автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование оптимального управления в моделях Буссинеска - Лява

На правах рукописи

Цыпленкова Ольга Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В МОДЕЛЯХ БУССИНЕСКА - ЛЯВА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЧЕЛЯБИНСК - 2013

5 ДЕК т

005542744

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет).

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Замышляева Алена Александровна. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кадченко Сергей Иванович,

зав. кафедрой «Прикладная математика и вычислительная техника», Магнитогорского государственного университета;

доктор физико-математических наук, профессор Пятков Сергей Григорьевич, зав. кафедрой «Высшая математика», Югорского государственного университета. Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет».

Защита состоится 26 декабря 2013 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при Южно-Уральском государственном университете, по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета.

Автореферат разослан 25 ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, доцент

А.В. Келлер

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время задачи оптимального управления для неклассических моделей математической физики появляются в приложениях все чаще, однако, в силу отсутствия общего метода решения таких задач, результатов в этой области в современной математической литературе немного, причем большинство из них получены для конечномерного случая. В основе многих неклассических моделей математической физики лежат уравнения соболевского типа. Линейные уравнения соболевского типа активно исследуются как в России, так и за рубежом. Систематическое изучение таких уравнений начал С.Л. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. Уравнения, неразрешенные относительно производных, рассматривали в своих работах С.Г. Крейн, В.Н. Врагов, Г.В. Демиденко, С.Г. Пятков, А.И. Кожанов, И.В. Мельникова, H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев, М.О. Корпусов, А.Г. Свешников, A. Favini, A. Yagi, J.НА. Lightbourne, R.E. Showalter и др. Исследованиям начальных задач для вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова, М.В. Булатова, Г.А. Свиридхока, C.B. Брычева, W.J. Terrell и др. Основоположником теории дифференциальных уравнений на графах в России является Ю.В. Покорный. Дифференциальпые уравнения на геометрических графах изучали в своих работах также А.И. Ша-фаревич, J.K. Haie, S. Kosugi, Е. Yanagida и др. Уравнения соболевского типа на графе впервые стал рассматривать Г.А. Свиридюк, исследование таких задач было продолжено его учениками. В области теории оптимального управления широко известны работы A.B. Фурсикова, Г.А. Куриной, A.A. Щегловой, J.-L. Lions, P.C. Müller, L. Pandolfi, S.L. Campbell и др. Задачи оптимального управления для уравнений соболевского типа впервые начали рассматривать Г.А. Свиридюк и А.А Ефремов. В дальнейшем такого рода задачи изучались в работах A.B. Келлер, В.Е. Федорова, H.A. Манаковой, М.В. Плехановой и др. Данная диссертационная работа посвящена исследованию оптимального управления решениями линейных уравнений соболевского типа второго порядка и базируется на результатах A.A. Замышляевой по исследованию разрешимости таких уравнений.

В работе исследуется оптимальное управление решениями в математической модели Буссинеска - Лява в области £1 С Ж.™:

(Л - &)xu{s, t) = а(А - A')xt(s, t) + ß{A - Л")x(s, t) + u(s, t), s 6 fi, t € R, (1)

с граничным условием

гф,4) = 0, (з,«)бЗПх®. (2)

Если П - отрезок, то модель (1), (2) описывает колебания в тонком упругом стержне с учетом инерции. Параметры а, ¡3, А, А', А" характеризуют свойства материала, из которого изготовлен стержень, и связывают между собой плотность, модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент упругости. Функция х(з,Ь) характеризует продольное смещение, а функция - внешнее воздействие.

Если П - область в К2, то модель (1), (2) описывает распространение волн на мелкой воде. Параметры а, Р, А, А', А" связывают глубину, гравитационную постоянную и число Бонда. Функция Ь) определяет высоту волны в момент времени t в точке в, а функция и(в^) - внешние силы.

В работе исследуется оптимальное управление решениями в математической модели продольных колебаний в конструкции. Пусть С? = С^У, €) - конечный связный ориентированный граф, где V = {К}™! - множество вершин, а £ = {£,-}"=1 - множество ребер. Предполагается, что каждое ребро имеет длину Ц > 0 и толщину > 0. На графе (? рассмотрим уравнения

\xjtt-xjsstt = е (0,£ М,;/ = Т~п. (3)

Для уравнений (3) в каждой вершине = 1 ,п зададим краевые условия

^ СМ)- = (4)

хп(0,1) = ^(0,4) = хк(1к,Ь) = хт(1т,Ь), для всех ЕП1 Е} £ Ек, Ет е

которые являются аналогами законов Кирхгофа. Здесь через Еа,ш(Уг) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине Условие (4) означает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а условие (5) - что решение в каждой вершине должно быть непрерывным. Функция Xj(s, £) - продольное смещение в точке в в момент времени t на ^'-ом ребре, а и- внешнее воздействие на ^'-ый элемент конструкции.

Решения задач (1), (2) и (3) - (5), кроме того, должны удовлетворять начально-конечным условиям

Д„(±(0) - х\) = 0, Ры{х{0) - х°0) = 0;

Рцп{х{т) - х\) = 0, Рцп{х{т) - хт0) = 0; 1 '

здесь Рт(/т) - некоторые спектральные проекторы в пространстве X. В работе исследуется задача оптимального управления, которая заключается в отыскании пары (х,й), где х - решение задачи (3) - (6), а й 6 На<г - управление, для которого выполняется соотношение

3{х,й) = тт^еххи^Ог>и)- (7)

Здесь J(x, и) - некоторый специальным образом построенный функциоиал качества, ~ некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений И.

