автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы исследования эволюционных состояний однородных и конструктивно неоднородных пологих оболочек

На правах рукописи

005иэ

Кириченко Анастасия Валерьевна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ СОСТОЯНИЙ ОДНОРОДНЫХ И КОНСТРУКТИВНО НЕОДНОРОДНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов-2012

005051045

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Крысъко Вадим Анатольевич

Официальные оппоненты: Паймушин Виталий Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, академик АН Республики Татарстан, заведующий кафедрой сопротивления материалов, директор Научно-технического центра проблем динамики и прочности КГТУ им.А.Н. Туполева

Андрейченко Дмитрий Константинович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», заведующий кафедрой «Математическое обеспечение вычислительных комплексов и информационных систем»

Ведущая организация: Институт проблем точной механики

и управления РАН, г. Саратов

Защита состоится « 27 » декабря 2012 года в 13 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп.2, ауд.212.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Л

Автореферат разослан Т » ноября 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Математическое моделирование эволюционных состояний конструктивно неоднородных пологих оболочек, в частности, многослойных с ортотропными слоями переменной толщины, начальными неправильностями и обжатием, является необходимым этапом предварительных научных исследований при проектировании многих технических устройств, например, в приборостроении, авиастроении и судостроении. Вместе с тем наблюдаемое несоответствие результатов натурных экспериментов, для конструктивно неоднородных оболочек, результатам вычислительных экспериментов, полученным в рамках классической модели оболочек (на базе гипотез Кирхгофа-Лява, без учета сдвиговых напряжений) явилось причиной построения новых неклассических моделей с учетом сдвиговых напряжений.

Развитию методов математического моделирования для реальных оболочек, включая конструктивно неоднородные, посвящены основополагающие работы ученых Тимошенко С.П., Рейсснера Э., Пискунова В.Г., Рассказова А.О., Амбарцумяна С.А., Паймушина В.Н., Григоренко Я.М., Немировского Ю.В., Григолюка Э.И., Гурьянова Н.Г., Галимова К.З., Карнаухова В.Г., Болотина В.В., Новичкова Ю.Н., Коноплева Ю.Г., Крысько В.А., Голованова А.И., Воровича Н.И., Морозова Н.Ф., Лионса Ж.-Л., Дюво Г., Сьярле Ф., Рабье П., Муштари Х.М. и многих других.

Однако до настоящего времени в математической теории неклассических моделей оболочек, учитывающих наряду с геометрической нелинейностью сдвиговые напряжения и обжатие, остаются открытыми вопросы, связанные с определением фазовых пространств для таких моделей и обоснованием сходимости численных методов, используемых при проведении вычислительных экспериментов.

Определяющее значение фазовых пространств для полного описания состояний механических систем, постулируется принципом детерминированности Ньютона-Лапласа (согласно которому состояние механической системы в любой момент времени определяется значениями координат и импульсов для всех материальных точек системы в некоторый определенный момент времени с учетом наложенных на систему связей), и поэтому требуется развитие таких методов математического моделирования для распределенных механических систем в виде оболочек, которые имеют в своей основе полную информацию о содержании соответствующих пространств состояний механической системы (фазовых пространств).

Таким образом, необходимость развития математической теории для неклассических моделей конструктивно неоднородных пологих оболочек, включая описание соответствующих фазовых пространств, разработка на их основе новых математических методов моделирования эволюционных состояний пологих оболочек, с использованием норм фазовых пространств, а также разработка комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов, определяют актуальность выбранной темы научных исследований, востребованную прикладными задачами из области приборостроения, авиастроения и судостроения.

Целью диссертационной работы является развитие новых математических методов и моделей исследования эволюционных состояний распределенных механических и термомеханических систем, в виде пологих оболочек, основанных на рассмотрении функций от норм фазовых пространств, что позволяет исследовать эволюционные состояния по отношению ко всему объему геометрического пространства, заполненного соответствующей материальной средой.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) на базе вариационных уравнений Гамильтона-Остроградского определить краевые задачи в неклассической теории многослойных, с ортотропными слоями переменной толщины, термоупругих пологих оболочек с начальными неправильностями;

2) разработать качественные методы исследования фазовых и конфигурационных пространств, в неклассической теории пологих оболочек, которые, как функциональные пространства, соответствуют используемым вариационным уравнениям Гамильтона-Остроградского и, следовательно, наиболее соответствуют физическому содержанию изучаемых математических моделей пологих оболочек;

3) разработать и реализовать алгоритмы и комплексы программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию эволюционных состояний в классической теории пологих оболочек, с использованием норм фазовых пространств.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается постановкой всех исследуемых краевых задач, на базе вариационных уравнений Гамильтона-Остроградского, а также обосновывается доказанными в работе теоремами и проведенными вычисленными экспериментами.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Развит метод математического моделирования эволюционных состояний механических систем, в виде пологих оболочек, с помощью функций от норм фазовых пространств для таких систем, и качественной теории дифференциальных уравнений.

2. Впервые поставлены краевые задачи, определяющие неклассические математические модели для многослойных, с неоднородными ортотропными слоями переменной толщины, термоупругих пологих оболочек с учетом обжатия и начальных неправильностей, в рамках модифицированных терминальных условий Пелеха-Шереметьева.

3. Разработаны качественные методы определения фазовых и конфигурационных пространств в неклассической теории пластин (модель Пелеха-Шереметьева) с учетом обжатия.

4. Впервые определены функциональные фазовые и конфигурационные пространства для связанных задач термоупругости в классической и неклассической теориях пологих оболочек в виде конкретных функциональных пространств.

5. Разработаны и реализованы алгоритмы, методика и комплексы программ по исследованию эволюционных состояний, включая динамическую устойчивость, пологих оболочек, в рамках гипотез Кирхгофа-Лява с использованием норм соответствующих фазовых пространств.

6. Впервые с помощью нового метода математического моделирования эволюционных состояний пологих оболочек, основанных на рассмотрении функций от норм фазовых пространств, установлено, что критерий динамической устойчивости пологих оболочек (Шио, Сунг, Рота) не позволяет оценить изменение кривизн оболочки в процессе деформирования, и в целом может использоваться только в ограниченном диапазоне исходных кривизн оболочки.

Основные результаты п положения, выносимые на защиту:

1. Постановка краевых задач, в том числе связанных задач термоупругости, в неклассической теории пологих оболочек с учетом переменной толщины, обжатия, начальных неправильностей, многослойности и ортотропии.

Полученные краевые задачи имеют в своей основе вариационное уравнение Гамильтона-Остроградского, что позволяет определить функциональные пространства, в которых может существовать обобщенное решение поставленных краевых задач, а также установить тот класс функциональных пространств, которому принадлежат фазовые и конфигурационные пространства, наиболее соответствующие физическому содержанию исследуемых математических моделей оболочек.

2. Качественные методы исследования математических моделей, в неклассической теории пологих оболочек, позволяющие установить существование обобщенных решений в краевых задачах, определяющих подобные модели, и определить соответствующие этим моделям фазовые и конфигурационные пространства, а также обосновать сходимость метода Бубнова-Галеркина при получении приближенного решения поставленных краевых задач.

3. Разработанные комплексы проблемно-ориентированных программ: «Программа расчета ортотропной оболочки с учетом связанности полей деформаций и температуры с учетом продольных усилий» (система уравнений в смешанной форме) и «Программа расчета пологой оболочки - уравнения в перемещениях» позволяют проводить вычислительные эксперименты по исследованию эволюционных состояний пологих оболочек, в рамках классической модели Кирхгофа-Лява, при различных значениях физико-геометрических параметров с помощью методов качественной теории дифференциальных уравнений (исследование фазовых портретов, отображения Пуанкаре, спектра мощности), традиционных «локальных» критериев динамической потери устойчивости (A.C. Вольмира, Шио, Сунг и Рота, Будянского и Рота), а также нетрадиционных «интегральных» критериев, основу которых составляют нормы соответствующих фазовых пространств.

4. Обоснование с помощью вычислительных экспериментов возможности локального исследования эволюционных состояний пологих оболочек в рамках классической модели Кирхгофа-Лява с помощью отдельных точек из объема, занимаемого оболочкой в геометрическом пространстве, по крайней мере, для равномерно распределенной по плану оболочки постоянной нагрузки.

Подобное обоснование имеет в своей основе сопоставление результатов вычислительных экспериментов по исследованию эволюционных состояний оболочек, полученных либо для указанных выше отдельных точек, либо с помощью норм соответствующих фазовых пространств.

