автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимизация химико-технологических систем при неопределенности исходной информации. Методы и программная реализация

На правах рукописи

ЛЕБЕДЕВА МАРИНА ЮРЬЕВНА

ОПТИМИЗАЦИЯ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ. МЕТОДЫ И ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

Санкт-Петербург 2005 г.

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Санкт-Петербургском государственном технологическом институте (техническом университете)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Холоднов Владислав Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Зубарев Юрий Яковлевич

Ведущая организация -

кандидат технических наук, доцент Сафронова Марианна Рафаэловна

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

Защита диссертации состоится 19 мая 2005 г. на заседании диссертационного совета Д 212.230.03 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Санкт-Петербургском государственном технологическом институте (техническом университете) по адресу: 190013, г. Санкт-Петербург, Московский пр., д.26.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах, заверенных печатью) просим направлять по адресу: 190013, Санкт-Петербург, Московский пр., д.26, Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Ученый совет.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке института.

Автореферат разослан « » 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

В.И. Халимон

/

20%^ 2 2 {330

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Оптимальное проектирование химико-технологических систем (ХТС) осложняется наличием неопределенностей в физической, химической, экономической и технологической информации, которые заложены в основу математического описания (МО) ХТС. Используемые методы моделирования и оптимизации ХТС ориентируются на средние значения неопределенных параметров и не позволяют гарантировать найденный режим функционирования системы для всего диапазона условий, которые могут возникать в процессе эксплуатации. Исследование гибкости ХТС, т.е. ее работоспособности для всего диапазона условий функционирования - это первый шаг, который должен быть сделан для оценки качества проектируемой системы. В силу этого обстоятельства проблеме учета неопределенностей в задаче оптимального проектирования ХТС в последнее время уделяется большое внимание.

В работе рассматриваются задачи оптимизации стационарных непрерывных ХТС в условиях существования двух типов неопределенности:

- информационной, связанной с неточностью исходных данных при проектировании системы,

- модельной, связанной с неточностью применяемых при моделировании и оптимизации математических моделей.

Как в том, так и в другом случае, для характеристики неопределенных параметров используются либо интервальные оценки параметров (интервальная неопределенность), либо их представление в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения (вероятностная неопределенность).

В последние годы появилось достаточно много работ теоретического плана, в которых рассматриваются методы решения подобного рода задач. Вместе с тем следует отметить, что в научной литературе практически отсутствует программное обеспечение для реализации данных методов и не освещены в полной мере решения конкретных задач химической технологии при неопределенности исходной информации.

В данной работе на двух примерах, типичных для химической технологии, рассматриваются как известные, так и разработанные в рамках диссертации методы и программы для моделирования и оптимизации ХТС с учетом указанных выше неопределенностей исходной информации.

Это дает основание утверждать, что научная проблема, сформулированная в диссертации, является актуальной.

Решение этой проблемы позволяет нЩ^ЩЩ>^^>ндпопеление сложных процессов в изменяющихся условиях фдаиЩйВЗДй^111^ £истем-

Пель диссертационной работы: разработать методы для моделирования и оптимизации непрерывных стационарных ХТС при неопределенности исходной информации и предложить их программную реализацию с использованием компьютерных технологий.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

■ В условиях интервальной информационной неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом:

1. Проведение вычислительного эксперимента на математической модели процесса с целью получения зависимости целевой функции (ЦФ) от управляющих переменных и неопределенных параметров.

2. Оптимизация с минимальной чувствительностью к неопределенным параметрам, к неточности осуществления оптимального режима, поиск компромиссного решения и оптимизация с использованием стратегии минимакса на основе предложенной автором аппроксимации ЦФ с учетом структуры уравнений МО.

■ В условиях вероятностной неопределенности параметров с использованием их характеристик в виде случайных величин с известными законами и параметрами распределения.

Для последовательности экстракторов с рециклом:

3. Оптимизация ЦФ с использованием метода Монте-Карло для вычисления многомерного интеграла на основе учета структуры уравнений МО и с использованием приближенной зависимости ЦФ от оптимизирующих и неопределенных параметров при вычислении многомерного интеграла.

Для ХТС синтеза нитрила акриловой кислоты:

4. Проведение вычислительного эксперимента на математической модели процесса с целью получения зависимости температуры в реакторе от неопределенных параметров. Расчет математического ожидания значения температуры в реакторе с использованием метода Монте-Карло и на основе аппроксимационной зависимости с различными законами распределения вероятности. Разработка метода, учитывающего степень влияния неопределенных параметров на значение ЦФ.

5. Проведение сравнительного анализа значений математического ожидания температур в реакторе, полученных с помощью традиционного и предложенного методов.

6. Разработка программы поиска оптимального набора свободных переменных при оптимизации ХТС в условиях неопределенности на основе учета структуры уравнений МО и программы для построения методом Брандона статистической модели ЦФ в условиях неопределенности.

7. Тестирование разработанных методов и программ на примере конкретных ХТеТ"*'- !

... <*л *"

Методы исследования. В ходе выполнения диссертационной работы были использованы разделы дисциплин: системный анализ, математический анализ и статистика, математическое моделирование и оптимизация химико-технологических процессов и систем, нелинейное и стохастическое программирование, вычислительная математика, современные системы компьютерной математики.

Обоснованность научных результатов обеспечивается применением строгих математических методов решения задач оптимизации и тестированием программ на контрольных примерах.

Достоверность теоретических разработок подтверждена совпадением результатов вычислительного эксперимента на ЭВМ с данными литературы, что позволяет сделать вывод об эффективности разработанных методов оптимизации ХТС при неопределенности исходной информации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы, основанные на построении аппроксимирующей модели ЦФ с учетом структуры уравнений МО.

2. Анализ традиционного и предложенного методов решения задач оптимизации ХТС в условиях неопределенности.

3. Метод статистических испытаний при реализации стратегии минимакса.

4. Программная реализация решения задач оптимизации в условиях интервальной неопределенности.

Научная новизна.

1. Разработан, обоснован и протестирован предложенный автором метод решения задач оптимизации ХТС с учетом интервальной и вероятностной неопределенностей исходной информации на основе зависимости ЦФ от неопределенных параметров и управляющих переменных.

2. Разработан метод и его программная реализация оптимизации ХТС в условиях модельной вероятностной неопределенности информации, позволяющий за счет специальной аппроксимации ЦФ существенно упростить вычисление многомерных интегралов.

3. Разработан метод, учитывающий степень влияния переменных при оптимизации ХТС в условиях неопределенности информации, позволяющий существенно упростить вычисление математического ожидания ЦФ с помощью многомерных интегралов.

Практическая значимость. На основе теоретических результатов работы предложены и разработаны алгоритмы и программы для решения задач оптимизации ХТС в условиях неопределенности исходной информации. Для иллюстрации работоспособности предлагаемых методов и алгоритмов решены задачи по комплексному исследованию ХТС с

применением современных технологий системного анализа и вычислительного эксперимента на ЭВМ.

