автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка и исследование методов решения вычислительной задачи расчета функции неопределенности в плоскости время-частота

-л -ад

'5 белорусский государственный университет

На правах рукописи

зайцева Елена Михайловна

разработка и исследование методов ршения вычислительной задачи расчета функции неопределенности в плоскости время-частота

05.13.16 - ггрименение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК 1992

Работа выполнена на кафедре радиофизики Белорусского государственного университета .

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

член-корреспондент АНРБ, доктор технических наук, профессор Широков A.M.

доктор технических наук, профессор Охрименко А.Е. кандидат технических наук Белый А.Л.

Минское высшес военное инженерное училище

Защита состоится "-¿И&узА 1993 г. на заседании специализированного совета К 056.13.14 но присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Белорусском государственном университете по адресу: 220110, г.Минск, ул.Курчатова,6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан де^аС&рЦ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор техн. наук, профессор , Скрипник В:М.

' "ОБЩАЯ ? ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Проблема изучения функции неопределенности как важнейшего средства анализа свойств зондирующих сигналов в приложении к теории обнаружения и оценки параметров объектов локации с момента ее постановки привлекает внимание исследователей и инженеров, занятых практической работой с локационными системами. Это внимание обусловлено фундаментальной ролью, которую играет функция неопределенности при исследовании влияния характеристик зондирующего сигнала на точность оценок параметров объекта. Б последнее время интерес к данной проблеме значительно возрос. Это связано, во-первых, с усложнением локационной обстановки, проявляющемся в расЬирении диапазона оцениваемых расстояний и скоростей, чт<5 влечет необходимость повышения быстроты получения и качества оценок. Во-вторых, появление эффективных методов и средств цифровой обработки сигналов поставило вопрос об их применении в задачах обнаружения и оценок параметров, и в настоящий момент цифровые методы в этой области успешно конкурируют с традиционными.

Проблема исследования функции неопределенности в локационных приложениях имеет два аспекта: первое - поиск сигналов с характеристиками, позволяющими получить наилучшее качество оценок; второе - вычисление собственно функции неопределенности с минимальными затратами времени и средств. К настоящему времени достаточно полно изучены свойства функции неопределенности, связывающие вопросы точности оценки дальности и скорости цели, в целом построена теория синтеза зондирующих сигналов ,' получены аналитические выражения и изучено поведение функции неопределенности ряда сигналов. Однако сформулированные требования к функции неопределенности носили довольно общий характер, и поиск удовлетворяющих гол

1 .

сигналов все еще затруднялся. Очередное повышение интереса к изучению проблем синтеза зондирующих сигналов, доставляющих, так называемую квазиидеальную функцию неопределенности, связано с появлением новой концепции синтеза сигналов, принадлежащей Дж.Костасу. Она основана на предположении, что наилучшей формой функции неопределенности обладают сигналы, назвашше матрицами--сигналами Костаса, в виде пакетов гармонических колебаний, частота которых от импульса к импульсу меняется по определенному закону. Многообразие матриц-сигналов Костаса разных размеров и конфигураций нуждается в глубоком и всестороннем исследовании влишшя различных параметров сигналов на поведение функции неопределенности. Это послужило бы проблеме выбора зондирующего сигнала исходя из конкретных особенностей локационных задач, поэтому представляет значительный теоретический и практический интерес.

В середине 80-х годов наметился несколько иной подход к построению процедур обнаружения и оценки параметров, не приводящий непосредственно к вудвордовской модели функции неопределенности, а связанный с теорией частотно-временных представлений сигналов. Была предпринята попытка к 'обобщению частотно-временной формулировки оптимального обнаружения. Вследствие этого исследования, касающиеся функции неопределенности, стали все шире осуществляться не только в радиолокации, но и при анализе сигналов, распространяющихся в различных средах (гидролокация, геосейсмология и геофизика). Отмеченные выше работы можно объединить в том смысле, что они используют функцию неопределенности как инструмент в решении проблемы поиска сигналов с нужными свойствами.

