автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы, использующие старшие производные, для обыкновенных дифференциальных уравнений с контролем точности

на правах рукописи

Меркулов Аркадий Игоревич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ

СТАРШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОНТРОЛЕМ ТОЧНОСТИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2005

Работа выполнена на кафедре математической кибернетики и информатики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ульяновский государственный университет

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Куликов Геннадий Юрьевич

Официальные оппоненты:

V

доктор физико-математических наук, профессор Горбунов Владимир Константинович

доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Евгений Борисович

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им М.В. Келдышева РАН, г. Москва

Защита состоится «21» декабря 2005 г. в 09:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: г. Ульяновск, Университетская Набережная, 1, ауд.

Отзывы на работу просим направлять по адресу: 432970, г. Ульяновск, ул. Л.Толстого, д.42, УлГУ, Управление научных исследований

703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат раз< _2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Веревкин А.Б.

2 0С6 -4

гш iw

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Известно, что многие математические модели динамического типа в области биологии, медицины, механики, электротехники, химической кинетики и т. д. представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравненш! (ОДУ) вида

где x(t) £ R", а функция д : Rn+1 —> R" достаточно гладкая.

Очень часто аналитическое решение указанных систем найти крайне сложно или вообще невозможно. Поэтому численные методы являются одним из основных способов практического исследования таких моделей.

В настоящее время по соображениям устойчивости наиболее широко используются одношаговые методы, теория и практическая реализация которых изучены достаточно полно. Однако следует отметить, что построение одношаговых методов высокого порядка представляет собой довольно трудоемкий процесс. В связи с чем актуальным является поиск методик, позволяющих облегчить процесс нахождения численные методов, удовлетворяющих заданным требованиям по точности и устойчивости.

В данном направлении основной акцент современная наука уделяет использованию многошаговых методов и методов, использующих старшие производные. И если первые довольно хорошо изучены, то число работ, посвященных исследованию методов со старшими производными, весьма ораничено (см., например, работы Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Ни-куличев Ю.В.1, Fehlberg Е.2, Kastiunger К.Н., Wanner G.3, N0rsett S.P.4). При этом многие из перечисленных выше работ имеют в основном теоретическую ценность и не дают явных формулирок методов или способов их получения. Таким образом, существует насущная потребность в нахождении класса методов со старшими производными, имеющих простую методику построения, четкую оценку погрешности и хорошо изученные возможности практической реализации.

'Аульченко С М , Латыпов А Ф , Никуличев Ю В Метод численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием интерполяционного полинома Эрми га// Жур. вьгчисл. матем. матсм. физ. 1998. 'Г 38. № 10. С. 1665-1670

2Fehlberg Е New high-order Rungc-Kutta formulas with step size control for systems of

first and second order differential equations// ZAMM. 1964. V. 44. Sonderheft T17 T19.

''Kastlunger K 11 , Wanner G Rmige-Kutta processes with multiple nodes// Computing.

¿(t) = g(t,r{t)), te[to,tb + T\, x(to) = x0,

(la) (16)

1972. V. 9. P. 9-24.

"Norsett S P One-slep inelhods of Hermitc typl

l of st iff systems//

BIT. 1974. V. 14. P. 63-77.

Также следует отметить, что вопрос о надежной и достоверной оценке точности численного решения и .эффективной организации процесса автоматического управления погрешностью численных методов для ОДУ вообще (и одногошаговых методов в частности) изучен недостаточно. И если проблемам оценки глобальной ошибки посвящено достаточно большое число работ, то обсуждению алгоритмов автоматического контроля глобальной ошибки уделено значительно меньше внимания. Можно указать лишь относительно небочыное количество статей, так или иначе затрагивающих эту тематику: Новиков В.А., Новиков Е.А.5. Dahlquist G.6, Lindberg В.7, Skeel R.D.8, Stetter H..I.9

Поэтому крайне актуальна задача по развитию методики оценки локальной и глобальной ошибок, предложенной Куликовым Г.Ю. 10 с целью постоения нового класса численных методов, позволяющих достичь любую разумную наперед заданную точность вычислений в автоматическом режиме.

Целью работы является разработка, обоснование и тестирование новых одношаговых численных методов, использующих старшие производные, для решения ОДУ. При этом важнейшей задачей, имеющей большое прикладное значение, является обеспечение заданной точности вычислений в автоматическом режиме.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы вычислительной математики, математического и функционального анализа, линейной алгебры и программирования.

Научная новизна. Все основные результаты настоящей диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1 ) Построено семейство А-устойчивых одношаговых коллокационных методов, использующих старшие производные, для нахождения численного решения систем ОДУ, в том числе и жестких задач.

2) Исследована сходимость и точность указанных численных методов.

'Новиков В А , Новиков Е А О повышении эффективнос ти алгоритмов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений за счет коп iроля устойчивости// Жур вы-числ. матем mai ем. физ 1985 Т 25 № 7 С. 1023-1030

G Dahlquist G Он the control of the global error in stiff initial value problems. Lecture Notes in Math. V. 912, Springer, Berlin-New York, 1982, P. 38-49.

7Lindberg В Characterization of optimal stepsize sequences for methods for stiff differential equations// SIAM J. Numer. Analys. 1977. V. 14. № 5. P. 859-887.

8Skeel R D Global error estimation and the backward differentiation formulas// Appl. Math Comput. 1989. V 31 P 197-208.

9Si etter H J Local estimation of the global discretization error// SIAM J. Numer. Analys. 1971. V. 8. P. 512 523.

10Kijihkob Г Ю Чиоенные меюды с контролем i лобальной ошибки для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1- Дис .. докт физ.-мат наук. Ульяновск: Ульяновским i ос. университет, 2002. 315 с

3) Разработана методика корректной реализации Е-методов го старшими производными на практике.

4) Выведена асимптотическая оценка погрешности для методов ньютоновского типа и предложена на ее основе схема упрощенных итераций Ньютона, оптимизирующих реализацию разработанных в диссертации алгоритмов.

5) Предложенные ранее способы оценки и автоматического контроля локальной и глобальной ошибок адаптированы для Е-методов со старшими производными.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер, но может иметь широкое практическое применение. Полученные в ней теоретические результаты представляют интерес для численного решения нелинейных дифференциальных уравнений с контролем глобальной ошибки, что в прикладном аспекте создает плодотворную базу для разработки автоматизированных систем математического моделирования в различных областях науки. При этом способность обеспечивать заданную пользователем точность вычислений в автоматическом режиме существенно повышает достоверность математического моделирования на практике.

Основные положения, выносимые на защиту.

1) Методика построения А-устойчивых методов со старшими производными на основе использования интерполяционных полиномов Эрмита, а также формулы для вычисления коэффициентов методов, оценки скорости сходимости и погрешности методов.

2) Теоремы сходимости комбинированных алгоритмов, построенных на основе итерационных процессов для нелинейных уравнений, а также прикладные аспекты их практической реализации.

3) Вывод асимптотической оценки погрешности для методов ньютоновского типа и формулировка упрощенных итераций Ньютона, оптимизирующих работу предложенных в диссертации ачгоритмов.

