автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Полулинейные модели вырожденных эволюционных процессов

На правах рукописи

'¿ИГ

Давыдов Павел Николаевич

ПОЛУЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 НОЯ 2014

Челябинск 2014

005555135

005555135

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет», на кафедре математического анализа.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Фёдоров Владимир Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович, ФГБУН Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, главный научный сотрудник,

доктор физико-математических наук Корпусов Максим Олегович, ФГВОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова», профессор кафедры математики физического факультета

Ведущая организация: ФГБУН Институт математики

с вычислительным центром УНЦ РАН

Защита диссертации состоится «18» декабря 2014 года в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 при ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» по адресу: 454001, г. Челябинск, ул.Братьев Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет».

Автореферат разослан « » ноября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор фнз.-мат. наук

В. Е. Федоров

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Математические модели многих процессов в естествознании и технике представляют собой начально-краевые задачи для нелинейных уравнений или систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по выделенной переменной, как правило по времени. Особый класс образуют уравнения или системы, содержащие при этой производной вырожденный линейный оператор, т. е. оператор с нетривиальным ядром. Это может быть дифференциальный оператор по пространственным переменным, как у многих математических моделей теории фильтрации, или матрично-дифференциальный оператор соответствующий системе уравнений, не содержащей производных по времени от одной из неизвестных функций или содержащей уравнение без производных по времени. Таковыми, например, являются системы уравнений, описывающие процессы в несжимаемых сплошных средах и поэтому содержащие уравнение несжимаемости V ■ и(х, <) = 0. При этом уравнения или их системы рассматриваемого класса могут быть, и часто являются, нелинейными или квазилинейными относительно частных производных по пространственным переменным, а потому и в целом являются полулинейными при их операторной записи с выделением переменной времени. Моделям процессов, описываемых такими уравнениями, посвящена данная работа.

Математические модели вырожденных эволюционных процессов не укладываются в рамки классической математической физики и требуют отдельных методов исследования, качественного и численного. Разработкой таких методов уже несколько десятилетий занимаются многие исследователи, которые при этом достигли определенных успехов1,2,3,4. В настоящее время такие модели, линейные и нелинейные, по-прежнему привлекают внимание исследователей, о чем свидетельствуют большое количество посвященных их

'Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18.

2 Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1961.

3Вишик М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Мат. сб. 1956.

4Showalter R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / SIAM J. Math. Anal. 1975. Vol. 6, no. 1. P. 25-42.

C. 3 50.

T. 38, № 1. C. 51-148.

изучению монографий, вышедших в последние годы5,6,7.Однако и сейчас, для различных классов вырожденных эволюционных процессов задачи качественного и численного исследования их математических моделей являются актуальными

Степень разработанности темы исследования. Математические модели вырожденных эволюционных процессов изучались впервые, видимо, в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Ее результаты, а также результаты работ С. W. Oseen, F. К .G. Odqvist, J. Leray, E. Hopf, О. А. Ладыженской, касающихся модели Навье—Стокса вязкой несжимаемой жидкости, работ С. JI. Соболева середины XX века, посвященных динамике идеальной равномерно вращающейся жидкости, привлекли повышенное внимание ученых к классу математических моделей вырожденных эволюционных процессов, заложили фундамент нового направления.

Качественные методы исследования математических моделей вырожденных эволюционных процессов можно условно разделить на две группы. Первой соответствует исследование моделей, формализованных в виде начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени. К этому направлению следует отнести работы С. А. Гальперна, А. Г. Костюченко и Г. И. Эскина, В. Н. Врагова, А. И. Кожанова, Г. В. Демиденко, С. В. Успенского, И. И. Матвеевой, И. А. Шишмарева, Е. И. Кайкиной, П. И. Наумкина и многих других.

К другой группе относятся методы исследования моделей в виде днффе-ренциально-операторных уравнений в абстрактных пространствах, содержащих нетождественный оператор при производной, с приложением полученных абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам математической физики. Другими словами, прикладные задачи являются иллюстрациями исследования «абстрактных» задач. Первые исследования такого типа проводились М. И. Вишиком, С. Г. Крейном и его учениками. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев и их ученики и последователи, в работах которых исследуются математические модели вырожденных эволюционных процес-

5Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. New York etc.: Marcel Dekker. 1999.

6Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

7Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов M. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.

сов с использованием условий фредгольмовости оператора при производной и существования обобщенного жорданова набора, а также методов теории фундаментальных оператор-функций.

Одни из подходов к исследованию вырожденных эволюционных процессов предполагает использование методов теории полугрупп операторов. Такой подход используется в работах А. Ра\'пп, А. И. В. Мельниковой, В. Е. Федорова, М. В. Фалалеева.

