автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями

:тв од г 7 окт <<?-•*

На правах рукописи Терешко Дмитрий Анатольевич

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ С НЕСТАНДАРТНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

(в механике)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 1998

Работа выполнена в Дальневосточном государственном университете и Институте прикладной математики ДВО РАН

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,

профессор Алексеев Г.В.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

профессор Зарубин А.Г., доктор физ.-мат. наук, профессор Кажихов A.B.

Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск)

Защита состоится " f2- " fc&Ji ¿/М 1998 года в Jk часов на заседании диссертационного совета Д 064.58.02 при Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Мордовцева, 12, к. 208.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

Автореферат разослан " " 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

.— H.H. Фролов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие новых технологий в инженерной механике жидкости приводит к новым постановкам задач в теоретической гидродинамике. Необходимость создавать течения с заданными свойствами является основным стимулом изучения обратных экстремальных задач, которые стали рассматриваться в последнее время в гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости. В указанных задачах неизвестными являются правые части граничных условий на определенных участках границы области течения также, как и правые части дифференциальных уравнений, которые находятся из условия минимума некоторого функционала качества.

Хотя первые исследования в этой области появились в начале 80-х годов в работах A.B. Фурсикова (1980, 1981), указанное направление стало интенсивно развиваться лишь в начале 90-х, когда вычислительная техника достигла уровня, позволяющего численно решать сложные задачи оптимального управления для нелинейных систем с распределенными параметрами. В большинстве работ, посвященных как теоретическим вопросам, так и чисто вычислительным аспектам решения задач оптимального управления для стационарных уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, влияние тепловых эффектов на движение жидкости не учитывалось, а все рассмотрения проводились в рамках модели Навье-Стокса. Среди работ этого направления отметим работы J.-L. Lions (1981, 1987), M. Gunzburger, L. Hou, T.P. Svobodny (1991, 1992), Г.В. Алексеева и В.В. Малыкина (1993, 1994), А.Ю. Чеботарева (1993, 1995), M. Desai, К. Ito (1994), J. Burkardt, J. Peterson (1995).

Вместе с тем, для ряда процессов, происходящих в вязких жидкостях, тепловые эффекты играют важную роль. Поэтому исследование обратных экстремальных задач для уравнений вязкой теплопроводной жидкости представляет теоретический и практический интерес. Основные трудности исследования таких задач связаны с наличием неоднородных граничных условий Дирихле для температуры при рассмотрении стационарной системы Обербека - Буссинеска, описывающей движение вязкой теплопроводной жидкости.

Одно из первых исследований задач оптимального управления для нестационарных уравнений Обербека- Буссинеска, описывающих дви-

жение вязкой теплопроводной жидкости, было выполнено в статье F. Abergel и R. Temam (1990). Затем в работах F. Abergel, Е. Casas (1993) и Е. Casas (1995) были исследованы экстремальные задачи для стационарной системы Обербека- Буссинеска, причем в качестве управления использовалось управление Неймана, отвечающее заданию теплового потока на части границы области течения. Исследованию более сложных задач оптимального управления для стационарных уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости с использованием управлений Дирихле для скорости и температуры посвящены работы Г.В. Алексеева (1996, 1998).

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости как прямых краевых, так и обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости, когда на части границы задано однородное условие Дирихле для скорости, а на оставшейся части - нулевая тангенциальная компонента скорости и полный напор.

Методы исследования. При получении результатов настоящей диссертации использовались некоторые методы математического моделирования, функциональных пространств Соболева, теории нелинейных операторов в гильбертовых пространствах и дифференциальных уравнений в частных производных. При рассмотрении обратных экстремальных задач использовался современный аппарат теории условной оптимизации в гильбертовых пространствах.

Научная новизна. Исследована разрешимость краевых задач для стационарных уравнений вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости. В качестве последних выбираются однородное условие Дирихле для скорости на части границы области течения, а также нулевая тангенциальная компонента скорости и напор - на оставшейся части границы. Установлены достаточные условия единственности решений указанных краевых задач. Доказаны теоремы существования решений соответствующих обратных экстремальных задач с использованием как граничных управлений Дирихле и Неймана либо распределенного управления для тем-

пературы, так и граничного управления для полного напора скорости. Обосновано применение метода неопреленных множителей Лагранжа и выведены системы оптимальности для конкретных функционалов качества. В качестве следствия построенной теории для модели Обербе-ка - Буссинеска выводятся соответствующие результаты исследования экстремальных задач для уравнений Навье-Стокса, рассматриваемых при нестандартных граничных условиях для скорости.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации представляют теоретический интерес и могут служить основой для дальнейшего анализа конкретных прямых и обратных экстремальных задач для уравнений тепловой конвекции. Численное решение полученных систем оптимальности позволит установить наиболее эффективные механизмы управления гидротермодинамическими полями и, в частности, создавать течения жидкости с заданными свойствами. Это позволяет надеяться на практическое использование результатов диссертации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996), на 1-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1997, 1998), на XVI Международной школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1998), на Международной конференции по обратным задачам математической физики (Новосибирск, 1998). Автор выступал с докладами на научном семинаре в ИПМ ДВО РАН под председательством член-корр. РАН Н.В. Кузнецова (1998), на семинаре "Краевые задачи механики сплошной среды" под председательством член-корр. РАН В.Н. Монахова и член-корр. РАН П.И. Плотникова в ИГ СО РАН (1998).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 103 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, который содержит 103 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении излагается предмет исследования диссертации, основные цели и пути их достижения.