4) Способы оценки и автоматического контроля локальной и глобальной ошибок для Е-методов со старшими производными.

Кроме того, в дж ссртации разработана библиотека программ на языке С++, позволяющая интегрировать системы ОДУ с любой разумной наперед заданной точностью в автоматическом режиме.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсу-

ждались: на ХХУ-ХХУ1 конференции молодых ученых механико - математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2003 2004).

на пятой международной научно-технической конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (Ульяновск. 2003), на 2nd International Conference on Computer Science and its Applications (Assisi, Italy, 2004), на 4th International Conference on Computer Science (Krakow, Poland, 2004), на научно-исследовательских семинарах Вычислительного центра РАН, Института вычислительной математики РАН, механико-математического факультета МАИ, механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и механико-математического факультета УлГУ. Исследования проводились при финансовой поддержке со стороны: Российского фонда фундаментальных исследований (проект JV* 98-01-00006,1998 2000; проект JV* 01-01-00066, 2001 н.вр.).

Личный вклад автора. Постановка задач осуществлялась научным руководителем, д.ф.-м.н. Г.Ю. Куликовым, теоретические положения, проведение расчетов и анатиз полученных результатов выполнены автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10]. При этом результаты из работ, подготовленных в соавторстве, либо использованы частично, в соответствии с личным вкладом каждого автора ([1, 2, 9]), либо приведены в переработанном виде ([3, 4, 10]).

Структура диссертации. Диссертация объемом 125 страниц состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы (148 наименований). Работа включает 62 таблицы и 1 рисунок.

Содержание работы

Первая глава, состоящая из четырех параграфов, носит вводный, вспомогательный характер и обозначает основные достижения в области исследования одношаговых методов, итерационных процессов, оценивания и контроля локальной и глобальной ошибок.

Вторая глава, состоящая из пяти параграфов, занимает одно из центральных мест в диссертации, так как в ней решена задача построения, исследования и практической реализации класса методов, использующих старшие производные.

В параграфе 2.1 рассмотрен базовый пример построения численного метода на основе использования полинома Эрмита, изложенный в работе Аульченко С.М., Латыпов А.Ф.. Никуличев ТО.В.11.

11 Av/11.41 ико С М . Латыпов А Ф Никуличев Ю В Метод численного интегрирования си-< /ем обмкпоненнмх дифференциальных уравнений г использованном интерполяционного noimioMd Эрмита// /Кур. вычисл. магем. матем фит. 1998 Т. 48. X' 10. С. 1665 1670.

Идея заключается в аппроксимации правой части дифференциального уравнения (1) интерполяционным многочленом Эрмита, построенным по значениям <7*+, = д{хк+,), ее производной д'к+1 = д'х(хк+1) в точках £*+« — Ч + г7"> г = 0,1/2,1. Предполагается, что задача (1) автономна. Последующее интегрирование и подстановка ^+1/2 и 1 приводят к формированию системы нелинейных уравнений для нахождения приближенного решения рассматриваемой задачи в конечной точке отрезка 1]:

131 23 2 , 19 **+1/2 = ** + + —г -

+д^У4+1як+1 + ^тдш/2, (2а)

7 1 8

хк+1 = хк + + дк+\) + —-т2{д'кдк ~ д'шЗк+х) + ^тдк+у2, (26)

к = 0,1,..., К - 1, где х0 = х°, дк+г = д(хк+г), д'кн = д'х{хк+г), » = 0,1/2,1. Формулы (2) названы Е-методом в процитированной выше статье.

В параграфе 2.2 приведено обобщение описанной выше методики для построения целого семейства Е-методов более общего вида.

Е-методы предложено строить по трем точкам ^/2, ] = 1,2,3, но при условии, что число используемых производных функции вы-

численных в начальной и конечной точках отрезка [^,^+1], может быть произвольного порядка от 0 до р включительно. Формула для соответствующего многочлена Эрмита, аппроксимирующего правую часть задачи (1), имеет следующий вид12:

Я32р+2(*) = (-1)р+14р+1<7*+1/2(* - - ¿*н)Р+1+

2 р р-г 1

;=1г=о о г1г\

(•) »

зП^т (3)

где П{1) = (< - Н)^1^ - **+1/2)(/ - )р+\ а д^ = . хк+3^)

обозначает г-ую полную производную вектор-функции #(£)) по независимой переменной

Далее, нетрудно получить коллокационный метод со старшими производными:

1/2 = Тк + Т £ Тг (а[г)д{^ + а^^,) + та^д^/г, (4а)

р

I

г=0 V

I

г=0

= х* + г £ г" ШдУ + Ъ^д^Л + тЬ^дк+1/2, (46)

п 4 '

хо = -г0, (46)

2ИЕРЕ1ИН И С . Жилкой Н П Методы вычислений. Т 1 М • ГИФМЛ, 1962

в котором нулевая производная подразумевает исходную функцию, а коэффициенты вычисляются по формулам

I \ 1

=о г'г-

(в-з + 1)"+1

щв)

(0

1/2 /

{9-з + ^р-'-ч-1

¿в.

о 1/2

40) = (_1)р+чр+11 вр+1(е - 1)>+Че,

I \ р~т 1

б(г) = г

> Ас ,1г1

,=0 »¡г!

Ф(0)

(0

1 /

Ф(0)

¿в.

Ь(20) = (-1)Р+14"+1 / вр+1(в - \у*1М,

(5а) (56) (5в) (5г)

Здесь, в = (г - Ьк)/т и Ф(0) = 0Р+1(в - 1/2)(0 - 1)р+1.

Имеет место следующий теоретический результат, дающий оценку погрешности метода (4).

Теорема 1. Пусть правая часть задачи (1) 2р + 5 раз непрерывно дифференцируема в окрестности решения х(Ь) на отрезке [¿о,¿о + Т]. Тогда при г —> 0 коллокационный метод (4) сходится к точному решению &•(£) с порядком 2р + 4, т.е.

и (6)

где С — некоторая константа, не зависящая от т.

Далее, очевидно, что формулы (5) неудобны для практического применения. Поэтому доказано, что

Теорема 2. Коэффициенты ко л локационно? о метода со старгиими производными (4) удовлетворяют соотношениям:

1 ' {р + чУ

АО) = (Р + 1)! ^ (-1)' 2 2 ¿о«(р + 1-ОК2/ + 1)'

_ ИГ^'Л'^1 (-1у(, + г)!

3 г!2р+г+2 ЬиН /!(«•+>-/)!

_1_.А (^ + чУ _П1

(7а)

(76) (7в)

а выражаются через а^ по формулам

^=«<"» + (-1)^, = = + (8)

В частности, при р — 1 получаем коэффициенты метода (2), а при р = 2 приходим к методу 8-го порядка:

689 ¡о) 169 2 (1) 17 •> (2)

= ** + 2ЙоГЛ + шг ^ Ч ^ -

81 (0) 41 2 (!) 19 з (2) 8 (0) ~2240Т9к+1 + 4480Г " Щ)Т 9к+' + 35ТЛ+1'а'

= + ^г + + № ~ А1!:) +

210 V* 35

1 ч I (1\ . Г21 \ 16

+ 7П7-Х

(96)

840

В параграфе 2.3 исследовано такое важное свойство полученного класса методов, как А-устойчивость. Основным результатом параграфа является

Теорема 3. Коллокационный метод (4) А-усточив при любом р > 0, и не существует Ь-устойчивых методов данного вида.

