автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Неоднородные разностные схемы повышенного порядка точности для численного решения некоторых задач математической физики

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 519.6

Быкова Елена Геннадьевна

НЕОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 1998

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете.

Научный руководитель — член-корреспондент РАН

Шайдуров Владимир Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Новиков Евгений Александрович; кандидат физико-математических наук Паасонен Виктор Иванович

Будущая организация — Красноярский государственный

университет

Зашита диссертации состоится " 30 " окТз.орЗ,_ 1998 г.

в /V часов на заседании диссертационного совета Д 064.54.01 при Красноярском государственном техническом университете по адрес}': 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан " " Се1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

Ловчиков А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Одна из движущих закономерностей развития науки состоит в том, что потребности развития общества часто ставят перед наукой задачи на пределе ее возможностей или даже несколько превышающие эти возможности. Поэтому бурный темп развития вычислительной техники так и не обеспечивает достаточных ресурсов для решения практических задач с помощью простых численных методов невысокой точности, использующих огромные информационные массивы, обработка которых требует значительных вычислительных затрат. Таким образом, методы невысокой точности, требующие огромных вычислительных ресурсов по памяти и затрат по числу операций, значительно сужают круг решаемых задач при заданных вычислительных мощностях. Поэтому при потоковом решении задач на первый план выдвигаются наиболее экономичные методы решения с информационными массивами меньшей размерности, соответствующими возможностям специализированных процессоров. В области разностных методов решения задач математической физики схемы повышенного порядка точности обладают именно такими свойствами и позволяют получить заданную точность при меньших вычислительных затратах. Поэтому актуальность создания и использования разностных схем повышенной точности не ослабевает с развптием вычислительной техники.

Начиная с работ Ш.Е. Микеладзе, одним из полигонов для построения разностных схем повышенной точности являлись эллиптические уравнения второго порядка: уравнения Лапласа, Пуассона, Гельмгольца, конвекции-диффузии и т.д. В последующем эта область существенно развита в работах A.A. Самарского и его учеников, Е.А. Волкова, А.Н. Валиул-лина, В.И. Паасонена, Б.Н. Хоромского и других авторов. Зарубежные исследователи сконцентрировали свои усилия главным образом на повышении точности в методе конечных элементов.

Цель работы

До недавних пор в направлении схем повышенной точности развивался только класс однородных разностных схем, в которых повышение точности приближенного решения является следствием устойчивости и повышенного порядка аппроксимации каждого сеточного уравнения. В этой работе демонстрируется другой подход, когда каждое из сеточных уравнений имеет ошибку аппроксимации невысокого порядка, но с разными знаками в соседних узлах. В итоге соответствующая ей погрешность

приближенного решения оказывается существенно меньшей по величине. Цель работы состояла из трех позиций.

1) Построение и теоретическое обоснование неоднородных разностных схем повышенной точности сначала в методических целях для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, а затем для эллиптических уравнений второго порядка в прямоугольной области н особенно в областях с гладкой криволинейной границей, где всегда возникает проблема учета краевых условий с высокой точностью.

2) Использование созданных схем и теоретического аппарата для численного решения квазилинейных уравнений со слабой нелинейностью в правой части и повышения точности приближенных решений при аппроксимации уравнения теплопроводности по пространственной переменной.

3) Проведение вычислительных экспериментов по подтверждению теоретических результатов, проверка эффективности построенных схем и алгоритмов их решения, сопоставление с другими подходами к построению разностных схем повышенной точности.

Методы исследования

При выполнении диссертационной работы использовались методы теории разностных схем, методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, численные .методы линейной алгебры. Теоретический анализ осуществлялся строгими математическими доказательствами свойств предложенных разностных схем, включая обоснование устойчивости и повышенного порядка сходимости приближенных решений. Вычислительная эффективность проверялась путем написания программ иа алгоритмических языках и проведения серии расчетов гладких и осциллирующих решений.

Научная новизна

Предложены, обоснованы и исследованы новые разностные схемы четвертого порядка точности для решения следующих задач математической физики: линейных и слабонелинейных эллиптических уравнений второго порядка, уравнения теплопроводности.

Практическая значимость

Разработан комплекс программ, реализующих предложенные разностные схемы и вычислительные алгоритмы для решения задач теплопроводности и уравнения Гельмгольца, в том числе для областей с криво-

линейной границей и уравнений со слабой нелинейностью в правой части. Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1) на семинаре отдела вычислительной математики Института вычислительного моделирования СО РАН;

2) на международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 1997;

3) на конференции молодых ученых в Институте вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 1998;

4) на Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л. Соболева, Новосибирск, 1998.