Первая глава носит обзорный и вспомогательный характер. В §1 сформулированы основные краевые задачи для уравнений Буссинеска и Навье-Стокса с однородными нестандартными граничными условиями для скорости и смешанными граничными условиями для температуры и их линейные аналоги.

Предполагается, что Q - ограниченная область пространства Md, d = 2,3, с границей Г и существуют такие открытые подмножества Г; и Г2 либо Гх> и границы Г, что

Г1ПГ2 = 0, Г = Г1иГ2иГопГЛг = 0, Г = Го U Гаг.

Основная краевая задача, рассматриваемая в диссертации, записывается в следующем виде:

—z/Ди + (и • grad)u -+■ grad р + 0GT = f, div и = 0 в Q, (1)

-AAT + и • grad Т = / в Q, (2)

и = 0 на Гг, ит = 0 на Г2, р + ]и]2/2 = д на Гг, (3)

Т=ф на Го, Л -1- aT^j = х на VN. (4)

Здесь и, р и Т - скорость, давление и температура (искомые функции), и = const > 0 - коэффициент кинематической вязкости, ¡3 > 0 - коэффициент температурного расширения жидкости, А = const > 0 - коэффициент температуропроводности, G = — (0,0, G) - вектор ускорения свободного падения (ось г декартовой системы координат считается направленной вверх), f - объемная плотность внешних сил, / - объемная плотность источников тепла, ит - тангенциальная компонента вектора скорости и на границе Г, д,гр и х ~ заданные функции, которые при рассмотрении экстремальных задач будут играть роль граничных управлений соответственно для полного напора г = р + |uj2/2 на участке Г2, для температуры Т на участке Го и теплового потока на участке Гдг границы Г.

С использованием формулировки Громэки-Лэмба для уравнения импульса в (1), оно переписывается в эквивалентном виде

i/rotrotu + rotu х u + ЪГ = f - gradг, divu = 0 в Q (b = 0G). (5)

При заданных функциях f, f,g, ф и х соотношения (1)-(4) либо (2)-(5) представляют собой прямую краевую задачу для системы уравнений (1), (2), называемой системой Обербека-Буссинеска, на которую ниже будем ссылаться как на Задачу 1. Условие и = 0 на Г[ в (3) имеет смысл классического условия прилипания для скорости, которое выполняется на твердых границах области течения. Оставшиеся граничные условия в (3) на участке Г2 относятся к классу так называемых нестандартных граничных условий для системы уравнений Навье-Стокса.

Основное предположение относительно области fi и участков Г\ и Гг либо Гд и Гм границы Г состоит в следующем:

(i) Q - ограниченная конечно-связная область в пространстве М3 или Е2, граница Г которой принадлежит С1'1, причем (открытые) участки Ti и Гг границы Г удовлетворяют условиям

14 Ф 0, ГгПГ2 = 0, Г = Fi U Гг;

(ii) участки Гд и IV границы Г удовлетворяют условиям Гл ф 0, Г0 П = 0, Г = TD ufN, Г2 Ç TD =>TNÇ Гь

Главную роль при исследовании разрешимости Задачи 1 играет функциональное пространство

W = {v € Н^П) : div v = 0 в Q, v = 0 на Гх, v х n = 0 на Г2},

наделенное скалярным произведением (v)i из пространства H^Sl). HopMa||-||i эквивалентна в пространстве W норме ||-||w, определяемой формулой

||v||^ = ||rotv||2= / Irotvpdfi. Jn

Указанный факт вытекает из следующей леммы, доказанной в (С. Сопса, F. Murât, О. Pironneau, 1994).

лемма 1. При выполнении условий (i) форма а : х н1(п) —>

R, определяемая формулой

a(u,v) = / rot u • rot vdQ,

Jn

непрерывна и W-эллиптична с константой an, зависящей от О,, Pi и Гг."

a(v,v)= f |rotv|2cifi > Qn||v|(i VveW.

J n

Кроме билинейной формы a(-, •) в работе используются билинейные формы

ai(T, S) — f VT-VScto, 6i(T,v) = f ЬГ-vdfi, Jsi Ja

и трилинейные формы

c(u, v, w) = I (rotu x v) • wdSl, c^u, T,S)= / (u • VT)SdQ,.

J n Jil

В качестве вспомогательного пространства для температуры используется следующее подпространство Hl(Q)

T=HlD(Q) = {SeH\a):1\TDS = Q}

с нормой || • ||х = | • |i, эквивалентной (при Го ф 0) норме || • ||i в силу неравенства Фридрикса-Пуанкаре

№ < <7p|5|i V5 еТ,СР = const.

В случае, когда Гг = 0, так что Г = Гг, форма а : W х W —> R не является эллиптичной в ситуации, когда граница Г имеет две или более связных компонент. Этот "особый" случай изучается отдельно в §3 этой главы, где в качестве основного пространства для скорости, на котором форма а(-,-) эллиптична, используется подпространство Wo пространства W. Указанное пространство строится следующим образом:

W0={vSW: [ vndT = 0 Vi = l, ..,*}.

J г(о

Здесь Г'1',..., Г'*' - связные компоненты границы Г. Если же граница Г имеет только одну связную компоненту, то Wo совпадает со всем пространством W.

