автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Одноэтапная задача проектирования оптимальных химико-технологических систем с вероятностными ограничениями

На правах рукописи

С*

ПЕРВУХИН ДЕНИС ДМИТРИЕВИЧ

О ДНО ЭТАПНАЯ ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в химической технологии)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г 4 окт 2013

Казань 2013

005535753

005535753

Работа выполнена на кафедре «Системотехника» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Зиятдинов Надир Низамович

доктор технических наук, профессор

Дворецкий Дмитрий Станиславович доктор технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет», заведующий кафедрой «Технология и оборудование пищевых и химических производств»

Шарпфуллин Внлен Насибович

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Казанский государственный энергетический университет», профессор кафедры «Инженерная кибернетика»

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)»

Защита состоится «75» ноября 2013 года в 14:00 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.080.13 при ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технологический университет» по адресу: г. Казань, ул. Карла Маркса, д. 68, ауд. А-330.

Отзыв на автореферат в 2-х экземплярах, заверенный гербовой печатью, просим направлять по адресу: 420015, г. Казань, ул. Карла Маркса, д. 68, КНИТУ, учёному секретарю диссертационного совета Д 212.080.13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского национального исследовательского технологического университета.

Автореферат разослан «_/£_» о/сгя£>р£ 2013 года

Учёный секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

А. В. Клинов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Проектирование оптимальных химико-технологических систем (ХТС) на основе математического моделирования получило широкое развитие за последние десятилетия. При этом, очевидно, что качество получаемых результатов проектирования во многом зависит от достоверности используемой исходной информации. Часто такая информация содержит неточности. Известно, что найденные без учета факторов неопределенности проектные решения существенно отличаются от оптимальных. Кроме того, в процессе функционирования таких установок изменение условий эксплуатации может привести к снижению качества выпускаемой продукции, а порой вызвать переход к недопустимым режимам работы.

В настоящее время возможность изменения параметров эксплуатации проектируемой системы, как правило, учитывается в виде эмпирических поправок, вводимых проектировщиком в некоторое полученное решение. Очевидно, что спроектированная таким образом система может быть, во-первых, затратной по конструкции, и, во-вторых, неэффективной при эксплуатации. Более того, при некоторых условиях она может не обеспечивать выполнение всех проектных требований при изменении условий в процессе эксплуатации, что приведет либо к ее остановке, либо даже к разрушению (аварии).

Поэтому разработка эффективных подходов и методов к решению задач проектирования оптимальных ХТС учитывающих неопределенность в исходной информации остается в поле зрения зарубежных и отечественных ученых. Среди специалистов в этой области следует выделить Grossmann I.E., Pistikopoulos E.N., Wendt M., Diwekar U.M., Liu В., Iwamura К., Charnes А., Cooper W.W., Островского Г.М., Дворецкого С.И., Егорова А.Ф., Мешалкина В.П., Холоднова В.А. Однако данная задача имеет ряд нерешенных проблем.

Учет неопределенности в постановке задачи приводит задачу проектирования оптимальной ХТС к виду многоэтапных задач оптимизации. Одной из постановок является одноэтапная задача оптимизации, в постановке которой предполагается неизменность управлений в процессе эксплуатации ХТС. В постановках задач проектирования, учитывающих неопределенность в исходной информации, критерий и ограничения чаще всего имеют вид интегральных выражений по многомерным областям неопределенности. Большинство существующих методов решения задач в таких постановках используют процедуры численного интегрирования, которые являются крайне трудоёмкими процедурами уже при размерности области неопределенности больше трёх. При большей размерности задачи становятся трудно разрешимыми даже на современных компьютерах. В связи с этим актуальной становится задача развития эффективных методов, позволяющих снизить вычислительные затраты на решение задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности информации.

Цель диссертационной работы - разработка эффективных подходов и алгоритмов решения одноэтапной задачи проектирования оптимальных ХТС с вероятностными ограничениями, а также программная реализация этих алгоритмов.

В соответствии с поставленной целью исследования выделены задачи:

1. Разработать подходы сведения одноэтапной задачи проектирования с вероятностными ограничениями к задачам с детерминированными ограничениями;

2. Разработать подход к решению одноэтапных задач проектирования с учетом неопределенности, сокращающий вычислительные затраты на расчет целевой функции в форме математического ожидания;

3. Объединить разработанные подходы в алгоритмы решения одноэтапных задач проектирования оптимальных ХТС с вероятностными ограничениями;

4. Создать и апробировать программный комплекс на решении ряда задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности.

Научная новизна:

1. Разработана эффективная процедура уточнения математического ожидания целевой функции на последовательных итерациях в задачах оптимизации с неопределенностью, позволяющая существенно сократить вычислительные затраты на расчет математического ожидания.

2. Разработан эффективный метод решения задачи получения нижней оценки, основанный на линеаризации ограничений и сведении одноэтапной задачи оптимизации к задаче нелинейного программирования.

3. Разработан эффективный метод решения задачи получения верхней оценки, который основан на преобразовании вероятностных ограничений в детерминированные и сведении одноэтапной задачи оптимизации к задаче полубесконечного программирования.

4. Для решения задач полубесконечного программирования предложена модификация метода внешней аппроксимации для случая, когда области удовлетворения ограничений в задачах максимизации зависят от поисковых пере-.менных задачи полубесконечного программирования.

Практическая значимость:

1. На основе предложенных подходов и алгоришов создан программный комплекс для решения одноэтапных задач проектирования оптимальных ХТС. Комплекс может быть использован для решения оптимизационных задач химической технологии и в других отраслях промышленности.

2. Эффективность разработанных подходов и алгоритмов в сравнении с существующими показана на решении ряда модельных примеров.

3.С помощью разработанного программного комплекса была решена задача проектирования системы биологической очистки сточных вод ОАО «Казань-Оргсинтез» и выданы рекомендации по модернизации системы для случая увеличения нагрузки на рассматриваемую систему.

Апробация работы. Основные результаты и научные положения диссертации обсуждались и докладывались на Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-22, Псков, 2009; ММТТ-23, Саратов, 2010; ММТТ-24, Саратов, 2011), на Международной научно-практической конференции «Компьютерное моделирование в химической технологии и устойчивое развитие» (Киев, 2010).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 12 научных работ, из них 8 статей в журналах, рекомендуемых ВАК РФ для публикации результатов диссертационных работ, а также получено 1 свидетельство о регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, содержащих основные результаты работы, выводов, библиографического списка и приложения. Основной текст изложен на 168 страницах машинного текста, включает 16 рисунков и 50 таблиц. Список использованной литературы состоит из 196 наименований.

Автор выражает благодарность кандидату технических наук, доценту Лаптевой Т.В. и доктору технических наук, профессору Островскому Г.М. за научные консультации в процессе выполнения данной работы.

