автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование устойчивости в моделях Хоффа

На правах рукописи

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В МОДЕЛЯХ ХОФФА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 ИЮНЯМ

ЧЕЛЯБИНСК - 2011

4848279

4848279

Работа выполнена на кафедре математического анализа Магнитогорского государственного университета.

Научный руководитель — кандидат физико-математических

наук, доцент

ЗАГРЕБИНА Софья Александровна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор КАДЧЕНКО Сергей Иванович

Ведущая организация — Учреждение Российской акаде-

Защита состоится 17 июня 2011 г., в 14 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при Южно-Уральском государственном университете, по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЮжноУральского государственного университета.

Автореферат разослан " ¿¿¿¿¿¿^ 2011 г.

доктор физико-математических наук, доцент

СУКАЧЕВА Тамара Геннадьевна

мии наук Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Общая характеристика работы

Цель и задачи работы. Рассмотрим уравнение Хоффа 1

(А - Л0)щ + щхх = аи + /Зи3, (1)

моделирующее выпучивание двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой. Функция и — u(x,t) показывает отклонение балки от вертикали, параметры А, Ао € К+ характеризуют нагрузку, а, ¡3 6 К, где а ■ 0 > 0 — свойства материала. Нас интересуют следующие задачи.

I. Пусть Q С Жп, п € N — ограниченная область с границей дП класса С°°. В цилиндре ПхВ рассмотрим уравнения

(А - A0)ut + Ащ — аи, (2)

(А - А0)щ + Ащ = аи + /Зи3, (3)

и = и(х, t), (х, t) € QxR; с однородными граничными условиями Дирихле

г/(х,г) = 0, (х,г) 6 да х R. (4)

II. Пусть G — конечный связный ориентированный граф, G = G(2J, (£), где 2J = {V*} — множество вершин, а <Е = {£»} — множество ребер, причем каждое ребро Ej имеет длину lj € Ж+ и площадь поперечного сечения dj 6 К+. На графе G рассмотрим уравнения

(А — Ао )ujt + Ujtxx = auj, (5)

(А - A0)ujt + и^хх = auj + Pup (6)

uj — Uj(x, t), (x, t) = (0, lj) xi В вершинах 93 графа G заданы условия

uj(0,i) = itfc(0 ,t) = um(lm,t) = un(ln,t), .

Ej,Ek e Е°(У{), Em,En e Е"(Ц),

djUjx(0,t) — dkukx(k,t) = 0, (8)

EjeE<*(Vi) EkeE"(Vi)

Нашей целью является исследование устойчивости нулевого решения уравнений (2), (3), (5), (6). Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1Hoff, N.J. Creep buckling // Aeronautic.- Quarterly 7,- 1956.- JV« 1,-P.l-20.

1. Найти условия, при которых нулевое решение уравнений Хоффа устойчиво.

2. Найти условия, при которых нулевое решение уравнений Хоффа асимптотически устойчиво.

3. Разработать алгоритм численного исследования неустойчивости нулевого решения уравнений Хоффа.

4. На основе данного алгоритма спроектировать и реализовать программный комплекс, использующий предложенные методы.

5. Провести вычислительные эксперименты для анализа эффективности предложенного подхода.

Качественное исследование задач (2), (4) ((3), (4)); (5), (7), (8) ((6)—(8)) облегчается тем обстоятельством, что они в подходящим образом подобранных банаховых пространствах Н и $ редуцируются к задаче Коши

и(0) = и0 (9)

для линейного

Ьй = Ми (10)

и полулинейного

Ьй = Ми + Ы{и) (11)

уравнений соболевского типа.

Актуальность темы. Результаты диссертации находятся на стыке трех областей математического знания — теории уравнений соболевского типа, теории устойчивости по Ляпунову и теории дифференциальных уравнений на геометрических графах.

Впервые уравнения, неразрешенные относительно старшей производной2 (10), (11), появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Систематическое их изучение началось с работ С.Л. Соболева, выполненных в 40-х годах прошлого столетия. С тех пор возникла традиция эти уравнения называть уравнениями соболевского типа. Данная диссертация лежит в русле научного направления, развиваемого Г.А. Свиридюком и его учениками. Главным здесь является нахождение и изучение фазовых пространств уравнений соболевского типа.

2Демиденко Г. В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. кн., 1998.

Основы теории устойчивости были заложены A.M. Ляпуновым3 в 1892 г. Исследованиями устойчивости уравнений соболевского типа с точки зрения инвариантных многообразий и дихотомий решений занимались Г.А. Свиридюк, А.В Келлер, О.Г. Китаева, С.А. Загребина, В.Е. Федоров, М.А. Сагадеева, Т.Г. Сукачева.

Уравнение Хоффа на отрезке первым начали изучать H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев и O.A. Романова. Уравнение Хоффа на графе впервые исследовали Г.А. Свиридюк и В.В. Шеметова.

Актуальность темы диссертации заключается в качественном и численном исследовании моделей Хоффа, адекватных следующим прикладным задачам. Первая — изучение устойчивости и неустойчивости процесса выпучивания двутавровой балки, а вторая — изучение устойчивости и неустойчивости процесса выпучивания конструкции из двутавровых балок.

Методы исследования. Основными методами данного исследования являются метод фазового пространства и второй метод Ляпунова. Кроме того, в основе численных экспериментов лежит метод Галеркина.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложен метод исследования устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения в моделях Хоффа, базирующийся на втором методе Ляпунова.

2. Разработан новый алгоритм исследования неустойчивости решения уравнений Хоффа в окрестности точки нуль.

3. Выполнена реализация алгоритма исследования неустойчивости нулевого решения уравнений Хоффа в виде программного комплекса для персональных компьютеров.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней сформулированы и доказаны достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости линейных и полулинейных уравнений Хоффа, заданных в ограниченной области и на конечном связном ориентированном графе.

Практическая значимость работы заключается в том, что предложенный программный комплекс может использоваться для иллюстрации неустойчивости нулевого решения в моделях Хоффа.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (г. Стерлита-

3Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения. - М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

мак, 2008), Десятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, 2009), Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (г. Воронеж, 2010), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2010).

Кроме того, результаты неоднократно докладывались на семинаре по уравнениям соболевского типа профессора Г. А. Сви-ридюка в Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск); семинарах кафедры математического анализа (руководитель — доцент Т.К. Плышевская) и кафедры прикладной математики и вычислительной техники (руководитель — профессор С.И. Кадченко) в Магнитогорском государственном университете; а также семинаре «Избранные вопросы математического анализа»в Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН (г. Новосибирск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, причем статьи [1]-[3] - в изданиях, включенных в перечень ВАК. Кроме того, имеется свидетельство о регистрации программы [4], посредством которой проводились численные эксперименты. В совместных работах научному руководителю принадлежит постановка задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 96 страниц. Библиография содержит 96 наименований работ отечественных и зарубежных авторов, включая работы автора.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике. В заключение введения автор выражает благодарность своему научному руководителю доценту С.А. Загребиной, заведующему кафедрой уравнений математической физики проф. Г.А. Свиридюку, коллективам кафедр математического анализа МаГУ и уравнений математичексой физики ЮУрГУ, а также своей семье: дедушке Лаврентию Кузьмичу, маме Инне Лаврентьевне, брату Лаврентию Олеговичу и мужу Илье Сергеевичу.

