автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование моделей электрических вибраторов, описываемых гиперсингулярными интегральными уравнениями

Ка правах рукописи

ТАРАСОВ Дмитрий Викторович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВИБРАТОРОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ииигшЗЕ

ПЕНЗА 2009

003489985

Диссертационная работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» на кафедре «Высшая и прикладная математика».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Бойков Илья Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Голованов Олег Александрович;

доктор технических наук, профессор Якимов Александр Николаевич

Ведущая организация: Государственное образовательное

учреждение высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет»

Защита диссертации состоится «21 » января 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.186.04 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» по адресу: 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет». Автореферат диссертации размещен на сайте университета http://www.pnzgu.ru.

Автореферат разослан « 19» декабря 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета " (\ . ъ

доктор технических наук, профессор В. В. Смогунов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Излучение и прием электромагнитных волн описываются фундаментальными законами электродинамики -уравнениями Максвелла. Изучение этих процессов тесно связано с разработкой антенных систем, одним из базовых элементов которых является электрический вибратор.

Современная радиотехника идет по пути освоения все более и более коротких волн. В этом случае антенные системы следует рассматривать как системы с распределенными параметрами, что вносит значительные трудности в их исследование. Так, для расчета основных характеристик излучения простейших антенных устройств -диаграммы направленности, сопротивления излучения, КНД (коэффициент направленного действия), необходимо решить так называемую внутреннюю задачу теории вибратора. Эта задача состоит в нахождении функции распределения тока по длине электрического вибратора.

Строгое решение внутренней задачи даже для простейшего электрического вибратора представляет значительные трудности, поскольку приводит к интегральным уравнениям специального вида, аналитическое решение которых не получено до настоящего времени. Поэтому ввиду практической значимости достаточно долгое время использовались методы, позволяющие получить пусть грубое, но хоть какое-то решение.

При исследовании краевых задач для проволочных антенн рассматривают два основньгх интегральных уравнения - Галлена и Поклингтона. Строгое аналитическое решение для этих интегральных уравнений неизвестно, и на практике используют несколько упрощенное численное решение. Для сведения интегральных уравнений к системам линейных алгебраических уравнений в радиотехнике, как правило, используется метод моментов, в котором важную роль играет выбор собственных, или базисных, функций. Основные вопросы, касающиеся выбора собственных функций, и их сравнительный анализ подробно изучены в работе Р. Митры. Данный подход может быть реализован при условии большой точности модели. Кроме того, этот метод обладает всеми недостатками, присущими классическому методу моментов. Таким образом, вопросы, касающиеся построения вычислительных методов решения внутренней задачи, носят актуальный характер.

з

\

В последнее время к теории электрических вибраторов применяется аппарат сингулярных интегральных уравнений (работы В. А. Неганова). В общем случае модель излучения достаточно тонкого вибратора может быть сведена к сингулярным интегральным уравнениям, для решения которых требуется построение соответствующих вычислительных алгоритмов.

Вопросам решения уравнений Галлена и Поклингтона в общем случае, а также проблеме сведения этих уравнений в предельном случае (бесконечно тонкий вибратор) к гиперсингулярным интегральным уравнениям, и вопросам построения эффективных методов их решения и посвящена диссертация.

Цель работы состоит в построении и обосновании численных алгоритмов решения классических уравнений теории электрических вибраторов - Галлена и Поклингтона, а также в построении математической модели, основанной на гиперсингулярных интегральных уравнениях и описывающей электрический вибратор в случае бесконечно малой толщины.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

-разработать численные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена;

- построить программную реализацию алгоритмов;

- исследовать модель вибратора, описываемую гиперсингулярными интегральными уравнениями;

- разработать алгоритмы вычисления одномерных и многомерных гиперсингулярных интегралов;

- построить оптимальные квадратурные формулы вычисления ряда гиперсингулярных интегралов;

- разработать и провести обоснование численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений различных видов;

- провести исследование различных вычислительных схем решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанных на различных критериях обращения матриц;

- разработать программы, реализующие эти методы, и применить полученные результаты к решению задач теории электрических вибраторов.

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, прикладного функционального анализа,

краевых задач теории функции комплексного переменного, квадратурных формул, теория син1улярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- предложена математическая модель электрических вибраторов в случае бесконечно тонкой антенны, основанная на гиперсингулярных интегральных уравнениях;

- построены алгоритмы решения гиперсингулярных интегральных уравнений, моделирующих электрический вибратор;

- предложены и обоснованы приближенные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена;

-предложены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью;

- построены кубатурные формулы вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по областям, ограниченным кривыми Ляпунова;

-предложены кубатурные формулы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области;

-предложены алгоритмы приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанные на различных критериях регулярности.

Теоретическая ценность заключается в следующем:

-предложены и обоснованы приближенные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена внутренней задачи теории электрических вибраторов;

- предложена математическая модель бесконечно тонкого электрического вибратора, основанная на гиперсингулярных интегральных уравнениях;

- предложены и обоснованы алгоритмы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений;

- предложены методы вычисления новых классов гиперсингулярных интегралов.

Практическая значимость работы состоит в разработке пакета следующих программ:

• решения классических уравнений Поклингтона и Галлена теории электрических вибраторов;

• вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по треугольной области;

• вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью;

• решения гиперсингулярных интегральных уравнений, моделирующих бесконечно тонкий электрический вибратор.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Приближенные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена. Разработаны алгоритмы решения этих уравнений без упрощений, используемых в известной литературе. Это позволяет получить решение с любой, наперед заданной, точностью.

2. Математическая модель бесконечно тонкого электрического вибратора, основанная на гиперсингулярных интегральных уравнениях. Она моделирует распределение тока по длине электрического вибратора в случае, когда использование классических уравнений Поклингтона и Галлена невозможно.

3. Алгоритмы приближенного вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Данные алгоритмы являются оптимальными по точности и позволяют эффективно вычислять некоторые типы сингулярных и гиперсингулярных интегралов с наперед заданной точностью. Они использованы при построении вычислительных схем решения гиперсингулярных интегральных уравнений теории электрических вибраторов и задач теории разрушения.

