автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и обоснование математических моделей для расчета электромагнитного поля в анизотропной среде

На правах рукописи

ВЕСЕЛОВА Ирина Евгеньевна

РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 !<ЮУ ?П1Г)

Иваново 2010

004606204

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Кадников Сергей Николаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Сбитнев Станислав Александрович

кандидат технических наук Чиндилов Денис Викторович

Ведущая организация:

ОАО НИИ «Электропривод», г. Иваново

Защита состоится « 28 » июня 2010 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 212.064.03 при Ивановском государственном энергетическом университете по адресу: 153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 34, корпус «Б», аудитория 237.

Отзывы (в двух экземплярах , заверенные печатью) просим присылать по адресу: 153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 34, Ученый совет ИГЭУ. Тел.: (4932) 38-57-12; факс (4932) 38-57-01 E-mail: uch_sovet@ispu.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ивановского государственного энергетического университета (ул. Рабфаковская, 34), с авторефератом на сайте ИГЭУ wwvv.ispu.ru.

Автореферат разослан «26» JMl Sk 20г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

А. А. Шульпин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одной из назревших проблем теоретической электротехники является разработка эффективных методов расчета электромагнитного поля (ЭМП) в анизотропной среде. Она существует, например, в электродинамике, где решение задач, связанных с излучением и дифракцией электромагнитных волн, сдерживается (в отличие от изотропной среды) отсутствием точных формул для функций Грина в среде с произвольной (прямоугольной) анизотропией. В силовой электротехнике проблема расчета поля в анизотропной среде возникает, например, при моделировании электромагнитных устройств, содержащих шихтованные магнитопроводы, которые представляют так называемую мелкослоистую анизотропную среду. Известные универсальные численные методы для расчета поля в этом случае не применимы, в связи с чем учет влияния шихтовки на распределение поля, потери мощности, индуктивности обмоток и т.д. производится в настоящее время по приближенным методикам, основанным на решениях частных задач и результатах натурных экспериментов. Возможность применения универсальных численных методов появляется после замены мелкослоистой среды сплошной анизотропной средой. Как известно, для линейных сред наиболее продуктивен метод граничных интегральных уравнений (ГИУ). В отличие от метода конечных элементов (МКЭ), он позволяет учитывать геометрическую и функциональную специфику моделируемых устройств, а также характеристики различных конструкционных материалов, в частности анизотропию (что для МКЭ недоступно), за счет чего достигается относительно высокая точность и экономичность.

Однако, несмотря на большие потенциальные возможности метода ГИУ, его применение сдерживается рядом факторов. Так, при построении математических моделей для расчета поля в анизотропных средах возникают интегралы со специфическими свойствами ядер, не имеющие прямых аналогов в теории интегральных уравнений и ранее не исследовавшиеся. Вследствие этого появляется ряд проблем как при построении математических моделей, так и при обосновании возможности их практического применения. В частности, возникают вопросы, связанные с построением формул для предельных значений производных потенциалов на граничных поверхностях, существованием и единственностью решений, регуляризацией полученных систем интегральных уравнений при обосновании возможности их практического применения.

Наличие таких вопросов позволяет сделать вывод о том, что теоретическое обоснование математических моделей для расчета поля в анизотропной среде фактически отсутствует. В связи с этим можно утверждать, что тема данной работы является актуальной как с практической, так и с теоретической точки зрения.

Целью работы является разработка математических моделей в форме интегральных уравнений для расчета электромагнитного поля в однородной и кусочно-однородной анизотропных средах, а также обоснование возможности их практического использования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка методики построения математических моделей для расчета электромагнитного поля в анизотропной среде.

2. Обоснование возможности применения полученных моделей с помощью теоретического анализа и численного эксперимента.

Методы исследований. Поставленные задачи решались с использованием теории интегральных уравнений, теории потенциала и методов численного решения интегральных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов заключается в следующем:

1. Разработаны новые математические модели на основе метода разделения областей в форме систем интегральных уравнений для расчета магнитостатического поля в однородной анизотропной среде.

2. Обоснована возможность численной реализации разработанных моделей с использованием теории сингулярных интегральных уравнений и теории потенциала.

3. Получены новые формулы, являющиеся аналогами закона Био-Савара-Лапласа для однородной анизотропной среды.

4. Проведена численная апробация разработанных моделей и подтверждена их практическая применимость.

Практическая ценность работы. Разработанные математические модели могут быть использованы при проектировании электротехнических устройств - реакторов, устройств индукционного нагрева, аналоговых фильтров.

Достоверность представленных в работе результатов, полученных путем проведения вычислительных экспериментов на математических моделях, подтверждается их сравнением с экспериментальными данными, а также с результатами расчетов в среде ЕЬСиТ.

Реализация результатов работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, используются в учебном процессе в ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет

имени В. И. Ленина» при подготовке студентов по специальности «Прикладная математика и информатика».

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях: XI международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, МЭИ, 2005 г.), международной научно-технической конференции "Состояние и перспективы развития электротехнологии" (XII Бенардо-совские чтения, Иваново, ИГЭУ, 2005 г.), XII международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, МЭИ, 2006 г.), международной научно-технической конференции "Состояние и перспективы развития электротехнологии" (XIV Бенардосовские чтения, Иваново, ИГЭУ, 2007 г.), международной научно-технической конференции "Состояние и перспективы развития электротехнологии" (XV Бенардосовские чтения, Иваново, ИГЭУ, 2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ, в том числе 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура н объем работы. Диссертационная работа общим объемом 182 страницы состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы (115 названий).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность поставленной проблемы. Сформулирована цель работы и задачи, которые должны быть решены для ее достижения, дано краткое содержание глав работы.

Приводится обзор основных результатов, полученных по этой теме. Он позволяет сделать вывод о том, что до сих пор в рамках этой темы рассматривались только отдельные частные задачи, несмотря на то, что задача расчета электромагнитного поля магнитопроводов трансформаторов и реакторов поставлена давно. В частности, вопросами разработки математических моделей в анизотропных средах занимались А. В. Нетушил, О. В. Тозони, И. Д. Маергойз, Э. В. Колесников, К. М. Поливанов, В. Н. Чечурин. Наибольший интерес представляют две модели. Одна из них предназначена для расчета статического магнитного поля, впервые была предложена Э. В. Колесниковым. В ней расчет поля постоянного магнита сведен к системе уравнений первого и второго рода, полученных с использованием скалярных потенциалов простого слоя. Другая модель в виде системы интегральных уравнений второго рода, для построения кото-

рой использовались потенциалы простого и двойного слоев, рассматривается в книге О. В. Тозони и И. Д. Маергойза. Наличие интегралов первого рода в первой модели и потенциалов двойного слоя во второй существенно усложняет их численную реализацию и делает малопригодными для проведения эффективных расчетов.

Универсальные достаточно эффективные математические модели до сих пор не разработаны, а существующие известные модели малопригодны для практической реализации. Причина состоит в том, что отсутствует теоретическая база для разработки эффективных и практически реализуемых математических моделей. Это доказывает необходимость проведения настоящей диссертационной работы как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Первая глава посвящена математическим моделям для расчета плоскопараллельных и осесимметричных магнитостатических полей магнитопроводов, а также вопросам теоретического обоснования полученных моделей. Необходимость рассмотрения такого рода полей обусловлена тем, что системы интегральных уравнений (ИУ), возникающие при моделировании большинства электротехнических устройств, содержат сингулярные интегралы, основные свойства и особенности которых соответствуют сингулярным интегралам, получаемым при расчете статического поля. Так как исследование статического поля проще, то целесообразно начать теоретическое исследование именно со статических полей.

Интерес к осесимметричным полям вызван тем фактом, что значительная часть современных электротехнических устройств обладает осесимметричной структурой. В системах уравнений для расчета осе-симметричного поля (независимо от того, статическое оно или электромагнитное) из интегралов всегда можно выделить сингулярные части, соответствующие сингулярным интегралам для расчета плоскопараллельного поля. Следовательно, эти системы будут обладать одинаковыми свойствами в вопросах разрешимости. Задача анализа плоскопараллельных полей более простая, поэтому с этого вопроса и начато исследование.

При разработке математической модели для расчета плоскопараллельного магнитостатического поля в анизотропной среде рассмотрена следующая задача (рис. 1).

Длинный цилиндр из однородного ферромагнетика с сечением , ограниченный контуром /, находится во внешнем поле постоянных токов, расположенных вне 5 в области 5 и распределенных

по некоторому сечению 50 с заданной плотностью 5о. Оси декарто-

вой системы координат расположены ными осями магнитной анизотропии.

так, что они совпадают с глав-

У

О

х

Рис.1.

При построении системы граничных интегральных уравнений использованы методы вторичных источников и полного разделения областей. Это позволило получить систему ГИУ второго рода:

В полученной системе часть интегралов, а именно вторые интегралы в левых частях уравнений, имеют нестандартный вид и, следовательно, обладают неизвестными свойствами. В связи с этим в ходе построения математической модели решены следующие задачи: 1) выяснено, что интегралы, входящие в систему, являются сингулярными на поверхностях Ляпунова; 2) получены новые формулы для предельных значений производных составляющих векторов поля; 3) доказана возможность численной реализации системы. Кроме того, впер-

1 Л ((V) , Ъ 1 X (V"),,

гов, 3 " г] , * ? г

- г

вые была получена формула = 0р,— с15р , которую

можно рассматривать как частный случай закона Био-Саварра-Лапласа для плоско параллельного магнитного поля в линейной анизотропной среде.

