автореферат диссертации по химической технологии, 05.17.08, диссертация на тему:Моделирование макрокинетики процессов переноса в химической технологии

На правах рукописи

А А'^

Вязьмин Андрей Валентинович

МОДЕЛИРОВАНИЕ МАКРОКИНЕТИКИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

05.17.08 - Процессы и аппараты химических технологий

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

005538443 | ; ¡ 0;] 2013

Иваново - 2013

005538443

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)» (ФГБОУ ВПО «Университет машиностроения»).

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Полянин Андрей Дмитриевич

- Павленко Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН,

Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, заведующий лабораторией низкотемпературной теплофизики

Ведущая организация

- Тимашев Сергей Федорович

доктор физико-математических наук, профессор, Научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я. Карпова, главный научный сотрудник

- Скурыгин Евгений Федорович

доктор физико-математических наук, доцент, Ярославский государственный технический университет, профессор кафедры прикладной математики и вычислительной техники

Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, г. Москва

Защита диссертации состоится «09» декабря 2013 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д212.063.05 при Ивановском государственном химико-технологическом университете по адресу: 153000, г. Иваново, пр. Ф. Энгельса 7, ауд. Г205. Тел., факс: (4932) 32-54-33. E-mail: dissovet@isuct.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ивановского государственного химико-технологического университета по адресу: 153000, г. Иваново, пр. Ф. Энгельса 7.

Автореферат разослан « •d/y> ¿7/ГS?£}>.9 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета, д.ф.-м.н., профессор ¿^Л —' Галина Альбертовна Зуева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современный прогресс человеческой цивилизации нельзя представить без развития химической и смежных с ней отраслей промышленности. Их движение вперед невозможно без совершенствования соответствующих процессов, аппаратов и машин, направленного на повышение объемов производства и качества продуктов, снижения энерго- и металлоемкости, обеспечения экологической безопасности и т.д. В основе такого развития должно лежать все более глубокое понимание теоретических основ химико-технологических процессов. Это подразумевает установление качественных и количественных закономерностей и связей между параметрами, характеризующими процессы, выявление особенностей их проявления, а также разработку методов их расчета.

Развитие теоретических основ химической технологии и науки о процессах и аппаратах идет несколькими взаимодополняющими направлениями: экспериментальным и численным моделированием, путем аналитического точного и приближенного решения соответствующих уравнений сохранения. Используемые в химической технологии системы чрезвычайно сложны. Как правило, в них одновременно протекают гидродинамические, связанные с движением сред, тепловые и диффузионные, связанные с переносом энергии и массы, процессы. Все это осложняется наличием химических реакций, сложной геометрией областей переноса, неоднородностью и анизотропией сред, наличием различных физико-химических взаимодействий и т.д. Поэтому с точки зрения изучения процессов и аппаратов химической технологии правильно говорить о комплексе макрокинетических закономерностей, которые ими управляют. Здесь чрезвычайно важны эффекты взаимного влияния различных геометрических и физико-химических факторов, существенным образом изменяющие закономерности переноса по сравнению с простыми процессами, которые ранее широко использовались в расчетных методиках.

Все сказанное выше определяет аетуапьностъ выбранной темы исследования макрокинетических проблем переноса, связанных с природной сложностью и неоднородностью химико-технологических сред и особенностями их реализации в соответствующих аппаратах. Часто нет необходимости осуществлять привязку полученных результатов к какому-то конкретному процессу или типу аппаратов, поскольку здесь рассматриваются в основном общие закономерности, проявляющиеся в целых классах химико-технологических процессов.

Объектом исследований являются основные макрокинетические закономерности, проявляющиеся при переносе импульса, энергии и массы в химической технологии при наличии различных осложняющих факторов, к которым относятся: неоднородность и анизотропия коэффициентов температуропроводности и диффузии, конечность скорости переноса тепла и массы, сложность геометрии областей переноса, наличие одно, двух или

многокомпонентных химических реакций, конвекция в жидких средах, поверхностные термо- и хемокапиллярные взаимодействия, конечные времена релаксации и другие.

Методы исследования. Для выполнения исследования были разработаны и использованы следующие теоретические методы: новые методы декомпозиции нестационарных трехмерных систем уравнений медленного движения вязких и вязкоупругих жидкостей; новые дифференциально-разностные модели гидродинамики, теплопроводности и диффузии с конечным временем релаксации; новый метод асимптотической интерполяции с коррекцией по контрольным точкам; современные методы обобщенного и функционального разделения переменных и нелинейной устойчивости; классические методы линейной устойчивости и балансовых соотношений и др.

Цель и задачи исследования. Целью работы является определение основных закономерностей макрокинетики процессов переноса импульса, тепла и вещества в химико-технологических жидких средах при наличии усложняющих факторов различной геометрической и физико-химической природы на основе точных и приближенных решений уравнений сохранения и построение на их основе простых формул, пригодных для инженерных расчетов. Для осуществления поставленной цели необходимо разработать новые методы, модели и решить следующие задачи:

• разработать методы точного решения (декомпозиции) нестационарных трехмерных систем уравнений медленного движения вязких жидких сред, обладающих как ньютоновскими так и неньютоновскими (вязкоупругими) реологическими свойствами;

• получить новые точные решения уравнений гидродинамики, тепло- и массопереноса при наличии усложняющих факторов различной физико-химической природы и продемонстрировать возможности их использования на примере решения модельных задач химической технологии;

• исследовать особенности макрокинетики процессов переноса в химико-технологических средах с учетом конечности времен релаксации с использованием дифференциально-разностной модели и получить решение конкретных задач;

• установить основные макрокинетические закономерности процесса хемосорбцин в условиях возникновения хемокапиллярной межфазной неустойчивости;

• разработать новый приближенный метод построения простых формул, пригодных для инженерных расчетов, и получить приближенные асимптотические соотношения с хорошей степенью точности дня расчета конкретных гидродинамических и тепло- и массообменных процессов.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:

► Предложены несимметричный и симметричный методы декомпозиции трехмерных систем уравнений медленного движения вязких и вязкоупругих жидкостей. Эти

методы основаны на расщеплении систем связанных уравнений на несколько более простых независимых уравнений. Показано, что при отсутствии массовых сил любое решение рассматриваемых стационарных и нестационарных уравнений выражается через решения двух независимых уравнений (в частности, решения уравнений Стокса выражаются через решения уравнений теплопроводности и Лапласа).

► Получены новые точные решения уравнений Навье-Стокса и осесимметричного пограничного слоя, описывающие особенности движения жидких сред с осевой симметрией (в каналах, струях и при обтекании цилиндрических поверхностей).

* Построены новые точные решения уравнений переноса тепла и вещества, описывающие макрокинетику процесса при наличии усложняющих факторов: анизотропии и неоднородности среды переноса, одно-, двух- и многокомпонентных химических реакций, конвекции. Ваясно отметить, что впервые получен ряд решений для уравнений переноса, содержащих произвольные функции температуры и концентрации. Исследована задача о тепловом взрыве в анизотропной среде.

► Предложена новая реологическая модель вязкоупругой жидкости с запаздыванием. Из этой модели при малых временах релаксации следуют модели Максвелла и Олдройда. Получено точное решение второй задачи Стокса с релаксацией. Аналогичная модель предложена для описания тепло- и массопереноса в жидких средах, учитывающего конечность скорости распространения тепла и массы. Впервые получены решения нестационарных задач о распространении тепла в полубесконечном жидком слое при произвольном изменении температуры на границе и переносе тепла в плоском канале. Установлены макрокипетические особенности переноса для конечных времен релаксации.

*■ Описан новый сценарий возникновения самопроизвольных конвективных течений при хемосорбции, определено время задержки и оценена скорость осаждения капель продукта реакции, установлены макрокипетические особенности процесса хемосорбции на краевом мениске смачивания. Показано, что в отсутствии гравитации конвекция при хемосорбции может возникать по хемокапиллярному механизму, исследована ее линейная и нелинейная устойчивость. Оценены масштабы возникающих конвективных структур и скорости массопереноса.

► Предложен метод асимптотической интерполяции с коррекцией по контрольным точкам, который позволяет получать приближенные формулы, с хорошей точностью описывающие всю область изменения характерного параметра задачи, в том числе и при наличии экстремумов.

Получены пригодные во всем диапазоне значений определяющего параметра новые приближенные и асимптотические формулы (с указанием их точности) для расчета: средней скорости и теплового потока в трубах произвольного поперечного сечения; коэффициентов массоотдачи частиц произвольной формы; коэффициентов массоотдачи

твердых частиц и пузырей при произвольных числах Пекле; профиля скорости в пристеночном слое при течении жидкости в гладких трубах; коэффициента сопротивления при движении жидкости в шероховатых трубах и другие формулы, полезные в химико-технологических расчетах.

чическая значимость выполненных исследований определяется следующим. Во-Пс ! предложенные методы могут быть использованы для решения практически

важных задач гидродинамики и тепло- и массопереноса, не рассмотренных в диссертационной работе. Во-вторых, полученные точные решения могут быть использованы для анализа макрокинетических закономерностей конкретных процессов, исходя из которых могут быть рассчитаны их интегральные характеристики, такие как коэффициенты сопротивления и тепло- и массоотдачи. Эти решения могут бьгть использованы в качестве тестовых задач для проверки результатов численного моделирования. В-третьих, данные о сценарии развития хемосорбции и результаты изучения ее макрокинетики позволят предложить способы интенсификации этого процесса. В-четвертых, полученные приближенные и асимптотические формулы могут быть использованы при проведении инженерных расчетов конкретных аппаратов химической технологии.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Liquid Matter Conference of Europhysics (Lyon, France, 1990; Firenze, Italy, 1993; Konstanz, Germany, 2002); 4я1 World Congress of Chemical Engineering "Strategies 2000", Karlsruhe, Germany, 1991; 9й International Symposium on Surfactants in Solutions, Vama, Bulgaria, 1992; International Congress of Chemical Engineering "CHISA" (Praha, Czech Republic, 1996; 2000; 2002); Всероссийской конференции «Математические методы в химии-8», Тула, 1993; IV-й Международной научной конференции «Методы кибернетики химико-технологических процессов», Москва, 1994; Международной конференции «Математические методы в химии и химической технологии-9», Тверь, 1995; 9"1 International Conference on Surface and Colloid Science, Sofia, Bulgaria, 1997; Международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (Владимир, 1998; Великий Новгород, 1999; Санхт-Петербург, 2000; Смоленск 2001; Тамбов, 2002; Ростов на Дону, 2003; Казань 2005; Воронеж, 2006; Нижний Новгород, 2013); Международной научной конференции «Жидкофазные системы и нелинейные процессы химии и химической технологии», Иваново, 1999; 4-й международной конференции «Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах», Москва, 2000; Международной научной конференции «Организация структур в открытых системах», Алматы, 2001; Международной научной конференции «Инженерная запита окружающей среды», Москва, 2002, 2003; Зимней школе по механике сплошных сред (тринадцатой), Пермь, УрО РАН, 2003; International Symposium on Transient Convective Heat and Mass Transfer in Single and Two-Phase Flows, Cesme, Izmir, Turkey, 2003; European Congress of

Chemical Engineering "ECCE" (Granada, Spain, 2003; Copenhagen, Denmark, 2007, Hague, Netherland, 2013); International Marangoni Assosiation Congress, Brussels, Belgium, 2004; Jordan International Chemical Engineering Conference V, Amman, Jordan, 2005; International Topical Team Workshop "Two-Phase Systems for Ground and Space Applications" (Brussels, Belgium, 2006; Beijing, China, 2012); lO"1 International Chemical and Biological Engineering Conference, Braga, Portugal, 2008.