4. Численные алгоритмы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений различного вида. Данные алгоритмы использованы при решении внутренней задачи теории электрического вибратора в случае его бесконечно малой толщины и при решении одной из задач теории разрушения.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, из них 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2006); третьей Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск,

2007); второй Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2007); второй Международной научно-технической конференции «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008); третьей Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза,

2008); научных конференциях профессорско-преподавательского состава Пензенского государственного университета.

Пакет прикладных программ «Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений и их применение к моделированию электрических вибраторов» используется в производственной деятельности ОАО «НПП «Рубин» (акт о внедрении прилагается к диссертации).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений и изложена на 221 странице.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность выбранной темы, обоснованы и сформулированы цели, задачи исследования, обозначены его научная новизна и практическая ценность, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, а также приведены сведения о реализации и внедрении результатов, апробации работы и публикациях.

В первой главе, посвященной методам интегральных уравнений в радиотехнике, дается постановка внутренней задачи теории электрического вибратора. Среди существующих алгоритмов исследования краевых задач для проволочных антенн особое внимание уделяется методу интегральных уравнений. Наряду с существующими методами, позволяющими получить упрощенное численное решение, отмечается аппарат сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений и описываются его преимущества.

В главе приводится определение классов функций и даны определения особых (сингулярных и гиперсингулярных) интегралов в смысле Коши и в смысле Коши - Адамара. Дается краткий обзор приближенных методов вычисления сингулярных и

гиперсингулярных интегралов, описываются основные направления существующих методов приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

Вторая глава посвящена численному моделированию электрического вибратора гиперсингулярными интегральными уравнениями.

В разд. 2.2, следую работам Г. Т. Маркова, Д. М. Сазонова, приведены классические уравнения Поклингтона и Галлена.

Математическая модель тонкого электрического вибратора приводит к уравнению, связывающему векторный потенциал распределения токов /2 (г) и касательную составляющую вектора напряженности электрического поля Ег(г). Данное уравнение представляет собой интегральное уравнение Поклингтона:

V

I

]72 (г')0(г-г')еЬ' = -те0еЕг (г),

(1)

где /,(г) = 2лаУ|(г); а - радиус цилиндра; О (г-г') - функция Грина,

4п^(г-г')2+ а7

(2)

Выражение (1) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка для векторного потенциала

-I

решение которого в общей форме может быть представлено в виде А2{2) = Схе^: +С2е1^ -

кое 2/р

2 Ь/ 2

-Ь/ 2 г

где С| и С2 — произвольные постоянные.

При малой ширине возбуждающего зазора, т.е. при Ь«1, функция Е2 (г) полагается равной некоторой постоянной Ег, и в

случае питания вибратора идеальным генератором напряжения с нулевым внутренним сопротивлением и величиной ЭДС V получаем уравнение Галлена:

= + (3)

где А и В - произвольные константы, определяемые из граничных условий обращения тока в нуль на концах вибратора; IV = Р/(сое).

В разд. 2.3 дается приближенное решение уравнения Поклингтона

я2 V

кдг2 у

¡/г(г')а(г-2')(Ь' = /(г), -1<г<1. (4)

Отметим, что в уравнении (4) естественно считать -Ь< г <Ь, где Ь > I, и положить

I

¡12 (г')в(±1-г')(Ь' -0, т.е. /(±Ь) = О. -/

Ввиду того, что операторы дифференцирования и интегрирования перестановочны, соотношение (4) представляется в виде

I

/й(*-т)/г( т)л = /(*), (5)

дг

Учитывая, что функция Л(/-т) определена на всей числовой оси, интегральное уравнение (5) эквивалентно следующему

оо

\Ь(1-т)и(х)(1х = /(1), (6)

-оо

где u(t) =

\lz(t),te[-l,l\,

[0, t £ [-/,/].

Применение преобразования Фурье к обеим частям уравнения (6) приводит к соотношению

yl2RU(<o)H(<a) = F(w), (7)

где {/(со), #(со), F(co) - преобразования Фурье функций u(t), h(t), /(i) соответственно, причем

Я(со) = -co2G(co) + p2G (со),

где <?(©) - преобразование Фурье функции G(i). Решение уравнения (7) определено формулой

F( ш)

U( ш) =

Л/271

(З2 - со2

G(co)

Отсюда приближенное решение уравнения Поклинггона определяется с помощью обратного преобразования Фурье:

I

F(cо)

р2-со2

G(<D)

¿сот

с/со.

Однако такая функция может не существовать, т.к. последний интеграл может быть расходящимся из-за влияния высоких частот со различных помех, при со = ±(3 ив случае обращения С (со) в нуль в

конечных точках.

Поэтому более предпочтительными являются итерационные методы. В работе рассмотрено несколько итерационных методов решения уравнения (7). Остановимся на одном из них.

Вводится сетка узлов со^, к = 1,2,..., N. Каждому узлу со^, к -1,2,..., N, в котором функция Н[со) не обращается в нуль, сопоставляется итерационная схема

ип+1 {щ ) = ип(®к)~ У к {Щ ) и„ {щ) - Р {щ )], (8)

где к = 1,2,..., N, п = О, I, 2,..., ук =

2л/2лЯ(со^)

Приближенное значение 12 (/) определяется по квадратурным формулам вычисления обратного преобразования Фурье для значений С/п(анайденным при достаточно больших значениях п.

В разд. 2.4 дается приближенное решение уравнения Галлена. При непосредственном применении этого уравнения возникает следующая проблема: в какой области значений г уравнение Галлена эквивалентно уравнению Поклингтона. На всей числовой оси -оо < г < оо эти уравнения не эквивалентны. Более того, уравнение Галлена не имеет смысла при достаточно больших значениях 2. А именно, функция

стремится к нулю при любых ограниченных значениях /, (V), в то

время как правая часть уравнения (3) представляет собой колебательный процесс с конечной амплитудой. Представляет интерес вывод уравнения, подобного уравнению Галлена, но свободного от указанного выше недостатка. Это сделано в разд. 2.4. Для этого уравнение Поклингтона рассматривалось как краевая задача:

+ = (10)

дг

при условиях = «(£) = 0. Здесь ¿(г) определено выражением (9). Общее решение уравнения (10) имеет следующий вид:

Применение преобразования Фурье к уравнению (9) приводит к соотношению

(9)

-/

5

1 %

(И)

где С(со), <5>(а>), и((о) - соответственно преобразования Фурье

функций

[О, г е [-1,1].