Первая глава состоит из шести параграфов и носит пропедевтический характер. Она содержит формулировки теорем и определений, которые используются для получения основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены

основные факты теории относительно р-ограниченных операторов. Во втором — вводятся определения решения, фазового пространства, аналитических разрешающих групп операторов, а также теорема о существовании аналитических разрешающих групп операторов для уравнений вида (10). В третьем параграфе приводятся основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. В четвертом параграфе представлена стандартная сводка основных результатов теории функциональных пространств и дифференциальных операторов. Шестой параграф посвящен теории устойчивости в терминах потока и функций Ляпунова. Проводится доказательство второй теоремы Ляпунова, модифицированной для случая неполных банаховых пространств.

Теорема 1. Пусть и - стационарная точка потока 5 на 11. Если для потока 3 существует функция Ляпунова такая, что

(%) У(и) = 0; (и) У(у) > - «||); где уз - строго возрастающая непрерывная функция такая, что <р(0) = 0 и (р(г) > 0 при г £ то точка и устойчива.

(Ш) Выполнены условия (г) и (И) и существует строго возрастающая непрерывная функция гр такая, что ф{0) = 0 и ■ф(г) > 0 при гбШ^., причем < —1р(\\у — и||), тогда точка и асимптотически устойчива.

Вторая глава посвящена моделям Хоффа в области. Она состоит из трех параграфов. В п. 2.1 рассмотрена задача

и(х,0) = и0(х), х е (12)

и(х, г) = о, (х, г) е дп х ж, (13)

для уравнения

(А - \0)щ + Ащ = аи. (14)

Чтобы редуцировать задачу (12)-(14) к задаче (9), (10) возьмем пространства Н = ¿2)5" = И^-1 (все пространства определены в области П). Операторы Ь и М определим следующим образом:

{Ьи,у) = J(ихюх + (А - А0)иь)йх, €\¥1, а

(Ми,и) = —а Jиьйх, Уи, V € и

где <•,->- скалярное произведение в L2.

Теорема 2. (i) При всех Х0,а е Ш+ и A G [0, Ао) фазовым пространством задачи (12)-(Ц) служит пространство

(И) При всех До,« 6 Кц- и А = Ао фазовым пространством задачи (12)-(Ц) служит подпространствоÜ1 = {и е L2 :< и,ip >

Доказано, что на ф существует поток S, определяемый формулой

S(t, и) = f(ßL- M)~1Lueßtdß, t € Ш, 2т

где замкнутый контур 7 ограничивает L-спектр aL (М) оператора М, а точка нуль является стационарной точкой этого потока. Если А < Ао, тогда функцию Ляпунова определим как

V{u) = J(и2х + (А - Ао)u2)dx, п

V(u) = А М2 и V(0) = 0. Поэтому, в силу теоремы 1, точка нуль устойчива по Ляпунову, а в силу V(u) = —2а ||и||2 получаем асимптотическую устойчивость точки нуль.

Если А = Ао, то введем в пространстве И1 норму 11гл|jх, эквивалентную норме из L2. В силу теорем вложения Соболева IMIi с 1М1> ГДе с б — константа вложения. Зададим функцию Ляпунова как

V(u) = \\u\\.

Таким образом, получим устойчивость и асимптотическую устойчивость точки нуль. Следовательно, доказана

Теорема 3. Пусть A G [0, А0], тогда при любом а 6 {0} U К+ нулевое решение задачи (12)-(14) асимптотически устойчиво.

В п. 2.2 рассматривается задача (12), (13) для уравнения

(А - Ao)ut + Ащ = au + ßu3. (15)

Для редукции задачи (12), (13), (15) к задаче (9), (11), вводятся в рассмотрение пространства У = Li, 3" = Wf1 (все пространства определены в области Í2); и операторы

(Au,v) = J(Vu, Vv)dx, Vu,vew\, n

L = А — (\ — А0),

{Mu,v) = —a J uvdx, Vu,v £ L2, n

(N(u),v) = -0 J u3vdx Vu,v £ L4. q

Теорема 4. (i) Пусть A € Ж \ {Afc}, тогда при любых n € {1,2,3,4} и a,/? £ К таких, что afi £ Е+ фазовым пространством уравнения (15) служит все пространство И.

(И) Пусть А £ {Afc}, тогда при любых п £ {1,2,3,4} и a, Р £ Е таких, что а/3 € К+ фазовым пространством уравнения (15) служит простое банахово С™ -многообразие Ш моделируемое подпространствомU1 = {и £ 1С: {u,fk) = 0, А = Afc}.

Пусть А £ [0; А0), Ао € Е+. В этом случае определим функцию Ляпунова как

V{u) = J(ul + (А - А0)u2)dx.

Q

V(u) = (А—Ао) ||и||2 и V(0) = 0. Поэтому, в силу теоремы 1 точка нуль устойчива по Ляпунову. В силу V(u) = —/?||и||4 получим асимптотическую устойчивость точки нуль.

При А = Ао зададим функцию Ляпунова как V(u) = ||u||. Здесь ||u|[ - норма, эквивалентная норме из L4. В силу теоремы 1 получаем устойчивость точки нуль.

Теорема 5. (i) Пусть п £ {1,2,3,4} и А € [0, Ао), тогда при любых а,/3 б Е таких, что а/3 £ Е+ нулевое решение уравнения (15) асимптотически устойчиво.

(и) Пусть п £ {1,2,3,4} и А = Ао, тогда при любых а, /3 £ Е таких, что a/3 £ Е+ нулевое решение уравнения (15) устойчиво.

Пункт 2.3 содержит описание алгоритма программы, разработанной в вычислительной среде Maple, которая, опираясь на метод Галеркина, позволяет иллюстрировать неустойчивость нулевого решения задачи (12), (13), (15) и строит графические изображения этого решения при различных значениях параметров (рис. 1).

Рис. 1. Неустойчивость решения в окрестности точки нуль при а = 3,/3 = 2, А = 6, Ао = 5

Третья глава посвящена моделям Хоффа на конечном связном ориентированном графе. Она состоит из трех параграфов. В п. 3.1 рассмотрено уравнение

(А - Ао)%4 4- \ijtxx — аи^

с условиями

и.,(о,г) = ик( о, г) = ит(1т,г) =и„(1п,г), Ел,Ек е Ео(К), Ет,Еп б

(16)

(17)

(18)

0,0" ¿кикхЦк,*) = 0.

Е}еЕ<*(Ю ЕкеЕ»(У{)

Редуцируем задачу (16)-(18) к задаче (9), (10). Введем в рассмотрение множество

Ыс) = {9 = (ffb52.--.pj,...) : Pj е £2(0,^)}, со скалярным произведением и нормой соответственно

г1) _

(р,Л) = Р/М* и ||с?||2 д]йх.

1/0 Е,-ес ,/о

Введем еще банахово пространство

11 = {ы = («1,и2, .) : 6 Иг1 (О,//), причем выполнено (17)}

с нормой

и

гЧ

Е}£<1 -70

Построим операторы

гЬ /о

гЬ

< Ьи,у >= ^ I (и^хУ^х + (Л —

V г* Jо

в^ес

< Ми,у >= —а < и,и >,

где и, у € И.