В работах Г. А. Свиридюка, Т. Г. Сукачевой и их учеников, использующих теорию полугрупп операторов при исследовании полулинейных уравнений, нелинейная часть в уравнении (системе уравнений), соответствущем математической модели вырожденного эволюционного процесса, не зависит явно от времени, либо имеет вид Лг({, и) = N1(4) + f(t). При этом во многих случаях речь идет о существовании и единственности решений, являющихся так называемыми квазистационарными траекториями уравнения. В этих работах показано, что задача Коши для стационарных вырожденных эволюционных уравнений разрешима лишь при начальных данных, взятых из некоторого многообразия, так называемого фазового пространства уравнения, и большое значение уделено исследованию морфологии этого многообразия. Проблема выбора начального значения исчезает при переходе от задачи Коши к обобщенной задаче Шоуолтера Сидорова.

В работах А. Г. Свешникова, М. О. Корпусова, А. Б. Алышша, Ю. Д. Плетнера и их учеников рассматриваются проблемы нелокальной и локальной разрешимости, вопросы разрушения решений начально-краевых задач для различных классов линейных и нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени. Многие рассмотренные уравнения и системы уравнений имеют невырожденный оператор при производной по времени, в ряде случаев он является нелинейным. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы поиска решений.

Отметим также исследования алгебро-дифференциальных систем уравнений иркутских математиков Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова, М. В. Булатова, А. А. Щегловой, в которых изучены качественные свойства математических моделей вырожденных эволюционных процессов в конечномерных пространствах, а также осуществлен поиск численных методов решений соответствующих задач.

Цели и задачи. Целью диссертационной работы является развитие как качественных методов исследования полулинейных математических моделей вырожденных эволюционных процессов, так и разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов для указанного класса моделей с применением современных компьютерных технологий, с реализацией эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента при исследовании вырожденных эволюционных процессов.

Научная новизна. Отличительной особенностью полученных в данной работе результатов является тот факт, что они касаются именно полулинейных математических моделей вырожденных эволюционных процессов, т. е. случая, когда линейный оператор при производной по времени в соответствующем нелинейном эволюционном уравнении имеет нетривиальное ядро. При этом пространство состояний моделируемого процесса, вообще говоря, бесконечномерно в отличие от результатов Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова, ядро этого оператора может быть бесконечномерным в отличие от соответствующих работ Н. А. Сидорова, М. В. Фал ял сева и их соавторов, а нелинейная часть соответствующих исследуемым моделям уравнений может быть нестационарной и может не зависеть раздельно от функция состояния и переменной времени в отличие от работ Г. А. Свиридюка и Т. Г. Сукачевой. В работах А. Г. Свешникова, М. О. Корпусова и их учеников оператор при производной по времени, если является линейным, как правило, не является вырожденным.

Теоретическая и практическая значимость работы. В работе предложены методы качественного исследования нелинейных математических моделей, описывающих вырожденные эволюционные процессы, встречающиеся в гидродинамике, теории фильтрации, теории фазового поля и других областях естествознания. Найдены условия, гарантирующие разрешимость начально-краевых задач для нелинейных систем уравнений в частных производных, моделирующих такие процессы. Разработаны численные методы решения задач, построены разностные схемы, доказана устойчивость и сходимость решения разностной системы уравнений к решению исходной задачи. Тем самым, проведено полное исследование класса моделей и решена задача, имеющая существенное значение для математического моделирования.

В практическом смысле результаты работы дают возможность использо-

вать ее результаты при исследовании конкретных математических моделей. В диссертационной работе также создан программный продукт, позволяющий проводить численное исследование модели Осколкова. Разработанные разностные схемы и методы исследования могут в дальнейшем стать отправной точкой при исследовании близких по структуре математических моделей.

Методология и методы исследования. В работе при исследовании полулинейных математических моделей вырожденных эволюционных процессов используются методы теории вырожденных полугрупп операторов. Суть используемого подхода заключается в редукции описывающей эволюционный процесс начально-краевой задачи для уравнения или системы уравнений в частных производных к начальной задаче, например, задаче Коши для полулинейного дифференциального уравнения

Lu{t) = Mu{t) + N(t, u(t)), u(t0) = щ (1)

в банаховом пространстве iL Здесь L, М — линейные операторы, действующие из пространства 11 в банахово пространство 5, L непрерывен и вырожден, т. е. ker L ф {0}, М замкнут и плотно определен на своей области определения domAf С И. Нестационарный нелинейный оператор N определен на некотором открытом подмножестве U С К х Д и действует в 3". Преимуществом исследования математических моделей в форме задач вида (1), (2) состоит в том, что всякая такая задача со специальным образом подобранными условиями на операторы L, М, N представляет собой абстрактную форму целого ряда начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных.