Основное содержание работы

Во введении показана актуальность решаемой проблемы, приводятся цель и задачи работы, дана краткая аннотация диссертационной работы, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе рассматриваются различные постановки задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности, дается классификация неопределенных параметров и причин их возникновения. Рассмотрим постановку задачи в виде одноэтапной задачи оптимизации с вероятностными ограничениями (ОЭЗО)

шш £[/(*,в)] (1)

Рг{^(х,0)<О}>а = (2)

где х - вектор поисковых переменных, включающий в себя как конструктивные, так и управляющие параметры системы (в одноэтапной постановке предполагается неизменность управлений на этапе функционирования, в - вектор неопределенных параметров, в е Т, Т - область изменения неопределенных параметров, /(х,в) - критерий оптимальности, функции gj{x,в) выражают требования к системе, а, - вероятность выполнения соответствующего ограничения, задаваемая проектировщиком.

Показано, что прямое решение задачи (1) требует расчета многомерных интегралов в критерии и ограничениях задачи

£!/(*,в)] = !/(*,(3)

= , Т1 ={ве Т,Е^х,в)йО}, 7 = 1,..,/« (4)

В главе дан обзор современных подходов к решению ОЭЗО. Их можно разделить на две категории. Подходы первой категории решают задачу (1) как задачу оптимизации, вычисляя на каждом шаге значения целевой функции и ограничений методами численного интегрирования, например, методами статистического эксперимента (Монте-Карло и его модификации) или куба-турными формулами. Подходы второй категории ставят своей целью сведение вероятностных ограничений к детерминированным, что позволяет либо полностью избавиться от вычисления многомерных интегралов в ограничениях задачи, либо существенно сократить обращение к этой операции.

Однако разработанные на данный момент подходы не лишены недостатков. Так, недостатком кубатур является быстрый рост числа аппроксимацион-ных точек при увеличении размерности области интегрирования, что приводит к увеличению вычислительных затрат. Также часто выбор точек сильно влияет на точность, что делает кубатуры неуниверсальными. Метод Монте-Карло и его модификации (латинский гиперкуб, последовательность проб Хаммерслея) не зависят от решаемой задачи, но также требуют большого числа узловых точек для достижения приемлемой точности. Указанные недостатки приводят к большим временным затратам на решение задачи (I). Методы второй категории разработаны лишь для узкого класса задач.

Таким образом, актуальна разработка универсальных подходов к решению одноэтапных задач проектирования оптимальных ХТС, позволяющих значительно сократить вычислительные затраты на решение.

В конце главы сформулированы цель и задачи исследования.

Вторая глава посвящена разработке подхода к решению задачи проектирования оптимальной ХТС в постановке ОЭЗО (1), основанному на линеаризации функций ограничений gj(x,в) и сведении одноэтапной задачи оптимизации к задаче нелинейного программирования в предположении, что неопределенные параметры веТ, ве[в\ви], статистически независимы, т.е. область Т имеет вид многомерного параллелепипеда, а функции gj (х,в), У = 1,..,т, дифференцируемы пох, в и выпуклы по в .

Разложим функции gJ{x,в) в ряд Тэйлора в некоторой точке 0' е Г и подставим в (2) вместо gJ(x,в) линейную часть разложения:

получив ограничения Рт{^(х,в,в')< 0}>«;,./ = 1 ,..,т . Было показано, что такие ограничения сводятся к детерминированному виду. Мы получим задачу

min E[f{.xß)} (5)

Решение задачи (5) дает нижнюю оценку критерия задачи (1).

Для сокращения затрат на вычисление критерия задачи (5) используется

аппроксимация функции /0,0) ее разложением в ряд Тэйлора /{х,в,вч), где оставлены постоянная (7) или линейная (8) части:

£„д/(*,0),т;] = я,/(х,0<), (?)

где а, = Jp(ß)de , Е[в„Т] = \0,p(e,)de, .

Для улучшения оценки критерия ОЭЗО (1) предложена итерационная процедура разбиения на подобласти областей с наихудшей аппроксимацией:

T<J> - для ограничений gj(x,6), j = \,..,m, и Tik> -для функции f(xß). По

областям Tj,k> будет набираться множество SkJ точек 6° для построения ограничений (6). Задача нижней оценки критерия задачи (1) на к-ой итерации примет вид задачи нелинейного программирования:

/(<> = min £,,[/(*,©), Г] (9)

e'JeStJ, l = l,...,Nti, j = l,...,m, где ii[öi 1, F[0j] - математическое ожидание и дисперсия . Алгоритм 2.1 решения задачи примет вид:

1. Задать ¿=1, начальное значение х(0>, малое е>0. Выбрать аппроксимацию критерия задачи (1) (см. (7), (8)). Задать множество подобластей Ttj,

l = l,...,NlJt j = l,..,m-, Т}1), Задать малое/'.

2. Создать множество SkJ точек в1' е TtJ, j=l,..,m, l-\,...,Nkj.

3. Решить задачу (9). Пусть решение {/(*,;xtA)}.

4. Если выполняется неравенство |/(4) <£|/(i,|, то решение найдено. Конец работы алгоритма. Иначе идти на Шаг 5.

5. Для у/ = l,..,m :

а) найти T'V - область для разбиения, решив задачу

б) разбить область T(*J на подобласти 7]

ftj-j и •

Образовать множества Sk*'J = 5м \J{eN"J;e"tJ+lJ}, j = l,...,m, точек

aN"J а Т aNt,+\.j rj.

7. Найти область Т(.к> для разбиения, решив задачу

q = arg max тах(/(х(к\в)-f(xw,в,0 '))J

Тф.й! веТ,' >' J \ > ' >/

(10)

разбить область Т'.к> на подобласти Тп и Тп , 8. Положить к=к+1, перейти к шагу 3.

Предложенный подход применим при независимости неопределенных параметров в и выпуклости ограничений gJ{x,в) по в .

Проверка эффективности предложенного подхода было проведена на ряде модельных примеров.

Пример 1. Алгоритм 2.1, реализующий предложенный подход, был применен для решения задачи проектирования оптимальной системы "реактор-теплообменник"1 (см. рисунок 1).

F Т

с.

к, г,

а, г,

а

о

г

■'»г

F Т

1 U1 > * U.

Рисунок 1 - Технологическая схема системы реактор-тешюобмешгик В реакторе идеального смешения происходит экзотермическая реакция первого порядка А-^В. Теплообменник служит для поддержания температуры в реакторе ниже заданной Тх. В задаче: объём реактора V, м3, площадь поверхности теплообмена теплообменника А г, м2, — конструктивные параметры; температура реакции Т^З 11-К389 К, выходная температура потока охлаждающей воды Г2=301+355 К — управляющие переменные (являются поисковыми в задаче оптимизации). Переменные состояния: СЛЬ Т2, - концентрация реагента А в продукте (кмоль/м3), температура (К), расходы (м3/ч) рециркуляционного потока и потока охлаждающей воды (м3/ч), соответственно. Неопределенные параметры: в = {Р0,Тй,Тм,кК,Щ — расход входного

Halemane K.P., Grossmann I.E. Optimal Process Design under Uncertainty. AIChE Journal 1983' v29 p.425-433

потока в реактор, (м3/ч), его температура, (К), входная температура потока охлаждающей воды, (К), скорость реакции, (м / кмоль- ч ) и коэффициент теплопередачи, (кДж/м2-ч-К), соответственно. Область неопределённости в задаче задана интервально Т = {в, :0,л'-(1~>тг, )<0( <<?/* - (1+?гг, )} .