Теорема 6. ({) При всех А0,а £ К+ и А £ [О, А0) фазовым пространством ф задачи (16)-(18) служит пространство 11.

(и) При всех Ао, а; £ К+ и А = Ао фазовым пространством ф задачи (16)-(18) служит подпространство Я1 ={и£Н:<

Доказано, что на ф существует поток 5, определяемый формулой

Б (г, и) = -^т [(цЬ- М^Ьие^Ыц, Ь £ К, 27гг у7

где замкнутый контур 7 ограничивает Ь-спектр аь(М) оператора М. Очевидно, точка нуль является стационарной точкой этого потока.

Пусть сначала А € [0; Ао), Ао € 1К+. В этом случае функцию Ляпунова определим следующим образом:

У(и) = £ % (13 (и% + (А - Ао)и))йх.

«'О

Г

Е^ С

|2

Очевидно, > (А — Ао) ||и|| и = 0, поэтому в силу

теоремы 1 точка нуль устойчива. Кроме того,

У(и) = —2а ||и||2 ,

что в силу теоремы 1 означает асимптотическую устойчивость точки нуль.

При А = А0 фазовым пространством задачи (16)-(18) служит подпространство И1 с нормой

Г1'

1 = ]С / 1%с1х>

Зададим функцию Ляпунова У(и) = ||и||2. Отсюда получаем устойчивость точки нуль. Аналогично предыдущим рассуждениям получаем асимптотическую устойчивость точки нуль.

Ь"2

Теорема 7. При всех а, А0 £ 1+ и A £ [О, Л0] стационарная точка нуль задачи (16)-(18) является асимптотически устойчивой.

В п. 3.2. рассмотрено уравнение

(А - Ao)ujt + Ujtxx = auj + ри* (19)

с условиями (17)-(18).

Возьмем Ао £ и построим оператор А : Н —> 5

(Au,v) = ^ dj / (ujxVjx + XoUjVj)dx, u,v£ü. Ej<=<£ Jo

Далее, возьмем А, а € IR и построим операторы L = А — А, М = —al, где I в данном случае есть оператор вложения I: U ff.

Введем в рассмотрение банаховы пространства

L4(G) = {5 = (ffi,52, : 9j € L4(0,Zj)},

L|(G) = {/1= {huh2,...,hj,...) :hj £Ь|(0,^)}. Возьмем P £ К и построим оператор N : L4(G) L|(G)

h

(N(u),v) = —/3 dj / UjVjdx,dx, u,v £ L4(G). Ej{

Теорема 8. (i) При любых a,/3 £ R таких, что a/3 e Ш+ и A 6 1\ {Aft} пространство 11 является фазовым пространством задачи (17)-(19).

(И) При любых а, /3 £ Ш, а/3 £ К+,А G {А*}, фазовым пространством задачи (17)-(19) является множество

Wl = {u£tt:a{u,ipk)+P(u3,ipk) = 0, \k = А}.

Если а, /3 6 К и А 6 М\{А* }, то в силу теоремы 8 задача (17)-(19) задает поток на банаховом пространстве Я. Если а, /3 е М, а/3 € П£+ и А £ {А*}, то задача (17)-(19) задает поток на простом банаховом С°°-многообразии 971.

Пусть А £ [0, Ао). Определив функцию Ляпунова как

У(и) = Ъ + - Х)и])ах,

я, ее ■/о

мы сразу получим выполнение условия (¡) теоремы 1. В силу непрерывности вложения 11 <->• Ь4(в) мы имеем У(и) > (с||и||)2, где с £ Е+ - константа вложения. Таким образом, условие (п) тоже выполнено. Наконец заметим, что в силу эквивалентности нормы в 1ч(С) имеем У(и) < — 2/3 (схЦиЦ)4, что показывает выполнение условия (111).

В случае А = Ао определим функцию Ляпунова как

V(u) = £ dj Г''

u\jxdx.

Условие (i) теоремы 1 выполнено. Кроме того, У1/2 определяет норму на И1, эквивалентную индуцированной из 11. Значит, V(u) > (c||u||)2 в силу теоремы вложения. Отсюда справедлива

Теорема 9. (i) При любых таких, что а/3 € М+ и

A € [0, Ао) нулевое решение задачи (17)-(19) асимптотически устойчиво.

(И) При любых a,j9 е R таких, что а/3 € М+ и X = Х0 нулевое решение задачи (17)-(19) устойчиво.

Пункт 3.3 содержит описание программы, разработанной в вычислительной среде Maple, которая позволяет иллюстрировать неустойчивость нулевого решения первого приближения задачи (17)—(19) и строит графическое изображение этого решения при различных значениях параметров (рис. 2).

400 300

[) 2 0.4 0.6

' "'""1 | 0121И 1 П1?Ш

Рис. 2. Неустойчивость решения в окрестности точки нуль при а = 5, /3 = 2, А = 6, Ао = 5

Результаты, выносимые на защиту:

1. Найдены условия, при которых нулевое решение уравнений Хоффа устойчиво.

2. Найдены условия, при которых нулевое решение уравнений Хоффа асимптотически устойчиво.

3. Разработан алгоритм численного исследования неустойчивости нулевого решения уравнений Хоффа.

4. Спроектирован и реализован программный комплекс для иллюстрации неустойчивости нулевого решения уравнений Хоффа.

5. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов, методов и подходов.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Свиридюк Г. А. Устойчивость уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Вестн. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. - Самара, 2010. - № 1 (15).- С. 6-15.

2 .Загребина, С.А. Устойчивость линейных уравнений Хоффа на графе / С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Вестн. Юж,-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2010. - № 16 (192), вып. 5. - С. 11-16.

3. Пивоварова, П. О. Неустойчивость решений уравнений Хоф-фа на графе. Численный эксперимент / П.О. Пивоварова // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2011. — № 4 (221), вып. 7. -С. 71-74.

Другие научные публикации:

4. Программа численного исследования неустойчивости нулевых решений уравнений Хоффа: свидетельство 2011613353 / Пивоварова П.О. (Ш); правообладатель ГОУ ВПО "ЮжноУральский государственный университет". — 2011611508; за-явл. 09.03.2011; зарегестр. 28.04.2011, Реестр программ для ЭВМ.

5. Пивоварова, П.О. Неустойчивость решений уравнений Дэвиса / П.О. Пивоварова // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: труды междунар. науч. конф., 24 июня -28 июня 2008 г., г. Стерлитамак. Уфа, 2008 - Т.1. - С. 153-158.

6. Пивоварова, П.О. О неустойчивости решений эволюционных уравнений соболевского типа на графе / П.О. Пивоварова // Вестн. Юж. Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - Челябинск, 2008.- № 15 (115). - вып. 1. - С. 64-68.

7. Загребина, С. А. Устойчивость решений уравнения Хоффа / С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Обозрение приклад, и пром. математики. - М., 2009. - Т. 16, вып. 2. - С. 330-331.

8. Пивоварова, П.О. Об устойчивости линейных уравнений Хоффа на графе / П.О. Пивоварова // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: тез. докл., Суздаль, 2-7 июля 2010 г.- М., 2010. - С. 148-149.

