автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование эволюционных процессов в объемах с неоднородностью

На правах рукописи

ШУМЕЙКО Александр Эдуардович

Моделирование эволюционных процессов в объемах с неоднородностью

Специальность

05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 9 МАЙ 2011

Москва - 2011

4847221

Работа выполнена в Российском Государственном Университете нефти и газа им. И.И.Губкина на кафедре ГИС.

Научный руководитель: Доктор технических наук, профессор

Гливенко Елена Валерьевна

Официальные оппоненты: Доктор технических наук, профессор

Маневич Леонид Исаакович

Кандидат технических наук, Самарин Илья Вадимович Ведущая организация: Институт проблем нефти и газа

Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится ¿¿¿-¿ир 2011 г. на заседании диссертационного совета Д212.200.14 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Российский государственный университет нефти и газа имени И.И.Губкина, 119991, ГСП-1, В-296, Москва, Ленинский проспект, 65, ауд. ЗА/. Начало защиты в /(> .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного университета нефти и газа имени И.И.Губкина.

Автореферат разослан^/ ^-¿М^О 11 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета, д.т.н., проф.

А.В.Егоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для задач, сводящихся к дифференциальному уравнению эволюционного типа, применение алгоритма прямого счета может быть экономически оправданным по скорости получения решения и использованию оперативной памяти вычислительных средств. Алгоритм прямого счета не требует решения систем линейных уравнений, но должен обладать необходимыми свойствами устойчивости и сходимости, допускать решение систем физических уравнений и возможность распараллеливания вычислительного процесса.

Цель работы - обоснование применения прямого вычислительного алгоритма к ряду практических задач, соответствующих нелинейному уравнению эволюционного типа

а ~~ = А(КАР) + £?(*, >>, г) > где: о/

Р(х,у,г,1) - искомая функция;

К(х,у,г), а(х,у,г)~ коэффициенты, характеризующие свойства среды;

л д д 8

Д-операТОрЛ = — +— + —;

Q(x,y,z,t) - интенсивность источников - стоков; х,у,г - пространственные координаты; I — время для нестационарных задач.

Задачи работы

- выбор и обоснование численной схемы прямого решения уравнения эволюционного типа;

- оценка точности и сходимости предложенной схемы;

- разработка программного обеспечения для решения практических задач:

а) расчет давления в нефтегазовом резервуаре;

б) расчет фильтрации подпочвенных вод;

в) решение системы уравнений Ляме при расчете осадок зданий

и сооружений;

- оценка экономичности разработанного программного обеспечения.

Методы исследования. Для решения поставленной задачи разработана двухстадийная численная схема на основе метода 'игры в классики' или метода 'шахматных клеток', предложенного А.Гурли (A.Gourley). Применены методы оценки устойчивости и сходимости численных схем. Для разработки прикладных программ использована среда программирования Microsoft Visual Studio 2008. Полученные численные решения сопоставлены с известными точными решениями, и с результатами, вычисленными с помощью коммерческих программных средств.

Научная новизна

1. Предложена модифицированная двухстадийная численная схема для решения задач моделирования при сильной неоднородности свойств в объеме.

2. При выполнении расчетов значение вычисляемой величины корректируется по экспоненциальному характеру изменения во времени решения дифференциального уравнения эволюционного типа с постоянными коэффициентами.

3. Выполнена оценка точности, устойчивости и сходимости разработанного алгоритма с чередованием явной и неявной вычислительных схем.

4. Предложен метод оценки точности вычислительного процесса по сумме оценок точности отдельного шага и выполнена численная проверка предложенного метода.

5. Разработаны программные комплексы для ряда практических задач, включая подготовку данных, процесс счета с минимальными затратами оперативной памяти вычислительных средств, алгоритм контроля за глобальной сходимостью процесса счета и его прекращения, подготовку результатов расчета к визуализации.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Численная схема для решения дифференциального уравнения эволюционного типа, реализующая прямой вычислительный процесс без формирования и решения системы линейных уравнений.

2. Применение коррекции вычисляемых значений на основе экспоненциального характера по времени точного решения дифференциального уравнения эволюционного типа с постоянными коэффициентами вместо линейного разностного представления.

3. Способ оценки точности численных алгоритмов для решения дифференциального уравнения эволюционного типа, на основе вычисления накопленной погрешности на каждом вычислительном шаге.

4. Программная реализация разработанных алгоритмов.

5. Оценка качества полученных решений на основе сравнения с существующими программными продуктами.