Вторая глава посвящена исследованию разрешимости рассматриваемых в диссертации прямых краевых задач. В §1 рассматриваются вопросы существования и единственности слабого решения системы

Обербека-Буссинеска с нестандартными граничными условиями для скорости. Предварительно Задача 1 сводится к слабой формулировке, заключающейся в нахождении пары функций (u,T) € W х ff'(Q), удовлетворяющей условиям

ya(u, v) + c(u, u, v) + bi(T, v) =< f — fs, v >w*xw Vv 6 W, (6)

Лаг(Г, 5) + Cl(u, T, S) + А(аГ, S)Tlf =< /, 5 >T- xt +(x, s)r„ VS g T,

(7)

T = ip na, Гд. (8)

Здесь f? - функционал на W, определенный формулой

<fs,v>wxw= / srv-ndr Vv € W. ./r,

bi(T,v)

у гз

Положим

1 ГеЯ'Мл'бУУ ||Т|ММк

Основные предположения на исходные данные имеют вид: (ш) 0 < 01 < оо, Г € а € а > 0 на Г л;

(¡v) {д <еуг*,ф€ x е щгм), / е г.

Пункт 1.2 посвящен исследованию существования слабого решения Задачи 1. Большое внимание здесь уделено получению априорных оценок, показывающих ограниченность решения, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам. В частности, получены следующие результаты.

Лемма 2. Пусть выполняются условия (г) - (ш). Тогда существует семейство непрерывных неубывающих функций М( : К+ —> зависящих от параметра 6 > О, так же как от £1, а, Гд и IV, такое что для любой не равной тождественно нулю функции ф € Н112{Тв) найдется функция Т} € Н1 (А, П), удовлетворяющая условиям

Ъ = ф на Го, < № < Ms(\\ф\\1|7|TD) V* е (0,1].

теорема 1. Пусть выполняются условия (г) - (гь). Тогда существует по крайней мере одно слабое решение (и, Т) Задачи 1 и справедливы оценки

ЦТ1К < Мт = (1 + к)М'т + + !№•), (9)

!Nlw < ^-imu ч- i(||fj|w. + ||fs||w.) < Mu = + ae)My + i^(||f||w + llfpllwO- (Ю)

Здесь

Щ =

+СРСг\\х\Ь)

+ СаМ1{\\ф\\ф?о), ае =

0, ф = 0,

1, ФФ О,

а Ср, Сг и Са - некоторые константы, зависящие от области П и разбиения Г = Гд U IV

В п.2.2 §2 исследуется единственность слабого решения. Пусть

N = sup rj—г—¡-¡—г—rp-j:—, N\ = sup

и^ИЫМЫИк' Нытики/

теорема 2. Пусть выполняются условия (г)-(гу) и, кроме того,

N » У Л М I г —Ми + Ср-~-МТ < 1. I/ ^ Л

Тогда Задача 1 имеет, единственное решение (и, Г) Н1(£1).

Полученное достаточное условие единственности можно трактовать как ограничение на числа Рейнольдса и Рэлея. В п. 1.4 рассмотрен линейный аналог Задачи 1. Доказана теорема об изоморфизме линейного оператора, отвечающего линейной краевой задаче. Указанная теорема существенно используется далее при исследовании обратных экстремальных задач.

В п.1.5 §2 вводятся граничные и распределенные управления. Каждый из участков Гз и Гр разбивается на два участка:

Ниже считается, что напор г задан на участке Г^ в виде функции г0 £ Ь2(П,), а на участке Г'2' его значение г|г» = д имеет смысл граничного управления, которое выбирается из непустого подмножества К\ пространства Ь2(Гз)- Точно так же температура Т считается заданной на участке Г'с в виде некоторой функции Т0 € Я1^2(Г'£1), а на участке

Гд граничное значение Т|р« = Л является управлением из подмножества К? С Н112(Т'д). С учетом этого вводятся обозначения

< ГР) v >= Iт0у.п4Т+1ду-пОГ Уу € W, М*) = {

Г' Г"

(И)

В качестве еще двух возможных управлений используется функция х в граничном условии третьего рода для температуры Т в (4), а также правая часть / уравнения (2), которые выбираются из некоторых подмножеств Кг С ¿2(Гдг)

и С Т*. Выбор множества К2 должен быть согласован с выбором функции То, поскольку отвечающая Л € К? функция ф = гр/1 в (11) согласно (¡у) должна принадлежать Я1/,2(Гд).

Предполагается в дополнение к условиям (г) — (ш), что выполняются условия

(««') го € ¿а(гу, То е Введем в пространстве Я1 (О) замкнутое множество

= {Те Н\П) : Т = То на Г'0}

и обозначим через #^/2(Гд) подмножество пространства Я1'2(Гд), состоящее из сужений на Т"0 функций пространства Ясно, что Я^(Г'Ь) - замкнутое выпуклое подмножество в Н112(Гд), причем для любой функции И Е Н^2(Т'Ь) отвечающая ей функция фн принадлежит классу Н1'2{Г0).

В §2 исследуется разрешимость краевой задачи в особом случае. Случай уравнений Навье-Стокса рассмотрен в §3 второй главы.

Третья глава диссертации посвящена исследованию обратных экстремальных задач. Предполагается, что

(а) К1 С Ь\Г{\ К7 С Я^2(Г'Ь), Кг С Ь2(Г*), К^СТ* - непустые замкнутые выпуклые множества.