Для полученной системы разработан новый процесс регуляризации путем введения союзной задачи, с помощью которого обоснована возможность ее численной реализации.

Решена также более общая задача, в которой каждая из областей Я. и 5е заполнена определенной анизотропной средой с тензорами

относительной магнитной проницаемости р, и ре соответственно (р, * ре), что доказывает универсальность разработанной модели.

Разработана методика построения математической модели для расчета осесимметричного магнитостатического поля в анизотропной среде.

Первичное магнитное поле создается круглым витком (или обмоткой тороидальной формы) с произвольным сечением , по которому протекают токи с заданной плотностью 8о. Вблизи витка (обмотки) находится анизотропный однородный ферромагнетик тороидальной формы сечением ,!>(., ограниченным контуром / произвольной

формы. Оси анизотропии магнитного материала направлены по осям г,г. Такое расположение осей является единственным практически

реальным вариантом и позволяет ввести диагональный тензор р, с компонентами и ц,,. Внешняя область Б , включающая 50, заполнена немагнитной однородной средой.

Краевая задача в данном случае содержит такие же дифференциальные уравнения, как и задача, рассмотренная выше, однако решается она в цилиндрической системе координат. В результате получена система ГИУ следующего вида:

/Л:

' I I

л

I ' I

где Кт~ р- ЬфЙ-*)--^), к,п=р-кк{к), А'(Л) и £(*) -

УД ) к ,1 у

эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода.

В работе получено специальное представление для ядра

А',^ = 1п—где / - гладкая функция, и доказана сингулярность полученной системы.

При построении системы использованы новые формулы для предельных значений производных векторов поля. Доказано, что с точки зрения разрешимости эти полученные системы обладают одинаковыми свойствами, так как главные части сингулярных операторов в этих системах имеют одинаковый вид. Следовательно, для полученной системы существует возможность практической применимости.

В первой главе предложено также обоснование формул, использованных при выводе систем, в частности, доказательство формулы для предельного значения нормальной производной потенциала простого слоя. Кроме того, приводятся доказательство сингулярности полученных систем, а также процесс сведения их к системам уравнений Фредгольма, т.е. процесс регуляризации.

Также приведена методика построения математической модели для союзной задачи к первой из рассмотренных задач. Записав системы уравнений для основной и союзной задач в векторно-матричной форме, получили систему + А^Х) = Ь\, %2Х2 + &2Х2 ~ > гДе 5,1,52 - сингулярные интегральные операторы; - интеграль-

ные операторы Фредгольма. Доказано, что в качестве регуляризаторов можно использовать сингулярные операторы союзных задач, т.е., что системы 52^1*1 , ¿ч^л^ + = являются

системами уравнений Фредгольма, что позволяет проводить эффективную численную реализацию полученных математических моделей.

Приведена методика построения математических моделей для расчета плоскопараллельного магнитостатического поля магнитопро-водов реакторов, для которых характерно наличие стыков. На этих стыках (границах) оси анизотропии меняют свое направление (рис.2), что нарушает однородность среды и делает невозможным использова-

ние в расчетных областях одних и тех же представлений для потенциалов. Для этого случая разработан специальный метод частичного разделения областей, состоящий в том, что при построении модели на границах раздела областей используется одновременно и плотность тока и плотность заряда. Этот метод позволяет получить систему интегральных уравнений второго рода.

Для модели изображенной на рис.2, получена система интегральных уравнений, для которой можно доказать возможность эффективной численной реализации.

Вторая глава содержит разработанные методики построения математических моделей для расчета плоскопараллельных и осесим-метричных квазистационарных электромагнитных полей в анизотропных средах магнитопроводов.

Представлены результаты разработки методики по расчету плоскопараллельного квазистационарного поля. Установлено, что характерной является следующая модельная задача (рис. 3).

Сечение обмотки 50, по которому протекают заданные токи с плотностью §0, и сечение магнитопровода ^ с анизотропной проводимостью у и магнитной проницаемостью ца образуют сечение электромагнитной системы, моделирующей срединные части магнитопровода трансформатора, в которой влияние остальных частей магнитопровода относительно мало и поле имеет плоскопараллельную структуру. Особенностью данной модели является постоянство внешнего магнитного поля В(, по сечению сердечника .

I, 2, 3, 4 -стыки

Рис. 2.

Рис. 3.

Решение проведено путем сведения краевой задачи к системе граничных интегральных уравнений с использованием векторного и скалярного потенциалов. В результате получена система интегральных уравнений, содержащая интегралы нестандартного вида:

I г I

Функция Макдональда, входящая в систему, допускает следующее представление: К0{кга)^.-1пга, га -» 0 .

Доказано, что часть интегралов, входящих в систему, являются сингулярными. Кроме того, установлено, что полученная система с точки зрения разрешимости обладает такими же свойствами, что и системы, полученные в первой главе, следовательно, возможно её эффективное применение при решении технических задач.

Моделируются электромагнитные квазистационарные поля с симметрией вращения на основе анализа уравнений Максвелла. Рассмотрена методика построения математических моделей для осесим-метричной магнитной системы (дросселя, реактора), состоящей из сердечника (магнитопровода) и кольцевой обмотки, охватывающей ось вращения. Кроме того, представлена модель, соответствующая маг-

нитной системе, состоящей из кольцевого магнитопровода, на который равномерно и плотно намотана обмотка.

Получена система интегральных уравнений следующего вида:

I I

~ ~ Р 'У9 Кт к/» + ^ ^ (V у?кпщ \ир =2^1(?!//ог.?-ц,Яо,?]-

/ 1 Доказано, что часть интегралов этой системы являются сингулярными. При выводе системы использованы новые формулы для предельных значений производных векторов поля.

Возможность практической применимости доказана так же, как и для первой системы из этой главы.

В третьей главе рассмотрена методика построения математических моделей для расчета трехмерных магнитостатических полей и приведено их теоретическое обоснование.

Приводится специальный вывод векторного граничного интегрального уравнения, предназначенного для расчёта магнитного поля заданного распределения токов в присутствии однородных ферромагнитных тел. Практическое значение данного уравнения заключается в том, что плотность поверхностного тока, являющаяся его решением должна подчиняться условию сПу^/ =0. Условие это должно следовать из самого уравнения и является характерным для уравнений, применяемых для расчета трехмерных полей в анизотропной среде.

Предложена краевая задача, которую можно свести к рассматриваемому векторному интегральному уравнению при дополнительном условии (Ну Д с = 0 (введен векторный потенциал В = гоЫ). В

дальнейшем в работе доказано, что дополнительное условие следует непосредственно из самого уравнения.

Доказано, что рассматриваемое векторное уравнение является уравнением типа Фредгольма и может эффективно применяться при численных расчетах.

Рассмотрена методика построения математической модели для расчета трехмерного поля в анизотропной среде методом полного разделения областей. Для односвязных областей разработана математическая модель в виде системы интегральных уравнений

'а +-

271/72,

2 я/и.

{К'П)

X,

р 2 я/и.

2 лиг,

4

. "о,,, -

л,

^В =2 я ц,Я0,.-йе//0

Исследованы интегральные операторы, входящие в полученную систему, и установлено, что часть из них являются сингулярными. При построении модели использовались новые формулы для предельных значений производных потенциала простого слоя.

Доказана применимость полученной системы к расчетам, а также рассмотрено дополнительное условие (^а^сК^ = 0, необходимое

для обеспечения этой применимости. Аналогичная система приведена и для многосвязных областей, но с добавлением условия ,)<э7 = О,

выполнение которого, как доказано, гарантирует численную реализуемость модели.

Рассмотрены также математические модели, основанные на методе без разделения областей определения скалярных и векторных потенциалов, так как модели, рассмотренные ранее в этой главе, не являются универсальными (существуют устройства, в которых стыкующиеся магнитопроводы имеют различные магнитные характеристики и различные направления осей анизотропии). Кроме того, на практике встречаются ситуации, когда источники тока или металлические включения располагаются непосредственно внутри магнитопро-водов, т. е. в анизотропной магнитной среде. Это требует использования во всех однородных областях представлений для векторов поля на основе векторного потенциала. В связи с этим возникает необходимость введения в каждой из однородных областей кусочно-однородной анизотропной среды и векторного и скалярного потенциалов. Таким способом можно получить практически эффективную модель.

Построена система граничных интегральных уравнений:

±1-Гг =ПГ 1 1

4л •)

1„+-

¡р,и

т„К1,

<®р +

4 2 ли,

Ир

И;

2 я/я,

Иг

«Л,, «Д

2 Г-

■а/У

/По

Ое

где /п5 = /и/ + яге3 . Система содержит интегралы нестандартного вида. Установлено, что эти интегралы являются сингулярными.

