автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Основы методологии решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности в исходной информации

На правах рукописи

/X

ЛАПТЕВА ТАТЬЯНА ВЛАДИМИРОВНА

ОСНОВЫ МЕТОДОЛОГИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

ОПТИМАЛЬНЫХ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в химической технологии)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

1 О ИЮЛ 2014

Казань-2014

005550387

005550387

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет»

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Островский Геннадий Маркович

Официальные оппоненты: Егоров Александр Федорович

доктор технических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева», заведующий кафедрой компьютерно-интегрированных систем в химической технологии

Дегтярев Геннадий Лукич

доктор технических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева», заведующий кафедрой автоматики и управления

Холодное Владислав Алексеевич

доктор технических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)», профессор кафедры системного анализа

Ведущая организация: федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Защита состоится «19» сентября 2014 года в 11:00 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.080.13 при ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технологический университет» (420015, г. Казань, ул. Карла Маркса, д. 68, Зал заседаний Ученого совета - каб. 330).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технологический университет» и на сайте www.kstu.ru.

Автореферат разослан <28у> 2014 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.080.13 доктор технических наук, профессор

Клинов Александр Вячеславович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Разработка высокоэффективных перспективных технологий для инновационного развития химической промышленности России невозможна без использования новых методов и средств системного анализа, позволяющих проектировать энергоресурсосберегающие экономичные химико-технологические процессы и системы (ХТС) с учетом неполноты информации, имеющейся на этапах проектирования и функционирования ХТС и возникающей вследствие изменения условий эксплуатации систем.

Стремление спроектировать ХТС, удовлетворяющую проектным требованиям в изменяющихся условиях функционирования, приводит к созданию гибкой или работоспособной ХТС, где понятие гибкости и условие гибкости ХТС в формализованном виде было предложено I.Grossmann в 80-х годах ХХ-го века. Очевидно, что проектирование перспективных энергоресурсосберегающих технологий невозможно без учета требования гибкости, однако до настоящего времени активно используется подход, опирающийся на учет отраслевых коэффициентов запаса. Такой подход может привести к созданию неэкономичных ХТС и не гарантирует выполнение требований, предъявляемых к работе ХТС.

Учет неопределенности исходной информации в критерии и ограничениях задач проектирования оптимальных ХТС приводит к постановке задач стохастической оптимизации, решение которых требует огромных вычислительных затрат вследствие выполнения на каждом шаге процедуры оптимизации операций многомерного интегрирования для получения значений критерия в виде математического ожидания оценки эффективности работы ХТС за период эксплуатации, вероятностных ограничений, а также осложняется учетом условия гибкости, формализуемого в виде задачи многоэкстремальной недифференцируемой оптимизации.

Проблемам постановки задач стохастической оптимизации для различных прикладных областей и разработке методов их решения уделяется значительное внимание, здесь следует отметить работы Б.Д. Юдина, Ю.М. Ермольева, А. Chames, W.W. Cooper, G. Symonds, I. Grossmann и его учеников, L. Biegler, E. Pistikopoulos, B. Liu, A.Shapiro, M.Wendt, A. Ruszczyñski, D. Dentcheva, А. И. Кибзуна, Г.Л. Дегтярева, Т.К. Сиразетдинова, и других. В России проблемами проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности занимаются Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, А.Ф. Егоров, С.И. Дворецкий, Д.С. Дворецкий, В.А. Холоднов, В.И. Елизаров. В то же время следует отметить, что существующие методы решения задач стохастической оптимизации либо требуют больших вычислительных затрат, либо разработаны для узких классов задач.

Вследствие этого, очевидна актуальность разработки универсальных подходов и методов решения задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности в исходной информации, различные постановки которых принадлежат широкому классу задач стохастической оптимизации.

Целью работы является разработка основ методологии решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом частичной неопределенности в исходной информации.

Для ее достижения были выделены следующие основные задачи:

1. Проанализировать существующие постановки задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности с целью их классификации, выявления факторов, влияющих на постановки, и элементов, определяющих сложность решения.

2. Формализовать новые постановки задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности в исходной информации для расширения области применения предлагаемой методологии.

3. Разработать эффективные подходы и алгоритмы, а также их программную реализацию для решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности.

4. Объединить разработанные подходы в единую методологию решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности в исходной информации.

5. Исследовать эффективность предложенных подходов и алгоритмов на решении задач проектирования оптимальных химико-технологических систем.

Научная новизна. В качестве результатов, определяющих научную новизну работы, следует указать следующие:

1. Проведена формализация двухэтапной задачи оптимизации с вероятностными ограничениями и функцией цели в виде математического ожидания оценки эффективности функционирования ХТС.

2. Разработаны процедуры преобразования компонентов задач стохастической нелинейной оптимизации, позволяющие снизить вычислительную сложность решаемых задач:

- для двухэтапных задач оптимизации предложены аппроксимации зависимости управляющих поисковых переменных от неопределенных параметров, представленные кусочно-постоянными или кусочно-линейными функциями;

- аппроксимации критерия одно- и двухэтапных задач оптимизации, имеющего вид математического ожидания оценки эффективности работы ХТС за период функционирования, что позволило избавиться на каждом шаге решения задачи от операций многомерного интегрирования;

- сведения решения задач недифференцируемой многоэкстремальной оптимизации вычисления функции гибкости и теста структурной гибкости ХТС к решению последовательности задач полубесконечного программирования;

- преобразования вероятностных ограничений в детерминированные для случая нормально распределенных и статистически независимых неопределенных параметров, в результате чего исключается необходимость вычисления многомерных интегралов при вычислении значений ограничений на каждом шаге решения одно- и двухэтапных задач оптимизации;

- использования либо распределения %2, либо перехода к статистически взаимно независимым случайным величинам, в случае статистически взаимозависимых нормально распределенных неопределенных параметров.

3. Для двухэтапных задач оптимизации с жесткими ограничениями, представленными в виде ограничения на значение функции гибкости, с учетом вышеперечисленных процедур разработаны:

— модификация метода внешней аппроксимации для решения задачи полубесконечного программирования вычисления значения верхней оценки значения функции гибкости ХТС. Разработана адаптация предложенной модификации для вычисления значения верхней оценки теста структурной гибкости ХТС;

— модификация метода разбиения и границ для вычисления значения функции гибкости ХТС, основанная на вычислении верхней и нижней оценок искомой величины, снижающая вычислительные затраты на получение решения и включающая предложенный метод вычисления верхней оценки функции гибкости. Проведена адаптация предложенной модификации для вычисления значения теста структурной гибкости ХТС;

— модификация метода внешней аппроксимации решения задачи полубесконечного программирования вычисления нижней оценки критерия двухэтапной задачи оптимизации с жесткими ограничениями. В разработанном методе проведено совмещение процедур дискретизации области неопределенности алгоритма вычисления значения функции гибкости и алгоритма оценки критерия двухэтапной задачи, что позволило снизить вычислительные затраты на получение решения.

4. С использованием предложенных процедур преобразования компонентов задач разработаны модификации метода внешней аппроксимации для вычисления верхних оценок критериев одно- и двухэтапных задач оптимизации с вероятностными ограничениями, что позволило учесть зависимость областей максимизации от поисковых переменных решаемой задачи.

5. Разработаны итерационные процедуры уточнения верхних и нижних оценок критериев одно- и двухэтапных задач оптимизации с вероятностными ограничениями, основанные на разбиении области неопределенности, вследствие чего на каждом шаге решения задачи проводится уточнение аппроксимаций вероятностных ограничений; критерия, имеющего вид математического ожидания; и уточнение зависимости управляющих переменных от значений неопределенных параметров для двухэтапных задач оптимизации.

6. Использование подходов и процедур, предложенных для решения задач стохастической оптимизации с критерием в виде математического ожидания и с учетом жестких или вероятностных ограничений было распространено на случаи учета обоих видов ограничений и других видов критериев.

Практическая зпачимость исследования определяется следующим:

— Сформированы основы методологии решения задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности, представленных в виде широкого спектра постановок задач стохастической нелинейной оптимизации. Основу методологии составляет совокупность разработанных процедур и подходов сведения задач стохастической нелинейной оптимизации к виду задач полубесконечного или конечного детерминированного нелинейного программирования, а также комплекс итерационных процедур получения решения.

— Разработана стратегия формализации, преобразования и формирования алгоритма решения задач проектирования оптимальных ХТС на основе анализа полноты исходной информации, доступной на этапах проектирования и функционирования, и согласно выделенным факторам, определяющим формализацию задачи с учетом неопределенности. Стратегия представлена в виде алго-

ритма, совмещающего перечисленные операции, в результате работы которого задачи проектирования оптимальных ХТС сводятся к задачам полубесконечного или конечного детерминированного нелинейного программирования, для которых формируется итерационная процедура получения решения.

— Для предложенных подходов, методов и итерационных процедур, составляющих основы представленной методологии, разработаны алгоритмические реализации, положенные в основу созданных программных комплексов решения задач проектирования оптимальных гибких ХТС. На программные комплексы получены свидетельства о государственной регистрации.

- Эффективность разработанных подходов, методов и алгоритмов, а также разработанного на их основе программных комплексов показана на решении ряда задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности в исходной информации, подтверждается сравнением с решениями, полученными другими авторами или на основе других методов решения задач, а именно с методом Монте-Карло для многомерного интегрирования функций, подходом к проектированию ХТС, основанному на использовании отраслевых коэффициентов.

- Аргументировано преимущество постановки двухэтапной задачи оптимизации в сравнении с одноэтапной, состоящее в возможности подстройки управляющих поисковых переменных под изменение значений неопределенных параметров.

— Даны рекомендации по применению и развитию разработанных подходов и методологии в целом.

Научные публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 49 работ, в том числе 20 статей в изданиях из перечня рецензируемых научных журналов, 1 учебное пособие, 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных научных симпозиумах, конгрессах и конференциях: Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Санкт-Петербург, 2000 г., Тамбов, 2002 г., Кострома, 2004 г., Казань, 2005 г., Псков, Ярославль, 2007 г., Саратов, 2008 г., Псков, 2009 г., Саратов, 2010 г., Киев, 2011 г., Волгоград, 2012 г., Н.Новгород, 2013 г.), Международной научно-практической конференции «Компьютерное моделирование в химической технологии и устойчивое развитие» (Киев, 2010 г.), Международной научной конференции «Математические методы в химии и химической технологии» (Тверь, 1995 г., Тула, 1996 г.), Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007 г.), Международной научно-практической конференции «Логистика и экономика ресурсосбережения и энергосбережения в промышленности» (Казань, 2008 г.), An International Symposium «Mathematics in Chemical Kinetics and Engineering — MACKJE» (Gent, Belgium, 2009 г., Heidelberg, Germany, 2011 г.), Process Integration, Modelling and Optimisation for Energy Saving and Pollution Reduction (PRES) (Florence, Italy, 2011 г.), European Symposium on Computer Aided Process Engineering (ESCAPE) (London, England, 2012 г.).

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность за научные консультации в процессе выполнения данной работы доктору технических наук, профессору Зиятдинову H.H.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы из 441 источника, приложений. Объем диссертации составляет 401 страницу, из них 350 страниц текста, 38 рисунков, 28 таблиц, 4 приложения.

Во введении обоснована актуальность проведенного исследования, сформулированы цель и основные задачи работы, приведена аннотация работы, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе дана классификация неопределенных параметров, показаны источники возникновения неопределенности в исходной информации, приведены уровни полноты информации на этапах проектирования и функционирования. Дан общий вид задачи проектирования оптимальной ХТС при учете неопределенности в исходной информации

mm f(d,z,x,9) (1)

d,zeH¿c

(Pi (d, Z, X, в) = 0, i = 1,..., П , (2)

gj{d,z,x,e)<(i,j = \,...,m, (3)

где q>¡ - уравнения математической модели ХТС, ограничения g. - математическая формулировка проектных требований, d - nd -вектор конструктивных поисковых переменных, х — п -вектор переменных состояния, z — nz -вектор управляющих поисковых переменных, в — пд -вектор неопределённых параметров, они принадлежат некоторой области Г, функция f(d,z,x,ff) — оценка эффективности функционирования ХТС, Н — область изменения переменных d и z вида

H = {d,z:hl(d,z)<0,l = l,...,p}. (4)

Очевидно, что задача (1) не может быть решена, поскольку неизвестны точные значения параметров в. Поэтому в постановке задачи проектирования оптимальной ХТС учет неопределенности исходной информации должен принимать другой вид. Далее рассмотрены способы учета неопределенности в критерии и ограничениях задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС. Для упрощения изложения предполагается, что переменные состояния х могут быть выражены из системы (2) как неявные функции переменных d, z, в, тогда f(d, z, в) =f{d,z,x,G), gj (d,z, в) =gj (d,z,x, в), J = !,...,«.