Публикации

По теме диссертации опубликовано семь работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 113 страниц машинописного текста, включая 26 рисунков, 7 таблиц и список литературы из 32 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, определена цель исследования, отмечена научная новизна и практическая ценность полученных результатов, дано краткое изложение основных разделов диссертации.

В первой главе построена и теоретически обоснована схема повышенного порядка точности для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Идея построения таких схем и термин "неоднородная разностная схема повышенного порядка точности" принадлежит научному руководителю. Это название возникло из-за разных правил построения сеточных уравнений в четных и нечетных узлах в отличие от однородных схем, когда правило построения одинаково для всех узлов сетки.

В разделе 1.1 подробно изложено построение неоднородной разностной схемы четвертого порядка точности. Рассматривается одномерная

задача Дирихле

-и" + <1(х)и = Цх),хе( 0,1), (1)

и(0) = у0, м(1) = V!. (2)

Введем классы Ст(П), обозначающие множество функций, т раз непрерывно дифференцируемых на множестве П. Для произвольной функции V, определенной на множестве £> (конечном или бесконечном), введем обозначение

|М|оо,Д = вир (3)

о

Относительно коэффициентов уравнения (1) предположим, что

¿,/еС4[о,1], (4)

ФО > о, х е [0,1]. (5)

Для разностной аппроксимации задачи (1)-(2) построим равномерную разностную сетку

Щ = {я,- = ¿Л : г = 0,1,... ,п} (6)

с шагом /г = 1/п и четным п> 2. Множество внутренних узлов обозначим через и>ь и разобьем его на множества четных и нечетных узлов

^оk = {xi = гh: г = 2,4,... ,п - 2}, (7)

= {г,-= г'/г: г = 1,3,... , п — 1}. (8) Введем разностные операторы

Ьнь(х) = ~{у(х -К)- 2ф) + у(х + /г))//г2 + ¿(х)ь(х) (9) во всех узлах шь и

Ь2Нь{х) = -(«(¡с - 2Л) - 2ф) + ь{х + 2/г))/(2Л)2 + ¿(х)у(х) (10)

в четных узлах о»оа.

В этих обозначениях рассмотрим разностную задачу

Ьни*1 = 1 на или, (И)

¿V1 - 1-1шин = на ы0Л, (12)

иЛ(0) = ьо, ик(1) — VI. (13)

Эта сеточная задача содержит п+1 неизвестное и п+1 уравнение. Каждое уравнение имеет только второй порядок аппроксимации, но с остаточными членами разных знаков в четных и нечетных узлах; за счет их линейной комбинации получается решение более высокого порядка точности. Стандартный разностный метод второго порядка точности приводит к системе уравнений с трехдиагональной матрицей; предложенный метод имеет пя-тидиагональную матрицу, но четвертый порядок точности и, кроме того,

полученная матрица легко приводптся к трехдиагональному виду. Устойчивость сформулированной задачи и порядок точности характеризуются следующими теоремами.

Теорема 1. При выполнении условия (5) для решения задачи (11) - (13) с однородными краевыми условиями — VI = 0 справедлива априорная оценка

(14)

Здесь и далее обозначение с,- с целым индексом г принято для констант, независящих от /г и величин, стоящих в правой части неравенства.

Теорема 2. Пусть и, и11 - решения задач (1)-(2) и (11)—(13) соответственно и выполнены условия (4), (5). Тогда

||«-«А|кй* < (15)

В конце раздела приведены результаты численного эксперимента, подтверждающие повышенную точность.

В разделе 1.2 изложена основная идея построения схемы шестого порядка точности и принцип обоснования точности ее решения. Снова рассматривается задача (1)-(2) с гладкими заданными функциями

й,/ес6[ о,1] (16)

и неравенством (5). Для разностной аппроксимации задачи (1)-(2) воспользуемся равномерной разностной сеткой (6) с шагом к = 1/п и целым п > 8, кратным 4. Узлы сетки (6) условно разделим на четыре группы в зависимости от остатка к деления номера г узла х¡- на 4:

и[к) = {х,- = г'Л : г = к, к + 4,... , п - 4 + к}, к = 0,1,2,3. Для наших построений наряду с операторами (9), (10) введем оператор

ЬАку{х) - ~(у(х - 4/г) - 2ь(х) + и(х + Щ)/(4к)2 + й(х)у{х) (17) в узлах В этих обозначениях рассмотрим разностную задачу .

XV = / на 41}и43). (18)

= на 42), (19)

+ на 4°\ (20)

ил(0) = и0, ин(1) — (21)

Эта сеточная задача вновь содержит п + 1 неизвестное и п + 1 уравнение. Упорядочим неизвестные и уравнения по возрастанию аргумента х и исключим известные значения (21). В итоге мы приходим к системе лннейных алгебраических уравнений с семпднагональной матрицей. Три разных правила построения сеточных уравнений приводят к тому, что

порядок точности сеточного решения здесь также неоднороден: в узлах с номером, кратным четырем, достигается шестой порядок точности, а в остальных узлах - только четвертый порядок. Устойчивость и точность этой системы линейных алгебраических уравнений характеризуется следующими теоремами.