Пусть далее К = Ку х К2 х Кг х К4, х = (и,Т), V = {д,ф,х,Л, а1 > 0, аг > 0, «з > 0, «4 > 0 - константы, У : X -> М - слабо полунепрерывный снизу функционал. Вводится функционал ] : X х К = 'УУ х Ях(0) хК->Ш, определяемый формулой

7(х,«) = 7(х) + ^ЫЬ- + ^ ЦЛЦ?/^ + у||х11г« +

и предполагается, что выполняются следующие условия:

(j) «1 > 0, либо Qi > 0 и К\ - ограниченное множество; (jj) Q2 > 0, либо с*2 > 0 и Кг - ограниченное множество; (Ш) аз > 0) либо аз > 0 и - ограниченное множество; (jv) Q'4 > 0, либо сц > 0 и Й'4 - ограниченное множество. Функционал J рассматривается на слабых решениях Задачи 1. Соответствующее ограничение, имеющее вид ее слабой формулировки (б) - (8), записывается в виде

Г(х,о) = Р(и,Т,д,1.,х,/) = 0.

Здесь нелинейный оператор F — (Fi, F2, F3) : X х К Y действует по формулам

< Fi(x,u),v >= i/o(u,v) + c(u,u,v) + bi{T,v)+ < fs-f,v > Vv G W,

< F2{x,v),S>= \a1{T,S)+cl(n,T,S)+X{aT,S)tn- <f,S> ~(x,S)rN

v) = *f\rDT — фь-

Исследуется следующая обратная задача условной минимизации:

J(x, v) = J (и, Т, g,h,x, f) inf , (12)

где = {(x, v) € X x К : F(x, u) = 0, J(x, v) < 00}.

Теорема 3. Пусть выполняются условия (i) - (iii), (iv1), (a), (j) -(jv), J : X —У Ж - ограниченный снизу, слабо полунепрерывный снизу функционал и множество Zai не пусто. Тогда задача (12) имеет по крайней мере одно решение.

Здесь же представлены шесть функционалов, удовлетворяющие условиям этой теоремы и имеющие конкретный физический смысл:

Л(х) = £ Г |Vu|2dfl, Л(х) = J [ |(gradu) + (gradu)r|2^, ¿J(l ¿J П

/2(x) = i||u - Urf||'L,(n), /з(х) = i|| rotu - Cdll^(n).

Mx) = \Sa |Vr|2dn' /s(x) = TI|T ~ 1 < ' < 6"

§2 посвящен обоснованию применения метода неопределенных множителей Лагранжа. В первом пункте доказывается теорема существования множителей Лагранжа, основанная на экстремальном принципе

в задачах условной минимизации (Иоффе, Тихомиров, 1974). С этой целью рассматривается произвольный элемент

у* = & е v = w х т х {Hli\rD)Y

из сопряженного пространства Y' и вводится Лагранжиан С : X х К х К х УМ 1, определяемый формулой

С(х, v, До, у*) = А0/(х, г>)+ < у*, F(x, v) >у ху= А0</(х, v) +

< Fi(x,v),Z >W'xW + < ii(x, v), 77 >Г*хГ + < с,^з(х,и) >Гс .

ТЕОРЕМА 4. Пусть при выполнении условий (i) - (Hi), (¡V), К\ С ¿2(Г'2'), К2 С Я^Г^), С L2(IV) и Ki С Г" - выпуклые множества, (х, г)) = (й,Т, /) 6 X х К - точка локального минимума в задаче (12) и пусть J(x, •) : К —» К - выпуклый функционал для каждой точки х € X, причел функция х —> и) со значениями в X* принадлежит классу С0 в точке х (Зля любого элемента v £ К. Тогда существует ненулевой множитель Лагранжа (Ао, У*) = (Ао, f], С) € Ж х F* такой, что справедливо уравнение Эйлера-Лагранжа

Ао < Ji(x,5)>(w,r) + < y*,i^(x,{i)(w,r) >у.ху= 0 V(w,r) G X

(13)

и выполняется неравенство

£(х, v, Ао, у*) < £(х, v, А0, у*) 4v&K. (14)

Неравенство (14), называемое принципом минимума, можно переписать в виде

/

J VI

{д-д)^-п<1Г+<С,Н-к>ГЬ +(х~х,1)г„+ < I - /,л>т-*т<

/г,-

< А0[7(х, V) - J(jt, О)] V? еКи Не К2, Х € К9, / £ (15)

В случае, когда функционал ] не зависит от и, отсюда приходим к следующим четырем неравенствам для управлений д, Л, % и /:

(3-5)i-ndr<0 VgeKu <C,h - h >rk< 0 Vh e K2,

г?

(х-х,ч)г* <o VXeK3, <f-f,v>v*t<0 V/GiT4.

Во втором пункте §2 из уравнения Эйлера-Лагранжа (13) выводятся дифференциальные соотношения и граничные условия, которым (в предположении определенной гладкости) удовлетворяют множители Лагранжа и оптимальное состояние: скорость и температура. Указанные соотношения сначала выводятся для произвольного дифференцируемого функционала качества, а далее конкретизируются для всех шести рассматриваемых в работе функционалов. В частности, для функционала /о указанные соотношения имеют вид

- гоЬй х £ + го^й х £) + цУТ + У<т = А0Дй вП, (16)

представляют собой замкнутую систему линейных уравнений относительно сопряженного состояния {£,<?, г]). В общем случае, когда (и, Г) неизвестны, соотношение (16) - (20) со слабой формулировкой (6) - (8) Задачи 1 и вариационным неравенством для управлений (15) представляют собой систему оптимальности, которую необходимо решать для нахождения искомого решения обратной экстремальной задачи в случае минимизации функционала Зо. Аналогичные системы оптимальности выведены и для остальных функционалов качества.