Параграф 2.4 посвящен вопросу о практической реализации построенного класса численных методов. Дело в том, что в каждой точке сетки метод (4) представляет собой нелинейную систему уравнений и. соответственно, требует привлечения того или иного итерационного процесса, погрешность которого может существенно влиять на точность вычислений.

Итак, в каждой точке сетки (т.е. при фиксированном к = 0,1,..., К — 1) рассмотрим следующую задачу:

Хк+1 = СТкХш (10)

относительно вектора неизвестных

Хк+1 = ({хк+]Г2)т, {хк+1)т)т е 112т. где отображение Ск : И2"1 —> Л2"1 задано формулой

(*кХк+\ =

' ** + Г £ г' («IV + аГЫГ-М + та^дш/2,

г=0 4 '

хк + т±т' ШдР + «№) + тЬРдк+1/2

г=0 4 '

Обозначим через хк{\ = хк+1(!\г) значение приближенного решения задачи (10) в точке полученное после N итераций некоторого итерационного процесса. Сформулируем следующие комбинированные алгоритмы.

Е-метод с простыми итерациями (ЕПИ-метод):

Х1+1=СГкХЪ\, 1 = 1,2,...,^, (11а)

Х°к+1=Х?, к = 0,1,... ,К - 1, (116)

где отображение Щ задается аналогично (10), но с заменой хк на хк = хк . Е-метод с итерациями Ньютона (ЕН-метод):

Х'ш = Х'к+\ - дЩ(Х'к-+\у'Е1Х£ь I = 1,2,..., ЛГ, (12а)

Х°к+1=Х?, к — 0,1,... ,К — 1, (126)

где — ЕЪп - Ск (Е-2т — единичный оператор в К2"1) и дРк(Х1+\) есть матрица Якоби отображения Ёк, вычисленная в точке Хк~^\.

Е-метод с модифицированными итерациями Ньютона (ЕМН-метод):

хи 1 = ХШ - ЭП(Х1+1) ^[ХЩ г — 1,2,.... ДГ, (13а)

Х°к+1=Х?, к = 0,1,...,К-1, (136)

Следующая задача — теоретическая оценка порядка методов (11)—(13) с целью нахождения оптимального числа итераций в точке сетки для каждого комбинированного алгоритма. Параграф 2.5 решает эту проблему и его основым результатом является

Теорема 4. Пусть правая часть задачи (1) достаточное число раз дифференцируема в окрестности решения х(Ь) на отрезке [¿о, ¿о + Т]. Тогда при г —> 0 приближенное решение этой задачи хк{М), к = 1,2,..., К, полученное с помощью алгоритмов (И), (12) плп (13), существует и сходится к точному решению х(Ь). При этом справедлива оценка ошибки

\\x{tk)-xk{N)\\<C^, к = 1,2,..., А", (14)

где

fi = min{2A'+1 — 2,2р + 4} — для ЕН-мегпода,

/( = min{2/V, 2р ■+- 4} — для ЕМН-метода. 11 = min{7V. 2р + 4} — для ЕПИ-метода,

где C'p — некоторая константа, не зависящая от т.

Таким образом, для обеспечения максим&чьной скорости сходимости число итераций в каждой точке сетки достаточно удовлетворять условиям:

N > bg2 (р + 3) — для ЕН-метода, (15)

N>p + 2 — для ЕМН-метода, (16)

N > 2р + 4 для ЕПИ-метода. (17)

Данные оценки подтверждены также результатами численных экспериментов.

Третья глава, состоящая из трех параграфов, занимает важное место в диссертационной работе, поскольку она посвящена оптимизации комбинированных алгоритмов (11)-(13) по следующимтрем направлениям:

1. снижение ограничений налагаемых оценками (15)—(17) на минимальное число итераций в каждой точке сетки;

2. сокращение вычислительных затрат на каждой итерации;

3. оптимизация выбора узлов сетки шт с целью сокращения общего числа вычислений и управления ошибкой численных методов.

Итак, параграф 3.1 реализует первое направление, т.е., применения нетривиальных предикторов для снижения количества итераций в каждой точке сетки при сохранении требуемого порядка сходимости.

Определение 1. Пусть для точного решения уравнения (10) Хк+\ и начального приближения Х['+1 для итераций (11)-(13) существует, отображение П(£) : И"1 —¥ К"1, такое что

Хш-Х°ш=0(т<+1), к = 0,1,..., К, (18)

где Хк+1 = (х(Ьк+1/2)т,х^к+1)'Г)Т и = {Щк^/2)Т,Щк+\)Т)Т, то отображение П(£) будем называть предиктором порядка £.

Применение предикторов требует уточнения формулировок методов (11)-(13). Теперь

Е-метод с простыми итерациями (ЕПИ-метод):

**+1 = <ЗрГ£м, |-=1,2,...,ЛГ, (19а)

х°ш = тш/2)Т,П(г*+1)т)7 ей2™, к = о, 1,...,к -1; (196) Е-метод с модифицированными, итерациям,и Ньютона (ЕМН-метод):

= ХЦ\ - дЁЦ{Х°ш Г1Р1Х1-+\, ' = 1,2,.... ¿V, (20а)

Х°к+1 = тк+1/2)Т,П(и+1)Т)Т к = 0,1,... ,К - 1; (206)

Е-метод с итерациям,и Ньютона (ЕН-метод):

= - дтХТ+\Г1ЧХ1~+\, * = 1,2,..., ЛГ, (21а)

1»+1 = (П(<н,/2)'',П((Н|)Г)Г6й2т, А: = 0,1,...,А'-1. (216) Обобщим теорему 4 на случай комбинированных методов (19) (21).

Теорема 5. Пусть правая часть задачи (1) достаточное число раз дифференцируема в окрестности решети r(t) на отрезке [in, H + Т]. Тогда при т —> 0 приближенное решение этой задачи x^N). к = 1,2,.... А'. полученное с помощью комбинированного алгоритма (19), (20) или (21), построенного с применением предиктора II (t), существует и сходится к точному решению x(t). Кроме того, справедлива оценка ошибки

МЬ)-ЫЩ<С„Т>, к = 1,2,..., К, (22)

где

ц = min{(£ + 1)2^ —2,2р + 4} для ЕН-метода,

fi = min{(£ + 1)(N + 1) - 2,2р + 4} для ЕМН-метода, ц = min{Ar + £ — 1,2р + 4} для ЕПИ-метпода,

£ — min{£ + 1,2р + 3}, С - порядок предиктора П(<), а Сц — константа.

