда и только тогда, когда

(t) = [ak (t) + Ck (t)] • {cja(t)] - ak[a(t)]} - {bk [a(t>] + dk[cx(t)]} x a x[dk(t)-bk(t)]*0, (k = 1,2) в случае прямого сдвига <x(t)

W = К (0 + 0)1 ' {ak [«(t)] + ck [ait)]} - {bk [a(t)] - dk [a(t)]} x x[bk(t) + dk(t)]*0,

®2*(t) = [ck(t) - ak(t)] • (cja(t)] -ak[o(t)]} - {dk[a(t)] -bk[a(t)]} x

X

[dk(t)-bk(t)]*0,

в случае обратного сдвига a(t).

Индекс системы в случае прямого сдвига рассчитывается по формуле

—{arg©,(t)} + —{arg@2(t)},

71 71

в случае обратного -

27i{ @,2(t)J 2«! ë022(t)J В § 16 рассматривается многоэлементная задача со сдвигом Карлемана и комплексносопряженными предельными значениями для полианалитических функций (обобщенная задача типа Карлемана).

Требуется определить исчезающую на бесконечности кусочно полианалитическую функцию F*(z) порядка п, которая непрерывно продолжается на контур L вместе со своими производными по dz и az до порядка (п - 1) включительно, по следующим краевым условиям:

d"~'F+(t) d°~"'F*[a(t)] ¿Г1 F'(О дх^ду"-1 kW Эх"^-1 <5х"~к<Эук~'

S"-1 F" fait VI ^

+ d^t)^M = fk(t), teL,

где ak(t), bk(t), ck(t), dk(t) (k = 1,..., n) - заданные на Г. функции класса jj(2n - k - 0,-ц. fk(-t) _ ИЗВестные на L функции, fk(t) е H(n " "(L); a(t) - прямой сдвиг Карлемана второй кратности (afa(t)] = t), a'(t) * 0, a(t) е I^2"- ''(L).

Данная краевая задача равносильна характеристической части системы сингулярных уравнений (35), поэтому условия нетеровости системы (35) справедливы и для задачи (36).

Получены следующие результаты.

Теорема 16.1. Пусть выполняются условия:

0k(t) = ak(t)^(t)i - bk[a(t)] dk(t) * Q, (k = l,...,n) ®u = ak (t)ak[a(t)] - bk (t)bk[a(t)J = 0, ©2k (t) = ck (t)cjo(t)] - dk (t)dk[a(t)] = 0.

В этом случае многоэлементная задача со сдвигом Карлемана и ком-плексносопряженными значениями неизвестной полианалитической функции равносильны системе из независимых внутренней и внешней задачи типа Карлемана для полианалитических функций.

Теорема 16.2. Пусть

©k(t)*0, ©i,k(t) = 0, ©2,k(t) * 0

или

0k(t)*O, 0,.k(t) * 0, 02,k(t) = O, тогда многоэлементная задача со сдвигом для полианалитических функций равносильна системе, состоящей из внутренней и внешней задачи типа Карлемана для полианалитических функций, причем только одна из задач является независимой.

Теорема 16.3. Пусть a(t) - обратный сдвиг Карлемана и 0k(t) = 0, 01>k(t) * 0, 02,k(t) * 0, тогда многоэлеменгная задача со сдвигом для полианалитических функций равносильна задаче типа Газемана для полианалитических функций.

Помимо указанных результатов для многоэлементных задач Карлемана и типа Карлемана исследованы возможности применения к ним конформных отображений, что особенно важно для их численного решения. Показано, в частности, что в случае, когда функция, конформно отображающая внутренность единичного круга на заданную область, является рациональной, ука-

занньте задачи сводятся к системам многоэлементных задач для аналитических функций.

