автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием

На правах рукописи

Омельченко Екатерина Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

14 НОЯ ШЗ

005537800

Челябинск —

2013

005537800

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» на кафедре математического анализа.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Фёдоров Владимир Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович, ФГБУН Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, главный научный сотрудник

кандидат физико-математических наук, доцент Абдрахманов Айдар Максутович, ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет», доцент

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный

университет»

Защита диссертации состоится «12» декабря 2013 года в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 при ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» по адресу: 454001, г. Челябинск, ул.Братьев Кашириных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет».

Автореферат разослан « 09 » ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

В. Е. Федоров

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Одним из актуальных направлений современного математического моделирования является построение моделей различных процессов окружающего мира, изучаемых в физике, биологии, химии, экономике и других науках, для исследования которых необходимо учитывать их состояния в предшествующий промежуток времени. Математические модели, описывающие такие процессы, представимы с помощью дифференциальных уравнений с запаздыванием.

К настоящему времени исследованы математические модели, описываемые уравнениями с запаздыванием или функционально-дифференциальными уравнениями другого вида с различными дифференциальными операторами: обыкновенными или в частных производных, которые относятся к классическим типам уравнений математической физики — эллиптическому, гиперболическому, параболическому. Однако при описании, например, термомеханического поведения полимеров1, вязкоупругих жидкостей при низких температурах2 возникают модели с запаздыванием, дифференциальная часть которых не соответствует классическим типам уравнений математической физики. Таковой же является полученная при естественном предположении нулевого времени релаксации квазистационарная модель фазового поля3, учитывающая эффекты памяти или запаздывания4,5. Определяемый этой моделью эволюционный процесс является вырожденным, т. е. соответствующая система уравнений является не разрешимой относительно производной по времени. Такие процессы, которые далее будут называться вырожденными эволюционными процессами, с запаздыванием или без, часто встречаются при математическом моделировании в естественных и технических науках6'7. Модели

ICoIeraan, B.D. Equipresence and costitutive equations for rigid heat conductors / B.D. Coleman, М.Б. Gurtin, Z. Angew // Math. Phys. — 1967. - Vol. 18. - P. 199-208.

2Renardy, M. Mathematical problems in linear viscoelasticity / M. Renardy, W.J. Hrusa, J.A. Nohel. — N.Y.: Longman Scientific and Technical; Harlow John Wiley and Sous, Inc., 1987.

3Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, A.B. Клепачева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 3. - С. 651-669.

4Colli, P. Global smooth solution to the standard phase-field model with memory / P. Colli, G. Gilardi, M. Grasselli // Adv. Differential Equations. — 1997. — Vol. 3. — P. 453-486.

5Giorgi, C. Well-posedness and longtime behavior of the phase-field model with memory in a history space setting / C. GiorgL M. Grasselli, V. Pata // Quart. Appl. Math. - 2001. — Vol. 59. - P. 701-736.

БДемиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Де-миденко, C.B. Уснеиский. — Новосибирск: Научная книга, 1998. — 456 с.

тСвешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников [и др.]. — М.: Физматлит, 2007. — 736 с.

эволюционных процессов, описываемых посредством начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с запаздыванием (отклонением, в широком смысле, выделенной переменной времени в отрицательном направлении в аргументах некоторых искомых функций или их частных производных в уравнении), не разрешимых относительно старшей производной по времени, до настоящего времени подробно не исследовались. Поэтому тема диссертационной работы является актуальной.

Степень разработанности темы. Математическим моделям, описываемым эволюционным дифференциальным уравнением с вырожденным оператором при старшей производной по времени, посвящены работы А. Пункаре, С Л. Соболева, М.И. Вишика, С.Г. Крейна и др. Среди работ последних десятилетий отметим работы И.А. Шишмарева, А.И. Кожанова, Г.В. Демиденко, В.Ф. Чистякова, А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова. В работах H.A. Сидорова, Б.В. Логинова, М.В. Фалалеева рассматриваются модели вырожденных эволюционных процессов при выполнении условий фредгольмовости оператора при производной.и существования обобщенного жорданова набора. Аналогичные предположения используются в работах М.В. Фалалеева и С.С. Орлова при исследовании интегро-дифференциальных моделей вырожденных эволюционных процессов с памятью.

Начиная с первой половины XX века, активно исследуются различные математические модели процессов, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями, в частности дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Отметим монографии H.H. Красовского, Л.Э. Эльсгольца, Р. Беллмана и К. Кука, А.Д. Мышкиса, А.Л. Скубачевского и др.

Численному решению функционально-дифференциальных эволюционных уравнений, в том числе моделирующих вырожденные эволюционные процессы с запаздыванием в конечномерном фазовом пространстве, посвящены работы A.B. Кима, В.Г. Пименова и их учеников и соавторов.

Цели и задачи данной диссертационной работы:

• развитие качественных методов исследования математических моделей эволюционных процессов, формализуемых в виде уравнений и систем уравнений в частных производных с запаздыванием, не разрешимых относительно производной по времени;

• разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов для указанного класса моделей с применением современных

компьютерных технологий;

• реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента при исследовании вырожденных эволюционных процессов.

Научная новизна. Отметим работы М.В. Фалалеева, В. Г. Пименова и некоторых других авторов, также касающиеся вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием. Однако в данной работе используются совершенно другие методы. Они позволяют, в частности, рассматривать случай бесконечномерного фазового пространства и даже случай бесконечномерного ядра оператора при производной в системе уравнений, описывающей вырожденный процесс. Именно это позволяет исследовать в данной работе квазистационарную линеаризованную модель фазового поля с запаздыванием, модель Кельвина-Фойгта, и другие математические модели данного класса.

Теоретическая и практическая значимость работы. В диссертационной работе предложены два различных метода качественного исследования математических моделей, описывающих вырожденные эволюционные процессы с запаздыванием. Найдены по возможности наименее ограничительные условия, гарантирующие разрешимость начально-краевых задач для систем уравнений в частных производных, возникающих при исследовании таких процессов. Построена разностная схема численного решения некоторых задач, доказана ее устойчивость и сходимость решения разностной системы уравнений к истинному решению исходной задачи. Таким образом, проведено полное исследование класса моделей и тем самым решена задача, имеющая существенное значение для математического моделирования.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования ее результатов при исследовании конкретных математических моделей, выбора их параметров, допускающих корректную постановку соответствующих начально-краевых задач. Кроме того, создан программный продукт, позволяющий численно решать такие задачи для вырожденных дифференциальных уравнений в частных производных с запаздыванием. При этом предложенные разностные схемы и рассуждения, проведенные при их изучении, могут послужить отправной точкой для создания численных методов исследования других математических моделей, близких по структуре.

