автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Разработка математических моделей для расчёта электромагнитного поля с применением сингулярных интегральных уравнений и их численное исследование

На правах рукописи

Полумисков Михаил Алексеевич

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

Специальность 05 09 05 - Теоретическая электротехника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

003071Б08

!

Иваново 2007

003071608

Работа выполнена на кафедре "Теоретические основы электротехники и электротехнологии" Ивановского государственного энергетического университета

Научный руководитель:

Доктор технических наук, профессор Кадников Сергей Николаевич

Официальные оппоненты: Доктор технических наук, профессор

Сбитнев Станислав Александрович

Доктор технических наук, профессор Алпатов Михаил Евгеньевич

Ведущая организация:

ОАО Зарубежэнергопроект (г Иваново)

Защита состоится "25" мая 2007г в 14 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 157 13 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу 111250, Москва, ул Красноказарменная, 14, ауд 3-505

Отзывы на автореферат (2экз), заверенные печатью организации, просим присылать по адресу 111250 Москва, Красноказарменная ул, 14 Ученый совет МЭИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Автореферат разослан П п/иг< 2007г

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы Одним из основных методов, применяемых для расчёта электромагнитного поля электротехнических устройств, является метод интегральных уравнений (МИУ) Он может использоваться как для расчета поля в линейной среде, где наиболее эффективны граничные интегральные уравнения (ГИУ), так и в нелинейных средах в форме объемных или пространственных уравнений

МИУ наиболее эффективен в тех случаях, когда для расчета поля используются интегральные уравнения Фредгольма второго рода Однако эти уравнения могут быть построены далеко не для всех краевых задач, возникающих при расчете поля конкретных устройств В частности, при расчете поля высоковольтных аппаратов, содержащих электроды в виде тонких оболочек, интегральные уравнения второго рода фредгольмовского типа построить нельзя, и поэтому для такого рода задач используются уравнения первого рода Такие уравнения некорректны, причем это свойство проявляется тем сильнее, чем выше размерность модели, то есть при расчете трехмерных полей, что необходимо для адекватного моделирования реальных устройств Альтернативой уравнениям первого рода являются сингулярные интегральные уравнения (СИУ), которые в отличие от уравнений первого рода корректны, то есть, близки по вычислительным свойствам уравнениям Фредгольма второго рода. Поэтому построение СИУ для расчета электростатического поля, особенно трехмерного, является актуальной практической задачей С другой стороны, СИУ естественным и неизбежным образом появляются при расчетах квазистационарного поля различных электромагнитных аппаратов При этом для расчета каждого отдельного устройства может быть построено несколько вариантов систем интегральных уравнений, содержащих сингулярные операторы, и возникает проблема выбора наиболее эффективной модели с точки зрения практической реализации, то есть наиболее точной и экономичной Чисто теоретическим путем эту проблему решить невозможно, и поэтому возникает

актуальная задача сравнительной оценки вычислительной эффективности математических моделей, содержащих СИУ. До сих пор методика таких оценок не разработана, и достаточно широкого вычислительного эксперимента (из-за отсутствия теории - это единственный способ исследования) не проводилось В данной работе предпринята попытка частично восполнить этот пробел

Целью работы является построение математических моделей с использованием СИУ для расчета электростатического и квазистационарного электромагнитного полей, сравнительное исследование их вычислительных свойств и определение наиболее эффективных методов численной реализации

Основные задачи диссертационной работы 1 Разработать универсальную методику построения сингулярных уравнений для расчета электростатического поля без применения специальных приемов (введение систем криволинейных координат, замены переменных, ограничений на геометрию)

2. Построить математические модели для расчета квазистационарного электромагнитного поля идеальных проводников с использованием уравнений первого и второго рода Фредгольма и СИУ

3 Разработать основные положения методики и критерии оценки сравнительной вычислительной эффективности математических моделей на основе различных типов интегральных уравнений

4 Создать комплекс программ и провести численные эксперименты с целью определения вычислительной эффективности СИУ сравнительно с другими математическими моделями по критериям точности, экономичности расчетов, простоты программной реализации и возможности построения универсальных программных средств

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы теоретической электротехники и прикладной математики, теория интегральных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры

Комплекс программ для численного исследования математических моделей реализован на объектно-ориентированном языке программирования Borland Delphi версии 7 0с применением средств MatLab

Научная новизна Новыми научными результатами являются впервые получены сингулярные интегральные уравнения для расчета трехмерного электростатического поля,

впервые применена методика численного решения сингулярных интегральных уравнений с использованием сплайн-аппроксимаций,

впервые построены математические модели для расчета квазистационарного поля идеальных проводников,

предложена методика численного исследования вычислительной эффективности сингулярных интегральных уравнений.

Практическая ценность Практическая ценность работы состоит в создании корректных математических моделей для расчета трехмерного электростатического поля высоковольтных аппаратов, которые могут быть использованы при их проектировании, в разработке новых эффективных трехмерных математических моделей для расчета электромагнитных экранов трансформаторов, в создании методики численной оценки различных способов численной реализации МИУ, что необходимо при проектировании электротехнических устройств На защиту выносятся

1 Математические модели для расчета трехмерных статических полей на основе сингулярных интегральных уравнений и систем

2 Варианты систем интегральных уравнений для расчета поля идеальных проводников, предназначенных для расчета квазистационарного электромагнитного поля при резко выраженном поверхностном эффекте

3 Методика исследования вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений, основой которой является анализ взаимного влияния порядка матриц СЛАУ, чисел обусловленности, порядка аппроксимации искомых функций и скорости сходимости

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-техническом семинаре "Математическое моделирование процессов и аппаратов", ИГЭУ, Иваново, 1991г, международной конференции "Состояние и перспективы развития электротехнологии", ИГЭУ, Иваново, 1991 г, всесоюзной конференции по теоретической электротехнике, Винница, 1993г., научно-техническом семинаре по электротехнике и прикладной математике, ИГЭУ, Иваново, 2003г., международной конференции "Бенардосовские чтения", ИГЭУ, Иваново, 2005г