Теорема 5 имеет большое практическое значение, поскольку позволяет повышая порядок предиктора, снизить ограничение на минимальное число итераций в каждой точке сетки:

А' > log2 для ЕН-метода, (23)

N > j^y ~ 1 для ЕМН-метода, (24)

N > 2р + 5 - £ для ЕПИ-метода. (25)

Результаты теоретических исследований и численных эспериментов показали, что наилучший результат достигается при использовании предиктора

р

г=0 0 \ г!г!

х ^ (~1)П^+'+г+1 - 1) ^(-1)-(у + г-)!(г+г)! у (26)

г=о !-?)!(? +г + г+ 1) г!г!р!

г+г (-1)«(/9?+р+2 - 1)

Х ,=о д!(г + г~д)!(д+р+2), где в =

Подставляя последовательно в = 3/2 и в = 2, можно получить конкретные формулировки для поиска начального приближение для упомянутых

выше итерационных процессов. Например, для метода (9) формула (26) дает

17 ¡о) 73 .. и) 59 з (2)

(27а)

= ** - ^тдЦ, - —г дИ, + —г д1_1+ 64 640 9к + 3840 Зк '

+ 2 Т9к 10 9к + 120 Л • В параграфе 3.2 проведена работа по сокращению вычислительных затрат на каждую итерацию, для чего предложено использовать обобщенные итерации Ньютона.

Е-метпод с обощенными итерациями Ньютона (ЕОН-метоО):

х1+1 = Х'к-\ - Л1(Х1-\у1Р;Х'-\, г = 1,2,..., Л' (28а)

=(ЩЬ+Ф)Т,ЩЬШ)Т)Г ёИ2"1, * = 0,1, ...,К-\. (286)

где Атк : И2'" Ь(Т12т) — некоторое линейное отображение.

Доказательство сходимости указанного комбинированного алгоритма, было проведено в два этапа. Вначале была получена ассимпотическая оценка погрешности метода Ньютона общего вида.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы об обощенных итераи,у ях Ньютона13. Тогда для ошибки м,етода (28) при любом достлточно малом а справедлива оценка

С

\\Х' -Х»\\< - - Е (1Щ"-{+1(2аУ, N=1,2,..., (29)

а1 *=)

где С некоторая константа, независящая ни от а ни от 7.

Затем выведена собственно оценка погрешности метода (28).

Теорема 7. Пусть правая часть задачи (1) достаточное число раз дифференцируема в окрестности решения х(1) на отрезке + Т]. Пусть отображения Ак : А С И2"1 —> £(112т), где ЦВ?"1) - пространство линейных операторов в И2т, выбираются так, что

\\Ак(Х)-дГк{Х)\\<Ст^1 ЧХеЮи (30)

где С - некоторая константа, £ = ппп{£ +1,2^ + 3}, С — порядок предиктора (26), который использован при вычислении начального приближения для итерационного процесса. Тогда при г —> 0 приближенное решение

|3Ортегл Дж , Рейнполдт В Итерационные ме 1 о ты решения не-шмеймих систем уравнении со многими неизвестными. М. Мир, 1975.

этой задачи х*(ЛГ), к = 1,2, полученное с помощью комбиниро-

ванного алгоритма (28), построенного с применением предиктора (26), существует и сходится к т,очному решению х(/). Кроме того, справедлива оценка ошибки

где )1 = тт{(( + 1)^ + 1) - 2,2р 4- 4}, а С^ — константа.

В качестве конкретного примера было предложено использовать комбинированный ЕОН-метод с упрощенным Якобианом, т.е. с матрицей А вида:

Показано, что указанный метод удовлетворяет условиям теоремы 7 и должен иметь скорость сходимости как у ЕМН-метода (12). Этот теоретический результат подтвержден практическими экспериментами.

Наконец, параграф 3.3 посвящен наиболее важному, с точки зрения практического применения, вопросу автоматического достижения заданной точности вычислений. Подчеркнем также, что решение данного вопроса напрямую связано с управлением шагом интегрирования и, таким образом, является важным инструментом повышения эффективности вычислений, позволяя оптимизировать объем компьютерных операций.

Применение методик локального и глобального контроля ошибки вычислений требует перехода к семейству Е-методов с переменным шагом. Для этого в формуле (4) заменяем г на тк, что приводит к ЕПИ-, ЕН-, ЕОН- и ЕМН-методам с переменным шагом интегрирования. При этом все приведенные выше теоретические результаты остаются в силе и для переменного шага, если под г понимать теперь диаметр сетки.

Однако уточнения требует случай применения нетривиальных предикторов. Дело в том, что при т^-у ф 7> формула для предиктора будет содержать не только 1, но и отношение рк = Тем не менее, это касается только практической реализации Е-методов с сохранением всех полученных ранее теоретических выкладок.

Данный параграф посвящен в основном ответу на вопрос, как распределить точки сетки на отрезке , ¿0 + Т] оптимальным образом. Адаптация для нашего случая классического алгоритма контроля локальной ошибки с использованием правила Рунге и последующие численные эксперименты показали, что только если число итераций удовлетворяет оценкам (23)-(25), то метод дает максимальную точность. Тем не менее, ошибка метода п любом случае превышает установленный предел сл. что говорит о недостаточности контроля только локальной ошибки.

М«*) - < к = 1,2,..., к,

(31)

(32)

Для получение более точной методики контроля ошибки требуется рассмотреть задачу управления глобальной ошибкой Е-методов в автоматическом режиме. Теоретические исследования, приведенные в параграфе, позволяют адаптировать устойчивый неявный локально-глобальный контроль точности численного решения, предложенный в процитированной выше диссертации Куликова Г.Ю.. который и будет использован для управления размером шага интегрирования Е-методов.

Итак, для нахождения главного члена разложения глобальной ошибки метода (4) можно использовать следующие формулы.

4>2р+4&к+1) = (Егп ~ ПдхЯ^к+иХ

X (ф2р+4(**) + Ткф2р+5(1Ш)),

ф2Р+4(и)=0, к = 0,1,...,К - 1. (336)

где неоднородность г/^р+гДО означает коэффициент главного члена локальной ошибки метода (4).

Для контроля точности вычисления глобальной ошибки воспользуемся правилом трапеций

ф2р+Жк+\) = [Ет - удг$г(г*4ь2(£*+1))) х

х [Ет + ~дхд^к, ж(^))^2Р+4(^+1)+ (34а)

(Ет - 1~-дхд{1к+иФк+]))) + 4>2Р+^к+\)),

ф2Р+4(1к)=0, к = 0,1,...,К - 1. (346)

Далее, определим границы для локальной и глобальной ошибок Е-метода, соответственно ел и Выбирем границу для контроля погрешности численного решения системы (33) елг = ег/100. Предположим, что в точке Ьк глобальная ошибка численного решения не превосходит ег, а начальное условие (336) имеет место. При этом был выполнен шаг с алгоритмом контроля локальной ошибки и получена оценка фър+ь(£*) <' точностью ег. Наконец, выполняем следующее.

1. Осуществляем шаги 1-4 алгоритма контроля локальной ошибки до тех пор, пока норма 'фър+ь^к+х) превышает £л.

2. С помощью (33) находим коэффициент главного члена глобальной ошибки 1р2р+*(1к) и запоминаем его.