При построении системы использованы новые формулы предельных значений производных потенциала простого слоя. Доказана практическая применимость полученной модели для расчета магнитного поля трансформаторов и реакторов с шихтованными сердечниками.

Последняя часть главы посвящена подробному теоретическому исследованию полученных в ней математических моделей для расчета трехмерного магнитного поля в анизотропной среде. В частности, доказано, что полученные системы интегральных уравнений являются системами сингулярных интегральных уравнений (интегральные операторы этих систем сингулярны). Обоснована справедливость формул для предельных значений производных потенциалов. Предложен процесс регуляризации полученной системы уравнений и с его помощью доказана разрешимость полученных систем, т.е. возможность применения полученных моделей при расчетах технических объектов.

Четвертая глава содержит результаты численной реализации математических моделей полученных в диссертационной работе.

Рассмотрены основные особенности численной реализации сингулярных интегральных уравнений, а также рассмотрено характерное сингулярное интегральное уравнение вида

сг9 +

I

тд,гря

'т

+ *1

<11,

= -2ц0(т Н0 ).

Путем замены гладкого контура составляющих вектора т,:

ломаной получены формулы для ~хи „ _ Уи+1 ~Ум

т* =

ДI,

"Су,, = '

А/,-

I = 0,1,..., N, где ху, уи - координаты узлов ломаной; А/^ - длина /го отрезка. Выбрав кусочно-линейную аппроксимацию, получили систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

N

о, + - ^ аца] = -2ц0 (т,, Я0/),

7=0

1У- -

где

rtji

Я2 V V/'

I Ыу dt +

№

Г, +

tj+li atj+li

(1 -t)Mij+xdt,

j = l,...,N, i = l,...,N, Altj la2jtf + {Ьи + lb2jif .

Полученный подход позволяет реализовать кусочно-постоянную и кусочно-линейную аппроксимацию расчетных функций. Численные эксперименты показали, что точность вычислений можно несколько повысить за счет кусочно-линейной аппроксимации , поскольку специфика сингулярных интегралов состоит в том, что при кусочно-постоянной аппроксимации при совпадении точек наблюдения и интегрирования сингулярный интеграл по частичному отрезку обращается в ноль.

Таким образом, получена система линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующая исходное сингулярное интегральное уравнение.

Приведены результаты численной реализации математических моделей при расчетах некоторых электромагнитных устройств и анализ полученных результатов. Программная реализация проведена с использованием языка программирования Delphi на ЭВМ ПК ОП 4Гб, 1ГГц.

Рассмотрен пример расчета плоскопараллельного поля дросселя при наличии стыков (рис. 4). Проведенные расчеты показали, что при сильно выраженной анизотропии силовые линии направлены вдоль главной оси анизотропии (оси х), это очевидно соответствует физическому смыслу задачи. При увеличении значения поперечной магнитной проницаемости \ху картина поля изменяется за счет увеличения

потоков рассеяния. Кроме того, установлено сильное уменьшение внешнего поля при увеличении анизотропии: в отдельных контрольных точках при ¡хх =500, цу = 100 уменьшение происходит в 2 -

2,5 раза, по сравнению с изотропией цх=цу=500, а при

Рис. 4.

ßx =15000, = 100 уменьшение происходит в 4 - 4,5 раза, по сравнению с изотропией (д.^ = 15000. При этом изменение основного

магнитного потока и индуктивности не превышает 1%.

Далее представлены результаты численной

реализации математической модели для расчета

осесимметричного реактора (рис.5) в случае стационарного поля.

Сравнение полученных распределений поля

показывает существенное влияние анизотропии, причем гораздо более сильное, чем в предыдущем варианте

замкнутого магнитопровода. Это происходит из-за сильного влияния на режим работы реактора (магнитопровода) потоков рассеяния, возникающих в зазорах между вставками. Особенно это заметно по характеру проникновения поля в основную часть магнитопровода из последней вставки. Однако при этом влияние самой анизотропии остается довольно слабым (величины сравнительно с величиной ц2).

При увеличении суммарного воздушного зазора влияние анизотропии усиливается. Наибольшее влияние анизотропии на внешнее поле сказывается вдоль оси вращения. При этом величина магнитного поля при = 500,^ =100 может уменьшаться по сравнению с изотропным вариантом = 500 в 2 - 2,5 раза. Этот вывод следует учитывать при проектировании экранов. Также установлено, что наи-

Рис. 5.

большей величины индуктивность достигает при минимальном суммарном зазоре, что вполне очевидно. Поэтому для дальнейшего анализа целесообразно величину зазора сопоставлять с величиной максимальной индукции в магнитопроводе, что позволит оценить запас линейности режима.

Как и при расчете дросселя, установлено сильное уменьшение внешнего поля при увеличении анизотропии: в отдельных контрольных точках уменьшение происходит в 4 - 4,5 раза. Изменение магнитного потока при этом практически отсутствует (0,3 - 0,5%).

Рассмотрена также осесимметричная модель реактора в режиме квазистационарного магнитного поля. Эта модель позволяет учитывать перераспределение токов по сечению шин вторичных обмоток трансформаторов, возникающее вследствие поверхностного эффекта. Результаты расчета позволяют сделать вывод о том, что анизотропия магнетика может оказывать существенное влияние на степень проявления поверхностного эффекта, т.е. на распределение поля и потерь мощности. В отношении картины поля все выводы соответствуют ранее полученным для стационарного поля. Это касается и изменения внешнего поля при увеличении анизотропии и ее влияния на магнитный поток.

Представлены результаты численной реализации модели трехмерного поля в анизотропной среде на примере дросселя с зазором. В отличие от плоскопараллельных и осесимметричных моделей, при моделировании трехмерных полей на персональных компьютерах возникает проблема достаточно точной аппроксимации модели. Поэтому был проведен специальный численный эксперимент, который дал возможность установить оптимальную величину количества элементов разбиения N.

Результаты эксперимента (рис.6) показали, что величина N должна быть не менее 10000, поскольку последнее распределение соответствует почти установившемуся состоянию (точность -4%). При этом точность расчета поля получается не менее 4%, а время расчета не более 2 - 3 ч на каждый вариант.

Были проведены численные эксперименты по исследованию влияния анизотропии. Сравнение результатов расчета при фиксированных значениях ^=250, ¡л.=5 (конструкционная анизотропия) и вариации цу позволяет сделать вывод о том, что с ростом значений поперечной магнитной проницаемости цу магнитное поле перераспределяется по объему магнитопровода (рис. 7). Это может происходить только за счет роста поля по осям хну, что, как показывают

расчеты, приводит к росту соответствующих составляющих поля, в том числе, и вне реактора. Следовательно, расчеты экранов (баков) реакторов нужно проводить с учетом усиления поля за счет влияния анизотропии. Расчеты показывают, что внешнее поле может при этом возрастать в 2 - 3 раза, что должно учитываться при проектировании реакторов.

Рис. 7.

Результаты численного эксперимента по исследованию характера поля в зависимости от величины зазора показывают, что влияние анизотропии при увеличении величины зазора усиливается, т. е. при наличии естественной анизотропии ее концентрирующее действие в некоторой степени компенсирует влияние зазора.

Установлено, что, в отличие от численных расчетов предыдущих моделей, в трехмерном варианте анизотропия оказывает заметное влияние не только на картину поля, но и на интегральные параметры, а именно, на индуктивность и магнитный поток. Это показывают графи-

ки зависимости индуктивности от поперечной магнитной проницаемости и величины зазора (рис. 8).

Произведено сравнение результатов, полученных с помощью реализации разработанных математических моделей, с результатами

расчета в среде ЕЬ-СиТ. Установлено, что по точности расчета для задач одинакового геометрического характера при невысокой связности областей относительное отклонение результатов не превосходит 5% в отдельных областях, а в целом составляет 2 - 3%. По затратам времени метод интегральных уравнений, используемый в разработанной методике, оказывается существенно экономичнее для задач невысокой связности. Экономия времени составляет 70 - 80%. Однако эффект экономии времени существенно усиливается при увеличении порядка связности расчетных областей, что объясняется ухудшением обусловленности систем уравнений МКЭ, реализуемых в комплексе ЕЬСиТ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана методика построения математических моделей электромагнитного поля в анизотропной среде магнитопроводов электротехнических устройств: трансформаторов, реакторов, электрических машин, основанные на применении методов вторичных источников, разделения областей и методов сингулярных интегральных уравнении.

2. С использованием теории сингулярных уравнений обоснована возможность практического применения разработанных моделей для

тыУ

К, см

Рис, 8.

расчета электромагнитного поля в различных линейных анизотропных средах, в частности, при расчетах магнитного поля сердечников электрических машин, трансформаторов и реакторов.

3. При разработке и исследовании математических моделей путем использования теории сингулярных уравнений и теории потенциалов получены следующие результаты.

3.1. Установлено, что системы содержат сингулярные интегралы.

3.2. Получены новые формулы для предельных значений производных векторов поля с помощью теории потенциала.

3.3. Получены новые формулы для закона Био-Савара-Лапласа для плоскопараллельного и трехмерного полей в анизотропной среде.