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения общим объемом 158 страниц, списка литературы, включающего 106 наименований и приложения объемом 30 страниц Работа содержит 85 рисунков и 9 таблиц СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определено основное направление работы, ее основные цели и конкретные задачи, обоснована актуальность темы и практическая ценность полученных результатов, а также основные положения, выносимые на защиту

В первой главе дается обзор различных типов интегральных уравнений, встречающихся при расчётах электромагнитных полей Приведена их классификация как с чисто математической точки зрения, так и согласно принятой инженерной терминологии При этом обращается внимание на то, что тип уравнения или системы, определяющий его вычислительные свойства, зависит от одного определяющего оператора интегрального или интегро-дифференциального типа. Это предопределяет различие в способах численной реализации соответствующих уравнений и систем

Приводятся характерные основные примеры сингулярных уравнений и систем, встречающихся при расчётах статических электромагнитных полей различных электротехнических устройств, уравнений, возникающих при

расчетах квазистационарного электромагнитного поля в электромагнитных аппаратах

На основе анализа применения СИУ, состояния теории и методов численной реализации делается вывод о необходимости исследования вычислительных свойств СИУ и развития методов численного решения многомерных СИУ

Во второй главе рассматриваются сингулярные интегральные уравнения для расчета электростатического поля идеальных проводников Эти уравнения могут быть использованы как для расчёта поля объёмных проводников, так и для тонких оболочек В случае замкнутой тонкой оболочки для расчета поля могут быть использованы уравнения второго рода, полученные с помощью теории потенциала. Однако применение СИУ позволяет использовать их для замкнутых и незамкнутых оболочек, что определяет их более высокую универсальность по сравнению с интегральными уравнениями теории потенциала

Приведена методика построения СИУ для расчета плоскопараллельного поля В качестве исходного уравнения используется потенциал простого слоя зарядов с плотностью <т Если тело заряжено до потенциала <ра , то из краевого условия #>|/= <ра и условия равенства нулю касательной составляющей напряженности на контуре, возникает интегральное уравнение:

Т^-4Л =*,р0 , (О

2ЖЕ0 ] р Мц гчр ' 2тге0 ] г чр

где а - плотность заряда, <р0 - заданный потенциал проводника (оболочки), к\ - произвольная постоянная, от величины которой зависят вычислительные свойства уравнения (1)

Для незамкнутой оболочки построена система уравнений

1 í<Гр ln-^-rf/p=<Po- (3)

J rpo,

2я^о ¡1 " гт р Вместо (3) можно использовать уравнение

iЫ,nt¿,'<"'='oЛ• <4)

/ /

где /0 - длина /

Если вместо потенциала задан заряд проводника, то вместо уравнения (1) используется уравнение следующего вида

/ / где г0 - заданный заряд на единицу длины, к2 - произвольная постоянная В системе к уравнению (2) добавляется уравнение-

<*pdlp = Го ■> (6)

I

Приведено доказательство единственности решения этих уравнений путем сведения их к дифференциальным уравнениям

Показано, что СИУ могут быть использованы для решения краевых задач первого рода (задач Дирихле) при расчёте поля проводника, который находится в заданном внешнем поле В частности, для расчёта плотности заряда, индуцированного на проводнике внешним полем, интегральное уравнение может быть сведено к СИУ

-i- ¿*p j- (ta -Цар + áap ln - di р = - ^L _ t, 9 , (7)

2xs0 J ' dlq rpq 2tts0 J rpq dlq

где (poq - потенциал внешнего поля.

Показана методика построения СИУ для расчета трехмерных электростатических полей и доказано существование и единственность решений В качестве исходного уравнения для решения краевой

электростатической задачи используется потенциал простого слоя. Полученное СИУ имеет вид-

-Ч

4же0 J

f 1 4

8L

\r4pj

dS„

—— do 4тге0 J

dS,

Rnn

■ = k\<Po

(8)

Для данного уравнения проведено доказательство единственности. В случае незамкнутой поверхности уравнение (8) необходимо решать совместно с условием равенства потенциалов на концах незамкнутой линии

4яг0 J

dS

р ß l«=o

—I

4p

1 С dSB\

Если задан полный заряд электрода, то задачу решает система из уравнения (8), где потенциал <р0 -известная величина, и дополнительного

f

уравнения Qcr dSр = q0, где q0 - заданный заряд электрода

Получены другие варианты систем уравнений, использующие комбинации СИУ и уравнений первого рода, более удобные для поверхностей, гомеоморфных квадрату

Получены также СИУ для решения задач электростатики, представляющих вторую группу уравнений СИУ, полученные путем дифференцирования ядра потенциала простого слоя по переменной интегрирования Для тел, на которых естественным образом можно ввести хотя бы одно семейство замкнутых координатных линий (/?=сот?), потенциал можно ввести в виде

4>а

-Ч.

4 7С£а J

8

dl.

ар

1

А;

dS,

(10)

Добавляя к нему потенциал простого слоя при <тр= \р образуем интегральное уравнение

-Ч"

4жеь J

dl,

ар

1

\кяр;

н 4 же.

dS P~R

(И)

4P

где (/>„, - заданная функция точки д

Уравнения второй группы могут быть получены из уравнений первого рода путем линейных преобразований при использовании соотношения а = -с!у/сН, где производная берётся по касательной к £

Для незамкнутой оболочки, гомеоморфной квадрату, краевую задачу первого рода решает уравнение

где p(ß) — дополнительная неизвестная функция Основным результатом данной главы являются математические модели на основе СИУ для расчета электрстатических полей, которые пригодны как для расчёта двумерного, так и для трехмерного поля При этом, в отличие от классических уравнений теории потенциала, они обладают универсальностью, то есть одинаково пригодны как для расчёта объемных тел, так и тонких оболочек.