9. Пивоварова, П.О. Об устойчивости линейного уравнения Хоффа в области / П.О. Пивоварова // Вестн. Магнитогорского гос. ун-та. Сер.: Математика. - Магнитогорск, 2010. - вып. 12-С. 58-64.

10. Загребина, С.А. Второй метод Ляпунова в нормированных пространствах / С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2010: тез. докл. Воронеж, 2010.- С. 59-60.

11 .Загребина, С. А. Устойчивость и неустойчивость решений уравнений Хоффа. Численный эксперимент / С.А.Загребина, П.О Пивоварова // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / под ред. А.И. Кожанова. - Новосибирск, 2010.- С.88-94.

Издательский центр Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать 11.05.2011. Формат 60x84 1/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 0,70. Тираж 150 экз. Заказ 146/277.

Отпечатано в типографии Издательского центра ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр.им. В.И. Ленина, 76.

Обозначения и соглашения

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Относительно р-ограниченные операторы.

1.2 Фазовые пространства

1.3 Банаховы многообразия и векторные поля.

1.4 Функциональные пространства и дифференциальные операторы.

1.5 Задача Штурма-Лиувилля на геометрическом графе.

1.6 Второй метод Ляпунова в нормированных пространствах

2 Модель Хоффа в области

2.1 Линейное уравнение.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Фазовое пространство.

2.1.3 Устойчивость.

2.2 Нелинейное уравнение.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Фазовое пространство.

2.2.3 Устойчивость.

2.3 Вычислительный эксперимент

3 Модель Хоффа на графе

3.1 Линейное уравнение.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Фазовое пространство.

3.1.3 Устойчивость.

3.2 Нелинейное уравнение.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Фазовое пространство.

3.2.3 Устойчивость.

3.3 Вычислительный эксперимент

Постановка задач Уравнение Хоффа [75]

Л - Л0)щ + Щхх = + Ри3 (Нея) моделирует выпучивание двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой. Функция и = и(х, €) показывает отклонение балки от вертикали, параметры Л Е К+ характеризуют нагрузку, а, /3 Е Ж, где а • (3 Е М+ — свойства материала. Нас интересуют следующие задачи.

I. Пусть — ограниченная область с границей дО, класса С°°. В цилиндре П х К рассмотрим уравнение

Л - Х0)щ + Ащ = аи + (Зиъ, (0.0.1) и — и(х,£), 6 П х 1; с однородными граничными условиями Дирихле и(х, = 0, (ж, €) Е дП х М. (0.0.2)

Основной задачей будет изучение устойчивости в смысле Ляпунова единственного (нулевого) стационарного решения задачи (0.0.1), (0.0.2). Однако сначала мы изучим устойчивость нулевого стационарного решения линеаризованного в точке нуль уравнения (0.0.1)

А - А0)щ + Ащ = аи. (0.0.3)

II. Пусть О — конечный связный ориентированный граф, С = 6), где = {Уг} — множество вершин, а = {Е{\ — множество ребер, причем каждое ребро Е^ имеет длину Ц £ М+ и площадь поперечного сечения с^- £ М+. В вершинах графа С заданы условия ик{ 0,£) = ит(1т,г) = ип(1п,£),

0.0.4)

У^ ¿кикх(1к,г) = 0, (0.0.5)

Е^еЕа(Уг) ЕкеЕ"(Уг) где через Еа^(у{) обозначено множество ребер с началом (концом) в вершине V*, £ £ К. Если граф состоит из одного нециклического ребра (т.е. вершин у графа две), то условие (0.0.4) отсутствует, а условие (0.0.5) превращается в условие Неймана. Если же ребро циклическое (т.е. вершина у графа одна), то условия (0.0.4), (0.0.5) превращаются в условия согласования. В общем случае условия (0.0.4) требуют непрерывности решений и — (■¿¿1, и2,., и.) уравнений (Н^) в вершинах 03 графа в, а условия (0.0.5) — аналог условий Кирхгофа для электрических цепей — описывают «баланс потока» в вершинах. Заметим еще, что в контексте условий (0.0.4), (0.0.5) «отсутствовать» не значит «быть равным нулю». Например, если в вершину V; все ребра «входят», то первые два равенства в (0.0.3) и уменьшаемое в (0.0.5) именно «отсутствуют», а не равны нулю.

Второй нашей главной задачей будет исследование устойчивости по Ляпунову единственного (нулевого) стационарного решения О — (0,0,., 0,.) уравнений

Л - Л0)ujt + Ujtxx — auj + puj,

0.0.6) из — — (0)^') х заданных на графе С. И, как в предыдущем случае, изучение устойчивости начнем с линеаризованных в точке нуль уравнений (0.0.6)

Актуальность темы диссертации

Результаты диссертации находятся на стыке трех областей математического знания — теории устойчивости по Ляпунову, теории уравнений соболевского типа и теории дифференциальных уравнений на геометрических графах. Основы теории устойчивости были заложены в докторской диссертации A.M. Ляпунова, защищенной в 1892 г. в Харьковском университете [26]. С тех пор в теории устойчивости принято выделять два метода: первый — исследование устойчивости по линейному приближению, и второй — исследование устойчивости посредством функции Ляпунова. Первый метод Ляпунова был развит Ж. Адам аром и О. Перроном; обобщение их результатов ныне известно как теорема Адамара -Перрона [1], гл. 3, §4. В теореме говорится о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий. Обобщение дайной теоремы на случай банаховых пространств дано в [66], гл. 6.

Л - Л0)Ujt + Ujtxx = OLUj.

0.0.7)

Уравнения соболевского типа в абстрактной форме имеют вид

Ьй = Ми + М(и), (0.0.8) где Ь,М — линейные, а N — нелинейный операторы. Подчас их еще называют «уравнениями не типа Коши - Ковалевской»[25],[30], «псевдопараболическими уравнениями» [79], «вырожденными уравнениями» [72], [80] или «уравнениями неразрешенными относительно старшей производной» [71]. Исторически первые уравнения вида (0.0.8) начал изучать Пуанкаре в конце XIX - начале XX веков, но систематическое их изучение началось в середине XX века с работ С.Л. Соболева (см. прекрасный обзор в [71]). Сложилась традиция, поддерживаемая как работами отечественных [34], так и зарубежных математиков [81] называть уравнения вида (0.0.8) «уравнениями соболевского типа». Мы будем использовать этот термин, считая все остальные синонимами.

В настоящее время уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики [6]. Исследование уравнений соболевского типа в различных аспектах и разработка их приложений переживают сейчас пору бурного расцвета. Одних только монографий полностью или частично посвященных данным уравнениям за последнее время вышло более десятка [22], [34], [71] - [74], [77], [78], [82] - [84].

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А.И. Кожанов [22], в частности, рассматривает уравнения вида

I-A)ut = Bu + f{x,t), где А и В - дифференциальные но пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

В монографии А.Г. Свешникова, A.B. Алыпина, М.О. Корпу-сова, Ю.Д. Плетнера [34] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, как в классическом, так и в сильном и слабом обобщенном смыслах, широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая псевдопараболические уравнения и уравнения соболевского типа. В случае локальной разрешимости для ряда классов задач получены двусторонние оценки времени разрушения решений. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы решений конкретных задач.