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 70 научных работ, основные из которых приведены в заключительной части автореферата, в том числе 32 научные работы в журналах из списка ВАК, 6 монографий и справочников.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 192 страницах машинописного текста, содержит 29 рисунков и 12 таблиц. Список используемой литературы включает 286 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы. Сформулированы основные цели и задачи, которые решались при проведении исследований.

Первая глава представляет собой анализ литературных данных (в том числе и собственных), использованных при выполнении исследований.

В первом разделе первой главы определена роль и дано описание классических и новых теоретических методов в исследовании макрокинетики основных гидродинамических, тепло- и массообменных процессов химической технологии. Такие методы условно можно разделить на четыре класса: точные, асимптотические, численные и приближенные. Приведено краткое описание методов каждого класса, указаны их основные достоинства и недостатки. В этом же разделе подробно описан точный метод обобщенного и функционального разделения переменных, который широко применялся в работе для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме того, описан приближенный метод асимптотической интерполяции, новая модификация которого использована далее для получения формул для инженерных расчетов.

Во втором разделе первой главы рассмотрены некоторые точные решения уравнений гидродинамики и тепло- и массопереноса. Основное внимание уделялось решениям, полученным методами обобщенного и функционального разделения переменных, многие из которых ранее не были получены групповыми методами. Для задач химической технологии представляют интерес точные решения уравнений тепло- и массопереноса, содержащие произвольные функции для коэффициентов переноса н скоростей химических реакций. Рассмотрены точные решения систем реакционно-диффузионного типа, моделирующих двуххомпонентные химические реакции. Особое внимание уделено анализу макрокинетики нестационарных процессов гидродинамики и тепло- и массопереноса при наличии

релаксационных процессов. Проанализированы применяемые для этого модели и приведены характерные значения тепловых и диффузионных времен релаксации.

Третий раздел первой главы содержит целый ряд точных соотношений по гидродинамике и теплообмену в трубах с некруглым поперечным сечением и массоперепосу к частицам несферической формы, на основе которых в дальнейшем получен ряд приближенных формул с широким диапазоном применимости, удобных для инженерных расчетов.

В четвертом разделе первой главы проанализированы некоторые экспериментальные данные по макрокинетике хемосорбционных процессов, особое внимание уделено оптическим методам изучения структуры возникающих течений и полученным при этом результатам. Рассмотрены физико-химические механизмы образования конвективных течений при хемосорбции и теоретические методы исследования порождающих их неустойчивостей. Кратко проанализированы подходы по изучению неустойчивости на нелинейной стадии развития и приведены результаты оценки скорости массопереноса в условиях самопроизвольной межфазной конвекции.

Во второй главе описаны новые точные и приближенные решения линейных и нелинейных систем уравнений гидродинамики. Эти результаты представляют прямой интерес для изучения фундаментальных закономерностей движения жидких сред в аппаратах химической технологии, поскольку дают возможность напрямую анализировать их особенности. Являясь решениями уравнений сохранения импульса, приведенные соотношения, описывают целые классы процессов различной природы.

В первом разделе второй главы показано, что система трехмерных нестационарных уравнений Стокса, описывающая медленные движения вязкой несжимаемой жидкости, допускает два типа декомпозиции: несимметричную и симметричную. Общее решение системы четырех связанных через уравнение неразрывности и давление уравнений представляется через функцию псевдопотенциала, удовлетворяющего уравнению Пуассона, и две вспомогательные функции, удовлетворяющие уравнениям теплопроводности.

В прямоугольной декартовой системе координат х, у, г система трехмерных нестационарных уравнений Стокса записывается в виде

и, = -рх + уДй,

= -рг + уДи», ^

их + уу + = О,

где и, v, № - компоненты вектора скорости жидкости, / - время, р - приведенное давление (отнесенное к плотности жидкости), V - кинематическая вязкость, Д - оператор Лапласа, здесь и далее нижние индексы х, у, г означают частные производные по времени и соответствующим координатам.

Любое решение уравнений Стокса (1) можно представить в виде

и = д>х, у = ч> = <р2 + С;, р = уЦчр-<р,+р0Ц), (2)

где ро(0 - произвольная функция, функции т] = т;(хуу,г,1) и £ = £{х,у,г,г) являются решениями двух независимых уравнений теплопроводности

7, *1> (3)

а псевдопотенциал <р определяется из уравнения Пуассона

А <Р=-Г1у-$г- (4)

Из решения (2) - (4) следует, что если начальные и граничные условия заданы для компонент скоростей жидкости и, V, то никаких условий на давление р задавать не надо.

На основе этого подхода получены также: решение системы уравнений Стокса при движении жидкости в присутствии неконсервативных массовых сил; точные решения с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных, описывающие осевые течения. С помощью точных решений для осевых течений рассмотрен ряд модельных задач о возникновении межфазной конвекции при нагреве поверхности жидкости лазерным излучением. Кроме того рассмотрена трехмерная система уравнений Озеена и показано, что ее решение сводится к решению уравнений конвективной теплопроводности с постоянными компонентами вектора скорости и уравнению Пуассона.

Во втором разделе второй главы для поиска точных решений двумерной стационарной нелинейной системы уравнений Навье-Стокса использован метод обобщенного разделения переменных. Вводя функцию тока у по формулам и = дц//ду, у = -дц//дх с последующим исключением давления, эти система приводятся к одному уравнению четвертого порядка

= уААЦ/. (5)

Уравнение (5) допускает решения с обобщенньм разделением переменных в форме

ИХу) = Л»* + в(у). (б)

После подстановки (6) в (5) придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка, интегрирование каждого уравнения которой позволило получить систему уравнений третьего порядка

+ (7)

+ (8) где А и В- произвольные постоянные. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что уравнение (7) при А = 0 имеет следующие точные решения:

Р(у) = ау + Ь, Р(у) = 6у(у + а)'\ Р{у)=^а^Ху + Лу, (9)

где а, Ь, X ~ также произвольные постоянные. Уравнение (8) подстановкой £/ =

приводится к линейному неоднородному уравнению второго порядка, которое полностью интегрируется. Решение при = кИу) описывает ламинарное движение жидкости в плоском канале с пористыми стенками.

Уравнение (5) допускает решения с обобщенным разделением переменных более общего вида у/(хУ) = Щг)х + где г = у + кх, а функции Г = Р(г) и С? = <Э{г) находятся из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнение (5), записанное в полярных координатах, также допускает решение с обобщенным разделением переменных линейное по угловой координате.

Для системы нестационарных уравнений осесимметричного ламинарного гидродинамического пограничного слоя, используемых для описания струй и пограничного слоя на протяженной цилиндрической поверхности, также получены решения с обобщенным разделением переменных вида (б).

Показано, что трехмерная система уравнений Навье-Стокса сводится к системе двух уравнений для двух функции тока <р и у/. Компоненты вектора скорости жидкости в этом случае выражаются по формулам и — <РУ, V = ~(рх +Ц/2, V) = -у/у.

В третьем разделе второй главы рассмотрены медленные течения вязкоупругих несжимаемых жидкостей, которые на малых временах ведут себя как твердые тела, а на больших - как вязкие жидкости. В общем случае медленные движения несжимаемой сплошной среды в декартовых координатах х\,хг, описываются уравнениями ди■ ¿,9<т/;

-¿-Ъф '-ид <10>

где ы, - компоненты вектора скорости и, о, - отнесенные к плотности р компоненты тензора напряжений, вид которых определяется реологической моделью среды, г - время.

В общем случае линеаризованное уравнение состояния любой изотропной несжимаемой вязкоупругой среды можно записать в виде

Ща^-рЗу + К^], (11)

где Ми К- линейные операторы по переменной 1,р и е^ - отнесенные к плотности давление и компоненты тензора скоростей деформаций, - символ Кронекера. В табл. 1 приведены

примеры линейных операторов, определяющих уравнение состояния (11). Используя (11), получим уравнения движения вязкоупругих жидкостей общего вида

где оператор I выражается через операторы Ми К следующим образом:

Таблица 1.

Некоторые реологические модели еязкоупругих жидкостей

№ п/п Оператор М[о] Оператор Це] Реологическая модель среды

1 о 2уе Ньютона

2 О + ТСТ, 2уе Максвелла

3 СГ + ТСТ, 2иг + Яе, Олдройда

4 (7 + 0,0-, +а2ег„ 2иг + Ье, Бюргерса

5 <т + 0|<7( + а2и„ 2и* + 6,е, + Ь2е„ Бюргерса обобщенная

6 Общая дифференциальная

8 а 2№ + а^ехр[-/1(/-5)]е|^ сЬ Интегродифференциальная Олдройда

9 а 2ие + ^О-з)^ ф Интегродифференциальная с разностным ядром

10 2уе Дифференциально-разностная

(15)

Щ-9х,+4, "2 = <Р^ +1, "3 =<Рх,+С, Р = ~Ц.9] + Р0(.0, (14)

где функции £ = £(хих2,х},0, П = п{хх,х2,хг,1), С = <Г(*„*2,*з.') удовлетворяют трем одинаковым уравнениям

4<л = 0, Д7] = О, ДО О,

а псевдопотенциал <р является решением уравнения Пуассона

= (16) В (14Н16) без ограничения общности одну из функций £ = <%(х\,х2,х1,1), Ч ~ Ч(х,,х2,х3,1), ,х2,х3,Г) можно положить равной нулю.

