автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Комбинированные методы моделирования квазистационарного электромагнитного поля в нелинейных анизотропных ферромагнитных средах

Новочеркасский государственный технический университет

На правах рукописи

ТКАЧЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ СРЕДАХ

05.09.05 - Теоретическая электротехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени доктора технических наук

Новочеркасск 1998

Работа выполнена на кафедре "Прикладная математика" Новочеркасске)! государственного технического университета

Научный консультант - доктор технических наук, профессс

Бахвалов Ю.А.

Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессо

Курбатов П. А.

- доктор технических наук, профессо Сипливый Б.Н.

- доктор технических наук, профессо Чечурин В.Л.

Ведущее предприятие - ОАО «Всероссийский научно-иссле

довательский и проектно-конструь торский институт электровозострое ния »(ВЭлНИИ)

Защита диссертации состоится 22 октября 1998 г. в 10 часов в 107 ауд. главное корпуса на заседании диссертационного совета Д063.30.01 в Новочеркасске? государственном техническом университете по адресу: 346428, Новочеркасск, ГСП-1 ул. Просвещения, 132.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новочеркасскоп государственного технического университета.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах, заверенные печатью) просив направлять по адресу: 346428, Новочеркасск, ГСП-1, ул. Просвещения, 132, Ученом; секретарю Совета Д063.30.01.

Автореферат разослан "-/¿Г" 09 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д063.30.01 кандидат технических наук, доцент

Золотарев Н.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При создании высоконадежных электротехнических устройств с улучшенными технико-экономическими показателями возникает необходимость исследования большого числа вариантов их конструкций с целью выбора оптимальной, обеспечивающей необходимые рабочие характеристики и снижение потерь, ве-:а, габаритов и т.д. В условиях рыночной экономики выдвигаются повышенные требования к качеству выпускаемого электрооборудования, что приводит к жесткой конкуренции не только на рынке товаров, но и на рынке программных средств, алгоритмов и истодов, предназначенных для расчета и проектирования электроэнергетических устройств. В качестве основных критериев, обеспечивающих высокую конкурентоспособность, здесь выступают универсальность, быстродействие, удобный интерфейс, функциональные возможности, точность описания объекта, возможность учета наибольшего числа явлений, характеризующих его работу, способность выполнения оптимизационных расчетов и т.д. В этих условиях роль теоретических исследований, связанных с расчетом электромагнитного поля в электроэнергетических системах, значительно возрастает. Только на базе глубоких теоретических исследований удается учитывать полный гпектр явлений, оказывающих влияние на работу всего устройства в целом, находить :крытые резервы улучшения конструкции.

Научные основы отечественной школы теоретической электротехники в области расчета электромагнитных полей значительно продвинуты благодаря фундаментальным исследованиям, заложенным в работах В.М.Алехина, В.В.Апсита, В.И.Астахова, Ю.А.Ьахвалова, О.Б.Брона, А.М.Бертинова, I .А.Гринберга, К.С.Демирчяна, Я.Б.Данилевича, В.В.Домбровского, Ю.П.Емца, Е.П.Жидкова, А.В.Иванова-Смоленского, Ю.Я.Иосселя, Э.В.Колесникова, А.И.Князя, Л.Н.Кравченко, П.А.Кухаркина. А.Н.Миляха, Э.А.Мееровича, Л.Р.Неймана, Л.П.Нижника,

A.В.Нетушила, К.М.Поливанова, Е.И.Петрушенко, И. М. Постникова, О.В.Тозони, С.Т.Толмачева, А.А.Терзяна, Н.Н.Тиходеева, Б.Б.Тимофеева, Л.А.Цейтлина, Р В.Фильца,

B.Л.Чечурина, В.М.Юринова и других ученых. Тем не менее, в настоящее время сохраняется необходимость дальнейшего совершенствования математических моделей электромагнитных процессов в направлении снятия "классических" ограничений и расширения допущений с целью более точного и полного учета реальных характеристик исследуемых объектов.

Анизотропные ферромагнитные материалы находят широкое применение в электротехнической промышленности. Например, листовая анизотропная холоднокатаная сталь наиболее часто попользуется для сборки магнитных систем силовых трансформаторов. По имеющимся оценкам в 80-х годах в магнитопроводах электрических машин и аппаратов терялось до 6% всей производимой электроэнергии. Снижение потерь может быть достигнуто за счет улучшения характеристик стали, однако последнее ограничено

возможностями современных технологий. Другой возможный путь уменьшения потерь требует совершенствования конструкций магнитных систем, в том числе в результате оптимизационных расчетов.

Холоднокатаная сталь имеет улучшенные характеристики при однонаправленном иеремагничивании вдоль оси прокатки. Поэтому отдельные пластины в шихтованных магнитопроводах электротехнических устройств обычно располагают так, чтобы в большей их части наблюдалось именно такое перемагничивание. Однако обеспечить данное требование по всему объему магнитопровода, как правило, не удается. Например, в узловой зоне Т- соединения магнитных систем трехфазных трансформаторов за счет сдвига фаз питающих напряжений возникает планарное перемагничивание, в процессе которого оба вектора индукции и напряженности вращаются в плоскости листа, отклоняясь от оси прокатки. Вращательное перемагничивание наблюдается также в магнитопроводах электрических машин.

При отклонении вектора индукции от оси прокатки характеристики холоднокатаной стали резко ухудшаются. В связи с этим возникает необходимость разработки экспериментальной и теоретической баз, обеспечивающих возможность исследования нелинейности, анизотропии, векторного гистерезиса и магнитной вязкости, проявляющихся в процессе планарного перемагничивания, и их математического описания с целью дальнейшего учета при расчете поля в маиштопроводах электротехнических устройств.

Сложный характер распределения поля в нелинейных, анизотропных магнитных системах, собранных из холоднокатаной стали, и необходимость его многократного расчета при изменении во времени, требуют разработки специальных численных процедур, обеспечивающих возможность снижения размерности дискретных моделей поля при сохранении необходимой точности. Последнего можно добиться в результате применения комбинированных (гибридных) методов - конечных элементов, граничных элементов, численно-аналитических методов. Эффективным инструментом, позволяющим понизить размерность, являются цепные модели магнитных систем.

Сформулированные в диссертационной работе проблемы и предлагаемые подходы к их решению предполагают переход на качественно новый уровень численного анализа квазистационарного электромагнитного шля в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах за счет учета реальных характеристик электротехнических сталей и использования комбинированных методов. Необходимость решения таких задач обусловлена широким применением анизотропных сталей в электротехнических устройствах различного назначения, а также возникновением сложных режимов пространственного перемагничивания в отдельных элементах их магнитных систем.

Работа выполнена в сои I бос шии с научным направлением Ковочеркасекого государственного технического университета (НГТУ) «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» от 25.01.1995 г., № 3.15, которое относится к

1риоритетным направлениям развития науки и техники», утвержденным Председате-м Правительства РФ 21 июня 1996 г. № 2727п. - П8, разделы «Математическое моде-фование и методы прикладной математики», «Высокоскоростной наземный транспорт I новых принципах движения».

Целью работы является теоретическое обобщение известных и создание новых шбтшрованных методов анализа квазистациомарного электромагнитного поля в ку-)чно-однородш>к линейных и нелинейных анизотропных ферромагнитных средах, эеспечивающих возможность наиболее полного учета реальных свойств стали и ориен-фоианных на снижение размерности численных дискретных моделей поля.

Указанная цель предполагает решете следующих задач.

1. Разработка методов экспериментальною исследования пространственного ква-гстатического и динамического планарного перемагничивания анизотропной стали, беспечгаающих возможность измерения ее основных характеристик, необходимых для остроения и экспериментальной проверки математических моделей , описывающих акое перемагничивание.

2. Формулировка и обоснование комбинированных численно-экспериментальных (етодов построения моделей материальных операторов, задающих свойства стали в режимах пространственного квазистатического перемагничивания и позволяющих учесть го основные свойства - нелинейность, анизотропию, векторный гистерезис.

3. Разработка методов численного моделирования пространственного динамиче-;кого перемагничивания электротехнической стали с учетом нелинейности, анизотро-ши, магнитной вязкости и вихревых токов, а также построение модели динамического «гатериального оператора, приближенно описывающего перечисленные свойства и явле-шя.

4. Теоретическое обоснование и разработка комбинированных методов анализа квазистационарных плоскопараллельиых и плоскомерндианных электромагнитных потей в кусочно-однородных линейных и нелинейных средах, позволяющих уменьшить размерность дискретных моделей поля.

5. Разработка универсальных методов построения схем замещения анизотропных магнитных систем с нелинейными харакгеристиками, изготовленных из холоднокатаной стали, и их применение для расчета конкретных электротехнических устройств.

Методы исследования. Для решення сформулированных задач использовались методы экспериментального и математического моделирования. Построение математических моделей консервативных материальных операторов основывается на методах оптимизации, сплайн-функций и ограничениях термодинамики. При моделировании гистерезиса, в том числе векторного, используется аппарат теории обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры и теории подобия. При разработке вычислительных алгоритмов, связанных с моделированием динамического перемагничивания

ферромагнетиков, применяются разностные методы, метод Галеркина, методы функцио нальногс анализа и интегральных уравнений. Предлагаемые комбинированные метода анализа плоскопараллелыюго квазистационарного электромагнитного поля в кусочно однородных средах основаны на аппарате вариационного исчисления, теории функцш комплексной переменной и уравнений математической физики. При расчете шгоскоме ридианных полей используется метод квазиконформных отображений. Анализ переход ных и установившихся процессов в электрических и магнитных цепях выполняется н; основе метода переменных состояния и других топологических методов теории цепей.

Научная новизна диссертационной работы заключается в формулировке, теоре тическом и экспериментальном обосновании новых подходов к решению нелинейны; задач теории поля, предполагающих более точный учет реальных свойств ферромагнит ных материалов, позволяющих в сочетании с предлагаемыми методами расчета поля 1 его характеристик повысить точность при одновременном сокращении числа перемен ных, описывающих дискретные численные модели и за счет этого представляющих эф фективный аппарат для решения широкого круга проблем нелинейной электротехники.

Научная ценность работы определяется следующим:

- разработаны методы и средства экспериментального исследования характеристик анизотропных ферромагнитных материалов в условиях их однонаправленного I пространственного персмагничивания, в том числе путем неразрушающего контроля;

- исследованы основные свойства безгистерезисных консервативных материальных операторов и обоснованы методы их построения в анизотропных нелинейных ферромагнитных средах, включая слоистые, в результате обработки экспериментальны* данных, снятых в режимах одноосного перемашичивания стали;

- предложены методы моделирования квазистатического однонаправленного к планарного перемагничивания изотропных и анизотропных ферромагнитных сред, обеспечивающие возможность одновременного учета всех основных свойств стали, в том числе векторного гистерезиса;

- сформулированы обобщенные критерии подобия ферромагнитных сред с учетом их нелинейности, анизотропии и векторного гистерезиса;

- исследованы основные задачи моделирования планарного динамического перемагничивания анизотропной стали с учетом магнитной вязкости в безгистерезисном приближении, предложен и обоснован алгоритм их численного решения, основанный на процедуре линеаризации материального оператора с оценкой погрешности;

- показано, что при учете магнитной вязкости задача моделирования однонаправленного динамического перемашичивания массивных ферромагнитных тел сводится к эквивалентному интегральному уравнению с вполне непрерывным, самосопряженным оператором, решение которого находится в виде ряда по собственным функциям этого оператора;

- выполнено теоретическое обоснование комбинированных методов расчета плос-сопараллельного и плоскомеридианного электромагнитных полей в кусочно-однородных ферромагнитных средах с линейными и нелинейными характеристиками в результате вариационной формулировки соответствующих краевых задач;

- разработаны конкретные варианты реализации комбинированных методов ана-тиза поля в кусочно-однородных средах, предполагающие использование бесконечных элементов, а также одновременное применение методов конечных элементов (МКЭ), конформных отображении (МКО), квазиконформных отображений (МККО) и комплексного метода граничных элементов (КМГЭ);

- обоснованы методы построения схем замещения шихтованных анизотропных ферромагнитных тел, находящихся во внешнем магнитном поле, в условиях их пленарного перемагничивания.