Методология и методы исследования. При качественном исследовании математических моделей вырожденных эволюционных процессов предложены два взаимно дополняющих друг друга метода. В основе одного из них лежат полугрупповой подход вообще и методы теории вырожденных полугрупп операторов в частности, развитой в работах А. Фавини, А. Яги, Г.А. Свиридюка, В.Е. Фёдорова, И.В. Мельниковой. С помощью этих методов8 исходная модель разбивается на две подмодели на взаимно дополнительных подпространствах исходного пространства. Одна из подмоделей оказывается тривиальной при определенных дополнительных условиях на ядро или образ оператора запаздывания. Другая подмодель при этом исследуется методами классической теории полугрупп операторов.

Другой подход заключается в использовании опять же результатов теории вырожденных полугрупп о представлении решения задачи Коши или Шо-уолтера для вырожденного эволюционного уравнения и в последующем применении техники, связанной с использованием теоремы о сжимающем отображении. При этом не используются дополнительные условия на ядро или образ оператора запаздывания, как в предыдущем случае, однако возникают некоторые ограничения на ядро интегрального оператора запаздывания в уравнении. На примерах с квазистационарной системой уравнений фазового поля показаны преимущества и недостатки каждого из подходов.

При численном исследовании квазистационарной системы уравнений фазового поля на основе метода разделения конечномерной и бесконечномерной фазовой составляющей9'10 разработана разностная схема для поиска приближенного решения. Доказана ее устойчивость и сходимость.

Положения, выносимые на защиту

1. Проведено качественное исследование линейных моделей вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием. Найдены условия однозначной разрешимости начальных задач для класса соответствующих эволюционных уравнений при различных ограничениях на оператор запаздывания.

'Фёдоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, ш,ш.З. С. 173 200.

°Ким, A.B. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений / A.B. Ким, В.Г. Пименов. - М.: Ижевск: РХД 2004. - 256 с.

10Пименов, В.Г. Разностные схемы в моделировании эволюционных управляемых систем с последействием / В.Г.Пименов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2010. — Т. 16, № 5. — С. 151-1-58.

2. Общие результаты использованы при исследовании конкретных моделей вырожденных эволюционных процессов: линеаризованная квазистационарная модель фазового поля с запаздыванием, модель Осколкова жидкости Кельвина-Фойгта, модель свободной поверхности фильтрующейся жидкости и др.

3. Разработаны эффективные разностные схемы для численного исследования квазистационарной модели фазового поля с запаздыванием. Для предложенных разностных схем доказана устойчивость и сходимость, на их основе построены алгоритмы поиска приближенных решений соответствующих задач.

4. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ «Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием», позволяющий осуществлять численный поиск решений начально-краевых задач для систем уравнений соответствующего класса.

Степень достоверности и апробация результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью методов исследования и корректным использованием математического аппарата, адекватностью рассматриваемых моделей.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садовниче-го (Москва, 2009 г.), на Международной конференции «Functional Differential Equations and Applications: Research Workshop of the Israel Science Foundation» (Ариэль, Израиль, 2010 г.), на IX Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Челябинск, 2010 г.), на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012 г.), на научном семинаре по теории операторов и дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.Е. Фёдорова на кафедре математического анализа Челябинского государственного университета

Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с В.Е. Фёдоровым научному руководителю принадлежат лишь постановка задачи и общее руководство. В совместной статье с М.В. Плехановой

и П.Н. Давыдовым соавторы осуществляли техническую поддержку работы.

Основное содержание диссертационной работы

Во введении излагается постановка задачи, история и степень разработанности темы исследуемого вопроса, ставятся цели и задачи диссертационного исследования, обосновывается актуальность, научная новизна, теоретическая и практическач значимость, степень достоверности результатов. Описаны методология и методы исследования, используемые при изучении темы. Приведены положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведено качественное исследование класса математических моделей вырожденных эволюционных процессов методами теории полугрупп операторов. Общие результаты использованы при рассмотрении реальных процессов, моделируемых начально-краевыми задачами для не разрешимых относительно производной по времени уравнений и систем уравнений в частных производных с зпаздыванием.

Пусть Я, — банаховы пространства, операторы L 6 £(11; (т. е. линеен и непрерывен), kerL ф {0}, М е Cl(il;3) (т. е. линеен, замкнут и плотно определен), Ф 6 £(11,.; 30, где К,. = С([—г, 0];11) состоит из элементов

ut:[-r;0]->2), ut(s) = u(t + s), s € [-г,0]. Рассмотрим задачу

u(t)=h(t), «€[-г,0], ft6C([-r,0];U), (1)

Lu(i) = Mu(i)+$Mt + /(i), f>0. (2)

Решения задачи (1), (2) будем искать в классе функций и 6 С1([0; +оо);1Х) П С([-г;+оо);Я).

Обозначим р1{М) = {/1бС: (p.L - M)~l 6 £(ff;il)}, /#(АГ) = (jiL -M)_1L, L%(M) — L(p.L - M)~l. Пусть p € Nil {0}. Оператор M называется сильно (L,p)-радиальным, если

(i) Зоб® (a, +oo) С pL(M);

(ii) 3K > 0 V/i e (a, +oo) Vn e N

0i-e)~(i,+4>

о

(iii) существует плотный в 3 линеал такой, что при любых р. 6 (о, +оо), / ez выполняется IIM(pL - <

(¡V) для всех ц е (а, +оо) - М)-1\\с(т ^

Теорема I.8 Пусть М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

(¡) Я = 11° ® и1, У = 3го Ф 51;

(и) ьк = ьу е £(И*;3*), М* = М|аотМпц, е С/(Н*;3*), Й = о, 1; (ш) Э Ма1 е £(5°;Н°) и ¿Г1 6 ЦУ1;!!1); (¡V) Я = М0ЛЬ[) 6 .С (Я0) килъпотентеп степени не больше р. Пусть Р (<Э) — проектор вдоль Я0 на Я1 (вдоль З^на^1), Р0 = /—Р, <Эо = I — С}. С помощью теоремы 1 и полутруппового подхода получена теорема 2. Теорема 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, Ф € £(НГ; У), ппФ С У1, <2/ 6 С1([0, +оо); Ъ), <2о/ е С*1([0,+оо);ф> А 6 С71([—г-, 0];11), А(0) е ёотА/, (РА)'(О) = Ь^М^/Щ + Ь^ФРИ,

РоНо) = - Е л*м0-Ч<Эо/Жо), (ВД'(о) = - Е я*м0-Чд„/)(*+1Чо).