В приложении приведены примеры решения задач для теории упругости изотропного тела методом, предложенным в работе. Результаты решения совпадают с опытными данными, что является экспериментальным подтверждением правильности обобщенной математической модели процесса линейной деформации упругого изотропного тела и разработанных алгоритмов ее решения. Программы численного решения задач представлены в математическом пакете Maple 9.5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе решена актуальная научная задача по составлению обобщенной математической модели процесса линейной деформации упругого тела на основе систем сингулярных интегральных уравнений.

Основные результаты, полученные соискателем:

1. Сформулирован и исследован новый класс задач, составленный на основе систем сингулярных интегральных уравнений Шсрмана, моделирующий процесс линейной деформации упругого тела в самых общих постановках.

2. Развит метод численного решения обобщенных математических моделей линейной деформации упругого тела, основанный на сведении систем сингулярных интегральных уравнений к системам Фредголъма 2-го рода.

3. В рамках развитого в работе общего метода решения систем сингулярных интегральных уравнений Шермана исследованы:

- системы сингулярных интегральных уравнений со сдвигом Карлемапа;

- системы сингулярных интегральных уравнений с сопряженными значениями неизвестных функций.

4. Исследованы многоэлементные задачи для полианалитических функций, моделирующие напряженное состояние упругих тел, находящихся в жестком соединении.

5. Разработаны численные алгоритмы решения задач плоской теории упругости для областей сложной формы.

6. Практическая значимость работы заключается в возможности чис-

ленных расчетов и прогнозировании напряженного состояния системы сложной конфигурации, состоящей из многокомпонентных материалов.

Основные положения диссертации опубликованы в работа*:

1. Юденков A.B., Римская Л.П., Юденкова А.П. Краевые задачи и системы сингулярных интегральных уравнений на основе математической модели процесса линейной деформации изотропного тела. Смоленск, 2005. 106 с.

2. Юденков A.B., Римская Л.П. Смешанная задача теории упругости. // Материалы международной научно-практической конференции "Проблемы аграрной отрасли в начале XXI в." Смоленск, 2002. С.267-269.

3. Юденков A.B., Римская Л.П. Об одном эффективном методе решения систем сингулярных интегральных уравнений специального вида. // Сборник материалов VII Международной научно-технической конференции "Математические методы и информационные технологии в экономике". Пенза, 2001. С.65-68.

4. Юденков A.B., Римская Л.П. Обобщенная задача Римана для биана-литических функций на окружности. // Тезисы международной научно-практической конференции «Наука - возрождению сельского хозяйства в XXI в.». Вел. Луки, 2001 г. С.91-93

5. Юденков A.B., Римская Л.П. Многоэлементная задача Карлемана для полианалитических функций в вырожденном случае. // Мат. международной конференции "Проблемы аграрной отрасли в начале XXI века". Смоленск, 2002. С. 267-269.

6. Юденков A.B., Римская Л.П. Многоэлементная задача для полианалитических функций со сдвигом Карлемана в вырожденном случае // Сборник материалов TT Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике». -Пенза, 2002. С. 67-71.

7. Юденков A.B., Римская Л.П. Об одном эффективном методе определения индекса для систем сингулярных интегральных уравнений специального вида со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными значениями неизвестной функции // Сборник материалов VIII Международной научно-технической конференции "Математические методы и информационные технологии в экономике" Пенза, 2003. С.282-285.

8) Юденков A.B., Римская Л.П. Регуляризация систем сингулярных интегрально-дифференциальных уравнений с сопряженными коэффициентами // Сборник материалов Международной научно- практической конференции, посвященной 30-летию со дня основания ФГОУВПО «Смоленский сельскохозяйственный институт». Смоленск, 2004. Т.З, ч.1. С. 201-203.

Подписано в печать 22.! 1 2005. Формат 60x90/16. Бумага офсетная 1,0 п. л. Тираж 100 экз Заказ № 1470

звивэмосковскш О 1 ОС УДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 062809 Код издательства 5X7(03)

Отпечатано в типографии Издательства Московского государственного горного университета

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД№ 53-305

119991 Москва, ГСП-1, Ленинский проспект, 6; Издательство МГГУ; тел. (095) 236-97-80; факс (095) 956-90-40

»22276

РНБ Русский фонд

2006-4 20567

Введение.