Для построения численного решения системы уравнений Осколкова используется метод конечных разностей на равномерной сетке.

Положения выносимые на защиту

1. Найдены условия локальной и нелокальной однозначной разрешимости начальных задач для некоторых классов полулинейных математических моделей вырожденных эволюционных процессов при различных ограничениях на нелинейный оператор.

2. Общие результаты использованы при исследовании разрешимости начально-краевых задач для конкретных нелинейных моделей вырожденных эволюционных процессов: моделей вязкоупругих жидкостей, квазистационарной модели фазового поля, модели свободной поверхности

фильтрующейся жидкости и др.

3. Разработаны разностные схемы для численного исследования модели Осколкова жидкости Кельвина—Фойгта. Для таких схем доказаны ап-проксимационная сходимость и устойчивость, на их основе разработаны алгоритмы поиска численных решений соответствующих начально-краевых задач.

4. Построен комплекс проблемно-ориентированных программ «Численное решение системы уравнений Осколкова», позволяющий осуществлять численный поиск решений начально-краевых задач для системы при различных значениях параметров и начальных данных.

Степень достоверности и апробация результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью методов исследования и корректным использованием математического аппарата, адекватностью рассматриваемых моделей.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. — д.ф.-м.н., проф. В. Е. Федоров), на международных конференциях: «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 2008 г.; «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крей-на», Воронежский государственный университет, г. Воронеж, 2010 г.; «Физика и технические приложения волновых процессов», Челябинский государственный университет, г. Миасс, оз. Тургояк, 2010 г.; «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», Институт вычислительных технологий СО РАН, Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, г. Новосибирск, 2011 г.; «Физико-математические науки и образование», Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск, 2012 г.; «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, оз. Банное, Башкортостан, 2013 г.; «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгородский государственный университет, г. Белгород, 2013 г.

Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с В. Е. Фёдоровым научному руководителю принадлежат постанов-

ка задачи и общее руководство. В совместной статье с М. В. Плехановой и Е. А. Омельченко автор осуществлял техническую часть работы, связанную с написанием программы на языке программирования

Основное содержание диссертационной работы

Во введении к диссертации речь идет об актуальности темы исследования, ее степени разработанности, о целях и задачах работы, ее научной новизне, о методологии и методах исследования. Также формулируются положения выносимые на защиту, степень достоверности и апробация результатов.

В первой главе собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. Приведены основные факты о нелокальной разрешимости невырожденных полулинейных уравнений, о сильно (L,р)-радиальных и (¿,р)-ограниченных операторах, доказанные ранее в работах Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова.

Всюду далее L 6 £(И; ¡J) (т. е. оператор линеен и непрерывен), ker L ^ {0}, М G С/(И; 5) (т. е. оператор линеен, замкнут и плотно определен). Обозначим pL{M) = {м 6 С : (ßL - А/)"1 6 £(&И)}, R^(M) = (ßL - M)~lL, L^M) = L{iiL- M)-1.

Оператор M называется сильно (L,p)-радиальным, если

(i) Заб R V/z > а pL(M);

(ii) ЭК > 0 Vjj > а Vrce N

тах{||(Д^(Л/))п(р+1)||£(и),||(^(Д/))п(р+1)||£Ш} < _*n(p+1y

О

существует плотный в 3" лннеал £ такой, что при любом ¡1 > а ||М{цЬ - M)-1{Lfl{M))p+1f\\s < V/

II(^(м)Г'(^ - м)-'\\с(т < {ß_Kay+2.

Теорема 1. Пусть оператор М сильно (L, р)-радиален. Тогда

(i) Р = s- lim (vRL(M)y+1, Q = s- lim {цШМ)У+1 - проекторы; обо-

ti—И-оо ' fi—>+ос И

значим далее ker Р = il°, imP = ii1, ker Q = 5°, imQ = J1;

(ii) LP = QL, Vu € dornM Pu € domM и MPu = QMu;

(iii) Lk = L\ak 6 ¿(11*; 3*);

(iv) Mk = M|d0mjurui* e CZ(H*;3*), k = 0,1;

(v) существует оператор Lf1 G ¿(g^il1), существует оператор M0_1 €

(vi) оператор H = M^Lq пильпотентен степени не больше p.

Оператор М называется (L, а)-ограниченным, если

За > 0 V/ибС (М >а)=>(ме pL(M)).