Таблица 1 - Номинальные значения неопределенных параметров

Р0 То кя и

0м 45,36 333 300 9,81 1635

а 0,1 0,02 0,03 0,1 0,1

Номинальные значения неопределенных параметров в (ву) и значения параметров а приведены в таблице 1. Задача решалась для четырех размеров области неопределенности, соответствующих значениям у=0;1;1,25;1,5. При у=0 решается задача номинальной оптимизации.

ОЭЗО для проектирования системы "реактор-теплообменник" имеет вид: /*= тш £[691,2- К0'7 + 873- Лг0'6 +1,76- ^ (б)+7056- (в)] (11)

Рг{О,9-(С^-С^(0))/СЛО <0}га, Рг{Г2(0)-7; ¿0}>а2 Рг{Г„, -Ги2 <0}>«,

Рг{Ги -Г2(0) + 11,1 <0}>а, Рг{311 - Г2 (6>) < 0}>а,

Рг{Г2(0) —389< 0}>а, Г„2-7;+11,1<0

Результаты решения ОЭЗО (11) для размера области неопределенности, соответствующего у= 1 приведены в таблице 2, где также приведены результаты, полученные с применением отраслевого коэффициента запаса (равного 1,25) к результатам номинальной оптимизации. Значения критерия для у=0;1; 1,25; 1,5 в сравнении со значением, полученным с применением отраслевого коэффициента запаса, представлены на рисунке 2.

а2=0,9 5 «2=1 Номинальная

а1=0,5 а1=0,75 вг=0,95 оптимизация с учетом коэффициентов запаса

Критерий 9821,54 9888,90 9986,14 10212,89 10354

т, 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Ту,2 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,48 5,62 5,82 6,31 6,78

Лт 7,40 7,44 7,48 7,59 6,51

время, с 1,28 1,17 1,19 1,02 0,03

По результатам, приведенным в таблице и на рисунке, видно, что увеличение требуемой вероятности выполнения ограничений, а также размера области неопределенности приводит к увеличению значения критерия. Это вызвано ростом области выполнения ограничений в пространстве изменения неопределенных параметров в . В то же время следует отметить, что решение задачи номинальной оптимизации с учетом отраслевого коэффициента запаса менее

экономично, чем все полученные решения ОЭЗО (11), за исключением случая требования безусловного выполнения ограничений С«,* I и аг=1) и у=1,5.

рш Гр ш о яр* Л Г .1 Г НМОС Т 11

Рисунок 2 - ('равнение нижней опенки ОЭЗО и решения задачи номинальной оптимизации с учетом отраслевого ко>ффинискга запаса

В гретьей главе рассматривается подход к решению задачи проектирования оптимальной ХТС в постановке ОЭЗО (1), который основан на сведении вероятностных ограничений к детерминированным и преобразовании ОЭЗО (I) к задаче полубссконеч ного программирования, в предположении, что все неопределенные параметры в статистически независимы. При этом выпуклость функций ограничений (2) не требуется. В главе показано, что ограничение эквивалентно двум ограничениям та\^/(х.0)<О;Ргр€ £} ¿а ,

где Г дГ. Подставив их вместо (2), получим вид ОЭЗО с поисковыми переменными {ж; Та ,у = 1...„да}. Однако искать формы, размеры и местонахождение областей Т очень сложно, поэтому сузим формы областей до много' (

мерных параллелепипедов Та ={0, ....,/»}, тогда получим верх-

нюю оценку критерия задачи (1). Преобразуем вероятностное ограничение Рг{0€ Та } го(, используя независимость параметров в:

ргре т.} - ГГ-Дф^" )]*<*>. -щж.ё^ -щур*.

Получим задачу верхней оценки критерия ОЭЗО (1) в виде задачи полубесконечного программирования, для решения которой можно применить метод внешней аппроксимации2:

/= min £[/(*,0)]

maxg/(*,0) < 0, П" ,[Ф(0Л')-Ф(в?")] - «,,

el<el->, 9?-><в?, / = 1.....п, у = 1.....т.

При аппроксимации критерия ОЭЗО (1) будем использовать формулы (7) или (8).

Для уточнения получаемой оценки критерия ОЭЗО предложена итерационная процедура, основанная на разбиении: а) областей удовлетворения ограничений Та на подобласти уточнения аппроксимации Тр ,j=\..,m, 1 = 1,...^,

б) области Т на подобласти, уточнения аппроксимации критерия задачи (1) Tq, q = 1,..,Q (Nj, Q - количество областей).

В результате на £-ой итерации будем решать задачу:

/''' = 1(тт £„Д/(х,0),Г] (12)

maxg,(*,£>)< О, ,

в^ <0f-JI, ef'JJ <0,", О}*» / = 1.....п, j = \,...,m, 1 = l,...,Nf).

Разработанный Алгоритм 3.1 модифицированного метода внешней аппроксимации примет вид:

1. Положить к= 1. Выбрать аппроксимацию критерия задачи (1) (см. (7), (8)). Задать множество подобластей Tjl>, q = 1 ,..,£>,, и Г'/>, множества точек

SfJ, j = \,...,m, 1=1, начальные значения х(0), малое е>0, малое f\

2. Решить задачу нелинейного программирования

ef- <e'-'\ e'!JJ <ef, ej"JJ <ef'IJ, i = l,...,«, j = \,...,m, / =1,...,ЛГ}*>.

Пусть (f,x,6L-jJ,eUJJ)ik) - решение.

3. Формирование множества S*, критических точек в областях Tf S]j=<ß» :0JJ =argmaxg/xw,0);^(xm,0w)>O},y = l,...,m,/ = l,...Af (13)

2 Левитин Е С., Полак Б.Т. Методы ограниченной минимизации. Ж. вычисл. матем. и матем.

физ., 1966. N5. С. 787-823

Если S*j Ф0 , то Sf/}) = SfJ U5*,, перейти на шаг 2. Иначе - на шаг 4.

4. Если выполняется условие |/<*>-/ct-,)|<£|/(t)|, то решение найдено. Конец работы алгоритма.

5. Найти такие {/,Г}, j = \,...,m, I = , что maxg .{ха\в) = 0.

Разбить область Г'.*1 на две подобласти.

