автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование оптимального управления решениями начально-конечной задачи для неклассических моделей математической физики

ООЬиэ«*-—

На правах рукописи

Дыльков Андрей Геннадьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯМИ НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 НОЯ 2012

Челябинск — 2012

005056202

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Магнитогорский государственный университет».

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент Манакова Наталья Александровна. Официальные оппоненты:

Карачик Валерий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (НИУ), профессор кафедры математического анализа; Сукачева Тамара Геннадьевна, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого», профессор кафедры алгебры и геометрии. Ведущая организация

ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет».

Защита состоится 12 декабря 2012 года в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при ФГБОУ ВПО «ЮжноУральский государственный университет» (НИУ), по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета.

Автореферат разослан «_» __ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, доцент

А.В. Келлер

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Высокий темп развития современных технологий приводит к необходимости исследования физических процессов, возникающих в технике и производстве, что предполагает построение адекватных математических моделей и их дальнейшее изучение! Моделируемые процессы, как правило, управляемы, а потому естественным образом возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или ином смысле — оптимального управления.

Данное диссертационное исследование находится на стыке трех областей математического знания - теории уравнений соболевского типа, теории дифференциальных уравнений на геометрических графах и теории оптимального управления. В настоящее время задачи оптимального управления для неклассических моделей математической физики появляются в приложениях все чаще, однако, в силу отсутствия общего метода решения таких задач, результатов в этой области в современной математической литературе немного, причем большинство из них получены для конечномерного случая.

Линейные уравнения соболевского типа'активно исследуются как в России, так и за рубежом. Систематическое изучение таких уравнений начал С.Л. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. Уравнения, неразрешенные относительно производных, рассматривали в своих работах С.Г. Крейн, В.Н. Врагов, Г.В. Демиденко, С.Г. Пятков, А.И. Кожанов, И.В. Мельникова, H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев, М.О. Корпусов, А.Г. Свешников, A. Favini, A. Yagi, J.H.A. Lightbourne, R.E. Showalter и др. Исследованиям начальных задач для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы Ю.Е. Бо-яринцева, В.Ф. Чистякова, М.В. Булатова и др. Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г.А. Сви-ридюком2.

Основоположником теории дифференциальных уравнений на гра-

1 Оптимальные технологические решения для каталитических процессов и реакторов / С.А. Мустафина, Ю.А. Валиева, P.C. Давлетшин, A.B. Балаев, С.И. Спивак

// Кинетика и катализ. - 2005. - Т. 46, № 5. - С. 749-756.

2Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate

Semigroups of Operators. - Utrecht; Boston; Köln: VSP, 2003. - 216 pp.

фах в России является Ю.В. Покорный3. Дифференциальные уравнения на геометрических графах изучали в своих работах также А.И. Ша-фаревич, J.K. Haie, S. Kosugi, Е. Yanagida и др. Уравнения соболевского типа на графе впервые стал рассматривать Г.А. Свиридюк, исследование таких задач было продолжено его учениками.

В области теории оптимального управления широко известны работы A.B. Фурсикова, Г.А. Куриной, A.A. Щегловой, J.-L. Lions, P.C. Müller, L. Pandolfi, S.L. Campbell, W.J. Terrell и др. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа впервые начали рассматривать Г.А. Свиридюк и А.А Ефремов. В дальнейшем такого рода задачи изучались в работах A.B. Келлер, В.Е. Федорова, H.A. Ма-наковой, М.В. Плехановой, A.A. Замышляевой, и др.

В связи с вышесказанным, считаем актуальным рассматривать следующие задачи. Пусть G = G(2J; <£) — конечный связный ориентированный граф. где 2J = - множество вершин, a £ = {Ej} - множество ребер; причем каждое его ребро Ej имеет длину lj е R+ и площадь поперечного сечения dj 6 R+. На графе G рассмотрим задачу

Xj(t,0) = xk(t,0) = xm(t,lm) = X n(t,ln), Е^,ЕкеЕа(У{), Em,EnçEu(Vi), (1}

djXjS(t, 0) — dkxks{t,lk) = 0, (2)

Е}еЕ"(У,) Ek<=E"(Vi)

где Ea<-w\Vi) — множество ребер с началом (концом) в вершине F¿, для:

— линейных уравнений Хоффа4

XjXjt + xjtS3 = cxjxj + uj, Aj 6 R+, aj € R, (3)

— линейных уравнений Дзекцера5

AXjt - xjtss = ßxjaa - axjssss + •yxj + uj, a G M+, A, ß, 7 € R. (4)

3Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с.

Hoff N.J. Creep Buckling // Aeronautic Quarterly. — 1956. — Vol. 7, № 1. — P. 1-20.

Дзекцер B.C. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // Докл. АН СССР. — 1972. — Т. 202, № 5. — С. 1031-1033.

Уравнения (3), заданные на графе, моделируют динамику выпучивания двутавровых балок в конструкции. Здесь функции xj = Xj(t,s) показывают отклонение балок от вертикали; параметры Лj 6 «j € R характеризуют нагрузку и свойства материала балок соответственно.

Уравнения (4), заданные на графе, моделируют эволюцию свободной поверхности жидкости, фильтрующейся в пластах ограниченной мощности. Здесь функции Xj(t, s) - напор на подошве j-го пласта.

Разрешимость начально-краевых задач для уравнений Хоффа и Дзекцера и другие связанные с этими уравнениями вопросы исследовались в работах Г.А. Свиридюка и его учеников В.О. Казака, H.A. Ма-наковой, С.А. Загребиной, П.О. Пивоваровой, A.A. Баязитовой и др.

Нас будут интересовать решения задач (1) — (3) и (1), (2), (4), удовлетворяющие начально-конечным условиям

Pin{x{о)-хо)=0, Рцп{Ф) ~ хт) = 0, (5)

где Pin, Pfi„ - относительно спектральные проекторы, которые будут определены далее, а пара векторкфункций (х, и) должна минимизировать некоторый специальным образом построенный функционал, который мы будем называть функционалом качества, т. е.

J(x, и) inf, и € Had,

где Had — замкнутое и выпуклое подмножество допустимых управлений в пространстве управлений U.

Физический смысл задачи оптимального управления для линейной модели Хоффа заключается в том, чтобы конструкция из двутавровых балок с минимальными затратами на управление приняла требуемую форму. Для линейной модели Дзекцера физический смысл задачи оптимального управления - эффективное регулирование потоков грунтовых вод в системе пластов.

Цель работы — исследование математических моделей оптимального управления решениями начально-конечной задачи для процессов, описываемых линейными уравнениями Хоффа и Дзекцера, заданными

6 Свиридюк Г.А., Загребина С.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 12. - С. 1646-1652.

на графе, с последующей разработкой алгоритма численного метода решения изучаемых задач.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать математическую модель оптимального изменения формы двутавровых балок в конструкции как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Хоффа на графе.

2. Исследовать математическую модель оптимального регулирования потоков грунтовых вод в системе пластов как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Дзекцера на графе.

3. Показать существование единственного сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного неоднородного уравнения соболевского типа.

4. Разработать и реализовать в виде комплекса программ алгоритм численного метода решения поставленных задач и провести вычислительный эксперимент.

Научная новизна. При исследовании математических моделей оптимального управления решениями начально-конечной задачи для процессов, описываемых линейными уравнениями Хоффа и Дзекцера, заданными на графе, показано существование единственного сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного неоднородного уравнения соболевского типа в случаях относительно р-ограниченного и относительно р-секториального операторов. Получены необходимые условия оптимальности управления. Разработан и реализован с помощью комплекса программ для ЭВМ алгоритм численного метода решения поставленных задач.

Методы исследования. В работе используются методы математического моделирования, методы теории оптимального управления, теории уравнении соболевского типа (метод фазового пространства7), тео-

7Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева // Дифферепц. уравнения. — 1990 — Т. 26, № 2. — С. 250-258.

рии вырожденных (полу)групп операторов, а также метод Галеркина, лежащий в основе вычислительных экспериментов.

Теоретическая значимость. Результаты, представленные в диссертации, полученные при изучении математических моделей оптимального управления, основанных на уравнениях Хоффа и Дзекцера, развивают теории уравнений соболевского типа, дифференциальных уравнений на графах и оптимального управления. Данные результаты могут быть использованы для дальнейшего качественного и численного исследования других неклассических моделей математической физики.

Практическая значимость заключается в применении результатов исследований при изучении напряженных деформированных состояний упругих балок и решении задач гидромеханики. Разработанный комплекс программ позволяет проводить вычислительные эксперименты по определению оптимального управления в рассматриваемых моделях.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики» (Якутск, 2010), всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2011), воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2011), международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2011), международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2011), международной научно-практической конференции «Измерения: состояние, перспективы развития» (Челябинск, 2012).

