автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Комбинированный метод конечных и комплексных граничных элементов для расчета электрических и магнитных полей в нелинейных анизотропных средах

На правах рукописи

Шкуропадский Иван Владимирович

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

05.09.05 - Теоретическая электротехника

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новочеркасск - 2005

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Ткачёв А. Н.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук доцент Птах Г. К.

доктор технических наук профессор Зарифьян А. А.

Ведущая организация:

Ростовский государственный университет

Защита диссертации состоится 23 декабря 2005 г. в 10 часов в 107 ауд. главного корпуса на заседании диссертационного совета Д 212.304.01 при ЮжноРоссийском государственном техническом университете (Новочеркасском политехническом институте) по адресу: 346428, Новочеркасск, ГСП-1, ул. Просвещения, 132.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института).

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах, заверенные печатью) просим направлять по адресу: 346428, Новочеркасск, ГСП-1, ул. Просвещения, 132, Ученому секретарю диссертационного Совета Д 212.304.01.

Автореферат разослан «22» ноября 2005 г.

Ученый секретарь /я

диссертационного совета Пятибратов Г.Я.

-4 9Â&62. 7S

/¿S/S

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современный этап развития производства характеризуется высокими требованиями, предъявляемыми к технико-экономическим показателям электротехнических устройств (ЭТУ). Улучшение этих показателей может быть достигнуто на стадии проектирования ЭТУ при исследовании большого числа вариантов их конструкций с целью выбора оптимальной конструкции, что предполагает использование конструкторами специальных программных комплексов.

Реализованный в большинстве известных программных продуктов для электромагнитного расчета электротехнических устройств (Maxwell, FEMM, Opera, Elcut) метод конечных элементов (МКЭ) имеет ряд недостатков, которые снижают эффективность использования этих программ: возможность расчета поля только в ограниченных областях; необходимость дискретизации всей расчетной области; кусочно-линейная аппроксимация искомой функции.

Кроме того, существующие программные комплексы не позволяют выполнять расчет поля в нелинейных анизотропных средах, а также, для обеспечения требуемой точности расчета, предъявляют высокие требования к вычислительным ресурсам за счет использования дискретных моделей поля больших размерностей.

Указанные недостатки этих программных продуктов делают актуальной проблему разработки новых, более точных и эффективных, чем МКЭ, численных методов, а также создания на их основе численно-программных комплексов (комплексов численных методов, вычислительных алгоритмов и реализующих их компьютерных программ), которые позволили бы более точно, по сравнению с существующими программными продуктами, и с меньшими затратами времени и вычислительных ресурсов решать задачи электромагнитного расчета электротехнических устройств.

Перспективным решением этой проблемы является применение для расчета ЭТУ комбинированных методов, в том числе, комбинированного метода конечных и комплексных граничных элементов (КМКиКГЭ). Этот метод сочетает в себе достоинства комплексного метода граничных элементов (КМГЭ), проявляющиеся при расчете поля и определении его характеристик в ограниченных и неограниченных областях с линейными свойствами среды, с преимуществами использования МКЭ для расчета поля в нелинейных анизотропных средах. Использование КМКиКГЭ и корректный учет анизотропии материалов в численно-программном комплексе (ЧПК) расширяют его функциональные возможности и класс решаемых задач.

До настоящего времени программных продуктов, имеющих удобный пользовательский интерфейс и реализующих комбинированные методы расчета электромагнитного поля в нелинейных анизотропных средах, разработано не было.

Целью данной работы является развитие комбинированного метода конечных и комплексных граничных элементов, разработка методики построения материального оператора, предполагающей использование минимально возможного объема экспериментальных данных, и их реализация в виде численно-программного комплекса для расчета электрических и магнитных полей в нелинейных анизотропных средах.

Для достижения поставленной цели в работе решены следующие основные задачи:

1. Разработана численная процепуря пострдения материального оператора, описывающего магнитные св&йвдайа НйШб^УгШй^фктротехнической стали (ЭТС), по

БИБЛИОТЕКА С. Петербург

а^рк

известным характеристикам однонаправленного намагничивания путем их нормализации и обобщения.

2. Разработана методика применения КМКиКГЭ для расчета гаюскопараллель-ного магнитного поля, создаваемого токами проводимости и постоянными магнитами в присутствии нелинейных анизотропных ферромагнитных тел, и плоскопараллельного электростатического поля, создаваемого зарядами, распределенными на границе проводящих тел и в окружающем их пространстве.

3. На основе КМКиКГЭ разработан численно-программный комплекс, позволяющий без изменения топологических данных геометрической модели выполнять расчет поля ЭТУ для разных значений их конструктивных параметров, а также расчет поля устройств мехатроники, характерной особенностью которых является изменение взаимного расположения элементов магнитных систем.

4. Проведена апробация разработанного комплекса путем решения задач моделирования плоскопараллелыюго электрического и магнитного полей различных электротехнических устройств (электромагнит подвеса, линейный двигатель с постоянными магнитами, трансформаторы с прямыми и косыми стыками, емкостный датчик) и определения их локальных и интегральных характеристик.

Методы исследования. В работе использовались: методы теоретической электротехники, теории вариационного исчисления, теории функций комплексного переменного; численные методы решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (МКЭ, КМГЭ, КМКиКГЭ); численные методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений; численные методы нелинейной оптимизации; методы компьютерного моделирования и компьютерной графики.

Достоверность полученных результатов. Достоверность научных результатов и выводов, сформулированных в работе, подтверждается сравнением полученных результатов с результатами расчетов, выполненных с использованием других программ и методов моделирования электромагнитного поля (РЕММ, Е1си1:), с данными экспериментальных исследований, полученными и опубликованными другими исследователями, а также критическим обсуждением результатов работы с ведущими специалистами кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ (НПИ) и кафедры мехатроники Технического Университета г. Ильменау (Германия).

Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Методика построения материального оператора, описывающего магнитные свойства анизотропной ЭТС, требующая минимально возможного для обеспечения требуемой точности расчета магнитного поля, объема экспериментальных данных.

2. Технология применения комбинированного метода конечных и комплексных граничных элементов для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах.

3. Алгоритмы и структуры данных, позволяющие задавать геометрию расчетной области, осуществлять расчет поля комбинированным методом, выполнять постпроцессорную обработку результатов расчета.

4. Численно-программный комплекс для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах комбинированным методом конечных и комплексных граничных элементов.

Научная новизна результатов исследования:

1. Разработана методика построения материального оператора, которая позво-

ляет описывать анизотропные магнитные свойства холоднокатаных электротехнических сталей только по двум известным характеристикам однонаправленного намагничивания: вдоль и поперек прокатки. Использующаяся в методике процедура нормализации кривых намагничивания основана, в отличие от известных методик, на решении задачи минимизации функции двух переменных.

2. Впервые описана технология применения КМКиКГЭ для расчета магнитного поля, создаваемого токами проводимости и постоянными магнитами в присутствии нелинейных анизотропных ферромагнитных сред, а также для расчета электростатического поля. Проведено исследование единственности решения задачи расчета поля КМКиКГЭ и предложена процедура определения единственного решения.

3. Разработаны алгоритмы и структуры данных, отличающиеся тем, что позволяют описывать постановку краевой задачи расчета поля в многосвязной неограниченной области, а геометрическая модель расчетной области обеспечивает возможность параметризации положения ее вершин. Разработанные процедуры позволяют, за счет использования в области с линейными свойствами среды комплексного метода граничных элементов, определять характеристики поля без численного дифференцирования и строить сглаженные линии равного потенциала.

4. Разработан программный комплекс, который в отличие от существующих программ использует для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей и определения их локальных и интегральных характеристик КМКиКГЭ.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в разработке специального инструментария - численно-программного комплекса для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах, в электромагнитных системах электротехнических устройств с малыми и большими воздушными зазорами, при возможном изменении геометрии отдельных частей устройства или их взаимного расположения в пространстве, позволяющего с высокой точностью находить локальные и интегральные характеристики поля на стадии проектирования ЭТУ.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: II международной научно-практической конференции «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» (Новочеркасск, 2001); II международной научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах» (Новочеркасск, 2001); III международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2003); 52-й научно-технической конференции студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ) (Новочеркасск, 2003); международном научно-практическом коллоквиуме «Проблемы мехатроники 2003», (Новочеркасск, 2003 г.).

Разработанный численно-программный комплекс был представлен и награжден дипломом 1-ой степени на Всероссийской выставке-ярмарке научно-исследовательских работ и инновационной деятельности студентов, аспирантов и молодых ученых ВУЗов Российской Федерации «ИННов 2003», (Новочеркасск, 2003 г.).

Публикации. Основное содержание работы отражено в 10 публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка литературы. Ее содержание изложено на 170 страницах, проиллюстрировано 74 рисунками и одной таблицей. Список литературы содержит 78 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая ценность диссертации.

В первом разделе содержится анализ допущений и идеализации, принимаемых в математических моделях, используемых для электромагнитного расчета ЭТУ. Выполнен обзор численных методов расчета электрических и магнитных полей, проведен их сравнительный анализ, оценены их основные достоинства и недостатки.

