автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Численное моделирование двумерных квазистационарных электромагнитных полей в электромагнитных и магнитоэлектрических системах комбинированным методом конечных и граничных элементов

Введение.

1. Современное состояние проблемы численного моделирования электромагнитных полей.И

1.1. Описание проблем в рассматриваемых классах электромагнитных, магнитоэлектрических и мехатронных систем.

1.2. Анализ существующих численных методов расчета электромагнитных полей.

1.3. Разработка и развитие программных продуктов по анализу магнитных полей.

Выводы по главе.

2. Вычислительный алгоритм расчета плоскопараллельного квазистационарного электромагнитного поля комбинированным методом конечных и граничных элементов.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Математическая модель на основе системы уравнений Максвелла.

2.3. Выбор метода.

2.4. Формулировка задачи во внутренних нелинейных областях методом Галеркина.

2.5. Дискретная модель на основе метода конечных элементов.

2.6. Формулировка задачи во внешней линейной области.

2.7. Дискретная модель на основе метода граничных элементов.

2.8. Выбор способа реализации алгоритма нахождения плоскопараллельного магнитного поля комбинированным методом конечных и граничных элементов.

2.9. Описание алгоритма, составленного на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов.

2.10.Вычисление силовых характеристик магнитного поля.

2.11.Оценка сходимости комбинированного метода в задаче расчета стационарного магнитного поля.

2.12.Результаты расчетов стационарного поля и силовых характеристик асинхронного тягово-подъемного модуля.

Выводы по главе.

3. Решение нелинейной задачи расчета плоскопараллельного квазистационарного электромагнитного поля комбинированным методом в магнитоэлектрических системах.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Математическая модель электромагнитного поля на основе системы уравнений Максвелла.

3.3. Формулировка задачи в нелинейных магнитомягких ферромагнетиках и постоянных магнитах.

3.4. Дискретная модель на основе метода конечных элементов.

3.5. Формулировка задачи вне нелинейных областей и ее дискретная модель на основе метода граничных элементов.

3.6. Вычисление нормальных производных потенциала на границе

3.7. Алгоритм на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов для вычисления магнитного поля в магнитоэлектрических системах.

3.8. Нахождение начального приближения намагниченности в прямоугольном постоянном магните магнитоэлектрической системы.

Выводы по главе.

4. Алгоритмы расчета квазистационарного осесимметричного электромагнитного поля комбинированным методом.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Математическая модель плоскомеридианного поля в системах с вихревыми токами.

4.3. Формулировка задачи в нелинейных ферромагнитных областях и дискретная модель на основе метода конечных элементов.

4.4. Формулировка задачи во внешней линейной области и дискретная модель на основе метода граничных элементов.

4.5. Теорема о зависимости аппроксимации решения в комбинированном методе от количества граничных узлов.

4.6. Использование граничных условий.

4.7. Вычисление силовых характеристик поля в осесимметричной задаче.

4.8. Алгоритмы решения осесимметричной задачи на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов.

4.9. Программный комплекс, реализующий КМКГЭ.

4.10.Результаты расчетов.

4.11 .Обобщение алгоритмов расчета плоскомеридианного поля на случай плоскопараллельного поля.

Выводы по главе.

Актуальность темы. При проектировании электротехнических устройств приходится перебирать большое количество вариантов для выбора наилучшей конструкции, что, как правило, удается с большими временными, материальными и энергетическими затратами. Поэтому актуальным является построение математических моделей, адекватно отражающих процессы в рассматриваемых устройствах, а также создание на их основе вычислительных алгоритмов и программных комплексов, заметно ускоряющих и удешевляющих процесс проектирования.

Получение силовых характеристик электромагнитных и магнитоэлектрических систем требует знаний о распределении магнитного поля в проектируемом устройстве. Наиболее распространенными численными методами для моделирования магнитного поля являются методы конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов. Все эти методы по отдельности имеют недостатки, особенно ярко проявляющиеся при использовании устройств со сложной конфигурацией, перемещением частей устройства относительно друг друга, с ферромагнитными средами (нелинейность, вихревые токи), неограниченным в пространстве магнитным полем. В связи с этим возникает необходимость в применении более универсального комбинированного метода конечных и граничных элементов (КМКГЭ), сочетающего достоинства составляющих его методов и свободного от их недостатков.

