автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование задач с неопределенностями в данных

о

Красноярский Государственный Технический Университет

На правах рукописи

Добронец Борис Станиславович

"Численное моделирование задач с неопределенностями в данных",

05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы ж комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск - 1998

Работа выполнена в Красноярском Госудаственном Техническом Университете

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор А. Ф. Воеводин

доктор физико - математических наук, профессор Ю. Е. Бояринцев

доктор физико - математических наук, профессор Е. А. Новиков

Ведущая организация:

Институт вычислительных технологий СО РАН

Защита диссертации состоится " 25 " сентября 199 8.г. в_____

часов на заседании диссертационного совета Д 064.54.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского '26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан _______199 А г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 064.54.01 д. т. н., профессор

Ловчиков А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В связи с развитием таких направлений науки и техники, как механика, теплотехника, математическая химия, самолетостроение, возникла потребность вычисления не только приближенных решений различных задач, но и гарантированных оценок их близости к точным решениям. Главной трудностью при вычислении гарантированных оценок является невозможность точно указать входные данные и параметры моделей. Теоретическое обоснование математических моделей требует учета этих неопределенностей и нахождения границ множества всех решений рассматриваемых задач. Кроме того пеобходимо учитывать и возможные неточности самой модели. Один из наиболее распространенных способов учета таких неопределенностей — задание интервалов изменения величин.

Заметим, что статистические и другие регулярные подходы к моделированию погрешностей дают в целом неплохое качественное представление о поведении ошибки, но не влекут гарантированных оценок для конкретных приближенных решений.

Поэтому интерес к интервальному анализу и вопросам двусторонних оценок как к возможным средствам оценки погрешностей приближенных решений в последнее время нарастает. Последнее десятилетие было обусловлено бурным развитием так называемых "надежных вычислений". Подтверждением чему большое количество конференций как в России, так и за рубежом. В частности международные конференции БСАМ-XX, ШТЕКУАЬ-ХХ обсуждающие проблемы надежных вычислений, всегда привлекают пристальное внимание научного сообщества и собирают большое количество ученых.

Актуальность работы обусловлена прежде всего тем, что при практических расчетах необходимо знать не только приближенное решение, но и гарантированные оценки погрешности. Необходимо учитывать погрешности входных данных: коэффициентов, начальных значений, параметров. Следовательно необходимо строить коридор, содержащий точное решение или множество решений при неточных входных параметрах.

Разработка эффективных методов оценивания погрешности позволяет строить численные методы свободные от этих погрешностей: вычислить погрешность и вычесть ее из приближенного решения, или. более тонкий

подход, конструирование методов повышенного порядка точности.

Цель работы состоит в разработке эффективных двусторонних методов, методов уточнения решений и построение -численных методов высокого порядка точности, основанных на единой методике.

Цель достигается решением ряда теоретических и практических задач.

1. Разработка методов оценки погрешности численных решений для различных классов дифференциальных уравнений.

2. Использование методов оценки погрешности для уточнения численных решений вариационно-разностных задач.

3. Построение разностных схем высоких порядков точности на нерегулярных сетках.

Научная новизна

В диссертационной работе обоснован и построен алгоритм нахождения двусторонних решений для систем линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами, систем обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений эллиптического и параболического типов. Разработаны методы коррекции вариационно-разностных решений конечными элементами высоких порядков, рассмотрены способы построения разностных схем высоких порядков точности на нерегулярных сетках.

Теоретическая и практическая ценность обусловлена обоснованием и детальной проработкой алгоритмов для широкого класса задач, от задач аппроксимации до решения нелинейных эллиптических уравнений. Найдено гармоничное сочетание интервального анализа и вещественных вычислений. На большом классе задач показано, что ширина двусторонних решений имеет тот же порядок сходимости, что и разностное решение. Впервые построены и обоснованы способы нахождения двусторонних решений для квазилинейных эллиптических уравнений с немонотонными операторами. Представленные теоретические результаты с успехом использовались другими авторами для конкретных реализаций программных продуктов в предметных областях, в частности в химической кинетике.

Защищаемые тезисы.

Двусторонние методы решения задач Коти для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с малым параметром при старшей производной.

Двусторонние методы для краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнении второго порядка с немонотонными эллиптическими операторами. Алгоритмы "интервального погружения" дифференциальных уравнений с не монотонными операторами в дифференциальные уравнения с монотонными операторами.

Алгоритмы построения двусторонних решений для параболических уравнений, для одномерного уравнения рассмотрен случай разрывного коэффициента теплопроводности.

Метод построения интервального решения для систем линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами, основанный на минимизации специальных функционалов. Метод уточнения границ интервального решения для систем нелинейных уравнений.

Интервальные интерполянты, в том числе интервальные сплайны с интервальными аргументами. Приложения интервальных сплайнов к нахождению интервальных интегралов.

- Методы уточнения вариационно-разностных решений для уравнений эллиптического типа. . Методы построения разностных схем на нерегулярных сетках.

Арифметика для работы с гистограммными числами.

Апробация работы

Основные научные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях.

Результаты работы докладывались на Всесибирских школах по вычислительным методам (Шушенское, 19Т9, 1993, 1995, Дивногорск, 1981. Новосибирск 1985), Всесоюзном совещании по теории сплайнов (Новосибирск, 1980), Всесоюзном совещании "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Минск, 1984), Всесоюзной конференции "Современные вопросы информатики, вычислительной техники и авто-

матизашш" (Москва, 1985), Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986), Всесоюзной конференции "Современные проблемы физики и ее приложения" (Москва, 1987), Всесоюзной конференции по вариационно-разносным методам в математической физике (Новосибирск, 1980), Всесоюзной школе по химической кинетике и горению (Красноярск, 1982), Всесоюзным совещаниям по интервальной математике (Красноярск, Дивногорск, Абакан, 198389 гг.), Всесоюзной конференции "Нестационарные процессы в катализе" (Новосибирск, 1986), Всесоюзной конференции "Математические проблемы химической кинетики" (Новосибирск, 1989), семинаре по интервальной математике (Саратов, 1991, 1992), на международных конференциях INTERVAL-XX (Москва, 1992, С.Петербург 1994, Würzburg, 1996, Германия), на международных симпозиумах по научным вычислениям, компьютерной арифметике и гарантированным вычислениям SCAN-XX ( Vien. 1993, Австрия, Wüpertal, 1995, Германия), на международном IMACSGAMM симпозиуме по численным методам и оценкам ошибок (Oldenburg. 1995, Германия), на XII Международном совещании по интервальной математике, Красноярск, 22-23 сентября 1997 года.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 63 печатные работы. Основные результаты диссертации -изложены в монографии "Двусторонние численные методы" (Наука, Новосибирск, 1990).

Структура и объем работы

Предлагаемая вниманию диссертационная работа состоит из введения. 8 глав, заключения, списка литературы, содержащего 255 наименований. Обьем работы до списка литературы 239 страниц, включая 24 рисунка и 20 таблиц.

Содержание работы

Во введении приводится исторический экскурс, обзор существующих методов и литературы.

Интервальный анализ возник сравнительно недавно как метод автоматического контроля ошибок округления на ЭВМ. Впоследствии он превратился в один из разделов вычислительной математики, учитывающий также ошибки дискретизации численных методов, ошибки в начальных данных и т.п. Основная идея интервального анализа состоит в замене арифметических операций и вещественных функций над вещественными числами интервальными операциями и функциями, преобразующими интервалы, содержащие эти числа. Ценность интервальных решений заключается в том, что они содержат точные решения исходных задач.

Двусторонние методы численного анализа появились раньше интервальных, и их аппарат до последнего времени не использовал понятия интервального анализа. Для получения двусторонних оценок применяются различные приемы и методы, в частности операторные неравенства, апостериорные и априорные оценки погрешности, оценки остаточных членов и т. п. Следует отметить, что двусторонние методы обычно несколько проще в реализации, чем интервальные, хотя и обладают некоторыми недостатками. В частности, в них используются, как правило, точные входные данные, не учитывается влияние погрешностей, связанных с применением ЭВМ, некоторые приемы гарантируют включение точного решения только в асимптотике, т. е. при достаточно малых шагах сетки. Однако двусторонние методы довольно просто обобщаются с обыкновенных дифференциальных уравнений на уравнения эллиптического и параболического типа. Что касается применения интервального анализа к уравнениям в частных производных, то практическая реализация встречает большие трудности, а получающиеся результаты часто неудовлетворительны.

Стремление объединить положительные стороны двусторонних и интервальных методов анализа послужило одной из целей написания этой работы. Такой положительной стороной интервального анализа является возможность полного учета погрешностей, начиная с неточных данных математической модели и кончая ошибками округления на ЭВМ.

Интервальный анализ представляет собой относительно молодое и интенсивно развивающееся направление математики. Первая монография, посвященная интервальному анализу, была опубликована P.E. Муром в 1966 г.. а на русском языке — Ю.И. Щокнным в 1981 г. Затем в 1982 г. изданы учебное пособие Т.Н. Назаренко, JI.B. Марченко по интерваль-

ным методам, а в 1986 г.- монография С.А. Калмыкова, Ю.И. Шокина, 3-Х. Юлдашева.

Первоначально интервальные алгоритмы строились как непосредственные обобщения вещественных алгоритмов. Затем все чаще стали появляться специфические алгоритмы и дополнительные операции (такие, как пересечение).

К настоящему времени имеются разработанные приемы интервальных вычислений и несколько пакетов прикладных программ и алгоритмических макроязыков, реализующих элементы интервального анализа на машинном уровне для нескольких типов ЭВМ. Вместе с тем для сколько-нибудь сложных задач полное применение интервального анализа часто дает неудовлетворительные результаты из-за чрезмерных длин получаемых интервалов. Дело во внутренней установке, которую мы будем называть пессимистическим подходом. Она свойственна не только методам интервального анализа, но и некоторым априорным способам оценки погрешности и заключается в прослеживании на каждой элементарной операции всевозможных, в том числе наихудших, сочетаний погрешностей. Ясно, что при обычном ходе вычислений ошибки могут усредняться, компенсироваться и накапливаться далеко не худшим образом. В конечном итоге пессимистические оценки точности на порядок хуже, чем она есть на самом деле.

Для построения итерационных процессов используется принцип сжимающих отображений или более общий подход, основанный на теореме Шаудера о неподвижной точке.

Современное состояние двусторонних методов в исследовании применительно к линейным и нелинейным алгебраическим задачам наиболее полно изложено в монографии Н.С. Курпеля, Б.А. Шувара . Там же освещены вопросы двусторонних итерационных методов решения абстрактных операторных задач и интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода.

Одно из первых правил для практической оценки погрешности дискретизации, позволяющее примерно оценить влияние этой погрешности, в начале века предложил К.Д. Рунге. Это правило интенсивно использовалось сначала в области квадратур, а затем в разностных методах и методе конечных элементов. Оно основано на разложении приближенного решения в виде суммы

и* = и + Л*и + 0(Ь4+т). (1)

где и — искомое точное решение, V — неизвестная функция, а /г — малый параметр дискретизации, чаще всего шаг разностной сетки. Целое к характеризует порядок точности приближенного решения, а т > 0 — малость остаточного члена в сравнении с главным членом погрешности /г4«. Поскольку и и и не зависят от Ъ, для параметра /г/2 справедливо разложение

Вычтем его из (1), избавляясь от и:

и* _ иьП = и (2* - 1) + 0(Ьк+т).

Отсюда можно определить главный член погрешности:

_______ (2)

Поскольку в формуле (2) отброшен остаточный член порядка О (Л*), она не приводит к гарантированной оценке, но при достаточно малых Н действительно дает представление о величине погрешности численного решения.

Еще одним важным приемом выяснения точности приближенных решений являются априорные оценки, особенно активно используемые в теории разностных схем и методе конечных элементов. Как правило, они опираются на старшие производные точного решения и дают представление о порядке точности при измельчении сетки, что очень важно при выборе разностной схемы, конечных элементов или при оценке затрат на ЭВМ. Но попытки выяснения гарантированных констант для конкретного приближенного решения через известные данные обычно приводят к весьма грубым результатам, наряду с большими аналитическими и теоретическими трудностями.

Перейдем к двусторонним методам решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем первого порядка. Один из первых методов решения этой задачи цля одного уравнения — метод С. А. Чаплыгина — появился в 1919 г. .

В интервальном анализе следует выделить работы С.А. Калмыкова, Ю.И. Шокина, 3-Х. Юядашева. В них рассматриваются интервальные методы типа Рунге-Кутта, Адамса, основанные на получении интервальной функции, содержащей остаточный член погрешности, которая строится через известные производные правой части.

При исследовании уравнений в частных производных доминируют два подхода. Первый основан на оценках остаточных членов разностной схемы. Эти оценки требуют знания некоторой априорной информации о точном решении и его производных. Второй подход основан на теории операторов монотонного типа и теоремах сравнения. В работах В. Ап-пельта и И.Ф. Крюкеберга такое построение проведено с использованием невязки приближенного аналитического решения. Позднее в рамках этого подхода стали развиваться методы, основанные на апостериорных оценках погрешности разностных решений. Одна из первых таких работ Д.Ф. Давиденко была опубликована в 1960 г. В ней разностное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона сначала интерполировалось полиномом, а затем по его невязке оценивалась погрешность разностного решения. Однако количество узлов сетки было ограничено единицами. В работе Е.А. Волкова этот недостаток был устранен. В ней используется кусочно-локальное продолжение сеточной функции. Показано стремление ширины построенного коридора для погрешности к нулю со вторым порядком относительно шага сетки.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены результаты, которые в дальнейшем используются для построения двусторонних решений, уточнения решений и построения разностных схем.

Первый параграф содержит список основных обозначений. Во втором параграфе приводятся результаты по теоремам сравнения. Третий параграф посвящен операторам монотонного типа. В четвертом параграфе рассматриваются интервальные числа и операции над ними.

Под интервальным числом, а мы будем понимать вещественный отрезок [а,а], где а < а. Множество интервальных чисел мы будем обозначать через К. При а = а = а, интервальное число будем отождествлять с вещественным числом а, следовательно Я С Ы. В дальнейшем мы будем называть интервальные числа просто интервалами. Шириной а называется величина

угсс1(а) = а — а, серединой мы будем называть полусумму

тес1(а) — (а + а)/2.

Арифметические операции над интервальными числами введем следующим образом. Пусть а.Ьей, тогда положим

а * Ь ;= {х * у\х £ а, у € Ь},

где знак (*) означает одну из операций +, —, •, /. При делении интервал Ь = [Ь, 6] не должен содержать нопь.

В пятом параграфе приведен новый подход для работы с неточно заданными данными. Вводится новое понятие —гистограммное число. Для работы с этими данными разработана гистограммная арифметика. Интервальные числа являются частным случаем гистограммных чисел и, следовательно, гистограммная арифметика включает в себя интервальную арифметику. В отличие от интервальной арифметики гистограммная арифметика позволяет определять не только границы ошибки, но распределение плотности вероятности.

Основные принципы разработки гистограммных операций продемонстрируем на примере операции сложения. Пусть X — Х1+Х2, тогда плотность вероятности X отлична от нуля на интервале [сед + а^а]^ + а|,г]. Обозначим ¿к, к — 0,1,..., К — точки деления этого интервала на К отрезков. Тогда вероятность попадания величины X в интервал [¿ь'й-и] определяется по формуле

Р*,к = {( [Рх{х)Р1Ш^У)И<1м - dk),

ип* J

где Пк = {(х, у)\<1к < х + у < dш}.

Обозначим —декартово произведение отрезка [а',а;+1], на Тогда

^ = Ё / РнРцйхйуШы - 4) = (3) ¿=0 ¿=0

( £ £ л - Ь).