В монографии Г.В. Демиденко, С.В. Успенского [71] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны следующим образом:

1-1 к=О где Ао, А\,., А\ - линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (х\,., хп), причем оператор Ао не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

В монографии А. Фавини и А. Яги [72] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения хг е А(х) с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа вида (0.0.8), если М - (Ь, сг)-ограниченный оператор в случае устранимой особой точки в бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [73] теория монотонных операторов применяется при исследовании и приближенном решении краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторные дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах.

В моногафии Н. Хаяши, Е.И. Кайкиной, П.И. Наумкиной, И.А. Шитмарева [74] исследовано асимптотическое поведение при больших временах решений задачи Коши для нелинейного уравнения типа Соболева с диссипацией.

В монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [77] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

Монография И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, C.B. Попова [78] посвящена исследованию краевых задач для неклассических диф-ференциальио-операторных уравнений. Рассматривается вопрос о разрешимости уравнений вида

Вщ + Lu = /, где L, В - самосопряженные (или диссипативные) операторы в гильбертовом пространстве Е. Оператор В не знакоопределен или не обратим.

В монографии P.E. Шоуолтера [82] рассматриваются как линейные уравнения, так и полулинейные вида (0.0.8) дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильбертовых пространствах, т.е. пространствах, имеющих нехаусдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами.

В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синицина и М. А. Фалалеева [84] изучены полулинейные уравнения и их обобщения. Разработаны приложения метода Ляпунова - Шмидта, а также доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения

А - \72)(п(ж, 0) - и0(х)) = 0, ж 6 П с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N.

В монографии В.Н. Врагова [6] исследована разрешимость па-чально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и уравнений соболевского типа.

Данная диссертация выполнена в русле традиции, поддерживаемой школой Г.А. Свиридюка. Ее основной особенностью является широкое использование идей и методов теории вырожденных (полу)групп операторов. Основы этой теории заложил Г.А. Сви-ридюк [36], затем она была разработана в диссертациях его учеников. В диссертации Т.А. Бокаревой [2] развита теория (Ь,р)~ ограниченных и (£,р)-секториальных операторов. В диссертации Л.Л. Дудко [11] сделано обобщение на случай (Ь, р)-секториального оператора и рассмотрены (Ь,р)-радиальпые операторы. В.Е. Федоров [63] обобщил приведенные ранее исследования, введя понятие (Х,р)-радиального оператора, и доказал аналог теоремы Хилле-Иосиды-Филлипса-Миядеры для уравнений соболевского типа.

В диссертации A.A. Ефремова [12] на решениях задачи Коши для уравнений соболевского типа с относительно р-ограниченными и р-секториальными операторами исследуются задачи оптимального управления. Г.А. Кузнецов [23] продолжил нахождение достаточных условий (L, ^-ограниченности и (£,р)-секториальности оператора М. Инвариантные многообразия и экспоненциальные дихотомии линейного уравнения соболевского типа, в случае (L, р)-секториальности оператора М, были изучены в диссертации A.B. Келлер [20]. В диссертации М.А. Сагадеевой [32] найдены условия существования экспоненциальных дихотомий линейного уравнения соболевского типа в случае (£,р)-радиальности оператора М. В работе С.А. Загребиной [13] рассматривается задача Веригина для линейного уравнения типа Соболева. C.B. Брычев [4] в своей диссертации построил численный алгоритм решения задачи Коши для линейного операторного уравнения соболевского типа, который был применен к расчету экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска. В диссертации A.A. Замышляевой [17] получены достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для уравнений соболевского типа высокого порядка.

Другой важной особенностью данной традиции является концепция фазового пространства, суть которой вкратце заключается в редукции уравнения (0.0.8) к уравнению = Su + F (и), (0.0.9) определенному, однако, не на всем банаховом пространстве, а на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (0.0.8). Основы данного метода заложили Г.А. Сви-ридюк и Т.Г. Сукачева [52], [53]. Затем в работах [19], [23], [39], [47], [50], [57], [69] были рассмотрены модели, фазовые пространства которых являются простыми банаховыми многообразиями, а в работах [7], [42], [54] были рассмотрены модели, фазовые пространства которых имеют особенности.

Вообще говоря, методы вырожденных (полу)групп и метод фазового пространства легли в основу многих глубоких исследований. Здесь и описание фазовых пространств линейных уравнений соболевского типа высокого порядка [17], [18], [45]; и изучение нового класса задач для линейных уравнений вида (0.0.8) (где оператор N = О), так »называемых «начально-конечных»[13], [15], [44]; * и постановка задач оптимального управления как для линейных [12], [31], [43], [65] так и для полулинейных [27], [28], [51] уравнений соболевского типа. Кроме того, данные методы стали фундаментом алгоритмов численного расчета уравнений леонтьевского типа (т.е. конечномерных уравнений соболевского типа) [4], [5], [40], [41]. Именно эти методы сделали возможным создание теории устойчивости уравнений соболевского типа. Основы этой теории заложены в [20], [48], где изучены дихотомии линейных уравнений соболевского типа; теорема Адамара - Перрона для уравнения (0.0.8) в случае (Ь,р)-ограниченного оператора М доказана в [21], [49], а в случае (¿,р)-секториального оператора М (термикология - [85], гл. 3) — в [14], [16]. Здесь также необходимо упомянуть работы [8], [9], в которых формулируются критерии асимптотической устойчивости решений линейной и квазилинейной системы дифференциальных уравнений соболсвского типа с периодическими коэффициентами.

Отметим сразу, что первым методом Ляпунова исследовать устойчивость уравнений Хоффа, заданных как в области, так и на графе, не удается из-за того, что в этом случае Ь-спектр оператора М пересекается с мнимой осью.

Уравнение Хоффа на отрезке первым начал изучать Н.А. Сидоров [58], затем к его исследованиям подключились его ученики [59], [60]. Они первыми обнаружили и описали феномен несуществования решения начально-краевой задачи для (Нед) при произвольных начальных значениях. (Отметим, что данный феномен независимо был обнаружен и изучен в [70], [76]). Г.А. Сви-ридюк первым показал [37], что локально фазовое пространство (в данном случае — множество допустимых начальных значений) (Нед) является гладким банаховым многообразием. Затем [46] была доказана простота фазового пространства (Нед) при однородных краевых условиях Дирихле. В [42] аналогичный результат был получен и при других краевых условиях. Таким образом, одной из отправных точек данной диссертации является диссертация В.О. Казака [42].

Дифференциальные уравнения на графах — сравнительно новая область математического знания - возникла во второй половине XX века (см. обстоятельный обзор в [10]). Первым уравнения соболевского на графах начал изучать Г.А. Свиридюк [38], затем в работах [56], [55] совместно с В.В. Шеметовой удалось описать фазовые пространства некоторых уравнений соболевского типа, возникших в последнее время в приложениях (подробности см. в [68]). Таким образом другой отправной точкой является диссертация В.В. Шеметовой [68], где дано полное описание фазового пространства (Н^) на геометрическом графе.

Итак, актуальность темы диссертации заключается в качественном и численном исследовании моделей Хоффа, адекватных следующим прикладным задачам. Первая — изучение устойчивости и неустойчивости процесса выпучивания двутавровой балки, а вторая — изучение устойчивости и неустойчивости конструкции из двутавровых балок.