Глава 1. Математический аппарат для исследования обобщенной математической деформации однородного тела.

§ 1. Математические модели процесса линейной деформации однородного тела на основе краевых задач и сингулярных интегральных уравнений для бианалитических функций.

§ 2. Задача Римана для аналитической функции и сингулярные интегральные уравнения.

§ 3. Система сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

§ 4. Краевые задачи для аналитических функций с сопряженными предельными значениями.

§ 5. Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными значениями.

Глава 2. Двухэлементные задачи для полианалитических функций со сдвигом на основе первой задачи теории упругости.

§ 6. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций, построенные на основе первой основной задачи теории упругости

§ 7. Задача типа Газемана для полианалитических функций.

§ 8. Первая задача типа Газемана для полианалитических функций произвольного порядка.

§ 9. Теоремы о разрешимости задачи Газемана, Карлемана и типа

Карлемана для полианалитических функций.

Глава 3. Обобщенная модель линейной деформации однородного тела и ее свойства.

§ 10. Сингулярные интегральные уравнения Шермана.

§11. Системы сингулярных интегральных уравнений специального вида.

§ 12. Системы сингулярных интегральных уравнений для п-мерного вектора.

§ 13. Системы сингулярных интегральных уравнений специального вида со сдвигом Карлемана.

§ 14. Многоэлементная задача для полианалитических функций со сдвигом Карлемана.

§ 15. Системы сингулярных интегральных уравнений специального вида со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными значениями неизвестной функции.

§ 16. Многоэлементная задача для полианалитических функций со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными предельными значениями.

Актуальность работы. Современные тенденции развития строительной, авиационной и космической техники ставят задачи автоматизации расчетов напряжений и деформаций по известным граничным условиям для систем сложной конфигурации.

Одним из методов решения указанных задач является формирование достаточно общей математической модели, объединяющей все возможные варианты процесса линейной деформации как частные случаи.

В работах Г.В.Колосова и Н.И.Мусхелишвили было показано, что математическая модель линейной деформации может быть представлена в виде краевых задач для бианалитических функций вида

F(z) = \|/(z) + z cp(z), где \|/(z) и cp(z) - аналитические в некоторой заданной области функции (аналитические компоненты), z = х - i у - неаналитические компоненты.

В дальнейшем Д.И.Шерману удалось свести основные задачи теории упругости к сингулярным интегральным уравнениям (назовем их уравнениями Шермана). Несмотря на то, что краевые задачи для бианалитических функций и системы сингулярных интегральных уравнений Шермана являются математическими моделями одного и того же процесса линейной деформации, между ними существуют значительные различия, на которые указывалось в работах Н.И.Мусхелишвили [46], а именно, основным недостатком моделей, основанных на краевых задачах, является то, что численное решение можно получить без применения интегральных уравнений только для областей простейшего вида. Модель, построенную с использованием интегральных уравнений Шермана, можно использовать при решении задач теории упругости для областей сложной формы. К тому же такие вопросы, как установление устойчивости модели, условий нетеровости систем сингулярных уравнений или краевых задач, важные для дальнейшего применения приближенных численных методов, решаются только с использованием интегральных уравнений.

Большой вклад в развитие теории сингулярных интегральных уравнений в приложении к задачам теории упругости внесли Д.И.Шерман, Г.Н.Савин, Г.С.Лехницкий, С.Г.Михлин и другие отечественные и зарубежные ученые. Ими были получены важные теоретические результаты о единственности и устойчивости решений основных задач теории упругости. В частности, в работах Г.С.Лехницкого было показано, что для математических моделей упругих тел с сильно выраженными анизотропными свойствами характерно появление в качестве неаналитической компоненты функции сдвига. Также было установлено, что для описания обобщенной плоской деформации необходимо помимо двух аналитических компонент рассматривать третью аналитическую функцию.