>=0 3- о

Здесь ПГ)к| — площадь пересечения прямоугольника с П*.

В шестом и седьмом параграфах рассмотрены интервальные расширения вещественных функций многих переменных. В седьмом параграфе рассмотрен подход для построения интервальных расширений полиномов. Показана возможность построения с помощью этого подхода оптимальных расширений. Результаты этого параграфа существенным образом используются при решении систем нелинейных уравнений методом простой итерации.

Пусть /(ж) — вещественная функция непрерывная в области а С К". Объединенным расширением этой функции мы будем называть интер-

вальную функцию 4„(х) переменных х = (хь...,хп) С а задаваемую равенством

Непрерывность функции / является гарантией того, что при каждом х правая часть в (4) будет конечным отрезком.

В восьмом параграфе излагаются вопросы нахождения гарантированных оценок экстремумов многомерных функций. Метод основан на построении параллелепипеда, содержащего точку экстремума. Для построения оценки необходимо знание константы Липшица.

В девятом и десятом параграфах рассмотрены вопросы интервальной интерполяции. Рассматриваются интерполяционные полиномы Ла-гранжа и вопросы, связанные с аппроксимацией интервальными сплайнами функций, заданных с ошибкой. Введено понятие интервальных сплайнов интервального аргумента, приведены способы-построения конкретных сплайнов, указаны интервальные функции, содержащие ошибки аппроксимации и построены полосы, включающие точные значения аппроксимируемой функции ж ее первых производных. Это позволяет использовать интервальные сплайны для получения гарантированных двусторонних оценок экстремумов, интегралов и производных функций, заданных с ошибкой. Здесь же рассмотрены аппроксимации многомерных функций на основе простых конечных элементов.

В двенадцатом параграфе рассмотрены специальные аппроксимации численных решений. Рассмотренные аппроксимации строятся с использованием конечных элементов высоких порядков.

В тринадцатом параграфе рассматриваются свойства вариационно-разностных решений эллиптических задач. Показана непрерывная зависимость в сеточных нормах решения от правой части. В четырнадцатом параграфе приводятся вспомогательные результаты по двумерной аппроксимации эрмитовыми кубическими сплайнами.

Вторая глава посвящена двусторонним методам решения систем алгебраических уравнений как линейных так и не линейных. Отличительная особенность подобных систем — наличие интервальной неопределенности во входных данных.

В первом параграфе описан метод решения линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами. Определение границ интервального решения основано на минимизации специальных функционалов. Построенный метод можно использовать для уточнения уже име-

(4)

Ряс. 1: Множество решений системы (5)

ющихся интервальных решении.

Проиллюстрируем это на следующей задаче. Пусть необходимо решить систему интервальных линейных алгебраических уравнений

Ах = Ь

со следующей матрицей А и правой частью Ь:

(5)

Множество векторов А' для этой задачи изображено на рисунке .

Минимальным интервальным вектором, содержащим множество ее решений, является интервальный вектор х — ([—4,4], [—4,4])г.

В соответствии с построенным методом оценим границу первой компоненты вектора х, т.е. Щ, Дпя этого положим i — 1 и минимизируем соответствующий функционал DR , при этом начальные значения возьмем x<¡ = (О, 0)т, а = 10. Тогда получаем следующее приближенное значение точка минимума функционала DR: xR — (4.618,3.207)г.

" [2Д] [-2,1]' "[-2,2]"

А = [-1Д] [2,4] , b = _Н,2]

Для определения х\ умножим интервальную матрицу А на вектор х! Получаем

(6)

[2.822, 21.679] [1.796,22.064]

Поскольку правая граница первой компоненты вектора х определяется из решения некоторой конкретной системы линейных алгебраических уравнений, то из сравнения интервального вектора (6) с Ь в силу близости х^ и XI, вытекает, что в системе (6)

"2 -2' ' 2 "

II

-1 2 2

Решая систему (6), получаем х* = (4,3)г, т.е. достигается правая точная граница: — хн = 4. Аналогично находятся другие компоненты вектора х.

Следовательно, рассмотренный метод позволяет находить точные границы решений для систем линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами.

Во втором параграфе рассмотрены системы нелинейных уравнений с интервальными коэффициентами. Рассмотрим следующую систему нелинейных уравнений

х = /(х,к), (7)

где / = , /,■ = fi(x,k)\ к € Нт - вектор параметров, к Е к;

х 6 Нп - вектор неизвестных.

Множество всех решений системы (7) определим следующим образом

X = {х\х =/(х,к),кек}. (8)

Для уточнения решений рассматриваются отображения граней параллелепипеда, содержащего множество решений системы. Используя эти отображения удается построить значительно более узкие интервальные решения. Отдельно рассматривается важный вопрос построения начальных приближений для решений систем нелинейных уравнений. Рассмотрен подход, позволяющий строить начальные приближения как приближенные решения некоторых вещественных систем удвоенной размерности. При этом полученные начальные приближения получаются весьма

близки к точному решению. Этот факт существенно сокращает работу интервальных процедур для получения гарантированного решения.

Пусть = (xi, х2,.. -, х„) — некоторое двустороннее решение.

Рассмотрим следующий интервальный вектор:

g = (хъ - • ■ ,Xj_i, ..., х„).

S! = F(g),

при этом г-я компонента вектора g перейдет в некоторое интервальное число gi .

Лемма 1 Пусть g1 П g = 0 или что тоже самое д £ g; . Тогда

X Л g = 0.

В качестве примера рассмотрим нелинейную систему:

ri = -кйх2 + ки (9)

Х2 — Q.lxixz+k?,

где ко = [0.1,0.2], kj = [0.6,1.0], кг = [0.0,0.45]. Интервальный итерационный процесс сходится к вектору

х = ([0-5,1.0], [0.0,0.5]),

оптимальные границы множества решений

ж = ([0.505,1.0], [0.0,0.49725]).

В результате использования процедуры, основанной на лемме 1, получены оптимальные границы множества решений системы.

На рис. 2 представлено точное множество решений системы (9) и решения с помощью интервального метода простой итерации, и уточненные границы решений.

Третья глава посвящена двусторонним методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем первого порядка имеет многие характерные черты нестационарных задач математической физики и часто является промежуточным звеном их дискретизации. Особого внимания заслуживает приведенный в главе эффект упаковывания.

В первом параграфе рассматривается задача Копш для систем уравнений первого порядка

х\ = fi(t,x>k),i^l,...,n,te(0,l), (10)

х(0) = х0,

где х0 6 Rn - вектор начальных значений, xq 6 хо, к £ Rn - вектор параметров, к 6 1с. х 6 J?n - вектор неизвестных.

Сначала исходная задача решается стандартным методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Полученное численное решение интерполируется эрмитовыми сплайнами третьей степени. Таким же образом получаются интерполянты решений двух вспомогательных задач. Двустороннее решение получается в виде линейной комбинации этих сплайнов.

Во втором параграфе обсуждаются идеи, направленные на преодоление эффекта упаковывания (wrapping effect). В литературе он также часто упоминается как эффект раскрутки или эффект Мура. Этот эффект проявляется в чрезмерном увеличении ширины двустороннего решения некоторой системы дифференциальных уравнений по сравнению с истинным. Для преодоления этого эффекта были предложены следующие подходы:

• Апостериорные оценки погрешности.

• Использование анализа чувствительности

• Построение областей, содержащих множества решений.

• Преобразование системы ОДУ.

Сформулируем достаточные условия для представления системы (10) в виде, позволяющем построить оптимальные границы множества решений.

Лемма 2 Пусть выполнены следующие условия:

дП

дх

>0,i^j,i,j=l,2,...,n, (11)

dfi

sign—- — const, j : wid{kj) ф 0, V& G k, Vr £ x. (12)

C/rCj

Тогда система (10) может быть представлена в виде

3L - fit^k1), (13)

х' - f(t,x,k2), £(0) = х(0) =

где к; € к.

В этом случае х,х являются некоторыми частными решениями исходной системы и, следовательно, они оптимальны. Рассмотрим пример:

х\ = -hxi, £i(0) = l, (14)

х2 ~ k\Xi — к2хг, гг(0) = 0,

где

)ц - kf expi-Ei/RT) 6 k,-, t = 1,2,

Е{, R — константы и T = T(t) е Т.

Эта система ОДУ моделирует простейшую химическую реакцию. Для уравнений химической кинетики характерно выполнение условий (И) [5]. Однако, условия (12), как правило, не выполняются. Система ОДУ для двустороннего решения выглядит следующим образом:

¿1 — —к 1зц, (15)

£-2 — klS.1 — ¿2^2, = к\Х1 — к^Х2,

0.4

0.1

0.2

0.3

123456739 10

Рис. 3: Решение системы (14)

Построенная система распадается на две независимыые подсистемы, но. поскольку не выполнено условие (12), то двустороннее решение получается шире истинного. В данном примере ширина двустороннего решения зависит от к;) и, если тс?(к^ = 0, то получаем оптимальные границы для множества решений.

Предположим, что известно дополнительное дифференциальное уравнение

Тогда, решая совместно системы (15) и (16) мы можем ожидать, что ширина двустороннего решения значительно уменьшится. Этот пример показывает, что знание дополнительной информации может быть направлено на уменьшение ширины двусторонних решений.

В третьем параграфе рассмотрено приложение метода параллелепипедов для задач управления. В частности, рассмотрена задача построения параллелепипедов, содержащих и содержащихся в областях достижимости. Приведено сравнение с аналогичным результатом из монографии Черноусько Ф.Л. 1 В качестве примера применения параллелепипедных оценок для решения систем ОДУ рассмотрим одну из важных задач управления: построение оценок областей достижимости.

Рассмотрим управляемую систему, описываемую векторным дифференциальным уравнением

где и 6Е Л™ - вектор управляющих функций, на который наложены в

'Черноусько Ф.Л. Оценивание фазозого состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 320 с.

Т'^д^Х, Т).

(16)

х'= и), t 6 (0,0

(17)

Рис. 4: Сравнение оценок областей достижимости общем случае ограничения

(18)

Кроме того мы будем предполагать, что в начальный момент выполнены ограничения

а;(0) 6 До. (19)

Если принять, что Ы, X, принадлежат пространству параллелепипедов, то мы приходим к стандартной постановке построения оценок множества решений для задач с неопределенностями.

Определение 1 Множеством достижимости £>(;£, хд) управляемой системы при £ > 0 называется совокупность концов х(£) всех траекторий этой системы, начинающихся в точках начального множества М:

V = {х(г)Кг) б и(*),а;(0) £ х0}.

На рис. 4 показано сравнение параллелепппедных и эллипсоидалных оценок множества достижимости. Отношение площадей эллипсоидов -0.1976 и параллелепипедов — 0.4. В этом случае параллелепипедные оценки несколько лучше, чем эллипсоидальные. Это обусловлено тем, что параллелепипеды были выбраны таким образом, что были жестко привязаны к множеству достижимости.

Основная идея интервального анализа чувствительности заключается в анализе частных производных решения по параметрам. Этот подход во многом пересекается со стандартным анализом чувствительности и для его реализации используется аппарат интервального анализа. Поэтому далее будем называть его методом интервального анализа чувствительности (МИАЧ).

Выполнение условий следующей теоремы гарантирует построение оптимальных границ множества решений.

Теорема 1 Пусть при * — О

О г^О.хМс),

Тогда существует Ц > 0, такое, что выполнено

О 04(0,0

В четвертом параграфе рассмотрены "жесткие" задачи. Для построения двусторонних решений используется подход основанный на апостериорном оценивании погрешностей. Для этого численное решение, полученное некоторым специальным численным методом, аппроксимируется нелинейными сплайнами. Эти сплайны построены таким образом, чтобы наилучшим способом приближать решение исходной задачи в зоне погранслоя. В качестве численного примера рассмотрена модельная задача из химической кинетики.

Четвертая глава посвящена краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь мы рассматриваем задачу Дирихле для

обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Излагаемые методы слабо привязаны к типу краевого условия и поэтому очевиден перенос результатов на корректные краевые условия Неймана и Ньютона. Этот подход так же распространен на уравнения с малым параметром при старшей производной. Несмотря на решение задачи типа погранслоя, обоснована не зависящая от е ширина коридора двустороннего решения.

Изложены интервальный метод решения для квазилинейного уравнения и двусторонний метод для уравнений с малым параметром при старшей производной. Основной вывод, который молено сделать из результатов сравнения интервальных и апостериорных методов в этой и трех предыдущих главах, состоит в том, что существует два подхода, обладающих разными свойствами и дополняющих друг друга при решении различных задач.

В первом параграфе рассматривается двусторонний метод, основанный на апостериорном оценивании погрешности численного решения следующей задачи

Относительно функций р, q, f предположим, что они непрерывны на

где я — эрмитов кубический сплайн, аппроксимирующий численное решение задачи (20), в! — эрмитов кубический сплайн, аппроксимирующий решение некоторой вспомогательной задачи.

Следующая теорема говорит о ширине построенного решения.

Теорема 2 Интервальная константа ос и ширина тЦи) равномерно на [0, 1] являются величинами 0{Ь?).

Во втором параграфе развивается интервальный подход решений краевых задач. В этом параграфе рассмотрено квазилинейное уравнение второго порядка.

=-(ри1)'+ ди= /, х €(0,1), и(0)=Зо, 1х(1) = 91.

(20) (21)

(22)

-и"{х) +/(* ,и,и') = 0 на (0,1),

(23)

«(0) = «(1) = 0. (24)

Здесь /(х,в,<р)— непрерывная функция по х £ [0,1] и в, р на (-ос, оо).

О 1

Введем в пространстве У/2[0,1] квазилинейную форму

1 1 В{и,у) = J «'г/<±Е+ J /(ж, и, и')1)йх. о о

Будем говорить, что краевая задача (23),(24) имеет обобщенное решение

О 1

и € 1], если

о 1

В(и, у) — О V« е ТРа[0,1]. (25)

Для его решения применялся метод Галеркина, решение искалось в виде интервального эрмитового сплайна третьей степени. Используя априорные оценки старших производных от точного решения, построено интервальное решение. Показано, что ширина интервального решения удовлетворяет следующему неравенству

< /<Т13!|и(4)цс-

В третьем параграфе изложен двусторонний метод решения краевой задачи для уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной. Для сглаживания разностного решения использовались эрмитовы сплайны и функции, учитывающие погранслой. Границы двустороннего решения получены в виде суммы сплайнов и функций типа погранслоя.

Пятая глава посвящена уравнениям в частных производных. В первом параграфе рассмотрена задача

1и = Цх,и), х е О, (26)

и(х) = 0, £ е дп.

где О, открытый многоугольник из Д2 с границей ,

2

дxiX^1дxi

Правая часть / — непрерывная функция на П х (-оо, оо), для которой выполняется условие

д}(х,т])/ди < д{х) <0 (27)

V--. 8 . д . >=1

и кроме того, существует константа К такая, что

1/(1,7)1 <Л"(1 + Ы), Ухе П. (28)

Для получения двустороннего решения использовался метод апостериорной оценки погрешности. Для этого исходная задача решалась проек-ционно-сеточным методом Бубнова-Галеркина с использованием кусочно-линейных базисных функций на треугольниках. Полученное сеточное решение сглаживалось с помощью конечных элементов высоких порядков и по повязке сглаженного решения строились функции, мажорирующие уклонение приближенного решения от точного.

Теорема 3 Пусть и € тогда

шг(1(и(х)) < КЬ2,

где к характерный размер сетки, К - константа независящая от к. □

Во втором параграфе рассмотрены двусторонние методы для квазилинейного уравнения второго порядка

1(и)и — 0, х £ П, (29)

и = 0, х е <ЭП, (30)

где О. — ограниченная, связанная область пространства Л", Ь{и) — квазилинейный оператор второго порядка вида:

Ь(и) — а^(х,и,Пи)0^ + Ь(х,и,Пи), (31)

Рассматривается случай, когда оператор Ь{и) не является оператором монотонного типа. В этом случае доказательство принадлежности точного решения построенному двустороннему основано на теореме Щаудера о неподвижной точке. Для доказательства используется прием "интервального погружения" оператора Ь(и) в оператор £(м,и).