Для решения уравнения (11) на множестве узлов т^, к = 1,2,..., Ж, в которых функция (?(со) не обращается в нуль, построена итерационная схема

^„+1К ) = ип К )~П [-^0(щ)и„ (.,Ч)-Л'(м4)]. (12)

Доказана сходимость итерационной схемы (12).

В разд. 2.5 рассмотрены вопросы, касающиеся границ применимости уравнений Галлена и Поклингтона, и показано, что при малых значениях радиуса вибратора а эти уравнения не моделируют электрический вибратор.

В разд. 2.6 введены гиперсингулярные интегральные уравнения бесконечно тонкого электрического вибратора, полученные предельным переходом из уравнений Поклингтона и Галлена. Мы подчеркиваем, что предлагаемое в работе уравнение получено как математическое обобщение, а не из уравнений Максвелла.

Полагая в уравнении Поклингтона (4) а = 0 и понимая интеграл в смысле Адамара, приходим к гиперсингулярному интегродифференциальному уравнению

'Л V

\12(г')С*{2-2')с12' = /{2), -Ь<2<Ь, (13)

Для решения уравнения (13) построены следующие приближенные методы.

Первый метод. Здесь уравнение (13) рассматривается при -Ь<г<Ь, где значение Ь определяется из условия /(+/,) = 0. Вводится обозначение

уравнение (13) представляется как краевая задача

(14)

при условиях 5'(-1) = 5'(1) = 0.

Решение краевой задачи (14) находится методом вариации, что приводит к интегральному уравнению первого рода

I

где g(z) - решение краевой задачи (14).

Для решения уравнения (15) используется метод коллокации. Для этого вводятся три системы узлов: = -/ + 2к,ИЫ, к = 0,1,..., уУ; Тк = = 0,1,..., #-1; тк=-Ь+2кЬ/Ы + Ь/Ы,к = 0,1,...,Ж-1,

и приближенное решение ищется в виде сплайна

(15)

N-1 к=0

0 ,-1<1<1к_ь1к+1<1<1, где ц/к(г) = ] ,Тк-.\<кТь

Ч»о (0 = \ 1<д<1< (0>

0, < г1 < /,

4)

-

Ь, <' < 'и

- —, Тдг-2 <1 < ^Ы-Ъ

1К~\ - 'N-2

/-¿дг -

/дг_| СГСГдг,

значения & = 0,1,..., Л7 — I, которого определяются из системы

уравнений

I

¡хм (т)С*(хк -х>/т = ), к = 0,1,..., N-1. (16)

-г

Доказана однозначная разрешимость вычислительной схемы (16). Второй метод. Уравнение (13) может быть представлено в виде

{ 1 N

—Г + З ск2

I К{г% (г')С* (г - 2')^' = / (г), -I <; г < Ь, (17)

/-00

где /(г) = <

4*)='

[/(г), при ге(-Ь,£),

[О, при г е (-да, оо) \ {-Ь, ¿);

[1, приге(-/, /),

[О, при г е (-оо, оо) \ (-/, /).

К уравнению (17) применяется преобразование Фурье, что приводит к уравнению в свертках:

(-ш2+р2)ё5'!(сй)С/(со) = /;(со), (18)

где О*(со), £/(со), ^(ю) - преобразования Фурье функций 0*(г),

К{г)12'[г), /(г). Для решения уравнения (18) на множестве узлов

2 2 —* í \

(0^, к = \, 2,..., Ы, в которых функция (-со +(3 )0 (со) не обращается в нуль, строится итерационная схема вида (8).

Для уравнения Галлена (3) в случае бесконечно тонкого электрического вибратора аналогичные рассуждения приводят к следующему гиперсингулярному интегральному уравнению:

Численные алгоритмы решения полученного гиперсингулярного интегрального уравнения с особенностью третьего порядка описаны в четвертой главе.

Третья и четвертая главы посвящены приближенным методам вычисления гиперсингулярных интегралов и решению гиперсингулярных интегральных уравнений.

Третья глава посвящена приближенным методам вычисления гиперсингулярных интегралов, возникающих при решении гиперсингулярных интегральных уравнений теории электрических вибраторов. Кроме того, в этой главе предложен один из способов аналитического вычисления некоторых классов бигиперсингулярных и двумерных гиперсингулярных интегралов (возникающих, в частности, при моделировании динамики крыла в потоке газа и в задачах механики разрушений) с особенностями на границе и внутри области интегрирования.

В разд. 3.1 для гиперсингулярных интегралов с подвижной особенностью предложены следующие квадратурные формулы:

где у = 2,3,...; г>у; у|/(т) = 1„(ф(т),[-1,1]) -

интерполяционный полином, построенный по п равноотстоящим узлам (или узлам ортогональных многочленов)

степеням до г-го порядка; Яп (ф,/) - погрешность

квадратурной формулы. Погрешность представленных квадратурных формул определяется погрешностью интерполяции и равна

V ф(т) й = г^МтЦ-м],')^

отрезок ряда Тейлора функции н/(т) по

Приведены алгоритмы вычисления

представленного интеграла в случае, если интерполяционный полином Ьп (ср,[-1,1]) может быть заменен сплайном.

В разд. 3.2 предложены методы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью

Уф= с1х, где у = 2,3,..., ф(т)е^Гг(1), г>у. Для этого сегмент

о

[0,1] покрывается более мелкими сегментами ^к =\^к^к+\\

к = 0,1,...,ЛГ-1, где гк={кШ)4, к = 0,1.....ЛГ, д = (г + 1)/(г+1-у).

Сегмент Ад разбивается еще более мелкими сегментами

Ч/ =['0^0,учо]' ; = 0,1,...,М-1, где М =

Л

к-0, ],..., #-1, функция ф(т) аппроксимируется интерполяционным

полиномом который строится по г +1 узлу

* = 0,1,...,#-1,./ = 0,1,...,/■.

Значение интеграла Jq> вычисляется по квадратурной формуле

^(т,Ао,Л ^ гЬЛхЛк),

У=Од0;. Т *=1Ак т

Показано, что данная квадратурная формула является

/0 / =--г, ./ = 0,1,..., М. В каждом сегменте Ак,

- Г, г. _ _-|1/I Г4-1—1

оптимальной по порядку и Я

-лг

^ -г

АЫ г.