3.4. Разработана новая методика регуляризации систем сингулярных уравнений.

4. Путем численного эксперимента определено, что наиболее эффективным методом численной реализации является метод редукции системы интегральных уравнений к СЛАУ с применением кусочно-линейной аппроксимации неизвестных функций, отражает специфику сингулярных интегралов.

5. Численные эксперименты на моделях дросселя и реакторов показали следующее.

5.1. В плоскопараллельной и осесимметричной моделях влияние анизотропии магнитной среды проявляется, в основном, в отношении внешнего магнитного поля, в то время как величина интегральных параметров в этих моделях от анизотропии зависит слабо.

5.2. Установлено в трехмерном варианте влияние анизотропии наиболее существенно. В частности анизотропия гораздо сильнее влияет на величину интегральных параметров и на внешнее поле, чем в плоскопараллельном и осесимметричном вариантах, что объясняется влиянием конструкционной анизотропии, которая дает возможность успешного применения плоскопараллельного приближения при расчете электромагнитных характеристик устройств.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Научные статьи, опубликованные в изданиях по списку ВАК

1. Кадников, С.Н. Интегральные уравнения для расчёта трёхмерного магнитного поля в анизотропной среде / С. Н. Кадников, И. Е. Сергеева // Вестник ИГЭУ, 2005. - Вып.1. - С. 101-106.

2. Кадников, С.Н. Математическое моделирование магнитного поля в кусочно-однородной анизотропной среде / С. Н. Кадников, И. Е. Сергеева//Вестник ИГЭУ, 2006. - Вып. 2. - С. 58-61.

3. Кадников, С. Н. Исследование свойств граничного интегрального уравнения для расчета квазистатического магнитного поля / С. Н. Кадников, И. Е. Веселова // Вестник ИГЭУ, 2008. - Вып. 2,— С. 84-88.

4. Кадников, С. Н. Пространственный аналог интеграла типа Коши и формулы перестановки сингулярных интегралов / С. Н. Кадников, И. Е. Веселова // Вестник ИГЭУ, 2008. - Вып. 4. - С. 90-93.

5. Кадников, С. Н. Расчет электромагнитного поля дипольных источников с использованием векторных потенциалов / С. Н. Кадников, И. Е. Веселова // Вестник ИГЭУ, 2009. - Вып. 2. -С. 81-84.

Публикации в других изданиях

6. Кадников, С. Н. Методика расчета плоскопараллельного магнитостатического поля в анизотропной среде / С. Н. Кадников, И. Е. Сергеева // Повышение эффективности работы энергосистем: тр. ИГЭУ; под ред. В. А. Шуина, М. Ш. Мисриханова, А. В. Мошкарина / Мин-во образования, Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2004.— Вып. 7.-С. 311-318.

7. Кадников, С. Н. Методика расчета плоскопараллельного квазистационарного электрического поля в анизотропной среде / С. Н. Кадников, И. Е. Сергеева // Повышение эффективности работы энергосистем: тр. ИГЭУ; под ред. В. А. Шуина, М. Ш. Мисриханова,

A. В. Мошкарина / Мин-во образования, Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2004. - Вып. 7. - С. 318-327.

8. Кадников, С. Н. Векторный потенциал и магнитное поле в однородной анизотропной среде / С. Н. Кадников, И. Е. Сергеева // Проблемы сварки и электротехники: материалы Междунар. науч.-техн. конф. «XII Бенардосовские чтения»: (секция «технология и оборудование сварки и электротехника): сборник научных трудов / Федеральное агентство по образованию, ГОУВПО «Иван. гос. энерг. ун-т им.

B. И. Ленина», 2005. — С.126-130.

9. Кадников, С.Н. Интегральные уравнения для расчета трехмерного магнитного поля в анизотропной среде / С. Н. Кадников, И. Е. Сергеева // Повышение эффективности работы энергосистем: тр. ИГЭУ; под ред. В. А. Шуина, М. Ш. Мисриханова, А. В. Мошкарина/ Мин-во образования, Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2007.— Вып. 8.-С. 106-120.

10. Кадников, С. Н. Граничные интегральные уравнения для расчета поля в анизотропной магнитной среде / С. Н. Кадников, И. Е. Веселова // Тез. докл. Междунар. науч.-техн. конф. " Состояние и перспективы развития электротехнологии" (XIV Бенардосовские чтения), 29-31 мая / Федеральное агентство по образованию, ГОУВПО "Ивановский государственный энергетический университет имени

B. И. Ленина", Академия технологических наук Российской Федерации, Верхне-Волжское отделение АТН РФ.—Иваново, 2007.—Т. 1.—

C. 6.

П. Кадников, С.Н. Формулы перестановки сингулярных интегралов / С. Н. Кадников, И. Е. Веселова // Тез. докл. Междунар. науч.-техн. конф. "Состояние и перспективы развития электротехнологии" (XV Бенардосовские чтения), 27-29 мая / Федеральное агентство по образованию, ГОУВПО "Ивановский государственный энергетический университет им. В. И. Ленина", Академия электротехнических наук Российской Федерации; редкол.: С. В. Тарарыкин [и др.]. - Иваново, 2009.-Т. 1.-С. 4.

12. Сергеева, И. Е. Математическая модель на основе векторного интегрального уравнения для расчета магнитного поля: Тез. докл. XI Междунар. науч.-техн. конф. студ. и асп. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». - М.: МЭИ, 2005 - Т.1.- С. 318.

13. Сергеева, И. Е. Граничные интегральные уравнения для расчета магнитного поля в кусочно-однородной анизотропной среде: Тез. докл. XI Междунар. науч.-техн. конф. студ. и асп. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». - М.: МЭИ, 2005. - Т.1.- С.318-319.

14. Сергеева, И. Е. Определение условий разрешимости векторного интегрального уравнения для расчета магнитного поля: Тез. докл. XII Междунар. науч.-техн. конф. студ. и асп. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». - М.: МЭИ, 2006. - Т.1. - С.411.

15. Сергеева, И. Е. Вопросы расчета поля в кусочно-однородной анизотропной среде с помощью граничных интегральных уравнений: Тез. докл. XII Междунар. науч.-техн. конф. студ. и асп. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». М.: МЭИ, 2006. -Т.1. -С.412.

ВЕСЕЛОВА Ирина Евгеньевна

РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени КОИ^адаТО технических наук

Подписано в печать 26.05.2010. Формат 60x84 1/16. Печать плоская. Усл. печ. л. 1,39 Тираж 100 экз. Заказ № 126. ГОУ ВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина» 153003, Иваново, ул. Рабфаковская, 34.

Отпечатано в УИУНЛ ИГЭУ.

Введение.

1. Плоскопараллельные и осесимметричные магнитостатические поля в анизотропной среде.

1.1. Математические модели для расчета плоскопараллельного магнитостатического поля.

1.2. Магнитостатическое поле с симметрией вращения.

1.3. Теоретическое обоснование математических моделей.

1.4. Математические модели для расчета плоскопараллельного магнитостатического поля при наличии стыков.

2. Плоскопараллельные и осесимметричные квазистационарные электромагнитные поля в анизотропной среде. ^

2.1. Плоскопараллельные квазистационарные электромагнитные поля. ^

2.2.Электромагнитные квазистационарные поля с симметрией вращения.

3. Трехмерные магнитостатические поля.

3.1. Анализ векторного интегрального уравнения для расчета магнитного поля.

3.2. Математические модели с полным разделением областей

3.3. Математические модели без разделения областей определения скалярных и векторных потенциалов. ^ ^

3.4. Теоретическое исследование математических моделей для расчета магнитного поля в анизотропной среде.

4. Численная реализация.

4.1. Особенности численной реализации сингулярных интегралов.

4.2. Численные реализации предложенных математических моделей.

Актуальность темы. В теоретической электротехнике существует ряд проблем, актуальных как с практической, так и с теоретической точек зрения. Одной из них является проблема расчета электромагнитного поля в линейной анизотропной среде. Она возникает, например, при расчете поля в кристаллических структурах, излучения ЭМП, в намагниченной плазме и т.п. В электротехнике этот вопрос появляется при моделировании электромагнитных устройств, содержащих шихтованные магнитопроводы, реакторы, электродвигатели, аналоговые электрофильтры, которые представляют так называемую мелко слоистую анизотропную среду. Известные универсальные численные методы для расчета поля здесь непригодны, в связи с тем учет влияния шлихтовки на распределение поля, потерь мощности, индуктивности обмоток и т.д. производится в настоящее время по приближенным методикам, основанным на решениях частных задач и результатах натурных экспериментов. Возможность применения универсальных численных методов возникает после замены мелко слоистой среды сплошной анизотропной средой.

В настоящее время считается общепризнанным, что проектирование различных электротехнических устройств должно быть основано на применении современных методов расчета электромагнитного поля. Такими методами являются метод конечных элементов и метод интегральных уравнений.

Для расчета поля находит применение метод конечных элементов, однако при большой размерности задачи эффективность этого метода невысока из-за медленной сходимости и больших вычислительных погрешностей. В случае же открытой задачи возникает необходимость введения дополнительных ограничений, что делает метод еще менее эффективным. Для линейных сред наиболее эффективен метод интегральных уравнений. Математические модели, построенные с помощью метода интегральных уравнений наиболее адекватно учитывают геометрические и функциональные особенности электротехнических устройств, за счет чего и достигается высокая точность.