Теорема 3. При выполнении условия (16) для решения задачи (18) - (21) с однородными краевыми условиями и0 = г>! = 0 справедлива априорная оценка

1Ии„ < с5||/|кШ),. (22)

Теорема 4. Пусть и,ин - решения задач (1)-(2) и (18)—(21) соответственно и выполнены условия (5), (16). Тогда

шах |и(:г) - иЛ(:с)| < с6/г6, (23)

тах |и(ж) - иЛ(ж)| < с7/г4. (24)

В конце раздела приведены численные эксперименты, подтверждающие полученные результаты, в том числе неоднородную точность.

В разделе 1.3 изложены возможные пути обобщения полученных результатов. Рассмотрен один из способов решения полученных систем с использованием метода прогонки после предварительного линейного преобразования.

Метод шестого порядка имеет требуемую точность только в узлах, кратных четырем. Для получения решения с требуемой точностью порядка /г6 по всей области О можно дополнительно привлечь интерполяцию.

Вторая глава посвящена построению и обоснованию неоднородных разностных схем повышенного порядка точности для двумерного эллиптического уравнения. В разделе 2.1 дана постановка задачи и приведены условия соответствия гладкости данных задачи и решения. Пусть В.2 -двумерное евклидово пространство точек

2 = (гьх2) = (х,у)

с расстоянием

- ¿\ = ((ц - х\)2 + (*2 - х'2)2)1!\ (25)

О, - ограниченная область с границей Г. Рассмотрим задачу Дирихле

-Ли + йи = / в П, (26)

й =} на Г, (27)

где коэффициент (I удовлетворяет условию

¿>0 на П. (28)

Потребуем достаточную гладкость данных и решения:

е с4(ГТ), иеС6(П). (29)

Раздел 2.2 посвящен построению неоднородной разностной схемы двумерной краевой задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа на прямоугольнике П = (0,1) х (0,1). Основная идея построения такой схемы аналогична изложенной для обыкновенного дифференциального уравнения, но увеличение размерности усложнило доказательство ее точности.

Для разностной аппроксимации этой задачи построим равномерную разностную сетку

= {г^ = О: х{ = Л, у, =

(30)

г =0,1,... ,тг, ^ =0,1,... ,гг}

с шагом Л = 1/п и четным п > 4. Введем также множество внутренних узлов ш/, и разобьем его на множества узлов с двумя четными, с двумя нечетными индексами и с индексами разной четности (первый индекс четный, а второй — нечетный или наоборот):

П7оо = {г>,з € : г = 0,2,... , п, ] = 0,2,... , п}, и>0о = Що \ Г, ^п - {г^ : г = 1,3,... , тг — 1, 7=1,3,... ,п - 1}, ш01 = {г^ е : г = 0,2,... , п, ] = 1,3,... , п - 1}, ш01 =ш01\Г, <3ю = \ (^00 ишпи аТоО, о»ю = а7ю \ Г.

Для построения схемы четвертого порядка введем оператор в узлах сетки и!^

Ьку{г)= ~{у{х - /г, у) + ь(х,у - К) - №{х,у)

\ )

+ь(х + А,у) + ь(х, у + к))/}I2 + ф)и(г).

и оператор Ь2Н с удвоенным шагом

= -(и(з: - 2Л, у) + ь(х, у - 2Н) - 4ь(х, у)

-И(ж + 2 к,у) + ь(х, у + 2/г))/4Л2 + ¿(г)ь(г)

в четных узлах ыоо- Во введенных обозначениях рассмотрим разностную задачу

Ьник — / на оо, (33)

Ьнин-1}нин= 0 на с^оо, (34)

ин — д па 7/, = П Г. (35)

Напомним, что стандартный разностный метод второго порядка точности на прямоугольнике приводит к системе линейных алгебраических уравнений с пятидиагональной матрицей при соответствующем упорядочении

4 8 16 32

Рис.1. Погрешность приближенного решения.

32^0

Рис.2. Поточечная погрешность приближенного решения в методе (33)-(35) при п — 32.

неизвестных. Построенная схема приводит к системе уравнений с девяти-диагоналыюй матрицей, сохраняющей основные полезные свойства: положительную определенность, симметрию и положительную обратимость.

Теорема 5. Пусть и, ил - решения задач (26)—(27) и (33)-(35) соответственно и выполнены условия (28), (29). Тогда

\и - «Л||со,ы, < с5/г4.

