автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса

РГЯ од

: 2 4 кюп 2000

На правах рукописи

Адомавичюс Эдуард Альбертасович

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ МАССОПЕРЬНОСА

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в

механике)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2000

Работа выполнена в Институте прикладной математики ДВО РАН

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,

профессор Алексеев Г.В.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

профессор Ащепков Л.Т., кандидат физ.-мат. наук, доцент Загородников Ю.И.

Ведущая организация: Институт автоматики и процессов управлени ДВО РАН (г. Владивосток)

диссертационного совета Д 064.58.02 при Дальневосточном государстве* ном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Суханова, 8, к. 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного гс сударственного университета.

Зашита состоится 2000 года в Уб

часов на заседани

Автореферат разослан года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее десятилетие большое внимание уделяется исследованию задач оптимального управления термогидродинамическими процессами. В гидродинамике и тепловой конвекции указанные задачи возникли в связи с необходимостью установления наиболее эффективных механизмов управления термогидродинамическими полями и, в частности, с необходимостью создания течений, обладающих определенными динамическими и топологическими свойствами. В инженерной экологии задачи такого рода возникли при решении актуальной проблемы защиты окружающей среды от антропогенного воздействия и, в частности, при ре-шеиии задачи оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон.

Строгому теоретическому исследованию указанных задач посвящено большое количество работ, начиная с пионерских работ A.B. Фурсикова (19801982) и Ж. Лионса (1987). Среди них отметим работы М. Gunzburger, L. Hou, Т.Р. Svobodny (1989, 1991 - 1993, 1998, 1999), A.B. Фурсикова и О.Ю. Эмануилова (1993 - 1999), Г.В. Алексеева и В.В. Малыкина (1993, 1994), А.Ю. Чеботарева (1993, 1995), F. Abergel и Е. Casas (1993), Г.В. Алексеева, Д.А. Терешко и А.Б. Смышляева (1996-2000), К. Ito и S.S. Ravindran (1997, 1998), в которых изучаются стационарные задачи граничного или распределенного управлений для уравнений гидродинамики вязкой жидкости либо уравнений тепловой конвекции.

Наряду с задачами оптимального управления, значительную роль в приложениях играют обратные задачи для уравнений гидродинамики. Важным классом этих задач применительно к процессам тепло- и массоперено-са являются обратные задачи обнаружения или восстановления источников разного рода примесей, присутствующих в жидкости. Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных источников примеси по определенной информации о создаваемом этими источниками поле концентраций примеси. Задачи такого рода возникают в тех случаях, когда достоверная информация о параметрах источников примеси неизвестна. Кроме того, нередко приходится рассматривать ситуации, когда источник расположен в месте, недоступном для прямых измерений, причем информации о параметрах источника не разглашается. Неучтенные выбросы вредных примесей от таких источников могут представлять собой серьезную опасность для окружающей среды. Это указывает на актуальность исследования обратных задач обнаружения источников примеси. Еще один класс обратных

задач, а именно класс обратных задач идентификации параметров среды, возникает в случае, когда неизвестными величинами являются, наряду с решением, некоторые коэффициенты рассматриваемых уравнений и их необходимо восстановить по определенной информации о решении.

Следует отметить, что исследование обратных задач может быть сведено к исследованию соответствующих экстремальных задач путем выбора подходящего функционала качества. Это позволяет применять для исследования обратных и экстремальных задач один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости как прямых краевых, так и обратных экстремальных задач для стационарных уравнений теории массопереноса, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для концентрации и неоднородном условии Дирихле для скорости. Указанные обратные задачи заключаются в нахождении неизвестных параметров либо плотностей источников, входящих в исходную математическую модель по определенной информации о решении.

Методы исследования. При получении результатов настоящей диссертации использовались методы математического моделирования, теории функциональных пространств Соболева, теории нелинейных операторов в гильбертовых пространствах, теории условной оптимизации в гильбертовых пространствах, теории дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, аппарат теории Лакса-Мильграма.

Научная новизна. Исследована разрешимость краевых задач для стационарных уравнений массопереноса, рассматриваемых в ограниченной области с липшицевой границей при смешанных краевых условиях для температуры и неоднородном граничном условии Дирихле для скорости при минимальных требованиях на гладкость исходных данных. Выведены априорные оценки решения прямой краевой задачи, непрерывно зависящие от норм исходных данных. Установлены достаточные условия единственности решении указанных краевых задач. Доказаны теоремы существования решений соответствующих экстремальных задач с использованием как граничных, так и распределенных управлений. Обосновано применение метода неопределенных множителей Лагранжа, выведены и проанализированы системы оптимальности для конкретных функционалов качества. Установлены достаточные условия единственности решения обратных экстремальных задач для некоторых функционалов качества. В качестве следствия построенной теории для стационарной системы уравнений массопереноса выведены результаты исследования соответствующих экстремальных за-

дач для уравнений Навье-Стокса и тепловой конвекции.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации представляют теоретический интерес и могут служить основой для дальнейшего анализа конкретных прямых и обратных экстремальных задач для уравнений массопереноса. Численное решение полученных систем оптимальности позволит установить наиболее эффективные механизмы управления процессами распространения примесей в вязкой жидкости. Это позволяет надеяться на практическое использование результатов диссертации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Математическое моделирование и криптография" (Владивосток, 1995), Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996), на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997 - 1999), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золо-това (Владивосток, 1997 - 1999), на XVI Международной школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1998), на Международной конференции по обратным задачам математической физики (Новосибирск, 1998), на Международной конференции, посвященной 70-летнему юбилею академика С.К. Годунова (Новосибирск, 1999). Автор выступал с докладами на научных семинарах в ИПМ ДВО РАН под председательством член-корр. РАН Н.В. Кузнецова (1999-2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-15].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 106 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, который содержит 105 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении излагается предмет исследования диссертации, основные цели и пути их достижения.

Первая глава носит обзорный и вспомогательный характер. В разделе 1 главы 1 сформулированы основные краевые задачи для уравнений массопереноса с неоднородными граничными условиями для скорости и смешанными граничными условиями для концентрации.