Однако, несмотря на большие потенциальные возможности этого метода, его применение сдерживается рядом факторов. Один из них относительная сложность математических моделей на основе ГИУ. В частности, в математических моделях, основанных на ГИУ, присутствуют сингулярные интегралы, в результате чего осложняется как анализ моделей, так и их численная реализация.

Разработано много математических моделей в виде различных систем сингулярных уравнений, но многие из них предназначены для расчета полей в изотропных средах. Но для наиболее распространенных современных электротехнических устройств: трансформаторов, реакторов, электрических машин - характерно наличие шихтованных магнитопроводов, а следовательно, расчет поля нужно вести с учетом анизотропии. В этих случаях можно использовать метод ГИУ.

Построение систем с помощью этого метода является определенной научной проблемой, т.к. теоретическое исследование получаемых систем рассмотрено недостаточно. Представляют теоретический интерес следующие вопросы:

1. К какому типу относятся интегральные операторы систем, получаемых при построении моделей для расчета поля в анизотропных средах. Являются ли они операторами Фредгольма (и следовательно обладают известными свойствами) или же они сингулярны.

2. Довольно сложным является вопрос о существовании и единственности решения полученных систем. Так как в случае наличия в системе сингулярных интегралов, невозможно сделать вывод о существовании решения на основе его единственности.

3. Теоретическое обоснование формул для предельных значений скалярных и векторных произведений, используемых при построении систем ГИУ с точки зрения теории потенциалов.

4. Проблемой является также методика построение процесса регуляризации систем сингулярных ИУ и его обоснование.

Наличие таких проблем позволяет сделать вывод о том, что теоретическое обоснование математических моделей для расчета поля в анизотропной среде фактически отсутствует. В связи с этим можно утверждать, что тема данной работы является актуальной как с практической, так и с теоретической точки зрения.

Цель работы. 1) Методика построения математических моделей для расчета электрического и магнитного поля в однородной и кусочно однородной анизотропных средах. На основе ГИУ, которые предназначены для расчета полей любого физического характера. 2) Обоснование возможности практического использования разработанных моделей путем теоретического анализа и численного эксперимента.

Методы исследований. Поставленные задачи решались с использованием теории интегральных уравнений, теории потенциала и метордов численного решения интегральных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов заключается в следующем:

1. Разработаны новые математические модели на основе метода разделения областей в форме систем интегральных уравнений для расчета магнитостатического поля в однородной анизотропной среде.

2. Разработана новая реализация метода частичного разделения областей для расчета магнитостатических полей в кусочно-однородной анизотропной среде.

3. Получены новые математические модели для расчета плоскопараллельного и осесимметричного квазистационарного электромагнитного поля в анизотропной среде.

4. Установлено, что построенные уравнения являются системами сингулярных интегральных уравнений (СИУ).

5. Выведены формулы для предельных значений производных скалярного и векторного потенциалов, являющиеся аналогами известных формул Ляпунова-Таубера.

6. Получены аналоги закона Био-Савара-Лапласа для однородной анизотропной среды.

7. Предложен новый метод доказательства разрешимости полученных систем основанный на введении специальной союзной задачи, чем обоснована возможность их практической реализации.

8. Проведена численная реализация разработанных моделей и показана их практическая применимость.

Практическая ценность работы. Разработанные математические модели могут быть использованы при проектировании электротехнических устройств - реакторов, электрических машин, устройств индукционного нагрева, аналоговых фильтров.

Основные положения, выносимые на защиту: 1. Новые математические модели в форме систем ГИУ для расчета статических и квазистационарных электромагнитных полей построенные на основе метода разделения областей.

2. Методика построения математических моделей с применением метода ГИУ включающая:

2.1 Новые формулы для векторов поля и векторных потенциалов.

2.2 Правила вывода формул для предельных значений производных потенциалов на кусочно-гладких поверхностях.

2.3 Способы введения расчетных функций плотностей зарядов и токов на граничных поверхностях в представлениях для потенциалов при реализации метода частичного и полного разделения областей.

3. Доказательство разрешимости полученных систем сингулярных интегральных уравнений.

4. Новый способ регуляризации систем сингулярных интегральных уравнений, основанный на введении союзных задач.

Апробация работы.

Доклады на конференциях 1. Одиннадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Доклад на тему: «Математическая модель на основе векторного интегрального уравнения для расчета магнитного поля». М.: МЭИ, 2005.- т. 1.-С. 318 2.0диннадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Доклад на тему: «Граничные интегральные уравнения для расчета магнитного поля в кусочно-однородной анизотропной среде». М.: МЭИ, 2005.- Т.1.-С.318-319 3. Кадников С.Н., Сергеева И.Е. Векторный потенциал и магнитное поле в однородной анизотропной среде. — Сб. научных трудов Международной технической конференции хи Бенардосовские чтения. Иваново, ИГЭУ, 2005 г. - С. 126-130.

4. Двенадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Доклад на тему: «Определение условий разрешимости векторного интегрального уравнения для расчета магнитного поля» М.: МЭИ, 2006.- Т.1.-411

5. Двенадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Доклад на тему: «Вопросы расчета поля в кусочно-однородной анизотропной среде с помощью граничных интегральных уравнений» М.: МЭИ, 2006.- т.1.- с.412

6. Кадников С.Н., Веселова И.Е. Граничные интегральные уравнения для расчета поля в анизотропной магнитной среде.-Сб. научных трудов Международной технической конференции XIV Бенардосовские чтения. Иваново, ИГЭУ, 2007 г, т.1.,- с.6.

7. Кадников С.Н., Веселова И.Е. Формулы перестановки сингулярных интегралов.-Сб. научных трудов Международной технической конференции XV Бенардосовские чтения. Иваново, ИГЭУ, 2009 г.

Обзор основных результатов, полученных в настоящее время по этой теме.

Методика построения ГИУ для расчета статического магнитного поля впервые была предложена Колесниковым, где расчет поля постоянного магнита сведен к системе уравнений первого и второго рода, полученных с использованием скалярных потенциалов простого слоя. Другая модель в виде системы интегральных уравнений второго рода, для построения которой использовались потенциалы простого и двойного слоев, рассматривается в книге Тозони О.В. и Маейргойз

И.Д. «Расчёт трёхмерных электромагнитных полей.» - Киев: Техника, 1974.-352с.

Аналитические методы расчетов электрических полей в анизотропных средах предложены в работах Нетушила А.В. «Электрические поля в анизотропных средах» / Электричество-1950.№3.-с.9 и «Электрические поля в анизотропных средах» / Изв. ВУЗов.Электромеханика - 1962. №5. В статьях исследуются криволинейная анизотропия и статические поля. Основной из предложенных - метод изотропирующих преобразований координат (видимо впервые предложенный автором) — метод с помощью которого дифференциальные уравнения для потенциала в анизотропной среде приводятся к уравнению Лапласа. Рассмотрены специальные изотропирующие деформации с помощью которых получаются дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Лапласа в цилиндрических координатах. Приводится целый ряд простых примеров по применению разработанного подхода. В частности дается вариант метода зеркальных отражений для диэлектрических сред с одноосной анизотропией. Приводится также ряд примеров, некоторые из них носят элементарный характер, но есть и более сложные, например о полостном конденсаторе с аксиальной анизотропией. Во второй статье рассматривается также метод, состоящий в непосредственном отыскании решения для анизотропной области и сопряжении его с решением для изотропной области. К этому методу можно отнести и метод, рассматриваемый в работе Белявского А.С., Поливанова Я.А. «Сердечник из ферромагнитной анизотропной ленты» / Изв. ВУЗов. Электромеханика - 1959. №10.

В начале XX века для расчёта электростатических и магнитостатических полей в мелкослойчатых средах было предложено моделировать эти среды анизотропными. Острейко В.Н. был сделан вывод о малой пригодности данного метода («Расчёт электромагнитных полей в многослойчатых средах: Сб.ст.» /ЛГУ. Л., 1981). Однако в статье Толпаева В.А., Шахнабатовой Л.Б. «О точности моделирования в статических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными» Изв. ВУЗов Электромех.-1988. №6, указаны примеры, в которых мелкослойчатая среда, со стремлением к нулю толщин изотропных слоев, достигает «анизотропного состояния» быстрее, чем это указано у Острейко В.Н. В статье рассматривается математическая модель в виде слоистого цилиндра состоящего из п слоев диэлектрика, разделенных воздухом. В качестве источника внешнего поля рассматривается диполь и точечный заряд, находящиеся вне этого цилиндра. Расчет поля для решения краевой задачи проводится методом функций комплексной переменной, с разложением в ряды Лорана. Предлагается рекуррентный алгоритм расчета коэффициентов разложения. Он позволяет получить решение в замкнутой форме при любом количестве слоев. Результаты расчета поля при наличии диэлектрического включения в виде многослойного цилиндра сравниваются с результатами расчета поля с теми же внешними источниками при наличии сплошного диэлектрического цилиндра с анизотропной диэлектрической проницаемостью, которая эквивалентирует исходные слои цилиндра.