Реализация результатов работы. Метод аппроксимации ЦФ вносит вклад в развитие приближенных аналитических методов исследований на Предварительном этапе математического моделирования и оптимизации ХТС при неопределенности исходной информации. Разработанные методы, алгоритмы и программы используются при проведении лабораторных работ для студентов Санкт-Петербургского государственного технологического института.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских и международных научных конференциях: «Логистика и экономика ресурсосбережения и энергоснабжения в промышленности», Москва, РХТУ, 2002 г.; «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-16», Санкт-Петербург, 2003 г.; «Математические методы в технике й технологиях ММТТ-17», Кострома, 2004 г.; «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск, 2003 г., 2004 г.; «Современные информационные технологии в медицине и экологии», Москва 2003 г.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 15 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы. Работа изложена на 137 страницах основного текста, содержит 55 рисунков, 28 таблиц, приложения, библиографический список литературы включает 100 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность решаемой научной проблемы, показана её практическая значимость, сформулированы цель и задачи исследования, приведены положения, выносимые на защиту, показана их научная новизна и практическая значимость.

В первой главе проведен анализ существующих методов решения задач оптимизации и обоснованы задачи исследования. В работе рассматривается интервальное и вероятностное описание неопределенной информации.

Интервальная неопределенность предполагает естественную для задач химической технологии ограниченность факторов и их представление диапазоном возможных значений переменных.

Вероятностная неопределенность предполагает наличие характеристик неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения.

На основании обзора литературы были сформулированы цель и основные задачи диссертации.

Во второй главе изложены методы решения различных задач оптимизации непрерывных стационарных ХТС в условиях интервальной неопределенности информации. Рассмотрены следующие источники неопределенности информации:

■ исходная неточность коэффициентов и параметров физико-химических веществ в математических моделях;

■ изменение внешних условий функционирования системы;

■ изменение экономических условий функционирования системы. Дается постановка двух задач оптимизации ХТС в условиях

неопределенности при заданном векторе конструктивных параметров.

1. Задача стохастического программирования для минимизации целевой функции И. при интервальной неопределенности параметров имеет вид:

г, = тт{Л(и,,и2,...,и4,х1,ж2 >••■»*„)} >

«г. х

у,(и,х)<. 0.

V/«/

2. Задача стохастического программирования для минимизации целевой функции Я с использованием характеристики неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения имеет вид:

=щп{М{К(щ,иг,...,ик,хк,х1,...,хм)}),

"" ЧхсХ

с вычислением вероятности полученного минимального значения. Здесь:

и - к-вектор управляющих переменных с областью допустимых значений и, О, еГ7;Г/ = {Ум, : М" и, < и, < вирм,}),? =

1 я

х - ш-вектор неопределенных параметров с заданными интервалами допустимых значений

- для задачи 1 (х, е Х\ X - {V* :х <х <вир х,}), г = (1,..., т),

1 I

- для задачи 2 пределы изменения неопределенных параметров имеют вид: м[х\-Ъа[х\<х,<М[х\+Ъо[х], где м[х\а\х] - заданные значения математического ожидания и среднеквадратичного отклонения случайных величин;

- ограничения, которые должны выполняться при всех хеХ, M{R(.u„u2,..Mt,x„x2,..*„)} = J Г...ГЛ(м„и2.....и„*,,х,,...,*„) • />,(*,)• p¿x2) ■ ...■ pm(xm)dxv.ubc.

Vie Ж Vuetl х ЛеЛ-

- математическое ожидание значения целевой функции;

P\{x\),Pi{xi),-■ ■,рт(хт) - известные распределения плотности вероятности

неопределенных параметров в виде независимых случайных величин.

Предлагается метод решения задач оптимизации непрерывных стационарных ХТС в условиях неопределенности на основе аппроксимационной зависимости ЦФ от неопределенных параметров и оптимизирующих переменных в соответствующей ограничениям области поиска. Функциональная зависимость критерия оптимизации от оптимизирующих и неопределенных параметров R = F(u¡,...,uk,xl,...,xm) строится с помощью вычислительного эксперимента на модели ХТС. Полученную таким образом зависимость предлагается использовать на следующем этапе для приближенного решения задачи оптимизации ХТС в условиях неопределенности. Это позволяет сопоставлять и оценивать влияние различных параметров на ЦФ в любой точке поиска.

В этом состоит достоинство предлагаемого метода. При выборе численных значений неопределенных параметров и оптимизирующих переменных используются идеи планирования эксперимента.

Так как для каждого неопределенного параметра и оптимизирующей переменной заданы значения нижней и верхней границы, то с использованием случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0;1], можно сгенерировать N векторных значений неопределенных параметров и оптимизирующих переменных по формулам:

= Ír)f Х. + Slu "X,~\nfx,), u^ = inf u,+ slLj ■ (sup Ut - inf U,),

где s/y, s/y - случайные числа, равномерно распределенные на интервале [0;1], й(1)/и, 1=\{\)к, j=l(l)W.

На основе вычислительного эксперимента с использованием метода Брандона строится приближенная зависимость критерия оптимизации от оптимизирующих и неопределенных параметров.

Предложенный ранее метод оптимизации ХТС с учетом структуры уравнений МО позволяет избежать многочисленных расчетов.

В качестве объекта исследования рассматривается типичная для химической технологии задача оптимизации ХТС о нахождении максимума величины дохода в условиях интервальной информационной неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом.

юг

Рис.1. Последовательность экстракторов с рециклом

В ХТС поступает сточная вода с определенным содержанием примеси, которая извлекается в экстракторах 2, 3, 4 с помощью экстрагента. Часть не извлеченной примеси возвращается на вход в систему.

МО рассматриваемой ХТС представим в виде уравнений материального баланса:

е-д^+сдх^ссйг+с)-*, (1)

(С + Сфх.-^^Чб + бЯ)-** (2)

(3)

(О + ОРЬ-Хг-Щг^у^^ + ОЩ-Хь (4)

Л =/(*.) (5)

(С7+ел)-*1-г4-,у4 = (е+ея)-х4 (6)

Л =/(*«) (7)

В качестве критерия оптимизации Л принята величина дохода от установки:

Соотношения для уравнений равновесия между фазами экстракта и рафината имеют вид:

¡2.5 • х. + 3.7 • х.2 -113 • х. 5 0.1 У,=\ , , . 1 = 2,3,4

[3.94 ■ х, - 29.6 • х,2 + 74 • х) х, > 0.1

Здесь приняты следующие обозначения: С, СЛ - расходы входного потока и потока рецикла, кмоль/час; х/. X/, у, - концентрации извлекаемого вещества во входном потоке, в соответствующем потоке экстракта и рафината, мольные доли; Щ, т, - расходы экстрагента, кмоль/час;

а, Я - стоимости растворителя и извлекаемого вещества а = 0.05, Х~ 1.

в = 1,бЯ = 1.x, =0.2

Ограничения на управляющие переменные: 0.2 < Щ < 0.7, / = 2,3,4.

Расчет ХТС для каждого вычислительного эксперимента проводится с использованием наиболее перспективного метода, основанного на учете структуры уравнений МО.

По разработанной автором программе в качестве оптимизирующих найдены переменные Ж2, Щ, х3. При этом расчет ХТС осуществляется без итераций. В качестве неопределенных параметров выбраны: расход входного потока, концентрация извлекаемого вещества во входном потоке, относительная стоимость растворителя. Были приняты следующие интервалы изменения численных значений неопределенных параметров: Се[0.8, 1.2], е[0.19, 0.21], а€[0.04, 0.06].

На основе вычислительного эксперимента были получены исходные данные, необходимые для определения функциональной зависимости величины дохода от оптимизирующих переменных и неопределенных параметров. Достоверность вычислительного эксперимента подтверждается совпадением полученных и приведенных в литературе результатов.