0 О

Тогда существует единственное решение задачи (1), (2).

Аналогичный результат получен в ситуции, когда вместо условия ¡тФ С 51 выполняется ограничение Я° С кегФ. В этом случае возможно также рассмотрение обобщенной задачи Шоуолтера

= г е [-г,0]. (3)

Теорема 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, Ф € £(1^;$), Я{? С

кегФ, / 6 Ср+1([0, +оо);30,

Н 6 Ср+1{[-г, 0];Я>), Л«(0) 6 аотМ,

А(*+1)(0) = Ь^М^Щ + Ь^ЧЭФА«, к = 0,1,... ,р.

Кроме того, пусть при р € N выполняется т —

0,1,... ,р — 1, существует такое д 6 Ср+1([—г, 0];ЯХ), что

дН(0) = ¿гЧ<Э/)(т)(0), т = о, 1,... ,р + 1,

(д/)(т+1)(0) - М:£гЧ<?/)(т)(0) = га = 0,1,... ,р - 1.

Тогда существует единственное решение задачи (2), (3).

Рассмотрим класс моделей, включающий в себя некоторые математиче-

п т

ские модели теории фильтрации. Пусть Р„(А) = ЕСА\ <Зт(А) = Е ¿¡\3,

1=0 7=0 си ¿3 е С, г = 0,1,..., тг, 3 = 0,1,..., т, Сп, <1т ф 0, т > га, П С Ж3 — ограниченная область с гладкой границей 50, набор дифференциальных операторов по пространственным переменным А, ... Вг — регулярно эллиптический11. Потребуем также самосопряженности оператора А\ е С1(Ь2(р,)), на

11Трнбель, X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибель. — М.: Мир, 1980. - 664 с.

своей области определения dom/4j = Щгп^(П)п действующего как А\и = Au, и ограниченности справа спектра сг{А{). Через {щ к € N} обозначим орто-нормированкые в смысле скалярного произведения (•, •) в ¿г(^) собственные функции оператора Ai, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Ajt : к е N} с учетом их кратности.

Пусть /1 : [—г,0] —У R — монотонно возрастающая функция ограничено

ной вариации и сходится интеграл / //\K(x,£,s)\2dxd£dß(s). Редуцируем

-г а п

начально-краевую задачу в Q х [0, +оо)

Рп(А)%(х, t) = Qm(A)z(x, t) + fj К(х, t + s)d^(s)+f(x, t),

-r ü

BlAkz(x,t) = 0, & = 0,...,m — 1, l = 1,... ,r, (x,i)eöOx[O.+oo),

z(x, t) = h(x, t), (x, t) eil x [-r, 0], (5)

к задаче (1), (2). Для этого возьмем

11 = {и € Н2гп(П) : В[Аки(х) = 0, к = 0,... ,п - 1,1 = 1,...,г, х € 9П}, У = Ь2(П), L = Pn(A), М = Qm{A), dornМ = {и € Я 2rm(i)) : ßjЛ*и(ж) = 0, к = 0,..., т - 1,1 = 1,..., г, х € ЗП},

i) = «(«). «>0, (Ф ut){x) = J ¡K(x,^s)z(i,t + s)d^dß(s).

-г П

Теорема 4. Пусть тп > п, (-l)m_nRe(dm/c„) < 0, сг{Ау) не содержит об-щихкорней многочленов Рп uQm, f £ С^^+оо); L2(Q)), h е С1 ([-г, 0];Н), h(-, 0) е domM, для п. в. х ей

Рп(А)§(х, 0) = Qm(A)h(x, 0)+SS К(х, e)h(£, a)dZdp{s), для таких k eN, что P„(Afc) = 0, при п!в. (£,s) в смысле меры d(, ® dp(s) / K{x,£,s)<pk(x)dx = 0, S(Qm(A)h(x,0) + f(x,Ö))Mx)dx = 0,

/ (Qm(A)§(x, 0) + fix, 0)) ^(aOdr = 0.

Тогда задача (4), (5) имеет единственное решение. Простым примером задачи (4), (5) является задача

+ SK(x,Z,-r)z(Z,t-r)dt + f(x,t), (x,t) G (0,7Г) x [О,+oo), о

0 = 0(o» 0 = *) = Bfa= *e 1°.

z(x, t) = h(x, t), (ж, i) e (0,7r) x [—r, 0].

Обобщенное условие Шоуолтера в для задачи (4), (5) имеет вид

Р„(А){г(х, Ь) - к(х, *)) = 0, (х, ¿) 6 П х [-г, 0]. (6)

С помощью теоремы 3 получим утверждение.

Теорема 5. Пусть т > п, (-1)т_тЧ1е(сгт/сп) < 0, (г(Л0 не содержит общих корней многочленов Рп и £Цт, / £ ^([О, +оо); Ь2(П)), к € С1 ([-г, 0];Я), 0) е с!отМ, для п. в. х 6 П

Рп(А)${х,0) = <Эт(А)к{х,0) + I ¡К(х,£,аЩ£,а№йр{з),

-га

и для таких к в М, что^Рп{Хк) = 0, при п. в. (£, я) в смысле меры -г и

Тогда задача (4), (6) имеет единственное решение.

Теоремы 4, 5 дают условия разрешимости начально-краевых задач для учитывающих эффект запаздывания уравнения фильтрации в трещиновато-пористой среде, уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью и др.

Исследуем линеаризованную квазистационарную модель фазового поля с запаздыванием, описывающую в линейном приближении фазовые переходы первого рода в материалах с памятью, например, в некоторых вязких стеклообразующих жидкостях, при условии финитности памяти. Пусть Г2 С К" — ограниченная область с гладкой границей дП, а, ¡5,0 6 Ж, ц7п :

[—г, 0] —> К — монотонно возрастающие функции ограниченной вариации, о

111 \Кт{х,а)|2<1хо< +оо, т = 1,2, /„,Д : П х [0, +оо) К.