Определим интервальное расширение оператора Ь(ь) следующим образом:

= {¿(и)5|и £ V}.

Рассмотрим оператор Ь(Ь,и), полученный из оператора Ь{и) следующим образом:

¿(и, у) = а^(х,ь, + Ои).

Заметим, что построенный квазилинейный оператор Ь обладает свойством монотонности.

Теорема 4 Пусть выполнена следующая система неравенств:

в>0, х€д(1, —¿(в,£)л<о, .т е о, £ < о, же да,

тогда б содержит решение задачи (29), (30).

В третьем параграфе рассмотрен многосеточный алгоритм построения двусторонних решений для уравнений эллиптического типа. В третьем разделе этого параграфа рассмотрен алгоритм уменьшения ширины двустороннего решения. Этот алгоритм имеет и самостоятельное значение, с его помощью можно корректировать сглаженное решение в таким образом, чтобы ширина двустороннего решения стремилась к минимальной.

В четвертом параграфе рассмотрена первая начально-краевая задача для одномерного параболического уравнения

д±и — дг(рдхи) - ди + /, (32)

> с0 > 0,д(М) > О,

где (х, & С) — (0,1) х (0,Т). Определим для функции и начальные и краевые условия:

и(х, 0) — 0, х € [0,1], (33)

и(0,0 = «о(<),<€ [0,Г],

и(1,0 = «!(<),< €[0,21,

Предположим, что коэффициенты уравнения и граничные функции удовлетворяют условиям

д,/еС(0,щ,щ€С1([О,Т}).

Пусть коэффициент имеет разрыв первого рода на прямой х =

поэтому на линии разрыва вместо уравнения выполняются условия сопряжения

[и]{ = 0, [рЗг«]£ = 0, ^€[0,Т], (34)

где [/]{ = Цтг^_0/(х) - /(я).

Для получения двусторонней оценки исходная задача предварительно решается с использованием неявной разностной схемы, а затем полученное разностное решение аппроксимируется сплайном, учитывающим условия сопряжения. В конце параграфа приводятся результаты численных расчетов.

Теорема 5 Пусть д?и, д^и^д^и £ С1{(}) ит,Ь таковы, что Ьув^ > с > 0 на <5- Тогда ширина двустороннего решения является величиной + т) равномерно на С}.

В пятом параграфе рассмотрена первая начально-краевая задача для двумерного параболического уравнения Для получения двусторонней оценки эта задача сначала приближенно решается с использованием схемы расщепления (метода суммарной аппроксимации). Затем полученное разностное решение аппроксимируется с помощью тензорного произведения двумерных эрмитовых сплайнов по пространственным переменным и одномерного линейного сплайна по временной переменной. Выбор степени сплайнов согласован по точности с используемой разностной схемой. Двусторонняя оценка также получается в виде этих сплайнов на основе принципа максимума.

Шестая глава посвящена методам уточнения численных решений. Рассмотрим общий подход уточнения решений, основанный на вычислении невязок. Предположим, что мы хотим решить уравнение

Ьи = /, (35)

где Ь : И —► Е - некоторый оператор, в общем случае нелинейный, такой, что решение существует, единственно и непрерывно зависит от правой части:

Ып<К\\!\\Е-

Мы предположим, что непосредственно задачу (35) мы или не можем решить, или ее решение сопряжено с большими вычислительными трудностями. Однако мы можем вычислять невязки от приближенных решений

Ф) = / -2^-

Пусть Л - малый параметр, определяющий семейство пространств Кроме того, пусть Р : П —» £> - оператор аппроксимации элементов из

пространства £> элементами из £> и Р : Г) —* 5 - оператор аппроксимации элементов из пространства £> элементами из пространства 5 С Е:

\\Р(Ри)-и\\0<КР(к).

Предположим далее, что мы можем решить приближенную задачу

1йн = Д (36)

где Ь ■. Г) Е - оператор, аппроксимирующий оператор Ь, таким образом, что выполнены соотношения:

11Ри-й||а<адця|в.

По приближенному решению й найдем а = Рй и вычислим от него невязку V-

ls = j-<p(s). Вычитая последнее равенство из (35), получаем

Ьи — Ьз — (р{в).

В силу аппроксимационных свойств оператора Ь мы вправе ожидать, что в ~ и и следовательно Ьэ « Ьи. Последнее уравнение можно переписать относительно ошибки е — и — в в виде:

£'(0* = Ф).

где £':£)—+ Е - линейная часть оператора Ь, Е, £ Б - некоторая функция лежащая в коридоре с концами и, 5. Заметим, что в случае линейного оператора Ь: Ь' = Ь.

Запишем приближенное уравнение для ошибки

£'(«)£ = ф(з),

где Ь'^э) : Г) Е - оператор, аппроксимирующий оператор Ь'(з), таким образом, что выполнены соотношения

Мы вправе ожидать, что

или

\\Ри-й-ё\\6<КЬаМв.

Тем самым мы построили уточненное решение йсог = й + ё, ошибка которого, по сравнению с й, уменьшилась в Н/Ця/ПНи Раз-

Во втором параграфе, рассмотренный выше подход, распространен на уточнение разностных решений краевых задач для эллиптических уравнений.

Построение оптимальных параметров для методов Рунге-Кутта рассмотрено в третьем параграфе. Уточнению численных решений задач Коши для систем ОДУ посвящен четвертый параграф.

Краевые задачи рассматриваются в пятом и шестом параграфах. В шестом параграфе рассматриваются методы повышения точности вариационно-разностных решений эллиптических задач. Метод основан на сглаживании решений, полученных методом конечных элементов (МКЭ) с использованием кусочно-линейных элементов, конечными элементами высоких порядков. Затем, используя невязку сглаженного решения, численно находится уклонение аппроксимированного решения от точного. Метод сочетает в себе простоту использования МКЭ с кусочно-линейным базисом и точность, которую дает МКЭ, использующий конечные элементы высоких порядков.

Седьмая глава полностью посвящена построению схем высоких порядков точности. Для пояснения сущности метода рассмотрим дифференциальное уравнение эллиптического типа

£и = /, х 6 П, (37)

и = 0, ге дй.

Далее Пд = {а:;}^ множество узлов сетки, в которых необходимо найти приближенное решение Х{ 6 Ш — 1,..., Аг, х; € ЗП, г — N 1, ...N1.

Наша цель построить разностную схему для нахождения численного решения = 1, задачи (37). Выберем некоторую точку го £ £"4 и пусть г\,...,гп 6 П^ — точки расположенные непосредственно вблизи гр. Ячейку По мы определим как наименьший многоугольник, содержащий точки По Э -г,, г = 0,1 ,...,п. Мы будем искать приближенное решение в По в виде

т

щ(х) = ^^ а1^!(х)> х € «О, ¡=1

где ак некоторые константы,(рк базисные функции.

Далее мы будем считать, что щ зависит от щ щ — щ(х, и],..., ип). Мы будем строить щ таким образом, чтобы оно аппроксимировало решение

исходной задачи (37) в ячейке По- Полагая

т

ид = и0(г0) = ^0/9,(20),

;=1

мы можем получить соотношения вида

п

(38)

где константы, зависящие от координат точек = 0,1,2,...,« и коэффициентов уравнения (37), Ь - диаметр П0 . Точность построенной разностной схемы (38) зависит от точности, с которой приближенное решение аппроксимирует решение задачи (37) в ячейке сетки.

Предположим, что значения щ 6 Пл заданы точно, т.е. щ = и(^) и метод приближенного решения в ячейке имеет точность

В первом параграфе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Построено семейство разностных схем повышенных порядков точности. Эти схемы, в отличие от метода конечных элементов, сводятся к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Построен новый тип разностных схем для уравнений с малым параметром при старшей производной.

Во втором параграфе рассмотрены уравнения эллиптического типа. Показано, что рассматриваемый подход позволяет строить как известные разностные схемы, так и схемы с заранее заданными свойствами. Кроме того рассмотрены разностные схемы на нерегулярных сетках. На приведенных численных примерах зарегистрирован эффект суперсходимости.

В восьмой главе рассматриваются конкретные приложения. В первом параграфе изучается вопрос численного моделирования реакторов по производству слабо азотной кислоты.

Математическая модель реактора представляет собой связанные системы нелинейных алгебраических уравнений и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Особенностью рассматриваемой модели, является то, что входные данные: коэффициенты уравнений и начальные данные заданы в виде интервалов.

М*о)-ио1<СЬ'.

Тогда, следуя теории разностных схем, мы получаем

|и(а:4) - <СЬ,1~к.

(39)

Система нелинейных уравнений содержит 27 неизвестных и соответственно столько же уравнений. Результаты решения этой системы служат начальными данпьши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

В втором параграфе приводятся результаты вычислительного эксперимента по моделированию теплового состояния механических конструкций привода на базе волновой передачи, вакуумного измельчителя непрерывного действия, конструкции алюминиевого электролизера. В качестве инструмента экспериментального исследования был разработан пакет прикладных программ НЕА<ЗС1Ь и его модификация НЕАС52В.

В результате проведения вычислительного эксперимента были установлены основные факторы, влияющие на изменение температурного режима конструкций данных агрегатов и способы воздействия на них. Показано, что использование в качестве инструмента вычислительного эксперимента прикладных программ НЕАС^С1Ь позволяет эффективно проводить исследования температурного режима механических конструкций, прогнозировать их тепловое состояние и разрабатывать па основе полученной информации способы и технические решения управления температурой как технологическим фактором данных агрегатов.

Эта информация необходима для выбора оптимальных вариантов обжига, исследования различных деформаций, возникающих в углеграфи-товом блоке, определепию температурных напряжений в углеграфитовом блоке.

Применительно к обжигу подин алюминеевых электролизеров в качестве математической модели выбрано уравнение теплопроводности, дополненное начальными и соответствующими граничными условиями:

ди

ср— = Ей + /О, у, г, и); (х, у, г) Е Г2, (40)

где

д ,,, .ди. д .. . .ди. д ,, .

Ьи = _(*(*, у, г) -) + ~(к(х, у, г)-) + _(*(*, у, *)_)

О — расчетная область алюминиевого электролизера; с, р, к — удельная теплоемкость, плотность, теплопроводность материалов; и — температура; / - внутренние источники тепла; t — время; (х,у, г) — пространственные координаты.

Рис. 6: Расчет температурного шля подины

Область Г2 состоит из различных подобластей

N

п =

1=1

с границами Д. В каждой подобласти коэффициенты с, р, к можно считать постоянными функциями.

В качестве примера на рис. 6 приведены расчеты температурного поля подины при обжиге ее внешним источником.

Особенностью данной постановки является то, что входные данные рассматриваемой модели задаются с виде доверительных интервалов. Следовательно при моделировании необходимо находить верхние и нижние границы температурных долей. Кроме того возникала необходимость учитывать погрешности численных методов. При реальных расчетах такие погрешности численных методов могут внести существенные поправки и повлиять на выбор оптимального варианта обжига.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Построены новые двусторонние методы решения задач Кошп для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с малым параметром при старшей производной.

Разработаны новые двусторонние методы решения краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Рассмотрены случаи не монотонных эллиптических операторов и построены алгоритмы "интервального погружения" дифференциальных уравнений с не монотонными операторами в дифференциальные уравнения с монотонными операторами. Построены алгоритмы построения двусторонних решений для параболических уравнений, для одпомерного уравнения рассмотрен случай разрывного коэффициента теплопроводности. Показано, что порядок ширины дустороннего соответствует порядкам сходимости численных решений.

Отличительной особенностью предложенных методов является то, что интервальный анализ используется только на последних этапах, что значительно уменьшает время вычислений и ширипу двусторонних решений. На приведенных тестовых расчетах показана эффективность построения двусторонних решений. Приведено сравнение точности численных расчетов и ширины двусторонних решений.

2. Для систем линейных алгебраических уравнешш с интервальными коэффициентами рассмотрен подход построения интервального решения, основанный па минимизации специальных функционалов. Для систем нелинейных уравнений предложен и изучен метод уточнения границ интервального решения. Показано, что использование рассмотренных алгоритмов уточнения границ, позволяет в ряде случаев строить оптимальные границы для множеств решений.

3. Рассмотрены способы построения интервальных интерполянт, в том числе интервальных сплайпов с интервальными аргументами. Рассмотрены приложения интервальных сплайнов к нахождению интервальных интегралов и экстремумов функций.

4. Рассмотрены и изучены новые методы уточнения вариационно-разностных решений для уравнений эллиптического типа. Рассмотренные методы уточнения решений базируются на уменьшении невязки (defect correction). Методы позволяют получать решения повышенного порядка точности, используя только простейшие кусочно-линейные конечные элементы.

5. Рассмотрены и изучены новые методы построения разностных схем

на нерегулярных сетках. Построенные разностные схемы можно использовать при решении задач в областях со сложной границей, с особенностями в решении. Для построенных разностных схем зафиксирован эффект сулерсходимости, аналогичный наблюдаемому в методе конечных элементов.

6. Рассмотрена и изучена новая арифметика для работы с гистограмм-нымп числами.

7. На основе разработанных методов рассмотрены прикладные задачи по численному моделированию реакторов производства слабо азотной кислоты. Создан пакет программ решения системы интервальных нелинейных уравнений и системы интервальных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих реактор. Входные интервальные данные позволяют определять гарантированные интервалы изменения контролируемых параметров. Пакет программ успешно функционирует как часть АСУ на ряде заводов по производству слабо азотной кислоты.

На основе разработанных методов производился численный анализ моделей алюминиевых электролизеров. Получены двусторонние решения уравнений теплопроводности, учитывающие разброс коэффициентов теплопроводности.

Литература

1. Алексеев A.B., Берсенев С.М., Добронец B.C., Щайдуров В.В. Решение двумерных краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка // Алгоритмы и программы (инф. бюл.) №3, 1985.

2. Багаев Б.М., Добронец B.C. Двусторонний метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром. Красноярск 1979. 16 с. Деп. в ВИНИТИ №3432.79.

3. Багаев В.М.,Злобин B.C., Крюковский В.А., Потылпцин Г.А., Добронец B.C. Моделирование обжига подины алюминевых электролизеров // Цветные металлы. №11, Москва, 1990. С.60-63.

4. Быков В.И., Добронец B.C. Двусторонние методы решения уравнений химической кинетики // ЧММСС, том 16, №4. Новосибирск, 1985. С.13-22.

5. Быков В.И., Добронец Б.С. К интервальному анализу уравнений химической кинетики // Математические проблемы химической кинетики. Новосибирск. 1989. С.226-232.

6. Герасимов В.А., Добронец Б.С., Шустров М.Ю. Численные операции гистограммной арифметики и их применения. АиТ. 1991, №2. С. 8388.

7. Дмитриев М.Г., Добронец Б.С. Синтез оптимальных разностных схем для решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Красноярск, 1987. Деп. в ВИНИТИ М905-В87.

8. Добронец Б.С. Двусторонний метод решения параболических уравнений //ЧММСС, том 15, №3. Новосибирск, 1984. С.60-70.

9. Добронец Б.С. Уточнение вариационно-разностных решений конечными элементами высоких порядков // Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды. Красноярск, 1986. С.80-88.

10. Добронец Б.С. Оценки фазовых состояний управляемых систем // Современные проблемы механики и технологии машиностроения. М., ВИНИТИ и ГКНТ. 1989. С.5.