В третьей главе проведено сравнительное численное исследование вычислительных свойств интегральных уравнений первого рода и СИУ на замкнутых и незамкнутых осесимметричных контурах, а также в трехмерном случае на незамкнутых поверхностях различных типов (рис 1) Выбор одномерных модельных задач обусловлен тем, что для них известно точное решение электростатических задач

1

4 же0

1)

2)

рис 1 Варианты модельных задач

И

Сравнение выполнено по следующим пунктам- 1) сравнение различных способов аппроксимации ядер, 2) определение зависимости обусловленности матриц СЛАУ от вида аппроксимации ядер и порядка СЛАУ; 3) определение точности расчета в зависимости от типа уравнений, 4) исследование возможности применения итерационных методов

Анализ ядер сингулярных уравнений показывает, что использование сплайнов нулевого порядка (кусочно-постоянной аппроксимации) для них нецелесообразно, поскольку аппроксимирующая функция должна быть, как минимум, непрерывна При аппроксимации ядер интегральных уравнений (как первого рода, так и сингулярного) проверялся метод локальных сплайнов первого порядка

Другим способом аппроксимации ядер СИУ (более простым) является аппроксимация посредством системы сосредоточенных линейных зарядов (вихрей) с постоянной линейной плотностью заряда. Точки наблюдения при этом помещаются посередине между двумя соседними вихрями Данный метод называется методом сосредоточенных вихрей (СВ), а в трехмерном случае методом сосредоточенных источников (СИ) Численный эксперимент показал, что методы СИУ и СВ (СИ) дают после линеаризации низкие числа обусловленности матриц СЛАУ Вычисление коэффициентов в методе СИУ требует более трудоёмких вычислений, а по простоте и скорости реализации предпочтительнее метод СВ (СИ)

Уменьшения чисел обусловленности матриц СЛАУ интегральных уравнений Фредгольма первого рода (метод ИУФПР), можно добиться путем последовательного вычитания строк матрицы СЛАУ (метод ВСМ) Повторное проведение этой операции, то есть метод двойного вычитания строк матрицы (ДВСМ), дает увеличение чисел обусловленности, поэтому его применение нецелесообразно Методы СВ и ВСМ сочетают скорость и простоту вычислений, свойственную методу интегральных уравнений первого рода, и низкие числа обусловленности, присущие методу СИУ

На основании графика (Рис 2 ) можно заключить, что метод СИУ сходится быстрее, чем метод ИУФПР, так как кривая, соответствующая методу ИУФПР, находится выше кривой, соответствующей методу СИУ

В случае решения задачи с помощью СИУ проверен итерационный метод, позволяющий сократить время расчета, особенно при высокой размерности матриц СЛАУ.

Результаты вычислительных экспериментов (табл.1) показали, что использование мето- д

да СИУ существенно уменьшает число обусловленности СЛАУ, причем при увеличении размерности СЛАУ его рост меньше, чем в методе ИУФПР Метод СИУ при достаточно большом числе элементов

НУФПР

100 200 300 400 500 рис 2. Зависимость относительной погрешности Д от числа элементов разбиения N

разбиения дает более точный результат, возможно использование итерационных методов обращения матрицы СЛАУ, а также в решении отсутствуют (или незначительны) осцилляции вблизи краев рассматриваемой поверхности и точек, в которых нарушается гладкость данной поверхности

Результаты вычислений

а N Метод Д*,=1 Ах2=2 А*,=4

А Л А Я А А

30 ИУПФР 0 039 73 892 0.037 72 630 0.041 70 451

128 СИУ 0 009 10 452 0 007 5 538 0 008 3 170

СИ 0 068 4 155 0 063 4 482 0.130 4 376

всм 0.039 7 459 0.037 6 196 0 041 4 509

288 ИУПФР 0 025 112.209 0.023 113 005 0.028 110 063

СИУ 0 003 11 891 0 003 5 308 0 002 4 227

СИ 0 032 5 031 0 030 5 628 0.057 5 820

ВСМ 0 025 7.736 0.023 6 904 0 028 5 048

ИУПФР 0011 168 794 0010 150 504 0 012 150.784

512 СИУ 0.002 11 637 0 002 8 449 0 002 4.892

СИ 0.010 6 034 0 010 6 718 0 015 6 958

ВСМ 0.011 9 150 0 010 6 482 0 012 5 290

ИУПФР 0 214 858 0 194 112 0 198 776

800 СИУ 0 14 288 0 8 282 0 6 146

СИ 0 6 977 0 7.598 0 7.937

ВСМ 0 18.187 0 10312 0 6 710

Где А — относительная погрешность, к - число обусловленности СЛАУ

Метод СИ (СВ) по точности является наихудшим из представленных, однако по скорости вычислений коэффициентов матрицы он значительно превосходит любой из них, что делает его использование целесообразным при большом числе разбиений Точность метода ВСМ совпадает с точностью метода ИУФПР, поскольку оба эти метода при условии, что решение СЛАУ находится без погрешности, дают одинаковый результат Однако при увеличении числа элементов разбиения следует предпочесть метод ВСМ метод}' ИУФПР по причине сильного роста числа обусловленности матрицы СЛАУ при использовании последнего

В четвертой главе рассматривается методика расчета квазистационарного электромагнитного поля, создаваемого проводниками с высокой удельной проводимостью (идеальными проводниками), находящимися в поле достаточно высокой частоты, при которой сильно выражен поверхностный эффект При этом можно считать, что индуцированные токи сосредоточены в настолько тонком слое, что его толщиной можно пренебречь Построенные математические модели могут служить достаточно хорошим приближением к реальности с одной стороны, а с другой - позволяют значительно упростить процесс решения практических задач

Рассмотрена задача, когда объемный проводник из немагнитного металла ограничен поверхностью 5 и находится в однородной немагнитной среде (воздухе) Источник внешнего электромагнитного поля расположен вне

проводника и ограничен поверхностью 5„ Векторы полного поля Не. Ее вне

проводника подчиняются уравнениям гоХЙе- 0, ШЁе ~-]а/лйНе, с1™Ее = 0. При переходе через касательная составляющая напряженности электрического поля меняется непрерывно, то есть. [«,¿,,1= [я,£е + £0|= 0. Чтобы краевая задача для вектора Ееп имела только нулевое решение, достаточно условия, чтобы полный заряд проводника был равен нулю, что

равносильно условию

№ = 0 В результате получена краевая задача,

которая, как показано в работе, имеет единственное решение

Построены интегральные уравнения, из которых можно образовать четыре варианта систем интефальных уравнений для решения поставленной краевой задачи Приведено доказательство единственности решения Уравнения имеют вид.