6. Среди подобластей Т™, q-X..,Qt, аппроксимации критерия найти согласно (10) область для дробления и разбить ее на две.

7. Положить к=к*-\ и перейти к шагу 2.

Эффективность предложенного подхода была проверена на ряде модельных примеров проектирования оптимальных ХТС. Рассмотрим два из них.

Пример 2. Рассматривается задача проектирования оптимальной системы реакторов , представленной на рисунке 3. В реакторе 1 протекают реакции превращения вещества А в вещество В со скоростью кх и, далее, в вещество С, со скоростью к3. В реакторе 2 протекают реакции превращения вещества А в вещество В со скоростью к2 и, далее, в вещество С, со скоростью к,. Здесь СА1, СВ1, Сл2, СЦ - концентрации веществ А п В в реакторах 1 и 2, соответственно (моль/м ), VUV2- объемы реакторов 1 и 2 (м3), Ти Т2 - температуры в реакторах

*■ *з к, к4

А-+В-+С А-+В-+С

Ш Ш

Рисунок 3 - Система из двух реакторов В качестве неопределенных параметров системы авторами примера выбраны 0={Е1-,Е2;к1^к20}: энергии активации, (Дж/моль), реакций превращения вещества А в вещество В и превращения вещества В в вещество С, предэкспоненци-альные множители в уравнениях Аррениуса скоростей реакций ки к2 и к3, кл, соответственно. Диапазоны изменения неопределенных параметров даны в' таблице 3. Область неопределенности имеет вид многомерного прямоугольника Т={6 :<9Л'-М <в<вк+к2 }.

3 Wendt M., Li P., Wozny G. Nonlinear chance constrained process optimization under uncertainty Ind

& Eng. Chem. Res. 2002. V. 41. P. 3621-3629.

Таблица 3 - Характеристики неопределенных параметров

Параметр ау д

6665,948 200

¿2 7985,248 240

кю 0,715 0,0215

кго 0,182 0,0055

0<СА2(^,в)<1,

Поисковые переменные: конструктивные

VI)', режимные2={Гь Т2). ОЭЗО проектирования оптимальной системы реакторов имеет вид:

(14)

Р{Св[(с1,г,е)>С°:2}>а , (15) 0<СВ1(</,г,6>)<1, 0<К!<16, 0<Свг(с1,г,е)<1, 0<У2<16,

601.4 <7] <661.53 :

541.26<Т2 ¿601.4.

Решение задачи проводилось с помощью алгоритма 3.1. Результаты для разных значений С^ и вероятности а представлены в таблице 4, где/- значение критерия задачи (14), г - время решения. В таблице 5 проведено сравнение значений критерия, приведенных авторами примера, и полученных на основе предложенного подхода получения верхней оценки критерия ОЭЗО.

"-аз а V, Уг т, т2 / с

0,50 0,90 2,1824 2,1824 1203,36 1203,36 2,9546 96,4

0,50 0,95 2,3546 2,3546 1203,36 1203,36 3,0689 58,3

0,52 0,90 2,6245 3,8432 1203,36 795,95 3,5805 11247,9

0,52 0,95 3,2312 4,1355 940,18 746,34 3,8285 12223,6

Таблица 5 - Результаты решения задачи (14)

а Л /и {Гл -Шл

0,50 0,90 3,624 2,9546 0,1847

0,50 0,95 3,671 3,0689 0,164

0,52 0,90 3,899 3,5805 J 0,0817

0,52 0,95 3,963 3,8285 0,0339

Здесь /а — значение критерия авторов3,/^- значение верхней оценки критерия задачи.

Анализируя приведенные результаты, следует заметить, что решение ОЭЗО при помощи предложенного алгоритма дает значение критерия на 3-18% меньше, чем значение авторов3.

Предложенный Алгоритм 3.1 был использован для решения задачи Примера 1 в постановке (11). Значения критерия/^ для размеров области неопределенности, соответствующих у= 1; 1,25; 1,5 представлены в таблице 6. Для сравнения даны значения^ решения ОЭЗО (11) алгоритмом 2.1 и значения/), полученные при аппроксимации критерия ОЭЗО (11) по предложенным авторами2 точкам в" в области неопределенности и их весам ач:

Как видно из таблицы, разница между полученными верхней и нижней оценками решения задачи (11) составила не более 1,5%, что говорит об эффективности предложенных алгоритмов. Также надо отметить, что подход, осно-

ванный на получении нижней оценки находит решение за меньшее время. При этом аппроксимация /А, предложенная авторами2, значительно отличается от значений /с, и/,.

Вероятность Алгоритм Y=1 Y=I,25 Y=I,5

а,=0,5 «2=0,95 Алгоритм 3.1, аппроксимация (7) fu 9893,72 9944,66 9938,80

время, с 29,69 14,55 302,61

Алгоритм 2.1. аппроксимация (7) к 9821,54 9839,08 9836,09

время, с 1,28 1,20 1,41

ЮО-ifu-fdlfu 0,73 1,06 1,03

Алгоритм 3.1, аппроксимация (16) Га 10408,36 10656,77 -

время, с 65,03 11,94 -

а 1=0,75 а2=0,95 Алгоритм 3.1, аппроксимация (7) fu 9972,40 10020,07 10057,13

время, с 11,16 187,17 166,31

Алгоритм 2.1, аппроксимация (7) к 9888,90 9938,69 9937,41

время, с 1,17 1,33 1,27

Ш{/и-ти 0,84 0,81 1,19

Алгоритм 3.1, аппроксимация (16) h 10491,51 10762,84 -

время, с 81,88 23,64 -

а,=0,95 а2=0,95 Алгоритм 3.1, аппроксимация (7) fu 10085,12 10166,15 10233,20

время, с 31,73 32,16 73,50

Алгоритм 2.1, аппроксимация (7) Л 9986,14 10060,56 10084,05

время, с 1,19 1,23 1,31

юо-^-лу/у 0,98 1,04 1,46

Алгоритм 3.1, аппроксимация(16) /а 10615,2 10915,38 -

время, с 26,24 20,17 -

проведено сравнение значений критерия, полученных предложенным алгоритм о 3.1, со значением критерия, вычисленным в оптимальной точке методом Монте-Карло. На рисунках 4-6 приведены: значения критерия, полученные алгоритмом 3.1 и обозначенные как: КПА — при кусочно-постоянной аппроксимации (7) критерия, КЛА - при кусочно-линейной аппроксимации (8), ЭТ - при аппроксимации (16); значение критерия, вычисленное в оптимальной точке, найденной методом Монте-Карло обозначено как МК. Также на рисунках приведено сравнение логарифмических значений затраченного времени: алгоритма 3.1 при разных аппроксимациях критерия (КПА, КЛА, ЭТ) -на решение всей задачи, метода Монте-Карло — на однократный расчет математического ожидания (МК).