3. С помощью (34) находим коэффициент главного члена глобальной ошибки с точностью на порядок выше. Вычитая из вновь полученного ранее сохраненное значение Фчр+^к), получаем оценку Лг"'2Р-и(^ н)-

(33а)

4. Проводим сравнение Д 1/^+4(^+1) с заданным пределом елг. Если оцен-

ка превышает слг, то возвращаемся в точку хк и повторяем шаги 1-3 с новым размером шага интегрирования тк = (гд;,/|| 4 (1к+1) || > при этом запрещаем увеливать шаг интегрирования в алгоритме локального контроля. Иначе переходим к шагу 5.

5. Определяем максимально возможный шаг гарантирующий необходимую малость ошибки численного метода, по формуле14

6. Если д > 1, то возвращаемся в точку хк и повторяем шаги 1-5 с новым размером шага интегрирования тк = Иначе повторяем шаги 1-5 для точки хк+1 = Х)ь+1 + Джа+1, значения оценки локальной ошибки

Данные численных экспериментов однозначно говорят о том, что приведенный вьппе алгоритм действительно позволяет получить численное решение с заданной наперед точностью, что выгодно отличает ого от стандартно применяемых методик локального контроля ошибки.

В целом, результаты вычислительных экспериментов подтверждают теоретические положения главы 3.

Приложение, состоящее из одного параграфа, содержит описание библиотеки программ, разработанной на основе пакета ИНТЕГРАТОР 1.015 и использованной для проведения всех практических расчетов в рамках работы над диссертацией. Библиотека является набором процедур, написанных на языке С++ и ориентированных на решение систем ОДУ с заданной точностью.

Выводы:

1) В ходе выполнения работы осуществлено полноценное построение класса Л-устойчивых методов со старшими производными на основе использования интерполяционных полиномов Эрмита. Выведены явные формулы для вычисления коэффициентов методов, оценки скорости сходимости и погрешности методов.

2) Применение итерационных процессов позволило сформулировать комбинированные алгоритмы необходимые для практической реализации полученных методов. Доказательство сходимости комбинированных

14Кнадратиые скобкч в (35) обозначают целую часть числа

"Шищии С К Автоматическое управление точнооью численного решения обыкновенных (ифференциальных уравнений линейными многошаговыми методами : Дис. . капд физ-мат. наук. Ульяновск: Ульяновский гос. университет, 2003.

^+5(^+2) И шага тк+1 = т*к.

алгоритмов позволило определить оптимальное число итераций для каждого алгоритма, гарантирующее максимальный порядок сходимости.

3) С помощью применения предикторов удалось добиться снижения ограничений на минимальное число итераций и получить менее затратные в плане вычислений алгоритмы.

4) С целью дальнейшей минимизации вычислительных затрат была выведена асимптотическая оценка погрешности для методов ньютоновского типа и сформулированы упрощенные итерации Ньютона, что позволило снизить вычислительную нагрузку на каждой итерации без снижения общей скорости сходимости.

5) В завершении была разработана модификация известных способов оценки и автоматического контроля локальной и глобальной ошибок для Е-методов со старшими производными и сформирован пакет программ, позволяющих интегрировать любую заданную систему ОДУ приведенными методами с заданной точностью.

Основное содержание данной работы опубликовано в следующих работах:

[1] Куликов Г.Ю., Меркулов А.И. Об асимптотической оценке погрешности методов ньютоновского типа и ее практическом применении // Фундаментальные пробл. матем. и механ. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2003. Вып. 1(13). С. 36-47.

[2] Куликов Г.Ю., Меркулов А.И. Об одношаговых коллокационных методах со старшими производными для решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 10. С. 1782-1807.

[3] Куликов Г.Ю., Меркулов А.И., Хрусталева Е.Ю. О квадратичной экстраполяции, основанной на колокационных методах со старшими производными // Фундаментальные пробл. матем. и механ. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2003. Вып. 1(13). С. 48-62.

[4] Куликов Г.Ю., Меркулов А.И.. Хрусталева Е.Ю. Симметричные коллокационные методы со старшими производными и квадратичная экстраполяцию // Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва: Мех.-мат. фак. МГУ. 2004, т. 2, с. 145-148.

[5] Меркулов А.И. Об одном методе, использующем производные высших порядков, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Фундаментальные пробл. матем. и механ. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2002. Вып. 1(11). С. 120-126.

[6] Меркулов А.И. О численном интегрировании дифференциальных уравнений с высоким порядком точности. // Труды пятой международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов", Ульяновск: УлГУ, 2003, с. 129-131. '

[7] Меркулов А.И. Об одном методе высокого порядка сходимости для , обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ

им. М.В. Ломоносова, Москва: Mex.-мат. фак. МГУ, 2004, т. 1, с. 124126.

[8] Меркулов А.И. Применение методов ньютоновского типа для эффективной реализации высокоточных методов со старшими производными // Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва: Mex.-мат. фак. МГУ, 2004, т. 2, с. 174-177.

[9] Kulikov G.Yu., Merkulov A.I. Asymptotic Error Estimate of Iterative Newton-type Methods and Its Practical Application // In: A. La-gans'a et al. (Eds.): Computational Science ICCSA 2004. 2nd International Conference on Computer Science and its Applications. Assisi, Italy. May 14-17 2004. Lecture Notes in Computer Science, 3045 (2004), pp. 667675.

<r

[10] Kulikov G.Yu., Merkulov A.I.. Khrustaleva E.Yu. On a Family of A-stable Collocation Methods with High Derivatives // In: Marian Bubak. Geert Dick van Albada, Peter M.A. Sloot, and Jack J. Dongarra :

(Eds.): Computational Science - ICCS 2004. 4th International Conference on Computer Science, Krakow, Poland, June 6-9 2004. Lecture Notes in Computer Science, 3037 (2004). pp. 73-80.

Подписано в печать 28.10.05. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №139!6И

Отпечатано с оригинал-макета в лаборатории оперативной полиграфии Ульяновского государственного университета 432970, г Ульяновск, ул. Л Толстого, 42

Р 2 1 в 6 ?

РПБ Русский фонд

2006-4 18466

Введение

1. Обзор литературы

1.1. Одношаговые методы.

1.2. Жесткие уравнение и понятие устойчивости.

1.3. Итерационные процессы.

1.4. Автоматический контроль точности вычислений.

2. Е-методы и их устойчивость

2.1. Пример построения Е-метода.

2.2. Е-методы со старшими производными.

2.3. А-устойчивость Е-методов со старшими производными

2.4. Формулировка комбинированных Е-методов.

2.5. Исследование сходимости комбинированных Е-методов

3. Эффективная реализация Е-методов и контроль точности

3.1. Применение предикторов.

3.2. Итерации Ньютона общего вида.

3.3. Локально-глобальный контроль точности.

А. Библиотека программ

А.1. Функции и структуры для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

А.1.1. Заголовочный файл numerics .h.

А.1.2. Структура odestruct. it А.1.3. Структура solveropt.

А.1.4. Структура statistics.

А.1.5. Заголовочный файл emeth.h.