Проанализирована современная ситуация на рынке программ для электромагнитного расчета электротехнических устройств. Рассмотрены наиболее распространенные программы, и выполнен анализ возможности решения с их помощью задач, возникающих на стадии проектирования ЭТУ. Сделан вывод об ограниченных возможностях их применения для решения задач расчета поля в нелинейных анизотропных средах, а также в неограниченных областях.

Обоснована актуальность проблемы, связанной с разработкой комбинированных методов расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей, сочетающих достоинства численных методов, входящих в их состав, и создания на их основе программного комплекса, который должен обеспечивать возможность решения задач расчета поля в нелинейных анизотропных средах при произвольной ориентации главной оси анизотропии в выбранной системе координат, в открытых системах, при наличии малых воздушных зазорах, при изменении геометрии отдельных частей устройства или их взаимного положения в пространстве, а также находить с требуемой точностью интегральные характеристики поля и параметры ЭТУ.

Во втором разделе рассмотрена задача построения материального оператора, описывающего магнитные свойства анизотропной электротехнической стали, по известным характеристикам однонаправленного намагничивания.

Магнитные свойства анизотропных ЭТС задаются векторным материальным оператором Н = Е(в}. Векторное поле Н на плоскости переменных Вх, Ву (рис. 1) предлагается описывать энергетическим потенциалом: Н = . Для определения потенциала использу-

Нл

\ V

\ \ \

ёД

ось

прокатки -в-

В, х вания стали, полученные под разными углами Р к оси

Рис. 1-Составляющие вектора _ в _

пР°катки: ЧгЫЯ1|(5>Р)^>гДе нп{в) -продольная

углом р к оси прокате!! о

составляющая напряженности. Потенциал м'(в) можно представить функцией переменных В и р:

\\>(В,$) = ™(ВХ,ВУУ полагая В = ^В] + В* , (5 = асПё(Ву/Вх). Введя на отрезке [О,я/2] систему узлов ¡3,, / = 1,7^, свойства среды зададим кривыми намагничивания Яц(Б,р() = /^(В), полученными экспериментально под углами р, к направлению оси прокатки и опубликованными в справочных изданиях. Каждой из кривых (В) соответствует потенциал щ(В). Функцию м>(5,р) при фиксированном В определим как функцию Р в результате интерполяции кубическим сплайном значе-

ний потенциалов в узлах р,: (Б) = и>(2?Д), / = 1,7/, при заданных нулевых значениях производной на границе в узлах Р, = 0 и =71/2, соответствующих осям симметрии анизотропных магнитных свойств холоднокатаной ЭТС.

Анализ

показывает

(рис. 2), что точность описания магнитных свойств сре- 300 ды путем интерполяции энергетического потенциала при фиксированном В на отрезке [0,я/2] существенно зависит от количества известных промежуточных характеристик одноосного намагничивания, которые ис

w(5,ß), Дж/м2

е, %

О 10 20 30 АО 50 60 70 80 р,

о рх—IHfiTTi О 0,5

-N»: -N = S

-N=S

1 В, Тл

Рис.2 -Интерполяция энергетического потенциала и>(В,р)при фиксированном В = 1.35 Тли средняя относительная погрешность Е его определения при разном количестве N узлов интерполяции (ЭТС 3404)

пользуются для построения материального оператора. Однако их экспериментальное определение весьма трудоемко. В то же время, наблюдаемое качественное сходство характера магнитной анизотропии различных сталей создает предпосылки для разработки универсальных методов описания характеристик анизотропных ЭТС на основе ограниченного объема требуемых экспериментальных данных.

Это подтверждает известный метод обобщения (нормализации) кривых намагничивания, основанный на их геометрическом подобии и предполагающий выполнение геометрических преобразований, с помощью которых кривые намагничивания разных ЭТС приводятся к некоторой универсальной (базисной) кривой. Однако известное решение задачи нормализации получено только для отдельно взятых кривых намагничивания, а возможность обобщения всего набора характеристик намагничивания, задающего анизотропные свойства ЭТС, ранее не исследовалась.

Решение задачи обобщения всего набора характеристик намагничивания анизотропной электротехнической стали ищется следующим образом. Рассматриваются функции, задающие кривые намагничивания двух анизотропных ЭТС для некоторого фиксированного направления р к оси прокатки: Нъ (В) - точная характеристика базисной стали С6; #0 (В) - точная характеристика стали С; Н{В) - приближенная характеристика стали С, определяемая формулой Н(В) = ти- Нь(\jmB- В), где т„ и тв - искомые параметры нормализации, определяющие степень растяжения (сжатия) кривой намагничивания базисной стали для получения приближенной характеристики заданной стали С: Н = тн -Нь, В - тв • Вь.

В отличие от известных методик задача определения параметров нормализации для некоторого фиксированного р рассматривается как задача минимизации функции двух переменных тн и тв при ограничениях тв> О, ти > О:

которая имеет смысл средней относительной погрешности восстановления приближенной характеристики Н{В) по базисной Нь (5) при известных тн и тв. Для решения задачи используется метод случайных направлений. Восстановленные по

найденным т„ и т„ приближенные характеристики стали С используются затем

для построения материального оператора, описывающего ее магнитные свойства.

На рис. 3 показаны зависимо-

ста значений параметров нормали-

^з^ зации т„ и тв от направления Р к

-s«» оси прокатки, найденные для пяти

-ада марок анизотропных сталей. Отно-

-3403 сительная погрешность восстанов-

„ .....""" " "" 7« w " ления их кривых намагничивания

Рис. 3 - Параметры нормализации т„, т„ (базисная ЭТС 3413) „ г

по найденным параметрам тн и

тв, определяемая выражением е = p(mH,wB)-100% , составила в среднем 6.3%, что лежит в пределах экспериментальной ошибки измерения характеристик стали.

Отличия в найденных для разных сталей зависимостях т'„ (Р), т'в (р) не позволяют использовать полученные результаты для построения материального оператора стали другой марки, не рассматривавшейся ранее. Задача построения материального оператора будет решена, если определить обобщенные (общие для всех марок стали) зависимости значений параметров нормализации щ (р), тв (р), а также правила (операторы) перехода от зависимостей т'н (Р), т'в (р), i = l,Ns к обобщенным и обратно.

Такая задача решена в условиях ограниченного объема исходных данных, когда известными считаются характеристики стали только для направлений намагничивания вдоль и поперек оси прокатки (Р = 0°, Р = 90°). Параметры нормализации для этих двух направлений, являющиеся решением задачи минимизации функции (1), используются в качестве исходных данных при построения для каэдой 1-й стали операторов перехода (р) = Р}{ (т'н (р)), тв (р) = Рв (т'в (р)), / = , задающих геометрические преобразования на плоскости (растяжение (сжатие) графиков функций т'н (Р) и т'„ (Р) по осям координат, а также их поворот относительно выбранной точки на плоскости), в результате выполнения которых обеспечивается совмещение крайних левой и правой точек графиков функций т'и (р) и т'в (р).

Обобщенные параметры нормализации определяются как средние для всех рас-

J «V < j Us

смотренных Ns марок стали: ти (р) = (Р), «¡(р) = —— (р). Задача

нормализации всего набора кривых намагничивания допускает точное решение, если все обобщенные параметры тЦ и т'в' при одном и том же фиксированном р совпадают и равны. Кроме того, соответствующие им параметры т'Н; и m'BJ должны

обеспечивать минимальную погрешность восстановления кривых намагничивания ;-й стали.

Задача определения общих для всех марок стали параметров ти (р,) и тв(Р,), Ру ^0°,90° ставится для каждого фиксированного Р; как задача минимизации функции переменных m'Hj = тЦр/)>0, т'В) =Юд(р,)>0, i = \Ns :

pj (H Л >{4/}) +]A^hj({<j}) + У^ъ, ({<})->min.

(2)

Здесь функции аН] аВ/ являются мерой близости параметров т'^^т^ и тИ],тВ}\ функция ру имеет смысл средней относительной погрешности восстановления характеристик намагничивания для всех Ы5 марок стали.

В результате решения задачи (2) определяются общие для всех марок стали, по которым имеются экспериментальные данные, величины тИ], тВ} (рис.4). С помощью операторов {р^ *и '(ид (р)), обратных операторам перехода Рн{т'н(Р)) и {т'в (Р)) соответственно, определяются параметры нормализации тН)> Ч/. которые используются затем для восстановления неизвестных для направлений 5*0°, 90° характеристик намагничивания любой другой марки стали.

тв

1 ■ 0.5 ■ 0 ■

• -г~т—г—1—1 1

О 15 30 45 60 75 800, ° 0 15 30 45 60 75 60 Рис. 4 - Усредненные обобщенные параметры нормализации т„, тв

В, Тп

t

0 200 4M 600 800 1000 Н, А/м Рис, 5 - Коридор допустимой погрешности 10% для анализа погрешности восстановления кривой намагничивания стали марки 3404 для Р = 60°

ют, что среднее значение относительной по- 1 грешности восстановления характеристик на- 0.5 магничивания анизотропных ЭТС, по кото- 0 рым имеются экспериментальные данные, по найденным параметрам нормализации составляет 7.1%.