Следует заметить, что однократный расчет значения методом Моте-Карло занимал в среднем около 40-50 минут. Как в ил но из рисунков 4-6 лучшей следует признать кусочно-постоянную аппроксимацию математического ожидания в критерии ОЭЗО (11), обеспечившую в среднем погрешность (до 0,28 %).

М «Г. II)

мроетиостъ Л|

Рисунок 4 - а>1Ш1кч качееша кусочно-ностаянной аппроксимации критерия (7) в задаче (II)

I I

|'Я 1Ш

• га

•срсотпосп 0\

Рисунок 5 - амиио качсс!на куючшкгшнсйной аппроксимации критерия (8) н тадаче (II)

*.п

крешмеп а |

Рисунок 6 - анаша качества аппроксимации критерия (16) в гадачс (II)

В четвертой главе рассмотрены задачи оценки работоспособности и проектирования одного из блоков узла биоочистки установки биологической очистки сточных вод (БОСВ) цеха нейтрализации ОАО «КазаньОргсингез».

Изменение объема и состава сточных вод. вследствие наращивания мощностей основных производств (завод этилена) и ввода в действие новых производств (завод поликарбоната) ОАО «КазаньОргсингез», явилось причиной исследования работоспособности установки БОСВ в возможных пределах изменения параметров сточных воя поступающих на очистку. Были выявлены основные загрязнения, поступающие в БОСВ: фенолы, СПАВы и гликоли.

Узел биологической очистки включает в себя три блока. Для исследования выбран третий блок, включающий 4 параллельно работающих азротенка, совмещенных с регенераторами, и 4 параллельно работающих вторичных отстойника. Объемы аппаратов составляют ^=2070 м3 для аэротенка, ^=1030 м3 для регенератора, ^=1016 м3 для вторичного отстойника.

На вход блока после предварительной очистки от механических примесей и нейтрализации подастся промышленный сток, который распределяется между аэротенками. Далее очищенная вода поступает во вторичные отстойники на отстаивание, откуда осветленная вода после обеззараживания выводится в водоем. Поток уплотненного ила из вторичных отстойников передается в регенераторы активного ила, откуда поступает на входы аэротенков. Избыточный активный ил выводится из системы на переработку.

Так как блок представляет собой коллекторную систему с идентичными по конструкции аппаратами и состав сточных вод поступающих в аэротенки одинаков, то нагрузки по сточным водам на аэротенки распределяются равномерно.

Это

вощух на

аэрацию

К1)

,>снетленная «ода

уплотненный ил

нтбыточкый И Т

Рисунок 7 - система БОСВ Диапазоны изменения текущего и прогнозируемого расхода сточной во-

потволило представить исследуемый блок как систему, состоящую из кротенка, регенератора и вторичного отстойника, вид которой приведен на рисунке 7.

ды, а также концентраций загрязнений приведены в таблице 7.

Соста» стока Объемный расход, м3^ Концепт рации загрязнений У,

ХПК общ.. мгОз/л Фенолы, мг/л СПАВы, мг/л Гликоли. мг/л

Минимум 87,5 200 0,1 1,5 25

Максимум (текущий) 125 1100 5 20 800

Максимум (прогнозируемый) 140 1500 20 100 1000

На основе выявленных и прогнозируемых интервалов изменения сточной воды, а также анализа математической модели системы БОСВ4, было определено 12 неопределенных параметров в : расход сточной воды, концентрации основных загрязнений (фенолы, СПАВы, гликоли), 8 коэффициентов математической модели, характеризующих состояние биоценоза активного ила.

В итоге были сформированы задачи оценки работоспособности системы (СБОСВ) на существующей и прогнозируемой областях неопределенности, а также одноэтапная задача проектирования оптимальной СБОСВ с вероятностными ограничениями на прогнозируемой области неопределенности.

Оценка работоспособности действующей СБОСВ на существующей области неопределенности подтвердило, что действующая СБОСВ обеспечивает выполнение регламентных требований на качество очистки, что подтверждает адекватность построенной математической модели рассматриваемой СБОСВ. Однако оценка работоспособности действующей СБОСВ на прогнозируемой области неопределенности показала, что действующая СБОСВ не обеспечит регламентные требования на качество очистки. Это обосновывает необходимость решения задачи проектирования СБОСВ.

Задача проектирования оптимальной СБОСВ с учетом неопределенности была сформулирована в одноэтапной постановке, поскольку рассматриваемая СБОСВ не предусматривает регулирования расхода воздуха в аэротенке и регенераторе, потока рециркулируемого ила на основе системы автоматизированного управления в зависимости от изменения условий функционирования.

В качестве поисковых переменных были выбраны: конструктивные параметры с1 = { ; Уеа ; - объем аэротенка, регенератора и вторичного отстойника, м3, соответственно, управляющие параметры г = { СУаз/);Срег; крец) — расход воздуха в аэротенк, регенератор, м3/ч, доля потока уплотненного ила в регенератор, соответственно.

Критерий оценки эффективности работы СБОСВ был выбран в виде г,в) = + Сюутр + + со1ДС,р + + ср^крщ ,

где Соте, Саэр, с[кг - приведенные стоимости единицы объема аппарата, руб/ч-м3, сеозд, £рец — стоимости на подачу воздуха в аппараты и перекачку уплотненного ила в системе, руб/ч-м3.

Требования технологического регламента, включающие требования, предъявляемые к качеству очистки, определяются ограничениями на предельно допустимую концентрацию взвешенных веществ и основных загрязнений в сбрасываемой в водоем очищенной воде, и расход воздуха. ОЭЗО для проектирования оптимальной СБОСВ имеет вид:

4 Островский Г.М. Методы оптимизации химико-технологических процессов: учебное пособие / Г.М. Островский, Ю.М. Волин, H.H. Зиятдинов. - М.: КДУ, 2008. - 424 с.

/ = шш Ед[Г(с!,2,ву,Т] (17)

Рг{(^в(</,)<()} = «,, у = 2,...,4, (18)

Рг{д-ов(й?,г,0)-хяж<О}>а,, ¥т{хш(Ы,г,в)< дгтах}>«2, (19)

< с™, -о„р < о, е™ <о.

где л: — концентрация взвешенных веществ, х™ - предельная концентрация взвешенных веществ в системе; индексы: ОВ, УИ - поток осветленной воды и уплотненного ила, соответственно, ПДК - предельно допустимая концентрация по содержанию вещества в очищенной воде, у = 1,...,4 - ХПК, фенолы,

СПАВы, гликоли соответственно. Значения = 0,005 мг/л, л-3 =05 мг/л,

пда гвдс '

=0,75 мг/л, Хцда =13,4 мг/л, хпж =6,5 г/л.

В результате решения задачи (17) для разной вероятности выполнения ограничений (18), (19) предложены оптимальные объемы аппаратов СБОСВ и режимы их работы. Приведенные в таблице 8 результаты гарантируют оптимальность спроектированной СБОСВ по заданному критерию и выполнение ограничений с заданными вероятностями.