Практическая ценность работы. Использование нового подхода к построению методов расчета электромагнитного поля в кусочно-однородных анизотропных ферромагнитных средах, ориентированного на одновременный учет основных явлений и процессов, проявляющихся при их перемагничивании, и снижение размерности дискретных моделей поля, создает предпосылки для создания высокоточных систем проектирования электротехнических устройств различного назначения, конструкции которых предполагают наличие магнитных систем, изготовленных из анизотропной стали. Основное практическое значение имеют существенно продвинутые методы построения материальных операторов безгистерезисного и гистерезисного типов, комбинированные методы расчета поля, а также методы синтеза схем замещения анизотропных ферромагнитных тел.

На основе выполненных теоретических исследований разработаны комплексы пр01рамм, обеспечивающие возможность расчета плоскопараллельного и плоскомеридианного магнитных полей и их характеристик в кусочно-однородных средах, а также реализующих выполненное обобщение метода переменных состояния на случай одновременного анализа электрической и магнитной цепей, если последней соответствует схема замещения, построенная с использованием разработанных методов. Данные программы используются для проведения проектно-конструкюреких и научно-исследовательских работ в ОАО "ВЭлНИИ" при проектировании тяговых двигателей электровозов и систем их электропривода, а также в научно-исследовательском предприятии "Транспорт с магнитным подвесом" при проектировании систем управления подвесом. Некоторые программы нашли применение на Запорожском трансформаторном заводе, где использовались для расчета магнитного поля и потерь в остовах трехфазных трансформаторов. Материалы работы используются в виде раздела курса лекций "Машинный расчет электромагнитных полей и электрических цепей", учебно-исслеловательских, курсовых и дипломных работах студентов специальности 0102 -"Прикладная математика" НГТУ.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

- на 2-й Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы нелинейно] электротехники", Шацк, 1984;

- на 2-й Всесоюзной научно-технической конференции "Моделирование 85. Тео рия, средства, применение", Киев, 1985;

- на 9-й Всесоюзной научно-технической конференции "Моделирование электро энергетических систем", Рига, 1987;

- на I Всесоюзной научно-технической конференции по теоретической электро технике, Ташкент, 1987;

- на 3-й республиканской научно-технической конференции "Интегральные урав нения в прикладном моделировании", Киев, 1989.

- на Всесоюзной научно-технической конференции "Математическое моделирование в энергетике", Киев, 1990;

- на международных конференциях "Состояние и перспективы развития локомо-тивостроения", Новочеркасск, 1994, 1997;

- на Всероссийской научно-технической конференции "Теория цепей и сигналов", Таганрог, 1996;

- на I и И Всероссийских симпозиумах "Математическое моделирование и компьютерные технологии", Кисловодск, 1997, 1998;

- на научных сессиях профессорско-преподавательского состава НГТУ 19851998 гг.;

- на расширенном семинаре кафедр ТОЭ и прикладной математики НГТУ;

- на расширенном семинаре кафедры физики Волгоградского государственного университета;

- на семинаре кафедры ТОЭ Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 34 печатные работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы и приложений. Ее содержание изложено на 491 странице, проиллюстрировано 140 рисунками и 8 таблицами.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан критический анализ основных направлений и работ, посвященных методам численного расчета поля в электротехнических системах, содержащих магнитопроводы, собранные из анизотропной стали, вопросам моделирования перемагничивания анизотропных сред, методикам испытания электротехнической стали в постоянных и переменных магнитных полях. Сформулированы цель и задачи диссертации, определены методы исследования и структура работы, дана краткая характеристика отдельных разделов.

В первом разделе приводятся результаты экспериментального исследования пла-

арного пространственного перемагничивания анизотропной стали в постоянных и пе-гменных полях. До настоящего времени испытания стали в таких режимах перемагни-ивания в полном объеме не проводились. Отсутствие необходимых экспериментальных ашшх тормозило процесс разработки математических моделей материальных операто-ов, с приемлемой точностью описывающих характеристики анизотропных ферромаг-итных сред.

Выполнено исследование двух видов режимов пленарного перемагничивания стаи. Первый режим - режим одноосного перемагничивания характеризуется таким изме-ением магнитного поля, при котором вектор индукции образует фиксированный угол р направлением прокатки холоднокатаной стали, а вектор напряженности в процессе пе-емагничивания за счет анизотропии вращается в плоскости листа. Экспериментально акие режимы были реализованы в четырехобмоточном аппарате Эпштейна, в который умещался пакет образцов холоднокатаной стали, нарезанных под разными фиксиро-анными углами /3 к оси прокатки. В отличие от известных метода« для измерения двух ртогональных составляющих напряженности на ось намагничивания #ц и перпендику-

¡ярное к нему направление 11у пакет разделялся на симметричные части, между кото-1ыми помещались две плоские катушки поля, калибровка которых выполнялась в одно-юдном поле длинного соленоида. Сигналы, пропорциональные изменению индукции, тшмались с витков, намотанных на пакет. Исследовались режимы симметричного ква-шстатнческого и динамического перемагничиваний, причем при испытаниях стали в по-;тоянных магнитных полях измерение индукции и напряженности выполнялось коммутационно.

В результате проведенных исследований одноосного перемагничивания стали Мб; сарактеристики которой близки к характеристикам сталей 3434, 3415, в частности выяснилось следующее:

1. Основные кривые намагничивания, формы динамических: и статических петель тклерезиса, снятые в координатах Щ(В,р), Н^(В.р) для различных направлений на-

■.1апшчива1п1я, задаваемых углом р, а также их остаточная индукция и коэрцитивная :ила существенно меняются прн изменении угла р. Возможны состояния ферромагнетика, в которых Н отстает, опережает вектор В или коллинеарен ему даже в тех случаях, когда данные векторы пе ориентированы вдоль главных осей анизотропии.

2. Модуль вектора напряженности и угол &, образованный векторами индукции и напряженности, существенно зависит от направления намагничивания р. При фиксированной индукции В = 0.5 Тл модуль напряженности меняется от значения 3 А/м до величины 123 А/м, а угол 0 - от о' до 83° (/? = 10°). В насыщении, при В= 1.7 1л наибольшее значение Н - 23500 А/м соответствует направлению намагничивания р = 60°, а угол 0

достигает значения 38° при /? = 10°.

3. Отклонение вектора индукции от оси прокатки приводит к значительному укс личению потерь в стали. В режимах динамического перемагничивания при синусок дальном изменении индукции с амплитудой Вт --0,5 '1л потери под углами намагничи

вания р = 0° и р = 90° отличаются в 4,15 раза. С ростом насыщения, при индукци: Вт = 1,35 Тл потери отличаются в 4,05 раза.

4. При изменении временной формы индукции и фиксированном ее максимум для всех рассмотренных направлений намагничивания потери с погрешностью 5% опи сьшаются линейными функциями от квадрата коэффициента формы производной индук ции.

Полученные результаты позволяют сформулировать следующий главный вывод даже небольшое отклонение вектора индукции от оси прокатки приводит к заметном; изменению характеристик холоднокатаной стали. Именно по этой причине при расчет« поля в магнитных системах, собранных из такой стали, для получения необходимой точ ности следует учитывать анизотропию.

Второй режим - режим наиболее общего планарного перемагничивания, при ко тором оба вектора индукции и напряженности вращаются в плоскости пластин анизо тропной стали, был реализован в крестообразном образце с двумя ортогональными независимыми парами обмоток, расположенными на его плечах. Измерение проекций векто-. ра напряженности выполнялось катушками поля, расположенными ортогонально в центральной части образца, в двух зазорах, разделяющих пакет на три части. Проекции вектора индукции снимались парой измерительных витков, расположенных в этой же часта пакета.

При независимом изменении токов в намагничивающих обмотках или приложенных к ним напряжений в центральной части пакета возникает планарное перемагничива-ние. Разработанные методики позволяют снимать основные характеристики такого перемагничивания - петли гистерезиса в двух ортогональных направлениях, годографы индукции и напряженности.

Для исследования режимов одноосного динамического перемагничивания на целых листах, нарезанных под разными углами к оси прокатки, предложено использовать специально разработанный комплекс, обеспечивающий возможность неразрушшощего контроля характеристш< стали. Данный комплекс обладает следующими функциональными возможностями:

- однородного намагничивания контролируемого участка листа электротехнической стали;

- измерения напряженности магнитного поля в контролируемом образце;

- измерения индукции магнитного поля в образце.

Комплекс содержит: источник синусоидального напряжения; ферромагнитное ярмо в виде полутора с размещенной на нем намагничивающей обмоткой; обмотки для измерения напряженности и индукции, расположенные под полюсами ярма; два постоянных магнита, осуществляющих подмагничивание неконтролируемой части образца; дифференцирующий элемент. Последний выполнен в виде катушки взаимной индуктивности, первичная обмотка которой включена последовательно в намагничивающую цель, а вторичная через делитель соединена с обмотками, предназначенными для измерения напряженности.

Показано и подтверждено экспериментально, что за счет соответствующего выбора конструктивных параметров устройства при установке его на контролируемый образец снимаемые с измерительных витков сигналы, оказываются пропорциональными производным индукции и напряженности в листе. Это обеспечивает возможность измерения всех характеристик стали - основной кривой намагничивания, петель гистерезиса, остаточной индукции, коэрцитивной силы, с погрешностью, не превышающей 5 %.

Второй раздел посвящен разработке математических моделей статического пере-магннчивания анизотропных ферромагнитных сред. Такая проблема до настоящего времени не имеет удовлетворительного решения. В результате часто возникает ситуация, когда в совершенных вычислительных алгоритмах используются очень приближенные способы задания характеристик анизотропной стали, что снижает эффективность применяемых методов и точность расчета.

Предложено несколько моделей материальных операторов, отличающихся степенью учета свойств стали, которые они описывают. В качестве наиболее простого рассмотрен оператор Н = }(В) безгистерезисного типа, устанавливающий взаимнооднозначное соответствие между векторами индукции и напряженности. Показано, что такой оператор является консервативным, то есть удовлетворяет условию

|/(Ж)аВ=0 (1)

I

при любом замкнутом цикле перемагничивания /.