(36)

ю

В конце раздела приведены результаты численных экспериментов. Построенный метод применен для двух задач вида (26)- (27) с улучшенной гладкостью и с осциллирующим решением. Для сравнения рассмотрим равномерную и среднеквадратичную погрешности 62 = ||и-иЛ||оо Е;л и =

||и — ь!1 ¡¡2,й7л = ({u(z) — uh(z))2 h^J приблшкенного решения гладкой задачи стандартным методом второго порядка точности и предложенным методом (33)-(35) четвертого порядка. На рис. 1 цифрами 1, 2 обозначены погрешности ¿j и <52 стандартного метода второго порядка; 3, 4 — метода (33)—(35); 5 и 6 — графики прямых с наклонами tg(p) = 2 и tg(<p) = 4, характеризующими зависимость 6 = Ь? и Ь = /г4 соответственно. При сравнении графиков 1, 2 и 5 отчетливо виден второй порядок сходимости, а из графиков 3. 4 и 6 — четвертый порядок.

Кроме того, на рис. 2 приведен поточечный график погрешности ¿2 = и — uh предложенного метода (33)-(35) на сетке w/, с шагом h = 1/32 для задачи с гладкими данными. Он подтверждает нетривиальную неоднородную структуру погрешности, использованпую для теоретического обоснования повышенной точности.

В разделе 2.3 снова рассматривается задача (26) - (27) в области с гладкой криволинейной границей. Основная идея построения такой схемы аналогична изложенной для этого же уравнения в прямоугольнике. Переход к криволинейной границе потребовал решения вопроса переконструирования сеточных уравнений на нестандартных шаблонах вблизи границы. В приграничной полосе сеточные уравнения получаются нескольких разных типов.

Пусть Q - ограниченная область в Л2 с гладкой границей Г (т.е. класса С1). Рассматривается задача (26) - (27), с условиями (28) - (29). Пусть область О заключена в квадрат (0,1) X (0,1). Покроем его квадратной сеткой с шагом h = 1/N, образованной линиями ж,- = ih и yj = jh, где i,j = 0,1,... , N и N - целое. Точки пересечения этих линий Zjj — (i;, yj) будем называть узлами. Узел Zjj назовем внутренним, если £ П. Множество всех внутренних узлов обозначим через шн-

Для каждого внутреннего узла Z{j = (xj,yj) введем два определения расстояния до границы Г параллельно двум осям координат:

Pi(xi,Vj) = , mi n \xi-x\,

Р2(х»У}) = min \yj-y\.

С помощью этих расстояний проводится классификация внутренних узлов u/h на регулярные, нерегулярные и неиспользуемые узлы; множество последних обозначим как и/%п. В регулярных узлах разностная аппроксимация берется в виде девятиточечного уравнения на шаблоне ''большой

крест" (см. рис. З.б), если рассматриваемый узел принадлежит «¿>оо — {¿¡j '■

~ij € ^'h- i — четное, j — четное}, иначе разностная аппроксимация осу-

ществляется в виде стандартного пятиточечного уравнения на шаблоне '"малый крест" (см. рис. З.а). В нерегулярных узлах для интерполяции граничных значений использованы интерполяционные формулы Лагран-жа. В зависимости от взаимного расположения узла и границы для построения разностного уравнения использовалось четыре разных шаблона (см. рис. З.в-е). Для примера на рис. 4. изображена четвертая часть области П при N = 44.

В результате этих построений получена система линейных алгебраических уравнений

Аьин — /л на (37)

с искомой сеточной функцией ин(г^) и известной правой частью /л(г!;) с аргументом г^ € Для ее решения доказан следующий результат.

Теорема 6. Пусть и,и11 - решения задач (26) - (27) и (37) соответственно и выполнены условия (28), (29). Тогда

- и'Чи.ыДшГ ^ сЬ-А (38)

В конце раздела приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие этот порядок сходимости.

В разделе 2.4 рассматривается двумерное квазилинейное уравнение эллиптического типа на прямоугольнике. Пусть О - единичный квадрат (0,1) х (0,1) с границей Г. Рассмотрим квазилинейное уравнение Пуассона со слабой нелинейностью в правой части:

-Аи(х,у) = ¡(и(х,у),х,у), х,у€П, (39)

и(г,у)=0, х,увГ, (40)

где

/(р)х,у)еС4((-а>,оо)хП). (41)

Предполагается, что выполнено условие

Э(РдХрУ) < 0, р€ (-со,«»), (*,*/) € П. (42)

Для разностной аппроксимации задачи (39) - (40) построим равномерную разностную сетку (30). Рассмотрим разностную задачу:

Ьни\г{}) = /(иь(;*у), гц) на \ ы00, (43)

Ьнин{2^) - = 0 на ш00, (44)

и\г^) = 0 на7л = ГПо7Л. (45)

Оценка устойчивости и точности этой задачи дается следующими теоремами.

