автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Гиперсингулярные интегральные уравнения математических моделей аэродинамики

Военно-Воздушная Инженерная Академия имени профессора Н.Е. Жуковского

На правах рукописи УДК 517

Матвеева Анна Александровна

Гиперсннгулярные интегральные уравнения математических моделей аэродинамики

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Военно-воздушной инженерной академия им. проф. Н«Е.Жуковского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор И.К. Лифанов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е.В. Захаров

доктор физико-математических наук, В.И. Гайдаенко

Ведущая организация: Центральный аэро гидродинамический

институт им. проф. Н.Е. Жуковского

Защита диссертации состоится 28 декабря 2006 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 215.001.01 Военно-воздушной инженерной академии им. проф. Н.Е. Жуковского по адресу: 125190, г. Москва, ул. Планетная, д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Военно-воздушной инженерной академии им. проф. Н.Е. Жуковского.

С текстом автореферата можно ознакомиться на сайте www.dissovct.iu

Автореферат разослан « » ноября 2006 г.

Ученый секретарь у у г/

диссертационного совета, I//АV/

кандидат физико-математических наук ЯЩММу А.СЛенашев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование научной или инженерно-технической проблемы представляет собой сложную задачу для осуществления которой, как правило, формируется научная группа исследователей обладающих глубокими знаниями предметной области, высокой математической культурой, опытом построения моделей, развитой интуицией и в совершенстве владеющих методами вычислений и программирования на компьютере.

Научные группы связанные одной тематикой и методологией проведения научных исследований под руководством ведущих специалистов в области математического моделирования образуют научные школы.

Одна ю таких школ специализирующаяся на решении задач аэродинамики создана в ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского С.М. Белоцерковсюш и активно функционирует и развивается в настоящее время под руководством его последователей и учеников. Обзор полученных в этом направлении результатов можно найти, например, в монографиях и статьях С.М. Белоцерковского, М.И. Ништа, И.К. Лифанова, А.И. Желанникова, В.И. Бущуева, В .А. Апаринова, В. В. Вышинского, В.И. Гайдаенко, Б.С. Крицкого, Л.Н. Полтавского, A.B. Сетухи и др. Характерной особенностью данной школы является метод проведения научных исследований, получивший широкое признание и известность как «метод дискретных вихрей».

Метод дискретных вихрей хорошо зарекомендовал себя при решении многих практических задач аэрогидродинамики.

На основе метода дискретных вихрей разработаны линейная и нелинейная теории крыла и летательного аппарата в целом, для которых построены различные уровни схематизации самолетов и вертолетов. Наиболее общей является нелинейная нестационарная теория, включающая решение как стационарных, так и несгацйойарн^лх задач. Много новых и интересных результатов методом дискретных вихрей получено в ЦАГИ и на кафедре аэродинамики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского. Математические аспекты метода дискрет-

3

ных вихрей связанные с обоснованием имеющихся вычислительных схем, их дальнейшим развитием и усовершенствованием активно развиваются на кафедре высшей математики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского.

В представленной диссертационной работе исследуются линейные гипер-сшггуляриые интегральные уравнения второго рода и сингулярные интегральные уравнения первого рода с фиксированной гиперсингулярностью.

Потребность к изучении таких уравнений возникает на этапе математической постановки исходной задачи при моделировании методом дискретных вихрей процессов обтекания телесных и проницаемых поверхностей, а также непроницаемых поверхностей оснащенных элементами эжекторной механизации.

Имеется класс задач аэродинамики, например, связанных с обтеканием парашютов-крыльев, когда поток может протекать сквозь поверхность тела, и закон такого протекания известен. Он определяется экспериментально и представляет собой соотношение, характеризующее материал из которого сделано тело. Обычно он задается в виде зависимости скорости протекания от перепада давления на проницаемом крыле. Безмоторным и моторным дельтапланам, парашютам-крыльям и близким к ним летательным аппаратам («малой авиации»), несомненно принадлежит большое будущее. Отличительной особенностью подобных аппаратов являются простота конструкции, малый вес, ограниченное число основных элементов, бесшумность или малошумность, доступность для широкого применения. В связи с этим особую актуальность приобретают вопросы исследования особенностей динамики их движения и выработки на этой основе мероприятий по обеспечению безопасности полетов. Несмотря на кажущуюся простоту, полег на аппаратах малой авиации, в силу ряда причин (малая скорость полета, баланскрное управление траекторией движения, отсутствие приборов контроля параметров движения, недостаточная надежность применяемых средств аварийного покидания) сопряжен с высоким уровнем риска для пилота.

Экспериментальные исследования особенностей динамики движения таких аппаратов являются недостаточно эффективными. Летный эксперимент весьма ограничен по условиям безопасности полета.

В этой связи создание математических моделей дня изучения динамических характеристик аппаратов малой авиации и исследование их поведения в сложных и обычных условиях полета приобретают решающее значение.

На этапе математической постановки и исследования на корректность задачи обтекания аппаратов малой авиации при моделировании проницаемых профилей слоем диполей возникают гиперсингулярные интегральные уравнения второго рода в обобщенных пространствах H.H. Мусхепишвили. В отличие от гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода и уравнения крыла самолета (уравнения Пранягля), которые подробно изучались в работах ПК. Ляфанова, Е.В. Захарова, ИВ. Халеевой, А.И. Каландия, Б.Г. Габдулхаева, JLH. Полтавского, A.B. Сетухи и др. вопросы существования, единственности и построения устойчивых методов приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений второго рода в обобщенных пространствах Н.И. Мусхепишвили до настоящего времени практически не рассматривались. Таким образом, учитывая не изученность этих уравнений, рассмотрение их в настоящей диссертации представляется целесообразным и актуальным.

Не менее актуальной проблемой аэродинамики является задача разработки энергетических средств механизации летательных аппаратов. Взлетно-посадочная механизация позволяет почти вдвое повышать подъемную силу крыла самолета на малых скоростях.

Во всем мире наблюдается устойчивая тенденция роста воздушного движения, интенсивность перевозок пассажиров и грузов по воздуху постоянно растет. Пропускная способность многих крупных аэропортов практически исчерпана. Безопасность полетов в таких условиях в значительной степени связана с существованием вихревых (спутных) следов, образующихся при полете самолетов.

Спутный след со временем сворачивается в два вихря противоположного знака, которые представляют серьезную опасность для других летательных аппаратов.

В аэродинамике рассматриваются различные пути преодоления негативного влияния спутных следов. Эта проблема подробно изучена в докторской диссертации В.В. Вышинского «Физико-математическая модель вихревого следа самолета в турбулентной атмосфере» Москва, ФГУП ЦАГИ 2002 год.

Один из подходов к решению проблемы негативного воздействия спутных следов основан на возможности применения энергетических средств механизации для борьбы с концевыми вихрями спутного следа. К средствам механизации такого рода, в частности, относятся устройства, осуществляющие отсос внешнего потока с поверхности обтекаемого тела. При математическом моделировании процесса обтекания профиля с отсосом внешнего потока методом дискретных вихрей возникают сингулярные интегральные уравнения с фиксированной гиперсингулярностью, исследованию которых посвящена одна из глав данной диссертации.