С учетом условия (1), консервативный оператор описывается одной скалярной функцией № (в), имеющей смысл плотности энергии магнитного поля:

В

Л--/{Я)=£гас1в*(в) ; ъ(в)=$/(в)<1в , (2)

О

причем-согласно законам термодинамики матрица у(в) удельных магнитных сопротивлений вида

- i \ с! / <Э"и'

V = (У; ;) = —— ; V, 1 =- , 1, I - х , у

ав 4 дв18в) 7

является положительно определенной.

Разработано два метода построения консервативного материального оператора (2), отличающихся объемом необходимых экспериментальных данных и точностью моделирования. Первый метод предполагает использование следующих однозначных характеристик одноосного перемагничивания анизотропной стали под углами р к оси прокатки:

Щ=Щ{В,р); н1=н1_{в,0), (3)

где #ц, ii проекции вектора напряженности на ось намагничивания и перпендикулярное к ней направление.

В качестве характеристик (3) приняты средние кривые намагничивания, полученные в результате усреднения по напряженности снятых экспериментально предельных статических петель гистерезиса.

Согласно первому методу ¿-плоскость разбивается на криволинейные ячейки = ((/?, р):В, <В<В,+1; р ^ < р < р у+,- ; / = 1,и ; / = 1,т }, границами которых служат контуры }, , = 0; рт = л/2). Узловые значения функции Н = /(//) ищутся в виде

»и =/(»,■. +еги; Я/, = /± (в,- (4)

где #]' • =#ц (й,;/^-), нц = н] (й,- ,/?Д величины е^ , е^ подлежат определению. В пределах каждой ячейки О,] принимается следующая аппроксимация:

Щ = {В, В) = аги + В + с/} р + ВР ; ^

=/ЛВ,Р) = + В + с/, р + Вр . Коэффициенты в разложении (5) однозначно выражаются через узловые значения (4). Для определения величин е^ , с/у в формуле (4) при каждом фиксированном / полагается

^Нс1В = 0, ¡ = Т,т (6)

ч

Равенства (6) сводятся к системе линейных ограничений относительно неизвестных е',, г/у. Еще одна система линейных Офаничений в виде неравенств следует из условия.

(АН , АВ)=(уАВ , АВ)> 0 (7)

при вычислении приращений вдоль отрезков В, <В<В, р- р] и вдоль дуг

в=вы1%р, <р<^ + 1

Узловые значения функции (2) вида (4) находятся так, чтобы обеспечить минимальное их отклонение от измерешшх значений (3), в результате минимизации квадратичной формы

у=2

фи ограничениях (б), (7).

После выполненного преобразования составляющих векторного поля (3) значение тотенциала (2) в любой узловой точке (и, ; [¡)) определяется путем вычисления интегра-

та (2) вдоль ломаной, образованной участками границ /,,, начальной и конечной точками которой служат точка В = 0 и рассматриваемый узел.

Для решения залачи (8), (6), (7) использовался метод сопряженных градиентов. Локазано, что его применение обеспечивает сглаживание обоих экспериментальных кривых (3) при 1гх искажении, в основном не превышающем экспериментальной ошибки.

Второй метод построения консервативного материального оператора предполага-гт использование только характеристик (3) продольного намагшгчивания, которые могут ;ниматься в стандартном аппарате Эпштейна или с использованием разработанного измерительного комплекса. Он сводится к последовательному сглаживанию потенциала

в,

(9)

о

найденного по продольной составляющей напряженности (3) на окружностях В - В, , в результате минимизации функционала

/Ф,) = { |+ (10)

О 7 = 1

Показано, что при заданных коэффициентах а,; минимум функционала (10) достигается на кубическом сплайне. Для определения этих коэффициентов предложена итерационная процедура, в результате применения которой сглаженные значения и1,

потенциала (2) оказываются отличными от его значений в (9), найденных по измеренной продольной составляющей напряженности (9), в пределах погрешности эксперимента. Обоснован алгоритм минимизации фушщиопала (10), и на его основе выполнена обработка характеристик продольного перемашичивания стали Мб. Показано, что полученный консервативный материальный оператор с прогнозируемой точностью, в пределах экспериментальной ошибки описывает продольную составляющую напряженности, хотя несколько искажает поперечную составляющую. Процедура сглаживания позволяет повысить точность задания последней по сравнению с тем случаем, когда для ее определения используется потенциал (9), найденный непосредственно по характеристикам продольного намагничивания.

В магнитопроводах электротехнических устройств, например силовых трансформаторов, за счет применяемой схемы шихтовки оси прокатки в отдельных пластинах па-

кета, собранного из анизотропной стали, могут быть смещены относительно друг друга. В работе приводится решение задачи моделирования квазистатического планарного rie-рсмагничивания такой слоистой среды в предположении, что свойства стали описываются консервативным материальным оператором, а векторы поля ориентированы преимущественно вдоль пластин. В результате выполненного эквивалентирования - замены слоистой среды ее непрерывной моделью, сформулированы уравнения поля относительно усредненных векторов поля и материальное уравнение, задающее соответствие между ними. Материальный оператор консервативного типа найден из условия равенства полной энергии магнитного поля, запасенной в элементе слоистой и сплошной сред. Обоснован конкретный способ построения материального оператора, основанный на итерационном алгоритме, реализующем метод Ньютона. Показано, что матрица удельных магнитных сопротивлений для оператора в непрерывной среде, может быть выражена через аналогичные матрицы оператора, задающего свойства стали в отдельных пластинах пакета. Проведена экспериментальная проверка построенной модели путем сравнения результатов численного и экспериментального моделирования квазистатического перемагничивания неоднородного пакета пластин, собранного из листовой холоднокатаной стали Мб.

Более точные модели материальных операторов должны учитывать гистерезисные свойства ферромагнитных сред. Разработано несколько моделей такого типа, учитывающих скалярный и векторный гистерезисы. В режимах квазистатического однонаправленного перемагничивания анизотропной стали вдоль главных осей анизотропии, при заданном изменении индукции во времени, характеристики стали предложено задавать оператором

h = h(b) = f{b)+g{b,p), (11) где ь = в/bs; h = н/нs- относительные значения индукции и напряженности; (bs, hs) -вершина предельной симметричной петли гистерезиса; p = sign(db/dt) - параметр, различные значения которого соответствуют ветви намагничивания (р = ]) или размагничивания (р - -l).

Функция /(/>) в разложении (11) является однозначной и используется для описания нелинейных свойств стали. При моделировании необратимых процессов, следствием которых является гистерезис, функция g{b,p) ищется как решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

+ ^£ = Äg-(b) + tJ(b), (12)

где g+(i) = g'vi>1)>' s~(b)~ а число Л, какифутгкции f(b), ?;(/;), являются парамет-

рами модели.

Обоснована процедура идентификации параметров модели (11), (12), предпола-

ающая использование следующих характеристик однонаправленного симметричного 1еремагничива1шя стали: hm{pm) - основной кривой намагничивания; p(bm) - зависимо-

;ти потерь от максимума индукции; - предельной петли гистерезиса. Доказаны

;ледующие соотношения:

r,{b) = ~lp'(b)+g'm{b); gm(b) = ±p'{b)c,hXb; f(b)=hm(b)-g„{b),

три выполнении которых модель (11), (12) точно описывает основную кривую намагничивания и потери. Числовой параметр определяется методом наименьших квадратов с учетом возможных ошибок в экспериментальных данных. Модель статического гистерезиса проверялась экспериментально в режимах перемагничивания стали Мб вдоль и поперек прокатки. Соответствующие статические петли гистерезиса показаны на рис. 1, из которого следует, что модель с допустимой точностью описывает характеристики стали даже при сложных формах гистерезисных петель. В, Тл

1,5

1,0

0,5

0,0

-20 О 20 40 60 80 Н, А/м

Рисунок 1 - Симметричные петли гистерезиса вдоль прокатки: -эксперимент; -А" - моделирование В работе выполнено обобщение модели скалярного гистерезиса сначала на случай планарного перемагничивания изотропных сред, а затем и аштзотропных. При моделировании квазистатического перемагничивания изотропной стали в условиях заданного изменения вектора индукции во времени ъ = ь (?) соответствующий вектор « - и (?) ищется в виде

*=/(*)+!&,Ц>.Ь,Г), (13)

где /(¿)- f(b)ki - консервативный материальный оператор, используемый для описани нелинейных свойств стали, =b/b, а второе слагаемое в равенстве (13), зависящее о начального состояния ферромагнетика (b(l,hu), текущего значения индукции ь(г) и ку сочно-гладкой кривой Г- годографа вектора b(t), вдоль которого осуществляется пере ход из точки в точку Ъ (t) на b -плоскости, обеспечивает моделирование векторной гистерезиса.

На основе общих закономерностей вращательного циклического перемагничива ния, при котором вектор bit) описывает окружность на b -плоскости, а также с учетод того, что модель векторного гистерезиса должна совпадать с моделью скалярного гисте резиса (11), (12) в условиях однонаправленного перемагничивания вдоль произвольно! фиксированной оси в пространстве, гистерезисная составляющая в разложении (13) н; каждом гладком участке кривой Г ищется как решение дифференциального уравнения

^-Ag(b)+r,{b)f ; 6еГ, (14)

а г

где f - касательный вектор к кривой Г, а функции f(b), rj(b) и число X, являющиеся па раметрами модели, находятся по экспериментальным данным в частных режимах однонаправленного перемагничивания.

На основе предложенной модели получено следующее выражение для потерь npi вращательном перемагничивании:

С15)

' ' 1+ Ь2Л2

согласно которому потери стремятся к нулю с увеличением модуля индукции b, за счеч уменьшения значений функции ч(Ь). Выполнена экспериментальная проверка модели путем моделирования перемагничивания стали Э42.

Получены соотношения для гистерезисной составляющей напряженности при произвольном планарном перемагничивании, задаваемом годографом вектора Ъ или параметрически. Исследованы основные особенности циклического планариого перемагничивания вдоль любого замкнутого контура Г и получены формулы для расчета потерь на гистерезис в условиях такого перемагничивания.

При рассмотрении наиболее общей задачи моделирования векторного гистерезиса в режимах планарного перемагничивашш анизотропной стали поле напряженности h(t), соответствующее заданному изменению индукции А(/), ищется в виде разложения (13), где составляющая /(b) удовлетворяет условию консервативности (1), а слагаемое, ответственное за 1истерезис, определяется как решение дифференциального уравнения

4l-Ag + 4(b)T (16)

и т

на каждом гладком участке кривой Г.

При рассмотрении уравнения (16) в системе координат, совмещенной с главными осями анизотропии, матрица л является диагональной: а -сиа^{лг, лу), и одновременно

с функциями /(б), т/(б) служит параметрами модели. Диагональные элементы ЛХ,ЛУ матрицы А и значения функций /(ь\ ц(ь) на главных осях анизотропии, когда Ьх~ О или Ьу = 0, находятся по результатам экспериментального исследования перемагничива-ния стали вдоль этих осей. Для определения функций /(ь), т](ь) в остальной части В -плоскости используются экспериментальные данные испытания стали в режимах одноосного симметричного перемагничивания под разными углами в к оси прокатки. При этом используются следующие характеристики стали: /г, т (ьт, /У) - основная кривая намагничивания, связывающая максимальные значения индукции и продольной составляющей напряженности; р5(Ьт,р), р„("т>Р) - потери и квазипотери на гистерезис за цикл перемаг ничивания по симметричной петле, определенные равенствами

раьт,рь§щ\{ъ,р)аь; р„(к,р)=§н±{ъ,р)с1ъ.