Практическая ценность и апробация работы. Результаты диссертационной работы позволяют выполнять необходимые для практики численные расчеты по гидродинамическому моделированию при разработке нефтегазовых месторождений, моделирование течения подпочвенных вод и выполнять расчеты оснований зданий и сооружений на

основе объемных неоднородных исходных данных с количеством узлов более 10 000 ООО.

Разработанные алгоритмы решают поставленные задачи на основе широко используемой вычислительной техники за время, в 2,5...3,3 раза меньше, чем существующих коммерческих программ, с точностью достаточной инженерных целей и соответствующей точности исходных данных.

Разработан блок гидродинамического моделирования в системе ГЕОИНТЕР-ЮНИКС во ВНИИГеофизики в 1995-1997 гг.

Разработана программа для расчета напряженно-деформированного состояния оснований зданий и сооружений в ЦНИИЭП жилища в 2005-2007 гг.

Публикации. Результаты докладывались на Международной Геофизической конференции Евроазиатского геофизического общества, Москва, 1997 г.

Результаты докладывались на 2-й научно-технической конференции в Государственной академии нефти и газа «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России», Москва, 1997 г.

Результаты докладывались на 2-й научно-технической конференции в Обществе норвежских инженеров-нефтяников «Geoscience computing», Oslo, 1997 г.

По материалам диссертации опубликовано 6 работ, в том числе в изданиях, рекомендуемых ВАК, 3 работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 101 странице текста, содержит 3 таблицы и 44 рисунка. Список литературы из 56 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении обосновано проведение диссертационных исследований для решения ряда практических задач, сформулирована цель и задачи работы.

В первой главе рассмотрено применение численных схем к решению задач гидродинамического, гидрологического моделирования и моделирования поведения упругих грунтов. Первый раздел рассматривает вопрос применения аддитивных схем для численного моделирования физических задач. Если обычные аддитивные схемы предусматривают расщепление конечно-разностной схемы по пространственным или временным параметрам, то вопрос расщепления по типу применяемой схемы (явная и неявная) рассмотрен только в работе А.Гурли (А.Соиг1ау, 1970) с условным названием 'игры в классики' и мало используется в прикладных расчетах. Альтернативная стратегия заключается в расщеплении исходного уравнения на локально одномерные, решаемые последовательно. Этот класс методов описан Н.Н.Яненко (1971) и Г.И.Марчук (1974).

Во втором разделе рассмотрено применение явных и неявных схем к решению практических задач эволюционного типа. Вопросы решения систем линейных алгебраических уравнений рассмотрены А.А.Самарским и Е.С.Николаевым (1978), а различные специальные методы у А.А.Самарского и Ю.П.Попова (1980). Базовые понятия теории уравнений в частных производных описаны А.Н.Тихонов, А.А.Самарский (1972).

Третий раздел посвящен принципам моделирования нефтегазовых резервуаров и основным работам, рассматривающим эту тему. Первые книги, описывающие механику течения флюидов в пористых средах, опубликованы М.Маскетом(1937,1949).В СССР П.Я.Полубаринова-Кочина опубликовала книгу о течении грунтовых вод (1952).

В четвертом разделе описаны применяемые способы решения задач течения подпочвенных вод в рамках общего подхода, основанного на решении уравнения диффузионного типа. Ведущие американские специалисты в области моделирования нефтяных резервуаров Х.Азиз и Э.Сеттари (1982) отмечают, что большинство работ по численным алгоритмам ориентировано на гидрологию грунтовых вод. Для фильтрации работы выполнены П.Я.Полубариновой-Кочиной, И.А.Чарным.

Пятый раздел - решение задач упругой осадки грунта на основе применения системы Ляме с граничными условиями на свободной поверхности в виде действующих перемещений и нагрузок. Система уравнений Ляме преобразуется в соответствии с принципами, описанными во втором и третьем разделах, указан порядок реализации граничных условий при численном решении.

В шестом разделе определены проблемы, возникающие при необходимости повышения производительности численного счета:

- выбор численной схемы и ее теоретическая оценка по сходимости и устойчивости;

- сравнение предлагаемой схемы с существующими решениями, точными и численными;

- выработка оптимальных решений при создании исходного программного кода при подготовке данных и в процессе численного счета;

- определение экономичности процесса получения решения.

Во второй главе определяется способ численного решения поставленной задачи и его характеристики по устойчивости и точности. В первом разделе рассмотрена численная схема решения, полученная чередованием явной и неявной вычислительных схем. При первом подсчете величин используется явная схема для половины расчетных узлов:

р;+1 = + о -25)р;+у = 1,3,...,2к

где Р" - значение в узле у на временном слое и,

5 - параметр разностной вычислительной схемы, определяемый величиной коэффициентов исходного дифференциального уравнения.