Математические модели и вычислительные схемы решения интегральных уравнений задачи обтекания профиля с отсосом внешнего потока рассматривались Лифановым И.К., Бушуевым В.И., Полтавским JI.FL, Сетухой A.B., Ди-митрогло М.Г., Лебедевой Н.В. Применяемые указанными авторами методы приближенного решения исходной задачи дают сходимость приближенного решения к точному в слабой топологии, характерной для вычислительных схем метода дискретных вихрей с равномерным распределением узлов. При этом указанными авторами использовался один из двух подходов («традиционный» и «нетрадиционный») к выполнению условия непротекания на поверхности профиля.

Традиционная постановка задачи приводит к решению сингулярного интегрального уравнения с фиксированной пгаерсгалулярностью, имеющего гладкую правую часть. При этом на пути численного решения полученного

уравнения могут возникнуть трудности связанные с выделением его единственного решения.

Нетрадиционная постановка задачи приводит к решению сингулярного интегрального уравнения с 3 - функцией в правой части. Решение этого уравнения также содержит фиксированную гиперсингулярность. Полученный при этом интегральный оператор надо понимать в смысле теории лсевдодифферен-циальных операторов.

В настоящей диссертации предлагаются две новые вычислительные схемы решения рассматриваемой задачи. Построенные в диссертации вычислительные схемы имеют интерполяционную степень точности, характерную для вычислительных схем метода дискретных вихрей с неравномерным распределением узлов (схем «косинусов»).

Проведенные нами в приложении к диссертации расчеты показали следующие результаты. Вычислительные схемы, предложенные в настоящей диссертации дают точное решение модельного интегрального уравнения задачи с отсосом внешнего потока, в то время как расчета этого же уравнения, полученные по схемам других авторов дают погрешность приближенного решения на концах отрезка интегрирования и в точке отсоса внешнего потока, характерную для метода дискретных вихрей с равномерным распределением узлов.

Таким образом, в представленной диссертационной работе изучаются математические аспекты моделирования ряда актуальных задач аэродинамики дозвуковых скоростей.

На актуальность проводимых в диссертации исследований, посвященных не изученным ранее математическим аспектам моделирования задач аэродинамики, указывает также и то, что имеется не мало задач та других областей науки и техники при математическом моделировании которых могут быть применены результаты, полученные в настоящей диссертации.

Цель работы состоит в математическом анализе линейных пшерсиигу-лярных интегральных уравнений второго рода и сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью, возникающих

в процессе математического моделирования задач аэродинамики дозвуковых скоростей. А также в построении и обосновании новых вычислительных схем решения этих уравнений.

Научная новизна и теоретическая значимость.

1) Для гиперсингулярных интегральных уравнений (ПТУ) второго рода математических моделей аэродинамики в обобщенных пространствах Н.И. Мусхелишвили получены следующие новые результаты:

а) построены регуляризирующий и союзный операторы

б) доказан ряд теорем: о конечномерности ядер характеристического и полного пшерсингулярного оператора нормального типа, о существовании и единственности решения ГИУ, о необходимых и достаточных условиях их разрешимости и др.

в) построен прямой метод приближенного решения исследуемых уравнений, получены оценки скорости сходимости приближенного решения к точному и исследованы вопросы устойчивости квадратурных формул к малым изменениям исходных данных.

2) Предложена новая схема приближенного решения интегрального уравнения обтекания профиля с отсосом внешнего потока, обдающая интерполяционной степенью точности.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты позволят: 1) математически обоснованно моделировать обтекание равномерно проницаемых л телесных профилей слоем диполей искомой интенсивности; 2) упростить процедуру расчета и повысить точность вычислений в задачах определения интенсивности вихревого слоя, моделирующего обтекание профиля с отсосом внешнего потока в заданном конечном числе его точек.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации и вся работа в целом докладывались иа заседаниях научного семинара по интегральным уравнениям на факультете ВМиК МГУ в 2005 и в 2006 гг. (рук. Е.В. Захаров, И.К. Лнфанов). Результаты диссертационной работы, по мере их получения, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах; на

Международных конференциях: 4th IMSE 96 Oulu, Finland; 9th ECMI96 Copenhagen Denmark; на Международных симпозиумах ICIAM 95 Hamburg Germany, МДОЗФ-2001, Херсон; МДОЗМФ- 2003 Херсон, на семинаре по сингулярным интегральным уравнениям в техн. ун-те Chemnitz Germany в 1997 и 1998 гг. (рук. Б. Сильберман, П. ГОнганс).

Научные исследования проводимые в данной диссертационной работе поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований и Немецким научным обществом DFG (грант 96-01-00072G).

Публикации на тему диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах [1] - [7],

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения. В приложении приводится краткий перечень сокращений и обозначений используемых в тексте диссертации, а также результаты расчетов модельных примеров. Основной текс содержит 100 страпиц. В работе 11 рисунков, 1 схема и 1 таблица.

Содержание диссертации. Во введении приводится краткое изложение содержания работы, дается ее общая характеристика и обосновывается актуальность темы диссертации. Приводится перечень авторов известных работ в рассматриваемом направлении, затрагиваются некоторые аспекты состояния проблем обсуждаемых в диссертации. Указывается цель работы и ее новизна.

В первой главе диссертации дается краткое описание основных положений метода дискретных вихрей. В згой главе мы также формулируем основные принципы построения математических моделей научных и инженерно-технических задач, приводим конкретные примеры прикладных задач, описываемых граничными интегральными уравнениями с сильной особенностью, а также ставим проблемы возникающие на пути их математического моделирования. Поставленные проблемы будут решаться в последующих главах.

Во второй главе данной диссертации строится общая теория полных гиперсингулярных интегральных уравнений второго рода в обобщенных пространствах Н.И. Мусхелишвили. Гиперсингулярные интегральные уравнения

второго рода с решениями именно в этих пространствах возникают на этапе математического моделирования ряда важных задач аэродинамики.

Прежде всего, во второй главе изучаются свойства гиперсингулярного интеграла (ГИ). Выводится обобщенная формула Пуанкаре-Бертрана, позволяющая менять порядок интегрирования в повторных интегралах с сильной особенностью.

Далее во второй главе вводятся понятия: гиперсингулярного интегрального уравнения (ГИУ) второго рода, характеристического и полного ГИУ, понятие ГИУ нормального типа, доминантного и транспонированного к данному ГИУ. Исследуются вопросы их разрешимости и регуляризации. Показано, что характеристическое ГИУ нормального типа в классе обобщенных функций Н.И. Мусхелншвили допускает эквивалентную регуляризацию решением доминантного уравнения для любой правой части принадлежащей классу функций удовлетворяющих условию Гельдера на отрезке интегрирования. Кроме того, во второй главе показано, что для характеристического ГИУ и для транспонированного ему ГИУ справедливы теоремы аналогичные теоремам Фредгольма, имеющим место для союзных уравнений.