С помощью разработанной нами программы и с учетом ограничений на численные значения неопределенных параметров и управляющих переменных аппроксимирующее значение дохода было получено в виде:

я = МО) • /2(ху)- /,(«) • /ЛЮ- /Ж) ■ МЮ (9)

Каждая из функций, входящая в это выражение, представляет собой полином второй степени: Г(х)=а)-х2+а2-х+аз. Численные значения коэффициентов для соответствующих полиномов приведены в таблице:

Таблица 1

Численные значения коэффициентов _

№ Полином а> а2 аз

1 «О) -0.27 0.62 -0.24

2 Ыъ) 27.54 -10.83 1.1

3 т 263.01 -29.18 1.07

4 -2.81 3.26 0.88

5 -9.19 4.89 6.12

6 -17.73 14.80 5.41

Относительная погрешность аппроксимации составила менее 5%.

Для решения задачи оптимизации этой ХТС в условиях рассматриваемой неопределенности воспользуемся значениями чувствительности критерия оптимизации по соответствующим неопределенным параметрам:

I { = дк I

1 ЗСг' 2 йсу' 3 да

С их помощью задача о нахождении максимума величины дохода с ее минимальной чувствительностью к неопределенным параметрам была решена в системе компьютерной математики Майгсаё в соответствии с модифицированным критерием:

&модиф

где ? - «штрафная» функция, /=/|2+/22+?з2-

Задача оптимизации сводится к нахождению максимума Ямодиф по управляющим переменным.

Соответствующие значения частных производных были найдены по полученной аппроксимации величины дохода с помощью инструмента символьной математики МаШсай.

Достоверность полученных результатов оптимизации ХТС для последовательности экстракторов с рециклом подтверждается совпадением результатов, полученных по модели (уравнения 1-8) и приближенной модели (уравнение 9).

Предлагаемый метод позволяет решать задачу о нахождении максимума величины дохода с ее минимальной чувствительностью к управляющим переменным, что позволяет определить чувствительность критерия оптимизации к неточности осуществления оптимального режима. Если некоторое отклонение от оптимального режима приводит лишь к мальм потерям, но удобно с технологической точки зрения, то такое изменение режима может быть оправдано.

Для этого вводятся вторые производные от функции Л (критерия оптимизации) по управляющим переменным:

д2Я д2К д2Я

V, =-г-, У2 =-г, =-г.

Ш? дЩ2 дЖ42

С их учетом критерий оптимизации представляется в следующем модифицированном виде:

&модиф\ = Л - V,

где у = у,2+у|+у|.

Задача оптимизации - найти максимум КМОдиф\- Соответствующие значения частных производных были рассчитаны по полученной аппроксимации критерия оптимизации с помощью инструмента символьной математики МаЛсаё.

Предлагаемый метод позволяет также решать задачу поиска компромиссного решения максимума величины дохода с ее минимальной чувствительностью к управляющим переменным и неопределенным параметрам. В этом случае критерий оптимизации имеет следующий вид:

Кы>иф1 = Ä - av - (1 - a)t, где a - весовой коэффициент, учитывающий вклад того или иного показателя в критерий оптимизации. В работе представлены результаты решения задачи для значения а=0.5.

В этой же главе рассматривается решение задачи оптимизации ХГС с использованием стратегии минимакса по модели (уравнения 1-8):

К

Для охвата области допустимых значений неопределенных параметров используется метод статистических испытаний с использованием чисел, равномерно распределенных на интервале [0,1].

В третьей главе рассматриваются методы оптимизации ХТС в условиях вероятностной неопределенности с использованием характеристики неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения.

Для решения этой задачи предлагается использовать аппроксимацию ЦФ с помощью метода Брандона. С помощью этого метода ЦФ может быть представлена в виде произведения соответствующих функций: F(m, ,и2 ,х, ,х2,.. .,*„) = /; (и, )• /2 (н2 )•...• fk (ик )• ф, (*,)• ф2 (х2) •...• ф„ (хJ

С учетом этого обстоятельства математическое ожидание целевой функции F(u\, щ,..., и\1,х\,х2,...,хт) в зависимости от величины неопределенных параметров в виде независимых случайных величин (xi,x2,...,xm) с известными распределениями плотности вероятности неопределенных параметровр\(х{), р2(х2),. ■рт{хт) может быть определено по формуле:

(A/{F(m,, M2,...,Mt,x,,x2,...,x(.)}) = yj(MI)-/2(«2 )•...•/t (м4) • М{ф (хх,хг,...,хК)}, где

М{ф(х, ,хг )} = J J... |ф(х, х2 ,...,*„) • рх (х, )...рп (х Ji&, „Д, .

X "X

С учетом специфики аппроксимации методом Брандона последнее выражение можно представить в следующем виде:

sup* sup*! Кф*.

М{ф{х„х2,...,хт)} = 1<р,(л:,)•;>, (*,)<&,- J q>2(Xi)-p2{x2)dx2 ■...■ \<Рт{хт)-pm(xm)dxm.

inf яг, mf*i tnfxB

Таким образом, задача нахождения максимума математического ожидания ЦФ может быть представлена в следующем виде:

max (M{F(ux,u2,..ul,xi,x2,..xJ}) = шах Ш«,)-/^2)-.../к(ик)-МЩх„х2,..хт)}}.

Для последовательности экстракторов с рециклом решается задача максимизации математического ожидания величины дохода по оптимизирующим переменным для всего диапазона изменения неопределенных параметров с учетом нормального распределения плотности вероятности неопределенных параметров. В этом случае:

где M[X] = m - математическое ожидание соответствующего неопределенного параметра,

ЩХ] = а2- дисперсия соответствующего неопределенного параметра.

Сравниваются два метода решения задачи: традиционный и

предлагаемый. Задача максимизации математического ожидания величины

дохода для последовательности экстракторов с рециклом (рис. 1) может

быть представлена в следующем традиционном виде: 006 0.21 1 2

шах U[f(fVz,fr„x3)]= max \ \ \R(W2,W3,х,,G,xf,а)■ p(G)■ p(xf )-p(a) dG-dxf ■ da

tVj f¥j Xj

0 04 0 19 0 8

Вычисление многомерного интеграла на основе аппроксимации связано с серьезными вычислительными трудностями. Для их преодоления в данной работе при вычислении многомерных интегралов используется метод Монте-Карло, и на перспективу рассматриваются вопросы распараллеливания вычислений. Значение интеграла рассчитывалось по формуле:

в результате N вариантов статистических расчетов подынтегральной функции для случайной величины равномерно распределенной на интервале [0,1].

Область интегрирования представляет собой л-мерный прямоугольник, который можно однозначно задать двумя вершинами: нижние пределы интегрирования - т=(т\,...,тк...,т„) и верхние пределы

п

интегрирования - М = (А/,,..М,,...Мп). Объем множества К: Vk=Y\{М, ~т<)

Погрешность интегрирования оценивается по стандартной ошибке и не зависит от выбранной доверительной вероятности:

Предлагаемый метод решения задачи имеет вид:

найти

шах max [/„(W,) /6\M{f}(G)■ /,(xf)■ /,(a)})],

где

12 0.21 006 M{/,(G) /2(x/)-/3(a)}= Jy¡(G).A(G)dG- J f2(x,)-p2(xf)dxf- \f¿a)-Pi{a)da.

08 019 004

Как видно, метод существенно упрощает процедуру решения задач

оптимизации в условиях рассматриваемой неопределенности.

Вычисленные значения плотности распределения ДДФ) и функции распределения РЩФ) при значении коэффициента вариабельности у[ЦФ]=0.2 приведены на рис. 2.