рп+1 пя+1

. После явной схемы становятся известными величины г¡-\ и -г/+| , что

рп+1

позволяет определить г} неявным методом для остальных точек по схеме:

р; - *р;_\' + (1 - 2з)р;+1 + у = 2,4,...,2к.

Метод безусловно устойчив и его порядок точности о (Ах2 + Дг2).

Во втором разделе изложены принципы определения устойчивости базовых схем матричным методом для явной схемы и для неявной схемы по методу Неймана. В результате определены базовые условия устойчивости схем, с которыми будут сравниваться получаемые оценки для разработанной схемы.

Третий раздел посвящен исследованию процесса накопления погрешности счета при численном решении, что требует перехода от оценок членов ряда к их суммированию. Под рядом здесь понимается последовательность значений в пространственном узле сетки в зависимости от расчетного шага. Накопленная ошибка в узле _/" на временном слое п для функции Р составит для явной схемы:

м/ 1 \

4 ' к

для неявной схемы:

к=1 х 'к

для чередования явной и неявной схем за М/2 шагов:

М- число шагов по времени;

5 - параметр разностной вычислительной схемы, определяемый величиной коэффициентов исходного дифференциального уравнения;

А/ - шаг по времени.

Сравнение результатов тестового расчета показало, что в процессе численного счета, при накоплении погрешности счета ее величина достигает величины 2,0% по теоретической оценке и 2,0% по численной оценке. Для неявной схемы накопленная погрешность превышает накопленную погрешность явной схемы в 1,5 ... 2,5 раза.

В четвертом разделе описан выбор двухстадийной схемы. При этом базовая схема метода модифицирована и предполагает чередование применения явной и неявной схем к четным и нечетным узлам.

При решении предлагаемым методом необходимо выделить первый -явный и второй - неявный полушаги. При этом набор значений, определенных на первом полушаге позволяет простое определение прочих значений. Следующая последовательность действий определяет искомый алгоритм:

■ Найти значения искомой функции на первом полушаге в узлах сетки с четной или нечетной суммой индексов по направлениям х, у иг по явной схеме. Тогда на первом полушаге определится половина значений.

■ Далее, для еще ненайденных значений применить неявную схему. В этом заключается второй полушаг решения. В результате двух полушагов полный набор значений искомой функции на новом расчетном уровне будет определен;

■ Процесс повторяется с заменой вычислительных схем в точках-явную сменяет неявная и наоборот.

Пятый раздел посвящен усовершенствованию двухстадийного алгоритма, его оптимизации и анализу устойчивости и точности. Из формулы явного прогноза следует, что новое значение функции определяется по линейной зависимости от двух предыдущих значений. Это не соответствует общей тенденции изменения расчетной величины в точке по экспоненциальной зависимости от времени, определяемой для точного решения уравнения с однородными свойствами. Тогда возможно скорректировать формулу явного полушага, которая применяется первой в новом шаге по времени и она примет вид:

>п+2 |->ч+1 / Г>"+1 Л/2

р/+--рр = -р/)

А/1 •

где Atl wAt2 - интервалы времени на первом и втором полушагах.

Коррекция конечно-разностных аппроксимаций производной от расчетного параметра по времени выполнена с учетом характера приращения параметра в точном решении однородной задачи. Данная коррекция соответствует методу Ритца или Канторовича для построения решений дифференциальных уравнений, когда частично решения составляются из физически допустимых функций, а другая часть решения формируется из набора коэффициентов, определяемых численно.

Для разности вперед, конечно-разностная формула производной по времени имеет вид:

АР АР

= -а

At е~аА1 - 1 '

где а - коэффициент, рассчитанный из точного решения соответствующего дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Для разности назад, конечно-разностная формула производной по времени:

АР АР(П

- -а

Д; 1-е

аМ

Обозначим: / е~аА1 —Iй 1 — еаА'

к, 1-е'аА!

Тогда е«Д' _1

Коррекция формулы первого полушага:

р;+1 - р; = ?/>;_;' - г 7р;+] + 7р;+\1

5=5-

аАг

где " | _ аМ

Коррекция формулы второго полушага:

Ъ-

рп+2 _ рп+\ _ _ р"\ Ъ

1 1 к^ ' ПРИ заДанных значениях шагов по

времени.