Введем обозначения Лй =а1+ЬН, А0 -1 + Н—1 и перепишем уравнения

а

(21), (22) главы 2 и соответствующие им однородные уравнения в операторном виде

Тогда справедливы следующие теоремы доказанные во второй главе диссертации.

Теорема 2. Число линейно независимых решений уравнения (21) конечно.

A0v = g А% = О

(21) (21.0) (22) (22.0)

Теорема 3. Если однородное уравнение (21.0) имеет нетривиальное решение, то и однородное уравнение (22.0) имеет нетривиальное решение. Причем, оба уравнения (21.0) и (22.0) имеют одинаковое число линейно независимых решений. Общее решение однородного уравнения (22.0) представимо в виде и(0 —где ~ полная система линейно независимых решений уравнения (22.0).

Теорема 4. Если однородное уравнение (21.0) имеет только тривиальное решение, то уравнение (21) разрешимо для любой правой части /ей и имеет единственное решение.

Теорема 5. Если однородное уравнение (21.0) имеет нетривиальное решение, то неоднородное уравнение (21), вообще говоря, не разрешимо. Оно будет разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть /{.*) удовлетворяет

где к~\,2,...т - полная система линейно независимых решений однородного уравнения (22.0),

а известная функция, определяемая в диссертации формулой (3).

Далее рассматривается полное ГИУ нормального типа. Исследование этого уравнения во второй главе диссертации проводится по следующей схеме, состоящей из двух этапов.

1. На первом этапе проводится регуляризация исследуемого ГИУ, Этот этап включает в себя разработку способов регуляризации данного уравнения и изучение связи между решениями исходного и регуляризованного уравнений (вопросы равносильной регуляризации).

условиям

2, На втором этапе получают основные свойства исследуемого уравнения (условия разрешимости однородного и полного уравнений, условия существования единственного решения и т.д.).

В данной диссертации указанная схема исследования ГИУ реализована в двух направлениях:

1) для исходного полного ГИУ нормального типа построен левый регуля-ризатор, сводящий исходное уравнение к равносильному уравнению Фредголь-ма. После чего получены соответствующие теоремы Нётера для изучаемого ГИУ.

2) для исходного полного ГИУ нормального типа построен регуляриза-тор, сводящий его к равносильному линейному сингулярному интегральному уравнению в классах функции исследуемых Н.И. Мусхелнпшили. После этого, используя теорию СИУ НИ. Мусхелишвшш, получены соответствующие теоремы Нётера для исходного полного ГИУ.

В заключение второй главы построен прямой метод приближенного решения исследуемых в данной главе ГИУ, получены оценки скорости сходимости приближенного решения к точному и исследованы вопросы устойчивости квадратурных формул к малым изменениям исходных данных.

В третьей главе рассматриваются СИУ с ядром Коши, к которым сводится плоская краевая задача о нахождении векторной функции на разомкнутом контуре, возникающая при моделировании обтекания тонкого профиля безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости с отсосом внешнего потока.

Пусть —^—, м» (*)=т---г. ~1<р<9<1. Введем сле-

х-Ч 94 (х-р)(х-ч)

дующие классы действительных функций, заданных на отрезке [-1,1]:

А^ = й^. = Множество /у разобьем

на классы, характеризующие поведение функции на концах отрезка [-1,1]: А?(оо) — класс функций из Анеограниченных вблизи концов * = -1 и л—1;

hq (с) — класс функций из h^., ограниченных вблизи конца х = с, где с = -1 или е = 1; hq {-1;1) - класс функций из ограниченных вблизи концов jc =—1 и * = 1.

При моделировании аэродинамической задачи обтекания тонкого крыла большого удлинения с эжектированием возникает потребность в получении решений действительного сингулярного интегрального уравнения вида

! Jfiii^ +1 jAi(w)(;c - Я*о)> *о е (-1,9) u (q,l) (1)

в классе функций , имеющих в точке эжектирования ^ef—1,1) особенность вида (х). Для любой точки л0 е (—1,1), отличной от д, сингулярный интеграл

Ф1(?>*о) = 0^>Р)(*о)"~ [——понимается в смысле главного значения по

Коши. Если же = q, то Ф|(?,х0) превращается в гипереннгулярный интеграл

вида Ф2 Г,—, где <p(x) = y/(x)w (x). л' -¿x-qy

Ранее вопросы разрешимости уравнения (1) изучались сведением его к краевой задаче Коши-Римана в классе неингегрируемых функций. В данной главе задача решения СИУ с фиксированной гиперсингулярностью сводится к задаче решения равносильного ему СИУ. Далее, воспользовавшись хорошо разработанным аппаратом точного и приближенного решения СИУ, строится решение исходного уравнения. Такой подход позволил дать корректную постановку исходной задачи для любого конечного числа точек эжектирования. А также получить приближенное решение исходного уравнения, обладающее повышенной степенью точности. В автореферате остановимся более подробно на характеристическом уравнении (л/(*„,*) = 0)

{S, w9v)(x0) = Д*о ),x0e{-l)(?)u (q,\), (5)

так как в этом случае общее решение может быть выписано в явном виде.

Пусть символ А обозначает один из классов: А?(°о), А,(1), (-1) и й,(-1;1), в котором будем строить решение интегрального уравнения (5).

Имеют место следующие теоремы главы 3. Теорема 2. Пусть А0 и А — заданные постоянные, тогда система СИУ = ^ (-1,?) и (?,1)

= Л » (8)

к<р=А1

в классе (да) имеет единственное решение <р = , определяемое по формуле

+ + Л)-

Теорема 3. Пусть А^ — заданная постоянная. Тогда система СИУ

(-1,5)^(9,1)

\к<р = А<1

в классе А?(±1) имеет единственное решение, определяемое формулой Теорема 4. СИУ

= (-1,9)и(?,1) (10)

вклассе А?(-1;1) имеет единственное решение, определяемое по формуле Ф = (И)

Причем решение (И) связано с правой частью /(¿0) соотношением

+ = (12)

Теоремы 2,3 и 4 (третьей главы) дают корректную постановку задачи решения характеристического СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в точке д.

Далее в главе 3 показано, что сингулярный интегральный оператор с фиксированной гиперсингулярностью переводит многочлен степени л в многочлен

степени п-к, где к- индекс оператора. При этом образ данного преобразования определяется конструктивно.

Используя указанное свойство в данной главе строится прямая вычислительная схема решения исходной задачи интерполяционной степени точности.

Далее в главе 3 предлагается другая схема приближенного решения исходного СИУ с фиксированной гиперсингулярностью. Она основана на редукции исходной задачи к задаче решения равносильного СИУ. В главе 3 доказаны следующие теоремы.

Теорема 6. Пусть и А1 - заданные постоянные. Тогда решение системы (8) главы 3 в классе (оо) имеет вид ф = у?яу/, где у/ - решение однозначно . разрешимой системы СИУ

'№РХ*.)-/(*.Х*.-9>+4 . (39)

в классе А(°о).