Для рассмотренной модели векторного гистерезиса доказано следующее соотношение:

е2Ос1кЛЬтОТ р' = -егОр; ё2 = (0,1), (17)

где О - матрица оператора поворота относительно оси прокатки на утол /?; р - (р^,рп);

а = ОЛОт; р' = йр^Ъ.

Квазипотери р„(Ь,р) выражаются из уравнения (17) через функцию р5(о, /3), задающую потери при одноосном перемагничивании, а неизвестные параметры модели определяются из соотношений

4

ь о

Основная особенность разработанной модели планарного гистерезиса состоит в том, что для определения ее параметров достаточно знать характеристики наиболее простого одноосного планарного перемагничивания анизотропной стали, которые могут быть сняты экспериментально на образцах нарезанных под разными углами к осн прокатки. Главным ее достоинством является возможность точного описания стандартных характеристик - основной кривой намагшпшвания и потерь при таком перемагничивании.

На основе модели (13), (16) получено общее интегральное представление для ма териального оператора гистерезисного типа, исследовано циклическое планарное пере магничивание анизотропных сред и выведена формула для расчета потерь. Проведен; проверка модели путем сравнения с экспериментом полученных на ее основе гистере зисных петель в режимах одноосного перемагничивания и годографов напряженное« при наиболее общем планарном перемагничивании. Погрешность моделирования н( превосходит экспериментальной ошибки.

В результате анализа модели (13), (16) сформулированы критерии подобия анизотропных, нелинейных, гистерезисных ферромагнитных сред. В сходственных режима* перемагничивания, задаваемых изменением индукции В = й(7), которые могут быть приведены друг к другу за счет соответствующего подбора базисных значений индукции, две среды подобны, если их характеристики удовлетворяют условиям

äsi!l = ¥\±>ßYidem;

«6 W ) вбнб

^ I = ídem,

ьа = 4,j^idem; ^- = iP3v

где Hsm - //;,„(ß,ß), ps = ps{B,ß) - основная кривая намагничивания и потери в режимах одноосного перемагничивания под углом ß к оси прокатки; Нхс = Нхс(в); ffvс =hvc(b) - зависимости коэрцитивных сил от максимумов индукции при однонаправленном перемагничивании стали вдоль и поперек прокатки соответственно.

Третий раздел посвящен разработке математических моделей динамического планарного перемагничивания анизотропной стали. Кроме явлений, проявляющихся при квазистатическом перемагничивании, здесь учитываются вихревые токи и магнитная вязкость. Сформулированы две краевые задачи, описывающие планарное перемагничи-вание листа стали в безгистерезисном приближении. Поле в листе описывается системой дифференциальных уравнений, которая в безразмерной форме имеет вид

а2 Я лдБ ГУ .dB

oz

2 dt J V ' dt

где О = У26**6 ; а = ; /(в) - консервативный материальный оператор; у - прово-

"б'б

дкмостъ стали; а - тензор магнитной вязкости, имеющий диагональную матрицу в системе координат, совмещенной с главными осями анизотропии;

25,В6, гб,Нв - базисные значения переменных. При заданном начальном значении

= (19)

рассмотрено два вида условий, нормирующих режим перемагничивания. В первом случае предполагается заданной напряженность на поверхности листа:

/7(0, /)=Л"(г); н(И,1) = нЦг). (20)

Во втором - считаются известными средняя по сечению листа индукция и плотность тока:

и к

0 0 В результате сведения краевых задач (18), (19), (20) и (18), (20), (21) к эквивалентным интегральным уравнениям и применения принципа сжимающих отображений показано, что эти задачи имеют единственное решение.

Численный алгоритм нахождения решения задач построен на основе метода Г'а-леркина. Его применение позволяет свести систему (18) и условия (20), (21) к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно узловых значений индукции Решение находится путем линеаризации материального уравнения (18) и интегрирован:!;; полученной системы.

Разработанные методы реализованы в виде комплекса программ, на основе которого выполнено моделирование различных режимов планарного динамического пере-маппгсизания анизотропной стали. Исследовано влияние на поверхностный эффект и потери безразмерных параметров П,АХ,АУ. Проведена проверка модели путем сравнения результатов расчета с экспериментальными данными испытания стали в режимах планарного перемагничивания, подтверждающая обоснованность принятых допущений. Путем численных экспериментов показано, что в установленном диапазоне изменения параметров П,АХ,АУ потери на вихревые токи и магнитную вязкость (в Вт/кг) при произвольном симметричном {{!){() = о) периодическом планарном перемагничивании с контролируемой погрешностью можно находить по формулам

Рет ф+ру(п'ау№)1ф] '

Ях (я, Лх){В'х)1р +ау Чу ,

где к - толщина листа; ё - удельный вес стали; {В'х)*ф; - эффективные

(действующие) значения проекций производной вектора индукции, а функции px{í2,Ax),pv{p,Av\qx{£2,Ax.),q^\&>Av) определены в результате численных

экспериментов.

На основе полученных экспериментальных данных подтверждена возможность нахождения динамических потерь по формулам (22). Результаты экспериментальной проверки формул (22) в режимах периодического одноосного перемагничивания стали Мб на частоте 50 Гц для различных направлений намагшгшвания и максимумов

индукции иллюстрирует табл. 1.

Таблица 1 - Динамические потери на вихревые токи и магнитную вязкость

р Вт, Тл Рет + Ре, ВТ/КГ

Эксперимент Расчет

10° 1,7 0,94 1,06

20° 1,5 0,87 0,9

30° 1,3 0,75 0,73

40° 1,3 0,8 0,79

55" 1,3 0,93 0,89

80° 1,3 1,12 1,04

В условиях симметричного перемагничивания стального листа сформулированы динамические уравнения магнитного поля для векторов средней индукции ('£(/)) и напряженности на поверхности листа Н+(():

аЦй) = 0; Г01Н+ = 0; Я + = /((В))+К^-, (23)

где тензор К имеет диагональную матрицу К = diag{кx,кv) в системе координат, совмещенной с главными осями анизотропии, а функция /({й}) является консервативной и

определяется в результате обработки статических характеристик стали.

Материальное уравнение в системе (23) является приближенным и может быть использовано для описания поля при тех же интервалах изменения параметров £3,Ах,Ау,

что и формулы (22). Возможность его применения для выполнения расчетов поля в маг-шгтных системах электротехнических устройств, собранных из листовой стали, при однородном распределении напряженности вдоль поверхности пластин подтверждена результатами численных и физических экспериментов. Параметры Кх, Ку определяются

путем приравнивания потерь, найденных по формулам (22), и с использованием оператора (23).

В этом же разделе решена задача моделирования динамического перемагничивания массивного цилиндрического ферромагнитного тела произвольного сечения 5 в однонаправленном магнитном поле, в предположении, что свойства стали в любой точке сечения задаются материальным уравнением (18). Доказано, что сформулированная краевая задача относительно векторов магнитного поля на каждом временном слое может быть сведена к эквивалентному интегральному уравнению второго рода с вполне

неппепь."*ным "" ^ * г V > ! | •: ГТ*. м<му> тгг ч-1 т:- ?т.>тпг'ч в ттортпянстор РоЯ^п^пя

^ . -----.----.... ч. ----------..---- -- ■ * --- -----------— «

. Его решение ищется в виде ряда по полной системе собственных функций данного оператора, которые находятся с использованием модифицированного метода Келога.

Собственные функции определяются геометрической формой сечения тела и не зависят от его электрических, магнитных свойств и режимов перемагничиваиия. Последнее позволяет существенно сократить объем вычислительной работы при выполнении многовариантных расчетов.

В качестве примера выполнен расчет однонаправленного перемагничиваиия ферромагнитного тела прямоугольного сечения (стальной пластины) с целью оценки влияния на распределение поля и потери краевых эффектов. Показано, что влияние края пластины перестает сказываться на расстояниях порядка толщины пластины. Подтверждена возможность использования материального уравнения (23) для расчета поля в магнитных системах в условиях его неравномерного распределения на поверхности отдельных пластин пакета.

Четвертый раздел посвящен разработке комбинированных методов расчета квазистационарного электромагнитного поля в кусочно-однородных средах, отдельные части которых содержат магнитные системы, собранные из листовой анизотропной стали. Предполагается, что в них поле В ={в)(м,(), 77 - Н~{М,1) описывается системой уравнений (23) при линейных магнитных характеристиках остальной части пространства. В результате замены производной конечной разностью последовательно на каждом временном слое / = материальный оператор (23) преобразуется к консервативному:

н + (в);

— 1 - - I - — е?4)

11' = м'Ав)+—=—ВКВ —-В,,КВ, х ' 2Ац Л/,-

где ис(в) - потенциал, соответствующий статическому консервативному оператору; В =5,_1 - распределение индукции на предыдущем временном слое.

Решены следующие задачи.

Задача 1. Рассматривается шихтованное, анизотропное кусочно-однородное ферромагнитное тело П при допущении, что поле ориентировано преимущественно вдоль пластин, из которых оно собрано, то есть является плоскопараллельным. На отдельных участках Гк границы тела Г предполагается известным распределение нормальной составляющей индукции Вп, а па остальных частях ;//, - касательной составляющей напряженности Нт магнитного поля:

В»("А'еГк Нг(^АиеГ1 (25)

В дополнение к условиям (25) считаются известными потоки через участки границы Г к ■

¡В„<И = Фк(г). (26)

Гк

Предполагается заданным распределение индукции в начальный момент времени

'о =0:

В(М,0)=В°{М), МеЛ.

Расчет поля выполняется последовательно на временных слоях tbt2>--- в предположении, что свойства стали описываются материальными операторами вида (24) в каждой однородной части области П, Вводится векторный потенциал (в = /oi(l)), единственная компонента А(х,у) которого, согласно условиям (25), (26), оказывается определенной во всех точках части границы Гк. Показано, что краевая задача относительно потенциала Л(х,у) при t = tj сводится к задаче минимизации функционала

+ (27)

П у

где y = {J/k и минимум функционала (27) ищется на множестве функций, принимаю...

щих задашше значения на участках границы Гк.

Разработана численная процедура минимизации функционала (27), основанная на методе конечных элементов и линеаризации материального оператора (24). В качестве примера выполнен расчет поля в кусочно-однородном остове трехфазного трансформатора с прямым стыком в режиме холостого хода. Результаты расчета и его совпадение с экспериментом иллюстрирует рис.2, на котором приводятся годографы вектора средней индукции в некоторых сечениях магнитопровода.

Рисунок 2 - Годографы вектора индукции в сечениях Т-образной зоны магнитопровода (.«»- эксперимент; ххх - расчет)

Задача 2. Рассматривается кусочно-однородная область П, отдельные части которой С2[ с границей Г заполнены нелинейной анизотропной ферромагнитной средой с характеристиками, задаваемыми материальным оператором (24). Распределение токов с плотностью 1 -3{х,у)ёг в остальной части пространства с прошщаемостью предполагается известным. В случае, когда область /20 является ограниченной, считается, что на ее внешней границе Г0 заданы условия типа (25), (26).