В случае последовательного применения двух полушагов условие устойчивости выглядит как:

1 А,

1 + 4? бш 2 (в /2) к

й 1

/

В первом приближении оценка величины

- аАИ _ 8 1 - (1 + аДП)

Условие устойчивости выполнится по крайней мере при

-<1 + 45

А/1

Окончательная оценка устойчивости двухстадийного метода с коррекцией шагов по времени в первом приближении определяется абсолютной устойчивостью первого явного шага и условием соотношения первого и второго полушагов по времени:

А/2 ^ , , «А/1 <1 + 4

А/1 Ах

2

В третьей главе разработанный алгоритм применяется к решению практических задач. В первом разделе получены схемы конечных разностей для задачи расчета давлений в нефтегазовом резервуаре при многофазной фильтрации.

В полученных моделях учтены все принципы, изложенные выше, для получения оптимального процесса численного счета.

Во втором разделе описана разработка прикладного пакета численного моделирования, включающая в себя:

- программирование ядра задачи на языке С++;

- программный способ выполнения граничных условий;

- программирование расчета узловых значений с применением различных специальных математических моделей, типа включения скважин и непроницаемых узлов в расчетную сетку;

- программирование подготовки исходных данных;

- определение способов представления результатов счета;

- обеспечение возможности параллельного счета.

Третий раздел посвящен оценкам точности решения практических задач с реальными данными. Рассмотрены вопросы использования реальных данных для определения влияния шага дискретизации на

точность, получаемую погрешность численных схем, накопленную погрешность численного счета.

В четвертой главе проведена проверка численной схемы на точность и сходимость для практических примеров. Первый раздел

рассматривает точность и сходимость решения для трех тестовых задач моделирования нефтяного резервуара с однородными исходными данными, допускающих точное решение. Точное решение определялось методом Фурье.

ТЕСТ 1. Одиночный источник постоянного давления в центре куба. Определена возможность получения устойчивого и максимально точного решения на простой схеме. Вариация величины приращения шага позволяет получать устойчивые решения, меньше и больше точного значения. Выбор оптимального значения величины приращения шага по времени позволяет добиться устойчивого численного решения с точностью, соизмеримой с 1%.

0.035-1-----------

0.03- —______ _- --- '----------

<= ~ очное решениеЧ.

0 0.02-----------

А

V

§ а об-----------

§

се «

0.01--------------

0.(Ю5- —----------

от-----------

<3 »203040506070609000

Время, сут

Рисунок 1 - Изменение давления по времени в кубе с одной скважиной

Для данной задачи приращение шага составило 7%. Результаты расчетов приведены на Рисунке 1.

у

-

очное рецда ние\

0.02

аи

0.0«

а ос

«С в 0.016

<а 0.0*

§

О а»

ос

и. а.оа

ш

е. 01

0.01

очное ре иение

Время, сут

Рисунок 2 - Изменение давления по времени для двух скважин

ТЕСТ 2. Модель с нагнетающей и добывающей скважинами, расположенными на главной диагонали куба. Особенность задачи в извлечении флюида с одной плотностью и закачке флюида с другой плотностью. В этом случае среднее давление в объеме куба не стабилизируется со временем, а линейно изменяется. Однако быстрое изменение давления в начальный период времени сохраняется. Результаты расчетов приведены на Рисунке 2.

ТЕСТ 3. Модель с дипольным типом источников. Особенность задачи в быстром изменении давления в объеме резервуара между близко расположенными нагнетающей и добывающей скважинами. Проверена точность решения.

Во втором разделе изложено решение задачи об осадке сооружений на неоднородном грунте на основе системы уравнений Ляме. Рассмотрены вопросы:

- формирования исходных данных;

- построение системы уравнений для численного решения;

- определение особенностей численного решения задачи;

- построена численная схема решения;

- рассмотрены особенности выполнения граничных условий.

В качестве тестовых использована задача, решаемая при расчете осадки зданий, определяющая вертикальные перемещения грунта. Решение получено в программе РЬАХК и с применением разработанного алгоритма.

Третий раздел посвящен проверке численной схемы на практической задаче моделирования перетоков воды в приповерхностном слое грунта. Рассмотрен случай последовательной застройки речной долины в городских условиях:

1 задача — определение гидродинамических напоров на свободном' от застройки рельефе;

2 задача - типичная городская застройка на рельефе;

3 задача — изменение гидрологических условий при постройке герметичного подземного сооружения в сложившейся застройке.

Система уравнений Ляме для стационарной задачи, с условиями по напряжениям на граничном контуре, выбрана в качестве исходной:

4 ' дх

(Я + С)~+СУ2У =0 ду

4 ' дг

Л и С- коэффициенты, зависящие от свойств упругой среды; в - объемная деформация;

и, V, УУ- перемещения по координатам х, у, г соответственно.