Математические модели (1), (2) и (3) - (5) редуцируется к абстрактному уравнению соболевского типа второго порядка

Ах = В \х + В0х + у + Си, (8)

где операторы А,В1,В0 € £(3£;2)), С £ £(Н;2)), функции и : [0,г) С №+->-11, у : [0,т) С М+ —> 2) (г < оо), X, 2), Н - гильбертовы пространства.

Цель работы - качественно и численно исследовать оптимальное управление в моделях Буссинеска - Лява в области и на графе с начально-конечными условиями с последующей разработкой программ для ЭВМ.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать оптимальное управление решениями в математической модели Буссинеска - Лява в области как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка.

2. Исследовать оптимальное управление решениями в математической модели продольных колебаний в конструкции как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка на графе.

3. Доказать существование и единственность сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для абстрактного уравнения соболевского типа второго порядка.

4. Разработать алгоритмы численных методов нахождения оптимального управления в математических моделях Буссинеска - Лява.

5. Реализовать разработанные алгоритмы в виде программ для ЭВМ.

Научная новизна. При исследовании математических моделей оптимального управления решениями начально-конечной задачи для процессов, описываемых линейным уравнением Буссинеска - Лява, заданным в области и на графе,

показано существование единственного сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для линейного неоднородного уравнения соболевского типа второго порядка. Получены необходимые условия оптимальности управления. Разработан и реализован в виде программ для ЭВМ алгоритм численного метода исследования указанных математических моделей.

Методы исследования. В работе используются следующие методы: метод редукции конкретных математических моделей к начальным задачам для уравнения соболевского типа, метод фазового пространства при качественном исследовании уравнений соболевского типа, методы теории оптимального управления, методы Галеркина и Ритца при разработке алгоритмов численных методов исследования математических моделей.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертационного исследования, полученные при изучении математических моделей оптимального управления, основанных на уравнении Вуссинеска - Лява, развивают теории уравнений соболевского типа, дифференциальных уравнений на графах, оптимального управления. Результаты применимы для дальнейшего качественного и численного исследования других неклассических моделей математической физики. Практическая значимость обусловлена использованием результатов исследований при изучении процессов, описываемых уравнением Вуссинеска - Лява, заданным в области и на графе, и возможностью их применения при решении задач теории упругости, гидродинамики, электродинамики. Разработанный комплекс программ позволяет проводить вычислительные эксперименты по определению оптимального управления в рассматриваемых моделях.

Апробация работы. Результаты работы апробированы на конференциях: Всероссийском научном семинаре «Неклассические уравнения математической физики» (Якутск, 2010), Воронежской зимней математической школе С.Г. Крей-на (Воронеж, 2010 и 2012), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2011), Международной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова, «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2011), Международной научно-практической конференции «Измерения: состояние, перспективы развития» (Челябинск, 2012), Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2013).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 16 научных работах,

в их числе 3 статьи в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК, 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. Список работ приводится в конце автореферата. В совместных с научным руководителем работах A.A. Замышляевой принадлежит постановка задачи, в диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 108 страниц. Список литературы содержит 122 наименования.

Краткое содержание диссертации

Во введении приводится постановка задачи, ставится цель исследования, описываются методы исследования и обосновываются актуальность, теоретическая и практическая значимость проведенного исследования.

Первая глава состоит из пяти пунктов. Они содержат определения, теоремы и вспомогательные утверждения, опираясь на которые получены основные результаты исследования. В п. 1.1 приведены результаты теории относительно полиномиально ограниченных пучков операторов и пропагаторов1. Обозначим через В пучок операторов Bi,Bq. Будем называть множество рл(В) = {fj. е С : (/¿2Л - ¡xBi - Во)'1 е £(%);£)} Л-резольвентным множеством, и аА(В) — С \рл(В) Л-спектром пучка В. Пучок операторов В называется полиномиально Л-ограниченным, если Л-епектр пучка В ограничен. Оператор-функция R^(B) = — )iBi - 50)_1 называется относительной резольвентой пучка В. Пусть пучок В полиномиально Л-ограничен и выполнено условие

J B$(B)dn = О, (Л)

1

где 7 - контур, ограничивающий относительный спектр пучка В. Тогда опера-

Т0ры р = h/^Rft{B)dß

7 7

- проекторы в пространствах X и 2). Введем обозначения X? = ker Р, 2)° = ker Q, X1 = imP и 2)1 = imQ. Если пучок операторов В полиномиально Л-ограничен,

'Замышляева A.A. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка // Вычисл. технологии. 2003. Т.8, № 4. С. 45-54.

оо - полюс порядка р £ {0} U N Л-резольвенты пучка В, то пучок операторов В назовем (Л,р)-ограниченным.

В п. 1.2 приведена теорема о существовании и единственности решения начально-конечной задачи для неоднородного уравнения соболевского типа второго порядка. В п. 1.3 представлены результаты автора по исследованию уравнения с относительно диссипативным пучком операторов, что не предполагает ограниченности относительного спектра пучка. Показано, что понятие относительной диссипативности пучка операторов является обобщением условий, рассмотренных в теории аккретивных операторов R.E. Showalter и условия относительной диссипативности оператора (для уравнения соболевского типа первого порядка). В п. 1.4 определяются пространства Соболева, приводятся теоремы вложения Соболева и Реллиха - Кондрашова. В п. 1.5 содержатся результаты автора об относительной резольвенте гильбертово сопряженного операторного пучка.