Полученные решения обобщены на случай, когда система уравнений (12) содержит члены, учитывающие неконсервативные массовые силы.

В строке 10 табл. 1 представлена дифференциально-разностная модель вязкоупругой жидкое™. Она содержит только один дополнительный по отношению к модели ньютоновской жидкости реологический параметр - время релаксации т. При малых г из нее следуют модели Максвелла и Олдройда (см. строки 2 и 3 табл. 1). Систему уравнений движения вязкой жидкости для этой модели можно записать

= -Ур + 1/Ди, фу и = 0,

(17)

где и = (иии2,и}) - вектор скорости. В уравнении(17) производная в левой части берется со сдвигом по времени при ( + т.

Для уравнений движения (17) сформулированы начальные и граничные условия.

мотрена вторая задача Стокса для вязкоупругой жидкости, описываемая диффг но-разностной системой уравнений (17). Две компоненты скорости и

давлет. ы нулю, а единственная в системе (17) отличная от нуля продольная компонента скорости жидкости и{ = ц(г), где г = удовлетворяет уравнению

Ы+г = и<« О»)

и периодическим граничным условиям (задача без начальных условий) и = и0со$(а>1) приI = 0, и —> 0 при2 ->да. Его решение имеет вид

и = и0е~^ совО» Г - /Зг),

Г1 + ятС гтаУ1

(19)

(20)

[1 + 5т(га)]|/2 '

Решение (19), (20) при г = 0 переходит в решение второй задачи Стокса для уравнений Навье-Стокса (строка 1 табл. 1), а при малых гсо переходит в соответствующее решение для гиперболических уравнений, следующих из модели Максвелла (строка 2 табл. 1).

В четвертом разделе второй главы рассмотрена новая модификация метода асимптотической интерполяции, использующая известные двухсторонние асимптотики решения соответствующей задачи и значения искомой функции в промежуточной области. Пусть помимо известных главных членов асимптотических разложений рассматриваемой величины _у= Xх) при малых и больших значениях характерного параметра

при х-+0, /2(х) при г->оо, (21)

известны значения этой величины в некоторых контрольных точках промежуточной области

х1,х2,...,хп,

(22)

УиУг,-,У„.

полученные из численного решения или экспериментальных данных.

Структуру приближенной интерполяционной формулы, которая имеет асимптотики (21), удобно задать в виде их линейной комбинации

Я?) =ЖхЫх) +/2(*М*). (23) где £2 - функции-переключатели, удовлетворяющие условиям

г-,-»! при х->0, е, 0 при х-ко,

с2-Ю при х->0, £-2->1 при х —оо. ('24)

В диссертации указано большое количество функций-переключателей различного вида. Постоянные, входящие в функции-переключатели, находятся из условия наилучшего совпадения искомой функции у с контрольными точками.

Указанный метод использован для построения приближенных решений некоторых гидродинамических задач.

В пятом разделе второй главы рассмотрено приближенное решение задачи определения гидродинамических характеристик ламинарного течения в гладких трубах различного сечения. В выражения для объемного расхода и максимальной скорости жидкости в трубе введены коэффициенты формы, которые зависят от геометрического параметра, характеризующего форму поперечного сечения -Js/p, где Sup- площадь и периметр поперечного сечения трубы. Получены простые зависимости коэффициентов формы от этого параметра, имеющие приемлемую для инженерных расчетов точность.

Методом асимптотической интерполяции получено приближенное выражение для профиля скорости при турбулентном течении в круглой трубе. Для описания турбулентного течения жидкости в пристеночном слое введем динамическую скорость U-, безразмерную внутреннюю координату х и безразмерную скорость жидкости у.

u'=JtJp, x=YU,/v, у = V{Y)/U,. Касательное напряжение вычисляется по формуле г„ = (1/2)Л(ДЯ/Л), где АР - полный перепад давления на длине трубы L,R- радиус, Y - поперечная координата.

В пристеночном слое выделим, следуя Карману, три подобласти: вязкий подслой, буферную область, логарифмический слой. В вязком подслое имеет место линейное распределение средней скорости жидкости: у = х при 05*55. Средняя скорость в логарифмическом слое описывается зависимостью у = 2,5 In х + 5 при * > 30, которая называется «законом стенки» Прапдтля.

Используя процедуру асимптотической экстраполяции с коррекцией по имеющимся в литературе экспериментальным данным, построена интерполяционная формула

с погрешностью в контрольных точках около 1,0 %.

Предложенный метод применялся для построения приближенных формул, когда зависимость искомой величины от характерного параметра имеет экстремумы. В диссертации приведены примеры построения таких формул для расчета гидравлического сопротивления при турбулентном течении в шероховатых трубах.

В третьей главе приведены результаты исследований макрокинетаки процессов тепло- и массопереноса при наличии различных усложняющих факторов, имеющих место в химической технологии. К ним относятся тепловая и диффузионная анизотропия и

неоднородность таких срад как гели, шламы, суспензии и т.д., и необходимость учета при расчете нестационарных процессов конечности скорости переноса тепла и вещества (релаксационных процессов). Кроме того, важное практическое значение приобретают задачи построения приближенных формул для инженерных расчетов теплопереноса в трубах некруглого сечения и массообмена частиц несферической формы.

В первом разделе третьей главы получены точные решения трехмерных стационарных уравнений тепло- и массопереноса в анизотропной среде со степенной и экспоненциальной нелинейностью.

Однако наибольший интерес представляют решения подобных уравнений, когда коэффициенты переноса являются произвольными функциями температуры или концентрации и отличаются в зависимости от направления переноса. Такое наиболее общее уравнение можно записать

Ш)ТХ I + [г(Т)Ту + [КТ)Т2 = 0. (25)

Уравнение (25), например, имеет «одномерное» точное решение

Т = Т(в\ р_С\У + Сг2 + Съ V '' х+С,

где С|, Съ С}, С), - произвольные постоянные, а функция Т\0) является решением обыкновенного дифференциального уравнения

№2Г{т)твЪ+с1ыт)тв]0 + сг2[к(т)тв]в = о.

Оно допускает первый интеграл [92/(Т) + С^(Т) + С^к(Т)]Тв = С5 . Для С, + 0 принимая Г за независимую переменную, для функции в = 0(7) получим уравнение Риккати

Сьвт = в2/(Т) + С,2я(Г) + ф(Т), которое сводится к линейному уравнению второго порядка.

Уравнение (25) имеет также ((двумерные» точные решения вида

Т(х, у, г) = Щх, £), ( = ау + ¿г, (26)

где а и Ь - произвольные постоянные. При этом неизвестная функция С/ = Ц(х, £) определяется из решения дифференциального уравнения

[/ТО, 1 + Р(и) = а28(и) + Ь2Ци1 (27)

которое допускает линеаризацию. Уравнение (27) можно представить в виде системы уравнений

Ди)их = У(, -¥{и)и( = Ух. (28)

Преобразование годографа

х = х{.и,У), {=ШУ), когда £/и V принимают за независимые переменные, а х и £ - за зависимые переменные, приводит (28) к линейной системе

/{и)4у = %, -<//(1г)ху = 4и. (29)

Исключая отсюда £ для функции х = х(С/, V) получим линейное уравнение

[Г\Щхи]и+¥{и)хуу ^ 0. (30)

Таким образом, процедура построения точных решений уравнений (29) состоит из двух этапов. Сначала стоится точное решение линейного уравнения (30) для ж = х(1/, V), а затем из системы уравнений (29) находится функция (= ДО, V) в виде

где С/0 и К0 - произвольные постоянные. Полученные указанным способом выражения будут давать точные решения уравнения (27) в параметрическом виде.

Во втором разделе третьей главы рассмотрены дифференциально-разностностные модели теплопроводности и диффузии с конечным временем релаксации вида

(31)

Левая часть уравнения (31) вычисляется при / + г, где г - время релаксации, а правая часть, как обычно, при и При т = 0 соотношение (31) переходит в закон Фурье. Физический смысл (31) в том, что процесс теплопереноса в локально-неравновесных средах обладает инерционными свойствами: система реагирует на тепловое воздействие не в тот же момент времени I, как в локально-равновесном случае, а на время релаксации г позже. Появление модели (31) связано с тем, что обычный закон Фурье дает бесконечную скорость распространения тепла.

Модель (31) при малых г использовалась в ряде работ других авторов для обоснования модели Катганео - Вернотге, из которой было выведено гиперболическое уравнение тепло- и массопереноса. При / ~ г нельзя использовать разложение в ряд по г и следовательно, нельзя вывести модель Катганео - Вернотге, исходя из (31). Очевидно также, что при конечных значениях г эти модели существенно отличаются. Здесь модель (31) использована без каких-либо упрощений для получения и анализа дифференциально-разностного уравнения теплопроводности, а также для формулировки и решения некоторых тепловых (диффузионных) задач с конечным временем релаксации.

Модель (31) приводит к дифференциально-разностному уравнению теплопроводности с конечным временем релаксации

(32)

где 7]<+г = Г(г, I + т). Показано, что уравнение (32) имеет точные решения с разделяющимися переменными, периодические по времени (типа «бегущей волны») и полиномиального типа.

Для уравнения (32) получено точное решение задачи Стокса с произвольным периодическим условием на границе.

Рассмотрена задача об установлении температуры в плоском канале, на стенках которого поддерживается постоянная температура (равная нулю). Начальное условие считаем произвольным: Т = /(*)приOit<r. При г « 1 приближенное решение этой задачи ищется в виде суммы

r = 2Xexp[-AB(f-r)]smp-pJ, mt, (33)

где А„ - коэффициенты разложения функции fix), входящей в начальное условие, в ряд Фурье по синусам, а Х„ - положительные корни трансцендентного уравнения

Л„ехр(-Л„т) = а(лп/1)2. В этом же разделе рассмотрена трехмерная задача для дифференциально-разностного уравнения теплопроводности

Г, =аДГ|/_г+.Р(г,г), геГ

с соответствующим начальным условием и граничным условием третьего рода

аТ + р{дТ/дп) = Ъ, г eS где а > О, Д > 0, а + /? > 0, г = (г, у, z), S - граница конечной области V, дТ/дп - производная по нормали к поверхности S.

Приближенное решение ищется в виде суммы

T = iuk №(г),

где Щг) - собственные функции стационарной задачи на собственные значения

ДГ = -Л7\ геК,

с тем же граничным условием. Функции щ(1) описываются соответствующими обыкновенными дифференциально-разностными уравнениями, методы решения которых обсуждаются в диссертации.