Ал

<К>р = [яч,Ё0] (13)

1ур,Чр я

№Р = 0

(14)

чр у

\clSp -

4л-

= (15)

чр

2л-

ЯР.

1 1

"ч>н од, + 1к2 пч'е0ч.

(16)

Данные системы интегральных уравнений классифицируются как уравнения первого рода [(13),(14)], второго рода [(15),(16)] и смешанного типа [(13),(15)], [(15),(14)]

В случае осесимметричного и плоскопараллельного полей системы интегральных уравнений сводятся к одному интегральному уравнению, записанному относительно поверхностного тока

Для осесимметричного поля получено уравнение первого рода-

-Ц

2л ^

1зрТчрМр=-А0ч, (17)

где введено обозначение.

(18)

Здесь К(к) и Е(к) - эллиптические интегралы первого и второго рода

Сингулярное интегральное уравнение, полученное из (17) путем

использования граничного условия 0 (равенство нулю нормальной

составляющей напряженности магнитного поля на 5) имеет вид

н

м

= 2(пд,Н0ч)+2к2(пч,Ё0ч) (19).

В пятой главе выполнена численная реализация полевых моделей для случая трехмерного квазистационарного магнитного поля идеальных проводников и проведено исследование вычислительных свойств интегральных уравнений Все предложенные модели основываются на решении интегральных уравнений (13), (14), (15) и (16) Численное решение интегральных уравнений производится сведением их к СЛАУ методом конечных сумм с кусочно-постоянной аппроксимацией вторичных источников. При замене векторных уравнений скалярными вводятся местные системы координат для каждого элемента 5, с ортонормированным базисом х,, yJ, п], интегралы, входящие в коэффициенты уравнений, вычислены

аналитически. Последующее вычисление напряженности магнитного поля Н производится по формуле

Йя = * " Й'1 = ~Хк+1>к (20)

Численное исследование проведено на примере кубического проводника (замкнутая оболочка) и проводника в форме квадратной пластины (незамкнутая оболочка). Сравнивались четыре модели систем интегральных уравнений. 1) первого рода (13),(14), 2) смешанного типа (13),(15); 3) смешанного типа (15),(14); 4) второго рода (15),(16)

Зависимость чисел обусловленности X матриц СЛАУ от числа граничных элементов N. (рис 3) показывают, что по величине и динамике роста Я худшие результаты имеют 3-я и 1-я модели Наилучшими показателями обладают 2-я и 4-я модели, заменяющие соответственно интегральные уравнения второго рода (15,16) и смешанного типа (15,13). л

10°

10 ■

10"

10-

102

10

с / У

/

— модель 1 модель2

модельЗ модель4

<

106

106

104

n

10°

моде пь1 /

/ / /

/

102

10

10"

10

10' 10- N

кубический проводник пластина

Рис 3. Зависимость числа обусловленности от числа граничных элементов Сходимость решений СЛАУ к решению исходной краевой задачи с ростом числа элементов разбиения N оценивалась по относительной погрешности, Д,\', которая определялась следующим образом А^=тах{А1ц, А2\},

Л1:У

_ тлг

,2.4

Д2„=-

т2Я

г«е Мь =1 (|

\У,\

ь 1 "1 . ч.т

Таблица 2. Результаты численного эксперимента

п N Относительная погрешность решения

1-я модель 2-я модель 3-я модель 1 4-я модель

4 96 31.67% 8.13% 2.34% ! 1.79%

8 384 65.57% 15.87% 0.53% 0.39%

16 | 1536 54.21% 12.59% 0.18% 0.11%

Из данных табл.2 видно, что 1-я и 2-я модели не проявляют признаков сходимости.

Численное решение СЯАУ возможно выполнять итерационными Методами, которые дают

существенное сокращение времени счета. Критерий сходимости итераций определялся, как

Г-

г

^■100% <0.5%.

Видно (рис.4), что модели, имеющие плохую сходимость лри росте числа элементов, имеют низкую скорость итераций.

140 120 100

80

20 о

-¡'Г ¿=3

□Число 1-- итераций 1

г"

1-я модель 2-я модель 3-я модель 4-я модель

Рис.4. Число итераций в случае кубического проводника

Из данных численных экспериментов можно сделать следующие выводы. Модель (1), пригодная для расчёта поля тонких оболочек, может применяться только при достаточно высокой точности представления чисел (длине мантиссы) в ЭВМ. С точки зрения сходимости наилучшие результаты дают (3) и (4) модели.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1 Установлено, что сингулярные интегральные операторы являются характерными составляющими элементами интегральных уравнений и систем, возникающих при математическом моделировании электротехнических устройств

2. Разработаны новые математические модели для расчета трехмерных статических полей на основе сингулярных интегральных уравнений и систем, имеющих нулевой индекс и единственность решения

3 Разработаны новые варианты систем интегральных уравнений для расчета поля идеальных проводников, предназначенных для расчета квазистационарного электромагнитного поля при резко выраженном поверхностном эффекте.

4 Установлено, что на незамкнутых поверхностях можно построить несколько различных систем интегральных уравнений, матрицы СЛАУ которых имеют различные числа обусловленности, что дает возможность выбора оптимальных по вычислительным свойствам математических моделей.

5 Предложена методика исследования вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений, основой которой является анализ взаимного влияния порядка матриц СЛАУ, чисел обусловленности, порядка аппроксимации искомых функций и скорости сходимости

6 Вычислительные свойства СИУ с точки зрения аппроксимации искомых функций и расположения узлов дискретизации существенно отличаются от уравнений Фредгольма В отличие от них, для успешного применения СИУ в вычислительных целях целесообразно применение сплайнов первого порядка и выше.