Погрешность использования предложенной методики обобщения характеристик намагничивания обеспечивает попадание большей части точек на восстановленных кривых в «коридор», который определяется по точным характеристикам намагничивания базисной стали и допустимой погрешностью, принятой равной 5%, и попадание всех точек в 10% «коридор» (рис. 5, базисная ЭТС 3413).

В третьем разделе описана технология применения КМКиКГЭ для расчета плоскопараллельного магнитного поля в анизотропных средах и электростатического поля.

Краевая задача расчета магнитного поля, создаваемого токами проводимости 7, в присутствии анизотропных ферромагнитных тел Пк,к~1,г (рис. б), магнитные свойства которых заданы материальным оператором Я = сформулированная относи-

тельно векторного магнитного потенциала и дополненная граничными условиями, имеет вид:

дА* ' сЬс

Рис. 6 - К задаче расчета магнитного поля, создаваемого токами проводимости

ДЛ = -ц0У в П0;

дА'

rot,F||s~| = 0 вй;

fÎ^L-

'U'

А(М)->0

г

при

1 дА-Цо Ьп

Л/-+ТО.

(3)

Доказано, что краевая задача (3) равносильна задаче минимизации следующего функционала на подпространстве функций из пространства Соболева Ж,1:

р" (-4) = Jfw(rot A)ds + Jjí~-(V,4)Z - Ля. (4)

n av. )

Для решения задачи в области О. используется МКЭ: потенциал А(М) опреде-

п

ляется равенством А(М)~'£/А1е1 (М), где e,(M),i = l,n - финитные функции. Потенциал в области Q0 ищется в виде суммы А (М) = Aj (М) + As (М) + \ (jW), где Aj - потенциал магнитного поля, создаваемого токами J в вакууме. Слагаемое

я

Ай(М), MeQü, задается равенством AV(M)= ^А1е1(М). Функции е, (М), ме-

няющиеся линейно на отрезках, соединяющих узлы М, е Г, /' = т + 1,п, и потенциал Ае определяются в области как решения следующих краевых задач:

/Ц, = 0 в

/4s(jVí)-»0 при Мсо.

(5)

Де, = 0 в П0, / = т + 1,я; (1, >- = /,

е, (М) -> 0 при М -»со.

При расчете используется прием «поэтапного нагружения», когда в течение условного временного интервала происходит постепенное увеличение токов проводимости 3 от нуля до номинальных значений.

В результате линеаризации материального оператора в каждом элементе разбиения О.9, подстановки потенциала А(М) в функционал (4) и дифференцирования

попеременным А,, / = 1,и получается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:

(б)

„0) _ Vio |(„« де" 8е> де* де, , дек де1) , де1 де> 1

о,

42,= 1 (де,

2 { к = \т\

Ног9"

к = /и + 1,л;

дх

Ь? =

0.

дх г

' ду 2

дх

+ v« Я®

* >У ví>

Г Ио г

9/,

где: v» = ^ ' р,г = {х,у), - параметры линеаризации материального оператора.

Для формирования СЛАУ необходимо определить на границе .Г нормальные производные функций Ав и е,, /' = т + \,п, что достигается в результате решения внешних краевых задач комплексным методом граничных элементов.

Вводятся функции и? (л,^) и ?<,(.*,.у), сопряженные с функциями Аг (х,у) и

е,{х,у), соответственно. Для пар гармонических в области £10 функций Ае, ие и е,, и,, выполняются условия Коши-Римана, поэтому их можно рассматривать как действительные и мнимые части аналитических в области П0 функций комплексного переменного: 1 ^ (г) = иг (г) + Ц, (г), м; (л) = и, (л) + г'е, (г). После введения системы узлов на границе Г и кусочно-линейной аппроксимации функций (я) и (г), получается системы относительно узловых значений функций Аг, иш и еп и,, решения которых позволяют определять интегралы в системе (6) по формулам:

■дА„ .. ,3м„ .. где, гди,

-екеИ, Г—'-е.с!1 = [—'-е^Ш, /' = « + 1,«. * J я» * Л Ят *

£ дх к ' 1&п к ¡! дх

(7)

Формулы (7), следующие из условий Коши-Римана, обеспечивают большую, по сравнению с прямым нахождением нормальных производных, точность вычисления интегралов в СЛАУ (6), а использование для определения комплексного потенциала поля в области интегральной формулы Коши позволяет более точно, по сравнению с МКЭ, находить локальные и интегральные характеристики поля, т.к. дифференцирование потенциала поля выполняется аналитически.

В работе рассмотрен вопрос о единственности решения системы (6). Показано, что ранг матрицы системы (б) меньше ее порядка, и, следовательно, система имеет множество решений. Путем построения фундаментальной системы решений показано, что решением однородной системы, соответствующей СЛАУ (6), является вектор, составленный из произвольных констант. Предложена процедура определения единственного решения, основанная на решении внешней краевой задачи комплексным методом граничных элементов.

Краевая задача расчета магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами 02 с намагниченностью М, магнитные свойства которых заданы оператором Н = в

присутствии ферромагнитных тел О, (рис. 7),

сформулированная ОТНОСИТеЛЬНО ВеКТОрНОГО Рис. 7-Кпостановкозадачирасчстамапштного потенциала, имеет вид: поля'созд:таемого 1ЮСТ0ЯИНЫМ" магт,тами

ДЛ = 0

в П<,; в П,;

дх)

Ц

-Гаг а£

'[ау " а* (дл\ алО

ду дх )

Но

(8)

ау 1 дА-

г, Г; ц0 дп

А(М)->0 при М ->», где Ам - векторный потенциал поля намагниченности постоянного магнита, опре-

деляемый равенством М-то\Лм.

Доказано, что краевая задача (8) равносильна задаче минимизации следующего функционала на подпространстве функций из пространства Соболева

Р(Л)= + ¡\wu{roxA)ds-\l\{VA,,)1 ds.

По

(9)

П, По П]

Численное решение задачи осуществляется КМКиКГЭ аналогично случаю расчета магнитного поля, создаваемого токами проводимости.

Таким образом, КМКиКГЭ обеспечивает возможность выполнения расчета плоскопараллельного магнитного поля в кусочно-однородных многосвязных областях произвольной конфигурации, содержащих магнитные системы, изготовленные из анизотропной стали с нелинейными характеристиками.

В работе рассмотрено решение краевой задачи расчета электростатического поля, создаваемого свободными зарядами р(М) и зарядами, распределенными на границе проводящих тел С1к, к = \,р, в присутствии диэлектрических тел = +1,5 (рис. 8). Сформулированная относительно скадярно-го потенциала и дополненная условиями на границе раздела сред, краевая задача имеет вид:

К=г/*;

Рис. 8 - К постановке задачи расчета электростатического поля

(Дф = 0 В О; Дф = -£ В П0.

i

^rf/e-St.

on е„

Ф U, =Ч>

L,'

дп

— 6

_ Эф" ~дп

(10)

Доказано, что краевая задача (10) равносильна задаче минимизации следующего функционала на подпространстве функций из пространства Соболева И^:

/(<р)=4 Ж8« (у<р)г - р<ру*+1 ЯК (7<р)2 ~ РФ)Л- (11)

Численное решение задачи находится КМКиКГЭ аналогично случаям решения задач расчета магнитного поля.

Четвертый раздел посвящен разработке численно-программного комплекса.

В соответствии с методологией функционального моделирования построена функциональная модель ЧПК, на основе которой определена его структура (рис. 9).

Предложена специальная геометрическая модель расчетной области, которая позволяет использовать параметризацию положения вершин геометрической

Единый информационный массив

X

Основной модуль (препроцессор и постпроцессор)

(Сеточный генератор") (Библиотека решателей) М0ДеЛИ И без изменения ее ТОПОЛОГИИ

---- выполнять расчет электрического и маг-

Рис.9-структурачпк нитного полей электротехнических уст-

ройств при разных значениях их конструктивных параметров, а также осуществлять электромагнитный расчет устройств мехатроники при изменении взаимного положения элементов их конструкции без повторной дискретизации расчетной области. Разработанные структуры данных позволяют для одной и той же геометрии расчет-

«юш&з*,

^ '.И...

«¿уеи^рсИапГ • * "Г""""-' Э • Ь

* г«?А»з

-^Ьйв» •ег ед

'л-'1», ■ ;>' ж* Щ

Рис. 10 - Интерфейс ЧПК, препроцессорный режим

ной области ставить и решать разные по физическому содержанию задачи.

Для разбиения расчетной области на треугольные конечные элементы в разработанном ЧПК используется основанный на КМГЭ сеточный генератор, разработанный Клименко В.В. и Ткачевым А.Н.

Особенностью предложенного интерфейса пользователя является объединение препроцессорных и постпроцессорных средств в одном окне (рис. 10,11).

Разработанный алгоритм построения линий равного потенциала поля позволяет более точно изображать картину поля за счет применения КМГЭ для расчета поля в областях с линейными свойствами среды.