Между тем, поддержанный в свое время Ван Трисом аспект применения функции неопределенности непосредственно при оценивании

2

параметров цели разработан не столь полно. Объективные трудности на этом пути связаны с громадным объемом вычислительных работ при расчете двумерной функции неопределенности. Затраты при прямом метода вычисления для массива входных данных размером, например, 1024-1024 составляют около 3.3 млрд. вещественных умножений и 5.4 млрд. сложений. В 70-е годы были предложены более эффективные метода реализации функции неопределенности, использующие высокоскоростную свертку с применением алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ). Это позволило снизить вычислительную стоимость для рассматриваемого примера до 34.6 млн. умножений и 97.5 млн. сложений. В настоящее время положение изменяется вслед за появлением новых свер^технологий в области интегральной схемотехники, что позволяет приблизиться к решению проблемы расчета функции неопределенности в плоскости время-частота в близком к реальному време-мени. Дальнейшее продвижение в скорости связано с синтезом эффективных алгоритмов, использующих теорию преобразований в алгебраических шлях для расчета функции неопределенности.

Таким образом, актуальность дальнейшей разработки проблем, связанных с функцией неопределенности, обусловлена, с одной стороны - необходимостью выбора формы и параметров зондирующих сигналов для локационных задач; с другой стороны - потребностью в построении эффективных алгоритмов" вычисления функции неопределенности в плоскости время-частота.

Целью настоящей работы является исследование функции неопределенности в двух аспектах: первое - построение и исследование методов рг-шения внчислительной задачи расчета функции неопределенности в плоскости время-частота; второе - разработка и анализ столон еннтпяа зондирующих сигналов, приводящих к."идеальной"

3

форме функции неопределенности..

В качестве инструмента исследования используется аппарат теории алгебраических полей, преобразований над ними и быстрых алгоритмов реализации этих преобразований.

В соответствии с намеченной целью необходимо решить следующие задачи:

1. Сформулировать вычислительную задачу расчета функции неопределенности в плоскости время-частота и подход к ее решению, в рамках которого: а)проанализировать проблемы, возникающие при вычислении функции неопределенности на базе преобразований в поле комплексных чисел С, и С Осуществить для указанной задачи выбор поля и преобразований над ним, свободный от присущих полю С недостатков.

2. Разработать обобщенный подход к построению и анализу быстрых алгоритмов преобразований в алгебраических полях для расчета функции неопределенности.

3. Разработать методы расчета функции неопределенности в плоскости время-частота с применением преобразований в избранном алгебраическом поле и их быстрых алгоритмов и осуществить их сравнительный анализ.

4. Исследовать поведение функции неопределенности и час-тотно--временных представлений сигналов, сформированных на основе концепции синтеза зондирующих сигналов, приводящей к получению квазиидеальной функции неопределенности, для чего: а)разработать ал-ритмы построения таких сигналов; б Осуществить численный эксперимент по исследованию влияния параметров сигналов и их формы на поведение функции неопределенности и частотно-временных представлений с точки зрения качества оценки времени задержки и дотшло-

ровского сдвига частоты.

Научная новизна определяется следующими результатами, впервые полученными или подробно разработанными в настоящей работе.

1. Единый подход к анализу и поиску методов решения вычислительной задачи расчета функции неопределенности, основанный на использовании теории алгебраических полей.

2. Обобщенный подход к построению и анализу быстрых алгоритмов расчета преобразований в алгебраических полях при реализации функции неопределенности, включающий определение класса перестановок, задающих структуру алгоритма, матричное описание и анализ . вычислительной сложности алгоритма.

3. Специфическое позиционное представление чисел для взаимно простых'множителей, описывающее перестановки, для которых выявлен новый класс быстрых алгоритмов, названных алгоритмами с модульной структурой.

4. Методика анализа вычислительных ошибок при реализации быстрых алгоритмов преобразований для расчета функции неопределенности в поле комплексных чисел средствами цифровой обработки.

5. Новые процедуры построения специального класса перестановочных матриц для представления сигналов с квазиидеальной функцией неопределенности.

6. Методы расчета функции неопределенности в плоскости время-частота: метод свертки с параметром сдвига частоты, метод двумерной свертки в кольце хн-1, метод двумерной свертки в кольце х^+1 и метод двумерного преобразования.

7. Новый класс зондирующих сигналов, использующий внутриимпу-льеную модуляцию для пакета с меняющейся от импульса к импульсу частотой.