Предполагается, что О - ограниченная область пространства в. — 2,3, с границей Г и существуют такие открытые подмножества Го и IV границы Г, что Гр П Гдг = 0, Г = Го и Г/у. Основная краевая задача,

рассматриваемая в диссертации имеет вид:

—¡/Ли + (и ■ grad)u + gradp = f + ¡3<pG в Q, (1)

divu = 0 в Q, (2)

—Л Дуг + и • grady> — u)q——I- к<р= f в Q, (3) oz

и — g на Г, (4)

<p = ф на Го, A (—■ + ay J = x на TN. (5)

Здесь и, p и f - скорость, давление и концентрация примеси (искомые функции), v = const > 0 - коэффициент кинематической вязкости, А = const > О

- коэффициент диффузии, го о = const > 0 - величина вертикальной скорости осаждения частиц примеси под действием силы тяжести, к > О - величина, характеризующая скорость протекания химической реакции, /3 — const

- коэффициент массового расширения, G = — (0,0, G) - вектор ускорения свободного падения (ось z декартовой системы координат считается направленной вверх), f - объемная плотность внешних сил, а > 0 - заданная функция на части Г^ границы Г, /, ф, х и g - заданные функции, которые ниже вместе с а и к будут играть роль управлений для рассматриваемых экстремальных задач. При заданных функциях f, к, а, /, ф, х и g соотношения (1)-(5) представляют собой краевую задачу для системы уравнений (1)-(3), на которую ниже будем ссылаться как на Задачу 1. При (р = 0 Задача 1 переходит в краевую задачу для системы уравнений Навье-Стокса

—г^Ди + (и • V)u + gradp = f, divu = 0 в Q, и = g наГ\__

заключающуюся в нахождении решения (и,р) системы (6). Ниже на указанную задачу будем ссылаться как на Задачу 2.

Основные предположения относительно области Q и участков Го и Гаг границы Г состоят в следующем:

(i) О - ограниченная конечно-связная область в пространстве Pd с границей Г £ С0,1, состоящей из N связных компонент Г^, г — 1,2,..., N;

(ii) открытые участки Го и Гдг границы Г удовлетворяют условиям: Го Е С0'1, Г0 ф 0, € С°'\ ГР П Гм = 0, Г = Го U TN.

Главную роль при исследоваЕши разрешимости Задачи 1 играют функциональные пространства

V = {v G HJ(Í2) : divv = 0}, Z = {v£ L4(Q) : divv = 0, v • n = 0 на Г^},

(7)

T = H^n, rD) = {S€Hl(Q,): 5 = 0 на Гв}. (8)

В работе используются билинейные и трилинейные формы

a(u,v) = / Vu : VvdQ., 6(v, q) = - / gdivvdQ,

J n Ja

c(u,v,w) = J[(u -V)v]-wdft, c1(u1(p,S,)= J(\i-V<p)Sdn, n n

tufoS) = jvip-WSdü, h{tp,\)= jbtp-\dtt, b = ¡3G, n n

d¡p

ái(<p, S) ~ Xai(<p, S) + A(atp, S)Vn - S) + {кр, S).

Пространство V является гильбертовым с гильбертовой нормой: v —> || v|ji; пространство Z является банаховым пространством с нормой v —>■ ||v||L<(n); пространство Т является гильбертовым с гильбертовой нормой Ц-Цг = ||-||i, эквивалентной полунорме | • |i в силу неравенства Фридрихса-Пуанкаре

IIHIi < CpIHi £Т,Ср= const. (9)

Кроме того, V С Z и справедлива оценка ||v||7 < С411v111 Vv Е V. Здесь и ниже Ср, С\, С[ и т.д. - некоторые константы, введенные в диссертации, не зависящие от исходных данных.

В разделе 1.3 главы 1 приводится и доказывается следующий результат, существенно используемый при исследовании разрешимости Задачи 1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. При выполнении условий (г) для функции g, удовлетворяющей условиям

g G Н^Г), J g • ndT = 0, i = 1,2,..., N, g • n > 0 на Гы, г<->

и любого е > 0 существует такая вектор-функция и£ € Н!(0), что divu£ = 0 б fi, ue|r = g, ||ue||i < Ce||g||i/2lr,

Kv,u£,v)|<£||g||1/2,r||v||fVv€ V. (10)

Здесь постоянная С£ зависит, от s, Q и d.

Вторая глава посвящена исследованию разрешимости и единственности рассматриваемых в диссертации прямых краевых задач. В разделе 2.1 рассматриваются вопросы существования слабого решения системы уравнений массопереноса с неоднородными граничными условиями Дирихле для скорости и смешанными граничными условиями для концентрации. Предварительно Задача 1 сводится к слабой формулировке, заключающейся в нахождении тройки функций (и,р,у>) G Нг(Й) х Ll(Q) х Н1(П), удовлетворяющей условиям

¿(u, q) = О V? G Lq(Q), и = g на Г, <р = -0 на Гд, г/а(и, v) -+ с(и, и, v) + b(v,p) = b^ip, v)-f- < f, v > Vv G Hj(fl), aj^S) + ci(u, (p,S) =<f,S> +(x,S)rN V5 e Г.

Положим

a -

v€V

Основные предположения на исходные данные имеют вид: (iii) А» = Aai - w0 > 0; (iv) f 6 H_1(Q), 0 < A < oo;

(v) НЧЦГр), X € ЬЦГМ), a G /с G L2+(fi);

(vi) ёеН1/2(Г), f g • пс?Г = 0, г = 1,2,..., N, g • n > 0 на Гдт,

г<о

где ¿~(Глг)={а G £°°(Г» : о > 0 на Г*}, L\{£l) — {к £ L2(Q) : к > 0 в fl}.

Раздел 2.2 главы 2 посвящен исследованию существования слабого решения Задачи 1. Большое внимание здесь уделено получению априорных оценок, показывающих ограниченность решения, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам. Основным результатом раздела 2.2 является следующая теорема

ТЕОРЕМА 1. Пусть выполняются условия (i)-(vi). Тогда существует по крайней мере одно слабое решение (и,р,<р) Задачи 1 и справедливы оценки

IN < Ml, Mil <MV, (15)

где Ми и М9 неубывающие непрерывные функции норм ||f||_i, ||g||i/2,r> ll/llr«, IMIi/2,rc, IMIi/2,r«> INU»(IV)> INIo, определяемые формулами

Mv(f, /, ф, x, a, к, g) = (1 + + J(||f||-i + Cg), (16)

(И) (12)

(13)

(14)

ад /, У>, X, к, §) = ^1(1 +ае)^+ —(1 + «КРН-! + С8) + С£о|^||1/2,г.

(17)

Здесь

1 „.Г.. , N , ^ ,„,.„ ч__Г 0, ф = О,

Ьдгл > О,

К = ¿(11/11 г. + + СЛ(|Н|г/2,Гс), аз = | ^

-ЛГМи + —^ММу < 1. (19)

а С'2 и Си ~ константы, зависящие от области А и разбиения Г = Гд и Г^.