-г!)(1

Рассмотрим задачу

у(х,{) = <р(х,Ь), т(х,Ь) = "ф{х,Ь), (х,()еГ!х[-г,0], (7)

ди д\и

0^(1,0 + (г-вМх,!) = в-^(х,()+(1-в)ь)(х,Ь) = 0, (х^) 6 9Пх [0, +оо),

(8)

для задашюй в цилиндре Г2 х [0, +оо) системы уравнений

V) = Д«(х, 4) - Лги(х,«) + {) + (У2ш)(®> 4) + Л(х, г),

Дш(а;,г)+^ш(1,<) + + + аи{ х,Ь)+^{х,Ь) = 0. ^

о

Здесь (^г)(х, ¿) = / / /^(ж, £, , 4 + в) «^¿/./.¿(я) при г = 1,2,3,4, искомы-

—г П

ми являются функции и и и), представляющие собой линейные комбинации

температуры относительно температуры равновесия между фазами и фазовой функции.

Положим ¿отА = НЦ<П) = {г 6 Я2(П) : + (1 - в)у(х,1) = 0} С

2*(П), Аи = Ли, <1отМ = (Я|(П))2, Я = 5'= (Ь2(П))2,

■«-ЙН '-(г)-

Тем самым начально-краевая задача (7)-(9) редуцирована к абстрактной задаче (1), (2). С помощью теоремы 2 получим следующий результат. ' Теорема 6. Пусть -Ц а{А), /0, Л € С1([0, +оо); Ь2(П)), р(-,0) € (р,ф е С1([-г,0];Ь2(П)), J■i = = 0, выполнены условия

0 )■= 0) + аА(р + А)~1<р(х, 0) + №у)(х, 0)--аШР + А)'1<р)(х, 0), х€П, а<р(; 0) + (Р + ДЖ-, 0) = -М-, 0),

Тогда задача (7)—(9) имеет единственное решение.

Аналогичным образом, но со ссылкой на теорему 3 рассмотрен случай нулевых 72, ¿4,- Для него же рассмотрена задача Шоуолтера

«(»,«) = (аг,«)бПх[-г>0]. (Ю)

Рассмотрена также модель фазового поля с более простыми операторами зао

паздывания = / ^¿(я)г(а;^ + г = 1,2,3,4.

-Г

0

Теорема 7. Пусть —0 ф а (А), конечны интегралы / \Кт(з)\2(1^т(з), т =

1,2, /«.Л 6 СЧ[0;+оо);Ь2(П)), ц> 6 С1([-г,0];£2(П)),Г0) € Я,2(П), ^ =

о

74 = 0, («) = / Ь + » = 1,3,

%(х, 0) =~Аф, 0) + аА(/3 + А)~г(р(х, 0) + (Л<р)(х, 0)+ +(ЛА(0 + А)-1<р)(х,О), хвП. Тогда задача (8)-(10) имеет единственное решение.

В заключительном параграфе первой главы приведены результаты качественного исследования одной модели жидкости Кельвина-Фойгта.

Итак, в первой главе получен ряд результатов о разрешимости математических моделей вырожденных эволюционных процессов, при этом использовались дополнительные условия на ядро или образ оператора запаздывания общего вида: im<I> С it1 или 11° С ker Ф. Во второй главе получены результаты о разрешимости таких моделей с интегральным оператором запаздывания

о

Lü{t) = Mu(t) + J fC(s)u(t + s)ds + f{t), t <5 [0, +00), (11)

-r

без использования упомянутых ограничений. Для этого потребуется дополнительная гладкость оператор-функции 1С и условия равенства нулю этой оператор-функции и нескольких ее производных в точках s = —г, s = 0. Тем самым, для некоторых подклассов рассмотренных выше математических моделей полученные результаты усилены. Основным методом исследования во второй главе является метод сжимающих отображений. Теорема 8. Пусть оператор М сильно (L, р)-радиален, f € С^ДО, +оо);3-), h б С([—г, 0];it), h(0) £ domM, /С 6 Cp+1([-r, 0]; £(Н; £)), £(п>(-г) = /С(">(0) = 0 при п — 0,... ,р,

(I - P)h{ 0) = - £ НкМъ\1 -Q)( (-1)к / &k\s)h(s)ds +

к=0 \ -г

Тогда существует единственное решение и 6 С1([0,+оо);Я)ПС([—г,+оо); Д) задачи (1), (11).

Теорема 9. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, f & Ср+1([0, +оо); h 6 С([—г,0];IX1), h(0) S domMb К. 6 С"+1([-г,0];/:(Я;У)), =

0) = 0 при п — 0,... ,р, 1Х° С ker/C(s) при s 6 [—г, 0]. Тогда существует единственное решение задачи (3), (11).

Для обобщенных моделей фильтрации получим следующие утверждения. Теорема 10. Пусть т > п, (—l)m_nRe(dm/c„) < 0, <x(Ai) не содержит общих корней многочленов Рп и Qm, h 6 С([—г, 0];il), h(-, 0) 6 domM, (i(s) = s, К е С1([0,+оо);Ь2(П х П)), К(х,£,-г) = /ф.^О) = 0 при

п. в. (i,()efix S2, для всех к 6 N, при которых Pn{Xk) = 0,

о

f(Qm(A)h(x, 0) +ff К(х, s)h(£, s)d£ds)ipk(x)dx = 0. ii -г п

Тогда существует единственное решение задачи (4), (5).

Теорема 11. Пусть т > п, (—l)m-nRe(dm/c„) < 0, о{А\) не содержит

обш,их корней многочленов Рп и Qrn, h € С([—г, 0];il), h(-, 0) S domM,

p.(s) = s, К € ^([O.+oo);/^ x П)), K(x,£,-r) = K(xt{, 0) = 0 при

п. в. [х, £) € Ü х П, при п. в. (х, s) 6 Г2 х [—г, 0] и для всех к 6 N, при которых Рп(Л0 = 0, / f, s)^(i)^ = 0. Тогда существует единственное

s2

решение задачи (4), (6).