Теорема 7. Пусть А0 — заданная постоянная. Тогда решение системы (9) главы 3 в классе имеет вид <р = и^, где у/ - решение однозначно раз-

решимого СИУ

= /(*о)(*о ~9) + Л (40)

в классе А(±1).

Теорема 8. СИУ

П + (5,И(*о> = (*0-?)/(*,) (41)

относительно неизвестной константы Уо и неизвестной функции у/ еЛ(-1; 1) имеет единственное решение которое в свою очередь однозначно оп-

ределяет <р' -мГцЦг* единственное решение СИУ (10) в классе й (-1;1). При этом имеет место соотношение к<р' = -р;.

Применяя к построенным уравнениям не содержащим точки гиперсингулярности традиционные вычислительные схемы метода дискретных вихрей с равномерным или с неравномерным распределением узлов получим алгоритм

15

решения исходной задачи повышенной степени точности. Построенное таким образом решение дает, практически, точное значение искомой функции в точках оггооса

В заключении сформулируем основные результаты диссертации. Основные результаты диссертации.

1. Предложен подход к созданию теории линейных гиперсингулярных интегральных уравнений на отрезке, возникающих в моделях аэродинамики в обобщенных пространствах Н.И. Мусхелишвили.

2. Построены вычислительные схемы решения указанных выше задач. Изучены вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости данных вычислительных схем.

3. Для СИУ аэродинамики с ядром Коши в классе функций, имеющих не-интегрируемую особенность в точках отсоса внешнего потока изучены вопросы разрешимости и выделения единственного решения. Предложены вычислительные схемы данных СИУ аэродинамики, обладающие интерполяционной степенью точности и дающие (после выделения неинтегрируемого множителя) равномерную сходимость приближенного решения к точному на отрезке интегрирования.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

[1]. Матвеева А.А. О приближенном решении интегральных уравнений с сильной особенностью в ядре. Н Дифференциальные уравнения, т. 33, № 9, 1253-1259, 1997 г.

[2]. Matveeva А.А. On the hypersingular second land integral equations on the segment [-1;1]. Addison Wesley Longman, Pitman Research Notesin Mathematics, 1997, p.p. 160-164.

[3]. Matveeva A.A, On the hypersingular second kind integro-difierenial and integral equations on the segment [-1;1]. ECMI Proceedings - ECMI-96, 1997 Lyngby/Copenhagen, Denmark, 1997, p.p. 38-39.

[4]. Matveeva A.A. On the hypersingular second kind integral equation for problems of electromagnetic scattering from screen surfacc. IMSE'96. Proceedings — IMSE'96, Technology University of Oulu, Finland, 1997, p.p. 123-128.

[5]. Матвеева A.A. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений на отрезке в классе неинтегрируемых функций. Труды X Международного симпозиума МДОЗМФ-2001, с. 216-220.

[6]. Матвеев А.Ф., Матвеева А.А. Приближенное решение сингулярного Интегрального уравнения аэродинамики с фиксированной гиперсингулярностью //Дифференциальные уравнения. Т. 39, № 9, с. 1262-1271.2003 г.

[7]. Матвеев А.Ф., Матвеева АЛ. О сингулярном интегральном уравнении с фиксированной гиперсингулярностью. Труды XI Международного симпозиума МДОЗМФ-2003, Харьков - Херсон 2003, с. 176-181.

Напечатана с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Прете" Лицензия ИДЫ 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печаля 1Î.11.2006 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ-й. 1,0. Тираж 90 экз. Заказ SOI. Тел, 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ кн. M-В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение.

Глава 1. Моделирование задач аэродинамики и других областей естествознания граничными интегральными уравнениями с сильной особенностью

1. Математическое моделирование и процесс создания математической модели.

2. „ Словесная " постановка задач аэродинамики при моделировании плоскопараллельного обтекания тела методом дискретных вихрей

2.1. Общая постановка задачи обтекания профиля

2.2. Основные положения метода дискретных вихрей

3. Математическая постановка стационарной задачи аэродинамики в плоском случае

3.1. Математическая постановка задачи обтекания проницаемого профиля.

3.2. Учет телесности

3.3. Учет поверхности раздела.

3.4. Тонкий профиль с эжекцией

4. Граничные интегральные уравнения с сильной особенностью задач аэродинамики профиля

Глава 2. Линейные гиперсингулярные интегральные уравнения второго рода на отрезке [—1,1] и их приближенное решение

1. Введение.

2. Основные понятия и обозначения.

3. Гиперсингулярный интеграл (ГИ) и его свойства

4. Формула перестановки порядка интегрирования.

5. Гиперсингулярные интегральные уравнения (ГИУ).

6. Решение доминантного и транспонированного с ним уравнений.

7. Характеристики ГИУ и его регуляризация.

8. Некоторые сведения из теории СИУ.

9. Регуляризация полного ГИУ.

10. О другом способе исследования полного ГИУ.

11. Приближенное решение ГИУ методом механических квадратур средних прямоугольников.

2. Основные понятия и обозначения.74

3. Постановка задачи.75

4. СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в точке q е(-1,1) .76

5. Об одном свойстве оператора S(olqI.80

6. Приближенное решение СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в классе h.82 я

7. СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в точках р и q е (-1,1).89

Литература.92

Приложение.101

1. Основные понятия и обозначения.101

2. Примеры численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений математических моделей аэродинамики.105

Введение

Процесс познания окружающего мира в значительной степени основан на создании моделей, построенных по сходству и аналогии с изучаемыми объектами. При описании модели, как правило, используют язык математики, а модель называют математической. Построенная модель должна быть простой, но не более того. Она должна отражать те и только те аспекты, которые соответствуют цели проводимого исследования.

Математическое моделирование исходной проблемы представляет собой сложную задачу для осуществления которой, как правило, формируется научная группа исследователей обладающих глубокими знаниями предметной области, высокой математической культурой, опытом построения моделей, развитой интуицией и в совершенстве владеющих методами вычислений и программирования на компьютере.

Научные группы связанные одной тематикой и методологией проведения научных исследований под руководством ведущих специалистов в области математического моделирования образуют научные школы.

Одна из таких школ специализирующаяся на решении задач аэродинамики создана в ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского С.М. Белоцерковским и активно функционирует и развивается в настоящее время под руководством его последователей и учеников. Обзор полученных в этом направлении результатов можно найти, например, в монографиях и статьях С.М. Белоцерковского, М.И. Ништа, И.К. Лифанова, А.И. Желанникова, В.И. Бушуева, В.А. Апаринова, В.В. Вышинского, Б.С. Крицкого, JI.H. Полтавского, А.В. Сетухи и др. Характерной особенностью данной школы является метод проведения научных исследований, получивший широкое признание и известность как „ метод дискретных вихрей ".

Метод дискретных вихрей хорошо зарекомендовал себя при решении многих практических задач аэрогидродинамики. Основные положения метода изложены в монографии [8] и развиты в работах [7], [9], [10], [ДО] и других.