8. Комплексная методика исследования свойств зондирующих сигналов, основанная на изучении их представлений во временной, частотной и время-частотной областях.

Практическая значимость работы определяется предложенным подходом к решению вычислительной задачи расчета функцтгл неопределе нности, который позволяет рассматривать проблему ь комплексе ее направлений и выбрать подходящее практическое решение.

Разработан обобщегшый подход к построению и анализу быстрых алгоритмов расчета преобразований в алгебраических полях для реализации функции неопределенности, который дает возможность рассматривать и оценивать быстрые алгоритмы различной структуры с единых позиций и упростить процедуру выбора наилучшего для конкретных целей. Введеное специфическое позиционное представление чисел для взаимно простых множителей позволило построить новый класс быстрых алгоритмов с модульной структурой, обладающих высокими показателями с точки зрения организации вычислительного процесса и минимизации количества операций.

Разработана методика анализа вычислительных ошибок, возникающих при реализации быстрых алгоритмов преобразований в поле комплексных чисел .который дает возможность определить точные значения средних и дисперсий индивидуальных и суммарных ошибок при расчете функции неопределенности средствами цифровой обработки.

Предложены новые процедуры построения специального класса перестановочных матриц, позволяющие быстро и просто получить нужные матричные представления для формирования зондирующих сигналов, доставляющих квазиидеальную функцию неопределенности.

Разработаны и проанализированы четыре альтернативных способа расчета функции неопределенности в плоскости время-частота, ори-

6

оптированные на применение цифровых средств обработки: метод свертки с параметром сдвига доютлеровской частоты, метода двумерной свертки в кольце хн-1, метод двумерной свертки в кольце метод двумерного преобразования. Они могут быть полезны при решении соответствующих задач радио- и гидролокации, геофизике и геосейсмологии.

Построена комплексная методика исследования свойств зондирующих сигналов, основанная на изучении представлений этих сигналов во временной, частотной и время-частотной областях. Она служит удобным инструментом поиска зондирующих сигналов для разнообразных практических целей'в локации и может представить интерес для работающих в этой области специалистов. В результате применения этой методики найден новый класс сигналов, позволяющий получить лучшие по сравнению с известными характеристики качества оценки допплеровского сдвига частоты и времени задержки.

Внедрение и использование результатов. Результаты проведенных исследований использованы в отчетах по хоздоговорным НИР, проводившимся на кафедре радиофизики, а также внедрены в учебный процесс на факультете радиофизики и электроники Белорусского государственного университета, что подтверждается соответствующими документами.

Апробация. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII научно-технической конференции "Радиоизмерения" , Каунас,1981; республиканской конференции "Проблемы применения современных радиофизических метрдов автоматизации научных исследований", Минск,1981; 14,4,41 всесоюзных конференциях "Проблемы метрологического обеспечения систем обработки измерительной информации", Москва,1982,1984,1986.

7

Публикации. По результатам диссертации опубликованы работы, список которых, представлен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Объем диссертации - 209 листов, из которых 128 листов основного текста, 96 рисунков и таблиц на 59 листах, 6 листов списка литературы, включающего 52 наименования, и приложение на 22 листах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цель и задачи работы, а также представлена структура изложения материалов диссертации.

Первая глава посвящена постановке вычислительной задачи расчета функции неопределенности и обоснованию выбора направления, в котором следует искать ее решение. В разделе 1.1 разрабатывается подход к задаче вычисления функции неопределенности, включающий три направления. Первое направление составляет анализ зависимое- . тей между функцией неопределенности и характеристиками качества оценок параметров для объектов локации, результатом которого яв-ялется формулировка требований к функции неопределенности. Второе направление требует изучения соотношений между функцией неопределенности и другими представлениями сигналов в плоскости время-частота, что позволит: а) предложить альтернативные методы вычисления функции неопределенности и б) построить новые критерии синтеза зондирующих сигналов на основе взаимовлияний частотно-временных распределений и функции неопределенности. Содержание третьего направления - формулировка методов вычисления функции неопределенности. В его рамках осуществляется анализ вычислительных

8

ошибок при расчете функции неопределенности и формирование требований к выполнению этого расчета, на основании которых осуществляется выбор поля и преобразований над ним для реализации рассматриваемой вычислительной задачи.