7. При кусочно-постоянной аппроксимации искомых функций для численного решения СЛАУ, заменяющих СИУ необходимо применять прямые методы, которые дают достаточно точные результаты, несмотря на высокие числа обусловленности

8 Возможность применения итерационных методов решения СИУ может быть обеспечена при условии аппроксимации искомых функций сплайнами не ниже первого порядка

9 Скорость сходимости итерационных методов для решения СИУ может быть существенно повышена путем применения метода полуобращения при условии, что числа обусловленности матриц СЛАУ достаточно малы (порядка 1-100)

10 Основной вывод представленной работы состоит в том, что сингулярные интегральные уравнения могут успешно решаться численными методами и поэтому должны более широко использоваться при математическом моделировании физических процессов

Основные результаты диссертации отражены в публикациях

1 Захаров А Г , Кадников С Н, Полумисков М.А , Паротькин В И Расчет на ЭВМ параметров датчика электрического поля с электродами в форме сферических сегментов // Методы и алгоритмы автоматизированного проектирования в электротехнике: Межвузовский тематический сборник №21 -М, 1983 - С 109-112

2 Зимин Е Ф , Кузовкин В А , Полумисков М А, Морозов А Н Анализ датчика импульсного электромагнитного поля в воздухе // Методы анализа и проектирования электрофизических, электротехнических и информационно-измерительных устройств сб научных трудов №85 - М , 1986 -С.50-54

3 Лебедев В О , Полумисков М А Принципы построения многоканального датчика для исследования слабых электромагнитных полей // Состояние и перспективы развития электротехнологии (III Бенардосовские чтения), тез докл Всесоюзной научно-технической конференции. —Иваново ИЭИ, 1987 -С 34-34

4 Кадников С Н, Полумисков М А. Применение сингулярных интегральных уравнений для расчета электрического поля тонких оболочек //

/Г

Исследование электромагнитных процессов в энергетических установках межвузовский сб науч трудов -Иваново ИЭИ, 1988 -С 125-132

5 Кадников С Н, Полумисков М А Сравнительный численный анализ эффективности интегральных уравнений первого рода и сингулярных интегральных уравнений при решении электростатических задач для тонких оболочек//Электричество -1989 -№1 -С.66-70

6 Кадников С Н, Полумисков М А Сингулярные интегральные уравнения для расчета трехмерного электростатического поля И Вестник научно-промышленного общества Вып 7 - Москва, 2004 -С 7-11

7 Кадников С Н, Полумисков М А. Краевая задача и интегральные уравнения для расчета квазистационарного электромагнитного поля идеальных проводников // Вестник научно-промышленного общества Вып 7 -Москва, 2004 -С 11-15

8 Кадников С Н., Полумисков М А , Смирнов С Ю Применение сингулярных интегральных уравнений для расчета осесимметричных электростатических полей // Вестник ИГЭУ, вып 2. - Иваново, 2004 -С 48-51

9 Кадников С Н , Полумисков М А , Прокушев С В Анализ численных методик расчета потерь в массивных деталях шунтирующих реакторов // Повышение эффективности работы энергосистем Тр ИГЭУ Вып VII / под ред В А Шуина, М Ш Мисриханова, А В Мошкарина - М Энергоатом-иэдат 2004 -С 548-554

10 Полумисков М.А Интегральные уравнения для расчета ЭМП идеальных проводников // Проблемы сварки и электротехники материалы Международной науч -тех конф (XII Бенардосовские чтения) -Иваново, 2005 -С 156-160

Уел печ л 1,16 Тираж 100 экз Заказ №51 Отпечатано в РИО ИГЭУ 153003, Иваново, ул Рабфаковская, 34

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В

РАСЧЕТАХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ (обзор)

1.1. Классификация интегральных уравнений.

1.2. Сингулярные интегральные уравнения для расчета электромагнитного поля.

1.2.1. Одномерные сингулярные интегральные уравнения.

1.2.2. Многомерные сингулярные уравнения.

1.3. Состояние теории и методики численной реализации сингулярных интегральных уравнений.

1.4. Выводы.

Глава 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДЛЯ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

2.1. Сингулярные уравнения для расчета плоскопараллельного и осесимметричного поля.

2.2. Сингулярные уравнения для расчета трехмерного поля

2.3. Выводы.

Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.

3.1. Численная реализация одномерных уравнений на замкнутых контурах.

3.2. Одномерные уравнения на незамкнутом контуре.

3.3. Расчет электростатического поля, созданного заряженной прямоугольной пластиной.

3.4. Расчет электростатического поля, созданного заряженным двугранным углом.

-33.5. Выводы.

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ

4.1. Постановка задачи и сингулярные интегральные уравнения на основе поверхностных зарядов и токов для расчёта трёхмерного поля.

4.2. Осесимметричные и плоскопараллельные поля идеальных проводников, и сингулярные интегральные уравнения для их расчёта.

4.3. Выводы.

Глава 5. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ.

5.1. Численная реализация полевых моделей.

5.2.Исследование вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений.

5.3. Итерационное решение систем линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих сингулярные интегральные уравнения.

5.4. Выводы.

Задачи разработки элктротехнического оборудования и оптимизации его параметров неизбежно приводит к необходимости внедрения методов математического моделирования, а также численных методов расчета электромагнитного поля. Развитие вычислительной техники не решает всех проблем математического моделирования. Остается открытым вопрос оценки вычислительной эффективности математических моделей, построенных на основе теории электромагнитного поля и определения наиболее эффективных методов их численной реализации.

Актуальность работы. Одним из основных методов, применяемых для расчёта электромагнитного поля электротехнических устройств, является метод интегральных уравнений (МИУ). Он может использоваться как для расчёта поля в линейной среде, где наиболее эффективны граничные интегральные уравнения (ГИУ), так и в нелинейных средах в форме объёмных или пространственных уравнений.