5. Ограниченность области применения «локальных» критериев динамической устойчивости пологих оболочек - причина такой ограниченности раскрывается в анализе результатов вычислительных экспериментов с помощью «интегральных» критериев.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Полученные краевые задачи и развитые в работе качественные методы исследования математических моделей в неклассической теории конструктивно неоднородных пологих оболочек служат теоретической основой при проектировании и оценке качества новых технических устройств с оптимальными динамическими характеристиками. Реализованные комплексы программ могут быть использованы при оценке прочности и устойчивости оболочечных конструкций в приборостроении.

Кроме того, результаты работы используются в учебном процессе при чтении спецкурса «Математическое моделирование» по теме «Элементы теории экстремальных задач и вариационные принципы в механике» для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная механика» и смежных технических специальностей.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации представлялись на:

1. XIX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н.Новгород, 28-30 сентября 1999);

2. VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 28-31 мая 2002 г.);

3. П Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1-3 июня 2005 г.);

4. Ш Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 29-31 мая 2006 г.);

5. II Международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Казань, 8-11 декабря 2009 г.);

6. VII Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 27-30 мая 2010 г.);

7. УШ Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 15-17 сентября 2011 г.).

В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м. н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2012).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах, в том числе 3 в журналах из перечня ВАК РФ. Имеются 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 158 страниц, в том числе 27 рисунков. Список использованной литературы включает 123 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, дается краткий исторический обзор по качественным и приближенным методам исследования математических моделей в теории пологих оболочек, определены цели и основные задачи исследований по теме диссертации, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, кратко изложены основные результаты.

В первой главе дается постановка новых краевых задач, моделирующих в рамках неклассической теории эволюционные состояния конструктивно неоднородных термоупругих пологих оболочек с учетом и без учета обжатия.

Оболочка рассматривается как трехмерное деформируемое твердое тело и в недеформированном состоянии занимает в пространстве /?' ограниченную односвязную измеримую по Лебегу область D с граничной поверхностью ЭD, D = D\JdD -замыкание области D (fiD^ 0, здесь //(•) -мера Лебега области D).

В области D выбрана гладкая поверхность, называемая поверхностью приведения для исследуемой оболочки, первая квадратичная форма которой определяет евклидову метрику в R2 ; пространство R3 параметризовано с помощью декартовой прямоугольной системы координат (9л|А2Х! при этом координатные линии xi, до совмещены с линиями кривизны поверхности приведения, а ось Охз направлена по нормали к поверхности приведения в сторону центра кривизны координатных линий (рис. 1); области D и D в указанной системе координат имеют вид прямых цилиндров

D = Qx(<S0,<S„), 0 = Йх[£пД,], П = Щ1ЭП, где £2- ортогональная проекция на поверхность приведения области D , Q - измеримая по Лебегу открытая область (план |>||с- 1

оболочки), a (¡Q. ее граничный контур; ¿>, = îÎ>:j(.v,,a', ), £>„ = <5,(л,,л,) - известные функции, заданные на области il и определяющие основания цилиндров Du D; функция h = (.v,, .v, ) — <5„ (.v,, .v, ), (.v,,.v,)6Q определяет переменную толщину оболочки в точке плана с координатами (.v,,a\), при этом V(.r,,.v2 )е Q, h > О, ¿'м ^ 0, 0; областью значений временной переменной Г является отрезок [г„,г,]. Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений в соответствии с геометрически нелинейной теорией пологих оболочек по В.В. Новожилову.

Закон Дюгамеля-Неймана, определяющий уравнения состояния для термоупругого ортотропного деформируемого твердого тела, имеет вид

аи{х ,,х2,х3,0 =

£,(1-1.'2,и,2) £,(и21 +г23и„) .

"22 '

д д

зз-ДДГ-Г,,), а1г{хх,хг,хг,г) = 2Саеа, (I -> 2 ->3 ->1),

где Е1 = £Дл-,,х2), С,.. = СДх,, х2), и,, = ^(л'.л,) - соответственно неоднородные модули упругости, сдвига и коэффициенты Пуассона;

Т = Т(х1,х2,х^,1), Г0 - соответственно известная функция абсолютной температуры оболочки в момент времени г и исходная температура в момент времени 1„\ Д, = ДДх|,х,), ДДТ— Т0) - компоненты тензора температурных напряжений.

Используя кубическую по переменной л~з аппроксимацию продольных перемещений, терминальные условия Пелеха-Шереметьева и линейную аппроксимацию поперечного перемещения, получаем следующие компоненты тензора деформаций:

э )_ а Г э ( ( )+

снг,- Эх, ах,- Эх, ох, ^ Эх,

1 Г Эн,

+ ~21 ~Эх~~ + ~дх.

ди,0 Э«20

Эх,

Эх,

э».

3 (ш„)+А (0Ц21)

Эх, Эл',

Эх,

Эх,

- + В,

Э»з| Эх,

(2)

Эх,

1 Г эо

Эх, Эх,

ЭС, | ЭС, Эх, Эх,

Т—(и31> +хз11м) с)х.

—(н,0 + х,н„) Эх-,

21 Эх3

Эх,

Э»,,

5Д, ' Эх,

Эн,, ЭС, —+

Эх; Эх,

1-ЛГЭ1) эл,. Эн„, Эй, Эк,, ,ЭсЛ" х{ <?„ ,

. Эх, Эх,- Эх, Эх,-

где .,,/(,„,;/,, (/ = 1,2) - определяющие функции для рассматриваемой "модели оболочки, зависящие от трех переменных (хь х2, I); А,, /?„ С,- - известные функции, зависящие от действующих на оболочку внешних сил и определяющие дополнительные перемещения.

Краевые задачи для неоднородной ортотропной термоупругой пологой оболочки переменной толщины с учетом обжатия определяются как системы уравнений Эйлера-Лагранжа (включающие дифференциальные уравнения движения и граничные условия) для следующего вариационного уравнения Гамильтона-Остроградского

/, г./ дн 1 ^ '' _ _

Я¡¡¡^■а.^ск, / = 1,з,у = 1,з, (3)

с учетом соответствующих начальных условий, при этом <5г(Д_/= 1,3) -компоненты вектора виртуальных перемещений, а компоненты тензора

напряжений а,} и тензора деформаций £„■ определяются соотношениями (1), (2)

0\у=й).

По предложенной методике получены краевые задачи для неоднородных ортотропных термоупругих пологих оболочек переменной толщины без учета обжатия.

Кроме того, дополняя вариационное уравнение (3) обобщенным уравнением теплопроводности, в котором учитывается взаимосвязь деформационного и температурного полей, дается постановка новых связанных задач термоупругости для многослойных, ортотропных пологих оболочек с начальными неправильностями, но без учета обжатия.

Полученные в главе краевые задачи определяются с помощью вариационного уравнения Гамильтона-Остроградского, и эти уравнения служат основой при выборе «естественных» фазовых пространств.

Во второй главе представлены результаты по развитию качественных методов исследования фазовых и конфигурационных пространств в неклассической теории пологих оболочек. При этом определены «естественные» фазовые и конфигурационные пространства, непосредственно связанные с видом кинетической и потенциальной энергии оболочек или пластин. Конструктивные доказательства всех теорем, по выявлению фазовых и конфигурационных пространств, проводятся на базе метода компактности с использованием метода Бубнова-Галеркина и, тем самым, они содержат, в качестве сопутствующего результата, доказательство сходимости этого приближенного метода решения некоторых краевых задач из первой главы.

Одним из объектов исследования явилась поставленная в первой главе диссертации, с помощью уравнения Гамильтона-Остроградского (3), следующая краевая задача, определяющая условия движения жестко защемленной пологой изотропной и однородной оболочки в рамках обобщенных гипотез Тимошенко (модель Пелеха-Шереметьева) с учетом начальных неправильностей (без предварительного интегрирования по переменной х3)

Э2и1П дит Э<7„ дет,, . ,

(4)

( 4А-ПЭ2

4.г,

х, -

Ах,

,э\

3/г2

Э^

дх,

4*33 3/г2

у Л 4.г33 3/г2 \ "л ~ У

/ V 4,Г ]Э<т|2

Л3 V 3/г2

4-Уз д»30 3/г2 Эх

4*3 Э«30

3/г2 дх,

4х

+ |1--^|<7„ 1^3=0; ¿ = 1,2;

(5)

д2ию дию (4*ПЭ

Эг2

ЗЛ2 дх,

д!2

4x1 3/г2

з \

4х1 Э'<30

3/г2 дх.