Результаты докладывались на семинарах по уравнениям соболевского типа профессора Г.А. Свиридюка в Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск), семинаре кафедры прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета под руководством профессора С.И. Кадченко (г. Магнитогорск) и семинаре кафедры математического моделирования Стерли-тамакского филиала Башкирского государственного университета под

руководством профессора С.А. Мустафиной (г. Стерлитамак).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 9 научных работах, в их числе 3 статьи в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК, и свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. Список работ приводится в конце автореферата. В совместных с научным руководителем работах, последнему принадлежит постановка задачи. В диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 114 страниц. Список литературы содержит 105 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, описаны методы исследования, теоретическая и практическая значимость проведенного исследования, дается обзор литературы по исследуемой проблематике.

Первая глава носит пропедевтический характер, состоит из пяти параграфов и не содержит результатов, полученных автором. В п. 1.1 приведены необходимые сведения из теории вырожденных разрешающих групп операторов, сформулированы следующие условия:

(А1) оператор М (Ь, р)-ограничен, р е {0} и И,

(А2) //-спектр оператора М представим в виде

а\М) = <7&(М) и *$Ы(М), *?п(М) П а)ы{М) = 0,

необходимые для получения основных результатов работы. В п. 1.2 приведены необходимые сведения из теории вырожденных разрешающих полугрупп операторов, сформулированы следующие условия-

(В2) существует оператор е ; Ж1),

(ВЗ) оператор М (£, р)-секториален, р е {0} и N и аь(М) = а1п(М) и причем аг/гп(М) содержится в ограниченной обла-

сти п с кусочно гладкой границей 7117П <тг'(М) = 0, необходимые в дальнейшем при получении результатов работы.

В п. 1.3 приведена абстрактная начально-конечная задача для линейного неоднородного уравнения соболевского типа. В п. 1.4 содержатся необходимые сведения об относительной резольвенте гильбертового сопряженного оператора. В п. 1.5 рассмотрена задача Штурма - Ли-увилля на графе.

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена изучению математической модели оптимального изменения формы двутавровых балок в конструкции как задачи оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Хоффа на графе.

П. 2.1 содержит описание изучаемой математической модели (1) -(3), (5) на графе С(21; £). Введем в рассмотрение гильбертово пространство ¿2(0) — {з = (91,92, •••>9]■> •••) : 9} Є ¿2(0;^)} со скалярным произведением [

(д, М = XI / ^jhjds^

банахово пространство X = {х = (%і,Х2,. • •, х^,..,) : х^ є (0, ^) и выполнено (1)}. Обозначим через 2) сопряженное к X относительно двойственности {•,•) пространство! Зададим операторы

С"..,

3 о І о

По построению Ь, М є 2)).

Показано, что для введенных функциональных пространств и операторов Ь, М выполняются условия (А1), (А2), поэтому изучаемую модель (1) - (3), (5) можно рассматривать в рамках абстрактной начально-конечной задачи, т. е. линейного уравнения соболевского типа

Ьх = Мх + /, (6)

где оператор М (Ь, 0)-ограничен, с начально-конечными условиями (5), которые в данной ситуации примут вид

((х(О)-х0),ірк)<Рк = О, ^ ((х(т)~хт),<Рк}>Рк= о. (7)

МкЄ<гїп(М) МкЄ<7}іп(М)

Здесь ірк — собственные функции оператора Ь, образующие ортонор-мированный базис пространства X.

В п. 2.2 доказаны существование и единственность сильного решения абстрактной начально-конечной задачи в случае (Ь,р)-ограниченного

оператора М, а также существование и единственность сильного решения начально-конечной задачи для линейной модели Хоффа на графе.

Определение 1. Вектор-функцию х 6 Я1(Х) -- {х € ¿2(0, г; X) : х € ¿2(0, т; X)} назовем сильным решением уравнения (6), если она почти всюду на (0, т) обращает его в тождество. Сильное решение х = x(t) уравнения (6) назовем сильным решением начально-конечной задачи, если оно удовлетворяет (5).

Теорема 1 (2.2.1)? Пусть выполнены условия (AI), (А2). Тогда для любых х0, xr е X и / € Hp+l (2)) существует единственное сильное решение задачи (5), (6).

Теорема2 (2.2.2). ПрилюбыхXj € R+, ocj € К, aj / 0 при любом j и все ctj одного знака, хо, xr G X, и е ЬГ1(2)) существует единственное сильное решение х е Язадачи (1) - (3), (7).

В п. 2.3 рассмотрена абстрактная задача оптимального управления Lx = Мх + у + Ви, (8)

J{x, и ) min, иеЯ|+1(а) (9)

с начально-конечными условиями (5), где функции х,у п и лежат в гильбертовых пространствах X, 2) и Н соответственно, оператор ß € £(£;5р), Яд+1(11) — замкнутое и выпуклое подмножество в гильбертовом пространстве управлений

ffP+1(H) = {и € L2(0,t;H) : € L2(0,r;U),p € {0} UN},

а функционал качества ./(ж, -и) определяется соотношением 1 r fc f

?=°о ч=о i

где ц, v > 0, ц + v = 1, 0 < fc < р + 1, iV, € £(U), g = 0,1,..., fc -самосопряженные и положительно определенные операторы, zq - плановое наблюдение из некоторого гильбертова пространства наблюдений 3, оператор С € £(ЗГ;3) задает наблюдение z(t) — Cx(L).

Определение 2. Пару (х, и) € Н1 (X) х Я|+1 (И) назовем решением задачи оптимального управления (5), (8), (9), если

J(x, й) = min J{x,u),

Сх,и)ЕНЦХ)хН%+1(й)

8 В скобках указана нумерация в диссертации.

где пары (х,и) 6 Нг{£) х Нд+1(И) удовлетворяют соотношениям (5),

(8); вектор-функцию й назовем оптимальным управлением решениями задачи (5), (8).

Теорема 3 (2.3.1). Пусть выполнены условия (А1), (А2). Тогда для любых у € НР+1(Я)), хо,хг € X существует единственное решение задачи оптимального управления (5), (8), (9).

Теорема 4 (2.3.2). При любых А^- € К+, <х,- € К одного знака, хо,хТ € X, и € Яд(1Х) существует единственное решение задачи оптимального управления (1) - (3), (7), (9).

В п. 2.4 строится сопряженная к (5), (8) задача

-Ь*£ = МЧ + 1лС*\(Сх(Ь, и) - 2о), Р*паг) = О, Р^М0) = 0. (11)

Теорема 5 (2.4.2). Пусть выполнены условия (А1), (А2) и р — 0. Тогда при любых у € Н1 (2)) и г0 € Н1{3) оптимальное управление й е решениями задачи (5), (8) удовлетворяет неравенству

1 ТГ

+ / > 0, Ум € Я|(Н), (12)

?=о о "

где , ы) € Н1(%)*) — решение задачи (11).

В п. 2.5 содержится описание алгоритма численного метода и комплекса программ, написанного в вычислительной среде Мар1е и предназначенного для нахождения приближенного численного решения исследуемой задачи оптимального управления для линейной модели Хоффа на графе.

В п. 2.6 содержатся результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующие работу комплекса программ. Рассмотрены примеры нахождения решений исследуемой задачи оптимального управления для линейной модели Хоффа на отрезке и двухреберном графе.

Пример 1 (2.6.2). Требуется найти решение задачи (1) - (3), (7),

(9) на графе С, состоящем из двух последовательно соединенных ребер и трех вершин, при заданных коэффициентах ах = —0,5, а2 = —0,6, Лх^ = 1, т = 1, <¿1 = 0,1, о?2 = 0,2, ¿12 = тг, функционал в (9) определяется соотношением (10), где /х = I/ = С = ]I, = I, плановые наблюдения 2о1 = 1 + соз(в) + со8(в/2), ¿02 = 1 — соз(в) — 8т(з/2).

Для примера 1 получены следующие результаты:

хх = 0, 284 - 0,01 + 0,32е-°'75'+0'21 + 4,73е~°-54' + (0, 93 - 0,094+ +0, 0442 - 0,08е-°-754+0'21 + 0,08е-0'54') сов^) + (-0,02 + 0,024—0,0242 - 2,05е-°'75г+°'21 - 2,05е-°'54( +0,01е-°'75е+0'75)соз(5/2)! ж2 = 0, 284 - 0,01 + 0,32е~°'754+0,21 + 4, 73е~°>54{ - (0, 93 - 0,094+ +0,0442 — 0,08е~0,75е+0,21 + 0,08е~°'54')со8(в) - (-0,02 + 0,024—0,0242 - 2, 05е-°'75{+0'21 - 2,05е-°-54' +0,01е-°'754+0'75)8т(5/2), щ = 0,28 + 0,154 + (0,52 - 0,064 + 0,0242) соз(в) + (0,01 - 0,034—0,0142) со8(в/2),

и2 = 0,28 + 0,154 - (0,52 - 0,064 + 0,0242) сов^) - (0,01 - 0,034—0,0142) вт(в/2),

где х = со1(х 1, жг), и = со1(и\, м2), минимальное значение функционала ■Лтп = 6,15 на множестве допустимых управлений, заданном условием

ЕК2(4)+Й?(4))<5. ¿=1

Построим найденные решения (4, в) и функции ~01,02 (4, я) в ко-

Решенпя Ж 1,2 (г, в) прп N = 3 и функции го 1,02(7", в) соответственно Из рисунка видно, что функции ж1)2(4, в) в конечный момент времени стремятся «принять требуемую форму».