В разделе 1.2 кратко рассмотрена математическая модель для задачи оценки параметров сигнала, отраженного от медленно флуктуирующей точечной цели, и показано, что при построении оптимальной процедуры оценки необходимо реализовать функцию правдоподобия. Ее составляющая, обусловленная сигналом, есть функция неопределенности 0(т,у), рассматриваемая как мера соответствия между излученным и отраженным от цели сигналом. Рассмотрены вопросы интерпретации функции неопределенности в вопросах точности оценок дальности и скорости цели. Отмечено разделение этой проблемы на исследование глобальной точности (неопределенности) и локальной точности. Приведены выражения для границ несмещенных оценок, на основании которых сделаны выводы о характере поведения функции неопределенности в области главного пика и на всей поверхности в целом, желательном с точки зрения получения лучшего качества оценок. Сформулированы и выражены математически требования, которым должна удовлетворять функция неопределенности: узость вертикального сечения главного пика по оси временной задержки и по оси доппле-ровского сдвига частоты; плоская поверхность тела неопределенности с низким уровнем вне главного пина. Эти требования объединяет понятие "идеальной" функции неопределенности.

Некоторые аспекты теории частотно-временных распределений е(1,Г) сигналов, связанные с задачами обнаружения и оценки параметров, рассмотрены в разделе 1.3. Дан обзор свойств частотно-временных распределений, позволяющий рассматривать их как догол-

.9

нительное средство анализа функции неопределенности. В разделе 1.4 формулируется вычислительная задача расчета функции неопределенности и предлагаются методы ее решения, использующие двумерный подход: метод двумерной свертки и метод двумерного преобразования вычисления функции неопределенности в плоскости время-частота. В разделе 1.5 анализируются проблемы реализации расчета функции неопределенности цифровыми средствами, если задача сформулирована в поле комплексных чисел С. Показано,что основной операцией при расчете функции неопределенности в поле С является дискретное преобразование Фурье (ДПФ) посредством быстрых алгоритмов. Кратко изложены основные результаты применения методики обобщенного анализа вычислительных ошибок при расчете ДПФ, возникающих в результате невозможности представления чисел поля С с неограниченной точ-ностью(во всем объеме методика представлена в приложении I). Анализ показывает, что реальные ситуации при расчете функции неопределенности, для которых характерны значительные размеры обрабатываемых массивов и многократное использование процедур ДПФ, сопро-вовдаются большим уровнем вычислительных шумов, приводящих к неверной интерпретации результатов. С другой стороны, реализация большого количества сложений и умножений комплексных чисел приводит к значительным затратам времени и средств.Таким образом, применению аппарата комплексных чисел при расчете функции неопределенности присущи ограничения, затрудняющие решение данной задачи. .Предлагается использовать другой аппарат, учитывающий особенности представления чисел в цифровых системах и позволяющий проще организовать вычисление функции неопределенности. Ставится задача выбора алгебраического поля, наилучшим образом отвечающего требованиям к аппарату вычисления функции неопределенности.

10

В разделе 1.6 дано общее определение преобразований в алгебраическом поле Р и продемонстрировано, что оно не привлекает конкретные особенности полей, используя их абстрактную структуру. Выделены свойства преобразований над полем Р, позволяющие реализовать расчет функций неопределенности: существование пары преобразований, свойство сдвига и свойство цикличности свертки. Проанализированы особенности вычисления преобразований в полях различного характера и показано, что особый интерес представляют комплексные полиномиальные р&сширения 0(3,а) поля рациональных чисел 0 вследствие точного моделирования в этих полях операций над числами с представлением словами конечной длины, характерным для систем цифровой обработки. Поля (ЗУ,а) доставляют аппарат с необходимыми для выполнения расчета функции неопределенности свойствами и позволяют сохранить ряд физических понятий, характерных для традиционной постановки этой задачи, наряду с выгодами в отношении реализации арифметических операций.