+ ре:

(4x1 З/!2

з Л

Эх,

■ —{а + Эх, I " Эх

4х^ ' 3/г\

■ к,сг„ +

4х3 Эн,,

3/г2 Эх

4хПЭЧ

Э2<7„

З/;2 ^Эх,_,Эх; Эх,.

3/Г I Эх,2

д["зо +

Эх,_,.

(6)

I Л2 J Эх,. и I =0 ^

¿х3 =^(х1,х,,г);

= 0, и,|г=0, / = 1,2, у = 0,1;

ы30(х1,х2,Г0) = р:ю(х1,х2),

Э»30(х,,д-2д0) Э/

(7)

(8) (9)

/ ч / ч Эие(х,,х2,/0) . . И, и, , г0) = ^ (х,, х2), ^ = ^ (х,,х2),

где приняты такие обозначения: Г = ЭОх[г0,г,], Й = пиЭ£2, Пс/{!, 2 = Пх(г0,г,), £> = Ох(-/г/2,/г/2), Осй!, (х„хг)еП, х3 е [-/¡/2,/г/2], Л>0; О - измеримая по Лебегу односвязная область в евклидовом пространстве /?2 с границей Э£2; £> = Й х [- Л / 2, /1 / 2] - область, занимаемая оболочкой в недеформированном состоянии; п - внешняя единичная нормаль к кривой Эй; /¡>0 - постоянная толщина оболочки; р>0 - постоянная плотность материала оболочки; [г0,г, ] - отрезок времени наблюдения за эволюцией оболочки, 1е [;„,/,]; функция и>0(х,,х2), (х,,х2)е £2, определяет начальную неправильность оболочки; функция и30(х,,х2,/) определяет дополнительный прогиб оболочки в момент времени «?», а функция ["3о(х|,х1,/)+и'0(х1,х,)] - полный прогиб; к, (/ = 12) -постоянные начальные кривизны оболочки; н,. =м..(х,,х,,/), (/ = 1,2, у' = оЛ), «зо = к30(х,,х2,г) - искомые функции; g{x„x7,t) - интенсивность поперечной нагрузки; <р30(х,,х2), ^30(х,,х2), <р0-(х„х2), ^(х,,х2) - известные функции, определяющие начальные условия; я,, е2, £3>0 - постоянные коэффициенты демпфирования; <7„, <т,2, сг,, (/ = 1,2)-компоненты тензора напряжений, при этом

-{еп + ке3_„_,), ап =—^—е12, сг, =

1 + у

\ + у

£•„, еп, £,, - компоненты тензора деформаций, имеющие такой вид:

" Эх, Эх 1 3 3/г2 } дх, 3/г2 Эх2

' " ЗА2

ип+-

£,■> =е„ +-

4х[У Эи„ | Эн2Л 4х3' Э2ию 1

3/г

Эи>п Эн„

Эх, Эи>„ Э«„

Эх2 Эх, у 3/г2 ^ Эх,Эх2) Эх, Эх2 Эх2 Эх,

Эц,0 [ Эит | Эг<30 Э»30 Эх, Эх, Эх, Эх,

дн

Эх + 2

"2 ""Ч

Е, V - упругие постоянные, Е>0, 0 < V < 1 / 2.

Э^ Эх.

Следует отметить, что после интегрирования соотношений (4)-(8) по переменной д-3, получаем уравнения движения в дифференциальной форме.

Далее используются обозначения функциональных пространств, норм и скалярного произведения из монографии Ж.-Л. Лионса «Некоторые методы решения нелинейных краевых задач».

Теорема 1. Пусть ЭФ имеет гладкость, достаточную для используемых теорем вложения и выполняются такие условия: geL2(Q), <рк е //,;(Л),

угхеН\{С1), /=й, у = оЛ; и'0еС2(Й), и>0|ю=0.

Тогда фазовое пространство V механической системы, определяемой краевой задачей (4)-(9), имеет в соответствии с принципом Гамильтона-Остроградского следующий вид:

где Т - конфигурационное пространство системы,

т=н30(п)х{н10(п)У,

при этом для почти всех ге [г0,г, ],

Э/7,0 Э;7|0 Э;Т2„ Эг7п Э/7„ _ _ _ _ _ 1

Разработанные в данной главе качественные методы исследования математических моделей и соответствующих им фазовых пространств, для пологих оболочек, позволяют с единых позиций изучать различные классы задач для механических и термомеханических систем подобного типа. Одной из рассмотренных задач такого класса является поставленная в первой главе диссертации следующая связанная задача термоупругости для шарнирно закрепленной однородной изотропной пологой оболочки в рамках модели Пелеха-Шереметьева с учетом трехмерного обобщенного уравнения теплопроводности:

И^-г-Ц-аЬЬ4'-0-

у ( 4*ПЭ,и, , Э у 4.гМ , Э У 4*,' , ,

(11)

\ э2„10 » | э \ ( 4Л-ПЭЧ , д1 V 4х] I , , т ,

{'"э^И"#^ 3 + а? !Ы М»-

( " л

"Эх

дх, 1,

У 2

' Эх,

Эй,, Эх,

¡аис!х3

Еог Э

С0Э6> Л^д2в Т0 Э/ Т0 ^ Эх2 \-vdtt

Э"/0 | 3 Эх Эх.

3/г2

зл

Эх,

4хПди

- к.и,„ + -

ди.

у

V у

g■,(x|,x2,x3,f)

(х,,х2,х3,г)е Бх((„,(,); "эо|Г, =0, м,.0|Г1 =0,6^=0,

Э2и,

дх?

= 0,

= 0;^ Эх,

Эх

(14)

= 0;

/ \ / \ Эи,,(х,,х,,Г0) , . — — И ,> ' г0 ) = ^у )' --= ^(х|(х2), ( = 1,2, 7 =0,1

(15)

«30 . . ■'о ) = <Р}0 . ■). д"30^''^ = ^30 • ■*2 )' в(х1,хг,х1,10) = ^(х1,х2,х э), _

при этом: £2, =(а1,Ь1)х(а2,Ьг)-, Г, =Э£2, х[г0,г,], £2, =£2, и>Э£2,, Оп =£2, х(г0,/,), Б, =£21 х(-А/2, Л/2), д|г=О1х(г0,г1), 0,=О,иЭО,, 8 = ЭОх[г0,/,], _ Т0аг'Е(1 + и). ('_ 2иХ1 - V7)'

Е / \ лЕ Е — Е

О-» = ---(•£"„ + ^3-,3-,;-1—-' =1—^,3. ' = 1.2' с.2 =77-

1-к2 Эи, , 1 ( Эи,„

= + 2 аГ

2

V " 1 + и

1Г Эи, Эм, Эм,„ Эк„

- + -

2^Эх2 Эх, ЭХ, ЭХ2

, н( =и,.0 +

4х[ ЗЛ2

_4х[ Э^ — " ЗЛ2 Эх, ' '

И/0 = и,о(ХМХ2>1)' М,1 "зо ^ = Т(х1, х2, X,, Г) - Т0 (х,, х3, X, , Г,)

- искомые функции; <р10(х,,х2), <р„(х,,х2), /р^х^х^х,), ул0(х,,х2), у/п{х„хг) -известные функции, определяющие начальные условия (14); Е, к,«,Т0,р,с£,Л. -известные, строго положительные постоянные, 0 < к < 1/2; к, >0 - начальные кривизны срединной поверхности оболочки; gí{x¡,x2 ,г) - интенсивность поперечной нагрузки; ¿>2(х,,х2,дг3, г) - интенсивность внутреннего источника тепла.

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия: g¡eL1(Q¡), р30еЯ2(£2)ПЯ'(£2), ^Я'(П), <рю е е 12(£2),

Тогда фазовое пространство V термомеханической системы, определяемой краевой задачей (10)-(15), имеет в соответствии с принципом Гамильтона-Остроградского следующий вид:

V=H'(Q)x(//(Q))4XT1, где Ti - расширенное конфигурационное пространство для термомеханической системы

Т, = Н2 (£2)х (//,',(П))2 х (н1 (Q)): х Н' (D), при этом для почти всех tе ['„,',],

£>",„ дП,„ ди2П Э/7И Э;Т2| äLv

Аналогичные теоремы, для определения конкретного вида фазовых пространств, доказаны в данной главе и для других краевых задач, определяющих неклассические и классические модели упругих и термоупругих пологих оболочек переменной толщины с начальными неправильностями.