Методы исследования

Основными методами данного исследования являются метод фазового пространства и модифицированный второй метод Ляпунова.

Суть метода фазового пространства заключается в том, что сперва задача (0.0.2) для уравнений Хоффа (0.0.3) в области и задача (0.0.4), (0.0.5) для уравнений (0.0.7) на графе без потери общности сводится абстрактному линейному уравнению соболевского типа

Ьй = Ми. (0.0.10)

Задача (0.0.2) для уравнения (0.0.1) в области и задача (0.0.4), (0.0.5) для уравнений (0.0.6) на графе редуцируется к абстрактному полулинейному уравнению соболевского типа (0.0.8). Такая редукция возможна при удачном подборе подходящих банаховых пространств Я и

К настоящему времени достаточно хорошо изучены условия однозначной разрешимости задачи Коши гх(0) = и0 (0.0.11) для уравнений (0.0.8) и (0.0.10). В том случае, когда оператор М {Ь,р) - ограничен, пространства Ии^ расщепляются в прямые суммы Я = 11° © Я1, # = ® т?1 так, что действия операторов Ь и М тоже расщепляются, т.е. Ь 6 £(Я0,#°) П /^(Я1,^1) и М е С1{Я°,^°) ПС/(Я1,^'1). Это обстоятельство дает возможность редуцировать уравнения (0.0.8) и (0.0.10), где, возможно, кег Ь ф {0}, к регулярному уравнению (0.0.9) определенному, возможно, не на всем пространстве Я, а только на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнений (0.0.8) и (0.0.10). Основной сложностью данного метода является подбор подходящих функциональных пространств.

Второй (или прямой) метод Ляпунова является наиболее распространенным и удобным инструментом для исследования устойчивости динамических систем. Суть данного метода заключается в подборе особой функции, называемой функцией Ляпунова, существование которой позволяет решить вопрос об устойчивости решения системы. Следует отметить, что в данной диссертации не применяется термин «динамическая система». В определении 4.1.1 [66] это понятие отождествляется с понятием «нелинейная полугруппа», хотя полугруппы (в том числе и нелинейные) естественно отождествлять с эволюционными процессами, так же как динамические процессы - с группами [35]. Кроме того, распозно-вание термина «динамическая система» в математике чрезвычайно затруднено из-за его непомерной перегруженности. В гл. 8А [29] нелинейные группы и полугруппы предложено называть потоками и полупотоками соответственно. В дальнейшем мы будем придерживаться именно этой терминологии.

Для исследования устойчивости наших задач мы применяем второй метод Ляпунова, обобщение которого на полные метрические пространства дано в [66], гл. 4. Внимательный анализ доказательства приведенной там теоремы 4.1.4 показал, что ее можно распространить на необходимые нам нормированные пространства (т.е. без требования их полноты), правда, с потерей равномерности в устойчивости и асимптотической устойчивости.

Помимо основных в данной диссертации методов фазового пространства и второго метода Ляпунова мы используем теорию линейных уравнений соболевского типа и порождаемых ими вырожденных групп и полугрупп операторов [85], а также такие мощные средства нелинейного функционального анализа как теорему Коши для случая векторных полей на банаховых многообразиях [24]. Поскольку диссертация кроме качественных исследований содержит еще и результаты численных экспериментов, иллюстрирующих неустойчивость стационарного решения уравнений (0.0.1), (0.0.3), (0.0.6), (0.0.7), здесь необходимо упомянуть также метод Галеркина, лежащий в их основе.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести качественное исследование устойчивости и асимптотической устойчивости нулевых решений уравнений Хоффа, заданных в ограниченной области и на конечном связном ориентированном графе. Полученные результаты посят окончательный характер, то есть содержат исчерпывающую информацию о связи параметров исследуемых уравнений с устойчивостью их стационарных решений.

Практическая же значимость заключается в том, что был разработан программный комплекс, посредством которого были проведены численные эксперименты для иллюстрации неустойчивости нулевых решений уравнений Хоффа.

Апробация

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (г. Стерлитамак, 2008), Десятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт Петербург, 2009), Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (г. Воронеж, 2010), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2010).

Кроме того, результаты неоднократно докладывались па семинаре по уравнениям соболевского типа профессора Г.А. Свири-дюка в Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск), семинаре кафедры математического анализа (руководитель — доцент Т.К. Плышевская) и кафедры прикладной математики и вычислительной техники (руководитель — профессор С.И. Кадченко) в Магнитогорском государственном университете, а также семинаре «Избранные вопросы математического ана-лиза»в институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (г. Новосибирск).

Краткое содержание диссертации

Диссертация, кроме введения и списка литературы, содержит три главы. Список литературы содержит 96 наименований.

Первая глава состоит из шести параграфов и содержит формулировки теорем и определений, которые используются для получения основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены основные факты теории относительно р-ограниченных операторов. Во втором вводятся определения решения, фазового пространства, аналитических разрешающих групп операторов, а также теорема о существовании аналитических разрешающих групп операторов для уравнений соболевского типа. Приведенные здесь факты почерпнуты из монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [85].

В третьем параграфе приводятся основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. Вводятся определения карты, атласа, банахова С^-мпогообразия, касательного расслоения С^-многообразия и векторного поля. Здесь основным результатом является классическая теорема Когаи в обобщенной формулировке [24].

В четвертом параграфе представлены основные результаты теории функциональных пространств и дифференциальных операторов. Здесь определяются пространства Соболева, пространства с негативной и позитивной нормами. Теоремы вложения Соболева и Кондрашева-Реллиха являются основными результатами данного параграфа.

В пятом параграфе приводится задача Штурма-Лиувилля на геометрическом графе. В основном все результаты почерпнуты из монографии Ю.В. Покорного и др. [10] Шестой параграф посвящен теории устойчивости в терминах потока и функций Ляпунова. Его основным результатом является вторая теорема Ляпунова, заимствованная из монографии Д. Хенри [66], модифицированная для случая неполных нормированных пространств.

Вторая глава посвящена исследованию уравнений Хоффа, заданных в ограниченной области. Она состоит из трех параграфов. В первом рассмотрен случай линейного уравнения Хоффа, а во втором параграфе исследуется случай полулинейного уравнения. Для данных уравнений описаны фазовые пространства, а также исследована устойчивость и асимптотическая устойчивость нулевого решения уравнений (0.0.1), (0.0.3) в случае, когда Л G [0, Ао]. В третьем параграфе исследуется неустойчивость стационарного решения уравнений (0.0.1), (0.0.3) в случае, когда Л > Ао. Здесь содержится описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple, а также пример его применения.

Третья глава посвящена исследованию уравнений Хоффа, заданных на конечном связном ориентированном графе. Она, как и вторая, состоит из трех параграфов. В первом параграфе рассматривается линейное уравнение, а во втором — полулинейное. Здесь, как и во второй главе для случаев линейного и полулинейного уравнений Хоффа исследованы фазовые пространства и устойчивость нулевого решения уравнений (0.0.6), (0.0.7) в случае, когда А € [0, Ао] - В третьем параграфе исследуется неустойчивость стационарного решения уравнений (0.0.6), (0.0.7) в случае, когда А > Ао. Здесь содержится описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple, а также пример его применения.