Вторая глава излагает содержание обобщенного подхода к построению и анализу быстрых алгоритмов вычисления преобразований в -алгебраических полях. Раздел 2.1 носит постановочный характер; здесь сформулирован обобщенный подход как совокупность следующих моментов: определение класса перестановок, проявляющих внутреннюю структуру алгоритма, матричное описание и графическое представление алгоритма, анализ вычислительной сложности. Далее раскрывается сущность каждого из'указанных трех моментов. Показана определяющая роль способа организации перестановок при построении алгоритма. Предложен метод описания перестановок, использующий -позиционное представление для целых чисел, сопоставляемых-порядковым ... я«.-. Р^,, к-т'понентов входных и (или) выходных векторов

И

преобразований. Анализируются следующие возможные варианты разложения размера N преобразования на множители: где Ь - целое число, г>0; N=N0«!^ , где N^11 ^ •... •Н1._1, где (N^N^>=1, то есть N^,3=0,1,... Д-1 - попарно взаимно простые числа. Для указанных вариантов разложения строятся соответственно позиционные представления по фиксированному основанию, по смешанным основаниям и вновь введенное позиционное представление для взаимно простых множителей, определяющие соответствующие классы перестановок. Кратко излагается сущность матричного способа описания алгоритма, показывается его универсальность для алгоритмов различной структуры и подчеркивается удобство для полей различного характера. Задача анализа вычислительной сложности алгоритмов определяется в аспектах количества арифметических операций, требуемого количества регистров памяти для хранения данных и промежуточных результатов, а также простоты структурной организации вычислительного процесса.

Раздел 2.2 открывает рассмотрение алгоритмов конкретной структуры. Здесь определяется класс перестановок простой позиционной системы по основанию Ь, вводится матрица цифровой инверсии по основанию Ь и строятся алгоритмы с замещением четырех исчерпывающих типов. Даны матричные описания всех четырех типов алгоритмов, рассмотрены конкретные примеры для Ь=2, N=8. Структура алгоритмов демонстрируется.при помощи условного графического представления. Анализ вычислительной сложности иллюстрирует важные свойства построенных алгоритмов: снижение количества арифметических операций, выполнение вычислений по методу с замещением, что требует N регистров памяти, регулярность структуры алгоритмов.

Аналогичное построение имеет раздел 2.3, в начале которого

12

определяются классы перестановок позиционной системы по смешанным основаниям и позиционнной системы для взаимно простых множителей и описываются матрицы цифровой инверсии по смешанным основаниям и матрицы перестановок с применением отображений вычетов индексов по модулю множителей Г^ из разложения N. Далее представлено матричное описание алгоритмов с замещением по смешанным основаниям четырех типов, аналогичных введенным для разложения На ос-

новании формулировки нового позиционного представления для взаимно простых множителей строятся новые алгоритмы с особыми свойствами, определенными термином "модульная структура". Показано, что они обладают всеми достоинствами алгоритмов с замещением, наряду со значительным снижением количества операций умножения и произвольным порядком выполнения этапов. Исходя из специфического типа линейных отображений позиционного представления для взаимно простых множителей получено матричное описание алгоритмов Винограда. Приведены примеры алгоритмов для N=15 с представлением их структуры в графическом виде. Сравнительный анализ сложности алгорит- . мов с замещением, алгоритмов с модульной структурой и алгоритмов г Винограда выявляет преимущество алгоритмов с модульной структурой, которое становится более значительным с применением эффективных способов реализации вычисления базовых преобразований небольших размеров N , 3=0,1,..., 1;-1.

В третьей главе определяются и анализируются предложенные в главе I метода расчета функции неопределенности в плоскости время-частота, использующие быстрые алгоритмы преобразований в алгебраических полях. В разделе 3.1 предлагаются следующие моменты представления методов расчета функции неопределенности: а Определение г.'ртоги. Бго'шгмчое аналитические выражения и переходы к ди-

13

скротным аналогам; б)вычислительная процедура, представляющая алгоритм вычисления по шагам; в)структура и вычислительная сложность, представленные графической схемой алгоритма и расчетными формулами для количества вещественных операций. В соответствии с указанным порядком построены разделы 3.2-5, посвященные методам: свертки с параметром частоты

C=N?S(k-n) mod N' Sn <^(X)=S*(X)-S"(X> mod Х*-1 ,

6k 1 1Фк12' k=0,1,..N-1;

двумерной свертки в кольце x^l Н-1 N-1 л

б, -,= У, Ее ■£„ , , „ ,, . „ , k,l=o,l,...,N-l=* .