Теоремы 8 и 9 позволяют рассмотреть также модель фазового поля с запаздыванием без ограничений J3 = J4 — 0 или J2 = Ja = 0. Теорема 12. Я?/стг> -/? £ <г(Л), <р,ф € С([-г,0];£2(П), v(-,0), VM) £

Я2(П); (JjZ)(x,i) = / Ki{s)z{x,t+a)da, К{ € CHl-r.O];®), Äi(-r) = #¡(0) =

0, i = 1,2,3,4, ар(ОН09+ДМО) + (У3р)(ММ-ЭД(1>О) = 0. Тогда задача (7)-(9) имеет единственное решение.

Теорема 13. Пусть -ß £ а(А), <р е С([-г, 0]; Ь2{П)), tp{-, 0) £ Я|(П),

J2 = У4 = 0, (Jiz)(a:,i) = / f Ki(x,t,a)z{S,t + s)d£ds, Kt e CHhr.O];»),

-r n

Ki(—r) = Ä"i(0) = 0, i — 1,3. Тогда задача (8)-(10) имеет единственное решение.

С помощью теоремы 9 также исследована линеаризованная в окрестности стационарного решения й модель Осколкова вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта с конечной памятью в ограниченной области ii С 1" с гладкой границей дС1

и(х, t) = h(x, t), (х, t) eil X [-г, 0], u(x,t) = 0, (x,t) € dü x [0,+oo), (1 - xAMz, t) = uAu(x, t)-(ü- V)u(i, t) - (u • V)ü(x, £)- ^

-r(x, t) + f K(s)Au(x, t + s)dp(s), (x, t) 6 П x [0, +00),

—Г

V ■ u = 0, (i,()6i2x[ß,+oo). Здесь коэффициент вязкости v > 0, x ~ время ретардации, характеризующее упругие свойства жидкости. Искомыми функциями являются функция скорости жидкости и = (nbU2,..., «„) и градиент давления г = (гь г2, —,г„). Вообще говоря, будем предполагать, что р.: [—г, 0] —>• R — монотонно возраста-

о

ющая функция ограниченной вариации, для которой / |if(s)|2d/i(s) < +00.

Обозначим La = (L2(fi))n, Н1 = (ЯХ(П))П, И2 = (Я2(Г2))П. Замыкание линеала £ = {w е (Со°(П))п : V • w = 0} по норме пространства L2 обозначим через а по норме Н1 — через Hj.. Кроме того, будем использовать обозначения Н2 = HJ П Н2, Н, — ортогональное дополнение к И^, Е : L2 —> EU ортопроектор вдоль А = Е diag{A,..., Д} 6 С1(Ц,), donM = JHß.

Теорема 14. Пусть ^ ф а (А), v 6 R, й е И1, h 6 С([-г,0];И2), Ä"(-r) = ft"(ü) = О, К 6 С1([—г, 0]; R). Тогда задача (12) имеет единственное решение и 6 С([—г, +оо); Н^ПС^О, +оо); Ы2), г 6 С([-г, +оо);Н^ПС^О, +оо);И,).

Третья глава представляет собой завершающий шаг естественного цикла исследований задач вида (1), (2), заключающийся в разработке численных методов решения класса задач (на примере линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием) и построении на основе этих методов программного продукта для численного поиска решений. Для вырожденной системы уравнений с запаздыванием предложен численный метод решения, доказана его устойчивость и сходимость.

На множестве (0, ж) х [О, Т] рассмотрена начально-краевая задача для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием

vt(x, I) = Av(x, t) - Aw(x, t) + <S>ivl(x, -) + Ф2wt(x, •), 0 = v(x, t) + (ß + A)w(x, t) + Ф3г/(®, •) + ■), (13)

v(0, t) = v(tt, t) = w(0, i) = w(ir, t) = 0, t e [0,T], v(x,t) = 4>{x,t), w{x,t) = ^{x,t), (x,i) e (0,тг) x [-r,0], (14) где г/(ж, s) =v(a;,i + s), wt(x,s) = w(x,t + s), s 6 [—r,0], r > 0, отображения Ф¡ : иь(х,-) Zi(x,t), i = 1,2,3,4, при x e (0,7r), t S [0,Г] линейно и непрерывно действуют из пространства С ([—г, 0]; К) в К.

Пусть Q[—г, 0] — множество кусочно-непрерывных функций на [—г, 0] с конечным числом точек разрыва первого рода, в точках разрыва непрерывных справа. На равномерной прямоугольной сетке задана разностная схема

Т ~ Т?---Р Г 9iffn + ф2"п >

О - и™ + ßv% + <+'-2<1+<'-1 + ф3д* + ф^™,

vn ~ <р(хп, 0), и% = ф(х„, 0), n = 0,l,...,N,

glit) = фп,1), hl(t) = il>{xn,t), n = 0,1,..., iV, te[-r,0], v™ = v™ = w™ = w% = 0, m = 0,1,..., M,

в которой используется оператор интерполяции I : {(f™,u>™)}fc (g„,f6 Q[-r, 0]xQ[-r, 0] дискретной предыстории {(v™, u>n)}t = {(f™> w'n) '■ < m < к} в точке xn к моменту t^, n = 0,1,... ,N, к = 0,1,... ,M. Теорема 15. Пусть ß < 0, т < h2, оператор I : R2L+2 —> Q[—r, 0] Липшицев и имеет порядок погрешности тр" на точном решении, невязка метода имеет порядок tPi + h?2. Тогда разностное решение сходится к точному решению задачи (13), (14) с порядком Tm,n{p°.pi} + ЬР*.

Описано применение данного метода в программном продукте, разработанном для построения численного решения рассматриваемых систем с запаздыванием. Для наглядности выбран простейший вариант запаздывания, для которого теоремы 15, 16 влекут

Теорема 16. Пусть ФгИ*(х,-) = С<ы(М - г), г = 1,2,3,4, /3 < 0, т < Ъ?, интерполяция дискретной предыстории кусочно-постоянна или кусочно-линейна. Тогда разностное решение сходится к точному решению задачи (13),

(14) с порядком т + к2.

Численный эксперимент проведен для задач Коши и Шоуолтера с различными параметрами системы Си <р, ф. На рис. 1 изображен график приближенного решения (и, го) задачи (10), (13), у(х, Ь) = <р(х,Ь) = (1-К)зта;, {х, г) 6 (0, тг) х [-1,0] при Сх = 1, Сг = Съ = С4 = 0.