Кроме того, найдено фазовое пространство для математической модели пластинки с учетом обжатия, на базе линеаризованного варианта краевой задачи, получаемой из вариационного уравнения Гамильтона-Остроградского (3).

В качестве приложения к стационарным задачам, развитых в настоящей главе методов качественного исследования фазовых пространств, рассмотрена краевая задача для неклассических уравнений равновесия пластинки с начальными неправильностями и определено конфигурационное пространство такой распределенной механической системы.

В третьей главе описываются комплексы проблемно-ориентированных программ и полученные на их основе результаты вычислительных экспериментов по исследованию эволюционных состояний пологих оболочек в рамках гипотез Кирхгофа-Лява. Алгоритмической основой программ являются методы конечных разностей, Бубнова-Гаперкина и Рунге-Кутта, что, в свою очередь, позволяет исследовать краевые задачи со всеми наиболее важными в прикладном отношении граничными условиями и типами интенсивности поперечной нагрузки.

Одними из наиболее важных эволюционных состояний оболочек являются состояния, предшествующие динамической потере устойчивости оболочек и последующие за ней. Для исследования подобных состояний рассмотрены различные критерии динамической устойчивости оболочек (Вольмира A.C., Шио, Сунга, Рота, Будянского), в том числе использующие функции от норм соответствующих фазовых пространств, а также привлекаются методы качественной теории дифференциальных уравнений (отображения Пуанкаре, проекции фазовых портретов, спектра мощности Фурье).

По указанной блок-схеме комплекса программ для реализации .метода вычислительных экспериментов (рис. 2) исследованы эволюционные состояния оболочек, определяемых, в рамках гипотез Кирхгофа-Лява, известными уравнениями движения в «перемещениях» и в «смешанной» форме (Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек).

Краевые задачи записываются в безразмерной форме, при этом связь размерных параметров с безразмерными параметрами определяется следующими соотношениями:

Рис. 2. Блок-схема комплекса программ для реализации метода вычислительных экспериментов при исследовании эволюционных состояний пологих оболочек

- СУ

х.=ах, л, =ру, ——?, Я =

Л2=~, и30=/т, и]0: о

;Т2„ = —V, к, =4-к,,к2 =Хк,, ^ = ЕЛ3/7, £2 = (0,1)х(0,1), ге [0,Т],

Ь а Ь' а Ь~

где а,Ь - размеры оболочки в плане, Е - модуль упругости, А1(- коэффициент

теплопроводности, с,,- удельная объемная теплоемкость, £„,£■,,,£■„, - постоянные

коэффициенты демпфирования, F— функция усилий.

Фазовые пространства V, , / = 1,2 соответствующие поставленным задачам,

определены в работах И.И. Воровича и Н.Ф.Морозова, и они имеют следующий вид:

1) для задачи в «перемещениях» V, = II1 (<Г2)х {¡] (О.))2 х Н2 (П)х (//' {О.))2,

с нормой

Ф =

Эи> + "'(П) Э и 2 ЭУ

эГ д( + /.= (¡2) Эг

+1н

У2 = ^(п)х(Я0г)2 с нормой ||Ф||^ =

/.!(п)

2) для задачи в «смешанной» форме

112 I \г У1-

¿(я)

В соответствии с нормами вводим в рассмотрение следующие функции, определенные для почти всех ? е [0,т]:

Эп"

Эг

-Ш

Х2(0 =

Эх2

Э2уу ду2

(¡Х(1у ,

( ЗиЛ2 ( Эи^

(1х<1у ,

с!хс!у,

*5(0 =

Э'и-'

¿и/у, хб(,)= И

Ш

(дхду

2\

йхЛу.

На рис. 3, 4 представлены результаты вычислительных экспериментов для оболочки с параметрами: кх-ку-24, А|=Я2=0,02; н,у - продольные перемещения, - поперечное перемещение, £•„=£,-ен=0,000002, граничные условия

Э2н(дг, у,/)

н(лг,у,г)|г = 1'(х,>',г)|г = =0,

Э/Г

-■ 0 (задача в «перемещениях»).

Графики на рис. 3, 4 имеют локальный характер, то есть определяются для одной центральной точки оболочки (х,у)=(0,5;0,5).

На рис. 3 представлены зависимости от времени продольных перемещений и,у (а, б) и поперечных перемещений IV (в) в условиях докритической нагрузки д=398 и критической нагрузки ¿7=399.

11(0,5; 0,5;/)

у(0,5; 0,5; г)0

-10-124

.14 —

5а 100 150

»'(0,5; 0,5; I)

у'(0,5; 0,5;;)

а

¡1(0,5; 0,5; г)

Рис. 4

На рис. 4 представлены «локальные» фазовые портреты для продольных перемещений и,у (а, б) и поперечных перемещений (в) в условиях докритической нагрузки ¿7=398 и критической нагрузки ¡7=399.

Использование функций х,(г), / = 1,6 и Р(г) позволило оценивать эволюционные состояния механической системы, в виде оболочки, как распределенной системы, в то время как на уровне локальных графиков такая система рассматривается как сосредоточенная.

<1

0.3 0.4 0.5

Рис. 5

На рис. 5 представлена зависимость времени достижения максимальной амплитуды колебаний всей оболочки (по отношению к норме фазового пространства) от поперечной нагрузки по предложенному новому «интегральному» критерию для задачи в «смешанной» форме (коэффициент демпфирования е=1 , к^ку=\8, граничные

условия п(х,у,с) =

Э ;у,г)

Эп2

: Г(х, у,г)

д 2Р(х,у,1) д п'

0): а)х,(/), б) х2(?), в) *-,(/), г)

х4(0, д) х5(0, е) х6(() (где значение переменной г=/* в каждой точке графика определено ИЗ условия Х;(/)= тах Х,(/), 1 = 16). /е[0.Т]

»'(0,5; 0,5; г) 3°-;

20-

о о.1 о.2 о.э о.4 о.5 о.« о-Л1>(0,5; 0,5; О

Р(0

"Т$(0,5; 0,5; /)"»;;

Рис. 6 рис. 7 Рис. 8

На рис. 6 представлена зависимость времени достижения максимальной амплитуды колебаний для центральной точки оболочки от поперечной нагрузки по «локальному» критерию Шио, Сунг, Рота (где значение переменной г=г в каждой точке графика определено из условия и'(0,5;0,5;Г*)=тах и(0,5;0,5;г)).

1е[0,Т]

Таким образом, из анализа рисунков нового «интегрального» критерия, который описывает поведение состояний (включая колебательные) оболочки в целом, следует, что «локальный» критерий Шио, Сунг и Рота не может характеризовать изменения значений кривизн оболочки в процессе деформирования, и поэтому не соответствует заданному фазовому пространству.

Представленные на рис. 7, 8 «локальный» и «интегральный» фазовые портреты для задачи в «смешанной» форме показывают, что при достижении критической нагрузки резко меняется топология фазовой кривой, сопровождаемая нерегулярными колебаниями оболочки.

Отмеченные особенности эволюционных состояний оболочек подтверждаются представленными в главе результатами вычислительных экспериментов для различных краевых задач (в «перемещениях» и в «смешанной» форме) при различных граничных условиях и кривизнах.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Поставлены краевые задачи, определяющие новые математические модели в неклассической теории неоднородных по плану, ортотропных и термоупругих пологих оболочек с учетом обжатия и переменной толщины в рамках модифицированных терминальных условий Пелеха-Шереметьева.

2. Поставлены связанные и не связанные задачи термоупругости, определяющие новые математические модели в неклассической теории многослойных, с ортотропными слоями, пологих оболочек с учетом начальных неправильностей в рамках модифицированных терминальных условий Пелеха-Шереметьева.

3. Определены фазовое и конфигурационное пространства термомеханической системы, моделируемой, на основе гипотез Кирхгофа-Л я ва, связанной краевой задачей термоупругости первого рода для пологих оболочек переменной толщины; установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина приближенного решения поставленной краевой задачи.

4. Определены фазовое и конфигурационное пространства механической системы, моделируемой первой краевой задачей для линеаризованных неклассических уравнений движения пластины с учетом обжатия; установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина приближенного решения поставленной краевой задачи.

