автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование прямых и обратных задач в моделях Хоффа

На правах рукописи

485ЭЗЗО

Баязитова Альфия Адыгамовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В МОДЕЛЯХ ХОФФА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 СЕН 2011

ЧЕЛЯБИНСК - 2011

4853338

Работа выполнена на кафедре уравнений математической физики ЮжноУральского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор СВИРИДЮК Георгий Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация — Воронежский государственный университет

Защита состоится 5 октября 2011 года, в 12 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при Южно-Уральском государственном университете, по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_2011 г.

Ученый секретарь

профессор МЕНИХЕС Леонид Давидович доктор физико-математических наук, доцент СУКАЧЕВА Тамара Геннадьевна

диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цели работы. Пусть С) - конечный связный ориентированный граф, где 2} = — множество вершин, а (£ = {£}} — множество ребер, причем каждое ребро Ej имеет длину 6 и площадь поперечного сечения ^ € Е+. На графе С(Ш; (£) рассмотрим начально-краевую и обратную (в случае п = 2) задачи

ик{0,£) = ыт(0, г) = »„(/„,£) = ир{1р, £), , .

Ек,ЕтеЕ°(Ц),Еп,ЕрбЕ«(Ц) [ '

^ ¿кикх{ 0,0- £ (1,питх(1т,1) = 0, (2)

ыДх,0) = ¡^(х), х е (0,^), (3)

ауи<у(°) + = "/"''./(О) + /^"оДО) = ^ (4)

для уравнении Хоффа

\jUjt + = «иЧ? + + - + (5)

моделирующих динамику конструкции из двутавровых балок.

Здесь параметры Xj € К+ характеризуют нагрузку на ^-ую балку, а ое Ж, г = 1,___,72 характеризуют свойства материала _7-ой балки, фj е К показывают изменение скорости динамики выпучивания в начале и конце балки в начальный промежуток времени. Через .Е0^^) обозначено множество ребер с началом (концом) в вершине Условие (1) требует, чтобы все решения были непрерывными в вершинах графа; а условие (2) - аналог условия Кирхгоф-фа - в случае, когда граф состоит из единственной дуги с двумя вершинами, превращается в условие Неймана.

Пусть Г2 С К8 - ограниченная область с границей <9Я класса Сж. Уравнение Хоффа

(А + Д)^ = аги + а2и3 + ... + апи2п~1 (6)

в случае й = 1 моделирует динамику выпучивания двутавровой балки, где параметр Л 6 Ж+ характеризуют нагрузку на балку, а параметры а,- € М характеризуют свойства материала балки.

Под прямой задачей понимается задача Коши - Дирихле

и(х, 0) = и0(х), хеП-, и(х, г) = 0, (х, () £ Ж х Е, (7)

где искомая функция и = и{х,1), I £ (1, ( £ К имеет физический смысл отклонения балки от вертикали, т.е. от положения равновесия.

В случае п = 2 (обозначив а\ = а, аг = /3), п = 3 и произвольного п будем рассматривать задачу нахождения не только решения уравнения (6), но и параметров а;, г = 1 ,...,п для того, чтобы узнать различия между имеющимся материалом балки и предполагаемым. Для решения обратной задачи вводятся дополнительные условия

J ^(с^щ + а2и30 + ... + апи1п~г)<1.х = ] = 0,..., п - 1, (8) п

характеризующие моменты изменения скорости динамики выпучивания балки. Нашей целью является качественное и численное исследование разрешимости задач (1)-(5) и (6)-(8) при различных значениях параметров. Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи.

1. Исследовать морфологию фазовых пространств уравнений Хоффа, заданных на геометрическом графе и в области конечномерного пространства.

2. Получить условия разрешимости прямых и обратных задач.

3. Разработать алгоритмы численного исследования прямых и обратных задач для уравнений Хоффа, а также построения фазового пространства.

4. На основе алгоримов спроектировать и реализовать программный комплекс, использующий предложенные методы.

5. Провести численные эксперименты для анализа эффективности предложенного подхода.

Качественное исследование задач (1)-(5) и (6)-(8) облегчается тем обстоятельством, что они обе в подходящим образом подобранных банаховых пространствах 11 и £ редуцируются к задаче Коши для полулинейного уравнения соболевского типа

«(0) = «о, (9)

Ьи^Ми + Щи). (10)

Актуальность темы. В литературе уравнения и системы уравнений, неразрешенные относительно старшей производной называют уравнениями и системами соболевского типа, поскольку именно работы С.Л. Соболева послужили началом систематического изучения таких уравнений. В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свирндюком.

Результаты исследовании обратных задач для линейных уравнений соболевского типа принадлежат Л.И. Кожанову, С.Г. Пяткову и Н.Л. Абашеевой, Г.А. Свиридюку и К.С. Ощепкову, В.Е. Федорову и A.B. Уразаевой, A. Favini и A.Lorenzo.

Уравнение Хоффа на отрезке первым начал изучать H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев и O.A. Романова. Уравнение Хоффа на графе впервые исследовали Г.А. Свпрндюк и В.В. Шеметова.

Актуальность диссертации заключается в качественном и численном исследовании моделей Хоффа, адекватных следующим прикладным задачам. Первая - изучение прямых и обратных задач в процессе выпучивания двутавровой балки, а вторая - изучения прямых и обратных задач в процессе выручиванпя конструкции из двутавровых балок.

Методы исследования. Основным методом диссертационного исследования является метод фазового пространства. Кроме того, в основе численных экспериментов лежит метод Галеркнна.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложен метод исследования прямых и обратных задач в моделях Хоффа, базирующийся на методе фазового пространства.

2. Разработан новый алгоритм исследования прямых и обратных задач в моделях Хоффа.

3. Выполнена реализация алгоритма исследования прямых и обратных задач для уравнений Хоффа в виде программного комплекса для персональных компьютеров.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней сформулированы и доказаны условия разрешимости прямых и обратных задач для уравнений Хоффа, заданных на конечном связном ориентированном графе и в ограниченной области.

Практическая значимость работы заключается в том, что предложенный программный комплекс может использоваться для нахождения численного решения прямых и обратных задач в моделях Хоффа, заданных на графе и в области.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 2007), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (г. Стерлитамак, 2008), Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (г. Екатеринбург, 2008), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (г. Новосибирск, 2008), X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, 2009), на Воронежской зимней математической школе им. С.Г. Крейна 2010 (г. Воронеж, 2010). Также результаты докладывались на первой и второй научной конференции аспирантов и докторантов Южно-Уральского государственного университета (г. Челябинск, 2009, 2010), на семинаре чл. - корр. РАН В.В. Васина в Институте математики и механики УРО РАН и на семинарах по уравнениям соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, причем работы [1 - 4] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК, получено свидетельство о государственной регистрирации программы для ЭВМ (5]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 124 страницы. Библиография содержит 107 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике.

Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из б параграфов. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р - ограниченных операторах. Во втором параграфе рассматриваются следующие определения: карты, атласа, банахова Ск - многообразия, касательного расслоения С* - многообразия, векторного поля и теорема Коши. В третьем

параграфе определяется понятие решения, фазового пространства, простоты фазового пространства для полулинейных уравнений соболевского тина. В четвертом параграфе определяются пространства Соболева, пространства с негативной и позитивной нормами и приводятся теоремы вложения Соболева и Кондрашова - Реллиха. Пятый параграф содержит определения ради-ально непрерывного, монотонного, коэрцитивного оператора, теорему Випшка - Минти - Браудера, теорему о неявной функции. Шестой параграф посвящен описанию свойств собственных значений и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля на геометрическом графе.