В §3 исследуется регулярность множителя Лагранжа (До,У*) с использованием двух альтернативных подходов: один основан на использовании так называемого свойства " С" (ОимЬи^ег еЬ а1., 1992), другой - на условиях типа "малости" размеров множества управлений К. В частности, доказана следующая теорема:

теорема 5. Пусть выполняются условия теоремы 4 и условие

-АД»]-й- Уг] + Ь-£ = 0 в О

(17)

(18)

- (19) и граничные условия

£ = 0 на Гь уТ£ = 0 на Г2, т? = 0 на Гд (20)

-ми + Ср^~мт < 1 V® = (¡7, л, х, /) е к.

и V А

г/ А

Тогда: 1) однородное уравнение Эйлера-Лагранжа

< у\0)(w, т) >у.ху= 0 V(w,г) € X,

имеет только тривиальное решение; 2) любой нетривиальный множитель Лагранжа, удовлетворяющий (13), является регулярным, т.е. имеет вид (1,у*); 3) неоднородное уравнение Эйлера-Лагранжа

< у*, v)(w, т) >у. хУ= - < /Х(х, i)(w, г) >Х. X* V(w, т)<=Х

имеет единственное решение у* = (£,1),С)-

В §4 исследуется единственность решения экстремальной задачи:

J(u,T,g) = i / |rotu|2dîî = i||u||2w -)• inf , (21)

П

где Zad = {(x,#) g X x Ki : F(x,g) = 0}, Ку С ^(Ц) - ограниченное выпуклое замкнутое множество. Доказана теорема.

ТЕОРЕМА 6. Пусть в дополнение к условиям (t) — (ni), (iV), / G X £ L2(TN) и выполняется условие

—Mu <1Vj6 Ki. v

Тогда экстремальная задача (21) имеет единственное решение

(u, Т, g) €

W x Hl{Ù) x Ki.

В §5 приведенные выше результаты распространяются на особый случай, когда Ti = 0. В §6 приводятся результаты о разрешимости обратных экстремальных задач для системы Навье-Стокса, которые являются следствиями построенной теории экстремальных задач для модели Обербека-Буссинеска.

Пусть оператор F : W x Ki —У W* действует по формуле

< F{u,g),v >= i/a(u, v) + c(u, u,v)+ <f?-f,v > Vv € W

и выполняются условия

(m") f € W*, r0 e L2{T'2),

(a") Ki G ïPiY'i) - непустое выпуклое замкнутое множество. Рассматривается следующая экстремальная задача

7(и, ат) = J(u,g) + у||<?|£» ->• inf, F(u,fl) = 0, g G Ki. (22)

v A v

i + l a4) %MT

Для задачи (22) имеет место следующий аналог теоремы 3.

теорема 7. Пусть выполняются условия (г), (ш"), (а"), 3 : "УУ —> К - ограниченный снизу, слабо полунепрерывный снизу функционал и множество допустимых пар (и, д) для задачи (22) не пусто. Тогда задача (22) имеет по крайней мере одно решение (и,д) € \У х Кг.

Далее рассматривается следующий гидродинамический аналог задачи (12)

= Ц Ии|2сЮ = Ы . (23)

О

теорема 8. Пусть в дополнение к: условиям (г), (иг") выполняется условие

^ ИМк- +СК||г0||Г, +|Ы|Г»)] < 1 Мд € Кг.

Тогда экстремальная задача (23), где К\ - ограниченное выпуклое замкнутое множество, имеет единственное решение (и, д) 6 \¥ хК\.

В случае, когда Г1 = 0, приведенные результаты для уравнений Навье-Стокса переходят в результаты, которые частично пересекаются с результатами А.Ю. Чеботарева (1995).

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

1. Доказана теорема существования слабого решения стационарной системы Буссинеска при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости, когда на части границы задано однородное условие Дирихле для скорости, а на оставшейся части - нулевая тангенциальная компонента скорости и полный напор.

2. Получены априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам.

3. Установлены условия на исходные данные, при которых рассматриваемая краевая задача для стационарной системы Буссинеска имеет единственное решение.

4. Исследована разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости при указанных выше граничных условиях для температуры и скорости с использованием как граничных управлений Дирихле и Неймана либо распределенного управления для температуры, так и граничного управления для полного напора.

5. Обосновано применение метода неопределенных множителей Ла-гранжа для рассматриваемых экстремальных задач и выведены системы оптимальности для конкретных функционалов качества.

6. Установлены достаточные условия единственности решения обратной экстремальной задачи для конкретных функционалов качества.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Г.В. Алексееву за постановку задачи и ценные обсуждения результатов работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Алексеев Г.В., Адомавичюс Э.А., Смышляев А.Б., Терешко Д.А., Ширшов О.Н. Численное исследование задач оптимального управления гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости // Тез. докл. международ, конф. "Математические модели и численные методы механики сплошных сред". Новосибирск: йзд-во СО РАН, 1996. С. 123-125.

2. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции. Препринт N 9. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1997. 56 с.

3. Терешко Д.А. Исследование обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Дальневосточный матем. сб. 1997. Вып. 4. С. 75-85.

4. Терешко Д. А. О некоторых обратных экстремальных задачах для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Тез.

докл. 1-й Дальневосточной конф. студентов и аспирантов по ма-тем. моделированию. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1997. С. 62.