Далее кратко рассмотрены более сложные дифференциально-разностные модели. В частности, описана модель типа Оддройда, которая приводит к уравнению теплопроводности (диффузии), содержащему смешанные производные третьего порядка, Кроме того приведены точные решения нелинейного уравнения с конечным временем релаксации Г, |;+r = [f(T)Tx ]х + g{T)\M для различного вида функций /7) и g(7).

В третьем разделе третьей главы получены соотношения, позволяющие расширить область применения приведенных ранее в первой главе результатов по теплообмену в трубах правильного поперечного сечения и массообмеиу к частицам разной правильной формы на случай произвольной геометрической формы труб и частиц. Здесь рассматривались задачи, которые условно можно интерпретировать как двумерные и трехмерные. Это связано с

различным видом представления характерного размера задачи, а соответственно и со способом введения параметра формы.

В качестве примера двумерной задачи в диссертационной работе приведены некоторые новые результаты для расчета предельных чисел Нуссельта, соответствующих области тепловой стабилизации потока (постоянного теплового потока) при больших числах Пекле в трубах произвольного поперечного сечения.

Рассмотрена также трехмерная задача о стационарной диффузии к частице произвольной формы в покоящейся среде. Здесь практический интерес представляет среднее по поверхности частицы число Шервуда, связанное со средним коэффициентом массоотдачи а соотношением Ы = где в - характерный масштаб длины, О - коэффициент

диффузии. Для анализа удобно ввести имеющий размерность длины фактор формы П - аЗ/й - 8Ь(£/а), где 5 - размерная площадь поверхности частицы.

Для фактора формы получена приближенная формула, которая обеспечивает достаточную для практических целей точность

/{<?)=л, 7?.

Здесь А, = 2л/тг я 3 545 <?-с—

1 ' ' 6 " безразмерный геометрический параметр,

Л = (36,)- « 2,199, где V-объем частицы. Параметр £ характеризует форму частицы и изменяется в пределах 0^1. Значение £ = 1 соответствует сферической частице Приведенные формулы дают хорошие результаты для слабо- и умеренно деформированных частиц выпуклой формы при 0,88^1 (эта условие выполняем, например, для кубических частиц и круговых цилиндров радиуса а и длины ¿при л <1 <3я).

Используя метод асимптотической

с коррекцией по точкам, рассмотрен

Рис. 1. Зависимость числа Шервуда у от числа Пекле х в случае массообмена сферического пузыря (линия - расчет по (34), точки -литературные данные)

интерполяции контрольным

массообмен сферического газового пузыря с поступательным стоксовым потоком вязкой жидкости. Безразмерным характерным параметром в этой задаче является число Пекле (х = ре), область изменения которого 0 < х < со, а искомой функцией - среднее по поверхности пузыря число Шервуда (у = БИ). Соответствующие асимптотики при х-»0 и х—задаются выражениями / = 1 и /2 —>0,461-Ух (см. рис. 1).

Используя процедуру асимптотической интерполяции, получена формула:

7 = СОЗ°'18!| 18ТТ)+ °'461^п°'25(| ЦЫ- (34)

максимальная погрешность которой при любых числах Пекле составляет не более 1,8 %. Аналогичная формула получена для массообмена твердой сферы.

В четвертой главе приведены результаты исследований макрокинетики процессов тепло- и массопереноса, учитывающие наличие одно, двух и многокомпонентных химических реакций и конвекции. Отличительной чертой полученных в этой главе точных решений является то, что в уравнения в качестве кинетической функции химической реакции входят произвольные функции концентрации, что позволяет говорить о точных решениях целых классов нестационарных диффузионно-кинетических уравнений.

В первом разделе четвертой главы рассмотрен широкий класс стационарных нелинейных трехмерных многокомпонентных систем диффузионно-реакционных уравнений с анизотропией

где /1(С|,...,С0 - кинетические функции.

Показано, что для степенных и (или) экспоненциальных функций р,(х,) (для произвольных кинетических функций Д) точные решения уравнения (35) имеют вид

г* = ]£>,(*,).

В качестве примера рассмотрим аналогичное трехмерное нелинейное уравнение теплопроводности

+(се-Тг\ =Р(Т), (зб)

в котором считаем, что п, т Ф 2, у ф 0. Оно имеет точное решение

т-ш

а(2-п)2 Ь(2-т) су1 где Г(г) определяется из обыкновенного дифференциального уравнения

г), (37)

В специальном случае и = тп = 0 уравнение (36) совпадает с радиально-симметричным нелинейным уравнением теплопроводности, записанным в цилиндрической системе координат. Если далее в качестве кинетической функции взять экспоненциальную функцию, то полученное уравнение совпадает с классическим уравнением задачи о тепловом взрыве'

Используя решение этой задачи, в диссертации получено точное решение более сложной трехмерной задачи о тепловом взрыве в анизотропной среде.

При моделировании химико-технологических процессов в химически-активных средах широко используется нелинейное нестационарное уравнение, когда кинетическая функция объемной химической реакции задается произвольной функцией концентрации, а коэффициент диффузии также зависит от нее произвольным образом

С,=[/(С)С,]г+£(С), (38)

где С - концентрация (температура), / - время, * - координата, ^и^- кинетическая функция химической реакции и коэффициент диффузии (температуропроводности) соответственно, которые считаются произвольными функциями концентрации.

Описаны два класса точных решений уравнения (38) следующего вида: С=С(г), 2 = Р(/)*+ ИУ) В ходе решения определены функции С(г), «,(,). чК» и установлена функциональная связь между ¿(С) »АО-

Во втором разделе четвертой главы приведены новые точные решения некоторых

нелинейных уравнений конвективного тепло- и массопереноса. При учете конвекции в

соответствующих уравнениях тепло- и массопереноса появляются дополнительные

слагаемые, описывающее перенос тепла или массы потоками жидкости или газа, «гто усложняет уравнение.

Рассмотрим, например, уравнение нестационарного двумерного конвективного массопереноса в анизотропной и неоднородной среде с объемной химической реакцией в стационарном поступательно-сдвиговом потоке

С/ +(а1х + Ь,у + с])Сх + (а2х + Ь2у + с2)Су = [/(С)С,+ [/2(С)Су]у -8(С),

где а,, вь 6,, Ь2, с„ с2 - постоянные, характеризующие гидродинамическое течение жидкости. Коэффициенты анизотропии Л и/2 и скорость химической реакции * считаются произвольными функциями. Для несжимаемой жидкости коэффициенты уравнения должны удовлетворять условию сц + Ь2 = 0.

Данное нелинейное уравнение допускает точные решения вида С = С(г), г = а2х + (Х-«,)>> + Ае\ где А - произвольная постоянная, \ = \,л- корни квадратного уравнения,

£-{.ах+Ь2)Л + ахЪ2-агЬ} =0,

а функция С(г) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

[Лг + а.с, +(Л-а,)с2]С; = [р(С)СЦ - ^, ?(С) = а*/1(С) + (Я-а1)2 /2(С).

В третьем разделе четвертой главы рассмотрены новые точные решения некоторых нелинейных систем уравнений диффузионно-кинетического типа. Такие системы встречаются, когда речь „дет о процессах, сопровождаемых двухкомпонентиыми

химическими реакциями. Учет сложной кинетики химических превращений делает модели нелинейными. Большой интерес вызывают точные решения, когда скорости химических превращений описываются произвольными функциями концентраций.

Рассмотрим систему двух нестационарных уравнений диффузии, связанных между собой за счет кинетической функции химической реакции

(С,), = ад )„+£?/(£:,/с2), (С^-ОД^+С^С./С,). (39)

При /[г) = гт, = г1"™ рассматриваемая система описывает химическую реакцию ¿-го порядка (порядка к-т по компоненте С, и порядка т по компоненте С2). Значениям к = 2 и т - 1 соответствует реакция второго порядка.

Система (39) имеет автомодельное решение вида

х + В,

где ВВг и Въ - произвольные постоянные, а функции У = Г(<Д и г = г© определяются путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

В условиях радиальной симметрии система двух нестационарных уравнений диффузии, которые связаны между собой за счет химической реакции, подобная (39) и взятая при к= 1, записывается в виде

(С,), =Дг-"[г"(С1)г],.+С,/(С,/С2)>

(С2), =£>2 г->"(С2)г]г +С2я(С,/С2). (40)

Здесь С, и С2 - концентрации реагентов, О, и А - их коэффициенты диффузии, I - время, г -радиальная координата, п = 1 и п = 2 соответствуют двумерному и трехмерному случаям.

Мультипликативное решение системы уравнений (40) с разделяющимися переменными найдено в виде

С,

1-я

с2 ='• 2 И/ДбО+ЛзУЛб/ОМ/),

где А, я А2- произвольные постоянные, ^(г) и Ги(г) - функции Бесселя. Неизвестные

функции <р(0 и (¡/(г) определяются путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

<р, = -Dtfcp + (pfiylvX

V' = -D2b2iy + ij/g(<p/y/). (41)

Здесь b - произвольная постоянная.

Система уравнений (40) имеет другой класс точных решений Ьа

С,=г 2 Wv(br) + А2К„(Ьг)}<р{1), и = Ьа

С2 = г 2 [А,1У(Ьг) + A2Kv(br)]y/{t),

где /.(,) и - модифицированные функции Бесселя. Неизвесшые функции ,(0 и К0

определяются путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (41)

Система уравнений (40) допускает решения вида С, = e"Aj<r), С2=е-*2(г), где ^ - произвольная постоянная, а функции v(r) и

_ 4 W и г1Г) определяются путем решения системы

обыкновенных дифференциальных уравнений. ния системы

В специальном случае D, = D2, система (40) допускает решение

С, = <p{t) g{f(t))dt\9(t, г), С2 = ^gU-{t))dt]e{t,r),

где функция „.,(,) описьшается „ным обьпштоь[м дафференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными

а функция 6 = 0{t.r) Удовлетворяет линейному уравнению диффузии

Кроме того з этом раздеде рассмотр5на система стацио

" К°НВе™°Й ^^ ~ между собой за счет кинТГкой

Ф™ химической реакции. Показано, что она сводится к системе двух обьГовеГ! Дифференциальных уравнений. обыкновенных

хемосо^Г'нГГноГГТк "" — ~

РОЦ и. на основании экспериментальных данных, полученных методом интерференционной лазерной спе„„и (сл. ^44 "

—- — ™ — и получены характерные значен^ маГа! и скоростей конвективных структур. Теоретическое исследование основано „а линейном и нелинейном анализе хемокапиллярной неустойчивое™, а также оценках баланса Хь производимой капиллярными силами, и ее диссипации.