Вторая глава содержит шесть пунктов и посвящена исследованию оптимального управления решениями в математической модели Буссинеска - Лява в области как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка.

В п. 2.1 описана математическая модель Буссинеска - Лява в области. В п. 2.2 доказаны существование и единственность сильного решения начально-конечной задачи (6) для абстрактного уравнения соболевского типа второго порядка

Ах = Вхх + В0х + у, (9)

а также существование и единственность сильного решения начально-конечной задачи (6) для модели Буссинеска - Лява (1), (2) в области Q.

Пусть выполнены следующие условия:

Л-спектр пучка В ал(В) = (Tq(B) причем

сг£{В) ф 0, к = 0,1; и существует контур 70 С С, ^

ограничивающий область Го С С такую, что

ГоОоЛ(Я) = Г0ГК(В) = 0;

J Rp(B)dfi = О. (Ло)

7о

Пусть пучок В полиномиально Л-ограничен, и выполнены условия (Л), (В), (Ло). Тогда Pfin = f {iR*(B)Ad/i е £(Х) - проектор.

7о

Определение 1. Вектор-функцию х £ Н2(Х) = {х £ ¿2(0, т\Х)\ х £ L2(0, т; iE)} назовем сильным решением уравнения (9), если она п. в. на (0, г) обращает его в тождество. Сильное решение ж = x(t) уравнения (9) назовем сильным pew,ением задачи (6), (9), если оно удовлетворяет (6).

Теорема 1. (2.2.2)2 Пусть пучок операторов В (Л, р) -ограничен, р £ {0} U N, выполнены условия (Л), (В), (Ло). Тогда для любых x\,xrk £ X,k — 0,1 и у £ Яр+2(ф) существует единственное сильное решение задачи (б) для уравнения (9).

Теорема 2. (2.2.3) При любых a,ß £ К\{0}, Л £ К, г £ Ш+, x°k, хТк £ X, к = 0,1, существует единственное сильное решение задачи (1), (2), (б). В п. 2.3 рассмотрена абстрактная задача оптимального управления

Ах = Вг± + В0х + у + Си, (10)

J{x, и) min, и £ ЯР+2(Н), (11)

с начально-конечными условиями (6), где функции х, у, и и лежат в гильбертовых пространствах I, 2)иИ соответственно, оператор С £ £(11; 2)), Я|+2(11) -замкнутое и выпуклое подмножество в гильбертовом пространстве управлений

iP+2(lt) = {u £ L2(0,t;ü) : и^ £ L2(0,r;il),p £ {0}UN},

а функционал качества J(x, и) определяется соотношением

2 ,т р+2 г

J(x,u) = p,V/ \\xto-xM\\%dt + i/Y' (Л>Чи(9)) dt, (12) 9=о Jo

где ц, v > 0, ß -f- v — 1, Nq £ £(H), q = 0, 1, ..p + 2, - самосопряженные и положительно определенные операторы, x(t) - требуемое состояние системы. Значения весовых коэффициентов определяются исходя из значимости целей управления: достижение требуемых показателей или минимизация управляющего воздействия.

Определение 2. Пару (х,й) £ Н2(Х) х Я|+2(Я) назовем решением задачи оптимального управления (6), (10), если

J{x,ü) = min (x,n)<iXxiuJ(x,u), (13)

где пары (х, и) удовлетворяют соотношениям (6), (10); вектор-

функцию и назовем оптимальным управлением решениями задачи (6), (10).

2В скобках указана нумерация в диссертации.

Теорема 3. (2.3.1) Пусть пучок операторов В (А, р)-ограничен, р G {0} U N, выполнены условия (A),(B),(Aq). Тогда для любых xak,x\ е X, к = 0,1 и у 6 #pJ"2(2)) существует единственное оптимальное управление решениями задачи (б), (10), (И).

Перейдем к исследованию математической модели (1), (2), (6), (12). Лемма 1.(2.3.1) Пусть выполнено одно из следующих условий: (г)Х^а(А);

(И) (А € а(А)) А (А ф А')/ (iii) (А е а{Д)) А (А = А') А (А ^ А"). Тогда пучок В полиномиально А-ограничен. Теорема 4. (2.3.2) При любых а, Р € {0} и А е R таких, что выполнено условие либо (г), либо (iii) леммы 1, и любых т 6 х\ € X, к = 0,1, су-

ществует единственное решение задачи оптимального управления (х,й) для уравнения Буссинеска - Лява (1) с условиями (2), (6), минимизирующее функционал (12).

В п. 2.4 строится сопряженная к (6),(10) задача, здесь £(£,ы) S #2(2)*) -решение уравнения

A'i = -{Bxyi + {Во)Ч + - *) (14)

с начально-конечным условием

рг,(е(о)) = о,ршо)) = о, fl5)

Р/шШ) = 0, Pfjfr)) = 0.

Теорема 5. (2.4.2) Пусть пучок операторов В (А, 0)-ограничен. Тогда при любых у е Я2(2)) их е Н2(Х) оптимальное управление щ 6 #|(Н) для задачи (б), (10) характеризуется соотношениями (Ц), (15), и выполняется неравенство

(AjfC'W, «о), u(t) - u0{t)}mm +

+vj: J (Nqu^(t)M")(t) - M > 0 Vu G ffJ(H), g—о о /u

где 1(4,«о) б H2(X), £(i,u0) е Я2(?Г).