11. Добронец Б.С. Двусторонние методы решения дифференциальных уравнений химической кинетики. // Математические методы в химической кинетике. Новосибирск. Наука. 1990. С.68-74.

12. Добронец Б.С. Параллелепипедные оценки фазовых состояний динамических систем // Модели и методы оптимизации сложных систем, сб. науч. статей. / Красноярск: Из-во Красноярского ун-та, 1990. С. 104-110.

13. Добронец Б.С. Двусторонние оценки фазовых состояний динамических систем // Управление производственными и техническими системами.Межвузовский сборник /Красноярск: КрПИ. 1990. С.85-92.

14. Добронец Б.С. Интервальный анализ и двусторонние итерационные методы. // Труды семинара по интервальной математике. Саратов. 29-31 мая 1990 г. Саратов, 1990. С.25-31.

15. Добронец B.C. Интервальные методы, основанные па апостериорных оценках погрешностей.//Тр. международной конф. ИНТЕРВАЛ'92. Москва 22-26 сентября 1992 г. С.39.

16. Добронец B.C. Методы, основанные на вычислении невязок // Вычислительные технологии, Том 4, №13 / Сб. научных трудов, ИВТ СО РАН, Новосибирск, 1995, С. 18-32.

17. Добронец B.C. Оценки погрешности численных решений // В сб. Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Часть 1. Математика и вычислительные методы. —Новосибирск Красноярск: Издательство СО РАН, 1996. С. 57-72.

18. Добронец B.C. Двусторонние методы решений квазилинейных эллиптических уравнений // Вопросы математического анализа. -Красноярск: Издательство КГТУ, 1996. С. 12-20.

19. Добронец B.C. Уточнение границ множества решений систем нелинейных уравнений // Вопросы математического анализа. Вып. №2. — Красноярск: Издательство КГТУ, 1998. С. 36-45.

20. Добронец B.C., Сенатов В.И. Об интервальных расширениях некоторых классов функций. // Интервальные вычисления, №1, 1991. С.54-59.

21. Добронец B.C., Шайдуров В.В. О повышении точности решения вариационно-разностных схем // Вариационно-разностные методы в матфизике / Новосибирск : ВЦ СО АН СССР. 1981.

22. Добронец B.C., Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы. Новосибирск. Наука, 1990. 208 с.

23. Добронец B.C., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Задачи интерполяции в интервальном анализе. Сб. Вопросы вычисл. и прикл. матем. Ташкент, 1975, вып. 31. С.9-15.

24. Добронец B.C., Юлдашев З.Х. йнтервально-аналитические методы решения краевых задач //Материалы XIV Всесоюзн. студ. конфе-ренц. Математика. Новосибирск, 1976. С. 39-43.

25. Dobronets B.S. Two-sided solution of ODE's via a posteriori error estimates //J. of Comp, and Appi. Math, v.23 1988 P.53-61.

26. Dobronets B.S. On some two-sided methods for solving systems of ordinary differential equations // Interval Computations Ar°l(3) 1992, P. 6-19.

27. Dobronets B.S. Interval Methods based on a posteriori error estimates. // Interval Computations №3(5) 1992, C.50-55.

28. Dobronets B.S. Interval Methods via a posteriori error estimates. // Abstracts for an International Conf. on Numer. Anal, with Automatic Result Verification. 25.02 1.03.93 Lafayette, Lousiana. P.18.

29. Dobronets B.S. Iterative improvement of interval solutions // Abstracts CSAM'93 St.Peterburg, July 19-23, 1993, P. 86-87.

30. Dobronets B. Inprovemnt of interval solutions of system nonlinear equations // Scintifxc Computation and Mathematical Modelling, DATES Publ., Sofia, 1993. P.171-172.

31. Dobronets B.S. Two-sided methods for differential equations // SCAN — 93, Inter. Symp. on Scientific Computing, Computer Arithmetic and Validated Numerics. 26-29 sept.1993, Vienna AUSTRIA.

32. Dobronets B.S. Optimal shoosing parameters of Runge-Kutta methods via two-sided methods // Abstracts Int. Conference on Interval and Computer-Algebraic Methods in Science and Engineering. Interval'94, March 7-10, 1994, St.Peterburg. P. 78-79.

33. B.S.Dobronets, R.B.Kearfott, L.V.Kuprianova, A.G.Yakovlev, V.S.Zyzin Bibliography of works on interval computations published in russion // Interval Computations, Suppl. 1, 1994. 43 pp.

34. Dobronets B.S. A posteriori error estimation and corrected solution of partial differential equation // Int. J. of Reliable Computing, Supplement, Extendet Abstracts of APIC'95, International Workshop on Applications of Interval Computations, El Paso, Texas, 1995, P.71-73

35. Dobronets B.S. Two-sided methods based on defects // Abstract IMACSGAMM International Symposium on Numerical Methods and Error-Bounds. Oldenburg, Germany. P.9

36. Dobronets B.S. A posteriori error estimation and corrected method using defects // Abstract of International Conference Optimization of Finite Element Approximations, St.-Petersburg, Russia, 1995. P.52-53

37. Dobronets B.S. Numerical methods with error estimate // Abstract of International Conference AMCA-95, Novosibirsk, Russia, 1995. P.87

38. Dobronets B.S. A posteriori error estimation for partial differential equation // Abstract IMACS-GAMM International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic and Validated Numerics. SCAN -95, 26-29 sept. 1995, Wuppertal, Germany. P. 40

39. Dobronets B.S. Numerical Methods using Defects // Reliable Computing 1(4), 1995. P.383-391.

40. Dobronets B.S. A Posteriori Error Estimation for Partial Differential Equations // Scientific Computation and Validated Numerics, G. Alefeld, A. Frommer and B. Lang, eds., Akademie-Verlag, Berlin, 1996. P. 239-244

41. Dobronets B.S. Two-sided Methods Based on Defects // Numerical Methods and Error Bounds, G. Alefeld and J. Herzberger, eds., AkademieVerlag, Berlin, 1996. P. 64-73.

42. Dobronets B.S. Two-sided multigrid method for elliptic boundary value problems. // Abstract International Conference on Interval Methods and Computer Aided Proofs in Science and Engineering. Interval'96, 30 sept - 2 Oct. 1996, Wurzburg, Germany. P. 37-38

43. Dobronets B.S. Two-sided Multigrid Method for Elliptic Boundary Value Problems // Reliable Computing Vol.3 No. 3, 1997. P.297-303.

Численное моделирование задач с неопределенностями в данных

Добронец Борис Станиславович

Автореферат

Подписано к печати 23.07.98 Уч. изд. л. 2.0 Тираж 100 экз.

Формат 60x84/16 Заказ N

Отпечатано в типографии КГТУ, 660074 Красноярск, ул.Киренского, 26

0.1 Введение.

1 Вспомогательные сведения

1.1 Список основных обозначений

1.1.1 Области и производные.

1.1.2 Интервальные числа и операции

1.1.3 Пространства и нормы.

1.1.4 Сеточные области и разностные отношения

1.2 Теоремы сравнения

1.3 Операторы монотонного типа.

1.4 Интервальные числа.

1.5 Гистограммная арифметика.

1.6 Интервальные расширения.

1.7 Интервальные расширения полиномов многих переменных

1.8 Оценка минимума строго выпуклой функции.

1.9 Интервальные интерполяционные полиномы

1.10 Интервальные сплайны.

1.11 Интервальные интегралы.

1.12 Специальные аппроксимации численных решений

1.12.1 Одномерные задачи.

1.12.2 Двумерные задачи.

1.13 Некоторые свойства вариационно-разностных решений

1.14 Аппроксимация кубическими элементами.

2 Алгебраические задачи

2.1 Уточнение решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.

2.2 Уточнение границ систем нелинейных уравнений

2.2.1 Построение вектора начальных приближений

2.2.2 Уточнение границ интервальных решений

2.2.3 Численные примеры

3 Задачи Коши для систем ОДУ

3.1 Апостериорная оценка погрешности

3.2 Построение оптимальных границ множеств решений

3.2.1 Постановка задачи и вспомогательные сведения

3.2.2 Апостериорные оценки погрешности

3.2.3 Использования анализа чувствительности

3.2.4 Построение областей, содержащих множества решений

3.2.5 Преобразование системы ОДУ

3.3 Оценки областей достижимости.

3.4 Решение жестких систем ОДУ

4 Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

4.1 Апостериорное оценивание.

4.2 Метод Ньютона для квазилинейного уравнения.

4.3 Краевая задача для уравнения с малым параметром при старшей производной.

5 Краевые задачи для уравнений в частных производных

5.1 Двусторонние методы

5.2 Квазилинейные эллиптические уравнения

5.2.1 Операторы монотонного типа

5.2.2 Операторы немонотонного типа.

5.2.3 Численный пример

5.3 Многосеточный метод

5.3.1 Формулировка задачи.

5.3.2 Построение оператора аппроксимации

5.3.3 Уменьшение ширины двустороннего решения

5.3.4 Многосеточный алгоритм

5.3.5 Численный пример.

5.4 Одномерное параболическое уравнение.

5.5 Двумерное параболическое уравнение.

6 Уточнение решений 1Т

6.1 Введение

6.2 Уточнение разностных решений.

6.3 Выбор оптимальных параметров для методов Рунге-Кутта

6.4 Сплайновый метод решения систем ОДУ

6.5 Итерационное уточнение решений краевых задач.

6.6 Уточнение вариационно-разностных решений.

7 Построение разностных схем

7.1 Метод приближенного решения в ячейке.

7.2 Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

7.3 Уравнения эллиптического типа.

8 Численное моделирование производственных процессов

8.1 Моделирование реакторов по производству слабо азотной кислоты.

8.2 Моделирование тепловых полей алюминиевого электролизера

В связи с развитием таких направлений науки и техники, как механика, теплотехника, математическая химия, самолетостроение, возникла потребность вычисления не только приближенных решений различных задач, но и гарантированных оценок их близости к точным решениям. Поэтому интерес к интервальному анализу и вопросам двусторонних оценок как к возможным средствам оценки погрешностей приближенных решений в последнее время нарастает. Интервальный анализ возник сравнительно недавно как метод автоматического контроля ошибок округления на ЭВМ. Впоследствии он превратился в один из разделов вычислительной математики, учитывающий также ошибки дискретизации численных методов, ошибки в начальных данных и т.п. Основная идея интервального анализа состоит в замене арифметических операций и вещественных функций над вещественными числами интервальными операциями и функциями, преобразующими интервалы, содержащие эти числа. Ценность интервальных решений заключается в том, что они содержат точные решения исходных задач.

Двусторонние методы численного анализа появились раньше интервальных, и их аппарат до последнего времени не использовал понятия интервального анализа. Для получения двусторонних оценок применяются различные приемы и методы, в частности операторные неравенства, апостериорные и априорные оценки погрешности, оценки остаточных членов ит. п. Следует отметить, что двусторонние методы обычно несколько проще в реализации, чем интервальные, хотя и обладают некоторыми недостатками. В частности, в них используются, как правило, точные входные данные, не учитывается влияние погрешностей, связанных с применением ЭВМ, некоторые приемы гарантируют включение точного решения только в асимптотике, т. е. при достаточно малых шагах сетки. Однако двусторонние методы довольно просто обобщаются с обыкновенных дифференциальных уравнений на уравнения эллиптического и параболического типа. Что касается применения интервального анализа к уравнениям в частных производных, то практическая реализация встречает большие трудности, а получающиеся результаты часто неудовлетворительны.

Стремление объединить положительные стороны двусторонних и интервальных методов анализа послужило одной из целей написания этой работы. Такой положительной стороной интервального анализа является возможность полного учета погрешностей, начиная с неточных данных математической модели и кончая ошибками округления на ЭВМ.

Интервальный анализ представляет собой относительно молодое и интенсивно развивающееся направление математики. Первая монография, посвященная интервальному анализу, была опубликована P.E. Муром в 1966 г. [217], а на русском языке — Ю.И. Шокиным в 1981 г. [152]. Затем в 1982 г. изданы учебное пособие Т.И. Назаренко, JI.B. Марченко [125] по интервальным методам, а в 1986 г.- монография С.А. Калмыкова, Ю.И. Шокина, З.Х. Юлдашева [96]. Обширная и подробная библиография по интервальному анализу имеется в [6, 96, 171, 218].

Первоначально интервальные алгоритмы строились как непосредственные обобщения вещественных алгоритмов. Затем все чаще стали появляться специфические алгоритмы и дополнительные операции (такие, как пересечение).

К настоящему времени имеются разработанные приемы интервальных вычислений [6, 96, 125, 218, 223] и несколько пакетов прикладных программ и алгоритмических макроязыков, реализующих элементы интервального анализа на машинном уровне для нескольких типов ЭВМ [1, 40, 41, 121, 122, 131, 146]. Вместе с тем для сколько-нибудь сложных задач полное применение интервального анализа часто дает неудовлетворительные результаты из-за чрезмерных длин получаемых интервалов. Дело во внутренней установке, которую мы будем называть пессимистическим подходом. Она свойственна не только методам интервального анализа, но и некоторым априорным способам оценки погрешности [16, 28, 117, 135] и заключается в прослеживании на каждой элементарной операции всевозможных, в том числе наихудших, сочетаний погрешностей. Ясно, что при обычном ходе вычислений ошибки могут усредняться, компенсироваться и накапливаться далеко не худшим образом. В конечном итоге пессимистические оценки точности на порядок хуже, чем она есть на самом деле. Типичные результаты приведены, например, в работе [133].

Вместе с тем статистические [18, 27, 98, 110] и другие регулярные подходы [10, 16, 133] к моделированию погрешностей дают в целом неплохое качественное представление о поведении ошибки, но не влекут гарантированных оценок для конкретных приближенных решений.

Для построения итерационных процессов используется принцип сжимающих отображений или более общий подход, основанный на теореме Шаудера о неподвижной точке [102, 107]. Итерационный метод для уточнения границ интервального решения с построением специальной матрицы перехода рассмотрен в работе Д.М. Гея [201].

Среди прямых методов наибольшее внимание уделено интервальному обобщению метода Гаусса [6, 96]. Он наиболее эффективен для частного класса систем с М-матрицами [120]. В монографии [96] рассмотрен также интервальный метод прогонки для систем с трехдиагональными матрицами.

Наиболее полно исследования прямых и итерационных методов решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами представлены в книге Г. Алефельда, Ю. Хе-рцбергера [6].

Современное состояние двусторонних методов в исследовании применительно к линейным и нелинейным алгебраическим задачам наиболее полно изложено в монографии Н.С. Курпеля, Б.А. Шувара [107]. Там же освещены вопросы двусторонних итерационных методов решения абстрактных операторных задач и интегральных уравнений Фред-го льма и Вольтерра второго рода. По существу, результаты решения интегральных уравнений являются модификацией алгоритмов решения абстрактных операторных уравнений с преодолением специфических трудностей обоснования на функциональном уровне. Поэтому мы не будем специально останавливаться на этой ветви исследований двусторонних методов решения интегральных уравнений.

При вычислении интегралов с помощью квадратурных формул вычислители начали сталкиваться с явлением дискретизации, ясно осознанным позднее при решении дифференциальных задач. Среди прочих видов погрешностей ошибки дискретизации в ряде случаев играют доминирующую роль. Поэтому на протяжении последних десятилетий при оценке погрешности приближенных решений им уделяется пристальное внимание.