5 "еРв0М Ра3деле ПЯт0й ~ "РУОГСЯ экспериментальные данные по макрокинетике хемосорбцил диоксида углерода водными раствора хемосорбентоГ Показан с비 и многостадийный характер временной эволюции процесс, включ« протекание химической реакции вблизи поверхности раздела фаз'по ТиффуГ!

механизму, возникновение неустойчивости по хемокапиллярному и(или) хемогравитационному механизму и развитие мелко- и крупномасштабной конвекции

раство'Гтн"11"" КаР™М ЛРЙ ^^ ДИОКСВДа ~и

раство ,МИ КОН и моноэтаноламика (МЭА) показала на рис. 2 (СЛ. Карлов, 2007) В обоих случая 'подается обрушение фронта капель и формирование многоструйного течения продукта реакции по направлению ко дну кюветы. При этом размер капель остается постоянным, но их количество „а фронте продукта реакции по мере его движения меняется. Сама линия фронта становится сложной и изрезанной

соответствующей движению раствор МЭА, в момент времени 1 = 12 с

вблизи поГЖеН СДеНаРИЙ Р™ ХеМОСОрбЦИИ' — К0Т0Р°МУ первоначально вблизи поверхности происходит формирование диффузионного пограничного слоя продукта

у~оГЧеНИеМ ВР~ еГ° — * — для поГ

устойчивости по хемокапиллярному и (или) хемогравитационному механизму. Причина задержки возникновения конвекции по отношению к моменту приведения реагируй фаз

л еТвГм°ВеНИе ВЫЗВ£Ша Не0бХ— — продукта реакции в ^ слое и временем развития возмущений от бесконечно малых до капельной структуры

Анализ показывает, что размер образующихся капель зависит от химической п^ Г^ГоГа о Х 7ремена 3адеРЖКИ еще И 0Т —— — енмРкГеГ

::г;ГвГнГр1с~от—и——

яеустоГ0"" ДаННЬК ПОЗВОЛИЛ° " , что в системах с КОН

неустойчивость развивается сразу по хемогравитационному механизму, а в системах с МЭА

сначала инициируется по хемокапиллярному, а далее усиливается по хемоТОИоНноМу оонаружены специфические особенности формирования конвективных течений на

р™ мТоГ Г~Я ПРИ ™Рб— — диоксида углерода воднь!

виде утолтп ^ РеаКЦМ СКаТЫВЗеТСЯ П0 —* Действием силы тяжести в

виде утолщающейся пленки, а формирование и отрыв капель начинается в области

межфазной границы, где она уже близка к горизонтальной. Таким образом, вблизи стенок возникает поперечная составляющая вектора скорости капель и окружающей жидкости. Это способствует формированию на масштабе кюветы крупномасштабной вихревой структуры.

В результате образуется вихрь, который движется вдоль межфазной границы от стенок кюветы к ее центру. Далее он поворачивает ко дну кюветы. Там продукт реакции формирует практически неподвижный жидкий слой по площади дна, вдоль которого водный раствор щелочи возвращается обратно к стенке и вдоль нее устремляется вверх к межфазной границе. Оценки скорости отрыва капель от межфазной поверхности дают около 1,0 мм/с. Это скорость крупномасштабного конвективного движения возникающего при хемосорбции.

В этом разделе также представлен анализ конвекции, образующейся на сферическом пузыре, а также качественно оценено влияние на движение капельного фронта поперечных сетчатых преградителей.

Во втором разделе пятой главы приведены результаты, полученные использованием методов линейной и нелинейной теории устойчивости, по макрокинетике межфазных явлений, возникающих при наличии на границе раздела гетерогенной химической реакции. При хемосорбции скорость реакции во много раз превышает скорости диффузионного и конвективного подвода реагента к поверхности, поэтому считалось, что реакционная зона локализована практически на самой межфазной поверхности. Это позволит использовать полученные результаты для моделирования макрокинетики начальной стадии процесса хемосорбции до возникновения хемогравитационной неустойчивости.

Рассмотрим неустойчивость, возникающую вблизи поверхности раздела, когда протекает модельная реакция А+В->С с кинетической функцией произвольного вида. Пусть плоская поверхность г = 0 разделяет два полупространства г > 0 и г < 0, заполненных первоначально покоящимися газом (далее у функции тока индекс ] = 1) и жидкостью (индекс 3 = 2)- Здесь г - координата, нормальная к поверхности раздела. В каждой из фаз растворен один из реагентов А (далее у концентрации и физико-химических коэффициентов индекс у = 1) и В 0' = 2), диффундирующих к границе раздела, где они вступают в химическую реакцию, причем продукт реакции С (/' = 3) растворим только в жидкости. В невозмущенном состоянии поля концентраций определяются соотношениями

= +(-!)>-'/?,*, У = 1,2,3, (42)

где с|, сг - объемные концентрации реагентов; с} - объемная концентрация продукта. Верхний индекс «0» соответствует невозмущенному состоянию системы. Нижний индекс «4» показывает, что значения концентраций принимаются при г-»0; /У,, Д и Д, -положительные градиенты концентраций реагентов и продукта реакции в соответствующих областях. На границе раздела фаз выполняется следующее граничное условие

= А А = Яэ/?з = (43)

где невозмущенные поверхностные концентрации у® связаны с объемными с®- условием термодинамического равновесия между раствором и поверхностным слоем

У° = ™ А-■ (44>

Здесь А, Дг, А) — соответствующие коэффициенты диффузии; т1 — постоянные равновесия Нернста; К- константа скорости химической реакции, 51 -кинетическая функция.

При малых возмущениях у ^ начальной концентрации у® коэффициент поверхностного натяжения апроксимируется линейной функцией

а = а°-а^ ~агуг. (45)

Здесь <т° - коэффициент поверхностного натяжения чистого растворителя в ясидкой фазе. Предполагаем, что межфазная граница является недеформируемой.

Вводя для каждой из фаз функцию тока у/ • и используя (45), линеаризованную гидродинамическую задачу можно записать в виде

дх dz2

j=1,2;

if/, -> 0 при z -> оо; цг2 _> о при z —> -оо; —- ~ О, -¿-J- = при z = 0;

дх

dz dz

(46)

при г = 0.

Здесь V^ - кинематическая вязкость, а ¡л} - V¡Р] - динамическая вязкость фаз. Последнее соотношение выражает баланс тангенциальных напряжений на поверхности.

Линеаризованные уравнения конвективной диффузии для возмущений объемных концентраций ц и соответствующие граничные условия запишем в виде дс

-¿j-H-V^PjVj, =DjAcj, j = 1,2;

с, -> 0 при z —> со; с2 -» 0 при z -> -оо; у} = nijCj при z = 0;

(47)

3z

дГх

Y |

л-л

г.-*'2

г,=г!

при z = 0.

При линейном анализе устойчивости решение задачи (46), (47) искалось в форме гармоник exp[i(a? - far)] с действительным положительным волновым числом к и амплитудами, зависящими от координаты г. Ограничимся анализом неустойчивости с нулевой частотой Re а = 0. Условие разрешимости системы позволяет получить выражение

для инкремента возмущений 1т а{к). Нейтральному состоянию соответствует ситуация 1га а{к) = 0.

Уравнение нейтральной устойчивости является кубическим. Оно имеет либо один либо три действительных корня. Согласно общей теории устойчивое™, неустойчивыми будут возмущения с волновыми числами, меньшими минимального из действительных корней этого уравнения. Анализ показал, что существует зона значений параметров задачи когда минимальный действительный корень уравнеция нейтральной устойчивости является положительным. Это доказывает возможность хемокапиллярной неустойчивости при хемосорбции.

Исходя из анализа нейтральной устойчивое™, следуют основные выводы:

- неустойчивость межфазной границы газ-жидкость может возникать при отсутствии транзитного переноса массы через нее, если имеет место поверхностная химическая реакция- диссипативные процессы, связанные с химической реакцией, могут повышать

устойчивость системы;

- наличие двух компонентов, обладающих поверхносшо-активными свойствами существенно изменяет условия потери устойчивости по сравнению со случаем, когда поверхностной активностью обладает один компонент.

При нелинейном анализе устойчивости для упрощения модели ограничимся ситуацией, когда имеется единственная нелинейность, связанная с двухкомпонентной химической реакцией второго поряди Полагаем, что кинетическая функция реакции описывается простейшей зависимостью. В этом случае вместо соотношения (43) дая баланса массы на границе используем более простое условие £>,/?, =£>2/?г =КГ?у%. Последнее ■ граничное условие (47) принимается в виде

А= = + Ап + ) при 2 = 0. (48)

Соотношение (48) нелинейно и является основой для изучения стабилизирующего влияния гетерогенной химической реакции на динамику роста возмущений.

Методом слабонелинейной устойчивости, предложенным Ю.А. Буевичем (1985) рассмотрено нелинейное течение, близкое по форме к гармоническому. Функции, входящие в системы (46) и (47), считались почта гармоническими, т.е. представлялись как сумма главных членов, соответствующих основной гармонике, и членов высшего порядка кратных гармоник, чьи коэффициенты убывают с ростом порядка кратности. В разложениях сохранялись две первых гармоники.

Следуя процедуре аналогичной выводу выражения для инкремента возмущений в линейном анализе устойчивости для нелинейного инкремента получено

Здесь функции Г0, Г, S, S зависят от волнового числа к, а также определяются физико-химическими параметрами задачи; А} - квадрат амплитуды первой гармоники, величина Го/д - соответствует инкременту в случае линейного анализа устойчивости.

Предполагалось, что с ростом амплитуды малых, но конечных возмущений, форма кривых нейтральной устойчивости по сравнению с полученной при линейном анализе меняется. Область неустойчивых волновых чисел сужается, а максимальное значение инкремента возмущений уменьшается. Это означает, что нелинейные эффекты, в частности, связанные с гетерогенной реакцией, могут приводить к стабилизации малых, но конечных возмущений и образованию упорядоченных вторичных конвективных течений.

Условия образования конвективных структур состоят в следующем. Во-первых, если конвективный режим характеризуется волновым числом к„ то условие его стационарности требует равенства нулю инкремента для возмущений с этой длиной волны при каком-то значении амплитуды, т.е. Ima(is) = 0. Во-вторых, чтобы режим был близок к гармоническому, возмущения для всех других волновых чисел к должны затухать, т.е. должно выполняться условие Ima(A)<0 при Отсюда следуют два уравнения для

определения параметров к и А, , отвечающих упорядоченным конвективным структурам,

1 —к--at 4 =0, (49)

к которым добавляется еще условие максимума. Это «мягкий» режим неустойчивости.