Результаты проведенных вычислительных экспериментов показывают, что использование в разработанном ЧПК КМКиКГЭ позволяет более точно, по сравнению с МКЭ, находить локальные и интегральные характеристики магнитного и электрического полей при значительно меньшем количестве конечных элементов в расчетной области, учитывать при расчете поля анизотропию и нелинейность магнитных свойств стали, из которых изготовлены магнитные системы ЭТУ, с высокой точностью рассчитывать магнитное поле в случае неограниченной Рис. 11 - Интерфейс ЧПК, посгароцессорный режим внешней области и при наличии малых зазоров между элементами магнитных систем;

Пятый раздел посвящен решению практических задач моделирования плоскопараллельного электрического и магнитного полей различных ЭТУ с помощью разработанного ЧПК с целью оценки его эффективности и подтверждения возможности использования на этапе проектирования ЭТУ и анализа их работы.

Был выполнен расчет магнитного поля и силы развиваемой электромагнитом подвеса (ЭМП) одностороннего линейного индукторного двигателя (ОЛИД) (рис.12), в зависимости от величины воздушного зазора /г и смещения осей симметрии д. путевого элемента (1) и индуктора (2) с обмотками (3) (рис. 13). Сила находилась по формуле-.

1_Г

гш

А

Ио

Разработанный комплекс имеет средства вычисления различных интегральных характеристик магнитного поля, в том числе - потоков, магнитных напряжений и магнитных

Ж

г г

I

Рнс 12 - Электромагнит подвеса ОЛИД

1«00-

12000 г ! —*— >1=2

10000 / I—о— (1=4

£000 л— (1=6

ееоо (1=8

<оа> 11=12

2С00 (| = 18

0

О Б 10 й, ми 0 £

Рис. 13 - Сила, действующая на ЭМП со стороны магнитного поля

(13)

сопротивлении магнитнои схемы замещения (МСЗ), что показано на примере расчета параметров МСЗ ЭМП (рис. 14). Найденные вебер-амперные характеристики (ВАХ) магнитных сопротивлений МСЗ позволяют определять магнитные потоки и выполнить расчет силы развиваемой ЭМП при заданном количестве ампервитков НУ в обмотках индуктора и величине воздушного зазора по приближенной формуле:

2ц0 5

где 5 - ширина магнитопровода путевого элемента вдоль его оси симметрии.

Погрешность определения силы по формуле (13) по сравнению с силой, найденной в результате расчета поля по формуле (12), в среднем не превысила 5% при изменении величины воздушного зазора А от 2 до 16 мм и в диапазоне изменения ампер-витков Ш от 2000 до 8000. Для оценки погрешности расчета магнитного поля КМКиКГЭ был проведен сравнительный анализ результатов расчета магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами, выполненного с помощью разработанного программного комплекса (рис. 15), с результатами расчета, полученными с использованием широко используемого программного комплекса БЕММ.

\ ___,-> , /__На рис. 16 показаны за-

• * • ^ ^«Лвисимости относительной

погрешности расчета поля е, выполненного при использовании разработанного комплекса и программы РЕММ от количества конеч-

Рис. 14-мсз эмп

Рис. 15 - Расчет магнитного поля ЛД с постоянными магнитами

1.%

-КМКиКГЭ -РЕММ

ных элементов N. Оценка погрешности проводилась путем сравнения результата расчета с эталонным решением, полученным с использованием пакета РЕММ при большом числе (460 000) конечных элементов разбиения. Анализ полученных зависимостей подтверждает то, что точность, достигаемая при расчете поля КМКиКГЭ, при равном количестве конечных элементов заметно выше, чем при использовании МКЭ, реализованного в программе РЕММ.

Для оценки достоверности результатов расчета, полученных с использованием разработанного программного комплекса, было проведено их сравнение с данными физического эксперимента, полученными другими исследователями. Рассмотрена и решена задача расчета квазистатического магнитного поля в магнитопроводе трехфазного трансформатора с прямыми стыками (рис. 17). На рис. 18 показаны годографы магнитной индукции в точках N п Я, полученные с помощью разработанного программного комплекса и экспериментально.

О 500 1000 «00 2000 N Рис. 16-Зависимость погрешности от количества конечных элементов

■N

п. •л п«

«э \ пш

-0-?S-j -WS-

05

И 025 i-

I '?t?2G 05 S 5 £.1

—их, -MSJ -OS

Вх.Тл

Точка R -Эксперимент

В*,Тл

Точка N -Числанный расчет

Рис. 17 - Трансформатор с прямыми стыками

Рис. 18 - Сравнение результатов численного расчета с экспериментальными данными

Отличительной особенностью разработанного программного комплекса является то, что с его помощью можно выполнять расчет магнитного поля в анизотропных нелинейных ферромагнитных средах. В качестве примера, иллюстрирующего эту дополнительную возможность, рассмотрена и решена задача расчета квазистатического магнитного поля в магнитопроводе трехфазного трансформатора с косыми стыками, магнитная система которого набрана из листов холоднокатаной анизотропной ЭТО марки 3404 (рис. 19) На рис. 20 приведены годографы магнитной индукции в точках 51 и Т, расположенных в областях О, и П4, соответственно.

> Qf&fpfeg 3r

—№1 -л-N=2 —N=3 -»—N=8

Рис. 19 - Трансформатор с косыми стыками

J*Tn „ Вх.Тл

Точка S Точка Т

Рис. 20 - Годографы индукции, полученные при разном кол-ве N кривых намагничивания, используемых для построения материального оператора Разработанный программный комплекс позволяет определять интегральные характеристики магнитного поля. Для иллюстрации этой возможности в работе рассмотрена и решена задача расчета параметров МСЗ Т-зоны трансформатора с косыми стыками с топологией типа «звезда» (рис. 21). Комплекс позволяет при определении ВАХ в полном объеме учесть анизотропию магнитных свойств холоднокатаной ЭТС, а также сложный пространственный характер перемагничивания. Численные эксперименты показали, что точность определения ВАХ зависит от точности описания анизотропных магнитных свойств материальным оператором.

На рис. 22 приведены ВАХ илв (Ф^) и ис (Фс) нелинейных элементов магнитной цепи гА, гв, гс, полученные в результате расчета с использованием разработанного комплекса при разном количестве кривых намагничивания холоднокатаной стали марки 3404, использующихся для построения материального оператора.

Для иллюстрации возможности применения комбинированного метода конечных и комплексных граничных элементов для расчета электростатического поля решена задача анализа плоскопараллельного электрического поля емкостного датчика (рис. 23), используемого для измерения толщины 5 диэлектрической ленты по величине емкости.

<2—»t

■п-

I I

!,'. о

Ч N.

, ,фг

Рис. 21 - МСЗ T-зоны трансформатора с косыми стыками

I п, I

Б <

п, I

-,м

0.2

04

06

О

Рис. 24 - Зависимость емкости датчика от отношения толщины ленты к расстоянию между электродами

- ВАХ, полученные при различных способах задания материального оператора

Для определения зависимости емкости датчика С от отношения толщины ленты и зазора 6/Д выполнены расчеты электростатического поля для разных значений параметра 5 при одном и том же расстоянии между элек-

Рис. 23 - Поперечное сечение емкос™>го датчика д . РазрабОТЭННЫЙ Программный KOM-

плекс позволяет решить эту задачу без изменения геометрической модели расчетной области за счет реализованной в геометрической модели возможности параметризации положения «вершин». Зависимость С(5/Д), найденная в результате расчета поля при разной толщине ленты, показана на рис. 24.

На рис. 25 приведены зависимости величины относительной погрешности s расчета емкости датчика, выполненного с использованием разработанного программного комплекса и программы Elcut в зависимости от количества конечных элементов N. Оценка погрешности проводилась путем сравнения результата расчета с эталонным решением, полученным с использованием пакета Elcut при большом числе (100 ООО) конечных элементов разбиения. Анализ полученных зави-числа конечных элементов симостей подтверждает, что равном количестве конечных элементов погрешность расчета поля КМКиКГЭ ниже, чем при использовании МКЭ, реализованном в программе Elcut.

Результаты расчетов различных ЭТУ, выполненных с помощью разработанного комплекса, их сравнение с экспериментальными данными, а также с результатами, полученными с помощью других программ (FEMM, Elcut), подтверждают его более широкие функциональные возможности, а также вычислительную эффективность при решении задач, возникающих на стадии проектирования ЭТУ.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные полученные в диссертации результаты состоят в следующем: 1. Разработана процедура построения материального оператора, описывающего магнитные свойства анизотропной электротехнической стали, по известным характеристикам одноосного намагничивания, основанная на применении разрабо-

500 1000

Рис. 2S - Зависимость относительной погрешности от

танной методики обобщения кривых намагничивания анизотропной ЭТС, параметры которого находятся в результате решения оптимизационной задачи.

2. В рамках разработанной методики обобщения кривых намагничивания решена задача сокращения объема экспериментальных данных, необходимых для построения материального оператора. Методика позволяет по семейству кривых намагничивания базисной электротехнической стали и известных кривых намагничивания любой другой анизотропной стали вдоль главных осей анизотропии восстановить ее полную векторную характеристику намагничивания с приемлемой для практики погрешностью до 7.1%.