Далее исследуется единственность слабого решения. Пусть

\Г - V, Мц, у, 5)1 . .

...ХЛиП^МЫМ!!' иеХ 1НММ|1|№" 1 ]

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполняются условия (г)-(ь1) и, кроме того,

1 1 А

—ММи +-^

ао V ао1/ л,

Тогда задача (1)-(5) имеет единственное слабое решение (и, р, у>) £ Н1(Г2) х Ь1(0) х Н1(С1) и выполняются оценки (15).

Полученное в теореме 2 достаточное условие единственности можно трактовать как ограничение на числа Рейнольдса и диффузионное число Рэлея. В качестве частного случая теоремы 2 формулируется результат о существовании и единственности решения гидродинамической Задачи 2.

В разделе 2.4 рассмотрен линейный аналог Задачи 1. Доказана теорема об изоморфизме линейного оператора, отвечающего линейной краевой задаче. Указанная теорема существенно используется далее при исследовании обратных экстремальных задач.

В конце главы 2 вводятся в рассмотрение подпространства Н^П) = {и £ Н1^) : ип = Она Гдг, /г„, и • пёТ = 0, г' = 1, 2,..., Щ, ЙХ/2(Г) = {7и : и £ Н1(П)} и в качестве следствия теоремы 2 выводится следующий результат, существенно используемый в главе 3.

ТЕОРЕМА 3. Пусть выполняются условия (г)-(хь). Тогда для любой шестерки (/, ф, х, а, к, б) £ Т* х Яг/2(Г0) х ЩГ*) х Ь<?(ТМ) х Ь\(П) х Н^Г) существует по крайней мере одно слабое решение Задачи 1 и справедливы оценки (15).

Третья глава диссертации посвящена исследованию обратных экстремальных задач для стационарной системы уравнений массопереноса. Пусть X = Н1^) х ЩП) х Н1(П), У = Н-!(П) х х Н^Г) хТ'х Н1'2{ТП). Предполагается, что выполняются условия

(а) К\ С Т*, К, С Н'/ЦГо), К3 С L2(TN), К4 С Lf{TN), Кь С L\(Q), А',-, С Н1/2(Г) - непустые замкнутые выпуклые множества.

Пусть J : X = Нг(£2) х Lo(fl) х Я:(П) R - слабо полунепрерывный снизу функционал, fi, > 0 - некоторые константы, i = 1, 2,3,4,5, 6. Полагая К = Ki х А'2 х Кз х А'4 х Л'5 х Кб, х = (u, р, р), v = (f,ip,x, а, к, g), введем функционал J : X х А' —> К по формуле

J(x,») = J(x) + |||/||f. + ff II ф\\\/2Хо + ^HxIlL + ^||a||l„(rN) +

^ИЙ + ^Мдг (20)

Предположим в дополнение к условию (а), что выполняются следующие условия:

(b) fit > 0 и К{ - ограниченное множество, i— 1, 2,3,4,5,6. Рассматривая функционал J на слабых решениях Задачи 1, запишем соответствующее ограничение в виде

F{x,v)=F{u,p,<pJ,1>,X,a,K,S) =0 (е У). '(21)

Здесь F = (Fi, F2, F3, F4, F5) : X х К —» Y - нелинейный оператор, действующий по формулам

< Fi{x,v),v>= ра{и, v)+c(u,u,v)-ffc(v,p)-6i(v3,v)- < f,v > Vv € Hj(fi), <F2(x,v),q>=b(u,q) VqeL&Q), E )U-g £ Й"2(Г),

< F4(x, v), S >= afo, S) + Cl(u, у, S)- < f, S > -(x, S)rN VS € T,

Р^х,у)=-г\гв<р-ф€Н112(Х0). (22)

Исследуется следующая задача условной минимизации

У(х,р) = У(ц,р,у?,/,У>,х,а, *,g)-»inf. F(x, v) = 0. (x,p) e X x K. (23L

Пусть Zad = {(x, v) e X x К : J(x, v) < 00, F(x, v) = 0}

ТЕОРЕМА 4. Пусть выполняются условия (i)-(iv), (а), (Ь), J : X —» М - слабо полунепрерывный снизу функционал, не зависящий от р, и множество Zai не пусто. Тогда существует по крайней мере одно решение задачи (23).

Здесь же представлены семь функционалов, удовлетворяющих условиям этой теоремы и имеющих конкретное физическое содержание:

Мх) =Л | |Vu|2<Й2, Л(х) = l(gradu) + (gradual2dil, n a

J2(x) = yllu - ud\\lV(n), 1 < I < 6, /з(х) = i|| rotu - 0||2W (24)

j4(x) = |УI Vyfdfi, Js(x) = yllv» 1 < I < 6, /б(х) = I rvdQ.

n n

Для функционалов Jjt, 0 < A: < 6 в (24) формулируется ряд утверждений, являющихся следствиями теоремы 4.

СЛЕДСТВИЕ 1. В условиях теоремы 4 существует по крайней мере одно решение экстремальной задачи (23) при J = Ji, i = 0,1,...,6.

В случае, когда Kj - неограниченные множества, утверждения теоремы 4 остаются справедливыми при дополнительном предположении об ограниченности снизу функционала J и положительности коэффициентов щ. Соответствующие утверждения будут справедливы и для функционалов Jo, Ji,..., Jb, поскольку они неотрицательны.

ТЕОРЕМА 5. Пусть J : X —>■ Ж - ограниченный снизу слабо полунепрерывный снизу функционал, не зависящий отр, и выполняются условия (i)-(iv), (а), причем pi > 0, г — 1,6 и Zalj -ф- 0. Тогда существует по крайней мере одно решение задачи (23).

СЛЕДСТВИЕ 2. В условиях теоремы 5 существует по крайней мере одно решение экстремальной задачи (23) при J = J,-, i — 0,1,..., 5.

ТЕОРЕМА 6. 1) Пусть выполняются условия (i)-(iv), (а), (Ь), г G Тогда задача (23) при J = Je имеет по крайней мере одно решение (х, в)ё1х К.

2) Пусть выполняются условия (i)-(iv), (а), г 6 ¿+(0), /г,- > 0, г = 1,..., 6, причем компонента ip решения (и,р, <р) Задачи 1 неотрицательна на множестве К. Тогда задача (23) при J = имеет по крайней мере одно решение (x,v) € X х К.