Решения для к и Л,2 должны быть действительны и положительны. В противном случае периодические стационарные структуры не существуют, т.е. неустойчивость развивается по «жесткому» сценарию с образованием конвективных потоков различных временных и геометрических масштабов, что приводит к межфазной турбулентности.

В диссертации рассмотрены результаты численных расчетов на основе (49) масштабов конвективных структур, которые могут возникать в системах с нелинейной реакцией при «мягком» режиме неустойчивости. Из них следует, что для характерного размера конвекции справедлива оценка l/k « constVmI , т.е. размер течений возрастает с увеличением числа Марангони. Число Марангони характеризует работу капиллярных сил. Квадрат амплитуды скорости жидкости с его увеличением возрастает по степенному закону.

Оценки показывают, что максимальное возрастание скорости реакции, порождающей конвекцию, достигается, если один из реагентов имеется в избытке. Это означает, что конвекция сохраняет избыток одного из реагентов, увеличивая массовый поток другого.

Явление хемокапиллярной неустойчивости создает новые возможности для интенсификации межфазного массопереноса. При массопереносе инертного вещества добавка в контактирующие фазы малых количеств реагентов, вступающих в реакцию и изменяющих поверхностное натяжение, позволяет инициировать возникновение

конвективных течений и за их счет интенсифицировать массоцеренос целевого компонента. Заметная интенсификация массопереноса достигается: если растворители имеют малую вязкость, порождающий конвекцию реагент высокую поверхностную активность и константа скорости химической реакции не слишком велика.

В третье*, разделе пятой глаеь, на основе качественного анализа уравнения баланса энергии для жидкого слоя в условиях турбулентности, на поверхности которого протекает химическая реакция с участием поверхностно-активного вещества, получены оценки влияния эффектов, связанных с локальными градиентами поверхностного натяжеиия на обьемную турбулентность. В модели предполагалось, что к межфазной поверхности примыкает ряд конвективных ячеек с характерным масштабом /. На свободной поверхности совершается работа силами поверхностного натяжения, которая полностью диссипируег в приповерхностном слое этой толщины, так что работа поверхностных сил не оказывает влияния на гидродинамические характеристики вне этого слоя. Масштаб I выражается через среднюю удельную диссипацию турбулентной энергии в объеме жидкости.

Оценки показывают, что с ростом поверхностной активности реагента, скорость пульсаций на межфазной поверхности возрастает, поскольку увеличивается работа поверхностных сил. С ростом скорости реакции интенсивность пульсаций сначала возрастает, пока характерное время реакции не становится меньше времени пребывания жидкости на поверхности, после чего воздействие скорости реакции на интенсивность поверхностных пульсаций прекращается.

Вследствие увеличения приповерхностной скорости происходит интенсификация межфазного переноса инертного вещества, растворенного в жидкости, причем ускорение массопереноса не зависит от интенсивности объемной турбулентности.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 1 ■ Разработаны несимметричный и симметричный методы декомпозиции трехмерных нестационарных систем уравнений, описывающих медленные движения вязких и вязкоупругих несжимаемых жидкостей. Показано, что при отсутствии массовых сил любое решение рассматриваемых стационарных и нестационарных гидродинамических систем состоящих из четырех связанных уравнений, выражается через решения двух независимых уравнений (уравнение Лапласа и уравнение, определяемое реологической моделью среды)

2. Показано, что уравнения Навье-Стокса и осесимметричного пограничного слоя имеют точные решения с обобщенным разделением переменных. Полученные решения являю™ многопараметрическими, что определяет их многообразие и возможности описания конкретных течений. Для умений нестационарного осесимметричного пограничного слоя построены точные решения, зависящие от произвольных функций Продемонстрирована эффективность использования двух функций тока для анализа трехмерных уравнений Стокса и Навье-Стокса.

3. Получены новые классы точных решений трехмерных уравнений теплопроводности, коэффициенты переноса которых произвольным образом зависят от температуры. Эти решения выражаются как через решения обыкновенных дифференциальных уравнений, так и через решения линейных двумерных уравнений матем ''Ой физики. Приведены новые точные решения двумерных нелинейных ураь. (вективного массопереноса, осложненных произвольной химической реакцией.

4. Рассмотрен широкий класс трехмерных многокомпонентных систем диффузионно-реакционных уравнений с анизотропией, коэффициенты переноса которых степенным и экспоненциальным образом зависят от координат. Получены новые точные решения соответствующих нестационарных и стационарных нелинейных уравнений и систем уравнений, содержащих произвольные кинетические функции. Дано точное решение трехмерной задачи о тепловом взрыве в анизотропной среде.

5. Предложена новая дифференциально-разностная модель для описания тепло- и массопереноса с конечным временем релаксации. Получены точное решение задачи с произвольным периодическим граничным условием и приближенное решение задачи распространения тепла в плоском канале. Построено приближенное решение трехмерной начально-краевой задачи о распространении тепла в ограниченной области с произвольным начальным распределением и граничным условием третьего рода.

6. Предложена новая дифференциально-разностная модель для описания медленных течений вязкоупругой жидкости с конечным временем релаксации. Получено точное решение второй задачи Стокса для вязкоупругой жидкости, показано его качественное отличие от других гидродинамических моделей.

7. Установлен сложный и многостадийный характер временного развития хемосорбции, включающий протекание химической реакции у поверхности по диффузионному механизму, возникновение неустойчивости и развитие самопроизвольной мелко- и крупномасштабной конвекции. Определены зависимости времен возникновения и размеров конвективных структур от концентрации и состава поглотителя. Показана определяющая роль краевого мениска смачивания при возникновении крупномасштабных конвективных течений.

8. Описаны основные макрокинетические закономерности процесса хемосорбции на основе линейного и нелинейного анализа хемокапиллярной неустойчивости. Линейный анализ позволил определить критические условия потери устойчивости. Конечно-амплитудный анализ устойчивости, позволил установить параметрические области, для которых имеют место либо упорядоченные конвективные течении (межфазная конвекция), либо хаотические течения (межфазная турбулентность). Исходя из предположения о возможности стабилизации возмущений на нелинейной стадии развития неустойчивости, определены основные гидродинамические параметры возникающих конвективных течений. '

9. Получены оценки скорое™ химической реакции в конвективном режиме при хемоканиллярной неустойчивое™, а также соотношения для расчета коэффициент, массоотдачи при переносе инертного вещества. Исходя нз макрокинетических закономерностей процесса, определены значения физико-химических параметров системы при которых обеспечивается интенсификация переноса тепла и вещества

Ю. Предложен метод асимптотической интерполяции с коррекцией по контрольным точкам, позволяющий строить приближенные зависимости, пригодные для всей области изменения определяющего параметра. Эффективность метода иллюстрируется на некоторых задачах гидродинамики и массообмена.

11. Основываясь на соображениях размерности и используя принципы экстраполяции

получены новые приближенные соотношения, позволяющих оценить для ряда химико-

технологических процессов интегральные характеристики (средняя скорость в трубах

произвольного поперечного сечения, коэффициенты массоотдачи частиц произвольной формы и др.).

СТАТЬИ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ В ВЕДУЩИХ РЕЦЕНЗИРУЕМЫХ ЖУРНАЛАХ, РЕКОМЕНДОВАННЫХ ВАК РОССИИ

1. Буевич, Ю. А. Нелинейная гидрохимическая неустойчивость поверхности межфазного раздела / Ю. А. Буевич, А. В. Вязьмин, Л. М. Рабинович // Доклады АН СССР 1989. - Т. 307. -№3,- С. 630-634. "

2. Буевич, Ю. А. Гидрохимическая межфазная конвекция в двухслойной газожидкостной системе / Ю. А. Буевич, А. В. Вязьмин, Л. М. Рабинович // Доклада АН

СССР.- 1989.-Т. 307,-№5.-С. 1135-1139.

3. Буевич, Ю.А. Массолеренос пр„ межфазной гидрохимической конвекции / Ю А Буевич, А. В. Вязьмин, Л. М. Рабинович // Доклады АН СССР. - 1990 - Т 312 № 4 Г

4. Вязьмин, А. В. Гидрохимическая неустойчивость конвекции, вызванная многокомпонентной межфазной реакцией / А. В. Вязьмин, Л. М. Рабинович // Журнал физической химии. - 1991. - Т. 65. - № 9. - С. 2405-2411.

5- Rabinovich, L. M. Film absorption accompanied by surface convection. Nonlinear theory / L. M. Rabmovich, A. V. Vyazmin // ICheME Symposium Series. - 1992. - No 128 - P B27 B34

6. Buyevich, Yu. A. Chemo-Marangoni convection. I. Linear analysis and criteria of mstab.I.ty Ju. A. Buyevich, L. M. Rabinovich, A. V. Vyazmin „ Joumal Colloid Interface Science. - 1993. - V. 157. - P. 202-210.

7. Buyevich, Yu. A. Chemo-Marangoni convection. II. Nonlinear stability analysis / Yu A

Buyevich, L. M. Rabinovich, A. V. Vyazmin // Journal Colloid Interface Science. - 1993. - v. 157. " P. 211-218.

8. Полянин, А. Д. Массо- и теплообмен частиц с потоком / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин // Теоретические основы химической технологии. - 1995. - Т. 29. - № 2. - С. 141-153.

9. Полянин, А. Д. Массо- и теплообмен капель и пузырей с потоком / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин // Теоретические основы химической технологии. - 1995. - Т. 29. - № 3. - С. 249-260.

10. Каминский, В.А. О качественной модели межфазной турбулентности / В. А. Каминский, А. В. Вязьмин // Журнал физической химии. - 1995. - Т. 69. - № 8. - С. 1449-1455.

11. Buyevich, Yu. A. Chemo-Marangoni convection. III. Pattern parameters. Interface mass transfer / Yu. A. Buyevich, L. M. Rabinovich, A. V. Vyazmin И Journal Colloid Interface Science. -1995.-V. 173.-P. 1-7.

12. Полянин, А. Д. Macco- и теплообмен частиц, капель и пузырей с потоком при различных усложняющих факторах / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин // Теоретические основы химической технологии. - 1996. - Т. 30. -№ 6. - С. 595-604.

13. Kammsky, V. A. Marangoni effect in the presence of bulk turbulence / V. A. Kaminsky, A. V. Vyazmin, N. N. Kulov, V. V. Dil'man // Chemical Engineering Science. - 1998. - V. 53. -No. 19.-P. 3347-3353.