3. Разработана методика применения КМКиКГЭ для расчета плоскопараллельных магнитного и электростатического полей в кусочно-однородных линейных и нелинейных анизотропных средах: получены вариационные формулировки краевых задач; разработаны алгоритмы их численного решения КМКиКГЭ. Особенностью КМКиКГЭ является то, что для расчета поля в нелинейных анизотропных средах используется МКЭ, а в ограниченных и неограниченных областях с линейными свойствами среды - КМГЭ. Это позволяет снизить размерность дискретных моделей поля и более точно, по сравнению с МКЭ, находить его характеристики без численного дифференцирования.

4. Разработан численно-программный комплекс, отличающийся расширенными функциональными возможностями и вычислительной эффективностью, который позволяет выполнять расчет плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах, в открытых системах, в областях с малыми воздушными зазорами. Структура геометрической модели предусматривает возможность параметризации положения вершин и позволяет без изменения топологии выполнять расчет поля электротехнических устройств при разных значениях их конструктивных параметров, а также при изменении взаимного расположения элементов магнитных систем.

5. Разработанный ЧПК позволяет в полном объеме решать основные задачи, возникающие на стадии проектирования ЭТУ, что подтверждается проведенными расчетами плоскопараллельных электрических и магнитных полей различных ЭТУ (электромагнит подвеса, линейный двигатель с постоянными магнитами, трансформаторы с прямыми и косыми стыками, емкостный датчик), сравнением расчетов, полученных с помощью разработанного комплекса, с экспериментальными данными, а также с результатами, полученными с использованием других программных продуктов (РЕММ, Е1си0, расчетами электромагнитных параметров этих устройств, в том числе, параметров магнитных схем замещения.

6. Вычислительные эксперименты подтверждают необходимость учета анизотропии магнитных свойств холоднокатаных ЭТС, из которых изготовлены магнито-проводы ЭТУ, например, магнитопроводы силовых трансформаторов, при их электромагнитном расчете, т.к. распределение магнитного поля, его характеристики и электромагнитные параметры таких ЭТУ существенно зависят от того, насколько точно учтена анизотропия характеристик ферромагнитных материалов магнитопроводов. Разработанный программный комплекс обеспечивает возможность корректного учета анизотропии материалов за счет использования разработанной процедуры построения материального оператора.

7. Результаты проведенных вычислительных экспериментов подтверждают, что разработанный на базе комбинированного метода конечных и комплексных гра-

ничных элементов численно-программный комплекс превосходит известные программные продукты (Maxwell, Opera и др.) в классе задач расчета статических плоскопараллельных электрических и магнитных полей по точности расчета, требуемым вычислительным ресурсами и функциональными возможностям.

Содержание диссертационной работы отражено в следующих публикациях:

1. Шкуропадский И.В. Комбинированный метод конечных и комплексных граничных элементов для расчета плоскопараллельного магнитного поля // Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы: Материалы II Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 26 октября 2001 г.: В 2 ч. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ООО НПО «ТЕМП», 2001. - 4.1. С. 50-51.

2. Шкуропадский И.В. Проектирование пакета программ расчета магнитного поля как MDI-пршюжения ОС Windows // Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы: Материалы II Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 26 октября 2001 г.: В 2 ч. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). -Новочеркасск: ООО НПО «ТЕМП», 2001. - 4.1. С. 56-57.

3. Шкуропадский И.В. Организация структуры данных препроцессора в пакетах программ расчета магнитного поля // Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах: Материалы II Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 25 ноября 2001 г.: В 6 ч. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ООО НПО «ТЕМП», 2001. - 4.1. С. 11-13.

4. Клименко В.В., Ткачев А.Н., Шкуропадский И.В. Сеточный генератор пакета программ расчета электромагнитного поля электротехнических устройств // Математические методы в физике, технике и экономике: /Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск: Ред. журн. Изв. вузов. Электромеханика, 2002. - С. 52-61.

5. Ткачев А.Н., Шкуропадский И.В. Вариационная формулировка краевых задач расчета плоскопараллельного магнитного поля в анизотропных ферромагнитных средах II Изв, вузов Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2002. Спецвыпуск. С.20-21.

6. Ткачев А.Н., Клименко В.В., Шкуропадский И.В., Янов В.П. Численно-программный комплекс для расчета магнитного поля тяговых двигателей электровозов II Электровозостроение: Сб. науч. тр./ Всерос. н. и., проектно-конструк. ин-т электровозостроения.- 2002. Т.44. С.175-184.

7. Шкуропадский И.В. Функциональная модель численно-программного комплекса для расчета плоскопараллельных электростатических и магнитных полей // Моделирование. Теория, методы и средства: Материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 11 апреля 2003 г.: В 5 ч. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2003. - Ч.З. - С. 28-30.

8. Шкуропадский И,В. Моделирование постоянных магнитов в численно-программных комплексах для расчета плоскопараллельных и магнитных полей // Материалы 52-й научно-технической конференции студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ) / Юж.-Рос. гос. тех. ун-т (НПИ), 2003 - С. 112-113.

9. Ткачев А.Н., Тихонов Д.Ю., Шкуропадский И.В. Моделирование динамических режимов устройств мехатроники комбинированным методом конечных и граничных элементов // Изв. вузов. Сев. Кавк. регион. Техн. науки: Спецвыпуск. Проблемы мехатроники - 2003. Материалы междунар. науч.-практ. коллоквиума (г. Новочеркасск, 15-20 сентября 2003 г.), 2003. - С. 133-134.

Ю.Ткачев А.Н., Тихонов Д.Ю., Шкуропадский И.В. Численно-программный комплекс для компьютерного моделирования электромагнитных процессов в меха-тронных системах // Изв. вузов. Сев. Кавк. регион. Техн. науки: Спецвыпуск. Проблемы мехатроники - 2003. Материалы междунар. науч.-практ. коллоквиума (г. Новочеркасск, 15-20 сентября 2003 г.), 2003. - С. 133-134.

Личный вклад автора в опубликованных с соавторами работах: [4] - разработан программный комплекс позволяющий выполнять дискретизацию области на плоскости; [5] - получены вариационные формулировки краевых задач расчета плоскопараллельного магнитного поля; [6] - разработана геометрическая модель расчетной области, препроцессор и постпроцессор; [9-10] - разработан численно-программный комплекс для моделирования динамических режимов устройств мехатроники.

РНБ Русский фонд

2007-4 12813

Шкуропадский Иван Владимирович

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

Автореферат

Подписано в печать 18.11.2005. Формат 60*84 . Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 1460.

Типография ЮРГТУ (НПИ) 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения 132 тел., факс (863-52) 5-53-03 E-mail: typography@novoch.ru

-'-'■о,

г 9 Ш '/005'

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ.

1.1. Анализ численных методов расчета электрических и магнитных полей.

1.2. Анализ современных программ расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей.

1.3. Выводы по разделу.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АНИЗОТРОПНОЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СТАЛИ.

2.1. Материальный оператор для описания магнитных свойств анизотропной электротехнической стали.

2.2. Постановка задачи обобщения характеристик намагничивания анизотропных ЭТС.

2.3. Обобщение характеристик намагничивания анизотропных ЭТС.

2.4. Выводы по разделу.

3. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ.

3.1. Постановка и вариационная формулировка краевой задачи расчета плоскопараллельного магнитного поля.

3.2. КМКиКГЭ для расчета плоскопараллельного магнитного поля.

3.3. Расчет плоскопараллельного магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами.

3.4. Постановка и вариационная формулировка краевой задачи расчета плоскопараллельного электрического поля.

3.5. КМКиКГЭ для расчета плоскопараллельного электрического поля.

3.6. Выводы по разделу.

4. РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННО-ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ РАСЧЕТА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ.

4.1. Постановка задачи разработки ЧПК и его функциональная модель.

4.2. Геометрическое моделирование и алгоритмы вычислительной геометрии.

4.3. Дискретизация расчетной области и построение линий равного потенциала.

4.4. Структура и программная реализация ЧПК.

4.5. Выводы по разделу.

5. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННО-ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ РАСЧЕТА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ.

5.1. Расчет магнитного поля и параметров магнитной схемы замещения электромагнита.

5.2. Расчет магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами.

5.3. Расчет распределения магнитного поля в магнитопроводе трехфазного силового трансформатора.

5.4. Расчет электрического поля емкостного датчика.

5.5. Выводы по разделу. .,.

Актуальность темы. Современный этап развития производства характеризуется повышенными требованиями, предъявляемыми к надежности и уровню технико-экономических показателей электротехнических устройств (ЭТУ), а также к срокам и стоимости их разработки и производства, что объясняется наличием конкуренции на рынке ЭТУ и необходимостью постоянного повышения их конкурентоспособности.

Повышение конкурентоспособности ЭТУ может быть обеспечено на стадии их проектирования при анализе и исследовании большого числа вариантов конструкций ЭТУ с целью выбора оптимальной, обеспечивающей необходимые рабочие характеристики, имеющей требуемые технико-экономические показатели, массу, габариты и отличающейся надежностью работы. Кроме того, сокращение сроков и стоимости проектирования обеспечивает снижение себестоимости ЭТУ и, за счет этого, повышение его конкурентоспособности.