МИУ наиболее эффективен в тех случаях, когда для расчёта поля используются интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Однако эти уравнения могут быть построены далеко не для всех краевых задач, возникающих при расчёте поля конкретных устройств. В частности, при расчёте поля высоковольтных аппаратов, содержащих электроды в виде тонких оболочек, интегральные уравнения второго рода фредгольмовского типа построить нельзя, и поэтому для такого рода задач используются уравнения первого рода. Такие уравнения некорректны, причём это свойство проявляется тем сильнее, чем выше размерность модели, то есть при расчёте трехмерных полей, что необходимо для адекватного моделирования реальных устройств. Альтернативой уравнениям первого рода являются сингулярные интегральные уравнения (СИУ), которые в отличие от уравнений первого рода корректны, то есть, близки по вычислительным свойствам уравнениям Фредгольма второго рода. Поэтому построение СИУ для расчёта электростатического поля, особенно трёхмерного, является актуальной практической задачей. С другой стороны, СИУ естественным и неизбежным образом появляются при расчётах квазистационарного поля различных электромагнитных аппаратов. При этом для расчёта каждого отдельного устройства может быть построено несколько вариантов систем интегральных уравнений, содержащих сингулярные операторы, и возникает проблема выбора наиболее эффективной модели с точки зрения практической реализации, то есть наиболее точной и экономичной. Чисто теоретическим путём эту проблему решить невозможно, и поэтому возникает актуальная задача сравнительной оценки вычислительной эффективности математических моделей, содержащих СИУ. До сих пор методика таких оценок не разработана, и достаточно широкого вычислительного эксперимента (из-за отсутствия теории - это единственный способ исследования) не проводилось. В данной работе предпринята попытка частично восполнить этот пробел.

Целью работы является построение математических моделей с использованием СИУ для расчёта электростатического и квазистационарного электромагнитного полей, сравнительное исследование их вычислительных свойств и определение наиболее эффективных методов численной реализации.

Основные задачи диссертационной работы.

1. Разработать универсальную методику построения сингулярных уравнений для расчёта электростатического поля без применения специальных приёмов (введение систем криволинейных координат, замены переменных, ограничений на геометрию).

2. Построить математические модели для расчёта квазистационарного электромагнитного поля идеальных проводников с использованием уравнений первого и второго рода Фредгольма и СИУ.

-63. Разработать основные положения методики и критерии оценки сравнительной вычислительной эффективности математических моделей на основе различных типов интегральных уравнений.

4. Создать комплекс программ и провести численные эксперименты с целью определения вычислительной эффективности СИУ сравнительно с другими математическими моделями по критериям точности, экономичности расчётов, простоты программной реализации и возможности построения универсальных программных средств.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы теоретической электротехники и прикладной математики, теория интегральных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры. Комплекс программ для численного исследования математических моделей реализован на объектно-ориентированном языке программирования Borland Delphi версии 7.0 с применением средств MatLab.

Научная новизна. Новыми научными результатами являются: сингулярные интегральные уравнения для расчёта трехмерного электростатического поля; методика численного решения сингулярных интегральных уравнений с использованием сплайн-аппроксимаций; математические модели для расчёта квазистационарного поля идеальных проводников; методика численного исследования вычислительной эффективности сингулярных интегральных уравнений.

Практическая ценность. Практическая ценность работы состоит в создании корректных математических моделей для расчёта трёхмерного электростатического поля высоковольтных аппаратов, которые могут быть использованы при их проектировании; в разработке новых эффективных трёхмерных математических моделей для расчёта электромагнитных экранов трансформаторов; в создании методики численной оценки различных способов численной реализации МИУ, что необходимо при проектировании электротехнических устройств.

На защиту выносятся:

1. Математические модели для расчёта трёхмерных статических полей на основе сингулярных интегральных уравнений и систем.

2. Варианты систем интегральных уравнений для расчёта поля идеальных проводников, предназначенных для расчёта квазистационарного электромагнитного поля при резко выраженном поверхностном эффекте.

3. Методика исследования вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений, основой которой является анализ взаимного влияния порядка матриц СЛАУ, чисел обусловленности, порядка аппроксимации искомых функций и скорости сходимости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-техническом семинаре "Математическое моделирование процессов и аппаратов", ИГЭУ, Иваново, 1991г.; международной конференции "Состояние и перспективы развития электротехнологии", ИГЭУ, Иваново, 1991г.; всесоюзной конференции по теоретической электротехнике, Винница, 1993г.; научно-техническом семинаре по электротехнике и прикладной математике, ИГЭУ, Иваново, 2003г.; международной конференции "Бенардосовские чтения", ИГЭУ, Иваново, 2005г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения общим объемом 158 страниц, списка литературы, включающего 106 наименований и приложения объемом 30 страниц. Работа содержит 85 рисунков и 9 таблиц.

Основные результаты и выводы.

1. Установлено, что сингулярные интегральные уравнения являются характерными составляющими элементами интегральных уравнений и систем, возникающих при математическом моделировании электротехнических устройств.

2. Разработаны новые математические модели для расчёта трёхмерных статических полей на основе сингулярных интегральных уравнений и систем, имеющих нулевой индекс и единственность решения.

3. Разработаны новые варианты систем интегральных уравнений для расчёта поля идеальных проводников, предназначенных для расчёта квзистационарного электромагнитного поля при резко выраженном поверхностном эффекте.

4. Установлено, что на незамкнутых поверхностях можно построить несколько различных систем интегральных уравнений, матрицы СЛАУ которых имеют различные числа обусловленности, что даёт возможность выбора оптимальных по вычислительным свойствам математических моделей.

5. Предложена методика исследования вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений, основой которой является анализ взаимного влияния порядка матриц СЛАУ, чисел обусловленности, порядка аппроксимации искомых функций и скорости сходимости.

6. Вычислительные свойства СИУ с точки зрения аппроксимации искомых функций и расположения узлов дискретизации существенно отличается от уравнений Фредгольма. В отличие от них, для успешного применения СИУ в вычислительных целях целесообразно применение сплайнов первого порядка и выше.