Показано, что критерий оптимальности может принимать формы математического ожидания заданной оценки f{d,z,x,ff) за период функционирования ХТС

Ee[f(d,z,6)] = \f(d,z,0)p(e)d9 , (5)

т

или наихудшего значения этой оценки

max f(d,z,0), (6)

веТ

возможны и другие виды. Ограничения задачи могут быть жесткими, они должны точно выполняться при любом значении неопределенных параметров

max gÁd,z,ff) < 0, (7)

веТ 1

либо мягкими, они выполняются с заданной вероятностью, впервые введены Á. Chames и W.W. Cooper. Например, отдельные вероятностные ограничения

Рг {gj (d,z,0)<O}>cCj. (8)

Частным случаем учета жестких ограничений в двухэтапной задаче оптимизации является ограничение, введенное K.P. Halemane и I.E. Grossmann

X(d)< 0 (9)

на значение функции гибкости

у-(сЛ = тахпт vcax g¡(d,z,9), J = {l,...,m}. (10)

SsT zsH jsJ J

Также отмечено, что в качестве оценки гибкости заданной структуры ХТС Г.М. Островским с соавторами предложено использовать решение задачи

£' = min max min max gÁd,z,&), (11)

dsH веТ zeH jsJ J

которое указывает на возможность построения гибкой ХТС для заданной структуры при Е<, О.

В следующем параграфе главы проводится обзор постановок задач проектирования при разных требованиях на выполнение ограничений и способах учета неопределенности в критерии. Показано, что выделение в жизни ХТС этапов проектирования и функционирования приводит к постановкам одно- и двухэтапных задач оптимизации, основное различие которых состоит в учете возможности подстройки управляющих поисковых переменных под значения неопределенных параметров в двухэтапной задаче оптимизации и отсутствии такого учета в одноэтапной постановке. Отмечено, что рассмотренные постановки относятся к задачам стохастической оптимизации, основными сложностями прямого решения которых являются многомерное интегрирование при получении значений левых частей вероятностных ограничений (8), критерия в виде (5), невозможность использования методов нелинейного программирования для вычисления значения ограничения (9), требующего решения задач многоэкстремальной недифференцируемой оптимизации (10). Задачами стохастической неопределенности в разное время занимались M.S.K. Chen, J.R. Birge, I.E. Grossmann, R. Sargent, R. Henrion, Б.Д. Юдин, Ю.М. Ермольев, Г.М. Островский, J. Luedtke, S. Ahmed, A. Nemirovski, A. Shapiro, С. Юрасьев, А.И. Кибзун.

Далее в главе дается обзор современных подходов к решению задач стохастической оптимизации в рассмотренных постановках. Показано, что различные методы численного интегрирования, предлагаемые J. Acevedo, Е. Pistiko-poulos, F.P. Bernardo, P.M. Saraiva, A. Shapiro, U.M.Diwekar, J.R. Kalagnanam для вычисления многомерных интегралов в (5) и (8) требуют огромных вычислительных затрат даже при небольшой размерности вектора неопределенных параметров. Для сокращения таких затрат A. Chames и W.W. Cooper, Б. Лю, C.D. Marañas, Б.Д. Юдиным, М. Wendt, G. Wozny предлагаются способы преобразования вероятностных ограничений (8) к детерминированному виду, однако они разработаны для узкого класса функций ограничений. Рассмотрены подходы к вычислению значения функции гибкости (10), разработанные K.P. Halemane и I.E. Grossmann, R.E. Swaney, С.А. Floudas, отмечена узость спектра типов функций ограничений, для которых применимы эти подходы.

При этом для решения задач стохастической оптимизации часто используются методы нелинейного программирования, поэтому далее дана характеристика наиболее эффективных методов условной оптимизации — метода последователь-

ного квадратичного программирования, метода внутренней точки, а также методов безусловной оптимизации - Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-Шеино и Дави-дона-Флетчера-Пауэлла. Отмечено, что основной проблемой нахождения оптимума является невыпуклость решаемых задач, что усложняет процесс получения глобального оптимума, поэтому для достижения глобального оптимума чаще всего используются методы типа метода ветвей и границ. Однако этот метод может возвращаться на просмотренные ветви при низкой точности вычисления границ критерия задачи, что является его основным недостатком.

Далее отмечено, что задачи проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности исходной информации иногда сводятся к задачам полубесконечного программирования, для решения которых используются методы полубесконечного программирования, основанные на дискретизации области определения переменной, определяющей бесконечность количества ограничений в задаче. Как наиболее эффективный выделен метод внешней аппроксимации1 (МВА), дан его алгоритм, отмечены недостатки.

В конце главы сформулированы выводы, показывающие, что постановка задачи проектирования оптимальных ХТС при учете неопределенности в исходной информации зависит от многих факторов, определяющих также и сложность решения полученной задачи, которая чаще всего состоит в вычислении многомерных интегралов, либо в решении задач недифференцируемой многоэкстремальной оптимизации на каждом шаге решения задачи проектирования. При этом показано, что в настоящее время не существует универсальной методологии решения задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС, предоставляющей эффективные методы преобразования и решения широкого класса задач стохастической оптимизации. Выделены существующие подходы к преобразованию задач стохастической оптимизации, развитие которых позволит разработать методы, обладающие универсальностью в решении различных классов задач стохастической оптимизации. Далее сформулированы цель и задачи исследования.

Во второй главе проводится формализация основных постановок задач проектирования оптимальных ХТС при учете неопределенности в исходной информации, а также разработка ряда преобразований компонентов задач, которые позволят предложить эффективные методы их решения. В начале главы проведена систематизация факторов, влияющих на постановку задачи и определяющих сложность ее решения:

1. Уровень точности математических моделей и исходной информации, используемых на этапах проектирования и функционирования ХТС. Возможность уточнения информации на этапе функционирования позволяет рассматривать различные задачи анализа гибкости ХТС. Задачи проектирования оптимальных ХТС примут вид двухэтапных задач оптимизации (ДЭЗО), если уточнение возможно, иначе доступны постановки одноэтапных задач оптимизации (ОЭЗО).

2. Возможность использования управляющих переменных на этапе функционирования ХТС. Анализ гибкости ХТС, так же как и постановка ДЭЗО для проектирования оптимальных ХТС предполагает подстройку управляющих поиско-

1 Mayne D.Q., Polak, E., Trahan R. An Outer Approximations algorithm for Computer-Aided Design Problems. J. Optim. Th. Appl. 1979. V. 28. № 3. P. 331.

вых переменных z под изменяющиеся условия функционирования, то есть z = z(0). Невозможность такой подстройки предполагает использование ОЭЗО.

3. Характер ограничений, учитываемых на этапе проектирования. Проектные ограничения могут быть либо жесткими, либо мягкими.

4. Информация о типе неопределенности, доступная на этапе проектирования. В случае доступности информации о законе распределения и его характеристиках для неопределенных параметров возможно использование в задачах проектирования оптимальных ХТС мягких вероятностных ограничений и критерия в виде математического ожидания оценки эффективности работы ХТС за период функционирования, либо вероятностной границы такой оценки. Если доступна информация только о диапазонах изменения значений неопределенных параметров, то возможно использование только жестких ограничений при следовании стратегии наихудшего случая для оценки эффективности работы ХТС.

5. Наличие статистической зависимости между неопределенными параметрами влияет на форму области неопределенности. В главе показано, что при нормальном распределении значений неопределенных параметров и их статистической независимости область неопределенности примет вид многомерного прямоугольника Т. При статистически взаимозависимых параметрах в с распределением (ß, Л) область неопределенности примет вид гиперэллипсоида T={6:(9-fif К\в-ц)<С(а)}, где С(а) удовлетворяет условию z2(C(a))=a, ß - вектор средних значений параметров 0,,Л - матрица ковариации, h = (p,jG¡<Jj), ру — коэффициенты корреляции параметров 0i,Qj, <т,—среднеквадратичное отклонение параметра в,, ij-\,...,ne.

Далее в главе на основе анализа основных факторов, определяющих вид задачи проектирования оптимальных ХТС, приводятся формализованные постановки ОЭЗО и ДЭЗО, дается их характеристика. Даны постановки ОЭЗО:

- функции распределения вероятностей неопределенных параметров известны:

• стратегии оптимальности в среднем при учете вероятностных и жестких ограничений; а также при учете только вероятностных ограничений либо только жестких ограничений;

. стратегии наихудшего случая при учете вероятностных и жестких ограничений;

• стратегии получения вероятностной верхней границы критерия при учете жестких и вероятностных ограничений либо только вероятностных ограничений;

- функции распределения вероятностей неопределенных параметров неизвестны: . стратегии оптимальности в среднем при учете жестких ограничений и аппроксимации критерия вида (5) по эмпирически заданным точкам;

• стратегии наихудшего случая при учете жестких ограничений. Приведем здесь вид ОЭЗО с жесткими и вероятностными ограничениями

при следовании стратегии оптимальности в среднем

min ¡f(d,z,ff)p(0)de (12)

djeH

PT{gj(d,z,ß)<0}>aj, j = 1,...,mi, (13)

maxgj(d,z,e)<>Qj = m, +1 ,...,m. (14)

После формализации задач проектирования оптимальных ХТС на основе ОЭЗО даны формализованные постановки на основе ДЭЗО.

Сначала рассматриваются постановки ДЭЗО с жесткими ограничениями:

- функции распределения вероятностей неопределенных параметров известны: • стратегии оптимальности в среднем;

- функции распределения вероятностей неопределенных параметров неизвестны: . стратегии наихудшего случая;

. стратегии оптимальности в среднем при аппроксимации критерия по эмпирически заданным точкам;

- случай доступности полной информации на этапе функционирования только для части неопределенных параметров.

После рассмотрения постановок ДЭЗО с жесткими ограничениями проводится формализация ДЭЗО при учете вероятностных ограничений и критерия в виде математического ожидания оценки f{d,z(9),d) за период функционирования. Рассмотрим ДЭЗО с жесткими ограничениями

/,= пш ff{d,z{e\e)p{e)de, (15)

¿,z(ö)etf J

maxg,(rf,z(0),0)<O, j = l,...,m, (16)

maxA,(d,z(0))<O, 1 = 1,...,p. (17)

$£T

Очевидно, что выполнение ограничений (16), (17) требует выполнения ограничений (3), (4) в каждой точке области неопределенности Т, го есть с вероятностью 1 и наоборот. Вероятностные ограничения должны выполняться с заданной вероятностью 0<а- <1- Тогда ДЭЗО с вероятностными ограничениями примет вид

min Г f(d,z(0),0)p(0)d0, (18)

dX0)zff}T

PT{gj(d,z(0),0)<O}>aj, 0<ccj <1, J = l,...,m + p, (19)

Pr{gj (d, z(0), 0) < 0} = \p(O)d0 ,nJ={0: Sj (d,z(0), 0) < 0},

где gj(d,z(0),0)^hj(d,z(e)), j = m + \,...,m + p.

Далее в главе рассматриваются постановки ДЭЗО с жесткими и мягкими вероятностными ограничениями в постановках: стратегии оптимальности в среднем; достижения вероятностной верхней границы оценки f(d,z{0),6). Также дана постановка ДЭЗО с мягкими огршшчениями для случая уточнения на этапе функционирования части неопределенных параметров.

В следующем параграфе главы проводится разработка преобразований компонентов задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности, которые в дальнейшем будут положены в основу методов решения задач в постановках ОЭЗО или ДЭЗО. Выделены основные сложности решения ОЭЗО и ДЭЗО, на решение которых будет направлена разработка методов:

- решение задач недифференцируемой многоэкстремальной оптимизации при учете ограничений (9) и при вычислении теста структурной гибкости (11);

- вычисление многомерных интегралов на каждом шаге решения ОЭЗО или ДЭЗО при использовании критерия в виде (5) и учете ограничений (8);

- решение ДЭЗО методами конечной дифференцируемой оптимизации требует наличия функционального описания зависимости z(ff) управляющих поисковых переменных от значений неопределенных параметров;

- проведение на каждом шаге решения ОЭЗО или ДЭЗО операции максимизации в критерии задачи при следовании стратегии наихудшего случая.

Далее в главе проводится разработка преобразований и методов вычисления значений компонентов задач проектирования в предположении о статистической независимости и нормальном распределении неопределенных параметров Qi со

средним и дисперсией erf ,i = 1,..., пв. Рассмотрим их подробнее.

Для вычисления функции гибкости %(ß) (10) предложен метод разбиения и границ (РГ)> который основан на двух операциях: вычисления верхней и нижней оценок значения функции гибкости и разбиения области неопределенности на подобласти. Пусть на шаге к метода РГ область неопределенности Т разбита на подобласти Т,, I — В качестве верхней оценки предложено использовать решение u(k\z''{k) задачи полубесконечного программирования

Xum — min и (20)

z'etf.u

mmgj(d,zl,e)<u,l = l,...,N<k\ j — 1,.,.,/w,

для чего разработана модификация МВА, основанная на дискретизации непрерывных областей 7} путем набора множества

критических точек в' е Tt, в

которых выполняется условие maxg,(d,zl,(-k\0)-u(k) >0. На множестве Sik) ВЫ-

йй; '

числяется оценка x,LU'ik) =u(k). Алгоритм МВА останавливается, если не найдены новые критические точки. В качестве нижней оценки z(d) используется решение задачи нелинейного программирования на множестве S(k)

%L'(k\d) = min и (21)

г4,и

gj{d,z*,&)Zu, y = l,..,m, ve« eS(i).