Рис. 1: График приближенного решения задачи (10), (13), (14) для параметров 0 -0,75, Т - 5, М = 500, N = 15, предыстории и = (1 - «)зшх, х £ (0,тг), г 6 [-1,0], при = 1, Сг = С3 = С4 = 0

Последний параграф посвящен описанию конкретной программной реализации метода. Разработанная программа «Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием» позволяет находить и графически строить приближенные решения различных начально-краевых задач для системы уравнений.

Заключение

В диссертационной работе развиты качественные методы исследования математических моделей вырожденных эволюционных процессов с запаздыва-

нием. Предложены два различных, дополняющих друг друга подхода качественного исследования — методами теории полугрупп операторов и методом сжимающих отображений. Доказана однозначная разрешимость начально-краевых задач для уравнений и систем в частных производных с запаздыванием, не разрешенных относительно производной по времени. Предложен метод построения численного решения таких задач на примере линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием. Доказана устойчивость и сходимость данного метода. Составлен алгоритм поиска численного решения, на основе которого разработан программный продукт, позволяющий строить численное решение начально-краевых задач.

В перспективе полученные результаты позволят перейти к разработке качественных и численных методов исследования полулинейных моделей вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием и соответствующих начально-краевых задач для квазилинейных уравнений и систем уравнений в частных производных.

Список работ автора по теме диссертации, в журналах, входящих в Перечень ведущих периодических изданий

1. Фёдоров, В.Е. Неоднородные линейные уравнения соболевского типа с запаздыванием / В.Е. Фёдоров, Е.А. Омельченко // Сиб. мат. журн. — 2012. — Т. 53, № 2. - С. 418-429.

2. Омельченко, Е.А. Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием / Е.А. Омельченко, М.В. Плеханова, П.В. Давыдов // Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Физика. — 2013. — Т. 5, № 2. — С. 45-51.

Сведения о регистрации программы

Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием: Свид-во о гос. per. программы для ЭВМ № 2013616283 РОСПАТЕНТ/ П.Н. Давыдов, Е.А. Омельченко; заявитель и правообладатель ФГБОУВПО «Челябинский государственный университет». № 2013613587; заявл.06.05.2013; гос. per. в Реестре программ для ЭВМ 02.06.2013.

Другие публикации автора

3. Fedorov, V.E. On solvability of some classes of Sobolev type equation with delay / V.E. Fedorov, E.A. Omelchenko // Functional Differential Equations. —

2011. - Vol. 18, № 3-4. - P. 187-199.

4. Омельченко, E.A. Линеаризованная модель жидкости Кельвина-Фойгта / E.A. Омельченко // Вестник Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2013. - Вып. 16. - С.114-118.

5. Омельченко, Е.А. Однозадачная разрешимость начальной задачи для одного класса уравнений соболевского типа с запаздыванием / Е.А. Омельченко // Физика и технические приложения волновых процессов: материалы IX Междунар. научн.-техн. конф. — Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2010. С. 202 203.

6. Омельченко, Е.А. Краевая задача для вырожденного уравнения с запаздыванием / Е.А. Омельченко // Обратные и некорректные задачи математической физики: тез. докл. Междунар. конф., посвященной 80-летию со дня рождения М.М. Лаврентьева. — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2012. - С. 408.

7. Омельченко, Е.А. Один класс вырожденных эволюционных уравнений с запаздыванием / Е.А. Омельченко // Дифференциальные уравнения и их приложения:сб. материалов Междунар. конф. — Белгород: ИПК НИУ «Бел-ГУ». -2013. - С. 167.

8. Омельченко, Е.А. Глобальная разрешимость уравнения соболевского типа с последействием / Е.А. Омельченко // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: тез. докл. Междунар. конф., посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева. — Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2013. - С. 465.

9. Фёдоров, В.Е. О разрешимости уравнений соболевского типа с запаздыванием / В.Е. Фёдоров, Е.А. Омельченко // Современные проблемы математики, механики и их приложений: сб. матер. Междунар. конф., посвящ. 70-летшо ректора МГУ акад. В.А. Садовничего. Москва, МГУ. — 2009. — С. 182-183.

10. Fedorov, V.E. On solvability of Sobolev type equation with delay / V.E. Fe-dorov, E.A. Omelchenko // Functional Differential Equations and Applications: Research Workshop of the Israel Science Foundation. Ariel University Center of Samaria, Ariel, Israel. — 2010. — P. 24.

Подписано в печать 08.11.2013. Формат 60x84 1/16. Бумага д ля множительных аппаратов. Печать на ризографе. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ 2077.

Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО «Абрис-принт» 454008 г. Челябинск, Комсомольский пр., 2, оф. 203

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

04201453961 На правах рукописи

Омельченко Екатерина Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: Федоров Владимир Евгеньевич доктор физико-математических

наук, профессор

Челябинск — 2013

Оглавление

Введение 4

1 Исследование методами теории

полугрупп операторов 17

1.1 Эволюционные процессы с запаздыванием и теория полугрупп . 17

1.2 Неоднородные невырожденные процессы с запаздыванием ... 19

1.3 Условия на операторы

в вырожденном эволюционном уравнении.............23

1.4 Вырожденные эволюционные процессы с запаздыванием .... 25

1.5 Неоднородные вырожденные процессы с запаздыванием .... 29

1.6 Математические модели с многочленами

от эллиптических самосопряженных операторов.........33

1.7 Квазистационарная линеаризованная

система уравнений фазового поля с запаздыванием.......41

1.8 Модель жидкости Кельвина-Фойгта................47

2 Исследование методом сжимающих отображений 50

2.1 Линейная модель вырожденного эволюционного процесса

с интегральным оператором запаздывания............50

2.2 Математические модели теории фильтрации...........56

2.3 Система фазового поля без ограничений

на ядро и образ оператора запаздывания.............58

2.4 Линеаризованная модель Осколкова................61

3 Численное исследование и комплекс программ 62

3.1 Разностная схема для системы уравнений фазового поля

без запаздывания...........................64

3.2 Разностная схема для системы уравнений с запаздыванием ... 67

3.3 Численный эксперимент.......................70

3.4 Алгоритм и программная реализация численного метода .... 72

Заключение 80

Список сокращений и условных обозначений 81

Список литературы 82

Публикации автора диссертации.....................97

Сведения о регистрации программы...................99

Список иллюстративного материала 101

Приложения 102

Исходный код программы «Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием» ..........................102

Введение

Актуальность темы исследования

Одной из важных задач современного общества является формирование единого информационного пространства во всех сферах человеческой деятельности. Для обеспечения этой задачи должны быть разработаны автоматизированные информационные системы, обеспечивающие электронную обработку всей доступной информации в конкретной области. Компьютерная реализация информационных процессов, предполагает поиск надежных способов преобразования исходной (может быть, даже хаотичной) информации о каком-либо процессе или явлении в точное знание. Зачастую невозможно обычными теоретическими и практическими методами обеспечить полноту и точность научного исследования по причине большого количества затрат, недостатка реальных первичных материалов исследования и др.