Таблица 8 - Решение ОЭЗО при разных вероятностях выполнения ограничений

Выполнение ограничений / V ' аэр V ' рег V * отс ъ

а! =0,99, 02=0,95 431,6 2168,8 875,6 1134,4 1970,2 0,99

Я|=1, а2-1 439,1 2266,5 884,3 1192,8 2038,8 0,99

Из результатов видно, что, при наложении вероятности на выполнение ограничений (18), (19), спроектированная СБОСВ в сравнении с существующей имеет меньший суммарный объем аэротенка и регенератора, а при безусловном выполнении ограничений — больший. Следует отметить, что в обоих случаях получен меньший объем регенератора в сравнении с существующей СБОСВ, но больший объем для вторичного отстойника, что требуется для обеспечения необходимой концентрации активного ила в системе.

Основные результаты и выводы

1. Предложены эффективные подходы, сводящие одноэтапную задачу с вероятностными ограничениями к задаче с детерминированными ограничениями:

— подход, позволяющий определить нижнюю оценку критерия одноэтапной задачи оптимизации, основан на линеаризации ограничений и сведении одноэтапной задачи оптимизации к задаче нелинейного программирования; он требует независимости неопределенных параметров и выпуклости ограничений по неопределенным параметрам;

- подход, дающий верхнюю оценку критерия одноэтапной задачи оптимизации, основан на сведении вероятностных ограничений к детерминированным

и преобразовании одноэтапной задачи оптимизации к задаче полубесконечного программирования; он требует независимости неопределенных параметров.

2. Разработана эффективная процедура уточнения математического ожидания целевой функции, существенно сокращающая вычислительные затраты на расчет математического ожидания в критерии задачи. Процедура предлагает пользователю на выбор несколько способов уточнения.

3. На основе предложенных модификации метода внешней аппроксимации и процедуры уточнения математического ожидания критерия разработан алгоритм решения одноэтапной задачи оптимизации, реализующий подход к получению верхней оценки одноэтапной задачи оптимизации.

4. Предложен алгоритм, согласующий подход к получению нижней оценки одноэтапной задачи оптимизации и процедуру уточнения математического ожидания целевой функции.

5. На основе предложенных алгоритмов разработан программный комплекс решения одноэтапных задач оптимизации с вероятностными ограничениями.

6. Созданный программный комплекс апробирован на решении ряда модельных примеров. Полученные результаты позволяют говорить об эффективности по быстродействию и точности предложенных подходов к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальных ХТС.

7. Анализ результатов решения модельных задач предложенными подходами показал, что в случае выпуклости допустимой области по неопределенным параметрам для получения оценки критерия одноэтапной задачи предпочтительнее использовать подход, дающий нижнюю оценку. В случае отсутствия информации о выпуклости допустимой области следует использовать подход, дающий верхнюю оценку критерия одноэтапной задачи.

8. На основе проведенного анализа работоспособности существующей системы БОСВ показана необходимость решения и решена задача проектирования системы БОСВ, работоспособной при прогнозируемых изменениях условий функционирования.

Основные публикации по теме работы

Публикации в ведущих научных рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК:

1. Островский Г.М. Одноэтапная задача с мягкими ограничениями / Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин Д.Д. II Теоретические основы химической технологии, Т. 43, № 4. - Москва, 2008. - С. 441-451.

2. Островский Г.М. Одностадийные задачи оптимизации химико-технологических процессов с мягкими ограничениями / Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин Д.Д. II Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 425. № 1,-С. 63-66.

3. Островский Г.М. Оптимизация химико-технологических процессов с вероятностными ограничениями / Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин Д. Д. И Теоретические основы химической технологии, Т. 44, № 5. - Москва, 2009.-С. 507-515.

4. Лаптева Т.В. Нижняя оценка одноэтапной задачи оптимального проектирования с вероятностными ограничениями / Лаптева Т.В., Зиящинов НН, Первухин Д.Д., Островский Г.М. // Вестник Казанского технологического университета. - 2011. - № 7. - С. 218-224.

5. Лаптева Т.В. Одноэтапная задача оптимального проектирования системы реакторов с вероятностными ограничениями / Лаптева Т.В., Зиягдинов Н.Н., Первухин Д. Д., Островский Г.М. // Вестник Казанского технологического университета. - 2011. - № 9. - С. 281-287.

6. Лаптева Т.В. Эффективность работы методов решения задачи проектирования работоспособных ХТС / Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Первухин Д.Д. II Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - № 11. - С. 268-271.

7. Лаптева Т.В. Подходы к аппроксимации критерия в одноэтапной задаче оптимального проектирования с учетом неопределенности / Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Первухин Д.Д. // Вестник Казанского технологического университета. -2012.-№12.-С. 216-219.

8. Лаптева Т.В. Одноэтапная задача проектирования оптимальной системы биологической очистки сточных вод с вероятностными ограничениями / Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Первухин Д.Д. // Вестник Казанского технологического университета. - 2013. - № 7. - С. 262-266.

Публикации в сборниках трудов научных конференций:

9. Первухин Д.Д. Решение одноэтапной задачи оптимизации с вероятностными ограничениями / Первухин Д.Д, Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н, Лаптева Т.В. // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 22-й Международ, науч. конф., Т. 1. - Псков, 2009. - С. 7-10.

10.Первухин Д.Д. Подходы к решению одноэтапной задачи оптимизации с мягкими ограничениями / Первухин Д.Д, Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В. // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 23-й Международ. науч. конф., Т. 2. - Саратов, 2010. - С. 5-7.

11. Первухин Д.Д Верхняя оценка одноэтапной задачи оптимизации с мягкими ограничениями / Первухин ДД, Островский Г.М., Зиятдинов RH., Лаптева Т.В. // Компьютерное моделирование в химической технологии и устойчивое развитие. Тезисы докладов второй межд. научно-практич. конф. - Киев: НТУУ «КПП», 2010. - С. 60-62.

12. Первухин Д.Д. Аппроксимация критерия в задаче оптимизации с учетом неопределенности / Первухин Д.Д., Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Островский Г.М. // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 24-й Международ, науч. конф., Т. 2. - Саратов, 2011. - С. 5-6.

Патенты и авторские свидетельства

13. Первухин Д.Д. Программный комплекс решения задач одноэтапной оптимизации с вероятностными ограничениями / ДД Первухин, Г.М. Островский, Н.Н. Зиятдинов, Т.В. Лаптева // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.: - № 2013615184 от 19.08.2013.