и = 0.2 а = 0.11 о М = 0.11 - 3 a Rsup = 0.11 + 3 а

R = Rmf.Eof+ 0.01 Rsup

/■R

F(R) =

dfiormlR,0.11,a;dR

dnorm'R.O 11, o)

20

F(R)

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

ffU Ы-

1 1 1 / А ^ ! _ . 1

1 / ~F \ !

. h 1 ' \!

\ 1

1 / и1 ! ижзя-а 1....... ;... К

0.04 0.08 0.12 0 16 0.2 R

Рис. 2. Значения плотности распределения и функции распределения

В этой главе на примере синтеза нитрила акриловой кислоты (НАК) рассматриваются вопросы исследования непрерывных стационарных ХТС в условиях модельной вероятностной неопределенности параметров МО. Исследование влияния неопределенных параметров на значение температуры в реакторе проводится с использованием учета структуры уравнений МО. Моделирование осуществляется с помощью системы компьютерной махематики Mathcad, электронной таблицы Excel и с помощью программы, разработанной автором.

В качестве неопределенных были приняты следующие параметры: удельные массовые теплоемкости xl-cpa, х2-срр, хЗ-cpl, х4-срг; коэффициенты теплопередачи верхнего и нижнего теплообменника реактора х5-Книз, хб-Кверх.

Численные значения неопределенных параметров принимались распределенными по нормальному закону с заданными значениями математического ожидания. Среднеквадратические отклонения были приняты: 20% от соответствующих математических ожиданий для удельных массовых теплоемкостей и 30% для коэффициентов теплопередачи.

С использованием полученной аппроксимации температуры в реакторе для вычисления математического ожидания рассматриваемой функции вместо вычисления 6-ти кратного интеграла, который требует многочасовых расчетов, предлагается следующая методика:

1) определяется степень влияния неопределенных параметров на значение ЦФ (в данном случае наиболее сильное влияние на ТгЗ оказывают 3 параметра - хЗ, х4, х5);

2) в формулу вычисления математического ожидания ЦФ включаются интегралы по тем переменным, которые оказывают наиболее сильное влияние (в нашем случае оказалось возможным использовать 3-х кратный интеграл по переменным х3, X4, х5), значения же остальных параметров были приняты средними.

Достоинство предложенного метода состоит в том, что он может быть легко использован и при других характеристиках неопределенных параметров в виде случайных величин. В работе представлены результаты расчета температуры в реакторе с использованием равномерного распределения неопределенных параметров на заданных интервалах. Для сравнения приведены результаты вычисления с помощью традиционного подхода и метода Монте-Карло для вычисления многомерного интеграла с использованием приближенной зависимости температуры в реакторе от неопределенных параметров.

В четвертой главе приводятся программы, разработанные автором и зарегистрированные в фонде алгоритмов и программ, которые могут быть использованы при решении задачи оптимизации ХТС в условиях неопределенности исходной информации. В главе приведены две программы:

■ для построения статистической модели целевой функции критерия оптимизации;

■ для выбора оптимального набора свободных переменных при оптимизации ХТС в условиях неопределенности на основе учета структуры уравнений МО.

При построении статистической модели предполагается, что ЦФ можно представить в виде произведения частных функций от неопределенных параметров и оптимизирующих переменных. Задача построения модели разбивается на этапы: ранжирование влияющих факторов, выбор вида функциональной частной зависимости и построение статистической модели. Затем возможно решение задачи оптимизации по найденной аппроксимации ЦФ. Программа написана на языке Delphi с удобным для пользователя интерфейсом через базу данных Access.

Для последовательности экстракторов с рециклом были получены следующие результаты аппроксимации величины дохода: корреляционное

отношение составило 0.97, средняя относительная оценка погрешности -3.2%.

Для ХТС синтеза HAK: корреляционное отношение составило 0.88, средняя относительная оценка погрешности - 2.8%. Для выбора оптимального набора свободных переменных предлагается использовать алгоритм, приведенный на рис. 3. Критерием выбора оптимизирующих переменных является минимальное число итерационных переменных.

На первом этапе для каждой неизвестной определяется число уравнений, в которые она входит. Осуществляется проверка принадлежности переменной множеству уже рассмотренных переменных или осуществляется занесение соответствующей переменной в это множество. В том случае, если неизвестная входит лишь в одно уравнение, то соответствующее уравнение и переменная запоминаются, при этом переменная является выходной краевой, то есть определяется последней. В зависимости от того существует или нет балансовое уравнение, переменная является итерационной или оптимизирующей. Определяется количество неизвестных, входящих в каждое уравнение системы. Среди этих уравнений отыскивается то, которое содержит наибольшее число неизвестных. Это уравнение и является балансовым. Соответствующее уравнение вычеркивается, а количество итерационных переменных увеличивается на 1. В соответствии с алгоритмом для последовательности экстракторов с рециклом в качестве оптимизирующих приняты переменные Щ, Щ, Хз. При таком выборе последовательность решения уравнений и расчета неизвестных приведена в таблице 2. В этом случае расчет ХТС осуществляется без итераций.

Таблица 2.

_Таблица связей_

Исходная Преобразованная

Уравнения Неизвестные, входящие в уравнение Уравнения Выходные переменные

1 х4, xl 5 уз

2 xl, W2, у2, х2 4 х2

3 х2,у2 3 У2

4 х2, W3, уЗ, хЗ 2 xl

5 хЗ,уЗ 1 х4

6 хЗ, W4, у4, х4 7 у4

7 х4, у4 6 W4

8 R, х4, W2, W3, W4 8 R

Г

Рис. 3. Блок-схема определения оптимального набора оптимизирующих

Переменных

Выводы

В результате анализа литературы, научного поиска (в том числе в сети Интернет) и выполненной работы получены следующие результаты:

1. Проведено комплексное исследование научных и прикладных проблем оптимизации ХТС в условиях неопределенности с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

2. В научной литературе практически отсутствует программное обеспечение для решения задач оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности и не освещены в полной мере решения конкретных задач химической технологии.

3. Традиционные методы моделирования и оптимизации ХТС, ориентированные на средние значения неопределенных параметров, не гарантируют найденный режим функционирования системы для всего диапазона условий, которые возникают в процессе эксплуатации системы.

4. Разработан приближенный метод решения задач оптимизации ХТС при неопределенности исходной информации на основе аппроксимирующей модели ЦФ, построенной с использованием вычислительного эксперимента, с учетом структуры уравнений МО.

5. Предложен метод и его программная реализация для оптимизации ХТС в условиях неопределенности информации с использованием характеристик неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения.

6. Метод аппроксимации ЦФ позволяет существенно упростить вычисление многомерных интегралов. Учет степени влияния неопределенных параметров при оптимизации ХТС значительно упрощает вычисление математического ожидания ЦФ.

7. Разработанные методы были протестированы с помощью вычислительных экспериментов на ЭВМ при моделировании и оптимизации в условиях неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом и моделирования ХТС синтеза нитрила акриловой кислоты.

8. Все задачи доведены до уровня законченных приложений с развитым графическим интерфейсом и с заложенными в них функциями параметрической перестройки в процессе тестирования и эксплуатации.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Лебедева М.Ю., Холодное В.А., Дли М.И. Компьютерные технологии решения задач оптимизации с учетом неопределенности исходной информации // Сборник трудов Международной научно-практической конференции «Логистика и экономика ресурсосбережения и энергоснабжения в промышленности». - Москва: РХТУ, 2002. - С.26.