О-О-о

а) "малый крест" б) "большой крест"

Ф

о ■■ о-о

о о

о-о-о-о

в) Т-образный

-в-о

г) Г-образный д) первый Х-образный е) второй Х-образный

Рис. 3. Шесть типов используемых шаблонов. Узлы шаблонов обозначены кружками.

9

1

-г ч

1

Рис. 4. Схема расположения типов узлов на сетке шн в одной из решаемых задач. Разным знакам соответствуют разные типы сеточных

уравнений; и □ — вспомогательные узлы, используемые в теоретических построениях, сеточные уравнения для них отсутствуют.

Теорема 7. Пусть ин — решение задачи (43) - (45); тогда для любо\ функции у, определенной на Щ и равной нулю на -ул, справедливо нера венство

Н«к-«||ооЛ<§й, (46;

где

6 = ШаХ - ^ ^ « - ^

Теорема 8. Пусть и, ик - решения задач (39)-(40) и (43)-(45) соответ ственно и выполнены условия (41) - (42). Тогда для некоторого а £ (0,1

11« - < ск3+а. (47

В третьей главе рассматривается построение неоднородной раз ностной схемы повышенного порядка точности для нестационарного урав нения теплопроводности.

В разделе 3.1 приводится постановка задачи для уравнения теплопроводности, необходимые условия согласования, обеспечивающие требуемую гладкость решения. Рассматривается первая начально-краевая задача

д

= ^ + в п, (48;

и(0,<) = «о(0, = ЫО, * 6 (О.Г), (49)

и(®,0) = 0, ® € (0,1); (50)

где / - достаточно гладкая функция в области П = (0,1) х (0,Т).

Раздел 3.2 посвящен пространственной дискретизации. Сначала построена схема (по пространственной переменной), аналогичная изложенной для обыкновенного дифференциального уравнения в разделе 1.1. Построенная схема назвала операторно-разностной, поскольку в ней остался оператор дифференцирования по временной переменной, а по пространственной переменной построена разностная схема. Другими словами, решение задачи теплопроводности сведено к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по временной переменной.

Доказана устойчивость и сходимость предложенной операторно-раз-ностной схемы.

В разделе 3.3 приведены два варианта интегрирования по времени полученной полудискретной системы. Использованы два метода: трех-стадийный диагонально-неявный метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности и (т,к)-метод второго порядка точности.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и некоторые выводы по их использованию.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены и обоснованы неоднородные разностные схемы четвертого порядка точности для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, для эллиптического уравнения второго порядка на прямоугольнике и в области с гладкой криволинейной границей.

2. Для одномерного дифференциального уравнения получена неоднородная схема шестого порядка точности.

3. Построены и обоснованы неоднородные схемы повышенного порядка точности для численного решения уравнения теплопроводности и квазилинейного уравнения эллиптического типа второго порядка.

4. Проведена серия вычислительных экспериментов, подтверждающих полученные теоретические результаты.

1. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Неоднородная разностная схема повышенного порядка точности. Одномерный иллюстративный пример. // Препринт № 17 Вычислительного центра СО РАН, Красноярск

- 1996. - 10 с.

2. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Неоднородная одномерная разностная схема шестого порядка точности.// Препринт № 20 Вычислительного центра СО РАН, Красноярск - 1996. - 15 е., - Деп. в ВИНИТИ 26.05.97, № 1732.

3. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Двумерная неоднородная разностная схема повышенного порядка точности.// Препринт № 23 Вычислительного центра СО РАН, Красноярск - 1996. - 20 с.

4. Быкова Е.Г.. Шайдуров В.В. Двумерная неоднородная разностная схема повышенного порядка точности.// Вычислительные технологии. - 1997. - Т. 2. - №5. - С. 12-25.

5. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Неоднородная разностная схема четвертого порядка точности в области с гладкой границей.// Сибирский журнал вычислительной математики. - т. 1. - №2. - 1998. -С. 99-117.

6. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Неоднородные разностные схемы повышенного порядка точности.//Тез. докл. Математические модели и методы их исследования: Международная конференция. - Красноярск: Краснояр. гос. ун-т. - 1997. - С.49.

7. Быкова Е.Г., Шайдуров В.В. Неоднородные разностные схемы повышенного порядка точности.//Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов, часть II.

- Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН. - 1998. -

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

С.7.

Подписано в печать 10.09.98.

Формат бумаги 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ 32.

Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036, Красноярск, Академгородок

<5/ * 99 - //363 - 9

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ (КГТУ)

На правах рукописи УДК 519.6

Быкова Елена Геннадьевна

НЕОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность 05.13.18 теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физика -

математических наук

Научный руководитель член-корресиондонт РАН Шайдуров В.В.

Красноярск 1998

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1. НЕОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 13

1.1. Схема четвертого порядка точности 13

1.1.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация 13

1.1.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи 16

1.1.3. Сходимость неоднородной разностной схемы 18

1.1.4. Численные примеры 21

1.2. Схема шестого порядка точности 24

1.2.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация 24

1.2.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи 26

1.2.3. Сходимость неоднородной разностной схемы 28

1.2.4. Численные примеры 32

1.3. Обсуждение результатов и возможные пути обобщения 35

ГЛАВА 2. НЕОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 39

2.1. Постановка задачи и гладкость решения 39

2.2. Численное решение задачи Дирихле на прямоугольнике 42

2.2.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация 42

2.2.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи 46

2.2.3. Сходимость неоднородной разностной схемы 52

2.2.4. Численные примеры 56

2.3. Численное решение задачи Дирихле в области с гладкой границей 59

2.3.1. Построение разностной сетки и классификация ее узлов 59

2.3.2. Интерполяционная формула Лагранжа 62

2.3.3. Построение разностной аппроксимации 64

2.3.4. Устойчивость, разрешимость и сходимость сеточной задачи 70

2.3.5. Численные примеры 80

2.4. Неоднородная схема для квазилинейного уравнения эллиптического типа 83

2.4.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация 83

2.4.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи 86

2.4.3. Сходимость неоднородной разностной схемы 90

ГЛАВА 3. НЕОДНОРОДНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 96

3.1. Постановка задачи и вопросы гладкости решения 96

3.2. Дискретизация задачи по пространству 98

3.2.1. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи 99

3.2.2. Сходимость неоднородной разностной схемы 101

3.3. Программная реализация на ЭВМ, вычислительные эксперименты и обсуждение результатов 104

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 111

Список литературы 113

ВВЕДЕНИЕ

Потребность в решении задач математической физики с высокой степенью точности не убывает несмотря на рост быстродействия ЭВМ. Сложность математических моделей, возникающих на практике, опережает развитие вычислительной техники, что в свою очередь, приводит к возрастающим требованиям к методам решений. На первый план выдвигаются наиболее экономичные методы решения задач. В этой связи актуальность схем повышенной точности не вызывает сомнения, поскольку они позволяют получить прближенное решение с заданной точностью при меньших вычислительных затратах.

Пути повышения точности приближенных решений задач математической физики обсуждаются в нескольких направлениях. Это и простейший прием повышения точности разностных схем пропорциональным уменьшением интервалов дискретизации дифференциальных задач, это использование многоточечных разностных схем и уточнение разностями высоких порядков, это экстраполяционный метод Ричардсона, использующий решение задач на последовательности сеток [3], и многое другое.

Построенные в работе схемы относятся к классу компактных разностных схем. Компактными [29] принято называть разностные схемы, которые имеют повышенный порядок аппроксимации, но записываются на шаблоне, несущественно отличающемся от традиционного для данного уравнения. Обычно это схемы третьего или четвертого порядка аппроксимации, щаблон которых представляет собой т-мерный параллелепипед с размерами ребер в два пространственных шага по каждому из т координатных направлений, называемый иначе т-мерным ящиком. В отличие от

схем повышенной точности на многоточечных шаблонах для компактных схем аппроксимация является улучшенной не на любых гладких функциях, а именно на решениях дифференциального уравнения, так как в этом случае она достигается путем использования следствий уравнения, полученных его дифференцированием. Начало этим исследованиям положил Ш.Е. Микеладзе задолго до появления термина "компактная схема" в работах [17], [22], где для двумерного уравнения Пуассона на квадратной сетке построены разностные схемы, имеющие четвертый порядок аппроксимации в классе достаточно гладких решений исходного уравнения.

Для повышения порядка скорости сходимости разностной схемы Е.В. Волков применял метод уточнения разностями высших порядков [11], [12], [13]. В работе [11] приводятся результаты исследования одного способа уточнений решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в двумерной области с криволинейной границей. При составлении разностного уравнения во внутренних узлах привлекается простейший пятиточечный оператор. Для сноса граничной функции в узлы ступенчатого контура на основе экстраполяционного многочлена Лагранжа строится интерполяционная формула. По полученному первому приближению строится поправка с использованием разностей высокого порядка, которая добавляется к правой части уравнения. Затем находится следующее приближение с измененной правой частью и так далее. В работе доказано, что д-е приближение сходится к точному решению со скоростью }г2с'.