Раздел 3.2 посвящен обоснованию применения метода неопределенных множителей Лагранжа, выводу и анализу систем оптимальности в общем и некоторых частных случаях. В первом пункте доказывается теорема существования множителей Лагранжа, основанная на экстремальном принципе в гладко-выпуклых задачах условной минимизации (Иоффе, Тихомиров, 1974). С этой целью рассматривается произвольный элемент

У* = (£,<х,Сь^,С2) 6Г = Hj(fi) X Ll(Cl) X (Н^Г))* X т X (Н1'2(Г0)Г

из сопряженного пространства Y* и вводится Лагранжиан £:1хА'х1х Y* —> М, определяемый формулой

£(х, v, А0, у*) = А0 J(x, < у*, F{x, v) >= А0 J(x,v)+

>Н-'(П)хЩ(П) +{Р2{х,ь),<г)+ < С1,^з(х,и) >г + < Г4(х, и), 17 >Т'ХТ + < <2, и) >гс .

ТЕОРЕМА 7. Пусть выполняются условия (¡)-(ги), К\ С Т*, К2 С Н1'2(ТВ), Кг С 1?{ТН), Кь С А'5 С /ЭД, А'6 С Н^Г) - не-

пустые выпуклые множества, (х, ь) £ X х К - элемент, на котором достигается локальный минимум в задаче (23), и пусть /(х, •) : К —> К - выпуклый функционал для каждой точки х £ X, причем функция х —> •/д(х, и) со значениями в X* принадлежит классу С0 в точке х для любого элемента V £ К. Тогда существует ненулевой множитель Лагранжа (А0,у*) = (Ао,£, сг, Сг, 11X2) £ х У* такой, что справедливо уравнение Эйлера-Лагранжа

Ао <■/;(*,«), (уг, г ,т) >х-хХ + <у*,^(х,у)(\у,г,т) >уху= 0У(\у, г, г) £Х

(25)

и выполняется принцип минимума

£(х, и, А0, у*) < £(х, и, А0, у*) V* € К. ' (26)

Принцип минимума (26) эквивалентен вариационному неравенству </-/,»? >Т' хТ + < Сг, Ф - Ф >То +(х - X, - ((а-а)ф, г?)Гк -

((к - к)^, Ч)+ < С1,8 - 6 >г< Ао [7(х, г;) - 7(х,«)] Ун £ К. (27)

Во втором пункте раздела 3.2 из уравнения (25) выводятся дифференциальные соотношения и граничные условия, которым (в предположении определенной гладкости) удовлетворяют множители Лагранжа сг, <;ь г], £2 и оптимальное состояние: скорость, давление и концентрация. Указанные соотношения сначала выводятся для произвольного дифференцируемого функционала качества, а далее конкретизируются для всех семи рассматриваемых в работе функционалов. В частности, для функционала /о указанные соотношения имеют вид

-1/Д£ - (й • + Уйт • £ + У<г + т)У>р = А0Дй в О,

дт>

—АД»7 - й ■ V?? + + кт7-Ь-£ = 0вП, ог

+ &Г,) - гиоПзТ) = 0 в Н-1"(Т„), = в Я~1/2(Го),

= 0 в П, £ = 0 на Г, г] = 0 на Гд.

В последующих двух пунктах дается обоснование применения принципа неопределенных множителей Лагранжа, а также выводятся и анализируются системы оптимальности для линейного аналога Задачи 1 и Задачи 2.

ТЕОРЕМА 8. Пусть выполняются условия теоремы 7, ио Е 2 и функционал 3 не зависит от р. Тогда существуют функции £ € сг £ Ц{П), <! € (Йг/2(Г))*, ц € Т, <2 € {Н1!2{Т0)У и константа А0 > 0, которые вместе с элементом (х, г>) 6 X х К удовлетворяют уравнению Эйлера-Лагранжа (25) и принципу минимума (26). Кроме того, в случае, когда функционал ] не зависит от скорости и, имеем

£ = 0 вП, а = 0 в ¿§(0), Сг = 0 в (Н^Г))*, (28)

а принцип минимума (26) эквивалентен вариационному неравенству

< / - 1,Ч>Т'хГ+ < С2,Ф-Ф>ТВ Нх-х,ч)г„ — ((« _ —

-((к - к)ф, г)) < А0[/(х, «) — 7(х, и)] Уг> е К. (29)

В частном случае, когда ] = /б, из теоремы 8 следует, что уравнение Эйлера-Лагранжа (25) представляет собой слабую формулировку следующей эллиптической краевой задачи относительно функции т]:

дт)

—ХАп — и0 • Vп + и>0— + кг] = —А0г в й, 77 = 0 на Гд, (30)

¿72

+&1) - тп3л = 0 В Н~1'\1У), С2 = В Н-^Тп).

На основе соотношений (30) выведена следующая формула для нахождения минимального значения Уд"" функционала

г = J прет =-у П + I ХТ]<1Т +1 Сг^Г I . (31) п \П Гл, гр /

Она позволяет определить минимум функционала ./е через значения множителей Лагранжа т] и Сг и управлений /, ф и х- Применение этой формулы значительно упрощает решение исходной экстремальной задачи, особенно в случае, когда коэффициенты а и к заданы. Это является серьезным преимуществом использования функционала в случае линейной модели массопереноса по сравнению с остальными функционалами. Именно на

идее минимизации функционала ./с был разработан экономичный подход к решению нестационарной задачи оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон, предложенный Г.И. Марчуком (1976) и далее развиваемый другими авторами.

В первом пункте раздела 3.3 исследуется регулярность множителя Jla-гранжа (Ао,у*). В частности, доказана теорема.

ТЕОРЕМА 9. Пусть выполняются условия теоремы 7 и условие

—ЛГМи(f,«) + — ^-JV/iM„(f, v) < 1 Vv £ К. (32)

OcqV OIQV a,

Тогда: l) однородное уравнение Эйлера-Лагранжа имеет только тривиальное решение; 2) любой нетривиальный множитель Лагранжа, удовлетворяющий (25), является регулярным, т.е. имеет вид (1,у*); 3) уравнение (25) при Ло — 1 имеет единственное решение у*.