2. Холодное В.А., Лебедева М.Ю., Дли М.И. Оптимизация в условиях неопределенности на основе дискретизации параметров модели // Сборник трудов 16 Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-16». - Ростов-на-Дону: Изд. РГАСХМ., 2003, Т.8. - С.13.

3. Лебедева М.Ю., Холодное В.А., Дли М.И. Оптимизация в условиях неопределенности на основе чувствительности // Сборник трудов 16 Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-16». - Ростов-на-Дону: Изд. РГАСХМ., 2003, Т.8. - С. 14.

4. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А., Дли М.И. Оптимизация в условиях неопределенности на основе стратегии минимакса // Сборник трудов 16 Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-16». - Ростов-на-Дону: Изд. РГАСХМ., 2003, Т.8. - С.13.

5. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А., Дли М.И. Решение задачи оптимизации в условиях интервальной неопределенности // Материалы Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения». - Смоленск: СГПУ, 2003. - С.36-38.

6. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А., Дли М.И., Вениамином Г.Н. Программный продукт для построения статистической модели многомерного технологического объекта // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Современные информационные технологии в медицине и экологии, Смоленск 2003 г.». М.: Физматлит, 2003. - С.217-220.

7. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А., Дли М.И. Математическая модель экологии реки в условиях неопределенности информации // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Современные информационные технологии в медицине и экологии, Смоленск 2003 г.». -М.: Физматлит, 2003. - С.258-261.

8. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А., Дли М.И. Математическая модель экологии одной ячейки реки в условиях неопределенности информации // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Современные информационные технологии в медицине и экологии, Смоленск 2003 г.». - М.: Физматлит, 2003. - С.261-264.

9. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А. Оптимизация последовательности экстракторов в условиях интервальной неопределенности // Известия вузов. Химия и химическая технология. 2003. Т.46, вып. 5. - С.47-50.

10. Лебедева М.Ю., Ананченко А.Г., Холоднов В.А., Дли М.И. Использование чувствительности химико-технологических систем при оптимизации в условиях интервальной неопределенности // Сборник трудов 17 Международной научной конференции «Математические

20

В-7234

методы в технике и технологиях ММТТ *" -С. 121-122.

11. Лебедева М.Ю., Холодное В. технологической системы получения // Известия вузов. Химия и химическ С. 137-140.

12. Лебедева М.Ю., Холодное В технологической системы получения в условиях интервальной неопределе химическая технология. 2004. Т.47, выи

13. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А., Дли М.И. Исследование химико-технологической системы синтеза нитрила акриловой кислоты в условиях неопределенности // Известия вузов. Химия и химическая технология. 2004. Т.47, вып .9. - С.69-75.

14. Лебедева М.Ю, Холоднов В.А. «Программа для построения статистических моделей методом Брандона», № ОФАП-4397 от 05.03.05, № госрегистрации - 50200500248 от 10.03.05.

15. Лебедева М.Ю., Нешин К.Г., Холоднов В.А. «Программа для обработки данных методом МГУ А», № ОФАП-4398 от 05.03.05, № госрегистрации - 50200500249 от 10.03.05.

РЫБ Русский фонд

2006-4 26387

13.04.05г. Зак. 46-65 РТПИК «Синтез» Московский пр., 26

Введение

1. Анализ существующих методов решения задач оптимизации ХТС в условиях неопределенности информации

1.1. Виды неопределенности информации

1.2. Учет неопределенности информации при математическом моделировании и оптимизации ХТС

1.3. Выбор стратегии для проектирования ХТС при наличии неопределенности информации

1.4. Задачи стохастического программирования 27 1.4.1. Основные понятия

Выводы по главе

2. Оптимизация непрерывных стационарных ХТС в условиях интервальной неопределенности информации

2.1. Постановка задачи оптимизации ХТС в условиях неопределенности информации

2.2. Методы оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности

2.2.1. Описание предлагаемого приближенного метода оптимизации

2.2.2. Приближенное решение задачи оптимизации для последовательности экстракторов с рециклом в условиях интервальной неопределенности

2.2.3. Приближенное решение задачи оптимизации для последовательности экстракторов с рециклом с использованием методов теории чувствительности

2.2.4. Использование стратегии минимакса для последовательности экстракторов с рециклом Выводы по главе

3. Оптимизация ХТС в условиях неопределенности с использованием характеристики неопределенных параметров в виде случайных независимых величин с известными законами и параметрами распределения

3.1. Постановка задачи

3.2. Описание метода Монте-Карло для вычисления многомерных интегралов

3.2.1. Принцип работы метода Монте-Карло

3.2.2. Применение метода нахождения среднего значения функции для вычисления N-мерного интеграла

3.2.3. Статистическая оценка погрешности метода Монте-Карло

3.3. Оптимизация математического ожидания целевой функции с учетом неопределенности параметров для последовательности экстракторов с рециклом

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Оптимизация с использованием метода Монте-Карло для вычисления многомерного интеграла

3.3.3. Оптимизация с использованием приближенной зависимости критерия оптимизации от оптимизирующих и неопределенных параметров при вычислении многомерного интеграла

3.4. Исследование влияния неопределенных параметров при математическом моделировании ХТС

3.4.1. ХТС синтеза нитрила акриловой кислоты

Выводы по главе

4. Описание программных продуктов, разработанных для решения задач оптимизации ХТС при неопределенности исходной информации

4.1. Описание программы для построения статистической модели ХТС методом Брандона в рамках электронной таблицы Excel 4.1.1. Построение математической модели по методу Брандона

4.1.2. Ранжирование влияющих факторов

4.1.3. Выбор вида зависимости и построение статистической модели

4.2. Описание программы, разработанной для построения статистической модели ХТС методом Брандона в среде Delphi с использованием базы данных Access

4.3. Описание программы для выбора поисковых переменных при оптимизации ХТС при неопределенности исходной информации на основе учета структуры уравнений математического описания

4.3.1. Алгоритм выбора поисковых переменных для оптимизации ХТС с учетом неопределенности исходной информации

4.4.1. Тестирование работы алгоритма выбора поисковых переменных на примере последовательности экстракторов

4.4.2. Тестирование работы алгоритма декомпозиции уравнений математического описания Выводы по главе 4 125 Заключение 125 Список литературы

Актуальность работы. Оптимальное проектирование химико-технологических систем (ХТС) осложняется наличием неопределенностей в физической, химической, экономической и технологической информации, которые заложены в основу математического описания (МО) ХТС. Используемые методы моделирования и оптимизации ХТС ориентируются на средние значения неопределенных параметров и не позволяют гарантировать найденный режим функционирования системы для всего диапазона условий, которые могут возникать в процессе эксплуатации. Исследование гибкости ХТС, т.е. ее работоспособности для всего диапазона условий функционирования - это первый шаг, который должен быть сделан для оценки качества проектируемой системы. В силу этого обстоятельства проблеме учета неопределенностей в задаче оптимального проектирования ХТС в последнее время уделяется большое внимание.

В работе рассматриваются задачи оптимизации стационарных непрерывных ХТС в условиях существования двух типов неопределенности: информационной, связанной с неточностью исходных данных при проектировании системы и модельной, связанной с неточностью применяемых при моделировании и оптимизации математических моделей.

Как в том, так и в другом случае, для характеристики неопределенных параметров используются либо интервальные оценки параметров (интервальная неопределенность), либо их представление в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения (вероятностная неопределенность).