Третья глава состоит из шести параграфов и посвящена изучению математической модели оптимального регулирования потоков грунтовых вод в системе пластов как задачи оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Дзекцера на графе.

П. 3.1 содержит описание изучаемой математической модели (1), (2), (4), (5) на графе С(Ш; <£). Введем в рассмотрение гильбертово простран-

ство 2) = {у = (yi, у-2,..., Uj,...) : уj € ¿2(0, lj)} и банахово пространство X = {ж = (жх j ? • • ■ ) ) • * •) * е W^iOylj) и выполняются (1), (2)}.

Построим оператор В:х -»• (-ж^, — z2ss,..., —XjSS,...), Be.£(X;Z)), и оператор L = Л + В, А 6 К.

Введем в рассмотрение еще одно пространство

dorn М = [х € X : Xj е О, Ц) и

Ejt Ek e Ят, En e ET (Vi);

y^ djXjS3S(0,t) - ^ dkxksss{lk,t) = 0}.

EjeE-iVi) EkeE«(Vi)

Формулой С : x (xlssss,x2ssss, ■ ■ ■ ,Xjssss, ■ ■ ■) зададим оператор С : dornM->3),Ce £(dom M; 2)) и построим оператор М = -ßB-aC+7. По построению М € Cl(X;%)), ß,j,Xe М.

Показано, что для построенных функциональных пространств и операторов L, М выполняются условия (В1) — (ВЗ), поэтому изучаемую модель (1), (2), (4), (5) можно рассматривать в рамках абстрактной начально-конечной задачи (5), (6) где оператор М (L, 0)-секториален, а условия (5) принимают вид (7).

В п. 3.2 доказаны существование и единственность сильного решения абстрактной начально-конечной задачи в случае (L, р)-секториаль-ного оператора М, а также существование и единственность сильного решения начально-конечной задачи для линейной модели Дзекцера на графе.

Определение 3. Вектор-функцию х € назовем сильным ре-

шением уравнения (6), если она почти всюду на (0, г) обращает его в тождество. Сильное решение х = x(t) уравнения (6) назовем сильным решением начально-конечной задачи, если

lim Pfin(x(t) — х0) = 0, lim Pin(x(t) - хт) = 0.

¡->0+ t—>r—

Теорема 6 (3.2.1). Пусть выполнены условия (В1) — (ВЗ). Тогда для любыххо,хТ € X и f € Нр+1(2)) существует единственное сильное решение задачи (5), (G).

Теорема 7 (3.2.2). При любых а,т € К+ и ß, 7, А € К таких, что либо —А ф ¿"(А), либо —А G а (Л) и —А не является корнелг уравнения

аа2 + ¡За — 7 = 0, х0,хт € X, и € Я1 (11) существует единственное сильное решение х е Я1 (Ж) задачи (1), (2), (4), (7).

В п. 3.3 рассмотрена задача оптимального управления (5), (8), (9), где оператор М (Ь, р)-секториален, а функционал качества определяется соотношением (10). Под решением задачи оптимального управления мы понимаем то же, что и в п. 2.3.

Теорема 8 (3.3.1). Пусть выполнены условия (В1) — (ВЗ).Тогда для любых у € Яр+1(2)), жо, хТ € X существует единственное решение задачи оптимального управления (5), (8), (9).

Теорема 9 (3.3.2). При любых а, г е и /?, 7, А € М таких, что либо —А ф с(А), либо —А е и —А не является корнем уравнения

аа2 + ¡За — 7 = 0, хо,хТ € X, и € Нд(И), существует единственное решение задачи оптимального управления (1), (2), (4), (7), (9).

В п. 3.4 в терминах сопряженной задачи найдены необходимые условия оптимальности управления.

Теорема 10 (3.4.2). Пусть выполнены условия (В1) — (ВЗ) ир = 0. Тогда при любых у € Я1 (2)) и г0 £ Н1{3) оптимальное управление й € Я|(Н) решениями задачи (5), (8) удовлетворяет неравенству (12), где е Ях(2)*) — решение задачи (11).

В п. 3.5 содержится описание алгоритма численного метода и программы, написанной в вычислительной среде Марк и предназначенной для нахождения приближенного численного решения рассматриваемой задачи оптимального управления для линейной модели Дзекцера на графе.

В п. 3.6 содержатся вычислительные эксперименты, иллюстрирующие работу программы. Рассмотрен пример нахождения приближенного решения исследуемой задачи оптимального управления для линейной модели Дзекцера на двухреберном графе.

В заключении представлены выводы по результатам исследований и их соответствие паспорту специальности.

В приложении представлено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Построена математическая модель оптимального изменения формы двутавровых балок в конструкции. Показана однозначная разреши-

мость задачи оптимального управления решениями начально-конечной задачи для модели Хоффа на графе.

2. Построена математическая модель оптимального регулирования потоками грунтовых вод в системе пластов. Показана однозначная разрешимость задачи оптимального управления решениями начально-конечной задачи для модели Дзекцера на графе.

3. Доказано существование единственного сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного уравнения соболевского типа.

4. Найдены необходимые условия оптимальности управления не следуемых задач.

5. Разработан и реализован с помощью комплекса программ для ЭВМ алгоритм численного метода решения исследуемых задач.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих российских рецензируелтх научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Дыльков, А.Г. Численное решение задачи оптимального управления для одной линейной модели Хоффа на графе / А.Г. Дыльков // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программирование». - 2012. - № 27 (286), вып. 13. - С. 128-132.

2. Манакова, H.A. Об одной задаче оптимального управления с функционалом качества общего вида / H.A. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. «Физ.-мат. науки». — 2011. — № 4 (25). - С. 18-24.

3. Манакова, H.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений соболевского типа / H.A. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программирование». — 2011. — № 17 (234), вып. 8. — С. 113-114.

Другие научные публикации:

4. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для линейной модели Хоффа: свидетельство 2012618002 / Дыльков А.Г.

(RU); правообладатель ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (Национальный исследовательский университет). — 2012618002; заявл. 09.07.2012; зарегистр. 05.09.2012, Реестр программ для ЭВМ.

5. Дылъков, А.Г. Задача оптимального управления для одной эволюционной модели / А.Г. Дыльков // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения—XXII». — Воронеж, 2011. - С. 59-60.

"6. Дылъков, А.Г. Оптимальное управление решениями одного линейного уравнения соболевского типа / А.Г. Дыльков // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тез. докл. междунар. конф., посвящ. памяти В.К. Иванова, Екатеринбург, 31 окт. - 5 нояб. 2011 г. — Екатеринбург, 2011. - С. 225-226.

7. Момакова, H.A. Оптимальное управление для одной неклассической задачи для линейной модели Хоффа / H.A. Манакова, А.Г. Дыльков // Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математической физики», посвящ. 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (10 - 13 ноября 2010 г.): тез. докл. - Ч. 1. — Якутск, 2010.

- С. 80-82.

8. Манакова, H.A. Оптимальное управление для одной эволюционной модели / H.A. Манакова, А.Г. Дыльков // СамДиф—2011: конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 26 - 30 июня 2011 г.: тез. докл. — Самара, 2011. — С. 73-74.

9. Дылъков, А.Г. Численное решение задачи оптимального управления для одной линейной модели Хоффа на графе / А.Г. Дыльков // Измерения: состояние, перспективы развития: тез. докл. междунар. науч.-практ. конф., г. Челябинск, 25 — 27 сентября 2012 г. В 2 т. — Т. 1.

— Челябинск, 2012. - С. 86-88.

Подписано в печать 31.10.2012 г. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ № 494.

Издательство Магнитогорского государственного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Типография МаГУ

Обозначения и соглашения

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Аналитические вырожденные группы операторов

1.2 Аналитические вырожденные полугруппы операторов

1.3 Классическое решение начально-конечной задачи

1.4 Относительная резольвента гильбертово сопряженного оператора.

1.5 Задача Штурма - Лиувилля на геометрическом графе

2 Математическая модель Хоффа на графе

2.1 Описание математической модели Хоффа на графе

2.2 Сильное решение в математической модели Хоффа

2.3 Оптимальное управление в модели Хоффа.

2.4 Необходимые условия оптимальности управления

2.5 Алгоритм численного метода и описание комплекса программ для нахождения оптимального управления в математической модели Хоффа на графе.

2.6 Вычислительный эксперимент

3 Математическая модель Дзекцера на графе

31 Описание математической модели Дзекцера на графе

3.2 Сильное решение в математической модели Дзекцера

3.3 Оптимальное управление в модели Дзекцера.