Доказано, что расчет плоскопараллельного ноля в ограниченной области г2 на каждом временном слое можно свести к задаче минимизации функционала

р(л)= Ц (28)

Л/ ' г02

где Г(,2 - часть границы Ги, на которой определена касательная составляющая напряженности, а минимум функционала (28) ищется на множестве функций, принимающих заданное значение на участке границы /"¡л, где задана нормальная составляющая индукции.

Если область О - не ограничена, то соотнекм вующий функционал имеет вид

р{А)= Ш—У^-УЛ^у. (29)

'п, ЬЛ2А) j

Л/ А.

Предложено и обосновано несколько комбинированных методов нахождения единственной компоненты векторного потенциала А(х,у), доставляющей минимум функционалам (28), (29), ориентированных на снижение размерности дискретных вычислительных моделей.

В случае, когда область О является неограниченной, использованы комбинированные конечные элементы и бесконечный элемент в виде внешности круга. Базисные функции, соответствующие узлам, лежащим на границе бесконечного элемента, вне круга определены в результате вычисления интеграла Пуассона. Разработана численная процедура, позволяющая понизить размерность полученной после линеаризации материального оператора системы линейных алгебраических уравнений до числа неизвестных значений векторного потенциала в узлах, расположенных в области О¡- ферромагнитных тел. В качестве примера, иллюстрирующего возможности метода комбинированных элементов, решена задача расчета магнитного гюля и подъемной силы одностороннею линейного индукторного двигателя (ОЛИД).

Обосновано применение для расчета поля в ограниченных и неограниченных областях комбинированного метода конечных элементов к конформных отооражешш, если область, не заполненная сталью, или отдельные ее части могут быть отображены конформно на верхнюю полуплоскость или внешность круга. С помощью данного метода проведено исследование распределения поля и потерь в остове трехфазного трансформа-

тора в режиме холостого хода с учетом рассеяния в окрестности углов.

Наиболее общий комбинированный метод, пригодный для расчета поля в ограниченных и неограниченных областях произвольной конфигурации при различных формах задания граничных условий, построен на основе совместного применения МКЭ и комплексного метода граничных элементов (КМГЭ). Суть метода состоит в следующем. Выполняется триангуляция области ферромагнитных тел, и компонента л(х,у) векторного потенциала в точках ПJ ищется в виде линейной комбинации стандартной для МКЭ системы кусочно-линейных базисных функций. В области £70, не заполненной сталью, функция А(х, у) полагается равной

А = А3{х,у)+Ад{х,у)+А\х,у), (30)

где А} - единственная компонента векторного потенциала магнитного поля, создаваемого токами, распределенными с плотностью ,/ =J(x, y), при отсутствии ферромагнитных тел.

Гармоническая функция Ад(х,у) удовлетворяет следующим условиям на границе ограниченной области Д):

1 д А

Ад\г = -Ат;Ад Гп, =*-Лг;---= Ч>-Н3х, (31)

' 01 5» г02

где функция % = g{м), М е Г01 задает известное распределение потенциала л(х,у) на участке границы - касательная составляющая напряженности магнитного по-

ля, соответствующая потенциалу AJ = А ¡ё,.

Если область £2$ является неограниченной, то вместо двух последних условий предполагается, что на бесконечности значение функции А^(х,у) равно нулю. Составляющая А°(х,у) в (30) ищется в виде

А°(х,у)^Акек{х,у), к

где базисные функции ек{х,у), соответствующие узлам (хк,ук), лежащим на границе Г ферромагнитных тел являются гармоническими, меняются линейно на Г ив случае ограниченности области Д) удовлетворяют условиям

( \ ! „

= 0. (32)

/02

Если область не ограничена, вместе с первым условием (32) считается, что «,(*>)= 0.

После линеаризации материального оператора (24), то есть представлении его в точках каждого треугольника разбиения Пч в виде

¿32№ 1

"0

г, .( -

показано, что задача минимизации функционалов (28), (29) сводится к решению на каждом временном слое системы линейных алгебраических уравнений относительно значений А/ искомой функции в узлах (дг,-,>',); / = 1 ,п, расположенных в :

/ К / #■=1

(33)

где

II

(у?.. де' + гдч ве> ! д"к де' 1 i у1 де/с де< ду ду 2 ^ ду дх дх ду

[ 0, 0 <к<т, -.(■■О — ] 1 где, ,,

цч оек

но 011 г

ч<1 яч

'"п.. ^-ГУ-1^^

' и г

дх

1,(2) =

О, 1 <к<т,

/¿О-1 сп

iг г

причем первые номера от 1 до ш присвоены внутренним узлам области О [ .

При формировании системы (33) необходимо определить значения функций Ад,с, и их производных дА0/дп, де, ¡с и на всей границе Г. Для этих целей предложено использовать КМГЭ, который по сравнению с известными его реализациями (Тромадка Т., Лей Ч.) обобщен на случай многосвязных областей и смешанных граничных условий. Согласно этому методу вводятся функции ид(х,у), "к (х,у), сопряженные с функциями ■Ад(х'У)> ек(х>у) соответствешю. Комплексные потенциалы

= :-х + :у являются аналитическими в области /?0, функциями

удовлетворяющими интегральной формуле Копта. В результате кусочно-линейной аппроксимации этих потенциалов на Г показано, что узловые значеше! их действительной и мнимой частей удовлетворяют двум системам уравнений. Первая система получена путем дискретизации интегральной формулы Коши, а вторая - следует из граничных ус-

ТТР.Т^Й 1 \ Птт*т ЧЛ'П'МС!" ,т(,тч,ГП^ГИРТ^Ми ТТПР тттт<1гл?АнГ> МС-

-------~ .. -------- Г -------------

пользовать метод наименьших квадратов, в результате применения которого уравнения второй системы выполняются точно, а первой- с наименьшей невязкой. Доказано существование и единственность решения, обладающего указанными свойствами. Для фор-

мирования системы (33) используются равенства

Л дп 2 дт Л дп J 8т

Г Г Г Г

В этом же разделе обоснована возможность применения КМГЭ для расчета плоскопараллельного магнитного поля в многосвязных ограниченных и неограниченных областях, границами которых служат ненасыщенные ферромагнитные тела.

Предложен вариант прямого использования КМГЭ для решения задачи 2. Приращения векторов магнитного поля на двух последовательных временных слоях ^ удовлетворяют системе уравнений

гогЛН =л1; с!ЫАВ = 0; АВ^илАН в О0;

_ _ _ (34)

МЛН =0; сИ\'АВ = 0; АН=уАВ е Пу.

В области Л0 приращения ищутся в виде

АВ = АВд +A£J ; АН = АНй+АН,, , (35)

где ABJ,АНJ - соответствуют приращениям поля в условиях отсутствия ферромагнитных тел, а величины АВо, АН0 должны учитывать их влияние.

Из равенств (34), (35) следует возможность представления

АНй ^ у-Ыи^К АЩ - го! [» ё2 \ е Г,>0;

АН=&ас/и(}\ = е Пу,

и функция и'^ = 1/0 - является аналитической в .

Область £1j разбивается на р малых подобластей в виде многоутолышков с границами уч, в пределах которых симметричная матрица к = тензора удельных магнитных сопротивлений считается независящей от координаты точки. В каждом элементе разбиения вводятся локальные координаты ¿ц, в результате преобразования вращения и изотропирующего сжатия. При этом функция = г = £д+£д является аналитической в , причем параметр Хп выражается через элементы матриць уч в результате преобразования.

После дискретизации интегральных формул Коши, которым удовлетворяют функции VI''Л'(г), и'р(^) в областях Яц с использованием КМГЭ формируются системь; линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений потенциала ш границе области По и границе многоугольников 5Ч. Еще одна система уравнений следует из условия непрерывности нормальной составляющей индукции и касательной составляющей напряженности на Г. Решение объединенной системы находится методом наименьших квадратов. При этом уравнения, следующие из граничных условий, выпол-

няются точно, а остальные - с наименьшей невязкой.

Разработанный модифицированный КМГЭ был использован для расчета магнитного поля и силовых характеристик ОЛИД, а также для расчета поля и кривой намагничивания асинхронного тягового двигателя НБ-607. Достоверность полученных результатов подтверждена экспериментально.

Задача 3. Рассматривается задача расчета плоско меридианного магнитного поля в кусочно-однородной среде, отдельными частями которой являются анизотропные магнитные системы с границей Г, имеющие осевую симметрию. Предполагается, что свойства анизотропной стали описываются консервативным материалышм оператором. Распределение токов с плотностью .7 = j{r,z)ep в остальной неограниченной части пространства í2q считается известным.

Показано, что решение задачи сводится к нахождению функции потока v = v(r,z), доставляющей минимум функционалу

Р(")= \\rkíu{b(m))dsu + \[\-±~-v\(m)-v(\4)j{m)\¡sm , (36) af )

где B=roíA, А = А(г,г)ёр ; v = rA(r,z); w(b) - энергетический потенциал.

Для этих целей используются комбинированные методы. Выполняется триангуляция области ílj-, и функция потока в Oj ищется в виде линейной комбинации стандартной для МКЭ системы кусочно-линейных базисных функций. В области i?0, не заполненной сталью, предполагается следующая форма решения:

п

v(r,z)-~ Vj(r,z)+v0(r,z)+ e¡(r,z),

!==m + [

где vj =r aj - функция потока, соответствующая потенциалу aj =aje(f) магнитного поля обмоток с током в однородной среде с проницаемостью //о; vo ('',-)> e¡{z,t) являются решениями уравнений

U u J _

На границе Г раздела сред i'o| =-vy, а функции e,(r,z), i = m + \,n, соответствующие граничным узлам, меняются линейно, причем I, e¡ifj,Zj)= 0 при г ф j .

После подстановки приближенного решения в функционал (36) и линеаризации материального оператора в пределах каждого элемента разбиения Oq формируется система линейных алгебраических уравненнй относительно узловых значений функции потока, причем отдельные элементы матриц!,г системы и столбца свободных членов выражаются через интегралы

1,к = т + 1,п, (37)

'г

а функции м, =и¡(г,г) в области Д, связаны с базисными функциями е,(г,:) уравнениями

дг г о! дг г дг Для определения значений функций и ¡(г, г) на границе Г и последующего вычисления интегралов (37) используется метод квазиконформных отображений (МККО). Теоретические основы данного метода заложены в работах Лаврентьева И.А., Шабата Е.В., Вол-ковыского Л.И., однако до настоящего времени он не нашел широкого применения для расчета плоскомеридианных полей.

Доказаны следующие соотношения:

я(й>о}"((<уо)ги = (¡4 +",а

/ \ / \ Г С 0, Лп-ограничена; ^^

«КМ(®о)= к ¿"2+"; ^'2+1

| г^, ¿¿о - не ограничена,

где во - точка на границе Г; а - внутренний со стороны Д , угол между касательными к Г в точке о)(); функции ;7], ^ определены равенствами

V/- 1и / к \ \ г + гА2+ 7

) —к \К\к)—Еук)\, к = -—^--,

а функции н2 связаны с функциями «[, у2 теми же уравнениями (38), что и функции

v,.