Вторая глава состоит из 4 параграфов и содержит исследование прямых и обратных задач уравнений Хоффа, определенных на графе. В п. 2.1 исследуется начально-краевая задача (1) - (3) для уравнений Хоффа (5), заданных на графе. Введем гильбертово пространство

= {<7 = {91,92,-,9],-), 9] е Ь2(0,/,)} со скалярным произведением

г'>

(<7,М = У2<1] д}1г,(1х з ^

и банахово пространство

И = {и = (щ,ио, ...) : щ € 11^(0, и выполнено (1)}

с нормой

Ч

\\и\\1=^3 [{и%+и^х. 1 о

Обозначим через 5" сопряженное к И относительно (•, ■) банахово пространство. Построим операторы Ь, М, N : 11 —> У

, и

(Ьи, V) = £ ¿з(Хз ¡0 и№(1х - / »/Г'>г/.г). з о

(Ми, V) — £ а\]<1] /0> UjVjdx, з

(N(4), и) = £ ^ (ау + ... + ая,- и]"~\<1х) ,

тем самым редуцируя задачу (1) - (3), (5) к задаче (9) - (10).

Операторы Ь,М е /2(11; (т.е. линейны и непрерывны), причем оператор Ь фредгольмов (т.е. ¡пс1 Ь = 0), а оператор М компактен.

Лемма 1 (¡) Оператор М (Ь,0)-ограничен в случае кегЬ = {0}.

(и) Оператор М (¿,0)-ограничен, если кегЬ ф {0}, ау ф 0 при любом ] и

все ау имеют одинаковый знак.

Лемма 2 При любых а.щ е М, к = 2, ...,п оператор N 6 С30 (11; 30.

Для исследования морфологии фазового пространства задачи (1) - (3) для уравнений (5) выберем в ядре кегЬ ортонормированный (в смысле (•, •)) базис, т.е. кег/, = ярап{\,/1,. : к = 1,2,..., /}, и отождествим его с базисом в сокег Ь. Рассмотрим множество

ОТ = {и е И : (I - Я){Ми + Щи)) = 0}.

Теорема 1 (г) Пусть выполнено кег Ь = {0}. Тогда фазовым пространством уравнения (5) служит все пространство И.

(и) Пусть выполнено кегЬ ф {0}, все коэффициенты ау ф 0, к = 1 ,...,п одного знака. Тогда фазовым пространством уравнения (5) служит простое многообразие 9Л.

В п. 2.2 содержится исследование обратной задачи (1) - (5) в случае п = 2 для уравнений Хоффа, заданных на графе.

Лемма 3 Пусть кегЬ = {0}. Тогда при начальных значениях щ € 11, Фз £ К. таких, что и0^(0) ф 0, ф 0, г%(0) ф и Ф

^Ыо-(О), ф ^фjЩj{0), существует единственное решение и € 11, а^,

/3,- € Ж\{0} обратной задачи (1) - (5).

Рассмотрим случай кег Ь ф {0}. Пусть Э - множество значений (р = (^1,..., ...), ф = ■■■), при которых решениями задачи будут век-

торы коэффициентов а, (3 одного знака.

Теорема 2 Пусть кегЬ ф {0}. Пусть <р,ф е 2) и щ £ 11 такие, что «о.)(0) ф 0, иоД'./) Ф 0, и<у(0) ф и выполнено условие

с1 /*

5 I (^у-иь) - + (-ф]Щ(0) - щщ№))^)хк(1х = о.

' о

Тогда существует единственное решение и 6 И, а/Зу £ К\{0}, ajPj € М+ обратной задачи (1) - (5).

П. 2.3 посвящен описанию разработанных автором алгоритмов нахождения решения прямых и обратных задач для моделей Хоффа, заданных на графе. Рассмотрена прямая и обратная задачи (1) - (5) с условием Шоуолтера -Сидорова (А, + (uj(x. 0) - uj0(x)) = О, хе (0, lj).

Теорема 3 Пусть ker L = {0} или ker L ф {0} и все коэффициенты aSj ф 0, s = 1 , ...,п имеют одинаковый знак. Тогда для любого щ £ И существует единственное решение задачи Шоуолтера Сидорова для уравнений (5). Теорема 4 (i) Пусть kerL = {0}. Тогда при любых щ G Д, ipj, ipj е R таких, что u0j(0) ф 0, u0j(l) ф 0, u0j(0) ф ±щ{1), ф и

ipjUoj(l) Ф %l>jUoj(0) существует единственное релиениеи е U, qj, /3j £ К\{0} обратной задачи (1)~(5).

(и) Пусть ker L ф {0}. Тогда при любых <р = (y>i,..., (Pj,---) € S, гр = (0i, ••■) G ® и щ = (Uoi, «02! Щ, ••■) £ И таких, что uoj(0) Ф 0.

Uqj(lj) ф 0, uoj(0) ф ±Uoj(lj) существует единственное решение tiSil. aj, pj е R\{0}, otjfij G R+ обратной задачи (l)- (5).

П.2.4 содержит описание комплекса программ, разработанного в вычислительной среде Maple 13.0. Для комплекса программ приведены его функциональное назначение, область применения, описана логическая структура, используемые технические средства и выходные данные. Комплекс программ, опираясь на метод Галеркина, позволяет находить приближенное численное решение задач (1)-(3), (5) и (1)-(5) и строит графическое изображение этого решения при различных значениях А¡. показывая простоту фазового пространства.

Рис. 1 Решение u-u(x,t) (а) и фазовое пространство (6) уравнения (5) при Ai = Aj = 1, («i, üj) = (ui(í) + 112(f) cosx + ¡í3(í)cos Ui(t) - u-i(t) eos x — Us(t) sin I).

Третья глава состоит из 4 параграфов и содержит исследование прямых и обратных задач для уравнения Хоффа, определенного в области. В п. 3.1 исследуется начально-краевая задача (6) - (7) для уравнения Хоффа, заданного в области. Для редукции задачи (6) - (7) к задаче Коши для абстрактного по-

о

лулиненного уравнения соболевского типа задаются пространства it (ft), $ = IV^^ft) и операторы

(Lu, v) = / (Xuv - VuVt')rf.r, Vu, v еИ°2х (ft), n

(Mu, v) = Qi J uvdx, n

(N{u),v) =f(a2u3 + ... + anu2"~1)vdx Vu,v e ¿2п(П). n

Операторы L,M e £(U;3% причем оператор L фредгольмов. Лемма 4 При всех Q\ € М\{0}, А £ 8 оператор М (L,Q)-ограничен.

Лемма 5 Оператор АГ £ С00(И; 5) при всех ад G К, к = 2,..., п, если п — 1,2 при s = 4 (т.е. ft С E4j, п = 1,2,3 при s = 3 (т.е. П С tfj » п £ N при s = 1,2 (т.е. ft С К или ft С М2).

Для исследования морфологии фазового пространства задачи (7) для уравнений (6) выберем в ядре kerL ортонормнрованный базис. Таким образом, ker L — span{xit : к = 1, 2,..., I}. Построим множество

Ш = ju G 11: 1 + а2и2 + ... + с^и2"-1)^*^ = 0, к = 1,... ,т|.

Теорема 5 Пусть п = 1,2 при 5 = 4 (т.е. ft С IR4,), п = 1,2,3 при s = 3 (т.е. ft С М3,) и п € N при s = 1,2 (т.е. ft С R «ли ft С R2) и выполнено одно из двух условий

(i) kerL = {0}. Тогда фазовым пространством уравнения (6) служит все пространство 11.