КМКГЭ имеет следующие преимущества: сокращается размерность дискретной модели задачи; при перемещении ферромагнетика не требуется перестраивать сетку; существенно упрощаются расчеты полей «открытых» электромагнитных систем; имеется возможность параллельного выполнения этапов алгоритма. В известных модификациях КМКГЭ в общем случае вычисляются обратные матрицы, что приводит к большим затратам машинного времени. Отсюда вытекает необходимость разработки вычислительных алгоритмов на основе КМКГЭ, которые более полно учитывают достоинства метода.

Важное значение также имеет разработка прикладного программного обеспечения, реализующего расчет магнитного поля и силовых характеристик для возможно более широкого круга задач и устройств. Снижение размерности решаемых систем алгебраических уравнений в таких программах ведет к уменьшению вычислений и затрат памяти ЭВМ, к увеличению уровня сложности обрабатываемых устройств и к расширению парка компьютеров, на которых можно решать такие задачи. В ЭВМ программа должна также обеспечивать удобство использования, быстродействие, просмотр данных и результатов, простоту переключения режимов работы программы, возможность изменения геометрии области и других исходных данных в диалоговом режиме, привычность и унификацию пользовательского интерфейса в стиле приложений Windows, наглядный контроль за разбиением расчетной области и ходом выполнения программы.

Диссертационная работа посвящена построению вычислительных алгоритмов расчета магнитного поля комбинированным методом и разработке на их основе программных комплексов для решения на ЭВМ ряда задач электротехники. Такие программы позволяют в значительной степени заменить физические эксперименты на численное моделирование и, в итоге, сократить сроки, повысить качество проектирования новых устройств. Использование метода дает возможность сократить размерность дискретной модели на 2-3 порядка.

Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института) «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы», утвержденного ученым советом университета 25.01.1995 г. и 25.04.2001 г., и соответствует приоритетному направлению развития новых технологий «Компьютерное моделирование».

Цель и задачи исследования. Целью работы является создание комплексов программ для моделирования двумерных квазистационарных электромагнитных полей, обеспечивающих сокращение размерности дискретной модели и стоимости проектирования электротехнических устройств, с учетом нелинейности магнитных характеристик и вихревых токов.

Для достижения этой цели решаются следующие основные задачи:

- разработка эффективных вычислительных алгоритмов расчета двумерного квазистационарного магнитного поля на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов;

- исследование предложенных алгоритмов на сходимость, корректность, возможность уменьшения размерности дискретной модели;

- построение математической модели, описывающей распределение плоскопараллельного магнитного поля в магнитоэлектрических системах с постоянными магнитами, имеющими нелинейные характеристики;

- численная реализация комбинированной математической модели плоскомеридианного электромагнитного поля на основе функции магнитного потока и скалярного магнитного потенциала;

- разработка комплексов программ, реализующих анализ поля и сил комбинированным методом конечных и граничных элементов с возможностью задания исходных данных в диалоговом режиме;

- проведение компьютерного моделирования плоскопараллельных и плоскомеридианных полей для расчета силовых взаимодействий в выбранном классе электротехнических задач с учетом нелинейности магнитных характеристик и вихревых токов.

Методы исследования. Для решения сформулированных задач использовались: методы линейной алгебры, математического анализа и математической физики, численные методы решения систем алгебраических уравнений, численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.

При расчете электромагнитных полей применяется комбинированный метод конечных и граничных элементов, основанный на синтезе метода конечных элементов и метода граничных элементов. Метод конечных элементов базируется на методе Галеркина, аппарате вариационного исчисления и функционального анализа. В методе граничных элементов используются метод интегральных уравнений и метод коллокации.

Для решения систем алгебраических уравнений использовалась комбинация метода Гаусса и метода нижней релаксации. Аппроксимация производной по времени осуществляется методом конечных разностей.

Достоверность полученных результатов. Достоверность научных положений, сформулированных в диссертации, обеспечивается: согласованием результатов расчета с экспериментальными данными, сравнением с результатами тестирования в известных программных комплексах FEMM и Maxwell 2D Field Simulator.

Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Комбинированная математическая модель плоскопараллельного магнитного поля в магнитоэлектрических системах.

2. Вычислительные алгоритмы расчета двумерных квазистационарных магнитных полей комбинированным методом конечных и граничных элементов.

3. Теорема о зависимости аппроксимации решения в комбинированном методе от количества граничных узлов области (о существовании и единственности решения только при нечетном количестве граничных узлов).

4. Новые формулы и шаблоны для аппроксимации функций на границе вблизи угловых точек.

5. Принципы формирования и автоматической генерации сетки в комбинированном методе конечных и граничных элементов.