В следующих пунктах раздела 3.3 исследуется единственность решения экстремальных задач для двух конкретных функционалов качества. В качестве первого выбирается функционал ./о- Пусть

К6 = {g G Н1/2(Г) : g = go на Го С Г, measF0 > 0, ||g||i/2,r < Со = const < оо},

(33)

М° = sup Mv(f,fo,4>o,Xo, aQ,K0,g), М° = sup Mu(f, /о, фо, Хо, «°> «о, gigs А'6 g6A's

ТЕОРЕМА 10. Пусть в дополнение к условиям (i)-(iv) /о Е Т*, Хо £ ¿2(Гдг), Фо € Я1/2(Гв), а0 € (Гдг), «о & - фиксированные элемен-

ты, множество Kq определяется формулой (33), где go £ -у|г0(Н1^2(Г)), и выполняется условие

_1_Лг Ml + +

a0v Qo vK ос*йаои

< 1.

Тогда экстремальная задача

= ^ / |Уи|2(ШЫ, Г{х,/о,фо,Х0,а°,ко,^) = 0,х € А^ £ К6

имеет единственное решение (и,р,<р,о) 6 Нг(0) х ¿о(О) х Н1(£1) х К&. Для функционала имеем следующий результат. Пусть

К2 = {фе Н1'2(Г) :ф = ф0шГ%С Гд,теавГд > О.Ц^Нх/г

,гв < Со < оо}, (34)

М° = вир /о, ф, Хо, а0, Ко, 8о), М° = вир Ми(Г, /о, V1, Хо, а0, к0, go).

Фек2 грек2

Рассмотрим экстремальную задачу

^(X, /о, Хо, а0, «О, ёо) = 0, х е X, ф £ К2. (35)

ТЕОРЕМА 11. Пусть в дополнение к условиям /о € Т*, \о 6

¿2(Гдг), ас £ ко £ Ь\(П), € Н'/2(Г) - фиксированные элементы,

множество К2 определяется формулой (34), где фо £ 7|го (Я1^2(Гд)) и выполняются условия

—ям1 + — ^мм^ < 1,

a^v ао^А« г ао^аи» г

ЛГ( -+

aov - jvms

< 1.

Тогда экстремальная задача (35) имеет единственное решение (и,р, <р, ф) € Н1^) х Ц(П) х Н^П) х Ко.

В последнем разделе 3.4 приводятся результаты о разрешимости прямых краевых и обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции, полученные в качестве следствий из построенной теории для уравнений теории массопереноса. Полагая в Задаче 1

<р-Т, wo = 0, к = 0, и заменяя ¡3 на —/?, приходим к следующей системе уравнений

-¡/Аи 4- (и • grad)u + gradp + fiGT = f в fi, divu = 0 в Q, (36)

-ЛДТ + и • gradT = / в fi, (37)

(дТ \

— + aTJ = x на Гдг, (38)

описывающей движение вязкой теплопроводной жидкости. Здесь Т - температура, Л = const > 0 - коэффициент температуропроводности. Ниже будем ссылаться на (3б)-(38) как на Задачу 3.

ТЕОРЕМА 12 Пусть выполняются условия (г)-(т). Тогда существует по крайней мере одно слабое решение (и,р,Т) Задачи 3 и справедливы оценки

N11 < /, V, X, а, к, ё), \\T\U < Мт({, /, гр, X, а,

где Ми и Мт - непрерывные неубывающие функции норм ]|Г)|-ъ Ц/Иг*.

\\Ф\\ф,Тв, 1М1г„, ||а|и~(Глг), |М|о,

Далее в качестве следствия построенной теории приводятся новые результаты о существовании и единственности решений обратных экстремальных задач для уравнений Навье-Стокса и тепловой конвекции.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Перечислим их.

1. Доказаны теоремы существования и единственности слабого решения стационарной системы уравнений массопереноса при смешанных краевых условиях для концентрации и неоднородных граничных условиях для скорости.

2. Получены априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи принадлежат ограниченным множествам.

3. Доказаны теоремы разрешимости обратных экстремальных задач для системы уравнений массопереноса, обоснован принцип неопределенных множителей Лагранжа, выведены системы оптимальности в общем случае и для конкретных функционалов качества.

4. Выведены условия регулярности множителей Лагранжа и установлены достаточные условия единственности решения обратной экстремаль-пой задачи для некоторых конкретных функционалов качества.

5. В качестве следствия построенной теории получены новые результаты о разрешимости обратных экстремальных задач для уравнений Навье-Стокса и уравнений тепловой конвекции.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Г.В. Алексееву за постановку задачи и ценные обсуждения результатов работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Алексеев Г.В., Адомавичюс Э.А., Смышляев А.Б., Ширшов О.Н. Задачи граничного управления для уравнений Навье-Стокса. Тез. докл. международ, конф. "Математическое моделирование и криптография". Владивосток: Дальнаука, 1995. С.5.

2. Алексеев Г.В., Адомавичюс Э.А., Смышляев А.Б., Терешко Д.А., Ширшов О.Н. Численное исследование задач оптимального управления гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости. Тез. докл. Международ, конф. "Математические модели и численные методы механики сплош-

. ных сред". Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. С. 123-125.

3. Адомавичюс Э.А. Разрешимость некоторых задач оптимального управления для стационарных уравнений тепловой конвекции. Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Зо-лотова. Владивосток: Дальнаука, 1997.

4. Адомавичюс Э.А. Задачи оптимального управления для уравнений тепловой конвекции. Тез. докл. 1-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию. Владивосток: Дальнаука, 1997. С. 3.

5. Адомавичюс Э.А. О разрешимости некоторых экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 74-85.

6. Адомавичюс Э.А. Задачи управления для уравнений гидродинамики теплопроводной жидкости. Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова. Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 5.

7. Адомавичюс Э.А., Алексеев Г.В. Стационарные задачи граничного управления для уравнений гидродинамики теплопроводной жидкости. Тез. XVI международной школы-семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, 1998.

URL: http://www.ict.nsc.ru/comp.tech/tesises /mech/alekseev.html.

8. Адомавичюс Э.А., Алексеев Г.В. Разрешимость обратных задач для стационарных уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Тез. докл.

международной конференции "Обратные задачи математической физики". Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1998. С. 4.

9. Адомавичюс Э.А. Вопросы единственности и регулярности решений задач управления для уравнений тепловой конвекции. Тез. докл. 2-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию. Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 44.

10. Адомавичюс Э.А. Исследование разрешимости и регулярности решений задач управления для уравнений тепловой конвекции. Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Зо-лотова. Владивосток: Дальнаука, 1999. С. 8-9.

11. Адомавичюс Э.А. Регулярность и единственность решений обратных экстремальных задач для уравнений массопереноса. Тез. докл. 3-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию. Владивосток: Дальнаука, 1999. С. 35.