5. Алексеев Г.В., Терешко Д. А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции II. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1998. 52 с.

6. Терешко Д.А. Теоретический анализ экстремальных задачах для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями // Тез. докл. Дальневосточной математической школы - семинара им. акад. Е.В. Золотова. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1998. С. 87.

7. Смышляев А.Б., Терешко Д.А. Задачи оптимального граничного управления для системы уравнений тепловой конвекции // Тез. XVI Международной школы-семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. URL: http://www.ict.nsc.ru/comp-tech/tesises /mech/tereshko.html.

8. Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями // Тез. Международной конференции по обратным задачам математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998. С. 73.

9. Alekseev G. V., Tereshko D.A. On solvability of inverse extremal problem for stationary equations of viscous heat conducting fluid // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1998. V. 6. N 6. P. 1-41.

У

министерство общего и профессионального образования российской федерации дальневосточный государственный университет

российская академия наук институт прикладной математики дво ран

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ С НЕСТАНДАРТНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

На правах рукописи

Терешко Дмитрий Анатольевич

(в механике)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор

Алексеев Г.В„

Владивосток - 1998

Содержание

Введение 4

1 Постановки основных краевых задач 9

1.1 Постановки основных краевых задач. Обзор предыдущих исследований............................................9

1.2 Основные функциональные пространства и интегральные формулы..................................................20

1.3 Дополнительные сведения....................................30

2 Разрешимость основных краевых задач 33

2.1 Существование и единственность слабого решения основных краевых задач............................................33

2.1.1 Определение слабого решения Задачи 1............33

2.1.2 Существование слабого решения Задачи 1 . . . . 36

2.1.3 Единственность решения Задачи 1 ................46

2.1.4 Случай линейной задачи тепловой конвекции . . 47

2.1.5 Введение граничных и распределенных управлений 50

2.2 Разрешимость Задачи 1 в особом случае..................52

2.3 Случай уравнений Навье-Стокса............................54

3 Исследование обратных экстремальных задач 57

3.1 Теорема существования......................................57

3.2 Применение метода неопределенных множителей Лагран-

жа..............................................................62

3.2.1 Существование множителей Лагранжа.......63

3.2.2 Вывод дифференциальных уравнений и граничных условий для множителей Лагранжа..........68

3.3 Регулярность множителя Лагранжа........................75

3.4 Единственность решения экстремальных задач ..... 79

3.5 Исследование экстремальных задач в особом случае . . 84

3.6 Экстремальные задачи для уравнений Навье-Стокса . . 87

Заключение 91

Литература 92

Введение

Развитие новых технологий в инженерной механике жидкости приводит к новым постановкам задач в теоретической гидродинамике. Необходимость получать течения с требуемыми свойствами является основным стимулом изучения обратных экстремальных задач, которые стали рассматриваться в последнее время в гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости. В указанных задачах неизвестными являются граничные значения на определенных участках границы области течения и правые части уравнений, которые находятся из условия минимума некоторого функционала качества.

Хотя первые исследования в этой области появились в начале 80-х годов в работах A.B. Фурсикова [34-36], указанное направление стало интенсивно развиваться только в начале 90-х, когда вычислительная техника достигла уровня, позволяющего численно решать сложные задачи оптимального управления для нелинейных систем с распределенными параметрами. В большинстве работ, посвященных как теоретическим вопросам, так и чисто вычислительным аспектам решения задач оптимального управления гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, влияние тепловых эффектов на движение жидкости не учитывалось, а все рассмотрения проводились в рамках модели Навье-Стокса. Вместе с тем, для ряда процессов, происходящих в вязких жидкостях, тепловые эффекты играют важную роль. Поэтому исследование обратных экстремальных задач для уравнений вязкой теплопроводной жидкости представляет теоретический и практический интерес.

Основные трудности исследования таких задач связаны с наличием неоднородных граничных условий Дирихле для температуры при рассмотрении стационарной системы Обербека - Буссинеска, описыва-

ющей движение вязкой теплопроводной жидкости. В работах [44, 57] F. Abergel и Е. Casas в качестве управления использовалось граничное условие типа Неймана для температуры на части границы. Исследованию более сложных задач оптимального управления для уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости с использованием управлений Дирихле для скорости и температуры посвящены работы Г.В. Алексеева [3,6].

Целью диссертационной работы, продолжающей исследования Г.В. Алексеева, является исследование разрешимости как прямых краевых, так и обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости, когда на части границы задано однородное условие Дирихле для скорости, а на оставшейся части - нулевая тангенциальная компонента скорости и полный напор.

Исходя из поставленной цели, были сформулированы следующие задачи:

1. Доказать теорему существования слабого решения стационарной системы Буссинеска при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости.

2. Получить априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам.

3. Установить условия на исходные данные, при которых рассматриваемая краевая задача для стационарной системы Буссинеска имеет единственное решение.

4. Исследовать разрешимость обратных экстремальных задач для ста-

ционарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости при указанных выше граничных условиях для температуры и скорости.

5. Обосновать применение метода неопределенных множителей Ла-гранжа и вывести системы оптимальности для определенных функционалов качества.

6. Установить достаточные условия единственности решения обратной экстремальной задачи для конкретных функционалов качества.

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационной работы, написанной по материалам работ [5,7,30,48]. Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 103 наименований.