В п. 2.5 содержится описание алгоритма численного метода и программы «Численное решение задачи оптимального управления в модели Буссинеска -Лява», написанной в вычислительной среде Maple и предназначенной для нахождения приближенного численного решения исследуемой задачи оптимального управления для модели (1), (2), (6). П. 2.6 содержит результаты вычислительных экспериментов, связанных с нахождением решений исследуемой задачи оптимального управления для модели Буссинеска - Лява на отрезке.

Пример 1. Требуется найти решение задачи (1), (2), (G), (12) на отрезке [0,7г], при заданных параметрах А = А' = —4, А" = 1, а = 2, /3 = 2, т = 1. Зададим функции

4 = 2sin(s) +3sin(2s) + 4sin(3s), х^ = -sin(s) + sin(2s) -sin(3s), xl = sin(s) 4- 2sin(2s) — sin(3s)/10, x\ = —2sin(s) — sin(2s) + sin(3s).

Функционал определяется соотношением (12), требуемое состояние волны х = (s) — sin(2s) — sin(3s)).

Пару вектор-функций x(s, í), u(s, í) будем искать в виде галеркинских сумм з з

x(s,t) = ^a,t(í)sm(fcs),ü(s,í) = ^ Ufc(í) sin(/cs). (17)

к= 1 Ar=l

Для примера 1 получены следующие результаты: x{s,t) = (1.49e°'52t + 0.66e_252t - O.lí - 0.16)sin(.s) - 0.79sin(2s) + + (—0.49e"ísin(í/2) - 1.35е-' cos(í/2)) sin(3s),

ü(s, t) = -0.43 sin(s)í+0.07 sin(s) sin(7rí)-0.001 sin(3s)í-0.001 sin(3s) sin(Trí). Минимальное значение функционала Jmjn = 8.37.

Сравним численное решение x(s, í) с требуемым состоянием х(s, t) в началь-

ный и конечный моменты времени.

Сопоставление функций и в интегральном смысле позволяет

сделать вывод о том, что требуемое состояние волны внутри стержня мало отличается от оптимального состояния в начальный и конечный моменты времени.

Третья глава состоит из четырех пунктов и посвящена исследованию математической модели продольных колебаний в конструкции как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка на графе.

В п. 3.1 приведены результаты по исследованию задачи Штурма - Лиувилля на графе. В п. 3.2 рассматривается задача оптимального управления решениями в модели Буссинеска - Лява на графе. Зададим гильбертово пространство

Ь2(С) = {9 = •••) -9] е МОЛ")}.

множество X = {х = (хг,х2,..., х^...) : щ £ (0, и выполнено условие (5)}.

Формулой < Ох,у >= X! ^ 1о ^¡Л^зя^) + где а > О,

у.Е^Е

х, V е X, зададим оператор, определенный на пространстве X.

Зафиксируем а, 0 > 0 и Л, А', А" £ К и построим операторы А = (А—а)/+Д В1 = а((а - \')1 + £>), В0 = ¡3((а - А")1 + Г>).

Обозначим через {А^} собственные значения оператора Б, занумерованные по неубыванию с учетом кратности, а через {фк} - соответствующие им орто-нормированные (в смысле ¿2(С)) функции. Рассмотрим начально-конечную задачу

А: 1,2 , 1,2 к: 1,2 ,1,2

^ <<рк,х{з,т)-х1(з)>1р1с = 0, <^,х,(я,г)-х[(5)>№ = 0,

А^Ак ,

1,2 1,2 А;: „1.2_, ,1,2

/'к =1'к, Рк -»к,

для уравнения (3) с условиями (4), (5).

Теорема 6. (3.2.2) При любых а,/3 £ К\ {0} и А 6 М таких, что выполнено ■условиелибо (г), либо (Иг) леммы 1, илюбыхт 6 М+,2;®, х\ е Х,к = 0,1, существует единственное сильное решение задачи (4), (5), (18) для уравнений (3). Введем в рассмотрение пространство

Нр+2(и) = {и= (щ,и2,.. ...)■. <1 е ¿2((0,т); (И'КО, /,))•)}.

Построим операторы

оо

у.Е^Еа№ к=1

Еоо _

k=i uklPk, Vjkq - положительные числа. Теорема 7. (3.2.3) Ilpu любых а,Р б R\ {0} и А б R таких, что выполнено условие либо (i), либо (иг) леммы 1, и любых г € ВЦ, х\, х], б X, к — 0,1, существует единственное решение задачи оптимального управления (х, и) для уравнений Буссинеска - Лява (3) с условиями (4). (5), (18), минимизирующее функционал (12).