3.4 Необходимые условия оптимальности управления

3.5 Алгоритм численного метода и описание программы для нахождения оптимального управления в математической модели Дзекцера на графе.

3.6 Вычислительный эксперимент

Постановка задач

Пусть С = С(Ш; (£) — конечный связный ориентированный граф, где ЯЗ = {К} — множество вершин, а (£ = {Е3} — множество ребер; причем каждое его ребро имеет длину е !£+ и площадь поперечного сечения £ На графе С рассмотрим задачу 0) = 0) = Жт(£, /т) = Хп(Ь, /п),

Е,,ЕкеЕа(Уг), Ет,ЕпеЕш{уг)

13хза(г,0)- ¿кХкз&1к) = 0, (0.2)

Е3еЕа(Уг) ЕкеЕ»(К) где Еа(ш\Уг) — множество ребер с началом (концом) в вершине К, Для линейных уравнений Хоффа [82] jXjt + Х^зз = си3х3 + и3, (0.3) линейных уравнений Дзекцера [11]

Условие (0.1) требует, чтобы вектор-функция была непрерывна в вершинах графа, а потому называется иногда «условием непрерывности». Заметим, что в этом условии «отсутствовать» не значит «быть равным нулю». Например, если в некоторую вершину Уг все ребра входят, то первые два равенства в (0.1) отсутствуют, а не равны нулю. Условия (0.2) — аналог условий Кирхгоффа — превращаются в условия Неймана в случае, если граф состоит из одного ребра и двух вершин, причем в этом случае условия (0.1) отсутствуют. В случае, если граф состоит из одного циклического ребра (и одной вершины), то условия (0.1), (0.2) превращаются в условия согласования.

Уравнения (0.3), заданные на графе, моделируют динамику выпучивания двутавровых балок в конструкции [51]. Здесь функции Xj(t, s) показывают отклонение балок от вертикали; параметры Xj £ R+, а3 £ R характеризуют нагрузку и свойства материала балок соответственно.

Уравнения (0.4), заданные на графе, моделируют эволюцию свободной поверхности жидкости, фильтрующейся в пластах ограниченной мощности. Здесь функции Xj(t,s) — напор на подошве j-го пласта, параметры а £ R+, Л, ß, 7 £ R характеризуют среду, причем параметр Л может принимать и отрицательные значения.

Разрешимость начально-краевых задач для уравнений Хоффа и Дзекцера и другие, связанные с этими уравнениями вопросы исследовались в работах Г.А. Свиридюка и его учеников В.О. Казака [25], О.Г. Китаевой [28], H.A. Манаковой [40, 56], В.В. Шеметовой [71], П.О. Пивоваровой [45, 57], A.A. Баязитовой [1], Д.Е. Шафранова [70] и др.

Нас будут интересовать решения задач (0.1) - (0.3) и (0.1), (0.2), (0.4), удовлетворяющие начально-конечным условиям

Ргп{х{0) - х0) = 0, Pfin(x(r) ~ Хт) = 0, (0.5) где Ргп, Pfin — относительно спектральные проекторы, которые будут определены далее, а пара вектор-функций (х, и) должна минимизировать некоторый специальным образом построенный функционал, который мы будем называть функционалом качества, то есть

J{x,u) —> inf, и £ Had, (0-6) где Had, — замкнутое и выпуклое подмножество допустимых управлений в гильбертовом пространстве управлений И.

Задача (0.1) - (0.3), (0.5) представляет собой математическую модель изменения формы двутавровых балок в конструкции, находящихся под постоянной нагрузкой. Физический смысл задачи оптимального управления для линейной модели Хоффа заключается в том, чтобы конструкция из двутавровых балок с минимальными затратами на управление приняла требуемую форму. Задача (0.1), (0.2), (0.4), (0.5) представляет собой математическую модель эволюции свободной поверхности жидкости, фильтрующейся в системе пластов. Для линейной модели Дзекцера физический смысл задачи оптимального управления — эффективное регулирование потоков грунтовых вод в системе пластов.

В подходящих функциональных пространствах рассматриваемые задачи редуцируются к абстрактной задаче оптимального управления где 36,5) и И — гильбертовы пространства, операторы L € £(36; 2)), М е С1(Х; 2)), В е £(11; 2)), причем kerL ^ {0}, функции и : (0, г) —>■ Н, у : (0, г) —» ф, Pin, Рfin — относительно спектральные проекторы, действующие в гильбертовом пространстве 36, Xq,xt £

Lx = Мх + у + Bu,

Pin{x{0) - Xq) = 0, Pfin(x(r) - Хт) = О, J{x, и) inf, и е Had,

0.7) (0.8) (0.9)

I, г 6 R+. Задача (0.7), (0.8) называется «начально-конечной», о истории ее возникновения будет сказано далее.

Вектор-функцию х £ Я1 (36) назовем состоянием системы (0.7), (0.8), если она является сильным решением задачи (0.7), (0.8). Зафиксировав хо, хТ, у, воздействие на систему (0.7), (0.8) осуществляется изменением функции и, называемой управлением. В конкретных моделях, встречающихся на практике, на функцию управления, как правило, появляются некоторые естественные ограничения, что приводит к необходимости рассмотрения некоторого замкнутого и выпуклого множества iiad — множества допустимых управлений.

Наша задача состоит в отыскании такой пары (х,й) Е Нх ilad, для которой выполняется соотношение

J{x,u)= inf J(x,u), ж,и)еЯ1(Х)хИаа где все пары (х,и) удовлетворяют задаче (0.7), (0.8).

Исследовать задачу (0.7) - (0.9) мы начнем с изучения разрешимости абстрактной начально-конечной задачи, то есть линейного неоднородного уравнения соболевского типа

Lx = Мх + /, (0.10) с начально-конечными условиями (0.8).

Цель работы — исследование математических моделей оптимального управления решениями начально-конечной задачи для процессов, описываемых линейными уравнениями Хоффа и Дзекцера, заданными на графе, с последующей разработкой алгоритма численного метода решения изучаемых задач.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать математическую модель оптимального изменения формы двутавровых балок в конструкции как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Хоффа на графе.

2. Исследовать математическую модель оптимального регулирования потоков грунтовых вод в системе пластов как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений Дзекцера на графе.

3. Показать существование единственного сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного неоднородного уравнения соболевского типа.

4. Разработать и реализовать в виде комплекса программ алгоритм численного метода решения поставленных задач и провести вычислительный эксперимент.

Актуальность темы диссертации

Данное диссертационное исследование находится на стыке трех областей математического знания — теории уравнений соболевского типа, теории дифференциальных уравнений на геометрических графах и теории оптимального управления. В настоящее время задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа появляются в приложениях все чаще, однако в силу отсутствия общего метода решения задачи (0.7), (0.8) результатов в этой области в современной математической литературе немного, причем большинство из них получены для конечномерного случая. Впервые задача (0.7), (0.8) в более частной постановке появилась в работах Г.А. Свиридюка и С. А. Загребиной [54], где она названа, вследствие непроизвольно возникшей терминологической путаницы, «задачей Веригина». В дальнейшем данная задача была названа начально-конечной и рассмотрена в работах [17, 55]. В настоящее время уже есть результаты об однозначной разрешимости начально-конечной задачи для уравнений соболевского типа высокого порядка на графе [19], о многоточечных начально-конечных задач для линейной модели Хоффа [16].

В современной математической литературе уравнениями и системами уравнений соболевского типа принято называть уравнения и системы уравнений в частных производных, неразрешенные относительно производной по времени. Исторически первым такие уравнения начал изучать, по-видимому, Пуанкаре в конце XIX - начале XX веков [90]. Систематическое изучение таких уравнений начал С.Л. Соболев в середине прошлого столетия [59]. В силу значимости работ С.Л. Соболева и его учеников, уравнения, неразрешенные относительно производной по времени, стали называть «уравнениями соболевского типа». Окончательно этот термин закрепился начиная с работ Р.Е. Шоуолтера [92] и в настоящее время является общепринятым [14, 30, 44, 58, 85, 92, 93]. Следуя этой сложившейся традиции в работах отечественных и зарубежных математиков, мы в своей работе будем использовать этот термин, считая все остальные — «уравнения не типа Коши - Ковалевской» [37, 74], «псевдопараболические уравнения» [10, 92], «вырожденные уравнения» [78, 87], «неклассические дифференциально-операторные уравнения» [91] или «уравнения, неразрешенные относительно старшей производной» [77] — синонимами.

Уравнения соболевского типа в абстрактной форме имеют вид

Lx = Мх + N(x), (0.11) где L,M — линейные операторы, N — вообще говоря, нелинейный оператор.

Приведем несколько результатов, полученных в области уравнений соболевского типа в XXI веке. Среди них находится монография А.Г. Свешникова, А.Б. Алыпина, М.О. Корпусова, Ю.Д. Плетнера [36], в которой рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости как в классическом, так и в сильном и слабом обобщенном смыслах, широких классов начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая уравнения соболевского типа. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы исследования свойств решений конкретных задач.