k,l n.m (k-n) mod N, (1-m) mod N

n=0 m=0

=»/1®Х/=»

N-1

=» 9, (x)= У e (x)-e* . . „(x) mod x"-1;

kv ' n (k-n) mod N

n=° м

двумерной свертки в кольце х +1 N-1 N-1

k.l иг. иг. n.m (k-n) mo N,(l-m) mod N n=o m=0

=»/k»X/=»

- 6l(X)=X£m(X) ,e(l-m) mod N<X) m0d 1 m=u

двумерного преобразования

л = ^e a"(nk4ml)|2, a*e-iz"/*:3=Y=V, k,1=0,1,... ,N-1.

K,J- n=0 m=0 n,m

Для каждого метода построен алгоритм, содержание которого отражено в вычислительных процедурах 1-4 по шагам и структурных схемах, представленных в виде рисунков. Получены следующие расчетные формулы количества вещественных умножений М и сложений А при реализации функции неопределенности: методом свертки с параметром v -

M(2t[2t(2t-7)+16]} + A{2tt2t(7t-7)+16]}, методом двумерной свертки в кольце Xм-1 -

M(32+2t[(3/2)t+6.2t-5]+ £ 3-21[21_г(31-4)+5]} +

1=2 t

'+Af64+2t[(7/2)t+6.2t-5J+ 2 21[2i"2(331-4)+15J},

1=2

методом двумерной свертки в кольце хн+1 -

М(812г[ (Э/2)^211(Зг+8)+2]} + А{8+2г [ (7/2) t+2t (т+8)+2]},

методом двумерного преобразования

М(8+2*[ (3/2П+б.2^5]+ 2 3-21[21_3(31-7)+3]} +

1=3 + * -

+А(1бО+2"[(7/2)1+6-2-5]+ 2 2 & 3 (271-23)+9]},

1=3

на основании которых сформирована сводная таблица количества вещественных операций. Проанализирована структурная организация алгоритмов и минимальные .затраты памяти. В завершающем главу раздело 3.6 дпн сравнительный анализ методов с точки зрения их реализации, сделан обзор их достоинств и недостатков, позволяющий сделать выбор для конкретных целей.

В четвертой главе представлены результаты численного эксперимента, проведенного в соответствии с разработанной комплексной методикой исследования свойств зондирующих сигналов различного вида, основанной на изучении влияния параметров сигналов и их Флрмн на поведение временных, частотных и частотно-временных представлений сигналов. В разделе 4.1 описывается содержание подхода к построению методики анализа зондирующих сигналов с точки зрения качества оценки параметров доотлеровского сдвига частоты и времени задержки. Этот подход объединяет формирование численными методами моделей: первое - временных представлений сложных зондирующих сигналов, второе - их спектральных представлений и третье -чатотно-временных распределений Рихачека и функций неопределенности как представлений этих сигналов в плоскости время-частота. Анализ влияния параметров сигналов на поведение указанных предс-п'.>ляох сделать -те или иные выводы о сигнале. В насто--:-:,..•;! ..■,г-,г.т,;. г! г:г)чр,;ТГ<г, основного критерия выдвинуты требования к

15

функции неопределенности, с позиций которых и анализируется изучаемый зондирующий сигнал.

Изложение материалов раздела 4.2 посвящено формулировке процедур построения матриц перестановок специального класса, использующих конструкцию и свойства полей Галуа. Открывает раздел изложение концепции Костаса квазиидеальной функции неопределенности. Описывается структура сложного сигнала, представляющего пакет М немодулированных импульсов, каждый из которых имеет свою несущую частоту. Концепция Костаса основана на предположении, что определенный закон изменения несущих частот от импульса к импульсу приводит к достижению функции неопределенности с требуемыми свойствами. Этот закон формулируется исходя из определенных свойств матриц перестановок, с помощью которых представляют описанный сложный сигнал. Таким образом, задача построения оптимального сигнала сводится к поиску процедур построения матриц перестановок, удовлетворяющих условию Костаса. Далее в разделе 4.2 дается определение двух оригинальных процедур построения таких матриц. Первая процедура использует свойства примитивного элемента полей Галуа СР(р), р - простое нечетное, которые дают возможность применить для описайия перестановки позиционное представление для взаимно простых множителей при Н=110=рД=1, и отображения экспоненциального типа. Вторая процедура использует таблицы сложения степеней примитивного элемента в шлях Галуа СР(рт), р - любое простое • число. Совокупность этих двух процедур дает возможность получить матрицы всевозможных размеров М, описывающие структуру сигнала, удовлетворяющего условиям Костаса.