На итерации к метода РГ следует разбить области Г,, в которых есть активные ограничения, то есть верно условие

3/=1,...,тя maxgl(d,z'Xk\e)-u{k) =0. (22)

Область Т, разбивается по середине наибольшего ребра на подобласти 7}f, 7]2 , так, что вьтолняется Т^ и7]2 = 7], Т^ пТ^ =0 (в дальнейшем при разбиении областей всегда будем использовать эти правила). Алгоритм РГ останавливается, если выполняется условие \xum(d) -(¿)| е- малое число. Блок-схема работы алгоритмов представлена на рисунке 1.

Далее предложена адаптация метода РГ для вычисления значения теста структурной гибкости (11), где для вычисления верхней оценки значения (11) проведена адаптация модификации МВА, разработанной для вычисления значения верхней оценки функции гибкости (20).

Демонстрация эффективности разработанных подходов и алгоритмов проведена в сравнении с методом ветвей и границ (ВГ) на вычислении функции гибкости (10) для ряда модельных ХТС. Рассмотрим здесь одну из них.

Задать стартовые значения, ¿=1

............9............

г = 1, S = 0, Г* = 0

Вычислить ZL':t\ получить V4 Решение задачи (20)

Вычислить G-/J=maxg,(<f,rUr,.0)-!/r).

1

получить GJ/-e'J.

Вычислить Р' = max G1'1 1

г = г+1

Вычислить

Для VG>* >0 выполнить

s=sl){eJJ}

Для VP' = 0 ВЫПОЛНИТЬ

V*

Модификация МВА

Рисунок 1 - Блок-схема Алгоритма 1 работы методов РГ и МВА для вычисления значения функции гибкости (10)

Пример 1. Оценка гибкости для ХТС, включающей реактор и теплообменник (ХТС РТ) (см. рисунок 2). В реакторе идеального смешения 1 протекает экзотермическая реакция первого порядка А—>В. Теплообменник служит для поддержания температуры в реакторе ниже заданной Ту.

В задаче: конструктивные параметры d: объём реактора V (м3), площадь поверхности теплообмена теплообменника А, (м2); управляющие переменные z: температура реакции 311 <7"i<389 (К), выходная температура потока охлаждающей воды 301< Ги2< 355 (К). Переменные состояния: САi - концентрация реагента А в продукте (кмоль/м ), Т2 - температура (К), Fy и Fw - расходы потоков рецикла и охлаждающей воды (м3/ч), соответственно. Неопределенные параметры:

e = ¡F0,T0,Twl,kR,U} - расход входного потока в реактор (м3/ч), его температура (К), входная температура потока охлаждающей воды (К), фактор частотности в уравнении скорости реакции (м3/кмоль ч), коэффициент теплопередачи в Рисунок 2 - ХТС РТ, 1 - реактор, теплообменнике (кДж/мЧ-К),

2- компрессор, 3- теплообменник соответственно.

2 Halemane КР., Grossmann LE. Optimal Process Design under Uncertainty. AIChE Journal. 1983. V.29. P.425-433.

Математические модели реактора и теплообменника имеют вид2 Р*(СМ - См)/Сл„ = Ука ехр(-£/ЛГ,)СЛ, {-АН)Ъ(£М-См)/См=Рарср{Т1 -Т0) + ОНЕ. йнв = Ърср(Тх-Т2) = р„ср^(Т„г -Т^), вш=А,Ц[(Т1 -ТК2)-(Т2 -Тм)}1\а{(Тх -Гк2)-(Г2 -7;,)},

Ср>Срп

- теплоёмкости потоков рецикла и охлаждающей воды (кДж/(кг-К)), соответственно; р,р„ - плотности смеси в реакторе и потока холодной воды (кг/м3), соответственно. Область неопределённости задана в виде (у задает ее размер)

(23)

Т = {в* -убв" < в < в" + у8в"),

oN

ее характеристики приведены в таблице 1.

Параметр Го 7^1 кК и

е" 45,36 393 300 9,81 1635,34

д 0,1 0,02 0,03 од од

Ограничения задачи имеют вид (СМ-СМ)!СМ>0,9 (24)

Г2-7;<0 (26)

311 <Г2 <389 (28)

311 <7; <389 (30)

т2-тм>\\,\

Г,-7^*11,1 301 < < 355

(25) (27) (29) (31)

Вычисление функции гибкости проводилось для различных размеров области неопределенности, заданных параметром у, и разных значений конструк-Таблица 2 - Результаты вычисления значения тивных параметров. Результаты

вычислений приведены в таблице 2, где ^рг и 2вг - значение функции гибкости, вычисленное методами РГ и ВГ соответственно; ?РГ и ¿вг - время расчета (с) методами.

Из результатов видно, что оба метода получили одинаковые значения функции, однако метод ВГ затратил большее время на получение решения.

Далее в главе для исключения операции многомерного интегрирования при вычислении критерия вида (5) на каждом шаге оптимизационной процедуры, предлагается аппроксимировать функцию /(с1,г,в) на разбиении Т,,

/ = 1,...,М®, области неопределенности Т кусочной функцией вида

/(г/,г,6) = {/(г/,г,в,в1), если ё е.Ть1 = 1 построенной на линейной

?У,гЛе1) = Яа,2,в1)+П±дЯа'1'9,){в1-б1), если 0'еГ„/ = (32)

О О;

Л, V У Хрг 'РГ Хвт ¿ВГ

1,0 3,0 1 0,328 2,47 0,328 7,63

3,0 5,0 1 0,100 0,64 0,100 3,31

8,0 12,0 1 -0,013 2,33 -0,013 7,45

8,0 12,0 1,25 -0,008 2,38 -0,008 4,68

8,0 12,0 1,5 -0,003 5,3 -0,003 6,5

12,5 14,5 1,75 -0,030 8,33 -0,030 10,44

12,5 14,5 2 -0,025 13,53 -0,025 14,67

12,5 14,5 2,5 -0,018 27,23 -0,018 30,89

18 15 3 7,129 15,25 7,129 28,56

или постоянной

= если ё &ТиЫ\,...,М{к\ (33)

частях разложения функции /(с1,г,в) в ряд Тейлора в точке в' е7], к - номер итерации в процедуре разбиения.

Тогда выражение (5) при использовании (32) аппроксимируем зависимостью

Еар[(34)

а при использовании (33) - зависимостью

(35)

= р(91)й91,а1=\Т1р{&)йв,Е\в1\Т1} = \т 91р{в)Лв, которые, при учете статистической независимости и нормальном законе распределения параметров в примут вид а, = [<тил) - ФфУ)] • ■ • [Ф(0пид') - )], (36)

в

т;т,]=[(37)

//,.)/СГ,., в^'' — (в^1 — //,)/ ст., (38)

где в,1''- нижняя и верхняя границы области Г,, Ф(0) — функция стандартного нормального распределения. Значения одномерных интегралов в (37) и для а\ могут быть получены до решения задачи оптимизации.

Для уточнения аппроксимаций (34), (35) предложена итерационная процедура разбиения подобластей Г,, / = 1,...,

где на итерации к область Т, с наихудшей аппроксимацией функции /(с1,г,в) разбивается на подобласти 7^, Т[2, и номер /0 определяется для заданных ¿*,г*решением задачи

/0= агд (39)

Для случая ДЭЗО использование аппроксимаций (34), (35) осложняется отсутствием функционального описания зависимости г (О) управляющих поисковых переменных от значений неопределенных параметров, поэтому в главе предложено аппроксимировать г(0) на разбиении Т,, 1 = , использую-

щемся для аппроксимации критерия, кусочно-линейными зависимостями

2(в) = {Ь'а + Ь,1в1 +... + ¿4^,если веТ„1 = 1,...,М(к)}, (40)

а в случае малости областей Т,, 1 = 1,...,Мт, - кусочно-постоянными

?(0) = {Ь'о,еели веТ„! = 1,...,М{к)}, (41)

где вектора Ь', 1 = 0,...,лв, I = \,...,М(к), имеют размерность п2.

Используя (40) и (41), заменим в поисковых переменных ДЭЗО г(в) на коэффициенты Ь\, и получим новый вид аппроксимации (32)

па,ълв1) = /(с1, + Ь] ), о, в1), если 0' б 7] ,1 = 1,...,М(к), (42) Ру,Ь,9,0') = У(с1,Ь'о,0,в'), если в1 еГ; ,/ = 1,...,Мда. (43)

Аналогично можно построить вид аппроксимации (33). Функции ограничений 2^(1,2,0), ] = 1,...,/я, при использовании (40) примут вид

С^^^Ы^сИЬ'о+^Ь'в^в), если 0е7] ,/=1,...,М№} . (44) Тогда при решении ДЭЗО можно использовать аппроксимации (34) и (35) для критерия вида (5), применив зависимости (42) или (43).

Далее в главе предложены два способа сведения вероятностных ограничений (8) к детерминированному виду в случае статистической независимости неопределенных параметров. Первый способ предполагает выпуклость функций gJ{d,z,в), ] = \,...,т, по параметрам О. Тогда для ОЭЗО, используя в вероятностных ограничениях (8) вместо функций gj^d,z,0),j = \...,т, линейную часть их разложения в ряд Тейлора в точке в/,у е Т

"О (<1 т. в1''Л

2, в, 0^) = г, + Е ' ' ' (3 " У = 1 ,..,т, (45) можно привести ограничения (8) к виду

,=| щ

дв,

>ф-'(а,). (46)

Второй способ опирается только на предположение о статистической независимости параметров в. В главе показано, что в случае ОЭЗО вероятностное ограничение (8) эквивалентно двум ограничениям

геыё].{с1,г,в)<Ъ,?т{веТа]}>а] , (47)

_ а1 _

где сГ. Очевидно, что область Та не единственная, поэтому при решении задачи оптимизации необходимо проводить поиск формы, размера и местоположения области Та , что очень сложно. В главе предложено аппроксимировать область Та, многомерным прямоугольником Та = Щ : в!"' < < вУ^= 1 ,...,пд), границы которого будут включены в число поисковых задачи оптими-

зации. Учитывая предположение о статистической независимости неопределенных параметров, проведена замена ограничений (47) на два ограничения

тах 2,0) <0, Щ[Ф(£ЛУ)-Чв,1'1)]*ccj, (48)

где = (*,'■> -А.)/<х,-, -//,.)/о-,..

Очевидно, что, используя выражения (40) или (41) для аппроксимации зависимости г(<9), можно распространить проведенные выкладки на случай ДЭЗО.

Использование аппроксимации функции Ф(а) позволит избавиться от интегрирования при вычислении (46) и в (48). Предложенные способы сведения вероятностных ограничений (8) к детерминированному виду (46) или (48) позволят на каждом шаге решения ОЭЗО и ДЭЗО избежать многомерного интегрирования для получения значений ограничений.

Третья глава посвящена разработке методов решения задач проектирования оптимальных ХТС на основе ОЭЗО. В начале главы рассматривается случай статистической независимости неопределенных параметров при известной

функции р(в) распределения их значений и постановки ОЭЗО оптимальности в среднем. Для ОЭЗО с жесткими ограничениями критерий вида (5) аппроксимирован зависимостью (34), и получена оценка критерия ОЭЗО в виде задачи полубесконечного детерминированного программирования

jninE[f(d,z,ff)}, (49)

max g,.(J,.z,6>) SO, j = l,...,m. (50)

9sГ J '

Для решения задачи (49) разработана модификация MB А, уточняющая оценку за счет разбиения области 7} с наихудшей аппроксимацией функции f(d, z, 0), где /0 определяется решением задачи (39).

Для ОЭЗО с вероятностными ограничениями разработаны оценки критерия на основе сведения вероятностных ограничений (8) к детерминированному виду (46) или (48). Задача получения нижней оценки критерия ОЭЗО, использующая замену ограничений (8) на (46), выведена в предположении выпуклости функций ограничений по параметрам О и независимости неопределенных параметров, имеющих нормальное распределение. Для уточнения оценки предложена итерационная процедура ведения для j -го ограничения, j = 1,..., т, разбиения области

неопределенности на подобласти T[j}, / = 1,...,]Vj.", \J^T,(p=T, Tff =0, в центрах которых для построения зависимостей (46) выбираются точки dIJ, формирующие множества Sk,. На к -ой итерации будут разбиты области Т[к) с наи-

'jJ

худшими аппроксимациями функций gj(d,z,0), j = \,...,m, зависимостями (45). Номера l'j, 7 = получим решением для известных d{k) ,zm задач

/;=aig max ma(51)

M....Nf> 0s jfp

Используя аппроксимацию (34) для критерия приведем задачу вычисления нижней оценки критерия ОЭЗО к ввду задачи нелинейного программирования

fL'{k)=minE[f(d,z,0)], (52)

X , . 8g:(d,Z,eIJ) W-n) J ' -Sj(d,z,e4)

i=i щ

^ cgj(d,z,eIJ)

>Ф>,.), (53)

Щ

1 = \„,^6^7=1,..., тп.

Далее предложен алгоритм вычисления оценки (52), основанный на итерационной процедуре уточнения аппроксимаций (46) и (32).