В работе [2] рассмотрено несколько способов повышения точности приближенного решения. Например, изложена схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона, оператор которой определен на девятиточечном шаблоне типа "ящик", предложена схема повышенной точности для уравнения теплопроводности.

В работе А.Н. Валиуллина [21] при построении разностных схем повышенной точности частные производные, входящие в дифференциаль-

ное уравнение, начальные данные и граничные условия заменяются конечно-разностными отношениями, имеющими более высокий порядок аппроксимации на заданном шаблоне. Статьи [31], [30] целиком посвящены компактным схемам.

Довольно полно современное состояние с использованием компактных схем отражено в статье [29] и библиографии к ней. Кроме того, в ней предложены компактные схемы повышенного порядка точности для несамосопряженных уравнений эллиптического типа с первыми производными.

Большое число наз^чных публикаций посвящено методу экстраполяции Ричардсона. Систематическое изложение метода и его возможных применений к различным классам задач изложено в монографии [3], где доказано, что метод Ричардсона позволяет получить уточненные решения задач любого порядка точности, если обеспечены соответствующие условия согласования и гладкости. Метод состоит в использовании последовательности сеток и соответствующих им однотипных аппроксимаций для построения приближенных решений заданного порядка точности.

В работе У. Рюде [1] приведены основные варианты алгоритмов: экстраполяция Ричардсона, экстраполяция ошибки вследствие отбрасывания членов разложения и экстраполяция функционалов. Классическая интерполяция, как правило использует постоянную или квази-постоянную сетки, что вместе с гладкостью решения позволяет доказать асимптотические разложения. Последние результаты [1] показали, что эти требования могут быть ослаблены для кусочно-непрерывных сеток. У. Рюде изучал расширение экстраполяции на непрямоугольные сетки. Вместо классического подхода, который пытается показать глобальную точность, показано, что экстраполяция имеет локальную точность высокого порядка. В контексте дифференциальных уравнений в частных производных экстраполяция может быть применена в нескольких различных случаях:

1) как экстраполяция Ричардсона, где образуется линейная комбинация приближенных решений,

2) как экстраполяция, при которой комбинируются ошибки дискретизации,

3) как экстраполяция функционалов.

Поскольку рассматриваемые уравнения имеют несколько независимых переменных, каждый из этих базовых подходов имеет многовариантную реализацию, где вводятся и используются для экстраполяции различные параметры сетки. Рюде предложен вариант многомерной экстраполяции Ричардсона. Его модифицированный метод экстраполяции включает в себя решения трех задач с N. 27У и 2И неизвестными. Классическая интерполяция Ричардсона включает в себя решение для N и 4/У неизвестных. Решить две системы с неизвестными проще и экономичнее чем систему с 47У неизвестными. Однако, если для решения используются многоуровневые итерационные методы, то вычислительная сложность обоих методов примерно одинакова.

В статье Б.Н. Хоромского [32] предложен другой способ экстраполяции, где фиксируется разностная сетка, а расчеты ведутся для последовательности различных систем координат. При этом вычисления проводятся на одной разностной сетке.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе построены и теоретически обоснованы схемы повышенного порядка точности для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Идея построения таких схем и термин "неоднородная разностная схема повышенного порядка точности" принадлежит В.В. Шайдурову. Это название возникло из-за разных правил построения сеточных уравнений в четных и нечетных узлах в отличие от однородных схем [2], когда правило построения одинаково для всех узлов сетки. Каждое уравнение имеет только второй порядок аппроксимации, но с остаточными членами разных

знаков в четных и нечетных узлах, и за счет их линейной комбинации погрешность приближенного решения получается более высокого порядка малости.

В разделе 1.1 подробно изложено построение неоднородной разностной схемы четвертого порядка точности, приведено доказательство ее устойчивости и равномерной сходимости с четвертым порядком точности. Стандартный разностный метод второго порядка точности приводит к системе уравнений с трехдиагональной матрицей. Предложенный метод имеет пятидиагональную матрицу, но она легко приводится к трех-диагональному виду. В конце раздела приведены результаты численного эксперимента, подтверждающие повышение порядка точности.

В разделе 1.2 изложена идея построения схемы шестого порядка точности и принцип обоснования точности ее решения. Построенная здесь схема дает систему уравнений с семидиагональной матрицей. Три разных правила построения сеточных уравнений приводят к тому, что порядок точности сеточного решения здесь тоже неоднороден: в узлах с номером, кратным четырем, достигается шестой порядок точности, а в остальных узлах — четвертый порядок, что подтверждено численными примерами.

В разделе 1.3 изложены возможные пути обобщения полученных результатов. Рассмотрен один из способов решения полученных систем с использованием метода прогонки.