Научная новизна. Новизна научных результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем.

1. Построена математическая модель плоскопараллельного магнитного поля в магнитоэлектрических системах, позволяющая учитывать нелинейность характеристик постоянных магнитов, а также предложена двухэтапная методика расчета поля на основе этой модели.

2. Разработаны итерационные алгоритмы расчета плоскопараллельного и плоскомеридианного магнитного поля на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов, позволяющие снизить размерность дискретной модели на 2-3 порядка, исключить громоздкую процедуру нахождения обратной матрицы, а также учесть нелинейные характеристики ферромагнетиков и вихревые токи.

3. Сформулирована и доказана теорема о зависимости аппроксимации решения в комбинированном методе от количества граничных узлов области, из которой следуют рекомендации по дискретизации границ раздела сред.

4. Получены новые шаблоны аппроксимации касательной производной на границе вблизи угловых точек при любом наклоне границ и неравномерной сетке, позволяющие повысить точность расчета магнитного поля.

5. Сформулированы принципы формирования и автоматической генерации узлов сетки и обмотки, конечных и граничных элементов в комбинированном методе, применение которых ведет к возможности расчета широкого круга электротехнических устройств в программном комплексе.

Практическая ценность работы заключается в создании программных комплексов для расчета плоскопараллельного и осесимметричного магнитного поля в кусочно-однородных нелинейных средах по более эффективному и универсальному алгоритму по сравнению с существующими. Пакеты программ, созданные на базе построенных алгоритмов, используются в ООО «БВН Инже-ниринг», в Техническом Университете Ильменау (Германия), в учебном процессе на кафедрах «Прикладная математика» и «Электрические и электронные аппараты» Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на 2-м Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 1998 г.); на Международной научно-технической конференции «Новые технологии управления движением технических объектов» (г. Новочеркасск, 1999 г.); на Международной польскогерманской конференции «Продукция мехатроники» (г. Краков, Польша, 2000 г.); на 47-м Международном научном коллоквиуме Технического университета Ильменау «Мехатронные нанотехнологии» (г. Ильменау, Германия, 2002 г.); на 3-й Международной научно-практической конференции «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» (г. Новочеркасск, 2002 г.); на семинарах кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ (г. Новочеркасск).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации состоит из 187 страниц, включая 41 рисунок и 2 таблицы. Список литературы включает 146 наименований использованных источников.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Проведен анализ существующих теоретических и программных разработок в сфере численного моделирования электромагнитных полей и установлено, что существующие методы расчета могут быть эффективными только в узком классе задач и не всегда обеспечивают выбор наилучшего способа дискретизации.

2. Построены комбинированные математические модели и дискретные модели с помощью методов конечных и граничных элементов для численного расчета плоскопараллельных и плоскомеридианных квазистационарных электромагнитных полей в электромагнитных и магнитоэлектрических системах.

3. Составлены алгоритмы решения двумерных полевых задач на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов, использующего во внутренних нелинейных областях метод конечных элементов, а во внешней линейной области — метод граничных элементов.

4. Подробно исследованы способы реализации комбинированного метода конечных и граничных элементов; сделана оценка их корректности, сходимости, результативности; для различных типов задач выбраны оптимальные варианты комбинированного метода.

5. Предложены модификации комбинированного метода конечных и граничных элементов и дискретные модели для расчета квазистационарного плоскопараллельного поля с нелинейными характеристиками сред и присутствием постоянных магнитов; для расчета стационарного поля с нелинейными характеристиками сред и квазистационарного поля с вихревыми токами в осесимметричной задаче.

6. Разработана двухэтапная методика расчета характеристик магнитного поля и сил в магнитоэлектрических системах, предполагающая на первом этапе нахождение начального значения намагниченности в постоянных магнитах.

7. Поставлена и решена численными методами осесимметричная краевая задача относительно функции магнитного потока во внутренних областях и скалярного магнитного потенциала во внешней области.

8. Получены расчетные формулы для вычисления производной по касательной в окрестности угловых точек при решении комбинированным методом конечных и граничных элементов и для связи предельных значений декартовых компонент индукции на наклонной границе.

9. Сформулирована и доказана теорема о зависимости аппроксимации решения в комбинированном методе от разбиения границы тела, через которое не проходит ось симметрии; показаны существование и единственность решения в этом случае для нечетного количества граничных узлов и некорректность дискретной системы уравнений при четном числе узлов.