Также в главе приведен вид задачи получения нижней оценки критерия ОЭЗО с вероятностными ограничениями в стратегии вероятностной оценки критерия. Дана характеристика подхода получения нижней оценки критерия ОЭЗО, где в качестве основного ограничения отмечено требование выпуклости функций gj(d,z,в),j = \,...,m по параметрам в. Исходя из этого, в главе разработан метод получения верхней оценки критерия ОЭЗО с вероятностными ограничениями, требующий только статистической независимости неопределенных параметров. В

нем каждое ограничение вида (8) заменено на два ограничения (48) с учетом аппроксимации областей Та выполнения вероятностных ограничений многомерными прямоугольниками Та. В результате получено обобщение задачи полубесконечного программирования, поскольку границы , 0f'J области Та включены

в число поисковых переменных. Для решения задачи предложена модификация МВА, основанная на замене переменных вида

в, = ef~J + (0'/J - в?"1 )wj, 0 < wi < 1, i = 1.....пв. (54)

с учетом которой ограничение max g¡{d,z,в) < 0 в (48) примет вид

веТа] 1

max gj(d,z, dL'J +{0UJ -eLJ)wJ'), Гн. = {и>:0<и>. <\,i = \,...,ne}. Для уточнения аппроксимаций областей Taj предложена итерационная процедура ведения для J -го ограничения, j = 1,..., m, разбиения области Т на подобласти TjP = {<?,■ : e,LJUk) < 0t < OfJiik\i = 1,...,пв}, l = l,...,Nf}, где каждой области Tj? соответствует область Rf = Щ: e^1Jm <dt< e^RJMk\i = 1 ,...,пв], что

^'сЛ®; Ц={ ^ = Г'> j =\,...,m, l = \,...,Nf. (55)

В главе показано, что, при учете аппроксимации (34) для критерия, задача вычисления верхней оценки критерия ОЭЗО с вероятностными ограничениями примет вид задачи полубесконечного программирования

min Я [/(¿,z,0)L (56)

nBX)jgj(d,z,eL'JJ +(9U-J'1 -eL'J'l)w'1) < 0, j = \,...,m, I = l>...,Njk\ (57)

0LS,jj 0LJ,1 <gUJJ j = l,...,ne, 7=l,...,m, / = l,...,ivf, (59)

T(wk)'jI = {w>1:0 < w}1 < 1, i = 1 ,...,ne). Пусть (d{l\Zik\ej->J'M;g^j.'.co ^ _ решение задачи (56). На итерации к будут разбиты области TjP с активными ограничениями (57)

max gi(d(k\z«\eL-^w +{виМт-в1-Шк))^') = а, (60)

область R'p разбивается той же гиперплоскостью, что TjP, l = l,...,Njk) ,j = l.....т.

Далее приведены модификация алгоритма МВА и алгоритм решения задачи (56) в виде итерационной процедуры уточнения оценки за счет разбиений области неопределенности для уточнения аппроксимаций критерия и области Tttj. Укрупненная блок-схема алгоритма решения задачи (56) дана на рисунке 3.

Рисунок 3 - Блок-схема Алгоритма 2 вычисления верхней оценки критерия ОЭЗО

В следующем параграфе главы предложенные методы получения верхней и нижней оценок критерия ОЭЗО, включающей только вероятностные ограничения, распространены на постановку ОЭЗО с вероятностными и жесткими ограничениями. Получены постановки задач нижней и верхней оценок критерия ОЭЗО при следовании стратегиям оптимальности в среднем и вероятностной оценки критерия. Для их решения проведены модификации алгоритмов вычисления нижних и верхних оценок ОЭЗО с вероятностными ограничениями.

Далее в главе предложены два подхода к решению задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС на основе ОЭЗО при учете статистической взаимозависимости неопределенных параметров. Первый подход опирается на случайные величины у = {в - /л)тК1{в - pi), которые имеют распределение £ с пв степенями свободы, если параметры в имеют совместное распределение Nnf)(/J,A)3. Показано, что в этом случае каждому уровню вероятности а можно сопоставить такое С, что Рг{у < С) = а, и область выполнения вероятностного ограничения (8) имеет вид TBj = {в\(в- pi)TA~l {в-pi) < С(а;)} • Тогда ОЭЗО с вероятностными ограничениями и критерием вида (5) примет вид

Irin Eo[f(d,z,0)] (61)

d.zeH

imx.gj(d,z,e)<0, j = \,...,m. (62)

Используя аппроксимацию (34) для критерия, получим задачу детерминированного полубесконечного программирования, которая может бьтгь решена МВА. Однако мы не можем уточнять получаемую оценку критерия, поскольку дробление области неопределенности приведет к вычислению многомерных интегралов по криволинейным областям. Но первая итерация позволит быстро получить оценку.

3 Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование: теория и алгоритмы / Под ред. Д.Б. Юдина. — М.: Мир, 1982.-583 с.

Второй подход использует замену неопределенных параметров в, имеющих распределение ЫПв(р.,Л), совокупностью случайных независимых величин г],,

i = 1 ,пв. Известно3, что

в = ц + СП, (63)

где матрица С = (с,) удовлетворяет условию ССТ = Л. Поскольку матрицы ССТ и А =(Я,у) симметричны, для вычисления значений с,у используется решение задачи

(64)

Тогда ОЭЗО с вероятностными ограничениями примет вид

тт £^(¿,2,77)] (65)

?т{С^,2,т1)<0}>а) , ] = \„.„ж, где Р(4,г,т]) = /{<1,г,(1 + Сг1), + 7=1,...,т.

Задача (65) имеет вид ОЭЗО со статистически независимыми параметрами 77,-, имеющими нормальное распределение N,(0,1), и может быть решена с использованием ранее разработанных методов и алгоритмов.

Апробация методов и алгоритмов решения ОЭЗО на решении задач проектирования модельных ХТС была проведена на основе следующих постановок, рассматривающих стратегию оптимальности в среднем:

1. при статистической независимости неопределенных параметров:

1.1. ОЭЗО с жесткими ограничениями;

1.2. ОЭЗО с вероятностными ижесткими ограничениями;

2. при учете статистической взаимозависимости неопределенных параметров: 2.1. ОЭЗО с вероятностными и жесткими ограничениями.

Задача 1.2 решена с использованием подходов получения нижней и верхней оценок критерия, задача 2.1 решена на основе подходов с использованием распределения £ и с использованием замены (63). При решении задачи последним подходом использован метод получения верхней оценки критерия.

Задача проектирования оптимальной ХТС РТ (см. рисунок 2, пример 1) решена в постановках 1.1,1.2 (с получением верхней и нижней оценок критерия). Оценка эффективности работы ХТС имеет вид суммарных затрат2

/(¿,г,<9)=691,2-К°'7+873-Л0'б + 1,76-^ + 7056 (66) Ограничения (24)-(28) являются вероятностными2. Уровень вероятности для ограничения (26) задан как , для остальных — а2. Аппроксимация критерия ОЭЗО вида (5) проводилась на основе зависимости (35), а также на основе заданных2 экспертных точек в4 иихвесови>?,<7е/={1.....5},

(67)

Результаты решения ОЭЗО на основе различных подходов для разных размеров области неопределенности, определяемых параметром у, приведены в таблице

3. где/— полученное значение критерия, ? — время решения задачи, в столбцах ОЭЗО дан номер постановки, Еср — способ аппроксимации критерия. Из результатов видно, что требование точного выполнения ограничений (а\=а2=1) приводит к самому неэкономичному решению, причем при у=1,5 постановки 1.1 и 1.2 (кроме

нижней оценки с аппроксимацией (35)) не дали решение. Учет мягких ограничений позволяет найти решение и уменьшить затраты. При этом отметим, что увеличение вероятности выполнения ограничений, как и размера области неопределенности приводит к увеличению значения критерия. Также заметим, что нижняя оценка находит меньшие значения и за меньшее время, чем верхняя.

Для оценки качества аппроксимаций (35) и (67) критерия ОЭЗО вида (5) было проведено сравнение полученных оценок критерия со значениями (5), вычисленными методом Монте-Карло в соответствующих оптимальных точках. Полученные значения для размера области неопределенности, заданного у =1, и разных уровней вероятности а2, приведены на рисунках 4, 5, где (35) и (67) - использованные аппроксимации критерия.

Таблица 3 - Результаты решения ОЭЗО для ХТС РТ

а, «2 ОЭЗО Оценка £ И 7=1,25 г=1,5;

1(,.с / <", о / с

0,95 0,5 1.2 верхняя (35) 9894 30 9930 15 9939 302

1.2 верхняя (67) 10412 65 10656 12 - -

1,2 нижняя (35) 9822 1,3 9836;, 1.2 9839 1,4

: 1.2 нижняя: К>7) 10335 0.06 10559 0,2 -

Ш5 1.2 верхняя (35) 9972 11 10020 187 10057 66

1.2 верхняя (67) 10495 81 10762 24 - -

Ш'Ь нижняя (35) 9889 1,2 9939 1,3 9437 1,3

1.2 нижняя (67) 10406 0,06 : 10649 : 0,2 - -

0,95 1.2 верхняя (35) 10085 32 10166 32 10233 73

1.2 : верхняя (67) 10620 26 10921 20 -

: 1;2. нижняя (35) 9:986 1,2 10061 1,2 10084 1,3

1.2 нижняя (67) 10508 0,06 . 10779 ■ 0,2 - -

■¡Я 1 1.2 верхняя (35) 10382 1 18388 5 Нет решения

1.2 верхняя (67) 10920 3 21890 13 Нет решения

1.2 нижняя (35) 10213 1 ; 10328 1 10430: 1,1

1.2 нижняя (67) 10746 0,06 1 10835" 0.1 ! Нет решения

11 - (67) 10938 0,4 ¡21883 13 | Нет решения

. юооо

р 9900

9700

9600

п<-> (лэ;

Рисунок 4 - Значение и время его получения для нижней оценки критерия ОЭЗО (НО) при аппроксимации критерия (35) и для метода Монте-Карло (МТС)

5 10500

S" 10200

9900

9600

ВО(67)|МКдля

(67) ВО(35)МКдла (35)

Рисунок 5 - Значение и время его получения для верхней оценки критерия ОЭЗО (ВО) при аппроксимациях критерия (35), (67) и для метода Монте-Карло (МК) Из рисунков видно, что зависимость (35), в отличие от аппроксимации (67), дает значения, близкие к полученным методом Монте-Карло (разница не более 0,28%), при этом время решения всей ОЭЗО значительно меньше времени вычисления (5) методом Монте-Карло в одной точке с1,г, которое составило «40-50 мин.

Пример 2. Рассматривается задача проектирования оптимальной ХТС (ХТС

РР)4 (см. рисунок 6), состоящей из двух реакторов идеального смешения в которых протекают реакции

А——»С,

Сырье

Сд„=1 С81 Сдг Св2

T, Ц т 2 Г*2

© ®

Рисунок 6 - ХТС РР; 1,2- реакторы Математические модели реакторов имеют вид4: Реактор 1

10е

-EJRT

к-г ~ к ж<

-e2irt

С-А1 + ^10'

-ВД

Реактор 2

1

с

С +С + к р-ыхьг V -1

-CAX+kwe-^CA2V2= 0 + — С ал +кк\в ^ "CFnV1=0

^Б 2 иДт л20 В2Г2 '

См, СВ1, Т1- концентрации компонентов А и В, объемы реакторов и температуры в них соответственно, г =1; 2 - номер реактора.

Неопределенные параметры 0 ={Еи Е2, км, к2о}. Их номинальные значения (У и отклонения 8 даны в таблице 4. Область неопределенности задана как Т={6 :вн- к§ < в< 6м + кд }. Значения коэффициентов корреляции для параметров в заданы4 и равны ргх = рЪ2 = 0,5, р31 = рп = 0,3, р41 = 0,2, рп = ОД.

Поисковые переменные задачи: конструктивные с1={У\, У2}; управляющие 2={ГЬ Т2}. Целевая функция - капитальные затраты4:

(68)

4 Wendt M., Li P., Wozny G. Nonlinear Chance-constrained Process Optimization under uncertainty. Ind. Eng. Chem. Res. 2002. № 41. P. 3621-3629.

Таблица 4 - Характеристики параметров в

Ограничения задачи:

Параметр ■: в" 3

Г, 6665,948 200

Е2- 7985,248 240

кт 0,715 0,0215

Лзо ; 0,182 0,0055

0<СМ ¿1 (69) 0<У1 <16 (73)

0 <СА2 21 (70) 0 < < 16 (74)

0 <ст (71) 601,4 <7; <661,53 (75)

0 <С32 21 (72) 541,26 <Т2 <601,4 (76)

Сд2 /-»тт (77)

Ограничения задачи: (77) - вероятностное; (69)-(72) - жесткие. Требование на качество целевого продукта С™2П={0,5 ; 0,52}.

Задача проектирования на основе ОЭЗО была решена в постановках 1.2 (верхняя оценка критерия) и 2.1. На рисунках 7, 8 для разных значений С"™ и вероятности а представлены значения верхней оценки ОЭЗО и время ее получения: (ВО) — для постановки 1.2; (ВО 1), (ВО 2) - для постановки 2.1, вычислены первым и вторым подходами соответственно; (А) - значения критерия, полученные4.