5. Определены фазовое и конфигурационное пространства механических систем, моделируемых первой краевой задачей для уравнений движения в неклассической теории пологих оболочек с начальными неправильностями (модель Пелеха-Шереметьева), и частичным или полным учетом инерционных слагаемых; установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина приближенных решений поставленных краевых задач.

6. Определены фазовое и конфигурационное пространства термомеханической системы, моделируемой краевой задачей второго рода в неклассической связанной задаче термоупругости для прямоугольной в плане шарнирно закрепленной пологой оболочки (модель Пелеха-Шереметьева, с учетом трехмерного уравнения теплопроводности); установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина для поставленной задачи.

7. Определено фазовое конфигурационное пространство механической системы, моделируемой первой краевой задачей для неклассических уравнений равновесия пластин с начальными неправильностями (модель Пелеха-Шереметьева); установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина для поставленной задачи.

8. Фазовые пространства, определенные в рамках используемых неклассических математических моделей для механических и термомеханических систем, являются основой нового «интегрального» математического метода моделирования эволюционных состояний пологих оболочек, с помощью различных функций от норм элементов из таких пространств.

9. Разработанные и реализованные комплексы проблемно-ориентированных программ позволяют проводить вычислительные эксперименты как на основе традиционных «локальных» методов математического моделирования, так и на основе нового «интегрального» метода математического моделирования, использующего различные функции, от норм фазовых пространств, при исследовании эволюционных состояний пологих оболочек (в рамках гипотез Кирхгофа-Лява), - в этом случае, на основе нового метода, эволюционные состояния оцениваются по отношению ко всему объему геометрического пространства, занимаемого оболочкой, а не только по отношению к отдельным точкам этого объема, что является характерным для традиционных «локальных» математических методов исследования пологих оболочек.

10. Полученные результаты вычислительных экспериментов, с использованием функций от норм фазовых пространств, обосновывают корректность «локальных» критериев динамической устойчивости пологих оболочек при распределенной по ее плану постоянной интенсивности поперечной нагрузки.

11. Сопоставление «интегральных» и локальных критериев динамической устойчивости пологих оболочек (A.C. Вольмира, Щио, Суига, Рота, Будянского), в том числе определяемых с помощью качественных характеристик динамических систем (отображения Пуанкаре, проекции фазовых портретов, спектра мощности Фурье), показали ограниченность локальных критериев по отношению к описанию эволюционных состояний, предшествующих «динамическому прохлопыванию» пологих оболочек, - этот факт объясняется тем, что в локальных критериях не учитываются изменения производных, определяющих деформационное поле оболочек в каждый отдельный момент времени наблюдения за их состоянием, напротив, в «интегральных» критериях такие изменения учитываются с помощью функций от норм фазовых пространств.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных перечнем ВАК РФ

1. Кириченко, A.B. Выявление особенностей нелинейных колебаний пологих оболочек с помощью отображения Пуанкаре / A.B. Кириченко, С.А. Комаров // Проблемы прочности и пластичности / Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, 2000. Вып. 61.-С. 142-148.

2. Кириченко, A.B. Корректность эволюционных уравнений в неклассической теории пологих оболочек с начальными неправильностями и частичным учетом инерционных слагаемых / A.B. Кириченко, В.А. Крысько // Вестник Саратовского государственного технического университета / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов - 2011. -№4. Вып. 2.-С. 60-66.

3. Кириченко, A.B. Корректность первой краевой задачи для уравнений равновесия в неклассической теории пластин с начальными неправильностями / A.B. Кириченко, В.А. Крысько // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. - № 4. Вып. 2. - С. 57-60.

Публикации в других изданиях

4. Кириченко, A.B. Выявление особенностей нелинейных колебаний пологих оболочек с помощью отображения Пуанкаре / A.B. Кириченко, В.Ф. Кириченко, В.А. Крысько, С.А. Комаров; Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 1999. - 70 с. Деп. в ВИНИТИ 12.07.99, №2280-В99.

5. Кириченко, A.B. Качественное исследование модифицированных эволюционных уравнений трехслойных пластин / A.B. Кириченко // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами: межвуз. науч. сб. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1999. - С. 86-89.

6. Кириченко, A.B. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек / A.B. Кириченко, В.А. Крысько // Нелинейная динамика механических и биологических систем: межвуз. науч. сб. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2000.-С. 144-151.

7. Кириченко, A.B. Разрешимость и диссипативность эволюционных уравнений в связанных задачах термоупругости для оболочек переменной толщины / A.B. Кириченко, В.Ф. Кириченко // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: тез. докл. VIII Четаевской Междунар. конф. / Казан, гос. техн. ун-т. -Казань, 2002. - С. 324.

8. Кириченко, A.B. Частичная диссипативность эволюционных уравнений в связанной задаче термоупругости для пластин переменной толщины / A.B. Кириченко // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2002. - С. 86-92.

9. Кириченко, A.B. Корректность эволюционных уравнений в теории неоднородных оболочек Рейсснера переменной толщины / A.B. Кириченко // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2003. - С. 138-143.

10. Кириченко, A.B. О корректности неклассической системы эволюционных уравнений в связанной задаче термоупругости для оболочек переменной толщины / A.B. Кириченко // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. Второй Всерос. науч. конф. Ч. 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Самар. гос. техн. ун-т. -Самара, 2005.-С. 124-126.

11. Кириченко, A.B. О корректности неклассич еской системы эволюционных уравнений в связанной задаче термоупругости для оболочек переменной толщины / A.B. Кириченко // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. Третьей Всерос. науч. конф. Ч. 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Самар. гос. техн. ун-т. -Самара, 2006.-С. 126-128.

12. Кириченко, A.B. Качественный анализ динамической потери устойчивости пологих оболочек / A.B. Кириченко // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. / Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов, 2006.-С. 123-128.

13. Кириченко, A.B. Неклассическая модель конструктивно неоднородной термоупругой пологой оболочки с учетом обжатия / A.B. Кириченко // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2007. - С. 100-104.

14. Кириченко, A.B. Качественные свойства эволюционных уравнений в неклассической теории пологих оболочек переменной толщины с начальными неправильностями / A.B. Кириченко, A.A. Коломоец // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: тр. Второй Междунар. конф. / Казан, гос. техн. ун-т. -Казань, 2009. - С. 207-209.

15. Кириченко, A.B. Разрешимость линеаризованной системы эволюционных уравнений в неклассической теории пластин с учетом обжатия / A.B. Кириченко // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2011. - С. 83-87.

Авторские документы

16. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2012615707. Кириченко, A.B. Программа расчета пологой оболочки - уравнения в перемещениях / A.B. Кириченко, С.А. Комаров. Зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 22.06. 2012.

17. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2012615708. Программа расчета ортотропной оболочки с учетом связанности полей деформаций и температуры с учетом продольных усилий / A.B. Кириченко, С.А. Комаров. Зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 22.06.2012.

18. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2012615709. Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей под действием поперечной нагрузки / A.B. Кириченко, В.А. Крысько, М.В. Жигалов, И.Е. Кутепов, H.A. Загниборода. Зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 22.06.2012.

19. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2012615710. Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей в температурном поле под действием поперечной нагрузки / A.B. Кириченко, В.А. Крысько, М.В. Жигалов, И.Е. Кутепов, H.A. Загниборода. Зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 22.06.2012.

Подписано в печать 23.11.12 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 200 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru

Введение.

Глава 1. Постановка краевых задач в неклассической теории конструктивно неоднородных термоупругих пологих оболочек.

§1.1. Краевые задачи, определяющие неклассические математические модели для ортотропных термоупругих пологих оболочек переменной толщины с учетом обжатия. ^

§ 1.2. Связанные краевые задачи термоупругости, определяющие неклассические математические модели для многослойных пологих оболочек с начальными неправильностями.

Выводы по главе.

Глава 2. Качественные методы исследования фазовых и конфигурационных пространств в теории пологих оболочек и пластин. ^

§ 2.1. Фазовое пространство в первой краевой задаче для эволюционных уравнений, определяющих на основе гипотез Кирхгофа-Лява связанную задачу термоупругости для пологих оболочек переменной толщины. ^

§ 2.2. Фазовое пространство в первой краевой задаче для линеаризованной системы эволюционных уравнений, определяющих неклассическую модель пластин с учетом обжатия. ^

§ 2.3. Фазовое пространство в первой краевой задаче для эволюционных уравнений, определяющих неклассическую модель пологих оболочек с начальными неправильностями. ^

§ 2.4. Фазовое пространство во второй краевой задаче для эволюционных уравнений, определяющих связанную задачу термоупругости для шарнирно закрепленных пологих оболочек.