(и) kerL ф {0}, все коэффициенты а,- € R\{0}, г = 1 ,...,п одного знака. Тогда (фазовым пространством уравнения (6) служит простое многообразие Ш.

В п. 3.2 исследуются обратные задачи (6) - (8).

Лемма 6 Пусть кег Ь = {0}, п = 2, й < 4 и выполнены условия

5 = J щ(х)(1х ! хи^(х)дх — J хщ(х)<1х ! и'ц(х)(1х ф 0, П Ь !) П

/(рх — ф)-иц(х)с1х Ф 0, /(ф - 1рх)и$(х)с/х Ф 0. Тогда для любого ии 6 11, о и

(р, ф € М и некоторого Т = Т(и$) существует единственное решение и е С°°((—Г;Т),И), а, в е М\{0}, задачи (6) - (8).

В случае нетривиального ядра оператора Ь при производной по времени для нахождения условий существования и единственности решения вводится множество 2) - множество допустимых значений <р>, ф, при которых решениями задачи будут коэффициенты а, 0 одного знака. Искомое множество 33 имеет вид

2) = < <р, ф £ К : J{Ф — <рх)щ(х)<1х х j(ф — (рх)и1(х)с1х > 0 I п п ,

Теорема 6 При п = 2, а < 4, любых (р, ф 6 ЗЭ и и о 6 11 таких, что

<Р / хи^{х)йх ф Ф / 11ц(х)({.V, Ф / иц(х)с(х ф 1р / хщ(х)({х, Г! О П П

/ щ(х)с1х / хиЦ(х)(1х ф / хиц(х)с1х / и^(х)дх и а п о п

г/о(аг) - У'ШЖ + и30(х) ¡(ф - , Хк) = 0

а п / /

существует единственное решение и £ 11, п, /3 6 К\{0}, а/3 6 К+ обратной задачи (6) •- (8).

Рассмотрим случай и = 3 при й < 3 и для произвольного п при в < 2. Коэффициенты а,- определены формулами аг- = • 6~1, где

/ Ио(х)(1х У Хио(х)(1х ... /¿1 ... I х2в~2ии(х)дх п п п

/ г/ц (х)с/х / хи$(х)(1х ... ц2 ... / х2"~2и1(х)({х

/щ* 1(х)(1х /хи2/ г(х)дх ... ц» ... /х2-" 2«ц8 1(х)с1х п и п

(5 — 1!

/ьо(х)(/х / хи^{х)дх п п

/ ид(х)(1х / хиц(х)с1х

п

/ х2Г2и5(х)(Ь

п

/ Х2а 2щ(х)(1х

п

/и2п'~1(х)с/х ¡хи2'~1(х)дх ... I х29-2и2з~1(х)ёх

п

п

причем а,; € Е\{0}, когда <5,- т^ 0.

Лемма 7 Пусть кег £ = {0}, з < 2 при п Е N или в < 3 при п = 3 и 5{ф0 при г = 1,..., п. Тогда для любого нц 6 11. //, е К и некоторого Т = Г(ио) существует единственное решение и € С''((— Т. Г);И). а,- е Е\{0} задачи

В случае кег £ ф {0} введем множество £> - множество допустимых значении /(¿, при которых решениями задачи будут коэффициенты сч одного знака. Искомое множество Э имеет вид

Теорема 7 Пусть кег Ь ф {0}, в < 2 при п € М или я < 3 при п = 3 и <5,; ф 0 при г = 1, ...,тг. 7ЪгЛг при любых 6 2), ад 6 И и

существует единственное решение и 6 С1((—Г, Т);11), а,- 6 М\{0}, а, ■ -одного знака, обратной задачи (6) - (8).

П. 3.3 посвящен описанию разработанных автором алгоритмов нахождения решения прямых и обратных задач для моделей Хоффа, заданных в области. При разработке алгоритмов возникла необходимость в рассмотрении прямых и обратных задач (6) - (8) с условием Шоуолтера - Сидорова (А + А)(и(х, 0) - щ(х)) = 0.

Теорема 8 При любых а,; е Е\{0}, i = 1...., п и

(1) кег Ь = {0} существует единственное решение задачи (6)-(7) при любых щ £ 11.

(и) кег Ь ф {0} и все а^ одного знака существует единственное решение задачи (б)-(8) при любых щ € 11.

(6) - (8).

Э = {//¿, е Е : <*>,■ > 0 = 1,..., п] .

((¿1«о + 62и1 + ... + дпи20" '), Хк) =0, к - 1,..., I

Теорема 9 (i) Пусть ker L = {0}. s < 2 при neN или s < 3 при n = 3 или s < 4 при n — 2 и д) ф 0 при i = 1,...,. Тогда для любого щ 6 11, Hi & Ж и некоторого Т = Т(иц) существует единственное решение и 6 С\{-Т,Т);й), а» е К\{0} задачи (6) (8).

(п) Пусть ker L Ф {0}, s <2 при п € N или s < 3 при п — 3 или s < 4 при п = 2 и Si ф 0 при i = 1,.... п. Тогда при любых /г,; Е® и и о 6 11 существует единственное решение и £ С:((—Т. Г);И), Q; е М\{0}, - одного знака,

обратной задачи (6) (8).

П.3.4 содержит описание комплекса программ, разработанного в вычислительной среде Maple 13.0. Для комплекса программ приведены его функциональное назначение, область применения, описана логическая структура, используемые технические средства и выходные данные. Комплекс программ, опираясь на метод Галеркина, позволяет находить приближенное численное решение задач (6)-(7) и (6)- (8) и строит графическое изображение этого решения при различных значениях Л, показывая простоту фазового пространства.

Рис. 2 Решение u—u(x.t) (а) и фазовое пространство (б) уравнения (6) при Л = 1, если u(t,x) = и i(t) i/2/ir sinx + U2(i)i/2/7rsin2i + 113(4)^2/1 sin Зх

Результаты, выносимые на защиту:

1. Найдены условия разрешимости прямых и обратных задач для уравнений Хоффа.

2. Исследована морфология их фазового пространства.

3. Разработан алгоритм численного решения прямых и обратных задач для уравнений Хоффа.

4. Спроектирован и реализован программный комплекс нахождения численных решений прямых и обратных задач для уравнений Хоффа.

5. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов, методов и подходов.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Свиридюк, Г. А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе / Г. А. Свиридюк, А. А. Баязптова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. - 2009. -№1(18). - С. 6-17.

2. Баязитова, А. А. Задача Штурма - Лнувилля на геометрическом графе / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование н программирование. - 2010. - № 16 (192). - С. 4-9.

3. Баязитова, А. А. Численное исследование процессов в моделях Хоффа / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - 2011. - № 4(221). - С. 4-9.

4. Баязитова, А. А. Задача Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа на геометрическом графе. /' А. А. Баязитова // Изв. Иркутского гос. ун-та, серия Математика. - 2011. - Т. 4, №1. - С. 2-8.

Другие научные публикации:

5. Программа нахождения численного решения в прямых и обратных задачах в моделях Хоффа: свидетельство 2011611830 /' Баязитова A.A. (RU); правообладатель ГОУ ВПО "Южно-Уральский государственный университет". - 2011610110; заявл. 11.01.2011; зарегистр. 28.02.2011, Реестр программ для ЭВМ.

6. Баязитова, А. А. Об обратной задаче для уравнений Баренблатта -Желтова - Кочиной на графе / А. А. Баязитова / / Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. науч. конф. - Самара, 2007. - С. 31-32.