Одно из первых правил для практической оценки погрешности дискретизации, позволяющее примерно оценить влияние этой погрешности, в начале века предложил К.Д. Рунге. Это правило интенсивно использовалось сначала в области квадратур, а затем в разностных методах и методе конечных элементов. Оно основано на разложении приближенного решения в виде суммы [119] у}1 = и1гку + 0(Нк+т), (0.1) где и — искомое точное решение, V — неизвестная функция, а к малый параметр дискретизации, чаще всего шаг разностной сетки. Целое к характеризует порядок точности приближенного решения, а т > 0 — малость остаточного члена в сравнении с главным членом погрешности Ику. Поскольку и и V не зависят от /г, для параметра к/2 справедливо разложение и + ( — ) V + 0(1гк+т). Вычтем его из (0.1), избавляясь от и: ик - и11'2 = V {2к - 1) + 0(1гк+т). uh/2 - и К (0.2)

Отсюда можно определить главный член погрешности: h - uh/2 2к - 1

Поскольку в формуле (0.2) отброшен остаточный член порядка 0{hk)1 она не приводит к гарантированной оценке, но при достаточно малых h действительно дает представление о величине погрешности численного решения.

Еще одним важным приемом выяснения точности приближенных решений являются априорные оценки, особенно активно используемые в теории разностных схем и методе конечных элементов [10, 16, 17, 29, 24, 43, 88, 118, 135, 143, 255]. Как правило, они опираются на старшие производные точного решения и дают представление о порядке точности при измельчении сетки, что очень важно при выборе разностной схемы, конечных элементов или при оценке затрат на ЭВМ. Но попытки выяснения гарантированных констант для конкретного приближенного решения через известные данные обычно приводят к весьма грубым результатам, наряду с большими аналитическими и теоретическими трудностями.

Перейдем к двусторонним методам решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем первого порядка. Один из первых методов решения этой задачи для одного уравнения — метод С.А. Чаплыгина — появился в 1919 г. [149].

Этот аналитический метод позволяет итерационно строить последовательность двусторонних решений, сжимающихся к точному. Впоследствии H.H. Лузин показал его квадратичную сходимость. На его основе Ю.И. Ковач, Н.Ф. Ильяшенко, Л.И. Савченко построили двусторонние решения ряда задач [99, 100, 101]. Однако метод С.А. Чаплыгина использовал знакопостоянство некоторых производных от правой части и по этой причине непосредственно не распространялся на системы уравнений.

Для систем уравнений оценки уклонения точного решения от приближенного были впервые получены в работах С.М. Лозинского [113, 115] с помощью решения вспомогательных задач.

Двусторонние методы, рассмотренные в работах АД. Горбунова, Ю.А. Шахова [44], Е.Я. Ремеза [129, 130], П.П. Салихова [134], основаны на построении двух численных методов интегрирования, остаточные члены которых имеют разные знаки. Поэтому полученные с помощью этих методов численные решения могут служить границами двустороннего решения.

В работе X. Бауха [166] рассмотрен итерационный метод построения аналитического интервального решения, основанный на оценке невязки.

В интервальном анализе следует выделить работы С. А. Калмыкова, Ю.И. Шокина, З.Х. Юлдашева [96]. В них рассматриваются интервальные методы типа Рунге-Кутта, Адамса, основанные на получении интервальной функции, содержащей остаточный член погрешности, которая строится через известные производные правой части.

Работа Е.А. Волкова [30] посвящена оценкам погрешности решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Основной подход состоит в оценке погрешности аппроксимации с привлечением априорных оценок высших производных от точного решения.

Другой подход используется в работе Е.А. Волкова [31]. Для оценки погрешности имеющееся разностное решение интерполируется кубическими сплайнами. Затем уклонение сплайнового решения оценивается через максимум невязки и коэффициенты уравнения. В работе показано, что ширина полосы стремится к нулю со вторым порядком от шага сетки. В работе И.К. Даугавета, Б.А. Самокиша [47] для апостериорной оценки погрешности аналогичного сплайнового решения квазилинейной краевой задачи используется метод, основанный на оценке нормы обратного оператора.

Другой подход исследуется в работе Э. Тамме, И. Саарнийта [144]. Он основал на оценке решения некоторой близкой задачи, для которой существует легко вычисляемая функция Грина. Это позволяет оценить погрешность не только приближенного сплайнового решения, но и его производных.

В работе Е. Хансена [205] рассматривается интервальный аналог конечно-разностного метода для решения нелинейной краевой задачи. Используя априорные оценки старших производных точного решения, построена система интервальных уравнений, решение которой содержит точное решение исходной задачи. В работах Ф.А. Оливейры [227] и И. Шредера [236] предложены аналогичные интервальные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе Ю.И. Шокина [152] описан метод повышенного порядка точности, использующий метод Галеркина с кусочно-кубическими функциями.

При исследовании уравнений в частных производных доминируют два подхода. Первый основан на оценках остаточных членов разностной схемы. Эти оценки требуют знания некоторой априорной информации о точном решении и его производных [29]. Второй подход основан на теории операторов монотонного типа [102] и теоремах сравнения. В работах В. Аппельта [157] и И.Ф. Крюкеберга [208] такое построение проведено с использованием невязки приближенного аналитического решения. Позднее в рамках этого подхода стали развиваться методы, основанные на апостериорных оценках погрешности разностных решений. Одна из первых таких работ Д.Ф. Давиденко [5] была опубликована в 1960 г. В ней разностное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона сначала интерполировалось полиномом, а затем по его невязке оценивалась погрешность разностного решения. Однако количество узлов сетки было ограничено единицами. В работе Е.А. Волкова [33] этот недостаток был устранен. В ней используется кусочно-локальное продолжение сеточной функции. Показано стремление ширины построенного коридора для погрешности к нулю со вторым порядком относительно шага сетки.

В работе Н.И. Соверткова [141] строится апостериорная оценка погрешности для некоторых уравнений математической физики, в частности для простейших параболических и гиперболических уравнений.

Для систем квазилинейных уравнений параболического типа в работе Ю.И. Ковача, Л.И. Савченко [101] на основании метода С.А. Чаплыгина построен двусторонний итерационный процесс.

Интервальные методы решения параболических уравнений представлены в работах Е. Адамса, X. Шпреера [155], Е. Фааса [199]. В них ищется полиномиальная аппроксимация разностного решения, а затем с помощью теорем сравнения оценивается уклонение приближенного решения от точного.

Актуальность работы обусловлена прежде всего тем, что при практических расчетах необходимо знать не только приближенное решение, но и гарантированные оценки погрешности. Необходимо учитывать погрешности входных данных: коэффициентов, начальных значений, параметров. Следовательно необходимо строить коридор, содержащий точное решение или множество решений при неточных входных параметрах.

Последнее десятилетие было обусловлено бурным развитием так называемых " надежных вычислений". Подтверждением чему большое количество конференций как в России, так и за рубежом. В частности международные конференции ЭСАГ^-ХХ, ШТЕКУАЬ-ХХ обсуждающие проблемы надежных вычислений, всегда привлекают пристальное внимание научного сообщества и собирают большое количество ученых.

Разработка эффективных методов оценивания погрешности позволяет строить численные методы свободные от этих погрешностей: вычислить погрешность и вычесть ее из приближенного решения, или, более тонкий подход, конструирование методов повышенного порядка точности.

Цель работы в разработке эффективных двусторонних методов, методов уточнения решений и построение численных методов высокого порядка точности, основанных на единой методике.

Научная новизна заключается в обосновании и построении алгоритмов нахождения двусторонних решений для систем линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами, систем обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений эллиптического и параболического типов. Разработаны методы коррекции вариационно-разностных решений конечными элементами высоких порядков, рассмотрены способы построения разностных схем высоких порядков точности на нерегулярных сетках.

Теоретическая и практическая ценность обусловлена обоснованием и детальной проработкой алгоритмов для широкого класса задач, от задач аппроксимации до решения нелинейных эллиптических уравнений. Найдено гармоничное сочетание интервального анализа и вещественных вычислений. На большом классе задач показано, что ширина двусторонних решений имеет тот же порядок сходимости, что и разностное решение. Впервые построены и обоснованы способы нахождения двусторонних решений для квазилинейных эллиптических уравнений с немонотонными операторами. Представленные теоретические результаты с успехом использовались другими авторами для конкретных реализаций программных продуктов в предметных областях, в частности в химической кинетике.

Защищаемые тезисы.

Построены новые двусторонние методы решения задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с малым параметром при старшей производной.

Разработаны новые двусторонние методы для краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Рассмотрены случаи не монотонных эллиптических операторов и построены алгоритмы "интервального погружения" дифференциальных уравнений с не монотонными операторами в дифференциальные уравнения с монотонными операторами. Построены алгоритмы построения двусторонних решений для параболических уравнений, для одномерного уравнения рассмотрен случай разрывного коэффициента теплопроводности.

Для систем линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами рассмотрен новый подход построения интервального решения, основанный на минимизации специальных функционалов. Для систем нелинейных уравнений предложен и изучен метод уточнения границ интервального решения.

Рассмотрены способы построения интервальных интерполянтов, в том числе интервальных сплайнов с интервальными аргументами. Рассмотрены приложения интервальных сплайнов к нахождению интервальных интегралов.

Рассмотрены и изучены новые методы уточнения вариационно-разностных решений для уравнений эллиптического типа.

Рассмотрены и изучены новые методы построения разностных схем на не регулярных сетках.

Рассмотрена и изучена новая арифметика для работы с гистограмм-ными числами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всеси-бирских школах по вычислительным методам (Шушенское, 1979, 1993, 1995, Дивногорск, 1981, Новосибирск 1985), Всесоюзном совещании по теории сплайнов (Новосибирск, 1980), Всесоюзном совещании "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Минск, 1984), Всесоюзной конференции "Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Москва, 1985), Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986), Всесоюзной конференции "Современные проблемы физики и ее приложения" (Москва, 1987), Всесоюзной конференции по вариационно-разносным методам в математической физике (Новосибирск, 1980), Всесоюзной школе по химической кинетике и горению (Красноярск, 1982), Всесоюзным совещаниям по интервальной математике (Красноярск, Див-ногорск, Абакан, 1983-89 гг.), Всесоюзной конференции "Нестационарные процессы в катализе" (Новосибирск, 1986), Всесоюзной конференции "Математические проблемы химической кинетики" (Новосибирск, 1989), семинаре по интервальной математике (Саратов, 1991, 1992), на международных конференциях INTERVAL-XX (Москва, 1992, С.Петербург 1994, Würzburg, 1996, Германия), на международных симпозиумах по научным вычислениям, компьютерной арифметике и гарантированным вычислениям SCAN-XX ( Vien, 1993, Австрия, Wüpertal, 1995, Германия), на международном IMACS-GAMM симпозиуме по численным методам и оценкам ошибок (Oldenburg, 1995, Германия), на XII Международном совещании по интервальной математике, Красноярск, 22-23 сентября 1997 года.

Публикации. По теме диссертации опубликована 63 печатные работы.

Структура и объем работы. Предлагаемая вниманию диссертационная работа состоит из 8 глав и 43 параграфов.

Содержание работы. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены результаты, которые в дальнейшем используются для построения двусторонних решений, уточнения решений и построения разностных схем.

Первый параграф содержит список основных обозначений. Во втором параграфе приводятся результаты по теоремам сравнения. Третий параграф посвящен операторам монотонного типа. В четвертом параграфе рассматриваются интервальные числа и операции над ними.

В пятом параграфе приведен новый подход для работы с неточно заданными данными. Вводится новое понятие — гистограммное число. Для работы с этими данными разработана гистограммная арифметика. Интервальные числа являются частным случаем гистограммных чисел и, следовательно, гистограммная арифметика включает в себя интервальную арифметику. В отличие от интервальной арифметики гистограммная арифметика позволяет определять не только границы ошибки, но распределение плотности вероятности.

В шестом и седьмом параграфах рассмотрены интервальные расширения вещественных функций многих переменных. В седьмом параграфе рассмотрен подход для построения интервальных расширений полиномов. Показана возможность построения с помощью этого подхода оптимальных расширений. Результаты этого параграфа существенным образом используются при решении систем нелинейных уравнений методом простой итерации.

В восьмом параграфе излагаются вопросы нахождения гарантированных оценок экстремумов многомерных функций. Метод основан на построении параллелепипеда, содержащего точку экстремума. Для построения оценки необходимо знание константы Липшица.

В девятом параграфе рассмотрены интервальные интерполяционные полиномы Лагранжа. В десятом параграфе рассматриваются вопросы, связанные с аппроксимацией интервальными сплайнами функций, заданных с некоторой ошибкой. Введено понятие интервальных сплайнов интервального аргумента, приведены способы-построения конкретных сплайнов, указаны интервальные функции, содержащие ошибки аппроксимации и построены полосы, включающие точные значения аппроксимируемой функции и ее первых производных. Это позволяет использовать интервальные сплайны для получения гарантированных двусторонних оценок экстремумов, интегралов и производных функций, заданных с ошибкой. Здесь же рассмотрены аппроксимации многомерных функций на основе простых конечных элементов.

В двенадцатом параграфе рассмотрены специальные аппроксимации численных решений. Рассмотренные аппроксимации строятся с использованием конечных элементов высоких порядков.

В тринадцатом параграфе рассматриваются свойства вариационно-разностных решений эллиптических задач. Показана непрерывная зависимость в сеточных нормах решения от правой части. В четырнадцатом параграфе приводятся вспомогательные результаты по двумерной аппроксимации эрмитовыми кубическими сплайнами.

Вторая глава посвящена двусторонним методам решения систем алгебраических уравнений как линейных так и не линейных. Отличительная особенность подобных систем — наличие интервальной неопределенности во входных данных.

В первом параграфе описан метод решения линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами. Определение границ интервального решения основано на минимизации специальных функционалов. Построенный метод можно использовать для уточнения уже имеющихся интервальных решений.

Во втором параграфе рассмотрены системы нелинейных уравнений с интервальными коэффициентами. Для уточнения решений рассматриваются отображения граней параллелепипеда, содержащего множество решений системы. Используя эти отображения удается построить значительно более узкие интервальные решения. Отдельно рассматривается важный вопрос построения начальных приближений для решений систем нелинейных уравнений. Рассмотрен подход, позволяющий строить начальные приближения как приближенные решения некоторых вещественных систем удвоенной размерности. При этом полученные начальные приближения получаются весьма близки к точному решению. Этот факт существенно сокращает работу интервальных процедур для получения гарантированного решения.

Третья глава посвящена двусторонним методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем первого порядка имеет многие характерные черты нестационарных задач математической физики и часто является промежуточным звеном их дискретизации. Особого внимания заслуживает приведенный в главе эффект упаковывания.

В первом параграфе рассматривается задача Коши для систем уравнений первого порядка. Сначала исходная задача решается стандартным методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Полученное численное решение интерполируется эрмитовыми сплайнами третьей степени. Таким же образом получаются интерполянты решений двух вспомогательных задач. Двустороннее решение получается в виде линейной комбинации этих сплайнов.

Во втором параграфе обсуждаются идеи, направленные на преодоление эффекта упаковывания (wrapping effect). В литературе он также часто упоминается как эффект раскрутки или эффект Мура. Этот эффект проявляется в чрезмерном увеличении ширины двустороннего решения некоторой системы дифференциальных уравнений по сравнению с истинным. Для преодоления этого эффекта были предложены следующие подходы:

• Апостериорные оценки погрешности.

• Использование анализа чувствительности

• Построение областей, содержащих множества решений.

• Преобразование системы ОДУ.

В третьем параграфе рассмотрено приложение метода параллелепипедов для задач управления. В частности, рассмотрена задача построения параллелепипедов, содержащих и содержащихся в областях достижимости. Приведено сравнение с аналогичным результатом из монографии [150].

В четвертом параграфе рассмотрены "жесткие" задачи. Для построения двусторонних решений используется подход основанный на апостериорном оценивании погрешностей. Для этого численное решение, полученное некоторым специальным численным методом, аппроксимируется нелинейными сплайнами. Эти сплайны построены таким образом, чтобы наилучшим способом приближать решение исходной задачи в зоне погранслоя. В качестве численного примера рассмотрена модельная задача из химической кинетики.