12. Адомавичюс Э.А. Разрешимость и регулярность решений обратных задач массопереноса. Тез. докл. международ, конф. "Математические модели и методы их исследований (Задачи механики сплошной среды, экологии технологических процессов)". Красноярск, Изд-во Красноярск. университета. 1999. С. 5.

13. Alekseev G. V., Adomavichus Е.А., Smishlyaev A.B., Tereshko D.A. Control problems for stationary equations of viscous heat conducting fluid. Abstracts of International Conference honoring academician Sergei K. Godunov. Novosibirsk. Institute of Mathematics SB RAS, 1999. P.6.

14. Адомавичюс Э.А., Алексеев I '.¿/. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса. Препринт N 7 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999.

15. Адомавичюс Э.А., Алексеев Г.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса II. Препринт N 18 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999.

Введение

1 Постановки основных краевых задач

1.1 Постановки основных краевых задач. Обзор предыдущих исследований

1.2 Функциональные пространства. Вспомогательные сведения

1.3 Некоторые дополнительные сведения

2 Разрешимость и единственность решений основных краевых задач

2.1 Существование слабого решения основных краевых задач

2.1.1 Определение слабого решения Задачи

2.1.2 Существование слабого решения Задачи 2.2 Единственность решения Задачи

2.3 Случай линейной задачи массопереноса.

3 Исследование экстремальных задач для системы уравнений теории массопереноса с неоднородными граничными условиями

3.1 Постановка и разрешимость обратных экстремальных задач

3.2 Существование множителей Лагранжа. Вывод системы оптимальности

3.2.1 Существование множителей Лагранжа.

В последнее десятилетие большое внимание уделяется исследованию задач оптимального управления термогидродинамическими процессами. В гидродинамике и тепловой конвекции указанные задачи возникли в связи с необходимостью установления наиболее эффективных механизмов управления термогидродинамическими полями и, в частности, с необходимостью создания течений, обладающих определенными динамическими и топологическими свойствами [73]. В экологии задачи такого рода возникли при решении актуальной проблемы защиты окружающей среды от антропогенного воздействия и, в частности, при решении задачи оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон [18,33,34,36].

Строгому теоретическому исследованию указанных задач посвящено боль шое количество работ, начиная с пионерских работ A.B. Фурсикова [43-45] и Ж. Лионса [32]. Наряду с задачами оптимального управления, большую роль в приложениях играют обратные задачи для уравнений гидродинамики. Важным классом этих задач применительно к процессам тепло- и массопереноса являются обратные задачи обнаружения или восстановления источников разного рода примесей, присутствующих в жидкости. Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных источников примеси по определенной информации о создаваемом этими источниками поле концентраций примеси. Задачи такого рода возникают в тех случаях, когда достоверная информация о параметрах источников примеси неизвестна. Кроме того, нередко приходится рассматривать ситуации, когда источник расположен в месте, недоступном для прямых измерений, причем информации о параметрах источника не разглашается либо скрывается. Неучтенные выбросы вредных примесей от таких источников могут представлять собой серьезную опасность для окружающей среды. Это указывает на актуальность исследования обратных задач обнаружения источников примеси. Еще один класс обратных задач, а именно класс обратных задач идентификации параметров среды, возникает в случае, когда неизвестными величинами являются, наряду с решением, некоторые коэффициенты рассматриваемых уравнений и их необходимо восстановить по определенной информации о решении.

Следует отметить, что исследование обратных задач может быть сведено к исследованию соответствующих экстремальных задач путем выбора подходящего функционала качества. Это позволяет применять для исследования обратных и экстремальных задач один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач.

Целью диссертационной работы, продолжающей исследования Г.В. Алексеева, является исследование разрешимости как прямых краевых, так и обратных экстремальных задач для стационарных уравнений теории мас-сопереноса, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для концентрации и условии Дирихле для скорости.

Исходя из поставленной цели, были сформулированы следующие задачи:

1. Доказать теорему существования слабого решения стационарной системы Обербека-Буссинеска, рассматриваемой в ограниченной области с липшицевой границей при смешанных краевых условиях для концентрации и условии Дирихле для скорости.

2. Получить априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам.

3. Установить условия на исходные данные, при которых решение рассматриваемой краевой задачи для уравнений массопереноса единственно.

4. Исследовать разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса при указанных выше граничных условиях для концентрации и скорости.

5. Обосновать применение метода неопределенных множителей Лагран-жа, вывести и проанализировать системы оптимальности для определенных функционалов качества.

6. Установить достаточные условия единственности решения обратной экстремальной задачи для конкретных функционалов качества.

7. Распространить результаты построенной теории для уравнений Навье-Стокса и уравнений тепловой конвекции.

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационной работы, написанной по материалам работ [1-5, 54] Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 105 наименований.

Заключение

В данном заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. Доказаны теоремы существования и единственности слабого решения стационарной системы уравнений массопереноса при смешанных краевых условиях для концентрации и неоднородных граничных условиях для скорости.

2. Получены априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи принадлежат ограниченным множествам.

3. Доказаны теоремы разрешимости экстремальных задач для системы уравнений массопереноса, обоснован принцип неопределенных множителей Лагранжа, выведены системы оптимальности в общем случае и для конкретных функционалов качества.

4. Получены условия регулярности множителей Лагранжа и установлены достаточные условия единственности решения экстремальной задачи для некоторых конкретных функционалов качества.

5. Результаты построенной теории распространены для уравнений Навье-Стокса и уравнений тепловой конвекции.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Г.В. Алексееву за ценные советы и постоянное внимание к данной работе.

1. Адомавичюс Э.А. О разрешимости некоторых экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 74-85.

2. Адомавичюс Э.А. Исследование разрешимости экстремальных задач массопереноса. Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова. Владивосток. Дальнаука, 1999. С. 89.

3. Адомавичюс Э.А. Разрешимость и регулярность решений обратных задач массопереноса. Международная конференция Математические модели и методы их исследований (задачи механики сплошной среды, экологии технологических процессов), Красноярск, 1999. С. 5.

4. Адомавичюс Э.А., Алексеев Г.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса. Препринт N 7 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999.

5. Адомавичюс Э.А., Алексеев Г.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса II. Препринт N 18 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999.

6. Алексеев Г.В. Теоретический анализ стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции. Препринт N 16 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1996.

7. Г.В. Алексеев, Стационарные задачи граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Докл. РАН. 1998. Т. 362. N 2. С. 174-177.