Публикации

Все результаты диссертации своевременно опубликованы [86] - [96], причем работы [86], [87], [88] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК по специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.

Результаты, выносимые на защиту

1. Разработан метод исследования устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения в моделях Хоффа, базирующийся на методе Ляпунова.

2. Разработан новый алгоритм численного исследования неустойчивости нулевого решения в моделях Хоффа в окрестности точки нуль.

3. Спроектирован и реализован комплекс программ, зарегистрированный в реестре программ для ЭВМ, для иллюстрации неустойчивости нулевого решения моделей Хоффа.

4. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов, методов и подходов.

Благодарности

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю доценту С.А. Загребиной за неоценимую помощь в работе над диссертацией. Кроме того, считаю своим приятным долгом поблагодарить заведующего кафедрой уравнений математической физики профессора Г.А. Свиридюка за ценные советы и моральную поддержку, а также коллективы кафедр математического анализа МаГУ и уравнений математичексой физики ЮУрГУ за ряд полезных пожеланий, способствовавших усовершенствованию работы. Особую благодарность выражаю моей семье: дедунтке Лаврентию Кузьмичу, маме Инне Лаврентьевне, брату Лаврентию Олеговичу и мужу Илье Сергеевичу за поддержку и веру в успех.

1. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд., Ю.С. Ильяшснко // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.1.— М.;1985.— С. 7-14.

2. Бокарева, Т. А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. . канд. физ.-мат. наук / Т.А. Бокарева; РГПУ им. Герцена. СПб., 1993,— 107 с.

3. Бокарева, Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева / Т.А. Бокарева, Г.А. Свиридюк // Мат. заметки.— 1994.— Т. 55, № 3.— С. 3-10.

4. Брычев, C.B. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. . . канд. физ.-мат. наук / C.B. Брычев; Челяб. гос. ун-т.— Челябинск, 2002,- 124 с.

5. Бурлачко, И. В. Исследование оптимального управления системами уравнений леоньтевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / И.В. Бурлачко; Челяб. гос. ун-т.— Челябинск, 2005.— 122 с.

6. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов.- Новосибирск: НГУ, 1983.- 179 с.

7. Гильмутдинова, А.Ф. Исследование математических моделей с феноменом неединственности: дис. . канд. физ.-мат. наук /А.Ф. Гильмутдинова; ЮУрГУ. — Челябинск, 2009. — 123 с.

8. Демиденко, Г. В. Об устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами / Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Сиб. мат. журн,— 2001.- Т. 42, № 2,- С. 332-348.

9. Демиденко, Г.В. Об устойчивости решений квазилинейных периодических систем дифференциальных уравнений /Г.В. Демиденко, И.И. Матвеева // Сиб. мат. жури,— 2004.— Т. 45, № 6.- С. 1271-1284.

10. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, B.JI. Прядиев и др.].- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.- 272 с.

11. Дудко, Л.Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. канд. физ.-мат. наук / Л.Л. Дудко; Новгород, гос. унт.— Новгород, 1996,— 88 с.

12. Ефремов, A.A. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис/ . канд. физ.мат. наук / A.A. Ефремов; УрГУ им. Горького, Екатеринбург, 1996.- 102 с.

13. Загребипа, С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости — дис. . канд. физ.-мат. наук / С.А. Загребина; ЧелГУ— Челябинск, 2002,— 100 с.

14. Загребипа, С.А. О существовании и устойчивости решений уравнений Навье-Стокса / С.А. Загребина // Вестн. МаГУ. Сер. Математика. — Магнитогорск, 2005. Вып. 8.- С. 74-86.

15. Загребипа, С.А. О задаче Шоуолтера- Сидорова / С.А. Загребина // Известия вузов. Матем.: науч.-теор. журн.— Казань, 2007.- № 3(538).- С.22-28.

16. Загребина, С.А. Существование и устойчивость задачи Бе-нара для уравнения термоконвекции / С.А. Загребина // Обозрение приклад, и пром. математики. — М., 2009.— Т.16, вып. 4. С. 651-652.

17. Замышляева, A.A. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. . канд. физ.-мат. наук / A.A. Замышляева; Челяб. гос. ун-т,— Челябинск, 2003.— 101 с.

18. Замышляева, A.A. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / A.A. Замышляева // Вычислит, технол.— 2003.— Т. 8, № 4.— С. 45-54.

19. Казак, В.О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / В.О. Казак; Челяб. гос. ун-т.— Челябинск, 2005.— 99 с.

20. Келлер, A.B. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / A.B. Келлер; Челяб. гос. ун-т.— Челябинск, 1997.— 115 с.

21. Китаева, О. Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / О.Г. Китаева; Магнитогорск, 2006.— 111 с.

22. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов; Новосибирск: НГУ, 1990.- 132 с.

23. Кузнецов, Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. . канд. физ.-мат. наук / Г.А. Кузнецов; Челяб. гос. ун-т.— Челябинск, 1999.— 105 с.

24. Ленг, С. Введение в теорию дифференциальных многообразий / С. Ленг.- Волгоград: Платон, 1997,— 203 с.

25. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе — М.: Мир, 1972.

26. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. — M.-JL: Гостехиздат, 1950.

27. Манакова, H.A. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис. . капд.физ.-мат.наук / H.A. Мапакова; ЧелГУ, Челябинск, 2005.

28. Манакова, H.A. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / H.A. Манакова // Дифференц. уравнения,- 2007.- Т. 43, № 9.- С. 11851192.

29. Марсден, Дэгс. Бифуркация рождения цикла и се приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен,— М.: Мир, 1980.

30. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский.— М.: Физматгиз, 1961.

31. Плеханова, М.В. Оптимальное управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени: дис. . канд. физ.-мат. наук / М.В. Плеханова; ЧелГУ.- Челябинск, 2006.

32. Сагадеева, М.А. Исследование устойчивости решений линейных уравнений соболевского типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / М.А. Сагадеева; Челябинск, 2006.

33. Сагадеева, М.А. Об экспоненциальных дихотомиях решений уравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева // Вестник Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки.— 2003.— Т. 8, вып. 3.- С. 447-448.

34. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, A.B. Алынин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер- М.: Физматлит, 2007.

35. Свиридюк, Г.А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г.А. Свиридюк // ДАН СССР. 1989. - Т. 304, №2. - С. 301-304.

36. Свиридюк, ГА. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах: дис. . докт. физ.-мат. наук / Г.А. Свиридюк; Челябинск, 1993.

37. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. матем.- 1993.- Т.57, № 3.- С.192-207.

38. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики.— Новосибирск, 2002.— С.221-225.

39. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши Дирихле для одного неклассического уравнения / Г.А. Свиридюк, A.B. Анкудинов // Дифференц. уравнения.— 2003.— Т.39, №11.- С.1556 -1561.

40. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, C.B. Брычев // Изв. вузов. Математика.— 2003.— №.— С.46-52.

41. Свиридюк, Г.А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г.А. Свиридюк, И.В. Бурлачко // Журн. вычисл. мат. и мат. физики.- 2003.- Т.43, №11 — С.1677-1683.

42. Свиридюк, Г.А. О складке фазового пространства одного неклассического уравнения / Г.А. Свиридюк, А.Ф. Гильмут-динова // Дифференц. уравнения.— 2005.— Т. 41, № 10.— С. 1400-1405.

43. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, A.A. Ефремов // Изв. вузов. Математика.— 1996.— №12.— С.75-83.

44. Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Дифференц. уравнения.- 2002,- Т. 38, № 12,- С. 1646-1652.

45. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, A.A. Замышляева // Дифферснц. уравнения,- 2006.— Т. 42, № 2.— С. 252-260.

46. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Мат. заметки.- 2002.- Т.71, № 2.- С.292-297.

47. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство одной обобщенной модели Осколкова / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Сиб. мат. журн.- 2003.- Т.44, №5,- С.1124-1131.

48. Свиридюк, Г.А. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, A.B. Келлер // Изв. вузов. Математика.—1997,- №5,- С.60-68.

49. Свиридюк, Г.А. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения Осколкова / Г.А. Свиридюк, О.Г. Китаева // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, 2005.— С.160-166.

50. Свиридюк, Г.А. Об относительной р-секториальности дифференциальных операторов / Г.А. Свиридюк, Г.А. Кузнецов // Неклассические уравнения мат. физики. Новосибирск,1998,- С. 49-57.

51. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, H.A. Манакова // Сиб. журн. индустр. математики.— 2005.— Т. 8, №2.— С. 144-151.

52. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифферент уравнения,- 1990,- Т.26, № 2.- С.250-258.

53. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сиб. мат. журн.- 1990.- Т.31, № 5.- С.109 119.

54. Свиридюк, Г.А. Сборка Уитни в фазовом пространстве уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, И.К. Тринеева // Изв. вузов. Математика.— 2005.- № 10.- С.54-60.

55. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Изв. вузов. Математика. 2005.-№ 11.

56. Свиридюк, Г.А. Уравнения Хоффа на графах / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Дифференц. уравнения.— 2006.— Т. 42, № 1- С. 126-131.

57. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.М. Яку-пов // Дифференц. уравнения.— 1996 — Т.32, №11.- С.1538-1543.

58. Сидоров, H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / H.A. Сидоров; Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1982.

59. Сидоров, H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров, O.A. Романова // Дифференц. уравнения.— 1983.- Т.19, № 9,- С. 1516-1526.

60. Сидоров, H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения,-1987 Т.23, 4.- С.726-728.

61. Сукачева, Т.Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: дис. . канд. физ.-мат. наук / Т.Г. Сукачева; Новгород: НовГПИ, 1990.

62. Сукачева, Т.Г. Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей: дис. . д-ра физ.-мат. наук: Новгород, 2004.

63. Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений тина Соболева: дис. . канд. физ.-мат. наук / В.Е. Федоров; Челяб. гос. ун-т. — Челябинск, 1996. — 116 с.

64. Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах: дис. . докт. физ.-мат. наук / В.Е. Федоров; Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2005. - 271 с.

65. Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Дифференц. уравнения.— 2004,— Т.40, №11 — С.1548-1556.

66. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. М.: Мир, 1985.

67. Шафранов Д.Е. Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразиях: дис. канд. физ.-мат. наук / Д.Е. Шафранов; Юж.-Урал. гос. ун-т. Челябинск, 2006. - 95 с.

68. Шеметова, В. В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах: дис. канд. физ.-мат. наук / В.В. Шеметова; Магнитогор. гос. ун-т. Магнитогорск, 2005. - 109 с.

69. Якупов, М.М. Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики: дис. канд. физ.-мат. наук / М.М. Якупов; ЧелГУ.- Челябинск, 1999.- 87 с.

70. Coleman, В. D. Instability, uniqness and nonexistence theorems for the equation щ = uxx — uxxt on a strip / B.D. Coleman, R.J. Duffin, V.J. Mizel // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1965-Vol.19 P.100-116.

71. Demidenko, G. V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest order derivative /G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. New York-Basel-Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.

72. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi.- New York-Basel: Marcel Dekker, Inc., 1999.- 283 c.

73. Gajewski, H. Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen / H. Gajewski, K. Groger, K. Zacharias Berlin: Akademi Verlag, 1974.

74. Hayashi, N. Asymptotics for Dissipative Nonlinear Equations / N. Hayashi, E.I. Kaikina, P.I. Naumkin, I.A. Shishmarev. -Berlin-Heibelberg: Spinger-Verlag, 2006.

75. Hoff; N.J. Creep buckling / N.J. Hoff // Aeronautic Quarterly 7,- 1956.- № 1.- P.l-20.

76. Levine, H.A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = -Au + F(u) / H.A. Levine // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 51, №5. P. 371-386.

77. Melnikova, I. Abstract Cauchy problem: three approaches / I. Melnikova, A. Filinkov. Boca Raton: Chapman and Hall, 2001.

78. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov.- Utrecht-Boston: VSP, 2002.

79. Showalter, R.E. Pseudoparabolic partial differetial equations / R.E. Showalter, T.W Ting // SIAM J. Math. Anal. 1970. V.l, №. p. 1-26.

80. Showalter, R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type / R.E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. 1975. V.6, №1. p. 25-42.

81. Showalter, R.E. The Sobolev type equations I(II) / R.E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. 1975., №. p. 15-22 (№ 2. p. 81-89).

82. Showalter, R.E. Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations / R.E. Showalter. London - San Francisco -Melbourne: Pitman, 1977.

83. Showalter, R.E. Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations / R.E. Showalter. -Providence: AMS, 1997.

84. Lyapunov Shmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. - Dordrecht - Boston - London: Kluwer Academic Publishers, 2002.

85. Свиридюк ГА. Устойчивость уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Вестн. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. Самара, 2010 - № 1 (15). -С. 6-15.

86. Загребина, С.А. Устойчивость линейных уравнений Хоффа на графе / С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Вестн. Юж,-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. Челябинск, 2010 - № 16 (192), вып. 5. - С. 11-16.

87. Пивоварова, П. О. Неустойчивость решений уравнений Дэ-виса / П.О. Пивоварова // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: тр. междунар. науч. конф., 24 июня 28 июня 2008 г., г. Стерлитамак. Уфа, 2008.- Т.1. - С. 153-158.

88. Пивоварова, П. О. О неустойчивости решений эволюционных уравнений соболевского типа на графе / П.О. Пивоварова // Вестн. Юж. Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. Челябинск, 2008.- № 15 (115). - вып. 1. - С. 64-68.

89. Загребина, С.А. Устойчивость решений уравнения Хоффа / С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Обозрение приклад, и пром. математики. М., 2009. - Т. 16, вып. 2. - С. 330-331.

90. Пивоварова, П. О. Об устойчивости линейных уравнений Хоффа на графе / П.О. Пивоварова // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: тез. докл., Суздаль, 2-7 июля 2010 г.- М., 2010. С. 148-149.

91. Пивоварова, П. О. Об устойчивости линейного уравнения Хоффа в области / П.О. Пивоварова // Вестн. Магнитогорского гос. ун-та. Сер.: Математика. Магнитогорск, 2010. -вып. 12. - С. 58-64.

92. Загребина, С.А. Второй метод Ляпунова в нормированных пространствах / С.А. Загребина, П.О. Пивоварова // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2010: тез. докл. Воронеж, 2010. - С. 59-60.