Если представить систему уравнений Ляме в виде

\д2и _ д2и „дги ди ,, _ ч,д2У д21У .

(Я + 2в )-г + в-г- + в-г- = а,--(Я + О X-+-)

дх д у дх д п дхд у дхдг

С -—г + (Я + Ю )-Г + в-г = а „--(Я + в X-+-)

дх ду дг дп дудх дудг

б-— + в-— + (Я + Ю )-г- = а „--(Я + С X-+-)

дх ду дг дп дгдх дгду

где & и > а V > & № - коэффициенты, обеспечивающие устойчивость процесса счета,

п- номер текущего шага счета, то становится возможным применение прямой вычислительной схемы к решению поставленной задачи.

Получена система, соответствующая базовой схеме решения по методу «шахматных клеток»:

д., ас/. д,,ди. д,,ди. ди ,„/гг „„, ч

— (/г -Г") + т-(/| + = -ТГ ' /збх (^о, ^о, »"о ) ох ох ду ду дг дг д1

— (/, —) + — (Л —) + Т-(/| -Т-) = «V — - (УоЛ. ^о )

ох ох су оу 02 дг О/

5 Э^Г Э З^Г Э Э^ дШ

—)+^с/, —)+^(Л —) =~ тли „УМ

дх дх ду ду дг дг ¿я

где /,=0 /, =Л+20 /3=Л+0, - коэффициенты, отражающие

свойства упругой среды.

Граничные условия вида:

' ди дМ

. д! дх

' дУ дРГ '

. дг + дУ .

ди дУ

дх + ду +

требуют определения фиктивных величин Ц V, Ш , находящихся вне расчетной области.

Результат расчета изменения уровня подпочвенных вод при уплотнении застройки по сравнению с исторической застройкой представлен на Рисунке 3. Для решенной задачи определены время счета и затраты оперативной памяти по сравнению программным пакетом Мос1Р1олу компании Шлюмберже. Выявлены преимущества предложенного алгоритма по сравнению с существующим решением.

характера застройки

□ 015 0.01

0.005 □

S -0 005

1047 20ЭЗ 3139 4105 5231 6277 7323 8369 941Ё

HoMq) итерации

Рисунок 4 - Изменение максимальной (1) и минимальной (2) величин напора в процессе решения На Рисунке 4. продемонстрирован характер сходимости решения. Выявлена значительная локальная вариация максимальной и минимальной величин напора и глобальная сходимость при значительном количестве итерационных шагов. Это указывает на некорректность контроля сходимости просто по текущей величине изменения расчетного параметра. Необходимо выполнять значительное количество вычислительных шагов для получения правильного результата в случае решения задач, неоднородных в объеме.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения диссертационной работы достигнуты следующие результаты:

1. Разработан метод численного решения пространственных задач со значительной неоднородностью свойств.

2. Выполнена оценка точности предлагаемого метода по накопленной в процессе счета погрешности.

3. При численном решении пространственных задач со значительной неоднородностью свойств использован прямой вычислительный алгоритм, не требующий решения системы линейных уравнений в процессе счета.

4. На основе разработанного метода получены решения следующих задач:

- численный расчет изменения давлений в нефтегазовых резервуарах при их разработке. Результаты расчета могут быть использованы для обоснования принимаемых технических и экономических решений, а также расчета просадок земной коры от разработки месторождений;

- численный расчет уровня подпочвенных вод с целью оценки изменения несущих свойств грунтов;

- численный расчет напряженно-деформированного состояния оснований зданий и сооружений.

5. При реализации численной схемы достигнуты следующие показатели:

- оптимальное использование оперативной памяти позволяет решать задачи с количеством расчетных точек до 10 ООО ООО;

- устойчивость решения получена при выполнении 10 ООО... 100 ООО итераций;

- быстродействие вычислительных алгоритмов: практический результат получается за время в 2,5...3,3 раза меньшее, чем при применении существующих коммерческих программных продуктов;

- инженерная точность получаемого решения задач составляет 3...5% для задач с неоднородность свойств в объеме, менее 3% для задач с однородными свойствами и 7... 14% для жестких задач;

- простая реализация параллельной схемы вычислений для разработанного алгоритма прямого вычисления обеспечивает уменьшение времени решения пропорционально количеству применяемых параллельных процессоров;

- простое описание реальных задач со сложной геометрией неоднородности свойств не требует использования сложных схем разбивки объема на элементы и описания их свойств.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1 . Шумейко А.Э. Экономичный метод числениого расчета упругого полупространства. II Механика Деформируемого твердого тела. №4. -2008. -С. 18-24.