На основе метода дискретных вихрей разработаны линейная и нелинейная теории крыла и летательного аппарата в целом, для которых построены различные уровни схематизации самолетов и вертолетов. Наиболее общей является нелинейная нестационарная теория, включающая решение как стационарных, так и нестационарных задач [5], [6], [14]. На базе метода дискретных вихрей разработаны математические модели спутных следов и их воздействия на самолеты. Основные результаты по этой обширной тематике опубликованы в монографиях [14], [6].

Много новых и интересных результатов методом дискретных вихрей получено в ЦАГИ и на кафедре аэродинамики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского. С помощью метода дискретных вихрей Б.С. Крицким и В.В. Кушнируком моделировалось обтекание самолета с работающими винтами. Такие исследования позволяют еще на ранних этапах проектирования выявить влияние винтов на аэродинамику самолета. При этом можно исследовать влияние направления вращения винтов, а также отказа одного или нескольких двигателей на аэродинамические характеристики самолета. Одной из важных задач аэродинамики является также и моделирование обтекания самолета с работающей силовой установкой. Такие расчеты, например, для обтекания самолетов АН-72 и ИЛ-76 с работающими двигателями выполнены методом дискретных вихрей С.М. Еременко, Д.В. Морошкиным и M.JI. Дмитриевым по руководством А.Н. Же-ланникова.

Математические аспекты метода дискретных вихрей связанные с обоснованием имеющихся вычислительных схем, их дальнейшем развитием и усовершенствованием активно развиваются на кафедре высшей математики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского под руководством И.К. Лифанова. Значительное продвижение вперед в области обоснования и развития метода граничных интегральных уравнений аэродинамики нашло свое отражение в монографиях и обзорных статьях [44], [22], Ц2], [>И], [24], [£б], . Суть математического моделирования задач аэродинамики методом дискретных вихрей состоит в следующем. Непрерывный вихревой слой, моделирующий несущую поверхность и след за нею заменяется системой дискретных вихрей. На несущей поверхности выбираются точки, называемыми расчетными, в которых выполняются условия непротекания (сумма нормальных составляющих скоростей, индуцируемых вихрями и набегающего потока равна нулю). Задача нахождения неизвестной циркуляции дискретных вихрей сводится к системе линейных алгебраических уравнений, которая представляет собой дискретный аналог граничного интегрального уравнения с интегралами имеющими сильную особенность в ядре.

В представленной диссертационной работе исследуются не достаточно изученные ранее математические аспекты моделирования методом дискретных вихрей ряда конкретных задач стационарной аэродинамики дозвуковых скоростей, а также тонких непроницаемых поверхностей оснащенных элементами эжекторной механизации.

Более подробное описание основных положений метода дискретных вихрей приводится в первой главе настоящей диссертации. В этой главе мы также формулируем основные принципы построения математических моделей научных и инженерно-технических задач, приводим конкретные примеры прикладных задач, описываемых граничными интегральными уравнениями с сильной особенностью, а также ставим проблемы возникающие на пути их математического моделирования. Поставленные проблемы будут решаться в последующих главах.

С точки зрения вычислительной математики метод дискретных вихрей представляет собой разновидность метода граничных интегральных уравнений, который играет одну из ведущих ролей среди методов математического моделирования научных и инженерно-технических задач.

Широкий круг задач аэродинамики, теории упругости, дифракции и других областей знаний при моделировании удобно сводить к граничным интегральным уравнениям.

В задачах теории упругости граничные интегральные уравнения используются для вычисления тензора напряжений. В задачах аэродинамики они применяются для вычисления интенсивности вихревого слоя на поверхности обтекаемых газом тел. В задачах электронной оптики и газовых разрядов граничные интегральные уравнения привлекаются для вычисления плотности тока эмиссии с отрицательного электрода. В теории скин-эффекта интегральными уравнениями описывается плотность тока, текущего по проводящим телам трехмерного пространства.

Главным достоинством метода граничных интегральных уравнений является его экономичность. Он позволяет понизить размерность решаемой краевой задачи математической физики, то есть свести исходную краевую задачу к интегральному уравнению по кривым, на которых заданы краевые и дополнительные условия.

Основные тенденции развития метода граничных интегральных уравнений, проблематика, результаты и приложения изложены в обзорных работах и статьях В.И. Дмитриева, Е.В Захарова, Ю.В. Пименова, И.К. Каландия, Д. Кол-тона, Р. Кресса, Ю.А. Еремина, И.К. Лифанова, Г.М. Вайникко, Е.Е. Тыртыш-никова, А.Б. Самохина, Б.Г. Габдулхаева, В.В. Панасюка, М.П. Саврука, З.Т. Назарчука, В.З. Партона, П.И. Перлина, 3. Прёсдорфа, Б. Зильбермана и др.

Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне одного разреза произвольной формы была сведена Е.В. Захаровым и его учениками к гиперсингулярному интегральному уравнению в [31], [j>9] при помощи потенциала двойного слоя. При этом было показано, что если соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение, то неоднородное уравнение однозначно разрешимо.

М. Durand в [82] методом потенциала двойного слоя задачу Неймана вне одного разреза произвольной формы для уравнения Гельмгольца свел к гиперсингулярному интегральному уравнению первого рода.

Существенный вклад в исследование задачи рассеяния Е-волны на экране произвольной формы внесли работы, связанные с использованием метода саморегуляризации.

В.И. Дмитриев и Е.В. Захаров в [27] рассмотрели интегральное уравнение I рода с ядром имеющим логарифмическую особенность, и, предполагая единственность решения, доказали существование решения в некотором классе гладкости. При этом, с использованием аппарата сингулярных интегральных уравнений, интегральное уравнение первого рода было преобразовано в уравнение второго рода. Также в этой работе были предложены численные методы решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью.

Сделав априорное утверждение о гладкости плотности в потенциале, авторы сводили задачу к системе алгебраических уравнений. В случае цилиндрической Е-поляризованной волны, дифрагируемой на уголковом отражателе, таким методом решение получено Е.В. Захаровым и Ю.В. Пименовым [Z9], [92].

В [37] А.Н. Каландиа решая задачу кручения упругих стержней (методом функции Грина) получил линейное сингулярное уравнение второго рода с ядром Коши на отрезке действительной оси. Ядро этого уравнения помимо подвижной сингулярности присущей ядру Коши, имеет также фиксированные сильные особенности на концах отрезка интегрирования. Подобные интегральные уравнения находят применение в граничных задачах теории упругости смешанного типа [19], см. также работы Н.Х. Арутюняна и B.J1. Абрамяна [4], Д.И. Шермана [81], В.В. Новожилова [67], Херцига (Herzig [83]) и Kandler [85].

В работах [32],[33] были рассмотрены задачи дифракции Е-поляризованного электромагнитного поля на идеально проводящем параболическом экране с конечным раскрывом и приведены результаты расчетов электромагнитных полей в ближней и дальней зонах. Рассматривались случаи как излучателя с заданной диаграммой направленности, так и наклонного падения плоской электромагнитной волны. Исследование было проведено на основе численного решения интегрального уравнения I рода методом саморегуляризации.