10. Разработаны комплексы программ для анализа магнитного поля и силовых взаимодействий комбинированным методом конечных и граничных элементов с помощью программных сред Turbo Pascal, Borland Delphi, Mathcad.

11. Определены основные принципы автоматического генерирования сетки при решении задачи комбинированным методом конечных и граничных элементов, которые реализованы в программном комплексе; описаны основные элементы интерфейса в программном комплексе.

12. Получены расчетные данные, свидетельствующие о близком совпадении результатов расчета с экспериментом и другими методами, а также подтверждающие снижение размерности дискретной модели задачи в комбинированном методе конечных и граничных элементов по сравнению с методом конечных элементов.

1. Энергия для завтрашнего мира // Теплоэнергетика, 1995, № 9, с. 13-15.

2. Никитенко Ю.А., Бахвалов Ю.А., Горбатенко Н.И., Никитенко А.Г. Электромагнитные механизмы. Анализ и синтез / Под ред. А.Г. Никитенко. М.: Высш. шк., 1998. 330 с.

3. Бахвалов Ю.А., Бочаров В.И., Винокуров В.А., Нагорский В.Д. Транспорт с магнитным подвесом / Под ред. В.И. Бочарова, В.Д. Нагорского. М.: Машиностроение, 1991. 320 с.

4. Бочаров В.И., Бахвалов Ю.А., Талья И.И. Основы проектирования электроподвижного состава с магнитным подвесом и линейным тяговым электроприводом. Ростов н/Д.: Изд-во Рост. гос. ун-та, 1992. 430 с.

5. Никитенко А.Г., Палий В.Я., Лобов Б.Н. Оптимизация параметров электромагнитов подвеса//Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1978, № 12, с. 1306-1310.

6. Никитенко А.Г., Бахвалов Ю.А., Гринченков В.П. Сравнение методов расчета электромагнитов систем магнитного подвеса ВСНТ // Высокоскоростной наземный транспорт: Сб. статей / НПИ, Новочеркасск, 1974, с. 84-90.

7. Астахов В.И. Математическое моделирование инженерных задач в электротехнике: Учеб. пособие / НГТУ, Новочеркасск, 1994. 192 с.

8. Гордон А.В., Сливинская А.Г. Электромагниты постоянного тока. М.: Госэнергоиздат, 1960. 447 с.

9. Сахаров П.В. Проектирование электрических аппаратов. М.: Энергия, 1971.560 с.

10. Kallenbach Е. Der Gleichstrommagnet. Academische Verlagsgesell-schaft, Leipzig, 1969. 258 с.

11. Селюк C.C. Электромагнитный расчет индукционных тормозных систем с ферромагнитным проводящим рабочим телом / Дисс. на соиск. уч. степ, канд. техн. наук / НГТУ, Новочеркасск, 1996. 120 с.

12. Бондаренко А.И. Моделирование на ЭВМ стационарных магнитных полей линейных индукторных двигателей / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук / НГТУ, Новочеркасск, 1986. 220 с.

13. Клименко В.В. Модифицированный комплексный метод граничных элементов моделирования квазистатических полей в ферромагнитных средах / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук / НГТУ, Новочеркасск, 1998. 200 с.

14. Song Z.M., Xie D.X., Hou C.G. The finite element solution of transient axi-symmetrical nonlinear eddy-current field problems / IEEE Transaction on Magnetics, 1985, vol. 21, №6.

15. Павленко A.B. Разработка методов расчета и оптимизация быстродействующих электромагнитов автоматических выключателей электровозов / Ав-тореф. дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук / Ленингр. политехи, ин-т, Л., 1984. 22 с.

16. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

17. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высш. шк., 1986. 240 с.

18. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с.

19. Бахвалов Ю.А., Бондаренко А.И., Бондаренко И.И. Бесконечные и конечные элементы для расчета осесимметричных электрических и магнитных полей «открытых» систем // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1991, № 6, с. 29-32.

20. Бахвалов Ю.А., Бондаренко А.И. Решение внешних краевых задач при расчете электромагнитных полей методом конечных элементов // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1983, № 10, с. 5-10.

21. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Киев: Техника, 1974. 352 с.

22. Никитенко А.Г., Гринченков В.П., Бахвалов Ю.А. Расчет магнитных полей и интегральных характеристик электромагнитов с незамкнутым магнито-проводом // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1977, № 10, с. 1067-1072.

23. Ткачев А.Н. Комбинированные методы моделирования квазистационарного электромагнитного поля в нелинейных анизотропных ферромагнитных средах / Автореф. дисс. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук / НГТУ, Новочеркасск, 1998. 35 с.