Монография Г.В. Демиденко и C.B. Успенского [77] посвящена линейным дифференциальным уравнениям, которые в операторной форме могут быть записаны в виде

1-1

AqD\u + Y, Ai-kDktu = /, к=о где Ло, Ai,., Ai — линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (х\,., хп), причем оператор Ао необратим. В работе изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок решений в соответствующих нормах.

Монография В.Ф. Чистякова и A.A. Щегловой [66] (также, как и монография Ю.Е. Бояринцева и В.Ф. Чистякова [2]) посвящена изучению алгебро-дифференциальных неоднородных систем вида (0.10), где L(t) — вырожденная при всех t Е [0, Т] или прямоугольная матрица. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши ж(0) = (0.12) для алгебро-дифференциальных систем указанного вида с регулярной и сингулярной парой постоянных (ш,п)-матриц L и М.

В монографиях И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, C.B. Попова [13] и С.Г. Пяткова [91] изучена разрешимость краевых задач для неклассических дифференциально-операторных уравнений вида (0.10).

В монографии H.A. Сидорова, Б.В. Логинова, A.B. Синицина и М.А. Фалалеева [86] изучены ветвящиеся решения нелинейных операторных уравнений и вырожденных операторно-дифференциаль-ных уравнений, возникающих в алгоритмическом анализе и теории уравнений в частных производных, встречающихся в приложениях механики и математической физики.

В монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [87] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [6] исследуется задача Коши для псевдопараболического уравнения

Lx + М{х) = и с равномерно липшиц-непрерывным и сильно монотонным оператором L и липшиц-непрерывным оператором Вольтерры М. Доказываются теоремы существования и единственности решений данной задачи, а также сходимость метода Галеркина.

Задача (0.10), (0.12) в конечномерном случае (X = 2) = Мт, Ь, М — постоянные квадратные матрицы) рассматривается в монографии Ф.Р. Гантмахера в случае регулярного и сингулярного пучка матриц М + ц,Ь [7].

Продолжая движение в обратном хронологическом порядке, назовем зарубежную монографию А. Фавини и А. Яги [78], в которой построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения хг е А{х) с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа вида

Ьх = Мх, (0.13) если оператор М является спектрально ограниченным относительно оператора Ь. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

А.И. Кожанов в своей монографии [29] рассматривает уравнения вида

I -А)щ = Ви + /(х,г), где А и В — дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

Монография В.Н. Врагова [5] была одной из первых монографий, посвященных изучению начально-краевых задач для уравнений вида (0.13).

Исторически первой является монография P.E. Шоуолтера [92], в которой рассматриваются как линейные, так и полулинейные вида (0.11) дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильбертовых пространствах, то есть пространствах, имеющих нехаусдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами.

Данное диссертационное исследование выполнено в русле традиций, развиваемых школой Г.А. Свиридюка. В монографии Г.А. Сви-ридюка и В.Е. Федорова [93] вводятся и изучаются относительно р-ограниченные (относительно р-секториальные) операторы и порождаемые ими разрешающие группы (аналитические разрешающие полугруппы) операторов. Также вводятся в рассмотрение относительно р-радиальные операторы и порождаемые ими сильно непрерывные разрешающие полугруппы операторов.

Теория дифференциальных уравнений на графах интенсивно развивается в последние десятилетия [8, 68, 69, 80, 83, 96]. В России основоположником этой теории является Ю.В. Покорный [47]. Первым начально-краевую задачу для дифференциального уравнения соболевского типа на графе стал изучать Г.А. Свиридюк [50]. В диссертации В.В. Шеметовой [71] продолжены исследования в данном направлении и, в частности, дано полное описание фазового пространства уравнений Хоффа (0.3), заданных на графе. A.A. Баязитова [1] исследовала прямые и обратные задачи для уравнений Хоффа, заданных в области и на конечном связном ориентированном графе.

И.О. Пивоварова исследовала устойчивость нулевого решения в моделях Хоффа в области и на графе [45].

Высокий темп развития современных технологий приводит к необходимости исследования возникающих в технике и производстве физических процессов, что предполагают построение адекватных математических моделей и их дальнейшее изучение (см., например, [32, 42]). Моделируемые процессы, как правило, управляемы, а потому естественным образом возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или ином смысле — оптимального управления. В настоящее время можно выделить несколько основных направлений в решении задач оптимального управления.

JI.C. Понтрягин [48] вместе со своими учениками и соратниками рассматривал управляемые процессы, каждый из которых может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравнений

Xi = fi(xi,. ,xn,ui,. ,Ur), г = 1,. ,п. (0.14)

Разрешимость таких задач устанавливалась одним общим приемом — принципом максимума Понтрягина.

Для систем (0.14) H.H. Красовским [31] со своими учениками были рассмотрены задачи о построении управляющего воздействия и, которое приводит объект в заданное состояние, а также проведена аналогия между теорией линейных управляемых систем и теорией игр.

Работа В.И. Зубова [21] содержит решение проблемы стабилизации программных движений, включая их построение, а также методы синтеза управлений, в том числе построения оптимальных управлений. На основе второго метода Ляпунова строится подход к нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности в различных вариационных задачах, а также развиваются на этой основе вычислительные процедуры.

В.В. Матросов [43] со своими учениками применял метод вектор-функций Ляпунова для исследования широкого класса нелинейных задач управления, рассматривал вопросы устойчивости нелинейных систем вида (0.14) и получил теоремы сравнения и теоремы экспоненциальной устойчивости.

Другое направление представлено в работах Ж.-Л. Лионса [37, 38], A.B. Фурсикова [64, 65] и многих других. Работы этих авторов посвящены теории оптимального управления распределенными системами, то есть системами, которые описываются с помощью краевой задачи для уравнения с частными производными или для системы таких уравнений. В монографии [37] впервые систематически изучены задачи оптимального управления для уравнений с частными производными, уделено немало внимания линейным эллиптическим, параболическим, гиперболическим задачам с квадратичной минимизируемой функцией, рассмотрены соответствующие односторонние граничные задачи и задачи эволюционного типа, а также вопросы существования и аппроксимации оптимальных решений. В монографии [38] изложены основы теории управления сингулярными распределенными системами. При изучении задач такого рода заданному управлению может не соответствовать единственное устойчивое состояние. Для решения этой проблемы Ж.-Л. Лионе изучал вопрос о существовании обобщенных оптимальных пар и их свойствах.

В монографии К.А. Лурье [39] дается общая постановка задач оптимизации для систем с частными производными и указываются особенности вывода необходимых условий оптимальности типа принципа максимума Понтрягина.

В монографии A.B. Фурсикова [65] строится общая теория оптимального управления распределенными системами. В наиболее общей форме исследуемый в монографии класс задач можно записать в виде

J(x, и) -» inf, F(x,u) = О, U в Had, где J — некоторый функционал, F — некоторый оператор, действующий в соответствующих пространствах. Большое количество абстрактных теоретических результатов монографии применены к различным классам задач оптимального управления.

Зарубежная монография Ф. Трёльч [95] также посвящена вопросам оптимального управления уравнениями с частными производными. В ней рассмотрены вопросы существования и единственности оптимального управления решениями линейных и нелинейных уравнений с частными производными, необходимые условия оптимальности и сопряженные уравнения. В монографии разработаны численные методы решения указанных задач.

В работах Г.А. Куриной изучаются матрично сингулярно возмущенные задачи оптимального управления [33] для сингулярно возмущенной системы с\т

А + tB)-j- = C(t)x + D(t)u с условиями (0.12). Также в работах Г.А. Куриной с соавторами исследуются решения дискретных задач оптимального управления слабоуправляемых систем [35]. В работе [34] приведены достаточные условия существования ограниченного обратного оператора для линейного оператора, появляющегося в теории оптимального управления линейными системами в гильбертовом пространстве и имеющего матричное представление.

Впервые исследованием задач оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа стали заниматься Г.А. Сви-ридюк и A.A. Ефремов [52, 53]. Оптимальное управление решениями задачи Коши (0.12) для линейных уравнений соболевского типа рассматривалось в [93]. В дальнейшем начатые исследования в этой области продолжили ученики Г.А. Свиридюка, среди которых H.A. Манакова [40, 41], A.B. Келлер [26, 27], A.A. Замышляева [18] и др. Результаты A.A. Ефремова инициировали изучение O.A. Ру-заковой вопросов управляемости уравнений соболевского типа [49]. Вопросами управляемости уравнений соболевского типа занимаются также К. Балачандран и Дж. Дауэр [75].