Ю.В. Пименов и Е.В. Захаров в [28] рассматривали плоские задачи дифракции на незамкнутых проводящих цилиндрических поверхностях. Был изучен случай как Е-поляризации поля (для экрана проводящей формы), так и Н-поляризации (для экрана совпадающего с частью какой-либо координатной плоскости).

Эти задачи были сведены к интегральным уравнениям первого рода, для которых предложены алгоритмы численного решения, основанные на идеях, изложенных в [27]. На основе численного решения интегральных уравнений проведен расчет диаграммы направленности для синфазной токовой нити, расположенной вблизи конкретных цилиндрических поверхностей.

Для случая обоих поляризаций Ю.В. Пименовым, Е.В. Захаровым [34], [35] разработана методика сведения задач дифракции к интегральному уравнению со слабой особенностью в ядре. В случае Н-поляризации задача сначала сводится к гиперсингулярному уравнению, которое затем сводится к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, при условии, что известны два линейно независимых решения дифференциального уравнения для скалярного потенциала на контуре экрана. Для широкого класса контуров такое построение возможно и может быть эффективно проведено. Был предложен и реализован алгоритм численного решения полученных интегральных уравнений.

Несколько иной подход к решению интегральных уравнений задачи дифракции Н-волны на криволинейном экране предложен З.Т. Назарчуком и его коллегами в [63], [72], [68]. Решение искалось в виде потенциала двойного слоя. Для плотности потенциала получалось гиперсингулярное интегральное уравнение. В [73], [64] З.Т. Назарчук с коллегами рассматривал задачу дифракции Е- и Н-поляризованной волны на цилиндрическом экране с сечением в виде кусочно-гладкой кривой. Для плотности потенциала была получена система интегральных уравнений первого рода. P. Wolfe исследовал разрешимость задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца на плоскости вне нескольких разомкнутых дуг произвольной формы [87]. Эта задача в [87] была сведена к интегральному уравнению первого рода с логарифмической особенностью в ядре. С помощью дифференцирования это уравнение было сведено к сингулярному интегральному уравнению.

В связи с широким распространением двузеркальных антенн в радиоастрономии, системах космической и спутниковой связи [66] задача дифракции Е- и Н-поляризованных волн на двух параболических экранах рассмотрена методом интегральных уравнений в [65].

Задача дифракции для нескольких криволинейных экранов в случае Е- и Н-поляризации падающей волны, изучалась В.В. Панасюком, М.П. Савруком, З.Т. Назарчуком [69], [74] с помощью численного моделирования. Решение краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца разыскивалось в виде системы интегральных уравнений первого рода. Для краевой задачи Неймана была получена система гиперсингулярных интегральных уравнений. В статьях П.А. Крутицкого [40],[41] задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости с помощью потенциала простого споя и неклассического углового потенциала сводились к сингулярным интегральным уравнениям с дополнительными условиями.

Как видно из приведенных примеров большой популярностью пользуются математические модели описываемые интегральными уравнениями Фредголь-ма, интегральными уравнениями со слабой особенностью в ядре и линейными сингулярными интегральными уравнениями с ядрами Коши и Гильберта. Это обусловлено хорошо развитой теорией указанных интегральных уравнений, а также значительными достижениями полученными в вопросах построения и обоснования вычислительных схем приближенного решения таких интегральных уравнений.

Однако в последние годы ряд прикладных задач сводится к интегральным уравнениям с сильной особенностью содержащим гиперсингулярные интегралы, понимаемые в смысле конечной части расходящегося интеграла по Адама-ру. При этом одни прикладные задачи сводятся к интегральным уравнениям содержащим плавающую гиперсингулярность, а другие - к сингулярным интегральным уравнениям, допускающим в одной или нескольких фиксированных внутренних точках интегрирования гиперсингулярную особенность. В первом из этих случаев будем использовать термин - гиперсингулярные интегральные уравнения, а во втором - сингулярные интегральные уравнения с фиксированной гиперсингулярностью. В отличие от интегральных уравнений Фредгольма, а также линейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и Гильберта указанные выше гиперсингулярные интегральные уравнения изучены не достаточно. Поэтому на пути математического моделирования прикладных задач с помощью этих уравнений возникает множество проблем, ряд из которых решается в настоящей диссертации.

Плоские задачи стационарной аэродинамики проницаемых и телесных поверхностей методом вихревых пар, при котором профиль моделируется слоем диполей, приводят к необходимости решения линейных гиперсингулярных интегральных уравнений на отрезке действительной оси, содержащих неизвестную интенсивность слоя диполей как под знаком гиперсингулярного интеграла, так и вне интегрального члена. Гиперсингулярный интеграл имеет сильную особенность и понимается в смысле конечной части по Адамару. В случае проницаемого тонкого профиля коэффициент при гиперсингулярном интеграле равен единице, а в случае телесного профиля при моделировании его толщины снесением граничных условий на серединную линию профиля, этот коэффициент является переменным.

По аналогии с интегральными уравнениями Фредгольма и линейными сингулярными интегральными уравнениями с ядром Коши и Гильберта, гиперсингулярные интегральные уравнения содержащие искомую функцию только под знаком интеграла будем называть уравнениями первого рода, а линейные уравнения содержащие искомую функцию под знаком гиперсингулярного интеграла и вне его - гиперсингулярными интегральными уравнениями второго рода.

Как показано в настоящей диссертации для гиперсингулярных интегральных уравнений такое разделение менее оправдано, чем для уравнений Фредгольма и сингулярных интегральных уравнений, хотя и несет определенную логическую нагрузку и удобства в изложении материала.

В отличии от гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода и интегродифференциального уравнения крыла самолета (уравнения Прандтля), которые подробно изучались в работах И.К. Лифанова, Е.В Захарова, И.В. Ха-леевой, А.И. Каландия, Б.Г. Габдулхаева и др., вопросы обоснования существования, единственности и построения методов приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений второго рода до настоящего времени практически не рассматривались. Таким образом, учитывая не изученность этих уравнений, рассмотрение их в настоящей диссертации представляется целесообразным и актуальным.

Во второй главе данной диссертации строится общая теория полных гиперсингулярных интегральных уравнений второго рода в обобщенных пространствах Н.И. Мусхелиишвили. Гиперсингулярные интегральные уравнения второго рода с решениями именно в этих пространствах возникают на этапе математического моделирования ряда важных задач аэродинамики. Используя тесную связь гиперсингулярного интеграла с сингулярным интегралом с ядром Коши и, опираясь на хорошо разработанную теорию сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений в диссертации были получены следующие новые результаты:

- введено понятие доминантного гиперсингулярного интегрального уравнения, гиперсингулярного интегрального уравнения нормального типа, характеристического и транспонированного;

- получена формула перестановки порядка интегрирования в повторных интегралах с гиперсингулярной особенностью;

- построен оператор союзный данному гиперсингулярному интегральному оператору;

- показано, что в отличии от теории сингулярных интегральных уравнений союзный гиперсингулярный интегральный оператор не совпадает с оператором, соответствующим транспонированному гиперсингулярному интегральному уравнению;

- исследована устойчивость квадратурных формул и численного решения задач аэродинамики.