Четвертая глава посвящена краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь мы рассматриваем задачу Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Излагаемые методы слабо привязаны к типу краевого условия и поэтому очевиден перенос результатов на корректные краевые условия Неймана и Ньютона. Этот подход так же распространен на уравнения с малым параметром при старшей производной. Несмотря на решение задачи типа погранслоя, обоснована не зависящая от е ширина коридора двустороннего решения.

Изложены интервальный метод решения для квазилинейного уравнения и двусторонний метод для уравнений с малым параметром при старшей производной. Основной вывод, который можно сделать из результатов сравнения интервальных и апостериорных методов в этой и трех предыдущих главах, состоит в том, что существует два подхода, обладающих разными свойствами и дополняющих друг друга при решении различных задач.

В первом параграфе рассматривается двусторонний метод, основанный на апостериорном оценивании погрешности численного решения.

Во втором параграфе развивается интервальный подход решений краевых задач. В этом параграфе рассмотрено квазилинейное уравнение второго порядка. Для его решения применялся метод Галеркина, решение искалось в виде интервального эрмитового сплайна третьей степени. Используя априорные оценки старших производных от точного решения, построено интервальное решение. Показано, что ширина интервального решения удовлетворяет следующему неравенству т^аф < КЬ?\\и(4)\\с.

В третьем параграфе изложен двусторонний метод решения краевой задачи для уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной. Для сглаживания разностного решения использовались эрмитовы сплайны и функции, учитывающие погранслой. Границы двустороннего решения получены в виде суммы сплайнов и функций типа погранслоя.

Пятая глава посвящена уравнениям в частных производных. В первом параграфе рассмотрена задача

Ьи = /(х,и), х Е О, (0-3) и(х) = 0, х е <90. где О, открытый многоугольник из В2 с границей ¿Ю, г=1

Правая часть / — непрерывная функция на О х (—оо, оо), для которой выполняется условие

9/(ж, г})/ди < д(ж) < 0 (0.4) и кроме того, существует константа К такая, что

0г,7?)| < А'(1 + М), (0.5)

Для получения двустороннего решения использовался метод апостериорной оценки погрешности. Для этого исходная задача решалась проекционно-сеточным методом Бубнова-Галеркина с использованием кусочно-линейных базисных функций на треугольниках. Полученное сеточное решение сглаживалось с помощью конечных элементов высоких порядков и по невязке сглаженного решения строились функции, мажорирующие уклонение приближенного решения от точного.

Теорема 1 [83] Пусть и Е Ц^^О,), тогда илс£(и(х)) < КЬ.2, где /г характерный размер сетки, К - константа независящая от к. □

Во втором параграфе рассмотрены двусторонние методы для квазилинейного уравнения второго порядка ь(и)и = 0, х еп, (о.б) и = 0, хедп, (0.7) где — ограниченная, связанная область пространства Ь(и) — квазилинейный оператор второго порядка вида:

Ь{и) = ау(ж, и, + Ь(х, и, Ии), (0-8)

Рассматривается случай, когда оператор Ь(и) не является оператором монотонного типа. В этом случае доказательство принадлежности точного решения построенному двустороннему основано на теореме Ша-удера о неподвижной точке. Для доказательства используется прием "интервального погружения" оператора Ь(и) в оператор Ь{у,и).

В третьем параграфе рассмотрен многосеточный алгоритм построения двусторонних решений для уравнений эллиптического типа. В третьем разделе этого параграфа рассмотрен алгоритм уменьшения ширины двустороннего решения. Этот алгоритм имеет и самостоятельное значение, с его помощью можно корректировать сглаженное решение 5 таким образом, чтобы ширина двустороннего решения стремилась к минимальной. В четвертом разделе описан собственно многосеточный алгоритм.

В четвертом параграфе рассмотрена первая начально-краевая задача для одномерного параболического уравнения дх(рдхи) -ди + /, (0.9) р(х, ¿) > со > 0, д(х, > 0, где (х^) Е Я = (0,1) х (0, Т). Определим для функции и начальные и краевые условия: и(ж,0) = 0,ж е [0,1], (0.10) г/(0,0 = и0КМЕ[0,Т], и(М) = гл(*),*е[о,г],

Предположим, что коэффициенты уравнения и граничные функции удовлетворяют условиям qJeC(Q),u0,Ul ес^о.т]).

Пусть коэффициент р(х, t) имеет разрыв первого рода на прямой х = поэтому на линии разрыва вместо уравнения выполняются условия сопряжения и]; = о, \pdxu]t = о, V* е [о, т], (о.п) где [/k = lim^^-o /(ж) - lim^+o f(x).

Для получения двусторонней оценки исходная задача предварительно решается с использованием неявной разностной схемы, а затем полученное разностное решение аппроксимируется сплайном, учитывающим условия сопряжения. В конце параграфа приводятся результаты численных расчетов.

В пятом параграфе рассмотрена первая начально-краевая задача для двумерного параболического уравнения Для получения двусторонней оценки эта задача сначала приближенно решается с использованием схемы расщепления (метода суммарной аппроксимации). Затем полученное разностное решение аппроксимируется с помощью тензорного произведения двумерных эрмитовых сплайнов по пространственным переменным и одномерного линейного сплайна по временной переменной. Выбор степени сплайнов согласован по точности с используемой разностной схемой. Двусторонняя оценка также получается в виде этих сплайнов на основе принципа максимума.

Шестая глава посвящена методам уточнения численных решений. Рассмотрим общий подход уточнения решений, основанный на вычислении невязок. Предположим, что мы хотим решить уравнение

Lu = f, (0.12) где L : D —»■ Е ~ некоторый оператор, в общем случае нелинейный, такой, что решение существует, единственно и непрерывно зависит от правой части: u\\D<K\\f\\E.

Мы предположим, что непосредственно задачу (0.12) мы или не можем решить, или ее решение сопряжено с большими вычислительными трудностями. Однако мы можем вычислять невязки от приближенных решений 5 6 И

Ф) = /-£*.

Пусть Н - малый параметр, определяющий семейство пространств Ё. Кроме того, пусть Р : И О - оператор аппроксимации элементов из пространства I) элементами жз И ж Р : И —> 5 - оператор аппроксимации элементов из пространства И элементами из пространства 5 С Е:

Р(Ри)-и\\о < Кр(К).

Предположим далее, что мы можем решить приближенную задачу

1йн = /\ (0.13) где Ь : I) —>■ Е - оператор, аппроксимирующий оператор Ь, таким образом, что выполнены соотношения

Ри-й\\ь<кищ\П\Е.

По приближенному решению и найдем « = Рй и вычислим от него невязку <р:

Ьз = / - ф). Вычитая последнее равенство из (0.12), получаем

Ьи — Ь.з = 1р(в).

В силу аппроксимационных свойств оператора Ь мы вправе ожидать, что 5 « и и следовательно Ьв « Ьи. Последнее уравнение можно переписать относительно ошибки е — и — в в виде: = Ж), где Ь' : И Е - линейная часть оператора !,(£])- некоторая функция лежащая в коридоре с концами к, 5. Заметим, что в случае линейного оператора Ь: V = Ь.

Запишем приближенное уравнение для ошибки

Ь'(8)ё = £($), где Ь'(.в) \ Ь) Е - оператор, аппроксимирующий оператор Ь'{з), таким образом, что выполнены соотношения

Ре-ё\\3<Ки(к)М\Е.

Мы вправе ожидать, что

Ре-ё\\ь<КкаЫ\Е. или

Ри-й-ё\\ь<Кка\\<р\\Е.

Тем самым мы построили уточненное решение йсог = й + ё, ошибка которого, по сравнению с й, уменьшилась в П/Пя/НИ^ раз.

Во втором параграфе, рассмотренный выше подход, распространен на уточнение разностных решений краевых задач для эллиптических уравнений.

Построение оптимальных параметров для методов Рунге-Кутта рассмотрено в третьем параграфе. Уточнению численных решений задач Коши для систем ОДУ посвящен четвертый параграф.

Краевые задачи рассматриваются в пятом и шестом параграфах. В шестом параграфе рассматриваются методы повышения точности вариационно-разностных решений эллиптических задач. Метод основан на сглаживании решений, полученных методом конечных элементов (МКЭ) с использованием кусочно-линейных элементов, конечными элементами высоких порядков. Затем, используя невязку сглаженного решения, численно находится уклонение аппроксимированного решения от точного. Метод сочетает в себе простоту использования МКЭ с кусочно-линейным базисом и точность, которую дает МКЭ, использующий конечные элементы высоких порядков.

Седьмая глава полностью посвящена построению схем высоких порядков точности. Для пояснения сущности метода рассмотрим дифференциальное уравнение эллиптического типа

Ьи = / еп, (0.14) и = 0, х оп <9Г2.

Далее = {а^}^ множество узлов сетки, в которых необходимо найти приближенное решение Х{ Е Ш = 1,., ТУ, Х{ 6 <90, г = N + 1, . Л^.

Наша цель построить разностную схему для нахождения численного решения и^, г — 1,., N задачи (0.14). Выберем некоторую точку ¿о £ и пусть ., гп Е Он — точки расположенные непосредственно вблизи Ячейку Оо мы определим как наименьший многоугольник, содержащий точки О о Э . г — 0,1,., п. Мы будем искать приближенное решение в По в виде ш 1=1 где ак некоторые константы,базисные функции.

Далее мы будем считать, что щ зависит от щ = щ(х, щ,., ип). Мы будем строить щ таким образом, чтобы оно аппроксимировало решение исходной задачи (0.14) в ячейке 17о- Полагая т о = и0(го) =

1=1 мы можем получить соотношения вида п

0-15) 1 где 7/, .Р/ константы, зависящие от координат точек г = 0,1, 2,п и коэффициентов уравнения (7.1), /г - диаметр Г2о . Точность построенной разностной схемы (0.15) зависит от точности, с которой приближенное решение аппроксимирует решение задачи (0.14) в ячейке сетки.

Предположим, что значения щ Е заданы точно, т.е. щ = и метод приближенного решения в ячейке имеет точность фо) -«о1 < сь1-Тогда, следуя [135], мы получаем и(хг) -и1г(х{)\<Ск1-к. (0.16)

В первом параграфе рассматриваются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Построено семейство разностных схем повышенных порядков точности. Эти схемы, в отличие от метода конечных элементов, сводятся к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами.

Построен новый тип разностных схем для уравнений с малым параметром при старшей производной.

Во втором параграфе рассмотрены уравнения эллиптического типа. Показано, что рассматриваемый подход позволяет строить как известные разностные схемы, так и схемы с заранее заданными свойствами. Кроме того рассмотрены разностные схемы на не регулярных сетках. На приведенных численных примерах зарегистрирован эффект суперсходимости.

Заключение

1. Построены новые двусторонние методы решения задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с малым параметром при старшей производной. Методы основаны на апостериорных оценках погрешности, сглаженных решений. Для построения двустороннего решения необходимо решить несколько вспомогательных задач. Отличительной особенностью предложенных методов является то, что интервальный анализ используется только на последних этапах, что значительно уменьшает время вычислений и ширину двусторонних решений.

Разработаны новые двусторонние методы решения краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Рассмотрены случаи не монотонных эллиптических операторов и построены алгоритмы "интервального погружения" дифференциальных уравнений с не монотонными операторами в дифференциальные уравнения с монотонными операторами. Построены алгоритмы построения двусторонних решений для параболических уравнений, для одномерного уравнения рассмотрен случай разрывного коэффициента теплопроводности.

2. Для систем линейных алгебраических уравнений с интервальными коэффициентами рассмотрен подход построения интервального решения, основанный на минимизации специальных функционалов. Для систем нелинейных уравнений предложен и изучен метод уточнения границ интервального решения.

3. Рассмотрены способы построения интервальных интерполянт, в том числе интервальных сплайнов с интервальными аргументами. Рассмотрены приложения интервальных сплайнов к нахождению интервальных интегралов и экстремумов функций.

4. Рассмотрены и изучены новые методы уточнения вариационно-разностных решений для уравнений эллиптического типа. Рассмотренные методы уточнения решений базируются на уменьшении невязки (defect correction). Методы позволяют получать решения повышенного порядка точности, используя только простейшие кусочно-линейные конечные элементы.

239

5. Рассмотрены и изучены новые методы построения разностных схем на не регулярных сетках. Построенные разностные схемы можно использовать при решении задач в областях со сложной границей, с особенностями в решении. Для построенных разностных схем открыт эффект суперсходимости, аналогичный наблюдаемому в методе конечных элементов.

6. Рассмотрена и изучена новая арифметика для работы с гисто-граммными числами.

1. Агеев М. П., Алик В. П., Марков Ю. И. Алгоритм 616. Процедуры интервальной математики // Библиотека алгоритмов 5161006. М.: Сов, радио, 1976. С. 21-26.

2. Алексеев A.B., Бабурина Т.Е., Берсенев С.М., Добронец Б.С. Модульный комплекс программ МОК-1. Словарь заданий // Препринт ВЦ СО АН СССР №19. Красноярск. 1980. 32 с.

3. Алексеев A.B., Берсенев С.М., Добронец Б.С., Щепановкая Т.Ф. Модульный комплекс программ МОК-1. Примеры заданий //Препринт ВЦ СО АН СССР №39. Красноярск. 1981. 32 с.

4. Алексеев A.B., Берсенев С.М., Добронец Б.С., Щайдуров В.В. Решение двумерных краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка // Алгоритмы и программы (инф. бюл.) №3, 1985.

5. Александров А. Г., Хлебалин Н. А. Аналитический синтез регуляторов при неполной информации о параметрах объема управления // Аналитические методы синтеза регуляторов. Саратов: Изд-во Сарат. политехи, ин-та, 1981. С. 138-147.

6. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.:Мир, 1987. 360 с.

7. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.

8. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1975. 240 с.

9. Аширов С. Об одном видоизмененном методе Чаплыгина для абстрактного параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1968. №7. С. 1299-1303.

10. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969.

11. Багаев Б.М., Добронец Б.С. Двусторонний метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром. Красноярск 1979. 16 с. Деп. в ВИНИТИ №3432-79.

12. Багаев Б.М., Злобин B.C., Крюковский В.А., Потылицин Г.А., Добронец Б.С. Моделирование обжига подины алюминевых электролизеров. Цветные металлы. №11, Москва, 1990. С.60-63.

13. Багаев Б. М., Шайдуров В. В. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром // Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. С. 89-99.

14. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982.

15. Банди Б. Методы оптимизации: Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.

16. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1973. Т. 1.

17. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

18. Безменов И. В. Асимптотическое распределение локальных ошибок округления при вычислениях на ЭВМ. М. 1985. 28 с. (Препринт/Ин-т прикл. математики АН СССР; №48).

19. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1976.

20. Быков В.И., Добронец Б.С. Двусторонние методы решения уравнений химической кинетики //ЧММСС, том 16, №4. Новосибирск, 1985. С.13-22.

21. Быков В.И., Добронец Б.С. К интервальному анализу уравнений химической кинетики //Нестационарные процессы в катализе Новосибирск. 1986. С.

22. Быков В.И., Добронец Б.С. К интервальному анализу уравнений химической кинетики //Математические проблемы химической кинетики. Новосибирск. 1989. С.226-232.

23. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.:ИЛ, 1963.

24. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974.

25. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

26. Вербицкий В.И., Горбань А.Н., Утюбаев Г.Ш., Шокин Ю.И. Эффект Мура в интервальных пространствах // ДАН СССР. 1989. Т.304, №1. С. 17-22.

27. Воеводин В. В. Об асимптотическом распределении ошибок округления при линейных преобразованиях // Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1967. Т. 1, №5. С. 965-977.

28. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

29. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычислепия. М.: Наука, 1984.