Результаты расчетов показали, что эквивалентирование сплошной анизотропной средой при данном виде диэлектрического включения обеспечивает точность не хуже 4-5% при диэлектрической проницаемости диэлектрика порядка 1000. Число слоев при этом должно быть не менее 100. При увеличении числа слоев точность эквивалентирования возрастает. Результаты статьи показывают, что метод эквивалентирования путем замены слоистой среды сплошной анизотропной может приводить к практически приемлемым результатам. Для расчета потоков смещений в электростатических полях, искаженных круглым мелкослойчатым включением, мелкослойчатую среду можно моделировать как радиально-анизотропную.

Для расчетов плоскопараллельных полей предложены несколько аналитических методов. Метод разделения переменных Фурье использован в статье А.В.Иванова-Смоленского, Ю.В.Абрамкина. «Критериальная оценка электромагнитных явлений в прямоугольных магнитопроводах с анизотропной электрической проводимостью»/Изв. ВУЗов Электромех.-1983. №1-с.25./Изв. ВУЗов Электромех.-1975. №8, для плоскопараллельной задачи по расчету электромагнитного поля с учетом анизотропии удельной проводимости (анизотропия магнитной проницаемости не рассматривается). Полученные результаты позволяют в линейном приближении оценить электромагнитные явления в бесконечно длинном магнитопроводе, с конечным прямоугольном сечении с учетом анизотропии электрической проводимости. Однако геометрия рассматриваемой задачи сведена к максимально простой. Ильин Г.П., Карасев А.В. в работе «Расчет магнитного поля и тяговых усилий в муфтах на постоянных анизотропных магнитах»/Изв. ВУЗов Электромех.-1983. №1-с.25, используют тот же метод Фурье для расчета магнитного поля в модели магнитной муфты с учетом анизотропии постоянных магнитов. Решение получено для векторного магнитного потенциала в плоскопараллельном приближении. Модель очень простая и с теоретической точки зрения интереса не представляет. Фактически как таковое влияние анизотропии не учтено (анизотропия в одной составляющей).

Брынский Е.А, Острейко В.Н., Черников Ю.Л. в статье «Расчет внутренней индуктивности токонесущего пакета стальных пластин» / Изв. ВУЗов Электромеханика.-1976. №3 дают методику расчета плоскопараллельного статического магнитного поля в пакете токонесущих стальных пластин также на основе метода Фурье, но при идеализированных граничных условиях. Авторы не приводят сравнение со сплошной анизотропной средой. Полученные результаты свидетельствуют о том, что погрешность расчета в данной идеализированной модели может быть значительной.

В статье Князя А.И. «Электромагнитные плоскопараллельные поля в кусочно-неоднородных анизотропных средах»./ Изв. ВУЗов Электромех.-1978. №12, рассматривается методика расчета плоскопараллельного поля с использованием теории р-аналитических функций с одновременным учетом неоднородности и анизотропии в линейной постановке (без учета нелинейности). Несмотря на то, что в названии заявлены электромагнитные поля, рассматриваются только статические, в частности, электростатические поля в неоднородной анизотропной среде. На характер анизотропии и неоднородности накладываются жесткие ограничения путем установления связи отношения метрических коэффициентов с отношением элементов диагонального тензора диэлектрической проницаемости. Это позволяет свести с помощью теории р-аналитических функций исходное дифференциальное уравнение к уравнению Лапласа относительно новой потенциальной функции. Это позволяет в дальнейшем свести краевую задачу к сингулярному интегральному уравнению.

Практического интереса статья не представляет, поскольку в случае, если геометрию задачи можно вписать в криволинейную систему координат, то такая задача может быть легко решена методом сеток. Даже если это не удается, то можно использовать метод конечных элементов. Поэтому такой подход представляет только теоретический интерес.

Расчету плоскопараллельных полей посвящены также статьи Толпаева В.А. Так в статье Толпаева В.А., Шахнабатовой Л.Б. «Комплексные потенциалы плоскопараллельных электрических и магнитных полей в анизотропных средах» / Изв.ВУЗов. Электромеханика.- 1984. №3, рассматривается методика расчета электрических и магнитных плоскопараллельных стационарных полей в анизотропных средах. Для расчетов вводится криволинейная ортогональная система координат с использованием которой исходное уравнение поля в анизотропной среде сводится к известному уравнению Бертрана. Решение этого уравнения может быть получено в форме комплексных потенциалов, которые являются аналитическими функциями комплексного переменного. В статье приводится пример исследования плоскопараллельного электростатического поля цилиндрического конденсатора, заполненного диэлектриком с центральной анизотропией. Решение получено в аналитической форме. Рассмотренная задача является чисто иллюстративным примером. Связь с реальными характеристиками анизотропного диэлектрического конденсатора не указана.

Расчёт статических полей в нелинейных и анизотропных средах методом конечных элементов рассмотрен в статье Демирчана К.С., Солнышкина Н.И. «Расчёт трёхмерных магнитных полей методом конечных элементов» /Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1975,№5. Этот же метод используется для расчёта трёхмерного магнитного поля в нелинейных анизотропных средах в статье Гаспаряна А.С., Новика Я.А. «Метод конечных элементов в расчетах трехмерного магнитного поля с учетом нелинейных магнитных свойств, неоднородности и анизотропии материалов»/ Изв. ВУЗов. Электромеханика.- 1987, №11. Учёт анизотропии и неоднородности среды осуществляется заменой шихтованной среды на эквивалентную сплошную анизотропную среду.

Маергойз И.Д. в статье «Расчет магнитостатических полей в неоднородных анизотропных и нелинейных средах» предлагает использовать итерационные методы расчёта. В их основе лежит метод вторичных источников. Приведенные итерационные методы применимы для разнообразных форм границ раздела сред и для произвольного расположения токонесущих проводников. В случае если сильно проявлена неоднородность автором предлагается использовать модифицированный итерационный метод с заменой этой среды кусочно-однородной анизотропной средой.

Статья Поливанова К.М., Кутяшова В.А. «Поверхностный эффект в анизотропных листах»/ Изв. ВУЗов Электромех.-1958. №3, предлагает базу для исследования анизотропных свойств стали путем сопоставления результатов расчета поля в анизотропной среде с результатами измерений с помощью специального прибора, предложенного авторами.

В статье подробно рассматривается магнитное и электрическое поля в плоском листе. Задача, рассматриваемая авторами, имеет точное решение и позволяет подробно исследовать характер электромагнитного поля при наличии анизотропии. Однако результаты, полученные авторами, носят частный характер и с точки зрения разработки универсальных методов расчета электромагнитного поля в анизотропной среде интереса не представляют. Интерес представляет приведенная в статье зависимость индукции от направления вектора Я относительно направления прокатки, хотя эти данные относятся только к слабым полям.

Численным расчетам поля посвящена также статья Толпаева В.А., Жернового, Петренко «Численный расчет емкости цилиндрического конденсатора с анизотропным диэлектриком» / Изв. ВУЗов. Электромеханика.-1989. №6. При заданном законе распределения главного направления анизотропии, расчет поля цилиндрического конденсатора сводится к решению дифференциального уравнения эллиптического типа. Уравнение подобного типа встречалось в теории фильтрации. Затем это уравнение решается методом сеток (видимо на прямоугольной сетке, так как в статье геометрия сетки не указана). Переход от аналитических методов к численным говорит о том, что аналитические методы для подобных задач (даже для плоскопараллельного поля) бесперспективны.

Структура и объем работы. Диссертационная работа общим объемом 156 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы.

Основные выводы и результаты, полученные в данной работе, состоят в следующем:

1 Для плоскопараллельного и осесимметричного магнитостатических и квазистационарных полей в анизотропной среде

• разработаны новые математические модели в виде систем интегральных уравнений, в том числе математические модели для случая стыков;

• доказано, что полученные системы уравнений содержат сингулярные интегралы;

• доказана возможность эффективной численной реализации;

• предложен новый способ реализуемости полученной системы, основанный на введении союзной задачи и на применении регуляризации.

• получены новые формулы предельных значений для ,

• получена новая формула (аналог закона Био-Савара-Лапласа) для магнитостатического поля в анизотропной среде.

2 Получен специальный вывод векторного интегрального уравнения, предназначенного для расчета магнитного поля заданного распределения токов в присутствии ферромагнитных тел. Доказано, что оно является уравнением типа Фредгольма, у него существует решение, решение единственно.

3 Для трехмерного магнитостатического поля в анизотропной среде

• предложен новый метод частичного разделения областей.

• разработана специальная методика обоснования практической реализуемости полученных систем интегральных уравнений, основанный на использовании специальных интегральных операторов. которые использовались при построении математических моделей;

• получены две новые математические модели (с полным разделением областей и без разделения областей определения скалярных и векторных потенциалов);

• доказано, что полученные системы уравнений содержат сингулярные интегралы;

• доказана возможность эффективной численной реализации;

• получена новая формула, выражающая закон Био-Савара-Лапласа для однородной анизотропной среды.