14. Казенин, Д. А. Пены как специфические газо-жидкостные среды / Д. А. Казенин, А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин // Теоретические основы химической технологии. - 2000. - Т. 34.-№3.-С. 237-254.

15. Полянин, А. Д. О точных решениях нелинейных уравнений тепло- и массопереноса / А. Д. Полянин, А. И. Журов, А. В. Вязьмин // Теоретические основы химической технологии. - 2000. - Т. 34. - № 5. - С. 451-464.

16. Polyanin, A. D. Generalized separation of variables in nonlinear heat and mass transfer equations / A. D. Polyanin, A. I. Zhurov, A. V. Vyazmin // J. Non-Equilibrium Thermodynamics. -2000. -V. 25. - No. 3/4. - C. 251-267.

17. Вязьмин, А. В. Метод асимптотической интерполяции в задачах химической гидродинамики и массопереноса / А. В. Вязьмин, И. А. Денисов, А. Д. Полянин // Теоретические основы химической технологии. - 2001. - Т. 3 5. - № 1. - С. 3-11.

18. Кутепов, А. М. Экспериментальные исследования межфазного массопереноса в системе газ-жидкость оптическими методами / А. М. Кугепов, Б. Г. Покусаев, Д. А. Казенин, С. П. Карлов, А. В. Вязьмин // Теоретические основы химической технологии. - 2001. - Т. 35. -№3.-С. 227-231.

19. Полянин, А. Д. Некоторые точные решения уравнений Навье-Стокса, пограничного слоя и теплопроводности / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, П. В. Сысоев // Теоретические основы химической технологии. - 2002. - Т. 36. - № 4. - С. 381-387.

20. Karlov, S. P. The time evolution of chemo-gravitational convection on a brim meniscus of wetting / S. P. Karlov, D. A. Kazenin, A. V. Vyazmin // Physica A. - 2002. - V. 315. - No. 1-2. -P. 236-242.

21. Вязьмин, А. В. Обеспечение условий самоэмульгирования, как способ борьбы с проливами агрессивной органики / А. В. Вязьмин, Д. А. Казенан, С. П. Карлов // Экология и промышленность России. - 2003. - январь. - С. 33-34.

22. Полянин, А. Д. Точные решения двумерных и трехмерных нелинейных уравнений тепло- и массопереноса / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин //Доклады АН. - 2003. - Т. 390. - № 2. -С. 214-218.

23. Вязьмин, А. В. Точные решения нелинейных нестационарных уравнений массо- и теплопереноса с объемной реакцией / А. В. Вязьмин, А. Д. Полянин, П. В. Сысоев // Теоретические основы химической технологии. - 2004. - Т. 38. - № 5. - С. 506-510.

24. Карлов, С. П. Межфазные эффекты и макрокинетика хемосорбционных процессов при поглощении ССЬ водными растворами щелочей и аминов / С. П. Карлов, Д. А. Казенин, Д. А. Баранов, А. В. Волков, Д. А. Полянин, А. В. Вязьмин / Журнал физической химии. -2007. - Т. 81. - № 5. - С. 775-791.

25. Вязьмина, Н. А. Повышение производительности вспомогательных ректификационных колонн спиртового производства / Н. А. Вязьмина, Д. А. Баранов, А. В. Вязьмин // Химическое и нефтегазовое машиностроение. - 2008. - № 12. - С. 3-6.

26. Karlov, S. P. Interfacial instability on bubble surface / S. P. Karlov, D. A. Kazenin, A. V. Vyazmin / Chemical Engineering Transaction. - 2009. - V. 17. - No. 1. - P. 495-500.

27. Полянин, А. Д. Интегрирование линейных систем гидродинамического типа / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин //Доклады АН. - 2012. - Т. 447. - № 5. - С. 507-510.

28. Полянин, А. Д. Декомпозиция и точные решения трехмерных нестационарных линеаризованных уравнений вязкой жидкости / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин // Теоретические основы химической технологии. - 2013. - Т. 47. - № 2. - С. 158-167.

29. Полянин, А. Д. Дифференциально-разностные модели и уравнения теплопроводности и диффузии с конечным временем релаксации / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин // Теоретические основы химической технологии. - 2013. - Т. 47. - № 3. - С. 271-278.

30. Полянин, А. Д. Уравнения теплопроводности и диффузии с конечным временем релаксации. Постановки задач и некоторые решения / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин // Известия вузов. Химия и химическая технология. - 2013. - Т. 56. - № 9. - С. 102-108.

31. Karlov, S. P. Convection during the fluid heating by laser emission / S. P. Karlov, D. A. Kazenin, A. V. Vyazmin, О. V. Pirogova, K. A. Okhotnikova // Chemical Engineering Transaction. - 2013. - V. 32. - Pt. I.- P. 565-570.

32. Полянин, А. Д. Декомпозиция трехмерных линеаризованных уравнений вязкоупругих жидкостей Максвелла, Олдройда и их обобщений / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин // Теоретические основы химической технологии. - 2013. - Т. 47. - № 4. - С. 386-394. МОНОГРАФИИ И СПРАВОЧНИКИ 1. Химическая гидродинамика: Справочное пособие / А. М. Кутепов, А. Д. Полянин, 3. Д. Запрянов, А. В. Вязьмин, Д. А. Казенин. - М.: Квантум, 1996. - 336 с. - ISBN 5-85843016-3.

2.. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса / А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин, А. И. Журов, Д. А. Казенин. - М.: Факториал, 1998. - 368 с. - ISBN 5-88688-023-2.

3. Комбинированные методы химической технологии и экологии / В. Г. Систер, В. В. Дильман, А. Д. Полянин, А. В. Вязьмин. - Калуга: Изд-во Н. Бочкаревой, 1999. - 336 с. - ISBN 5-89552-045-6.

4. Процессы и аппараты химической технологии. Явления переноса, макрокинетика, подобие, моделирование и проектирование: В 5 т. Т. 1. Основы теории процессов химической технологии / Д. А. Баранов, А. В. Вязьмин, А. А. Гухман и др.; под ред. А. М. Кутепова. - М.: Логос, 2000. - 480 с. - ISBN 5-88439-134-Х.

5. Процессы и аппараты химической технологии. Явления переноса, макрокинетика, подобие, моделирование, проектирование: В 5 т. Т. 2. Механические и гидромеханические процессы / Д. А. Баранов, В. Н. Блиничев, А. В. Вязьмин и др.; под ред. А. М. Кутепова. - М.: Логос, 2001. - 600с. - ISBN 5-94010-091-0.

6. Hydrodynamics, mass and heat transfer in chemical engineering / A. D. Polyanin, A. M. Kutepov, A. V. Vyazmin, D. A. Kazenin. - London and N.Y.: Taylor & Francis, 2002. - 387 p. -ISBN 0-415-27237-8.

Вязьмин Андрей Валентинович Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук МОДЕЛИРОВАНИЕ МАКРОКИНЕТИКИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Подписано в печать Бумага типографская. Формат 60 х 90/16.2,0 усл. печ. л. Тираж 120 экз.

Заказ №£Г-г>ог~|£

Университет машиностроения, 107023, г. Москва, ул. Б. Семеновская, д. 38

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ (МАМИ)

На правах рукописи

05201450259 ВЯЗЬМИН АНДРЕЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ МАКРОКИНЕТИКИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

05.17.08 - Процессы и аппараты химических технологий

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант,

доктор физико-математических наук,

профессор А.Д. Полянин

Москва - 2013 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................................... 7

ГЛАВА 1. ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ПОДХОДЫ И ОСНОВНЫЕ

ПРЕДВАРЯЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ............................................. 12

1.1. Теоретические методы изучения макрокинетики процессов

химической технологии....................................................................... 13

1.1.1. Общая характеристика теоретических методов........................... 13

1.1.2. Методы разделения переменных для решения нелинейных уравнений.... 15

1.1.3. Методы асимптотической интерполяции..................................... 17

1.2. Точные решения уравнений гидродинамики и тепло- и массопереноса........ 19

1.2.1. Некоторые результаты по точным решениям уравнений гидродинамики, тепло- и массопереноса (тезисное изложение.................. 20

1.2.2. Основные результаты по точным решениям систем уравнений

тепло-и массопереноса.................................................................... 23

1.2.3. Нестационарные задачи гидродинамики, тепло- и массопереноса, учитывающие конечность скорости распространения возмущений............. 24

1.3. Исходные данные для построения новых приближенных решений

задач химической технологии............................................................... 26

1.3.1. Некоторые точные результаты по расчету расхода жидкости и теплообмена в трубах некруглой формы............................................... 26

1.3.2. Тепло- и массообмен частиц сложной формы................................. 29

1.4. Макрокинетика хемосорбции при межфазной неустойчивости.................... 30

1.4.1. Экспериментальные исследования хемосорбции.............................. 30

1.4.2. Результаты анализа устойчивости межфазного переноса, сопровождаемого химическими превращениям....................................... 33

1.4.3. Модели массопереноса в условиях самопроизвольной межфазной неустойчивости.............................................................................. 36

ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКИХ И

ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ............................................... 38

2.1. Декомпозиция и точные решения трехмерных нестационарных

линеаризованных уравнений вязкой несжимаемой жидкости..................... 38

2.1.1. Построение общего решения системы уравнений Стокса................ 38

2.1.2. Общее решение уравнений Стокса при наличии неконсервативных массовых сил................................................................................. 41

2.1.3. Решения трехмерных уравнений Стокса с линейной зависимостью

скорости от двух пространственных переменных, их интерпретация................42

2.1.4. Осевые течения под действием поверхностных сил, вызванных локальным нагревом поверхности жидкости................................................................................43

2.1.5. Точные решения трехмерной системы уравнений Озеена....................................48

2.1.6. Точные решения системы обобщенных линейных

уравнений движения................................................................................................................................................49

2.2. Некоторые точные решения уравнений Навье-Стокса........................................................50

2.2.1. Плоское нестационарное движение вязкой жидкости..........................................51

2.2.2. Осесимметричный гидродинамический пограничный слой................................55

2.2.3. Сведение трехмерных уравнений Навье-Стокса к двум уравнениям

для двух функций тока..........................................................................................................................................56

2.3. Декомпозиция трехмерных линеаризованных уравнений вязкоупругих жидкостей Максвелла, Олдройда и их обобщений......................................................................57

2.3.1. Различные реологические модели вязкоупругих жидкостей................................58