А. 1.6. Пример использования функций библиотеки. Литература

Известно, что многие математические модели динамического типа в области биологии, медицины, механики, электротехники, химической кинетики и т. д. представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Очень часто аналитическое решение указанных систем найти крайне сложно или вообще невозможно. Поэтому для практического исследования таких моделей используют разного рода численные методы.

Естественно, что наибольший интерес представляют высокоточные методы, имеющие высокий порядок сходимости. В виду того, что построение данных методов представляет собой довольно трудоемкий процесс, актуальным является разработка методик, позволяющих облегчить процесс формулировки методов и определения порядка их сходимости. В диссертации указанную проблему предлагается решить с помощью ^ явного вывода класса методов, использующих старшие производные.

Отметим также, что практическое использование численных методов невозможно без внесения определенных ошибок в получаемые результаты. Поэтому крайне актуальной задачей является исследование методик оценки локальной и глобальной ошибок для полученного класса одно-шаговых методов и построение на их основе алгоритмов, позволяющих достичь любую разумную наперед заданную точность вычислений в автоматическом режиме.

Таким образом, целью диссертации является разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов, использующих старшие производные, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом важнейшей задачей, имеющей большое прикладное значение, является обеспечение заданной точности вычислений в автоматическом режиме.

Диссертация имеет как теоретическую, так и практическую ценность. Полученные в ней теоретические результаты представляют интерес для численного решения нелинейных дифференциальных уравнений с ^ контролем глобальной ошибки, что в прикладном аспекте создает плодотворную базу для разработки автоматизированных систем математического моделирования в различных областях науки. При этом способность обеспечивать заданную пользователем точность вычислений в автоматическом режиме существенно повышает достоверность математического моделирования на практике. ^ Приведем краткое содержание диссертации, состоящей из трех глав и приложения.

Первая глава, носит вводный, вспомогательный характер и обозначает основные достижения в области исследования одношаговых методов, включая алгоритмы вычисления и управления их локальной и глобальной ф ошибками в процессе счета.

В параграфе 1.1 изложены базовые результаты, полученные в области одногошаговых методов для численного решения ОДУ. Приведена последовательность развития теории указанных методов от явных к методам со старшими производными. Параграф 1.2 посвящен рассмотрению жестких задач и связанных с ними аспектов теории устойчивости одношаговых методов. Необходимость применения итерационных алгоритмов для реализации неявных методов стало причиной детального исследования теории итерационных процессов в параграфе 1.3. Наконец, параграф 1.4 посвящен такому важному аспекту как построение алгоритмов для автоматического контроля точности на практике.

Вторая глава, состоящая из шести параграфов, посвящена решению задачи построения исследуемого класса методов и рассмотрению основных аспектов их практической реализации. Именно глава 2 содержит основные теоретические результаты данной диссертации.

В параграфах 2.1 и 2.2 приведена методика построения методов со старшими производными на основе использования интерполяционных полиномов Эрмита, выведены явные формулы для вычисления коэффициентов методов, показана сходимость всего класса методов и выведены оценки их погрешности. Параграф 2.3 посвящен исследованию устойчивости нового класса численных методов.

В параграфах 2.4 и 2.5 рассмотрены различные аспекты практической реализации указанных методов в силу их неявного характера. Во-первых, на основе метода простых итераций и итераций Ньютона были построены три класса комбинированных алгоритмов. Во-вторых, исследован вопрос о сходимости полученных методов и выведены оценки их погрешности. В-третьих, приведены результаты численных экспериментов, подтверждающих теоретические выкладки.

Третья глава, состоящая из трех параграфов, посвящена решению задачи эффективной реализации предложенных в диссертации методов, а ф также обеспечению заданной точности вычислений на основе автоматического управления размером шага интегрирования.

Во-первых, в параграфе 3.1 рассмотрен вопрос о применении предикторов для вычисления стартовых значений итерационных процессов, что в практическом плане приводит к сокращению числа итераций, требуемых для достижения максимального порядка сходимости. Затем, в параграфе 3.2 выведена асимптотическая оценка погрешности для методов ньютоновского типа, что позволило разработать четвертый тип комбинированных алгоритмов, построенный с использованием упрощенных итераций Ньютона и направленный на сокращение вычислительных затрат для каждой отдельной итерации. В завершении, в параграфе 3.3 ранее изученные способы оценки и автоматического контроля локальной и глобальной ошибок адаптированы для Е-методов со старшими производными. Все теоретические выводы подтверждены результатами численных экспериментов.

В приложении, состоящем из одного параграфа, дано описание библиотеки программ, разработанной и использованной для проведения всех практических расчетов в рамках работы над диссертацией. Библиотека является набором процедур, написанных на языке С++ и ориентированных на решение систем ОДУ с заданной точностью.

Итак, основные результаты диссертации следующие:

1) Построено семейство Л-устойчивых одношаговых коллокационных методов, использующих старшие производные, для нахождения численного решения систем ОДУ, в том числе и жестких задач.

2) Исследована сходимость и точность указанных численных методов.

3) Разработана методика корректной реализации Е-методов со старшими производными на практике.

4) Исследован вопрос применения предикторов и выведен рекомендуемый тип предикторов с соответствующей коррекцией алгоритмов.

5) Выведена асимптотическая оценка погрешности для методов ньютоновского типа и предложена на ее основе схема упрощенных итераций Ньютона, оптимизирующих реализацию разработанных в диссертации алгоритмов.

6) Предложенные ранее способы оценки и автоматического контроля локальной и глобальной ошибок адаптированы для Е-методов со старшими производными.

Кроме того, в прикладном аспекте важной является разработка библиотеки программ, позволяющей решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений с любой разумной наперед заданной точностью.

Таким образом, в диссертации решен ряд трудных и актуальных задач теории численных методов для математических моделей динамического типа.

Основные результаты диссертации доложены: на XXV-XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2003-2004), на пятой международной научно-технической конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2003), на 2nd International Conference on Computer Science and its Applications (Assisi, Italy, 2004), на 4th International Conference on Computer Science (Krakow, Poland, 2004), на научно-исследовательских семинарах Вычислительного центра РАН, Института вычислительной математики РАН, механико-математического факультета МАИ, механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и механико-математического факультета УлГУ.

По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе [22]—[23], [32]—[35], [116, 117]. При этом результаты из работ, подготовленных в соавторстве, либо использованы частично, в соответствии с личным вкладом каждого автора ([22, 24, 25, 23]), либо приведены в переработанном виде ([116, 117]).

Автор считает приятной обязанностью выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., доценту Куликову Г.Ю. за постоянное внимание и помощь в работе, а также академику РАН Бахвалову Н.С., профессорам Семушину И.В. и Горбунову В.К. за плодотворное обсуждение результатов, полученных на разных этапах подготовки диссертации.

Кроме того, необходимо отметить, что развитие данной тематики в России было бы невозможно без финансовой поддержки со стороны: Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 98-01-00006, 1998-2000; проект № 01-01-00066, 2001-н. вр.).

1. Арушанян О.В., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. // М.: Изд-во МГУ, 1990.

2. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Метод численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием интерполяционного полинома Эр-мита// Жур. вычисл. матем. матем. физ. 1998. Т. 38. № 10. С. 16651670.

3. Бахвалов Н.С. К оценке ошибки при численном интегрировании дифференциальных уравнений экстраполяционным методом Адам-са// ДАН СССР. 1955. Т. 104. № 5. С. 683-686.

4. Бахвалов Н.С. Некоторые замечания к вопросу о численном интегрировании дифференциальных уравнений методом конечных разностей// ДАН СССР. 1955. Т. 104. № 6. С. 805-808.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы: Учебное пособие. М.: Наука, 1975.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учебное пособие. М.: Наука, 1987.

7. Березин И.е., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: ГИФМЛ, 1962.

8. Канторович JI.B. Принцип мажорант и метод Ньютона // ДАН., 1951, Т. 76, С. 17-2012. канторович ji.в. Некоторые дальнейшие приложения принципа мажорант // ДАН., 1951, Т. 80, С. 849-852

9. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах // М., 1959

10. Коллатц JI. Численные методы решения дифференциальных уравнений. // М.: ИЛ, 1953

11. Куликов Г.Ю. Теоремы сходимости для итеративных методов Рунге-Кутты с постоянным шагом интегрирования// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 8. С. 73-89.

12. КУЛИКОВ Г.Ю. Численное решение задачи Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором// Ж. вычисл. матем. матем. физ. 1998. Т. 38. № 1. С. 68-84.

13. Куликов Г.Ю. Асимптотические оценки погрешности метода простых итераций, модифицированного и обобщенного методов Ньютона// Мат. заметки. 1998. Т. 63. № 4. С. 562-571.

14. Куликов Г.Ю. Об одном способе контроля ошибки для методов Рунге-Кутты// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 10. С. 1651-1653.

15. Куликов Г.Ю. Об использовании итерационных методов ньютоновского типа для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. № 8. С. 1180-1189.

16. Куликов Г.Ю. О неявных экстраполяционных методах для систем дифференциально-алгебраических уравнений// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Мат. Мех. 2002. № 5. С. 3-7.

17. Куликов Г.Ю. Численные методы с контролем глобальной ошибки для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1: Дис. . докт. физ.-мат. наук. Ульяновск: Ульяновский гос. университет, 2002. 315 с.

18. Куликов Г.Ю., Меркулов А.И. Об асимптотической оценке погрешности методов ньютоновского типа и ее практическом применении // Фундаментальные пробл. матем. и механ. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2003. Вып. 1(13). С. 36-47.

19. Куликов Г.Ю., Меркулов А.И. Об одношаговых коллокацион-ных методах со старшими производными для решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 10. С. 1782-1807.

20. Куликов Г.Ю., Меркулов А.И., Хрусталева Е.Ю. О квадратичной экстраполяции, основанной колокационных методах со старшими производными // Фундаментальные пробл. матем. и ме-хан. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2003. Вып. 1(13). С. 48-62.

21. Курант Р., Фридрихс К., Леви Г. О разностных уравнениях математической физики.// Усп. матем. наук, 1940, вып. 8, С. 125160.

22. ЛЕБЕДЕВ В.И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений. // Вычислительные процессы и системы, вып. 8. под ред. Г.И. Марчука. М.: Наука, 1991, С. 237-291.

23. ЛЕБЕДЕВ В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 2000.

24. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Об использовании упорядоченных чебышевких параметров в итерационных методах. // ЖВМ и МФ, 1976, Т. 16, Н. 4, С. 895-907

25. Лебедев В.И., Медовиков А.А. Явный метод второго порядка точности для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // Известия ВУЗ, сер. Матем., 1998, Н. 9, С. 55-63

26. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учебное пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.

27. Меркулов А.И. Об одном методе, использующем производные высших порядков, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Фундаментальные пробл. матем. и механ. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2002. Вып. 1(11). С. 120-126.

28. Новиков В.А., Новиков Е.А. О повышении эффективности алгоритмов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений за счет контроля устойчивости// Жур. вычисл. матем. ма-тем. физ. 1985. Т. 25. № 7. С. 1023-1030.

29. Новиков Е.А. Оценка глобальной ошибки А-устойчивых методов решения жестких систем// Доклады академии наук. 1995. Т. 343. № 4. С. 452-455.

30. НЬЮТОН Ис. Математические начала натуральной философии // Собрание трудов академика А.Н. Крылова Т. VII. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1936.

31. Ортега Дж., РеЙНБОЛДТ В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.40. ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

32. РакитскиЙ Ю.В., Устинов С.М., ЧерноруцкиЙ И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1979.

33. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для ВУЗов. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1989.

34. ХаЙРЕР Э., нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.

35. ХаЙРЕР Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.

36. Шиндин С.К. Автоматическое управление точностью численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений линейными многошаговыми методами : Дис. . канд. физ.-мат. наук. Ульяновск: Ульяновский гос. университет, 2003.

37. IHTETTEP X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978.

38. ЭЙЛЕР JI. Интегральное исчисление. // М.: Гостехиздат, 1956 Т. 1 С. 415

39. Aid R., Levacher L. Numerical investigations on global error estimation for ordinary differential equations// J. Comput. Appl. Math. 1997. V. 82. P. 21-39.

40. Blutel E. Sur l'application de la methode d'approximation de Newton a plusiers inconnues// C.R. 1910 P. 1109-111252. de Boor C., Sawrtz B. Collocation at Gaussian points // SIAM J. Numer. Anal. 1973 V. 10 P. 582-606

41. Bussmann K. Ph. D. Diss. // Inst, of Techn. Braunschweig, Germany, * 1940

42. Butcher J.C. Coefficients for the study of Runge-Kutta integration processes // J. Austral. Math Soc. 1963. V. 3, P. 202-206.

43. Butcher J.C. Implicit Runge-Kutta processes// Math Comput. V. 18, P. 50-64.

44. Butcher J.C. On Runge-Kutta processes of high order// J. Austral. Math Soc. V. IV, part 2, P. 179-194.57. butcher J.C. Integration processes based on Radau quadrature for-v mulas// Math Comput. V. 18, P. 233-244.

45. Calvo M., Higham D.J., Montijano J.I., Randez L. Global error estimation with adaptive explicit Runge-Kutta methods// IMA J. Numer. Anal. 1996. V. 16. P. 47-63.

46. Cauchy A.L. Resume des Lecons donnes a l'Ecole Royale Polytech-nique. Suite du Calcul Infinitesimal// Equations differentiel les ordi-naires, ed. Chr. Gilain, Johnson 1981

47. Curtis A.R. High-order explicit Runge-Kutta formulae, their uses, and limitations// J. Inst. Maths Applies, 1975. V. 16. P. 35-55

48. Deuflhard P. Order and stepsize control in extrapolation methods// Numer. Math. 1983. V. 41. P. 399-422.

49. Dorm and J.R., Prince P.J. A family of embedded Runge-Kutta formulae // J. Сотр. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19-26.