Надо отметить, что в случае изотропного тела, как и в случае явно выраженной анизотропии, уравнения задачи теории упругости в области линейной деформации относятся к эллиптическому виду. В то же время общего подхода к численному решению задач данного класса долгое время предложено не было. Поэтому в 50-х годах Ф.Д.Гаховым были сформулированы краевые задачи для полианалитических функций, которые являлись обобщенной моделью линейной деформации упругого изотропного тела.

В работах Ф.Д.Гахова, М.П.Ганина, В.Дамияновича, В.С.Рогожина, К.М.Расулова был предложен ряд алгоритмов решения коаевых задач для полианалитических функций, приспособленных для достаточно широкого класса областей. В работах С.А.Редкозубова и А.В. Юденкова задачи для полианалитических функций были обобщены на случай неаналитического сдвига, который возникает при работе с анизотропными средами. Были рассмотрены численные варианты решения задач со сдвигом с использованием конформных отображений. Это дало возможность выработать единый подход к численному решению задач теории упругости в случае линейной деформации. В то же время аналогичная математическая модель линейной деформации, основанная на системах сингулярных уравнений, не изучалась.

На сегодняшний момент актуальной научной задачей в дальнейшем развитии математического моделирования процесса линейной деформации упругого тела является построение модели, основанной на системе сингулярных интегральных уравнений, соответствующих краевым задачам для полианалитических функций.

Цель работы. Сформулировать новый класс систем сингулярных интегральных уравнений, моделирующих процесс линейной деформации в упругих телах, как с изотропными, так и с анизотропными свойствами и разработать основы для численного решения этого класса систем.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. рассмотреть новый класс систем сингулярных уравнений, построенных на основе интегральных уравнений Шермана, моделирующий процесс линейной деформации упругого тела, как с изотропными, так и с анизотропными свойствами.

2. развить численный метод, позволяющий сводить системы сингулярных уравнений к системам интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода.

3. изучить частные случаи систем сингулярных интегральных уравнений, дающие решения в замкнутой форме.

4. изучить возможность применения конформных отображений при решении систем сингулярных интегральных уравнений в случае односвязных областей произвольной формы для получения эффективных численных решений задач плоской теории упругости.

5. решить многоэлементные задачи для полианалитических функций, моделирующие процессы линейной деформации в многокомпонентных средах и склеивания жестких поверхностей.

Методика исследования. Системы сингулярных интегральных уравнений и соответствующие им краевые задачи для полианалитических функций рассматривались как нетеровы операторы, к которым они приводились путем формирования из неаналитических компонент ядер Фредгольма. В дальнейшем при решении указанных систем использовались классические краевые задачи для аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения, а также конформные отображения, приближенные значения которых были представлены в виде интерполяционных полиномов Лагранжа.

Основные научные положения, выносимые на защиту, и их новизна.

- Впервые составлена обобщенная математическая модель процесса линейной деформации упругого тела на основе систем сингулярных интегральных уравнений.

- Получен алгоритм сведения систем сингулярных интегральных уравнений к системам уравнений Фредгольма и установлены условия разрешимости систем сингулярных интегральных уравнений.

- На основе полученной математической модели изучены многоэлементные задачи для полианалитических функций, моделирующие процессы жесткого склеивания поверхностей и жесткого соединения тел из различных по прочностным свойствам материалов.

Достоверность результатов обеспечивается точной математической постановкой исследуемых задач, доказательством всех теоретических положений, на которых строятся методы исследования систем сингулярных интегральных уравнений, согласованностью полученных результатов в частных случаях с общепризнанными, численным экспериментом, проведенным на задачах теории упругости для изотропного тела.

Практическое значение работы состоит в том, что исследованный в работе класс систем сингулярных интегральных уравнений Шермана позволяет решать практически важные задачи теории упругости сплошных тел, связанных с расчетом напряжений и смещений сложных соединений изотропных и анизотропных тел.