В современной науке широко применяется метод познания, при котором исходный объект заменяется его математической моделью. Именно этот метод становится наиболее эффективным при изучении, анализе, прогнозировании разнообразных процессов реального мира. Он позволяет применять ко многим процессам математические методы изучения, исследовать их свойства и поведение в различных ситуациях, применять полученные модели для компьютерной обработки и вычислений. Правильно подобранные математические модели гарантируют получение результатов исследования с высокой степенью точности.

Одним из актуальных направлений современного математического моделирования является построение моделей различных процессов окружающего мира, изучаемых в физике, биологии, химии, экономике и других науках, основанных на передаче массы, энергии, наследственной информации, для исследования которых необходимо учитывать их состояния в предшествующий промежуток времени. Приведем пару примеров. Скорость измене-

ния численности популяции моделируется с обязательным учетом элементов запаздывания: временного отрезка беременности, неоднородностью возраста, миграции, неравномерной распределенности популяции в среде обитания (данный процесс исследовали Т.Р. Мальтус, Дж. Кьютелет, П.Ф. Ферхюльст, Г.Е. Хатчинсон). Процесс движения автомобилей на загруженной дороге, может быть описан моделью с учетом нескольких параметров запаздывания: скорость движения конкретного автомобиля будет зависеть от скорости движения соседних автомобилей и от быстроты реакции водителя. Заметим, что в таких случаях игнорирование даже самого малого промежутка запаздывания приводит к неверным, абсурдным результатам исследования. Математические модели, описывающие такие процессы, представимы с помощью дифференциальных уравнений с запаздыванием.

К настоящему времени исследованы математические модели, описываемые уравнениями с запаздыванием или функционально-дифференциальными уравнениями другого вида с различными дифференциальными операторами: обыкновенными или в частных производных, которые относятся к классическим типам уравнений математической физики — эллиптическому, гиперболическому, параболическому. К таковым относятся большинство встречающихся при математическом моделировании уравнений и систем уравнений. Например, при описании процессов, связанных с фазовыми переходами первого рода, используются так называемая модель фазового поля Г. Кагинал-па [105, 106]. В обычной постановке соответствующая ей система уравнений фазового поля имеет параболический или гиперболический тип, причем, физический интерес представляют ее варианты, моделирующие эффекты памяти или запаздывания [108, 114, 115]. Такие уравнения возникают при описании термомеханического поведения полимеров [107], вязкоупругих жидкостей при низких температурах [116, 126] и др. Однако при естественном предположении нулевого времени релаксации полученная квазистационарная модель фазового поля уже не относится ни к одному из классических

типов уравнений математической физики [56, 57]. Соответствующий этой модели эволюционный процесс является вырожденным, т. е. соответствующая система уравнений является не разрешимой относительно производной по времени. Такие процессы, которые далее будут называться вырожденными эволюционными процессами, с запаздыванием или без, часто встречаются при математическом моделировании в естественных и технических науках [21, 65, 74, 111, 134]. Модели эволюционных процессов, описываемых посредством начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с запаздыванием1, не разрешимых относительно старшей производной по времени, до настоящего времени не исследовались. Поэтому тема диссертационной работы является актуальной.

Степень разработанности темы

Известно, что в связи с исследованием системы уравнений Навье-Стокса и вообще задач гидродинамики вырожденные эволюционные процессы в той или иной форме изучались в конце XIX — начале XX века такими математиками и механиками, как А. Пуанкаре [124], К.В. Озеен [123], Ф.К.Г. Одквист [122], Ж. Лере [119]. В середине XX века работы СЛ. Соболева, посвященные динамике идеальной равномерно вращающейся жидкости, привлекли повышенное внимание ученых к классу математических моделей, описываемых уравнениями и системами уравнений, не разрешенными относительно старшей производной. Исследования СЛ. Соболева [72, 73, 74, 75] были продолжены его учениками и последователями P.A. Александряном [6], A.A. Дезиным, Т.И. Зеленяком, В.Н. Масленниковой [18, 24], М.В. Фокиным

1 Сразу оговоримся, что некоторые типы уравнений в частных производных имеют выделенную переменную, как правило, моделирующую время в том или ином смысле и называющуюся соответственным образом. Например, такими являются параболические уравнения или исследуемые в данной работе уравнения, не разрешимые относительно «производной по времени». Для них термин «запаздывание» впредь будет означать отклонение (в широком смысле) именно переменной времени в отрицательном направлении в аргументах некоторых искомых функций или их частных производных в уравнении.

[96] и многими другими. Поэтому не разрешенные относительно старшей производной уравнения часто называют уравнениями соболевского типа. Отметим посвященные таким уравнениям работы М.И. Вишика [13], С.А. Галь-перна [17], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскина [41], С.Г. Крейна и его учеников [25, 44], А.И. Кожанова [32, 33], Г.В. Демиденко, В.А. Успенского, И.И. Матвеевой [19, 20, 21], И.А. Шишмарева, Е.И. Кайкиной, П.И. Наумкина [27, 28]. В конечномерном случае уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, (алгебро-дифференциальные системы уравнений) исследованы в работах Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова, М.В. Булатова, A.A. Щегловой [9, 10, И, 101] и др.

В работах А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова, А.Б. Алыпина, Ю.Д. Плет-нера [37, 38, 65] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, вопросы разрушения сильных обобщенных и слабых обобщенных решений начально-краевых задач для различных классов линейных и нелинейных уравнений в частных производных, включая уравнения соболевского типа. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы поиска решений.