24. Никитенко А.Г., Пеккер И.И. Расчет электромагнитных механизмов на вычислительных машинах. М.: Энергоатомиздат, 1985. 214 с.

25. Подгорный Д.Э. Расчет магнитных полей в магнитопроводах трансформаторов тока И Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1996, № 1-2, с. 24-28.

26. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

27. Bouillaulf F., Razek A. Hybrid numerical methods for mouvement consideration in electromagnetic systems / IEEE Trans. Magn., 1988, vol. 24, № 1, pp. 259261.

28. Bouillaulf F., Razek A. Calcul des courants des Foucalt dans parties massives des systemes electromagnetiques en movement // Rew. Gen. Elec., 1985, № 3, pp. 233-238.

29. Bourais N., Foggia A., Nicolas A., Pascal I.P., Sabonnadiere I. Numerical solution of eddy-currents problems including conducting parts / IEEE Trans. Magn., 1984, vol. 20, № 5., Pt. 2, pp. 1995-1997.

30. Темам P., Томассе Ф. Решение уравнений Навье-Стокса методом конечных элементов / IV конф. выч. мат., М., с. 157-162.

31. Бейкер А.Дж. Алгоритм метода конечных элементов для решения уравнений Навье-Стокса / IV конф. выч. мат., М., с. 163-173.т

32. Albertz D., Dappen S., Henneberger G. Calculation of the induced currents and forces for a hybrid magnetic levitation system. IEEE Trans. Magn., 1997, vol. 33, №2, pp. 1263-1266.

33. Острейко B.H. Расчет магнитного поля с помощью варьируемой координатной структуры // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1988, № 5, с. 9195.

34. Реднов Ф.А., Рожков В.И., Лозицкий О.Е. Расчет электромагнитных сил методом конечных элементов // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1997, № 6, с. 12-14.

35. Чемерис В.Т., Подольцев А.Д. Применение метода интегральных уравнений для расчета неустановившихся электромагнитных полей в движущихся проводящих средах / 1-я всесоюз. конф. по теор. электротехнике. Тез. докл. и сообщ., Секц. 1-2, 1987, с. 180.

36. Тозони О.В. Расчет поля электромагнита, движущегося вдоль ферромагнитной пластины // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1977, № 6, с. 95-109.

37. Тозони О.В., Примин М.А. Аналитический расчет электромагнитных процессов и механических сил в системах подвеса притягивающегося типа // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1983, № 2, с. 1-15.

38. Тозони О.В., Новогренко Н.М., Примин М.А. Расчет и оптимизация систем подвеса с постоянными магнитами // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1984, №11, с. 8-12.

39. Ткачев А.Н., Поляков М.В. Моделирование поверхностного эффекта в массивных ферромагнитных телах // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1998, № 1, с. 5-11.

40. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Интегральные уравнения для расчета трехмерного квазистационарного электромагнитного поля в неоднородных и проводящих средах / Кибернетика и выч. техника, вып. 17. Киев: Наукова думка, 1979. 210 с.

41. Бондаренко И.И. Шестигранный конечный элемент для расчета 3-мерных полей // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1989, № 3, с. 113-115.

42. Кочетков Е.Ю., Варламов Ю.В. Расчет стационарных 3-мерных полей методом конечных элементов на основе скалярного магнитного потенциала // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1991, № 8.

43. Пеккер И.И. Расчет магнитных систем методом интегрирования по источникам поля // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1964, № 10, с. 1047-1051.

44. Ковалев С.В., Никитенко Ю.А., Горбатенко Н.И. Магнитный подвес для линейных XY-приводов // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1997, № 6, с. 12-14.

45. Талья И.И. Электромеханические характеристики асинхронного тягового двигателя при импульсном регулировании напряжения // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1996, № 5-6, с. 3-8.

46. Рожков В.И., Птах Г.К. Математическая модель электромеханических процессов в линейном синхронном двигателе метрополитена // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1996, № 5-6, с. 18-20.

47. Бахвалов Ю.А., Гринченков В.П., Никитенко А.Г., Пахомов В.В., Щербаков В.Г., Калленбах Е. Моделирование магнитных проводимостей воздушных промежутков электромагнитных систем // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1996, №5-6, с. 21-23.

48. Зарифьян А.А. К расчету динамических процессов в экипажной части и тяговом приводе электровозов // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1996, № 5-6, с. 41-45.