§ 2.5. Фазовые пространства в краевых задачах для эволюционных уравнений, определяющих неклассические модели пологих оболочек с начальными неправильностями и частичным учетом инерционных слагаемых.

§ 2.6. Конфигурационное пространство для первой краевой задачи, определяющей условия равновесия в неклассической теории пластин с начальными неправильностями. ^

§ 2.7. Фазовое пространство в первой краевой задаче для модифицированной системы эволюционных уравнений трехмерных пластин.

Выводы по главе.

Глава 3. «Локальные» и «интегральные» методы исследования эволюционных состояний пологих оболочек.

§ 3.1. Исследование эволюционных состояний упругих пологих оболочек на основе «локального» анализа массива данных, полученных из вычислительных экспериментов.

§ 3.2. Исследование эволюционных состояний упругих пологих оболочек на основе «интегрального» анализа всего массива данных, полученных из вычислительных экспериментов.

Выводы по главе.

Таким образом, необходимость развития математической теории для неклассических моделей конструктивно неоднородных пологих оболочек, включая описание соответствующих фазовых пространств, разработка на их основе новых математических методов моделирования эволюционных состояний пологих оболочек, с использованием норм фазовых пространств, а также разработка комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов, определяет актуальность выбранной темы научных исследований, востребованную прикладными задачами из области приборостроения, авиастроения и судостроения.

Целью диссертационной работы является развитие новых математических методов и моделей исследования эволюционных состояний распределенных механических и термомеханических систем, в виде пологих оболочек, основанных на рассмотрении функций от норм фазовых пространств, что позволяет исследовать эволюционные состояния по отношению ко всему объему геометрического пространства, заполненного соответствующей материальной средой.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) на базе вариационных уравнений Гамильтона-Остроградского определить краевые задачи в неклассической теории многослойных, с ортотропными слоями переменной толщины, термоупругих пологих оболочек с начальными неправильностями;

2) разработать качественные методы исследования фазовых и конфигурационных пространств, в неклассической теории пологих оболочек, которые, как функциональные пространства, соответствуют используемым вариационным уравнениям Гамильтона-Остроградского и, следовательно, наиболее соответствуют физическому содержанию изучаемых математических моделей пологих оболочек;

3) разработать и реализовать алгоритмы и комплексы программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию эволюционных состояний в классической теории пологих оболочек, с использованием норм фазовых пространств.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается постановкой всех исследуемых краевых задач, на базе вариационных уравнений Гамильтона-Остроградского, а также обосновывается доказанными в работе теоремами и проведенными вычисленными экспериментами.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Развит метод математического моделирования эволюционных состояний механических систем, в виде пологих оболочек, с помощью функций от норм фазовых пространств для таких систем, и качественной теории дифференциальных уравнений.

2. Впервые поставлены краевые задачи, определяющие неклассические математические модели для многослойных, с неоднородными ортотропными слоями переменной толщины, термоупругих пологих оболочек с учетом обжатия и начальных неправильностей, в рамках модифицированных терминальных условий Пелеха-Шереметьева.

3. Разработаны качественные методы определения фазовых и конфигурационных пространств в неклассической теории пластин (модель Пелеха-Шереметьева) с учетом обжатия.

4. Впервые определены функциональные фазовые и конфигурационные пространства для связанных задач термоупругости в классической и неклассической теориях пологих оболочек в виде конкретных функциональных пространств.

5. Разработаны и реализованы алгоритмы, методика и комплексы программ по исследованию эволюционных состояний, включая динамическую устойчивость, пологих оболочек, в рамках гипотез Кирхгофа-Лява с использованием норм соответствующих фазовых пространств.

6. Впервые с помощью нового метода математического моделирования эволюционных состояний пологих оболочек, основанных на рассмотрении функций от норм фазовых пространств, установлено, что критерий динамической устойчивости пологих оболочек (Шио, Сунг, Рота) не позволяет оценить изменение кривизн оболочки в процессе деформирования, и в целом может использоваться только в ограниченном диапазоне исходных кривизн оболочки.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Постановка краевых задач, в том числе связанных задач термоупругости, в неклассической теории пологих оболочек с учетом переменной толщины, обжатия, начальных неправильностей, многослойности и ортотропии.

Полученные краевые задачи имеют в своей основе вариационное уравнение Гамильтона-Остроградского, что позволяет определить функциональные пространства, в которых может существовать обобщенное решение поставленных краевых задач, а также установить тот класс функциональных пространств, которому принадлежат фазовые и конфигурационные пространства, наиболее соответствующие физическому содержанию исследуемых математических моделей оболочек.

2. Качественные методы исследования математических моделей, в неклассической теории пологих оболочек, позволяющие установить существование обобщенных решений в краевых задачах, определяющих подобные модели, и определить соответствующие этим моделям фазовые и конфигурационные пространства, а также обосновать сходимость метода Бубнова-Галеркина при получении приближенного решения поставленных краевых задач.

3. Разработанные комплексы проблемно-ориентированных программ: «Программа расчета ортотропной оболочки с учетом связанности полей деформаций и температуры с учетом продольных усилий» (система уравнений в смешанной форме) и «Программа расчета пологой оболочки - уравнения в перемещениях» позволяют проводить вычислительные эксперименты по исследованию эволюционных состояний пологих оболочек, в рамках классической модели Кирхгофа-Лява, при различных значениях физико-геометрических параметров с помощью методов качественной теории дифференциальных уравнений (исследование фазовых портретов, отображения Пуанкаре, спектра мощности), традиционных «локальных» критериев динамической потери устойчивости (A.C. Вольмира, Шио, Сунг и Рота, Будянского и Рота), а также нетрадиционных «интегральных» критериев, основу которых составляют нормы соответствующих фазовых пространств.

4. Обоснование с помощью вычислительных экспериментов возможности локального исследования эволюционных состояний пологих оболочек в рамках классической модели Кирхгофа-Лява с помощью отдельных точек из объема, занимаемого оболочкой в геометрическом пространстве, по крайней мере, для равномерно распределенной по плану оболочки постоянной нагрузки.

Подобное обоснование имеет в своей основе сопоставление результатов вычислительных экспериментов по исследованию эволюционных состояний оболочек, полученных либо для указанных выше отдельных точек, либо с помощью норм соответствующих фазовых пространств.

5. Ограниченность области применения «локальных» критериев динамической устойчивости пологих оболочек - причина такой ограниченности раскрывается в анализе результатов вычислительных экспериментов с помощью «интегральных» критериев.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Полученные краевые задачи и развитые в работе качественные методы исследования математических моделей в неклассической теории конструктивно неоднородных пологих оболочек служат теоретической основой при проектировании и оценке качества новых технических устройств с оптимальными динамическими характеристиками. Реализованные комплексы программ могут быть использованы при оценке прочности и устойчивости оболочечных конструкций в приборостроении.

Кроме того, результаты работы используются в учебном процессе при чтении спецкурса «Математическое моделирование» по теме «Элементы теории экстремальных задач и вариационные принципы в механике» для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная механика» и смежных технических специальностей.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации представлялись на:

1. XIX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н.Новгород, 28-30 сентября 1999);

2. VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 28-31 мая 2002 г.);

3. II Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1-3 июня 2005 г.);

4. III Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 29-31 мая 2006 г.);

5. II Международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (Казань, 8-11 декабря 2009 г.);

6. VII Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 27-30 мая 2010 г.);

7. VIII Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 15-17 сентября 2011 г.).

В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м. н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2012).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах [48-62], в том числе 3 работы в журналах из перечня ВАК РФ [48, 53-54], имеются 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [120-123].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 158 страниц, в том числе 27 рисунков. Список использованной литературы включает 123 наименования.

Выводы по третьей главе

1. Использование методов качественной теории дифференциальных уравнений и теории случайных процессов позволяет даже при «локальном» анализе массива данных установить присутствие хаотических эволюционных состояний у оболочек в докритической стадии их нагружения (так как наблюдаются зоны нерегулярных колебаний для соответствующих определяющих функций — и, V, w).

2. Анализ (и локальный и интегральный) массива данных, полученных из проведенных вычислительных экспериментов для уравнений движения оболочки «в перемещениях» показывает, что нет однозначного соответствия между значениями параметра нагрузки и моментом динамической потери устойчивости оболочки - эта особенность эволюционных состояний оболочек не наблюдается при использовании уравнений движения в «смешанной» форме. Таким образом, можно предположить, что причиной указанного «несоответствия» является присутствие в уравнениях движения инерционных слагаемых для продольных перемещений.