Математическим моделям, описываемым эволюционным дифференциальным уравнением с вырожденным оператором при производной, посвящены также работы H.A. Сидорова, Б.В. Логинова, М.В. Фалалеева (см. [69, 130] и библиографию там же) при условиях фредгольмовости оператора при производной и существования обобщенного жорданова набора. Аналогичные предположения используются в работах М.В. Фалалеева и С.С. Орлова [80, 81, 82] при исследовании интегро-дифференциальных эволюционных уравнений с вырожденным оператором при производной, моделирующих вырожденные эволюционные процессы с памятью.

В конце 1980-х сразу несколько научных групп в разных странах пришли к идее исследования математических моделей вырожденных эволюционных процессов методами теории полугрупп операторов. Отметим в этом

направлении работы А. Фавини и А. Яги [110, 111, 137], И.В. Мельниковой и ее соавторов [47, 113]. Данная диссертационная работа существенным образом использует результаты теории вырожденных полугрупп операторов, развитые в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Фёдорова [67, 68, 83, 87, 134]. В них исследованы полугруппы операторов, разрешающие эволюционные уравнения с вырожденным оператором при производной. Особенностью такой полугруппы операторов является наличие нетривиального ядра у ее единицы, которое может совпадать с ядром оператора при производной в уравнении [47,111,137], а может содержать помимо векторов из ядра оператора еще и относительно присоединенные векторы [67, 83, 87,134]. Ранее теория вырожденных полугрупп операторов была использована при изучении различных математических моделей вырожденных эволюционных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с вырожденным оператором при производной [66, 94, 134]. В данной диссертационной работе эта теория используется при исследовании вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием, описываемых интегро-дифференциальными и другими функционально-дифференциальными уравнениями с вырождением аналогичного рода.

Начиная с первой половины XX века, активно исследуются различные математические модели процессов, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями, в частности дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Отметим монографии H.H. Красовского [42, 43], Л.Э. Эль-сгольца [102, 103], Р. Беллманаи К. Кука [8], Ю.А. Митропольского, Д.И. Мар-тынюка [48, 49], В.П. Рубаника [63], А.Д. Мышкиса [50], В.Б. Колмановско-го и А.Д. Носова [36], Дж. Хейла [98], A.B. Антоневича [7], Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной [1, 2], Г.А. Каменского и А.Л. Ску-бачевского [30], Я. Прусса [125], Дж. By [136], А.Л. Скубачевского [131], В.Б. Колмановского и А.Д. Мышкиса [117], В.В. Власова и Д.А. Медведева [16] и др.

В перечисленных работах функционально-дифференциальные уравне-

ния (или их системы), описывающие исследуемые модели, по отношению к их дифференциальной части, как правило, либо являются обыкновенными дифференциальными уравнениями [43, 50, 102, 103], либо классическими уравнениями математической физики. Например, параболические функционально-дифференциальные уравнения с отклонением аргумента по времени исследовались в работах [14, 15, 118, 120, 133, 135], параболические с отклонениями аргументов по пространственным переменным — в работах [71, 127, 132], эллиптическим функционально-дифференциальным уравнениям посвящены работы [12, 61, 62, 131].

Численному решению функционально-дифференциальных эволюционных уравнений посвящены работы A.B. Кима, В.Г. Пименова и его учеников [31, 54, 55]. В этих работах, в частности, сконструировано семейство сеточных методов для численного исследования невырожденных эволюционных процессов с, вообще говоря, нелинейной функцией запаздывания на основе идеи разделения конечномерной и бесконечномерной фазовых составляющих. Помимо прочего рассмотрены задачи для функционально-дифференциально-алгебраических уравнений [46, 53], которые представляют собой математические модели вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием в конечномерном фазовом пространстве.

Среди перечисленных работ только работы М.В. Фалалеева и С.С. Орлова [80, 81, 82], В.Г. Пименова и A.B. Лекомцева [46, 53] касаются математических моделей вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием. Однако в данной работе используются совершенно другие методы. Они позволяют, в частности, рассматривать случай бесконечномерного фазового пространства и даже случай бесконечномерного ядра оператора при производной в системе уравнений, описывающей вырожденный процесс. Именно это позволяет исследовать в данной работе квазистационарную линеаризованную модель фазового поля с запаздыванием, модель Кельвина-Фойгта, и другие математические модели данного класса.

Цели и задачи

Целью диссертационной работы является:

• развитие качественных методов исследования математических моделей эволюционных процессов, формализуемых в виде дифференциальных уравнений (и систем уравнений) в частных производных с запаздыванием, не разрешимых относительно производной по времени;

• разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов для указанного класса моделей с применением современных компьютерных технологий;

• реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента при исследовании вырожденных эволюционных процессов.

Для достижения цели решены следующие задачи:

• исследование вопросов однозначной разрешимости моделирующих вырожденные эволюционные процессы начальных задач для абстрактных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с запаздывающим аргументом и с вырожденным оператором при производной;

• приложение полученных общих результатов о разрешимости к изучению различных конкретных математических моделей вырожденных эволюционных процессов, описываемых начально-краевыми задачами для уравнений и систем уравнений в частных производных с запаздыванием, не разрешимых относительно производной по времени;

• разработка численных методов решения задач указанного класса, исследование устойчивости и сходимости разностных схем, предложенных для их решения;

• формализация разработанных численных методов в программном коде и апробирование комплекса программ «Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием».

Программы позволяют задавать отрезки изменения пространственной и временной переменной, начальные и краевые значения искомых решений, определять, какие функции в системе имеют запаздывающий аргумент, и интервал запаздывания, увеличивать или уменьшать количество разбиений заданных интервалов пространственной и временной переменных. Они графически строят приближенное решение заданной начально-краевой задачи.

Научная новизна

Математические модели, учитывающие эффект последействия, описываются функционально-дифференциальными уравнениями, а именно, уравнениями с запаздыванием. Общая теория функционально-дифференциальных уравнений интенсивно развивается и находит все новые приложения в задачах исследования математических моделей различных реальных процессов. При этом модели вырожденных эволюционных процессов с запаздыванием, описываемых системами уравнений с запаздыванием, не разрешимыми относительно старшей производной по времени, ранее почти не исследовались, несмотря на то, что часто в