2. Шумейко А.Э. Экономичный метод численного расчета оснований зданий. // Жилищное строительство. №10. -2007. -С. 22-24.

3. Шумейко А.Э. Современный метод расчета уровня грунтовых вод при застройке территорий. // Жилищное строительство. №12. -2007. -С. 25-26.

4. Шумейко А.Э. Применение виртуальной реальности и анимации в моделировании нефтегазового резервуара. Тезисы на Международной Геофизической конференции Евроазиатского геофизического общества // Москва, 1997 г.

5 Шумейко А.Э., Черноглазое В.Н., Золотухин А.Б. Применение виртуальной реальности и анимации в моделировании нефтегазового резервуара. Тезисы на 2-й научно-технической конференции в

Государственной академии нефти и газа «Актуальные проблемы состояния и развития нефтегазового комплекса России» // Москва, 1997 г.

6. Шумейко А.Э., Черноглазое В.Н., Золотухин А.Б. Применение виртуальной реальности и анимации в моделировании нефтегазового резервуара. Доклад на 2-й научно-технической конференции в Обществе норвежских инженеров-нефтяников «Geoscience computing» // Oslo, 1997 г.

Подписано в печать 25.04.2011. Формат 60x90/16.

Бумага офсетная Усл. п.л.

Тираж 100 экз. Заказ №152

Издательский центр РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина 119991, Москва, Ленинский проспект, 65 Тел.: 8(499)233-95-44

Введение. Экономичный способ решения уравнений эволюционного типа при условии сильной неоднородности в объеме.

Глава 1. Определение задачи моделирования процессов на основе эволюционного уравнения.

1.1. Аддитивные схемы задач математической физики.

1.2. Применяемые численные схемы для решения практических задач

1.3. Моделирование процесса разработки нефтегазовых резервуаров

1.4. Расчеты движения грунтовых вод

1.5. Расчет и прогнозирование осадки оснований фундаментов

1.5.1. Постановка задачи

1.5.2. Особенности численной схемы задачи об осадке зданий

1.5.3. Неявная численная схема решения

1.5.4. Особенности выполнения граничных условий

1.5.5. Порядок численного решения поставленной задачи

1.6. Задачи повышения производительности процесса численного моделирования

Глава 2. Определение способа численного решения

2.1. Определение базовых соотношений анализа схемы

2.2. Определение устойчивости базовых численных схем

2.3. Исследование точности численного процесса

2.4. Выбор двухстадийной схемы и оценка ее возможностей

2.5. Усовершенствование схемы и ее анализ

Глава 3. Разработка численного алгоритма, его исследование и программная реализация

3.1. Определение базовых конечно-разностных уравнений на основе задачи о многофазной фильтрации в пористой среде

3.2. Разработка прикладного пакета численного моделирования процессов со значительной неоднородностью свойств в объемах

3.2.1. Программирование ядра задачи численного моделирования

3.2.2. Программный способ выполнения граничных условий

3.2.3. Особенные узлы и включенные математические модели

3.2.4. Подготовка исходных данных

3.2.5. Представление результатов расчета

3.2.6. Обеспечение параллельности счета 3.3. Оценка точности численного решения для практических задач

3.3.1. Общая часть

3.3.2. Практическое определение погрешностей численных схем

3.3.3. Практическое определение накопленной погрешности численного счета

Глава 4. Проверка численной схемы на точность и сходимость на практических примерах

4.1. Точность решения

4.2. Решение задачи об осадке сооружений на неоднородном грунте на основе системы уравнений Ляме

4.2.1. Исходные данные

4.2.2. Построение системы уравнений для численного решения

4.2.3. Особенности численного решения задачи

4.2.4. Неявная численная схема решения

4.2.5. Особенности выполнения граничных условий

4.2.6. Порядок численного решения поставленной задачи

4.2.7. Тестовые задачи

4.3. Проверка численной схемы на практической задаче моделирования перетоков воды в приповерхностном слое

4.3.1. Общая постановка задачи

4.3.2. Полученные решения

4.3.3. Оценка точности алгоритма

4.3.4. Оценка сходимости алгоритма

4.3.5. Оценка экономичности вычислений

4.3.6. Проверка численной схемы на совместимость с существующими решениями

5. Выводы

выводы.

1. В диссертации разработаны методы расчета состояний и процессов, соответствующих дифференциальным уравнениям второго порядка параболического типа для пространственных задач.