Подписано в печать 11.10.2013. Форм. бум. 60x84 1/16. Печ. л. 1,25. Тираж 150. Заказ № 1110/1. Отпечатано с готового оригинал —макета в типографии «Вестфалика» (ИП Колесов В.Н.) 420111, г. Казань, ул. Московская, 22. Тел.: 292-98-92 e-mail: westfalika@inbox.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Казанский национальный исследовательский технологический университет

На правах рукописи

0420136591 8

Первухин Денис Дмитриевич

Одноэтапная задача проектирования оптимальных химико-технологических систем с вероятностными ограничениями

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в химической технологии)

Диссертация на соискание учёной степени кандидат технических наук

Научный руководитель доктор технических наук профессор, Зиятдинов Н.Н.

Казань 2013

Оглавление

Введение...........................................................................................................................6

1. Обзор подходов к решению задачи проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности исходной информации.......13

1.1. Общая постановка задачи проектирования оптимальных химико-технологических систем (ХТС)..............................................................................13

1.2. Классификация неопределенных параметров................................................14

1.3. Учет неопределенности на различных этапах жизненного цикла ХТС......16

1.3.1. Неопределенность на этапе проектирования.........................................16

1.3.2. Неопределенность на этапе функционирования....................................17

1.4. Постановка задачи проектирования оптимальной ХТС с учетом неопределенности.....................................................................................................18

1.4.1. Учет неопределенности с помощью коэффициентов запаса................19

1.4.2. Способы учета неопределенности в постановке задачи проектирования...................................................................................................20

1.4.3. Математические модели задач с учетом неопределенности.................21

1.5. Одноэтапная и двухэтапная постановки задачи с учетом неопределенности ....................................................................................................................................24

1.6. Подходы к решению ОЭЗО с учетом неопределенности.............................25

1.6.1. Численные методы интегрирования.......................................................26

1.6.2. Сведение вероятностных зависимостей к детерминированным..........30

1.7. Методы решения задач оптимизации в условиях неопределенности..........33

1.7.1. Детерминированные методы оптимизации............................................34

1.7.2. Стохастические методы оптимизации....................................................37

1.7.3. Эвристики...................................................................................................38

1.8. Задачи полубесконечного программирования...............................................40

1.8.1. Метод внешней аппроксимации..............................................................43

Выводы к главе 1......................................................................................................45

2. Подход к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС, основанный на получении нижней оценки критерия................................................47

2.1. Аппроксимация критерия в одноэтапной задаче проектирования оптимальной ХТС.....................................................................................................47

2.1.1. Аппроксимация критерия константой на области неопределенности.48

2.1.2. Линейная аппроксимация критерия на области неопределенности.....48

2.1.3. Уточнение аппроксимации критерия......................................................49

2.1.4. Выбор способа разбиения области на подобласти.................................51

2.1.5. Задача выбора подобласти с наихудшей аппроксимацией критерия...52

2.1.6. Случай независимости неопределенных параметров............................52

2.2. Преобразование вероятностных ограничений в детерминированные.........54

2.2.1. Аппроксимация линейных ограничений.................................................55

2.2.2. Аппроксимация нелинейных ограничений.............................................55

2.2.3. Уточнение получаемой нижней оценки..................................................58

2.2.4. Задачи выбора подобласти, подлежащей разбиению............................60

2.2.5. Алгоритм решения задачи........................................................................60

2.3. Численный эксперимент исследования эффективности предложенного подхода......................................................................................................................62

2.3.1. Постановка одноэтапной задачи оптимизации для проектирования системы реактор-теплообменник.......................................................................62

2.3.2. Исследование критерия задачи (2.40) на выпуклость по параметрам ^ ...............................................................................................................................67

2.3.3. Одноэтапная задача оптимизации с кусочно-постоянной аппроксимацией критерия..................................................................................70

2.3.4. Решение задачи с кусочно-линейной аппроксимацией критерия........75

2.3.5. Решение одноэтапной задачи с аппроксимацией критерия по фиксированному набору аппроксимационных точек......................................77

Выводы к главе 2......................................................................................................80

3. Подход к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС,

основывающийся на получении верхней оценки критерия......................................82

3.1. Разработка подхода к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС.....................................................................................................82

3.1.1. Формализация задачи верхней оценки одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС...................................................................84

3.1.2. Приведение задачи верхней оценки к задаче полубесконечного программирования..............................................................................................86

3.1.3. Уточнение верхней оценки критерия задачи..........................................87

3.1.4. Модификация метода внешней аппроксимации для решения одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС на основе подхода, дающего верхнюю оценку критерия одноэтапной задачи оптимиазции.......90

3.1.5. Выбор подобластей выполнения ограничений, подлежащих разбиению............................................................................................................91

3.1.6. Алгоритм модифицированного метода внешней аппроксимации решения задачи....................................................................................................92

3.1.7. Случай отличного от нормального распределения неопределенных параметров...........................................................................................................93

3.2. Апробация разработанного подхода к решению задачи проектирования оптимальных ХТС на модельных примерах..........................................................94

3.2.1. Решение задачи проектирования оптимальной системы реакторов....94

3.2.2. Решение задачи проектирования оптимальной системы теплообменников.................................................................................................98

3.2.3. Решение задачи оптимизации системы реактор-теплообменник.......108

Выводы к главе 3....................................................................................................125

4. Проектирование оптимальной системы биологической очистки сточных вод

.......................................................................................................................................126

4.1. Описание технологической системы биологической очистки сточных вод

..................................................................................................................................126

4.2 Математическая модель СБОСВ.....................................................................130

4.2.1. Построение информационной блок-схемы СБОСВ.............................130

4.2.2. Построение математической модели аэротенка и регенератора........131

4.2.2. Построение математической модели вторичного отстойника............134

4.3. Формирование области неопределенности...................................................135

4.4. Постановки задач исследования СБОСВ......................................................137

4.5. Оценка работоспособности существующей СБОСВ...................................138

4.6. Проектирование оптимальной СБОСВ с учетом частичной

неопределенности в исходной информации........................................................143

Выводы к главе 4....................................................................................................148

Основные результаты и выводы................................................................................150

Список литературы......................................................................................................152

Приложения..................................................................................................................169

А - вспомогательные таблицы для примера проектирования системы реактор-

теплообменник.............................................................................................................169

Б - вспомогательные таблицы для примера проектирования системы

теплообменников.........................................................................................................182

В - решение задачи оптимизации с линейными функциями в одноэтапной

постановке с вероятностными ограничениями.........................................................184

Г - решение задачи оптимизации с квадратичным критерием в одноэтапной

постановке с вероятностными ограничениями.........................................................186

Д - свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ .......................................................................................................................................189

Введение

В последние годы использование ЭВМ для решения задач анализа, моделирования и оптимизации приобрело повсеместный характер. Это обусловлено оптимизацией алгоритмов и методов, используемых в программных продуктах, накоплением математических моделей различных процессов и аппаратов. С другой стороны на этот процесс несомненно влияет бурное развитие вычислительной техники: повышение тактовых частот и распространение многоядерных процессоров, а также адаптация алгоритмов к параллельному вычислению привели к резкому увеличению количества производимых в секунду операций. Все это позволяет относительно быстро и точно смоделировать функционирование и оценить эффективность химико-технологической системы (ХТС).