7. Свиридюк, Г. А. Обратная задача для уравнений Баренблатта - Желтова - Кочиной на графе / Г. А. Свиридюк, А. А. Баязитова // Неклассические уравнения математической физики: сб. тр. междунар. конф. "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвящ. 100-летию со дня рождения акад. И.Н. Векуа. Новосибирск, 2007. С. 244-250.

8. Баязитова, А. А. Об обратной задаче для уравнений Баренблатта -Желтова - Кочиной на графе / А. А. Баязитова // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: тр. междунар. конф., С'терлитамак, 24 -28 июня 2008 г. - Уфа, 2008. - Т. 3. - С. 10-14.

9. Баязитова, А. А. Обратная задача для уравнения Хоффа / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование. -

2008. - № 15(115). - С. 4-8.

10. Баязитова, А. А. Об обратной задаче для уравнений Хоффа на графе /' А. А. Баязитова // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: тез. докл. междунар. конф., носвящ. 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева, Новосибирск, 5-12 октября 2008 г. -Новосибирск, 2008. - С. 103.

11. Баязитова, А. А. Обратная задача для одного неклассического уравнения / А. А. Баязитова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М., 2009. - Т. 16, Вып. 2. - С. 285-286.

12. Баязитова, А. А. Обратная задача для одного неклассического уравнения / А. А. Баязитова // Научный поиск: материалы первой науч. конф. аспирантов и докторантов. С'оц.-гуманитар. и естеств. науки. - Челябинск,

2009. - С. 12-15.

13. Баязитова, А. А. Обобщенная задача Штурма - Лиувилля на графе / А. А. Баязитова //Воронежская зимняя математическая школа им. С.Г. Крейна - 2010: тез. докл. - Воронеж, 2010. - С. 18-19.

14. Баязитова, .4. А. Начально-краевая задача для обобщенного уравнения Хоффа / А. А. Баязитова Научный поиск: материалы второй науч. конф. аспирантов и докторантов. Естест. науки. - Челябинск, 2010. - С. 11-14.

15. Баязитова, А. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для обобщенного уравнения Хоффа A.A. Баязитова // Вестник МаГУ. Математика. Магнитогорск: МаГУ, 2010. - Вып. 12. - С. 15-21.

Издательский центр Южно-Уральского государственного университета Подписано в печать 23.08.2011. Формат СО х 84 1/10. Печать цифровая. Усл. печ. л. 0,70. Уч.-нзд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 256/472. Отпечатано в типографии Издательского центра ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр. им. В.II. Ленина, 76

Обозначения и соглашения

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Относительно р-ограниченные операторы.

1.2 Банаховы многообразия и векторные поля

1.3 Фазовые пространства полулинейных уравнений

1.4 Функциональные пространства.

1.5 Некоторые результаты нелинейного функционального анализа.

1.6 Задача Штурма - Лиувилля на геометрическом графе

1.6.1 Классическое и обобщенное решение.

1.6.2 Собственные функции и собственные значения

2 Модель Хоффа на графе

2.1 Прямая задача.

2.1.1 Постановка и редукция задачи.

2.1.2 Фазовое пространство.

2.2 Обратная задача.

2.2.1 Обратная задача. Невырожденный случай

2.2.2 Обратная задача. Вырожденный случай

2.3 Алгоритмы нахождения численных решений.

2.3.1 Задача Шоуолтера-Сидорова.

2.3.2 Описание алгоритмов.

2.4 Программный комплекс.

2.4.1 Описание программного комплекса.

2.4.2 Результаты вычислительных экспериментов

3 Модель Хоффа в области

3.1 Прямая задача.

3.1.1 Постановка и редукция задачи.

3.1.2 Фазовое пространство.

3.2 Обратная задача.

3.2.1 Обратная задача в области в случае п = 2. Невырожденный случай.

3.2.2 Обратная задача в области в случае п = 2. Вырожденный случай.

3.2.3 Обратная задача в случае произвольного п

3.3 Алгоритмы нахождения численных решений.

3.3.1 Задача Шоуолтера-Сидорова.

3.3.2 Описание алгоритмов

3.4 Программный комплекс.

3.4.1 Описание программного комплекса.

3.4.2 Результаты вычисленных экспериментов

Постановка задач

Прямая и обратная задачи для уравнений Хоффа, заданных на графе

Динамику конструкции из двутавровых балок моделируют уравнения Хоффа jUjt + щххЬ = ощщ + + . + а^и^1, (0.1.1) заданные на конечном связном ориентированном графе С (21; <£), где ЯЗ = {Т^-} —■ множество вершин, а <£ = {Е— множество ребер, причем каждому ребру Е) поставлены в соответствие два положительных числа Е К+, которые в контексте нашей задачи будут иметь физический смысл длины и площади поперечного сечения ребра соответственно. Под прямой задачей понимается поиск вектор-функции и = (111,112,-—, щ,.), каждая компонента которой из = из{х->^) удовлетворяет уравнению (0.1.1) на ребре Е^, а в вершинах 03 компоненты удовлетворяют условию "непрерывности"

4/(0, ¿) = ик(0, ¿) = ит(1т, *) = ип(1п, ¿), ^

Е^ Ек е Яа(К), Ет, Еп е Е"(Ц); и "условию баланса потока"

У] - ¿кЩх(1к,1) = 0, (0.1.3) где через обозначено множество ребер с началом (концом) в вершине Кроме того искомые компоненты должны удовлетворять начальным условиям Коши

0) = х Е (0, у. (0.1.4)

Обратная задача состоит в определении неизвестных коэффициентов а7 = ац, Рз = с*2] (в случае п = 2) и решений и^ уравнений (0.1.1) по результатам дополнительных измерений щщ^О) + (0) = ^и{)з{Ц) + = <фу. (0.1.5)

Касаясь механического смысла задачи отметим, что здесь фj показывают изменение скорости динамики выпучивания в начале и конце балки в начальный промежуток времени.

Прямая задача представляет собой модель для изучения поведения нагруженной конструкции из двутавровых балок, а обратная задача моделирует эксперимент, в результате которого при дополнительных измерениях изучается не только динамика конструкции, но и свойства материалов балок.

Прямая и обратная задачи для уравнения Хоффа, заданного в области

Пусть П С - ограниченная область с границей сЮ класса С°°. Уравнение Хоффа [77]

А + А) — = оци + а2и3 + а3и5 + . + о^гг2"-3 + апи2п~1 (0.1.6) в случае в = 1 моделирует динамику выпучивания двутавровой балки, где параметр Л £ М+ характеризуют нагрузку на балку, т.е. сжимающую силу, которая принимается нами как величина постоянная, а параметры щ Е М, г = 1,., п характеризуют свойства материала балки. Под прямой задачей понимается начально-краевая задача и{рс, 0) = и0(х), ж € О, и(х, г) = 0, (ж, г) е дО, х К, (0.1.7) где искомая функция и = и(ж,£), ж 6 О, £ Е К. имеет физический смысл отклонения балки от вертикали, т.е. от положения равновесия. Разрешимость задачи (0.1.6) - (0.1.7) изучалась в работах [49],

Между тем, физически осмысленной является задача нахождения не только решения уравнения (0.1.6), но и параметров щ для того, чтобы узнать различия между имеющимся материалом балки и предполагаемым. Для решения обратной задачи введем дополнительные условия (г = 1, .,п) хг 1(alUo(x)dx + а2У-1(х)-Ь .-{-апи1п 1(х))с1х = (0.1.8) характеризующие моменты изменения скорости динамики выпучивания балки.