Результаты исследований позволяют разрабатывать эффективные численные методы для решения задач теории упругости в области линейных деформаций в самых разнообразных постановках на основе общей математической модели - систем сингулярных интегральных уравнений Шермана.

Реализация результатов исследования. Результаты работы используются для проведения специальных курсов на кафедрах механизации и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленский сельскохозяйственный институт».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на II Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (г. Пенза), VI Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике» (г. Пенза), XXXIV международной научно-практической конференции «Наука возрождению сельского хозяйства в XXI в.» (г. Великие Луки), неоднократно докладывались на кафедре информационных технологий и прикладной математики ФГОУ ВПО «Смоленский сельскохозяйственный институт», кафедре высшей математики МГГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ (одна монография).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложения, включает 2 рисунка и список литературы из 108 наименований.

Основные результаты, полученные в работе:

1. Сформулирован и исследован новый класс задач, составленный на основе систем сингулярных интегральных уравнений Шермана, моделирующий процесс линейной деформации упругого тела в самых общих постановках.

2. Развит метод численного решения обобщенных математических моделей линейной деформации упругого тела, основанный на сведении систем сингулярных интегральных уравнений к системам Фредгольма 2-го рода.

3. В рамках развитого в работе общего метода решения систем сингулярных интегральных уравнений Шермана исследованы:

- системы сингулярных интегральных уравнений со сдвигом Карлемана;

- системы сингулярных интегральных уравнений с сопряженными значениями неизвестных функций.

4. Исследованы многоэлементные задачи для полианалитических функций, моделирующие напряженное состояние упругих тел, находящихся в жестком соединении.

5. Разработаны численные алгоритмы решения задач плоской теории упругости для областей сложной формы.

6. Практическая значимость работы заключается в возможности численных расчетов и прогнозировании напряженного состояния системы сложной конфигурации, состоящей из многокомпонентных материалов.

1. Айзенберг JLA. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. - Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1990. - 246 с.

2. Алещенко Л.Н., Соколов И.А. Краевые задачи типа Римана с дополнительными условиями для полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. физ-мат.наук. 1974. - №1. - С.37 - 41.

3. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. Проб, матем. Фунд. напр.- т.85- М: ВИНИТИ. 1991.-С. 187-246.

4. Балк М.Б., Зуев М.Ф. О полианалитических функциях // УМН. 1971.- Т.25, Вып.5 - С.203-226.

5. Бахвалов И.В., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва - Санкт-Петербург, Физматлит. 2000. - 622 с.

6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции .-М.: Наука, 1988. 509 с.

7. Векуа И.Н. Об изгибе пластинки со свободным краем. Сообщ. АН ГССР. -1942. т. 3 № 7.-с. 641-648.

8. Векуа И.Н. Об одном методе решения основной бигармонической краевой задачи и задачи Дирихле // Некоторые пробл. мат. и мех. JL: Наука. 1970. -с. 120-127.

9. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений М.: Наука, 1970.-379 с.

10. Габринович В.А. Об одной задаче сопряжения для полианалтических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер. Физ.мат. наук. 1974. - №1. - с. 29-36.

11. Габринович В.А. Краевая задача типа Карлемана для полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. Физ.мат.наук 1977. №3. - С.48-58.

12. Ганин М.П. Краевые задачи теории полигармонических функций // Учен.зап.Казанск. ун-та. 1950. - Т. 111, кн. 10. - С.9 -13.

13. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. -1951 . Т.75, № 6. - С.921-924.

14. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. 1951. - Т.80, №3. - С.313-316.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи М: Наука, 1977. - 640 с.

16. Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функции // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т. 1976. - Вып. 13. - С.80-85.

17. Зверович Э.И., Литвинчук Г.С. Односторонние краевые задачи теории аналитических функций // Изв. АН СССР, сер. мат. 1964. т. 26 №5. - с. 1003 -1036.

18. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 232 с.

19. Ивлев Д.Д. Пластичности теория (математическая). Физическая энциклопе-лия. Т. 3. М.: Большая российская энц., 1992. - С. 628-631.