В работах Г.А. Свиридюка и A.A. Ефремова исследована задача оптимального управления (0.7) - (0.9) с квадратичным функционалом в случае, когда P/¿n = О, a P¿n = I, рассмотрены вопросы существования (полу)групп, разрешающих однородное уравнение (0.13), установлена однозначная разрешимость задачи (0.12) для линейного неоднородного уравнения соболевского типа (0.10). Здесь следует отметить, что для решения последней задачи необходимо выполнение некоторого условия согласования между проекцией начального значения задачи Коши xq на ядро разрешающей полугруппы и вектором Ви{0) + у{0) [53]. Это важное обстоятельство приводит к необходимости существенного сужения множеств допустимых функций управления и начальных значений задачи Коши. Впоследствии было показано, что можно уйти от этой необходимости разными способами, например, заменив условие (0.12) на условие Шоуолтера -Сидорова [55]

Цх(0) - х0) = 0. (0.15)

Изучение вопросов этой области продолжено в исследованиях H.A. Манаковой [40, 41, 56], где рассмотрена разрешимость некоторых задач оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа.

В работах В.Е. Федорова и М.В. Плехановой [63] также продолжены исследования Г.А. Свиридюка и A.A. Ефремова. Ими установлены существование и единственность сильных и слабых решений задачи Коши (0.12) для уравнения (0.13) в случае, когда оператор М сильно (£,р)-радиален, исследована задача оптимального управления для уравнения (0.7) с функционалом качества ч1ц ц2 N. 2 J[x,u) — -\\х — ^Цяп(зе) + "2"IIй ~ и°пяг2(а)) где r\ G {0,1}, Г2 е N0, oj, щ — заданные функции, константа N > 0, а также задача стартового управления ж(0) = и (0.16) для уравнения (0.10). Разработан другой подход к задаче оптимального управления для уравнения (0.7), при котором удается отказаться от существенных ограничений на начальные значения задачи Коши (0.12) и пространство управлений и получить теорему существования и единственности оптимального управления при любом начальном значении xq G X.

В работе М.В. Плехановой и А.Ф. Исламовой [46] рассматриваются задачи с одновременным действием распределенного и стартового — смешанного — управления, т. е. вопросы минимизации квадратичного функционала на траекториях системы (0.7), (0.16).

B.Ф. Чистяков и C.B. Гайдомак [67] исследовали задачи оптимального управления вырожденными гиперболическими системами (0.13), где L, M — матрицы порядка п с переменными коэффициентами, зависящими от временной и пространственной переменных. Создан комплекс программ, позволяющий решать задачи оптимального управления для таких систем с квадратичным функционалом.

JL Пандолфи [89] впервые рассмотрел управление системой (0.12),

Кх = Ах + Вщ жеГ, и G Em, где В — постоянная п х m-матрица, К, А — постоянные п х п-матрицы, причем det(.?i) = 0. Аналогичные задачи управления исследуют в своих работах Ф. Лэвис [84] и Г.А. Курина [33, 35].

C. Кэмпбэлл и В. Террел [76, 94] исследовали наблюдаемость системы

E{t)x + f(t)x = B(t)u У = C{t)x, где E,F — квадратные матрицы, Е идентично сингулярна не некотором интервале и>, х G Rn, и — гладкая вещественнозначная функция входа, C(t) — гладкая матричная функция I х п, определяющая вход системы у.

П. Мюллер [88] рассматривает дескрипторную линейную систему уравнений

E(t)x = Ax{t) + B(t)u, y(t) = Cx(t) + Du(t), где x — вектор размерности n, и — n-мерный вектор управления, у — вектор наблюдения размерности т. Матрицы Е, А размерности n x п, а матрицы В, С, D размерности пхг,тхпптхг соответственно. Основное свойство рассматриваемой системы заключается в том, что rank Е < п. Алгоритм решения системы (0.17) основан на приведении пучка матриц (sE — А) к канонической форме Вей-ерштрасса - Кронекера.

Впервые алгоритм численного решения задачи Коши (0.12) для уравнения (0.10) в случае, когда / = const, разработан в диссертации C.B. Брычева [3]. Исследования в этом направлении продолжены в диссертации И.В. Бурлачко [4], где эти результаты распространены на случай / = f(t) и применены к модели коммунального хозяйства г. Еманжелинска Челябинской области.

A.B. Келлер [26, 27] разработаны и реализованы в виде комплекса программ численные методы решения широкого круга задач оптимального управления для уравнений леонтьевского типа — конечномерного аналога линейных уравнений соболевского типа. Алгоритмы A.B. Келлер нашли применение не только для их естественных приложений, но и для похожих в методах решения задач о восстановлении динамически искаженного сигнала — задач оптимального измерения [72]. В настоящее время исследования в этом направлении ведутся A.JI. Шестаковым, Г.А. Свиридюком, A.B. Келлер и ее ученицами Е.И. Назаровой, Е.В. Захаровой [73].

Для уравнения Хоффа, заданного в области и на конечном связном ориентированном графе, A.A. Баязитовой разработаны алгоритмы, позволяющие численно решать данное уравнение и строить его фазовое пространство [1], П.О. Пивоваровой [45] численно исследована неустойчивость нулевого решения данного уравнения.

Исследованием задач оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений соболевского типа высокого порядка в настоящее время занимается A.A. Замышля-ева со своими учениками. В работе [18] установлены существование и единственность оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка.

Вопросами оптимального управления решениями различных краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных занимаются многие современные авторы [12, 20, 23, 79, 81].

Новизна полученных результатов проведенного исследования заключается в решении возникающих в приложениях актуальных задач оптимального управления с использованием современных математических методов, что создает основу для дальнейшего развития моделирования процессов в технике и производстве и эффективного управления ими.

Задача (0.7), (0.8), как уже было сказано ранее, была рассмотрена в работах [17, 54, 55]. Однако решения, полученные в работах указанных авторов, мало пригодны для техники гильбертовых пространств. Поэтому мы в своей работе исследуем вопрос существования и единственности сильного решения задачи (0.7), (0.8). Следует отметить, что в условиях (0.8) одна проекция решения задается в начальный момент рассматриваемого временного промежутка, а другая — в конечный, вследствие чего рассматриваемая задача не является переопределенной, а условия (0.8) отличаются от рассмотренных ранее условий Коши и Шоуолтера - Сидорова.

Отметим, что исследуемая в данной работе задача оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейных уравнений соболевского типа первого порядка ранее не изучалась. Поскольку задача (0.7), (0.8) в случае Рцп = О превращается в задачу Шоуолтера - Сидорова (0.15) [55], она является ее естественным обобщением; последняя, в свою очередь, является обобщением задачи Коши (0.12). В этом смысле результаты данной диссертации обобщают результаты [14]. Кроме того, в упомянутых работах рассмотрен менее общий функционал стоимости. Начально-конечными условиями (0.8) наши рассмотрения отличаются от результатов [63]. В диссертационном исследовании впервые изучена задача оптимального управления для линейных моделей Хоффа и Дзекцера с начально-конечными условиями на графе.

Автором данной работы также разработан и реализован с помощью комплекса программ алгоритм численного метода решения изучаемой задачи. С помощью комплекса программ проведены вычислительные эксперименты для линейной модели Хоффа на отрезке и графе, а также для линейной модели Дзекцера на графе.

Методы исследования

Для исследования начально-конечной задачи (0.8), (0.10), к которой в подходящих функциональных пространствах удается редуцировать задачи (0.1) - (0.3), (0.5) и (0.1), (0.2), (0.4), (0.5), мы используем метод фазового пространства, основы которого заложены Г.А. Свиридюком и Т.Г. Сукачевой [58]. Вкратце суть этого метода заключается в следующем: задача (0.8), (0.10) расщепляется на сингулярную

Нх° = x° + f° (0.18) и регулярные xin = Sinxin + /ín, xin(0) = ж?, (0.19) xfin = Sfinxfin + ffin, xfin{r) = xfTin (0.20) составляющие. Эта редукция возможна [93] при особых условиях, накладываемых на оператор М и гарантирующих существование непрерывной разрешающей группы либо аналитической в секторе разрешающей полугруппы уравнения (0.13), что является важным результатом теории вырожденных (полу)групп [61]. При выполнении этих условий задачи (0.19), (0.20) решаются стандартными способами, поскольку операторы 6¿n, S¡in порождают Со-полугруппы (в терминологии К. Иосиды [22]), а уравнение (0.18) решается без каких-либо начальных условий в силу нильпотентности оператора Я [93].

Далее нас интересует вопрос существования оптимального управления задачи (0.9) решениями задачи (0.7), (0.8). Здесь управление и берется из некоторого замкнутого и выпуклого подмножества в пространстве управлений. Поскольку решение получается непрерывным, то функционал стоимости (0.9) можно записать в виде J(x,u) = J(u) и, пользуясь результатами [37], получить утверждение об однозначной разрешимости задачи оптимального управления (0.7) — (0.9). Для получения необходимых условий оптимальности управления нами используются вариационные неравенства, описанные в [37] и [65].

Для расмотрения вопроса разрешимости уравнений (0.3), (0.4) существенную роль играет выбор функциональных пространств, в которых решается задача. Важность этого факта отмечали O.A. Ладыженская и Ж.-Л. Лионе. Опираясь на построенную абстрактную теорию для уравнения (0.7), мы решаем задачу оптимального управления для моделей Хоффа и Дзекцера.