4

3 2

В01

ВО 2

а И 0,3 «0,95 а 00.9 «0,95

Рисунок 7 — Значение верхней оценки критерия ОЭЗО и время его получения и решение авторов4; С™" = 0,5

ВО В01

а 13 0,9 «0,95

В02

Рисунок 8 - Значение верхней оценки критерия ОЭЗО и время его получения и решение авторов4; С^"

С™" =0,52

Отметим, что все предложенные методы решения ОЭЗО дали значения критерия лучшие, чем полученные авторами4, при этом предложенные подходы учета статистической взаимозависимости неопределенных параметров дают более экономную ХТС, чем решение без учета этих свойств. Заметим также, что первый подход (ВО 1) дает неплохую оценку значения критерия за очень малое время.

В четвертой главе разрабатываются методы и алгоритмы решения задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС на основе ДЭЗО. В начале главы предложен подход к решению ДЭЗО с жесткими ограничениями в постановке стратегии оптимальности в среднем при неизвестных функциях распределения значений неопределенных параметров. Для этого случая во второй главе предложено аппроксимировать выражение (5) зависимостью вида (67) на основе множества = {в' :в' е Г, / е 1} аппроксимационных точек и их весовых коэффициентов тV/, заданных исходя из инженерных соображений. Показано, что оценка критерия ДЭЗО примет вид задачи полубесконечного программирования

/, = щп (78)

gj(d,T?,ff)£Q, j = \,...,m, iel, tmxh{d,9)<0,

всТ

max hid, в) = шах min max g, (d. z, в) .

веТ OsT zetf jeJ 1

(79)

Для использования при решении задачи (78) МВА, в четвертой главе была сформулирована задача получения нижней оценки критерия задачи (78) в виде

fiL'lk) = пш (80)

gj(d,z\0')<Q, j = l,...,m, fe/, gj(d,z',e!)<0, V0' eS?>, j =l,...,m, где для формирования множества S^ используется процедура набора критических точек, проводимая при вычислении значения функции гибкости (10), стоящей в левой части ограничения (79). Это позволит сократить вычислительные затраты на решение задачи (78), благодаря совмещению набора критических точек при вычислен™ значения (10) и решении задачи (78). Для решения задачи (78) в j начало ) главе предложен модифицированный ал-

горитм МВА, блок схема которого приведена на рисунке 9.

Далее в главе показано, что решение задачи (11) в случае Е> 0 говорит о невозможность найти решение задачи (78), а в случае £<0 найденное значение конструктивных параметров d и полученное разбиение области неопределенности могут использоваться как начальные при решении (78), что сократит вычислительные затраты.

В следующем параграфе разработаны подходы и алгоритмы решения

__^ ДЭЗО (18) с вероятностными ограниче-

^ конец j ниями в предположении о статистиче-

Рисунок 9 - Блок-схема Алгоритма 3 СК0Й независимости нормально распре-решения ДЭЗО (78) деленных неопределенных параметров.

Задать: стартовые значения, множество критических точек si® *=1

Вычислить /¡х,№) Решение гавачи (80)

_I_

Вычислить Н^ -^тах/т^'*5,*?)

£?f=T

Решение задачи (10), Алгоритм 1

ifcz:—

При формализации задачи получения верхней оценки критерия ДЭЗО (18) с вероятностными ограничениями были использованы:

- аппроксимация (40) зависимости г{в) и построенные на ее основе функции

>Ь,в)={Р(с1,Ь,0,в1),если & еТ„1=1,...,М{к)} (см. (42)) и в^.Ь.в) в виде (44);

- аппроксимация (34) критерия задачи с учетом аппроксимации (40);

- замена каждого вероятностного ограничения (19) на два ограничения вида (48) с учетом аппроксимации (44);

- замена (54) для получения обычной задачи полубесконечного программирования.

В главе предложена итерационная процедура разбиения области неопределенности на следующие подобласти: Т,, / = 1,...,ММ, - для уточнения аппроксимаций (34) и (40); / = 1,...,Л^4, согласно (55), - для уточнения аппроксимаций областей Та выполнения ограничений (19). В результате задача верхней оценки критерия ДЭЗО (18) на к -ой итерации приняла вид

, ЧУ} ^ЕарШ^ЬМ (81)

шах СММхе^-'+^-в^'1)^1})^, ] = \,...,т + р,1 = \,...,Щ\

БТШ.СФ^')-®^'))^",'^!, ...т + р,

Задача (81) — задача полубесконечного программирования. В главе показано, что алгоритм уточнения оценки (81) требует согласования разбиений области неопределенности на подобласти Г,= ¿....Д/4*', и Т^Р,1 =1,...,Щк), поскольку пересечение одной области Т^ с несколькими областями Т, аппроксимации критерия в процессе решения задачи (81) приведет к недифференцируемости ограничений, и предложена итерационная процедура согласования разбиений, включающая следующие правила выбора областей для разбиения: разбивается область Т, (/0 получаем из задачи (39)); разбиваются области тр, j = l,...,т+р, / = 1,...,лК*\ где выполняется условие (60), а также области Т},к) е Т,о, где условие (60) не выполнено. Далее дан алгоритм решения задачи (18) на основе вычисления и уточнения оценки (81). Затем, аналогично ОЭЗО, дается формализация задачи получения нижней оценки критерия ДЭЗО (18) в предположении о выпуклости функций ограничений. В главе показано, что задача получеши нижней оценки имеет вид

/=пт£[ЩМ)], (82)

а,О

ч ,. двМЛв'1)

Ею"-¿о -с^Ав")

¡=1 ОУ;

имеют вид (44).

Для уточнения оценки (82) предложен алгоритм, основанный на разбиении области неопределенности. Рассуждения, использованные при формализации

оценки (82) критерия ДЭЗО (18), распространены на ДЭЗО с вероятностными ограничениями в постановке стратегии наихудшего случая, предложен алгоритм уточнения получаемой оценки.

В следующем пара1рафе главы рассуждения, проведенные для получения верхней оценки (81) критерия ДЭЗО (18), распространены на ДЭЗО с жесткими и вероятностными ограничениями в постановке стратегии оптимальности в среднем. В главе сформулирована задача получения верхней оценки критерия ДЭЗО, предложена итерационная процедура согласованного разбиения области неопределенности на подобласти для уточнения аппроксимаций критерия (34) и зависимости г {в) (40), аппроксимаций областей выполнения вероятностных ограничений, а также процедуры разбиения подобластей области неопределенности, соответствующих активным жестким ограничениям. Проведенные рассуждения распространены на случай решения ДЭЗО с жесткими и вероятностными ограничениями при достижении вероятностной оценки функции оценки эффективности работы ХТС.

Далее в главе рассматриваются способы решения ДЭЗО с вероятностными и жесткими ограничениями при учете статистической взаимозависимости неопределенных параметров в постановке задачи. Рассуждения, примененные к ОЭЗО, были распространены на случай ДЭЗО с учетом аппроксимации (40) зависимости г (в). При построении подхода, основанного на распределений с использованием аппроксимации (34) критерия была получена постановка задачи оценки критерия ДЭЗО в виде задачи полубесконечкого программирования

(83)

тах(? (</,&,£?)<0, j = l,...,тп,

ыг*,

тахС,(й?,Ь,0)<О, / = гп + \,...,т + р.

в<= г у

где Т ={д:(0-/л) Л" (0-¡л) < С(а;)}. Отмечено, что подход обладает теми же

недостатками, что и в случае ОЭЗО, однако позволяет быстро получить оценку.

Применив к ДЭЗО рассуждения предложенного для ОЭЗО подхода, использующего замену (63) параметров в, был получен новый вид задачи

. пт 7?),77)] (84)

РЩ(с1Лг1),т]) <0}>а., _/ = \,...,т,

гтах в, (<1, г(л), 77) < 0, ] = т +1,..., т + р, где Р(с1,г(т}),г})=/(а,2{р + Ст]),^ + Ст?), Gj(d,z(т]),т])^gJ(dX^t+Cт]),p+Cr]), / = !,-•.,тп+р,

матрица С вычисляется из задачи (64). Задача (84) имеет вид ДЭЗО с независимыми неопределенными параметрами, для ее решения предложено применять методы и алгоритмы, позволяющие получать оценки критерия (81) или (82) с учетом жестких ограничений.

Апробация предложенных подходов проведена на решении задач проектирования оптимальных ХТС РТ2 (см. пример 1) и ХТС РР4 (см. пример 2) на основе ДЭЗО с критерием вида (5) в предположении о статистической независимости неопределенных параметров. ДЭЗО с жесткими ограничениями реше-

22000

11000

5 10500

9500

9000

вероятно^

на в виде оценки (80), с аппроксимацией критерия (67); ДЭЗО с вероятностными и жесткими ограничениями была решена с использованием оценки (81) с аппроксимацией критерия (35). Рассмотрим здесь результаты для ХТС РТ.

Результаты решения ДЭЗО в сравнении с ОЭЗО для оптимальной ХТС РТ при разных уровнях вероятности и размерах области неопределенности, заданных параметром у, представлены на рисунках 10, 11. Для уровня вероятности 1 дан номер зависимости для аппроксимации критерия (5).

Можно видеть, что при малом размере области неопределенности ДЭЗО и ОЭЗО находят близкие решения, но при увеличении размера области неопределенности ОЭЗО дает худшие значения, особенно при требовании жесткого выполнения ограничений, соответствующем уровню вероятности 1. Для значений у , начиная с 2, не могут найти решение ДЭЗО с жесткими ограничениями и ОЭЗО с вероятностными ограничениями. При этом аппроксимация (67) показала худшее значение в сравнении с (35).

Полученные результаты подтверждают способность ДЭЗО давать более экономные решения в сравнении с ОЭЗО благодаря учету возможности подстройки управляющих поисковых переменных под значения неопределенных параметров, а также аналогичное преимущество постановок с вероятностными ограничениями перед ПОСТа-

^И 0,5

□ ДЭЗО О ОЭЗО У =125

□ ДЭЗО ■ ОЭЗО Рисунок 10 - Результаты решения задачи проектирования оптимальной ХТС РТ для малых у

5 11000

1.(67)

ДЭЗО«

ДЭЗО-1

Рисунок 11 - Результаты решения задачи проектирования оптимальной ХТС РТ для больших у

ковками с жесткими ограничениями, поскольку вероятностные ограничения могут нарушаться при отдельных значениях неопределенных параметров.

В начале пятой главы приводится перечень преобразований компонент задачи проектирования оптимальных X ТС, предложенных во второй главе.

Далее в главе перечислены основные компоненты методологии решения задач проектирования оптимальных ХТС при учете неопределенности: . подходы к вычислению функции гибкости и значения теста структурной гибкости;

. функциональное описание зависимости управляющих переменных от значений неопределенных параметров;

. способы аппроксимации критерия, имеющего вид математического ожидания оценки эффективности работы ХТС за период функционирования; . способы сведения вероятностных ограничений к детерминированному виду; . учет в постановке задач проектирования статистической взаимозависимости неопределенных параметров;

. подходы формализации и методы решения задач нижних и верхних оценок критериев ОЭЗО и ДЭЗО;

. итерационные процедуры уточнения оценок критериев ОЭЗО и ДЭЗО.

В следующем параграфе главы приводится стратегия формализации и формирования алгоритмов решения для задач проектирования оптимальных ХТС при учете неопределенности. Алгоритм стратегии состоит из четырех укрупненных блоков, первый из которых отвечает за получение исходной информации о математической модели проектируемой ХТС, доступной информации о неопределенных параметрах, информации о поисковых переменных и виде оценки эффективности работы ХТС, предпочтительной стратегии оптимальности, ограничениях задачи и их типе - жесткие или вероятностные, а также возможности подстройки управлений под значения неопределенных параметров. Во втором блоке на основе полученной информации происходит выбор постановки ОЭЗО или ДЭЗО для решения задачи проектирования. Следующие два блока отвечают за преобразования и аппроксимации критерия и ограничений задачи на основе полученной в первом блоке информации и предложенных во второй главе преобразований, а также формирование алгоритма решения полученной задачи. Более подробно эти блоки представлены на рисунке 12.

В последующих параграфах главы проводится решение задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности в исходной информации на основе предложенной методологии решения. Были решены три задачи проектирования оптимальных ХТС для следующих систем:

1. Подсистемы узла захолаживания пирогаза установки выделения этан-этиленовой фракции производства Этилен-200 завода Этилен ОАО «КазаньОргсин-тез». Для ХТС были решены задачи оценки гибкости на имеющейся и прогнозируемой областях неопределенности, задача (10), Алгоритм 1, по результатам которых было принято решение о необходимости проектирования новой ХТС. Задача была решена в постановке ДЭЗО (78) в стратегии оптимальности в среднем с жесткими ограничениями в предположении о статистической независимости неопределенных параметров, Алгоритм 3.