Однако задачи системного анализа, моделирования и проектирования оптимальных ХТС остаются актуальными. Несмотря на то, что было разработано множество прикладных программ для решения задач проектирования оптимальных систем, содержащиеся в них математические модели процессов, аппаратов, различные константы изначально содержат в себе погрешность. С другой стороны на этапе проектирования ХТС всегда есть некоторая неопределенность относительно исходной информации (например, количественного состава сырья).

Источники неопределенности информации о ХТС различны. Так, например, можно выделить следующие три вида:

1. неточности химических и физических закономерностей, положенных в основу математических моделей;

2. изменение свойств узлов ХТС (их деградация), связанное, например, с их физическим износом;

3. изменение внешних условий функционирования ХТС во время её эксплуатации.

Изменение неопределенных величин на этапе эксплуатации и функционирования системы оказывает влияние на протекающие в ней процессы.

При этом найденное без учета неопределенности информации решение может существенно отличаться от оптимального или даже не соответствовать предъявляемым к системе требованиям. Как следствие это может привести к снижению качества выпускаемой продукции или даже опасным (а в некоторых случаях даже аварийным) режимам работы ХТС.

Таким образом, учет изменения неопределенных параметров при решении задач диверсификации существующих или проектирования новых ХТС является актуальной проблемой.

Самый простой способ учета неопределенности информации, практикуемый долгое время, использовал эмпирические поправки, вводимые проектировщиком в некоторое полученное решение. Очевидно, что спроектированная таким образом ХТС может быть как неэкономичной, так и не соответствовать предъявляемым к ней требованиям.

Другие способы учета неопределенности информации подразумевают введение математических операторов (математического ожидания, вероятности, максимизации или минимизации) в постановку задачи, что порождает новую проблему: прямое решение полученной задачи может требовать расчета многомерных интегралов. Это негативно сказывается на времени, требующемся на решение задачи проектирования оптимальной ХТС. Имеющиеся методы приближенного вычисления многомерных интегралов, несмотря на их развитие, все еще требуют существенных временных затрат для достижения достаточной точности. В связи с этим параллельно развиваются подходы к решению задачи проектирования, позволяющие избежать непосредственного расчета интегральных величин.

В настоящее время задачами оптимизации с учетом неопределенности информации в области химической технологии занимаются как за рубежом, так и в России. Среди специалистов в этой области стоит выделить Grossmann I.E. и Biegler L.T. из Carnegie Mellon University (Питтсбург), Pistikopoulos E.N. из Imperial College (Лондон), Wendt M. из Technische Universität (Берлин), Diwekar U.M. из University of Illinois (Чикаго), Liu В. из Tsinghua University (Пекин),

Iwamura К. из Josai University (Сакадо), Chames А. и Cooper W.W. из University of Texas (Остин), Островский Г.М. из НИФХИ им. Л.Я. Карпова (Москва), Холоднов В.А. из Санкт-Петербургского государственного технического университета, Левин В.И. из Пензенской государственной технологической академии, Дворецкий С.И. и Дворецкий Д.С. из Тамбовского государственного технического университета, Егоров А.Ф. и Мешалкин В.П. из Российского химико-технологического университета им. Д.И. Менделеева (Москва).

В данной работе рассмотрена одноэтапная задача проектирования оптимальных ХТС, в которой в критерии оптимальности содержится математическое ожидание функции стоимости, а от ограничений задачи требуется их выполнение с определенной вероятностью. Имеющиеся на данный момент подходы к решению таких задач применимы для узкого класса задач: например, в случае вероятностных ограничений, от подинтегральной функции, непосредственно выражающей требования к ХТС, требуется линейность по неопределенным величинам.

Основная цель работы - разработка эффективных подходов и алгоритмов решения одноэтапной задачи проектирования оптимальных ХТС с вероятностными ограничениями, а также программная реализация этих алгоритмов.

В соответствии с поставленной целью исследования было выделено несколько задач:

1. Разработать подходы сведения одноэтапной задачи проектирования с вероятностными ограничениями к задачам с детерминированными ограничениями;

2. Разработать подход к решению одноэтапных задач с учетом неопределенности, сокращающий вычислительные затраты на расчет целевой функции в форме математического ожидания;

3. Объединить разработанные подходы в алгоритмы решения одноэтапных задач проектирования оптимальных ХТС с вероятностными ограничениями;

4. Создать и апробировать программный комплекс на решении ряда задач

проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности.

Основной текст диссертационной работы изложен в четырёх главах.

В первой главе дан обзор подходов к решению задачи проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности исходной информации, разработанных к настоящему времени. Рассмотрены различные виды неопределенных параметров и виды постановок задач с учетом неопределенности. Приведены одноэтапная и двухэтапная постановки задачи проектирования, случаи их возникновения. Также рассмотрены имеющиеся подходы к решению одноэтапной задачи. В конце главы сформулированы цель и задачи исследования.

В начале второй главы рассматривается проблема эффективного и точного вычисления математического ожидания критерия в одноэтапной задаче проектирования оптимальной ХТС. Предлагается подход к аппроксимации математического ожидания критерия, уточняющий получаемое значение на каждой итерации решения задачи оптимизации. Далее в главе разрабатывается подход к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС с вероятностными ограничениями, который сводит вероятностные ограничения к детерминированному виду за счет линеаризации функций ограничений по неопределенным параметрам. Показано, что разработанный подход гарантированно дает нижнюю оценку исходной задачи проектирования в случае выпуклости функций ограничений по неопределенным параметрам. Разработана процедура уточнения получаемой оценки, основанная на дроблении области неопределенности. На основе предложенного подхода разработан алгоритм решения одноэтапных задач оптимизации. Эффективность алгоритма (и подхода в целом) демонстрируется на базе примера решения задачи проектирования системы реактор-теплообменник.

В главе три рассмотрен другой подход к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС, который основан на поиске размера и положения областей вида многомерных прямоугольников, аппроксимирующих искомые области удовлетворения вероятностных ограничений в пространстве

изменения неопределенных величин. Показано, что, во-первых, полученная задача сводится к стандартной задаче полубесконечного программирования и, во-вторых, решение задачи дает верхнюю оценку исходной задачи проектирования оптимальной ХТС. Также в главе предложена процедура уточнения получаемой оценки. На основе предложенного подхода разработана модификация метода внешней аппроксимации и соответствующий алгоритм решения задачи проектирования оптимальных ХТС. Эффективность алгоритма демонстрируется на решении ряда задач. Проводится подробный анализ полученных результатов.

В четвертой главе рассмотрены задачи оценки работоспособности и проектирования системы биологической очистки сточных вод (БОСВ) ОАО «КазаньОргсинтез». Для этого были выявле