8. Г.В. Алексеев, Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, N 5. С. 982-998.

9. Алексеев Г.В. Обратные задачи обнаружения источников примеси в вязких жидкостях. Препринт N 8 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Даль-наука, 1999.

10. Алексеев Г.В., Малыкин В.В. Численное исследование стационарных экстремальных задач для двумерных уравнений вязкой жидкости // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2. N 5. С. 5-16.

11. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б. Разрешимость неоднородных краевых задач для стационарных уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости. Препринт N 6 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Даль-наука, 1999.

12. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б. Разрешимость экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции с неоднородными граничными условиями. Препринт N 17 ИПМ ДВО РАН. Дальнаука. Владивосток, 1999.

13. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции. Препринт N 9 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1997.

14. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции И. Препринт N 30 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1998.

15. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Стационарные задачи оптимального управления для уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. T.l. N 2. С. 24-44.

16. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико групповых методов в гидродинамике. М.: Наука. 1994.

17. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

18. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И. Математическое моделирование в . задачах защиты окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО-пресс,1997.

19. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука. 1989.

20. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир. 1981.

21. Дюво Г., Лионе Дж. Неравенства в механике и физике. М.: Наука. 1980.

22. Зарубин А.Г. Задача о стационарной свободной конвекции // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, N 6. С. 1378-1383.

23. Зарубин А.Г., Тиунчик М.Ф. О некоторых задачах механики с разрывными граничными условиями и негладкой границей // Дифференц. уря. 1978. Т. 14, N 9. С. 1632-1637.

24. Зарубин А.Г. Численный анализ начально-краевой задачи для уравнений тепловой конвекции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, N 6. С. 471-473.

25. Зарубин А.Г. Начально-краевая задача для нестационарных уравнений тепловой конвекции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35, N 5. С. 728-738.

26. Илларионов A.A., Чеботарев А.Ю. Существование слабых решений . смешанной стационарной задачи для уравнений Навье-Стокса. Препринт N 11 ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1999.

27. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974.

28. Кажихов A.B., Рагулин В.В. О задаче конвекции в вязкой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1979. Вып. 40. С. 127-133.

29. Коренев Н.К. О некоторых задачах конвекции в вязкой несжимаемой жидкости // Вестник ЛГУ. 1971. Вып. 2, N 7. С. 29.

30. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжи-. маемой жидкости. М.: Наука. 1970.

31. Ландау Л.Д., Лившиц В.М. Гидродинамика. (Теоретическая физика. Т. VI.). М.: Наука. 1988.

32. Лионе Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука. 1987.

33. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

34. Марчук Г.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука, 1993.

35. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. Пер. под ред. Демьянова В.Ф. М.: Мир. 1989.

36. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: Наука, 1985.

37. Прилепко А.И., Васин И.А. Разрешимость трехмерной обратной задачи для нелинейных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т. 30. N 2. Р. 1540-1552.

38. Смышляев А.Б. Экстремальные задачи граничного управления для линейной системы уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 86-101.

39. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир. 1981.

40. Терешко Д.А. Исследование обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Дальневосточный мат. сб. 1997. Вып. 4. С. 75-85.

41. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980.

42. Уховский М.Ф., Юдович В.И. Об уравнениях стационарной конвекции // Прикл. матем. и механика. 1963. Т. 27, N 2. С. 295-300.

43. Фурсиков A.B. О некоторых задачах управления и результатах, касающихся разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье-Стокса и Эйлера // ДАН СССР. 1980. Т. 253. N 5. С 10661070.

44. Фурсиков A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса // Мат. сб. 1981. Т. 115. N 2. С. 281-306.

45. Фурсиков A.B. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса // Мат. сб. 1982. Т. 118. N 3. С. 323-349.

46. Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 5. С. 202-213.

47. Чеботарев А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных систем типа Навье-Стокса // Сиб. матем. журн. 1995. Т.36. N 4. С. 934-942.

48. Черняков П.С. О нестационарной свободной конвекции в ограниченной области // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1966. Т. 6, N 2, С. 283-303.

49. Эмануилов О.Ю. О некоторых задачах оптимального управления, связанных с системой Навье-Стокса // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1991. N 15. С. 108-127.

50. Юдович В.И. О возникновении конвекции // Прикл. матем. и механика. 1966. Т. 30, N 6. С. 1000-1005.

51. Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление // Прикл. матем. и механика. 1967. Т. 31, N 1. С. 101-111.

52. Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Mech. 1990. V.l. P.303-325.

53. Abergel F. and Casas E. Some optimal control problems of multistate equation appearing in fluid mechanics // Math. Modeling Numer. Anal. 1993. V. 27. P.223-247.

54. Alekseev G.V. and Malikin V.V. Optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with boundary controls. Preprint. Institute of Appl. Math. Far Eastern Branch of RAS. Vladivostok. Dalnauka. 1993.

55. Alekseev G.V., Malikin V.V. Numerical analysis of optimal boundary control problems for Navier-Stokes equations // Comp. Fluid Dynamics J.1994. V. 3, N 1. P.l-26.

56. Alekseev G.V., Tereshko D.A. Solvability of the inverse extremal problem for the incompressible heatconducting fluid equations //J. Inverse Ill-posed Problems. 1998. V. 6. P. 581-621.

57. Burkardt J., Peterson J. Control of steady incompressible 2D channel flow // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.lll-126.

58. Casas E. The Navier-Stokes equations coupled with the heat equation: analysis and control // Control Cybernet. 1994. V. 23, N 4. P. 605-620.

59. Casas E. Optimality conditions for some control problems of turbulent flows // Flow Control. 1.995. IMA V. 68. P. 127-147.

60. Casas E., Fernández L. A Green's formula for quasilinear elliptic operators // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 142. P. 62-72.

61. Cäpätinä Anca and Stavre Ruxandra. A control problem in bioconvective flow // J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ). 1998. V. 37, N 4. P.585-595.

62. Conca C., Murat F. and Pironneau 0. The Stokes and Navier-Stokes equations with boundary conditions involving pressure // Japan. J. Math. Vol.20, No 2. 1994.

63. Desai M., Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Optim. 1994. V. 32, N 5. P.1428-1446.

64. Fattorini H., Srithäram S.S. Existence of optimal controls for viscous flow problems // Proc. of the Royal Soc. of London, Serie 1. 1992. V. 439. P.81-102.