В последние годы появилось достаточно много работ теоретического плана, в которых рассматриваются методы решения подобного рода задач. Вместе с тем следует отметить, что в научной литературе практически отсутствует программное обеспечение для реализации данных методов и не освещены в полной мере решения конкретных задач химической технологии при неопределенности исходной информации.

В данной работе на двух примерах, типичных для химической технологии, рассматриваются как известные, так и разработанные в рамках диссертации методы и программы для моделирования и оптимизации ХТС с учетом указанных выше неопределенностей исходной информации. Это дает основание утверждать, что научная проблема, сформулированная в диссертации, является актуальной.

Решение этой проблемы позволяет прогнозировать поведение сложных процессов в изменяющихся условиях функционирования систем.

Цель диссертационной работы: разработать методы для моделирования и оптимизации непрерывных стационарных ХТС при неопределенности исходной информации и предложить их программную реализацию с использованием компьютерных технологий.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

В условиях интервальной информационной неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом:

1. Проведение вычислительного эксперимента на математической модели процесса с целью получения зависимости целевой функции (ЦФ) от управляющих переменных и неопределенных параметров.

2. Оптимизация с минимальной чувствительностью к неопределенным параметрам, к неточности осуществления оптимального режима, поиск компромиссного решения и оптимизация с использованием стратегии минимакса на основе предложенной автором аппроксимации ЦФ с учетом структуры уравнений МО.

В условиях вероятностной неопределенности параметров с использованием их характеристик в виде случайных величин с известными законами и параметрами распределения.

Для последовательности экстракторов с рециклом:

3. Оптимизация ЦФ с использованием метода Монте-Карло для вычисления многомерного интеграла на основе учета структуры уравнений МО и с использованием приближенной зависимости ЦФ от оптимизирующих и неопределенных параметров при вычислении многомерного интеграла.

Для ХТС синтеза нитрила акриловой кислоты:

4. Проведение вычислительного эксперимента на математической модели процесса с целью получения зависимости температуры в реакторе от неопределенных параметров. Расчет математического ожидания значения температуры в реакторе с использованием метода Монте-Карло и на основе аппрокси-мационной зависимости с различными законами распределения вероятности. Разработка метода, учитывающего степень влияния неопределенных параметров на значение ЦФ.

5. Проведение сравнительного анализа значений математического ожидания температур в реакторе, полученных с помощью традиционного и предложенного методов.

6. Разработка программы поиска оптимального набора свободных переменных при оптимизации ХТС в условиях неопределенности на основе учета структуры уравнений МО и программы для построения методом Брандона статистической модели ЦФ в условиях неопределенности.

7. Тестирование разработанных методов и программ на примере конкретных ХТС.

Методы исследования. В ходе выполнения диссертационной работы были использованы разделы дисциплин: системный анализ, математический анализ и статистика, математическое моделирование и оптимизация химико-технологических процессов и систем, нелинейное и стохастическое программирование, вычислительная математика, современные системы компьютерной математики.

Обоснованность научных результатов обеспечивается применением строгих математических методов решения задач оптимизации и тестированием программ на контрольных примерах.

Достоверность теоретических разработок подтверждена совпадением результатов вычислительного эксперимента на ЭВМ с данными литературы, что позволяет сделать вывод об эффективности разработанных методов оптимизации ХТС при неопределенности исходной информации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы, основанные на построении аппроксимирующей модели ЦФ с учетом структуры уравнений МО.

2. Анализ традиционного и предложенного методов решения задач оптимизации ХТС в условиях неопределенности.

3. Метод статистических испытаний при реализации стратегии минимакса.

4. Программная реализация решения задач оптимизации в условиях интервальной неопределенности.

Научная новизна.

1. Разработан, обоснован и протестирован предложенный автором метод решения задач оптимизации ХТС с учетом интервальной и вероятностной неопределенностей исходной информации на основе зависимости ЦФ от неопределенных параметров и управляющих переменных.

2. Разработан метод и его программная реализация оптимизации ХТС в условиях модельной вероятностной неопределенности информации, позволяющий за счет специальной аппроксимации ЦФ существенно упростить вычисление многомерных интегралов.

3. Разработан метод, учитывающий степень влияния переменных при оптимизации ХТС в условиях неопределенности информации, позволяющий существенно упростить вычисление математического ожидания ЦФ с помощью многомерных интегралов.

Практическая значимость. На основе теоретических результатов работы предложены и разработаны алгоритмы и программы для решения задач оптимизации ХТС в условиях неопределенности исходной информации. Для иллюстрации работоспособности предлагаемых методов и алгоритмов решены задачи по комплексному исследованию ХТС с применением современных технологий системного анализа и вычислительного эксперимента на ЭВМ.

Реализация результатов работы. Метод аппроксимации ЦФ вносит вклад в развитие приближенных аналитических методов исследований на предварительном этапе математического моделирования и оптимизации ХТС при неопределенности исходной информации. Разработанные методы, алгоритмы и программы используются при проведении лабораторных работ для студентов Санкт-Петербургского государственного технологического института и Смоленского филиала Московского энергетического института.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских и международных научных конференциях: «Логистика и экономика ресурсосбережения и энергоснабжения в промышленности», Москва, РХТУ, 2002 г.; «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-16», Санкт-Петербург, 2003 г.; «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-17», Кострома, 2004 г.; «Системы компьютерной математики и их приложения», Смоленск, 2003 г., 2004 г.; «Современные информационные технологии в медицине и экологии», Москва 2003 г.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 15 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, списка литературы. Работа изложена на 137 страницах основного текста, содержит 55 рисунков, 28 таблиц, библиографический список литературы включает 100 наименований.

Выводы по главе 4

1. Разработаны, обоснованы и протестированы на ЭВМ программы для построения статистических моделей ХТС.

2. Разработана, обоснована и протестирована на ЭВМ программа для оптимального выбора поисковых переменных при оптимизации ХТС на основе учета структуры уравнений математического описания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Выводы

В результате анализа литературы, научного поиска (в том числе в сети Интернет) и выполненной работы получены следующие результаты:

1. Проведено комплексное исследование научных и прикладных проблем оптимизации ХТС в условиях неопределенности с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

2. В научной литературе практически отсутствует программное обеспечение для решения задач оптимизации ХТС в условиях интервальной неопределенности и не освещены в полной мере решения конкретных задач химической технологии.

3. Традиционные методы моделирования и оптимизации ХТС, ориентированные на средние значения неопределенных параметров, не гарантируют найденный режим функционирования системы для всего диапазона условий, которые возникают в процессе эксплуатации системы.

4. Разработан приближенный метод решения задач оптимизации ХТС при неопределенности исходной информации на основе аппроксимирующей модели ЦФ, построенной с использованием вычислительного эксперимента, с учетом структуры уравнений МО.

5. Предложен метод и его программная реализация для оптимизации ХТС в условиях неопределенности информации с использованием характеристик неопределенных параметров в виде независимых случайных величин с известными законами и параметрами распределения.

6. Метод аппроксимации ЦФ позволяет существенно упростить вычисление многомерных интегралов. Учет степени влияния неопределенных параметров при оптимизации ХТС значительно упрощает вычисление математического ожидания ЦФ.

7. Разработанные методы были протестированы с помощью вычислительных экспериментов на ЭВМ при моделировании и оптимизации в условиях неопределенности для последовательности экстракторов с рециклом и моделирования ХТС синтеза нитрила акриловой кислоты.