Теорема 2. Пусть оператор М (Ь,о)-ограничен. Тогда

(i) Р = / Rp(M)dii, <3 = / tf(M)dfi, - проекторы; обозна-

|/'|=а+1 М=а+1

ним далее кег Р = il°, imP = Я1, ker Q = 5го, imQ = tf1;

(ii) справедливы утверждения (ii)-(v) из предыдущей теоремы;

(iii) Mi = M|domMnul е ДН1;^).

(L, сг)-ограниченный оператор M называется (L, р)-ограниченным при р € No, если оператор Я = M^1Lq нильпотентен степени р.

Во второй главе найдены минимальные требования на гладкость нелинейного оператора, достаточные для существования локального решения повышенной гладкости задачи

x(f0) = х0, x{t) = Ax(t) + B(t, x(t)). (1)

Теорема 3. Пусть А 6 £(Х), U — открытое множество вШхХ, п е N, отображение В € С"-1 (С/; 3G) локально липшицево по х. Тогда для любого (io,a:o) G U существует такое t\ > to, что задача (1) имеет единственное решение х е С1^, ii]; £) на отрезке [fo,ii]. При этом х € Cn([i0, £i]; ЗС).

Далее этот результат использован при рассмотрении вырожденного полулинейного эволюционного уравнения (3) с нелинейным оператором N : U 5, где U — открытое множество вКхИ. Рассмотрены две ситуации: когда нелинейный оператор не зависит от поточечной проекции искомой функции на подпространство 11°, и когда образ нелинейного оператора лежит в подпространстве 51. Всюду предполагается, что kerL ф {0}.

Теорема 4. Пусть р е N0, оператор М (L,p)-ограничен, множество U открыто elxil, V=i/nRxH' открыто в R х И1, для всех (t, и) G U, таких, что (t,Pu) € U, выполняется N(t,u) = N{t,Pu), N 6 Cv(V-.$), (I - Q)N e Cp+1(V-,$), отображение QN

■ V —» 5 локально липшицево no

и

и. Тогда для любой пары (to,uo) 6 U, для которой (to, Рщ) € U, существует такое t\ > t0, что задача

v(t) = Av(t) + LllQN{t, v), v{t0) = Рщ. (2)

имеет единственное решение v 6 Cp+1([ío>íi];il). Если выполняется равенство (I - Р)щ = - ¿ HkMQlD\\t=ta{I - Q)N(t,v(t)), где v(t) - решение t=o

задачи (2), то существует единственное решение и 6 C^Qfo, íi];il) задачи Lú(t) = Mu{t) + N(t, u{t)), (3)

u(t0) = m0. (4)

В рассматриваемой далее ситуации, когда образ нелинейного оператора лежит в у1, имеет смысл рассмотреть уравнение вида

Lü(t) = Mu(t) + N(t, u(t)) + f(t). (5)

Теорема 5. Пусть p S No, оператор M (L,p)-ограничен, множество U открыто elxíl, V открыто в К х И1, отображение N 6 С(С;5') локально липшицево по и, im N С У, / € C(IR; д), (Г — Q) f € С!'+1(М; Í?)-Тогда для любой пары (ío, Иц) € U, удовлетворяющей условию (I — Р)щ =

р

— НкМц1({1 — Q)f)m(t0), задача (4), (5) имеет единственное решение к=О

класса С1 ([í0, ¿i];il) при некотором ti > to-

Аналогично для уравнения (3) исследована задача Шоуолтера-Сидорова

Pu{t0)=u0. (6)

Теорема 6. Пусть р € Nu, оператор М (L,p)-ограничен, множество U открыто elxil, V = U П (R х il1) открыто еКхЯ1, для всех (t, и) 6 U, таких, что (t,Pu) 6 U, выполняется N(t,u) = N(t,Pu), N € CP(V;3), (I — Q)N € C+1(V;3r), отображение QN : V —>■ У локально липшицево по и. Тогда для любой пары (¿о, щ) G V существует такое ti > to, что задача (3), (6) имеет единственное решение и G С1 ([¿о> ¿i]5^-i)•

Далее рассмотрена модифицированная модель Баренблатта—Желтова— Кочиной. Пусть Í1 С 1* - ограниченная область с гладкой границей 0Q, p:RxñxR->R. Будем искать функцию z = z(x,t), определенную в цилиндре Q х J (интервал J С R), удовлетворяющую равенствам

(A- &)zt{x,t) = aAz(x,t) + (\- A)g(t,x,z(x,t)), (х, t) 6 П х J, (7)

¿ОМо) = 20(х), х е Г2, (8)

г(х,«) = О, (х, е 5Г2 х 7. (9)