Историография вопроса

При моделировании различных процессов в естественных и технических науках часто возникают уравнения или системы уравнений в частных производных, не разрешенные относительно производной по времени. Впервые такие уравнения были получены при изучении задач динамики тел с полостями, содержащими жидкость. Их исследование было начато еще в XIX веке Г. Стоксом и продолжено затем в работах Г. Гельмгольца, Дж. Неймана, Г. Ламба и других ученых.

37], [38], [40], [47].

Интерес к задачам динамики тел с полостями, содержащими жидкость, значительно усилился в связи с быстрым развитием ракетной и космической техники. Запас жидкого топлива, имеющийся на борту ракет, спутников и космических кораблей, в ряде случаев может оказывать существенное влияние на движение этих летательных аппаратов. Аналогичные задачи возникают и в теории движения самолета и корабля, а также и в других технических вопросах.

В работах А. Гринхилла, С. Хафа, А. Пуанкаре и других проводилось теоретическое исследование вопросов устойчивости движения твердого тела с полостью, содержащей жидкость. Авторы этих работ рассматривали движение твердого тела с полостью эллипсоидальной формы, заполненной идеальной жидкостью. В работе А. Пуанкаре [84] учитывалась также неоднородность жидкости и упругость стенок. В работе C.JI. Соболева [50] рассматривалось движение тяжелого симметричного волчка с полостью, заполненной идеальной жидкостью. С.Л.Соболев установил некоторые общие свойства движения, в частности, некоторые условия устойчивости.

Изучая колебания жидкости в быстром вращающемся волчке и исследуя соответствующие приближенные уравнения öv ~k(vx ez) + grad p = F, div v = 0, (0.1.9)

C.JI. Соболев получил уравнение необычного типа, названное в последствии в честь него. Исследования С.Л. Соболева были впоследствии продолжены его учениками P.A. Александряном, H.H. Ваха-нией, Г.В. Вирабяном, Р.Т. Денчевым, Т.И. Зеленяком, В.Н. Масленниковой, С.Г. Овсепяном и др.

Актуальность темы диссертации

В литературе уравнения и системы уравнений, неразрешенные относительно старшей производной называют уравнениями и системами соболевского типа, поскольку именно работы С.Л. Соболева послужили началом систематического изучения таких уравнений. В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. С.Л. Соболев, в основном, занимался линейными уравнениями, и его ученики и последователи составляют обширную и разветвленную научную школу [2], [16], [74], [75]. Наибольший прогресс был достигнут в области линейных уравнений соболевского типа, именно здесь находится большинство из вышедших монографий.

В монографии В.Н. Врагова [8] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для линейных уравнений вида (0.2.1), где Ь и М -дифференциальные операторы по пространственным переменным.

В монографии А. Фавини и А. Яги [71] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения хг е А(х) с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа вида (0.2.1), если М - (Ь, сг)-ограниченный оператор в случае устранимой особой точки в бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В монографии Г.В. Демиденко, С.В. Успенского [11] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны следующим образом:

1-1

Лф\и + ^ Аг-^и = /, к=0 где До > Л-1,., Лг - линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (XI,., хп), причем оператор Ло не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

Монография С. Г. Пяткова [86] посвящена исследованию разрешимости краевой нелокальной задачи для неоднородного линейного уравнения (0.2.1), где операторы Ь,М - самосопряженные и определенные в гильбертовом пространстве. Доказано существование сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (условия ортогональности) решение краевой задачи является гладким.

В монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [83] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А.И. Кожанов [21], рассматривает уравнения вида

I -A)ut = Bu + f(x,t), где А и В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

Несмотря на то, что большинство работ относятся к линейным уравнениям соболевского типа, исторически первой является монография P.E. Шоуолтера [89], в которой рассматриваются как линейные уравнения, так и полулинейные вида (0.2.1) дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильбертовых пространствах, т.е. пространствах, имеющих нехаусдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами.

Начиная с работ P.E. Шоуолтера стало принято как абстрактные уравнения вида (0.2.1), так и их конкретные интерпретации (например, (0.1.1), (0.1.3)) называть уравнениями соболевского типа. К настоящему времени данная терминология стала общепринятой [22], [29], [43], [44], [82], [88], [91]. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "вырожденные дифференциальные уравнения" [71], [83], "неклассические дифференциально-операторные уравнения" [86], "дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно старшей производной" [11], "псевдопараболические" и "псевдогиперболические" уравнения [11], [80] и "уравнения не типа Ко-ши - Ковалевской" [25], [63]. Исследование подобных уравнений в первую очередь связано с исследованием задач гидромеханики, физики плазмы, физики атмосферы [27].

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [9] теория монотонных операторов применяется при исследовании и приближенном решении краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторные дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах. В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синицина и М. А. Фалалеева [90] изучены полулинейные уравнения и их обобщения. Разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта, а также доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.1.2) с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N (типа ограничений). Показано существование ги-периодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения (0.1.2) с замкнутыми плотно определенными операторами и иг-периодической неоднородностью.

В монографии А.Г. Свешникова, A.B. Алыиина, М.О. Корпусова, Ю.Д. Плетнера [34] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, как в классическом, так и в сильном и слабом обобщенном смыслах, широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая уравнения соболевского типа и псевдопараболические уравнения. В случае локальной разрешимости для ряда классов задач получены двусторонние оценки времени разрушения решений. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы решений конкретных задач.

В монографии Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [3] и В.Ф. Чистякова, A.A. Щегловой [62] предметом изучения является алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.2.1) с вырожденной при всех t € [О,Т] или прямоугольной матрицей L(t). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для алгебро-дифференциальных систем вида (0.2.1) с регулярной и сингулярной парой постоянных (m х п)-матриц L и М [62].

Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Свиридюком. В его совместной с В.Е. Федоровым монографии [91] вводятся и изучаются относительно спектрально ограниченные операторы и порождаемые ими разрешающие группы, выделяются достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия относительно спектральной ограниченности.

Также вводятся в рассмотрение относительно р - секториальные операторы и порождаемые ими аналитические разрешающие полугруппы и относительно р - радиальные операторы и порождаемые ими сильно непрерывные разрешающие полугруппы. В эту монографию вошли результаты Г.А. Свиридюка и его учеников Т.А. Бокаревой [4], Л.Л. Дудко [12], A.B. Келлер [19], В.Е. Федорова [59], A.A. Ефремова [13], Г.А. Кузнецова [23]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации С.А. Загребиной [14], C.B. Бры-чева [5], A.A. Замышляевой [15], И.В. Бурлачко [6] и докторская диссертация В.Е. Федорова [60].

В рамках данного направления исторически первой была диссертация Т.Г. Сукачевой [54], в которой линейный метод C.B. Зубовой и К.И. Чернышева [17] был обобщен на полулинейную ситуацию исчерпывающим образом. В дальнейшем Т.Г. Сукачева сосредоточилась на исследовании задачи Коши для неавтономных полулинейных уравнений соболевского типа [43], [45], [46], [52], [53]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М.М. Яку-пова [68], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова и различных его модификаций. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа посвящена диссертация В.О. Казака [18]. В диссертации H.A. Манаковой [26] исследовались достаточные условия разрешимости задачи Шоуолтера -Сидорова (0.1.5) оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений соболевского типа. Посредством метода Галер-кина в ней построены приближенные решения задач оптимального управления. В диссертации В.В. Шеметовой [67] исследовалась разрешимость линейных и полулинейных уравнений соболевского типа, заданных на конечных ориентированных графах. Диссертация О.Г. Китаевой [20] посвящена обобщению теоремы Адамара-Перрона для полулинейных уравнений соболевского типа. В диссертации Д.Е. Шафранова [66] исследовалась разрешимость задачи Коши для линейных и полулинейных уравнений соболевского типа в пространствах к - форм, определенных на гладких римановых многообразиях без края. В диссертации А.Ф. Гильмутдиновой [10] исследовались математические модели с феноменом неединственности.