20. Ильюшин А.Л., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М.: Наука. 1970. - 280 с.

21. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики, Т. 1, 2. М.: Наука, 1986.

22. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М: Наука, 1973.-303 с.

23. Каландия А.И., Манджавидзе Г.Ф. Методы теории аналитических функций в некоторых задачах теории упругости. В кн.: Тр. II съезда по теор. и прикл. мех. 1964. Изд-во АНСССР. М., 1964, с. 99-100.

24. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. - 548 с.

25. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций // Труды ма-тем. ин-та. АН Груз.ССР 16 (1948), С.39-80.

26. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к плоской задаче теории упругости. ГТТИ. JI М., 1939. - 224 с.

27. Костров Б.В., Никитин JI.B., Флитлан JI.M. Механика хрупкого разрушения. Изв. Ан СССР МТТ. 1969, № 3. С. 112-125.

28. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. М.: Наука. 1975. - 301 с.

29. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. -М: Наука. 1971.-431 с.

30. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного М: Наука. 1973 . - 736 с.

31. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. 4-е изд. М.: Наука, 1987. -246 с.

32. Левинский С.В. Теория Неттера первой краевой задачи для полианали- то-ческих функций // Изв. вузов. Математика. 1982. - № 3. - С.35-39.

33. Левинский С.В., Нечаев А.П. Краевая задача для функций, полианалитических в нескольких областях // Тез. докл. Респуб. конф. «дифференциальные и интегральные уравнения и их применения». Одесса, 1987. - с. 153-154.

34. Лехницкий Г.С. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. -446 с.

35. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные уравнения со сдвигом.- М.: Наука. 1977. 448 с.

36. Манджавидзе Г.Ф. Об одном сингулярном интегральном уравнении с разрывными коэффициентами и его применении в теории упругости. Прикл. матем. и мех., т. XV, вып. 3, 1951, с. 279-296.

37. Манджавидзе Г.Ф. О приближенном решении граничных задач теории функций комплексного переменного. Сообщ. Ан ГССР, т. XI, №6, 1950, с. 351-356.

38. Манджавидзе Г.Ф. Сингулярные интегральные уравнения как аппарат решения смешанных задач плоской теории упругости. Приложения теор. функций в мех. сплошной среды (Тр. Международного симпозиума в Тбилиси), т. I, 1965, с. 237-247.

39. Манджавидзе Г.Ф., Хведелидзе Б.В. О задаче Римана Привалова с непрерывными коэффициентами //ДАН СССР 123; 5(1958), 791-794.

40. Мануйлов Н.Ф. Квазинормальные семейства бианалитических функций и некоторые их приложения // Полианалитические и регулярные кватернион-ные функции. Смоленск. 1973. - с. 22-27.

41. Мануйлов Н.Ф. О приводимости в кольце целых псевдополиномов// полианалитические и регулярные кватернионные функции. Смоленск. 1973. - с. 10-18.

42. Михлин С.Г. Об одной частной задаче теории упругости. ДАН СССР, 1940, 27. 6.

43. Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде. Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР, № 76, 1936, с. 1-19.

44. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М. Д., 1949. - 378 с.

45. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. - 707 с.

46. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.- 511 с.

47. Победря Б.Е. Механика композитных материалов. М.: МГУ, 1986. 336 с.

48. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Из-во МГУ, 1995.-635 с.

49. Показеев В.И. Нерегулярные полианалитические функции // Изв. вузов. Математика. 1975. - № 6. - С. 103-113.

50. Показеев В.В. Интегралы типа Коши для полианалитических функций. // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т. 1980. - Вып. 17. - С. 133139.

51. Показеев В.И. Интеграл типа Коши для метааналитических функций. // Изв. вузов. Математика. 1982. - № 3. - С. 44-51.

52. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. -493 с.

53. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения. // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. т. 27 / - М.: ВИНИТИ, 1988.-с. 5-130.

54. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М. - JI. 1950. -336 с.

55. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. Новосибирск: изд-во «Наука», 1980. - 118 с.

56. Расулов К.М. О решении некоторых краевых задачи типа Римана для полианалитических функций // Докл. АН СССР.-1980.- Т.252, № 5. С.1059-1063.

57. Расулов К.М. О краевых задачах для полианалитических функций // 5-я конференция по комплексному анализу. Галле, 1988 г. Тез. докл. 1988.-с.70.

58. Расулов К.М. Об основных краевых задачах типа задачи Гильберта для биа-налитических функций // Некоторые вопросы теории полианалитических функций и их обобщений. Смоленск, 1991. - с. 56-64.

59. Расулов К.М. Краевые задачи типа Гильберта для полианалитических функций в многосвязных областях / Смоленск гос. пед. ин-т.- Смоленск, 1992. -47 с. Деп. в ВИНИТИ 25.06.92. №2081.

60. Расулов К.М. Неклассическая задача типа Дирихле для полианалитических функций // Полианалитические функции: граничные свойства и краевые задачи. Межвузовский сборник научных трудов. Смоленск. - 1997. с. 64 - 87.

61. Рева Т.Д. Задача сопряжения для бианалитических функций ее связь с упруго пластической задачей // Прикладная механика (Киев). 1972. - т. 8. вып 10.-с. 65-70.

62. Редкозубов С.А. Юденков А.В. Задача типа Карлемана для бианалитических функций в теории изгиба тонкой пластинки // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сб. статей под ред. академика РАН А.Ю.Ишлинского, М.: Из-во МГГУ. 2001. С. 270-277.

63. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения // Учен. зап. Казанского ун-та. 1950. - Т.110, кн.З. - С.71-93.

64. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. «Наукова думка». Киев, 1975.-887 с.

65. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970, Т. 1. 492 с.

66. Соболев JI.C. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений // Мат. сб. 1937. - Т.2., №3. - С.465-499.

67. Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для полианалитических функций на окружности //Изв. АН БССР. Сер. физ.мат. наук. 1969. - №5. - С.64-71.

68. Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для бианалитических функций в случае произвольного контура //Изв. АН СССР. Сер.физ.мат. наук. 1969. -№ 6. С.29-38.

69. Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура. // Вестник Белорусского ун-та. Серия 1. 1970. - №2. - С.20-23.

70. Сорокин А.С. Видоизмененная задача Шварца для полианалитических функций // Исслед. по комплексному анализу (Красноярск) 1989. - 20. - с. 643-644.

71. Угодчиков А.Г. и др. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. М.: Высшая школа, 1970. - 528 с.

72. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. Киев. «Наукова думка», 1972. 530 с.

73. Хведелидзе Б.В. О задаче Римана в теории аналитических функций и о сингулярных уравнениях с ядром типа Коши. Сообщ. Груз. АНССР. т. LXXVI, №2, 1951, С. 177-180.

74. Хведелидзе Б.В. Граничная задача Римана-Привалова с кусочно-непрерывным коэффициентом. Тр. Груз, политех, ин-та. № 1(81), 1962, С. 11-29.

75. Черепанов Г.П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам плоской теории упругости. Прикл. матем. и механ., т. 26. № 5. 1962. С. 902-912.

76. Черепанов Г.П., Ершов JI.B. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977.-224 с.

77. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. -Казань.: изд-во Казанск. ун-та, 1977. 302 с.

78. Шерман Д.И. Об одном методе решения статической задачи о напряжениях для плоских многосвязных областей. Докл. АН СССР, новая серия, т. 1, № 7, 1934, С. 376-378.

79. Шерман Д.И. К решению второй задачи теории упругости для плоских многосвязных областей. Докл. АН СССР, т. IV (IX), № 3, 1935, С. 119-122.

80. Шерман Д.И. Определение напряжений в полуплоскости с эллиптическим вырезом. Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, № 53, 1935.

81. Шерман Д.И. Статическая плоская задача теории упругости для изотропныхнеоднородных сред. Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, № 86, 1938, С. 1-50.

82. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды. Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, № 88, 1938.

83. Шерман Д.И. Смешанная задача статической теории упругости для плоских многосвязных областей. Докл. АН СССР, т. XXVIII, № 1, 1940, С. 29-32.

84. Шерман Д.И. Об одной задаче теории упругости со смешанными однородными условиями. Докл. АН СССР, т. 114, № 4, 1957, С. 733-736.

85. Юденков А.В. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций и их приложения к вопросам статической теории упругости. Смоленск. «Смядынь». 2002 г. 268 с.

86. Юденков А.В., Римская Л.П., Юденкова А.П. Краевые задачи и системы сингулярных интегральных уравнений на основе математической модели процесса линейной деформации изотропного тела. Смоленск. 2005 г. 108 с.

87. Юденков А.В. Решение краевой задачи типа Карлемана для полианали- ти-ческих функций // Тез.докл. Воронеж, зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж 1997. С. 174.

88. Юденков А.В., Римская Л.П. Многоэлементная задача Карлемана для полианалитических функций в вырожденном случае. // "Проблемы аграрной отрасли в начале XXI века". Мат. международной конференции. Смоленск, 2002. с. 267-269.

89. Юденков А.В. Об одном методе приближенного решения первой основной задачи теории упругости для однородного анизотропного тела. // "Проблемыаграрной отрасли в начале XXI века". Мат. международной конференции. Смоленск, 2002. с. 272-274.

90. Юденков А.В. Задача типа Карлемана для полианалитических функций в теории упругости // Тез. докл. Воронежской зимней мат. школы, Воронеж. 1999. С. 183.

91. Юденков А.В., Римская Л.П. Обобщенная задача Римана для бианалитических функций на окружности. // Тезисы XXXIV международной научно-практической конференции «Наука возрождению сельского хозяйства в XXI в.». Великие Луки. 2001 г. С. 285.

92. Balk М.В. Polyanalitic functions. Berlin: Akademie Verlag. 1991. - 192 p.

93. Bose S.C., Torsion of an aeolotropic cylinder having a spheroidal inclusion on its axis. AIAA Journal 3, № 7, 1965, 1352-1354.

94. Bosch W. Meta-analitic functions of equal modulus // Publications de l'lnstitut mathematique. Nouvelle serie. 1973, 15 (290 - c. 27-31.

95. Burgatti P. Sulla funzioni analitiche d'orrdinill Boll. Union math ital. 1922. -l.-N l.-c. 8-12.

96. Canak M. Randwertaufgabe von Riemanntypes fur die p-polvanalutischen Functionen auf der spiralformigen Kontur // Матем. весник (Yugoslawien). -1988. Vol. 40, № 3-4. - p. 197-203.

97. Heersink R. Uber Losunger der Bauer-Peschl-Gleichung und polyanalitische Funktionen // Ber. Math. statist. Sekt. Forschungsges. Johanneum. - 1986. - № 286.-c. 1-9.

98. Damianovic B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region // Матем. вестник (Yugoslavia). 1986. - vol. 38. - p. 411415.

99. Damianovic B. A special case of the homogeneons contour problem for Polvanalytie Functions in multiply-conneeted regions // 5 Conf. Math. Liulljayf, Sept. 1986.-p. 41-46.

100. Damianovic B. Boundary Value Problem for polyanalytic functions and integral equations. Международная конференция «Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление». Минск. 1996.

101. Hulbert L.E. The numerical solution of two-dimensional problems of the theory of elasticity. Bull. Engng. Experim. Stat. Ohio State Univss. s. a. № 198, XXIV, 178 p. pill. (PXMex. 1966, 126.35).

102. Krajkiewicz P. Bianalytic functions with exceptional values //Proc. Amer. Math. Soc. 1973. - 38, № 1. - c. 75-79.

103. Pascali D. Basie representations of polyanalytic functions // Libertas Mthe-matica.- 1989.-9.