49. Талья И.И., Пустоветов М.Ю. Расчет характеристик асинхронного электродвигателя при несинусоидальном напряжении с учетом электрического контакта короткозамкнутой обмотки ротора с магнитопроводом // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1998, № 1, с. 57-59.

50. Колесников Э.В., Колесников В.Э. Опыт применения метода Монте-Карло для расчета магнитного поля в зазоре электрических машин // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1998, № 1, с. 17-20.

51. Коломейцев Л.Ф., Пахомин С.А., Крайнов Д.В., Коломейцев В.Л., Слепков Е.А. Математическая модель для расчета электромагнитных процессов в многофазном управляемом реактивном двигателе // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1998, № 1, с. 49-53.

52. Павленко А.В., Гринченков В.П., Шипулин А.В. Математическое моделирование броневых электромагнитов переменного тока // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1998, № 1, с. 67-70.

53. Астахов В.И., Кирпиченкова Н.В. Влияние ускорения на электромагнитную силу в системах электрической тяги и магнитного подвеса // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1998, № 2-3, с. 3-10.

54. Колесников Э.В., Бурцев Ю.А., Кондратов Е.В. Измерение и расчет комплексной магнитной проницаемости изотропной листовой стали при контактном намагничивании поперечным током // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1998, №2-3, с. 13-18.

55. Гринченков В.П., Ершов Ю.К. Моделирование динамических характеристик электромагнитов, имеющих массивный магнитопровод, с учетом потоков рассеяния // Изв. ВУЗ. Электромеханика, 1997, № 6, с. 28-30.

56. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1994.

57. Дмитриев Д.О., Курбатов П.А. Методы анализа динамических характеристик магнитоэлектрических линейных приводов // Электротехника, 1998, № 1, с. 13-17.

58. Бахвалов Ю.А., Никитенко А.Г., Лобов Б.Н. и др. Численное моделирование магнитного поля и силовых взаимодействий электромагнитного захвата корпусосборочных устройств комбинированным методом // Электротехника, 1997, № 10, с. 37-40.

59. Venkataratham К., Abdul Kadir M.S. Normalized force-speed curves of eddy-current brakes with ferromagnetic loss drums // IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, 1985, vol.104, № 7, pp. 155-159.

60. Ковалев О.Ф. Комбинированные методы моделирования магнитных полей в электромагнитных устройствах. — Ростов н/Д.: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. —220 с.

61. Эркенов Н.Х. Моделирование электромагнитных процессов в МГД устройствах / Автореф. дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. Ин-т электродинамики АН Украины, Киев, 1992. — 18 с.

62. Сипливый Б.Н. Расчет плоскомеридианных электромагнитных полей методом функции Грина. — В кн. «Техника, теория, математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на ОИС СВЧ и КВЧ». Москва, 1992, т. 2, с. 335.

63. Fujiwara К., Nakata Т., Okamoto N., Miramatsu К. Method for determining relaxation factor for modified Newton-Raphson method // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1962-1966.

64. Fukumoto H., Kameoka Y., Yoshioka K., Takizawa Т., Kobayashi T. Application of 3D eddy current analysis of magnetically levitated vehicles // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1878-1882.

65. Dughiero F., Guarnieri M., Lupi S. An optimization procedure for electromagnetic confinement and levitation systems // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1758-1762.

66. Wu R.-B., Tsu Z.-T. Full wave iterative variational formulation for multiple coupled microstrip lines // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1660-1664.

67. Mayergoyz I.D., Bedrosian G. Iterative solution of 3-D eddy current problems // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 6, pp. 2335-2341.

68. Satsios K.J., Labridus P., Dokopoulos P.S. Fuzzy logic for scaling finite element solution of electromagnetic fields // IEEE Trans. Magn., 1997, vol. 33, № 3, pp. 2299-2309.

69. Hillion P. Numerical integration on a triangle // IJNME, 1977, vol. 11, pp. 797-815.

70. Chen W., Fredkin D.R., Koehler T.R. A new finite element method in mi-cromagnetics // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 4, pp. 2124-2129.

71. Chary M.V.K., Bedrosian G., D'Angelo J., Konrad A. Finite element applications in electrical engineering // IEEE Trans. Magn., 1991, vol. 27, № 1, pp. 305311.

72. Boyse W.E., Minerbo G.N., Paulsen K.D., Lynch D.R. Applications of potentials to finite element modeling of Maxwell equations // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, №2, pp. 1333-1337.

73. Hano M. An improved finite element analysis of eddy current problems connected to voltage source // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 13481352.