Решение задач, возникающих на этапе проектирования ЭТУ, в условиях постоянного расширения их номенклатуры и усложнения конструкций, предполагает использование компьютерного инструментария поддержки конструкторского процесса: систем автоматизированного проектирования и пакетов прикладных программ для электромагнитного расчета ЭТУ. Эффективность использования подобных программных комплексов определяется тем, насколько хорошо они удовлетворяют требованиям, предъявляемым к ним со стороны конструкторов на стадии проектирования. Такими требованиями, в частности, являются:

1) возможность решения в полном объеме основных задач, возникающих при проектировании и анализе работы ЭТУ;

2) обеспечение требуемой точности решения задач расчета электромагнитного поля и определения его локальных и интегральных характеристик;

3) удобство использования программного комплекса для решения задач, предполагающих многократный расчет электромагнитного поля при изменении тех или иных параметров конструкции устройств и режимов их работы;

4) приемлемые требования со стороны программного комплекса к имеющимся в распоряжении проектировщика вычислительным ресурсам (быстродействию и объему оперативной памяти компьютера);

5) сокращение сроков и стоимости проектирования новых устройств с сохранением качества готовой продукции, обеспечивающее снижение себестоимости и повышении конкурентоспособности разрабатываемого ЭТУ.

Анализ программ, реализующих полевые методы электромагнитного расчета ЭТУ, показывает, что существующие программные комплексы (Maxwell, FEMM, Opera, Elcut) недостаточно эффективны для решения возникающих на практике задач проектирования ЭТУ, поскольку их возможности существенно ограничены следующими факторами:

1) наличием большого количества допущений и идеализаций, принимаемых в используемой для компьютерного расчета электромагнитного поля математической модели, что заметно снижает точность расчета поля;

2) необходимостью проведения большого количества дополнительных вычислительных экспериментов для оценки погрешности, обусловленной принятыми допущениями;

3) в ряде случаев - невозможностью выполнения оценки погрешности, обусловленной принятыми допущениями, средствами используемого программного комплекса, не прибегая к дополнительному исследованию физической модели или использованию математически сложных аналитических методов, в силу принципиального характера этих допущений;

4) недостатками используемого для расчета численного метода, как правило, метода конечных элементов (МКЭ), который реализован в большинстве известных пакетов программ расчета электромагнитного поля (возможность расчета поля только в замкнутых областях; необходимость дискретизации всей расчетной области; использование кусочно-линейной аппроксимации искомой функции), которые являются источником дополнительной погрешности при нахождении локальных и интегральных характеристик поля.

Перечисленные факторы существенно ограничивают возможности существующих программных комплексов и область их применения для решения практических задач, возникающих на стадии проектирования и анализа работы ЭТУ.

Несоответствие требований, предъявляемых к программному обеспечению со стороны конструкторов, проектирующих ЭТУ, и возможностей существующих программных комплексов (Maxwell, FEMM, Opera, Elcut) делает особенно актуальной проблему построения новых, более точных и эффективных, чем МКЭ, численных методов, путем обобщения и модернизации уже известных методов, а также разработки на их основе численно-программных комплексов (ЧПК), которые позволили бы более точно, по сравнению с существующими программными продуктами, и с меньшими затратами времени и вычислительных ресурсов, решать основной круг задач, возникающих на стадии проектирования ЭТУ.

Анализ численных методов моделирования электромагнитного поля показывает, что наиболее перспективным решением этой проблемы является применение комбинированных методов, сочетающих главные достоинства численных методов, входящих в их состав. Одним из таких методов является комбинированный метод конечных и комплексных граничных элементов

КМКиКГЭ). Эффективность применения КМКиКГЭ обусловлена тем, что этот метод сочетает в себе достоинства комплексного метода граничных элементов (КМГЭ), проявляющиеся при расчете поля и определении его характеристик в ограниченных и неограниченных областях с линейными свойствами среды, с преимуществами использования МКЭ для расчета поля в нелинейных анизотропных средах. Использование КМКиКГЭ в качестве вычислительной основы ЧПК позволяет удовлетворить рассмотренным выше требованиям, предъявляемым к подобным программам со стороны конструкторов ЭТУ, и повысить эффективность применения комплекса для решения задач, возникающих на этапе проектирования ЭТУ. Следует, однако, отметить, что в настоящее время ЧПК, реализующих для расчета электромагнитного поля комбинированные методы (например, КМКиКГЭ) и обеспечивающих возможность решения в полном объеме основных задач, возникающих на этапе проектирования и анализа работы ЭТУ, не существует.

Целью данной работы является развитие комбинированного метода конечных и комплексных граничных элементов, разработка методики построения материального оператора, требующей минимально возможного объема экспериментальных данных, и их реализация в виде численно-программного комплекса для расчета электрических и магнитных полей в нелинейных анизотропных средах.

Для достижения поставленной цели в работе решены следующие основные задачи:

1. Разработана численная процедура построения материального оператора, описывающего магнитные свойства анизотропной электротехнической стали (ЭТС), по известным характеристикам однонаправленного намагничивания путем их нормализации и обобщения.

2. Разработана методика применения КМКиКГЭ для расчета плоскопараллельного магнитного поля, создаваемого токами проводимости и постоянными магнитами в присутствии нелинейных анизотропных ферромагнитных тел, и плоскопараллельного электростатического поля, создаваемого зарядами, распределенными на границе проводящих тел и в окружающем их пространстве.

3. На основе КМКиКГЭ разработан ЧПК, позволяющий без изменения топологических данных геометрической модели выполнять расчет поля ЭТУ для разных значений их конструктивных параметров, а также расчет поля устройств мехатроники, характерной особенностью которых является изменение взаимного расположения элементов магнитных систем.

4. Проведена апробация разработанного ЧПК путем решения задач моделирования плоскопараллельного электрического и магнитного полей различных ЭТУ (электромагнит подвеса, линейный двигатель с постоянными магнитами, трансформаторы с прямыми и косыми стыками, емкостный датчик) и определения их локальных и интегральных характеристик.

Методы исследования. В работе использовались: методы теоретической электротехники, теории вариационного исчисления, теории функций комплексного переменного; численные методы решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (МКЭ, КМГЭ, КМКиКГЭ); численные методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений; численные методы нелинейной оптимизации; методы компьютерного моделирования и компьютерной графики.

Достоверность полученных результатов. Достоверность научных результатов и выводов, сформулированных в работе, подтверждается сравнением полученных результатов с результатами расчетов, выполненных с использованием других программ и методов моделирования электромагнитного поля (РЕММ, Е1сЩ), с данными экспериментальных исследований, полученными и опубликованными другими исследователями, а также критическим обсуждением результатов работы с ведущими специалистами кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ (НПИ) и кафедры мехатроники Технического Университета г. Ильменау (Германия).

Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Методика построения материального оператора, описывающего магнитные свойства анизотропной ЭТС, требующая минимально возможного для обеспечения требуемой точности расчета магнитного поля, объема экспериментальных данных.

2. Технология применения комбинированного метода конечных и комплексных граничных элементов для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах.

3. Алгоритмы и структуры данных, позволяющие задавать геометрию расчетной области, осуществлять расчет поля комбинированным методом, выполнять постпроцессорную обработку результатов расчета.

4. Численно-программный комплекс для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах комбинированным методом конечных и комплексных граничных элементов.

Научная новизна результатов исследования:

1. Разработана методика построения материального оператора, которая позволяет описывать анизотропные магнитные свойства холоднокатаных ЭТС только по двум известным характеристикам однонаправленного намагничивания: вдоль и поперек прокатки. Использующаяся в методике процедура нормализации кривых намагничивания основана, в отличие от известных методик, на решении задачи минимизации функции двух переменных.

2. Впервые описана технология применения КМКиКГЭ для расчета магнитного поля, создаваемого токами проводимости и постоянными магнитами в присутствии нелинейных анизотропных ферромагнитных сред, а также для расчета электростатического поля. Проведено исследование единственности решения задачи расчета поля КМКиКГЭ и предложена процедура определения единственного решения.

3. Разработаны алгоритмы и структуры данных, которые оригинальны тем, что позволяют ставить краевую задачу расчета поля в многосвязной неограниченной области, а геометрическая модель расчетной области имеет возможность параметризации положения ее вершин. Разработанные процедуры позволяют, за счет использования КМГЭ в области с линейными свойствами среды, определять характеристики поля без численного дифференцирования его потенциала и строить максимально гладкие линии равного потенциала.

4. Разработан программный комплекс, который в отличие от существующих программ использует для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей и определения их локальных и интегральных характеристик КМКиКГЭ.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в разработке специального инструментария — ЧПК для расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах, в открытых системах с малыми воздушными зазорами, при возможном изменении геометрии отдельных частей устройства или их взаимного расположения в пространстве, позволяющего с высокой точностью находить локальные и интегральные характеристики поля на стадии проектирования ЭТУ.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: II международной научно-практической конференции «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» (Новочеркасск, 2001); II международной научно-практической конференции «Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах» (Новочеркасск, 2001); III международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2003); 52-й научно-технической конференции студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ) (Новочеркасск, 2003); международном научно-практическом коллоквиуме «Проблемы мехатроники 2003», (Новочеркасск, 2003 г.).