В разделе 4.3 излагается содержание численного эксперимента и дается описание моделей изучаемых в работе зондирущих сигналов.

16

Для этих целей выбраны сигналы с внутриимпульсной частотной модуляцией различного типа, а также сигналы, полученные в результате применения процедур построения специальных перестановочных матриц из раздела 4.2. Для последних выдвинуто предложение ввести частотную модуляцию для каждого импульса внутри пакета. Приведены аналитические выражения для сигналов означенных выше типов и указаны параметры, изменение которых предполагается использовать в качестве факторов анализа при проведении численного эксперимента, содержание которого и результаты обсуждаются в разделе 4.4.

В заключении представлены основные результаты и выводы диссертационной работы, выдвигаемые на защиту.

1. Предложен единый подход к анализу и поиску решения вычислительной задачи расчета функции неопределенности, основу которого составляет применение аппарата алгебраических полей при вычислении функции неопределенности с помощью быстрых алгоритмов преобразований над алгебраическими полями и при построении сигналов с "идеальной" функцией неопределенности. Реализация этого подхода привела к выбору полей комплексно-полиномиального расширения поля рациональных чисел, которое позволяет сократить вычислительные затраты на 25-30% и освобождает от рассмотрения проблемы ошибок выполнения арифметических операций в цифровых системах.

2. Разработан обобщенный подход к построению и анализу быстрых алгоритмов расчета преобразований в алгебраических полях при реализации функции неопределенности, включающий определение класса перестановок, задающих структуру алгоритма, матричное описание и янгучт г!"шс.>штельноЯ сложности алгоритма. Этот подход обладает '''н;'>:рса.1Ы!остьк) в отношении как структуры алгоритма, так и хара--и>Р'.! !'•>«•>!, II которой определено преобразование, и позволяет

17

упростить проблему выбора ноля и алгоритма для конкретной вычислительной задачи.

3. Применение разработанного подхода к построению и анализу алгоритмов позволило: первое - выдвинуть в качестве определяющей при построении алгоритма процедуры перестановки компонентов входных и/или выходных векторов преобразований; второе - ввести специфическое позиционное представление чисел для взаимно простых множителей, описывающее перестановки, для которых удалось третье

- получить новый класс быстрых алгоритмов "с модульной структур рой" с преимуществами простоты организации и сокращения на 12-18% объема вычислений по сравнению с известными.

4. Разработана методика анализа вычислительных ошибок при реализации быстрых алгоритмов преобразований для расчета функции неопределенности в поле комплексных чисел средствами цифровой обработки, позволяющий точно оценить средние значения и дисперсии индивидуальных и суммарной ошибок, искажающих результаты на выходе вычислительной процедуры.

5. Получены новые процедуры построения специального класса перестановочных, матриц для представления сигналов с квазиидеальной функцией неопределенности.

6. Разработаны методы расчета функции неопределенности в плоскости время-частота: метод свертки с параметром сдвига частоты, метод двумерной свертки в кольце хм-1, метод двумерной свертки в кольце хы+1 и метод двумерного преобразования, которые используют быстрые алгоритмы'преобразований над полями комплексных полиномиальных расширений поля рациональных чисел 0(3,а).

7. Разработана комплексная методика исследования свойств зондирующих сигналов, основанная на изучении их представлешиЧ во

18

временной, частотной и время-частотной областях, позволяющая осуществить разносторонний анализ сигналов с точки зрения требований глобальной и локальной точности оценки параметров сдвига частоты и времени задержи функции неопределенности и сделать соответствующий конкретной задаче выбор.