2. Для указанного типа уравнений предложена модифицированная численная схема решения метода шахматных клеток Гурли, обоснована ее устойчивость и сходимость. Основным достоинством предложенной схемы является прямое вычисление новых значений искомых параметров.

3. Модификация схемы заключается в применении априорных знаний об экспоненциальном . характере решения уравнений параболического типа в конечно-разностных формулах численного решения, двухстадийности полушаговых вычислений по модели шахматных клеток и оптимизации численной схемы.

4. Для оценки сходимости численного' процесса предложен метод оценки по сумме оценок точности вычислительных шагов и выполнена численная проверка предложенного метода.

5. Разработаны программные комплексы решения ряда практических задач, включая оптимизацию подготовки данных, обеспечение эффективного процесса счета, контроль за глобальной сходимостью процесса счета и обеспечение визуализации данных-.

6. На основе разработанных методов получены решения следующих задач:

• численный расчет изменения давлений в нефтегазовых резервуарах при их разработке для оценки изменения напряженно-деформированного состояния горных пород. Результаты расчета используются для обоснования принимаемых технических и экономических решений, а также расчета просадок земной коры на значительных площадях.

• численный расчет уровня подпочвенных вод с целью оценки изменения несущих свойств грунтов при расчете напряженно-деформированного состояния оснований;

• численный расчет напряженно-деформированного состояния оснований зданий и сооружений. На основе численного решения уравнений Ляме, для неоднородного объемного массива определены основные вертикальные перемещения и осадки зданий и сооружений;

7. При реализации схемы численного моделирования поставленных задач достигнуты следующие показатели:

• оптимальное использование оперативной памяти позволяет решать задачи с объемом расчетных точек до 10 ООО ООО;

• устойчивость решения проверена получением сходящегося численного решения на базе 10 ООО. 100 ООО итераций;

• вычислительное быстродействие обеспечивает получение практического^ результата за время приблизительно 90 мин. для расчета неоднородных объемов в 1 000 000 узлов по сравнению с 240. 300 мин. решения практических задач с применением существующих коммерческих проектов;

• инженерная точность получаемого решения неоднородных задач, оцениваемая по сходимости решения, достигает 3.5%, менее 3% на однородных и 7.14% для жестких задач с изменением расчетного параметра по времени, при сравнении с точными решениями;

• простая реализация параллельной схемы вычислений обеспечивает уменьшение времени решения пропорционально количеству применяемых параллельных процессоров, при этом обмен граничными данными осуществляется стандартными сетевыми средствами;

• простота описания реальных задач с учетом сложной геометрии, неоднородности, разнообразия и полноты свойств, связана с применением конечно-разностных схем и не требует использования сложных схем разбивки объема на элементы и описания их свойств.

1. О.Зенкевич, К.Морган, Конечные элементы и аппроксимация, Мир, Москва, 1986.

2. С.Кунин, Вычислительная физика, Мир, Москва, 1992.

3. К. Флетчер, Вычислительные методы в динамике жидкостей, Мир, Москва, 1991., т 1,2.

4. Н.Н.Калиткин, Численные методы, Наука, Москва, 1979.

5. А.Н.Тихонов, В.А.Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, Москва, 1986.

6. Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц, Гидродинамика, Наука, Москва, 1986.

7. Дж.Метьюз, Р.Уокер, Математические методы физики, Атомиздат, Москва, 1972.

8. Д.Поттер, Вычислительные методы в физике, Мир, Москва, 1975.

9. П.Роуч, Вычислительная гидродинамика, Мир, Москва, 1975.

10. Ю.С.Патанкар, Численные Методы решения задач теплообмена и динамики жидкости, Энергоатомиздат, Москва, 1984.

11. Р.Рихтмайер, К.Мортон, Разностные методы решения краевых задач, Мир, Москва, 1972.

12. Е.А.Волков, Численные методы, Наука, Москва, 1987.

13. А.А.Самарский, Введение в численные методы, Наука, Москва, 1987.

14. А.А.Самарский, П.Н.Вабищевич, Аддитивные схемы для задач математической физики, Наука, Москва, 2001.

15. М.Белоцерковский, Численное моделирование в механике сплошных сред, Наука, Москва, 1984.

16. Р.В.Хемминг, Численные методы для научных работников и инженеров, Наука, Москва, 1968.

17. Н.Н.Яненко, Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Наука, Новосибирск, 1967.

18. В.Э.Милн, Численный анализ, Иностранная литература, Москва, 1951.

19. Gourlay A.R.,MeGuire G.R., General hopscotch algorithm for the numerical solution of partial differential equations, J.Inst. Math. Appl., 7,pp. 216-227,1971.