Здесь Ли а — вещественные параметры, характеризующие среду, £0 6 Известно, что при аА ^ О оператор М является (Ь, 0)-ограниченным, при этом И0 = 5° = зрап{^ : Хк = А}, Н1 и 51 есть замыкания линеала $р;т{{рк : \к ф А} в норме пространства Н2(П) или Ь2{П) соответственно. Через здесь обозначено множество собственных функций оператора А е С1(Ь2(П)), Аи = Аи, с]отЛ = Я02(П) = {?( 6 Я2(П) : и(х) = 0, х е Ш}, соответствующих его собственным значениям {А^}, занумерованным по невозрастанию с учетом их кратности. В случае п < 4, а\ ф 0, д е С3(7 х ?! х К; К) показано, что для любых (¿о, щ) 6 •/ х И1 существует такое ¿1 > £0, что задача (7)-(9) имеет единственное решение и е С^^о, Я^(П)). Аналогичным образом рассмотрена задача (8), (9) для уравнения

(А - Д)гг(х, ¿) = аАг(х, «) + а:, (А - Д)2(х, ¿)), (х, t)enxJ.

Исследована разрешимость класса нелинейных систем уравнений обобщенного гидродинамического типа (т. е. систем, содержащих уравнение несжимаемости V - V = О и векторные уравнения, частью которых является сумма

(д(г, х, г>)-У)г! = Е д{ух., где у = (уи у2,..., и„)), включающего в себя матема-¡=1

тическую модель Осколкова динамики жидкости Кельвина Фойгта, а также ее различные усложненные версии, в том числе, с нелинейной вязкостью, нагруженную систему уравнений и др. Пусть у = (уХ1, уХ2,..., уХп), у =

("ии^ии, • • • ,УХпХп), 3 — интервал в К, содержащий точку ¿0, рассмотрим математическую модель

(1 - хА)^ = 1/Ди + (д(<, х, г;) • Ч)у + <?(*, и, и, и)г;+

Л ,1 12

+ Е V,«, «)«Я| + Е V,- Г, (х, ¡=1 1 2 = 1 12

V • и = о, (х, г) е п X 7, (10)

у(х, г) = о, (х, г) едпх ^

и(х,г0) = и0(х), х е п.

Здесь П с К" — ограниченная область с границей <9П класса С°°. Такие си-

стемы уравнений встречаются в динамике неньютоновскнх жидкостей8,9,10. Параметр х 6 как правило, характеризует упругие свойства жидкости, а параметр и € К — её вязкие свойства. Вектор-функции V = («1, г'2,..., г>„) (вектор скорости жидкости), г = (г\, г2,..., гп) (градиент давления) неизвестны. Задана вектор-функция д = (д1,..., дп) и функционалы С, С, С3, г,= 1,... ,п, зависящие от I, V и от производных функций VI,..., ?;„ по переменным х!,...,х„ первого и второго порядков, С, С, С4 : М X +п —> К, где через Ь™ обозначена т-я декартова степень пространства 1,2 = (1,2 (О))"-Обозначим И1 = (И^П))", Н2 = {№$(0.))". Замыкание линеала £ = {и £ (Со°(Г2))" : V-?; = 0} по норме И,2 обозначим через ШЬ, а по норме Н1 — через Н*. Будем использовать также обозначение =Н'пН2. Обозначим через И,, ортогональное дополнение к Щ, в 1,2, через Е : 1,2 —> Н„, П = I — Е — соответствующие этим подпространствам ортопроекторы. На множестве £ рассмотрим оператор А = ЕД, продолженный до замкнутого оператора в пространстве Н^ с областью определения Н2.

Теорема 9. Пусть х Ф 0, X"1 & " 6 К, п < 4, д € С1^ х П х

С,С,е С^ х Иа х ЦТ4"3;!!), г,^ = 1 г;0 £ £0 £ J■

Тогда при некотором € 3, > ¿о, существует единственное решение V 6 г 6 СЧМгЬН,) задачи (10).

Показано, что при надлежащем выборе функционалов данная система будет собой представлять систему уравнений Осколкова с нелинейной вязкостью или нагруженную систему уравнений и др.

Третья глава содержит новые результаты о нелокальном существовании и единственности классических и сильных решений задач для систем, описываемых вырожденным уравнением (3) с заданным начальным условием Коши или Шоуолтера Сидорова. При этом возникла необходимость в существенном усилении условий на нелинейный оператор, что в свою очередь позволило ослабить требования к линейным операторам — рассмотреть более общий случай сильно (Ь, р)-радиального оператора М.

Теорема 10. Пусть р 6 N0, оператор М сильно (Ь,р)-радиален, опера-

8Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина—Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. Мат. Ин-та АН СССР. 1988. Т. 179. С 126-164.