50. Ehle B.L. High order A-stable methods for the numerical solution of systems of DEs// BIT, 1968. V. 8. P. 276-278.

51. Endresen L.P., Myrheim J. A formula for steplength control in numerical integration// J. Сотр. Appl. Math. 1998. V. 90. P. 263-264.

52. England R. Error estimation for Runge-Kutta typesolutions to systems of ordinary differential equations// The Computer J. V. 12. P. 166-170.

53. ENRIGHT W.H. Analysis of error control strategies for continuous Runge-ICutta methods// SIAM J. Numer. Analys. 1989. V. 26. № 3. P. 588-599.

54. FEHLBERG E. Eine methode zur fehlerverkleinerung bein Runge-Kutta verfahren// ZAMM. 1958. V. 38. P. 421-426.

55. Fehlberg E. New high-order Runge-Kutta formulas with step size control for systems of first and second order differential equations// ZAMM. 1964. V. 44. Sonderheft T17-T19.

56. Fehlberg E. Classical fifth-,sixth-,seventh-, and eighth order Runge-Kutta formulas with step-size control// Computing V. 4, P. 93-106.

57. FEHLBERG E. Low order classical Runge-Kutta formulas with step-size control and their application to somei heat transfer problems// Computing V. 6, P. 61-71.

58. Fine H. On Newton's method of approximation// Proc. Nat. Acad. Sci.,USA, 1916. V. 2. P. 546-552.

59. Franzer R.A., Jones W.P., Skan S.W. Approximations to functions and to the solutions of the differential equations // Reports and Memoranda Nr. 1799 (2913): Aeronautical Research Committee, P. 33 P. 1025-1043.

60. Gear C.W. Numerical initial value problems in odinary differential equations. // Prentice Hall, 1971.

61. Gragg W.B. Repeated extrapolation to the limit in the numerical solution of ordinary differential equations. Thesis. Univ. of California. 1964.

62. Gustavson K., Lundh M., Sodelrind G. A PI stepsize control for the numerical solution of ordinary differential equations// BIT. 1988. V. 28. P. 270-287.

63. Higham D.J., Hall G. Embedded Runge-Kutta formulae with stable equilibrium states// J. of Сотр. and Appl. Math, 1990. V. 29. P. 25-33.

64. Hairer E. A Runge-Kutta method of order 10 // J. Inst. Maths Applies, 1978. V. 21. P. 47-59

65. Hairer e., lubich с. Asymptotic expansions of the global error of fixed-stepsize methods// Numer. Math. 1984. V. 45. P. 345-360.

66. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Springer-Verlag, Berlin, 1987, 1993.

67. Hairer E., Wanner G. Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems. Berlin: Springer-Verlag, 1991, 1996.

68. Hairer E., Wanner G. Stiff differential equations solved by Radau methods// J. Comput. Appl. Math. 1999. V. 111. P. 93-111.100. hall G. Equilibrium states of Runge-Kutta schemes// ACM Trans. Math. Software. 1985. V. 11. P. 289-301.

69. Hall G. Equilibrium states of Runge-Kutta schemes, part II// ACM Trans. Math. Software. 1986. V. 12. P. 183-192.

70. Hall G., Higham D.J. Analisys of stepsize selection schemes for Runge-Kutta codes// IMA J. Numer. Anal. 1988. V. 8. P. 305-310.

71. Hall G. A New stepsize strategy for Runge-Kutta codes. Numerical Analysis Report № 245, 1994, University of Manchester/UMIST, Manchester Centre for Computational Mathematics, Manchester, 1994.

72. HlGHAM D.J. Robust defect control with Runge-Kutta schemes// SIAM J. Numer. Analys. 1989. V. 26. № 5. P. 1175-1183.

73. HlGHAM D.J. Global error versus tolerance for explicit Runge-Kutta methods// IMA J. Numer. Anal. 1991. V. 11. P. 457-480.

74. HuLME B.L. One-step piecewise polynomial Galerkin methods for initial value problems// Math, of Comput. 1972. V. 26. P. 415-426.

75. Kastlunger K.H., Wanner G. Runge-Kutta processes with multiple nodes// Computing. 1972. V. 9. P. 9-24.

76. Kastlunger K.H., Wanner G. On Turan type implicit Runge-Kutta methods// Computing. 1972. V. 9. P. 317-325.

77. Kulikov G.Yu. Numerical methods solving the semi-explicit differential-algebraic equations by implicit multistep fixed stepsize methods// Korean J. Comput. Appl. Math. 1997. V. 4. № 2. P. 281-318.

78. Kulikov G.Yu. Stable local-global stepsize control for Runge-Kutta methods. Preprint Numerics No. 3/1997. Department of Mathematical Sciences. Norwegian University of Science and Technology. Trondheim. 1997.

79. Kulikov G.Yu. A local-global version of a stepsize control for Runge-Kutta methods// Korean J. Comput. Appl. Math. 2000. V. 7. № 2. P. 289-318.

80. Kulikov G.Yu. On implicit extrapolation methods for ordinary differential equations// Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2002. V. 17. № 1. P. 41-69.

81. Kutta W. Beitrag zur naherungswreisen Integration totaler Differen-tialgleichungen // Zeitschr. fur Math. u. Phys. 1901. V. 46. P. 435-453.

82. Lebedev V.I. Explicit difference schemes with time-variable steps for solving stiff systems of Equations. // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1989. V. 4. N. 2. P. 111-135.

83. LlNDBERG B. Error estimation and iterative improvement for discretization algorithms// BIT. 1980. V. 20. P. 486-500.

84. Lobatto R. Lessen over Differentialen Integraal-Rekening// V. 2., La Haye 1851-1852

85. Merluzzi P., Brosilow C. Runge-Kutta integration algorithms with built-in estimates of the accumulated truncation error// Computing. 1978. V. 20. P. 1-16.

86. Richardson L.F. The deffered approach to the limit// Phil. Trans. A. 1927. V. 226. P. 299-349.

87. Robertson H.H. The solution of a set of reaction rate equations// J. Walsh ed.: Numer. Anal., an Introduction, Academ. Press. 1966. P. 178-182.

88. Runge C. Uber die numerische Auflosung von Differentialgleichun-gen// Math. Ann. 1895. V. 46. P. 167-178.

89. Runge С. Separation und Approximation der Wurzeln von Gleichun-gen// Enzykl. d. Mathem. Wissensch, Teubner, Leipzig, V. 1, P. 405449.

90. Skeel R.D. Global error estimation and the backward differentiation formulas// Appl. Math. Comput. 1989. V. 31. P. 197-208.

91. Stroud A.H., Stancu D.D. Quadrature formules with multiple Gaussian nodes // SIAM J. Numer. Anal., ser. В., 1965. V. 2. P. 129143.

92. Wanner G., Hairer е., n0rsett S.P. Order stars and stability theorems// BIT. 1977. V. 18. P. 475-489.145. wlllers F. Zur Konvergenz des Newtonschen Naherungsverfaherns // Z. Angew. Math. Mech. 1938, V. 18, P. 197-200.

93. Wright K. Some relationships between implicit Runge-Kutta collocation and Lancross т methods, and their stability properties // BBT, 1970, V. 10, P. 217-227.