п

В разд. 3.4 предложен алгоритм приближенного вычисления двумерного гиперсингулярного интеграла

у-Я^'Ч^«2 <20)

д

по треугольной области в случае расположения особой точки в вершине треугольника А.

В разд. 3.5 рассмотрен вопрос вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов вида

JJ /99

р/2

где Q = [0,l]', р>1, f еС[, г > р.

Для класса функции / е е cj. (l) построена оптимальная по порядку кубатурная формула, для которой справедливо равенство

uKfAN-'/1. Интегралы вида (20), (21) находят широкое п

применение в механике разрушений.

В четвертой главе представлены модификации метода коллокаций для приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. В разд. 4.1 на примере сингулярного уравнения

a(t)x(t) + b(t) ^^-dx + ^h(t,x)x{x)dx = f(t),tel, I X~l I

где a(t), b(t), f(t)eHa(l), h(t,x)e Haa( 1), строятся различные модификации вычислительных схем, приводящие к СЛАУ. Исследуется вопрос их однозначной разрешимости согласно критериям Адамара и Фидлера, а также блочному критерию Адамара.

В разд. 4.2 исследуются приближенные методы решения одномерных гиперсингулярных интегральных уравнений с особенностью третьего порядка:

-ilH3 -1

которые находят непосредственное применение в задачах теории электрического вибратора.

Приближенное решение уравнения (22) ищется в виде кусочному- 1

постоянной функции хдг(/) = X! ak(Vk.(0, где функция равна

к=0

единице при /еА^ и равна нулю при /е[—1,1]\А^; Лд = [ijt>fy+l)> £ = 0,1,..., N-2, An_{ =[tN_htN], tk=-l + 2k/N, k = 0,l,..., N. Кроме того, вводится еще одна система узлов: T^-t^+klN, Л: = 0,1, ...,N-\.

Коэффициенты {а^}, к = 0,1,..., N -1 определяются из системы линейных алгебраических уравнений

_ N-1 d% _ N~\ d%

а{Ц)щ+Ъ{Ц)^о.к -~з+с(*011ак \-+

к=0 к=О ^-Ч)

N-1

+ Еа* ¡h(fhT)dT =/(![), 1 = 0,1,...,N-1. (23)

к=0 Ак

Обоснование вычислительной схемы (23) проведено для ряда наборов коэффициентов a{t), b(t), c(t), h(t), в том числе для частного случая, когда a(t) = 0 и h(t) = 0. В этом случае уравнение (22) эквивалентно уравнению электрического вибратора (19).

В разд. 4.3 строится сплайн-коллокационный метод для приближенного решения двумерного гиперсингулярного интегрального уравнения, к которому приводит одна из задач теории разрушения - задача растяжения круглого цилиндра единичными усилиями, перпендикулярными к ее поверхности:

a(tht2)x(tbt2) + b(tbt2)x

„ X(^2)dx]d,2 ^ (24)

s[<Ji-îi)2+(t2-/2)2J

где S - круг единичного радиуса с центром в начале координат.

При построении вычислительной схемы приближенное решение уравнения (24) ищется в виде кусочно-постоянной функции. При ряде условий показана однозначная разрешимость вычислительной схемы. В диссертации построены модельные примеры, наглядно показывающие эффективность предложенного алгоритма.

В разд. 4.4 предложен алгоритм, позволяющий слабосингулярные интегральные уравнения первого рода, являющиеся некорректными

задачами, сводить к гиперсингулярным интегральным уравнениям, к которым применяется метод коллокации.

Этот алгоритм рассматривается на примере слабосингулярного интегрального уравнения вида

= /6о, (25)

^ г{?,т) к> W

где * = (*ь*2>'з)» т = (т1'т2>хз)» = 1-/х )2+(т2-Г2 )2+

Вычисление производной второго порядка по одной из переменных ¿2, ¿3 (Для определенности будем считать, что производная берется по переменной /]) от обеих частей уравнения (25) приводит к эквивалентному уравнению

• /г" (/, т) лг (т], т2, хз ) йххйх2йхъ

Г-

^ г(Лх)

- +

г[2/г'(Г,т)(т!-с)]х(тьт2,13)^X^X2^X3

+ I-^--^

^з^-гО^С/.фСтьта,13)^^x3 (26)

а

[>М]5

Решение уравнения (26) находится методом коллокации. Для этого область О покрывается кубами A¡ j д. =

= \уьЪ+\',У]>У]+\'>Ч>Ч+\\> /,7'Д = 0,1,..., М-\, Ук =-А + 2к/М, к = 0, ],..., N, и приближенное решение ищется в виде кусочно-постоянной функции хдг (/], ¡2, ¿з ) = х1,},к ПРИ г е 0<1,],к<Ы-1. В качестве узлов коллокации выбираются точки во внутренних кубах А,- j ^ таким образом, чтобы выполнялись

условия теоремы Адамара для разрешимости соответствующей системы линейных алгебраических уравнений.

После того как будет получено решение системы, значения функции в кубах составляющих границу области П,

определяются по непрерывности решения.

В частности, этот алгоритм применяется для решения краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца, определенного в пространственных областях с кусочно-непрерывной границей.

В заключении подытожены основные результаты теоретических и практических исследований.

В приложении к диссертации приведены результаты численного моделирования следующих прикладных задач:

- приближенного решения уравнения Поклингтона;

- приближенного решения уравнения Галлена;

-решения гиперсингулярных интегральных уравнений теории электрических вибраторов;

- приближенного вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью;

- приближенного вычисления двумерного гиперсингулярного интеграла по треугольной области;

- приближенного решения сингулярных интегральных уравнений;

- приближенного решения двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений.

В приложении также приведены листинги программ, реализующих алгоритмы, предложенные в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Предложены и обоснованы приближенные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена, моделирующих электрический вибратор.

Предложена математическая модель электрических вибраторов для бесконечно тонкой антенны, основанная на гиперсингулярных интегральных уравнениях.

Разработаны численные алгоритмы решения гиперсингулярных интегральных уравнений теории бесконечно тонких вибраторов.

Предложены и обоснованы оптимальные по порядку алгоритмы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью.