4 Путем численных экспериментов на модельных задачах установлено, что необходим учет влияния анизотропии при проектировании электромагнитных устройств, содержащих магнитпроводы, причем это касается как расчета интегральных параметров, так и распределения магнитного поля.

5 Установлена достоверность полученных результатов путем сравнения с данными эксперимента.

Заключение

1. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / под ред. М. Абрамовича, И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина, JI. Н. Кармазиной.—М: Наука, 1979.—830 с.

2. Белявский, А.С. Сердечник из ферромагнитной анизотропной ленты / А.С. Белявский, Я.А.Поливанов // Изв. ВУЗов. Электромеханика, 1959. -№10-С. 30-34.

3. Бенерджи, П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд ; пер. с англ. А. Ф. Зазовского, А. В. Капцова, М. JI. Холмянского, под ред. Р. В. Гольдштейна.—М.: Мир, 1987.— 524 с.

4. Бицадзе, А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М. Наука, 1966. - 203 с.

5. Бочкарев, А.И. Принципы электродинамического подобия для анизотропных сред / А.И. Бочкарев, Е.П. Курушин // Труды Вузов связи -Л.: 1981.-№ 102. -С.10-13.

6. Бреббия, К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел ; пер. с англ. Л. Г. Корнейчука, под ред. Э. И. Григолюка.— М.: Мир, 1987,—524 с.

7. Брекевских, Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Изд-во АНСССР, 1957.- 150 с.

8. Брынский, Е.А. Расчет внутренней индуктивности токонесущего пакета стальных пластин / Е.А. Брынский, В.Н. Острейко, Ю.Л. Черников // Изв. ВУЗов. Электромеханика. 1976. -№3 - С. 13-17.

9. Бункин, Ф.В. Об измерении в анизотропных средах // ЖЭТФ. -1957. -Т.32. Вып.2. С. 338-342.

10. Васильев, Е.Н. Возбуяедение тел вращения М. Радио и связь, 1987.-279 с.

11. Вакман, Д.Е. Асимптотические методы в линейной радиотехнике. -М:. Советское радио, 1962. — 248 с.

12. Веселов, Г.И. Метод частичных областей для электродинамических задач с некоординатными границами (продольно-координатные системы): Автореф. дис. д-ра техн. наук. М.: МВТУ, 1971. 25 с.

13. Вишневский, A.M. Алгоритмы расчета поля намагничивания тонких пластин и оболочек / A.M. Вишневский, А.Я. Лаповок // Энергетика и транспорт. 1967. - №4. - С.44-50.

14. Гаспарян, А.О. Метод конечных элементов в расчетах трехмерного магнитного поля с учетом нелинейных магнитных свойств, неоднородности и анизотропии материалов / А.О. Гаспарян, Я.А. Новик // Изв. ВУЗов. Электромеханика 1987. - №11 - С. 30-34.

15. Гаков, Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963. — 639 с.

16. Гегелиа, Т.Г. О композиции сингулярных ядер // ДАН СССР. -1960. Т. 135. - №4. - С.767-770.

17. Гегелиа, Т.Г. О формуле перестановки порядка интегрирования в повторных сингулярных интегралах // Труды матем. ин-та АН Грузинской ССР.- 1962.-Т.28.- С.41-52.

18. Гинзбург, В.П. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Физматгиз., 1960. - 552 с.

19. Гримальский, О.В. Метод расчета электромагнитного поля оболочек в режиме сильного экранирования // Изв. РАН. Энергетика. 1995. — №5.-С. 99-106.

20. Гринбаум, И.Н. Аналитические методы расчета электромагнитных полей в электрических машинах с немагнитным ротором // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1975. - №4. - С.51-58.

21. Гринтерг, Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. Л.: Изд-во АН СССР. - 1948. - 724 с.

22. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применения к основным задачам математической физики / Н.М. Гюнтер — М.: Гостехиздат, 1953 — 403с.

23. Демирчан К.С. Магнитные расчёты электромагнитных полей: Учеб. пос. для электротехн. и энерг. спец. Вузов / К.С. Демирчан, B.JI. Чечурин М.: Высшая школа, 1978. - 240 с.

24. Демирчан К.С. Расчёт трёхмерных магнитных полей методом конечных элементов / К.С. Демирчан, Н.И. Солнышкин // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1975. -№5. - С. 17-25.

25. Зут Я.Я. Дифракция электромагнитных волн на анизотропной ферритовой ступени в волноводе. Учен. зап. Рижского политех, ин-та. Исследования по электродинамике и теории цепей. 1968. - Т.38. — №1.

26. Ильин, В.П. Численные методы решения задач электрофизики / В.П. Ильин.—М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.—336 с.

27. Интегральные уравнения / П. П. Забрейко.—М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1968.—448 с.

28. Ильин, Г.П. Расчет магнитного поля и тяговых усилий в муфтах на постоянных анизотропных магнитах / Г.П. Ильин, А.В. Карасев Изв. ВУЗов Электромеханика 1983. -№1 - С. 25-27.

29. Кадников С.Н. Метод интегральных уравнений для расчета электромагнитного поля / С.Н. Кадников — Ивановский государственный энергетический университет. Иваново, 2003. 340с.

30. Кадников, С.Н. Интегральные уравнения для расчёта трёхмерного магнитного поля в анизотропной среде / С. Н. Кадников, И. Е.

31. Сергеева // Вестник ИГЭУ / Ивановский государственный энергетический университет.— Иваново, 2005. — вып. 1. с. 101—106.

32. Кадников, С.Н. Математическое моделирование магнитного поля в кусочно-однородной анизотропной среде / С. Н. Кадников, И. Е. Сергеева // Вестник ИГЭУ / Ивановский государственный энергетический университет.— Иваново, 2006. — вып. 2. С. 58-61.

33. Кадников, С. Н. Пространственный аналог интеграла типа Коши и формулы перестановки сингулярных интегралов / С. Н. Кадников, И. Е. Веселова // Вестник ИГЭУ / Ивановский государственный энергетический университет.— Иваново, 2008.— Вып. 4.— С. 90-93.

34. Кадников, С. Н. Расчет электромагнитного поля дипольных источников с использованием векторных потенциалов / Кадников С. Н., Веселова И. Е. // Вестник ИГЭУ / Ивановский государственный энергетический университет.—Иваново, 2009.—Вып. 2.—С. 81-84.

35. Калинин, Е.В. Магнитное поле в кольцевом шихтованном сердечнике с анизотропными свойствами / Е.В. Калинин // Электротехника. -2000. №4.

36. Кауфман, А.А. Индукционный метод изучения поперечного сопротивления в скважинах / А.А. Кауфман, A.M. Каганский Новосибирск, 1972.- 135 с.

37. Кацелянбаум, Б.З. Высокачастотная электродинамика / Б.З. Кацелянбаум М.: Наука, 1966. - 260 с.

38. Княжкин, Р.П. К теории расчета электростатических полей в кусочно-анизотропных средах / Р.П. Княжкин // Изд. АН СССР. Энегретика и транспорт.-1973.-№6.-С. 156-159.

39. Князь А.И. Электромагнитные плоскопараллельные поля в кусочно-неоднородных анизотропных средах / Изв. ВУЗов. Электромеханика -1978. №12.

40. Колесников Э.В. Уравнения электромагнитного поля в пакете стальных анизотропных пластин — Изв. вузов . Электромеханика 1973. — №7. -С.10-15.

41. Колесников Э.В. Интегральные уравнения для расчета поля однородно намагниченного постоянного магнита- Изв. вузов. Электромеханика. 1975. — №4. - С. 21-24.

42. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс -М.: Мир, 1987. 311 с.

43. Кошляков, Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М.Смирнов М.: Высшая шк., 1970. - 710с.

44. Кравченко, А.Н. Электродинамические расчеты в электротехнике / А.Н. Кравченко, Л.П. Нижних Киев: Техника, 1977. - 184 с.

45. Краснов, И.П. О решении некоторых граничных задач теории гармонических функций / И.П. Краснов // Дифференциальные уравнения, 1975.- Т.П.-№Ц.-С. 38-46.

46. Краснов, И.П. Численные методы исследования судового магнетизма / И.П. Краснов Л.: Наука, 1986. - 200с.

47. Крылов, Б.В. Квазистатическое неоднородное электрическое поле в слабопроводящей анизотропной среде / Б.В. Крылов, В.Е. Лепарский // Журнал технической физики. 1997. - Т.67. - № 10. - С. 51-54.

48. Кулько, В.Ф. Электромагнитное поле в сложных проводящих средах / В.Ф. Кулько Киев: Наукова Думка, 1967. - 146 с.

49. Купрадзе, В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения / В.Д. Купрадзе М.: ГИТТЛ,1950. - 280 с.

50. Курант, Р. Методы математической физики: в 3-х т. . / Р. Курант, Д. Гильберт ; под ред. О. А. Олейника. — М.: ГИТТЛ, 1951. Т.1. - 520 с.

51. Курбатов, П.А. Численный расчет электромагнитных полей / П.А. Курбатов, С.А. Аринчин.—М.: Энергоатомиздат, 1984.—168 с.