8. Получен новый класс зондирующих сигналов, использующий внутриимпульсную частотную модуляцию различного порядка для пакета с меняющейся от импульса к импульсу несущей частотой по закону, соответствующему концепции Костаса. Эти сигналы обладают лучшими по сравнению с известными характеристиками в отношении требований к функции неопределенности с точки зрения локальной и глобальной точности оценки параметров сдвига частоты и времени задержки. Обнаружено, что при введении модуляции проявляется эффект резкого сужения главного максимума функции неопределенности по оси времени в 10-20, а по оси частот - в 3-5 раз, и снижения уровня боковых лепестков на 0.2-0.4 от максимума по отношению к номодулировпнному сигналу Костаса. Наличие достаточно широких коридоров нулевого уровня позволяет эффективно осуществлять раз- -решение многих целей.

Список публикаций по материалам диссертации.

1.Бовбель Е.И., Зайцева Е.М. Исследование шумов квантования цифровых устройств анализа шумов и вибраций //Радиоизмерения: Тез. докл. VII научн.-техн. конф.- Каунас, 1981.

2. Бовбель Е.И., Зайцева Е.М., Микулович В.И. Ошибки цифровых систем, основанных на вычислении дискретного преобразования Фурье //Зарубежная падиоэлектроника.-19815.

3. Бовбель Е.И., Зайцева Е.М. Исследование алгоритмов БПФ со встречной структурой //Проблемы применения современных радиофизи-

19

ческих методов для автоматизации научных исследований: Тез. докл. респ. конф.- (Линек, 1981.

4. Бовбель Е.М., Зайцева Е.М., Микулошч В.И. Эффективные алгоритмы быстрого преобразования Фурье со смешанным основанием // Радиотехника и электроника.-1982,№ Б.

5. Бовбель Е.И., Зайцева Е.М., Микулович В.И. Исследование ошибок специализированного устройства БПФ //Измерительная техника : Тез. докл. IV всесоюзн. конф. "Пробл. метрол. обесгюч.сист. обработки измер. инф."- Москва, 1982. 4

6. Бовбель Е.И., Зайцева Е.М. Быстрые алгоритмы полиномиальных преобразований для расчета двумерных сверток //Измерительная техника: Тез. докл. V всесоюзн. конф. "Пробл. метрол. обеспеч.сист. обработки измер. инф."- Москва, 1984.

7. Бовбель Е.И., Зайцева Е.М. Эффективные алгоритмы преобразования Фурье с модульной структурой //Измерительная техника: Тез. докл. V всесоюзн. конф. "Пробл. метрол. обеспеч.сист. обработки измер. инф."- Москва, 1984.

8. Бовбель Е.И., Зайцева Е.М. Эффективные алгоритмы расчета функции неопределенности в конечных полях//Измерительная техника: Тез. докл. VI всесоюзн. конф. "Пробл. метрол. обеспеч.сист. обработки измер. инф."- Москва,- 1986.

'9. Бовбель Е.И., Зайцева Е.М. и др. Численное исследование решения задачи оценки неизвестных параметров на фоне аддитивного гауссова шума //Учебн.-метод, пособие: ротапр. БГУ, Минск, 1991.

10. Исследование возможностей применения для следящего анализа вибраций перестраиваемых полосовых фильтров и анализатора спектра в реальном времени и разработка действующего макета фильтра: Отчет о НИР /Бовбель Е.И., Зайцева Е.М., Левша Е.И., Микуло-

ВИЧ В.И. и др. № Гос. регистр. Б81714Б.- Мн.: БГУ, 1979.

IT. Исследование методов построения и разработка специализированного анализатора кинематической погрешности редукторов и зубчатых передач: Отчет о НИР /Бовбель Е.И., Василенко В.Г., Зайцева Е.М., Крючок В.Р., Микулович В.1/1., Скриган H.H. № Гос. регистр. Б929986.- Мн.: БГУ, 1982.

Подписано к печати 24.11.92. Формат 60«84/1в. Бумага тип ЖЗ.

Печать офсетная. Усл.печ.л.1.16. Усл.краскоот.1.16. ■Уч.-изд.л. 1.0 . Тираж 100 экз. Заказ № К-О • Бесплатно. Белгосуниверситет, 220050, Минск, пр. Ф.Скорины, 4. Отпечатано на ротапринте Белгосуниверситета. 2200ЗД, Минск, Бобруйская, 7.

Соискатель

Е.М.Зайцева