30. Волков Е. А. Эффективные оценки погрешности решений методом сеток краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике и некоторых треугольниках // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 74. С. 55-86.

31. Волков Е. А. Поточечные оценки погрешности разностного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №4. С. 717-726.

32. Волков Е. А. Об асимптотике апостериорной оценки погрешности разностного решения обыкновенного дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №12. С. 2263-2266.

33. Волков Е. А. О поиске максимума функции и приближенном глобальном решении системы нелинейных уравнений // Тр. МИАН СССР. 1974. Т. 131. С. 64-80.

34. Волков Е. А. Апостериорная оценка погрешности разностных уравнений Лапласа и Пуассона // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 134. С. 47-62.

35. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств М.: Физматгиз, 1961.

36. Ганшин Г. С. Методы оптимизации и решение уравнений. М.: Наука, 1987.

37. Герасимов В.А., Добронец Б.С. Гистограммная арифметика в задачах управления производственными процессами // Препринт ВЦ СО АН СССР, №6. Красноярск. 1988. С.10-12.

38. Герасимов В.А., Добронец Б.С., Шустров М.Ю. Комплекс программ гистограммной арифметики//Препринт ВЦ СО АН СССР; №9. Красноярск. 1989. С.7-9.

39. Герасимов В.А., Добронец Б.С., Шустров М.Ю. Численные операции гистограммной арифметики и их применения. АиТ. 1991, №2. С. 83-88.

40. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 463 с.

41. Глазунов Н. М. Библиотека программ интервального анализа // Программное обеспечение ЭВМ. Киев, 1982. С. 20-23.

42. Глазунов Н. М. Грегуль О. Е., Заика И. Б. COMIF-компилятор вычисления алгебраических выражений, учитывающий ошибки округления ЕС ЭВМ/Ни-т кибернетики АН УССР. Киев, 1985. 29 с. Деп. в ВИНИТИ 15.10.85, №7268-В.

43. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

44. Годунов С.К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

45. Горбунов А.Д., Шахов Ю. А. О приближенном решении задачи Каши для обыкновенных дифференциальных уравнений с наперед заданным числом верных знаков. 1, IV // Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1963. Т. 3, №2. С. 239-259; Т. 4, №3 С. 426-433.

46. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных алгебраических уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука. Сиб. от-ние, 1988. 456 с.

47. Давиденко Д.Ф. К вопросу об оценке погрешности при решении методом сеток задачи Дирихле для уравнения Лапласа // Докл. АН СССР. 1961. Т. 138, №2. С. 267-270.

48. Даугаве И.К., Самокиш Б. А. Об апостериорной оценке погрешности численного решения дифференциального уравнения 11 Методы вычислений. Л.: Изд-во ЛГУ, 1963. №1. С. 52-57.

49. Девятко В.И. О двустороннем приближении при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений // Жури. вычисл. математики и мат. физики. 1963. Т. 3. №2. С. 254-265.

50. Дмитриев М.Г., Добронец Б.С. Двустороннее решение задачи оптимального управления // Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации. М. : ВИНИТИ и ГКНТ, 1985.

51. Дмитриев М.Г., Добронец Б.С. Синтез оптимальных разностных схем для решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Красноярск, 1987. Деп. в ВИНИТИ №905-В87.

52. Добронец Б.С. Некоторые вопросы интерполяции и аппроксимации в интервальном анализе и их приложения к решению краевых задач. Дипломная работа. Новосибирский Государственный университет. Новосибирск, 1976.

53. Добронец Б.С. Интервальный метод повышенного порядка точности решения нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Препринт ВЦ СО АН СССР №11. Красноярск, 1979. С. 2-12.

54. Добронец Б.С. Апостериорная оценка погрешности вариационно-разностного решения квазилинейного уравнения Пуассона. Красноярск. 1980. Деп. в ВИНИТИ №4718-80.

55. Добронец Б.С. Нахождение гарантированного максимума функций //Препринт ВЦ СО АН СССР №1. Красноярск. 1982. С.

56. Добронец Б.С. Асимптотически точный метод решения интервальных систем линейных алгебраических уравнений. // Асимптотический и комбинаторный анализ.- Красноярск, 1982.С.16-24. Деп. в ВИНИТИ №1610-82.

57. Добронец Б.С. Сплайновый метод решения нелинейных дифференциальных уравнений // Препринт ВЦ СО АН СССР №3. Красноярск, 1982. 16 с.

58. Добронец Б.С. Сплайновый метод решения эллиптических уравнений // Препринт ВЦ СО АН СССР №1. Красноярск, 1983.

59. Добронец Б.С. Двусторонний метод решения жестких систем ОДУ // Препринт ВЦ СО АН СССР №1. Красноярск, 1984.

60. Добронец Б.С. Двусторонний метод решения параболических уравнений //ЧММСС, том 15, №3. Новосибирск, 1984. С.60-70.

61. Добронец Б.С. Итерационное уточнение вариационно-разностных решений эллиптических уравнений конечными элементами высоких порядков точности // Вычислительные методы и математическое моделирование. Минск, 1984.

62. Добронец Б.С. Построение разностных схем на основе приближенного аналитического решения в ячейке // Препринт ВЦ СО АН СССР №2, Красноярск, 1985.

63. Добронец Б.С. Построение разностных схем на основе приближенного аналитического решения в ячейке сетки Красноярск, 1985. 14 с. Деп. в ВИНИТИ №5239-85ДЕП.

64. Добронец Б.С. Итерационное уточнение элементами высоких порядков точности. Красноярск, 1986. Деп. в ВИНИТИ №2463-В86.

65. Добронец Б.С. Метод приближенного решения в ячейке // Моделирование в науке и технике. Пермь. 1986. С. 120.

66. Добронец Б.С. Уточнение вариационно-разностных решений конечными элементами высоких порядков // Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды. Красноярск, 1986. С. 80-88.

67. Добронец Б.С. Разностные методы повышенного порядка точности для сингулярно-возмущенных задач // Современные проблемы физики и ее приложения. М.: ВИНИТИ и ГКНТ. 1987. С. 80.

68. Добронец Б.С. Построение разностных схем методом приближенного решения в ячейке сетки // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. Тезисы докладов Всесоюзной конференции.- Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1987.

69. Добронец Б.С. Оценки фазовых состояний управляемых систем // Современные проблемы механики и технологии машиностроения. М., ВИНИТИ и ГКНТ. 1989. С. 5.

70. Добронец Б.С. Двусторонние методы решений систем ОДУ, использующие параллелепипедные оценки // Препринт ВЦ СО АН СССР; №9. Красноярск. 1989. С. 12-15.

71. Добронец Б.С. Двусторонние методы решения дифференциальных уравнений химической кинетики. // Математические методы в химической кинетике. Новосибирск. Наука. 1990. С.68-74.

72. Добронец Б.С. Параллелепипедные оценки фазовых состояний динамических систем // Модели и методы оптимизации сложных систем, сб. науч. статей. / Красноярск: Из-во Красноярского унта, 1990. С. 104-110.

73. Добронец Б.С. Двусторонние методы решения систем ОДУ с интервальными параметрами.//Информационно-оперативный материал (интервальная математика) Красноярск, 1990. (Препринт / ВЦ СО АН СССР; 16. С.11-15).

74. Добронец Б.С. Двусторонние оценки фазовых состояний динамических систем // Управление производственными и техническими системами.Межвузовский сборник / Красноярск: КрПИ. 1990. С. 85 -92 .

75. Добронец Б.С. Интервальный анализ и двусторонние итерационные методы //Труды семинара по интервальной математике. Саратов. 29-31 мая 1990 г. Саратов, 1990. С.25-31.

76. Добронец Б.С. Интервальные методы, основанные на апостериорных оценках погрешностей // Тр. международной конф. ИНТЕРВАЛА, Москва 22-26 сентября 1992 г. С. 39.

77. Добронец Б.С. Методы, основанные на вычислении невязок // Вычислительные технологии, Том 4, №13 / Сб. научных трудов, ИВТ СО РАН, Новосибирск, 1995, С. 18-32.

78. Добронец Б. С. Оценки погрешности численных решений //В сб. Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Часть 1. Математика и вычислительные методы. Новосибирск-Красноярск: Издательство СО РАН, 1996. С. 57-72.

79. Добронец Б.С. Двусторонние методы решений квазилинейных эллиптических уравнений // В сб. Вопросы математического анализа. Красноярск: Издательство КГТУ, 1996. С. 12-20.

80. Добронец Б.С. Уточнение границ множества решений систем нелинейных уравнений // Вопросы математического анализа. Вып. №2. Красноярск: Издательство КГТУ, 1998. С. 36-45.

81. Добронец Б.С., Сенатов В.И. Об интервальных расширениях некоторых классов функций. Интервальные вычисления, №1, 1991, С.54-59.

82. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. О повышении точности решения вариационно-разностных схем // Вариационно-разностные методы в матфизике / Новосибирск : ВЦ СО АН СССР. 1981.

83. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы. Новосибирск. Наука, 1990. 208 с.

84. Добронец Б.С., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Задачи интерполяции в интервальном анализе. Сб. Вопросы вычисл. и прикл. матем. Ташкент, 1975, вып. 31. С.9-15.

85. Добронец Б.С., Юлдашев З.Х. Интервально-аналитические методы решения краевых задач //Материалы XIV Всесоюзн. студ. кон-ференц. Математика. Новосибирск, 1976. С. 39-43.

86. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Обеспечение устойчивости с неопределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1990. №11. С. 176-181

87. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Использование методов интервального анализа для обеспечения заданного режима работы в резательном станке // Труды семинара по интервальной математике, Саратов, 29-31 мая, 1990. Саратов, 1990. С.32-39

88. Дулан Э., Миллер Д., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

89. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука,1980.

90. Ильин А. М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Мат. заметки. 1969. Т. 6, вып. 2. С. 237-248.

91. Калмыков С. А. К задаче нахождения собственных значений симметрической матрицы интервальным методом // Численный анализ. Новосибирск: Ин-т теорет. и прикл. механики СО АН СССР, 1978. С. 55-59.

92. Калмыков С. А. Двусторонний метод решения уравнения с начальным значением в виде интервала // Числ. методы механики сплошн. среды. 1980. Т. 11, 1. С. 111- 126.

93. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев 3. X. Об интервально-аналитическом методе второго порядка для обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1976. №3 С. 28-30.

94. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев 3. X. Некоторые интервальные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Числ. методы механики сплошн. среды. 1976. Т. 7, №6. С. 62-73.

95. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев 3. X. К решению обыкновенных дифференциальных уравнений интервальными методами // Докл. АН СССР. 1976. Т. 230, №6. С. 1267-1270.

96. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986. 224 с.

97. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

98. Ким Г. Д. О статистическом исследовании ошибок округления некоторых алгебраических преобразований // Жури, вычисл. математики и мат. физики. 1969. Т. 9 №3. С. 679-683.

99. Ковач Ю. И. Модификации двустороннего метода для нелинейных дифференциальных уравнений/ Ужгород, ун-т. Ужгород, 1978. 50 с Деп. в ВИНИТИ 21.11.78, №3660-78.

100. Ковач Ю. И., Ильяшенко Н. Ф. Аналитические двусторонние методы приближенного интегрирования краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных/ Донецк, политехи. ин-т. Донецк, 1979. 74 с. Деп. в ВИНИТИ 03.07.79, №2625-79.

101. Ковач Ю. И., Савченко JI. И. О двустороннем интервальном методе решения краевой задачи для нелинейных систем дифференциальных уравнений параболического и гиперболического типов // Укр. мат. журн. 1969. Т. 21, №2. С. 252-260.

102. Коллатц J1. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.:Мир, 1969

103. Коллатц Л. Оценки погрешностей решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Вести. ЛГУ, 1979, №1, с. 96-103

104. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

105. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз. 1962.

106. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. М. : Наука, 1977.

107. Курпель Н.С., Шувар Б.А. Двусторонние неравенства и их приложения Киев, Наук, думка. 1980. 268 с.

108. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М:.Наука, 1967.

109. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М:.Наука, 1973.

110. Лапшин Е. А. Статистическое исследование ошибки округления при численном решении обыкновенного дифференциального уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975. Т. 5, №6. С. 1425-1436.

111. Лебедев В. И. Об итерационном методе двусторонних приближений // Вычисл. методы линейн. алгебры.- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. С. 59-63.

112. Лисейкин В. Д. О численном решении обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной // Числ. методы механики сплошн. среды. 1982 Т. 13, №3. С. 98-106.

113. Лозинский С. М. Оценка погрешности приближенного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1953. Т. 92, №2. С. 225-228.

114. Лозинский С. М. Об интервале существования решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 195. Т. №1. С. 17-19.

115. Лозинский С. М. О приближенном решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1954. Т. 97, №1. С. 29-32.

116. Лозинский С. М. Недостаточные и избыточные методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вести. Ленингр. ун-та. 1967. №7. С. 74-86.

117. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

118. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

119. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1980.

120. Матиясевич Ю. В. Вещественные числа и ЭВМ // Кибернетика и вычисл. техника. 1986. Вып. 2. С. 104-133.

121. Мусаев Э.А. Система интервальной арифметики настраиваемой точности на языке Паскаль для IBM PC/Материалы VIII школы-семинара Персональные компьютеры и локальные сети. Новый Афон, 1986. Тбилиси, 1986. С. 258-259.

122. Мусаев Э. А. Система интервальной обработки данных для ЕС ЭВМ // VIII Веесоюз. конф. Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях: Тез. докл. Секции 2, 3. JL, 1986. С. 22.

123. Назаренко Т. И., Марченко JT. В. Об одном интервальном методе решения интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра // Дифференц. и интегр. уравнения. Иркутск, 1975. Вып. 3. С. 152-160.

124. Назаренко Т. И., Марченко JI. В. Один интервальный метод решения интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма // Дифференц. и интегр. уравнения. Иркутск, 1976. Вып. 4. С. 282-291.

125. Назаренко Т. И., Марченко JI. В. Введение в интервальные методы вычислительной математики. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1982.

126. Новиков В.А., Рогалев А.Н. Об одном методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными данными в виде интервала. Красноярск, 1989. С. 30 31, ( Препринт / ВЦ СО АН СССР ; №9 ).

127. Оганесян JI.A., Руховец JI.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1979.

128. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.:Мир. 1976.

129. Ремез Е. Я. Деяю способи чиселыки интеграцп дифференщальних р1вняиь з оцшкою границ допущено! похибки // Зап. Природничо-Техшчного вщдшу АН УРСР.1931. №1. С. 1-38.

130. Ремез Е. Я. Некоторые вопросы структуры формул механических квадратур, могущих служить для двусторонней численной оценки решений дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. 1958. Т. 10, №4. С. 413-418.

131. Рогалев А. Н., Шокин Ю. И. Пакет интервальных операций для ЭВМ БЭСМ-б. Новосибирск, 1981. 22 с. (Препринт/ АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т теорет. и прикл. механики; №24-81).

132. Рождественский Б. JL, Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.

133. Русанов В. В. Безменов И. В. О влиянии способов округления на точность реализации алгоритмов на ЭВМ // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1987. Т 5 С. 16-26.

134. Салихов Н. П. О полярных методах решения задачи Каши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 1962. Т. 2, №4. С. 515-528.

135. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука, 1977.

136. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.:Наука, 1976.

137. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.-М.: Наука. 1973.

138. Самарский А. А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. Учеб. пособие для ун-тов. М.: Высш. шк., 1987, 296 с.

139. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнении. М.: Наука. 1978.

140. Саульев В. К. Об асимптотически двусторонних методах решения дифференциальных уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, №2. С. 362-371.

141. Совертков Н. И. Оценка погрешности приближенного решения краевых задач для простейших уравнений математической физики // Дифференц. и интегр. уравнениям-Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1976. Вып. 4 С. 65-81.