52. Курушин, Е.П. Дифракция электромагнитных волн на анизотропных структурах / Е.П. Курушин, Е.И. Нефедов, А.Г. Фиалковский -М.: Наука, 1965.-716 с.

53. Ландау, Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц-М.: ГИТТЛ, 1957. 532 с.

54. Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения / Н.Н.Лебедев М.: ГИФМЛ, 1963. - 256 с.

55. Лифшиц, Е.М. Физическая кинематика / Е.М. Лифшиц, П.П. Питаевский М.: Наука, 1978. - 543 с.

56. Майергойз, И.Д. Итерационные методы расчета статических полей в неоднородных анизотропных и нелинейных средах / И.Д. Майергойз -Киев: Наукова Думка, 1979. 210 с.

57. Майергойз, И.Д. Расчёт статических полей в кусочно-однородных анизотропных средах // Изв.АНСССР, Энергетика и транспорт, 1972, №2.

58. Марков, Г.Т. Возбуждение электромагнитных волн / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин М.: Радио и связь, 1963. - 296 с.

59. Михлин, С.Г. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.-630 с.

60. Михлин, С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Наука, 1962. —254 с.

61. Михлин, С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

62. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968.-512с.

63. Нетушил, А.В. Электрические поля в анизотропных средах / Электричество — 1950. — №3 — С.9 .

64. Нетушил, А.В. Электрические поля в анизотропных средах / Изв. ВУЗов. Электромеханика 1962-№5.

65. Нефедов, Е.И. Асимптотическая теория дифракции волн на конечных структурах / Е.И. Нефедов, А.Т. Фиалковский М. Наука, 1972. -204 с.

66. Нефедов, Е.И. Излучаемые типы волн микрополоскового волновода / Е.И. Нефедов, А.Т. Фиалковский ДАН СССР, 1978. - Т. 239. -№2-С. 315-317.

67. Острейко, В. Н. Расчет электромагнитных полей в многослойных средах- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 162с.

68. Поливанов, К.М. Поверхностный эффект в анизотропных листах / К.М. Поливанов, В.А. Кутяшов // Изв. ВУЗов. Электромеханика 1958. №3. -с. 13-16.

69. Потехин, А.И. Измерение и распространение электромагнитных волн в анизотропной среде. — Л.: Наука, 1971. 80 с.

70. Савин, М.Г. Проблема калибровки Лоренца в анизотропных средах. М.: Наука, 1979. - 122 с.

71. Савченко, А.О. Электромагнитное поле диполя в анизотропной среде / А.О. Савченко, О.Я. Савченко // Журнал технической физики, 2005. -Т.75. Вып. 10.-С. 118-121.

72. Табаке, К.К. Расчет электрических и тепловых полей в анизотропных средах. Вестник РУДН. Серия физика, 2002. - №10. - Вып.6. -С.10-15.

73. Табаровский, Л.А. Применение метода интегральных уравнений в задачах геоэлектрики. Новосибирск: Наука, 1975. —371 с.

74. Тамм, И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966. 620с.

75. Тозони, О.В. Расчёт трёхмерных электромагнитных полей / О.В. Тозони, И.Д. Маейргойз- Киев: Техника, 1974. 352 с.

76. Толпаев, В. А. Численный расчёт ёмкости цилиндрического конденсатора с анизотропным диэлектриком / В. А. Толпаев, А.Д. Жерновой, В. И. Петренко // Изв. вузов. Сер. Электромеханика, 1989. — №6. С. 5-12.

77. Толпаев, В.А. Комплексные потенциалы плоскопараллельных электрических и магнитных полей в анизотропных средах / В.А. Толпаев, Л.Б. Шахнабатова//Изв.ВУЗов. Электромеханика 1984. №3.

78. Толпаев, В.А. О точности моделирования в статических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными / В.А. Толпаев, Л.Б. Шахнабатова // Изв. ВУЗов Электромеханика 1988. №6. - С. 10-14.

79. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / Под. ред. Купрадзе В.Д. М.: Наука, 1976. - 663 с.

80. Хаскинд, М.Д. Распространение электромагнитных волн над гиротропной средой / Радиотехника и электротехника, 1961. №6. - с. 886-894.

81. Хаскинд, М.Д. Распространение звуковых и электромагнитных волн в пространстве / Акуст. Журн., 1959. №5.

82. Хёпл, X. Теория дифракции / X. Хёпл, А. Мауэ, Е. Вестпфаль М. Мир, 1964.-428 с.

83. Хижняк, Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наукова Думка, 1986. - 280 с.

84. Чирков, А.Г. О природе эффекта Ааронова-Бома / А.Г. Чирков, А.Н. Агеев // Журнал технической физики, 2001. Т.1. - Вып. 2. - С. 16-22.

85. Четаев, Д.Н. // ЖТФ, 1967.-Т. 32.-Вып. 7.-С. 1342-1344.

86. Четаев, Д.Н. // ДАН СССР, 1967. Т. 126. - С. 867-969.

87. Янке, Е. Специальные функии. Формулы, графики, таблицы / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш; пер. с нем. под ред. Л. И. Седова.—Изд. 2-е, стер.—М.: Наука, Главная редакция физико математической литературы, 1968.—344 с.

88. Albanese, R. A nonlinear eddy current integral formulation in terms of a two-component current density vector potential / R. Albanese, F.I. Hantila, G. Rubinacci // IEEE Trans. Magn., Vol 32, № 3, 1996, pp. 784-787.

89. Albertz, D. Calculation of 3D eddy current fields using both electric and magnetic vector potential in conducting regions / D. Albertz, G. Henneberger // IEEE Trans. Magn., Vol 34, № 5, 1998, pp. 2644-2647.

90. Biro, O. On the use of magnetic vector potential in the finite element analysis of the three-dimensional eddy currents / O. Biro, K. Preis // IEEE Trans. Magn, Vol 25, № 4, 1989, pp. 3145-3159.

91. Doppel, K. A nonlinear singular integral equation model for hysteresis in magneto-statics / K. Doppel, R. Hochmuth // IEEE Trans. Magn, Vol 32, № 3, 1996, pp. 678-681.

92. Chindilov, D.V. Three-Dimensional Eddy-Current Calculation for Small Skin Depths IEEE Trans. Magn, Vol 39, No 2, 2003, pp. 968-972.

93. Golias, N.A. Three-dimensional automatic adaptive mesh generation / N.A. Golias, T.D. Tsiboukis // IEEE Trans. Magn, Vol 28, № 2, 1992, pp. 17001703.

94. Holland, S.A. Calculating stray losses in power transformers using surface impedance with finite elements / S.A.Holland, G.P.O'Connell, L.Haydock // IEEE Trans. Magn, Vol 28, № 2, 1992, pp. 1355-1358.

95. Ishibashi, K. Eddy current analysis by integral equation method utilizing loop electric and surface magnetic currents as unknowns. IEEE Trans. Magn, Vol 34, № 5, 1998, pp. 2585-2588.

96. Ishibashi K. Nonlinear eddy current analysis by integral equation method. IEEE Trans. Magn, Vol 30, № 5, 1994, pp. 3020-3023.

97. Kim, H. A three dimensional adaptive finite element method for magnetostatic problems / H.Kim, S.Hong, K.Choi, H.Jung, S. Hahn. // IEEE Trans. Magn., Vol 27, № 5, 1991, pp. 4081-4084.

98. Koizumi, M. A new vector element in the volume integral equation method for nonlinear magnetostatics / M.Koizumi, Y.Higuchi // IEEE Trans. Magn., Vol 31, №3, 1995, pp. 1516-1519.

99. Kost, A. Improvement of nonlinear impedance boundary conditions / A. Kost, J.P.A.Bastos, K.Miethner, L.Janicke // IEEE Trans. Magn., Vol 38, № 2, 2002, pp. 573-576.

100. Kreisinger, V. Iterative methods for the solution nonlinear magnetic fields. Acta Technica CSAV, № 3, p. 277-298.

101. Leonard, P.J. Finite element modeling of magnetic hysteresis. IEEE Trans. Magn., Vol 31, № 3, 1995, pp. 1801-1804.

102. Manges, J.B. A generalized three-cotree gauge for magnetic filed computation / J.B.Manges, Z.J.Cendes // IEEE Trans. Magn., Vol 31, № 3, 1995, pp. 1342-1347.

103. Mayergoyz, I.D. A new universal numerical technique for the solution of boundary integral equations. IEEE Trans. Magn., Vol 38, № 2, 2002, pp. 425-428.

104. Mayergoyz, I.D. On the integral equation of the vector Preisach hysteresis model / I.D .Mayergoyz, G.Friedman // IEEE Trans. Magn., Vol 23, № 5, 1987, pp. 2638-2640.

105. Neagoe, C. Analysis of convergence in nonlinear magnetostatic finite elements problems / C.Neagoe, F.Ossart // IEEE Trans. Magn., Vol 30, № 5, 1994, pp. 2865-2868.

106. Saeb, M. Finite element analysis of electromechanical devices with anisotropic materials / M.Saeb, R.Saunders // IEEE Trans. Magn., Vol 23, № 5, 1987, pp. 3860-3865.