9Свпридюк Г. А., Сукачева Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости // Мат. заметки. 1998. Т. 63, № 3. С. 442-450.

ш3вягин В. Г., Турбин М. В. Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина—Фойгта // Современная математика. Фундаментальные направления. 2009. Т. 31. С. 3-144.

тор N : [i0, Т] х il у непрерывно дифференцируешь на [i0, Т) х 11 и равномерно Липшицев по второй переменной нail, imN С З1, f € C,p+1([i0,T];Sr),

щ е domA/, (7 - Р)и0 = - £ НкМц1((1 - Q)f)^(t0). Тогда задача (4), (5)

имеет единственное решение и 6 Cl([t0,T);!d).

Теорема 11. Пусть оператор М сильно (Ь,0)-радиалеп, оператор QN : непрерывно дифференцируем на [¿(ь^Ч xit и равномерно Липшицев по второй переменной на il, для любых (t, и) е [i0, Т) х il выполняется равенство N(t, u) = N(t, Ри), (I - Р)щ = - Q)N(t0, Рщ), щ е domM. Тогда задача (3), (4) имеет единственное решение и 6 Cl{[t0,T]-,iX).

Аналогичнодляуравнения(3)исследованазадачаШоуолтера-Сидорова(6).

В задачах, например, оптимального управления, большую роль играют сильные решения дифференциальных уравнений, о которых пойдет речь далее. Достаточные условия их существования могут быть ослаблены по сравнению со случаем классических решений.

Сильным решением задачи (3), (4) назовем функцию и £ 0, Т; il), для которой выполняется (4) п при почти всех t е [h,T] — равенство (3).

Теорема 12. Пусть Я рефлексивное банахово пространство, оператор М сильно (L, 0)-радиален, оператор QN : [i„,T] х it £ равномерно Липшицев по двум переменным, для любых (t, и) G [t„, Г] х Я выполняется равенство N(t,u) = N(t,Pu), щ £ domMb Тогда задача (3), (6) имеет единственное сильное решение и £ H1([i0,T];il).

Теорема 13. Пусть Я — рефлексивное банахово пространство, р £ N0, оператор М сильно (Ь,р)-радиален, оператор N : \t0,T] xil -> 3 равномерно Липшицев по двум переменным, imN С / 6 Cp+1([i0,Т];5). Тогда для любого и0 £ domM] задача (5), (6) имеет единственное сильное решение

«еячро.ад.

Аналогично для уравнения (3) исследована задача Коши (4).

Полученные результаты использованы при рассмотрении модели эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Пусть С Rn — ограниченная область с гладкой границей <9fi. Bfix [f„, Т} задано уравнение

(А - A)zt(x,t) = аДz{x,t) - pA2z{x,t) + (А - Д)[7(х)2(ж, <)], (11) а также краевое и начальное условия

г(х, t) = Az(x, t) = 0, (х, t) в дП х [i0, Г],

(А - A)z(x,t0) = z0(x), xeSi. (12)

Здесь А, а 6 R, /3 G R+, 7 : П —> R — параметры, характеризующие среду. Собственные значения {At} и собственные функции {<£>*} были определены при рассмотрении задачи (7)-(9).

Теорема 14. Пусть аХ - /ЗА2 ф 0, 7 е C3([t0, Т] х П), г0 £ Я4(П) такое, что zo(x) = Д-го(х) = 0 для х £ 5П, / zQ(x)ipk(x)dx = 0 при к € N, <?лл которых At = А. Тогда задача (11) (12) имеет единственное сильное решение ze(t0,T;H2(n)).

В ограниченной области с гладкой границей исследована начально-краевая задача для вырожденной алгебро-дифференциальной системы уравнений в частных производных

и(х, 0) = и0(х), i>(x,0) = 0, w(i,0) = 0,i€il, 0&(х, i) + (1 - 9)и{х, t) = 6&{х, t) + (1 - 0)v(x, t) = = 9^(x,t) + (l-e)w{x,t)=0, (x, t) 6 dfl x [t0, T], ut(x, t) = Au(x, t) + h(t, x, u, v, w), (x, t)eilx [t0, T], wt(x, t) = Av(x, t), (x, i)ei!x [t0, T], Aw(x, t) = 0, (x, f) e fix [t0, Т].