8. Все задачи доведены до уровня законченных приложений с развитым графическим интерфейсом и с заложенными в них функциями параметрической перестройки в процессе тестирования и эксплуатации.

1. Адлер Ю.П., Грановский Н.В. Обзор прикладных работ по планированию эксперимента.-М.: Изд. Моск. Ун-та, 1972.- 125 с.

2. Андросов И.В., Халепа Н.В., Цибизов Г.В. Оптимизация и оптимальное проектирование объектов химической технологии с применением ЭВМ-Тула, 1993.-171 с.

3. Арис Р. Анализ процессов в химических реакторах — JL: Химия, 1987 — 327с.

4. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии. — М.: Высшая школа, 1978. — 319 с.

5. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. М.: Высшая школа, 1985.-С. 205.

6. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1988.- 128 с.

7. Фактор неопределенности при принятии оптимальных решений в больших системах энергетики / Под ред. Л.С. Беляева, А.П. Меренкова и Л.С. Попырина. Иркутск: СЭИ СО АНСССР, 1974. T.I.- 253с.; т.2.- 184с.; т.З.-166 с.

8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969 — 576 с.

9. Викторов В.К., Кузичкйн Н.В., Вениаминова Г.Н. и др. Методы оптимизации химико-технологических систем: Учебное пособие. — СПб.: Изд. СПб ГТУ, 1999.-164 с.

10. Ю.Бусалаев И.В. Анализ и планирование воднохозяйственных систем в условиях неопределенности // Водные ресурсы.- 1973. №5.- С. 174-175.

11. П.Володин В.М., Бутусов О.Б., Добролюбов Г.В. Алгоритмизация и программирование инженерных задач средствами МАТКАДА: Учеб. пособие.- М.: МГУ-ИЭ, 2000.- 185 с.

12. Дворецкий С.И., Егоров А.Ф., Дворецкий Д.С. Компьютерноемоделирование и оптимизация технологических процессов и оборудования:

13. Учеб. Пособие.- Тамбов: Изд-во Тамб. Гос. Техн. ун-та, 2003.- 224 с.

14. З.Дьяконов В.П. MathCAD 2000. Учебный курс. СПб.: Питер, 2000. -586 с.

15. И.Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика.- М.: Изд. Нолидж, 2001.- 1296 с.

16. Ермольев А.А. Методы стохастического программирования. — М.: Наука, 1976.- 240 с.16.3акгейм А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов. М.: Химия, 1982.- 288 с.

17. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии,- М.: Химия, 1985.- 468 с.

18. Кафаров В.В., Мешалкин В.П. Анализ и синтез химико-технологических систем. М.: Химия, 1991.- 432 с.

19. Кафаров В.В., Мешалкин В.П. Надежность оборудования и технологических схем химических и нефтехимических производств. В кн.: Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1979,- Т. 7.- 129 с.

20. Кафаров В.В., Перов В.Л., Мешалкин В.П. Принципы математического моделирования химико-технологических систем.- М: Химия, 1974.- 343 с.

21. Кафаров В.В., Мешалкин В.П., Перов B.JI. Математические основы автоматизированного проектирования химических производств. М.: Химия, 1979.- 330 с.

22. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учебное пособие для вузов.- М.: Высш. школа, 1991.-400 с.

23. Кафаров В.В., Мешалкин В.П., Буровцов В.М. Метод оптимизации проектно-расчетной надежности элементов химико-технологических систем на основе статистического моделирования // ДАН, 1978.- Т.243, № 5.- С. 1235 1238.

24. Курицкий Б. Я. Поиск оптимальных решений средствами EXCEL 7.0 в примерах.- СПб.: Изд. BHV СПб., 1997.- 384 с.

25. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А., Дли М.И., Решение задачи оптимизации в условиях интервальной неопределенности // Материалы Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения»: Сб.-Смоленск: Изд. СГПУ, 2003 .- С. 36 38.

26. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А. Оптимизация последовательности экстракторов в условиях интервальной неопределенности // Известия вузов. Химия и химическая технология.- 2003.- Т.46, вып.5.- С. 47 50.

27. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А., Дли М.И. Оптимизация химико-технологической системы получения полиэтилена при высоком давлении // Известия вузов. Химия и химическая технология. 2004.- Т.47, вып.2.- С. 137-140.

28. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А., Дли М.И. Оптимизация химико-технологической системы получения полиэтилена при высоком давлении в условиях интервальной неопределенности // Известия вузов. Химия и химическая технология.- 2004.- Т.47, вып.З.- С. 121 125.

29. Лебедева М.Ю., Холоднов В.А., Дли М.И. Исследование химико-технологической системы синтеза нитрила акриловой кислоты в условиях неопределенности // Известия вузов. Химия и химическая технология.-2004.- Т.47, вып.9.- С. 69-75.

30. Лебедева М.Ю, Холоднов В.А. «Программа для построения статистических моделей методом Брандона», № ОФАП-4397 от 05.03.05, № госрегистрации 50200500248 от 10.03.05.

31. Лебедева М.Ю., Нешин К.Г., Холоднов В.А. «Программа для обработки данных методом МГУ А», № ОФАП-4398 от 05.03.05, № госрегистрации -50200500249 от 10.03.05.

32. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических процессов / Пер. с англ. М.: Химия, 1969.- 618 с.

33. Левин В.И. Нелинейная оптимизация в условиях интервальной неопределенности // Кибернетика и системный анализ.- 1999.- №2.- С. 138 -147.

34. Левин Ю.И., Иоффе И.И. Проектирование химических реакторов при неполной информации о параметрах модели // Теоретические основы химической технологии.- 1974,-Т.8., № 1.- С. 43-50.

35. Марон И.А., Демидович В.П. Основы вычислительной математики.- М.: Наука, 1970.- 684с.

36. Мелентьев Л. А. Исходные положения проблемы неопределенности оптимальных решений в больших системах энергетики // Тезисы докл. на второй Всесоюзной конференции «СХТС-Н»: Сб.- Новомосковск: Изд. НФ РХТУ , 1979.- Т. I.-C. 12-31.

37. Островский Г.М., Бережинский Т.А. Оптимизация химико-технологических процессов. Теория и практика. М: Химия, 1984.- 239 с.

38. Островский Г.М., Бережинский Т.А., Беляева А.Р.Алгоритмы оптимизации химико-технологических процессов. М.: Химия, 1978. С.296.

39. Островский Г.М., Волин Ю.М., Головашкин Д.В. Алгоритм гибкости и оптимизация химико-технологических систем в условиях неопределенности исходной информации // ДАН. 1994.- Т. 339, № 6.- С. 782-784.

40. Островский Г.М., Волин Ю.М., Сенявин М.М., Бережинский Т.А. О гибкости химико-технологических процессов // Теор. основы хим. технол. -1994.- Т.28, №1.- С. 54-61.

41. Павлов К.Ф., Романков П.Г., Носков А.А. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии.- JL: Химия, 1987.- 536 с.

42. Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях. Указатель отечественной и иностранной литературы за 1973-1975 годы. М.: Изд. МЭИ, 1975.- 159 с.

43. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. — М.: Наука, 1975.- 615 с.

44. Письмен Л.М. О чувствительности оптимальных режимов химических процессов. // Моделирование и оптимизация каталитических процессов.-М.: Наука, 1965.- С. 225-233.