Глава 2 посвящена численному решению эллиптических уравнений второго порядка и состоит из четырех разделов. Во вспомогательном разделе 2.1 дана постановка задачи и приведены условия соответствия гладкости данных задачи и ее решения.

Раздел 2.2 посвящен построению неоднородной разностной схемы для двумерной краевой задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа на прямоугольнике. Основная идея построения такой схемы аналогична изложенной для обыкновенного дифференциального уравнения.

но увеличение размерности усложнило доказательство ее точности. Тем не менее, для построенной схемы доказан четвертый порядок точности в равномерной норме, что подтверждено численными примерами. Как и в одномерном случае, разностная схема аналогична по структуре системе метода экстраполированных уравнений У. Рюде [1] для конечных элементов. Но доказательство точности построенной схемы отличается от обоснования его метода, основанного на минимизации функционала. Напомним, что стандартный разностный метод второго порядка точности на прямоугольнике приводит к системе линейных алгебраических уравнений с пятидиагональной матрицей при соответствующем упорядочении неизвестных. Построенная схема приводит к системе уравнений с девятиди-агональной матрицей, сохраняющей основные свойства: положительную определенность, симметрию и положительную обратимость.

В разделе 2.3 рассматривается двумерная краевая задача Дирихле для уравнения эллиптического типа в области с гладкой криволинейной границей. Основная идея построения такой схемы аналогична изложенному приему для этого же уравнения в прямоугольнике. Переход к криволинейной границе потребовал решения вопросов либо специальной аппроксимации краевых значений, либо переконструирования сеточных уравнений на нестандартных шаблонах вблизи границы. Оба пути использовались применительно к экстраполяции Ричардсона в работах [3], [12], [13] и [16], [17] соответственно. Первый из них мог и здесь дать желаемый результат, но приводит к протяженным шаблонам. Второй путь несколько сложнее в теоретическом отношении, но дает более компактные шаблоны разностных уравнений около границы. Это привело к его предпочтению. Как и в одномерном случае, разностная схема внутри области аналогична по структуре уравнениям метода экстраполированных уравнений У. Рюде [1] для конечных элементов. Но в приграничной полосе уравнения получаются разными. В конце обоих разделов приведены результаты численных

экспериментов.

В разделе 2.4 рассматривается двумерное квазилинейное уравнение эллиптического типа на прямоугольнике. Основная идея построения такой схемы аналогична линейной задаче Дирихле на прямоугольнике, отличие состоит в нелинейности правой части, что повлекло за собой усложнение доказательства устойчивости и разрешимости.

Глава 3 состоит из трех разделов и посвящена построению неоднородной разностной схемы повышенного порядка точности для нестационарного уравнения теплопроводности. Сначала использован так называемый метод прямых [27]. С его помощью процесс решения нестационарного уравнения разбивается на две части, а именно: пространственную дискретизацию и интегрирование по времени. В ходе пространственной дискретизации уравнение в частных производных при помощи замены дифференциального соотношения по пространству его разностным аналогом превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), поскольку временная переменная остается непрерывной. При интегрировании по времени полученная система ОДУ решается с помощью формулы интегрирования, которая подходит для решаемой задачи.

В вспомогательном разделе 3.1 приводится постановка задачи для уравнения теплопроводности, необходимые условия согласования, обеспечивающие требуемую гладкость решения.

Раздел 3.2 посвящен пространственной дискретизации. На примере уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами построена схема (по пространственной переменной), аналогичная изложенной схеме для обыкновенного дифференциального уравнения в разделе 1.1. Построеная схема по аналогии с [2], [19] названа операторно-разностной, поскольку в ней остался оператор дифференцирования по временной переменной, а по пространственной переменной построена разностная схема. Другими словами., задача теплопроводности сведена к системе обыкно-

венных дифференциальных уравнений первого порядка по временной переменной, "решение которой имеет четвертый порядок точности по пространственной переменной. Доказана устойчивость и сходимость этой операторно-разностной схемы.

В разделе 3.3 приведены два варианта интегрирования по времени полученной полудискретной системы. Использаны два метода: трех-стадийный диагонально-неявный метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности [27] и (т.к)-метод второго порядка точности [28].

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построены и обоснованы неоднородные разностные схемы четвертого порядка точности для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, для эллиптического уравнения второго порядка на прямоугольнике и в области с гладкой криволинейной границей.

2. Для одномерного дифференциального уравнения получена неоднородная схема шестого порядка точности.

3. Построены и обоснованы неоднородные схемы повышенного порядка точности для численного решения уравнения теплопроводности и квазилинейного уравнения эллиптического типа второго порядка.

4. Проведена серия вычислительных экспериментов, подтверждающих полученные теоретические р