20. Gourlay A.R., Hopscotch: A fast second order partial differential equation solver, J Inst. Math. Appl., 6,pp 375-390.21,Oran E.S., Boris J.P., Numerical Simulation of Reactive Flow, Elsevier, New York, 1987.

21. D.A. Anderson, J.C.Tannehill, R.H.Pletcher, Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, McGraw-Hill, New York, 1984.

22. J.P.Boris, A Vectorized NEAR NEIGHBORS Algorithm of Order N Using a Monotonic Logical Grid, Journal of Computational Physycs, 66, 1986

23. Моделирование пластовых систем.

24. В.Я.Булыгин, Д.В.Булыгин, Имитация разработки залежей нефти, Недра, Москва, 1990.с

25. Х.Азиз, Э.Сеттари, Матеметическое моделирование пластовых систем, Институт компьютерных исследований, Москва, 2005.

26. Г.И.Баренблатт, В.М.Ентов, В.М.Рыжик. Движение жидкостей и газов в природных пластах, Недра, Москва, 1984.

27. Ю.П.Желтов, Механика нефтегазоносного пласта, Недра, Москва, 1975.

28. Ю.П.Желтов, Разработка нефтяных месторождений, Недра, Москва, 1986.

29. Р.Коллинз, Течение жидкостей через пористые материалы, Мир, Москва, 1964.

30. Г.Б.Кричлоу, Современная разработка нефтяных месторождений проблемы моделирования, Недра, Москва, 1979.

31. М.М.Максимов, Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений, Недра, Москва, 1976.

32. Е.А.Ломакин, В.А.Мироненко, В.М.Шестаков, Численное моделирование геофильтрации, Недра, Москва, 1988.

33. Численное моделирование в задачах гидрогеодинамики.33. под ред. Р.С.Штенгелова, Гидрогеодинамические расчеты на ЭВМ, изд-во МГУ, Москва, 1994

34. Ф.М.Бочевер и др, Основы гидрогеологических расчетов, Недра, Москва, 1969

35. Я.Бэр, Д.Заславски, С.Ирмей, Физико-математические основы фильтрации воды, Мир, Москва, 1971.

36. И.К.Гавич, Теория и практика применения моделирования в гидрогеологии, Недра, Москва, 1980.

37. Е.А.Ломакин, В.А.Мироненко, В.М.Шестаков, Численное моделирование геофильтрации, Недра, Москва, 1988.

38. Л.Лукнер, В.М.Шестаков, Моделирование миграции подземных вод, Недра, Москва, 1986.

39. П.Я.Полубаринова-Кочина, Теория движения грунтовых вод, Наука, Москва, 1977.

40. Применение ЭВМ в практикуме по динамике подземных вод, изд-во МГУ, Москва, 1987.

41. Численное моделирование в задачах расчетов оснований сооружений.

42. В.Г.Березанцев, Расчет оснований сооружений, Стройиздат, Ленинград, 1970.

43. М.В.Берлинов, Основания и фундаменты, Высшая школа, Москва, 1998.

44. Б.И.Дидух, Механика грунтов, изд-во УДН, Москва, 1990.

45. И.И.Кандауров, Механика зернистых сред и ее применение в строительстве, Стройиздат, Ленинград, 1988.

46. К.Терцаги, Теория механики грунтов, Госстройиздат, Москва, 1961.

47. В.Г.Рекач, Руководство к решению задач по теории упругости, Высшая школа, Москва, 1966.

48. Л.П.Винокуров, Прямые методы решения пространственных и контактных задач для массивов и фундаментов, изд-во ХГУ, Харьков, 1956.

49. Н.И.Безухов, О.В.Лужин, Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач, Высшая школа, Москва, 1974.

50. Э.Митчелл, Р.Вэйт, Метод конечных элементов для уравнений с частными производными, Мир, Москва, 1981.

51. Дж.Оден, Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, Мир, Москва, 1976.

52. ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ51 . Шумейко А.Э. Экономичный метод численного расчета упругого полупространства. // Журнал Механика Деформируемого твердого тела. №4. -2008. -С. 18-24.

53. Шумейко А.Э. Экономичный метод численного расчета оснований зданий. // Жилищное строительство. №10. -2007. -С. 22-24.

54. Шумейко А.Э. Современный метод расчета уровня грунтовых вод при застройке территорий. // Жилищное строительство. №12. -2007. -С. 25-26.

55. Тезисы на конференции Евроазиатского геофизического общества в 1997 году

56. Тезисы на конференции в Российском государственном университете нефти и газа в 1997 году.