74. Mohammed O.A., Uler F.G. Detailed 2-D and 3-D finite element modeling of the human body for the evaluation of defibrillation fields // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1403-1407.

75. Ф 76. Subramaniam S., Feliziani M., Hoole S.R.H. Open boundary eddy currentproblems using edge elements // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 14991504.

76. Azzouz Z., Foggia A., Pierrat L., Meunier G. 3D finite element computation of the high frequency parameters of power transformer wingdings // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1407-1411.

77. Taieb Brahimi A., Foggia A., Meunier G. End winding reactance computation using a 3D finite element program // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1411-1415.

78. Eastham J.F., Rodger D., Lai H.C., Nouri H. Finite element calculation of fields around the end region of a turbine generator test rig // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1415-1419.

79. Guerin C., Tanneau G., Meunier G. 3D eddy current losses calculation in transformer tanks using the finite element method // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, №2, pp. 1419-1423.

80. Vanderheiden R.H., Arkadan A.A., Brauer J.R. Nonlinear transient finite element modeling of a capasitor discharge magnetizing fixture // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 2051-2055.

81. Rajanathan C.B., Hu G. Electromechanical transient characteristics of an induction actuator by finite element analysis // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 2001-2006.

82. Silvester P.P., Omeragic D. Differentiation of finite element solution of the Poisson equation // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1993-1997.

83. Brunotte X., Meunier G., Bongiraud J.-P. Ship magnetizations modelling by the finite element method // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 19701976.

84. Lee S.Y., Konrad A., Saldanha R. Lossy transmission line transient analysis by the finite element method // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 17301733.

85. Kawase Y., Yamagouchi Т., Hayashi N. 3-D finite element analysis for molten metal shapes in an electromagnetic melting system // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1554-1558.

86. Sadowsky N., Carly В., Lefevre Y., Lajoie-Mazenc M., Astier S. Finite element simulation of electrical motors fed by current inverters // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1683-1689.

87. Nicolas L., Connor C.A., Salon S.J., Ruth B.G., Libelo L.F. Three-dimensional finite element analysis of high power microwave devices // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1642-1646.

88. Fernandez F.A., Lu Y., Davies J.B., Zhu S. Finite element analysis of complex modes in inhomogeneous waveguides // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1601-1605.

89. Chen Q., Konrad A. A review of finite element open boundary techniques for static and quasy-static electromagnetic field problems // IEEE Trans. Magn., 1997, vol. 33, № 1, pp. 663-677.

90. Benbouzid M.E.H., Reyne G., Meunier G. Nonlinear finite element modelling of giant magnetostriction // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 6, pp. 24672470.

91. Liu Z., Eastham A.R., Dawson G.E. A novel finite element method for moving conductor eddy current problems // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 6, pp. 2449-2452.

92. Liu J., Shircoohi G.H. Anisotropic magnetic material modelling using finite element method // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 6, pp. 2458-2461.

93. Tsukerman I. Fast finite element solvers for problems with magnetic materials // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 6, pp. 2365-2368.

94. Alhamadi M.A., Demerdash N.A. A coupled vector-scalar potential method for permanent magnet modeling in large-scale 3D-FE magnetic field computations // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 6, pp. 2401-2404.

95. Brebbia C.A. The boundary element method for engineering: 2nd revised edition. Pentech Press, 1980.

96. Beissner R.E. Boundary element model of eddy-current flaw detection in three-dimensions // J. Appl. Phys., 1986, vol. 60, pp. 352-356.

97. Vishnevsky A., Krasnov I., Lapovok A. Calculation of static magnetization for thin-walled constructions by boundary element method // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 4, pp. 2152-2156.

98. Colton D., Cress R. Integral equation method in scattering theory. J. Willey & Sons, 1983.

99. Shao K.R., Zhou K.D., Li L.R., Lavers J.D. Boundary element analysis method for 3-D transient eddy current problems based on the second order vector potential formulation // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1528-1532.

100. Cardelli E., Gimigniani M., Raugi M. Integral equation approach for the analysis of three-dimensional transient electromagnetic heating effects // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 6, pp. 2440-2443.

101. Shao K.R., Lavers J.D. Method of fundamental solutions based on the second order vector potential formulation for 3D eddy current analysis // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 6, pp. 2431-2434.

102. Enokizono M., Nagata S. Combination of finite and boundary element including external power source for magnetic field analysis / Boundary elem. 8th Conf., Tokyo, 1986, vol. 1, pp. 391-400.