В п. 3.3 содержится описание алгоритма численного метода и программы, написанной в вычислительной среде Maple и предназначенной для нахождения приближенного численного решения рассматриваемой задачи оптимального управления для модели Буссинеска - Лява на графе. П. 3.4 содержит результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующие работу программы. Рассмотрены примеры нахождения решений исследуемой задачи оптимального управления для математической модели продольных колебаний в конструкции. Пример 2. Требуется найти решение задачи (3) - (6), (12) на графе G, состоящем из двух последовательно соединенных ребер и трех вершин, при заданных параметрах А = А' = -0.25, А" = 0.5, а = 1, ¡3 = 0.1, г = 1, dh2 = 0.1, h,2 = т- Функционал определяется соотношением (12), требуемые состояния хх = 7 + 2cos(s)/3 + Ccos(s/2), х2 = 7 - 2sin(s)/3 - 6sin(s/2). Для примера 2 получены следующие результаты:

xi (s,t) = 106.15+17.17i+1.7i2+0.13i3-96.97e017i-2.89e-L17+cos(s)(2.73-0.771 + O.lli2 + 0.03e-°-72i+°-72 + 2.11е-°-27ж>-27) + 5.96cos(s/2),

x2(s,t) = 106.15+17.17i+1.7£2+0.13f3 —96.97e°'17i —2.89e~117—sin^^^S-l-O^i - O.lli2 - 0.03e-a72i+a72 + 2.1 le"0-27'^27)*- 5.96sin(s/2), ui(s,i) = 0.16 - 0.18t - O.Oli2 + cos(s)0.03t + 0.44cos(s/2), u2(s,t) = 0.16 - 0.18£ - O.Oli2 + O.Oli3 - sin(s)(0.01 + 0.03i) - 0.44sin(s/2). Минимальное значение функционала Jmin — 9.15.

Представлены для сравнения найденные решения £1,2 (s, t) и функции ¿1,2 (s, t) в конечный момент времени (рис.3 и рис.4). Графики позволяют сделать вывод, что волны в конечный момент времени в обоих элементах конструкции «стремятся принять требуемую форму».

В заключении приведены выводы по результатам исследований и обосновывается соответствие работы паспорту специальности 05.13.18.

В приложении представлены свидетельства о регистрации программ. Результаты выносимые на защиту:

1. Новый метод исследования оптимального управления в математических моделях, основанных на линейных уравнениях соболевского типа второго по-

рядка. Для линейного уравнения соболевского типа второго порядка с начально-конечным условием доказано существование и единственность сильного решения и оптимального управления.

2. Для математической модели Вуссинеска - Лява в области доказаны существование и единственность оптимального управления решениями соответствующей краевой задачи с начально-конечными условиями.

3. Для математической модели продольных колебаний в конструкции доказаны существование и единственность оптимального управления решениями соответствующей краевой задачи на графе с начально-конечными условиями.

4. Алгоритмы численных методов нахождения оптимального управления в моделях Вуссинеска - Лява на отрезке и продольных колебаний в конструкции.

5. Программы, реализующие алгоритмы численных методов нахождения оптимального управления в моделях Вуссинеска — Лява на отрезке и продольных колебаний в конструкции.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих российских рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями началыю-конеч-пой задачи для уравнения Вуссинеска - Лява / A.A. Замышляева, О.Н. Цьга-ленкова // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 5 (264), вып. 11. - С. 13-24.

2. Замышляева, A.A. Уравнения соболевского типа второго порядка с относительно диссипативным пучком операторов / A.A. Замышляева, О.Н. Цыплен-

кова // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Серия: Физ.-мат. науки. - Самара, 2012. -№ 2 (27), вып. 12. - С. 26-33.

3. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолте-ра - Сидорова - Дирихле для уравнения Буссинеска - Лява / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Дифференц. уравнения. - 2013. - Т. 49, № 11. - С. 1390 -1398.

Свидетельства о регистрации программ для ЭВМ:

4. Программа оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява № 2012619932 / Цыпленкова О.Н. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет (НИУ>. - 2012619932; заявл. 20.09.2012; зарегистр. 02.11.2012, реестр программ для ЭВМ.

5. Программа нахождения решения начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява № 2012619933 / Замышляева A.A., Цыпленкова О.Н. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет (НИУ)». - 2012619933; заявл. 20.09.2012; зарегистр. 02.11.2012, реестр программ для ЭВМ.

6. Оптимальное управление в модели Буссинеска - Лява на графе № 2013611107 / Цыпленкова О.Н. (RU); правообладатель ФГБОУ ВПО «ЮжноУральский государственный университет (НИУ)».-2013611107; заявл. 11.12.2012; зарегистр. 09.01.2013, реестр программ для ЭВМ.

Другие научные публикации:

7. Замышляева, A.A. Задача оптимального управления для одного уравнения соболевского типа / Замышляева A.A., Цыпленкова О.Н. // Всероссийский научный семинар «Неклассические уравнения математической физики», посвященный 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова. - Якутск, 2010. -4.1. - С. 53-56.

8. Замышляева, A.A. Задача оптимального управления для уравнения соболевского типа второго порядка /A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ / под ред. А.И. Кожаиова. - Новосибирск, 2010. - С. 95-101.

9. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуол-тера - Сидорова для уравнения Буссинеска - Лява / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Междунар. конф. «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко: тез. докл. - Новосибирск, 2011. - С. 65.

lt

10. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка /А.А.Замыш-ляева, О.Н. Цыпленкова // Междунар. конф. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященная памяти В.К. Иванова: тез. докл.- Екатеринбург, 2011. - С. 230-231.

11. Цыпленкова, О.Н. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для одного уравнения соболевского типа / О.Н. Цыпленкова // Междунар. конф. «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна- 2012»: тез. докл. - Воронеж, 2012. - С. 209-211.

12. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Междунар. конф. «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева: тез. докл. - Новосибирск, 2012. - С. 370.