45. Подиновский В.В. Анализ решений при множественных оценках коэффициентов важности критериев и вероятностей значений неопределенных факторов и целевой функции // Автоматика и телемеханика.- 2004.-№11.-С. 141-159.

46. Райфа Г. Анализ решений (введение в проблему выбора в условиях неопределенности). — М.: Наука, 1977.-408 с.

47. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Регсдел К. Оптимизация в технике. В 2-х кн. /Пер. с англ. М.: Мир, 1986.- 320 с.

48. Румшиский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента.- М.: Наука, 1971.- С. 25.

49. Садовский А.С., Волин Ю.М., Гельбштейн А.И. и др. Математическое моделирование процесса синтеза нитрила акриловой кислоты//

50. Моделирование и оптимизация каталитических процессов.- М.: Наука, 1965.- С. 97.

51. Фан Лянь-Цень, Вань Чу-Сен. Дискретный принцип максимума,- М.: Мир, 1967.- С. 52.

52. Фельдбаум JI.A. Основы теории оптимальных математических систем. — М,: Наука, 1966- 623 с.

53. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973.-957 с.

54. Холоднов В.А. и др. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление / Под ред. Мухленова И.П.- JL: Химия, 1986. -423 с.

55. Холоднов В.А., Хартманн К. Поиск оптимальных статических режимов химико-технологических систем на основе учета структуры уравнений математического описания // Известия вузов. Химия и химическая технология.- 1998.- Т. 41, вып.6.- С. 66 70.

56. Холоднов В.А., Хартманн К. и др. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление / Под ред. Мухленова И.П. Л.: Химия, 1986.-С. 3-109, с. 420.

57. Методы и средства автоматизированного расчета химико-технологических систем: Учеб. пособ. для вузов / В.А.Холоднов, Н.В.Кузичкин, С.Н.Саутин и др. Л.: Химия, 1987.- 420 с.

58. Холоднов В.А. Сравнительный анализ декомпозиционных методов расчета непрерывных стационарных ХТС // Журн. прикл. химии.- 1988.- № 5.- С. 1063-1068.

59. Холоднов В.А., Дьяконов В.П., Кирьянова Л.С., Иванова Е.Н. Математическое моделирование и оптимизация химико-технологических процессов: Практическое руководство. СПб.: АНО НПО «Профессионал», 2003.- 480 с.

60. Цибизов Г.В., Мисюткин В.И. К учету факторов неопределенности в исследованиях и проектировании химико-технологических систем. —М., 1979.- Деп. ВИНИТИ № 1912-79. ДЕП библ. указатель, 1979, № 10.- Реф. № 262.

61. Цибизов Г.В., Мисюткин В.И. Учет факторов неопределенности при проектировании сложных химико-технологических систем // Тезисы докл. на второй Всесоюзной конференции «СХТС-П»: Сб.- Новомосковск: Изд.НФ РХТУ, 1979.-С. 35-36.

62. Цыпкин Я.З. Оптимизация в условиях неопределенности // ДАН .- 1976.- Т. 228, №6.- С.1306- 1309.

63. Цыпкин Я.З. Стабилизация и регуляризация оценок оптимальных решений при наличии неопределенностей // ДАН. 1977.- Т. 236, №2.- С. 304 - 307.

64. Brandon D.B.Developing Mathematical Models for Computer Control // I.S.A. Journal. 1959. V. 6. №7. P.70 73.

65. Bernardo F.P., Saraiva P.M. // AIChE J. 1998. V. 44. № 9. P. 2007-2017.

66. Beryman J.E., Himmelblau D.M. Effect of stochastic input and parameters on process analysis and design. // Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev. 1971. V.10. №4. P.441 -449.

67. Halemane K.P., Grossmann I.E. Optimal Process Design Uncertainty // AIChE J. 1983. V. 29. №3. P.425 433.

68. Grossmann I.E., Floudas C.A. Active constraint strategy for flexibility analysis in chemical processes //Сотр. Chem. Eng. 1987. V.l 1. №6. P.675-693.

69. Grossmann I.E., Floudas C.A. Active constraint strategy for flexibility analysis in chemical processes // Сотр. Chem. Eng. 1987. V. 11. № 6. P. 675.

70. Grossmann I.E., Sargent R.W.H. Optimal design of chemical plants with uncertain parameters // AIChE J. 1978. V.24. №6. P. 1021 1028.

71. Swaney R.E., Grossmann I.E. An Index for Operational Flexibility in Chemical Process Design. Part 1: Formulation and Theory //AIChE J. 1985. V. 31. № 4. P. 621 630.

72. Pistikopoulos E.N., Grossman I.E. // Сотр. Chem. Eng. 1989. V.13. № 9. P. 1003 -1016.

73. Pistikopoulos E.N., Ierapetriiou M.G. // Сотр. Chem. Eng. 1995. V.19. №10. P. 1089- 1110.

74. Ierapetriiou M.G., Acevedo J., Pistikopoulos E.N. // Сотр. Chem. Eng. 1996. V. 20. № 6/7. P. 703 709.

75. Dittmar R., Hartmann K., Reining G. Optimierung bei Parameterunsicherheit am Beispiel der Steuerung eines industriallen NH3 — Reaktors. — Teil I: Chem. Techn. 1976. V.28. № 5. S.264. Teil II: Chem. Techn. 1976. V.28. №8. S.460.

76. Dittmar R., Silvana Foozen. Optimale Uberdimensionierung ver-fahrenstachnischer Progasseinheiten und Systeme unter Verwendung der Monte-Carlo-Simulation // Chem. Techn. 1977. V. 29. № 12. S. 635 658.

77. Watabane N., Nichimura J., Matsubara M. Optimal design of chemical processes involving parameter uncertainty // Chem. Eng. Sci. 1973. V. 28, № 6. P. 905.

78. Dittmar R., Hartmann K. Optimierung bei Parameterunsicherheit flir den Entwurfund Steuerung verfahrenstechniescher Systeme: Modellierung und Optimierung ver. System.- Berlin, 1973. S. 217 256.

79. Shindj Akia. Расчет систем для химических процессов с помощью ЭВМ. В сб.: «Кибернетика в химии и хим. технологии», 1977. №27.

80. Hishida N., Ichikawa A., Tazaki Е. Optimal Design and Control in a Class of Distributed Parameter Systems under Uncertainty.- Application to Tubular Reactor with Catalytic Deactivation // AIChE J. 1972. V. 18. №3. P. 561 -568.

81. Hishida N., Ichikawa A., Tazaki E. Sunthesis of optimal process systems with uncertainty. // Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev. 1974. V. 13. № 2. P. 209 214.

82. Hishida N., Ziu J.A., Ichikawa A. Studies in chemical process design and synthesis. II: Optimal synthesis of dynamic process systems with uncertainty //AIChE J. 1976. V. 22, № 3. P. 539 549.

83. Chen M.S.K., Eriksan L.E., Fan L.T. Consideration of Sensitivity and Parameter Uncertainty in Optimal Process Design // Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev. 1970. V.9. №4. P . 514 — 520.

84. Waisman J., Holgman A.G. Optimal process system design under conditions of rick // Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev. 1972. V. 11, № 3. P. 386.

85. Ramirez W.P., Vestal Ch.R. Algorithms for Structuring Design Calculations // Chem. Eng. Sci. 1972. V.27. №12. P. 2243 2254.

86. Shapiro A., de Mello Т.Н. A simulation - based approach to two-stage stochastic programming with recourse // Math. Progr. Ser. A. 1998. V. 81. P. 301 -325.