142. Стечкин С. Б., Субботни Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике М.: Наука, 1976.

143. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977.

144. Тамме Э., Саарнийт И. Об апостериорной оценке погрешности приближенных решений линейных дифференциальных уравнений // Ученые записки: Тр. по математике и механике/Тартуский унт, 1964. Т. 4. С. 216-230.

145. Тихонов А. Н., Васильева А. Б. Свешников В. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

146. Фомин Ю. Т., Шоки Ю. И. Введение в машинную интервальную арифметику. Новосибирск, 1983. 34 с. (Препринт/АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т теорет. и прикл. механики; №12).

147. Хлебалин Н. А. Анализ асимптотической устойчивости линейных систем управления в условиях неопределенности параметров объекта. Саратов, 1980. 9 с. (рук. деп. в ЦНИИТЭИприборостроения, №1370).

148. Хлебалин И. А. Аналитический метод синтеза регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта // Аналитические методы синтеза регуляторов. Саратов: Изд-во Сарат. политехи, инта, 1980. С. 107-123.

149. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

150. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 320 с.

151. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.

152. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

153. Шокин Ю.И. Об интервальных задачах, интервальных алгоритмах и их трудоемкости. Вычислительные технологии, ИВТ СО РАН, том 1, №1, 98-115.

154. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных уравнений. М.: Мир. 1978.

155. Adams, Е., Spreuer, Н. Konvergente numerische Schrankenkonstruktion mit Spline-funktionen für nichtlinear gewönliche bzv. Lineare Parabolische Randwertaufgaben // Lecture Notes in Computer Science. 1975. V.29. S. 118-126.

156. Ames, W.F., Adams E. Monotonically convergent twosided bounds for some invariant parabolic boudary value problems // Z. Angew. Math. Mech. 1976. Bd 56. S. T240 T242.

157. Applet, W. Fehlereinschliessung für die Lösung einer Klasse elliptischer Randwertaufgaben // Z. Angew. Math. Mech. 1974. Bd 54 S. T207-T208.

158. Adjerid S., Flaherty J.E. Second-order finite element approximations and a posteriori error estimation for two-dimensional parabolic systems. Numer. Math. 53, 183-198, 1988.

159. Adjerid S., Flaherty J.E., Wang Y.J. A posteriori error estimation with finite element methods of lines for one-dimensional parabolic systems. Numer. Math. 65, 1-22, 1993.

160. Allgower E., Böhmer К., McCormik S. Discrete Defect Corrections: Basic Ideas. ZAMM., 1983, B.63, 8, pp.371-378

161. Babuska I., Dorr M.R. Error estimates for the combined h and p versions of the finite element methods. Numer. Math. 37, 257-277, 1981.

162. Babuska I., Rheinboldt W. Error estimates for adaptive finite element computations. SIAM J. Numer. Anal. 15, 736-754, 1978.

163. Bank R.E., Smith R.K. A posteriori error estimates based on hierar-chcal bases. SIAM J. Numer. Anal. 30, 921-935, 1993.

164. Bank R.E., Weiser A. Some a posteriori error estimators for elliptic partial differential equations. Math. Comput. 44, 283-302, 1985.

165. Barth, W., Nuding, E. Optimale Lösung von Intervallgleichugs-systemen // Computting. 1974. V.12. P. 117-125.

166. Bauch, H. Zur Lösungseinschliessung bei Anfangwertaufraben gewöhnlicher Differentialgleichungen nach Defektmethode //Z. Angew. Math. Mech. 1977. Bd 57. S. 387-396.

167. Bauch, H. Zur intervallanalytischen Lösungseinschliessunng bei charakteristischen Anfanswertproblemen mit hyperbolischer Differentialgleichung zst = f(s,t,z) // Ibid. S. 354-347.

168. Bauch, H. On the iterative inclusion of solution in characteristic initial-value problems with hyperbolic differential equations zst = f(s,t,z) 11 Computing. 1980. V.24. P.21-32.

169. Bhattacharjee, G.P., Majumber, K.L. Some algorithms for interval interpolating polynomial 11 Computing. 1976. V.16. P.308-317.

170. Bhattachajee, G.P., Majumber, K.L. Multivariate interval interpolation 11 J. Comput. Appl. Math. 1978. V. 4 P.295-300.

171. Beierbaum, F., Schwierz, K.P. A bibliography on interval mathematics // J. Comput. Appl. Math. V. 4, N 1. P.59-86.

172. Bieeterman M., Babuska I. The finite element method for parabolic equations. I. a posteriori error estimation. Numer. Math. 40, 339-371, 1982.

173. Böhmer K. Discrete Newton methods and iterated defect corrections, Numer. Math. 37, 1981, 167-192.

174. Böhmer K., Stetter H.J. Defect Correction metods, theory and applications. Springer-Verlag, Wien, New York, Comp. Suppl. 5, 1984

175. Brouwer L.E.J. Uber die Abbidildung von Mannigfatigkeiten, // Math. Ann., 1912, 71, 97-115.

176. Caprani, O., Madsen, K. Mean value forms in interval analysis // Computing. 1980. V.25. P.147-154.

177. Ciariet P.G., Schultz M.N., Varga R.S. Numerical methods of highoder accuracy for nonlinear boundary value problems. V. Monotone operator theory. // Numer. Math., 1969, 13, 51-77

178. Collatz L. Aufgaben monotoner Art. // Arch. Math., 1952, vol. 3, p. 366-376.

179. Dobner, H.J. Bounds for the solution of hyperbolic problems // Computing. 1987. V.38. P.209-219.

180. Dobronets B.S. Two-sided solution of ODE's via a posteriori error estimates. J. of Comp. and Appl. Math. v.23 1988 p.53- 61.

181. Dobronets B.S. On some two-sided methods for solving systems of ordinary differential equations // Interval Computations N 1(3) 1992, C. 6-19.

182. Dobronets B.S. Interval Methods based on a posteriori error estimates. // Interval Computations N 3(5) 1992, C.50-55.

183. Dobronets B.S. Interval Methods via a posteriori error estimates. // Abstracts for an International Conf. on Numer. Anal, with Automatic Result Verification. 25.02 1.03.93 Lafayette, Lousiana. p.18.

184. Dobronets B.S. Iterative improvement of interval solutions.// Abstracts CSAM'93 St.Peterburg, July 19-23, 1993, p. 86-87.

185. Dobronets B. Inprovemnt of interval solutions of system nonlinear equations//Scintific Computation and Mathematical Modelling, DATES Publ., Sofia, 1993.P.171-172.

186. Dobronets B.S. Two-sided methods for differential equations// SCAN 93, Inter. Symp. on Scientific Computing, Computer Arithmetic and Validated Numerics. 26-29 sept. 1993, Vienna AUSTRIA.

187. Dobronets B.S. Optimal shoosing parameters of Runge-Kutta methods via two-sided methods // Abstracts Int. Conference on Interval and Computer-Algebraic Methods in Science and Engineering. Interval'94, March 7-10, 1994, St-Peterburg. P. 78-79.

188. B.S.Dobronets, R.B.Kearfott, L.V.Kuprianova, A.G.Yakovlev, V.S.Zyzin Bibliography of works on interval computations published in russion // Interval Computations, Suppl. 1, 1994

189. Dobronets B.S. Two-sided methods based on defects // Abstract IMACS-GAMM International Symposium on Numerical Methods and Error-Bounds, Oldenburg, Germany. P.9

190. Dobronets B.S. A posteriori error estimation and corrected method using defects // Abstract of International Conference Optimization of Finite Element Approximations, St.-Petersburg, Russia, 1995, pp.5253

191. Dobronets B.S. Numerical methods with error estimate // Abstract of International Conference AMCA-95, Novosibirsk, Russia, 1995, p.87

192. Dobronets B.S. A posteriori error estimation for partial differential equation // Abstract IMACS-GAMM International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetic and Validated Numerics. SCAN — 95, 26-29 sept. 1995, Wuppertal, Germany. P. 40

193. Dobronets B.S. Numerical Methods using Defects. Reliable Computing 1(4), (1995), 383-391.

194. Dobronets B.S. A Posteriori Error Estimation for Partial Differential Equations, in Scientific Computation and Validated Numerics, G. Alefeld, A. Frommer and B. Lang, eds., Akademie-Verlag, Berlin, 1996, pp. 239-244

195. Dobronets B.S. Two-sided Methods Based on Defects, in Numerical Methods and Error Bounds, G. Alefeld and J. Herzberger, eds., Akademie-Verlag, Berlin, 1996, pp. 64-73.

196. Dussel, R. Einschliessung des Minimalpunktes einer streng Konven Funktion auf iV-Dimensionalen Quader Q // Lecture Notes in Computing Science. 1975. V.29. P.169-177.

197. Faas, E. Belienbig genaue nurnersche Schranken für die Lösung Parabolischer Randwertaufgaben // Ibid. P.178-183.

198. Faas, E., Adams, E. Konstruction Streng Queltiger Schranken für ein System parabolischer Differentialgleichungen // Z. Angew. Math. Mech. -1972. -Bd 52. -S. T182-T184.

199. Gay D. Solving Interwal Linear Equations, SIAM J. Numer. Anal.,19, 858 870,(1980).

200. Gerschgorin, S.A. Fehlerabschätzung für das Differenzenvervahren zur Lösung parteiler Differentialgleichungen // Z. Angew. Math. Mech. 1930. Bd 10. S.373-382.

201. Hansen E. On linear algebraic equations with interval coefficient // Topics in interval analysis. Oxford: Clarendon Press, 1969. pp. 35-46.

202. Hansen E. On solving system of equations using interval arithmetic. Math, comput., 1968, V.22, pp. 374-384

203. Hansen E. On solving two-point boundary value problems using interval arithmetic // Topics in interval analysis. Oxford: Clarendon Press, 1969. pp.74-90.

204. Kiesewetter, H. Interpolation mit Intervallfunktionen und einige An-vendungen // Wiss. Z. Univ. Rostock. Math. Naturwiss. R., 1971. Bd20, N 5-6. S.337-341.

205. Krückeberg, F. Ordinary differential equations // Topics in interval analysis. Oxford: Clarendon Press, 1969. P.91-97.

206. Mancini, L.J., McCormick, G.P. Bounding global minima // Math, of Operations Research. 1976. V.l. P.50-53.

207. Marchouk, G., Shaydourov, V. Raffinement des solutions des scémas aux différences. M.: Mir, 1983.

208. Matijasevieil. Y.V. A posteriori interval analysis // Lecture Notes in Computing Science. 1985. V.204. P.328-334.

209. Mayer, О. Uber Intervâllmâ ige Iterations-vervahren bei Linearen Gleichungssystemen und Allgemeineren Intervallgleichungssystemen //Z. Angew. Math. Mech. 1971. Bd 51. S.117-124.

210. Moore R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs. N. J.: Prentice-Hall, 1966.

211. Moore R.E. Methods and Applications of Interval Analysis, SIAM, Philadelrhia 1979.

212. Moore R.E., Kioustelidis J.B. A simple test for accyracy of approximate solutions to nonlinear (or linear) systems, SIAM J. Numer. Anal., 17, 521 529, 1980.

213. Morton K.W., Murdoch T., Suli E. Optimal error estimation for Petrov-Galerkin methods in two dimensions. Numer. Math. 61, 359372, 1992.

214. Nakao M.T. A numerical approach to the prof of existence of solutions for elliptic problems. Japan Journal of Appl. Math., 5, No. 2, 313-332, 1988.

215. Neumaier, A. Tolerance analysis with interval arithmetic // Frein-burger Intervall-Berichte, 1986. -N 9.

216. Neumaier, A. Interval methods for systems of equations. Cambidge: Cambidge University Press, 1990.

217. Nickel K. Bounds for the Set of solutions of Functional-Differential Equations, MRC Techn. Summary Report N 1782, Univ. of Wisconsin, Madison 1977.

218. Nickel K.L.E. Using Interval Methods for the Numerical Solution of ODE's // ZAMM, 1986, Vol. 66, N 11, 513-523.

219. Oettli, W. On the solution set of a linear system with inaccurate coefficients // SIAM J. Numer. Anal. -1965. -V. 2. -P. 115-118.

220. Oliveria, F.A. Interval analysis and two-point boundary value problems //SIAM J. Numer. Anal. -1974. -V.U. -P.382-391.

221. Pereyra V. Itereted defect corrections for nonlinear operator equation // Nuner. Math. 10, 1967, 316-323.

222. Pitkäranta, J. Local stability conditions for the Babuska method of Lagrange multiplier // Math. Cornput. 1980. V.35, N 152. P. 11131130.

223. Ratschek H. Schroeder G. Uber die Adleitung von Intervallwertigen funktionen. Computing 7, 172-187 (1971)

224. Scheu, G. Scrankenkonstruction für die Lösung der elliptischen Randwertaufgaben mit konstanten Koeffizienten // Z. Angew. Math. Mech. 1975. Bd 55. S. T221-T223.

225. Schmitgen, G. Intervallanalytische Approximationfragen //Z. Angew. Math. Mech. 1971. Bd 51. S. T72-T73.

226. Schröder G. Differention of interval functions. Proc. Amer. Math. Soc. 36, 485-490 (1972)

227. Schroder, J. Upper and lower bounds for solutions of generalized two-point boundary value problem // Numer. Math. 1975. V.23. P.433-457.

228. Skelboe, S. Computation of rational interval functions // BIT. 1974. V.14. P.87-95.

229. Small R.D. Numerical methods for partial differential equation based on power series. Int. J. Numer. Meth. Eng. V19, pp.739-755, 1983

230. Smagina Ye.M. A new approach to the modal regulator synhesis for interval plant with scalar input. Reliable Computing Vol.3, No. 4. (1997), pp. 401-410.

231. Spreuer, H. Konvergente numerische Schranken füre partielle Randwertaufgaben von monotoner Art // Lecture Notes in Computer Science. 1975. V.29. P.298-305.

232. Spreuer, H., Adams, E. Scranken für die Lösungen parabolischer Systeme // Z. Angew. Math. Mech. 1971. Bd 51. S. T13-T14.

233. Stetter H.J. The defect correction principle and discretization methods, Numer. Math. 29, 1978, 425-443.

234. Streng G., Fix G. J. An analysis of the finite element method. En-glewood Cliffs: Prentice-Hall, 1973.

235. Ström, T. Trict estimation of the maximum of a function of one variable //BIT. 1971. V.U. P.199-211.

236. Tost, R. Zur numerischen Lösungen von Randwertaufgabe mit Gesicherter Fehlereinschliessung bei Partiellen Differentialgleichungen // Z. Angew. Math. Mech. 1971. Bd 51. S. T74-T75.

237. Varga, R.S. Matrix iterative analysis // Englwood Cliffs. New Jersey: Prentice-Hall, 1962.

238. Walter, W. Differential and integral inequalities. Berlin: SpringerVerl., 1970.

239. Walzel A. Fehlerabschatzung bei Anfangs wertaufgaben fur Systeme von gewohnlichen Differentialgleichungen. Diss., Univ. Köln 1969.

240. Xie, R., Li, Q. Error expansions for finitr element approximations and their applications // Lecture Notes in Math. 1987. V.1297. P.98-112.

241. Настоящий акт составлен в том, что разработанные в диссертационной работе Добронца Б.С. алгоритмы и программы специальной аппроксимации, решения систем нелинейных уравнений, используются в программном обеспечении научно-производственной фирмы "АКАР".

242. Использование разработанной Добронцом Б.С. методики построения специальных аппроксимаций, решения нелинейных уравнений, позволило значительно сократить вычислительные затраты и повысить точность индентификации стратегий у операторов ТЭЦ.

243. Директор фирмы "АКАР" кандидат психологических наук1. А. А. Шпиков