3. Если оболочка находится под действием равнораспределенной постоянной нагрузки, то «локальный» анализ массива данных соответствует его «интегральному» анализу по отношению к критериям динамической устойчивости оболочек по A.C. Вольмиру (при кх, ку е [0,40]), по Будянскому и Роту (при кх, ку е [0,30]), по Шио, Сунг и Роту (при кх, ку е [0,15]) - вместе с тем, при кх, ку е (30,40] критерии Будянского-Рота и Шио, Сунг и Рота не позволяют определять динамическую критическую нагрузку (соответствующие этим критериям графики приобретают вид «сложных» кривых со многими точками перегиба).

4. При кх,ку е (15,30] наблюдается качественное несоответствие графиков для локального критерия Шио, Сунг и Рота некоторым графикам для его «интегральных» аналогов, полученным с помощью функций от норм фазовых пространств V, Vb У2, например: а) «интегральные» графики для функции *з(0 ~~ соответствуют «локальным». б) «интегральные» графики для функций *(/), х^), х6(7) - не соответствуют «локальным».

Причина указанного «несоответствия» заключается в следующем: в функциях *(/), х\{1), и х6(0 присутствуют производные второго порядка (по пространственным переменным) от функции прогиба ч> — эти производные характеризуют коэффициенты второй квадратичной формы для срединной поверхности и, тем самым, характеризуют изменение «внешней» геометрии этой поверхности [29], то есть - изменение ее главных кривизн и кручение. Таким образом, анализ графиков для функций х(/), х](/), х^), х5(/), х6(/) позволяет изучать «промежуточные» эволюционные состояния оболочки в докритической стадии нагружения (на базе всего массива данных), определяемые изменениями формы срединной поверхности в процессе ее движения. Напротив, при «локальном» анализе массива данных теряется возможность описания изменений во «внешней» геометрии срединной поверхности, так как не используется информация о внутренних связях между точками в оболочке, с другой стороны, такая информация всегда содержится во всем массиве данных, получаемых из вычислительных экспериментов (в частности, она содержится в информации о «функциях-производных» различного порядка для определяющих функций).

5. Интегральный анализ массива данных может использоваться для всех математических моделей оболочек, если известны фазовые пространства для таких моделей, при этом, если исследуются состояния равновесия оболочек, то вместо фазового пространства следует использовать соответствующие конфигурационные пространства.

Указанные выше выводы остаются справедливыми и для других краевых задач, в частности, для уравнений движения в «перемещениях» с граничными условиями — «шарнирное опирание».

Заключение (основные результаты и выводы)

1. Поставлены краевые задачи, определяющие новые математические модели в неклассической теории неоднородных по плану, ортотропных и термоупругих пологих оболочек с учетом обжатия и переменной толщины в рамках модифицированных терминальных условий Пелеха-Шереметьева.

2. Поставлены связанные и не связанные задачи термоупругости, определяющие новые математические модели в неклассической теории многослойных, с ортотропными слоями, пологих оболочек с учетом начальных неправильностей в рамках модифицированных терминальных условий Пелеха-Шереметьева.

3. Определены фазовое и конфигурационное пространства термомеханической системы, моделируемой, на основе гипотез Кирхгофа-Лява, связанной краевой задачей термоупругости первого рода для пологих оболочек переменной толщины; установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина приближенного решения поставленной краевой задачи.

4. Определены фазовое и конфигурационное пространства механической системы, моделируемой первой краевой задачей для линеаризованных неклассических уравнений движения пластины с учетом обжатия; установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина приближенного решения поставленной краевой задачи.

5. Определены фазовое и конфигурационное пространства механических систем, моделируемых первой краевой задачей для уравнений движения в неклассической теории пологих оболочек с начальными неправильностями (модель Пелеха-Шереметьева), и частичным или полным учетом инерционных слагаемых; установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина приближенных решений поставленных краевых задач.

6. Определены фазовое и конфигурационное пространства термомеханической системы, моделируемой краевой задачей второго рода в неклассической связанной задаче термоупругости для прямоугольной в плане шарнирно закрепленной пологой оболочки (модель Пелеха-Шереметьева, с учетом трехмерного уравнения теплопроводности); установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина для поставленной задачи.

7. Определено фазовое конфигурационное пространство механической системы, моделируемой первой краевой задачей для неклассических уравнений равновесия пластин с начальными неправильностями (модель Пелеха-Шереметьева); установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина для поставленной задачи.

8. Фазовые пространства, определенные в рамках используемых неклассических математических моделей для механических и термомеханических систем, являются основой нового «интегрального» математического метода моделирования эволюционных состояний пологих оболочек, с помощью различных функций от норм элементов из таких пространств.

9. Разработанные и реализованные комплексы проблемно-ориентированных программ позволяют проводить вычислительные эксперименты как на основе традиционных «локальных» методов математического моделирования, так и на основе нового «интегрального» метода математического моделирования, использующего различные функции, от норм фазовых пространств, при исследовании эволюционных состояний пологих оболочек (в рамках гипотез Кирхгофа-Лява), - в этом случае, на основе нового метода, эволюционные состояния оцениваются по отношению ко всему объему геометрического пространства, занимаемого оболочкой, а не только по отношению к отдельным точкам этого объема, что является характерным для традиционных «локальных» математических методов исследования пологих оболочек.

10. Полученные результаты вычислительных экспериментов, с использованием функций от норм фазовых пространств, обосновывают корректность «локальных» критериев динамической устойчивости пологих оболочек при распределенной по ее плану постоянной интенсивности поперечной нагрузки.

11. Сопоставление «интегральных» и локальных критериев динамической устойчивости пологих оболочек (A.C. Вольмира, Шио, Сунга, Рота, Будянского), в том числе определяемых с помощью качественных характеристик динамических систем (отображения Пуанкаре, проекции фазовых портретов, спектра мощности Фурье), показали ограниченность локальных критериев по отношению к описанию эволюционных состояний, предшествующих «динамическому прохлопыванию» пологих оболочек, - этот факт объясняется тем, что в локальных критериях не учитываются изменения производных, определяющих деформационное поле оболочек в каждый отдельный момент времени наблюдения за их состоянием, напротив, в «интегральных» критериях такие изменения учитываются с помощью функций от норм фазовых пространств.

1. Maruszewski В., Rymarz С. Coupled fields — Modelling of materials fot modern technologies // Mech. teor. i stasow. 1997. V. 35, 4. P. 901-914.

2. Алфутов H.A., Зиновьев T.A., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. 264 с.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 488 с.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость, колебания. М.: Наука, 1987. 360 с.

5. Андреев А.Н. Свободные колебания слоистых упругих композиционных оболочек вращения // Прикл. мех. и технич. физика. 1995. Т. 36, № 5. С. 145-153.

6. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. 308 с.

7. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.

8. Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии. М.: Наука, 1998. 464 с.

9. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

10. Березовский A.A., Жарий Ю.И. Нелинейные краевые задачи теории гибких пластин и пологих оболочек. Киев, 1970. 416 с.

11. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

12. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

13. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассических теорий пластин // Мех. твердого тела. 1990. № 2. С. 158-167.

14. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. 282 с.

15. Вериженко В.Е., Пискунов В.Г., Присяжнюк В.К, Табаков Т.Я. Уточненная динамическая теория многослойных оболочек и пластин. Сообщ. 1. Исходные гипотезы и соотношения моделей // Пробл. прочн. 1996. № 5. С. 91-99.

16. Вериженко В.Е., Пискунов В.Г., Присяжнюк В.К, Табаков Т.Я. Уточненная динамическая теория многослойных оболочек и пластин. Сообщ. 2. Система разрешающих уравнений и результаты // Пробл. прочн. 1996. № 6. С. 61-69.

17. Вильке В.Г. О существовании и единственности решений некоторых классов динамических задач нелинейной теории упругости // Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43, № 1. С. 124-132.

18. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

19. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. М.: Наука, 1976. 416 с.

20. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

21. Вольмир A.C., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур. М.: Машиностроение, 1989. 248 с.

22. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 376 с.

23. Ворович И.И. Метод Бубнова-Галеркина, его развитие и роль в прикладной математике // Сб.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 121-132.

24. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек // Изв. АН СССР, Сер. математическая. 1957. Т. 21, № 6. С.747-784.

25. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1975. 326 с.

26. Голованов А.И. Динамическая устойчивость трехслойных оболочек. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1982. 116 с.

27. Грибанов В.Ф., Паничкин Н.Г. Связанные и динамические задачи термоупругости. М.: Машиностроение, 1984. 184 с.

28. Григолюк Э.И. Власов В.Ф., Юркевич A.A. Разрешимость граничных задач равновесного состояния трехслойных оболочек с жестким заполнителем, передающим поперечный сдвиг // Докл. акад. наук СССР. 1989. Т. 305, № 4. С. 817-821.

29. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360с.

30. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикл. мех. 1972. Т.VIII, в. 6. С. 3-17.

31. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. 288 с.

32. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М.: Наука, Физматлит, 1997. 272 с.

33. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стрежней, пластин и оболочек. В кн.: Механика твердых деформируемых тел.: М., 1973. Т. 5. С. 5-272. Деп. в ВИНИТИ.

34. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. 172 с.

35. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. О некоторых подходах к решению задач статики оболочек неоднородной структуры // Прикл. мех. 1998. Т. 34, № 10. С. 42-49.

36. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных толстостенных оболочек. Киев.: Вища школа, 1985.190 с.

37. Григоренко Я.М., Гуляев В.И. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения // Прикл. мех. 1991. Т. 27, № 10. С. 3-23.

38. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М.: Постмаркет, 2001. 184 с.

39. Донелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. 568 с.

40. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. В кн.: Современные проблемы математики. М., 1976. Т. 9. С. 1-130.

41. Дубинский Ю.А. Об одной операторной схеме и разрешимости ряда квазилинейных уравнений механики // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176, № 3. С. 506-508.

42. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки. В кн. Механика деформируемого твердого тела. М., 1983. Т. 15. С. 3-277.

43. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

44. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. Киев: Наук, думка, 1971. С. 136.

45. Каплунов Ю.Д. Нольде Е.В. О роли поперечного обжатия в динамике оболочек // Прикл. мат. и мех. М., 1996. Т. 60, № 4. С. 644-650.

46. Качуровский Р.И. Об одном классе нелинейных операторных уравнений и некоторых уравнениях механики // Сиб. матем. ж. 1971. Т. 12, № 2. С. 353-366.

47. Кириченко, A.B. Выявление особенностей нелинейных колебаний пологих оболочек с помощью отображения Пуанкаре / A.B. Кириченко, В.Ф. Кириченко, В.А. Крысько, С.А. Комаров; Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 1999. 70 с. Деп. в ВИНИТИ 12.07.99, № 2280-В99.

48. Кириченко, A.B. О динамических критериях потери устойчивости гибких пологих оболочек / A.B. Кириченко, В.А. Крысько // Нелинейная динамика механических и биологических систем: межвуз. науч. сб. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2000. С. 144-151.

49. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976.214 с.

50. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С. Нелинейные задачи колебаний тонких оболочек // Прикл. мех. 1998. Т. 34, № 8. С. 3-31.

51. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Граничные задачи термоупругости // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 1. С. 3-43.

52. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Динамические задачи теории упругости и термоупругости. В кн.: Современные проблемы математики. М.: Наука, 1976. 664 с.

53. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 664 с.

54. Кушнир P.M., Николишин М.М., Жидик У.В., Флячок В.М. Моделирование термоупругих процессов в неоднородных анизотропных оболочках с начальными деформациями // Мат. методи та ф1з.-мех. поля. 2010.Т. 53, № 2. С. 122-136.

55. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

56. Лейзерович Г.С., Таранчук H.A. Неочевидные особенности динамики круговых цилиндрических оболочек // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. № 2. С. 96-105.

57. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

58. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложение. М.: Мир, 1971. 371 с.

59. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. 272 с.

60. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

61. Ляшко А.Д. Разностные схемы для задач о малых прогибах кольцевидных пластин // Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: ВЦСО АН СССР, 1973. Т. 4, № 2. С. 116-131.

62. Ляшко А.Д. Разностные схемы для задачи об изгибе тонких пластин // Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: ВЦСО АН СССР, 1973. Т. 4, № 1.С. 71-83.

63. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Нелинейные задачи теории теории фильтрации, упругости и пластичности и их сеточные аппроксимации // Вариационно-разностные методы в матем. физ. м.: ОВМ АН СССР, 1984. С. 160-171.

64. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И.М. Виноградов, т.5. Слу-Я. М.: «Советская энциклопедия», 1984. 1248 стб.

65. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.424 с.

66. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.431 с.

67. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.: Гостехиздат, 1952. 216 с.

68. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: Изд-во Ленинград, унив-та, 1978. 182 с.

69. Мотовиловец И.А., Козлов В.И. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.1. Термоупругость. Киев: Наук, думка, 1987. 264 с.

70. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. Ленинград: Стройиздат, 1966. 304 с.

71. Немыцкий В.В., Степанов В.ВКачественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гос изд-во технико-теоретической литературы, 1949. 552 с.

72. Новацкий А. Связанные поля в механике твердых тел. А кн.: Тр. 14-го междунар. конгресса УСТАМ, Делфт, 30 авг.- 4 сент., 1976. М., 1979. С. 395-416.

73. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

74. Новацкий В. Проблемы термоупругости // МесЬашка teoretyczna I 81озо\уапа. 1982. Т. 20, № 1-2. С. 5-17.

75. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

76. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л.: Гостехиздат, 1948. 212 с.

77. Паймушин В.Н. Теория тонких оболочек при конечных перемещениях и деформациях, основанная на модифицированной модели Кирхгофа-Лява // Прикл. мат. и мех. 2011. Т. 75. № 5. С. 811-829.

78. Паймушин В.Н., Луканкин С.А. Нелинейная теория многослойных оболочек с жесткими несущими слоями и трансверально мягкими заполнителями переменой толщины // Прикл. пробл. проч. и пластич. 1997. № 56. С.75-94.

79. Пантелеев А.Д., Медведев Н.Г. О разрешимости линейных краевых задач теории трехслойных оболочек // Мат. моделир. нестационар, процессов. Алма-Ата, 1982. С. 46-51.

80. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1987. 316 с.

81. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964.272 с.

82. Пикуль B.B. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1989. 221 с.

83. Пискунов В.Г., Вериженко В.Е. Линейные и нелинейные задачи расчета слоистых конструкций. Киев: Будівельник, 1986. 176 с.

84. Пискунов В.Г., Вериженко В.Е., Присяжнюк В.К. и др. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов. Монография. Киев: Изд-во при Киев, ун-те ИО «Вища школа», 1987. 200 с.

85. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984.368 с.

86. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. 332 с.

87. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987. 480 с.

88. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга H.A. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек. Киев: Вища школа, 1986. 191 с.

89. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

90. Родионова В.А. Теория тонких анизотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия. Л.: Ленинградский ун-т, 1983. 116 с.

91. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. Т. 1. 536 с.

92. Сеницкий Ю.Э. К решению динамической задачи для неоднородной конической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью // Изв. вузов. Стр-во. 2011. № 12. С. 3-6.

93. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М: Наука, 1990.448 с.

94. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том четвертый, часть первая. М.: Наука, 1974.336 с.

95. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

96. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 472 с.

97. Сьярле Ф., Рабье П. Уравнение Кармана. М.: Мир, 1983. 172 с.

98. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во МГУ, 1984. 296 с.

99. Терегулов И.Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1984. 472 с.

100. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

101. Хорошун Л.П., Козлов C.B., Иванов Ю.А., Кошевой И.К. Обобщенная теория неоднородных по толщине пластин и оболочек. Киев: Наук, думка, 1988. 152 с.

102. Швец Р.Н. Взаимосвязанная задача термоупругости для тонкой пластины // Прикладная механика. 1965. Т. 1, № 3. С. 107-116.

103. Шереметьев М.П., Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин // Инж. журн. 1964. Т. 4, № 3. С. 504-510.

104. Эшматов Б.Х. Нелинейные колебания и динамическая устойчивость вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки с учетом деформации сдвига и инерции вращения // Известия РАН. Механика твердого тела. 2009. №3. С. 102-117.1. Авторские документы

105. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2012615707. Кириченко, A.B. Программа расчета пологой оболочки уравнения в перемещениях / A.B. Кириченко, С.А. Комаров. Зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 22.06.2012.