Поскольку в диссертации содержатся вычислительные эксперименты, иллюстрирующие полученные абстрактные теоретические результаты, среди используемых методов необходимо также упомянуть метод Галеркина, лежащий в основе алгоритма численного метода решения задачи.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты, представленные в диссертации, полученные при изучении математических моделей оптимального управления, основанных на уравнениях Хоффа и Дзекцера, развивают теории уравнений соболевского типа, дифференциальных уравнений на графах и оптимального управления. Данные результаты могут быть использованы для дальнейшего качественного и численного исследования других неклассических моделей математической физики. Практическая значимость заключается в применении результатов исследований при изучении напряженных деформированных состояний упругих балок и решении задач гидромеханики. Разработанный комплекс программ позволяет проводить вычислительные эксперименты по определению оптимального управления в рассматриваемых моделях.

Апробация

Изложенные в диссертации результаты были опубликованы в ведущих российских рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК [97] - [99], а также представлены на всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики» (Якутск, 2010) [103], всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2011) [104], воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2011) [100], международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2011), международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2011) [101], международной научно-практической конференции «Измерения: состояние, перспективы развития» (Челябинск, 2012) [102], на семинарах по уравнениям соболевского типа профессора Г.А. Сви-ридюка в Южно-Уральском государственном университете (г. Челябинск), семинаре кафедры прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета под руководством профессора С.И. Кадченко (г. Магнитогорск) и семинаре кафедры математического моделирования Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета под руководством профессора С.А. Мустафиной (г. Стерлитамак).

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы включает 105 на

Заключение

В диссертации исследовано оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для неклассических моделей математической физики. Основываясь на представленных теоретических результатах и данных проведенных вычислительных экспериментов, сформулируем основные результаты работы:

Построена математическая модель оптимального изменения формы двутавровых балок в конструкции. Показана однозначная разрешимость задачи оптимального управления решениями начально-конечной задачи для модели Хоффа на графе.

Построена математическая модель оптимального регулирования потоками грунтовых вод в системе пластов. Показана однозначная разрешимость задачи оптимального управления решениями начально-конечной задачи для модели Дзекцера на графе.

Доказано существование единственного сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного уравнения соболевского типа.

Найдены необходимые условия оптимальности управления исследуемых задач.

Разработан и реализован с помощью комплекса программ для ЭВМ алгоритм численного метода решения исследуемых задач.

Таким образом, в работе решены все поставленные выше задачи и достигнута цель исследования, что позволяет говорить о соответствии диссертационной следующим областям исследования паспорта специальности 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

2. «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей».

4. «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента».

5. «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

1. Баязитова, A.A. Исследование прямых и обратных задач в моделяхХоффа : дис. . канд. физ.-мат. наук / A.A. Баязитова.- Челябинск, 2011. 124 с.

2. Боярипцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков.

3. Новосибирск : Наука, 1998. — 224 с.

4. Брычев, C.B. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов : дис. . канд. физ.-мат. наук / C.B. Брычев. — Челябинск, 2002. — 124 с.

5. Бурлачко, И. В. Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа : дис. . канд. физ.-мат. наук / И.В. Бурлачко. — Челябинск, 2005. — 122 с.

6. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов. — Новосибирск : НГУ, 1983.- 179 с.

7. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. М. : Мир, 1978. - 336 с.

8. Гаптмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М. : Наука, 1967. — 576 с.

9. Глотов, Н. В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах : дис. . канд. физ.-мат. наук / Н.В. Глотов. — Воронеж, 2007. — 93 с.

10. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. — М. : Наука. — 1965. 448 с.

11. Демиденко, Г. В. Задача Коши для псевдопараболических систем / Г.В. Демиденко. // Сиб. мат. журн. — 1997. — Т. 38, № 6.- С. 1251-1266.

12. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // Докл. АН СССР.- 1972. Т. 202, № 5. - С. 1031-1033.

13. Дружинина, О. В. Об оптимальном управлении по времени для эволюционных уравнений в банаховом пространстве / О.В. Дружинина, О.Н. Масина // Тр. ИСА РАН. 2008. -Т. 32, № 3. - С. 41-45.

14. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, C.B. Попов. — Новосибирск : Наука, 2000. 336 с.

15. Ефремов, A.A. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева : дис. . канд. физ.-мат. наук /A.A. Ефремов. — Екатеринбург, 1996. — 102 с.

16. Загребина, С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости : дис. . канд. физ.-мат. наук / С.А. Загребина. Челябинск, 2002. - 100 с.

17. Загребина, С. Л. Многоточечная начально-конечная задача для линейной модели Хоффа / С.А. Загребина // Вестник ЮУрГУ.

18. Серия «Математическое моделирование и программирование».- 2012. № 5 (264), вып. 11. - С. 4-12.

19. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для эволюционных уравнений соболевского типа на графе / С.А. Загребина, Н.П. Соловьева // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2008. — № 15 (115), вып. 1. С. 23-26.

20. Замышляева, A.A. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска Лява на графе / A.A. Замышляева, A.B. Юзеева // Известия Иркутсткого гос. ун-та. Серия «Математика». — 2010. - Т. 3, № 2. - С. 18-29.

21. Звягин, В. Г. Оптимальное управление в модели движения вяз-коупругой среды с объективной производной / В.Г. Звягин, A.B. Кузнецов // Изв. вузов. Математика. — 2009. № 5. -С. 55-61.

22. Зубов, В. И. Лекции по теории управления / В.И. Зубов. — М. : Наука. 1975. - 494 с.

23. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М. : Мир.- 1967. 624 с.

24. Капустян, В.Е. О достаточных условиях разрешимости одного класса оптимизационных задач /В.Е. Капустян, О.П. Когут // Пробл. упр. и информат. — 2010. № 3. - С. 78-85.

25. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.- М. : Наука. 1972. - 738 с.

26. Казак, В. О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа : дис. . канд. физ.-мат. наук / В.О. Казак. — Челябинск, 2005. — 99 с.

27. Келлер, A.B. Численное исследование задач оптимального управления для моделей леонтьевского типа : дис. . д-ра физ.-мат. наук / A.B. Келлер. — Челябинск, 2011. — 249 с.

28. Келлер, A.B. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / A.B. Келлер // Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2009. Т. 16, вып. 2. - С. 345-346.

29. Китаева, О. Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа : дис. . канд. физ.-мат. наук / О.Г. Китаева. — Магнитогорск, 2006. — 111 с.

30. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. — Новосибирск : НГУ, 1990. 132 с.

31. Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнения Соболева -Гальперна / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Тр. Моск. мат. об-ва. 1961. - Т. 10. - С. 273-284.

32. Красовский, H.H. Теория управления движением / H.H. Кра-совский. — М. : Наука, 1968. — 475 с.

33. Кризский, В.Н. Математическое моделирование и оптимизация обратных задач определения геоэлектрических параметров кусочно-однородных сред / В.Н. Кризский, И.А. Герасимов, М.Б. Заваруева // Математическое моделирование. — 2000. Т. 12, № 3. - С. 32-33.

34. Курина, Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной / Г.А. Курина // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1992. - № 4. - С. 20-48.

35. Курина, Г.А. Обратимость оператора, возникающего в теории управления линейными системами / Г.А. Курина // Мат. заметки. 2001. - Т. 70, вып. 2. - С. 230-236.

36. Курина, Г.А. Асимптотическое решение дискретной задачи оптимального управления для одного класса слабоуправляе-мых систем / Г.А. Курина, Н.В. Некрасова // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2009. — № 1. — С. 34-44.

37. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. М. : Физматлит, 2007. - 736 с.

38. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М. : Мир, 1972. - 412 с.

39. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе. — М. : Наука, 1987. — 456 с.

40. Лурье, К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К.А. Лурье. — М. : Наука, 1975. — 478 с.

41. Манакова, H.A. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики : дис. . канд. физ.-мат. наук / H.A. Манакова. — Челябинск, 2005. 124 с.

42. Манакова, H.A. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / H.A. Манакова // Дифференц. уравнения. 2007. - Т. 43, № 9. - С. 1185-1192.

43. Мустафина, С.А. Оптимальные технологические решения для каталитических процессов и реакторов / С.А. Мустафина, Ю.А. Валиева, P.C. Давлетшин, A.B. Балаев, С.И. Спивак // Кинетика и катализ. 2005. - Т. 46, № 5. - С. 749-756.

44. Нелинейная теория управления и ее приложения: динамика, управление, оптимизация / Под ред. В.М. Матросова. — М. : Физматлит, 2003. — 352 с.

45. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа C.JI. Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1991. - Т. 198. - С. 31-48.

46. Пивоварова, П. О. Исследование устойчивости в моделях Хоффа : дис. . канд. физ.-мат. наук / П.О. Пивоварова. — Челябинск, 2011. — 96 с.