Решить задачу (64), Провести замену переменных согласно (63)

Для критерия аппроксимация (67), ОЭЗОпли ДЭЗО в

виде задач полубесконечного программирования

Процедуры уточнения оценок ОЭЗО и ДЭЗО

Аппроксимация дая зависимостцг(0) в ДЭЗО. ОЭЗО или ДЭЗО в виде задач цолуСесконечного программирования.

ОЭЗО и ДЭЗО в виде задач нелинейного программирования.

ОЭЗО и ДЭЗО в виде задач полубесконепного программирования.

Процедуры уточнения оценок ОЭЗО и ДЭЗО

2. Системы биологической очистки сточных (СБОСВ) вод цеха нейтрализации ОАО «КазаньОргсинтез». Для ХТС были решены задачи оценки гибкости на имеющейся и прогнозируемой областях неопределенности, по результатам которых было принято решение о необходимости проектирования новой ХТС. Поскольку узел биоочистки, включающий рассматриваемую систему, не предусматривает автоматизированного управления работой ХТС, задача проектирования была решена в постановке ОЭЗО в стратегии оптимальности в среднем при учете жестких и вероятностных ограничений и предположении о статистической независимости неопределенных параметров, при этом для вероятностных ограничений были выбраны разные уровни вероятности. Задача решена на основе получения верхней оценки критерия, Алгоритм 2.

3. Подсистемы реакторного узла процесса изомеризации н-пентана. Поскольку ХТС, в которую входит проектируемая подсистема, предусматривает автоматизированное регулирование параметров, определяющих режим работы ХТС, для подсистемы была решена задача проектирования оптимальной ХТС на основе ДЭЗО в стратегии оптимальности в среднем при учете жестких и вероятностных ограничений и предположении о статистической независимости неопределенных параметров. Задача решена на основе получения верхней оценки критерия.

В силу ограниченности объема автореферата рассмотрим здесь только задачу проектирования оптимальной ХТС для системы 1. Объектом исследования была выбрана первая стадия выделения этан-этиленовой фракции из пирогаза, где очищенный и осушенный пирогаз последовательно проходит холодильники узла захолаживания, в которых происходит прямоточная конденсация пирогаза с последующим разделением паровой и жидкой фаз в сепараторах. Углеводородный конденсат через регулирующие клапаны сепараторов поступает в метановую колонну на разделение. Для оптимального проектирования была выбрана подсистема узла захолаживания пирогаза (см. рисунок 13), состоящая из двух последовательно соединённых теплообменников (Т-303 и Т-302) и сепаратора (Е-314). Охлаждение пирогаза в холодильнике Т-302 происходит пропиленовым и этиленовым хладагентами с изотермой испарения -37°С. Охлаждение в холодильнике Т-303 происходит за счет испарения в межтрубном пространстве при давлении 7 кгс/см2 кубового продукта этиленовой колонны К-303.

Ш

Ат-зоз, ит-

Рт-зоз

н и

^ Д- Е-31

Рг-зог Гэ1 Т-302 —» —:

Ш

А: :■■.?, Цт-302

шшшЪ

Рисунок 13 - Технологическая схема подсистемы узла захолаживания пирогаза

Потоки хладагентов имеют температуры Ттт = -40, Ттш = -39 ,°С. Компонентами потока Рт_ш являются С02, С2Н6, С3 Н6, С3Я8 с массовыми долями 0,000282; 0,994631; 0,004794; 0,000293 соответственно. Компонентами потока ^У_302 являются С02, СгН6, С3//8 с массовыми долями 0,000099; 0,98999; 0,009909 соответственно. Вычисленные площади поверхностей теплообмена составили Атт =332 л/2, АТШ =766м2. Анализ данных о пирогазе (поток №1), поступающем на узел захолаживания, позволил выявить его пять типовых составов, включающих компоненты Н2,С02,СЯ4, С2Я2,С2Нв, С2НА, С3Я6,С3#8, САН6,С4Я10,С4Я8,С6Я6, а также диапазоны изменения температуры 7\,°С, и общего расхода , кг ч~':

Т^: -2,6 <7; <-2,0; 7^: 64000 < < 69000 .

Анализ теплообменников показал, что в процессе эксплуатации их тепло-обменные характеристики изменяются, и коэффициенты теплопередачи итт, иТ302 , Дж-м-2К"' с, теплообменников Т-ЗОЗ и Т-302 изменяются в диапазонах ТЩш. 525 < итш <550; ТЩуа : 480 < С/Г302 < 500 .

Таким образом, в число неопределенных параметров в вошли {Г1,^5,[/Гз0з)С/гз02,д:'г={дг/,/=1,...12};5=1,...5} - температура и расход пирогаза, коэффициенты теплопередачи и пять составов пирогаза. Неопределенные параметры независимы. Существующая область неопределенности

П, =Т\ иг' ититха иТипо []{хд,д = 1,...,5}.

Поскольку ожидается увеличение производительности данной производственной линии, то ожидается увеличение расхода сырья (пирогаза) на 5-7%, и возможно изменение диапазона входных температур пирогаза:

Тц : -2,6 <7; <0,0; Т2: 67000 74000 .

Новые диапазоны изменения параметров пирогаза, его возможные составы, диапазоны изменения коэффициентов С/Г303 , итш формируют ожидаемую область неопределенности С12 =ЩиТ\ иТЩш иТЩш 1){^,9 = 1,...,5}.

В качестве управляющих поисковых переменных г выбраны расходы хладагентов в теплообменники Т-303, Т-302; конструктивные поисковые переменные ё — поверхности теплообмена теплообменников Лтж, Атш.

В качестве ограничений были взяты:

- требования на качество разделения по этилену и метану

,с2я4 ,с2я4 - °>2 » 8г &) =Р$,СН41 ^1,ся4 - 0,075.

- ограничения на управляющие поисковые переменные, формирующие область Н, 20000 - < 0, Гт_}03 - 25000 < 0 , 4000 - />_302 < 0, Рг_302 - 4500 < 0, где ^1,С2Я4'^5,С2Я4> > ^5С[{4 ~ расходы этилена и метана в потоке пирогаза на входе в подсистему и в жидкой фракции на выходе из сепаратора, кг/ч, соответственно.

Для компьютерного моделирования подсистемы использовалась универсальная моделирующая программа Chemcad. В качестве математической модели теплообменников была взята модель HXTR Chemcad, для расчёта сепаратора - модель однократного испарения FLASH Chemcad. Расчёт констант фазового равновесия и энталыши проводился по моделям Соаве-Редлиха-Квонга (SRK). Транспортные свойства смесей рассчитывались по моделям, предложенным разработчиками Chemcad.

Анализ работоспособности ХТС на области неопределенности П, дал значение функции гибкости (10) (Алгоритм 1) Х\ = -0,001293 , что подтверждает адекватность построенной математической модели подсистемы. Анализ работоспособности ХТС на области неопределенности П2 Дал значение функции гибкости (10) (Алгоритм 1) Хг =0,005408 , что говорит о необходимости проектирования новой подсистемы.

В качестве оценки эффективности работы подсистемы выбран критерий при-веденых затрат, предложенный Ю.И. Дытнерским3. После проведенных преобразований критерий принял вид

f{d,z,ff) = 5815,0665 Атш + 7213,536 Атш +21642,7488 (iV, +N2), (85) где jV, , N2 - мощности нагнетателей для потоков хладагентов.

Задача проектирования оптимальной ХТС на области неопределенности П2 с учетом аппроксимации критерия (67) приняла вид

F= min S ^./(¿,2'>г) (86)

max min max g, (d, z(0), 0) < 0,

веП2 zsH J=t,2 J

в' — аппроксимационные точки, выбранные в углах и центре области fi2 ■

Результаты решения задачи Алгоритмом 3 (П) приведены в таблице 5 в сравнении со значением критерия, вычисленным для действующей системы (С). Таблица 5 - Решение задачи оптимального проектирования подсистемы

Система l ^TWi^S ' ■'. ,'4гз02 >Jli i; F, руб/год Экономия, руб/год

С 332 766 7898752 -

П 400 600 7768142 130610

Заметим, что в оптимальном решении значение площади поверхности теплообменника Т-302 уменьшилось в сравнении с исходным, но следует учитывать, что этот теплообменник является конструктивно более сложным. Подобные результаты (уменьшение оптимального значения одной из поисковых величин в сравнении с исходным) были получены при проектировании сети теплообменников A.R. Ciric и С.А. Floudas6, T.F. Yee и I.E. Grossmann7.

5 Дьггаерский Ю.И. Процессы и аппараты химической технологии. Часть 1. - М.: Химия, 1995.

Ciric A.R., Floudas С.A. Heat exchanger network synthesis without decomposition / Comput Chem. Eng 1991. V.15. P. 385

7 Yee TP., Grossmann I.E. Comput Optimization Model for heat integration П. / Chem. Eng. 1990. V. 14. P. 1165

Основные результаты п выводы

1. На основе анализа литературных источников выделены пять основных факторов, определяющих формализацию задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности, а также сформулированы основные проблемы решения этих задач.

2. Проведена формализация двухэтапной задачи оптимизации с вероятностными ограничениями и функцией цели в виде математического ожидания оценки эффективности функционирования ХТС.

3. Предложены основы методологии решения задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности, представленных в виде широкого класса постановок задач стохастической нелинейной оптимизации. Методология представляет собой совокупность разработанных подходов и процедур сведения задач стохастической нелинейной оптимизации к виду задач полубесконечного или конечного детерминированного нелинейного программирования, и комплекс взаимосвязанных алгоритмов получения и уточнения решения.

Разработана стратегия, совмещающая формализацию задач проектирования оптимальных ХТС в виде задач стохастической оптимизации, сведение их к задачам полубесконечного или конечного детерминированного нелинейного программирования, а также формирование алгоритма получения решения.

Согласно предложенной стратегии формализация задач проектирования оптимальных ХТС проводится на основе анализа полноты исходной информации, доступной на этапах проектирования и функционирования, и согласно выделенным факторам, определяющим формализацию задачи с учетом неопределенности.

4. Разработаны следующие процедуры преобразования компонентов задач стохастической нелинейной оптимизации, составляющие основу совокупности подходов предложенной методологии:

• аппроксимации зависимости управляющих поисковых переменных от неопределенных параметров кусочно-постоянными или кусочно-линейными функциями в двухэтапных задачах оптимизации;

. аппроксимации целевой функции, имеющей вид математического ожидания, что позволило избавиться на каждом шаге решения задачи от операций многомерного интегрирования;

. сведения задач недифференцируемой многоэкстремальной оптимизации вычисления значения функции гибкости и теста структурной гибкости ХТС к задачам полубесконечного программ!грования;

. сведения вероятностных ограничений к детерминированному виду для случая нормально распределенных и статистически независимых неопределенных параметров, что позволяет исключить операции многомерного интегрирования при вычислении значений ограничений;

. использования либо распределения либо перехода к статистически взаимно независимым случайным величинам, в случае статистически взаимозависимых нормально распределенных неопределенных параметров.

5. Для двухэтапных задач оптимизации с жесткими ограничениями, представленными требованием на значение функции гибкости, на основе предложенных процедур были разработаны

• модификация метода внешней аппроксимации для вычисления верхней оценки значения функции гибкости ХТС. Предложенная модификация адаптирована для вычисления верхней оценки теста структурной гибкости ХТС;

• модификация метода разбиения и границ для вычисления значения функции гибкости ХТС, позволяющая снизить вычислительные затраты на его получение и использующая предложенный метод вычисления верхней оценки искомой величины. Предложенная модификация адаптирована для вычисления значения теста структурной гибкости ХТС;

• модификация метода внешней аппроксимации вычисления нижней оценки критерия двухэтапной задачи оптимизации с жесткими ограничениями. Предложенная модификация совмещает процедуры дискретизации области неопределенности алгоритмов вычисления значения функции гибкости и оценки критерия двухэтапной задачи, что снижает вычислительные затраты на получение решения.

6. Для одно- и двухэтапных задач оптимизации с вероятностными ограничениями на основе предложенных процедур были разработаны

. модификации метода внешней аппроксимации, используемые для вычисления верхних оценок критериев одно- и двухэтапной задач оптимизации с вероятностными ограничениями, с целью учета зависимости областей максимизации от поисковых переменных решаемой задачи;

• итерационные процедуры уточнения оценок, основанные на разбиении области неопределенности и позволяющие на каждом шаге улучшать аппроксимации вероятностных ограничений; целевой функции, имеющей вид математического ожидания; зависимости управляющих переменных от значений неопределенных параметров (для двухэтапных задач оптимизации).

7. Использование подходов и процедур, предложенных для решения задач стохастической оптимизации с критерием в виде математического ожидания и с учетом жестких или вероятностных ограничений было распространено на случаи учета обоих видов ограничений и других видов критериев.

6. Для предложенных подходов разработаны алгоритмические реализации, положенные в основу созданных программных комплексов решения задач проектирования оптимальных гибких ХТС.

7. Эффективность предложенных подходов подтверждена результатами сравнения с известными методами решения ряда задач проектирования оптимальных гибких ХТС.

8. Подходы получения верхних оценок одно- и двухэтапных задач оптимизации при статистически взаимонезависимых неопределенных параметрах могут быть распространены на случаи распределений параметров отличных от нормального.