В главе 3 изучается СИУ с ядром Коши с фиксированной гиперсингулярностью к которому сводится плоская краевая задача о нахождении векторной функции на разомкнутом контуре, возникающая при моделировании обтекания тонкого профиля безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости с отсосом внешнего потока

Предлагаются вычислительные схемы решения обсуждаемой задачи, обладающие интерполяционной степенью точности и дающие равномерную сходимость приближенного решения к точному на всем отрезке интегрирования.

На актуальность проводимых в диссертации исследований посвященных не изученным ранее математическим аспектам моделирования задач аэродинамики указывает также и то, что имеется не мало задач из других областей науки и техники при математическом моделировании которых возникают исследуемые в настоящей диссертации интегральные уравнения с сильной особенностью к которым могут быть применены полученные в диссертации результаты.

На этом завершаем изложение краткого содержания диссертационной работы. Диссертация построена таким образом, что каждую её главу можно читать не зависимо от других глав. Для этого нумерация формул в каждой главе не зависит от нумерации формул в других главах.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М. Н. 1978г. - 353с.

2. Апаринов В.А., Делеган В.М. Нелинейная математическая модель процесса неустановившегося движения на закритических режимах самолета и его вихревого следа. Техника воздушного флота. Т. LXXII, №6(635), 1998.

3. Арсенин В.Я., Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Матвеев В.Ф. // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, №3, с. 455-464.

4. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963.

5. Аубакиров Т.О., Белоцерковский С.М., Желанников А.И., Ништ М.И. Нелинейная теория крыла и ее приложение. Алмааты. Гылым. 1997.

6. Аубакиров Т.О., Желанников А.И., Иванов П.Е., Ништ М.И. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. Моделирование на ЭВМ. Алмааты.: ТОО Мария, 1999.

7. Бабакин В.И., Белоцерковский С.М., Гуляев В.В., Дворак А.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. М.: Наука, 1989.

8. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.

9. Белоцерковский С.М., Дворак А.В., Желанников А.И., Котовкий В.Н. Моделирование на ЭВМ турбулентных струй и следов. Проблемы турбулентных течений. М.: Наука, 1987.

10. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. М.: Наука, 1975.

11. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.Н. 1985.

12. Belotserkovsky S.M., Lifanov I.K. // Method of discrete vortices. CRC Press. 1993.

13. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965.

14. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М.: Наука, 1971.

15. Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Исследование парашютов и дельтопланов на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1987.

16. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ Н.И., Федеров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука, 1988.

17. Белоцерковский С.М., Локтев Б.Е., Ништ М.И. Исследование на ЭВМ аэродинамических и аэроупругих характеристик винтов вертолетов. М.: Машиностроение, 1992

18. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: Физматлит, 1995

19. Бицадзе А.В. О местных деформациях при сжатии упругих тел. Сообщ. АН Груз. ССР, т. V, №8, 1944, с.761-770.

20. Бушуев В.И., Ганиев Ф.И., Локтев Б.Е., Ништ М.И., Шамшурин А.Д. Аэродинамическая компоновка и характеристики летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1987

21. Вайникко Г.М., Лебедева Н.В., Лифанов И.К. Численное решение сингулярного и гиперсингулярного интегральных уравнений на отрезке и дельта-функция. Математический сборник, 2002, т. 193, №10, с. 3-16.

22. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М. "Янус-К" 2001г.

23. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.Н. 1977.

24. Габдулхаев Б.Г. Известия вузов. Математика, 1974,№2, с. 12-24.

25. Габдулхаев Б.Г. // Итоги науки и техники. Матем. анализ. М. 1980. вып. 18, с. 251-307.

26. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма I рода. Вычислительные методы и программирование. 1968. вып. 10, с. 49-55.

27. Дмитриев В.И., Захаров Е.В, Пименов Ю.В. Методы расчета электромагнитных полей в задачах дифракции на идеальнопроводящих поверхностях. Вычислительные методы и программирование. 1973. вып. 20, с. 106-125.

28. Еремин Ю.А., Захаров Е.В. О некоторых прямых и обратных задачах теории дифракции. Дополнение к книге Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987, с. 290-309.

29. Захаров Е.В. Пиминов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М. Радио и связь. 1982.

30. Захаров Е.В, Собянина И.В. Об одномерных интегродифференциальных уравнениях задач дифракции на экранах. ЖВМ и МФ, 1986. Т. 26, №4, с. 632-636.

31. Захаров Е.В, Пименов Ю.В. и др. Численное решение задачи о возбуждении идеально проводящего параболического цилиндра облучателями разных типов. Численные методы электродинамики. 1978. вып. 2, с. 23-39.

32. Захаров Е.В, Пименов Ю.В. и др. Численное решение задачи дифракции Е-поляризованной плоской волны на параболическом цилиндре с конечным раскрывом. Численные методы электродинамики. 1979. вып. 3, с. 30-35.

33. Захаров Е.В Об интегро-дифференциальных уравнениях в задачах на экранах. Вычислительные методы и программирование. 1978. вып. 28, с. 99-103.

34. Захаров Е.В, Пименов Ю.В. О численном решении задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых цилиндрических поверхностях. Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22, №5, с. 620-627.

35. Каландия А.Н. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973.

36. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. 1984.

37. Крейн С.Т. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.Н. 1971.

38. Крутицкий П.А. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. ЖВМ и МФ. 1994, Т. 34, №8-9. с. 1237-1258.

39. Крутицкий П.А. Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. ЖВМ и МФ. 1994, Т. 34, №11. с. 1652-1665.

40. Лебедева Н.В. Вопросы численной реализации решений сингулярных интегральных уравнений на отрезке в классе обобщенных функций. Тр. международных школ-семинаров МДОЗМФ-2002, Орел, 2002, с. 49-53.

41. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.:Наука. 1977.

42. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М. ТОО "Янус", 1995г. 520с.

43. Лифанов И.К. Известия вузов. Математика. 1980. №8, с. 44-51.

44. Лифанов И.К., Сетуха А.В. О сингулярных решениях некоторых краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. // Дифференциальные уравнения, т. 35, №9, с. 1227-1241, 1999г.

45. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. // Вычислительные процессы и системы. М. Наука, 1990. вып. 7, с. 94-273.

46. Лифанов И.К. // ДАН СССР, 1980. Т. 255, №5, с. 1046-1050.

47. Lifanov I.K. Singular Integal Equations and Descrete Vortices. VSP,1996.

48. Lifanov I.K., Matveev A.F., Molyakov N.M. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1992. Vol. 7, №2, p. 109-144.

49. Lifanov I.K. Ponarin L.N., Setukha A.V. Mathematical modeling of the rotor of a helicopter with ejection devices. //Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. Vol. 14, №3, 1999, p. 237-264.