Показано, что она редуцируется к задаче (3), (4) с сильно (L, 1)-радиальным оператором М. В случае П С R'\ h е C4([to,T] х Si х R3) показано, что для любого щ в Я|(П) = {z е Н5{П) : (х) + (1 - 0)z{x) = 0, х G дП) существует единственное решение (и, v, w) 6 С1 ([to, Т]; (Я3(П))3) задачи (13). Также рассмотрена начально-краевая задача

и(х, 0) = ыо(х), х 6 П,

off(X, t) + (1 - 0)u(x, t) = о + (1 - 0М*.г) = о, (X, t) еX [t0,т],

u((x, t) = Аи(х, t) - Av(x, t) + ^(t, x, u), (x, t) e Г2 x [t0, T], Au(x, t) + Pv(x, t) + u(x, t) + h(t, x, u) = 0, (x, t) еП x [f0, T\,

(14)

A,/3,0 £ R. Системы уравнений такого вида встречаются, например, при моделировании фазовых переходов первого рода в предположении, что время релаксации равно нулю11. Показано, что в случае П С R5, g,h е C4([io,T] х il х 1), для любого щ 6 Я;5(П) задача (14) имеет единственное решение

(«,<;) еСЧ[г0,Т];(Я3(П))2).

Четвертая глава представляет собой завершающий шаг естественного цикла исследования задач вида (3), (4), заключающийся в разработке чис-

пПлотш1ков П. И., Клепачева А. В. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций // Свб. мат. журн. - 2001. - Т.42, № 3. - С. 651-€69.

ленных методов решения класса задач (на примере модели Осколкова динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина—Фойгта) и построения на основе этих методов программы для численного поиска решений.

Численное моделирование проведено для заданной в двумерной области П = (0,7г) х (0,7г) модели

Щ ~ ХЩхх ~ ХЩу = ™хх + ь>иуу - иих - уиу - рх, (х, 1/,«)еПх [О, Т], Ч ~ Х^хх - ХЩу = ™хх + Муу - иух - ууу - Ру, (х, у,г)еПх [О, Г], их + уу = О, (х,у,г) 6 П х [О, Г], и(х, г) = о, у{х, г) = о, (х, ь) е дп х [о, т], и(х, ¿о) = щ(х), у(х, ¿о) = У0(х), (х, у) е П.

(15)

Введена равномерная сетка на области П с шагом /г = 7г/К, определены тем самым точки ж* = гН, у, = ¿Л, г = 0,..., К, 3 = 0,..., К. Определен шаг по времени т > О, получены точки ¿„ = пт разбиения отрезка [0,Т], п = О,..., N. Приближенные значения функций и,у,р в узлах с координатами обозначены через р^.

Построены разностные схемы вычисления значений скорости по известным значениям функций скорости и давления предыдущего временного слоя

+ + + <А - КЛ + К/ = = + + + + -

- «&) + - «&)) - Жи -

+ + 4^) + =

Н + + "Г-и + + - 4^.)-

- + №¿+1 - «и)) - е(Р&+1 -

с начальными условиями и^ = щ^, у0^ = у0^ и граничными условиями = = К,о = = = ^ = = у^ = 0, где г, у = 0,1,..., К, п = 0,1,..., М, а также разностная схема для вычисления значений давления по известным значениям функций скорости на текущем временном слое

Ш+и +Р&+1 +Р&-1 - 4= !(«». - и^ + - и»._1)+

+ + + - 4^ - и»-- <_2>■ - .+1_ + + + +

1 - - - - ^ - + 4«?..,]+

- - - - - „?,.)-

с граничными условиями р^ = рпК] = = р™м = 0, г, ] = 0,1,..., К, п = 0,1,..., Ж

Аналогичные разностные схемы получены для линеаризованной системы Осколкова в окрестности стационарного решения.

Доказано, что предложенные разностные схемы аппроксимируют соответствующие задачи с порядком 1 по т и к.

Для линеаризованной разностной схемы доказано, что ее разностная схема при х>0, 1>>0, т<2^и при достаточно малом И, устойчива.

Проведен численный эксперимент для параметров х = 0.001, у = 0.001, число точек разбиения отрезка N = 50, шаг по пространству И, = 0.06, по времени т = 0.01. Показано, что разница между значениями моделируемых

*Р[х,25] -7,27 / 0,32

Рис. 1: Численный эксперимент при х = 0.001, и = 0.001, N = 50, к = 0.06, г = 0.01.

функций для нелинейной и линеаризованной систем Осколкова стремится к нулю при измельчении сетки по пространству. Приведено описание программного продукта для численного исследования модели Осколкова динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта на языке программирования С#. Программа допускает выбор параметров сетки, параметров вязкости и упругости задачи, начальных значений, метода численной реализации неявных разностных схем. В программе использованы открытые библиотеки для построения ЗБ графиков и работ с матрицами, незначительно модифицированные автором. Написаны интерфейсы для ввода параметров моделирования, отображения ЗБ изображений и работы с ними (повороты, маштабирование, сохранение), класс начальных значений, класс параметров моделирования, классы численного решения. В качестве экономичного метода моделирования трехмерных систем уравнений был выбран метод матрич-

ной факторизации (прогонки)12, являющийся обобщением метода факторизации (прогонки) на многомерный случай.