13. Цыпленкова, О.Н. Численное решение задачи оптимального управления в модели Буссинеска - Лява / О.Н. Цыпленкова // Междунар. конф. «Измерения: состояние, перспективы развития»: тез. докл. - Челябинск, 2012. - С. 245-246.

14. Цыпленкова, О.Н. Оптимальное управление решениями иачально-конеч-ной задачи в модели Буссинеска - Лява на графе / О.Н. Цыпленкова // Вестник МаГУ. Математика. - Магнитогорск, 2012. Вып. 14. - С. 157-167.

15. Замышляева, A.A. Оптимальное управление решениями задачи Шоуол-тера - Сидорова для уравнения Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Всероссийская научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения»: тез. докл. - Самара, 2013. - С. 34-35.

16. Замышляева, A.A. Численное решение задачи оптимального управления в модели Буссинеска - Лява на графе / A.A. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Междунар. конф., посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений.»: тез. докл. - Новосибирск, 2013. - С. 139.

Типография «Два комсомольца»_

Подписано в печать 20.11.13. Формат 60 х 84 1/16. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,87. Уч.-изд. л. 2.

_Тираж 120 экз. Заказ 253/456_

Отпечатано в типографии «Два комсомольца».

454008, г. Челябинск, Комсосольский пр., 2

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (национальный исследовательский университет)

Цыпленкова Ольга Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В МОДЕЛЯХ БУССИНЕСКА - ЛЯВА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УДК 517.9

На правах рукописи

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент А.А. Замышляева

ЧЕЛЯБИНСК 2013

Содержание

Обозначения и соглашения 4

Введение 6

Глава 1. Предварительные сведения 26

1.1. Относительно полиномиально ограниченные пучки

операторов и пропагаторы................ 26

1.2. Классическое решение начально-конечной задачи для

неоднородного уравнения................ 30

1.3. Задача Коши для уравнения соболевского типа

второго порядка с относительно диссипативным пучком операторов ........................ 32

1.4. Функциональные пространства............. 37

1.5. Относительная резольвента гильбертово сопряженного

операторного пучка ................... 39

Глава 2. Оптимальное управление в модели Буссинеска — Лява 43

2.1. Описание математической модели Буссинеска - Лява . 43

2.2. Сильное решение в математической модели Буссинеска -

Лява........................................................45

2.3. Оптимальное управление в модели Буссинеска - Лява 52

2.4. Необходимое условие оптимальности управления ... 57

2.5. Алгоритм численного метода и описание программы для нахождения оптимального управления в модели Буссинеска - Лява на отрезке............................62

2.6. Вычислительный эксперимент............................65

Глава 3. Оптимальное управление в модели

Буссинеска — Лява на графе 71

3.1. Задача Штурма - Лиувилля на геометрическом графе 71

3.2. Оптимальное управление в модели Буссинеска - Лява

на графе....................................................73

3.3. Алгоритм численного метода и описание программы для нахождения оптимального управления в математической модели Буссинеска - Лява на графе 78

3.4. Вычислительный эксперимент............................83

Заключение 86

Список литературы 88

Приложения 106

Обозначения и соглашения

1. Множества, как правило обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например:

N - множество натуральных чисел;

К - множество действительных чисел;

Ж+ - множество а £ К : а > 0;

С - множество комплексных чисел;

ЬР(П) - пространства Лебега;

- пространства Соболева и т.д. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или греческого алфавитов.

2. Отображения множеств, называемые операторами, обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например:

Ь : X —» 2) - оператор, действующий из пространства X в пространство 2), причем с!отЬ - область определения, ипЬ - образ, а кегЬ - ядро оператора Ь.

3. Множества операторов обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:

с(х] 2)) — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве X и действующих в пространство 2);

с1(х] 2)) — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве X и действующих в пространство 2);

С°°(х] 2)) — множество операторов, имеющих непрерывные производные Фреше любого порядка, определенных на X и действующих в 2). Отметим, что вместо и С°°(Х; X) ради крат-

кости будем писать соответственно £(х), с1(х) и С°°(х). Элемен-

ты множеств операторов мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Кроме того, символами I и О мы будем обозначать соответственно «единичный» и «нулевой» операторы, области определения которых ясны из контекста.

4. Все контуры ориентированы движением «против часовой стрелки» и ограничивают область, лежащую «слева» при таком движении.

5. Основные результаты каждого параграфа называются теоремами. Второстепенные и вспомогательные результаты называются леммами. Частные случаи условий теорем и лемм, а также выводы из них формулируются как следствия. Очевидные факты излагаются в замечаниях. Полные доказательства приведены только для новых результатов. Символ > лежит в конце доказательства.

Введение

Постановка задач

В работе исследуется оптимальное управление решениями в математической модели Буссинеска - Лява в области

(А - А)хи = а(А - Х')х1 + /3(Д - Х")х + и (0.0.1)

с граничным условием

ф, г) = 0, (5, £) € дП х Е. (0.0.2)

Если О, - отрезок, то модель (0.0.1) - (0.0.2) описывает колебания в упругом стержне с учетом инерции. Параметры а, (3, А, А', X" характеризуют свойства материала, из которого изготовлен стержень, и связывают между собой плотность, модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент упругости. Функция х(з,1) характеризует продольное смещение, а функция г/,(з,£) - управление, определяющее внешнее воздействие.

Если Г2 - область в К2, то модель (0.0.1) - (0.0.2) описывает распространение волн на мелкой воде. Параметры а, (3, А, А', X" связывают глубину, гравитационную постоянную и число Бонда. Функция определяет высоту волны в момент времени t в

точке 5, - управление, задающее внешние силы.