Число научных публикаций по теории обратных задач и ее приложениям очень велико. К настоящему времени достаточно хорошо изучены обратные задачи для уравнений параболического и гиперболического типов. В исследование разрешимости таких задач существенный вклад внесли А.Н. Тихонов [55], М.М. Лаврентьев [81], А.А. Самарский [33], В.К. Иванов [78], В.Г. Романов [87], A.M. Денисов [70], А.И. Прилепко [85] и другие. Целый ряд результатов в этом направлении получили в последние десятилетия зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, США, Франции, Японии и др

Значительно менее изученными являются обратные задачи для неклассических уравнений математической физики. Что же касается уравнений соболевского типа, составляющих обширное подмножество неклассических уравнений математической физики, то результаты в этом направлении для линейных уравнений принадлежат А.И. Кожанову [80], С.Г. Пяткову [31], [32], [86] и H.JI. Абашеевой [1], Г.А. Свиридюку и К.С. Ощепкову [42], В.Е. Федорову и A.B. Уразаевой [57], [58], [73], А. Favini и A.Lorenzo [72].

Однако приложение данных результатов ограничивалось изучением неклассических уравнений, заданных в ограниченных областях. В работе Г.А. Свиридюка, A.A. Баязитовой [105] была впервые исследована обратная задача с финальным переопределением для уравнений Баренблатта - Желтова - Кочиной, определенных на графе.

Краевые и начально-краевые задачи для уравнений на графах начали изучать в конце прошлого века [64], [65], [76], [79], [92]. Независимо от этих работ краевыми и начально-краевыми задачами для уравнений на графах в России начал заниматься Ю.В. Покорный со своими учениками. Первые итоги исследований школы Ю.В. Покорного подведены в монографии [30], где изучаются качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети.

В [69] на графе G рассмотрены уравнения реакции-диффузии

Ujt = ujxx + f(uj), х е (0, lj),t g M+, (0.1.10) где / - гладкая функция, общая для всех дуг Ej с условиями типа Кирхгоффа. Между тем было замечено, что в ряде случаев уравнения соболевского типа описывают процессы реакции-диффузии лучше, чем полулинейные уравнения вида (0.1.10).

Г.А. Свиридюк в своей работе [39] впервые рассмотрел задачу на графе для уравнений соболевского типа

- ЩХХ1 = щхх + /(«¿)> (0.1.11) где параметр А Е К одинаков для всех уравнений. Диссертация В.В. Шеметовой [67], посвященная описанию фазовых пространств начально-краевых задач для уравнений Баренблатта - Желтова -Кочиной, Хоффа, Осколкова и Корпусова - Плетнера - Свешникова, определенных на графе, была непосредственным продолжением и развитием этих результатов.

Методы исследования

Качественное исследование предложенных в предыдущем параграфе задач облегчается тем обстоятельством, что они в подходящим образом подобранных банаховых пространствах 11 и $ редуцируются к линейному

Ьй = Ми, (0.2.1) либо полулинейному

Ьй = Ми + И{и) (0.2.2) уравнениям соболевского типа.

Сама редукция использует стандартную технику, возникшую на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных, основы которой заложены С.Л. Соболевым, К.О. Фри-дрихсом и Ж. Лере.

Основным методом исследования является метод фазового пространства, основы которого заложили Г.А. Свиридюк и Т.Г. Сукачева [43], [44]. К настоящему времени условия однозначной разрешимости задачи Коши и(0) = щ (0.2.3) для уравнений (0.2.1)-(0.2.2) достаточно хорошо изучены [91].

В частности если оператор М (Ь,р) - ограничен, то даже в случае кегЬ ф {0} уравнения (0.2.1), (0.2.2) редуцируются к регулярным уравнениям и = 5«, (0.2.4) й = Би + Р (и), (0.2.5) определенным, возможно, не на всем пространстве И, а только на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (0.2.1) или (0.2.2). Возможность такой редукции обоснована в монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [91]. Основная трудность - доказательства (£, ^-ограниченности оператора М и гладкости оператора N.

Кроме основного в данной диссертации метода фазового пространства мы широко используем, во-первых, теорию линейных уравнений соболевского типа и порождаемых ими вырожденных групп и полугрупп операторов [91]; во-вторых, такие мощные средства нелинейного функционального анализа как теорему о неявной функции см. например, [28]) и теорему Вишика - Минти - Браудера (см. теорию монотонных операторов в [9]); в-третьих, теорему Коши для случая векторных полей на банаховых многообразиях [24].

Поскольку диссертация кроме качественных исследований содержит еще и результаты численных экспериментов, подтверждающих существование и единственность решений прямых и обратных задач для уравнений Хоффа, заданных на геометрическом графе и в области, а также простоту фазового пространства в этих случаях, здесь необходимо еще упомянуть метод Галеркина [7], лежащий в основе наших экспериментов.

Теоретическая и практическая значимость

Основное содержание диссертации - исследование прямых и обратных задач для одного класса уравнений математической физики, возникшего в пятидесятых годах двадцатого века, - это уравнения Хоффа, заданные на ограниченной области и на конечном связном ориентированном графе. К результатам теоретической значимости следует отнести теоремы существования и единственности решения прямых и обратных задач. Эти результаты необходимы при построении численных алгоритмов решения задач.

Полученные результаты носят окончательный характер, т.е. содержат исчерпывающую информацию о поставленных обратных задачах, носящих прикладной характер. В целом результаты диссертации реализуют программу исследований, намеченную Г.А. Свири-дюком.

Практическая же значимость заключается в том, что данные результаты должны учитываться при проведении численных расчетов. Необходимость этого обстоятельства уже была отмечена в конечномерном варианте линейной теории уравнений соболевского типа [26], [5], [6]. Проведенные нами численные эксперименты также подтверждают данную необходимость.

Апробация результатов диссертации

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 2007), региональной конференции "Разработки Челябинской области по приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники Российской Федерации" (г. Челябинск, 2007), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (г. Стерлитамак, 2008), Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова (г. Екатеринбург, 2008), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (г. Новосибирск, 2008), X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, 2009), первой и второй научной конференции аспирантов и докторантов Южно-Уральского государственного университета (2009, 2010), на Воронежской зимней математической школе им. С.Г. Крейна 2010 г. Воронеж, 2010). Также результаты докладывались на семинаре профессора В.В. Васина в Институте математики и механики УРО РАН и на семинарах по уравнениям соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск).

Краткое содержание диссертации

Диссертация, кроме введения и списка литературы, содержит три главы. Список литературы содержит 107 наименований.

Первая глава состоит из 6 параграфов и содержит формулировки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р - ограниченных операторах, взятые из [91]. Во втором параграфе рассматриваются следующие определения: карты, атласа, банахова Ск - многообразия, касательного расслоения Ск - многообразия, векторного поля и теорема Ко-ши [24]. В третьем параграфе определяется понятие решения, фазового пространства, простоты фазового пространства для полулинейных уравнений соболевского типа. В четвертом параграфе определяются пространства Соболева [51], пространства с негативной и позитивной нормами и приводятся теоремы вложения Соболева и Кондрашова - Реллиха [56], [61]. Пятый параграф содержит сведения из [9], [28], а именно определения радиалыю непрерывного, монотонного, коэрцитивного оператора, теорему Вишика - Минти - Браудера, определение и свойства производной Фреше, теорему о неявной функции. Шестой параграф содержит сведения из [100] и посвящен описанию свойств собственных значений и собственных функций задачи Штурма - Лиувилля на геометрическом графе.