Предложены и обоснованы приближенные алгоритмы вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по областям, ограниченным кривыми Ляпунова.

Предложены и обоснованы приближенные алгоритмы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области.

Предложены и обоснованы алгоритмы приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанные на различных критериях регулярности.

Предложен и обоснован сплайн-коллокационный алгоритм решения двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений, представляющих собой одну из задач теории разрушения.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Тарасов, Д. В. Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов с фиксированными особенностями / И. В. Бойков, Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 1. - С. 21-40.

2. Тарасов, Д. В. Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрического вибратора / И. В. Бойков, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2008. - № 4. - С. 94-106.

3. Тарасов, Д. В. Приближенное решение некоторых классов гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. -№ 1 (9).-С. 100-112.

Публикации в других изданиях

4. Тарасов, Д. В. Проекционные методы решения уравнения Гельмгольца / И. В. Бойков, Н. В. Мойко, Д. В. Тарасов // Надежность и качество : труды международного симпозиума : в 2-х т. Т. 1 (Пенза, 25 мая - 31 мая, 2006). - Пенза. - С. 10-12.

5. Тарасов, Д. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Д. В. Тарасов // Труды

Средневолжского математического общества. - Саранск, 2007. -Т. 9. - № 2. - С. 25-31.

6. Тарасов, Д. В. Приближенное вычисление сингулярных и гиперсингулярных интегралов в среде Maple / И. В. Бойков, Д. В. Тарасов // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем : труды II Международной научно-технической конференции. - Пенза, 2007. -С.14-17.

7. Тарасов, Д. В. Приближенное вычисление двумерного гиперсингулярного интеграла по треугольной области / Д. В. Тарасов // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем : труды III Международной научно-технической конференции. - Пенза, 2008. -С.98-104.

8. Тарасов, Д. В. Об одном подходе к моделированию электрического вибратора / И. В. Бойков, А. К. Руденко, Д. В. Тарасов // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем : труды III Международной научно-технической конференции. - Пенза, 2008. -С.274-278.

Научное издание

Тарасов Дмитрий Викторович

Численное исследование моделей электрических вибраторов, описываемых гиперсингулярными интегральными уравнениями

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор А. Г. Темникова Компьютерная верстка Тарасова Д. В.

Подписано в печать 14.12.09. Формат 60х84'/16.

Усл. печ. л. 1,22. _Заказ № 001628. Тираж 100._

Издательство ПГУ Пенза, Красная, 40, т.: 56-47-33

Введение

Глава 1 Постановка задачи, обзор и вспомогательные утверждения

1.1 Методы интегральных уравнений в радиотехнике.

1.2 Классы функций.

1.3 Определения сингулярных и гиперсингулярных интегралов

1.3.1 Определения одномерных сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

1.3.2 Определения полигиперсингулярных и многомерных гиперсингулярных интегралов

1.4 Постановка задачи построения оптимальных алгоритмов вычисления гиперсингулярных интегралов.

1.5 Обзор приближенных методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов и решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений

1.5.1 Приближенное вычисление сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

1.5.2 Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений

1.6 Вспомогательные утверждения.

1.6.1 Понятие корректности и некорректности.

1.6.2 Критерии регулярности.

Глава 2 Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрического вибратора

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.3 Приближенное решение уравнения Поклингтона.

2.4 Уравнение Галлена.

2.5 Границы применимости уравнения Галлена.

2.6 Гиперсингулярные интегральные уравнения теории электрических вибраторов.

Глава 3 Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов

3.1 Приближенные методы вычисления одномерных сингулярных и гиперсингулярных интегралов с подвижной особенностью.

3.2 Приближенные методы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью

3.3 Построение аналитических способов вычисления полигиперсингулярных и двумерных гиперсингулярных интегралов.

3.4 Приближенное вычисление двумерного гиперсингулярного интеграла по треугольной области.

3.5 Приближенное вычисление многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области.

Глава 4 Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.

4.1 Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений

4.2 Приближенное решение гиперсингулярного интегрального уравнения моделирующего электрический вибратор

4.3 Приближенные методы решения двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений.

4.3.1 Сплайн-коллокационный метод.

4.4 Проекционные методы решения уравнения Гельмгольца

4.4.1 Приближенное решение слабосингулярных интегральных уравнений первого рода.

4.4.2 Приближенное решение граничной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца.

Актуальность темы

В последнее время все большее распространение в различных областях науки получает исследование объектов и явлений путем составления и анализа их математических моделей (описаний). Одно из ведущих мест в этих исследованиях принадлежит интегральным уравнениям. Прежде всего интегральные уравнения находят свое применение в решении задач исследования различного рода полей и сред. Основанием для составления интегральных уравнений, как правило, служат общие физические законы (законы сохранения массы, импульса, энергии), которые приводят к моделям конкретных процессов и явлений в интегральной форме. Стоит отметить, что достоинства этих моделей состоят в их общности, в том, что они не содержат производных от функций, являющихся характеристиками состояния среды. Таким образом, модели этого типа не накладывают каких-либо существенных ограничений на гладкость решения, и допускают существование разрывных решений, чего не скажешь относительно дифференциальных уравнений.

Помимо этого, интегральные уравнения успешно применяются при решении задач электродинамики, в анализе электрических и магнитных полей, для решения пространственных задач (метод граничных интегральных уравнений). В настоящее время значительно возросла сложность задач анализа, и в практику исследования динамических систем вошли многие задачи математической физики, задачи идентификации (обратные задачам анализа) и др.

Задачи анализа описываются интегральными уравнениями второго рода, решение которых представляет собой корректную задачу. Задачи восстановления внешних воздействий, общие задачи идентификации и другие задачи приводят к уравнениям первого рода, обладающим свойствами некорректности (нарушается хотя бы одно из следующих условий: решение существует, оно единственно и устойчиво).

При исследовании краевых задач радиотехники вопрос расчета основных характеристик излучения некоторого антенного устройства связан с решением внутренней задачи теории электрического вибратора, а именно, с нахождением функции распределения тока вдоль его длины.