47. Плеханова, М.В. Задачи с жестким смешанным управлением для линеаризованного уравнения Буссинеска /М.В. Плеханова, А.Ф. Исламова // Дифференц. уравнения. — 2012. — Т. 48, № 4. С. 565-576.

48. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др. — М. : ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. 272 с.

49. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понт-рягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. — М. : Наука, 1976. 391 с.

50. Рузакова, O.A. Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа : дис. . канд. физ.-мат. наук / O.A. Рузакова. — Челябинск, 2004. — 110 с.

51. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, 2002. - С. 221-225.

52. Свиридюк, Г.А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе / Г.А. Свиридюк, A.A. Баязитова // Вестн.

53. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — Т. 1 (18). С. 6-17.

54. Свиридюк, Г.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, A.A. Ефремов // Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31, № И. - С. 1912-1919.

55. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, A.A. Ефремов // Изв. вузов. Матемематика. — 1996. — № 12. — С. 75-83.

56. Свиридюк, Г.А. Задача Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Дифференц. уравнения. 2002. - Т. 38, № 12. - С. 1646-1652.

57. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутсткого гос ун-та. Серия «Математика». — 2010. - Т. 3, № 4. - С. 2-23.

58. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, H.A. Манакова // Сиб. журн. индустр. матем. 2005. - Т. 8, № 2. - С. 144-151.

59. Свиридюк, Г.А. Эволюционные линейные уравнения соболевского типа на графе / Г.А. Свиридюк, П.О. Пивоварова // Дифференц. уравнения. 2010. - Т. 46, № 8. - С. 1147-1152.

60. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. — 1990. — Т. 26, № 2. С. 250-258.

61. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / СЛ. Соболев // Изв. АН СССР. Серия «Математика». — 1954. Т. 18. - С. 3-50.

62. Сукачева, Т.Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа : дис. . канд. физ.-мат. наук / Т.Г. Сукачева. — Новгород, 1990. — 112 с.

63. Федоров, В.Е. Исследование резрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых протранствах : дис. . д-ра физ.-мат. наук / В.Е. Федоров. — Челябинск, 2005. — 271 с.

64. Федоров, В.Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов / В.Е. Федоров // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». 2008. - № 15 (115), вып. 1. - С. 89-99.

65. Федоров, В.Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Дифференц. уравнения. 2004. - Т. 40, № 11. - С. 1548-1556.

66. Фурсиков, A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье — Стокса и Эйлера / A.B. Фурсиков // Матем. сборник. 1981. - Т. 115 (157), № 2 (6). -С. 281-306.

67. Фурсиков, A.B. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / A.B. Фурсиков. — Новосибирск : Научная книга, 1999. — 350 с.

68. Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, A.A. Щеглова. — Новосибирск : Наука, 2003. — 320 с.

69. Чистяков, В. Ф. О системах не типа Коши Ковалевской индекса / В.Ф. Чистяков, C.B. Гайдомак // Вычислительные технологии. - 2005. - Т. 10, № 2. - С. 45-59.

70. Шафаревич, А.И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие асимптотические решения уравнений На-вье Стокса, сосредоточенные в малой окрестности кривой / А.И. Шафаревич // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 8. - С. 1119-1130

71. Шафаревич, А.И. Обобщенные уравнения Прандтля Масло-ва на графах, описывающие растянутые вихри несжимаемой жидкости / А.И. Шафаревич // Докл. РАН. - 1998. - Т. 358, № 6. - С. 752-755.

72. Шафранов, Д.Е. О задаче Коши для уравнения свободной поверхности фильтрующейся жидкости на многообразии / Д.Е. Шафранов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2008. — № 27 (127), вып. 2. С. 117-120.

73. Шеметова, В. В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графе : дис. канд. физ.-мат. наук / В.В. Шеметова. — Магнитогорск, 2005. — 109 с.

74. Шестаков, А.Л. Динамические измерения как задача оптимального управления / A.JT. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Е.В. Захарова // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т. 16, № 4. - С. 732-733.

75. Шестаков, A. JI. Численное решение задачи оптимального измерения / A.JI. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 1. — С. 107-115.

76. Эскин, Г. И. О единственности решения задачи Коши для уравнений не типа Ковалевской / Г. И. Эскин //Тр. Моск. мат. об-ва. 1961. - Т. 10. - С. 285-295.

77. Balachandran, К. Controllability of Sobolev-Type Integro-differential Systems in Banach Spaces / K. Balachandran, J.P. Dauer // J. Math. Anal Appl. 1998. - Vol. 217, issue 2. -P. 335-348.

78. Campbell, S.L. Observability of Linear Time Varying Descriptor Systems / S.L. Campbell, W.J. Terrell // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1991. - Vol. 3. - P. 484-496.

79. Bemidenko, G. V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest Order Derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. — New York; Basel; Hong Kong : Marcel Dekker, Inc., 2003. 632 p.

80. Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi. — New York; Basel: Marcel Dekker, Inc., 1999.- 283 p.

81. Galewski, M. On the Optimal Control Problem Governed by Nonlinear Elastic Beam Equation / M. Galewski //J. Appl. Math, and Commut. 2008. - Vol. 203, № 2. - P. 916-920.

82. Hale, J.K. Reaction Diffusion Equations on Thin Domains / J.K. Hale, G. Raugel //J. Math. Pures Appl. - 1991. - Vol. 71.- P. 33-95.

83. Hwang, J. Optimal Control Problems for an Extensible Beam equation / J. Hwang // J. Math. Anal, and Appl. — 2009. — Vol. 353, № 1. — P. 436-448.

84. Hoff, N.J. Creep Buckling / N. J. Hoff // Aeron. 1956. - Vol. 7, № 1. - P. 1-20.

85. Kosugi, S. A Semilinear Elliptic Equation in a Thin Network -Shaped Domain / S. Kosugi //J. Math. Soc. Jap. — 2000. — Vol. 52, № 3. P. 672-697.

86. Lewis, F.L. A Survey of Linear Singular Systems / F.L. Lewis // Circuits, Systems and Signal Processing. — 1986. — Vol. 5, № 1.- P. 3-36.

87. Lightbourne, J.H.A. Partial Functional Equations of Sobolev Type / J.H.A. Lightbourne 11 J. Math. Anal. Appl. 1983. -Vol. 93, № 2. - P. 328-337.

88. Lyapunov Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. — Dordrecht; Boston; London : Kluwer Academic Publ., 2002. — 551 p.

89. Melnikova, I. Abstract Cauchy Problem: Three Approaches / I. Melnikova, A. Filinkov. — Boca Raton : Chapman and Hall, 2001. 264 p.

90. Müller, P. C. Linear Control Design of Linear Descriptor Systems / P.C. Müller // 14th Triennial world congress. — Beijing, 1999.

91. Pandolfi, L. Controllability and stabilization for linear systems of algebraic and differential equations / L. Pandolfi //J. Optimiz. Theory and Appl. 1980. - Vol. 30, № 4. - P. 601-620.

92. Poincare H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation // Acta Math. — 1885. — Vol. 7. — P. 259-380.

93. Pyatkov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems / S.G. Pyatkov. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo : VSP, 2002. -346 p.

94. Showalter, R.E. Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations / R.E. Showalter. — London; San Francisco; Melbourne : Pitman, 1977. — 152 p.

95. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. — Utrecht; Boston; Köln : VSP, 2003. 216 p.

96. Terrell, W.J. The Output-Nulling Space, Projected Dynamics, and System Decomposition for Linear Time-Varying Singular Systems / W.J. Terrell // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1994.- V. 32, № 14. P. 876-889.

97. Tröltzsch, F. Optimale Steuerung Partieller Differentialgleichungen: Theorie, Verfahren und Anwendungen / F. Tröltzsch.

98. Wiesbaden : Vieweg+Teubner Verlag, 2005. — 297 s.

99. Yanagida, E. Stability of nonconstant steady states in reaction-diffusion systems on graphs / E. Yanagida // Japan J. Induct. Appl. Math. 2001. - Vol. 18. - P. 25-42.

100. Дыльков, А.Г. Численное решение задачи оптимального управления для одной линейной модели Хоффа на графе / А.Г. Дыльков // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2012. — № 27 (286), вып. 13. С. 128-132.

101. Манакова, H.A. Об одной задаче оптимального управления с функционалом качества общего вида /H.A. Манакова, А.Г. Дыльков // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Серия «Физ.-мат. науки». 2011. - № 4 (25). - С. 18-24.

102. Дыльков, А. Г. Задача оптимального управления для одной эволюционной модели / А.Г. Дыльков // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения—XXII». Воронеж, 2011. - С. 59-60.

103. Манакова, H.A. Оптимальное управление для одной эволюционной модели / H.A. Манакова, А.Г. Дыльков // СамДиф— 2011: конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Самара, 26-30 июня 2011 г.: тез. докл. — Самара, 2011. С. 73-74.