Разработанный численно-программный комплекс был представлен и награжден дипломом 1-ой степени на Всероссийской выставке-ярмарке научно-исследовательских работ и инновационной деятельности студентов, аспирантов и молодых ученых ВУЗов Российской Федерации «ИННов 2003», (Новочеркасск, 2003 г.).

Основное содержание работы отражено в 10 публикациях.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка использованной литературы. Ее содержание изложено на 172 страницах, проиллюстрировано 74 рисунками и одной таблицей. Список литературы содержит 78 наименований.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, состоят следующем:

1. Обоснована актуальность проблемы построения новых, более точных и эффективных, по сравнению с реализованным в большинстве программ расчета электромагнитного поля МКЭ, комбинированных методов, а также разработки на их основе ЧПК, которые позволяли бы более точно, по сравнению с существующими программными продуктами, и с меньшими затратами времени и вычислительных ресурсов, решать основной круг задач, возникающих на стадии проектирования и анализа работы ЭТУ. В качестве вычислительного ядра таких ЧПК предложено использовать КМКиКГЭ, сочетающий в себе достоинства КМГЭ, проявляющиеся при расчете поля и определении его характеристик в ограниченных и неограниченных областях с линейными свойствами среды, с преимуществами использования МКЭ для расчета поля в нелинейных анизотропных средах.

2. Предложена процедура построения материального оператора, описывающего магнитные свойства анизотропной ЭТС, по известным характеристикам однонаправленного намагничивания, а также процедура его линеаризации. Выполнена оценка погрешности описания магнитных свойств анизотропной ЭТС с помощью построенного материального оператора, которая обусловлена ограниченностью объема используемых экспериментальных данных - характеристик однонаправленного намагничивания, необходимых для построения материального оператора.

3. Разработанная процедура построения материального оператора, описывающего магнитные свойства анизотропных ЭТС, после реализации ее в программных комплексах позволяет расширить функциональные возможности программных комплексов, т.к. дает возможность выполнения расчета магнитного поля в кусочно-однородных анизотропных ферромагнитных средах с нелинейными характеристиками при произвольном направлении главной оси анизотропии.

4. Решена задача сокращения объема экспериментальных данных, необходимых для построения материального оператора, описывающего магнитные свойства анизотропной ЭТС, с использованием методов нормализации и обобщения кривых намагничивания, основанных на их геометрическом подобии. Предложены методики определения параметров нормализации и обобщения кривых намагничивания холоднокатаных анизотропных ЭТС, основанные на решении задач минимизации функции многих переменных.

5. Предложенная методика обобщения кривых намагничивания анизотропных ЭТС позволяет по семейству кривых намагничивания базисной стали для всех направлений к оси прокатки и кривых намагничивания любой другой анизотропной стали для направлений вдоль и поперек прокатки восстанавливать полную векторную характеристику намагничивания данной стали. Таким образом, характеристики намагничивания любой холоднокатаной анизотропной ЭТС в направлениях, не совпадающих с главными осями анизотропии, восстанавливаются при минимальном объеме необходимых экспериментальных данных: кривых намагничивания стали вдоль и поперек прокатки.

6. Выполнено обобщение КМКиКГЭ для расчета плоскопараллельного магнитного поля, создаваемого токами проводимости и постоянными магнитами в присутствии нелинейных анизотропных ферромагнитных тел, и плоскопараллельного электростатического поля, создаваемого свободными зарядами и зарядами, распределенными на границе проводящих тел. Получены вариационные формулировки краевых задач расчета магнитного и электростатического полей. Показано, что задачи минимизации функционалов при вариационной постановке равносильны решению соответствующих краевых задач расчета плоскопараллельных электрических и магнитных полей.

7. Описана технология применения КМКиКГЭ для решения задач магнитостатики и электростатики. Расчет поля в нелинейных анизотропных средах с произвольной ориентацией главной оси анизотропии, свойства которых описываются материальным оператором, выполняется МКЭ, а расчет поля в неограниченной области с линейными свойствами среды - КМГЭ, что позволяет снизить размерность дискретных моделей поля.

8. Использование интегральной формулы Коши в области с линейными свойствами среды позволяет более точно, по сравнению с МКЭ, определять локальные и интегральные характеристики поля, не выполняя численного дифференцирования, с погрешностью, обусловленной кусочно-линейной аппроксимацией аналитической функции на границе расчетной области.

9. Исследование единственности решения СЛАУ, полученной в результате применения КМКиКГЭ показало, что ее решение определено с точностью до вектора, образованного наборами констант. Предложена процедура определения единственного решения СЛАУ, основанная на решении внешней краевой задачи комплексным методом граничных элементов.

10.Разработанный ЧПК имеет расширенные функциональные возможности и позволяет выполнять расчет плоскопараллельных электрических и магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных анизотропных средах при произвольной ориентации главной оси анизотропии, в открытых системах, в устройствах с малыми воздушными зазорами, при возможном изменении геометрии и размеров отдельных частей устройства, изменении их взаимного расположения в пространстве.

11.Разработана функциональная модель ЧПК. Описаны алгоритмы и методы компьютерной графики и компьютерного моделирования, использованные для разработки ЧПК. Выбранные для реализации структура ЧПК, а также состав и структуры данных единого информационного массива позволяют использовать одну и ту же геометрическую модель расчетной области для решения разных по физическому содержанию задач.

12.Интерфейс разработанного ЧПК и структура геометрической модели позволяют использовать параметризацию положения вершин при изменении геометрии расчетной области, реализовать возможность без изменения топологических данных геометрической модели выполнять расчет поля ЭТУ для разных значений их конструктивных параметров, а также выполнять расчет поля устройств мехатроники, характерной особенностью которых является изменение взаимного расположения элементов магнитных систем.

13.Предложен графический интерфейс пользователя, особенностью которого является объединение препроцессорных и постпроцессорных средств в одном окне, что позволяет эффективно решать задачи по созданию геометрической модели расчетной области, вводу данных об источниках поля и свойствах сред, определению локальных и интегральных характеристик плоскопараллельного поля.

14.Разработан алгоритм построения линий равного потенциала поля, который позволяет более точно, по сравнению с существующими программными комплексами, изображать силовые линии магнитного и электрического поля за счет использования КМГЭ при расчете поля в ограниченных и неограниченных областях с линейными свойствами среды.

15.Разработанный ЧПК отличается широкими функциональными возможностями и позволяет в полном объеме решать основные задачи, возникающие на стадии проектирования ЭТУ. Это подтверждается проведенными расчетами плоскопараллельных электрических и магнитных полей различных ЭТУ (электромагнит подвеса, линейный двигатель с постоянными магнитами, трансформаторы с прямыми и косыми стыками, емкостный датчик) с использованием препроцессорных и постпроцессорных средств разработанного ЧПК.

16.Результаты электромагнитного расчета различных ЭТУ показывают, что разработанный ЧПК позволяет за счет использования КМКиК-ГЭ с большей точностью, по сравнению с известными программами, реализующими МКЭ, выполнять расчет электрических и магнитных полей, определять локальные и интегральные характеристики поля, находить электромагнитные параметры устройств, строить их магнитные схемы замещения, определять вебер-амперные характеристики магнитных сопротивлений таких схем.

17.Вычислительные эксперименты, проведенные с помощью разработанного ЧПК, показывают, что распределение магнитного поля, его интегральные характеристики и электромагнитные параметры некоторых конкретных ЭТУ существенно зависят от того, насколько точно при моделировании магнитного поля учитываются анизотропные свойства материала магнитопровода. Это обосновывает необходимость учета анизотропии ЭТС при расчете таких ЭТУ на стадии их проектирования.

18.Результаты расчетов различных ЭТУ, выполненных с помощью разработанного ЧПК, их сравнение с экспериментальными данными, а также с результатами, полученными с помощью других программ (ИЕММ, Е1си1), подтверждают конкурентоспособность и вычислительную эффективность ЧПК, возможность его использования на стадии проектирования этих устройств и анализа их работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Астахов В.И. Математическое моделирование инженерных задач в электротехнике: учеб. пособие. - Новочеркасск: НГТУ, 1994. - 192 с.

2. Клименко В.В. Модифицированный комплексный метод граничных элементов для расчета квазистатических электрических и магнитных полей: дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. Наук / НГТУ, Новочеркасск, 1998 200 с.

3. Бондаренко А.И. Моделирование на ЭВМ стационарных магнитных полей линейных индукторных двигателей: дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук / НГТУ, Новочеркасск, 1986 220 с.

4. Демирчан Н.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа, 1986. - 240 с.

5. Клименко В.В., Ткачев А.Н. Применение комплексного метода граничных элементов для расчета плоскопараллельного магнитного поля в многосвязных областях // Изв. вузов. Электромеханика. 1995. № 5-6. С. 9-18.

6. Сильвестр П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986. — 229 с.

7. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: Изд. АН СССР, 1948. - 727 с.

8. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. М.: Энергия, 1970. - 376 с.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1982. — 271 с.

10. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980,-536 е., ил.

11. Кудряшева Ж.Н., Никонов А.И. Численное решение задачи магнитостатики для области с профилированным магитопроводом и подвижным элементом // Электричество. 1990. №12. С. 75-76.