Граничные интегральные уравнения (39) сводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений функций г/, (г,г), еДг.г). С учетом заданных граничных условий, которым удовлетворяет функция <г, (г,г), решение данной системы находится методом наименьших квадратов.

В этом же разделе выполнено теоретическое обоснование применения МККО для расчета плоскомеридианшло магнитного поля в кусочно-однородных средах, содержащих ненасыщенные магнитные системы. В качестве иллюстрации МККО и комбинированного МКЭ и МККО решена задача расчета поля магнитной линзы в случаях, когда ее магаитопровод является не насыщенным и с учетом насыщения.

Пятый раздел посвящен разработке универсальных методов построения схем замещения шихтованных магнитных систем электротехнических устройств, собранных из листовой анизотропной стали. Предполагается, что векторы магнитного поля ориентированы преимущественно вдоль пластин пакетов, и поле можно считать плоскопараллельным. Характеристики стали в каждой точке области О магнитных систем с границей Г задаются консервативным материальным оператором. Распределение токов с

плотностью 3{м) в части пространства О0 предполагается известным.

Доказано, что поле в области О, заполненной сталью, однозначно определяется магнитными потоками через отдельные участки границы Г, если на каждом таком участке постоянна нормальная составляющая индукции или равна нулю касательная составляющая напряженности. Вводится в рассмотрение функция состояния анизотропного ферромагнитного тела, зависящая от потоков Ф1,Ф2,--.,Фп-\ через участки его границы Г:

(40)

а

и имеющая смысл полной энергии магнитного поля, запасенной в магнитной системе.

Доказано, что функция (40) является непрерывной, выпуклой. Установлены ее аддитивные свойства. Исследованы особенности построения функции состояния для случая .многосвязных областей.

Предложено два метода построения схем замещения анизотропных ферромагнитных тел. В первом случае считается, что на отдельных участках границы //-. к = 1,/; значение скалярного магнитного потенциала <рк постоянно. При этом допущении магнитное поле в части пространства -<?0, не заполненной статью, ищется в виде суммы потенциальной #1,-01 и вихревой В2, В2 составляющих. Полагается:

Я, = -%гас1 <р ; = <рк ; Нг т\ „ = 0. (41)

Для нахождения потенциального поля рассматриваются вспомогательные задачи этносительно функций ек = ек (х, у):

<

и 1 ОД*); Л дп

I

решение которых находится КМГЭ. По найденным в результате расчета функциям Л (г), сопряженным к функциям ек(г), определяются потоки Л} к через участки границы 7",. При этом векторы потоков и потенциалов связаны равенством Ф = Л(р . Ему со-этветствует схема замещения, на которой / - й и к - йузлы соединены ветвью с проводимостью Л, к.

Поле Н2, В2 ищется в виде 772 = Н(1+Н3;В2 = В0+^, где Вц, Я/- известные дндукция и напряженность магнитного поля, создаваемого в вакууме токами, распределенными в /20 с плотностью J{x,y), при отсутствии ферромагнитного тела, а поле Я0 тредставимо в виде Н(, — ¿г<х1 и=го: \'ё7. Функции ¡/(г), с учетом последнего из условий (41) находятся КМГЭ. Далее определяются потоки через каждый участок границы Гк, ив схему замещения с матрицей проводимостей Л включаются источники м.д.с.,

обеспечивающие совпадение потоков в цепи с найденными в результате расчета поля ш значениями. Полученная в результате схема замещения соответствует части пространства, не заполненной сталью.

Для определения параметров нелинейного п-потосника, соответствующего ферромагнитному телу, область О разбивается на малые треугольные элементы, и каждому такому элементу сопоставляется трехлучевая звезда с нелинейными магнитными сопротивлениями. Строится функция состояния цепи, содержащей линейные, с проводимо-стями Лj^-, и нелинейные сопротивления. В результате предельного перехода показано

что функция состояния цепи состоит из нескольких слагаемых, одним из которых является функция состояния анизотропного ферромагнитного тела 1У(ф ).

Параметры нелинейного многополюсника находятся из необходимого условш минимума функции состояния магнитной цепи. Вебер-амперная характеристика к-й вет ви л-полюсш1ка определяется равенством

Ук=Ук{ф)=дШ/дФк.

Рассмотрены особенности построения схем замещения уединенных ферромагнитные тел, заполняющих многосвязную область О, а также системы тел.

Второй разработанный метод следует использовать в случае, когда на отдельны) участках границы 1\ магнитной системы нормальную составляющую индукции можнс считать постоянной. Единственная компонента А векторного потенциала, описывающеп распределение плоскопараллельного магнитного поля, доставляет минимум функциона лу

p(A)=^{—(grcdAfл)й?5. (42)

Аз 0 а

Функция Л(х,у) ищется в виде

п-1

Л = (43)

к=1

где А] - компонента векторного потенциала, соответствующая магнитному полю, в условиях отсутствия ферромагнитного тела, а функции ек(х,у) находятся КМГЭ и являются решениями задач

Ле-К =0 в 0(,, ек\ =0 при ]<к; ек\г =1 при /г + 1< ] <п,

причем на Гк функция ек возрастает линейно 01 0 до 1, а на Г„ - убывает до нуля. Подстановка потенциала (43) в функционал (42) превращает его в функцию переменны

Ч/к, к = 1,п-\. Доказано, что эта функция является выпуклой. Из необходимого услови ее минимума получены уравнения и соответствующая им схема замещения ферромаг нитного гела.

При расчете реальных устройств обычно возникает необходимость одновременного анализа электромагнитных процессов, наблюдаемых в их электрических и магнитных цепях. В разделе 5 рассматривается общее решение такой задачи при условии, что электрическая цепь содержит резистивные, емкостные и нелинейные индуктивные элементы, а также управляемые и неуправляемые полупроводниковые приборы с кусочно-линейными вольт-амперными характеристиками. Для описания процессов в магнитных системах используются их схемы замещения. Предложенный подход является обобщением метода переменных состояния и ориентирован на снижение числа независимых переменных, используемых для анализа переходных и установившихся процессов в электрических и магнитных цепях.

Разработанные методы были использованы для исследования динамики тягово-левитационного модуля (ТЛМ) экипажа наземного транспорта с магнитным подвесом, оборудованного односторонними линейными индукторными двигателями и автоматическим устройством управления (АУУ) подвесом. ТЛМ рассматривался как механический объект, причем сила подвеса определялась в результате одновременного анализа переходных процессов в магнитной схеме замещения ОЛИД и электрической цепл АУУ при возмущении в виде скачка путевой структуры. В результате определены области устойчивости в пространстве параметров АУУ при различных конструктивных исполнениях ГЛМ. Полученные результаты были использованы при проектировании АУУ.

На основе предложенных методов разработан комплекс программ, предназначенный для исследования распределения магнитных потоков в многорамных магнитопрово-цах силовых трансформаторов. Результаты выполненных расчетов для конкретных кон-;трукций магнитопроводов подтверждены экспериментально.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена теоретическому обобщению и дальнейшему эазвитию комбинированных методов анализа квазистационарного магнитного поля в не-тинейных анизотропных средах. Данные методы являются численно-жепериментальными и ориентированы на снижение размерности вычислительных мотелей.

Получены следующие основные результаты.

1. Разработаны методы, обеспечивающие возможность полного эксперименталь-юго исследования планарного квазистатического и динамического перемапшчиваний солоднокатаной электротехнической стали.

2. Предложен метод неразрушающего контроля характеристик электротехниче-жой стали иа полосовых образцах с помощью устройства, совмещающего функции на-¿агничивающей системы и измерителя.

3. Обоснованы и проверены экспериментально методы построения консерватив-1ых материальных операторов в однородных и слоистых средах, в безгистерезисном

приближении описывающих характеристики анизотропной стали.

4. Разработаны математические модели, описывающие квазистатическое однонаправленное и планарное перемагничивание электротехнической стали с учетом нелинейности, анизотропии и гистерезиса, в том числе векторного.

5. Сформулированы обобщенные критерии подобия нелинейных анизотропных ферромагнитных сред для случая их планарного перемагничивания с учетом векторного гистерезиса.

6. Сформулированы, исследованы и решены наиболее общие краевые задачи моделирования динамического планарного перемагничивания анизотропной стали в без-гистерезисном приближении.

7. Получены приближенные формулы для расчета потерь на вихревые токи и магнитную вязкость при пленарном перемагничивании анизотропной стали. Разработана модель динамического материального оператора, обеспечивающая возможность правильного вычисления потерь в установленном диапазоне изменения характеристик стали и режимов ее перемагничивания.

8. Выполнено теоретическое обоснование комбинированных методов расчета плоскопараллельного и плоскомеридианного магнитных полей в кусочно-однородных анизотропных ферромагнитных средах с линейными и нелинейными магнитными характеристиками, основанное на вариационной формулировке краевых задач.

9. Предложены конкретные реализации комбинированных методов анализа плоскопараллельного магнитного поля, предполагающие одновременное применение МКЭ бесконечных элементов, МКО и КМГЭ.

10. Разработан комбинированный метод расчета плоскомеридианных магнитны?

полей, основанный на МКЭ и МККО.

11. Теоретически обоснована возможность прямого применения КМГЭ для расче та плоскопараллельного магнитного поля в кусочно-однородных анизотропных ферромагнитных средах с линейными и нелинейными характеристиками.

12. Разработаны методы построения схем замещения анизотропных ферромагнитных тел с нелинейными мапштными свойствами на основе их энергетических характе ристик - функций состояш1я.

13. Выполнено теоретическое обобщение метода переменных состояния на случае одновременного анализа электрических и магнитных цепей, когда электромапштньк процессы в магнитных системах электротехнических устройств описываются с исполь зованием их схем замещения.

14. Комплексы программ, реализующих разработанные методы, могут использо ваться для выполнения расчетов широкого круга электротехнических устройств, содер жащих анизотропные магнитные системы (электрические машины и трансформаторы) и служить основой для создания высокоточных систем их проектирования.

Содержание диссертационной работы отражено в следующих публикациях.

1. Воробьев В В., Ткачев А.И. Экспериментальное исследование потерь в холод-окатаной стали при однонаправленном периодическом перемагничивании // [зв.вузов. Электромеханика. 1983. №1. С. 134-138.

2. Колесников Э.В., Ткачев А.Н., Горбунцов А.Ф. Экспериментальное исследова-ие и математическое моделирование планарного перемаппгчивания холоднокатаной тали // Изв.вузов. Электромеханика. 1983. №6. С.23-30.

3. Колесников Э.В., Ткачев А.Н. Численное моделирование планарного перемаг-ичивания холоднокатаной стали // Изв.вузов. Электромеханика. 1984. №8. С.12-20.

4. Ткачев А.Н. Математическое моделирование планарного перемагничивания низотропной стали // Проблемы нешшейной электротехники: Тез.докл. 2-й Всесоюз. ауч.-техн.конф. Шацк. 1984. 4.1. С.169-171.

5. Ткачев А.Н. Моделирование однонаправленного перемагничивания ферромаг-итных сред // Моделирование 85. Теория, средства, применение: Тез.докл. 2-й Всесоюз. ауч.-техн.конф. Киев.1985.4.1. С.113-115.