Электродинамическая теория вибратора была построена в работах Галлена [66], М. А. Леонтовича [34], М. Л. Левина и др. авторов, и предполагала рассматривать вибратор достаточно тонким. Указанная модель при исследовании краевых задач для проволочных антенн приводит к двум основным интегральным уравнениям - уравнениям Галлена и Поклингтона. Вопрос касающийся получения строгого аналитического решения для этих уравнений остается открытым, а на практике используется решение в первом приближении (упрощенной форме). Вопрос численного решения указанных уравнений связан с работами Р. Митры и предполагает использование метода моментов, принципиальную роль в котором имеет выбор базисных функций. На сегодня оптимальный выбор базисных функций для решения уравнений Поклингтона и Галлена является открытой проблемой. Но даже в этом в этом случае электродинамическая модель сводится к системе линейных алгебраических уравнений, порядок которой в принципе не ограничен, а для реализации достаточной точности модели требует больших вычислительных ресурсов. Кроме того, уравнения Поклингтона и Галлена моделируют электрический вибратор с конечной величиной диаметра по всей длине вибратора, однако в зоне модулирования колебаний вибратор представляется бесконечно тонким, и это не соответствует физической постановке задачи. Стоит заметит, что при построении модели поверхностные электрические токи и магнитные эквивалентные токи заменяются расположенной на оси вибратора бесконечно тонкой нитью непрерывного тока.

Поэтому представляется актуальным построение модели свободной от указанных недостатков. Для этого интересным было бы предположить вибратор бесконечно тонким, и перейти к особым интегральным уравнениям, в которых интегралы следует понимать как конечночастные (в смысле Адамара). Тем более, что вопросы применения этих особых (сингулярных и гиперсингулярных) интегралов в других областях уже давали свои плоды.

В начале XX в. в работах Д. Гильберта и А. Пуанкаре возникла теория сингулярных интегральных уравнений, содержащая интегралы в смысле главного значения по Коши. В течение первой половины 20 столетия основное внимание исследователей было направлено на развитие теории сингулярных интегральных уравнений. Первой работой по приближенным методам решения сингулярных интегральных уравнений, описывающих задачу обтекания воздушным потоком крыла конечного размера, была работа М. А. Лаврентьева. Начиная с середины прошлого столетия теория сингулярных интегральных уравнений набирает все большие обороты в прикладных вопросах. Теория сингулярных интегральных уравнений становится наиболее эффективной для решения граничных задач (задача Римана и задача Гильберта), различных задач математической физики (здесь на искомые и задаваемые функции, фигурируемые в интегральных уравнениях, налагаются некоторые ограничения, значительно упрощающие изложение). В последнее время особое внимание уделяется гиперсингулярным интегралам (иногда говорят конечночастным интегралам), понимаемым в смысле главного значения Коши-Адамара. Данный тип интегралов также находит активное приложение в задачах электродинамики, аэродинамики, теории упругости и др. Гиперсингулярные и сингулярные интегралы позволяют определять значения, в смысле конечночастного интеграла (Адамара) для расходящихся интегралов, поэтому их рассмотрению и изучению также должно быть уделено должное внимание.

Основные достижения в развитие теории сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений связаны со следующими именами С. М. Белоцерковский [5], И. В. Бойков [13, 15], Г. М. Вайникко [18], И. Н. Векуа [19], Н. П. Векуа [20], Ф. Д. Гахов [24], В. В. Иванов [27, 28], И. К. Лифанов [37], А. М. Линьков [36], Л. Г. Михайлов [40], С. Г. Михлин [42], С. Г. Михлин и 3. Пресдорф [67], Н. И. Мусхелишвили [43], 3. Пресдорф и Б. Зильберман [69], 3. Пресдорф и Г. Шмидт [70], Г. Н. Пыхтеев [53, 54], К. Е. Atkinson [63], D. Elliot [65], A. G. Ramm [71].

Начиная с 80-90-х гг. прошлого столетия заметен все возрастающий поток публикаций, посвященных вычислению гиперсингулярных интегралов и решению гиперсингулярных интегральных уравнений. Это связано с двумя обстоятельствами:

• увеличивается число областей физики и техники (электродинамика, теория упругости, гравиразведка, квантовая физика и т.д.), в которых существенную роль играют гиперсингулярные интегралы и гиперсингулярные интегральные уравнения;

• необходимостью доведения исследований в этой области до уровня исследований в теории сингулярных интегральных уравнениях.

Несмотря на активное развитие методов вычисления гиперсингулярных интегралов и решения гиперсингулярных интегральных уравнений остается не исследованным ряд принципиальных моментов:

• построение оптимальных алгоритмов вычисления одномерных и многомерных гиперсингулярных интегралов с особенностью на границе;

• построение приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов по областям со сложной геометрией;

• разработка и обоснование приближенных методов решения одномерных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений.

Численным методам решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, возникающих в теории антенн, механики разрушений, и методам вычисления этих особых интегралов посвящена теоретическая часть данной диссертации.

Практическая часть диссертации состоит в построении алгоритмов приближенного решения классической модели электродинамической теории вибраторов, основой которых являются интегральные уравнения. В случае достаточно тонких электрических вибраторов, когда существующие методы не отражают суть протекающих процессов (в виду возникающих особых интегралов), предлагается использовать аппарат сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.

Цель и задачи исследования

Целью исследования является построение и обоснование численных алгоритмов решения классических уравнений теории электрических вибраторов - Галлена и Поклингтона, а также программная реализация алгоритмов. Существующая математическая модель тонкого вибратора, описываемая уравнениями Поклингтона и Галлена не описывает физику процесса в случае очень тонкого вибратора, поэтому необходимо построение математической модели описывающей электрический вибратор в случае бесконечно малого радиуса. Одним из способов такой реализации модели является использование особых интегральных уравнений (в которых интегралы понимаются в смысле Коши и в смысле Коши-Адамара) и, соответственно, построение и обоснование вычислительных схем ее численного решение. Для достижения поставленной цели необходимо:

• разработать численные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена;

• построить программную реализацию алгоритмов;

• исследовать модель вибратора, описываемую гиперсингулярными интегральными уравнениями;

• разработать алгоритмы вычисления одномерных и многомерных гиперсингулярных интегралов;

• построить оптимальные квадратурные формулы вычисления ряда гиперсингулярных интегралов;

• разработать и провести обоснование численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений различных видов;

• провести исследование различных вычислительных схем решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанных на различных критериях обращения матриц;

• разработать программы, реализующие эти методы, и применить полученные результаты к решению задач теории электрических вибраторов.