Первая глава носит обзорный и вспомогательный характер. В §1 сформулированы основные краевые задачи для уравнений Обербека -Буссинеска и Навье-Стокса с нестандартными граничными условиями и их линейные аналоги. Обзор литературы, приведенный в этом параграфе, раскрывает современное состояние рассматриваемых в диссертации вопросов. Во втором параграфе приведены основные функциональные пространства и интегральные формулы, используемые в диссертационной работе. В §3 вошли дополнительные сведения, необходимые при рассмотрении особого случая исследуемых здесь задач.

Вторая глава посвящена исследованию разрешимости рассматриваемых в диссертации краевых задач. В первом параграфе рассматриваются вопросы существования и единственности слабого решения системы Буссинеска с нестандартными граничными условиями. В п. 1.1 представлена слабая формулировка основной краевой задачи и доказываются леммы, показывающие связь между слабой и классической формулировками. Пункт 1.2 посвящен исследованию существования слабого решения основной краевой задачи. Большое внимание здесь

уделено получению априорных оценок, устанавливающих ограниченность решения в случае, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам. Основным результатом этого пункта является теорема существования слабого решения и указанные априорные оценки. В следующем пункте этого параграфа исследуется единственность слабого решения. Полученное достаточное условие единственности можно трактовать как ограничение на числа Рейнольдса и Рэлея. В п.1.4 рассмотрен линейный случай рассматриваемой краевой задачи. Доказана теорема об изоморфизме соответствующего линейного оператора, существенно используемая далее при исследовании обратных экстремальных задач. В последнем пункте первого параграфа вводятся граничные и распределенные управления. Здесь рассматривается вопрос согласования множеств, из которых выбираются управления, и оставшихся данных, исходя из выполнения условий теоремы существования слабого решения.

Во втором параграфе исследуется разрешимость краевой задачи в особом случае. В §3 приводятся результаты о разрешимости соответствующей краевой задачи для системы уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости, полученные в качестве следствия изложенной выше теории.

Третья глава диссертации посвящена исследованию обратных экстремальных задач. В §1 указанные задачи формулируются как задачи минимизации определенных функционалов качества на слабых решениях системы Обербека - Буссинеска при соответствующих граничных условиях. Доказывается общая теорема существования решения обратной экстремальной задачи для произвольного ограниченного снизу, слабо полунепрерывного снизу функционала. Здесь же представлены шесть функционалов, удовлетворяющие условиям этой теоремы и имеющие конкретный физический смысл. Второй параграф посвящен обоснованию применения метода неопределенных множителей Ла-

гранжа. В первом пункте доказывается теорема о существовании множителей Лагранжа, основанная на экстремальном принципе в гладко - выпуклых задачах условной минимизации, изложенном в [16]. Во втором пункте этого параграфа из уравнения Эйлера-Лагранжа выводятся дифференциальные соотношения и граничные условия, которым (в предположении определенной гладкости) удовлетворяют множители Лагранжа и оптимальное состояние: скорость и температура. Указанные соотношения сначала выводятся для произвольного дифференцируемого функционала качества, а затем конкретизируются для всех шести рассматриваемых в работе функционалов. В §3 исследуется регулярность множителя Лагранжа с использованием двух альтернативных подходов: один основан на использовании так называемого свойства "С" для множества управлений, введенного в [82], другой -на условиях типа малости размеров множества управлении.

В §4 изучается единственность решения обратной экстремальной задачи для конкретного функционала качества. В пятом параграфе исследуются экстремальные задачи в особом случае. В §6 приводятся результаты о разрешимости обратных экстремальных задач для системы Навье-Стокса, которые являются следствиями соответствующей теории для модели Обербека-Буссинеска.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Глава 1

Постановки основных краевых задач

§ 1.1 Постановки основных краевых задач. Обзор

предыдущих исследований

Пусть Q - ограниченная область пространства W1, d = 2,3, с Лип-шицевой границей Г. Предположим, что существуют такие открытые подмножества Гх и Г2 либо Го и Г/v границы Г, что

Г!ПГ2 = 0, Г = Г1иГ2иГдПГлг = 0, r^r^uiv

Будем рассматривать ниже обратные экстремальные задачи для следующей системы дифференциальных уравнений и граничных условий, описывающей движение вязкой теплопроводной жидкости в области О:

—vAu + (и ■ grad)u + grad р -f- (5GT = f, div и = 0 в fi, (1.1)

-ЛАТ + и • grad Т = f в Q, (1.2)

и = 0 на Гь иг = 0 на Г2, р + |и|2/2 = д на Г2, (1.3)

/ Qrp \

Т = ф наГд, Л ( — + аТ \ = Х на Г^. (1.4)

Здесь и, р и Т - скорость, давление и температура (искомые функции), v = const > 0 - коэффициент кинематической вязкости, ¡3 > 0 - коэффициент температурного расширения жидкости, Л = const > 0 - коэффициент температуропроводности, G = — (О, О, С?) - вектор ускорения свободного падения (ось z декартовой системы координат считается направленной вверх), f - объемная плотность внешних сил, / - объемная плотность источников тепла, ur - тангенциальная компонента вектора скорости и на границе Г, д,ф и х ~ заданные функции, которые

при рассмотрении экстремальных задач будут играть роль граничных управлений соответственно для полного напора г = р + |и|2/2 на участке Г2, для температуры Т на участке Гд и теплового потока на участке Гдг границы Г.