В работе также исследуется оптимальное управление решениями в математической модели продольных колебаний в конструкции. Пусть С = С(У, 8) - конечный связный ориентированный граф, где V = {К} - множество вершин, а 8 — {Е3} - множество ребер. Предполагаем, что каждое ребро имеет длину ^ > 0 и площадь поперечного сечения ф > 0. На графе С рассмотрим уравнения

Буссинеска - Лява

\xjtt - х^33и = - \'х#) + В{х]33 - \"хз) + щ, 5 е (О, Ц), г <Е М.

(0.0.3)

Для уравнений (0.0.3) в каждой вершине Ц зададим краевые условия

^ акхка(1к,г) = 0; (0.0.4)

Хп{0,г) = ^(М) = Хк{1к,£) = ^ 0

для всех Еп,Е, е Еа(у{),Ек)Ет е где Еа>ш(Уг) - множество ребер с началом (концом) в вершине Условие (0.0.4) требует, чтобы вектор-функция х^в^Ь) была непрерывна в вершинах графа, и поэтому называется «условием непрерывности». Заметим, что в этом условии «отсутствовать» не значит «быть равным нулю». Например, если в некоторую вершину У{ все ребра входят, то первые два равенства в (0.0.4) отсутствуют, а не равны нулю. Условия (0.0.5) - аналог условий Кирхгоффа. В частном случае, когда граф С состоит из единственной нециклической дуги, условие (0.0.5) исчезает, а условие (0.0.4) превращается в однородное условие Неймана. Функция х^ - продольное смещение в точке 5 ^'-ого ребра, а щ - внешнее воздействие на ;'-ый элемент в конструкции. Разрешимость начально-краевых задач для уравнения Буссинеска - Лява исследовалась в работах А.А. Замышляе-вой.

Нас будут интересовать решения задач (0.0.1) - (0.0.2) и (0.0.3)— (0.0.5), удовлетворяющие условиям Шоуолтера - Сидорова

р{х{0) - х0) = 0, Р{х{0) - хг) = 0; (0.0.6)

или начально-конечным условиям

Pin(x(0) - ®5) = 0, Р<„(ж(0) - а® = 0;

pfin(x{r) - х\) = 0, Pfin(x(r) - хъ) = 0;

(0.0.7)

где Р, Р{п(/т) - некоторые спектральные проекторы в пространстве X, которые будут определены далее.

Математические модели (0.0.1) - (0.0.2), (0.0.7) и (0.0.3) - (0.0.5), (0.0.7) удается свести к начально-конечной задаче для абстрактного уравнения соболевского типа второго порядка

Операторы А:ВиВ0 е £(£; 2)), С £ £(Н; 2)), функции и : [0,т) С Я, у : [0, г) С М+ ^ 2) (г < оо). Задача (0.0.6), (0.0.8) называется задачей Шоуолтера - Сидорова, а задача (0.0.7), (0.0.8) начально-конечной, которая в свою очередь является естественным обобщением задачи Шоуолтера - Сидорова, подробнее о них будет сказано далее.

Вектор-функцию х 6 X назовем состоянием системы (0.0.7), (0.0.8), если она является сильным решением задачи (0.0.7), (0.0.8). Зафиксировав ж®, ж®, Xq, х\, у, воздействие на систему (0.0.7), (0.0.8) осуществляется изменением функции п, называемой управлением. В конкретных моделях, встречающихся на практике, на функцию управления, как правило, накладываются некоторые естественные ограничения, что приводит к необходимости рассмотрения некоторого замкнутого и выпуклого множества iiad - множества допустимых управлений.

Наша задача состоит в отыскании такой пары (х, й) € X х ila(i,

Ах = В\Х + В0х + у + Си.

(0.0.8)

для которой выполняется соотношение

где все пары (х,и) удовлетворяют (0.0.7), (0.0.8).

Цель работы - качественно и численно исследовать оптимальное управление в моделях Буссинеска - Лява в области и на графе с начально-конечными условиями с последующей разработкой программ для ЭВМ.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать оптимальное управление решениями в математической модели Буссинеска - Лява в области как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка.

2. Исследовать оптимальное управление решениями в математической модели продольных колебаний в конструкции как задачу оптимального управления решениями начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа второго порядка на графе.

3. Доказать существование и единственность сильного решения, а также существование единственного оптимального управления решениями начально-конечной задачи для абстрактного уравнения соболевского типа второго порядка.

4. Разработать алгоритмы численных методов нахождения оптимального управления в математических моделях Буссинеска -Лява.

5. Реализовать разработанные алгоритмы в виде программ для ЭВМ.

Актуальность темы исследования В литературе уравнения и системы уравнений, неразрешенные относительно старшей производной называют уравнениями и системами соболевского типа, поскольку именно работы С.Л. Соболева послужили началом систематического изучения таких уравнений. В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. С.Л. Соболев, в основном, занимался линейными уравнениями, и его ученики и последователи составляют обширную и разветвленную научную школу [2], [25], [89], [90]. Наибольший прогресс был достигнут в области линейных уравнений соболевского типа, именно здесь находится большинство из вышедших монографий.

В монографии В.Н. Врагова [8] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для линейных уравнений вида

Ьх = Мж, (0.0.9)

где ¿и М - дифференциальные операторы по пространственным переменным.