7. При кусочно-постоянной аппроксимации искомых функций для численного расчёта СЛАУ, заменяющих СИУ необходимо применять прямые методы, которые дают достаточно точные результаты, несмотря на высокие числа обусловленности.

8. Возможность применения итерационных методов решения СИУ может быть обеспечена при условии аппроксимации искомых функций сплайнами не ниже первого порядка.

9. Скорость сходимости итерационных методов для решения СИУ может быть существенно повышена путём применения метода полуобращения при условии, что числа обусловленности матриц СЛАУ

-л достаточно малы (порядка 1-10 ).

10. Основной вывод представленной работы состоит в том, что сингулярные интегральные уравнения могут успешно решаться численными методами и поэтому должны более широко использоваться при математическом моделировании физических процессов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абрамович М., Стигаи И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979. 832 с.

2. Амромин Э.Л., Новгородцев А.Б. Определение формы электродов конденсатора с постоянной напряженностью на краевых участках // Электричество. 1983. -№ 12. - С.31-34.

3. Аполлонский С.М., Ерофеенко В.Т. Электромагнитные поля в экранирующих оболочках. Мн.: Университетское, 1988. -246с.

4. Астахов В.И. Обращение оператора Лапласа на замкнутых оболочках методом интегральных уравнений//Изв. вузов. Электромеханика. -1975. -№11.-0.1175-1183

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. -М.: Наука, 1985. -256с.

6. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984. -494с.

7. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. -203с.

8. Бреббия К., Тылес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987. -524с.

9. Бухгольц Г, Расчет электрических и магнитных полей. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.-712с.

10. Ю.Васильев В.В., Коленский Л.Л., Медведев Ю.А., Степанов Б.М. Проводящие оболочки в импульсном электромагнитном поле. М.: Энергоатомиздат, 1982. -200с.

11. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. -279с.

12. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1978. -292с.

13. Виноградов С.С. К решению задач электростатики для незамкнутых сферических проводников. Симметричные конденсаторы // ЖТФ. -1985.1. Т.55, №2 С.251-260.

14. Виноградов С.С. К решению задач электростатики для незамкнутых сферических проводников. Несимметричные конденсаторы // ЖТФ. 1985. --Т.55. - № 11 -С.2097-2105.

15. Вишневский A.M., Лаповок А.Я. Алгоритмы расчета поля намагничивания тонких пластин и оболочек // Энергетика и транспорт. -1987. -№4. С.44-50.

16. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.-303с.

17. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. -М.: Наука, 1963. -639с.

18. Гегелиа Т. Г. О композиции сингулярных ядер // ДАН СССР. 1960. -Т. 135. - № 4. - С.767-770.

19. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматиздат, 1962. -1100с.

20. Грацианова О.Л., Иоссель Ю.Я., Кадников С.Н., Якобсон А.Н. Расчет частичных емкостей ограничителей перенапряжений // Эффективность и надежность нелинейных ограничителей перенапряжений: сб. научн. тр. НИИПТ. Л.: Энергоатомиздат, 1987. - С.95-103.

21. Гримальский О.В. Метод расчета электромагнитного поля оболочек в режиме сильного экранирования // Известия РАН. Энергетика. 1995. -№5. -С.99-106.

22. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. -М., Л.: Изд-во АН СССР, 1948. -724с.

23. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. -М.: Гостехиздат, 1953. -.360с.

24. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа. -240с.

25. Дэвенпорт Д. Интегрирование алгебраических функций. -М.: Мир, 1985.-192с.

26. Ерофеенко В.Т. Теоремы сложения. Мн.: Наука и техника, 1989. -255с.-16127. Жуков С.В. О граничных условиях для определения переменных магнитных полей тонких металлических оболочек // ЖТФ. -1969. -Т.39, №7.-С.1149-1154.

27. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. -М: Наука, 1968. -448с.

28. Зимин Е.Ф., Качанов Э.С., Кузовкин В.А., Полумисков М.А. Индукционный магнитометр. Авторское свидетельство №1208925

29. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев.: Наукова думка, 1968, -288с.

30. Иванов В.Я. Методы автоматизированного проектирования приборов электроники. Новосибирск.: Институт математики СО АН СССР, 1986. -Т.1. -192с.

31. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных полей на двух телах. -М.: Наука и техника, 1968. -583с.

32. Иоссель Ю.Я. Расчет потенциальных полей в энергетике. -JL: Энергия, 1978.-351с.

33. Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической ёмкости. -JL: Энергоиздат,. 1981. -288с.

34. Иоссель Ю.Я. Электрические поля постоянных токов. -JL: Энерго-атомиздат, 1986. -160с.

35. Иоссель ЮЛ. Расчет электрической емкости. Аннотированный библиографический указатель отечественной и зарубежной литературы. -JL: НИИПТ, 1987.-451с.

36. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.:1. Наука, 1985.-336с.

37. Кадников С.Н. Расчет проводимости растекания электродной системы из двух сферических сегментов с непроводящей прослойкой методом парных рядов // РЖ Электротехника и энергетика. -1977, -№7, -Реф. 7A31-77. -С.5-5.

38. Кадников С.Н. Сингулярные интегральные уравнения для тонких проводящих оболочек // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1989. -№5. -С. 179-182.

39. Кадников С.Н. Осесимметричная электростатическая задача для сферических оболочек и дисков // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1984. -№3. -С.10-10.

40. Кадников С.Н. Вычисление емкости тонкой сферической оболочки с двумя коаксиальными вырезами (сферического кольца) // Изв. вузов. Энергетика. -1983. -№8. -С.4-4.

41. Кадников С.Н. Метод интегральных уравнений для расчета электростатических полей. Иваново: ИвГЭУ, 1995. -84с.

42. Кадников С.Н. Инверсия в сфере и криволинейные ортогональные координаты // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1989. -Геометрическая часть. -4.1. -№2. -С.103-105., Расчет электрических полей. -4.2. -№3. -С.40-46.

43. Кадников С.Н., Клемин Е.А. Электростатическая задача для осесимметричных сфероидальных оболочек // Электричество. -1986, №10, -С.5-5.