9. Применение предложенной методологии не ограничено областью химической технологии и может быть распространено на другие отрасли.

10. Разработанная методология может быть далее развита в направлениях учета неопределенности нечеткого типа, вероятностных объединенных ограничений и усредненных мягких ограничений, а также решения многоэтапных задач оптимизации.

Основное содержание диссертации опубликовало в следующих работах:

Учебное пособие

1. Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В. Оптимизация технических систем: учебное пособие. М.: КНОРУС, 2012. 422 с.

В изданиях из перечня рецензируемых научных журналов Минобрнауки России

2. Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Борисевич (Лаптева) Т.В. Синтез химико-технологических систем модифицированных методом структурных параметров // Теоретические основы химической технологии. 1997. Т.31. № 1. С.88-97.

3. Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин И.Д. Оценка гибкости химико-технологических систем //Теоретические основы химической технологии. 2007. Т. 41. № 3. С. 249-261.

4. Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин Д.Д. Одностадийные задачи оптимизации химико-технологических процессов с мягкими ограничениями // Доклады Академии наук. 2009. Т. 425. № 1. С. 63-66.

5. Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин И.Д. О некоторых подходах к проектированию технических систем с учетом неопределенности исходной информации // Системы управления и информационные технологии. 2009. №2 (36). С. 83-87.

6. Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин Д.Д. Одноэтапная задача с мягкими ограничениями // Теоретические основы химической технологии. 2009. Т. 43. № 4. С. 441-451.

7. Лаптева Т.В., Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Первухин Д.Д. Оптимизация химико-технологических процессов с вероятностными ограничениями // Теоретические основы химической технологии. 2010. Т. 44. №5. С. 507-515.

8. Лаптева Т.В., Зиятдинов H.H., Зайцев И.В. Двухэтапные задачи оптимизации химико-технологических процессов //Доклады Академии наук. 2010. Т. 435. № 4. С. 497-500.

9. Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин И.Д. Учет неопределенности при проектировании оптимальных химико-технологических систем //Вестник Казанского технологического университета. 2011. № 6. С. 199-206. Ю.Лаптева Т.В., Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Первухин Д.Д. Нижняя оцеггка одноэтапной задачи оптимального проектирования с вероятностными ограничениями // Вестник Казанского технологического университета. 2011. №7. С. 218-224.

11. Лаптева Т.В., Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Первухин Д.Д. Одноэтапная задача оптимального проектирования системы реакторов с вероятностными //Вестник Казанского технологического университета. 2011. № 9. С. 281-287. 12.3иятдинов H.H., Островский Г.М., Зайцев И.В., Хисамутдинова Л.Р., Лаптева Т.В. Оптимальное проектирование системы реакторов на основе двухэтапной задачи оптимизации //Вестник Казанского технологического университета. 2011. №

10. С. 223-231.

13. Лаптева Т.В., Зиятдинов H.H., Первухин Д.Д. Эффективность работы методов решения задачи проектирования работоспособных ХТС //Вестник Казанского технологического университета. 2012. № 11. С. 268-272.

14.3иятдинов Н.Н., Лаптева Т.В., Богула Н.Ю. Анализ гибкости оптимального проекта колонны дебутанизации //Вестник Казанского технологического университета. 2012. № 12. С. 148-151.

15. Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Первухин Д.Д. Подходы к аппроксимации критерия в одноэтапной задаче оптимального проектирования с учетом неопределенности //Вестник Казанского технологического университета. 2012. № 12. С. 216-219.

16. Зиятдинов Н.Н., Зайцев И.В., Лаптева Т.В. Эффективность аппроксимации управлений в двухэтапной задаче проектирования оптимальных //Вестник Казанского технологического университета. 2012. № 16. С. 247-250.

17. Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Зайцев И.В. Решение задач полубесконечного программирования в задачах проектирования оптимальных ХТС //Вестник Казанского технологического университета. 2012. № 24. С. 139-146.

18. Зайцев И.В., Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н. Алгоритм решения задачи двух-этапного проектирования оптимальных химико-технологических систем с вероятностными ограничениями с учетом неопределенности //Вестник Казанского технологического университета. 2013. № 1. С. 251-256.

19. Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Первухин Д.Д. Одноэтапная задача проектирования оптимальной системы биологической очистки сточных вод с вероятностными ограничениями //Весшик Казанского технологического университета. 2013 № 1 С. 262-266.

20. Зайцев И.В., Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н. Проектирование оптимальной подсистемы реакторного узла процесса изомеризации н-пентана путем решения двухэтапной задачи оптимизации //Вестник Казанского технологического университета. 2013. № 17. С. 204-208.

21. Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Островский Г.М., Зайцев И.В. Учет статистической зависимости неопределенных параметров при оптимизации химико-технологических систем //Вестник Казанского технологического университета 2014. № 1.С. 309-314.

в рецензируемых научных изданиях и трудах международных научных симпозиумов, конгрессов и конференций, в том числе

22. Ostrovsky G.M., Ziyatdinov N.N., Lapteva T.V. One-stage optimization problem with chance constraints //Chemical Engineering Science. 2010. №65. P. 2373-2381.

23. Ostrovsky G.M., Ziyatdinov N.N., Lapteva T.V. One-stage optimization problem with chance constraints // Chemical Engineering Transactions 2011. V. 25. P. 225-230. 24.0strovsky G.M., Ziyatdinov N.N., Lapteva T.V., Zaitcev I. Two-stage optimization problem with chance constraints // Chemical Engineering Science. 2011. № 66. P. 3815-3828.

25. Ostrovsky G.M., Ziyatdinov N.N., Lapteva T.V., Zaitcev I.V. Optimization of chemical processes with dependent uncertain parameters // Chemical Engineering Science 2012. №83. P. 119-127.

26. Ostrovsky G.M., Ziyatdinov N.N., Lapteva T.V. Optimization problem with normally distributed uncertain parameters // AIChE Journal. 2013. V. 59. № 7. P. 2471-2484.

27. Ostrovsky G.M., Ziyatdinov N.N., Lapteva T.V. Optimal design of chemical processes with chance constraints // Computers and Chemical Engineering. 2013. V. 59. P. 74- 88.

28.0strovsky G.M., Ziyatdinov N.N., Lapteva T.V. Optimal design of chemical processes with change constraints // Computer Aided Chemical Engineering. 2012. V.30. P. 597-601.

29. Ostrovsky G.M. About an approach chemical plant synthesis problem / G.M. Os-trovsky, N.N. Ziyatdinov, T.V. Borisevich (Lapteva) // Bulgarian Chemical Commications Journal. 1996/97. V 29. № 1. P. 5-15.

30. Зиятдинов H.H. Структурно-параметрическая оптимизация гибкой технологической схемы очистки сточных вод / Т.В Лаптева, H.H. Зиятдинов //Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 13-й Международ, научн. конф. — Санкт-Петербург, 2000. — Т. 2. - С. 29-31.

31. Лаптева Т.В Анализ структурной устойчивости оптимальной технологической схемы биологической очистки сточных вод / Т.В Лаптева, H.H. Зиятдинов //Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 15-й Международ, науч. конф. - Тамбов, 2002. - Т. 4. - С. 118-119.

32. Зиятдинов H.H. Математическое моделирование процесса аэробной очистки промышленных сточных вод / H.H. Зиятдинов, Т.В Лаптева //Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 15-й Международ, науч. конф. - Тамбов, 2002. - Т. 4. - С. 119-120 .

33. Зиятдинов H.H. О постановке задачи поиска области структурной устойчивости оптимальной ХТС / Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Шайхуллина В.Л. // Математические методы в в технике и технологиях. Сб. трудов Международ, науч. конф.-Кострома, 2004.-Т. 4.-С. 18-19.

34. Островский Г.М. Сравнительный анализ эффективности методов оптимизации технологических объектов / Г.М. Островский, Ю.М. Волин, H.H. Зиятдинов, Т.В. Лаптева, // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 18-й Международ, науч. конф. - Казань, 2005. - Т. 2. - С. 12-17.

35. Зиятдинов H.H. Определение значения функции гибкости технологической системы / Т.В Лаптева, H.H. Зиятдинов, И.Д. Первухин //Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 20-й Международ, науч. конф. - Ярославль, 2007.-Т. 2.-С. 7-9.

36. Первухин И.Д. Учет неопределенности при проектировании химико-технологических систем / И.Д. Первухин, Т.В Лаптева, H.H. Зиятдинов, Г.М. Островский // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 21-й Международ, науч. конф. - Саратов, 2008 - Т. 1. - С.5-8.

37. Первухин И.Д. Анализ и проектирование химико-технологических систем с учетом неопределенности / И.Д. Первухин, Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, Т.В Лаптева // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 22-й Международ. науч. конф. — Псков, 2009. - Т. 2. — С. 5-7.

38. Первухин Д.Д. Решение одноэтшшой задачи оптимизации с вероятностными ограничениями / Д.Д. Первухин, Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, Т.В Лаптева // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 22-й Международ, науч. конф. - Псков, 2009. - Т. 1. - С. 7-10.

39. Островский Г.М. Подходы к решению одноэтапной задачи оптимизации с мягкими ограничениями /Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, Т.В. Лаптева, Д.Д

Первухин // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 23-й Международ. науч. конф. - Саратов, 2010. - Т. 2. - С. 5-7.

40. Островский Г.М. Двухэтапная задача оптимизации с мягкими ограничениями /Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, Т.В. Лаптева, И.В. Зайцев // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 23-й Международ, науч. конф. - Саратов, 2010.-Т.2.-С. 8-10.

41. Лаптева Т.В. Верхняя оценка одноэталной задачи оптимизации с мягкими ограничениями / Т.В. Лаптева, Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, Д.Д. Первухин// Компьютерное моделирование в химической технологии и устойчивое развитие. Тезисы докладов второй межд. научно-практич. конф. - Киев: НТУУ «КПП», 2010. С. 60-62.

42. Лаптева Т.В. Повышение эффективности методов проектирования химико-технологических систем в условиях неопределенности / Т.В. Лаптева, Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, И.Д. Первухин // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 24-й Международ, науч. конф. - Киев, 2011. - Т. 2. - С. 5-6.

43. Островский Г.М. Аппроксимация критерия в задаче оптимизации с учетом неопределенности /Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, Т.В. Лаптева, Д.Д. Первухин // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 24-й Международ, науч. конф. - Киев, 2011. - Т. 2. - С. 11-12.

44. Лаптева Т.В. Проектирование химико-технологических систем на основе двух-этапной задачи с мягкими ограничениями / Т.В. Лаптева, Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, И.В. Зайцев //Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 24-й Международ, науч. конф. - Киев, 2011. - Т. 2. - С. 6-8.

45. Богула Н.Ю. Двухэтапная задача проектирования оптимальной системы разделения с учетом неопределенности / Н.Ю. Boiyna, Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, Т.В. Лаптева // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 25-й Международ, науч. конф. - Волгоград 2012. - Т.1. - С. 76-78.

46. Зайцев И.В. Одноэтапная задача вероятностной оптимизации для случая зависимых неопределенных параметров /Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, Т.В. Лаптева, И.В. Зайцев // Математические методы в технике и технологиях: Сб. трудов XXV Междунар. науч. конф. - Волгоград, 2012. - Т.9. - С. 16-17.

47. Зайцев И.В. Алгоритм решения задачи двухэталного проектирования технических систем с учетом неопределенности / И.В. Зайцев, Т.В. Лаптева, Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов // Математические методы в технике и технологиях: Сб. трудов XXVI Междунар. науч. конф. - Н.Новгород, 2013. - Т.2. - С. 9-13. Свидетельства о регистрации программ

48. Первухин Д.Д., Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В. Программный комплекс решения задач одноэталной оптимизации с вероятностными ограничениями // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. -№ 2013615184 от 19.08.2013.

49. Зайцев И.В., Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В. Программный комплекс решения задач двухэтапной оптимизации с вероятностными ограничениями // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.: - № 2013660150 от 25.10.2013.

Подписано в печать 16.06.2014. Форм. бум. 60x84 1/16. Печ. л. 2,5. Тираж 150. Заказ № 1606/2. Отпечатано с готового оригинал - макета в типографии «Вестфалика» (ИП Колесов В.Н.) 420111, г. Казань, ул. Московская, 22. Тел.: 292-98-92 e-mail: westfalika@inbox.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Казанский национальный исследовательский технологический

университет

Основы методологии решения задач проектирования

оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности в исходной информации

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в химической технологии)

На правах рукописи

05201 451405

Лаптева Татьяна Владимировна

Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук

Научный консультант доктор технических наук профессор, Островский Г.М.