50. Матвеев А.Ф. О приближённом решении действительного сингулярного интегрального уравнения на спектре. // Дифференциальные уравнения, т. 35, №9, с.1206-1218, 1999г.

51. Матвеев А.Ф., Матвеева А.А. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения аэродинамики с фиксированной гиперсингулярностью. // Дифференциальные уравнения. Т. 39, №9, с. 1262-1271, 2003.

52. Матвеев А.Ф., Матвеева А.А. О сингулярном интегральном уравнении с фиксированной гиперсингулярностью. Труды XI Международного симпозиума МДОЗМФ-2003, Харьков-Херсон 2003, с. 176-181.

53. Матвеева А.А. О приближёном решении интегральных уравнений с сильной особенностью в ядре.// Дифференциальные уравнения, т. 33, №9, с. 12531259, 1997г.

54. Матвеева А.А. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений на отрезке в классе неинтегрируемых функций. Труды X международного симпозиума МДОЗМФ-2001, с. 216-220.

55. Matveeva А.А. On the hypersingular second kind integral equations on the segment -1,1]- Addison Wesley Longman, Pitman Research Notes in Mathematics, 1997, pp. 160-164.

56. Matveeva A.A. On the hypersingular second kind integro-differential and integral equations on the segment -1,1]. ECMI Proceedigs ECMI - 96, 1997, Lyngby/Copenhagen, Denmark, 1997, pp. 38-39.

57. Matveeva A.A. On the hypersingular second kind integral equation for problems of electromagnetic scattering from screen surfaces. IMSE'96. Proceedigs -IMSE'96, Technology University of Onlu, Finland, 1997, pp. 123-128.

58. Морозов В.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. М.: Физматлит, 1995.

59. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.Н. 1968.

60. Назарчук З.Т. Идеально поводящий криволинейный экран на поле Н-поляризованной электромагнитной волны. Радиотехника и электроника. 1981. Т. 26, JN4, с. 701-708.

61. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилинрических структурах. Киев: Наукова думка. 1989.

62. Назарчук З.Т. Дифракция электромагнитных волн на криволинейных экранах. Теорет. электротехника. 1981. вып. 31, с. 70-75.

63. Нарбут В.П. О поляризационных характеристиках двузеркальных антенн. Изв. вузов. Радиофизика. 1979. Т. 22, №5, с.628-638.

64. Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз. 1958.

65. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наукова думка. 1984.

66. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Плоская задача дифракции электромагнитного поля на системе криволинейных экранов. Докл. АН СССР. 1980. Т. 252, №5, с. 1101-1104.

67. Прандтль JI. Механика вязких жидкостей. М.: Оборонгиз, 1939.

68. Рахматулин Х.А. // Вестник Московского Университета. Физ. Мат. и Естест. наук. 1950, 2, с. 41-55.

69. Саврук М.П., Назарчук З.Т. и др. Дифракция электромагнитного поля на криволинейном идеально проводящем экране (Е-поляризация). Теорет. электротехника. 1980. вып. 28. с. 60-65.

70. Саврук М.П., Назарчук З.Т. Дифракция электромагнитных волн на идеально проводящем экране. Отбор и передача информации. 1981. вып. 63. с. 43-49.

71. Саврук М.П., Назарчук З.Т. Дифракция электромагнитного поля на системе криволинейных экранов. Отбор и передача информации. 1982. вып. 66, с. 46-52.

72. Сетуха А.В. Определение сил, действующих на профиль при наличии отсоса внешнего потока, //в сборник Численные методы интегральных уравнений в прикладных задачах. Научно-методические материалы каф. 104 ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1994.

73. Сетуха А.В. О плоской краевой задаче Неймана с обобщенными граничными условиями. // Дифференциальные уравнения, т. 38, №9, 2002, с. 11721182

74. Сетуха А.В. Фундаментальные решения плоской краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа. // Дифференциальные уравнения, т. 39, №1, 2003, с. 125-132

75. Тарасов В.Н. Численный анализ асимптотических формул для волнового поля отраженного от цилиндрической поверхности с произвольной максимальной кривизной. Записки научных семинаров Ленинградского отделения МИ АН СССР, 1978, вып. 78, с. 211-219.

76. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. И.Л. 1960.

77. Хвелидзе Б.В. // Тр. Тбил. Мат. Ин-та, 1956, 23.

78. Шерман Д.И. К решению плоской статистической задачи теории упругости при заданных на границе смещениях. Докл. АН СССР, т. XXVII, №9, 1940, с. 911-913.

79. Durand М. Layer potentials and boundary value problems for the Helmhotz equation in the complevent os a thin obstacle. Math. Meth. Appl. Sci/ 1983. v.5, p. 389-421.

80. Herzig A. Zur Torsion von Staben. Z. Angew. Math. Mech., Bd., 33, №12,1953, s. 410-428.

81. P. Junghanns and B. Silbermann // Numerical analysis of the quadrature method for solving linear and nonlinear singular integral equations. Wiss. Schriftenreihe der Technischen Universitat Cheemnitz, 1998.

82. Kandler P. Zur Torsionprismatischer Stabe. Z. Angew. Math. Mech., Bd., 43, №10/11, 1963, s. 441-457.

83. S. Prossdorf and B. Silbermann. Numerical Analisys for Integral and Related Operator Equations. Akademie- Verlag, Berlin, 1991.

84. Wolfe P. An existence theorem for the rediced wave equation. Proc. AMS. 1969. V. 21, p. 663-666.

85. Vyshinsky V.V. Studies on vortex wake evolution and flight safety problems. SAE 96-5562, 1996, pp. 1-11.

86. Vyshinsky V.V. Investigation of Vortex Wake Evolution and Flight Safety Problems. Trudy TsAGI, vol. 2627, 1997, pp. 5-23.

87. Vyshinsky V.V., Yaroshevsky V.A. Vortex wake-safety aerodynamics and flight dynamics aspects of the problem. Institute of Aeronautics and AppliedMechanics Warsaw University of Technology, Research Bulletin, № 8, 1998, pp. 25-33.

88. Kuznetsov O.A., Vyshinsky V.V. Wake vortex problems for the airport with crossing runways. Proceedings of the EUROMECH colloquium, № 433,2002/

89. E.B. Захаров, Ю.В. Пименов. О влиянии уголкового рефлектора на диаграмму направленности линейного излучателя. // Изв. Вузов. Радиофизика 1975, т. 18, № 3, с. 418-424.

90. Gaidaenko V.I., Lifanov I.K. On the mathematical model for nonlinear stationary aerodynamic problems. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. -1993, vol. 8, N4, pp. 285-295.

91. Gaidaenko V.I., Lifanov I.K. Mathematical modeling of a stationary flow around a flying vehicle with allowance for jets and air intakes. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. 1997 - vol. 12, N 1, pp. 33-51.

92. Димитрогло М.Г. Математическое моделирование воздействия отсоса внешнего потока на концевые вихри. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва 2003.