6. Ткачев А.П., Воробьев В В. Подобие нелинейных ферромагнитных гистерезис-ых сред // Моделирование электроэнергетических систем: Тез.докл. 9-й Всесоюз.науч,-ехн.конф. Рига. 1987. С.90-91.

7. Ткачев А.Н. Численное моделирование электромагнитных полей в нелинейных ннзотропных ферромагнитных средах // 1 Всесоюз.конф. по теор. электротехнике: 'ез.докл. и сообщений. Ташкент. 1987. С.105-106.

8. Ткачев А.Н. Численное моделирование динамического перемагничивания элек-ротехнической стали методом интегральных уравнений И Интегральные уравнения в рикладном моделировании: Тез.докл. 3-й респ.науч.-техн.конф. Киев. 1989. 4.1. С.167-68.

9. Сафонов JI.A, Ткачев А.Н. Моделирование динамики наземного транспортного редства с магнитным подвесом //Математическое моделирование в энергетике: Тез. ;окл. всесоюз. науч.-техн.конф. Киев. 1990. Ч. С.81-82.

10. Ткачев А.Н. Численный анализ распределения поля в окрестности узловой зо-ы магнитной системы трансформатора // Математическое моделирование в энергетике : 'ез.докл. Всесоюз.науч.-техн.конф. Киев. 1990. 4.4. С. 131-132.

11. Анализ динамики тягово- левитационного модуля при ступенчатых возмуще-иях путевой структуры / Сафонов Л.А., Ткачев А.Н., Талья И.И., Родионов A.C. // Гзв.вузов. Электромеханика. 1990. №6. С.67-75.

12. Ткачев А.Н., Янов В.П. Математическая модель гиристорного преобразователя астоты и числа фаз асинхронного привода электровоза // Электровозостроение: Сб. ца-■ч. тр. / ОАО "Всерос. н.-и. и проектно-конструкт. ин-т электровозостроения". Новочер-:асск, 1995. Т.35. С.66-76.

13. Ткачев А.Н. Лобова Г.В., Янов В.П. Динамические уравнения магнитного поля I пакете пластин электромеханической стали /7 Электровозостроение: Сб.науч. тр. /' ОАО Всерос. н.-и. и проектно-конструкт. ин-т электровозостроения". Новочеркасск, 1996. \36. С. 188-200.

14. Клименко ВВ., Ткачев А.Н. Применение комплексного метода граничных лементов для расчета плоскопараллельного магнитного поля в многосвязных областях ' Изв.вузов. Электромеханика. 1995. №5-6. С.9-17.

15. Ткачев А.Н., Гудков Д.О. Применение методов переменных состояния для

анализа цепей с полупроводниковыми приборами и электромеханическими преобразованиями// Теория цепей и сигналов: Тез.докл. Всерос. науч.-техн.конф. Таганрог. 1996 С.82.

16. Клименко В.В., Ткачев А.Н., Янов В.П. Расчет индуктивности асинхронногс тягового двигателя комплексным методом граничных элементов // Электромеханически системы и преобразователи: Мсжвуз. сб. науч. тр.. Ростов. 1997. 4.1. С.59-67.

17. Ткачев А.Н. Применение квазиконфорных отображений для расчета плоскомеридианных магнитных полей // Математическое моделирование и компьютерные тех нологии: Тез.докл. Всерос. симпозиума. Кисловодск. 1997. С.47-49.

18. Поляков М.В., Ткачев А.Н., Янов В.П. Расчет магнитного поля и потерь в маг нитных системах электрических машин операторными методами// Состояние и перепек тивы развития электроподвижного состава : Тез.докл. II Междунар. конф. Новочеркасск 1997. С. 192-193.

19. Лобова Т.В., Ткачев А Н., Лобов Б.Н., Сидельников Н.П. Учет вихревых tokoi при моделировании переходных режимов paooibi трансформаторного электрооборудо вания // Состояние и перспективы развития электроподвижного состава : Тез.докл. I Междунар. конф. Новочеркасск. 1997. С. 109-110.

20. Ткачев А Н Моделирование планарного перемагничивания анизотропно» электромеханической стали методом сжимающих отображений // Вопросы математики i математического моделирования перспективных технологий, материалов, процессов i систем: Сб. науч. тр. / Новочёрк. гос. техн. ун-т. Новочеркасск. 1997. С.34-39.

21. Бахвалов Ю.А., Ткачев А.Н. Синтез схемы замещения ненасыщенного ферро магнитного тела ¡1 Вопросы математики и математического моделирования перспектив ных технологий, материалов, процессов и систем: Сб. науч. тр./Новочерк. гос. техн. ун-т Новочеркасск. 1997. С.31-34.

22. Клименко В В., Ткачев А.Н- Решение задач электростатики в многосвязньс кусочно-однородных областях комплексным методом граничных элементов // Изв.вузов Электромеханика. 1997. №3. С.3-10.

23. Ткачев А.Н. Характеристики электротехнической стали в режимах планарпоп перемагничивания // Изв.вузов. Северо-Кавказский регион. Сер. Технические науки 1997. №2. С.14-18.

24. Ткачев А.Н. Уравнения магнитного поля в шихтованном пакете анизотропны стальных пластин // Изв.вузов. Северо-Кавказский регион. Сер. Технические науки 1997. №3. С. 15-21

25. Клименко В.В., Ткачев А.Н., Янов В.П. Расчет параметров магнитной схем? замещения асинхронного тягового двигателя // Электровозостроение: Сб. науч. тр. /ОА( "Всерос.н.-и. и проектно-конструкт. ин-т электровозостроения". Новочеркасск, 199" Т.38. С.98-105.

26. Ткачев А.Н., Сафаров С.Ф., Янов В.П. Применение комбинированных элемен тов для расчета магнитного поля в неограниченных областях /7 Электровозостроение Сб. науч. тр. / ОАО "Всерос. н.-и. и просктно-конструкт, ин-т электровозостроения'' Новочеркасск, 1997. Т.38. С.249-265.

27. Ткачев А Н., Сафаров С.Ф. моделироватше статического гистерезиса в одно направленном магнитном поле // Изв.вузов. Электромеханика. 1997. №4-5. С.3-9.

28 Ткачев А.Н., Поляков М.В. Моделирование поверхностного эффекта в мае сивных ферромагнитных телах // Изв.вузов. Электромеханика. 1998. №1. С.3-11.

29. Ткачев А.Н., Гудков Д.О. Моделирование переходных и установившихся провесов в электрических цепях с нелинейными индуктивными элементами методом пере-[енных состояния // Изв.вузов. Электромеханика. 1997. №2. С.3-8

30. Ткачев А.Н. Комбинированный метод расчета магнитного поля в кусочно-днородных средах: Сб.статей и кратких науч.сообщений сотрудников и аспирантов 1ГТУ по материалам юбилейной науч.сессии, посвященной 100-летию истории универ-итета. Новочеркасск. 1997. С. 130-136.

31. Ткачев А.П., Шульгинов С.А. Комбинированный метод моделирования плос-юмеридианного поля в кусочно-однородных ферромагнитных средах // Математическое юделирование и компьютерные технологии: Тез. докл. 2-го Всерос. симпозиума. Ки-•ловодск. 1998. С.63-64

32. Ткачев А.Н., Кацупеев Н.И., Клименко В.В. Комбинированный метод анализа тагнитного поля тяювого двигателя электровоза // Состояние и перспективы развития гокомотивостроения: Тез. докл. междунар. конф. Новочеркасск. 1994. С. 135.

33. Ткачев А.Н., Гудков Д.О., Янов В.П. Синтез схем замещения анизотропного [¡ерромагнитного тела с нелинейными характеристиками // Электровозостроение: Сб. 1ауч. тр. / ОАО "Всерос. н.-и. и проектно - конструкт, ин-т электровозостроения". Ново-[еркасск, 1998. Т. 39. С. 133-143.

34. Ткачев А Н., Щербаков В.Г. Вариационный метод расчета магнитного поля в ¡елинейных анизотропных ферромагнитных средах // Электротехшжа. 1998. №7. С.60->5.

Подписано в печать Объем Л. с? п л.

Печать оперативная. Тираже «о Заказ //Х/С^

Новочеркасский государственный технический университет Типография НГТУ

А-Дрес ун-та !; тнпОГр^Ф""'

346409, Новочеркасск, ул. Просвещения, 132



" " Л » '

Новочеркасекий гееударствениьш технический университет

Президиум ВАК Россе::-. |

.. Щ„ Г\Х а а Ъ ¡1 на правах рукописи

(решение от 2 1." V) 19Ч3 Щ Ъо

присудил уч у . • ' УДК 621.318.124/.4.001.573

__................... ,,, л :

Ткачев Александр Николаевич

Комбинированные методы моделирования квазистационарного электромагнитного поля в нелинейных анизотропных ферромагнитных

средах

05.09.05 Теоретическая электротехника

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант доктор технических наук, профессор Бахвалов Ю.А.

Новочеркасск 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................... 5

1 МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЕРЕ-МАГНИЧИВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ СРЕД.... 21

1.1 Экспериментальное исследование одноосного квазистатического пла-нарного перемагничивания анизотропной стали............................................ 22

1.1.1 Методика эксперимента........................................................................... 22

1.1.2 Результаты моделирования...................................................................... 27

1.2 Экспериментальное исследование одноосного динамического перемагничивания анизотропной стали........................................................................ 36

1.2.1 Методика эксперимента........................................................................... 36

1.2.2 Результаты экспериментального моделирования................................... 38

1.3 Экспериментальное моделирования двухмерного планарного перемагничивания.......................................................................................................... 47

1.3.1 Методика эксперимента........................................................................... 47

1.3.2 Результаты моделирования...................................................................... 53

1.4 Измерительный комплекс для неразрушающего контроля магнитных характеристик анизотропной стали................................................................. 58

1.4.1 Характеристика проблемы неразрушающего контроля магнитных свойств электротехнической стали.................................................................. 58

1.4.2 Техническая характеристика комплекса и принцип его работы........... 60

1.4.3 Работа комплекса в режиме «настройка»............................................... 65

1.4.4 Экспериментальная оценка погрешностей и выбор конструктивных параметров комплекса...................................................................................... 66

1.4.5 Работа комплекса в рабочем режиме...................................................... 67

1.5 Выводы........................................................................................................ 70

2. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЯ ФЕРРОМАГНИТНЫХ СРЕД....................................................................... 72

2.1 Безгистерезисный консервативный материальный оператор и его свойства .................................................................................................................... 73

2.2 Консервативные материальные операторы в анизотропных ферромагнитных средах.................................................................................................. 88

2.3 Моделирование квазистатического перемагничивания шихтованного пакета анизотропных стальных пластин......................................................... 110

2.4 Моделирование магнитного гистерезиса в режиме квазистатистического однонаправленного перемагничивания анизотропных сред...................... 120

2.5 Моделирование квазистатического планарного перемагничивания изотропного ферромагнетика................................................................................ 136

2.6 Моделирование квазистатического планарного перемагничивания анизотропной электротехнической стали.............................................................. 152

2.7 Подобие нелинейных ферромагнитных гистерезисных сред................... 173

2.8 Выводы........................................................................................................ 177

3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ СРЕД 179

3.1 Формулировка задачи моделирования планарного перемагничивания анизотропной стали.......................................................................................... 180