12. Селюк С.С., Астахов В.И. Электромагнитный расчет линейного вихретокового тормоза // Изв. вузов. Электромеханика. 1993. № 5. С. 3-11.

13. Фильтц P.B. Численный метод алгебраизации уравнений Максвелла при расчетах полей в электрических машинах методом конечных разностей // Изв. вузов. Электромеханика. 1990. № 9. С. 29-35.

14. Фильтц Р.В. Дискретный аналог оператора Гамильтона // Мат. методы и физ.-мех. поля, 1985, вып. 23. С. 10-22.

15. Туровский Я. Электромагнитные расчеты элементов электрических машин. М.: Энергоатомиздат, 1986. - 200 с.

16. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. -М.: Мир, 1986.-318 е., ил.

17. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349 с.

18. Никитенко Ю.А., Бахвалов Ю.А., Горбатенко Н.И., Никитенко А.Г. Электромагнитные механизмы. Анализ и синтез / Под ред. А.Г. Никитенко. М.: Высш. шк., 1998. 330 с.

19. Реднов Ф.А., Рожков В.И., Лозицкий O.E. Расчет электромагнитных сил методом конечных элементов // Изв. вузов. Электромеханика. 1997. № 6. -С. 12-14.

20. Матвейчук П.А., Рубинраут A.M. Магнитное поле турбогенератора с насыщенным явнополюсным ротором // Электротехника. 1992. №8-9. -С.2-4.

21. Казаков Ю.Б. Страдомский Ю.И., Щелыкалов Ю.А. Расчет плоско-мередианного магнитного поля в системах с постоянными магнитами методом конечных элементов // Электричество. 1992. №7. — С. 45-48.

22. Кислицын А.Л., Крицштейн A.M., Солнышкин Н.И., Эрнст А.Д. Расчет магнитных полей электрических машин методом конечных элементов. Изд-во Саратовского ун-та, 1980. - 576 с.

23. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. - 333 с.

24. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. М.: Мир, 1989. - 190 е.: ил.

25. Кулон Ж.-Л. Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике: Пер. с франц. М.: Мир, 1988. - 208 е.: ил.

26. Федюков А.Ю. Применение квадратичных треугольных конечных элементов с линейными сторонами при расчете двумерных квазистационарных магнитных полей // Изв. вузов. Электромеханика. 1988. № 6. С. 23-26.

27. Бахвалов Ю.А., Бондаренко А.И., Бондаренко И.И. Бесконечные и конечные элементы для расчета осесимметричных электрических и магнитных полей «открытых» систем // Изв. вузов. Электромеханика. 1991. № 6. -С. 29-32.

28. A. Konrad and М. Graovac. The floating Potential Approach to the Characterization of Capacitive Effects in High-Speed Interconnects / IEEE Trans. Magn., 1997, Vol. 33, No. 2, pp. 1185-1188.

29. Bourais N., Foggia A., Nicolas A., Pascal I.P., Sabonnadiere I. Numerical Solution of eddy-curents problems including conducting parts / IEEE Trans. Magn., 1984, vol. 20, No. 5, Pt. 2, pp. 1995-1997.

30. Бенерджи П., Баттерфильд P. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1984.-415 с.

31. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л., Методы граничных элементов. -Мир.: Мир, 1987.-524 с.

32. Моделирование электромагнитных полей в электротехнических устройствах / А.Е. Степанов, Ю.Г. Блавдзевич, З.Х. Борукаев и др. Киев.: "Тэхника", 1990.- 188 с.

33. Громадка II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 303 е., ил.

34. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: "Наука", 1973. - 736 с.

35. Клименко В.В., Ткачев А.Н. Янов В.П. Расчет индуктивности асинхронного тягового двигателя комплексным методом граничных элементов // Межвуз. сб. науч. тр. «Электромеханические системы и преобразователи», 4.1. Ростов-н/Д, 1996. - С. 59-67.

36. Бахвалов Ю.А., Никитенко А.Г. Лобов Б.Н. и др. Численное моделирование магнитного поля и силовых взаимодействий электромагнитного захвата корпусосборочных устройств комбинированным методом // Электротехника. 1997. №10. С. 37-40.

37. Бочаров В.И., Бахвалов Ю.А., Талья И.И. Основы проектирования электроподвижного состава с магнитным подвесом и линейным тяговым электроприводом. 4.1,2. Ростов н/Д.:Изд-во Рост, ун-та, 1992. - 296 с.

38. Reichert К., Skoczylas J., Tärnhuvud Т. "Automatic mesh generation based on expert-system-methods" IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 27, #5, September, 1991, pp. 4197-4200.

39. Глухов В. П., Якубайтис Э. А. Физическое моделирование дроссельных магнитных усилителей. Рига, Изд-во АН Латвийской ССР, 1961. -198 с.

40. Нормализация характеристик намагничивания. Под общей редакцией В. П. Глухова и Р. К. Шмидта. Рига, "Зинанте", 1974. 196 с.

41. Кирко И. М. Физическое подобие и аналогия намагничивания ферромагнитных тел. Рига, Изд-во АН Латвийской ССР, 1955. 126 с.

42. Ткачев А.Н. Комбинированные методы моделирования квазистационарного электромагнитного поля в нелинейных анизотропных ферромагнитных средах: дисс. на соиск. уч. степ. докт. техн. наук / НГТУ, Новочеркасск, 1998.-491 с.

43. Ткачев А.Н. Характеристики электротехнической стали в режимах планарного перемагничивания // Изв. вузов. Северо-кавказский регион. Сер. технические науки, 1997, №3. С. 15-21.

44. Дружинин В. В. Магнитные свойства электротехнической стали. Изд. 2-е, перераб. М.: «Энергия», 1974. 240 е., с ил.

45. Холоднокатаные электротехнические стали: Справ, изд. Молотилов Б. В., Миронов Л. В., Петренко А. Г. и др. М.: Металлургия, 1989. 168 с.

46. Завьялов Ю.С., Квасов О.И., Мирошниченко В.П. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 350 с.

47. Толмочев С.Г. Специальные методы решения задач магнитостатики. Юев, Вища школа, 1983. - 166 с.

48. Калинин Е. В. Экспериментальное исследование и математическое описание векторных характеристик намагничивания анизотропных листовых электротехнических сталей // Электротехника, 2000, №2. С. 20-27.

49. Юдаев Г.С. Алгоритмы и программы нелинейной оптимизации. Новочеркасск, 1992.-203 с.

50. Ткачев А.Н., Шкуропадский И.В. Вариационная формулировка краевых задач расчета плоскопараллельного магнитного поля в анизотропных ферромагнитных средах // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2002. Спецвыпуск. С.20-21.

51. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. - 431 с.

52. Гельфанд И.М, Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1961.-228 с.

53. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие. М.: Высш. школа, 1983.-463 е., ил.

54. Мансуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление и функции одной переменной. М.: Высш. шк., 1986. 480 с.

55. ДрозденкоЦурин Дрозденко К.В., Цурин О.Ф. Практика построения графических диалоговых систем. - К.: Вища шк. Головное изд-во, 1987. -192 с.

56. Вендров A.M. CASE-технологии. Современные методы и средства проектирования информационных систем. М.: Изд-во «Финансы и статистика», 1998. - 176 с.

57. Шикин A.B., Боресков A.B. Компьютерная графика. Полигональные модели. М.: «ДИАЛОГ-МИФИ», 2000. - 464 с.

58. Геометрическое моделирование и машинная графика в САПР: Учебник / Михайленко В.Е., Кислоокий В.Н., Лященко A.A. и др. К.: Выща шк., 1991.-374 е.: ил.

59. Бахвалов Ю.А., Бочаров В.И., Винокуров В.А., Нагорский В.Д. Транспорт с магнитным подвесом. М.: Машиностроение, 1991. - 320 с.

60. Абрамкин Ю.В. Теория и расчет пондеромоторных и электродвижущих сил и преобразования энергии в электромагнитном поле. М.: Изд-во МЭИ, 1997.-208 с.

61. Тозони О. В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах.- Киев: Техника, 1967.- 252 с.

62. Аншин В.Ш., Худяков В.И. Сборка трансформаторов и их магнитных систем. М.: Высшая школа, 1985. - 272с.

63. Сафаров С.Ф. Модели статического и динамического гистерзиса для расчета магнитного поля в остовах электротехнических стройств: дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. Наук / НГТУ, Новочеркасск, 1999 200 с.

64. Бухгольц В.П., Тиссевич Э.Г. Емкостные преобразователи в системах автоматического контроля и управления. М.: Энергия, 1972. 80 с.

65. Расчет электрической емкости / Ю. Я. Иоссель, Э. С. Кочанов, М. Г. Струнский. "Энергоиздат", Москва. - 1981. - с.288.

66. Комплекс программ, разработанный Шкуропадским И.В., используется также для расчета магнитных полей других сложных электротехнических устройств с различной конфигурацией их магнитных систем.

67. Использование программного комплекса позволяет сократить сроки проектирования электротехнических устройств.1. Председатель комиссиик.т.н. Янов В.П.

68. Члены комиссии: Седов В.И.к.т.н. Суслова К.Н.