44. Кадников С.Н., Клемин Е.А. Расчет параметров датчиков электрического поля в проводящей среде // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1986. -№6. -С.57-60.

45. Кадников С.Н., Полумисков М.А. Сравнительный численный анализ эффективности интегральных уравнений первого рода и сингулярныхинтегральных уравнений при решении электростатических задач для тонких оболочек// Электричество. -1989. -№1. -С.66-70.

46. Кадников С.Н., Полумисков М.А. Сингулярные интегральные уравнения для расчёта трёхмерного электростатического поля // Вестник научно-промышленного общества. -М., 2004. -Вып.7., -С.7-11.

47. Кадников С.Н., Полумисков М.А. Краевая задача и интегральные уравнения для расчёта квазистационарного электромагнитного поля идеальных проводников // Вестник научно-промышленного общества. -М., 2004. -Вып.7. -С. 11-15.

48. Кадников С.Н., Полумисков М.А. Смирнов С.К. Сингулярные интегральные уравнения для расчёта осесимметричного электростатического поля // Вестник ИГЭУ; вып.2. -Иваново, 2004. -С.43-48.

49. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М., JI.: Наука, 1962. -696с.

50. Колечицкий Е.С. Анализ и расчеты электрических полей. -М.: МЭИ, 1977. -4.1. -80с.

51. Колечицкий Е.С. Анализ и расчеты электрических полей. М.: МЭИ, 1977.-4.2. 1977.-82 с.

52. Колечицкий Е.С. Расчет электрических полей устройств высокого напряжения. -М.: Энергоатомиздат, 1983. -168с.

53. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. -М.: Высш. шк., 1970. -710с.

54. Краснов И.П. О решении магнитостатических задач для тонких замкнутых оболочек // ЖТФ, 1972, -T.XI, -Вып.8.- с. 1545-1549.

55. Краснов И.П. О решении некоторых граничных задач теории гармоничных функций // Дифференциальные уравнения, 1975. -T.XI, -№11.-С.2052-2066.

56. Краснов И.П. Численные методы исследования судового магнетизма. -Л.: Наука, 1986. -200с.

57. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1975. -301с.

58. Крылов В.И., Бобоков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. -Минск: Наука и техника, 1985. -280с.

59. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей.-М.: Энергоатомиздат, 1984.-168с.

60. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. -М.: Гос. изд-во технико-теор. мет., 1950. -280с.

61. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1965. -716с.

62. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. -М.: Гостехтеориздат, 1963.-380с.

63. Лебедев Н.Н., Скальская И.П. Распределение электричества на тонком гиперболоидальном сегменте // ЖВМ и МФ. -1967. -Т.7. -№2. -С.348-356.

64. Литвиненко Л.Н., Сальникова Л.П. Численное исследование электростатических полей в периодических структурах. -Киев: Наукова думка, 1968. -160с.

65. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. -М.: Мир, 1980. -608с.

66. Маергойз И.Д. Итерационные методы расчета статических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. -Киев: Наукова думка, 1979. -210с.

67. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1977. -456с.-16572. Миролюбов Н.Н., Костенко М.В., Левинштейн М.А., Тиходеев Н.Н Методы расчета электростатических полей. -М.: Высшая школа, 1963. -531с.

68. Мииков И.М. Решение задачи о поле конденсатора, пластины которого имеют форму полых сферических сегментов // ЖТФ. -1960. -Т.30. -№11. -С.1355-1361.

69. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Физматиздат, 1959. -232с.

70. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Наука, 1962. -254с.

71. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. -М: Высшая школа, 1977.-431с.

72. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы математической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. -Т.1. - 930с.

73. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы математической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. -Т.2. -886с.

74. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966. -708с.

75. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. -512с.

76. Никифоров А.Ф., Уваров Б.В. Специальные функции математической физики. -М.: Наука, 1978. -319с.

77. Острейко В.Н. Расчёт электромагнитных полей в многослойных средах. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, -1981. -152с.

78. Полумисков М.А. Интегральные уравнения для расчёта ЭМП идеальных проводников // XII Бенардосовские чтения: сб. науч. трудов. -Иваново, 2005.-С. 156-160.

79. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. -М.: Мир, 1989. -478с.

80. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -432с.

81. Светов Б.С., Губатенко В.П. Аналитические решения электродинамических задач. -М.: Наука, 1988. -344с.

82. Смайт В. Электростатика и электродинамика. -М.: Изд. иностр. лит., 1954. -604с.

83. Тамм И.Е. Основы теории электричества. -М: Наука, 1976. -616с.

84. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1974. -224с.

85. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. -Киев: Техника, 1974. -352с.

86. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. -М.: Энергия, 1975. -294с.

87. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1986. -420с.

88. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. / Под ред. Купрадзе В.Д. -М.: Наука, 1976. -663с.

89. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. -JL: Наука, 1977. -220с.

90. Фельд Я.Н., Сухаревский И.В. О сведении задач дифракции на незамкнутых поверхностях к интегральным уравнениям второго рода // Радиотехника и электроника. -1966, -№7. -С.30-36.

91. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Пер. с англ. -М.: Мир, 1982. -304с.

92. Форсайт Д., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир, 1980. -279с.

93. Фридман В.М. Метод последовательных приближений для интегральных уравнений 1-го рода // УМН. -Т.Х1. -Вып. 1. -1956.

94. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. -М.: Мир, 1964. -428с.

95. Цейтлин J1.A. Об определении магнитных и электрических полей тонких слоев и оболочек //ЖТФ. -1958. -Т.28. -Вып.6. -С.1326-1329.

96. Численные методы теории дифракции: Сб. статей. М.: Мир, 1982.200с.

97. Цырлин Л.Э. Избранные задачи расчета электрических и магнитных полей. -М.: Советское радио, 1977. -320с.

98. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. -Киев: Наукова думка, 1983. -251с.

99. Тиходеев Н.Н., Шур С.С. Изоляция электрических сетей. -Л.: Энергия, 1979, -302с.