103. Fredkin D.R., Koehler T.R. Hybrid method of eddy-current flaw detection in three dimensions // IEEE Trans. Magn., 1990, vol. 26, pp. 415-417.

104. Krahenbuhl L., Muller D. Thin layers in electrical engineering — example of shell models in analysing eddy-currents by boundary and finite element methods // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1450-1456.

105. Dular P., Genon A., Hody J.-Y., Legros W., Mauhin J., Nicolet A. Coupling between edge finite elements for the calculation of 3-D eddy currents // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1470-1475.

106. Wakao S., Onuki T. Electromagnetic field computations by the hybrid FE-BE method using edge elements // ШЕЕ Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 14871491.

107. Chen Q., Konrad A., Biringer P.P. An integrodifferential finite element — Green's functions method for the solution of unbounded eddy current problems // ШЕЕ Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1874-1878.

108. Nath S., Lord W., Rudolphi T.J. Three dimensional hybrid finite-boundary element model for eddy current NDE // ШЕЕ Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 2, pp. 1850-1854.

109. Fetzer J., Kurz S., Lehner G. The coupling of boundary elements and finite elements for nondestructive testing applications // IEEE Trans. Magn., 1997, vol. 33, № 1, pp. 677-687.

110. Chen Q., Konrad A., Biringer P.P. A hybrid approach to the solution of open boundary eddy current problems under TM field excitation // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 6, pp. 2458-2462.

111. Fouladgar J., Chentouf A. The calculation of the impedance of an induction plasma installation by a hybrid finite-element boundary-element method // IEEE Trans. Magn., 1993, vol. 29, № 6, pp. 2479-2482.

112. Исследовательские испытания характеристик магнитного поля, силовых взаимодействий и тепловых процессов макета электромагнита опытного вагона транспортной линии Ереван-Абовян: Протокол № ВС-ТМ2-49-87 / ВЭлНИИ, Новочеркасск, 1987, 100 с.

113. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964. 776 с.

114. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

115. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

116. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977. 224 с.

117. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 312 с.

118. Алиевский Б.Л., Орлов В.Л. Расчет параметров магнитных полей осе-симметричных катушек. Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1983. 112 с.

119. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. 288 с.

120. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган. М.: Наука, 1979, 832 с.

121. Подольцев А.Д., Эркенов Н.Х. Комбинированный метод граничных элементов — конечных разностей для расчета вихревых токов в осесимметрич-ных телах // Изв. ВУЗ. Электромеханика, № 4, 1991. С. 12-18.

122. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 1980. 976 с.

123. Тихонов Д.Ю., Ткачев А.Н., Центнер Й. Комбинированный метод расчета нестационарных плоскопараллельных электромагнитных полей // Изв. ВУЗ. Электромеханика, № 4, 2002, с. 39-48.

124. Kurtz S., Fetzer J., Lehner G. An improved algorithm for the BEM-FEM — coupling method using domain decomposition // IEEE Transactions on Magnetics. 1995, vol. 31, № 3, pp. 1737-1741.

125. Бахвалов Ю.А., Гречихин В.В., Юфанова Ю.В. Комбинированная математическая модель квазистационарного магнитного поля на основе скалярных и векторного потенциалов // Изв. вузов. Электромеханика, № 5, 2002, с.8-11.

126. Астахов В.И. Поверхностные потенциалы и операторы теории потенциала в пространствах Дирихле // Изв. вузов. Электромеханика, № 2, 2000, с. 3-18.

127. Астахов В.И. О допустимости идеализации границ поляризуемых тел и некоторых энергетических соотношениях для стационарного магнитного и электростатического полей // Изв. вузов. Электромеханика, № 1, 2000, с. 3-14.

128. Понтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехтеориздат, 1953.

129. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Харьков, Вища шк., 1977.

130. Бахвалов Ю.А., Косиченко М.Ю., Морозов В.А., Пахомов В.В. Численное моделирование магнитных полей и сил в электромеханических устройствах / 2-й Всерос. симпоз. «Математическое моделирование и компьютерные технологии», т. 2. Кисловодск, 1998, с. 15-19.

131. Бахвалов Ю.А., Никитенко А.Г., Гринченков В.П., Косиченко М.Ю. Численное моделирование стационарных магнитных полей магнитоэлектрических систем методом конечных и граничных элементов / Электротехника, 1999, № 1, с. 29-32.

132. Нб.Косиченко М.Ю. О представлении узловых значений вычисляемой функции через их средние значения на элементах дискретизации / Изв. вузов. Электромеханика, 2003. № 4.