Казань 2014

Оглавление

Введение 6

ГЛАВА 1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УЧЁТОМ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ 17 1.1 Постановка задачи оптимального проектирования химико-технологической

)

системы 18

1.2. Классификация неопределённых параметров 21

1.3. Уровень неопределенности на различных этапах жизненного цикла ХТС 23

1.4. Способы учета неопределенности в целевой функции задачи проектирования оптимальных ХТС 26

1.5. Характеристика ограничений в задачах проектирования оптимальных ХТС 27

1.6. Оценка гибкости технологических систем в условиях неопределённости исходной информации 31

1.7. Подходы к формализации задачи проектирования оптимальных ХТС 35

1.8. Подходы к решению задач проектирования оптимальных ХТС

в условиях неопределенности 45

1.9. Численные методы интегрирования 53

1.10. Методы решения задач оптимизации 55 Выводы к главе 71 ГЛАВА 2. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ ПОСТАНОВОК И РАЗРАБОТКА СОСТАВЛЯЮЩИХ МЕТОДОЛОГИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 75 2.1 Систематизация факторов, влияющих на постановку задач

проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности информации 76

2.2. Формализация основных постановок задач проектирования

оптимальных ХТС с учетом неопределенности 80

2.2.1 Характеристика вида области неопределенности 80

2.2.2. Постановка одноэтапной задачи проектирования оптимальных

ХТП в условиях неопределенности 83

2.2.3. Постановка двухэтапной задачи оптимизации для проектирования оптимальных ХТС в условиях неопределенности 88

2.3. Разработка основных составляющих подходов к решению задач оптимизации ХТС с учетом неопределенности в исходной информации 103

2.3.1. Подход к вычислению значения функции гибкости 106

2.3.2 Оценка структурной гибкости ХТС 117

2.3.3. Апробация разработанных подходов к решению задач

вычисления оценки гибкости ХТС на модельных примерах 122

2.3.4. Способы аппроксимации критерия, имеющего вид

математического ожидания, в задачах проектирования оптимальных ХТС 135

2.3.5. Функциональное описание зависимости управляющих

поисковых переменных от неопределенных параметров 142

2.3.6. Преобразование вероятностных ограничений в детерминированные 145 Выводы к главе 152 ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПОСТАНОВКЕ ОДНОЭТАПНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ 15 5

3.1. Одноэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами и жёсткими ограничениями 155

3.1.1. Функции распределения вероятностей неопределенных параметров неизвестны 156

3.1.2. Полные сведения о распределении вероятностей

неопределенных параметров 156

3.2. Одноэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами и вероятностными ограничениями 158

3.2.1. Подход получения нижней оценки критерия ОЭЗО 158

3.2.2. Подход получения верхней оценки критерия ОЭЗО 168

3.3. Одноэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами при учете жёстких и вероятностных ограничений 180

3.3.1. Подход получения нижней оценки критерия ОЭЗО 180

3.3.2. Подход получения верхней оценки критерия ОЭЗО 181

3.4. Одноэтапная задача оптимизации со статистически взаимно зависимыми неопределенными параметрами при учете вероятностных ограничений 183

3.4.1. Подход, основанный на замене вероятностных ограничений детерминированными 184

3.4.2. Подход, основанный на замене статистически взаимно зависимых

неопределенных параметров независимыми случайными величинами 186

3.5 Явное использование ограничений типа равенств 188

3.6 Апробация разработанных подходов к решению задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС на основе одноэтапной задачи оптимизации 190

3.6.1. Проектирование оптимальной ХТС реактор и теплообменник 193

3.6.2. Проектирование оптимальной системы реакторов 203 Выводы к главе 209 ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПОСТАНОВКЕ ДВУХЭТАПНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ 212

4.1 Двухэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами и жёсткими ограничениями 212

4.1.1 Двухэтапная задача оптимизации в дискретном виде 213

4.1.2 Тест структурной гибкости как оценка существования решения ДЭЗО 219

4.1.3 Сведение ДЭ302 к виду одноэтапной задачи 220

4.2 Двухэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами и вероятностными ограничениями 221

4.2.1. Подход получения верхней оценки критерия ДЭЗО 222

4.2.2. Подход получения нижней оценки критерия ДЭЗО 232

4.3. Двухэтапная задача оптимизации с независимыми неопределенными параметрами при учете жёстких и вероятностных ограничений 235

4.3.1. Математическое ожидание функции эффективности ХТС

в качестве критерия ДЭЗО 236

4.3.2. Вероятностная верхняя оценка функции эффективности ХТС

в качестве критерия ДЭЗО 242

4.3.3. Неполная информация относительно неопределённых параметров

на этапе функционирования 243

4.4. Двухэтапная задача оптимизации со статистически взаимно зависимыми неопределенными параметрами при учете жёстких и вероятностных ограничений 245

4.5. Апробация разработанных подходов к решению задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС на основе двухэтапной задачи оптимизации 247

4.5.1. Проектирование оптимальной ХТС реактор и теплообменник 249

4.5.2. Проектирование оптимальной системы реакторов 257 Выводы к главе 261 ГЛАВА 5. МЕТОДОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ 263

5.1. Основные составляющие методологии решения задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности в исходной информации 264

5.1.1 Влияние учета неопределенности при проектировании

оптимальных ХТС на вид решаемой задачи 264

5.1.2 Основные компоненты методологии решения задач

проектирования оптимальных ХТС при учете неопределенности 268

5.2. Алгоритм стратегии формализации и формирования алгоритма

решения задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС 270

5.3. Применение предлагаемой методологии для решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем

с учетом частичной неопределенности в исходной информации 281

5.3.1. Проектирование оптимальной подсистемы узла

захолаживания пирогаза 282

5.3.2. Проектирование оптимальной системы биологической

очистки сточных вод 293

5.3.3. Проектирование оптимальной подсистемы реакторного узла

процесса изомеризации н-пентана 305

Выводы к главе 313

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 315

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 318

Приложение А 351

Приложение В 377

Приложение С 381

Приложение О 396

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. При реализации перспективных научно-технологических направлений развития России1 важное значение приобретают научно-практические исследования, направленные на разработку высокоэффективных перспективных технологий, для проектирования которых необходимы новые методы и средства системного анализа. Отметим, что еще в 70-х годах профессор Imperial College (London) Sargent R.W.H. [374] говорил, что следует рассматривать задачи проектирования как задачи математического программирования, несмотря на их сложность и большую размерность. В 2004 году профессор университета Карнеги и Меллона Westerberg A.W. [426] также отметил, что основной целью системного анализа является разработка подходов и методов, позволяющих так сформулировать задачу, чтобы быстрее найти ее решение среди возможных альтернатив.

Последнее двадцатилетие прошлого века характеризуется становлением теории проектирования гибких или работоспособных химико-технологических систем (ХТС), для которых в изменяющихся условиях эксплуатации могут быть найдены управляющие параметры, при которых ХТС точно или с заданной вероятностью будет удовлетворять всем проектным требованиям. Условие гибкости ХТС было формализовано в 80-х годах профессором университета Карнеги и Меллона Игнассио Гроссманном в виде функции гибкости, неположительное значение которой гарантирует гибкость рассматриваемой ХТС. Несомненно, что создание новых перспективных энерго-ресурсосберегающих технологий невозможно без учета требования работоспособности ХТС в постановке задачи проектирования. Однако, до сих пор часто используется подход, основанный на применении коэффициентов запаса к оптимальным решениям, вычисленным в номинальной точке области неопределенности. Очевидно, что такое решение не гарантирует выполнение проектных требований в изменяющихся условиях функционирования, а также может привести к дорогостоящим проектам.

Стремление учесть неопределенность в исходной информации приводит к постановкам задач проектирования оптимальных ХТС в виде задач стохастической оптимизации, учитывающих неопределенность в различной форме как в критерии,

' Прогноз научно-технологического развития российской федерации на период до 2030 года

так и в ограничениях задачи. Сложность решения таких задач приводит с одной стороны к попыткам разработки подходов к решению узких классов задач стохастической оптимизации, с другой стороны к рассмотрению упрощенных постановок. Среди пионерских работ в постановке задач стохастической оптимизации и подходов к их решению в России следует отметить работы Б. Юдина, Ю.М. Ермольева, А. И. Кибзуна, за рубежом - A. Chames, W.W. Cooper, G. Symonds. Далее развитие области происходит благодаря работам I. Grossmann и его учеников, L. Biegler, Е. Pistikopoulos, В. Liu, A.Shapiro, M.Wendt, A. Ruszczyñski, D. Dentcheva, Г.JI. Дегтярева, Т.К. Сиразетдинова и других. Проблемами проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности в России занимаются Г.М. Островский, H.H. Зиятдинов, А.Ф. Егоров, С.И. Дворецкий, Д.С. Дворецкий, В.А. Холоднов, В.И. Елизаров, В.В. Елизаров

Стремительное развитие вычислительной техники и информационных технологий явилось стимулом развития методов аналитической и численной математики, что привело к выработке методологии моделирования систем и появлению широкого спектра программных пакетов моделирования и оптимизации сложных систем, в том числе и химико-технологических. Системный подход к решению задач проектирования также опирается на достижения современной математики и вычислительной техники, при этом используются модели теории вероятностей, математической статистики, теории исследования операций, теории больших систем и др. Однако в области проектирования оптимальных работоспособных ХТС нет единой методологии и общего подхода к решению задач в различных формальных постановках.

Исходя из сказанного, очевидна актуальность систематизации существующих постановок задач проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности в исходной информации, разработки универсальных подходов к их решению и интеграции подходов в единую методологию решения этих задач.

Целью работы является: разработка основ методологии решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом частичной неопределенности в исходной информации.

Для ее достижения были выделены следующие основные задачи:

1. Проанализировать существующие постановки задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности с целью их классификации, выявления факторов, влияющих на постановки, и элементов, определяющих сложность решения.

2. Формализовать новые постановки задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности в исходной информации для расширения области применения предлагаемой методологии.

3. Разработать эффективные подходы и алгоритмы, а также их программную реализацию для решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности.

4. Объединить разработанные подходы в единую методологию решения задач проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности.

5. Исследовать эффективность предложенных подходов и алгоритмов на решении задач проектирования оптимальных химико-технологических систем.

Научная новизна. В качестве результатов, определяющих научную новизну работы, следует указать следующие:

¡.Проведена формализация двухэтапной задачи оптимизации с вероятностными ограничениями и функцией цели в виде математического ожидания оценки эффективности функционирования ХТС.

2. Разработаны процедуры преобразования компонентов задач стохастической нелинейной оптимизации, позволяющие снизить вычислительную сложность решаемых задач:

- для двухэтапных задач оптимизации предложены аппроксимации зависимости управляющих поисковых переменных от неопределенных параметров, представленные кусочно-постоянными или кусочно-линейными функциями;

- аппроксимации критерия одно- и двухэтапных задач оптимизации, имеющего вид математического ожидания оценки эффективности работы ХТС за период функционирования, что позволило избавиться на каждом шаге решения задачи от операций многомерного интегрирования;

- сведения решения задач недифференцируемой многоэкстремальной оптимизации вычисления функции гибкости и теста структурной гибкости ХТС к решению последовательности задач полу бесконечного программирования;

- преобразования вероятностных ограничений в детерминированные для случая нормально распределенных и статистически независимых неопределенных параметров, в результате чего исключается необходимость вычисления многомерных интегралов при вычислении значений ограничений на каждом шаге решения одно- и двухэтапных задач оптимизации;

- использования либо распределения х2, либо перехода к статистически взаимно независимым случайным величинам, в случае статистически взаимозависимых нормально распределенных неопределенных параметров.

3. Для двухэтапных задач оптимизации с жесткими ограничениями, представленными в виде ограничения на значение функции гибкости, с учетом вышеперечисленных процедур разработаны:

- модификация метода внешней аппроксимации для решения задачи полубесконечного программирования вычисления значения верхней оценки значения функции гибкости ХТС. Разработана адаптация предложенной модификации для вычисления значения верхней оценки теста структурной гибкости ХТС;

- модификация метода разбиения и границ для вычисления значения функции гибкости ХТС, основанная на вычислении верхней и нижней оценок искомой величины, снижающая вычислительные затраты на получение решения и включающая предложенный метод вычисления верхней оценки функции гибкости. Проведена адаптация предложенной модификации для вычисления значения теста структурной гибкости ХТС;

- модификация метода внешней аппроксимации решения задачи полубесконечного программирования вычисления нижней оценки критерия двухэтапной задачи оптимизации с жесткими ограничениями. В разработанном методе проведено совмещение процедур дискретизации области неопределенности алгоритма вычисления значения функции гибкости и алгоритма оценки критерия двухэтапной задачи, что позволило снизить вычислительные затраты на получение решения.

4. С использованием предложенных процедур преобразования компонентов задач разработаны модификации метода внешней аппроксимации для вычисления верхних оценок критериев одно- и двухэтапных задач оптимизации с вероятностными ограничениями, что позволило учесть зависимость областей максимизации от поисковых переменных решаемой задачи.

5. Разработаны итерационные процедуры уточнения верхних и нижних оценок критериев одно- и двухэтапных задач оптимизации с вероятностными ограничениями, основанные на разбиении области неопределенности, вследствие чего на каждом шаге решения задачи проводится уточнение аппроксимаций вероятностных ограничений; критерия, имеющего вид математического ожидания; и уточнение зависимости управляющих переменных от значений неопределенных параметров для двухэтапных задач оптимизации.

6. Использование подходов и процедур, предложенных для решения задач стохастической оптимизации с критерием в виде математического ожидания и с учетом жестких или вероятно