Заключение

В диссертационной работе развиты качественные методы исследования математических моделей вырожденных нелинейных эволюционных процессов. Доказана однозначная разрешимость начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешимых относительно производной по времени. Предложен метод построения численного решения таких задач на примере модели Осколкова. Доказана устойчивость и сходимость данного метода. Составлен алгоритм поиска численного решения, на основе которого разработан программный продукт, позволяющий строить численное решение начально-краевых задач. В перспективе полученные результаты позволят перейти к разработке качественных и численных методов исследования нелинейных моделей вырожденных эволюционных процессов.

Список работ автора по теме диссертации, в журналах, входящих в Перечень ведущих периодических изданий

1. Федоров, В. Е. О нелокальных решениях полулинейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, П. Н. Давыдов // Дифференц. уравнения. — 2013. - Т. 49, № 3. - С. 338-347.

2. Федоров, В. Е. Полулинейные вырожденные эволюционные уравнения и нелинейные системы гидродинамического типа / В. Е. Федоров, П. Н. Давыдов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19 № 4 — С. 267-278.

3. Омельченко, Е. А. Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием / Е. А. Омельченко, М. В. Плеханова, П. Н. Давыдов // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математика. Механика. Физика. 2013. Т. 5, № 2. С. 45 51.

4. Давыдов, П. Н. Сильно вырожденная система уравнений Осколкова / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Научи, ведомости Белгород, гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. — 2014. — Вып. 34, № 5 (176). — С. 5-11.

Сведения о регистрации программы

Численное решение системы уравнений Осколкова: Свид-во о гос. рег. программы для ЭВМ № 2014618458 РОСПАТЕНТ/ Давыдов П.Н., Плеханова М.В.; заявитель и правообладатель ФГБОУВПО «Челябинский государственный университет». № 2014616031; заявл.24.06.2014; 20.08.2014.

Другие публикации автора

4. Давыдов, П. Н. О соответствии функций типа Бесселя одному классу дифференциальных уравнений / П. Н. Давыдов // Тез. докл. Междунар. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам. — Суздаль-ВГУ, 2008. - С. 82.

12Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. — 21 с.

5. Давыдов, П. Н. Локальная разрешимость одного класса уравнений соболевского типа / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Тр. Воронеж, зимн. мат. шк. С. Г. Крейна. - Воронеж: ВГУ, 2010. - С. 47-52.

6. Федоров, В. Е. Глобальная разрешимость некоторых полулинейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, П. Н. Давыдов // Вестник. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 12, № 23 (204). - С. 80-87.

7. Давыдов, П. Н. О нелокальных решениях полулинейных уравнений соболевского типа / П. Н. Давыдов, М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: тез. докл. междунар. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко. Новосибирск: Академгородок, 2011. С. 117. http://conf.nsc.ru/files/conferences/niknik90/fulltext/39446/46860/davydov.pdf.

8. Давыдов, П. Н. О существовании и единственности решения нелинейного уравнения Дзекцера / П. Н. Давыдов // Обратные и некорректные задачи математической физики: тез. докл. междунар. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения академика М. М. Лаврентьева. — Новосибирск: Снб. науч. изд-во, 2012. С. 359.

9. Давыдов, П. Н. Один класс полулинейных вырожденных эволюционных уравнений / П. Н. Давыдов, В. Е. Федоров // Физ.-мат. науки и образование: материалы Всеросс. научно-практнческ. конф. — Магнитогорск: МаГУ, 2012. С. 76 78.

10. Федоров, В. Е. An initial problem for a class of semilinear degenerate evolution equations / В. E. Федоров, П. H. Давыдов // Нелинейные уравнения н комплексный анализ: тез. докл. междунар. конф. — Уфа: Ин-т математики с ВЦ УНЦ РАН, 2013. С. 49 50.

11. Давыдов, П. Н. О разрешимости нагруженной системы Осколкова с нелинейной вязкостью / П. Н. Давыдов // Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: тез. докл. междунар. конф. Белгород: БелГУ, 2013.

Подписано к печати 17.10.2014г. Формат 60x84 1/16 Объем 1,0 уч.-изд.л. Заказ № 650. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе в "Типографии "Вера" 454092, г.Челябинск, ул. Свободы 22