3.2 Исследование проблемы существования и единственности решения .... 187

3.3 Численное моделирование планарного перемагничивания анизотропной стали........................................................................................................... 195

3.4 Моделирование однонаправленного перемагничивания массивных ферромагнитных тел........................................................................................ 210

3.5 Динамические уравнения планарного перемагничивания пакета анизотропных стальных пластин.............................................................................. 229

3.6 Выводы........................................................................................................ 251

4 КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДВУХМЕРНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ СРЕДАХ................................ 254

4.1 Вариационный метод расчета поля в кусочно-однородных нелинейных анизотропных ферромагнитных средах........................................................... 255

4.2 Вариационная формулировка комбинированных методов расчета плоскопараллельного магнитного поля................................................................... 269

4.3 Применение комбинированных элементов для расчета поля в неограниченных областях........................................................................................... 277

4.4 Комбинированный метод конечных элементов и конформных отображений ................................................................................................................ 287

4.5 Расчет магнитного поля в кусочно-однородных многосвязных областях комплексным методом граничных элементов................................................. 300

4.5.1 Применение комплексного метода граничных элементов для расчета

поля электротехнических устройств с ненасыщенными магнитными системами............................................................................................................... 302

4.5.2 Комбинированный метод конечных и комплексных граничных элементов............................................................................<................................... 315

4.5.3 Применение комплексного метода граничных элементов и метода линеаризации для расчета магнитного поля в кусочно - однородных нелинейных и анизотропных средах....................................................................... 318

4.6 Комбинированные методы расчета плоскомеридианного магнитного поля.................................................................................................................... 328

4.6.1 Метод квазиконформных отображений и его применение для расчета электротехнических устройств с ненасыщенными магнитными системами. 331

4.6.2 Комбинированный метод расчета плоскомеридианных магнитных полей.................................................................................................................. 349

4.7 Выводы........................................................................................................ 364

5. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ

ТЕЛ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ................................................................................................ 366

5.1 Функция состояния анизотропного ферромагнитного тела..................... 366

5.2 Синтез схемы замещения ферромагнитных тел по функции состояния магнитной цепи................................................................................................. 381

5.3 Вариационный метод синтеза схемы замещения ферромагнитных тел.. 409

5.4 Уравнения состояния электрической и магнитной цепей ....................... 420

5.5 Исследование динамики тягово-левитационного модуля с магнитным подвесом............................................................................................................ 436

5.6 Исследование пространственно - временного распределения потоков в многорамных магнитопроводах силовых трансформаторов.......................... 449

5.7 Выводы........................................................................................................ 456

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................. 458

ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................. 463

ПРИЛОЖЕНИЕ А............................................................................................. 481

ПРИЛОЖЕНИЕ Б............................................................................................. 486

ПРИЛОЖЕНИЕ В............................................................................................. 489

ВВЕДЕНИЕ

При создании высоконадежных электротехнических устройств с улучшенными технико-экономическими показателями возникает необходимость исследования большого числа вариантов их конструкций с целью выбора оптимальной, обеспечивающей необходимые рабочие характеристики и имеющей пониженные потери, вес, габариты и т.д. В условиях рыночной экономики выдвигаются повышенные требования к качеству выпускаемого электрооборудования, что приводит к жесткой конкуренции не только на рынке товаров, но и на рынке программных средств, алгоритмов и методов, предназначенных для расчета и проектирования электроэнергетических устройств. В качестве основных критериев, обеспечивающих высокую конкурентоспособность, здесь выступают универсальность, быстродействие, удобный интерфейс, функциональные возможности, точность описания объекта, возможность учета наибольшего числа явлений, характеризующих его работу, способность выполнения оптимизационных расчетов и т.д. В этих условиях роль теоретических исследований, связанных с расчетом электромагнитного поля в электроэнергетических системах, значительно возрастает. Только на базе глубоких теоретических разработок при расчете удается учитывать полный спектр явлений, оказывающих влияние на работу всего устройства в целом, находить скрытые резервы улучшения характеристик.

Научные основы отечественной школы теоретической электротехники в области расчета электромагнитных полей значительно продвинуты благодаря фундаментальным исследованиям, заложенным в работах В.М.Алехина, В.В.Апсита, В.И.Астахова, Ю.А.Бахвалова, О.Б.Брона, А.М.Бертинова, В.А.Веникова, Г.А.Гринберга, К.С.Демирчяна, Я.Б.Данилевича, В.В.Домбровского, Ю.П.Емца, Е.П.Жидкова, А.В.Иванова-Смоленского, Ю.Я.Иосселя, Э.В. Колесникова, А.И.Князя, А.Н.Кравченко, П.А.Курбатова, И.Ф.Кузнецова, П.А.Кухаркина, А.Н.Миляха, Э.А.Мееровича, Л.Р.Неймана, Л.П.Нижника, А.В.Нетушила, К.М.Поливанова, Е.И.Петрушенко, И.М.Постникова, О.В.Тозони, С.Т.Толмачева,

A.А.Терзяна, Н.Н.Тиходеева, Б.Б.Тимофеева, Л.А.Цейтлина, Р.В.Фильца,

B.Л.Чечурина, В.М.Юринова и других ученых. Тем не менее в настоящее время сохраняется необходимость дальнейшего совершенствования математических мо-

делей электротехнических процессов в направлении снятия «классических» ограничений и расширения допущений, наиболее часто используемых при решении полевых задач и не позволяющих добиться требуемой точности. Кроме этого, в связи со сложностью исследуемых электротехнических систем следует продолжить разработку наиболее экономных методов анализа поля, обеспечивающих снижение размерности численных дискретных моделей.

Многие электротехнические устройства (силовые трансформаторы, электрические машины, магнитные усилители, трансформаторы тока, дроссели и т.д.) содержат шихтованные магнитопроводы, которые набираются из пластин анизотропной электротехнической стали. При работе этих устройств значительная часть энергии рассеивается в их магнитных системах. По имеющимся оценкам [1] в маг-нитопроводах электрических машин и аппаратов теряется более 6% всей производимой в стране энергии. Потери в стали в силовых трансформаторах мощностью 16000-40000 кВт, расчитанных на напряжения 110-500 кВ составляют в среднем 26.5% суммарных потерь. Ясно, что уменьшения потерь можно добиться за счет улучшения характеристик используемой стали. Другой возможный путь - совершенствование конструкций магнитопроводов электротехнических устройств в результате оптимизационных расчетов на базе математических моделей, с высокой точностью описывающих наблюдаемые в них электромагнитные процессы.

Целью данной работы является создание математических моделей минимальной размерности, предназначенных для анализа пространственно-временного распределения квазистационарного электромагнитного поля в электроэнергетических устройствах, содержащих магнитные системы, изготовленные из анизотропной электротехнической стали, с нелинейными магнитными характеристиками. Одной из особенностей данных моделей является возможность нахождения интегральных характеристик поля и всего устройства в целом, и поэтому они должны служить эффективным инструментом для проведения проектно-конструкторских и поверочных расчетов широкого круга электротехнических устройств. В качестве примеров, иллюстрирующих применение указанного инструментария при решении конкретных технических проблем, в работе рассматриваются задачи расчета электротехнических устройств различного назначения (электрических машин, транс-

форматоров и т.д.), результаты решения которых могут быть использованы для дальнейшего усовершенствования их конструкций.

Анализ состояния вопроса показывает, что в магнитопроводах реальных электротехнических устройств, изготовленных из листовой анизотропной стали, даже при общих синусоидальных питающих напряжениях часто возникают сложные режимы локального перемагничивания, при которых индукция оказывается несинусоидальной. Такая ситуация наблюдается, например, в многорамных магни-топроводах силовых трансформаторов [2-6]. Проведенные исследования [2] позволяют утверждать, что несинусоидальность индукции является одной из причин увеличения потерь. Анализ распределения поля в магнитных системах трехфазных трансформаторов и электрических машин [7-15] показывает, что в их отдельных частях имеют место наиболее сложные режимы пространственного перемагничивания стали, при которых векторы индукции и напряженности меняются не только по величине и по направлению. В результате распределение поля и потерь по объему магнитных систем оказывается существенно неоднородным и, например, в зоне Т-соединения трехфазного трансформатора потери в 2.4 раза превышают средние потери в стержнях [11].

Наличие сложных режимов пространственного перемагничивания, наблюдаемых в магнитопроводах электротехнических устройств, приводит к необходимости использования при их расчете моделей материальных операторов, позволяющих учесть основные свойства анизотропной электротехнической стали. В условиях медленно протекающего во времени (квазистатического) перемагничивания материальный оператор должен правильно описывать нелинейность, анизотропию и векторный гистерезис. При динамическом перемагничивании ферромагнетика, в том числе с промышленной частотой 50 Гц, на характеристики стали существенное влияние оказывают вихревые токи и магнитная вязкость, которые должны учитываться этим оператором.

Любые модели материальных уравнений, описывающих свойства ферромагнитных сред, строятся на основе экспериментальных характеристиках стали. Необходимо также располагать набором экспериментальных данных, обеспечивающих возможность проверки математических моделей. Анализ литературы показывает, что к настоящему времени экспериментально, в полном объеме исследованы толь-

ко режимы однонаправленного перемагничивания горячекатанных и холоднока-танных сталей в случае, когда векторы индукции и напряженности остаются параллельными фиксированной оси в пространстве. Описанные в работах [16-21] методики дают возможность измерения потерь, петель гистерезиса, основных кривых намагничивания в квазистатическом или периодическом режимах перемагничивания в случае синусоидальнго изменения магнитного потока в образцах. Результаты таких исследований можно найти, например, в [22-24].

В литературе [25,26] приводятся некоторые результаты экспериментальных исследований более сложных режимов перемагничивания анизотропной стали. Выполнена оценка влияния на потери и основные кривые намагничивания направления вектора индукции в условиях одноосного перемагничивания, когда данный вектор сохраняет постоянную ориентацию, оставаясь параллельным фиксированной оси в пространстве. Такое перемагничивание является пространственным, так как вектор напряженности из-за анизотропии меняет свое направление, отклоняясь от оси намагничивания. Однако в работах [25-26] проводилось измерение только одной составляющей напряженности на ось намагничивания, что не позволяет в полном объеме оценить характеристики стали в исследуемых режимах.

В работах [27-31] исследовалось влияние на потери подмагничивающего постоянного поля, ориентация которого совпадает с направлением основного переменного поля. Показано, что подмагничивание приводит к увеличению потерь в стали, однако такая тенденция с увеличением амплитуды переменной составляющей проявляется менее заметно. Отсюда делается вывод, что увеличение потерь при постоянном подмагничивании, в основном, связано с ростом потерь на гистерезис.

В статье [32] проведено исследование однонаправленного перемагничивания стали при одновременном наложении двух потоков разной частоты. Показано, что потери в стали существенно зависят от гармонического состава индукции и сдвига фаз между отдельными гармониками. Установлено, что потери на вихревые токи больше в случае, когда первая и третья гармоники совпадают по фазе чем в ситуации, когда они находятся в противофазе. В работах [33-36] проведено экспериментальное исследование потерь в условиях периодического перемагничивания стали с произвольным спектральным составом потока в листе. Выяснено, что при фикси-

рованном ма