2.3.2. Декомпозиция, несимметричная и симметричная форма представления решения......................................................................................................................................60

2.3.3. Декомпозиция уравнений при наличии массовых сил..................................................62

2.3.4. Уравнения вязкой и вязкоупругих жидкостей и их точные решения..........63

2.3.5. Дифференциально-разностная модель с постоянным временем релаксации........................................................................................................................................................................64

2.3.6. Однонаправленные течения вязкоупругих жидкостей............................................66

2.3.7. Осевые течения вязкоупругих жидкостей..........................................................................67

2.4. Новые инженерные формулы для расчета плоских гидродинамических течений......................................................................................................................................................................................68

2.4.1. Модификация метода асимптотической интерполяции,

учитывающая значения в контрольных точках..........................................................................68

2.4.2. Пограничный слой на плоской пластине, обтекаемой

поступательным потоком..............................................................................................................................69

2.4.3. Плоское течение вблизи критической точки..................................................................71

2.5. Приближенные формулы для расчета течения жидкости в трубах..........................72

2.5.1. Расход жидкости в трубах с произвольным поперечным сечением

при ламинарном течении..................................................................................................................................73

2.5.2. Профиль скорости при турбулентном течении в круглой трубе..................74

2.5.3. Гидравлическое сопротивление при турбулентном течении в шероховатых трубах............................................................................................................................................76

ГЛАВА 3. МАКРОКИНЕТИКА ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ

НЕКОТОРЫХ УСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРАХ........................... 80

3.1. Тепло- и массоперенос в неоднородных и анизотропных средах................. 80

3.1.1. Одномерный нестационарный тепло- и массоперенос в средах с логарифмической неоднородностью................................................... 81

3.1.2. Трехмерный стационарный тепло- и массоперенос в средах с анизотропией и степенной неоднородностью....................................... 81

3.1.3. Трехмерный стационарный тепло- и массоперенос в средах с анизотропией и экспоненциальной неоднородностью.............................. 82

3.1.4. Трехмерный стационарный тепло- и массоперенос в средах с анизотропией и неоднородностью произвольного вида........................... 83

3.1.5. Двумерный конвективный теплоперенос в неоднородной и анизотропной среде........................................................................ 84

3.2. Тепло-и массоперенос с конечным временем релаксации........................ 85

3.2.1. Дифференциально-разностные модели теплопроводности

и диффузии с конечным временем релаксации....................................... 85

3.2.2. Точные решения дифференциально-разностных уравнений теплопроводности и диффузии......................................................... 86

3.2.3. Некоторые начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений теплопроводности и диффузии........................... 87

3.2.4. Решение трехмерных задач для дифференциально-разностного уравнения теплопроводности........................................................... 90

3.2.5. Дифференциальная модель теплопроводности (диффузии) типа Олдройда и другие обобщения.......................................................... 93

3.2.6. Нелинейные дифференциально-разностные уравнения

теплопроводности и диффузии......................................................... 94

3.3. Новые инженерные формулы для расчета тепло- и массообменных процессов........................................................................................ 95

3.3.1. Теплоперенос при ламинарном течении жидкости в трубах

различного поперечного сечения........................................................ 96

3.3.2. Стационарный массообмен частицы несферической формы

с неподвижной средой..................................................................... 96

3.3.3. Массообмен пузыря и твердой частицы с поступательным

потоком жидкости........................................................................ 97

ГЛАВА 4. МАКРОКИНЕТИКА ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ 99

НАЛИЧИИ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ.....................................

4.1. Однокомпонентный массоперенос с объемной химической реакцией..................99

4.1.1. Процедура разделения переменных для многомерного нелинейного уравнения массопереноса, учитывающего химические превращения........................100

4.1.2. Трехмерный стационарный тепло- и массоперенос в неоднородных анизотропных средах с произвольной кинетикой химической реакции..................101

4.1.3. Нестационарный массоперенос с кинетикой химической реакции логарифмического и экспоненциального типа................................................................................106

4.1.4. Нестационарный одномерный массоперенос в произвольно неоднородной среде с химической реакцией общего вида....................................................111

4.1.5. Модельная задача о тепловом взрыве в неоднородных средах..........................112

4.2. Конвективный тепло-и массоперенос......................................................................................................115

4.2.1. Двумерный конвективный массоперенос с произвольной кинетикой химической реакции................................................................................................................................................115

4.2.2. Двумерный нестационарный конвективный массоперенос в неоднородной анизотропной среде с произвольной кинетикой реакции................115

4.3. Массоперенос с двухкомпонентными нелинейными химическими

Реакциями..............................................................................................................................................................................116

4.3.1. Нестационарный массоперенос в неподвижной среде............................................116

4.3.2. Стационарный конвективный массоперенос....................................................................119

ГЛАВА 5. МАКРОКИНЕТИКА ЯВЛЕНИЙ МЕЖФАЗНОЙ

НЕУСТОЙЧИВОСТИ............................................................... 120

5.1. Динамика хемосорбции в условиях межфазной неустойчивости..............................120

5.1.1. Временная эволюция процесса хемосорбции........................................................................121

5.1.2. Оценка времени задержки развития неустойчивости............................................127

5.1.3. Динамика осаждения капель продукта реакции............................................................129

5.1.4. Особенности процесса хемосорбции на краевом мениске смачивания

и капле....................................................................................................................................................................................131

5.1.5. Особенности осаждения капель продукта реакции при наличии сетчатых преградителей..................................................................................................................................134

5.2. Макрокинетика хемокапиллярной неустойчивости..................................................................136

5.2.1. Постановка модельной задачи устойчивости................................................................137

5.2.2. Линейный анализ устойчивости..................................................................................................139

5.2.3. Нелинейный анализ устойчивости............................................................................................145

5.2.4. Оценка масштабов образующихся конвективных структур..........................151

5.2.5. Оценка скорости гетерогенной химической реакции в условиях межфазной конвекции..........................................................................................................................................155

5.2.6. Межфазный массоперенос нейтральной примеси в условиях

межфазной конвекции..........................................................................................................................................156

5.3. Качественная модель межфазной неустойчивости......................................................................158

5.3.1. Об адекватности моделирования межфазной конвекции методами

теории устойчивости экспериментальным данным................................................................159

5.3.2. Хемокапиллярный эффект Марангони в условиях межфазной турбулентности........................................................................................................................................................160

5.3.3. Массоперенос в условиях межфазной турбулентности........................................166

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................................................................................................................................................168

СПИСОК НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ............ 170

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................................................................................................................................172

ПРИЛОЖЕНИЯ............................................................................................................................................................................192

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования, степень ее разработанности. Современный прогресс человеческой цивилизации нельзя представить без развития химической и смежных с ней отраслей промышленности, таких как нефтехимическая, пищевая, фармакологическая, бумажная, металлургическая, биотехнологическая и других. Их движение вперед невозможно без совершенствования соответствующих процессов, аппаратов и машин, направленного на увеличение объемов производства и повышение качества продуктов, снижение энерго- и металлоемкости, улучшения экологической безопасности и т.д.

В основе такого совершенствования должно лежать все более глубокое понимание теоретических основ химико-технологических процессов и принципов работы используемых для их реализации аппаратов. Это подразумевает установление качественных и количественных закономерностей протекающих рабочих процессов и связей между технологическими параметрами, характеризующими процесс, выявление специфических особенностей их реализации, а также построение методов расчета и необходимых расчетных формул.

Развитие теоретических основ химической технологии, как науки о процессах и аппаратах, идет несколькими взаимодополняющими направлениями: экспериментальным и численным моделированием, путем аналитического точного и приближенного решения соответствующих уравнений сохранения. Используемые в химической технологии системы чрезвычайно сложны. Как правило, в них одновременно протекают гидродинамические, связанные с движением сред, тепловые и диффузионные, связанные с переносом энергии и массы, процессы. Все это осложняется наличием химических реакций, сложной геометрией переноса, неоднородностью и анизотропией сред, наличием различных физико-химических взаимодействий и т.д. Поэтому с точки зрения изучения процессов и аппаратов химической технологии правильно говорить о комплексе макрокинетических закономерностей, которые ими управляют. Здесь чрезвычайно важны синергетические эффекты, существенным образом изменяющие закономерности переноса по сравнению с индивидуальными простыми процессами, которые ранее широко использовались в расчетных методиках.

Все сказанное выше определяет актуальность выбранной темы исследования, в котором изучены комплексные макрокинетические проблемы переноса, связанные с природной сложностью и неоднородностью химико-технологических сред и особенностями их реализации в соответствующих аппаратах. Здесь нет необходимости осуществлять привязку к какому-то конкретному процессу или типу аппаратов, поскольку рассматриваются общие закономерности, проявляющиеся в целых классах химико-технологических процессов.

Объект и методы исследования. Объектом исследований являются основные макрокинетические закономерности, проявляющиеся при движении используемых в химической технологии жидких сред с ньютоновскими и неньютоновскими реологическими свойствами, а также тепло- и массопереносе в них при наличии различных усложняющих

факторов. К таковым относятся: неоднородность и анизотропия коэффициентов температуропроводности и диффузии, конечность скорости переноса тепла и массы, сложность геометрии областей переноса, наличие одно, двух или многокомпонентных химических реакций, конвекция, поверхностные термо- и хемокапиллярные взаимодействия.

При выполнении исследования были использованы различные современные математические методы. Так для получения точных решений систем уравнений гидродинамики ньютоновских и неньютоновских жидкостей предложен новый оригинальный метод их декомпозиции. Для построения приближенных решений задач движения жидкости и тепло- и массопенеоса предложена новая модификация метода асимптотической интерполяции с коррекцией по контрольным точкам. Целый ряд результатов по точным решениям уравнений переноса получен путем использования современного метода обобщенного и функционального разделения переменных. Этот метод позволил получить точные решения нелинейных дифференциальных уравнения в частных производных, содержащих, как коэффициенты, произвольные (в математическом смысле) функции как времени и координат, так и самой определяемой величины. Для исследования межфазных явлений используются методы линейной и нелинейной устойчивости, а также метод балансовых соотношений и другие.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является определение основных макрокинетических закономерностей переноса импульса, тепла и вещества в химико-технологических жидких средах при наличии усложняющих факторов различной геометрической и физико-химической природы на основе точных и приближенных решений уравнений сохранения и построение на их основе простых формул, пригодных для инженерных расчетов без использования компьютерного моделирования. Для достижения цели необходимо разработать новые методы и модели, а также решить следующие основные задачи:

- разработать методы точного решения (декомпозиции) нестационарных трехмерных систем уравнений медле