Используя формулировку Громэки-Лэмба для уравнения импульса в (1.1) и полагая b = /Ю, перепишем (1.1) в эквивалентном виде

z/rotrot u + rotu х u + ЪТ = f - gradr, divu = 0 в О (b = ßG). (1.5)

При заданных функциях f, ¡,д,ф и х соотношения (1.1)-(1.4) либо (1.2)-(1.5) представляют собой прямую краевую задачу для системы уравнений (1.1), (1.2), называемой системой Обербека-Буссинеска [8,11,21], на которую ниже будем ссылаться как на Задачу 1. Подчеркнем, что условие и = 0 на Ti в (1.3) имеет смысл классического условия прилипания для скорости, которое выполняется на твердых границах области течения. Оставшиеся граничные условия в (1.3) на участке Г2 относятся к классу так называемых нестандартных граничных условий для системы уравнений Навье-Стокса (1.1).

В большинстве работ, посвященных теоретическому либо численному исследованию уравнений Навье-Стокса, последние рассматриваются именно при классическом граничном условии и = 0 на Г, либо его неоднородном аналоге u = g на Г (см., например, [19,29,76]). Что касается нестандартных граничных условий, то первые результаты по исследованию разрешимости соответствующих краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса

-z/Ди + (и • V)u + gradр = f, divu = 0 в О, (1.6)

получающихся из (1.1) при ß = О, были получены в трудах сотрудников Института гидродинамики СО АН СССР A.B. Кажихова и В.В. Рагулина (см., например, [9,26,85]).

Дальнейшие исследования в этой области связаны с зарубежными, главным образом, французскими авторами. Сначала в двух заметках

О. Ркоппеаи и др. [49,93] (см. также [50]) были сформулированы нестандартные граничные условия для системы (1.6), а также системы Стокса

—рАи + gvadp = f, сНуи = 0 в О, (1.6а)

и анонсированы некоторые результаты о разрешимости поставленных краевых задач. В общем случае указанные краевые условия имеют вид

и = ио на Гх, ихп = ахпир + |и|2/2 = р0 на Г2, (1.7а)

и • п = Ь • п и гоШ х п = Ь х п на Гз. (1-76)

Здесь Г]_, и Г3 — три гладких участка границы Г, такие что

Г,-ПГ,- = 0 \И,з = 1,2,3, %ф2, Г = Г1иГ2иГ3, Г2 П Г3 = 0,

ио,а, Ь,Ь и ро - заданные на соответствующих участках границы Г функции.

Детальное исследование разрешимости краевых задач вида (1.6), (1.7) так же, как и (1.6а), (1.7) было выполнено в работе [60] авторов заметок [49,93]. В [60] также указан ряд физических ситуаций, которые естественным образом приводят к изучению краевых задач вида (1.6), (1.7) для системы уравнений Навье-Стокса. Приведем примеры некоторых таких ситуаций.

Пример 1. Течение в сети каналов. Рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости в сети каналов, изображенной на рис. 1.1 а в Е3 и рис. 1.1 б в Е2. Область О моделирует эту сеть, Г3 пусто, Гх обозначает боковые поверхности каналов, участок Г2 = игТ2г-состоит из входных и выходных участков Г2г- сети, на которых вполне естественным является задание полного напора. Предполагается, что боковые поверхности каналов жесткие и неподвижные, и что поток входит в каналы и покидает их по нормали. Это означает, что в краевых условиях (1.7а), отвечающих данному примеру, следует положить ио = 0 на Гх и а = 0 на Г2, так что они принимают вид (1.3).

г,) о

■) б) Рис. 1.1 Течение в сети каналов

|Г21/

г.

и=0

г,

о

Г.к

ит=0 -г=8 I гя

>и=0

и-0 г,

а) б)

Рис. 1.2 Препятствие в канале

и=0

^ их=0 . г=8 Г22

О

в /

а)

к

б)

г,

Рис. 1.3 Обтекание препятствия бесконечным потоком

Пример 2. Препятствие в канале. В этом примере жидкость протекает в канале, внутри которого находится одно или несколько препятствий. Соответствующая ситуация изображена на рис. 1.2а в К3 и рис. 1.26 в М2. Здесь обозначает область, занимаемую жидкостью, т.е. канал без препятствий, Гх состоит из боковой поверхности канала и границ препятствий, Г2 имеет две части: входную часть Г2х и выходную Г22, Гз пусто. Как и выше, предполагается, что ио = 0 (на Гх) и что а = 0 (на Г2).

Пример 3. Моделирование граничных условий для задачи обтекания препятствия на больших расстояниях от него. Этот пример моделирует обтекание препятствия К бесконечным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Стандартный способ решения соответствующей краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в неограниченной области заключается в ее сведении к соответствующей краевой задаче в ограниченной области путем введения вспомогательной границы Гоо вокруг препятствия, например, сферы достаточно большого радиуса в Е3, изображенной на рис. 1.3а, либо соответствующей окружности в Е2, изображенной на рис.1.36. На Г^ ставится граничное условие, моделирующее условие на бесконечности, отвечающее рассматриваемой задаче. Таким образом, в этом примере область О представляет собой внутренность Г^ без препятствия, Гх состоит из границы препятствия К, которое предполагается быть неподвижным (ио = 0), Г2 = Гоо, причем на Г2 напор г считается равным константе, а в качестве вектора а берется скорость жидкости на бесконечности (равная, например, постоянному вектору и^).

Что касается граничных условий вида (1.76), то они находят свое применение при решении задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, либо при течении жидкостей в областях с химически реагирующими стенками.

Кроме работ [9,26,49,50,60,93], отмети