В монографии А. Фавини и А. Яги [88] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения

жь б А{ж)

с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа вида (0.0.9), если М -(I/, сг)-ограниченный оператор в случае устранимой особой точки в

бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В монографии Г.В. Демиденко, C.B. Успенского [10] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны следующим образом:

/-1

AoDltu + Y,Al-kDtu = ^

к=О

где ao,ai,...,ai~ линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (жх,..., хп), причем оператор ао не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

Монография С. Г. Пяткова [100] посвящена исследованию разрешимости краевой нелокальной задачи для неоднородного линейного уравнения (0.0.9), где операторы Ь,М - самосопряженные и определенные в гильбертовом пространстве. Доказано существование сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (условия ортогональности) решение краевой задачи является гладким.

В монографии И.В. Мельниковой и А.И. Филенкова [50] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле - Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

В работах M.B. Фалалеева [68], [69] рассматриваются задачи о построении решений вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах. Основным инструментом является разработанный им аппарат обобщенных функций в банаховых пространствах, а именно конструкция фундаментальной оператор-функции.

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А.И. Кожанов [36], рассматривает уравнения вида

(I ~A)ut = Bu + f(x,t),

где Аи В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

Несмотря на то, что большинство работ относятся к линейным уравнениям соболевского типа, исторически первой является монография P.E. Шоуолтера [101], в которой рассматриваются как линейные уравнения, так и полулинейные вида (0.0.9) дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильбертовых пространствах, т.е. пространствах, имеющих нехаусдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами.

Начиная с работ P.E. Шоуолтера стало принято абстрактные уравнения вида (0.0.9) называть уравнениями соболевского типа. К настоящему времени данная терминология стала общепринятой [37], [52], [62], [96], [101], [102]. Далее всюду мы считаем этот тер-

мин синонимом терминов «вырожденные дифференциальные уравнения» [87], [97], «неклассические дифференциально-операторные уравнения» [100], «дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно старшей производной» [10], «псевдопараболические» и «псевдогиперболические» уравнения [10], [94] и «уравнения не типа Коши - Ковалевской» [43], [75]. Исследование подобных уравнений в первую очередь связано с исследованием задач гидромеханики, физики плазмы, физики атмосферы [48].

Данное диссертационное исследование выполнено в рамках направления, развиваемого Г.А. Свиридюком. В его совместной монографии с В.Е. Федоровым [102] вводятся и изучаются относительно ^-ограниченные (относительно р-секториальные) операторы и порождаемые ими разрешающие группы (аналитические разрешающие полугруппы) операторов. Также вводятся в рассмотрение относительно р-радиальные операторы и порождаемые ими сильно непрерывные разрешающие полугруппы операторов. В эту монографию вошли результаты Т.А. Бокаревой [3], Т.Г. Сукачевой [66], Л.Л. Дудко [13], В.Е. Федорова [71], A.A. Ефремова [15], Г.А. Кузнецова [40], A.B. Келлер [32]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации М.М. Якупова [83], С.А. Загре-бипой [16], C.B. Брычева [5], A.A. Замышляевой [19], И.В. Бурлачко [7], В.О. Казака [30], В.В. Шеметовой [79], О.Г. Китаевой [35], Д.Е. Шафранова [78], докторская диссертация В.Е. Федорова [70] и A.B. Келлер [33]. Данная диссертационная работа посвящена исследованию оптимального управления решениями линейных уравнений соболевского типа второго порядка, и базируется па результатах A.A. Замышляевой по исследованию разрешимости таких уравнений.

Впервые задача (0.0.7) для линейного уравнения соболевского типа первого порядка появилась в работах Г. А. Свиридюка и С.А. За-гребиной [60], где она названа, вследствие непроизвольно возникшей терминологической путаницы, «задачей Веригина». В дальнейшем данная задача была названа начально-конечной и рассмотрена в работах [61], [17].

Теория дифференциальных уравнений на графах интенсивно развивается в последние десятилетия [77], [91], [93], [105]. В России основоположником этой теории является Ю.В. Покорный [54]. Первым начально-краевую задачу для дифференциального уравнения соболевского типа на графе стал изучать Г.А. Свиридюк [58]. В диссертации В.В. Шеметовой [79] продолжены исследования в данном направлении. А.А. Баязитова [1] исследовала прямые и обратные задачи для уравнений Хоффа, заданных в области и на конечном связном ориентированном графе. П.О. Пивоварова исследовала устойчивость нулевого решения в моделях Хоффа в области и на графе [53].

Высокий темп развития современных технологий приводит к необходимости исследования возникающих в технике и производстве физических процессов, что предполагает построение адекватных математических моделей и их дальнейшее изучение (см., например, [39], [51]). Моделируемые процессы, как правило, управляемы, а потому естественным образом возникает вопрос о нахождении наилучшего, в том или ином смысле, оптимального управления.

JI.C. Понтрягин [55] вместе со своими учениками и соратниками рассматривал управляемые процессы, каждый из которых может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравне-

ний

Xi = fi{xi,... ,хп,щ,... ,Ur), i = l,...,n. (0.0.10)

Разрешимость таких задач устанавливалась одним общим приемом — принципом максимума Понтрягина.

Для систем (0.0.10) H.H. Красовским [38] и его учениками были рассмотрены задачи о построении управляющего воздействия и, которое приводит объект в заданное состояние, а также проведена аналогия между теорией линейных уп