Методы исследования

В работе использованы методы функционального анализа, прикладного функционального анализа, краевых задач теории функции комплексного переменного, квадратурных формул, теория сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

• предложена математическая модель электрических вибраторов в случае бесконечно тонкой антенны, основанная на гиперсингулярных интегральных уравнениях;

• построены алгоритмы решения гиперсингулярных интегральных уравнений, моделирующих электрический вибратор;

• предложены и обоснованы приближенные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена;

• предложены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью;

• построены кубатурные формулы вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по областям, ограниченным кривыми Ляпунова;

• предложены кубатурные формулы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области;

• предложены алгоритмы приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанные на различных критериях регулярности;

• разработан пакет следующих программ: решения классических уравнений Поклингтона и Галлена теории электрических вибраторов; решение модели электрических вибраторов, основанной на гиперсингулярных интегральных уравнениях; вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по треугольной области; вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано восемь печатных работ, три из которых из списка ВАК:

• Тарасов, Д. В. Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов с фиксированными особенностями / И. В. Бойков,

Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2008. 1. - С. 21-40.

• Тарасов, Д. В. Применение гиперсингулярных интегральных уравнений к численному моделированию электрического вибратора / И. В. Бойков, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. —

2008. 4. - С. 94-106.

• Тарасов, Д. В. Приближенное решение некоторых классов гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. —

2009. 1. - С. 100-112.

Апробация. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- Международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2006)

- третьей Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2007);

- второй Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2007)

- второй Международной научно-технической конференции «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008)

- третьей Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008)

- научных конференциях профессорско-преподавательского состава Пензенского государственного университета.

Пакет прикладных программ «Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений и их применение к моделированию электрических вибраторов» используется в производственной деятельности ОАО «НПП «Рубин» (акт о внедрении прилагается к диссертации).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений и изложена на 221 странице.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложена математическая модель электрических вибраторов для бесконечно тонкой антенны, основанная на гиперсингулярных интегральных уравнениях. Она моделирует распределение тока по длине электрического вибратора в случае, когда использование классических уравнений Поклингтона и Галлена невозможно.

2. Даны численные алгоритмы решения гиперсингулярных интегральных уравнений теории бесконечно тонких вибраторов.

3. Предложены и обоснованы приближенные алгоритмы решения классических уравнений Поклингтона и Галлена, моделирующих электрический вибратор. Указанные алгоритмы позволяют получить решение в более общей форме, а не в форме первого приближения (решения с некоторыми упрощениями), как используется в известной литературе. Это позволяет получить решение с любой, наперед заданной, точностью.

4. Предложены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления одномерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью.

5. Предложены приближенные алгоритмы вычисления двумерных гиперсингулярных интегралов по областям, ограниченным кривыми Ляпунова.

6. Предложены приближенные алгоритмы вычисления многомерных гиперсингулярных интегралов с фиксированной особенностью на границе области.

Данные алгоритмы являются оптимальными по точности и позволяют эффективно вычислять некоторые типы сингулярных и гиперсингулярных интегралов с наперед заданной точностью. Они использованы при построении вычислительных схем решения гиперсингулярных интегральных уравнений теории электрических вибраторов и задач теории разрушения.

7. Предложены алгоритмы приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, основанные на различных критериях регулярности.Данные алгоритмы использованы при решении внутренней задачи теории электрического вибратора в случае его бесконечно малой толщины.

8. Предложен и обоснован сплайн-коллокационный алгоритм решения двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений, представляющих собой одну из задач теории разрушения.

Заключение

В заключении обобщены основные результаты теоретических и практических исследований.

1. Вычислительные методы в электродинамике / Под редакцией Р. Митры. М. : Мир, 1977. - 487 с.

2. Гравиразведка. / Под редакцией Е. А. Мудрецовой. — М. : Наука, 1981. 397 с.

3. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар — М. : Наука, 1978. 352 с.

4. Бахвалов, Н. С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики /Н. С. Бахвалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1970. — Т. 10. — № 3. С. 555-568.

5. Белоцерковский, С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов — М. : Наука, 1985. — 256 с.

6. Бернштейн, С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной / С. Н. Бернштейн : ГОНТИ, 1937.

7. Бисплингхофф, Р. Аэроупругость/ Р. Бисплингхофф, X. Эшли, Р. Халфмен. — М. : Издательство иностранной литературы. 1958. — 283 с.

8. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближенного вычисления интегралов и приближенное решение интегральных уравнений / И. В. Бойков. — Пенза : Пенз. политехи, ин-т, 1981. — 106 с.

9. Бойков, И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов / И. В. Бойков. — Саратов : Изд-во Саратов, гос. ун-та, 1983. — 210 с.

10. Бойков, И. В. Оптимальные методы вычислений в задачах автоматического регулирования / И. В. Бойков. — Пенза : Изд-во Пенз. политехи, ин-т, 1983. — 96 с.

11. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Н. Ф. Добрынина, J1. Н. Домнин. — Пенза : Изд-во Пенз. ГТУ, 1996. 188 с.

12. Бойков, И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков — Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. 316 с.

13. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // International Conference on Computational Mathematics. — Part first. Novosibirsk. 2004. - P. 411-417.

14. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов / И. В. Бойков. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. — 360 с.

15. Бойков, И. В. Сплайн-коллокационный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Вестник Харк. нац. ун-та. 2007. - № 775. Сер. «Математическое моделирование. Информационные технологии.

16. Автоматизированные системы управления», вып. 7 . С. 36-49: Библиогр.: 14 назв.

17. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский — М. : Янус, 2001. — 508 с.

18. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа — М. : ГИФМЛ, 1959. 628 с.

19. Векуа, Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи / Н. П. Векуа — М. : Наука, 1970. — 380 с.

20. Васильев, Е. Н. Журнал технической физики. — 1965. — Т.35. — Вып. 10.

21. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер — М. : Наука, 1967. 576 с.

22. Гахов, Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский. М. : Наука, 1978. — 296 с.

23. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. М. : Наука, 1963. — 640 с.

24. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. — Вып. 1. — М. Физматгиз, 1959. — 470 с.

25. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман — М.: Наука, 1971. — 352 с.

26. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов — Киев : Наукова думка, 1968. — 287 с.

27. Иванов, В. В. Об оптимальных алгоритмах численного решения сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов // В сб. : Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М. : Наука, 1972. С. 209-219.

28. Канторович, JI. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / JI. В. Канторович, Г. П. Акилов — М. : Наука, 1959. 684 с.

29. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс М. : Мир, 1987. - 311 с.

30. Крылов, В. И. Приближенные методы вычисления интегралов / В. И. Крылов. М. : ГИФМЛ, 1959. - 327 с.

31. Лаврентьев, М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы / М. А. Лаврентьев // Тр. ЦАГИ. — 1932. — Т. 118. С. 3-56.

32. Лебедев, В. И. О вычислении интегралов в смысле главного значения, весов и узлов квадратурных формул Гаусса / В. И. Лебедев, О. В. Бабурин. ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, № 3, с. 454-462.

33. Леонтович, М. А. К теории возбуждения колебаний в вибраторах антенн / М. А. Леонтович, М. Л. Левин // Журнал технической физики. 1944. - Т. 14. - № 9. - С. 481-520.

34. Линьков, А. М. Гиперсингулярные интегралы в плоских задачах теории упругости / А. М. Линьков , С. Г. Могилев екая // ПММ. — 1980. Т. 54. - № 1. - С. 116-122.

35. Линьков, А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / А. М. Линьков — СПб. : Наука, 1999. С. 241-251.

36. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов — М. : ТОО "Янус", 1995. 520 с.

37. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / А. Л. Люстерник, В. И. Соболев. — М. : Наука, 1965. — 520 с.

38. Марков, Г. Т. Антенны / Г. Т. Марков, Д. М. Сазонов. — М. : Энергия, 1975. 528 с.

39. Михайлов, Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л. Г. Михайлов // Труды АН Тадж. ССР. — Душанбе, 1963. Т. 1. - 126 с.

40. Михаськив, В. В. О численном решении трехмерных статических задач теории упругости для тела с включением неканонической формы / В. В. Михаськив , Б. М. Стасюк // Прикладная механика. 2007. - Т. 43. - № 4. - С. 27-35.

41. Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. — М. : Физматгиз, 1962. 254 с.

42. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. — М. : Наука, 1968. — 612 с.

43. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. — М. : Наука, 1966. 700 с.

44. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. М. ; Л. : ГИФМЛ, 1949. - 688 с.

45. Неганов, В. А. Сингулярные интегральные уравнения как метод физической регуляризации некорректных электродинамических задач радиотехники и связи / В. А. Неганов // Успехи современной радиотехники. — 2005. — № 12. — С. 16—24.

46. Некрасов, А. И. Теория крыла в нестационарном потоке / А. И. Некрасов. М. : Изд-во АН СССР, 1947. - С. 3-65.

47. Никольский, С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. — М. : Наука, 1979. — 254 с.

48. Обломская, Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах / Л. Я. Обломская // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. - Т. 8. - № 2. - С. 417-426.

49. Оселедец, И. В. Приближенное обращение матриц / И. В. Оселедец, Е. Е. Тыртышников // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2005. — Т, 45. — № 2. С. 315-326.

50. Панасюк, В. В. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции / В. В. Панасюк, М. П. Саврук, 3. Т. Назарчук — Киев : Наук, думка, 1984. — 344 с.

51. Пресдорф, 3. Некоторые классы сингулярных уравнений / 3. Пресдорф М. : Мир, 1979. - 494 с.

52. Пыхтеев, Г. Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида / Г. Н. Пыхтеев. — Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1980.

53. Пыхтеев, Г. Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши / Г. Н. Пыхтеев. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982.

54. Сазонов, Д. М. Антенны и устройства СВЧ / Д. М. Сазонов. — М. : Высшая школа, 1988. — 434 с.

55. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев — Минск : Наука и техника, 1987. — 688 с.

56. Соболев, С. JI. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев М. : Наука, ГИФМЛ, 1974. - 808 с.

57. Тиман, А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А. Ф. Тиман — М. : Наука, ГИФМЛ, 1960. — 624 с.

58. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — М. : Наука, 1986. — 288 с.

59. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. — Т. 2. — М. : Физматгиз, 1959.— 808 с.

60. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярные интегральные уравнения. / Л. А. Чикин // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. 1953. - Т. 113. - № 10. - С. 53-105.

61. Эшли, X. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов / X. Эшли , М. Лэндал — М. : Машиностроение, 1969. — 129 с.

62. Atkinson, К. Е. The Numerical Evaluation of the Cauchy Transform on Simple Closed Curves / К. E. Atkinson // Society for Industrial and

63. Applied Mathematics. — Journal on Numerical Analysis, 1972. — V. 9. — P. 284-299.

64. Boikov, I. V. Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2001. V. 28. - № 3. - P. 127-179.

65. Elliot, D. The Approximate Solution of Singular Integral Equations / D. Elliot // Solution Methods for Integral Equations. — Theory and Applications, 1979. P. 83-107.

66. Hallen, E. Electromagnetic Theory. — London : Chapman & Hall, 1962. 1944. - P. 444-504. - P. 127-179.

67. Michlin, S.G. Singulare Integraloperatoren / S. G. Michlin, S. Prossdorf Berlin : Acad. - Verl., 1980. - 514 p.

68. Monegato, G. The Numerical Evaluation of One-Dimensional Cauchy Principal Value Integrals / G. Monegato. — Computing, 1982. — V. 20. — P. 337-354.

69. Prossdorf, S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations / S. Prossdorf, B. Silbermann. — Berlin. : Acad. Verl., 1991. — 544 p.

70. Prossdorf, S. A Finite Element Collocation Method for Singular Integral Equations / S. Prossdorf, G. Shmidt // Math. Nachr., 1981. — V. 100. P. 33-60.

71. Ramm, A. G. Theory and Applications of Some New Classes of Integral Equations — Berlin : Springer- Verlag, 1980. — 343 p.

72. Wiener, N. Uber eine Klasse Singularer Integralgleichungegen / N. Wiener, E. Hopf. Berlin : Sitz. Acad. Wiss., 1931. - P. 696—706.