Вторая глава состоит из 4 параграфов и содержит исследование прямых и обратных задач, а также фазовых пространств уравнений Хоффа, определенных на графе. Первый параграф посвящен исследованию начально-краевой задачи, второй - исследованию обратной задачи, в третьем параграфе содержатся постановка и решение задачи Шоуолтера-Сидорова для прямой и обратной задачи, а также описание алгоритмов программ нахождения численного решения прямой и обратной задач. Четвертый параграф содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple 13.0. и примеры его применения.

Третья глава состоит из 4 параграфов и содержит исследование прямых и обратных задач, а также фазовых пространств уравнения Хоффа, определенного в области. Первый параграф посвящен исследованию начально-краевой задачи, второй - исследованию обратной задачи, в третьем параграфе содержатся постановка и решение задачи Шоуолтера-Сидорова для прямой и обратной задачи, а также описание алгоритмов программ нахождения численного решения прямой и обратной задач. Четвертый параграф содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple 13.0. и примеры его применения.

Публикации

Все результаты диссертации своевременно опубликованы [93] -[107], причем работы [100], [103], [104] и [106] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК по специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ, получено свидетельство о государственной регистрирации программы для ЭВМ [107]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.

Благодарности

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и неоценимую помощь в работе над диссертацией; коллективу кафедры уравнений математической физики ЮУрГУ за ценные советы и конструктивную критику. Особую благодарность выражаю моим родителям Баязитовой Галие Галеевне и Баязитову Адыгаму Мухаметгалеевичу за терпение и понимание.

1. Абашеева, Н. J1. Неклассические операторнодифференциальные уравнения и связанные с ними спектральные задачи : дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Абашеева Нина Леонидовна; Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2000. - 108 с.

2. Белопосов, В. С. Качественные свойства одной математической модели вращающейся жидкости / В. С. Белоносов, Т. И. Зеленяк // Сиб. журн. индустр. мат. 2002. - 5:4 - С.3-13.

3. Бояринцев, Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1998. - 224 с.

4. Бокарева, Т. А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. . канд. физ.-мат. наук / Т. А. Бокарева; ЛГПИ им. А.И. Герцена,- СПб., 1993. 107 с.

5. Брычев, С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. В. Брычев; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2002. - 124 с.

6. Бурлачко, И. В. Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа: дис. . канд. физ.-мат.наук / И. В. Бурлачко; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2005. -122 с.

7. Вайнберг, М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг. М.: Наука, 1972. - 415 с.

8. Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов. Новосибирск: НГУ, 1983. - 179 с.

9. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. М.: Мир, 1978. - 336 с.

10. Гильмутдинова, А. Ф. Исследование математических моделей с феноменом неединственности: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. Ф. Гильмутдинова. Челябинск, 2009. - 123 с.

11. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский.- Новосибирск: Науч. кн., 1998. 438 с.

12. Дудко, Л. JI. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. . канд. физ.-мат. наук / JL Л. Дудко. Новгород, 1996. -88 с.

13. Ефремов, А. А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат.наук / А. А. Ефремов; Челяб. гос. ун-т.- Челябинск, 1996. -102 с.

14. Загребина, С. А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. А. Загребина; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2002. - 100 с.

15. Замышляева, А. А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. А. Замышляева; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2003. - 101 с.

16. Зеленяк, Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными / Т. И. Зеленяк. Новосибирск, 1970. - 164 с.

17. Зубова, С. П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С. П. Зубова, К. И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их применение. 1976. - N14. - С.21-39.

18. Казак, В. О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. О. Казак. Челябинск, 2005. - 99 с.

19. Келлер, А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / А. В. Келлер. Челябинск, 1997. - 115 с.

20. Китаева, О. Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / О. Г. Китаева. -Магнитогорск, 2006. 111 с.

21. Кожанов, А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А. И. Кожанов. Новосибирск: НГУ, 1990. - 132 с.

22. Костюченко, А. Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна / А. Г. Костюченко, Г. И. Эскин // Тр. Моск. матем. об-ва. 1961. - Т. 10. - С. 273-285.

23. Кузнецов, Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. . канд. физ.-мат. наук / Г. А. Кузнецов; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1999. - 105 с.

24. Ленг, С. Введение в теорию дифференциальных многообразий / С. Ленг. Волгоград: Платон, 1997. - 203 с.

25. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 587 с.

26. Манакова, Н. А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис. . канд. физ.-мат. наук / Н. А. Манакова; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2005. - 124 с.

27. Маслов, В. П. Уравнения одномерного баротропного газа / В. П. Маслов, П. П. Мосолов. М.: Наука, 1990. - 216 с.

28. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг. М.: Мир, 1977. - 232 с.

29. Осколков, А. П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1991. - Т. 198. - С. 31-48.

30. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др.]. М.: Физ-матлит, 2005. - 272 с.

31. Пятков, С. Г. Некоторые обратные задачи для параболических уравнений / С.Г. Пятков // Фунд. и прикл. мат.-ка, 2006.- Т. 12, № 4, С.187-202.

32. Пятков, С. Г. О некоторых эволюционных обратных задачах для параболических уравнений / С.Г. Пятков, Б.Н. Цыбиков // ДАН, 2008. Т. 418, № 5, С. 596-598.

33. Самарский, А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич.- М.: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.

34. Свешников А. Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Алынин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. М.: Физматлит, 2007. - 736 с.

35. Свиридюк, Г. А. Многообразие решений одного нелинейного сингулярного псевдопараболического уравнения / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР. 1986. - Т. 289. - № 6. - С. 1315-1318.

36. Свиридюк, Г. А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. 1990. - № 2. - С. 55-61.

37. Свиридюк, Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. матем. 1993. - Т. 57, № 3,- С. 192-207.

38. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ. 1994. -Т. 6, № 5. - С. 252-272.

39. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Некласс, уравн. матем. физики.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. С.221-225.

40. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, В. О. Казак // Мат. заметки. 2002. - Т. 71, № 2. - С. 292-297.

41. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Сиб. жур. индустр. математики. 2005. - Т. 8, № 2. - С. 144-151.

42. Свиридюк Г. А. О существовании решений одной обратной задачи / Г. А. Свиридюк, К. С. Ощепков // Вестник МаГУ, Математика. Магнитогорск: МаГУ, 2005. Вып. 8. - С. 168172.

43. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Сиб. мат. журн. 1990. - Т. 31, № 5. - С. 109-119.

44. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 2. - С. 250-258.

45. Свиридюк, Г. А. Медленные многообразия одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. математика, механика. -1991. № 1. - С. 3-20.

46. Свиридюк, Г. А. О разрешимости нестационарной задачи динамики вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Мат. заметки. 1998. - Т.63, N5. - С.442-450.

47. Свиридюк, Г. А. Сборка Уитни в фазовом пространстве уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, И. К. Тринеева // Изв. вузов. Математика. 2005. - № 10. - С. 54-60.

48. Свиридюк, Г. А. Уравнения Хоффа на графе / Г. А. Свиридюк, В. В. Шеметова //Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42, № 1. - С. 126-131.

49. Сидоров, Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, О. А. Романова //Дифференц. уравнения. -1983. Т. 19, № 9. - С. 1516-1526.

50. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. -Т. 18. - С. 3-50.

51. Соболев С. Л. Применение функционального анализа к математической физике / С. Л. Соболев. Л.: Наука, 1961. - 255 с.

52. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика. 1998. - № 3. - С. 47-54.

53. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 8. -С. 1106-1112.

54. Сукачева, Т. Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / Т. Г. Сукачева. Новгород: НГПИ, 1990.- 112 с.

55. Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. М.: Наука, 1990. - 230 с.

56. Трибель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель. М.: Мир, 1980. - 664 с.

57. Уразаева, А. В. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гидродинамики / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. 2008. - Т. 44, № 8. - С. 1111— 1119.

58. Уразаева, А. В. О корректности задачи прогноз-управления / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Матем. заметки, 85:3 (2009).- С. 440-450.

59. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. Е. Федоров. Челябинск, 1996. - 104 с.

60. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространств: дис. . д-ра физ.-мат. наук / В. Е. Федоров. Челябинск, 2005. - 271 с.

61. Хатсон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим. М.: Мир, 1983. - 432 с.

62. Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. Новосибирск: Наука, 2003. - 320 с.

63. Чистяков, В. Ф. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской / В. Ф. Чистяков, О. В. Бормотова // Журн. вычислит, мат. и мат. физики. -2004. Т. 44, № 8. - С. 1380-1387.

64. Шафаревич, А. И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, сосредоточенные в малой окрестности кривой / А. И. Шафаревич // Дифференц. уравнения. 1998. - Т.34, № 8. - С. 1119-1130.

65. Шафаревич, А. И. Обощенные уравнения Прандтля-Маслова на графах, описывающие растянутые вихри в несжимаемой жидкости / А. И. Шафаревич // Докл. РАН. 1998. - Т. 358, № 6. - С.752-755.

66. Шафранов, Д. Е. Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразиях: дис. . канд. физ.-мат. наук / Д. Е. Шафранов. Челябинск, 2006. - 95 с.

67. Шеметова, В. В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графа: дис. . канд. физ.-мат. наук / В. В. Шеметова. Магнитогорск, 2005. - 109 с.

68. Denisov, A.M. Elements of the Theory of Inverse Problems / A. M. Denisov. Utrecht: VSP, 1999. - 272 pp.

69. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999. - 236 pp.

70. Favini A. Differential equations: direct and inverse problems. / A. Favini, A. Lorenzi (eds.).- (Lecture notes on pure and applied mathematics: v.251), 2006.- 288 pp.

71. Fedorov V. E. An inverse problem for linear Sobolev type equations / V. E. Fedorov , A. V. Urazaeva // Y.Inv. Ill-Posed Problems. 2004. - V. 12, № 5. - P. 1-9.

72. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. I / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994.- V. 4, № 1 - P. 18-51.

73. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev's problem. II / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994.- V. 4, № 2,- P. 16-53.

74. Hale, J. K. Reaction-diffusion equations on thin domains / J. K. Hale, G. Raugel // J. Math. Pures Appl. 1991. - Vol. 71. - P. 33-95.

75. Hoff, N. J. Creep buckling / N. J. HofF // Aeron. 1956. - V. 7, № 1. - P. 1-20.

76. Ivanov V. K. Theory of Linear Ill-Posed Problems and its Applications / V. K. Ivanov, V. V. Vasin, V. P. Tanana. Utrecht: VSP, 2002. - 281 p.

77. Kosugi, S. A semilinear elliptic equation in a thin network-shaped domain / S. Kosugi // J. Math. Soc. Jap. 2000. - Vol.52, № 3. -P. 672-697.

78. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov. -Utrecht: VSP, 1999. 171 p.

79. Lavrentiev, M. M. Inverse Problems of Mathematical Physics / M. M. Lavrentiev, A. V. Avdeev, M. M. Lavrentiev, Jr. Utrecht: VSP, 2003. - 275 p.

80. Lightbourne, J. H. A. Partial functional equations of Sobolev type / J. H. A. Lightbourne //J. Math. Anal. Appl. 1983. -V. 93, № 2. - P. 328-337.

81. Melnikova I. V. The Cauchy problem. Three approaches Monograhps and Surveys in Pure and Applied Mathematics / I. V. Melnikova, A. L. Filinkov. London; N. Y.; Washington, 2001. - 240 p.

82. Poincare, H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation // Acta Math. 1885. V. 7. - P. 259380.

83. Prilepko, A. I. Methods for Solving Inverse problems in mathematical physics. / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. N. Y.: Marcel Dekker, 1999. - 709 p.

84. Pyathov, S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S. G. Pyatkov. Utrecht; Boston; Tokyo: VSP, 2002.

85. Romanov, V. G. Investigation Methods for Inverse Problems / V. G. Romanov. Utrecht; Boston; Tokyo: VSP, 2002. - 280 p.

86. Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R. E. Showalter // Pacific J. Math. 1963. - V. 31, № 3. -P. 787-794.

87. Showalter, R. E. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter. Pitman; London; San Francisco; Melbourne, 1977. -152 pp.

88. Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. -Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. -548 pp.

89. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. -Utrecht: VSP, 2003. 216 pp.

90. Yanagida, E. Stability of nonconstant steady states in reaction-diffusion systems on graphs / E. Yanagida // Japan J. Induct. Appl. Math. 2001. - Vol. 18. - P.25-42.

91. Баязитова, А. А. Об обратной задаче для уравнений Барен-блатта Желтова - Кочиной на графе / А. А. Баязитова // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. науч. конф. - Самара, 2007. - С. 31-32.

92. Баязитова, А. А. Об обратной задаче для уравнений Барен-блатта Желтова - Кочиной на графе / А. А. Баязитова //Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: тр. меж-дунар. конф., Стерлитамак, 24-28 июня 2008 г. Уфа, 2008. -Т. 3. - С. 10-14.

93. Баязитова, А. А. Обратная задача для уравнения Хоффа / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование. 2008. - № 15(115). - С. 4-8.

94. Баязитова, А. А. Обратная задача для одного неклассического уравнения / А. А. Баязитова // Обозрение прикладной и промышленной математики. М., 2009. - Т. 16, Вып. 2. -С. 285-286.

95. Баязитова, А. А. Обратная задача для одного неклассического уравнения / А. А. Баязитова // Научный поиск: материалы первой науч. конф. аспирантов и докторантов. Соц.-гум. и естеств. науки. Челябинск, 2009. - С. 12-15.

96. Баязитова, А. А. Обобщенная задача Штурма Лиувилля на графе / А. А. Баязитова // Воронежская зимняя математическая школа им. С. Г. Крейна 2010. Тез. докл. Воронеж: ВорГУ, 2010. - С. 18-19.

97. Баязитова, А. А. Задача Штурма Лиувилля на геометрическом графе / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - 2010. - N2 16(192).- С. 4-10.

98. Баязитова, А. А. Начально-краевая задача для обобщенного уравнения Хоффа / А. А. Баязитова // Научный поиск: материалы второй науч. конф. аспирантов и докторантов. Естеств. науки. Челябинск, 2010. - С. 11-14.

99. Баязитова, А. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для обобщенного уравнения Хоффа / A.A. Баязитова // Вестник МаГУ. Математика. Магнитогорск: МаГУ, 2010.- Вып. 12. С. 15-21.

100. Баязитова, А. А. Численное исследование процессов в моделях Хоффа / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование. 2011. - №4(221). - С.4-9.

101. Баязитова, А. А. Задача Шоуолтера Сидорова для модели Хоффа на геометрическом графе. / А. А. Базитова // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. - 2011. - Т. 4, № 1. -С. 2-8.

102. Свиридюк, Г. А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе / Г. А. Свиридюк, А. А. Баязитова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. - № 1(18).- С. 6-17.