65. Finn R., Solonnikov V. Gradient estimates for solutions of the Navier-Stokes equations // Topological methods in nonlinear analysis. J. of the Juliusz Schauder Center. 1997. V. 9. P. 29-39.

66. Fursikov A.V. Exact boudary zero controllability of three dimensional Navier-Stokes equations // J. of Dynamical and Control Syst. 1995. V. 1, N3. P. 325-350.

67. Fursikov A.V., Gunzburger M.D., Hou L.S. Boundary value problems and optimal boundary control for the Navier-Stokes system: the two-dimensional case // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 36, N 3. P. 852-894.

68. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. On exact boudary zero-controllability of two-dimensional Navier-Stokes equations // Acta Appl. Math. 1994. V. 37. P. 67-76.

69. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. On controllability of certain systems simulating a fluid flow // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger.• Springer., 1995. P.149-153.

70. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C.R. Acad. Sci. Paris, Série I. 1996. V. 323, N 3. P. 275-280.

71. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local exact boundary controllability of the Boussinesq equations // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 36, N 2. P. 391-421.

72. Mohamed Gad-el-Hak. Flow control // Appl. Mech. Rev. 1989. V. 42, N 10. P.261-293.

73. Gaultier M., Lezaun M. Equations de Navier-Stokes couplées a des• équations de la chaleur: résolution par une méthode de pointe fixe en dimension infininie // Ann. Sc. Math. Québec. 1989. V. 13. P. 1-17.

74. Girault V. and Raviart P.-A. Finite element approximation of the Navier-Stokes equations. Lect. Notes in Math. Vol. 749. Springer-Verlag, Berlin, 1981.

75. Girault V. and Raviart P.-A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Springer-Verlag, New York, 1986.

76. Gunzburger M.D., Hou L. and Svobodny T.P. Numerical approximation of an optimal control problem associated with the Navier-Stokes equations // App. Math. Letters 1989. 2. N 1. P.29-31.

77. Gunzburger M.D., Hou L. and Svobodny T.P. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with distributed and Neumann controls // Math. Comp. 1991. V.57, N 195. P.123-151.

78. Gunzburger M., Hou L. and Svobodny T. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with Dirichlet conditions // Math. Modeling Numer. Anal. 1991. V.25. P.711-748.

79. Gunzburger M.D., Hou L. and Svobodny T.P. Boundary velocity control of incompressible flow with application to viscous drag reduction // SIAM J. Contr. Optim. 1'992. V. 30, N 1. P.167-182.

80. Gunzburger M.D., Hou L. and Svobodny T.P. The approximation of boundary control problems for fluid flows with an application to control by heating and cooling // Comput. Fluids. 1993. 22. P. 239-251.

81. Gunzburger M.D, Hou L., Svobodny T.P. Heating and cooling control of temperature distributions along boundaries of flow domains //J. Math. Systems Estim. Control. 1993. 3. P. 147-172.

82. Gunzburger M.D. and Hongchul Kim. Existence of an optimal solution of a shape control problem for the stationary Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V.36, N 3. P.895-909.

83. Hopf E. Ein all gemeiner Endlichkeitssatz der Hydrodinamik // N. Math. Ann. 1940-1941, 117, P. 764-775.

84. Hou L. and Svobodny T.P. Optimization Problem for the Navier-Stokes Equations with Regular Boundary Controls // Journal of Math. Anal, and Appl. 1993. 177. P.342-367.

85. Ito K. Boundary temperature control for thermally coupled Navier-Stokes equations // ISNM, Int. Ser. Numer. Math. 1994. 118. P.211-230.

86. Ito K., Ravindran S.S. A reduced basis method for control problems goverened by PDEs. Preprint, Department of Mathematics, North Carolina State University, USA, 1997.

87. Ito K. and Ravindran S.S. Optimal control of thermally convected fluid flows // SIAM J. Sei. Comput. 1998. V. 19, N 6. P.1847-1869.

88. Yukio Kan-On, Kimiaki Narukawa and Yoshiaki Teramoto. On the equations of biconvective flow //J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ). 1992. V. 32, N 1. P.135-153.

89. Lee Hyung-Chun. Existence of boundary optimal control for the Boussinesq equations // Korea, Seoul National University, Lect. Notes Ser. Seoul. 1997. V. 39, N 10. 11.P.

90. Levandowsky M., Childress W.S., Hunter S.H. and Spiegel E.A. A mathematical model of pattern formation by swimming microorganisms // J. Protozoology. 1975. V. 22. P.296-306.

91. Lukaszewicz G. On the stationary flows of viscous incompressible and heat-conducting fluids // Math. Methods in the Appl. Sci. 1988. V. 10. P. 329337.

92. Moribe Y. On the biconvection of Tetrahymena pyriformis. Master's thesis (in Japanese). Osaka University. 1973.

93. Morimoto H. On the existence of weak solutions of equation of natural convection // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1989. Sect. IA. V. 36. P. 87-102.

94. Morimoto H. On the existence and uniqueness of the stationary solution to the equations of natural convection // Tokyo J. Math. 1991. V. 14. P. 217-226.

95. Morimoto H. Non-stationary Boussinesq equations // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1992. V. 39. P. 61-75.

96. Oeda K. Weak and strong solutions of the heat convection equations in regions with moving boundaries //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1989. V. 36. P. 491-536.

97. Oeda K. Stationary solutions of the heat convection equations in exterior domains // Proc. Japan Acad. Sci., Ser. A. 1997. V. 73, N 61. P. 111-115.

98. Shinbrot M., Kotorynski W.P. The initial value problem for viscous heat-conducting //J. Math. Analys. and Appl. 1974. V. 45. P. 1-22.

99. Svobodny T. Shape optimization and control of separating flow in hydrodynamics // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P. 325-339.

100. Temam R. Remarks on the control of turbulent flows // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.357-371.

101. Vasin I.A. Inverse boundary value problems in viscous fluid dynamics // Ill-Posed Problems in Natural Sciences. Proc. Intern. Conf. Moscow. August, 19-25. 1991. VSP. Moscow. 1992. P. 423-430.

102. Yuh-Roung Ou. Mathematical modelling and numerical simulation in external flow control // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.219-255.

103. Zarubin A.G. On an iterative method for approximate solution of an initial boundary value problem for the heat convection equation // Comput. Fluid Dynamics J. 1994. V. 4. P. 323-332.

104. Nicholas Zabaras and George Z. Yang. A functional optimization formulation and implementation of an inverse natural convection problem // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1997. 144. P.245-274.